Matemáticas

UNIDAD 2

Presentado por: Britton

Grado 5to.2013

Potenciación

La potenciación es la operación que permite hallar el producto de factores iguales.

Sus elementos son la base, el exponente y la potencia

La potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe en y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la n» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n. Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo. Nótese que en el caso de la potenciación la base y el exponente pueden pertenecer a conjuntos diferentes, en un anillo totalmente general la base será un elemento del anillo pero el exponente será un número natural que no tiene porqué pertenecer al anillo. En un cuerpo el exponente puede ser un número entero o cero.

Resuelve así:

Paso 1

Plantea la potencia indicada

Como el ancho, el largo y la altura del cubo tiene 4 cubitos cubitos debes multiplicar 3 veces a 4. Entonces, la base es 4 y el exponente es 3.

3 veces

4X4X4: 43: exponente

Base

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

X1 = x

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x•x0. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x0=1.

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 00, en principio, no está definido. Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vació o simplemente por analogía con el resto de números.

Paso 2

Resuelve la multiplicación

4x4x4: 64

Escribe en forma de potencia.

43 = 64 POTENCIA

El cubo de rubio tiene 64 cubitos

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las siguientes:

Potencia de potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la multiplicación de los primeros exponentes.

Multiplicación de potencias de igual base

La multiplicación de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los mismos exponentes.

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Actividad

2:2x2x2:23

4x4x4x4x4: 45

9x9x9x9x9x9: 96

7x7x7x7x7: 75

5x5: 52 3x3x3x3x3x3x3: 37

En la bola de bolo hay los siguientes números que son:

16, 625, 343, 81, 64,32.

Responde:

42:16

54:625

73:343

82:64

25:32

82:16

92:81

3-completa la tabla

producto base exponente Potencia indicada

Valor de la potencia

4x4 4 2 42 16

3x3x3x3 3 4 34

2x2x2x2x2 2 5 25 32

Lee la información luego resuelve.

El cuadrado de un número es el resultado de multiplicar ese número por sí mismo.

72: 7x7: 49

Se lee: 7 al cuadrado es igual al 49.

152:15x15: 225

62: 6x6: 36

182 18x18: 324

102 10x10: 100

6-lee el problema y resuelve

Joaquín compro un lote de forma cuadrada que mide 18 metros de lado ¿cuál es el área del lote?

El área del lote 324 metros cuadrados.

182:324

7-lee la información y resuelve

El cubo de un número es el resultado de multiplicar el número por sí mismo tres veces.

6x6x6: 63: 216

Se leer: 6 al cubo es 216

1x1x1:13: 1

8x8x8: 83:512

9x9x9:93: 729

13x13x13:133: 2197

10- lee la información.

POTENCIAS DE BASE DIEZ

Potencias de base 10 Producto Número

102 10 x 10 100 Cien

103 10 x10 x 10 1000 mil

10 4 10 x10 x 10 x 10 10000 diez mil.

Relación entre el exponente y la cantidad de ceros en la potencia.

El exponente me indica la cantidad de ceros que hay en la potencia

107: 10x10x10x10x10x10x10

10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10: 10.000.000.000

RADICACION

La radicación es la operación que consiste en buscar un número que multiplicado, por sí mismo una cantidad de veces, resulte otro número determinado.

Así si tenemos un número A y deseamos hallar su raíz B, consistiría en buscar un número C, que cumpliera la condición de que CxCxCxC......etc. B veces=A; que puesto de otra forma C^b=A.

Se ve fácilmente que radicar es una operación inversa de la potenciación, donde se da el total y el exponente y se quiere hallar la base.

Otra operación inversa de la potenciación es la logaritmación, donde dado un total y la base se desea hallar el exponente.

1-une con una línea cada radicación y raíz con su respectiva justificación.

Radicación raíz Justificación

√492

7 Porque 72es: 49

√9 3 Porque 32 es 9

√2564

8 Porque 83 es 256

√4 2 Porque 22 es 4

√6254

5 Porque 5””4 es 625

3-

Potencia Indicada Potencia Radicación Raíz

23 8 √83

2

34 81 √814

3

63 216 √2163

5

53 125 √1253

6

105 100.000 √1000005

10

4-encuentra cada raíz. Luego enciérrala en la sopa de letras.

√164

=2

√273

=3

√100004

=10

√1253

=5

√212=12

√2163

=6

1-Dos

2-Tres

3- Diez

4-Cinco

5-Doce

6-Seis

5- Lee la información.

Para calcular la raíz cuadrada de un número se comienza separando el

número en grupos de dos cifras, empezando por la derecha

Por ejemplo: 5560164 lo separaríamos 5'56'01'64

2- A continuación se calcula un número entero que elevado al cuadrado

sea igual (o lo más próximo al número del primer grupo, empezando por la

izquierda).

En nuestro ejemplo el primer número es 5 y el número entero que elevado

al cuadrado se acerca más a 5 es 2. 2 es la primera cifra de la raíz.

3- después se eleva al cuadrado esta cifra y se resta del número del primer

grupo

En nuestro ejemplo 22 = 4 y restándolo del número del primer grupo que es

5, sale 5 -4 = 1

4- A continuación ponemos al lado del resto anterior el número del

siguiente grupo

En nuestro ejemplo nos quedaría 156

5- después multiplicamos por 2 el número que hemos calculado hasta el

momento de la raíz.

En nuestro ejemplo seria 2 * 2 = 4

6- A continuación tenemos que buscar un número que multiplicado por el

número que resulta de multiplicar por 10 el número anterior y sumarle el

número que estamos buscando se acerque lo más posible al número que

tenemos como resto. Ese número será el siguiente número de la raíz.

En nuestro ejemplo el número seria 3 porque 43 * 3 = 129 que es el número

que se aproxima más a 156 y la raíz seria 23...

7- Ahora tenemos que volver a calcular el resto restando el número

obtenido del que queríamos obtener realmente.

En nuestro ejemplo: 156 - 129 = 27

8- A continuación repetimos el paso 4, esto es, ponemos al lado del resto

anterior el número del siguiente grupo

En nuestro ejemplo: 2701

9- A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo: 23 * 2 = 46

10- después repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 5 porque 465 *5 = 2325 que es el

número que se aproxima más a 2701 y la raíz seria 235...

11- después repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 2701 - 2325 = 376

12- A continuación repetimos el paso 8

En nuestro ejemplo: 37664

13 A continuación repetimos el paso 5

En nuestro ejemplo seria 235 * 2 = 47

- A continuación repetimos el paso 7

En nuestro ejemplo: 37664 - 37664 = 0 En este caso la raíz es exacta pues el

resto es cero.

Cálculo de raíces cuadradas por aproximaciones sucesivas

Este método se debe a Newton

Si conocemos una aproximación de la raíz, podemos calcular una

aproximación mejor utilizando la siguiente fórmula:

ahí = 1/2(ai-1 + A/ai-1)

Por ejemplo, para calcular la raíz cuadrada de 5, podemos partir de la

aproximación 2, entonces:

a1 = 2

a2 = 1/2(2 + 5/2) = 2,250

a3 = 1/2(2,250 + 5/2,250) = 2,236

A continuación repetimos el paso 6

En nuestro ejemplo el número seria 8 porque 4708 * 8 = 37664 que es el

número que se aproxima más a 37664 y la raíz seria 2358

Completa.

V 16 = 4 se lee raíz cuadrada de 16 es 4 porque 4”” 2: 16.

V 36= 4 se lee raíz cuadrada de 36 es 6 porque 6””2= 36.

V 49=7 se lee raíz cuadrada de 49 es 7 porque 7””2=49.

V 100= 10 se lee raíz cuadrada de 100 es 10 porque 10””2 = 100.

V 81 9 se lee raíz cuadrada de 81 es 9 porque 9””2=81.

V 169= 13 se lee raíz cuadrada de 169 es 13 porque 13””2=169.

fecha y hora 2013-06-29 21:07:47

6- lee la siguiente información. Luego, resuelve

El ajedrez es un antiguo juego originado en la india. Se juega en un tablero

de forma cuadrada con 64 casillas cuadradas de colores negro y blanco,

alternados.

-Encuentra el número de casillas que tiene una fila del tablero del ajedrez

mediante una operación mediante una operación de radicación.

2

V 64= 8

7-lee la información. Luego completa.

Cuando el índice en una radicación es 3, se lee raíz cubica.

3

V 125= 5

Se lee: raíz cubica de 125 es igual a 5.

3

V 343= 7 se lee raíz cuadrada de 343 es 7.

3

V 512= 8 se lee raíz cuadrada de 512 es 8.

3

V 1331=11 se lee raíz cubica de 1331 es 13.

8-lee la información. Luego resuelve.

Las operaciones combinadas se resuelven así:

1º.- Primero se realizan las operaciones incluidas entre paréntesis. Si hay

paréntesis incluidos en otros, se empieza resolviendo los más interiores.

- Para poder sumar o restar dos números deben estar sueltos, no podemos

sumar dos números si uno de ellos está unido por el otro lado a otra

expresión mediante un signo de multiplicar o dividir. Por esto,

2º.- En segundo lugar se resuelven las potencias y raíces

3º.- A continuación los productos y cocientes y...

4º.- Por último, las sumas y las restas.

Completa.

5””2+ 4- v 9* 3

V 8

Desarrollo

5””2+ 4- v 9* 3

V 8

25 + 4 – 3 *2

25 + 4 - 6

29 - 6

24

Desarrollo 2

2- 4* 3””2 – v 4 +2

V 16

2 x 9- 2 + 2

18 - 2+ 2

16 + 2= 18

Desarrollo 3

3- 2””2x 6 +4 + 3

V 27

4 x 6 +4 + 3

24 +4 + 3

28 + 3= 31

Desarrollo 4

4- 3 + 9””2- 5

V 125 V 243

5 + 81 - 3x 25

5+81 - 75

86 - 75

11

Desarrollo 5

8””2/2+ V100 III UJU HH

64 / 2 + 1

32 + 10

42

Desarrollo 6

4- + 10””3

V 625 V 256

5 - 4 1000

1 + 1000

1001

Desarrollo 7

6””2 x5- 3 x 2””3

V 729

36 x5 9 x 8

180 - 72

108

Desarrollo 8

4 + 10”2+ 100x 1000

V 10000 + 10””2+ 100x1000

10 100 100.000

110 + 100.000

100.110

LOGARITMACIÓN

La Logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y

argumento respectivamente, que se define como sigue: (lo hacemos mediante ejemplo para

que puedas entenderlo)

log 2 8 = 3 pues 23 = 8

log 4 16 = 2 pues 42 = 16

log 6 1 = 0 pues 60 = 1

log 16 ¼ = -1/2 pues 16-1/2 = ¼

Actividad

1-Une cada logaritmo con su respectiva lectura.

Logaritmación Respectiva Justificación

Log 64= 3

4

Logaritmo en base 4 de 64 es 3

Log 16= 4

2

Logaritmo en base 2 de 16 es 4.

Log 64=2

8

Logaritmo en base 8 de 64 es 2

Log 16= 2

4

Logaritmo en base 4 de 16 es 2.

Pinta del mismo color las operaciones de potenciación, radicación y logaritmación que se

relacionen.

2- 5””3:125 b- 10””4: 10000 C- 9”3: 729 D- 4”2=16

Primer fila: 3

V 729=9

Segunda fila: log16=2 B- V16= 4

4

Terceras fila: log 10.000=4 B- log 729= 3 C- 3

10 9 V 125=5.

Cuarta fila: log 125=3 B-4

5 V 10.000=10

3-lee la información. Luego completa.

Logaritmo en base 10 o logaritmo decimal

En los logaritmos decimales no es necesario especificar la base.

Log 10 = 1 101 = 10

Log 1000 = 3 103 = 1000

Log (1/10 000) = −4 10−4 = 1/10 000

Log 1.000= 3 porque 10”3 = 1000

Log 10.000 = 4 porque 10”4= 10.000

Log 100.000= 5 porque 10”5= 100.000

log 10.000= 6 porque 10”6= 1000.000

Completa cada logaritmo y encontraras la cantidad de años que tarda

cada elemento en degradarse.

4- Log 100 = 2-

100 años

Log 1000= 3

1000 anos

6-resuelve cada logaritmo. Luego completa el enunciado.

log2 128 L log 10.000

Z log6 216 E log5 25

F log6 216 V log3 729

V I V E F I L Z

6 7 6 2 1 2 4 7 3

ECUACIÓN

Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas

que intervienen: 2x = 4

Sólo para x = 2x

2

= 4

Sólo para x = 2 y para x = - 2y = 2x

Sólo cuando y sea doble que el valor de x.

INECUACIÓN

Es una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinitode de valores de la

incógnita o incógnitas que intervienen < 2

(- o, 2) x ≥ - 4

[- 4, + o)|x| < 3

(- 3, 3)

Actividad

1-Escribe una desigualdad para cada situación.

Andrés tiene 15 años y yo tengo 12 años.

DESIGUALDAD: 15 Es mayor que 12

Yo tomo 2 litros diarios de agua y mama toma tres litros.

Yo tengo ahorrados $100.000 y mi hermana$101.000

DESIGUALDAD: $ 100.000 es menor que 101.000.

Yo recorreré 115 kilómetros y mi papa solo 78 kilómetros.

DESIGUALDAD: 115 es mayor que 78.

2- marca con una X si la desigualdad es correcta.

X 3 menor 5+2

X 3*6 menor 7*4

X5+4 menor 2+6

X10 +7 mayor 8+8

3-escribe el número adecuado en el cuadro para que se cumpla la Desigualdad.

9> 7 15 > 10+1 35<5*8

11< 12 4 < 3 3<10/2

20> 15 10 > 6+3 30 > 3*9

4- lee la información.

Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos miembros se relacionan

por uno de estos signos:

< menor que 2x − 1 < 7

≤ menor o igual que 2x − 1 ≤ 7

> mayor que 2x − 1 > 7

≥ mayor o igual que 2x − 1 ≥ 7

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que la verifica.

Para expresar algunos enunciados en forma de inecuaciones se utilizan letras.

Ejemplo 1:

La expresión:

Colombia tiene más de 10 puentes festivos durante el año, se puede escribir así:

P > 10

Número de puentes festivos

Ejemplo 2:

La expresión:

Tatiana tiene menos de 8 años, se escribe así:

T < 8 Edad máxima

Edad que tiene Tatiana

Encierra la inecuación que corresponde a cada enunciado.

La temperatura fue

Menor que 10.

R-T< 10

Jaime tiene más

De 12 años.

J > 12

Las galletas cuestan

Menos de $1000.

G< 1000

Este mes trabajo más de 30 días.

T > 30

Estadística

La estadística es una ciencia formal que estudia la recolección, análisis e

interpretación de datos de una muestra representativa, ya sea para

ayudar en la toma de decisiones o para explicar condiciones regulares o

irregulares de algún fenómeno o estudio aplicado, de ocurrencia en forma

aleatoria o condicional. Sin embargo, la estadística es más que eso, es

decir, es el vehículo que permite llevar a cabo el proceso relacionado con

la investigación científica.

Variables estadísticas

. Las variables estadísticas que se trabajan en estadística pueden ser

cualitativas o cuantitativas.

Variables cualitativas

Son las variables que expresan distintas cualidades, características o modalidad. Cada

modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una

clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser dicotómicas cuando

sólo pueden tomar dos valores posibles como sí y no, hombre y mujer o son politómicas

cuando pueden adquirir tres o más valores. Dentro de ellas podemos distinguir:

Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa: La variable puede

tomar distintos valores ordenados siguiendo una escala establecida, aunque no es

necesario que el intervalo entre mediciones sea uniforme, por ejemplo: leve,

moderado, fuerte.

Variable cualitativa nominal: En esta variable los valores no pueden ser sometidos

a un criterio de orden como por ejemplo los colores.

Cuantitativas

Son las variables que se expresan mediante cantidades numéricas. Las variables

cuantitativas además pueden ser:

Variable discreta: Es la variable que presenta separaciones o

interrupciones en la escala de valores que puede tomar. Estas

separaciones o interrupciones indican la ausencia de valores entre

los distintos valores específicos que la variable pueda asumir.

Ejemplo: El número de hijos (1, 2, 3, 4, 5).

Variable continua: Es la variable que puede adquirir cualquier valor

dentro de un intervalo especificado de valores. Por ejemplo la masa

(2,3 kg, 2,4 kg, 2,5 kg,...) o la altura (1,64 m, 1,65 m, 1,66 m,...), o el

salario. Solamente se está limitado por la precisión del aparato

medidor, en teoría permiten que exista un valor entre dos variables.

Actividad

1- Busca en un diccionario la palabra diccionario la palabra variable.

Luego marca con una x la expresión que más se acerque a la definición

de la palabra variable en estadística.

X magnitud que puede tener un valor cualquiera.

2-marca con x las variables cualitativas

X marca de automóvil favorito.

Número de horas que duerme.

X Días preferidos para ir al cine.

Peso de una persona.

Estatura de unas persona.

X materia preferida.

3-observa la encuesta que realizo Ana María entre sus compañeros de

curso. Luego responde.

Encuesta para crear el diseño

Del escudo del equipo deportivo.

Nombre: Ana María fecha:

1-¿Cuál de los siguientes logotipos te gusta más para el escudo del

curso?

2-¿Cuantos colores debe llevar el escudo del curso?

1 2 3 x 4

3-¿Cuál de los siguientes colores prefieres para el escudo del curso?

Blanco Rojo Verde X Azul

Escribe el nombre de las variables por la que se pregunta en la

encuesta.

1- cualitativa 3- cualitativas

2-cuantitativas

Responde ¿Cuál de las variables es cuantitativa?

Pregunta 2

4-observa el diagrama de barras. Luego completa la tabla.

Tipo de música preferida

Genero de música preferida Número de estudiantes

rock 10

pop 8

reggaetón 14

reggae 12

Responde:

¿De qué tipo es la variable del diagrama de barras?

R- cualitativa

¿Cuántos niños responden la encuesta?

R- 44

¿Cuál genero de música les gusta más a los niños?

R-reggaetón

5- observa la tabla luego construye el diagrama de barras.

Dinero que gasta en las onces de

un día.

Numero

0

2

4

6

8

10

12

14

16

rock pop reggaeton reggae

numero de estudiantes

numero de estudiantes

de niños

$ 4000 5

$5000 6

$6000 5

$7000 8

Marca con una x si la información es correcta teniendo en cuenta los

datos de la tabla.

X hay 5 niños que gastan$4000 a diario para sus onces.

X la variable del estudio es el dinero que emplean los niños en las onces

de un día.

La variable del estudio se clasifica como cualitativa.

X la mayoría de los niños gastan $7000 en sus onces en un día.

6- en clase

Diagrama circular

El gráfico circular es útil para representar proporciones de distintas clases dentro de una muestra.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

$4.000 $5.000 $6.000 $7.000

niño que gasta onces en un dia

numero de ninos Columna1 Columna2

La muestra es representada por un círculo y cada una de las clases que la componen, por un sector de éste.

El ángulo de cada sector mantiene la misma proporción de 360° que la de la clase representada respecto del tamaño total de la muestra.

A modo de ejemplo, si una clase corresponde al 25% del total de la muestra, le corresponderá un sector del círculo cuyo ángulo sea de 90°, exactamente el 25% de 360°.

El gráfico siguiente, representa la respuesta de 1886 alumnos de Cuarto Medio al preguntárseles por su interés de seguir estudios universitarios.

Los datos corresponden a alumnos que cursaban Cuanto Año Medio en el año 1997 en 7 localidades de la V región (Valparaíso, Viña del Mar, Quilpué, Villa Alemana, Limache, Quillota, La Calera) y en establecimientos de tipo Municipalizado, Subvencionado y Particular.

De los 1886 alumnos encuestados, 1768 (93.74%) se interesa por seguir estudios universitarios. Los restantes 118 (6.26%), no.

Para construir el gráfico circular, debemos calcular el ángulo central del sector correspondiente a cada respuesta. Para el caso de los 1768 Interesados en estudios universitarios su proporción respecto de la muestra total (93.74%) nos permite determinar que su ángulo del centro es 337º 28' 34.1'' y por lo tanto, el complemento a 360º (22º 31' 25.9'') representa a los No Interesados. Hecho este cálculo, con un transportador se puede hacer un gráfico equivalente al de la siguiente figura.

Observa

Ejemplo 1

En el siguiente diagrama circular se observa que la mayoría de los niños prefiere el futbol.

Preferencias

La porción más grande corresponde a futbol.

Ejemplo 2:

En el siguiente diagrama circular se observa que la mitad de los niños

prefiere tomar jugo.

Lo siguiente: preferencias por las bebidas de los estudiantes de 5B

ventas de 5 A

futbol baloncesto

Las porciones son iguales

1-observa los ejemplos anteriores. Luego, responde.

Si hay 48 estudiantes en 5B, ¿

cuantos ninos prefieren tomar jugo?

R- 24 ninos

Si en 5A hay 7 estudiantes que les gusta el baloncesto

¿Cuantos estudiantes en el curso

R-28 niños

2-une, con una line, cada diagrama de cada enunciado.

preferencias de bebidas 5A

jugo gaseosa

La mayoría de los encuestados prefiere selva.

La mayoría de los encuestados prefiere la playa.

Paisaje Preferido

selva playa

Paisaje preferido

selva playa

La mitad de los encuestados prefiere la selva.

Moda

En estadística, la moda es el valor con una mayor frecuencia en una distribución de datos.

Hablaremos de una distribución bimodal de los datos adquiridos en una columna cuando

encontremos dos modas, es decir, dos datos que tengan la misma frecuencia absoluta

máxima. Una distribución trimodal de los datos es en la que encontramos tres modas. Si

todas las variables tienen la misma frecuencia diremos que no hay moda.

El intervalo modal es el de mayor frecuencia absoluta. Cuando tratamos con datos

agrupados antes de definir la moda, se ha de definir el intervalo modal.

La moda, cuando los datos están agrupados, es un punto que divide al intervalo modal en

dos partes de la forma p y c-p, siendo c la amplitud del intervalo, que verifiquen que:

Clase preferida Cantidad de niños

Danza 30

Educación Física 20

Teatro 15

Paisaje preferido

selva playa

Música 45

1- lee la situación anterior. Luego en tu cuaderno, representa los datos

en un diagrama de barras.

Responde:

¿A cuantos se les aplico la encuesta?

R- 110

¿Cuál es la clase que prefieren menos los niños?

R- teatro

Si 10 niños que habían votado por la clase de danza deciden cambiar

su voto por la clase de teatro, ¿sique estando de moda la música en el

colegio?

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

danza educacion fisica teatro musica

clase preferida

cantidad de ninos Columna1 Columna2

R- si

2- observa las representaciones. Luego marca con una x las

afirmaciones correctas.

Actividad preferida para el

tiempo libre.

Numero

de personas

Bailar 20

Cantar 35

Ir a Teatro 75

0

10

20

30

40

50

60

70

bailar cantar ir ateatro

Título del gráfico

Serie 1 Columna1 Columna2

numero de personas

bailar cantar ir ateatro

En la encuesta del diagrama de barras, la actividad de moda es

cantar.

X En la encuesta de los diagramas circular, la actividad que está de

moda es bailar.

X En la encuesta de la tabla, la actividad que está de moda es ir a

teatro.

3- lee la siguiente situación.

Los estudiantes del colegio san Joaquín necesitan recoger fondos para

la excursión de fin de año.

Para ello, decidieron hacer una encuesta para escoger la actividad

que se va realizar. Los resultados se observan en el diagrama circular.

Verde: bazar

Azul: Día del jean

Responde:

Cual crees que es la actividad que van a escoger los estudiantes para

recoger fondos.

ninos

1er trim. 2º trim.

R- bazar

¿Por qué?

R-es la que más dijeron

4-lee la siguiente situación.

Para el día de la familia, los estudiantes de quinto quieren preparan un

baile típico colombiano. Por ello, decidieron votar para decidir que

baile preparar. Los votos fueron los siguientes.

Bunde Bambuco cumbia

Cumbia Cumbia cumbia

Cumbia Cumbia cumbia

Contradanza Cumbia contradanza

Bambuco bunde bambuco

Bunde bunde contradanza

Cumbia bunde cumbia

Bambuco contradanza cumbia

Contradanza cumbia cumbia

Bunde

Bambuco

Completa la tabla de frecuencias y elabora el diagrama de barras en tu

cuaderno.

Baile personas

bunde 6

bambuco 5

cumbia 13

contradanza 4

Responde:

Cuál es el baile que van a presentar los estudiantes de quinto para el día

de la familia?

R- cumbia

Media o promedio aritmética

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o

simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de una serie

de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la esperanza matemática

o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el

número de sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de

media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la cantidad

total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que tienen en sus

bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres y dividirlo a partes iguales

entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una forma de resumir la información de una

distribución (dinero en el bolsillo) suponiendo que cada observación (persona) tuviera la

misma cantidad de la variable.

También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad[cita requerida] de

una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

0

2

4

6

8

10

12

14

bunde Bambuco Cumbia Contradanza

diagrama de barras

Columna2 Columna3 Columna4

Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy sensible a

los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla mientras que valores muy

pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede dejar de ser representativa de la

población.

1- Calcula la longitud promedio de los lápices.

La longitud de promedio de los lápices es 15+ 8+4+12+6= 45/5= 9

2- en clase

3-Observa las puntuaciones de 13 estudiantes en una prueba de resistencia.

5 4 7 9 8 7 6

4 5 5 5 6 7

Responde: ¿cuál es la puntación media?

R- 6

4- observa el siguiente ejemplo.

Las edades de los amigos de Daniela son 14anos, 11 años, 12 años, 11 años, 12 años, y 12

años. ¿Cuál es la edad promedio de Daniela?

Paso 1

Como hay datos repetidos, ordena los datos y a agrupa.

11+11+12+12+12+14=

11*2 + 12*3 +14

22 36 + 14= 72

Paso 2

Divide el total de la suma entre la cantidad de amigos.

72 6

12 12

12

0

La edad media de Daniela es 12 años.

Observa la tabla en la que aparecen las edades de los niños que asisten a la clase de tenis.

edad 12 13 14 15

número de

niños

1 4 5 6

_Determina la edad promedio de los niños

12 x 1 13 *4 14 *5 15*6

12 52 70 90

224/16= 14

5-en clase

Mediana

En el ámbito de la estadística, la mediana, representa el valor de la variable de posición

central en un conjunto de datos ordenados. De acuerdo con esta definición el conjunto de

datos menores o iguales que la mediana representarán el 50% de los datos, y los que sean

mayores que la mediana representarán el otro 50% del total de datos de la muestra. La

mediana coincide con el percentil 50, con el segundo cuartil y con el quinto decil. Su

cálculo no se ve afectado por valores extremos.

Calculo

El valor medio en un conjunto de valores ordenados. Corresponde al percentil 50 o segundo

cuartil (P50 o Q2). Los pasos son:

1-dena los valores en orden del menor al mayor

2-cuenta derecha a izquierda, o al revés, hasta encontrar el valor o valores

medios.

Ejemplo: tenemos el siguiente conjunto de números 8,3,7,4,11,2,9,4,10,11,4 ordenamos:

2,3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 En esta secuencia la mediana es 7, que es el número central. Y si

tuviésemos: 8,3,7,4,11,9,4,10,11,4, entonces ordenamos: 3,4,4,4,7,8,9,10,11,11 y la

mediana (Md) está en: los números centrales son 7 y 8, lo que haces Existen dos métodos

para el cálculo de la mediana:

Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.

2-utilizando datos agrupados en intervalos de clase.

Mediana de un conjunto impar y par.

Cuando la muestra es impar Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de números.

Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es ordenar la serie, ya

sea de forma creciente o decreciente, tal como mostramos a continuación.

Primera serie: 2, 6, 7, 25, 58.

El número 7 es la mediana de la serie pues divide la serie en dos grupos de igual número de

datos: 2 y 6 (valores menores que 7), y 25 y 58 (valores mayores que 7).

Segunda serie: 4, 7, 9, 9, 11, 15, 17.

El número 9 es la mediana de la serie. Divide la serie en dos grupos de igual número de

datos: 4, 7 y 9 (valores menores o iguales que 9), y 11, 15 y 17 (valores mayores que 9).

Conclusión: si la muestra de datos es impar, la mediana se calcula fácilmente: es el valor

central de la serie. La serie queda dividida en dos grupos que contienen la misma cantidad

de datos y cuyos valores están por encima y por debajo de la mediana.

Cuando la muestra de datos es una cantidad par

Vamos a calcular la mediana de cada una de las siguientes series de

valores.

Lo primero que tenemos que hacer, si los datos no están ordenados, es

ordenar la serie, ya sea de forma creciente o decreciente, tal como

mostramos a continuación.

Primera serie: 1, 5, 12, 13, 21, 24.

Tomamos los dos valores que se hallan en el centro de la serie y

calculamos su media:

El valor 12,5 es el valor de la mediana de esta serie ya que divide la serie en

dos grupos de igual número de datos: 1, 5 y 12 (valores menores que 12,5),

y 13, 21 y 24 (valores mayores que 12,5).

Segunda serie: 5, 14, 18, 19, 19, 25, 47, 56.

En este caso no hay mayor problema porque los dos valores centrales de la

serie son el mismo número. Luego el 19 es el valor de la mediana de esta

serie de valores. El 19 divide la serie en dos grupos del mismo número de

datos: 5, 14, 18 y 19 (valores menores o iguales que 19), y 19, 25, 47 y 56

(valores mayores o iguales que 19).

Conclusión: si la serie contiene un número par de datos, los dos grupos con

igual número de datos se corresponden con las dos mitades de la serie

ordenada. Y para calcular la mediana solo es necesario hallar la media de

los dos valores centrales de la serie.

1- observa las alturas de los edificios.

16 m 25 m 14m 30 m 6m Responde:

¿ cuantos datos hay?

R- 5

¿ esa cantidad es par o impar?

R- impar.

¿ual es la mediana del conjunto de datos?

La mitad de la mediana de los edificios esta por encima y debajo de 16.

2-Lee y resuelve.

Los puntajes consequidos por un jugador de baloncesto en los cinco ultimos partidos son: 7

puntos,12 puntos, 8 puntos, 11 puntos y 7 puntos.

¿ Cual es el promedio de puntos?

R- 7+12+8+11+7= 35/5 5.

¿ cual es la mediana?

R- 8 menor que 11 menor que 12 menor que 14. Mediana: 12,11. 23/2: 11.5

3- lee la situacion

Adraiana grabo seis peliculas que tienen las siquientes duraciones: 120 minutos, 90

minutos, 180 minutos,78 minutos,130 minutos y 80 minutos.

Responde:

¿ cual es la media de las duraciones de pelicula?

R- 63

¿Cuál es la mediana de las duraciones de pelicula.?

R- 105

¿ Que significado tiene las medianas de la pelicula?

R- la mitad de las peliculas esta arriba y debajo de 105.

4- observa el conjunto de mateo.

8,3,7,5,9,10,6

Explica por que l mediana no es 5, a pesar de que esta en el centro de los datos.

R-Porque los datos no estan organizados de menor a mayor.

5- completa con el numero que creas conveniente para que la mediana sea 6.

7 8 4 3 6 4 2

Explica tu respuesta.

Como hay dos cuatros se multiplica por 2 luego este resultado se multiplica por 2 y da 16,

luego los numeros que quedan son 3 7 6 16 y como necesitamos que el 6 sea la mediana

central y le agrgamos el 2.

Grafico de lineas

Los gráficos de líneas muestran una serie como un conjunto de puntos conectados mediante

una línea. Los valores se representan por el alto de los puntos con relación al eje Y. Las

etiquetas de las categorías se presentan en el eje X. Los gráficos de líneas suelen utilizarse

para comparar valores a lo largo del tiempo.

Observa:

Los anos y kilos

Existen dos tipos de gráficos de líneas: de líneas y de líneas suavizadas.

Gráfico de líneas

Gráfico de líneas suavizadas

Un gráfico de líneas suavizadas presenta las series como líneas separadas. Las líneas son

curvas, en lugar de rectas. El valor determina el alto de cada columna.

1-observa el ejemplo anterior y completo la tabla.

año Peso(KG)

2007 45

2008 40

2009 55

2010 60

2011 55

Responde:

¿En cuál año tuvo menor peso marta?

R-2008

¿En cuál año tuvo mayor peso marta?

0

10

20

30

40

50

60

70

2007 2008 2009 2010 2011

kilos Columna1 Columna2

R- 2010

¿Qué tipo de variable es el peso?

R-Cuantitativa.

¿Qué promedio de peso ha tenido marta entre 2007 y 2011.

R-51

2-elabora un gráfico de líneas para la siquiente situación.

Las ventas del almacén “zapatos” durante una semana, fueron repartidas de la siquiente

manera. Lunes: $300.000 martes: $ 500.000, miércoles: $400.000, jueves: $600.000,

viernes: $ 600.000, sábado: $ 700.000 y domingo: $ 400.000.

Responde:

¿Cuál día vendieron más?

R- sábado.

¿Cuál día vendieron menos?

R- lunes.

Juego y razono con matemáticas.

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

600.000

700.000

800.000

lunes martes miercoles jueves viernes sabado domingo

peso Columna1 Columna2

El tangrama en forma de huevo

Utiliza las fichas del recortable 4 para formar un huevo como un siguiente. Luego, colorea

las fichas con diferentes colores.

Ahora, arma el ave con las fichas del recortable No. 4 y dibuja las divisiones del ave aquí.

Evalúa tu desempeño

La siquiente tabla muestra el precio en pesos de las acciones de algunas empresas del país.

Empresa Valor cada acción en pesos.

Empresa de Energía de Bogotá 127000

Grupo Nacional de Chocolates 20.900

Corficolombiana 29.100

Banco de Occidente 30. 600

Banco de Bogotá 39. 180

Sociedad bolívar 41.420

Protección 50.000

Gas Natural 95.000

Competencia interpretativa

1- marca con una x la opción correcta. Las tres empresas que tienen el precio más alto en

sus acciones son:

Gas Natural- Banco de Bogotá-Sociedad Bolívar.

X Empresa de Energía de Bogotá- Banco de Bogotá- Sociedad Bolívar.

Grupo Nacional de Chocolates-Protección-Banco de occidente.

2- El valor que paga una persona que compra 24 acciones en las siguientes empresas es:

-Empresa de energía de Bogotá: $ 3.048.000 –Corficolombia 698.400

–Banco de Bogotá 940.320 –Sociedad Bolívar 994.080

COMPETENCIA ARGUMENTATIVA

3-Escribe V, si la proposición es verdadera o F, si es falsa. Jesica con una operación.

3-

F- El valor de la acción de Sociedad Bolívar es el doble del valor de la acción del grupo

Nacional de Chocolates.

F- La diferencia entre el valor de las acciones de Gas Natural y Corficolombia es igual al

valor de la acción de Protección.

V- La quinta parte del valor de la acción de la Empresa de Energía de Bogotá más 3.700

pesos, es igual al avalar de la acción del Corficolombia.

V- Si el valor de una acción del Éxito es de 13.060 pesos, entonces, el valor de la acción del

Banco de Bogotá es el triple.

COMPETENCIA PROPOSITIVA

4- Encierra la gráfica que mejor represente el valor de las acciones dadas.

VERDE Empresa de Energía de Bogotá

AZUL Grupo Nacional de Chocolates

ROSADO Corficolombia

AZULITO Banco de Occidente

PURPURA Banco de Bogotá

AMARILLO Sociedad Bolívar

Empresas

Empresas

VERDE Empresa de Energía de Bogotá

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

140.000

valor de accion

Serie 1 Serie 2 Serie 3

0

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

140.000

valor de accion2 Serie 2 Serie 3

AZUL Grupo Nacional de Chocolates

ROSADO Corficolombia

AZULITO Banco de Occidente

PURPURA Banco de Bogotá

AMARILLO Sociedad Bolívar

MARRON Protección

VERDECITO Gas Natural.

5- Subraya las acciones en las que puede invertir una persona que tiene 2.000.000 de pesos.

-43 acciones en Protección.

15 acciones en la Empresa de Energía de Bogotá y una acción en Gas Natural.

100 acciones del Grupo Nacional de Chocolates.

48 acciones de la Sociedad Bolívar.

COMPETENCIA EN TECNOLOGIA

LUCES NATURALES Y ARTIFICIALES

Las fuentes de luz son todos aquellos elementos naturales o artificiales que emiten luz.

Algunos seres vivos tiene la capacidad de generar luz partir de sus cuerpos. Por ejemplo,

las luciérnagas y las medusas.

La luciérnaga produce una luz amarilla en su cola, debido a la reacción entre una proteína

que produce y el oxígeno.

Las medusas emiten luces de diferentes maneras y colores. Algunas emiten miles de

partículas brillantes, otras liberar una sustancia luminosa.

Un biólogo realizo un montaje de luces y colores, para recrear un paisaje de la playa,

utilizando microscopio varias bacterias fluorescentes.

.