mateDiscretaUni1&2

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CAMPECHE

MATEMÁTICAS DISCRETAS

INVESTIGACIÓN UNIDAD 1 Y 2

PROF. HERNÁNDEZ MEZA MANUEL ENRIQUE

BR. SEGUNDO VALDEZ MARIO ALBERTO

MATRICULA: 12470269

MF1

17 SEPTIEMBRE 2015

2

ContenidoIntroducción.......................................................................................................................................3

Antecedentes.....................................................................................................................................4

Objetivo..............................................................................................................................................6

1 Sistemas Numéricos........................................................................................................................7

1.1Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal).........................................................7

1.2 Conversiones entre sistemas numéricos....................................................................................11

1.3 Operaciones Básicas (Suma, Resta, Multiplicación, División)....................................................16

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y división en binario...............................................22

1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación..........................................................23

2 Conjuntos......................................................................................................................................25

2.1 Características de los conjuntos.................................................................................................25

2.1.1 Conjunto universo, vacío.....................................................................................................27

2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios............................................29

2.1.3 Subconjuntos.......................................................................................................................31

2.1.4 Conjunto potencia...............................................................................................................32

2.2 Operaciones con conjuntos (Unión, Intersección, Complemento, Diferencia y diferencia simétrica).........................................................................................................................................32

2.3 Propiedades de los conjuntos....................................................................................................34

2.4 Aplicaciones de conjuntos..........................................................................................................35

Conclusión........................................................................................................................................36

Bibliografía.......................................................................................................................................37

3

Introducción El sistema numérico que poseemos no es simple y no nació de improviso, por lo

contrario, es el resultado de profundas reflexiones en el tiempo por parte del

hombre. En un primer momento se necesitaron números para poder contar y tener

claras las cantidades en el comercio y el almacenaje. Así nacen los números

naturales o enteros positivos.

Los antiguos desarrollaron una serie de operaciones comerciales que dieron inicio

a las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, teniéndose así una

aritmética basada en el empleo de números naturales. Así, como resultado de la

diferencia, se encontró un nuevo tipo de números: los números negativos. Estos

llevaron a la conformación de los números enteros.

Si bien en el periodo antiguo no se desarrolló totalmente la división, sí se advirtió,

como resultado de operar los enteros, el uso de algunas fracciones elementales.

Es así que surge el cociente entre dos números enteros, conociéndose a este

conjunto como números racionales.

La aritmética y el álgebra crecieron como herramientas prácticas de cómo operar y

cómo dar respuestas a problemas diarios. En contrapartida la geometría fue

empleada como un instrumento de desarrollo intelectual y es por tanto un modelo

de sistema lógico.

Es a partir de la geometría que surgen números que tuvieron aceptación mucho

tiempo después y luego de un firme fundamento lógico, estos son los números

irracionales.

La agrupación de todos estos números se conoce como conjunto de números

reales y es sobre ellos que basaremos nuestro estudio.

4

Antecedentes

A lo largo de la historia de la humanidad, el ser humano ha buscado diferentes

maneras de representar cantidades. Si nos remontamos hacia más de dos mil

años, los pueblos de aquella época no utilizaban números para contar objetos,

sino que hacían uso de cualquier elemento que pudiera servirles para contar, ya

sea utilizando sus propios dedos, dibujando símbolos, marcando bastones (ramas)

o haciendo nudos en una cuerda, entre otros.

Ahora bien, el primer uso que se le dio a los números, se relaciona con la

necesidad de ordenar elementos, no con la de contar o medir objetos.

A continuación veremos los 5 sistemas de numeración más característicos de la

historia, reconociendo sus elementos principales y los símbolos que ellos utilizaron

para representar las cantidades indicadas.

La teoría de conjuntos y sus fundamentos básicos fueron desarrollados por

George Cantor, un matemático alemán, hacia finales del siglo XIX. La teoría de

conjuntos trata de entender las propiedades de conjuntos que no están

relacionados a los elementos específicos de los cuales están compuestos. Por

ende, tanto los teoremas como los axiomas de la teoría de conjuntos involucran a

conjuntos generales, sin importar que contengan objetos físicos o números.

Existen muchas aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos.

Función

Desde formular las bases lógicas para la geometría, el cálculo y la topología, hasta

crear álgebra en torno a campos, anillos y grupos, las aplicaciones de la teoría de

conjuntos son comúnmente utilizadas en campos de las ciencias y las

matemáticas como biología, química y física, como así también en ingeniería

eléctrica y computación.

5

Matemáticas

Como la teoría es de naturaleza abstracta, tiene funciones y aplicaciones vitales

en el campo de las matemáticas. Una rama de la teoría de conjuntos es llamada

"análisis". El cálculo integral y diferencial son componentes principales del análisis.

La continuidad de una función y los límites de la misma derivan de la teoría de

conjuntos. Estas operaciones conducen al álgebra de Boole, que es útil para la

producción de computadoras y calculadoras.

6

Objetivo

Construir un procedimiento general para convertir un número en cualquier

sistema numérico posicional al sistema decimal.

Representar y convertir cantidades en los sistemas numéricos: decimal,

binario, octal y hexadecimal.

Realizar operaciones básicas de: suma, resta, multiplicación y división en

los sistemas: decimal, binario, octal y decimal.

Generalizar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división entre

los sistemas numéricos posiciónales.

Investigar utilizando diversos medios, información relacionada con la teoría

de conjuntos: definición, desarrollo, características y propiedades de los

conjuntos importantes operaciones entre conjuntos.

Investigar y resolver problemas en donde se utilicen las operaciones entre

conjuntos, en equipos de trabajo, integrar un conjunto de problemas

resueltos analizarlos.

7

1 Sistemas Numéricos

1.1Sistemas numéricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal)

[Reyes, S. B. (10 de octubre de 2012)]

En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para

representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico

está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número

de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número

cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. A lo largo de la historia se han

utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes.

Los computadores manipulan y almacenan los datos usando interruptores

electrónicos que están ENCENDIDOS o APAGADOS. Las computadoras sólo

pueden entender y usar datos que están en este formato binario, o sea, de dos

estados. Los unos y los ceros se usan para representar los dos estados posibles

de un componente electrónico de una computadora. Se denominan dígitos

binarios o bits. Los 1 representan el estado ENCENDIDO, y los 0 representan el

estado APAGADO.

El Código americano normalizado para el intercambio de información (ASCII) es el

código que se usa más a menudo para representar los datos alfanuméricos de una

computadora. ASCII usa dígitos binarios para representar los símbolos que se

escriben con el teclado. Cuando las computadoras envían estados de

ENCENDIDO/APAGADO a través de una red, se usan ondas eléctricas, de luz o

de radio para representar los unos y los ceros.

Debido a que las computadoras están diseñados para funcionar con los

interruptores ENCENDIDO/APAGADO, los dígitos y los números binarios les

resultan naturales. Los seres humanos usan el sistema numérico decimal, que es

8

relativamente simple en comparación con las largas series de unos y ceros que

usan los computadores. De modo que los números binarios del computador se

deben convertir en números decimales.

A veces, los números binarios se deben convertir en números Hexadecimales

(hex), lo que reduce una larga cadena de dígitos binarios a unos pocos caracteres

hexadecimales. Esto hace que sea más fácil recordar y trabajar con los números.

Bits y Bytes

Un número binario 0 puede estar representado por 0 voltios de electricidad (0 = 0

voltios).

Un número binario 1 puede estar representado por +5 voltios de electricidad (1 =

+5 voltios).

Los computadores están diseñados para usar agrupaciones de ocho bits. Esta

agrupación de ocho bits se denomina byte. En un computador, un byte representa

una sola ubicación de almacenamiento direccionable. Estas ubicaciones de

almacenamiento representan un valor o un solo carácter de datos como, por

ejemplo, un código ASCII. La cantidad total de combinaciones de los ocho

interruptores que se encienden y se apagan es de 256. El intervalo de valores de

un byte es de 0 a 255. De modo que un byte es un concepto importante que se

debe entender si uno trabaja con computadores y redes.

9

Sistemas Numéricos

Sistema Numérico de Base 10

Los sistemas numéricos están compuestos por símbolos y por las normas

utilizadas para interpretar estos símbolos. El sistema numérico que se usa más a

menudo es el sistema numérico decimal, o de Base 10. El sistema numérico de

Base 10 usa diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos símbolos se pueden

combinar para representar todos los valores numéricos posibles.

Ejemplo:

2134 = 2134

Hay un 4 en la posición correspondiente a las unidades, un 3 en la posición de las

decenas, un 1 en la posición de las centenas y un 2 en la posición de los miles.

Este ejemplo parece obvio cuando se usa el sistema numérico decimal. Es

importante saber exactamente cómo funciona el sistema decimal, ya que este

conocimiento permite entender los otros dos sistemas numéricos, el sistema

10

numérico de Base 2 y el sistema numérico hexadecimal de Base 16. Estos

sistemas usan los mismos métodos que el sistema decimal.


Los computadores reconocen y procesan datos utilizando el sistema numérico

binario, o de Base 2. El sistema numérico binario usa sólo dos símbolos, 0 y 1

(ENCENDIDO/APAGADO ), en lugar de los diez símbolos que se utilizan en el

sistema numérico decimal.

Ejemplo:

101102 = 22


El inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos

números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de

numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema

hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a

octal o a hexadecimal.

En el sistema octal, usa ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Ejemplo:

El número octal 2738 = 149610

Sistema Numérico de Base 16 (Hexadecimal)

11

El sistema hexadecimal usa dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C,

D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades

decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores

que 9 en el sistema decimal.

Ejemplo:

El número hexadecimal 1A3F16 = 671910

1.2 Conversiones entre sistemas numéricos. [Sorino, T. Z. (15

de Agosto de 2011)]

Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos.

Método 1 por divisiones sucesivas, el cual consiste en:

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener

un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el

primero es el bit menos significativo (LSB).

Ejemplo

Convertir el número 15310 a binario.

12

Ejemplo de conversión de decimal a binario

El resultado en binario de 15310 es 10011001

Método 2:

Otra forma de obtener el numero decimal a binario es realizar lo siguiente:

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar

divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden

inverso al que han sido obtenidos.

Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número decimal 77 haremos una

serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:

77 / 2 = 38 Resto: 1

38 / 2 = 19 Resto: 0

19 / 2 = 9 Resto: 1

9 / 2 = 4 Resto: 1

4 / 2 = 2 Resto: 0

2 / 2 = 1 Resto: 0

1 / 2 = 0 Resto: 1

y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

Decimal 77 = Binario 1001101

Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya

hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y

colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en

octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:

13

122 / 8 = 15 Resto: 2

15 / 8 = 1 Resto: 7

1 / 8 = 0 Resto: 1

Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

Decimal 122 = Octal 172

Conversión de un número decimal a hexadecimal

Utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número

decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número

decimal 1735 será necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 / 16 = 108 Resto: 7

108 / 16 = 6 Resto: C es decir, 12 en decimal

6 / 16 = 0 Resto: 6

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el número en

hexadecimal:

decimal 1735 = hexadecimal 6C7

Conversión de Binario a Octal

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los

sistemas decimal, binario y octal:

Decimal Binario Octal

0 000 0

1 001 1

14

2 010 2

3 011 3

4 100 4

5 101 5

6 110 6

7 111 7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema

binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de

numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en

"contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 101001011 a octal tomaremos

grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

101 = 5 octal

001 = 1 octal

011 = 3 octal

y, de ese modo el número binario 101001011 = octal 513

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método,

reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para

convertir el número octal 750 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada

uno de sus dígitos:

7 octal = 111

5 octal = 101

0 octal = 000

15

y, por tanto el número octal 750 = 111101000 binario

Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y

binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito

hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

Decima

l

Binari

o

Hexadecimal

0 0000 0

1 0001 0

2 0010 2

3 0011 3

4 0100 4

5 0101 5

6 0110 6

7 0111 7

8 1000 8

9 1001 9

10 1010 A

11 1011 B

12 1100 C

13 1101 D

14 1110 E

15 1111 F

16

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o

"contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para

expresar en hexadecimal el número binario 101001110011 bastará con tomar

grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su

equivalente hexadecimal:

1010 = A

0111 = 7

0011 = 3

y, por tanto el número binario 101001110011 = al hexadecimal A73

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos,

se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:

101110 = 00101110 = 2E en hexadecimal

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo,

reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla.

Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F6 hallaremos en la

tabla las siguientes equivalencias:

1 = 0001

F = 1111

6 = 0110

y, por lo tanto el número hexadecimal 1F6 = al binario 000111110110.

1.3 Operaciones Básicas (Suma, Resta, Multiplicación, División)

[Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]

Suma de números binarios

17

La tabla de sumar para números binarios es la siguiente:

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la

izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que

da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente

posición.

Ejemplo

Acarreo 1

1 0 0 1 1 0 0 0

+ 0 0 0 1 0 1 0 1

Resultado 1 0 1 0 1 1 0 1

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la

decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos

como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro

ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1

(este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la

18

siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas

(exactamente como en decimal).

Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal.

Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la

operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se

llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 - 0 = 0

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0

0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad

prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en

el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

En decimal, por ejemplo tienes 100-19, obviamente a 0 no le puedes quitar 9, así

que debemos tomar prestado 1 para volverlo un 10 (en decimal la base es 10), y

así si 10-9=1.

En binarios pasa lo mismo, no le puedes quitar 1 a 0, debes de tomar 1 prestado

al de un lado, pero cuidado aquí viene lo complicado tu número no se va a volver

10, recuerda que en binario la base es 2 y por lo tanto se volverá 2 en binario, y

ahora sí a 2 le quitas 1, 2-1=1, y continuas restando pero recuerda que llevas 1,

porque pediste prestado.

19

Ejemplo para que le entiendas mejor, vamos a restar 201 - 67, ya sabemos que es

134, vamos a hacerlo en binario:

1 1 0 0 1 0 0 1.......................201

- 0 1 0 0 0 0 1 1.......................67

Tomamos los dos últimos números, 1-1 es igual a 0, y no llevamos nada (no

pedimos prestado)

1 1 0 0 1 0 0 1

- 0 1 0 0 0 0 1 1

------------------------

0

Ahora la siguiente columna 0-1, ya dijimos que no se puede, así que va a tomar 1

prestado al de la columna del lado izquierdo, se que vas a decir "es un cero, no

nos puede prestar 1", lo que pasa es que ese cero le pide a su vez al de lado, y

así hasta que encuentres un 1, pero no te fijes en eso, vamos a seguir restando y

no nos vamos a preocupar por eso ahora, entonces ahora nos prestaron 1 (no

importa quién) y tenemos un 1 0 (este numero es 2 en binario no 10 en decimal,

no te vayas a confundir), entonces en binario tienes 10-1, que en decimal es 2-

1=1, y llevamos 1 (porque pedimos 1 prestado)

1 1 0 0 1 0 0 1 arriba

- 0 1 0 0 0 0 1 1 abajo

------------------------

1 0

Para la siguiente columna tenemos 0 - 0, pero recuerda que tomamos 1 prestado

así que en realidad tenemos 0 - 1 (le sumamos el 1 al de abajo), de nuevo

20

tenemos que pedir prestado y entonces tenemos en binaria 1 0 -1 que en decimal

es 2-1=1, y de nuevo llevamos 1

1 1 0 0 1 0 0 1

- 0 1 0 0 0 0 1 1

------------------------

1 1 0

Continuamos con 1 - 0 , pero como llevamos 1 tenemos ahora 1 - 1, esto si lo

podemos resolver 1 - 1 = 1 (en binario y decimal).

1 1 0 0 1 0 0 1

- 0 1 0 0 0 0 1 1

------------------------

0 1 1 0

Lo demás es muy fácil:

0 - 0=0

0 - 0=0

1 - 1=0

1 - 0=1

1 1 0 0 1 0 0 1

- 0 1 0 0 0 0 1 1

------------------------

1 0 0 0 0 1 1 0 que en decimal es 134.

Es lo mismo que la resta en decimal, pides prestado y llevas, nada más debes de

ser cuidadoso y recordar que tu base es 2.

Productos Binarios

La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:

21

· 0 1

0 0 0

1 0 1

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque

se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número

da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 X 1001

10110

00000

00000

10110

11000110

División de números binarios

La división en binario es similar al decimal; la única diferencia es que a la hora de

hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.

Ejemplo

Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

100010010 |1101

-0000 010101

10001

22

-1101

01000

- 0000

10000

- 1101

00011

- 0000

01110

- 1101

00001

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicación y

división en binario. [Sorino, T. Z. (15 de Agosto de 2011)]

El algoritmo de Booth es un método rápido y sencillo para obtener el producto de

dos números binarios con signo en notación complemento a dos.

Complemento a1

Para obtener el complemento a uno del numero en binario solo consta en cambiar

sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101)

Complemento a2

El complemento a dos de un número binario es el resultado de sumar 1 al

complemento a uno de dicho número binario (NOTA: En el Ca1 sólo se

complementa si el número es negativo): mi numero en decimal es 86

Realizar una multiplicación con el algoritmo de Booth, resulta mucho más sencillo

de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicación 6·2=12:

1º Obtengo mis números (multiplicando y multiplicador) en binario con longitud de

8 bits

23

2º asigno A= multiplicando, S= Complemento a2 de A, P= 8 bits en 0. Agrego 7

bits extras a la derecha de A y S, en P agrego el valor de multiplicador con

longitud de 8 bits y un bit extra con valor 0. Como se indica a continuación:

Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los números binarios de la

multiplicación 6·2 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos números

binarios del doble de tamaño (16 en el ejemplo): A, S y P.

3o Partiendo del número P (producto) comenzamos a comparar los últimos 2 bits

de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro:

0 0 No hacer nada

0 1 P = P + A

1 0 P = P + S

1 1 No hacer nada

Se realizará esta comparación 8 veces en este ejemplo (número de bits de los

operandos) y al final de cada comparación, realizamos un desplazamiento de un

bit hacia la derecha, manteniendo el último bit de la izquierda, y descartando el

último bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedarían los

siguientes resultados:

Finalmente obtenemos el número en binario resultante (12 en este ejemplo),

descartando el bit extra que hemos añadido al principio del procedimiento y que se

encuentra en el extremo a la derecha.

1.5 Aplicación de los sistemas numéricos en la computación.

[Cardona, A. d. (6 de Diciembre de 2014).]

24

Existe una cantidad infinita de sistemas numéricos, sin embargo, para una

computadora, únicamente existen 4, que son el Binario (con base 2), el octal (con

base 8), el decimal (base 10) y hexadecimal (base 16).

El Binario, por ser el sistema base de la computación y el único entendido de

manera nativa por una computadora, es el sistema en el que está escrita toda

instrucción, dato, etc. Está compuesto por dos únicos dígitos que 1 y 0 o como en

realidad trabaja la computadora, “apagado” y “encendido” y se es como representa

todos los datos con los que trabaja la computadora, desde sumas bajo nivel: el

hardware. Estos dígitos son llamados bits.

Para trabajar la computadora agrupa a los bits en grupos de ocho, a los cuales

denomina byte y es esta la razón por la que es tan importante el sistema octal, sin

embargo una computadora no puede trabajar con el sistema octal como tal, sino

que utiliza su conversión en sistema binario, usando tres bits para cada digito

octal.

El sistema hexadecimal es empleado al indexar la memoria o al representar un

byte debido a que al contener más dígitos es posible usar menos números para

representar números más grandes, haciendo posible que un byte, conformado

por8 bits o términos binarios, se represente con solo dos términos hexadecimales,

lo que es un ahorro de información. Sin embargo, la computadora tampoco

reconoce el sistema hexadecimal como tal y, al igual que el sistema octal, lo

representa con términos binarios, empleando conjuntos de cuatro bits, para cada

término hexadecimal.

Sin embargo al presentar información al usuario es más factible presentar A9 que

10101001.Por último el sistema decimal únicamente se utiliza al interactuar con el

usuario, debido a que un usuario común no está acostumbrado a tratar con

diferentes sistemas numéricos.

25

2 Conjuntos

2.1 Características de los conjuntos. [Zenteno, E. V. (10 de

Septiembre de 2015)]

Conjunto:

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la

intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una

propiedad en común, este fue inventado por

Georg Cantor hace 100 años. Sus conceptos han penetrado y transformado todas

las teorías formales y todas las ramas de la matemática y de la lógica.

Como este es un concepto primario, el conjunto no puede definirse; sólo se puede

dar una idea intuitiva de él.

A pesar de su sencillez este concepto es la base de las Matemáticas actuales, ya

que, entre otras cosas, sirve para la construcción de los números. Sirve además

para estudiar las estructuras algebraicas, con las cuales se organizan

ordenadamente todos los conocimientos matemáticos.

Ejemplos: los alumnos de un colegio, los números impares, los meses del año,

etc., siendo cada alumno del colegio, cada número impar, cada mes del año,

respectivamente, elementos de cada uno de los correspondientes conjuntos.

Elemento

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales está conformado un conjunto.

Por ejemplo, para los ejemplos tomados anteriormente en el concepto de conjunto.

Luis, Antonio, Paula, son los elementos del primer conjunto, porque ellos son

alumnos de colegio. 1,3,5 son elementos del segundo conjunto porque son

números impares.

26

Este ejemplo gráfico nos muestra la agrupación llamado Alumnos de Colegio con

sus elementos que serían: Luis, Antonio, Paula y Pánfilo

Formas de determinar un conjunto

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos

del conjunto.

Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica

de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre,

octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del

año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

Ejemplo: El conjunto dedos de la mano se nombra

Por extensión: {Pulgar, Indice, Mayor, Anular, meñique}

Por comprensión: {dedos de la mano}, o bien, de esta otra forma: {x/x es dedo de

la mano}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un dedo de la mano

Relación de pertenencia

Es la relación que existe entre un elemento y un conjunto, así, un elemento

pertenece al conjunto, y se representa de esta forma.

27

Ejemplo, A = {x/x es dedo de la mano}

B= índice, entonces

Cuando un elemento no esta en el conjunto dicho elemento no pertenece al

conjunto, y se representa de la siguiente manera

Ejemplo, A = {x/x es mes del año}

B= índice, entonces

2.1.1 Conjunto universo, vacío. [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]

Conjunto Universo

En cualquier aplicación de la teoría de conjuntos, los elementos de todos los

conjuntos en consideración pertenecen a un gran conjunto fijo llamado conjunto

universal. Lo notaremos por U.

Ejemplo : Para cada uno de los conjuntos siguientes, elegir un conjunto universal y

un predicado apropiados para definirlo.

(a) El conjunto de los enteros entre 0 y 100.

(b) El conjunto de los enteros positivos impares.

(c) El conjunto de los múltiplos de 10.

Solución

(a) A = {x : x 2 Z ^ x > 0 ^ x < 100} ó A = {x 2 Z : 0 < x < 100}

(b) B = {x : 9y 2 Z+, x = 2y − 1} ó B = {x : x = 2y − 1, y 2 Z+}

(c) C = {x : 9y 2 Z, x = 10y} ó C = {x : x = 10y, y 2 Z}

28

Conjunto Universo: Se denomina así al conjunto formado por todos los elementos

del tema de referencia

Ejemplo: U={x/x es un animal}

A={x/x es un mamífero}

B={x/x es un reptil}

Conjunto vacío: Se denomina así al conjunto que no tiene ningún elemento. A

pesar de no tener elementos se le considera como conjunto y se representa de la

siguiente forma: {*}

Ejemplos: Conjunto de los meses del año que terminan en a.

Conjunto de números impares múltiplos de 2.

Conjunto unitario. Es el conjunto que tiene un solo elemento.

Ejemplo: Conjunto de los meses del año que tiene menos de reinta días,

solamente febrero pertenece a dicho conjunto.

Conjuntos disjuntos. Se llaman conjuntos disjuntos aquellos que no tienen ningún

elemento que pertenezca a ambos al mismo tiempo.

Ejemplo: Los dos conjuntos siguientes:

29

{x/x es un número natural}

{x/x es un día de la semana}

son disjuntos ya que no tienen ningún elemento común.

Conjunto de las partes de un conjunto: Se llama así al conjunto formado por todos

los subconjuntos posibles de un conjunto dado. Observamos que en él los

elementos son, a su vez, conjuntos. Se representan por p(A).

Ejemplo: Dado el conjunto: A={a,b,c,d.}

Formemos todos sus subconjuntos: , M={a}, N={b}, P={c}, Q={d}, R={a,c}, T={a,d},

U={b,c}, V={b,d}, X={c,d}, Y={a,b,c}, Z={a,b,d}, L={b,c,d}. El conjunto de las partes

de A, es decir (A), será:

p(A) = {{ }, M, N, P, Q, R, S, T, U, V, X, Y, Z, L, A}

¿Cuándo dos conjuntos son iguales?

Dos conjuntos son iguales si, y solamente si, todos los elementos del primero son

iguales a los elementos del segundo y todo elemento del segundo es elemento del

primero.

Ejemplo: Los dos siguientes conjuntos: {x/x es un número natural} {x/x es un

número entero positivo} son iguales, ya que todo número entero positivo es un

número natural.

2.1.2 Números naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios [Sorino, T. Z. (15 de Agosto de 2011)]

Los números más conocidos son los números naturales, que se usan para contar.

Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los

enteros. Cocientes de enteros generan los números racionales. Si se incluyen

todos los números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones

de enteros (irracionales), se habla entonces de los números reales; si a éstos se

les añade los números complejos, se obtendrán todos los números necesarios

30

para resolver cualquier ecuación algebraica. Pueden añadirse también los infinitos,

los hiperreales y los transfinitos. Entre los reales, existen números que no son

soluciones de una ecuación polinomial o algebraica, que reciben el nombre de

transcendentales. Ejemplos famosos de estos números son el número π (Pi) y el

número e (este último base de los logaritmos naturales), los cuales están

relacionados entre sí por la identidad de Euler. Existe toda una teoría de los

números, que clasifica a los números en: Números Complejos Reales Racionales

Enteros Naturales Uno Primos Compuestos Cero Negativos Fraccionarios

Fracción propia Fracción impropia Irracionales Algebraicos irracionales

Trascendentes Imaginarios

-Naturales (N). Es cualquiera de los números que se usan para contar los

elementos de un conjunto. Reciben ese nombre porque fueron los primeros que

utilizo el ser humano para la enumeración.

-Enteros (Z). Son un conjunto de números que incluyen a los números naturales

distintos de cero (1, 2, 3....), los negativos de los números naturales (…, -3, -2, -1)

y al cero. Los enteros negativos como -1 ó -3 son números que todos los enteros

positivos (1, 2, …) y que el cero.

31

-Racionales (Q). Se les llama racionales a todo número que se puede

representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un

entero y un natural positivo) es decir, una fracción común a/b como numerador a y

denominador b distintos de 0.

-Reales (R). Incluyen a los números racionales (positivos, negativos y 0) como los

irracionales (trascendentes y algebraicos) que no se pueden expresar de manera

fraccionaria y tienen infinitos cifras decimales o periódicas.

-Imaginarios. Es un número complejo cuya parte real es igual a cero.

2.1.3 Subconjuntos [ XMV. (7 de Marzzo de 2010)]

Un subconjunto es un conjunto que forma parte de otro conjunto dado. Un

conjunto A es un subconjunto de un conjunto de un conjunto B si A esta contenido

dentro de B.

Recíprocamente, se dice que el conjunto B es un superconjunto de A, cuando A

es un subconjunto de B. Ejemplo:

Sean los conjuntos A {0,1, 2, 3, 5, 8¬} y B {1, 2, 5} en este caso decimos que B

está contenido en A o que B es un subconjunto de A. PROPIEDADES DE LOS

SUBCONJUNTOS:

Los subconjuntos tienen las siguientes propiedades:

REFLEXIVA.- Todo conjunto es subconjunto de si mismo. A A

ANTI SIMÉTRICA.- Si dados dos conjuntos A y B se verifica A B, entonces se

deduce que B A.

A B A B

32

TRANSITIVA.- Dados tres conjuntos A, B y C, si se verifica A B y B C entonces A

C A = {x I x es par} B = {2, 4, 6, 8} C = {vocales} D = {abecedario}

Los subconjuntos se expresan de la siguiente manera: AB (A es subconjunto de B)

CD (C es subconjunto de D)

Los elementos del conjunto A esta contenido en B pero al revés no es cierto, es

decir B no es subconjunto de A

2.1.4 Conjunto potencia. [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]

Dado un conjuntos, se llama conjunto potencia o conjunto de partes de S (se

denota por P(S) o 2 S) al conjunto de todos los subconjuntos de S. En la teoría de

conjuntos basada en los Axiomas de Zermelo-Fraenkel, la existencia del conjunto

potencia se establece por el axioma del conjunto potencia. Por ejemplo, si S= {a,

b, c} entonces el conjunto potencia de S es P(S) = {{ }, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b,

c}, {a, b, c}}.

2.2 Operaciones con conjuntos (Unión, Intersección,

Complemento, Diferencia y diferencia simétrica) [Zenteno,

E. V. (10 de Septiembre de 2015)]

UNIÓN: La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A B y es el

conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a

los dos. Lo que se denota por: A B = { x/x A ó x B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 } A B ={ 1, 3, 5,

7, 9, 10, 11, 12 }

INTERSECCIÓN

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 } Los elementos comunes a los dos

conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se

denota por A B, algebraicamente se escribe así:

A B = { x/x A y x B }

33

Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z } Q P={ a, b, o,

r, s, y }

CONJUNTO VACÍO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjunto vacío ó conjunto nulo lo

que denotamos por el símbolo .

Por ejemplo:

Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B. A B= { }=

El resultado de A B= { } muestra que no hay elementos entre las llaves, si este

es el caso se le llamará conjunto vacío ó nulo y se puede representar como: A

B=

CONJUNTOS AJENOS

Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos

conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A B = entonces A y B son ajenos.

COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de

elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa

por comprensión como:

A'={ x U/x y x A }

Ejemplo: Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U

El complemento de A estará dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }

34

DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el

conjunto de los elementos de A que no están en B y se representa por

comprensión como:

A - B={ x/x A ; X B }

Ejemplo:

Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos del conjunto A

que no estén en B. Si la operación fuera B - A el resultado es

B – A = { g, h, i }

E indica los elementos que están en B y no en A.

2.3 Propiedades de los conjuntos [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de

2015)]

Propiedades de la inclusión

i) A A

ii) A

iii) ; sólo si A = B

iv) y

Propiedades de la unión e intersección

i) Identidad

ii) Idempotencia

iii) Conmutatividad

iv) Asociatividad

35

v) Distributividad

vi) Absorción

vii) Complementaridad

2.4 Aplicaciones de conjuntos [Zenteno, E. V. (10 de Septiembre de 2015)]

La teoría de conjuntos y sus fundamentos básicos fueron desarrolladospor George

Cantor, un matemático alemán, hacia finales del siglo XIX. La teoría de conjuntos

trata de entender las propiedades de conjuntos que no están relacionados a los

elementos específicos de los cuales están compuestos. Por ende, tanto los

teoremas como los axiomas de la teoría de conjuntos involucran a conjuntos

generales, sin importar que contengan objetos físicos o números. Existen muchas

aplicaciones prácticas de la teoría de conjuntos.

Función

Desde formular las bases lógicas para la geometría, el cálculo y la topología, hasta

crear álgebra en torno a campos, anillos y grupos, las aplicaciones de la teoría de

conjuntos son comúnmente utilizadas en campos de las ciencias y las

matemáticas como biología, química y física, como así también en ingeniería

eléctrica y computación.

Matemáticas

Como la teoría es de naturaleza abstracta, tiene funciones y aplicaciones vitales

en el campo de las matemáticas. Una rama de la teoría de conjuntos es llamada

"análisis". El cálculo integral y diferencial son componentes principales del análisis.

La continuidad de una función y los límites de la misma derivan de la teoría de

36

conjuntos. Estas operaciones conducen al álgebra de Boole, que es útil para la

producción de computadoras y calculadoras.

37

Conclusión Un sistema numérico nos permite representar cantidades tan grandes, tan

pequeñas y tan precisas como lo necesite un número finito de símbolos llamados

dígitos del sistema.

En estas unidades podemos ver todo lo que está relacionado con sistemas

numéricos, sus definiciones, los conceptos relacionados y las teorías principales y

sus aplicaciones, de igual manera un poco de historia de las mismas.

De igual forma con la teoría de conjuntos así como las múltiples aplicaciones y

operaciones que se realizan con ellos.

38

BibliografíaCardona, A. d. (6 de Diciembre de 2014). Matematicas Discretas. Obtenido de

http://matesdiscretasisc.blogspot.mx/2014/12/semblanza.html

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Reyes, S. B. (10 de octubre de 2012). Curso Matematicas Discretas. Obtenido de https://sites.google.com/site/cursomatematicasdiscretas/

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