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Matem´ atica Apuntes de C´ atedra Trigonometr´ ıa ´ Angulos Relaciones Trigonom´ etricas Dr. Octavio Miloni

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Matematica

Apuntes de Catedra

Trigonometrıa

Angulos

Relaciones Trigonometricas

Dr. Octavio Miloni

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1 Angulos

Lo que entendemos por trigonometrıa tiene un origen hace alrededor de 4000 anos cuando losbabilonios y mas tarde los egipcios utilizaban relaciones entre angulos para medir terrenos ydeterminar alturas. En el caso egipcio, la construccion de las piramides es un momunento ala trigonometrıa.

La denominacion trigonometrıa proviene de una cultura posterior, la griega, cuyas palabrastrigonos (τριyoνoσ) metria (µετρoσ) lo que significa medicion de angulos.

En Grecia, Hiparco de Nicea, construyo una tabla de cuerdas para resolver triangulos la cualfue de mucha utilidad en Astronomıa.

Esto significa que lo que hoy entendemos por trigonometrıa es mucho mas que la mera medi-cion de angulos. La matematica moderna llama trigonometrıa al conjunto de relaciones queinvolucran angulos. Mas aun, lo que entendemos por trigonometrıa esta mas relacionado a lasfunciones trigonometricas, sen, cos, etc. que a la mera medicion de los angulos en cuestion.

Actualmente, la trigonometrıa es utilizada en varias ramas de la ciencia. En particular en laingenierıa las obras civiles, la medicion de terrenos (agrimensura), las senales electromagneti-cas son representadas por funciones trigonometricas.

En este capıtulo estudiaremos las relaciones trigonometricas, pero para ello es necesariohacer un repaso de los conceptos y definiciones que construyen el cuerpo conceptual de latrigonometrıa. Analizaremos propiedades de las funciones trigonometricas, sus aplicacionespara resolucion de triangulos y aplicaciones a problemas.

La resolucion de triangulos ya no se restringira a triangulos rectangulos, ya que la aplicaciondel Teorema del seno y del teorema del coseno nos permitira resolver cualquier tipo de trian-gulo.

2 Angulos. Definiciones y sus medidas

La nocion de angulo es la de una medida de la inclinacion relativa entre dos segmentos quese intersectan en un punto denominado vertice.

Consideremos dos segmentos que se intersectan en un punto que denominaremos vertice. Si laindicacion de la inclinacion relativa entre ellos se realiza en sentido contrario a las agujas delreloj, que diremos sentido positivo, el lado inicial es el segmento desde donde se comienza amedir el angulo. De esta manera, el otro segmento se lo denomina lado terminal.

Si el angulo lo medimos en el sentido horario, la situacion queda definida como

en este caso, decimos que el angulo es negativo.

La orientacion de los angulos no es parte de los orıgenes de la trigonometrıa, ya que lo que

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lado

term

inal

lado inicialVerticeα

ladoterm

inal

lado inicialVertice α

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interesaba principalmente era el valor absoluto de los angulos y no tanto como se lo medıa.

Retomaremos estas ideas en el capıtulo de la trigonometrıa en sistemas de coordenadas.

Puesto que en este capıtulo trabajaremos con angulos, es necesario revisar los diferentessistemas de medicion de los mismos. Tanto para el calculo a mano o calculadora siempre serafundamental tomar conciencia en el sistema de medicion de angulos que estamos trabajando.Esto constituye una fuente de errores importante a la hora de los calculos con calculadora.

2.1 El sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema creado por los babilonios hace alrededor de 4000 anos yconsiste en la division de la circunferencia en 360◦. De esta manera, se define el grado como

1◦ =1 rotacion completa

360

Ademas, esta manera de particionar la circunferencia establece las graduaciones menores algrado en minutos y segundos, las cuales se obtienen particionando en 60 al grado y al minutorespectivamente. Esto es,

1′ =1◦

60

1′′ =1′

60=

1◦

3600

Este sistema de numeracion tiene por base 60. Nosotros, en nuestra cotideaneidad estamosfamiliarizados al sistema decimal, por lo que no nos resulta familiar usar este sistema. Sola-mente usamos este sistema en dos aspectos de nuestras vidas:

• La hora. En efecto, cada hora son 60 minutos y cada minuto, 60 segundos. En estecaso, el dıa es dividido en 24 horas.

• Los angulos.

El uso de la base 10 esta basado en la cantidad de dedos que tenemos en las manos. Sinembargo, existen autores que afirman que el origen de la base 60 tambien se explica a travesde contar con las manos. Es decir, que con las manos se puede contar hasta 60. Esta relacionse obtiene a partir de una manera de contar que consiste en lo siguiente: Con una manose cuenta con el pulgar las tres falanges de cada dedo. Como me quedan cuatro dedos,podre contar hasta doce. Una vez alcanzado los doce, con los dedos de la otra mano se vaalmacenando la cantidad de 12 que conte con la primera. De esta manera, con ambas manospodre contar hasta 5 docenas, es decir, hasta 60.

2.2 Algebra en base 60

Operar en base 60 tiene particularidades similares a la base 10, solo que los conceptos deunidad, decena y centena deben reformularse a grado minuto y segundo.

Cuando operamos entre numeros en base 10 debemos tener en cuenta que cuando superamos

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el 9 de las unidades incorporamos un numero a las decenas y cuando superamos el nueve enlas decenas sumamos un numero a las centenas y ası sucesivamente.

En base 60, lo que equivaldrıa a la unidad es el segundo. De esta manera, cuando se supera59, se suma un numero al minuto. Si se supera 59 minutos se suma 1 a la unidad siguiente(grado, para angulos y horas para la hora). Y ası sucesivamente.

Suma en base 60

En virtud de que nuestro enfonque esta orientado a la trigonometrıa, haremos apenas algunasobservaciones respecto a la suma y al producto en base sexagesimal.

Suma

El algoritmo para sumar en base sexagesimal se basa en un esquema de posiciones. Si porejemplo queremos sumar los angulos α = 10◦ 19′ 50′′ con el angulo β = 15◦ 40′ 30′′

Dispongamos los angulos para sumarlos y sumemos directamente

10◦ 19′ 50′′

+15◦ 40′ 30′′

25◦ 59′ 80′′

Ahora, como 80′′ se pasa de 59′′ debemos utilizar 60′′ para adicionar en los minutos y quedarnoscon 20′′. Obtenemos

10◦ 19′ 50′′

+15◦ 40′ 30′′

25◦ 59′ + 1′ = 60′′ 20′′

Nuevamente, 60′ se pasa de 59′, con lo que debemos utilizar 60′ para adicionar a los grados

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10◦ 19′ 50′′

+15◦ 40′ 30′′

25◦ + 1◦ = 26◦ 0′ 20′′

Con lo que la operacion deberıa escribirse

10◦ 19′ 50′′

+15◦ 40′ 30′′

26◦ 0′ 20′′

finalmente, podemos escribir α+ β = (10◦ 19′ 50′′) + (15◦ 40′ 30′′) = 26◦ 0′ 20′′

Producto por un numero natural

Para multiplicar un numero en base sexagesimal con un numero natural, lo disponemos en laforma de multiplicacion, pero luego ordenamos los minutos y segundos en funcion de la base60.

Ejemplo, para hacer la operacion (25◦ 40′ 31′′)× 3 escribimos

25◦ 40′ 31′′

× 3

75◦ 120′ 93′′

ordenando las cifras para expresarlas en base 60 obtenemos

25◦ 40′ 31′′

× 3

77◦ 1′ 33′′

Pasaje de sexagesimal a decimal.

Dado que una vez que llegamos a la unidad de grado (para angulos) u hora (para el tiempo) notenemos mas limitaciones con relacion a la base, puesto que podemos superar el 60 y dejar laexpresion como esta. Esto significa que el sistema de medicion de angulos no es estrictamentehablando un sistema sexagesimal, puesto que la base 60 solo se restringe a los minutos ysegundos.

Por lo que pasar a decimal significara dejar expresado el angulo como grado y su fraccion.Para realizar esta operacion solo se debe tomar en cuenta lo que planteamos al comienzo delcapıtulo: 1′ = 1◦

60 y 1′′ = 1◦

3600 . Estas relaciones son las que utilizamos para escribir un numeroen termino de grado.

Como ejemplo, consideremos el angulo 1◦ 30′. Como 1′ = 1◦

60 , tendremos que 30′ = 30◦

60 = 12 =

0.5

Con lo que tenemos1◦ 30′ = 1.5◦

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3 El sistema circular. El Radian

Consideremos una circunferencia de radio r (diametro d). El calculo de la longitud, es decir,del perımetro, lo obtenemos a partir de la relacion

` = π d

o, en termino del radio,` = π (2 r) = 2π r

Por lo general, usaremos para el perımetro (o longitud) de la circunferencia la expresion

` = 2 π r

Ahora, si queremos calcular un arco de circunferencia, como lo harıamos?

La respuesta a esta pregunta nos obliga a establecer una relacion entre el angulo y la longitud.

α

r`

A partir de la figura, notemos que

• Si α = 360◦, entonces ` = 2πr

• Si α = 180◦, entonces ` = 2πr2 = π r

• Si α = 90◦, entonces ` = 2πr4 = π

2 r

Observacion. Notemos que el cociente

α

360◦

corresponde a la fraccion de circunferencia correspondiente al angulo α. En efecto, 180◦

360◦ = 12

de circunferencia, 90◦

360◦ = 14 de circunferencia y ası sucesivamente.

Lo que significa, que la longitud de arco es directamente proporcional al angulo en cuestion.Con lo que podemos calcular la longitud de arco de circunferencia correspondiente a un anguloα como

`α =α

360◦︸ ︷︷ ︸fraccion de circunferencia

×2π r

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A partir de esta igualdad, definimos como angulo en radian a la relacion entre el arco de lacircunferencia con respecto al radio,

α[rad] =`αr

=α[◦] 2π

360◦.

Con esta definicion, obtenemos

`α =

(α[◦] 2π

360◦

)︸ ︷︷ ︸

angulo en radian

×r

o bien` = α× r

cuando el angulo esta expresado en radianes.

Con esta definicion, si tenemos un angulo expresado en grados, para pasarlo a radianes debe-mos hacer,

α[◦]⇒ α[rad] = α[◦]× 2π360◦

Por ejemplo,

30◦ ⇒ α[rad] = 30◦ × 2π

360◦=π

6

Lo que significa que 30◦ equivale a π6 radianes.

Si tenemos el angulo en radianes y queremos convertirlo en grados, hacemos

α[rad]⇒ α[◦] = α[rad]× 360◦

Algunas definiciones complementarias

Angulo Complementario: Dado un angulo α, llamamos complemento (llamemoslo β) de α alangulo que adicionado a α da como resultado un recto,

α+ β =π

2

β =π

2− α

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α

β

Angulo Suplementario: Dado un angulo α, llamamos suplemento (llamemoslo β) de α alangulo, que adicionado a α, da como resultado un llano, es decir, π,

α+ β = π

β = π − α

αβ

4 Relaciones Trigonometricas en un Sistema de Coordenadas

Si bien la trigonometrıa tiene un origen anterior a los sistemas de coordenadas, vamos aintroducir las relaciones trigonometricas a partir de una ubicacion en un sistema de ejescartesianos. De esta manera, las relaciones trigonometricas de angulos superiores a 90◦ puedentener sentido.

Tradicionalmente, las relaciones trigonometricas son obtenidas como proporciones de ladosde triangulos rectangulos, por lo que resulta imposible condiderar triangulos que tengan unangulo recto y otro superior a 90◦ ya que la imposicion de que se forme un triangulo es quela suma de sus lados debe ser 180◦.

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4.1 Angulo en Posicion Normal

Vamos a decir que un angulo esta ubicado en posicion normal o estandar si el vertice estaen el origen de un sistema de coordenadas, su lado inicial sobre el eje positivo de las x y elangulo se mide positivamente.

Si consideramos un punto (a, b) en el lado terminal del angulo, la situacion es

x

y`

αa

b

En la figura se muestra un angulo en posicion normal, con lado terminal ` y ubicado en elprimer cuadrante, esto es, a > 0 y b > 0.

Observacion. En general, los lados inciales y terminales no precisan ser de longitud finita,ya que los angulos se definen como inclinacion relativa entre semirectas. Es comun mencionarque el lado terminal contiene al punto P (a, b) y las coordenadas a y b serviran para calculosposteriores.

x

y

`

αa

b

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En esta figura se muestra un angulo en el segundo cuadrante, caracterizado por a < 0 y b > 0.

Notemos que dado un angulo ubicado en posicion normal, siempre define (en el cuadrantecorrespondiente) un triangulo rectangulo, ya que las coordenadas del punto contenido en ellado terminal estan ubicados en estos ejes, que son perpendiculares.

♦ Infiere. A partir de los dos ejemplos presentados, infiere los signos de a y b que caracterizana cada cuadrante.

4.2 Definciones de las relaciones trigonometricas

Dado un angulo α ubicado en posicion normal y un punto (a, b) (a y b no simultaneamentenulos) en su lado terminal como indica la figura,

x

y

`

αa

b

definimos las relaciones trigonometricas seno, coseno y tangente a traves de las expresiones

sen(α) =b

`=

b√a2 + b2

cos(α) =a

`=

a√a2 + b2

tan(α) =b

a

Estas definiciones son precisas en el sentido de que el signo de cada relacion trigonometricaviene determinado por a y b segun corresponda.

♦ Infiere. Confecciona una tabla con los signos de las relaciones trigonometricas con relacional cuadrante en el que se ubica el angulo.

En las definiciones a partir de triangulos rectangulos, es imposible determinar signos, ya que

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las longitudes de los lados de los triangulos -esto es, el cateto opuesto, el adyacente y lahipotenusa- son siempre cantidades positivas.

Ejemplo. Sea α un angulo ubicado en posicion normal, del que se sabe que su lado terminalcontiene al punto P (1,

√3). Determinar el seno, el coseno y la tangente de α. Dejamos como

ejercicio la confeccion del grafico.

Calculemos primero la longitud del segmento que une al origen con el punto contenido en ellado terminal. Tenemos

` =

√12 + (

√3)2 =

√1 + 3 =

√4 = 2

Luego, las relaciones trigonometricas son

sen(α) =b

`=

√3

2

cos(α) =a

`=

1

2

tan(α) =b

a=

√3

1=√

3

4.3 Relaciones Trigonometricas de Angulos Especiales

A partir de las definiciones de las relaciones trigonometricas, calculemos algunas de ellaspara algunos angulos. Los valores de las relaciones trigonometricas los obtendremos a partirde ubicar convenientemente los angulos en el sistema de coordenadas. Por ejemplo, paravisualizar un angulo de 45 grados, podemos verlo como el angulo que forma un lado con ladiagonal de un cuadrado.

El angulo de 0◦ o 0 rad

Si ubicamos un angulo nulo en un sistema de coordenadas podemos tomar un lado terminalcoincidente con el lado inicial. Si ademas tomamos que el lado tenga longitud 1, tendremosque

sen(0) = sen(0◦) = 0

cos(0) = cos(0◦) = 1

tan(0) = tan(0◦) = 0

El angulo de 45◦ o π4 rad

Si ubicamos un angulo de 45◦ en un sistema de coordenadas podemos construir un cuadradode lado 1, de manera tal de que el angulo de 45 ◦ sea aquel de determine su diagonal.

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x

y

1

1

45◦

√ 2

sen(π

4) = sen(45◦) =

1√2

=

√2

2

cos(π

4) = cos(45◦) =

1√2

=

√2

2

tan(π

4) = tan(45◦) = 1

El angulo de 60◦ o π3 rad

En un sistema de coordenadas construyamos un triangulo equilatero cuyos lados midan 1.Como un triangulo equilatero es equiangulo, es decir, sus angulos son iguales, su valor es de60◦ o π

3 rad.

A partir de la figura, tenemos que cos(60◦) = 12 . Y que el seno lo obtendremos a partir del

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x

y

112

sin(60◦)

60◦

1 1

teorema de Pitagoras

12 =

(1

2

)2

+ (sen(60◦))2

Resolviendo, obtenemos,

sen(π

3) = sen(60◦) =

√1−

(1

2

)2

=

√3

2

cos(π

3) = cos(60◦) =

1

2

tan(π

3) = tan(60◦) =

√3

El angulo de 30◦ o π6 rad

El mismo grafico que utilizamos para calcular las relaciones trigonometricas para 60◦ nospermite calcular las correspondientes a 30◦. Basta con considerar el angulo que forma larecta vertical desde la mitad de la base con el vertice y notar que divide al angulo de 60 a la

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mitad, es decir, define angulos de 30◦ a ambos lados de la recta. Por lo cual, las relacionestrigonometricas seran,

sen(π

6) = sen(30◦) =

1

2

cos(π

6) = cos(30◦) =

√1−

(1

2

)=

√3

2

tan(π

6) = tan(30◦) =

1√3

=

√3

3

4.4 Relaciones Trigonometricas Recıprocas

Las relaciones seno, coseno y tangente son las relaciones trigonometricas que podrıamos definircomo principales. A partir de ellas se definen las relaciones trigonometricas recıprocas

• cosecante (recıproca del seno, valida para sen(α) 6= 0), denotada cosec(α) y definida por

cosec(α) =1

sen(α)

• secante (recıproca del coseno, valida para cos(α) 6= 0), denotada sec(α) y definida por

sec(α) =1

cos(α)

• cotangente (recıproca de la tangente, valida para tan(α) 6= 0), denotada cotg(α) ydefinida por

cotg(α) =1

tan(α)

5 Identidad Pitagorica Fundamental

A partir de las definiciones de las relaciones trigonometricas seno y coseno del angulo α, siendo(a, b) un punto de su lado terminal y ` la distancia de ese punto al origen:

sen(α) =b

`

cos(α) =a

`

Notemos que

[sen(α)]2 = sen2(α) =b2

`2

[cos(α)]2 = cos2(α) =a2

`2

a partir de las cuales podemos escribir

b2 = `2 sen2(α)

a2 = `2 cos2(α)

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sumando ambas ecuaciones, obtenemos

a2 + b2 = `2 cos2(α) + `2 sen2(α)

= `2[cos2(α) + sen2(α)

]ahora, como `2 = a2 + b2 obtenemos la identidad pitagorica fundamental

cos2(α) + sen2(α) = 1

Este vınculo entre las relaciones seno y coseno de un angulo es sin dudas la mas importantedesde varios puntos de vista. Algunas de las consecuencias que se ponen en evidencia son, asaber:

• Ninguna de las relaciones seno o coseno pueden ser menores que -1 ni mayores que 1.En efecto, si la suma de los cuadrados es la unidad, ambas relaciones deben mantenersemenores que 1 en valor absoluto.

−1 ≤ sen(α) ≤ 1

−1 ≤ cos(α) ≤ 1

• Otra consecuencia es que a partir de saber el valor de una relacion trigonometrica, puedoobtener la otra

cos(α) = ±√

1− sen2(α)

sen(α) = ±√

1− cos2(α)

Para la determinacion del signo a elegir es fundamental conocer el cuadrante en el que sehalla el angulo.

Ejemplo.

Consideremos un angulo en posicion normal del cual se sabe que se encuentra en el segundocuadrante y que sen(α) = 4

5 . Determinar el sen(α) y tan(α)

Solucion.

Tenemos que a partir de la identidad pitagorica cos2(α) + sen2(α) = 1 obtenemos

cos(α) = ±√

1− sen2(α)

ahora bien, como el angulo se encuentra en el segundo cuadrante, tenemos que el signo debeser elegido negativo, ya que es en el segundo y tercer cuadrante donde el coseno es negativo.

cos(α) = −√

1− sen2(α) = −√

1−(

4

5

)2

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con lo que obtenemos

cos(α) = −√

1− 16

25= −

√25− 16

25= −

√9

25= −3

5

Para el calculo de la tangente podemos observar que a partir de haber obtenido a = cos(α)√a2 + b2

y b = sen(α)√a2 + b2 y que ademas tan(α) = b

a tenemos

tan(α) =b

a=

sen(α)√a2 + b2

cos(α)√a2 + b2

Entonces,

tan(α) =sen(α)

cos(α)

Es decir que a partir de una relacion trigonometrica y el dato de a que cuadrante pertenece,podemos obtener todas las demas.

6 Identidades Trigonometricas

Partiendo de las definiciones y de la identidad fundamental podemos obtener identidades, esdecir, ecuaciones equivalentes.

Consideremos la identidad Fundamental,

cos2(α) + sen2(α) = 1

dividiendo a ambos miembros por cos2(α), para cos2(α) 6= 0, obtenemos.

cos2(α) + sen2(α)

cos2(α)=

1

cos2(α)

calculando, tenemoscos2(α)

cos2(α)+

sen2(α)

cos2(α)=

1

cos2(α)

simplificando obtenemos la identidad

1 + tan2(α) =1

cos2(α)= sec2(α)

Notemos que si a la identidad fundamental la dividimos a ambos miembros por sen2(α)tenemos

cos2(α)

sen2(α)+

sen2(α)

sen2(α)=

1

sen2(α)

Con lo que llegamos a

cotg2(α) + 1 =1

sen2(α)= cosec2(α)

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De esta manera se van construyendo un conjunto de igualdadades validas para todos losvalores de los angulos, por lo que se denominan identidades.

Como ejemplo, comprobemos que

[1 + cos(α)][cosec(α)− cotg(α)] = sen(α)

En efecto, reescribiendo cosec(α) y cotg(α) tenemos

[1 + cos(α)]

[1

sen(α)− cos(α)

sen(α)

]= [1 + cos(α)]

[1− cos(α)

sen(α)

]multiplicando, obtenemos

[1 + cos(α)]

[1

sen(α)− cos(α)

sen(α)

]=

1− cos2(α)

sen(α)

aplicando la identidad pitagorica, tenemos

[1 + cos(α)]

[1

sen(α)− cos(α)

sen(α)

]=

sen2(α)

sen(α)= sen(α)

Entonces, hemos probado que

[1 + cos(α)][cosec(α)− cotg(α)] = sen(α)

Observacion. Para comprobar el cumplimiento de determinada identidad podemos partirdel lado izquierdo de la igualdad y, mediante operaciones y propiedades, llegar a lo expresadoen el miembro de la derecha. Podemos partir de la derecha y tratar de llegar a lo expresadoen el miembro izquierdo. Tambien, una manera menos elegante es trabajar algebraicamentey por separado con ambos miembros y llegar a una expresion comun.

7 La Circunferencia Trigonometrica

La identidad pitagorica fundamental,

cos2(α) + sen2(α) = 1

nos permite una visualizacion geometrica en un sistema de coordenadas con una geometrıaparticular.

En efecto, si llamamos x = cos(α) e y = sen(α) la identidad se puede escribir como

x2 + y2 = 1

Como hemos visto, esta ecuacion representa una circunferencia con centro en el origen y radiouno. Esta circunferencia se la denomina circunferencia trigonometrica.

Dada una circunferencia de radio 1, si medimos un angulo α en sentido positivo (antihorario)lo que obtenemos es que la coordenada x del punto es el cos(α) y la coordenada y es el sen(α)

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x

y

αcos(α)

sin(α)

1

1

−1

−1

En la circunferencia trigonometrica se puede aprovechar mejor si en ella visualizamos masrelaciones trigonometricas que el seno y el coseno.

Un grafico mas completo de la circunferencia trigonometrica es la que contiene todas lasrelaciones.

x

y

α

cos(α)

sin(α)

1

1

−1

−1

cose

c(α)

tan(α)

cotg(α)

sec(α)

Nota. El grafico completo es interesante desde el punto de vista de la visualizacion. Com-prueba que las longitudes indicadas se corresponden con las relaciones trigonometricas recı-procas.

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8 Relaciones Trigonometricas de Angulos compuestos

En ocasiones precisamos calcular las relaciones trigonometricas de angulos que son sumas odiferencias de angulos de los cuales conocemos sus relaciones trigonometricas.

Como ejemplo, si queremos obtener el valor de cos(75◦) podemos notar que 75◦ = 30◦ + 45◦.Ademas, las relaciones trigonometricas de 30 y 45 grados son simples de calcular.

Esto significa que puede ser de gran ayuda (y lo sera en diversas ramas de la matematica)tener expresiones para cos(α+β) y sen(α+β) a partir de las propias para α y β por separado.

Consideremos la siguiente figura inscripta en la circunferencia trigonometrica (recordemos quetiene radio unidad).

x

y

αβ

O A

B

Podemos ver que el triangulo OAB tiene por base cos(α+ β) y por altura, sin(α+ β). Otroaspecto que podemos notar es que la altura del triangulo OAB es la suma de las alturas delos triangulos senalados por verde y azul. Ademas, la base del triangulo OAB es la diferenciaentre la base del triangulo azul y la base del triangulo verde.

Calculemos las dimensiones de los triangulos verde y azul y con sus bases y alturas calculamosla base y altura del triangulo OAB que, como mencionamos, son los valores de cos(α+ β) ysin(α+ β), respectivamente.

Analicemos los triangulos verde y azul. Las dimensiones de cada triangulo son mostradas enla siguiente figura y se deja como ejercicio la verificacion.

α

sin(β)

sin(

β)·c

os(α)

sin(β) · sin(α)

α

cos(β

)

cos(β)·sin

(α)

cos(β) · cos(α)

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Con lo cual, la suma de las alturas es

sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β)

y la resta de las base azul con la base verde es

cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β)

Con este resultado podemos concluir que para la suma de angulos mostrados en la figuraobtenemos

sen(α+ β) = sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β)cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β)

Si bien estas relaciones las hemos obtenido para un caso particular, el resultado es valido engeneral y se aplica aun para la resta de angulos.

cos(α+ β) = cos(α) · cos(β)− sen(α) · sen(β)

sen(α+ β) = sen(α) · cos(β) + cos(α) · sen(β)

y para la resta,

cos(α− β) = cos(α) · cos(β) + sen(α) · sen(β)

sen(α− β) = sen(α) · cos(β)− cos(α) · sen(β)

Notemos que podemos aplicar estas propiedades para obtener

cos(2α) = cos(α+ α) = cos2(α)− sen2(α)

sen(2α) = sen(α+ α) = 2 sen(α) cos(α)

cos(π

2− α) = cos(

π

2) cos(α) + sen(

π

2) sen(α) = sen(α)

sen(π

2− α) = sen(

π

2) cos(α)− cos(

π

2) sen(α) = cos(α)

cos(π − α) = cos(π) cos(α) + sen(π) sen(α) = − cos(α)

sen(π − α) = sen(π) cos(α)− cos(π) sen(α) = sen(α)

(1)

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9 Resolucion de triangulos

En terminos generales, lo que entendemos por resolucion de triangulos es la determinacion dela medida de todos los lados y de todos los angulos.

Las herramientas basicas para la resolucion son, a saber

• El teorema de Pitagoras. En efecto, es este teorema el que vincula las longitudes de loslados, dos de los cuales son llamados catetos y el lado mayor -opuesto al angulo recto-denominado hipotenusa.

• La utilizacion de las relaciones trigonometricas para angulos en el primer cuadrante.

c

a

b

β

α

B C

A

La relacion entre los lados del triangulo de la figura viene dada a partir del Teorema dePitagoras, que establece

c2 = a2 + b2

Para cada angulo, las relaciones trigonometricas son

Para el angulo α

• sen(α) = ac

• cos(α) = bc

• tan(α) = ab

• sen(β) = bc

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• cos(β) = ac

• tan(β) = ba

Ejemplo.

Consideremos el triangulo rectangulo que se indica en la figura:

25

a

b

60◦

α

B C

A

Si queremos conocer todos los lados, podemos pensar de la siguiente manera:

Dado que

cos(60◦) =a

25

tenemos que podemos obtener el lado desconocido a.

a = 25 cos(60◦) = 251

2=

25

2

para conocer el lado b partimos de la relacion

c2 = a2 + b2

obteniendo

b =

√252 −

(25

2

)2

lo que resulta

b =

√3 · 252

2=

25√

3

2

Finalmente, como α+ 60◦ + 90◦ = 180◦, tenemos que α = 30◦.

Con estas operaciones, tenemos todos los lados y todos los angulos.

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α β

γ

c

ab

10 Teoremas del Seno y del Coseno

Consideremos ahora un triangulo cualesquiera, como muestra la figura.

Vamos a determinar relaciones entre los lados y los angulos.

Notemos que si identificamos la altura del triangulo con h y la incorporamos al grafico tenemosque el triangulo original es compuesto por dos triangulos rectangulos.

α β

γ

c

abh

A partir de lo visto para triangulos rectangulos, podemos observar que h es calculable devarias maneras, a saber

h = b · sen(α)

h = a · sen(β)

Lo que significa que igualando tenemos

b · sen(α) = a · sen(β)⇒ b

sen(β)=

a

sen(α)

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Si ahora rotamos el triangulo de manera tal que la base ahora sea a, por ejemplo, llegamos auna relacion similar entre b, c y los sen(β) y sen(γ). Se deja como ejercicio probar esto.

Lo que se obtiene es una relacion entre todos los lados del triangulo con sus angulos opuestos.Este resultado se conoce como Teorema del Seno

a

sen(α)=

b

sen(β)=

c

sen(γ)

Ahora, analizando nuevamente el mismo triangulo, podemos aplicar el teorema de Pitagorasy relacionar h con a, b y c

Tenemos queb2 = h2 + (c− a cos(β))2

Por otro lado, tenemos quea2 = h2 + (a cos(β))2

Igualando las expresiones para h2 tenemos

b2 − (c− a cos(β))2 = a2 − a2 cos2(β)

Desarrollando, obtenemos

b2 − c2 + 2ac cos(β)− a2 cos2(β) = a2 − a2 cos2(β)

simplificando y despejando b2 obtenemos

b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(β)

De manera analoga podemos obtener los valores de a2 y de b2, hallando,

a2 = b2 + c2 − 2 b c cos(α)

b2 = a2 + c2 − 2 a c cos(β)

c2 = a2 + b2 − 2 a b cos(γ)

Este resultado es conocido como Teorema del Coseno.

Observacion. Notemos que si el angulo γ = 90◦ la aplicacion del teorema del coseno nosconduce al Teorema de Pitagoras, para la hipotenusa c.

Aplicando los teoremas del seno y del coseno podemos resolver cualquier tipo de triangulo,ya no necesariamente rectangulo.

Con estos teoremas, ya podemos resolver cualquier tipo de triangulo. En la resolucion, esnecesario plantear con precision cuales son los datos y cuales las incognitas, para luego rela-cionarlas a traves de los teoremas.

Claramente, no hay una unica manera de resolver triangulos. Eventualmente, un caminopuede ser mejor que otro, en el sentido de llegar mas rapido al resultado buscado.

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Ejercitacion

1. Dibuja un angulo de 960◦.

2. Encuentra el angulo entre 0◦ y 360◦ que es coterminal con −690◦.

3. Encuentra el angulo complementario de 34◦15′

4. Encuentra el angulo suplementario de 104◦30′10′′

5. Convierte un angulo de 512π del sistema radial al sistema sexagesimal.

6. Convierte un angulo de 2 radianes a grados.

7. Convierte un angulo de 65◦ del sistema sexagesimal al sistema radial.

8. Convierte un angulo de 153◦40′ a radianes.

9. Encuentra la longitud del arco subtendido por un angulo central de 30◦ en una circunfer-encia de radio 7.

10. Encuentra la longitud del arco subtendido por un angulo central de 2 radianes en unacircunferencia de radio 6.

11. Encuentra las medidas en grados y en radianes del angulo obtuso formado por las agujasde un reloj:a) a las 7:00, b) a las 4:00, c) a las 5:30

12. La Tierra da una rotacion completa cada 24 horas. ¿Cuanto se demora en rotar unangulo de:a) 225 o, b) π

3 radianes?

13. Una rueda gira 700 vueltas por hora. En una hora:a) ¿Cuantos radianes gira la rueda?, b) ¿Cuantos grados gira la rueda?

14. Un pendulo de 80 cm se balancea de un lado a otro. En su movimiento la punta delpendulo recorre un arco de 40 cm de longitud en cada balanceo. ¿Cual es el numero de gradosque recorre el pendulo en un balanceo?

15. Si α es un angulo agudo y el sen(α) = 2/7, encuentra los valores de las demas relacionestrigonometricas de α.

16. Indica la opcion correcta y justifica tu eleccion:El sen(1.320◦) es igual a:a) sen(60◦) y cos(30◦)b) − sen(30◦) y − cos(30◦)c) sen(30◦) y cos(60◦)d) − sen(60◦) y − cos(30◦)

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e) − sen(30◦) y − cos(60◦)

17. Si cos(x) = 17 y x pertenece al IV cuadrante, calcula sen(x) .

18. Si sen(x) = 13 y cos(x) < 0 , calcula el valor exacto de cos(x) y de tan(x).

19. Encuentra los valores de t tal que 0 ≤ t ≤ 360◦ y

4 cos2(t) = 3− 4 cos(t)

20. A partir de las definiciones y de la identidad fundamental,

sen2(α) + cos2(α) = 1

decide si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificaa) Si θ pertenece al segundo cuadrante, sen(θ) ≥ 0 y cos(θ) ≤ 0b) Si θ pertenece al tercer cuadrante, cos(θ) ≥ 0 o sin(θ) ≥ 2

c) Si sen(θ) =√22 , entonces cos(θ) =

√22

d) Si sen(θ) = −12 , entonces cos(θ) = −

√32

e) Si sen(θ) = −12 y θ pertenece al cuarto cuadrante entonces cos(θ) =

√32

21. Sea η un angulo del cuarto cuadrante tal que cotg(η) = −5. Calcula las restantesrelaciones trigonometricas.

22. Encuentra el angulo θ ∈ [π, 32π] que satisfaga

2 sen2(θ)− 5 sen(θ) = 3

23. Dados dos angulos α y β y asumiendo que se conocen por separado los valores de sen(α),cos(α), sen(β) y cos(β) escribe las expresiones correspondientes paraa1) sen(α+ β), a2) sen(α− β)b1) cos(α+ β), b2) cos(α− β)c1) tan(α+ β), c2) tan(α− β)d1) sen(2α), d2) cos(2α), d3) tan(2α)

24. Conociendo los valores de las relaciones trigonometricas para angulos determinados com-pruebaa) sin(π2 − α) = cos(α)b) cos(π2 − α) = sin(α)c) sin(π ± α) = ∓ sin(α)d) cos(π ± α) = − cos(α) (siempre menos)e) sin(−α) = − sin(α) (Se dice que el seno es una funcion impar)f) cos(−α) = cos(α) (Se dice que el coseno es una funcion par)

25 Escribe los angulos como suma o resta de angulos (cuyas relaciones trigonometricas seanconocidas) y aplicando las relaciones correspondientes calcula

a) sin(15◦) = sin(60◦ − 45◦) (ejemplo)

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b) cos(75◦)c) sin(165◦)d) tan(300◦)

26. Dado el triangulo rectangulo de la figura, obtiene el valor de todos los lados y todos losangulos.a) α = 30◦, b = 1b) β = 30◦, c = 1c) a = 3, b = 4 d) α = 45◦, a = 1

c

a

b

β

α

B C

A

e) β = 45◦, c =√

2f) a = 2, c = 3g) a = x, b = x+ 1, c = x+ 2. Hallar x y todos los parametros del triangulo.

27. Determina los angulos y los lados del triangulo de vertices (1,-1), (0,1) y (2,3).

28. Que distancia recorrio una persona si primero camino 4 km en direccion sur y luego 2km en direccion sudoeste?

29. a) Determina el valor del lado de un hexagono regular inscripto en un cırculo de radio 1 .b) Determina el valor del lado de un polıgono regular de n lados inscripto en un cırculo deradio r.

30. a) Calcula en forma exacta (sin calculadora), cos(105◦)b) Halla, explicitando todos los calculos, el valor exacto de la siguiente expresion:[

tan2(30◦) + cos2(60◦)− sec2(30◦)]

3 sen(150◦) + cos2(105◦)

31. Sea θ el angulo del segundo cuadrante tal que sen θ = 3/5 y sea φ el angulo que, ubicadoen posicion normal, tiene su lado terminal pasando por el punto P (−

√5,−1).

a) Determina el valor de las restantes relaciones trigonometricas del angulo θb) Halla el valor exacto de sen(θ + φ)

32. Un faro de 30 m. de altura se encuentra ubicado sobre un acantilado. Si desde un barco,en un instante dado, se observa el extremo y la base del faro bajo angulos de elevacion de 45◦

y 30◦ respectivamente, determina a que distancia, aproximadamente, se encuentra el barco

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de la perpendicular que contiene al eje del faro. Grafica la situacion y justifica. (Aproxima elnumero

√2 con el valor 1,4).

33. Un cierto dıa de primavera, un edificio de 100 m de altura proyecto una sombra de 16,50m de largo. Cual era el angulo de elevacion del sol?

34. Un avion vuela entre las ciudades A y B que distan entre sı 80 km. En determinadoinstante las visuales desde el avion a A y a B forman angulos de depresion de 30◦ y 45◦

respectivamente. A que altura esta el avion en ese instante?

35. Un paralelogramo de lados 4 cm y 5 cm tiene una diagonal que forma 30◦ con el ladomayor. Calcula las diagonales y el area del mismo.

36. Determina el valor del area sombreada, sabiendo que el cırculo tiene radio unidad.

37. Dado el triangulo, completa la siguiente tabla

α β

γ

c

ab

a b c α[◦] β[◦] γ[◦]

10 9 70

12 30 100

6 7 8

10 6 45

10 45 75

1√

3 30

Para todos los casos, expresa el valor del area.

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