MATEMÁTICANÚMEROS NATURALES

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EJERCITANDO CON NATURALES

1) Halle dos números, sabiendo que su suma es 240 y su mínimo común múltiplo es 1768.

Sean x e y los números buscados y sea . . . ,mc m x y M . Como M es el mínimo común

múltiplo entonces M

kx y

Mt

y con k y t números naturales primos entre sí, con lo cual

luego de despejar resulta M

xk

y también M

yt

. Ahora reemplacemos por los valores

correspondientes tenemos:

1768x

k y además

1768y

t

Usemos el dato de la suma, como 240x y entonces:

1768 1768240

1768 1768240

1768240

240

1768

30

221

k t

t k

kt

t k

kt

t k

kt

t k

kt

+

En esta expresión, recordar que ambas fracciones son irreductibles por lo tanto sus

denominadores son iguales, es decir 221kt y como la descomposición prime de 221 es

221 13 17 necesariamente 17k y 13t (o al revés, esto no influye en el resultado final).

Podemos concluir que como 1768

xk

entonces 1768

10417

x y a la vez 1768

yt

implica que

1768136

13y

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2) Determine dos números naturales sabiendo que su mínimo común múltiplo es 360 y la

suma de sus cuadrados es 5409.

Procedemos de igual forma al problema anterior. Si x e y son los números buscados entonces

360k

x y por su parte

360t

y con ambas nuevas variables primas entre sí.

Despejamos tanto x como y .

360x

k

360y

t

Como conocemos la suma de los cuadrados podemos plantear la ecuación

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

5409

360 3605409

360 3605409

360 3605409

3605409

5409

360

601

14.400

x y

k t

k t

t k

k t

t k

k t

t k

k t

t k

k t

Recordemos que las últimas dos fracciones son irreductibles, con lo cual sus numeradores y sus

denominadores son respectivamente iguales. Hagamos ahora la descomposición prima de 14.400

en esta debemos obtener dos cuadrados multiplicándose.

6 2 2

14.400 144 100

12 12 10 10

2 3 5

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Manipulando esta descomposición podemos expresar 14.400 como una serie de parejas de

cuadrados multiplicándose.

2 212 10 2 24 30 2 28 15 2 23 40 2 26 20 2 224 5

De todas estas parejas la única que sirve es la última, pues 2 224 5 14.400 y 2 224 5 601 .

Entonces 24k y 5t (o viceversa, esto no influye).

Ahora continuamos para hallar x e y .

360 36015

24x

k

360 36072

5y

t

Comprueba que esta pareja de números satisface las condiciones del problema inicial.

4) Determinar si es que existen ,a b tales que 56a b y . . . , 105mc m a b

Siguiendo lo realizado en los dos problemas anteriores tenemos que 105

ak

y 105

bt

.

Sustituyamos ahora en la ecuación inicial

56

105 10556

105 10556

10556

56

105

8

15

a b

k t

t k

kt

t k

kt

t k

kt

t k

kt

Aquí los valores buscados son 5k y 3t (o viceversa) con lo cual

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105 10521

5a

k

105 10535

3b

t

Compruebe que los valores obtenidos satisfacen las condiciones iniciales.

5) Sean a , b y c tres números enteros positivos tales que a y b son primos entre sí.

Prueba que si |a c y |b c , entonces |ab c . ¿Se verifica también si a y b no son primos

entre sí? En caso afirmativo demuéstrelo y en caso contrario dé un contra ejemplo.

Como se sabe que |a c y |b c entonces esto quiere decir que 1c p a y 2c p b . Además

como a y b son primos entre sí, entonces por el teorema de Bezout existen dos enteros s y t

tales que

1 sa tb con 1 . . ,mc d a b

Si amplificamos por c esta igualdad se obtiene

2 1

2 1

c csa ctb

c p bsa p atb

c p s ab p t ab

c mab nab

Con 2m p s y 1n p t números enteros. Si factorizamos por ab resulta

c ab m n

Y de esta forma hemos demostrado que c es divisible por ab .

Notemos ahora que en caso de que a y b no sean primos entre sí, la afirmación es falsa.

Considere el siguiente contra ejemplo:

Sean 12a , 15b y 60c , fíjese que |a c así como |b c , pero 12 15 180ab no divide a

c .

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6) Pruebe que si . . , . . ,mc d a b mc d b a a b .

Sea . . , . . ,mc m a b mc d a b m , dado que m es el mínimo común múltiplo se deducen las

siguientes ecuaciones:

i) m a p

ii) m b q con ,p q

Además como m es a la vez el máximo común divisor podemos obtener las ecuaciones

iii) a m s

iv) b m t con ,s t

Mezclemos las ecuaciones iii) y i)

a m s

a a p s

De esta expresión deducimos que 1p s

Análogamente si mezclamos las ecuaciones iv) y ii)

b m t

b b q t

Con lo cual 1b q

Finalmente si unimos las ecuaciones iii) y ii)

a m s

a b q s

Considerando que 1q s se deduce que a b

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7) Si ,a b , y si |a b calcule . . ,m c d a b y . . ,m c m a b .

Primeros probaremos que el máximo común divisor entre a y b es precisamente a .

Sea . . ,mc d a b d , por teorema de Bezout existen ,x y tales que d ax by , pero como

|a b entonces b ak , si reemplazamos esta última igualdad en la anterior obtenemos

d ax by

d ax aky

d a x ky

De esta ecuación se desprende que |a d y por definición |d a y al ser ambos números naturales

se concluye que a d .

Calculemos ahora el mínimo común múltiplo entre ambos.

Sea . . ,mc m a b m , debemos demostrar que m b . Esto es fácil una vez demostrado que

a d pues por propiedad:

a b d m

a b a m

b m

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8) Muestre que si 4 1p k y 3 ´ 1p k entonces hay un ´́k tal que 12 ´́ 1p k

Del enunciado se desprenden las siguientes ecuaciones:

4 1

3 ´ 1

k p

k p

Si multiplicamos los términos respectivos de cada lado de la igualdad obtenemos la ecuación

siguiente:

2

4 3 ´ 1k k p

Si denotamos ´́ ´k k k tenemos que 2

12 ´́ 1k p , esto significa que 12 divide a 2

1p y

esto significa a la vez que 12 | 1p , por lo cual

1 12 ´́

12 ´́ 1

p k

p k

Que es justo lo solicitado a demostrar.

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9) Si dos números son relativamente primos. ¿Cuál es su m.c.d y du m.c.m?

En este caso . . , 1mc d a b y . . ,mc m a b ab .

10) Halle la diferencia de dos números enteros ,a b , si se sabe que su producto es 7776 y

que

2 3

. . , . . ,4

m c d a b m c m a b

Sea . . ,d mc d a b entonces

|

|

d a a kd

d b b td

Con k y t primos entre si.

Además denotamos por . . ,m mc m a b , por la información presente en el enunciado, la cual

relaciona d con m tenemos la ecuación 23

4d m o equivalentemente 2

4

3d m .

Como de la teoría se sabe que ab dm , podemos hacer la siguiente sustitución

2 3 34 4 7776 5.8323 3

18

ab dm

ab d d d d

d

Con este valor, y recordando además que 2 7776ab kd td ktd , podemos hallar los valores

tanto de k como de t .

2

2

7776

18 7776

324 7776

24

ktd

kt

kt

kt

La única combinación de números que da 24, siendo ambos factores primos entre si es con 8 y 3,

por lo tanto 8k y 3t (o viceversa), luego de reemplazarlos en las ecuaciones asociadas al

máximo común divisor se llega a 144a y 54b .

¡COMPRUEBE QUE ESTOS NÚMEROS SATISFACEN LAS CONDICIONES DEL ENUNCIADO!

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11) Sean ,a b , ,p q primos. Probar:

a) 2| |p a p a

Por propiedad, si |p xy , entonces |p x o bien |p y . Entonces dado que 2a a a podemos

decir que 2| |p a p a a de lo que se concluye que |p a .

b) 2 2| |p a p a

Como 2 2 2 2|p a a kp con k . Además como 2p p p podemos reescribir la expresión

de la siguiente forma:

2 2

2

2

a kp

a kp p

a p

Con lo cual 2|p a y por la proposición a), entonces |p a

c) p q , |p a , | |q a pq a

Si |p a entonces a kp y dado que |q a sucede que a tq . Si multiplicamos los lados

respectivos de ambas ecuaciones se obtiene

2

2

a kp tq

a kt pq

Si denotamos kt tenemos que 2a pq , lo que implica que 2|pq a y por proposición a)

|pq a .

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12) Encuentre el menor número natural n tal que !n es divisible por 990.

Como !n debe ser divisible por 990, entonces debe contener en su factorización prima a todos los

factores primos de 990. Descompongamos 990:

2990 11 5 3 2

De la descomposición se aprecia que n debe ser mayor o igual que 11, por lo tanto el menor

valor posible es precisamente 11.

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