MATEMÁTICA

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática

Universidad de Buenos Aires

2002

V 2.01

INDICE GENERAL

1.- QUE, PORQUE Y COMO MATEMATICA 2.- CONJUNTOS 3.- LOGICA 4.- RELACIONES Y FUNCIONES 5.- ESTRUCTURAS EN GENERAL 6.- NÚMEROS N, Z,Q 7.- ESTRUCTURA METRICA /Q 8.- SERIES NUMÉRICAS 9.- NÚMEROS R,C EEM/R 10.- ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS 11.- ALGEBRA LINEAL 12.- DIFERENCIAL 13.- POLINOMIOS Y DIFERENCIAS FINITAS 16.- INTEGRALES 17.- INTEGRALES IMPROPIAS 18.- FUNCIONES EULERIANAS 19.- INTEGRALES ELIPTICAS - FUNCIONES ELÍPTICAS 20.- INTEGRALES DE LINEA - ANALISIS VECTORIAL 21.- CU 22.- VARIABLE COMPLEJA 23.- EDDT 24.- STURM LIOUVILLE 25.- SERIE DE FOURIER 26.- Z DE RIEMANN 27.- POLINOMIOS ORTOGONALES 28.- BESSEL 29.- LEGENDRE 30.- TCHEBICHEV 31.- HERMITE 33.- LAGUERRE 40.- EDDP 41.- T. FOURIER 42.- T. LAPLACE 44.- TZ 53.- TENSORES

QUE Y PORQUE MATEMÁTICA

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingeniería

Departamento de Matemática

Universidad de Buenos Aires

2002

V 2.01

INDICE

1.- QUE Y PORQUE MATEMATICA 1.1.- INTRODUCCION 1.2.- CAOS Y ORDEN 1.2.1.- LAS PREGUNTAS 1.2.2.- EL SISTEMA Y SU REPRESENTACION 1.2.3.- LA NECESIDAD DE ORDEN 1.3.- ORDEN: EL UNIVERSO, SISTEMA HOMBRE NATURALEZA 1.4.- OBJETIVOS PRIMARIOS DEL HOMBRE Y CONSECUENCIAS 1.4.1.- HOMBRE Y SOCIEDAD - MOVIMIENTO 1.4.2.- OBJETIVOS PRIMARIOS 1.4.3.- OBJETIVOS SECUNDARIOS 1.4.4.- CIENCIA 1.5.- SOCIEDAD 1.5.1.- PORQUE SOCIEDAD 1.5.2.- DESCRIPCION DE LAS CARACTERISTICAS DE LA SOCIEDAD. MODELO DE SISTEMA SOCIAL 1.5.2.1.- PORQUE MODELO DE SISTEMA SOCIAL 1.5.2.2.- ELEMENTOS DEL SISTEMA SOCIAL 1.5.2.3.- OBJETIVOS DEL SISTEMA SOCIAL 1.5.2.4.- NECESIDAD DE COORDINACION. ESQUEMA DE DIRECCION 1.5.2.5.- SUBSISTEMAS 1.5.2.6.- SISTEMAS DE INFORMACION 1.6.- CIENCIA 1.6.1.- PRONOSTICO Y MODELO 1.6.2.- MODELO Y LENGUAJE 1.6.3.- DESCRIPCION DEL MODELO DE MODELOS: EL MODELO CIENTIFICO 1.6.3.1.- FASE EXPERIMENTAL 1.6.3.2.- FASE HIPOTETICO-DEDUCTIVA 1.6.3.3.- FASE DE APLICACION 1.6.3.4.- FASE DE VERIFICACION 1.6.4.- PORQUE HACER MODELOS - REALIDAD 1.6.4.1.- PORQUE MODELOS 1.6.4.2.- MODELOS Y REALIDAD 1.7.- LENGUAJE 1.7.1.- QUE ES UN LENGUAJE 1.7.1.1.- EL PORQUE DE UN LENGUAJE (COMO SE LLEGA A UN LENGUAJE) 1.7.1.2.- EL COMO DE UN LENGUAJE (COMO SE CONSTRUYE UN LENGUAJE) 1.7.2.- ELEMENTOS DE UN LENGUAJE 1.7.2.1.- BUSQUEDA DE LOS ELEMENTOS DE UN LENGUAJE. GENESIS DE UN LENGUAJE 1.7.2.2.- RESUMEN DE LOS ELEMENTOS DE UN LENGUAJE 1.7.3.- CLASIFICACION DE ELEMENTOS (ENTES) Y CONECTIVOS. 1.7.3.1.- SÍMBOLOS BÁSICOS: OBJETOS O ENTES DEL SISTEMA 1.7.3.2.- CONECTIVOS 1.7.3.3.- SIMBOLOS DE PUNTUACION

1.7.4.- SIMBOLOS BÁSICOS: OBJETOS O ENTES DEL SISTEMA 1.7.4.1.- DEFINICIÓN DE SÍMBOLO BASICO 1.7.4.2.- EJEMPLOS DE LENGUAJES 1.7.5.- EXPRESIONES 1.7.5.1.- TIPOS DE EXPRESIONES 1.7.5.2.- REGLAS DE ARMADO DE EXPRESIONES 1.7.6.- DEFINICIÓN 1.7.6.1.- DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN 1.7.6.2.- ESTRUCTURACIÓN DE LA DEFINICIÓN 1.7.6.3.- REGLAS DE REEMPLAZO 1.7.6.4- SECUENCIA DE DEFINICIONES: RED 1.7.7.- RED DE SÍMBOLOS (BÁSICOS Y DEFINICIONES) 1.7.7.1.- CARACTERÍSTICA DE UNA RED DE SÍMBOLOS (BÁSICOS Y DEFINICIONES) 1.7.7.1.- EJEMPLO DE REDES 1.7.8.- DESCRIPCIÓN DE UN MODELO 1.7.9.- SISTEMA DE CARACTERES 1.7.9.1.- LETRAS 1.7.9.2.- REGLAS DE COMBINACIÓN DE CARACTERES 1.8.- SINTESIS QUE ES LA MATEMÁTICA 1.8.1.- RED DE IDEAS 1.8.2.- DIAGRAMA DE LA RED CIENCIA-MATEMÁTICA

LISTA DE IDEAS PARA SAC 1.7.- LENGUAJE 1.7.1.- QUE ES UN LENGUAJE 1.7.1.1.- EL PORQUE DE UN LENGUAJE (COMO SE LLEGA A UN LENGUAJE) 1.- Objetivos J ===> 2.- Pronostico: Ciencia - Modelo - Metodo Cientifico ===> 3.- Lenguaje es el medio para la representacion de los Modelos. 4.- Como describir un modelo: elementos, axiomas, teoremas. 5.- Modelo <===> Lenguaje 1.7.1.2.- EL COMO DE UN LENGUAJE (COMO SE CONSTRUYE UN LENGUAJE) 1.- Existen codigos de elementos (objetos, entes) y sus relaciones (conectivos). 2.- Existe una gramatica 3.- Existe una logica (parte de la gramatica) 4.- Arbitrariedad de un lenguaje ===> 5.- Economia de un lenguaje 1.7.2.- ELEMENTOS DE UN LENGUAJE 1.7.2.1.- BUSQUEDA DE LOS ELEMENTOS DE UN LENGUAJE. GENESIS DE UN LENGUAJE 1.- Experimentacion con un Lenguaje 2.- Palabras (simbolos del Lenguaje) 3.- Estructura de Palabras: expresiones 4.- Gramatica 5.- Significado Definicion Asignacion SN := Reduccion a otros conceptos predefinidos 6.- Convencion. Incomunicacion 7.- Red 8.- Conceptos primitivos 1.7.2.2.- RESUMEN DE LOS ELEMENTOS DE UN LENGUAJE

MATEMÁTICA 1.- QUE, PORQUE Y COMO MATEMÁTICA 1.1.- INTRODUCCIÓN

Para poder encarar el alcance de cualquier objetivo, deben estar en claro como mínimo 3 cosas: 1.- Comprender profundamente la esencia del objetivo. 2.- Cual es la razón de su consecución. 3.- Como llegar al mismo. En nuestro caso el objetivo es hacer Matemática, entonces debe estar claro el que, el porque y el como de la misma. Efectivamente, la Matemática se hace, pues es una construcción del hombre. Entonces, como en toda construcción o hacer humano, debemos plantear y contestar los interrogantes: Que es la Matemática? En segundo termino debe saberse lo que se pretende lograr con la Matemática. Para que sirve? Como hacer la Matemática? La respuesta a estas preguntas significa, establecer los primeros códigos comunes para hacer Matemática entre todos. Para poder contestar las cuestiones planteadas, el primer paso es establecer el contexto o universo donde se construye la Matemática. Ello significa dejar en claro conceptos generales previos como: El Hombre, su Medio y sus Objetivos o necesidades La Ciencia y el Método científico El Lenguaje Estos conceptos por otra parte aparecen en cualquier estudio o áreas de la ciencia como: Física Medicina, Ciencias Sociales Psicología, Sistemas, Etc Ciencia Método Científico Matemática

Una vez definido que es la Matemática y su porque, en segundo termino interesa, el como hacer Matemática. No cualquier forma es válida. No cualquier manera nos lleva a nuestros objetivos, el esfuerzo, el rigor, la precisión y la verificación del trabajo son necesarios para que las construcciones que se hagan, tengan sustento y validez. Responder a estas inquietudes es el objetivo de esta introducción.

1.2.- CAOS Y ORDEN (CAOS Y COSMOS) 1.2.1.- LAS PREGUNTAS

Para comprender que es y el porque de la Matemática y en consecuencia como hacerla, se puede partir de alguna manera, haciéndonos preguntas, buceando aun sin orden, para descubrir los elementos del Sistema bajo análisis, y las interrelaciones que los ligan. Esto es el Sistema Naturaleza-Hombre. Una vez identificado como esta compuesto, ordenar sus características y dentro de ellas como encaja la Matemática. Para empezar se puede presentar una serie de preguntas, que a su vez se desgranan en otras: Matemática Que es la matemática? Número La ciencia de los números? Que es un número? Herramienta Una herramienta? Un método? La matemática se investiga en la naturaleza o se hace? La matemática es un lenguaje? Lógica Que es la lógica? Hay una sola lógica? Ingeniería Que es la ingeniería? Porque estudiar ingeniería? Es el estudio de la realidad física? Esto es el estudio de la naturaleza? Como se relacionan la lógica, la matemática y la ingeniería? Realidad Que es la realidad? Hay una sola realidad? Es objetiva o subjetiva es decir depende del sujeto? Verdad Que es la verdad? La verdad es la realidad? Que es el universo? Naturaleza Que es la naturaleza? Como interactúa el hombre con la naturaleza? Física Que es la física? Sociedad Como interactúa el hombre con su sociedad? Las preguntas son múltiples, pero todas están relacionadas o ligadas y además involucradas, es decir forman parte de otras preguntas como: Ciencia Que es la ciencia? Hay una sola ciencia? Conocimiento Cual es el método de la ciencia? Modelo Que es un modelo? Representación Información Lenguaje Que es un lenguaje?

1.2.2.- EL SISTEMA Y SU REPRESENTACIÓN El Sistema bajo estudio es el Sistema Naturaleza-Hombre. Para la descripción de cualquier sistema, este debe poder ser representado tanto para uno mismo como para

otras personas. Esta representación significa establecer códigos convenidos (símbolos) para representar los elementos (objetos) y las interrelaciones del sistema. Recién después de haber descrito el sistema (establecido los símbolos) se puede realizar una transmisión de información (transmisión de símbolos) entre mas de dos personas. Eso es establecer una comunicación entre un emisor y un receptor con la condición que los códigos convenidos sean comunes. Emisor →→→→ !Uhh!Uhh Receptor

Obs 1: El emisor y receptor no son necesariamente personas. Obs 2: Los símbolos son los vehículos de la información o son la información misma?. Obs 3: Se remarca que la definición de estos códigos comunes, no es solamente una necesidad compartida entre

emisor y receptor, sino también una necesidad singular del individuo para poder representar para si mismo el sistema. Los objetos y sus interrelaciones por medio de sus sensaciones. (Estructurar ideas y modelos)

Obs 4: El sistema de los símbolos convenidos y sus reglas de relación estructuran un lenguaje. (Sistema

lenguaje). Los símbolos elegidos para la descripción de un sistema físico y sus interrelaciones conforma un modelo.

La descripción de un sistema y su eventual comunicación se hace imposible, si las convenciones son imprecisas y faltas de rigor o precisión. Si no se tienen ideas claras al respecto, que, como, donde, cuando y porque de cada símbolo (definición) , como también si se tienen interpretaciones diferentes, no existe modelo ni comunicación, y se pierden de vista los objetivos que se persiguen y finalmente no se sabe que se esta haciendo. El estudio de un sistema y su comunicación se vuelve una sopa de letras. Palabras inconexas, solo sonidos o símbolos sin sentido, incomprensibles. Para cualquier estudio en general, y en particular para estudiar matemática tenemos muchos códigos a convenir clara y unívocamente. Hay símbolos y conceptos que debemos asegurar conocer con claridad, que son los indicados anteriormente

1.2.3.- LA NECESIDAD DE ORDEN

Hagamos orden. Sin orden no puede comprenderse nada. Hay muchos conceptos interrelacionados. Hay muchos códigos

que deben convenirse o establecerse en forma univoca, clara y de común acuerdo. Debe armarse o estructurarse un rompecabezas.

El orden es la base del saber, de la ciencia.

1.3.- ORDEN. EL UNIVERSO: SISTEMA NATURALEZA-HOMBRE Orden.

Para comenzar a poner un orden en la multitud de conceptos que necesitamos, el primer símbolo a presentar

es el Sistema (espacio, ámbito, conjunto, universo, contexto, entorno) de elementos involucrados en nuestro interés (comunicación).

Primer hecho concreto: Existe un Sistema ( Conjunto ) de elementos materiales y animales que incluye al

hombre. El hombre es parte y esta unido en forma indisoluble con la naturaleza. Esto es el Sistema donde estamos inmersos, el entorno del hombre, lo que produce sensaciones, lo que se

interrelaciona o interactúa con nosotros, el conjunto de elementos de la naturaleza, también como elemento esencial, como actor indispensable el hombre mismo.

Porque es importante considerar el sistema con el hombre? Porque el hombre es el que quiere y actúa para modificar su medio. Esto es porque tiene objetivos a satisfacer.

Las modificaciones ( o acciones) son para lograr los objetivos que el hombre se plantea. Sin hombre el Sistema carecería de objetivos y seria pasivo a una eventual acción de otros elementos, y no la

voluntad u opción humana. Porque es importante considerar el sistema con interrelaciones? En caso contrario si hubiera partes sin

interrelaciones, estas no tendrían reciproca influencia, y lo practico es estudiar dicho sistema como dos sistemas independientes.

1.4.- OBJETIVOS PRIMARIOS DEL HOMBRE Y CONSECUENCIAS 1.4.1.- HOMBRE Y SOCIEDAD - MOVIMIENTO Existen entes físicos pasivos que producen sensaciones al hombre que es el sujeto activo. Los objetivos que tiene o se plantea el hombre le dan un carácter particular, la de sujeto activo, de voluntad

modificadora. Es decir que la participación del hombre en un sistema presenta un carácter distintivo para el sistema: lo puede modificar.

El hombre (y su sociedad) deben moverse (actuar, hacer) para lograr sus objetivos.

Como medio de regulación del movimiento aparece otro principio: el de economía de esfuerzos o del trabajo.

Esto consiste en alcanzar los objetivos con esfuerzo mínimo.

1.4.2.- OBJETIVOS PRIMARIOS

Los objetivos de un Sistema pueden ser de distinto nivel o jerarquía. Se destacan en primer lugar los que se llamarán básicos o primarios pues todos los demás están supeditados a ellos. Son los que impulsan a actuar al hombre en pos de ellos.

Hay objetivos primarios o básicos: supervivencia individual alimentación seguridad salud vivienda supervivencia colectiva reproducción Obs: Ciertos objetivos individuales se transforman en sociales: salud (epidemias), seguridad (guerra) etc 1.4.3.- OBJETIVOS SECUNDARIOS Para satisfacer los Objetivos Primarios hay obtener Objetivos Secundarios que son un paso o un medio para la

consecución de los primarios, es decir se forma una cadena de medios y fines. Un ejemplo de un objetivo de segundo orden es la vacunación masiva de una población para alcanzar la

sanidad colectiva e individual Un ejemplo de como se forma una cadena de fines y medios en un grupo humano que trabaja interrelacionado es

la siguiente: Para alcanzar cualquier un Objetivo Primario del Sistema, y teniendo en cuenta a la economía de esfuerzos o del

trabajo aparecen en el sistema social el concepto de División del trabajo pues hay tareas que se realizan mejor o con mayor eficiencia en grupo.

A su vez la División de Trabajo lleva a la necesidad de que exista Planificación y Control del trabajo. Para regir

esta tarea se hace necesario la figura del Ente Director o Cerebro del Sistema. Entonces, la División del trabajo será un medio para el Objetivo Primario y es un fin para el Planificador y

Control del Trabajo. Siguiendo con la cascada de medios y fines el Ente Director necesita un Sistema de Información, que será un

fin para el Analista de Sistemas y un medio para el Ente Director. Así sigue la cadena de fines y medios. 1.- Objetivo Primario 2.- División del Trabajo 3.- Planificación del Trabajo Control del Trabajo Ente Directivo 4.- Sistemas de Información Analista de Sistema

1.4.4.- CIENCIA Para poder satisfacer sus objetivos primarios tanto en sentido individual como colectivo el hombre construye

la Ciencia. Esto consiste en la creación de Modelos de Proyección o Decisión que son representaciones del funcionamiento

de los sistemas bajo análisis, a los efectos de poder establecer patrones de repetición que permitan prever o pronosticar su comportamiento futuro.

Para actuar el hombre tiene que elegir entre alternativas, y para ello debe tener capacidad de pronóstico. La ciencia que se puede llamar también denominar conjunto de conocimientos constituido por modelos de

Sistemas, tiene entonces como objeto pronosticar o proyectar . Esto vale para cualquier rama de la ciencia, aún las más dispares.

Conocimiento ⇔⇔⇔⇔ Construir modelos de proyección ⇔⇔⇔⇔ Ciencia

1.5.- SOCIEDAD 1.5.1.- PORQUE SOCIEDAD

Los objetivos de supervivencia colectiva, y de economía del trabajo hacen necesario que el hombre necesite

integrarse en sociedad. Dichos objetivos primarios (sanidad, seguridad, reproducción etc) generan objetivos secundarios, que son

medios de los primeros para su consecución. Esto hace que el hombre conforme por conveniencia una sociedad. El Sistema sociedad existe. Para lograr sus objetivos con menos esfuerzos el hombre le conviene asociarse. Mayor eficiencia y eficacia. 1.5.2.- DESCRIPCIÓN DE LAS CARACTERISTICAS DE LA SOCIEDAD. MODELO DE SISTEMA SOCIAL Como se verá esta descripción no es otra cosa que lo que se llamara un modelo de Sociedad. Servirá por una

parte para analizar los elementos (componentes), interrelaciones (conexiones) y movimientos (evoluciones) del Sistema Sociedad, y por otra parte como ejemplo adelantado del concepto de Modelo.

1.5.2.1.- PORQUE MODELO DE SISTEMA SOCIAL Justamente para hacer el análisis los elementos (componentes), interrelaciones (conexiones) y movimientos

(evoluciones) del Sistema Sociedad que no es otro que el análisis del funcionamiento de grupos de hombres. También el modelo que se construya debe servir para hacer la síntesis de hacia donde debe evolucionar el

Sistema Social, es decir pronosticar su evolución. Se destaca entonces que el hombre puede optar hacia donde llevar al Sistema. El hombre puede definir los

objetivos del Sistema.

El Modelo Social (Conjunto de hombres) tiene una gran cantidad de aplicaciones, que son análogas entre si. Como por ejemplo:

Sociedad Nación Estado Provincia Municipio Escuela Equipo de Futbol Empresa La existencia de interrelación de los elementos del sistema es lo que establece la conveniencia del estudio

integral. En caso de haber partes no coordinadas o relacionadas conviene su estudio como 2 sistemas separados por

economía de esfuerzos. 1.5.2.2.- ELEMENTOS DEL SISTEMA SOCIAL En un esquema del Modelo Social se pueden encontrar los siguientes elementos : a.- Hombres y Elementos materiales con objetivos. b.- Interrelaciones entre los componentes c.- Movimiento o evolución de las partes

d.- Como medio de regulación del movimiento aparece otro principio: el de economía de esfuerzos o del

trabajo. Esto consiste en alcanzar los objetivos con esfuerzo mínimo. 1.5.2.3.- OBJETIVOS DEL SISTEMA SOCIAL Se encuentran entre los objetivos a.- Individuales b.- Sociales o comunes

1.5.2.4.- NECESIDAD DE COORDINACIÓN. ESQUEMA DE DIRECCIÓN Existe la necesidad de Dirección o Cerebro con el fin de 1.- Fijar objetivos del Sistema 2.- Ordenar, coordinar y controlar la ejecución de los movimientos del Sistema hacia la consecución

de sus objetivos El esquema de funcionamiento de la Dirección es el esquema de realimentación:

1.5.2.5.- SUBSISTEMAS Por economía de esfuerzos es conveniente la división de tareas, y entonces se divide el sistema en partes que

se llaman Subsistemas. Estos subsistemas tienen en si la esencia y características de funcionamiento que los sistemas: 1.- Elementos materiales y humanos con Objetivos 2.- Dirección y esquema de realimentación 3.- Pueden dividirse en subsistemas Con la única diferencia que los objetivos son fijados por la instancia superior. Los subsistemas son medios del Sistema o de la instancia superior. Se forma así una cadena de medios y

fines coordinada en cada nivel. 1.5.2.6.- SISTEMA DE INFORMACIÓN O REPRESENTACIÓN El Modelo Social lleva finalmente en la cadena de fines y medios a la construcción de modelos de sistemas para

pronosticar el futuro y tomar decisiones. Esto es la ciencia, y con ella se implica automáticamente la construcción de Lenguajes que son sistemas de representación de dichos modelos.

1.6.- CIENCIA 1.6.1.- PRONOSTICO Y MODELO Es conveniente para el hombre pronosticar o proyectar. Para actuar (modificar) tendiendo a alcanzar sus objetivos el Hombre debe poder anticipar, es decir pronosticar

el efecto de sus acciones. Esto representa elegir entre posibles caminos alternativos, o sea tomar las decisiones entre las opciones posibles.

La base de cualquier pronostico es la estructuración (armado o construcción) de modelos de comportamiento de los sistemas involucrados. Estos son los modelos de la ciencia (la ciencia misma). Esta idea se extiende por supuesto a todas las ramas de la ciencia, aún las más dispares.

La descripción de los modelos parte del supuesto que hay una invariancia o constancia de comportamiento del sistema que permite la extrapolación de dicho comportamiento en el tiempo: el pronóstico.

Hacer ciencia es entonces construir, armar, hacer modelos para pronosticar. El método científico (modelo de modelos) es un esquema de procedimiento para ello.

1.6.2.- MODELO Y LENGUAJE La representación de un modelo se formula con un conjunto de símbolos que conforman un lenguaje. Puede haber muchas formas de representación, es decir puede haber muchos lenguajes. Debe elegirse alguno

conveniente, el de menor esfuerzo, el mas económico. 1.6.3.- DESCRIPCIÓN DEL MODELO DE MODELOS: EL MODELO CIENTÍFICO El conocimiento se estructura en todas las ciencias con un procedimiento, llamado método científico. Este

consiste en la creación de una representación, es decir de un modelo, de los sistemas en estudio. Esto es un modelo de simulación del sistema. El modelo del método científico (modelo de modelos) presenta 4 fases que se representan con sus respectivas

entradas y salidas:

Estas fases cuando se construye un modelo científico, no tienen estrictamente un orden secuencial temporal,

aunque sirven para la comprensión del procedimiento. La descripción de las 4 fases es la siguiente:

1.6.3.1.- FASE EXPERIMENTAL La primera fase, la experimental consiste en la búsqueda de pautas de comportamiento repetibles del Sistema.

Esto quiere decir constantes que permitan predecir el futuro. La búsqueda de estas constantes se hace a partir de la observación del Sistema Naturaleza-Hombre. A partir de

las sensaciones. Entonces la Entrada de esta primera fase son las sensaciones y la Salida, las leyes experimentales o primarias.

El proceso de esta fase está constituido por: 1.- Recepción de la observación por el observador 2.- Comparación de las sensaciones recibidas 3.- Reconocimiento de las sensaciones semejantes. 4.- Determinación de la constancia de las sensaciones. El solo hecho de establecer estas leyes primarias ya permite pronosticar el comportamiento futuro del sistema. En las Ciencias Exactas, esta es la fase cubierta por la Física y Química Experimental. 1.6.3.2.- FASE HIPOTETICO-DEDUCTIVA A partir de las leyes primarias es posible inducir otras que pueden llamar leyes secundarias o derivadas. Estas

complementan a las Primarias y ambas conforman a las constantes o invariantes del Modelo. Con ello se completa y facilita la capacidad de pronosticar.

Esto es el proceso que se desarrolla en la segunda fase llamada hipotético-deductiva donde se infiere a partir de

algunas constantes otras consecuentes, de cumplimiento obligatorio, a partir de reglas de inferencia que también se convienen. Esto es lo llamaremos Lógica.

Las leyes derivadas fijan invariantes de cumplimiento obligado, a partir de la validez de la validez de las

leyes primarias. No hay una sola Lógica puede haber varias, como por ejemplo

Lógica 1 Aristotélica o Determinística 2 Probabilística 3 De la Contradicción 4 De la Imposibilidad 5 Fundamentalista 6 De la Relatividad

1..- Una primera lógica es la clásica o Aristotélica que puede también llamarse determinística, y es unívoca.

Esta lógica asegura la certeza absoluta de proposiciones derivadas o consecuentes de otras. Se basa en el silogismo que consiste en la inclusión sucesivas de proposiciones. (Expresiones que pueden ser

verdaderas o falsas). Por ejemplo el clásico: Sócrates es hombre Los hombres son mortales entonces Sócrates es mortal El silogismo puede representarse por el esquema de inclusión de proposiciones: Si A ⇒⇒⇒⇒ B y B ⇒⇒⇒⇒ C entonces A ⇒⇒⇒⇒ C

o también representarse por los diagramas de Venn

La lógica Aristotélica ha sufrido una modificación en el tiempo, o mejor dicho una aclaración de Bertrand

Russell a principio del Siglo XX: Las proposiciones involucradas deben pertenecer a un mismo conjunto o universo. Por ejemplo

Elefante es Animal Animal es Palabra de 6 letras entonces Elefante es Palabra de 6 letras lleva a una contradicción evidente porque se mezclan el universo de los animales y el de las palabras (universo

de los símbolos). 2.- Una segunda lógica o segunda forma de coordinar proposiciones, es la lógica Probabilistica. En esta lógica

puede haber futuros u opciones alternativas . Esta lógica es de mayor generalidad que la determinística. Las decisiones cambian según la lógica que se usa : Ejemplo: (Cambio de decisiones) Si llueve no viajo Si existe alta probabilidad de lluvia no viajo Las dos Lógicas anteriores no son las únicas ni las mas comunes. Existen otras: 3.- Lógica de la contradicción . Esto es una lógica mucho más empleada que lo que se cree, como se puede

observar en los siguientes ejemplos.

Ejemplo: Si se acepta vivir o participar en una Sociedad igualitaria, rige el principio de comportarse con los demás como se desearía que los demás se comporte con uno.

Entonces un ladrón es contradictorio pues acepta el principio de propiedad para él mismo pero no para los demás.

Análogo sería el caso de una persona egoísta. 4.- Lógica de lo imposible. Por ejemplo negar la realidad física y actuar en consecuencia.

Una persona que piensa vivir indefinidamente (200 años). Otro ejemplo es negar la existencia del tercero excluido .

5.- Lógica fundamentalista (de la religión ) donde se induce y actúa de acuerdo a los dictados de principios o

reglas rígidas establecidas en un libro o por un señor iluminado en las cuales se tiene fe ciega. 6.- Lógica de la relatividad . Es diferente de la lógica de la física clásica. Una persona que viaja al espacio

vuelve con tiempo distinto que el de la Tierra. Con las leyes derivadas se termina la II fase del método científico, que completa el análisis del modelo, y se pasa

a la etapa de síntesis verificación que son la tercera y la cuarta.

1.6.3.3.- FASE DE APLICACIÓN La fase III de Pronóstico o proyección del modelo es la de síntesis, de concreción de los resultados. Es la razón

de la creación del modelo. Para los modelos de la ciencia exactas, esta es la fase de la Ingeniería. Tiene sentido hacer modelos sin aplicarlos? 1.6.3.4.- FASE DE VERIFICACIÓN La bondad o utilidad del modelo es la que debe asegurarse en esta fase. los Pronóstico del modelo son

adecuados? Consiste en comparar los resultados de los pronósticos realizados por el modelo con los hechos operados por

el sistema. Se genera en caso negativo un ciclo de verificación (loop) que obliga a revisar las leyes experimentales y

derivadas y la reformulación de las aplicaciones. Los modelos como representaciones de sistemas son arbitrarios, y su validez depende de su utilidad posterior. 1.6.4.- PORQUE HACER MODELOS - REALIDAD 1.6.4.1.-PORQUE MODELOS 1.6.4.2.- MODELOS Y REALIDAD Que es el modelo versus la realidad? Existe la realidad? Existe una realidad? El modelo es una representación de la realidad. No se puede pensar (ni hablar) de una realidad absoluta. Los modelos dependen de cada observador. Existen tantas 'realidades' como modelos. Existen tantas 'realidades'

como observadores. Cada persona tiene la visión personal de la 'realidad', su modelo construido individualmente. Los modelos son por lo tanto arbitrarios y relativos, su validez esta dada por la capacidad de pronóstico. La adopción de modelos comunes a varias personas es una convención, que depende de la utilidad mencionada. La no creación de modelos lleva a 'adivinar' los pronósticos, lo cual hace prácticamente imposible asegurar el

futuro del Sistema. Dentro de esta idea de la NO formulación precisa del modelo esta los pronosticadores intuitivos. Será la

Intuición una forma de pronosticar confusa, semiinconciente, sin modelo.

1.7.- LENGUAJE 1.7.1.- QUE ES UN LENGUAJE 1.7.1.1.- EL PORQUE DE UN LENGUAJE (COMO SE LLEGA A UN LENGUAJE) Para poder satisfacer sus objetivos individuales o colectivos el hombre debe pronosticar el comportamiento del

Sistema Naturaleza-Hombre. Esta capacidad de pronóstico se obtiene por medio de la creación (estructuración, construcción, armado o

factura) de modelos que simulen (relación analógica) el comportamiento del Sistema. El procedimiento para la construcción de los modelos es el Método Científico. En resumen la Ciencia tiene por objetivo alcanzar la capacidad de pronostico por medio de la estructuración de

Modelos que describan o representen al Sistema. Su procedimiento es el Método Científico. El Lenguaje es el medio para la representación de los Modelos. Esta representación se hace con símbolos que identifican 1.- Los objetos entes o elementos que componen el Sistema 2.- Las Relaciones entre los elementos. 3.- Las Reglas de inferencia para deducir ciertas relaciones derivadas de otras. Es decir una Lógica. En resumen la construcción de un modelo consiste en: 1.- La definición de Conjuntos de elementos involucrados. (Elementos) Etapa Experimental 2.- La definición de las Relaciones entre dichos elementos. (Axiomas ) Etapa Experimental 3.- Las consecuencias obligadas de estas Relaciones (Teoremas). Etapa Hipotético-Deductiva No existe Modelo (Ciencia) sin su Lenguaje ni existe un Lenguaje sin su Modelo. 1.7.1.2.- EL COMO DE UN LENGUAJE (COMO SE CONSTRUYE UN LENGUAJE) La representación de los modelos se hace, estableciendo códigos por convención (Símbolos del modelo) que

representan sus elementos (entes, objetos) y sus interrelaciones (conectivos). Un lenguaje es un conjunto de símbolos convenidos y por lo tanto arbitrarios y las reglas de composición

también preestablecidas de dicho sistema de códigos (gramática). Dentro de esta gramática hay reglas de inferencia, que permiten inducir unas relaciones de otras. (Lógica). Existen muchos lenguajes, que se crean, hacen, arman, estructuran a conveniencia de la descripción de cada

modelo. Un lenguaje es una construcción. Existe lenguajes orales (sonidos: vocales consonantes), escritos (caracteres), geométricos, musicales, lenguajes

de animales, etc, esto es, según los códigos que se convengan sea en sentido colectivo o individual. Esta arbitrariedad o sea la posibilidad de elección de diferentes caminos para expresar un modelo, nos introduce

en la conveniencia de un símbolo u otro, o sea en la economía del lenguaje.

1.7.2.- ELEMENTOS DE UN LENGUAJE. 1.7.2.1.- BUSQUEDA DE LOS ELEMENTOS DE UN LENGUAJE. GENESIS DE UN LENGUAJE Una forma de comprender mejor la estructura de un Lenguaje es hacer una experimentación para la búsqueda

de sus elementos e interrelaciones. Es decir, se tratará de describir e un lenguaje, o sea hacer un Modelo de un Lenguaje. Se empieza el buceo aún en forma caótica. Luego se ordenará. Tomemos un Lenguaje de uso corriente.

El Lenguaje esta compuesto por palabras. Son los símbolos del lenguaje. Para hacer uso del lenguaje, es decir comunicarse, estas palabras deben articularse, combinarse. Se forman

entonces conjuntos de palabras en estructura de cadena u otro tipo que se llamarán expresiones. Para la construcción de las expresiones deben existir reglas de combinación, esto es una gramática. Una expresión fundamental de un lenguaje es la que da el significado de una palabra, lo que se llama su

Definición. Ejemplo 1.- Tomemos como primer ejemplo la palabra viento. Cual es el significado de estas palabras ? Estas palabras tienen un significado, una explicación con otras

palabras. Es decir una definición Viento := es un Movimiento de masas de aire por calentamiento diferencial de regiones de la Tierra. Una Definición es una expresión compuesta por un nombre (símbolo nuevo) que distingue a un cierto ente

físico o abstracto (objeto, concepto) se le asigna (:= , verbo ser) un significado por medio de otra expresión formada por un conjunto de palabras predefinidas o convenidas previamente, que explica su sentido o naturaleza.

Toda definición es por supuesto una convención. De allí la arbitrariedad de los lenguajes. Si las convenciones no se conocen o no se aceptan no hay comunicación posible. La definición es una construcción. Hacer un lenguaje es construir.

La definición expresa el significado de un ente utilizando la convención previa de otros entes. En nuestro ejemplos:

Viento: masa, aire, movimiento, calentamiento diferencial, Tierra. Aparece entonces que un Lenguaje se estructura con definiciones sucesivas de palabras (símbolos) que se

reducen a otros predefinidos. Esto es se forma una red de definiciones también arbitraria.

Viento := Movimiento de masas de aire por calentamiento diferencial

Ejemplo 2.- Como segundo ejemplo se ha elegido la palabra cuadrado. Cuadrado := es un Cuadrilátero de lados iguales y ángulos iguales

Se presenta una red que lleva a la definición de Cuadrado partiendo de ella y estructurando hacia atrás las

definiciones previas como: Cuadrado: cuadrilátero, lados, ángulos, igualdad.

EEM : Estructura de Espacio Métrico Espacio R3 : R3 := (x y z) : x∈∈∈∈ R ∧∧∧∧ y∈∈∈∈ R ∧∧∧∧ z∈∈∈∈ R EEL : Estructura de Espacio Lineal o Vectorial EEH : Estructura de Espacio Hermítico Recta := P : P∈∈∈∈ R3 ∧∧∧∧ P−−−− P0 = λλλλT ∧∧∧∧ λλλλ∈∈∈∈ R Plano := P : P∈∈∈∈ R3 ∧∧∧∧ P −−−− P0 = λλλλT + µµµµ S ∧∧∧∧ (λλλλ µµµµ)∈∈∈∈ R2 Figura plana := subconjunto de puntos de un plano Semirrecta := P : P∈∈∈∈ R3 ∧∧∧∧ P−−−− P0 = λλλλT ∧∧∧∧ λλλλ∈∈∈∈ R+∪∪∪∪ 0 Ángulo := figura plana limitada por dos semirrectas Segmento := P : P∈∈∈∈ R3 ∧∧∧∧ P−−−− P0 = λλλλT ∧∧∧∧ λλλλ∈∈∈∈ [a b] Dado una nupla (A1 A2 ... An ) de puntos poligonal := conjunto de segmentos que unen dos puntos sucesivos de la nupla Ai Aj vértice := cualquier elemento de la nupla Ai lado := cualquier segmento Ai Aj poligonal lazo := poligonal donde A1 = An poligonal simple := poligonal cuyos segmentos no consecutivos no tienen puntos en común. polígono := conjunto de puntos cuya frontera es una poligonal lazo simple. polígono plano := polígono contenido en un plano. cuadrilátero plano := polígono contenido en un plano de 4 lados cuadrado := cuadrilátero plano de lados iguales y ángulos iguales

El proceso de reducción de las definiciones en forma sucesiva nos lleva a que tiene que haber un punto de

partida. Un conjunto de palabras primitivas no definibles, es decir que no pueden darse su significado a partir de otras, sin entrar en círculo vicioso.

Como ejemplo, para definir cuadrado, se ha usado la definición previa de Cuadrilátero plano:= Polígono plano de 4 lados Esta definición a su vez propone la convención previa de: Polígono, Número, Lado El procedimiento puede prolongarse hacia atrás hasta llegar a conceptos primitivos sin definición. Todo

Lenguaje tiene estos conceptos indefinidos. Constituyen la base sobre la cual se construye el edificio de todas las otras definiciones del lenguaje. La red de definiciones.

Para clarificar estos conceptos basta ver el proceso que debe hacer un hombre para construir su propio lenguaje.

Sea la historia de cada uno de nosotros cuando debemos aprender el primer lenguaje cuando nacemos, o el caso de Robinson Crusoe, o un extraterrestre que desee comunicarse.

En un principio debe conocerse el significado de algunos símbolos o palabras primitivas, árbol, tierra, manzana,

comer y recién con estas pueden explicarse las convenciones de otras. En geometría los conceptos de punto, recta, plano son primitivos. En Física son primitivos: espacio, tiempo, masa o fuerza , carga eléctrica. 1.7.2.2.- RESUMEN DE LOS ELEMENTOS DE UN LENGUAJE. Todos los códigos del lenguaje representan algún objeto físico (que produce sensaciones) o abstracto (creado

por el hombre). Pueden ser primitivos (básicos) en correspondencia directa con objetos o interrelaciones, o compuestos a partir de códigos estructurados con símbolos preestablecidos.

Todos los lenguajes, orales, escritos o de cualquier otro tipo, tienen características comunes en su

estructuración, se detalla: 1.- Símbolos primitivos, básicos o indefinidos Los símbolos primitivos sirven para representar objetos y interrelaciones primarias entre ellos. 2.- Expresiones Las relaciones del lenguaje son reglas de conexión de los símbolos entre si, que forman la gramática o el álgebra

del lenguaje. 3.- Reglas de armado de expresiones (Gramática) En el armado de un lenguaje se construyen combinaciones de símbolo de cualquier tipo, que son las expresiones. 4.- Definiciones o símbolos compuestos Cuando conviene reemplazar un símbolo por otros se conviene un símbolo nuevo. Este es el proceso de la

definición. 5.- Red de símbolos La secuencia de las definiciones establece una red de símbolos.

1.7.3.- CLASIFICACIÓN DE SÍMBOLOS EN ENTES, CONECTIVOS Y DE PUNTUACIÓN. Toda lenguaje asociado a una rama de una ciencia para representarla tiene un Conjunto de símbolos que los

caracteriza. Estos como luego se vera se pueden organizar en una red. Hay una asignación o correspondencia entre estos símbolos y los integrantes del modelo: los objetos o entes y

las interrelaciones que los ligan. En la primera clasificación de los símbolos de un lenguaje, se distinguen 3 tipos que se detallan a

continuación. Esta clasificación, como se verá, vale tanto para símbolos indefinidos como definidos. 1.- Objetos o entes del sistema 2.- Conectivos 3.- Símbolos de puntuación 1.7.3.1.- SÍMBOLOS BÁSICOS: OBJETOS O ENTES DEL SISTEMA Este símbolos representan a los entes del Sistema bajo estudio. Esto significa tantos a elementos como a

Conjuntos de elementos del Sistema. 1.7.3.2.- CONECTIVOS Los conectivos, que son los símbolos que representan a las interrelaciones entre los elementos del

sistema. Ejemplo de conectivos son: 1.- Verbos 2.- Flechas en las expresiones tipo árbol (grafos) Cada conectivo va acompañado por un axioma o regla de armado, que indica como se emplea el

símbolo en las expresiones compuestas, incluyendo los símbolos de puntuación pertinentes. Son las reglas de la gramática.

1.7.3.3.- SÍMBOLOS DE PUNTUACIÓN Los símbolos de puntuación que son un tercer tipo de símbolos cuyo objeto es interno del lenguaje para el

armado de cadenas o estructuras mas complejas de símbolos, como árboles o redes. Alguno símbolos empleados en los distintos lenguajes son:

Símbolos de puntuación := := . : , ; ' " ^ ! ? () [] →→→→ Cada lenguaje por supuesto tiene su puntuación y sus reglas de armado de expresiones con los conectivos que

incluyen la puntuación pertinente. En todos los lenguajes sin embargo existe el símbolo de asignación o definición [:=] Ejemplos del empleo de los símbolos de puntuación son: 1.- Separar cadenas 2.- Fijar ordenar de secuencias en las cadenas. Por ejemplo los paréntesis. 3.- Dar las bifurcaciones del árbol. Por ejemplo las flechas.

1.7.4.- SÍMBOLOS BASICOS, PRIMITIVOS O INDEFINIDOS : OBJETOS O ENTES 1.7.4.1.- DEFINICIÓN DE SÍMBOLO BASICO Una segunda clasificación de los símbolos de un lenguaje es en: 1.- Básicos o Primitivos o Indefinidos 2.- Definidos Los símbolos definidos son los que pueden ser reducidos a otros símbolos previamente convenidos. Los

símbolos definidos se emplean para reemplazar a expresiones compuestas y así simplificar la transmisión de información. Es una cuestión de economía del lenguaje.

Los símbolos básicos son símbolos que no pueden ser reducidos a otros, (siempre debe existir

alguno) son los primitivos o indefinidos. Toda lenguaje asociado a una rama de una ciencia para representarla tiene como punto de partida un

conjunto de símbolos básicos. Hay una asignación o correspondencia entre estos símbolos y los integrantes del modelo: los

elementos y las interrelaciones primitivas. 1.7.4.2.- EJEMPLOS DE LENGUAJES LENGUAJE

OBJETOS CONECTIVOS PUNTUACIÓN

Latín Castellano Inglés

Sustantivos Verbos . : , ; ' ^ ! ? ( )

Matemática Objeto x Conjunto A

∈∈∈∈ //// ∀∀∀∀ ∩∩∩∩ . : , ; .. ... ( ) [ ] := →

Lógica Proposición ⇒ Geometría Punto

Recta Plano Espacio de 3 dimensiones

∈

Diagrama de flujo E,S,P,A Líneas de secuencia Lenguaje Pascal Comandos Begin End ; . : = .. Música Notas Pentagrama

Llave de sol Conexiones de notas

Danza Códigos de la danza Filosofía Hombre

Naturaleza Dios

1.7.5.- EXPRESIONES Una expresión es una combinación arbitraria de símbolos

Def: Expresión := Conjunto de símbolos La puntuación sirve de complemento para el armado de Expresiones 1.7.5.1.- TIPOS DE EXPRESIONES

Tipos de Expresiones

Definición De secuencia

Esquema Ejemplos

Cadenas ( String ) unidireccional f∈ x∈ A x∈ x,y,x A :=x:x∈ N ∧ Múltiplo de 2

Árbol ramificada

|a| →→→→ ≥≥≥≥0a a →→→→ <<<<0a – a

raindicesupsubincicea

Red ramificada con lazos

Estructura

1.7.5.2.- REGLAS DE ARMADO DE EXPRESIONES Un lenguaje, además de establecer símbolos que representan objetos, fija reglas de armado de expresiones

con los mismos. Estas son las reglas que forman la gramática es decir la sintaxis correcta. Por ejemplo en matemática: 1. Punto. 1.1.- Objeto: fijar el fin de una expresión. Ej. 1 + 1 + 1 + 1 + 1. 2. Coma, Punto y coma.. 2.1.- Objeto: fijar la separación de elementos o partes de una expresión. Ej. x,y, ... , z 3. Uso de paréntesis. 3.1.- Objeto: fijar secuencia de lectura (operaciones). Para facilitar la lectura se usan en forma equivalente los símbolos () [] . Son obligatorios si hay mas de una opción en el orden de las operaciones. Ej. 4 . – 3 = – 12 → 4 . (– 3) = – 12 Ej. 4 . 3 + 2 = x → 4 . (3 + 2) = 20 → (4 . 3) + 2 = 14

3.2.- Todo paréntesis que se abre, se cierra. 3.3.- Sucesivos paréntesis se abren y cierran según el orden inverso de apertura. Ej. No es correcto ( 4 . – 3 ) + 2 = 12 4. Flecha. 4.1.- Objeto: definir secuencia en árboles

|a| →→→→ ≥≥≥≥0a a →→→→ <<<<0a – a

5. Dos puntos. 5.1.- Objeto: condición de conjunto: tal que Ej. A := x : x ∈ R ∧ x > 0 6. Dos puntos seguidos. 6.1.- Objeto: fijar secuencia desde hasta Ej. 4 .. 9 Ej. A .. Z 7.- Definición 7.1.- Objeto: Por razones de economía y practicidad de información se convienen símbolos nuevos Ej. Sn := Exp a reemplazar 1.7.6.- DEFINICIÓN 1.7.6.1.- DEFINICIÓN DE DEFINICIÓN Muchas veces conviene, por razones de economía y practicidad introducir, nuevos símbolos en el lenguaje que

reemplacen a expresiones muy largas o complejas, e incomodas de manejar. Paradójicamente se complica el lenguaje introduciendo nuevos símbolos con el fin de simplificarlo. Por ejemplo si tres programas de A, B, C de computación se usa la misma subrutina conviene por economía

definirla aparte como subrutina D. Esto por otra parte es la base de la programación estructurada. A B C D ---- ---- ----

---- ---- ----

xxx...

xxxD

---- ---- ----

xxx...

xxxD

xxx...

xxxD

xxx...

xxxD

---- ---- ---- ---- ---- ----

Un segundo ejemplo de definición se puede extraer de la historia matemática de como se llegó al concepto de límite. Los griegos se enfrentaron con la necesidad de Números no fraccionarios y de series 500 años AC. La Integral aparece con Arquímedes 250 años AC y con Cavalieri 1400 años DC.

Los conceptos diferenciales se introducen con Newton y Leibnitz alrededor de 1650. Posteriormente se introdujo el concepto de Límite con Cauchy en 1830 que facilita la exposición de todos los conceptos anteriores del Análisis Matemático: número reales, serie, integral, diferencial ..

Definir es entonces convenir un Símbolo Nuevo (SN) que reemplace a un conjunto de Símbolos (expresiones)

ya reconvenidos o básicos con el fin de simplificar el lenguaje. Para ello se usa el signo de asignación [:= ] SN := Conjunto de símbolos básicos o definido previamente (Expresión que se reemplaza) SN : Símbolo Nuevo := : Símbolo de asignación Conjunto de símbolos básicos o definido previamente : Expresión que se reemplaza Con la definición se introduce el concepto de asignación de símbolos nuevos en un lenguaje. No debe confundirse, con otra asignación: la de los símbolos básicos. Hay entonces 2 asignaciones de símbolos: 1.- Asignaciones de símbolos básicos 2.- Asignaciones por definición 1.7.6.2.- ESTRUCTURACIÓN DE LA DEFINICIÓN Para analizar la estructura de una definición se empieza con algunos ejemplos : Ejemplo 1.- Definición de función diferenciable Def: Se dice que una función de dos variables reales

f: D ⊂⊂⊂⊂ RxR →→→→ R (x,y) →→→→ f(x,y)

P∈∈∈∈ D es diferenciable si en un punto P del dominio D su incremento puede escribirse:

f∈∈∈∈ dif/P := ∆∆∆∆f = A ∆∆∆∆x + B ∆∆∆∆y + εεεε(x,y )∆∆∆∆ρρρρ donde

A,B son constantes εεεε(x,y) es infinitésimo en P := εεεε(x,y) →→→→ 0

(x,y) →→→→ P Cuando una función es diferenciable se llama diferencial de f a la forma lineal

df := A ∆∆∆∆x + B ∆∆∆∆y

Ejemplo 2.- Definición de función lineal Def: Dado 2 Estructuras de Espacios Lineales (Vectoriales) apoyados sobre el mismo cuerpo y dotados

respectivamente de leyes de suma T, T’ y producto P, P’.

(E K + . T P )∈∈∈∈ EEL (E’ K + . T’ P’)∈∈∈∈ EEL

se dice que una función que aplica el espacio E sobre el E’

f : E →→→→ E’ X →→→→ f(X)

Es lineal si cumple las condiciones ∀∀∀∀ (X Y)∈∈∈∈ E2 f(X T Y ) = f(X) T’ f(Y) ∀∀∀∀ X∈∈∈∈ E ∀∀∀∀ a∈∈∈∈ K f(a P X ) = a P’ f(X) ∀∀∀∀ X∈∈∈∈ E ∀∀∀∀ a∈∈∈∈ K Entonces en general la estructura de una definición tiene siempre los elementos siguientes: 1.- Dado Universo donde se inscribe la nueva definición 2.- El Símbolo Nuevo es se llama Símbolo Nuevo a se asigna a se conviene que es si cumple 3.- Es Expresión que se reemplaza a que si cumple 4.- Un objetivo para la definición: que en general es la economía de lenguaje. Una nueva de definición,

arbitraria como toda convención debe servir a simplificar la información. Los errores usuales en una definición son 1.- No presentar correctamente el contexto de la nueva definición. 2.- No dar SN (Símbolo Nuevo) 3.- Que el Símbolo no sea Univoco 4.- Dar una expresión vieja con Símbolos desconocidos (circulo vicioso) 5.- La nueva definición complica: no simplifica 1.7.6.3.- REGLAS DE REEMPLAZO En la transmisión de información vale la regla de reemplazo: (en las deducciones)

a := exp vieja ⇔⇔⇔⇔ a = exp vieja

Obs: La definición [ := ] opera como una equivalencia [ ⇔⇔⇔⇔ ]

.1.7.6.4.- SECUENCIA DE DEFINICIONES: RED El orden que se emplea en la convención de las definiciones lleva al concepto de RED: que es la

secuencia de las sucesivas definiciones que forman un lenguaje. 1.7.7.- RED DE SÍMBOLOS Definir es entonces convenir arbitrariamente Símbolos Nuevos a partir de otros para simplificar el

lenguaje, es decir la transmisión de información. La economía de lenguaje es el factor a tener en cuenta en la introducción de nuevos símbolos. Pero las

definiciones son arbitrarias. Por lo tanto no puede hablarse de La Red sino de Una Red. La Red de definiciones matemáticas o de cualquier otro lenguaje se construye y modifica según sea conveniente para describir los modelos en estudio.

1.7.7.1.- CARACTERÍSTICA DE UNA RED DE SÍMBOLOS (BÁSICOS Y DEFINICIONES) 1.- Una red está entonces compuesta por un conjunto de símbolos primitivos (básicos) y derivados

(definiciones). El conjunto de estos símbolos (la Red) conforma una Teoría. 2.- Hay relaciones de orden en las definiciones. Esto establece niveles en las sucesivas convenciones de símbolos nuevos.

3.- Las definiciones como convenciones son arbitrarias, por lo tanto una Red es arbitraria. Por supuesto que lo cuenta para el desarrollo de la red es

3.1.- Coherencia: no contradicción 3.2.- Simplicidad: economía en la estructuración del lenguaje 1.7.7.2.- EJEMPLOS DE REDES Ejemplo 1.- Red del Lenguaje

Ejemplo 2.- Red Matemática

1.7.8.- DESCRIPCIÓN DE UN MODELO Estructurado un lenguaje con símbolos básicos, símbolos definidos y la red que los liga, todo modelo consta en

su descripción siempre de las siguientes componentes: 1.- Conjunto de elementos 2.- Relaciones primarias o Axiomas 3.- Relaciones consecuentes o derivadas (teoremas) necesidad de lógica cada lenguaje tiene una lógica. Obs: Los Axiomas o Relaciones Primarias o en general Definiciones Compuestas por otras Proposiciones

deben cumplir condiciones de ser Compatibles e Independientes como se verá en la Teoría de Estructuras Matemáticas.

1.7.9.- SISTEMA DE CARACTERES Los sistemas de caracteres son un método para el armado de los símbolos del sistemas: las palabras

Ejemplos: Sistema Letras Reglas de Combinación

Armado de Cadenas Oral Sonido de vocales y consonantes Cadenas de sílabas y palabras Alfabeto Griego α .. ω Α .. Ω Alfabeto Romano a .. z A .. Z Numeración Romana I V X L C D M etc. Reglas de posición de letras Numeración Arábiga 0 .. 9 Reglas de posición de columnas :

Unidades, Decenas, etc. BIT 0,1 ASCII # 0 ..9 a .. z A .. Z etc.

Obs: No debe confundirse el sistema de representación de palabras (Alfabeto) con el lenguaje. Puede haber un mismo lenguaje con distintos alfabetos, por ejemplo inglés, griego.

1.7.9.1.- LETRAS Conjunto de caracteres para armar sustantivos y conectivos No debe confundirse los caracteres con los símbolos objeto. 1.7.9.2.- REGLAS DE COMBINACIÓN DE CARACTERES Son las reglas de armado de caracteres para la construcción de símbolos o palabras. Son generalmente cadenas Ejemplo Numeración Arábiga 0..9 Reglas de posición de columnas (unidades, decenas, etc) 1 2 .... 9 10 1.8.- SINTESIS QUE ES LA MATEMÁTICA 1.8.1.- RED DE IDEAS

La Matemática se Hace. 1.- Existe Sistema: que es el Sistema Naturaleza (con Hombre) = Universo

2.- El Sistema está en movimiento. El hombre desea concretar sus Objetivos, y por lo tanto produce modificaciones hacia sus Objetivos (Estado deseado del Sistema)

3.- Objetivos primarios del hombre Supervivencia individual seguridad salud alimentación Supervivencia colectiva reproducción

4.- Ciencia como objetivo secundario del hombre [ J ] y la sociedad 5.- La Ciencia necesita de Lenguajes para la formación de Modelos 6.- Los Modelos necesitan de un Lenguaje para ser representados. 7.- La Matemática es el Lenguaje de la Ingeniería.

1.8.2.- DIAGRAMA DE LA RED CIENCIA MATEMÁTICA