Matemátic..

UNIVERSIDAD METROPOLITANA

MATEMÁTICA II

Lcdo. RAMIRO BOSQUEZ VERDEZOTO

2010 – 2011

Alum : ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………….......

1. UNIDAD I

MEDIDAS

1

Sistema Internacional de Unidades, SI, también denominado sistema internacional de medidas, es el más usado. El antiguo sistema métrico decimal, es su antecedente y que ha mejorado, el SI también es conocido como sistema métrico, en algunas naciones en las que aún no se ha implantado el uso cotidiano del SI. Se creó en 1960 por la Conferencia General de Pesas y Medidas, que inicialmente determinó seis unidades fundamentales. En 1971, fue añadida la sép-tima unidad básica, el mol.

Una de las principales características, es la gran ventaja de que sus unidades están basadas en fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de masa, el kilogramo, que está definida como “la masa del prototipo internacional del kilogramo” o aquel cilindro de platino e iridio almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. El Sistema Internacional regula el uso de las medidas métricas y no métricas, de ellas conoceremos las prin-cipales:

1.1. MEDIDAS DE LONGITUD:

Son las medidas que establecen la magnitud entre dos puntos. Su unidad es el metro (m) establecido por la misión geodésica francesa como la millonésima parte de un cuadrante de meridiano terrestre. Antes de adoptar al metro como medida, los antiguos usaban manos, brazos, dedos, pies, etc. como medidas convencionales para determinar distancias. Estas medidas nacieron a partir de la necesidad del hombre para relacionarse con su medio.

Múltiplos del metro:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

KilómetroHectómetroDecámetro

KmHmDm

1000 m100 m10 m

103 m102 m101 m

Submúltiplos del metro:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

decímetrocentímetromilímetro

dmcmmm

0,1 m0,01 m

0,001 m

10-1 m10-2 m10-3 m

Relación de las medidas de longitud del SI con el SBUNIDAD SB SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB

PulgadaPieYardaVara Milla TerrestreMilla Marina

pulgpieydvamimi

2,54 cm30,48 cm91,00 cm84,00 cm

1609,00 m1853,00 m

12 pulg3 pie

2,76 pie5280 pie6080 pie

La longitud de este bolígrafo es de 14 cm, expresarlo en mm, pulg y pies.Para este efecto nos valemos del factor unitario de conversión.

Experimentemos convirtiendo en mm y en pulg:

2

Grabemos en la mente estas equivalencias…!

PRACTIQUEMOS CONVERSIONES

1 yarda

1 pie

1 pulg

Previamente observemos una regla y tomemos en cuenta lo siguiente:

1. ¿Cuántos mm tiene 1 cm?2. Cuenta los mm hasta completar los 14 cm3. Compara los cm con las pulg.4. Luego procede al cálculo numérico.

14 cm en mm se resolverá: 14 cm en pulg se resolverá: 14 cm en pies se resolverá:

El factor unitario resulta de: El factor unitario resulta de: Los factores unitarios resultan de:

1 cm = 10 mm 1 pulg = 2,54 cm 1 pulg = 2,54 cm yEntonces 14 cm = 140 mm Entonces 14 cm = 5,512 pulg 1 pie = 12 pulg

Entonces 14 cm = 0,459 pies

1. Midiendo en cm el largo y el ancho de un objeto plano.2. Expresando cada medición en seis medidas de longitud del

SI y en seis del SB.

ANOTACIONES AUXILIARES:

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1.2. MEDIDAS DE TIEMPO:

En realidad el tiempo no existe, es una invención del hombre, inspirado en los movimientos de la tierra. Este invento ha permitido a los humanos ubicarnos en el cosmos, relacionando con otras medidas para dominar el espacio terrestre y extraterrestre. La unidad funda-mental es el segundo (s).

3

EXPERIMENTA


Unidades de tiempo

UNIDAD SÍMBOLO EQUIV. UNIDAD SÍMBOLO EQUIV.1 mileño1 siglo1 década1 lustro1 año común1 año bisiesto1 año comercial

MileñoSigloDécadaLustroAño comúnAño bisiestoAño comercial

1000 años 100 años10 años5 años365 días366 días360 días

1 mes1 semana1 día1 hora1 minuto1 segundo

MesSemanaDíahmins

30 días7 días24 horas60 min60 s1 s

Alicia comenzó a cepillarse los dientes a las 10h00, cuando terminó, el reloj marcaba la hora que observamos. Determinar ese tiempo transcurrido en min, s, h y días.

Para satisfacer las propuestas procederemos observando el reloj:

1. Han transcurrido 8 min con 33,25 s2. Convirtamos todo en min, así:

Ahora tenemos: 8 min + 0,5442 min = 8,5442 min.

8,5442 min en s será:

(Utilizando el mismo factor unitario del cálculo anterior)

8,5442 min en h será:

0,1424 h en días serán:

1. Calculando tu edad hasta la presente fecha, en años, meses y días.

2. Convirtiendo todo en solo: siglos, décadas, lustros, años, meses, Semanas, días, horas, minutos y segundos.


4

El factor unitario viene de: 1 min = 60 s

El factor unitario viene de: 1 h = 60 min

El factor unitario viene de: 1 día = 24 h

EXPERIMENTA


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1.3. MEDIDAS DE SUPERFICIE.

Llamamos superficie a toda forma plana limitada por segmentos rectos o curvos, en efecto tendríamos superficies cuadradas, rectangulares, triangulares, trapezoidales, romboidales, poligonales, circulares, ovoideas, etc. Estas formas tienen unidades de medidas, definidas por las áreas. Se derivan de las medidas de longitud, calculando el cuadrado de cada una. Su unidad es el metro cuadrado (m2)

Múltiplos del metro cuadrado:

UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIAKilómetro cuadradoHectómetro cuadradoDecámetro cuadrado

Km2

Hm2

Dm2

1000000 m2

10000 m2

100 m2

106 m2

104 m2

102 m2

Submúltiplos del metro cuadrado:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

decímetro cuadradocentímetro cuadradomilímetro cuadrado

dm2

cm2

mm2

0,01 m2

0,0001 m2

0,000001 m2

10-2 m2

10-4 m2

10-6 m2

Relación de las medidas de superficie del SI con el SBUNIDAD SB SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB

Pulgada cuadradaPie cuadradoYarda cuadradaVara cuadrada

pulg2

pie2

yd2

va2

6,4516 cm2

929,0304 cm2

8281,00 cm2

7056,00 cm2

144 pulg2

9 pie2

7,6176 pie2

5



Si cada equivale a 1 m2, determinar esta superficie en: Km2, cm2, pulg2, pie2.

En respuesta a lo planteado será:

16 m2 en Km2: 16m2×1Km2

10000000m2 =0,0000016Km2

16 m2 en cm2: 16m2×10000cm2

1m2 =160000cm2

16 m2 en pulg2: 16m2×10000cm2

1m2 ×1 pulg2

6,4516 cm2 =24800,05 pulg2

16 m2 en pulg2: 16m2×10000cm2

1m2 ×1 pulg2

6,4516 cm2 ×1 pie2

144 pulg2 =172,223 pie2

1. Calculando el área de tu dormitorio en m2.2. Convirtiendo en: Hm2, Dm2, dm2, mm2, yd2, va2.


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1.4. MEDIDAS AGRARIAS.

Las medidas agrarias, inspiradas en las de superficie, son las que se usan exclusivamente para terrenos en el agro, considerando a las extensiones agrícolas como planas. Su unidad es el área (a).

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EXPERIMENTA

Múltiplo del área:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

Hectárea ha 10000 m2 104 m2

Submúltiplo del área:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

Centiárea ca 1 m2 100 m2

Otras medidas:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB

CuadraÁrea a

10000 va2

100 m2104 va2

102 m2

Si cada equivale a ha, determinar esta superficie en: m2, a, ca.

En respuesta a lo planteado será:

25 ha en m2: 25ha×10000m2

1ha=250000m2

25 ha en a: 25ha×10000m2

1ha×

1ca1m2 =250000ca

25 ha en ca: 25ha×10000m2

1ha×

1a100m2 =2500a

25 ha en cuadras: 25ha×10000m2

1ha=160000m2

1. Calculando el área del solar de tu casa en m2.2. Convirtiendo en: ha, a, ca, cuadras.


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EXPERIMENTA


1m 1m

1m

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1.5. MEDIDAS DE VOLUMEN.

Usualmente las grandes cantidades de líquidos se expresan en medidas cubitales, la unidad de medida es el metro cúbico (m3), que es un cubo cuya arista mide un metro. Como todo líquido adopta la forma del recipiente que lo contiene, en algunos no notaremos las medidas cúbicas, pero será posible su cálculo con fórmulas apropiadas para el efecto. Las medidas de volumen resultan de las de longitud, calculando la potencia cúbica de cada una.

Múltiplos del metro cúbico:

UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIAKilómetro cúbicoHectómetro cúbicoDecámetro cúbico

Km3

Hm3

Dm3

1000000000 m3

1000000 m3

1000 m3

109 m3

106 m3

103 m3

Submúltiplos del metro cúbico:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

decímetro cúbicocentímetro cúbicomilímetro cúbico

dm3

cm3

mm3

0,001 m3

0,000001 m3

0,000000001 m3

10-3 m3

10-6 m3

10-9 m3

Relación de las medidas de volumen del SI con el SBUNIDAD SB SÍMBOLO EQUIVALENCIA SI EQUIVALENCIA SB

Pulgada cúbicaPie cúbicoYarda cúbicaVara cúbica

pulg3

pie3

yd3

va3

16,3871 cm3

28316,847 cm3

753571 cm3

592704 cm3

1728 pulg3

27 pie3

21,0246 pie3

Observando el contenido de agua en la piscina, notaremos un volumen de 450 m3, expresemos en Dm3, dm3 y pulg3.

Entonces estas conversiones serán:

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450 m3 en Dm3:

450m3×1Dm3

1000m3 =0,45Dm3

450 m3 en dm3:

450m3×1000 dm3

1m3 =450000dm3

450 m3 en pulg3:

450m3×1000000cm3

1m3 ×1 pulg3

16,3871cm3 =27460792,091 pulg3

1. Calcula el volumen de agua que contiene la cisterna de tu casa o de alguna que tú conozcas, en m3.

2. Expresa en Hm3, cm3, mm3, pie3, yd3, va3.


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1.6. MEDIDAS DE CAPACIDAD.

Las medidas de capacidad también nos determinan la cantidad de líquido en un recipiente, a diferencia de las de volumen, la unidad es el litro (l). Un litro equivale a 1 dm3.

Múltiplos del litro:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

Kilolitro Kl 1000 l 103 l

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EXPERIMENTA

1 litro


1 dm3=

HectolitroDecalitro

HlDl

100 l10 l

102 l101 l

Submúltiplos del litro:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

decilitrocentilitromililitro

dlclml

0,1 l0,01 l

0,001 l

10-1 l10-2 l10-3 l

Otras medidas de capacidad

Recordemos con la figura a esos viejos tanques cilíndricos de hierro que sirven para almacenar aceite lubricante para vehículos. Asumiremos como 40 galones su contenido, pues ahora expresemos en l, dl y pintas.

40 galones en l serán:

40 galones×3,785 l1galón

=151,4 l

40 galones en dl serán:

40 galones×3,785 l1galón

×10dl

1 l=1514dl

40 galones en pintas serán: 40 galones×3,785 l1galón

×1dm3

1l×

1000cm3

1dm3 ×1 pinta

473,2cm3=319,949 pintas

1. En los diferentes supermercados venden aceite comestible en frascos de 2 l2. Conviértelos en Dl, cl, ml, dm3, cm3 y galones.

ANOTACIONES AUXILIARES:……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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EXPERIMENTA

UNIDAD EQUIVALENCIAGalónPintaOnza fluida

3,785 litros473,2 cm3

29,57 cm3

1.7. MEDIDAS DE MASA.

Las unidades de masa determinan la cantidad de sustancia que tiene un cuerpo, su unidad es el gramo (g) y el instrumento donde se mide la masa es la balanza, desde una cacera hasta la más sofisticada.

Múltiplos del gramo:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

Tonelada MétricaQuintal MétricoKilogramoHectogramoDecagramo

TmQmKgHgDg

1000000 g100000 g

1000 g100 g

10 g

106 g105 g103 g102 g101 g

Submúltiplos del gramo:UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA POTENCIA

decigramocentigramomiligramo

dgcgmg

0,1 g0,01 g

0,001 g

10-1 g10-2 g10-3 g

Otras medidas de masa

El tráiler que muestra la figura lleva 350 qq de cemento para una obra civil en ejecución, expresemos este contenido en: Kg, Qm, @.

350 qq en Kg serán:

350qq×100 lb1qq

×1Kg2,2lb

=15909,091Kg

350 qq en Qm serán:

350qq×100 lb1qq

×1Kg2,2lb

×1Qm

100Kg=159,091Qm

350 qq en @ serán:

350qq×4@1qq

=1400@

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EXPERIMENTA

UNIDAD SÍMBOLO EQUIVALENCIA SB

Tonelada Kilogramo QuintalArrobaLibra

Onza

Ton Kgqq@Lb

onz

20 qq2,2 lb100 lb25 lb16 onz454 g28,35 g

1. Piensa en cuántos qq de arroz puede cargar un camión pequeño, hablemos de un 350.

2. Esa masa que supones, exprésalo en: Tm, Hg, dg, @, lb, onz.


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2. UNIDAD II

ELEMENTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA

2.1. DEFINICIÓN DE PUNTO, LÍNEA Y PLANO.PUNTO: es el mínimo elemento de la geometría, carente de dimensiones, es decir no tiene espesor (largo, ancho, altura ni profundidad). Encontramos la idea de punto en el lugar geométrico donde se interceptan dos o más líneas. Un punto se puede denotar con un número o con una letra de imprenta mayúscula (según norma del dibujo técnico).

LÍNEA: está concebida como la sucesión de puntos, el movimiento de un punto en una dirección determinada, etc. La línea puede clasificarse en dos grandes grupos: rectas y curvas, su notación se hace con letras minúsculas. Centrémonos en la primera clase y encontraremos entre otras las siguientes:

a) Por la relación:12

A P

1

a

r

t

m

β

α

b) Por el sentido:

c) Por la extensión:Recta: Sucesión infinita de puntos que siguen una misma dirección. No conocemos el punto inicial ni el final, representándose como se indica en los gráficos:

Semirrecta: Porción de recta en la que conocemos el punto inicial pero no el final, representándose como se indica en los gráficos:

Segmento de recta: porción de recta definida por dos puntos. Conocemos el punto inicial y el punto fi-nal, como se indica en los gráficos:

PLANO: es una superficie lisa que posee dos dimensiones (largo y ancho), contiene infinitos puntos y rectas. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos:

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Paralelas

Dos o más rectas que siguen una misma dirección.

Perpendiculares

Dos rectas que se cortan, formando ángulos rectos.

Horizontales

Es la idea que tenemos de las rectas que no tienen inclinación. Como ejemplo vemos en el nivel que se usa en la construcción.

Verticales

Es la idea que tenemos de las rectas que no tienen inclinación. Como ejemplo vemos la plomada que se usa en la construcción.

Inclinadas u oblicuas

Es la idea que tenemos de las rectas que tienen inclinación. Como ejemplo vemos en una escalera.

TQ

A

C

B

M

P

x

S

P

y z

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

B

A

C

β

R

S

T

ΩO

B

A

CR

Tres puntos no alineados (una figura geomé-trica cualquiera). Una recta y un punto exterior a ella. Dos rectas paralelas. Dos rectas que se cortan.

Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

2.2. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO.

Para comprender a cabalidad estos conceptos necesitamos escuadras, como las que se muestran en la figura de la izquierda.

1. Trazando rectas paralelas, en cualquier sentido, usando las escuadras (como muestra la ilustración inferior

izquierda de la pág. anterior).2. Trazando perpendiculares, con las escuadras, ¿Cómo lo haría?, siga instruc-

ciones que dé el profesor.

2.3. ÁNGULO.La definición básica de ángulo está conceptualizada como la abertura comprendida entre dos rectas, pero mirando en el sistema de coordenadas es el la rotación de una semirrecta, en sentido contrario a las manecillas del reloj, haciendo eje en su origen, sobre el plano cartesiano. Usualmente se denota con una letra griega o una letra mayúscula acompañada del símbolo , su unidad de medida es el grado (°) y el instrumento con el que medimos los ángulos es el graduador. Hay medidas menores que el grado: el minuto y el segundo

RST β Ω

Midiendo los ángulos de la figura anterior.

14

PRACTIQUEMOS

PRACTIQUEMOS

1° = 60’ (60 minutos)1’ = 60’’ (60 segundos)

http://es.wikipedia.org/wiki/Paralelismo_(matem%C3%A1tica)

Construyendo ángulos de 45°, 60°, 75°, 105°.

2.4. CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS POR SU ABERTURA.

2.5. ÁNGULOS POR DIFERENCIA DE GRADOS.

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Nulo

0°

No hay abertura, mide 0°.

Agudo

Tiene una abertura > 0° y < 90°.

Recto

Su abertura, mide 90°.

Obtuso

Tiene una abertura > 90° y < 180°.

Llano

Tiene una abertura = 180°.

Complementarios

Los ángulos que faltan para completar 90°.

Suplementarios

180° 0°

Los ángulos que faltan para completar 180°.

O

EXPERIMENTA

Correspondientes

Son opuestos por el vértice y tiene las mismas medidas entre sí.

x y

xy

x y

xy

Alternos internos

Están entre dos paralelas, interiormente.

xy

x y

x y

xy

Alternos externos

Están entre dos paralelas, exteriormente.

2.6. ÁNGULOS POR LA RELACIÓN CON OTROS ÁNGULOS.

2.7. OPERACIONES BÁSICAS CON ÁNGULOS.

Entre dos o más ángulos pueden establecerse operaciones entre sí, de manera natural, sea suma, resta, multiplicación o división. Primeramente debemos familiarizarnos con la correspondencia entre grados y radianes, así:

La circunferencia está dividida en 360 partes llamadas grados: c=360 °

La longitud de la circunferencia se calcula por la fórmula: c=2 rπ porque está comprobado que el valor de π es la razón entre la longitud de la circunferencia y su diámetro.

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Consecutivos

Están en el mismo plano, tienen el mismo vértice y un lado en común.

Adyacentes

Son consecutivos sobre una misma recta.

De done: 360 °=2 πr (r se convierte en radianes, del radio de la circunferencia)

En consecuencia: 360 °=2 π radianes (2πR)

Por lo tanto: 1 radián=57 °1 7' 45 ' '

Convirtamos 1 R en grados.

17'×1°

60'=0,283 ° 4 5' '×

1°

360 0' '=0,0125 °

Finalmente la sumatoria: 57° + 0,283° + 0,0125° = 57,298°

Entonces: 1 R = 57,298°

1. Observa: la inclinación del eje de la tie-rra con

respecto a la órbita (23,5°).

2. Calcula el complemento y el suplemento de dicho valor.

3. Expresa todos los valores calculados en radianes.


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A continuación estudiemos las operaciones entre los ángulos:

Suma:

La suma de dos ángulos resulta otro ángulo cuya amplitud de giro corresponde al total de las amplitudes de los dos ángulos iniciales. Gráficamente demostramos así:

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EXPERIMENTA

RESPUESTAS:Grados: 76° + 1° = 71°Minutos: 10’ + 1’ = 11’Segundos: los 31’’ sobrantes.Entonces: 71° 11’ 31’’

RESPUESTAS:Grados: 72° + 1° = 73°Minutos: 18’ + 1’ = 19’Segundos: los 3’’ sobrantes.Entonces: 73° 19’ 3’’

37°28’56’’ + 39°42’35’’76°70’91’’

Los 91’’ en minutos:91 6031 1entonces 1’ más.

Los 70’ en grados:70 6010 1entonces 1° más.

α β

α – β =

37°58’36’’ – 28°46’25’’09°12’11’’

α β

3α = β

24°26’21’’ × 372°78’63’’

Numéricamente colocamos grados bajo grados, minutos bajo minutos y segundos bajo segundos; luego ope-ramos de manera na-tural, como se mues-tra en el recuadro ad-junto.

Nótese que los minutos y los segundos resultan más de 60, por lo que se hace necesario hacer las conversiones siguientes:

Resta:

La resta es la diferencia entre dos amplitudes, de la de un ángulo mayor y la un ángulo menor.Gráficamente demostramos así:

La colocación es idéntica que en la suma; luego operamos de manera natural, como se muestra en el recuadro adjunto.

En el resultado de la resta no ocurre lo mismo que en el de la suma, la operación termina ahí. Multiplicación:

Aquí notaremos la suma de un mismo ángulo, tantas veces.Gráficamente demostramos así:

Numéricamente observamos la operación natural, cada parte por el mismo multiplicador, según se demuestra en el recuadro:

Ahora volvemos a operar como en la suma:

18

Los 63’’ en minutos:63 60 3 1entonces 1’ más.

Los 78’ en grados:78 6018 1entonces 1° más.

αβ

β ÷3 = α

División:

Contrariamente a la multiplicación, dividir un ángulo implica seccionar en parte iguales según se requiera, esto se demuestra gráficamente así:

Numéricamente vamos a demostrar parte por parte:Por Ej.: dividir 47º 38' 48'' entre 4.Operemos con los grados:47° 407 11° 3 estos grados sobrantes convertidos en minutos sumamos a los 38’: 180’ + 38’ = 218’Ahora operamos con los minutos:

218’ 4018 54’ 2 estos minutos sobrantes convertidos en segundos sumamos a los 48’’: 120’’ + 48’’ = 168’’

Finalmente operamos con los segundos:168’’ 4 08 42’ 0En consecuencia la respuesta será: 11° 54’ 42’’

Sean los ángulos:A = 33° 56’ 7’’ B = 41° 46’’ C = 22° 38’ D = 16°E = 46’ 56’’ 16’’ F = 39° 28’ G = 72° 24’’ H =

57’

Resuelve las operaciones: A + B – G 5(A – C) 3(D + H)C+G

6

A+F

3

B−F2


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EXPERIMENTA

F

E

A

C

B

D

1 23

6

4

578

l3

l1

l2

1 2

3

6

4

5

7

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2.8. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS Y UNA SECANTE.

Las dos ilustraciones muestran dos rectas cortadas por una secante, en la figura izquierda las rectas no son paralelas, en la de la derecha las rectas son paralelas. En los dos casos apreciamos 8 ángulos, los mismos que ya los estudiamos en tratados anteriores, a recordar:

Ángulos correspondientes tienen la misma ubicación en ambos grupos de 4 ángulos. Así, son correspon-dientes los pares de ángulos: 1-5; 2-6; 3-7; 4-8.

Ángulos alternos externos están ubicados por fuera de las rectas y a distinto lado de la secante. Entonces, son alternos externos los pares de ángulos: 1-7 y 2-8.

Ángulos alternos internos están ubicados por dentro de las rectas y a distinto lado de la secante. Por lo tanto, son ángulos alternos internos los pares de ángulos 3-5 y 4-6.

Si las rectas paralelas cortadas por la secante, se nota que los ángulos correspondientes tienen igual medida, al igual que los ángulos alternos internos y alternos externos. En resumen, para el caso de rectas paralelas cortadas por una secante los ángulos 1-3-5-7 son iguales entre sí, de igual manera los ángulos 2-4-6-8.

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β

α

c

b a

LADOS: a, b, c.ANGULOS: A, B, C.VÉRTICES:A, B, C.

A

B

C

ZONA INTERIOR

ZONA EXTERIOR

ZONA EXTERIOR

ZONA EXTERIOR

3. UNIDAD III

TRIÁNGULOS

3.1. DEFINICIÓN.

Si observamos tres puntos en el plano o en el espacio, no colineales, unidos entre sí con segmentos de recta, nos damos cuenta que estamos reduciendo al plano a una porción pequeña, que la llamaremos triángulo.

Inicialmente la concebimos como una figura geométrica limitada por tres segmentos de recta, esto nos muestra más adelante que tiene tres ángulos, tres lados y tres vértices.

Más adelante conoceremos y estudiaremos exclusivamente sus elementos.

3.2. ELEMENTOS.

Las definiciones básicas sobre triángulo nos permiten observar los principales elementos a saber:

Vértices: puntos donde se cortan los lados, denotados por letras mayúsculas (A, B, C).

Ángulos: aberturas entre los lados, denotados por las letras del vértice (A, B, C).

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A

B

C

a c

b

r

P

P

a

c

b

A

B

C

b

ac

P

A

B

C

Pa

c

b

A

B

C

A

C

B

A’

D

C’

B’

D’

m n

r1

r2

r3

r4

Lados: segmentos de recta que marcan los límites del triángulo, denotados por las letras minúsculas de sus ángulos opuestos (a, b, c).

Zona interior: la superficie interna plana limitada por los segmentos de recta.

Zona exterior: la superficie externa plana, a partir de los límites del triángulo, infinita en extensión.

3.3. LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO.

Los elementos estudiados son los básicos para todo cálculo en un triángulo, existiendo otros que nos per-mitirán entender mejor los diferentes teoremas. Estas líneas y puntos se ilustran así:

Mediatrices: son las rectas perpendiculares que pasan por los puntos medios de cada lado del triángulo (a, b, c). Éstas se interceptan en un punto (P) llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia en la que se inscribe el triángulo. Observando la figura apreciamos que el radio r equivale a PB, PA, PC, o sea r = PB = PA = PC.Bisectrices: son las rectas que pasan por los vértices del triángulo, dividiendo en dos partes iguales a los ángulos respectivos (a, b, c). Éstas se interceptan en un punto (P) llamado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo. Cada lado es tangente a la circunferencia.

Alturas: son los segmentos perpendiculares (a, b, c) a cada lado o su prolongación, provenientes del vértice opuesto. Éstos se interceptan en un punto (P) llamado ortocentro. Con cualquier altura y la base a la que se dirige, podemos establecer la fórmula para calcular el área del triángulo, tomando en consideración que es la mitad de un cuadrilátero.

Medianas: son los segmentos (a, b, c) que unen cada vértice con el punto medio de su lado opuesto. Éstos se interceptan en un punto (P) llamado baricentro, este punto es el punto de equilibrio del triángulo.

1. Realizando los trazos de las 4 líneas notables en un mismo triángulo, primero en uno escaleno, luego en un equilátero y después en un isósceles.

2. Analizando la ubicación de los puntos de intersección en cada clase de trián-gulo.

(la experiencia desarrollarla en hojas de dibujo)

3.4. TEOREMA DE THALES.

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EXPERIMENTA

A

B

C

D EF G

B

D E A

B

C

B

F G

3 dm

5,4 dm

2,5 dm x

Hace la relación básica para obtener las propie-dades fundamentales de la semejanza de triángulos.

Según este teorema, una familia de rectas paralelas, r1, r2, r3, r4,…, que cortan a dos rectas concurrentes, m y n, determinan en ellas segmentos proporciona-les, así:

ABA ' B '

= BCB' C '

= CDC ' D '

= ADA ' D'

=k

A esto llamamos proporcionalidad de segmentos, es decir que cada razón será el mismo valor, resultando una constante a la que denominamos k.

En el triángulo ABC se ha trazado los segmentos DE y FG para-lelos a la base AC, de donde establecemos separaremos tres triángulos semejantes por establecerse el Teorema de Thales entre sus lados y las igualdades entre

ángulos así:

A = D = F C = E = G

De donde la semejanza entre triángulos establecemos así:

Δ ABC ≈ Δ DBE ≈ Δ FBG por cuanto: FBDB

=DBAB

=BGBE

=BEBE

=FGDE

=DEAC

=k

Aplicando la semejanza de triángulos en el cálculo de x en el gráfico:

2,5dm3dm

= x5,4dm

x=2,5dm×5,4dm3dm

=13,5dm3

=4,5 dm

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PRACTIQUEMOS

5 cm 5 cm

7,071 cmA

B

C45°45°

90°

1. Diseñando un caballete para montar un tablero con trabajos de exposición.

2. Demostrando a que distancias colocarás los pernos que sujeten las piezas.


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3.5. PROPIEDADES GENERALES.

Entre las propiedades generales de los triángulos estudiaremos tres principales:

La suma de dos lados menores de un triángulo siem-pre es mayor que el mayor de

los lados.

5 cm + 5 cm > 7,071 cm, generalizando esto:

AB + BC > AC

La suma de los tres ángulos internos de un triángulo es 180°.

45° + 45 + 90° = 180° generalizando esto:

A + B + C = 180°

Un ángulo externo es igual a la suma de los dos ángulos internos no adyacentes.

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EXPERIMENTA

A=45°

B90°

C=45° D=135°

(Hipotenusa)2 (Cateto)2

3

4

5

135° = 45° + 90° generalizando esto:

D =

A + B

Los ángulos A y B no son adyacentes con en ángulo C

1. Trazando tres triángulos (un equilátero, un isósceles y un escaleno) sobre me-didas en lados y ángulos.

2. Demostrando cada propiedad, matemáticamente.


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3.6. TEOREMA DE PITÁGORAS.

Pitágoras de Samos, filósofo y matemático griego, sostenía que la esencia de las cosas estaba en los núme-ros. Estudiando el triángulo rectángulo demostró que “El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”, que gráficamente podemos representar así:

Esto nos conlleva a aplicar este principio en todo triángulo rectángulo.

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EXPERIMENTA

PRACTIQUEMOS

mn

o

En el triángulo:

El Teorema de Pitágoras será:

o2 = m2 + n2

1. Trazando tres triángulos rectángulos.2. Midiendo los lados.3. Demostrando en Teorema de Pitágoras en cada uno.

3.7. DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

El teorema de Pitágoras nos transporta al sistema de coordenadas para establecer la distancia entre dos puntos en el plano.

Desarrollemos juntos la fórmula en base al gráfico:


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EXPERIMENTA

P2(x2,y2)

P1(x1,y1)

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Matemátic..

Education

Transcript of Matemátic..