Mate Zapandí 2009

Este libro, Matemática Zapandí, corresponde al último libro del Tercer nivel de la Enseñanza General Básica Abierta, el cual está dividido en dieciséis semanas, cada uno con un texto básico y dos esquemas con cuatro apartados.

La metodología aplicada para la enseñanza de la Matemática toma en cuenta las leyes del aprendizaje utilizadas en el sistema “El Maestro en Casa”, debido a que siempre partimos de la premisa: las primeras im-presiones son las duraderas.

Al desarrollar los temas de Números reales, Estadística, Geometría, Trigonometría y Álgebra, lo hacemos a través de problemas que utilicen experiencias cotidianas o datos de nuestro entorno.

Nuestro objetivo en este libro es que usted mismo a través del estu-dio de cada semana, pase de éxito en éxito, o sea, que pase de un tema a otro sin ninguna dificultad para que sienta satisfacción parax estudiar Matemática.

Pensamos los que redactamos en “El Maestro en Casa”, que al estudiar una materia como esta, debemos “poner los pies en la tierra” y relacionar todos los nuevos conocimientos con experiencias reales del quehacer cotidiano.

Usted debe tener presente que el aprender forma parte de la naturaleza del ser humano. Sin el aprendizaje la vida humana no tendría posibilidades de existir.

Los contenidos los desarrollamos de acuerdo con los programas aprobados por el Consejo Superior de Educación.

matemática

ÍNdiCEmatemática - EL MAESTro EN CASA

ii

Página

Presentación........................................................................................................................................... i Índice ..................................................................................................................................................... ii

PRimeRa UNiDaD: LOS NÚmeROS ReaLeS ..............................................................................1

objetivos semana primera y segunda ...................................................................................................3

Conozcamos otra clase de números ..............................................................................................5

Esquema N. 1: representemos en la recta numérica algunos números reales .........................25

Esquema N. 2: Más sobre los intervalos .....................................................................................34

objetivos semana tercera....................................................................................................................43

inecuaciones lineales en una incógnita, con solución en ℝ. ........................................................45

Esquema N. 1: Sumar o multiplicar una constante a los dos miembros de una desigualdad ....61

Esquema N. 2: Un plan para la resolución de problemas cuyo planteo

involucra una inecuación lineal. ...................................................................................................67

objetivos semana cuarta

resolución de otras inecuaciones lineales en una incógnita con solución en ℝ. ........................79

Esquema N. 1: Hagamos más inecuaciones lineales en una incógnita. .....................................87

Esquema N. 2: resolvamos inecuaciones lineales en una incógnita. ........................................90

objetivos semana quinta y sexta

Potenciación y radicación.............................................................................................................97

Esquema N. 1: Hagamos operaciones con radicales ...............................................................127

Esquema N. 2: Multipliquemos y dividamos expresiones radicales ..........................................131

SeGUNDa UNiDaD: eStaDÍStica .............................................................................................137

objetivos semana sétima y octava ....................................................................................................138

¿Qué es la Estadística? .............................................................................................................139

iii


Esquema N. 1: Una tabla de frecuencia....................................................................................161

Esquema N. 2: Histogramas y polígonos de frecuencias..........................................................175

teRceRa UNiDaD: GeOmetRÍa ...............................................................................................191

objetivos semana novena .................................................................................................................192

Teorema de Pitágoras ................................................................................................................193

Esquema N. 1: ¿Cuál es la longitud de la diagonal? ................................................................207

Esquema N. 2: ¿Cuánto miden los lados? ................................................................................216

objetivos semana décima .................................................................................................................192

relaciones en los triángulos rectángulos ...................................................................................221

Esquema N. 1: Utilicemos el teorema de la altura en un triángulo rectángulo .........................225

Esquema N. 2: Utilicemos el teorema del cateto en un triángulo rectángulo ............................229

objetivos semana undécima .............................................................................................................235

Herón de Alejandría....................................................................................................................237

Esquema N. 1: Área de triángulos cualesquiera .......................................................................242

Esquema N. 2: Calculemos la altura de un triángulo si conocemos las medidas de los lados ............................................................................................................246

cUaRta UNiDaD: tRiGONOmetRÍa .........................................................................................253

objetivos semana duodécima ...........................................................................................................254

Las razones trigonométricas ......................................................................................................255

Esquema N. 1: Cálculo de relaciones trigonométricas..............................................................275

Esquema N. 2: resolución de triángulos rectángulos...............................................................281

objetivos semana decimotercera ......................................................................................................287

Ley de los senos ........................................................................................................................289


iV

Esquema N. 1: dos ángulos y cualquiera de los lados .............................................................297

Esquema N. 2: Problemas de aplicación de la ley de los senos ...............................................303

QUiNta UNiDaD: áLGeBRa ......................................................................................................309

objetivos semana decimocuarta ....................................................................................................... 311

división de polinomios................................................................................................................313

Esquema N. 1: división de un trinomio entre un monomio. ......................................................325

Esquema N. 2: Sigamos dividiendo polinomios entre polinomios .............................................332

objetivos semana decimoquinta .......................................................................................................337

Combinación de operaciones con polinomios ............................................................................339

Esquema N. 1: operaciones con paréntesis .............................................................................343

Esquema N. 2: orden de las operaciones con polinomios .......................................................345

objetivos semana decimosexta.........................................................................................................349

Factorización ..............................................................................................................................351

Esquema N. 1: Factorización cuando lo términos tienen un factor común ...............................363

Esquema N. 2: Factorización de polinomios utilizando productos notables ............................367

Prueba Matemática Grupo Zapandí ..................................................................................................371

Hojas de respuesta............................................................................................................................386

Bibliografía.........................................................................................................................................419

Programa Matemática Zapandí .........................................................................................................420

Ejemplo de Hoja de respuesta (para lectora óptica) .........................................................................425

1

matemática - EL MAESTro EN CASAPriMErA UNidAd

Los números reales Existen números que no se pueden expresar como cociente o

razón de dos números enteros. Es decir, existen números que no son racionales; a estos números se les denomina números irracionales.

Las expansiones decimales de los números irracionales son infinitas no periódicas.

Si al conjunto de números racionales añadimos el conjunto de los números irracionales, obtenemos un conjunto, que se llama conjunto de los números reales.

Pero, ¿de dónde vienen nuestros números?

La historia nos cuenta que el desarrollo del comercio trajo consigo la ampliación de los números naturales. La razón de esto era una situación de necesidad, producto del mismo comercio y debido a que la relación entre los seres humanos siempre es por lo demás complicada.

Consideremos el caso siguiente:

dos comerciantes, uno de ellos solicita cierta mercadería a otro, pero al momento de pagarla no le alcanza el dinero que posee. Se llega al acuerdo para pagar posteriormente. A este acuerdo se le de-nomina deuda.

SEMANAS PriMErA y SEGUNdAmatemática - EL MAESTro EN CASA

2

Situaciones como estas ocurren y ocurrirán siempre, debido a esto el inge-nio humano crea los números negativos. Este nuevo conjunto de números se denomina números enteros y se le simboliza con una ℤ.

ℤ = {..., -5, -4, -3, -2,- 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}

Una vez solucionado este problema, surge otro muy antiguo y que al parecer ya había sido considerado por los egipcios; es la representación de partes de la unidad, o sea las fracciones.

Analizando problemas semejantes a estos, matemáticos del pasado conciben otro tipo de números: los números racionales.

a)

b) La mamá de Alejandro hizo un queque y lo partió en 8 partes iguales, de estas Alejandro se comió una parte de ese queque. ¿Cómo se puede representar esa parte del queque utilizando números?

Para la creación de este nuevo tipo de números se fundamentan en las características y propiedades de los números enteros y lo definen de la manera siguiente

ℚ =

Esta nueva clase de números, a su vez posee características, propie-dades y operaciones muy particulares que ya han sido estudiadas en el libro de Matemática Térraba.

durante la semana primera del libro de Matemática Zapandí vamos a conocer los números que no se pueden representar como una razón de dos números enteros, a estos números se les denomina números irracionales. También estudiaremos las características de un nuevo conjunto llamado los números reales formado por la unión del conjunto de los números raciona-les y del conjunto de los números irracionales, además de la propiedades y operaciones que se pueden dar con estos. En la semana segunda y tercera estudiaremos lo referente a las inecuaciones lineales con una incógnita. Esta unidad finalizará en la semana cuarta con el estudio de la potenciación y la radicación.

Nada mejor para comenzar este "paseo por los números" que una cé-lebre frase de Leopold Kronecker, matemático del siglo XiX: Dios creó los números enteros, todo lo demás es obra del hombre.

3


OBjetiVOS:

v Analizar situaciones que hacen evidente la existencia de números irracionales.

v reconocer números irracionales en notación decimal, en notación radical y otras notaciones particulares .

v Caracterizar el conjunto de los números irracionales.

v Caracterizar al conjunto de los números reales.

v representar intervalos de ℝ en sus distintas denotaciones.

cONteNiDOS:

- Existencia de números irracionales.

- Números irracionales.

- Números π y e.

- El conjunto de los números irracionales.

- Elementos del conjunto Ⅱ.

- representación de números irracionales y sus opuestos en la recta numérica.

- interpretación de la expresión ℚ ∩ Ⅱ = Ø

- Conjunto de los números reales.

- interpretación de la expresión ℝ = ℚ ∪ Ⅱ.

- relaciones de inclusión en ℝ.

- Valor absoluto de un número real.

- representación de los números reales en la recta numérica.

- Completitud de ℝ.

- relaciones de orden en ℝ.

- infinitud y continuidad de ℝ.

- intervalos de ℝ: cerrados, abiertos, semiabiertos, el infinito.

- Notación con corchetes, por comprensión y representación en la recta numérica.

SE

MA

NA

S P

riM

Er

A y

SE

GU

Nd

A


4

5


cONOzcamOS OtRa cLaSe De NÚmeROS

Anteriormente hemos estudiado los números naturales {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...} luego los nú-meros enteros {...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...}. También consideramos el caso del conjunto de números cuyos elementos se representan por el cociente de dos números enteros a y b donde b no es igual a cero; a este conjunto de números se le denomina conjunto de los números racionales.

ℚ =

recordemos una de sus características.

El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, es decir, es un conjunto tal que entre dos números racionales cualesquiera, siem-pre es posible determinar otro número racional, así por ejemplo entre 1

4 y 12

existe una cantidad infinita de números racionales.

a) Veamos

b) También entre los enteros – 4 y 2 existen una can-tidad infinita de números racionales, por ejemplo

− 72

y 65

.

Además de esto, tenemos que todo número puede representarse como el cociente de sí mismo y de 1; es decir

Producto de esta situación, tenemos que cual-quier número racional puede escribirse como un número decimal.

Por ejemplo:3

10 puede escribirse como 0,3

94

puede escribirse como 2,25

5332

puede escribirse como 1,656 25

Como vemos este tipo de número racional posee una expansión decimal finita; es decir, se les puede contar los decimales.

importante:En una recta numérica el punto que repre-

senta el cero recibe el nombre de origen.

1. Los números reales que se representan a la derecha del origen se llaman números reales positivos.

2. Los números reales que se representan a la izquierda del origen se llaman números reales negativo.


6

Por eso se les llama números racionales con-mensurables.

Pero también hay números racionales cuya representación decimal es inconmensurable; o sea, no se pueden medir porque es periódica. Por ejemplo:

1. 5 tiene una expansión decimal 0,555 555… 9

donde el dígito 5 se repite.

2. 17 tiene la expansión decimal 0,171 717… 99 donde los dígitos 1 y 7 se repiten sucesivamente

y en ese orden.

3. −23 = – 0,666… después de cada 6 irá otro.

Entonces, decimos que la expansión decimal de −

23 es infinita periódica y se representa de

la siguiente forma: −23 − 2

3= − 0,6 indicando que el

6 se repite infinitamente.

Por tanto, cualquier número que tiene una expansión decimal finita o una expansión decimal infinita periódica se llama número racional.

Pero el interpretar así a los números racionales con esta nueva forma se nos plantea una pregunta.

¿Existen números cuya representación decimal sea infinita y no periódica?

La respuesta es afirmativa

desde la antigüedad, la necesidad de contar con números que expresarán ciertas relaciones importantes, enfrentó al hombre a números cuya expansión decimal es infinita y no periódica: un problema importante lo constituyó la necesidad de determinar un número que correspondiera a la razón existente entre la longitud de la circunferen-cia y la longitud de su diámetro, pues los antiguos

matemáticos determinaron que en cualquier círculo por más grande o más pequeño que fuese, la longitud de la circunferencia es aproximadamente tres veces la longitud del diámetro. A este número se le denominó π.

Tenemos por ejemplo

t Arquímedes determinó que dicho valor está entre 3 10

71 y 3 17 .

t Los chinos en el siglo I le asignaron el valor de

€

10 con un error del 2%.

t Los hindúes posteriormente le dieron el valor de 3,141 6 con un error de 1

400 000.

t En el siglo XVii, Adriano Mercio le asigna la fracción 355

113 con un error de 1

10 000 000.

Actualmente, se conocen más de 10 000 cifras decimales de este número que se pueden calcular fácilmente con una computadora. Estas son algunas de sus cifras decimales

π ≈ 3,141 592 653 589 8...

Este símbolo π (pi), es una notación introducida por el matemático Euler en 1748; que proviene de la letra inicial minúscula de la palabra griega perímetro en vista de su relación con el perímetro del círculo.

En nuestro caso, este símbolo π aparecerá en las fórmulas de perímetro y de área de un círculo de radio r que se utilizarán en el libro Matemática 2.

otro número irracional muy conocido es el número de Nepper, simbolizado con la letra e (se lee e) donde e ≈ 2,718 281 828 46...

7


Este número e aparece en procesos de creci-miento, en la desintegración radiactiva, en la fór-mula de la catenaria, que es la curva que podemos apreciar en los tendidos eléctricos.

otro tipo de números irracionales son los que se le atribuyen al matemático griego Pitágoras de la isla de Samos 540 años antes de Cristo, este los encontró al establecer la relación que existe entre los lados de un cuadrado y su diagonal.

Algunos de estos números irracionales son:

2 (se lee raíz cuadrada de dos)

3 (se lees raíz cuadrada de tres)

5 (se lee raíz cuadrada de cinco)

7 (se lee raíz cuadrada de siete)

de acuerdo a lo anterior, tenemos que el conjunto de los números irracionales es infinito, y además cada uno de sus elementos posee una forma característica, por lo tanto, tenemos que: los números irracionales es el conjunto de los números que no pueden expresarse como cociente de dos enteros. Solo pueden expresarse en for-ma decimal y el número de decimales que tienen es infinito y no se repiten siguiendo algún patrón determinado.

Al conjunto de los números irracionales se le denota con . A la unión del conjunto de los nú-meros racionales ℚ y del conjunto de los números irracionales se le llamará conjunto de los números reales; el cual se denotará con ℝ. Simbólicamente se escribe ℝ = ℚ ∪ .

11. Analice los siguientes números e indique si son números racionales o números irracionales

a) 12,124 356…

b) 0, 523 598 7…

c) 0, 342 342 34…

d) 1, 838 849 1…

e) 4, 232 323…

f) – 9, 030 030 030…

g) – 0, 494 494 49…

h) – 3, 222 2…

i) 2, 122 333 444 455 555…

j) 3, 456

k) 6, 122 333


8

2. rellene esta tabla poniendo si el número pertenece o no a cada uno de los conjuntos numéricos indicados.

Número 4 2,171717… 54 2,345678…− 34 − 9

Natural?Entero?racional?irracional?real?

Números realesEn principio podemos definir a los números

reales como aquellos números que tienen expan-sión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo:

a) 3esunnúmerorealyaque3=3,0000000000…

b)12 esunnúmerorealyaque

12 =0,5000000000…

c) 13esunnúmerorealyaque 1

3=0,3333333333…

d) 2 esunnúmerorealyaque 2 =1,4142135623730950488016887242097…

e) 0,1234567891011121314151617181920212223…Esunnúmeroreal.

f) 1,01001000100001000001000000100000001…Esunnúmeroreal.

Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen expansión decimal no periódica d, e y f. Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman números racionales (denotados por ℚ) y los números que tienen expansión decimal no periódica se llaman irracionales (denotados por Ⅱ). En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e y f son números irracionales. Claramente, la caracterís-tica de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad de tener expansión

decimal no periódica para los irracionales define dos tipos de números muy distintos. Lo que sig-nifica que un número real es racional o irracional, nunca ambos, en notación de conjunto se escribe ℚ ∩ = ∅, donde el símbolo ∩ significa intersec-ción y se refiere a los elementos que pertenecen a los dos conjuntos al mismo tiempo.

recordemos que ∅ significa el conjunto vacío y es el único conjunto que no tiene elementos.

conjunto de los números reales

de acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales, los números irracionales. En notación de conjuntos se escribe ℚ ∪ = ℝ, donde el símbolo ∪ significa unión y se refiere a la unión de elementos de los conjuntos ℚ e . Esta idea se puede visualizar simbólicamente en el siguiente gráfico.

9


A su vez, los números racionales se clasifican en:

t Números naturales ( ), los que usamos para con-tar. Por ejemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…

t Números enteros (ℤ), son los números na-turales, sus negativos y el cero. Por ejemplo: …– 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…

t Números racionales, son aquellos números que se pueden expresar como cociente de dos números enteros, es decir, son números de la forma a

b con a, b enteros y b ≠ 0.

Por su parte los números irracionales se cla-sifican en:

t Números algebraicos, son aquellos que pro-vienen de la solución de alguna ecuaciones algebraica y se representan por un número finito de radicales libres o anidados. Por ejemplo:

2, 1+ 3

2, 1+ 3

4

En general, todas las raíces no exactas de cualquier orden son irracionales algebraicos.

Recuerde:

Hay números racionales que parecen irracio-nales, como por ejemplo 1+ 4

2, 9

3 y 25

. A simple vista parecen irracionales pero al observarlos con más detenimiento notamos que las raíces son exactas y al calcularlas llegamos a números racionales.

En efecto,

n 1+ 42

=1+ 2

2=

32

n 93

=33

= 1

n 25 = 5

t Números trascendentales, no pueden repre-sentarse mediante un número finito de raíces libres o anidadas; provienen de las llamadas funciones trascendentes; trigonométricas, logarítmicas y exponenciales. El número π y e son irracionales trascendentes, puesto que no pueden expresarse mediante radicales. Los irracionales trascendentes también surgen al escribir números decimales no periódicos al azar o con un patrón que no lleva período definido. Por ejemplo,

n 0,1234567891011121314151617181920212223…

n 1,01001000100001000001000000100000001…

Para estos conjuntos tenemos las siguientes relaciones:

1) ⊂ ℤ, ℤ ⊂ ℚ, ℚ ⊂ ℝ. Con palabras pode-mos decir: todo número natural es entero (y a su vez racional y real), todo número entero es racional, por ejemplo si tomamos el entero – 3, tenemos: – 3 = − 3

1 por lo tanto – 3 ∈ ℚ ya que

hemos podido escribir nuestro número como un cociente de dos enteros con el denominador diferente de cero. Esto lo podemos hacer con cualquier entero que ℤ ⊂ ℚ.

2) ⊂ ℝ.

La recta real

Llamamos recta real a la recta donde cada punto que la conforma corresponde un número real. Como cada punto de ella está identificado con un número racional o irracional esta recta es una recta compacta donde no queda ningún "espacio libre" entre dos puntos de ella. Para tener una idea de esta propiedad imagine que dados dos

10

números racionales siempre es posible encontrar uno entre ellos. Esto es simple considerando que la semisuma de dos números cualquiera siempre está entre ellos dos. Es decir, dados dos números racionales a y b con a < b, siempre se verifica que a < a + b

2 < b.

En la recta real representamos todos los números (recuerde que todo punto de la recta está etiquetado como un número real) y en ella podemos visualizar el orden en que se ubican los números.

Los números 12

, 32

, e, π por citar algunos se representan usando su expansión decimal ubicando en la recta aproximadamente su lugar (respetando el orden). En el caso de algunos números irracionales como ± 2, ± 3, ± 5… pueden representarse exactamente en la recta mediante el uso de una regla y compás. Por ejemplo, para representar ± 2 consideramos un triángulo rectángulo isósceles de catetos 1, con uno de sus vértices en el origen de la recta (ver figura siguiente). Luego con un compás trazamos una circunferencia de radio la hipotenusa de dicho triángulo (que es 2 ). La intersección de esta circunferencia con la recta real es el número 2 a la derecha, y – 2 a la izquierda (ver figura). de manera análoga se puede representar ± 5 . En este caso, se toma un triángulo rectángulo de catetos 1 y 2, tal como se muestra en la figura.

Otra manera de representar un número irracionales en la recta real (forma aproximada)

Para representar el número irracional 5 en la recta numérica, tenemos que tener presente que los números irracionales no se pueden escribir como el cociente de dos números racionales. Por otra parte, su representación decimal es infinita y no periódica.

Por estas razones, para ubicar un número irracional en la recta numérica debemos hacerlo en forma aproximada.

Para ubicar el número irracional 5 en la recta numérica tenemos que el valor aproximado de 5 = 2, 236 068... (utilizando una calculadora); es decir,

En la recta numérica, ubicamos primero el número 2

Para ubicar 210 después del dos, procedemos

dividiendo el segmento entre 2 y 3 en 10 partes iguales y tomamos dos de ellos. Así.

€

2 +210

+3

100+

61000

+0

10 000+

6100 000

+8

1000 000

0 1 2 3

2 32,2 2,3

11


Ahora si dividimos el segmento entre 2,2 y 2,3 en 10 partes iguales obtendremos las 3 centésimas

dividiendo el segmento entre 2,23 y 2,24 en 10 partes iguales obtendremos las seis milésimas.

realizando esto repetidas veces encontrare-mos que 2, 236 068 ... lo podemos localizar en la recta numérica aproximadamente así:

Esta forma de representar un número irracional, se le dice forma aproximada. La aproximación de este número puede ser a la décima, la centésima, la milésima o más 2,236 068 ...

Luego tenemos que

5 ≈ 2,236068…

Operaciones con númerosComo los números reales son la unión de dos

conjuntos disjuntos ℝ = ℚ ∪ Ⅱ. Las operaciones deben analizarse desde dos puntos de vista dis-tintos.

Operaciones en los números racionales

Lo primero que debemos decir es que las ope-raciones de suma, resta, multiplicación y división

con los números racionales están bien definidas, esto quiere decir, que toda vez que se opera con cualquier par de números racionales el resultado es un racional. Por ejemplo:

t Al sumar los números racionales 25

y 310

ob-tenemos el número racional 7

10.

25

+3

10=

(10 ÷ 5)2 + (10 ÷ 10)310

=(2)2 + (1)3

10=

4 + 310

=7

10

t Al restar los números racionales 174

y 113

ob-tenemos el números racional 7

12

174

−113

=(12 ÷ 4)17 − (12 ÷ 3)11

12=

51− 4412

=7

12

t Se pueden efectuar operaciones combinadas tales como:

8 + −12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+52

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − 8 1

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 25

y el resultado es racional.

8 + −12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+52

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − 8 1

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 25 = 8 +42

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− 1− 25 = 8 + 2 − 26 = −16

Operaciones con números irracionales

En cuanto a las operaciones con números irracionales es necesario tener en cuenta lo si-guiente:

t 3 + 5 = 3 + 5 . dos irracionales cuya suma resulta un irracional.

t 2 • 3 = 6. dos irracionales cuyo producto es un irracional.

2,2 2,32,23 2,24

2,23 2,242,236 2,237

2,236 2,237

2,236 068


12

t 5 + (− 5) = 0. dos irracionales cuya suma es un racional.

t 2 • 8 = 16 = 4. dos irracionales cuyo pro-ducto es un racional.

t 18 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 = 3. dos irracionales cuya división resulta un racional.

Como podemos notar las operaciones de suma, resta, multiplicación y división no son operaciones bien definidas en los números irracionales. Esta afirmación quiere decir que dados dos números irracionales no siempre la suma, resta y multipli-cación o división de dichos números resulta un número irracional. Los ejemplos anteriores nos advierte que los números irracionales no se com-portan, con respecto a las operaciones, de manera similar a los números racionales. Sin embargo y a pesar de su extraño comportamiento tenemos dos afirmaciones que siempre son válidas:

1. Si a es racional y b es irracional entonces la suma a + b siempre es irracional.

2. Si a ≠ 0 es racional y b es irracional entonces el producto a • b siempre es racional.

En virtud de estas afirmaciones podemos decir que:

t 2 + 3 es irracional.

t 2 • 5 es irracional.

Propiedades fundamentales de los números

Por propiedad fundamental, queremos decir que algo es tan básico que se puede entender, y entenderlo significa más que memorizarlo. Entender una propiedad significa ver para qué fines sirve esa propiedad, reconocer sus implicaciones y ser capa-ces de derivar otras de ellas. En la siguiente tabla se muestra, a manera de resumen, las operaciones entre números y sus propiedades. En cada caso las letras a, b y c representan números, a ≠ 0.

ProPiedades de los números reales

Propiedad ejemplo descripciónPropiedades conmutativasa+b=b+aab=ba

7+3=3+73•5=5•3

Cuandosesumandosnúmeros,noimportaelorden.Cuandosemultiplicandosnúmerosnoimportaelorden.

Propiedades asociativas(a+b)+c=a+(b+c)

(ab)c=a(bc)

(2+4)+7=2+(4+7)

(3•7)•5=3•(7•5)

Cuandosesumantresnúmeros,noimportacuálesdossesumanprimero.Cuandomultiplicamostresnúmerosnoimportacuálesdossemultiplicanprimero.

Propiedad distributivaa(b+c)=ab+ac(b+c)a=ab+ac

2•(3+5)=2•3+2•5(3+5)•2=2•3+2•5

Cuando semultiplica unnúmeropor una sumadedosnúmerosseobtieneelmismo resultadoalmultiplicarelnúmeroporcadaunodelostérminosyluegosumarlosresultados.

13


Propiedad elemento opuestoa+(–a)=(–a)+a=0 5+(–5)=(–5)+5=0 Cuando se sumaunnúmero y suopuesto el resultado

escero.Propiedad elemento inverso, a ≠ 0a•a–1=a–1•a=1 2•2–1=2–1•2=1 Cuandosemultiplicaunnúmeroporsuinversoelresultado

esuno.Propiedad elemento neutro sumaa+0=0+a=a 5+0=0+5=5 Cuando sumamos un número con cero obtenemos el

mismonúmero.Propiedad elemento neutro multiplicara•1=1•a=a –3•1=1•–3=–3 Cuandomultiplicamosunnúmeroporunoobtenemosel

mismonúmero.

Si observamos con atención notaremos que las propiedades de los números se basan en las operaciones de suma y multiplicación. Esto se debe a que la suma y la multiplicación son las opera-ciones básicas; la resta y la división dependen de ellas. La resta es la suma de un inverso aditivo y la división es la multiplicación por un inverso mul-tiplicativo. Esto es:

a − b = a + (− b) y ab

= a • 1b

= a • b− 1

Es obvio que 3 – 5 ≠ 5 – 3 y 5 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 5, lo que nos dice que la resta y la división no son conmutativas y tampoco son asociativas. A pesar de estos inconvenientes, estas operaciones son importantes en el cálculo.

La propiedad del elemento simétrico para el producto permite deducir una propiedad de los números muy utilizada en el cálculo.

Sean a y b números. Si el producto a • b = 0, entonces a = 0 o b = 0.

Esta propiedad indica que toda vez que el producto de números de cero, necesariamente uno de los factores debe ser cero. Entiéndase que puede ocurrir que a la vez a = 0 y b = 0, ya que esta posibilidad no se excluye; cuando en matemáticas

decimos "a = 0 o b = 0", la conjunción o, se usa siempre en el sentido de "lo uno o lo otro o las dos cosas a la vez".

Propiedades de la potencia

En la tabla adjunta se resumen las propiedades que verifica la potencia de números reales.

Propiedades de la potenciaExponentecero a0 = 1Exponenteuno a1 = aProductodepotenciasdeigualbase am • an = am + n

Cocientedepotenciadeigualbase

am

an = am − n

Potenciadeunproducto (a • b)m = am • bm

Potenciadeuncociente ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m

=am

an

Potenciadeunapotencia (am) = am • n

Exponentenegativo a−m =1

am ; ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−m

=ba

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m

Basenegativaexponentepar (– a)m = am

Basenegativaexponenteimpar (–a)m = – am


14

expresiones radicalesEn el libro de Matemática Ujarrás estudiamos

al conjunto de los números racionales y sus res-pectivas operaciones; trabajamos con la operación potenciación con base racional y exponente natural.

Así por ejemplo tenemos que:

23 = 8 porque 2 • 2 • 2 = 8

54 = 625 porque 5 • 5 • 5 • 5 = 625

72 = 49 porque 7 • 7 = 49

23

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=49

porque 23

• 23

=49

En este libro de Matemática Zapandí; estu-diaremos la operación inversa de la operación potenciación, esta es la operación radicación, que consiste en encontrar la base que elevada a cierta potencia da un resultado determinado.

Raíz enésima de un número real

Si a es un número real mayor o igual a cero y n es un número natural mayor que uno, se define raíz enésima de a y se denota a

1n , al número real

positivo b que cumple la igualdad bn = a. Simbóli-camente tenemos:

a1n = b ⇔ bn = a

Notación

La raíz enésima de a se denota an , es decir:

a1n = an

Por ejemplo:

a) 83 (se lee raíz cúbica de 8) se puede denotar también 8

13 , es decir 8

13 = 83 .

b) 6254 (se lee raíz cuarta de 625) se puede de-notar también 625

14 , es decir 625

14 = 6254

Así usando el hecho de que a1n = an , también

podemos expresar esto an = b ⇔ bn = a

Por ejemplo:

a) 1212 = 11 pues 112 = 11 • 11 = 121

b) 325 = 2 pues 25 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

c) 3433 = 7 pues 73 = 7 • 7 • 7 = 343

Cada parte de un radical lleva un nombre:

En la expresión an :

"n" recibe el nombre de índice

"a" recibe el nombre de subradical

an es el símbolo de radical

Por ejemplo:

a) En 308 , 8 es el índice del radical y 30 es el subradical.

b) En 273 , 3 es el índice del radical y 27 es el subradical.

importanteann = a

an( )n= a

Relación de pertenencia e inclusióni. Cuando un elemento x pertenece a un conjunto

a, lo denotamos x ∈ A. Si esa relación no se cumple, escribimos x ∉ A.

Por ejemplo:

a) 2 ∈ ℝ porque 2 = 1,41423562… posee una expansión decimal infinita no periódica.

b) 4 ∉ Ⅱ porque 4 = 22 = 2

15


c) − 83 ∉ porque − 83 = − 233 = − 2

d) 0,404061017… ∈ Ⅱ porque posee una expan-sión decimal infinita no periódica.

OBSeRVe eS imPORtaNte

Un mismo número se puede representar de diferentes maneras.

Por eso, hay que tener cuidado antes de asegurar que un número pertenece o no a cierto conjunto.

Números reales ℝ

ii. Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B, independientemente de que existan elementos de B que no pertenecen a A.

En tal caso, lo denotaremos A ⊂ B si A no es

−2,12

− 5(− 3)0

278

3

− 83

− 17

81

− 15− 3

− 217

0,3 −43

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 19

57

3,1415

0

2

π

2

− 7 11165

3 − 33( ) 325

sen 70°

0,0101001000…

un subconjunto de B, lo denotaremos A ⊄ B.

Por ejemplo:

a) ⊂ ℤ

b) ℤ ⊂ ℚ

c) ⊂ ℚ

d) ℚ ⊂ ℝ

e) Ⅱ ⊂ ℝ

f) − 5, 1, 3{ } ⊄ Ⅱ este caso debe observase con mucho cuidado porque − 5 ∈ Ⅱ, 3 ∈ Ⅱ, pero 1 ∉ Ⅱ, 1 es un número natural.

g) − 4, 273 , 25 + 23

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⊄ ℤ

En este caso se tiene que − 4 = – 2 ∈ ℤ también 273 = 333 = 3 ∈ ℤ, recuerde que

y además

25 + 23

=5 + 2

3=

73

∉ ℤ

importante

Cuando en un conjunto se coloca un signo a la derecha y arriba (en posición de un exponente) se restringe únicamente a los números de ese signo que pertenecen al conjunto.

Por ejemplo:

t ℝ– significa: "el conjunto de todos los números reales negativos.

t ℝ+ significa: "el conjunto de todos los números

33, ann = a

16

reales positivos.

ejemplos

En cada uno de los siguientes casos, complete con ∈ o ∉ ó ⊂ o ⊄.

1) 0,345 841 300 2… _______ ℚ

Como el número 0,345 841 300 2… es un número cuya expansión decimal es infinita y no periódica. Entonces, no pertenece a los números racionales: 0,345 841 300 2… ∉ ℚ.

2) 2,4 +14

_______

Al convertir la expresión 2,4 a fracción, tene-

mos que 2,4 = 2,4 =24 − 4

9=

209

. Entonces,

209

+14

=80 + 9

36=

8936

que es un número ra-

cional. 2,4 +14

∉ .

3) – 0,245 6 _______ ℚ–

El número – 0,245 6 es un número cuya expan-sión decimal es finita, en un número racional. Así, – 0,2456 ∈ ℚ–.

4) _____ ℤ+

Cuando consideramos a , se dijo que = {0, 1, 2, 3, 4,…}, como ℤ = ℤ– ∪ {0} ∪ ℤ+,

esto nos indica que ⊄ ℤ+.

5) ℚ+ _____ ℝ

Cada número racional positivo es un número

real positivo por eso ℚ+ ⊂ ℝ.

6) 27125

3 _____ Ⅱ

Al simplificar 27

1253 =

33

533 =

35 queda claro

que 35 es un número racional. Entonces

27165

3 ∉ Ⅱ.

7) ab

_____ ℚ– donde a ∈ ℚ–, b ∈ ℤ+

El resultado de dividir una fracción negativa entre un número entero positivo será siempre una fracción negativa, así con certeza podemos asegurar que a

b ∈ ℚ–.

Valor absolutoEl valor absoluto de un número a denotado por

| a |, es la distancia desde a hasta 0 sobre la recta de los números reales. La distancia es siempre positiva o cero, de modo que tenemos | a | ≥ 0 para cada número a. Tenga en cuenta que – a es positiva cuando a es negativa, y entonces tenemos la definición siguiente:

Si a es un número real, entonces el valor ab-soluto de a es

| a | = a si a ≥ 0

– a si a < 0

Gráficamente

a 0

– a

a0

a

17


Por ejemplo:

a) La expresión | 3 | se lee "valor absoluto de tres", la cual corresponde a la distancia desde 0 al número 3.

b) La expresión | – 3 | se lee “valor absoluto de menos tres”, la cual corresponde a la distancia desde – 3 al número 0.

c) Si el número es positivo o cero, su valor ab-soluto es el mismo número.

5 = 5

0 = 0

3 4

= 34

2 = 2

d) Si el número es negativo, su valor absoluto es el opuesto del número.

− 8 = −(− 8) = 8

− 53 = − − 53( ) = 53

Observe

De los resultados anteriores, podemos concluir que el valor absoluto de un número, nunca es negativo.

e) | 3 – π | = – (3 – π) = π – 3

(puesto que 3 < π ⇒ 3 – π < 0

Cuando se trabaja con valores absolutos, usamos las propiedades siguientes:

ProPiedades del valor absolutoPropiedad ejemplo descripción

1.|a|≥0 |–3|=3≥0

Elvalorabsolutodeunnúmeroessiemprepositivoocero.

2.|a|=|–a| |5|=|–5|

Unnúmeroysunegativotienenelmismovalorabsoluto.

3.|ab|=|a||b| |–2•5|=|–2||5|

Elvalorabsolutodeunproductoeselproductodelosvaloresabsolutos.

4. ab

=ab

12− 3

=12– 3

Elvalorabsolutodeuncocienteeselcocientedelosvaloresabsolutos.

Operaciones con valor absoluto

A. realice las siguientes operaciones

1. |2 + 3(– 4)| = _______

Solución:

|2 + 3(– 4)| = |2 – 12| = |– 10| = 10

2. – |– 4| = _______

Solución:

– |– 4| = – (4) = – 4


18

3. – |(– 2)2 | = _________

Solución:

– |(– 2)2 | = – |4| = – 4

4. – |– 2|2 = _________

Solución:

– |– 2|2 = – (2)2 = – 4

5. (– |– 2|)2 = __________

Solución:

(– |– 2|)2 = (– (2))2 = (– 2)2 = 4

B. Calcule

1) 5 + 2 = _______

Como 5 + 2 ≈ 4,23 , entonces el valor absoluto "queda igual".

5 + 2 = 5 + 2

2. 3 − 39 = _______

Como 3 − 39 ≈ – 3,24 , entonces el va-lor absoluto cambia de signo. Entonces

3. − 1− 3 = ______

El número − 1− 3 es negativo; entonces− 1− 3 = − (− 1− 3) = 1+ 3 .

C. Simplificación de expresión con valor abso-luto

1) |(– 1 + 4(2)) + 2| + |– 4 – (7 – 2 • 3)| = _______

Solución:

– |(– 1 + 8) + 2| + |– 4 – (7 – 6)| =

– |7 + 2| + |– 4 – 1| =

– |9| + |– 5| = –9 + 5 = – 4

2) 12

+34

−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 4 +83

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−26

= _____

Solución:

12

+3 – 2

4−

12 + 83

−26

=

12

+14

−203

−13

= observe 26

=13

2 + 14

−193

=

34

−193

=

34

−193

=

9 – 7612

=

− 6712

19


Si a > 0 y b < 0 son números reales, calcule las siguientes expresiones.

2

Números reales opuestosdos números reales son opuestos, si se lo-

calizan a la misma distancia del cero en la recta numérica.

Por ejemplo:

– 3 es el opuesto de 3

2 es el opuesto de – 22

3 es el opuesto de – 2

3

– 33

3 es el opuesto de 33

3

Propiedades del conjunto de los números reales

Considerando que el conjunto de los números reales se forma mediante la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales, podemos asegurar que el conjunto de los números reales posee las propie-dades siguientes:

1. ℝ es un conjunto infinito

El conjunto de los números reales ℝ es un conjunto infinito, por cuanto ℝ = ℚ ∪ Ⅱ y como ya sabemos tanto ℚ como Ⅱ son conjuntos infinitos.

2. ℝ no tiene primero ni último elemento

3. El conjunto de los números reales es un con-junto ordenado, ya que dados dos números reales distintos siempre se puede establecer entre ellos una relación de menor o mayor.

4. ℝ es un conjunto completo

A todo número real le corresponde un punto sobre la recta y a todo punto sobre la recta le corresponde un número real.

1. a 3. ab2 5. 7b 7. a2

2. b 4. b3 6. a2

8. b65

= ____ = ____ = ____ = ____

= ____ = ____ = ____ = ____

20

Cuando solamente teníamos a los números racionales, aunque representáramos en la recta numérica muchos números racionales muy cerca uno del otro, siempre quedaban puntos libres, puntos que no corresponden con números racionales. Estos puntos libres ahora son llenados por los números irracionales. Es decir, los números irracionales vienen a llenar los "huecos" que dejan los números racionales en la recta numérica.

5. ℝ es denso y contínuo

Enre dos números reales, existen infinitos nú-meros reales, es decir, ℝ es un conjunto denso. Como además completa la recta, decimos que ℝ es denso y continuo.

Orden de los números realesEl conjunto de los números reales es un con-

junto ordenado, esto es dados dos números reales cualesquiera, siempre es posible establecer cuál de ellos es el mayor.

de acuerdo con la Ley de Tricotomía, para a ∈ ℝ, b ∈ ℝ cualesquiera se tiene:

a b se lee "a es mayor que b"

a = b se lee "a es igual a b"

Recuerde:

Para dos números reales cualesquiera a y b sólo una de las tres relaciones es verdadera.

a < b, a = b , a > b

ejemplos

intervalos realesCon respecto a los números reales, tenemos

que es continuo, es denso y es completo. Con estas propiedades se garantiza que entre dos números reales cualesquiera, hay una infinidad de números reales entre ellos. Por ejemplo, entre – 1 y 0 se encuentran incontables números.

En este caso al número -1 se le llama extremo in-ferior y al número 0 se le llama extremo superior.

En general tenemos:

21


dados dos números reales a y b, donde te-nemos que a se sitúa en la recta numérica a la izquierda de b,

podemos definir los siguientes conjuntos.

1. intervalo abierto, de extremos a y b.

]a, b[ = {x/x ∈ ℝ; a < x < b}

Nótese que a ∉ ]a, b[, b ∉ ]a, b[

Por ejemplo: 5 ∉ 5, 8] [, 8 ∉ 5, 8] [

2. intervalo cerrado, con extremos a y b.

[a, b] = {x/x ∈ ℝ; a ≤ x ≤ b}

Nótese que a ∈ [a, b], b ∈ [a, b]

Por ejemplo: − 1∈ − 1, 2[ ], 2 ∈ − 1, 2[ ]

3. intervalo semiabiertos por la derecha, de ex-tremos a y b.

[a, b[ = {x/x ∈ ℝ; a ≤ x < b}

Por ejemplo: 1∈ 1, 7[ [, 7 ∉ 1, 7[ [

4. intervalo semiabierto por la izquierda de ex-tremos a y b.

]a, b] = {x/x ∈ ℝ; a < x ≤ b}

Por ejemplo: 1∉ 1, 3] ], 3 ∈ 1, 3] ]

intervalos de extremos infinitos

5. El conjunto de números reales mayores o iguales que a.

[a, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ; x ≥ a}

Por ejemplo: 5 ∈ 5, + ∞[ [

6. El conjunto de números reales mayores que a.

]a, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ; x > a}

Por ejemplo: 4 ∉ 4, + ∞] [

7. El conjunto de números reales menores o iguales que a.

]– ∞, a] = {x/x ∈ ℝ; x ≤ a}

Por ejemplo: − 3 ∈ − ∞, – 3] ]

a b

a b

a b

a b

a b

a

a

a

22

8. El conjunto de números reales menores que a.

]– ∞, a[ = {x/x ∈ ℝ; x < a}

Por ejemplo: 2 ∉ – ∞, 2] [

9. El conjunto ℝ de los números reales, se define como el intervalo:

]– ∞, + ∞[ = {x/x ∈ ℝ, – ∞ < x < + ∞}

Recuerde:

1. Un intervalo es un subconjunto de los números reales. Los intervalos pueden ser abiertos, cerrados, se-miabiertos o de extremos infinitos llamados también semirrectas.

2. Nosotros utilizaremos el símbolo +∞ para indicar el infinito positivo y el símbolo -∞ para infinito negativo. Sin embargo, debe tenerse mucho cuidado ya que estos no represen-tan números reales.

Por lo general, los intervalos los escribimos en tres notaciones, la primera es la gráfica, que es como lo representamos en este caso.

a

La segunda es utilizando la notación por com-prensión de conjuntos. Para hacerlo, escribimos entre llaves la desigualdad señalada después de ser explícitos en que nos referimos a números reales:

{x/x ∈ ℝ, 1 < x < 2}

La expresión anterior se lee: "El conjunto de los números reales x que son mayores que 1 y menores que 2".

La tercera notación es utilizando paréntesis cuadrados. Los intervalos reales son tan utiliza-dos en la matemática que necesitan una notación particular. Esta es ]1, 2[ y se lee: el intervalo entre 1 y 2 ambos abiertos.

Es importante destacar que este conjunto ]1, 2[ no tiene un menor elemento, porque el 1 no pertenece al conjunto y cualquier otro número que pertenezca al intervalo no podrá ser el menor, ya que siempre se podrá escoger uno más pequeño que también sea mayor que 1.

Algunos intervalos se pueden expresar con una notación más simple ya que representan conjuntos muy utilizados.

Nos referimos a ]0, + ∞[ = ℝ+ el conjunto de los números reales positivos y ]– ∞, 0[ = ℝ– el conjunto de los números reales negativos.

23


31. Complete la siguiente tabla.

Notación gráfica Notación de intervalo Notación por comprensión

a) {x/x ∈ ℝ, – 2 ≤ x < 5}

b) ]– 5, 8]

c)

d)

e) {x/x ∈ ℝ, – 4 ≥ x}

f) ]– 2, + ∞[

g)

h) [3, 7]

i)

j) {x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 6}

k) 11. − 2, 5⎤⎦

⎡⎣

l) {x/x ∈ ℝ, x > – 1}

m) ]– ∞, 0,5]

n) ℝ+

ñ) ℝ

0) {x/x ∈ ℝ, – 3 < x ≤ 2}


24

2. En cada una de las siguientes proposiciones, complete con ∈, ∉ según corresponda adecuada-mente.

1. 3___ − 3, + ∞[ [ 8. 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− 2

___r+

2. −3___ 3, + ∞] [ 9. − 7 ___ − 2, + ∞[ [

3. − 5 ___ − 2, − 1] ] 10. 54

___ 0, 2] [

4. 3___ − 2, 4] [ 11. e + π ___ 2, 227

⎡

⎣⎢⎡

⎣⎢

5. − 8 ___ − 2, − 1 ] [ 12. − 2,1___ − 2,11, + ∞[ [

6. π

2___ 2, 3,1415[ [ 13. − e ___ − 3, − 2] [

7. 12 ___ 1, 5] [ 14. − e + 2 ___ − 2, 0] [

25


aPaRtaDO 1

RePReSeNtemOS eN La Recta NUméRica aLGUNOS NÚmeROS ReaLeS

A. representar en la recta respectiva, los números reales siguientes. (Algunos de estos números pue-den ser ubicados en dos o más rectas)

5; − 8; 5 1

2 ; − 4,75; 0,3; 4; 6; −π

3

a)

b)

c)

d)

e)

0 1 2 3 4 5 6 7 8N

€

IR

II

26

B. Recuerde: Para indicar que un número es un elemento de un conjunto lo expresaremos con el símbolo ∈ y cuando no pertenece a un conjunto lo indicaremos con ∉. Por ejemplo:

1) 3 ∈iN 4) 9 ∈iN

2) 2,5 ∉ZZ 5) 8 ∉iN

3) 12

∈Qi 6) 7 ∈ir

aPaRtaDO 2

A. obtenga el opuesto de cada número real.

a) 5 el valor opuesto es _______________

b) – 3 el valor opuesto es ________________

c) 9 = ____ el valor opuesto es _______

d) − 6 el valor opuesto es _______________

B. Complete las expresiones siguientes, escribiendo en los espacios en blanco los símbolos >, < ó = según corresponda.

a) −7 ___ − 4 g) 35

___ 87

b) −3 ___ 5 h) 3,24 ___ 3,24

c) π

2___ − 1,57 i) 1

11___ 0,09

27


d) π

4___ 2e j) 5

6___ 0,8333…

e) 225 ___ 5003 k) 2 ___ π

f) 289 ___ 17 l) π ___ e

c. Recuerde:

Cuando todos los elementos de un conjunto A pertenecen a un conjunto B, decimos que A es un subconjunto de B, independientemente de que existan elementos de B que no pertecen a A, se denotará A ⊂ B, en caso contrario se denotará A ⊄ B.

Por ejemplo:

1. Si A = {1, 2, 3} y B = {1, 2, 3, 4} entonces A ⊂ B

2. Si X = {p, q} y y = {p, t, s, w} entonces X ⊄ y; puesto que q ∈ y.

aPaRtaDO 3

A. represente en la recta numérica real los números siguientes:

a) 29

b) 3 58

c) 3,333...

0

0

0


28

d) 0,12

e) − 25

f) − 2 13

g) – 0,11

h) – 5

B. represente en la recta numérica real los números indicados siguientes.

a) π

b) π

4

c) 7

0

0

0

0

0

0

0

0

29


d) − 2π

5

e) − 49

f) 81

g) − 57

h) π 5

C. Escriba una equis (x) si cada número de ℝ pertenece a los conjuntos , ℤ–, ℤ+, ℚ e II.

Nota: Para este ejercicio y los siguientes D, E, F, y G observe el esquema de la página 15 anterior.

7

Entero positivo

Entero negativo

Número racional

Número irracional

N Ú m e R O

-3 0 20% 0,333… 0,09 0,3 23 + 4 25325

12−

322 −

322

100


30

d. Completar con SÍ o No, según corresponda, la siguiente tabla:

NÚmeRO

Natural

Entero

racional

irracional

real

E. indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) 100 ∈ _________ b) 5,41 ∈ ℤ _________ c) 3,14 ∈ ℚ _________

d) 0 ∈ ℤ _________ e) 35 ∈ ℝ _________ f) − 216 ∈ ℤ _________

g) 2,141414… ∈ ℚ _________ h) −56 ∉ ℚ _________ i) 500,1 ∉ _________

F. Coloque el símbolo ∈ (pertenece) o el símbolo ∉ (no pertenece) en cada una de las proposiciones siguientes.

1) 13

________ ℤ 10) 3,14159 ________ II

2) − 12

________ ℚ 11) 0,3 −73

________ ℤ

3) 3 ________ ℝ 12) 2,3511 ________ II

4) 2 ________ ℚ 13) 00

________ ℝ

7 10 –2,08 1,1212212221… 5 –2,2424… 4 76

−82

31


5) 0,1333... ________ II 14) 04

________

6) 1,5 ________ ℚ 15) π + π

π ________

7) 0,12 ________ ℚ 16) π

e ________ ℚ

8) 08

________ ℚ 17) ab

________ ℚ a ∈ II , b ∈ ℤ+

9) − 34− 17

________ 18) 2π – e + 1 ________ II

aPaRtaDO 4

A. En la recta numérica señale los valores opuestos de cada número real.

− 1; −5; 2

3; −1

5; 3; 5

B. En las siguientes proposiciones complete ⊂ o ⊄ según corresponda.

1. ℤ+ _______ 7. 47

, − 93

, 2,3⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪ _______ II

2. _______ ℚ+ 8. π, e, 5 + 12

⎧⎨⎪

⎩⎪

⎫⎬⎪

⎭⎪_______ II

3. ℝ _______ ℚ 9. ℤ ∩ _______ {0}

32

4. {1, 2, 3} _______ 10. ℚ ∪ ℤ _______ ℤ

5. − 4, (− 2)2{ } _______ ℤ– 11. {0} _______ ℝ

6. − 5, − 9{ } _______ II 12. ℚ ∩ _______ ℚ

C. indique sobre la línea si es V (verdadero) o F (falso).

1. Un número entero es un número racional. _______

2. Un número racional es un número entero. _______

3. Un número es racional o irracional pero no ambos. _______

4. Todo número real es irracional. _______

5. Todo número real es racional. _______

d. Complete las expresiones siguientes, escribiendo en los espacios correspondientes los símbolos >, < ó = según corresponda.

a) –7 ______ –14 h) 3,24 ______ 3,24

b) – 3 ______ −53 i) – 0,25 ______ – 0,26

c) π

2 ______ 1,57 j) – 8,50 ______ – 8,50

d) π

4 ______ 2

5e k) 1

11. ______ 0,09

e) 225 ______ 500 l) 23

______ 0,666… f) 289 ______ 172 m) 5

6 ______ 0,8333

g) − 3

5 ______ 8

7 n) 2( )4 ______ 4

33


E. Escriba V si la proposición es verdadera o F si es falso.

a) ( ) – 4 es un elemento de ℤ.

b) ( ) π es un elemento de ℝ pero no es elemento de ℚ.

c) ( ) Todo número irracional es número real.

d) ( ) Todo número entero es un número racional.

e) ( ) Todo número decimal es número real.

f) ( ) La intersección del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales es el conjunto vacío.

g) ( ) Todo porcentaje puede expresarse como decimal.

h) ( ) Todo número racional puede expresarse como decimal.

i) ( ) Todo decimal puede expresarse como el cociente de dos enteros.

j) ( ) Todo porcentaje es un número real.


34

aPaRtaDO 1

máS SOBRe LOS iNteRVaLOS

A. El conjunto de los números reales simbolizado por ℝ es un conjunto continuo, denso y completo.

represente cada uno de los intervalos siguientes en una recta numérica.

Solución:

a) ] -2, 4 [

A esta recta se le llama recta real.

b) {x / x ∈ ℝ, 2 ≤ x ≤ 5}

Solución:

Al número 2 se le llama extremo inferior y al número 5 se le llama extremo superior.

B. Recuerde

Tenemos varios tipos de intervalos, estos son:

i. [ a, b ] intervalo cerrado

] a, b [ intervalo abierto

] a, b ]

ii. intervalos semiabiertos o semicerrados

[ a, b [

35


] – ∞, a ]

] – ∞, a [

iii. intervalos de extremos infinitos

] a, + ∞ [

[ a, + ∞ [

iV. ] – ∞, +∞ [ = ℝ

A. Hagamos operaciones con valor absoluto.

Simplifique:

a) 3 – 4 • (2 – 7) = _______________

Solución:

3 – 4 • (2 – 7) = 3 – 4 • –5

= 3 + 20

= 23

= 23

b) − 32 − 22 + (4 − 1)2 2 = _________________

Solución:

– 32 – 22 + (4 – 1)2 2 = – 9 – 4 + 32 2

= – 9 – 4 + 9 2

= – 14 2

= – (14)2 = –196

aPaRtaDO 2

36

B. Exprese los siguientes conjuntos de números:

a) Gráficamente b) En forma de intervalos c) Notación por comprensión

1. Todos los números mayores que 4.

2. Todos los números mayores que 1 y menores o iguales que 3.

3. Todos los números menores o iguales que 34

.

4. Todos los números menores que 4 y mayores o iguales que 2.

5. Todos los números mayores que -2 y menores que 5.

6. Todos los números mayores o igual es que -3 y menores que 2.

7. Todos los números reales.

8. Todos los números mayores o iguales que 11.

9. Todos los números menores que 1.

10. Los números mayores o iguales que 13 o menores o iguales que 12

7.

11. Conjunto de los números mayores o iguales que -8 y menores que -2.

12. Conjunto de los números negativos.

aPaRtaDO 3

1. Marque sobre la recta numérica real cada uno de los conjuntos siguientes, y mediante notación de intervalos, represente el conjunto:

a) { x / x ∈

€

IR , -7 ≤ x < -2 } = __________

b) { x / x ∈

€

IR , x > 1, x < 10 } = __________

37


c) { x / x ∈ ℝ, x ≥ 5, x ≤ 10 } = __________

d) { x / x ∈ ℝ, – 2 ≤ x < 9 } = __________

e) { x / x ∈ ℝ, – 5 < x } = __________

2. Marque sobre la recta numérica real cada uno de los siguientes intervalos, y escriba dicho intervalo utilizando la notación de conjuntos.

a) ] – 2 , 4 [ = _______________

b) [ 3, 7 ] = _______________


38

c) [ 1, 6 [ = _______________

d) ] -4 , 0 ] = _______________

e) [ 0, +∞ [ = _______________

f) ] -∞, 5 ] = _______________

aPaRtaDO 4

A. Simplifique cada una de las expresiones siguientes.

a) – 3 – 2 = ______ j) – 11 + 1 = ______

b) (– 5) 3 – 6 = ______ k) 4 6 – 7 = ______

39


c) 4 – π = ______ l) – 3 – 1,7 = ______

d) – 5 – 2 = ______ m) 6 – – 3 = ______

e) – 6 = ______ n) 5 . = ______ (– 2) – 2

f) π – 4 = ______ ñ) – 1,7 – 3 = ______

g) 4 + π = ______ o) π + 4 = ______

h) 2 – 1,5 = ______ p) 3 – 1,7 = ______

i) 1,7 – 3 = ______ q) 15

−13

= ______

B. Escriba una equis (x) en la letra que antecede la opción correcta.

1. El conjunto { x / x ∈ ℝ, x ≤ 3 } escrito en notación de intervalo es

A) ] 3 , + ∞ [

B) [ 3 , + ∞ [

C) ] – ∞, 3 ]

d) ] – ∞, 3 [

40

2. Considere las siguientes afirmaciones.

i. 0, 353 ∈ II

ii. 19 ∈ II

iii. 0, 325 781 326... ∈ II

¿Cuál de las las afirmaciones anteriores son verdaderas?

A) Solo la i

B) Solo la iii

C) Solo la i y la ii

d) Solo la ii y la iii

3. El intervalo ] -5, 4 [ escrito en notación de conjunto corresponde a

A) { x / x ∈

€

IR , -5 ≤ x ≤ 4 }

B) { x / x ∈

€

IR , -5 ≤ x < 4 }

C) { x / x ∈

€

IR , -5 < x ≤ 4 }

d) { x / x ∈

€

IR , -5 < x < 4 }

4. El conjunto { x / x ∈

€

IR , 5 ≤ x ≤ 7 } escrito en notación de intervalo corresponde a

A) [ 5, 7 ]

B) [ 5, 7 [

C) ] 5, 7 [

d) ] 5, 7 ]

41


C. Halle el valor absoluto de los siguientes números reales.

a) – 3,5 = _______ g) 0,35 = _______

b) 5 = _______ h) − 3 55 = _______

c) −2 14 = _______ i) – eπ = _______

d) − 8 = _______ j) − 2 π = _______

e) π = _______ k) – 2 76 = _______

f) −3π

5 = _______ l) – 7π = _______

d. Si a < 0 y b > 0 son números reales, calculemos las siguientes expresiones:

Como a < 0, entonces, |a| = – a, ya que es necesario cambiar el signo para que el resultado sea positivo.

Como b > 0, entonces, |b| = b.

Si a es negativo y b es positivo, entonces ab es naegativo y para obtener su valor absoluto debe cambiarse el signo. Entonces, |ab| = – ab.

independientemnte del signo de a, a2 es positivo, entonces su valor absoluto es igual. |a2| = a2.

Como a es negativo, entonces – 8a es positivo. Por lo tanto, |– 8a| = –8a

Como b es positivo, entonces – 7b es negativo, y |– 7b| = –(– 7b) = 7b

recordemos que por tener el caso par, a2 = |a| y como calculamos antes: a2 = – a. observe que ese resultado es positivo.

En el caso impar, la raíz se "cancela" con el exponente. Así: a33 = a


42

E. Conteste cada una de las siguientes proposiciones. Considere los siguientes ejemplos:

a) ∩ ℝ+ = ℤ+

Todos los números naturales, exceptuando el 0 son números reales positivos. Entonces, la expre-sión ∩ ℝ+ corresponde a los naturales positivos, es decir a los enteros positivos, que podemos simplificar así: ∩ ℝ+ = ℤ+.

b) ℤ+ ∪ ℤ– = ℤ – {0}

Al unir todos los enteros negativos, con todos los enteros positivos obtenemos los enteros excepto el 0 porque este no pertenece a ninguno de los conjuntos.

Esto en notación de conjuntos se expresa de la siguiente manera: ℤ+ ∪ ℤ– = ℤ – {0}

1. ℚ ∪ II = ______ 5. ∪ ℤ– = ______ 9. ∪ ℤ+ = ______

2. ℚ ∪ ℤ+ = ______ 6. ℚ ∩ II = ______ 10. II ∩ ℤ+ = ______

3. ℚ ∩ ℤ+ = ______ 7. ℚ– ∪ {0} ∪ ℚ+= ______ 11. ℝ– ∪ ℝ+ = ______

4. ℝ ∪ ∅ = ______ 8. ℝ ∩ ∅ = ______ 12. II – ∪ II + = ______

13. II – ∪ ∅ = ______

43

SEMANA TErCErAmatemática - EL MAESTro EN CASA

Objetivo:

v Resolver inecuaciones lineales con una incógnita. (Primera parte )

contenido:

- Inecuaciones lineales, con una incógnita, con solución en ℝ.

- Inecuaciones de la forma:

a x > c

a x ≥ c

a x < c

a x ≤ c

a x + b > c

a x + b ≥ c

a x + b < c

a x + b ≤ c

a x + b > c x + d

a x + b ≥ c x + d

a x + b < c x + d

a x + b ≤ c x + d

Con {a, b, c, d} ⊂ ℤ.

SE

MA

NA

T

Er

CE

rA


44

45


Antes de iniciar el estudio de las inecuaciones lineales, recordemos brevemente los conceptos más importantes sobre las desigualdades.

Veamos.

La expresión a ≠ b quiere decir que «a» no es igual a «b».

Según los valores particulares de «a» y de «b», puede tenerse a > b, que se lee «a» mayor que «b», cuando la diferencia a – b es positiva y a < b, que se lee «a» menor que «b», cuando la diferencia a – b es negativa.

Por ejemplo:

a) 4 > 2 (4 es mayor que 2) porque 4 – 2 = 2. El número 2 es un número positivo, esto es, un número natural.

b) – 7 < 4 (– 7 es menor que 4) porque – 7 – 4 = – 11. El número – 11 es un número negativo, esto es, un número entero.

También, tenemos otros símbolos de desigual-dad, tales como ≥ y ≤, los cuales se definen: a ≥ b (a es mayor o igual que b) para indicar que a > b o que a = b. de manera similar, a ≤ b (a menor o igual que b) se usa para señalar que a – 8 y – 8 ≥ – 8 porque – 8 = – 8.

iNecUaciONeS LiNeaLeS eN UNa iNcóGNita, cON SOLUcióN eN ℝ

Los ejemplos anteriores nos permiten concluir lo siguiente:

Desigualdad

Se llama desigualdad al enunciado matemá-tico que relaciona dos expresiones a través de los símbolos <, ≤, >, ≥, utilizados para definir las relaciones de orden.

Los símbolos usados se leen de la siguiente manera:

< se lee menor que

≤ se lee menor o igual que

> se lee mayor que

≥ se lee mayor o igual que

En particular, a > b y a b puede escribirse en forma equivalente como b < a. Así, 5 > 3 es lo mismo que 3 < 5.

observe otros ejemplos más.

a) 12 > 7

12 > 7 (doce es mayor que siete), puesto que 12 – 7 = 5 (5 es un número positivo).

b) 5 < 17

5 < 17 (cinco es menor que diecisiete), pues-to que 5 – 17 = –12 (–12 es un número negativo)

46

observe cada ilustración e indique simbólicamente lo que observó, tal como se hace en el ejemplo a)

a) b)

b < 0 0 > b

b < x x > b

0 < x x > 0

0 1– 3

Lo mismo que en las ecuaciones, en toda desigualdad, los términos que están a la izquier-da de >, < o ≤, ≥ forman el primer miembro de la desigualdad y los términos de la derecha, forman el segundo miembro de la desigualdad.

dado que ℝ es un conjunto ordenado, se cumple:

1º Todo número real positivo es mayor que cero.

Ejemplo:

5 > 0

porque 5 – 0 = 5

2º Todo número real negativo es menor que cero.

Ejemplo:

– 9 < 0

porque – 9 – 0 = – 9

3º Si dos números reales son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;

Ejemplo:

–10 > – 30

pues | – 10 | = 10, | – 30 | = 30

4º Cualquier número real negativo es menor que cualquier número positivo;

Ejemplo:

– 4 < 9

–1 < 100

Sentido de una desigualdad

Los símbolos > o < y ≥, ≤ determinan dos sen-tidos opuestos o contrarios en las desigualdades, según que el primero miembro sea mayor o menor que el segundo. Se dice que una desigualdad cambia de sentido, cuando el miembro mayor se convierte en menor o viceversa.

1

47


– 12 –1 0 – 18 0 6c) d)

e) f)

g) h)

0

Desigualdades absolutas y condicionales.

Así como hay igualdades absolutas, que son las identidades, e igualdades condicionales, que son las ecuaciones; así también hay dos clases de desigualdades: las absolutas y las condicionales.t Desigualdades absolutas: son desigualdades

que se cumplen para todos los valores de las variables.

Por ejemplo:

1) a2 + 3 > a

2) x2 ≥ 0

3) x4 + 1 > 0

4) (x – y)2 + 2 > 0

t Desigualdades condicionales: son des-igualdades que no se cumplen para todos los valores reales de las variables.

Por ejemplo:

1) 2x – 8 > 0

Esta desigualdad condicional solo se cumple para valores x > 4, porque 2 • 5 – 8 = 10 – 8 = 2 > 0. ¿Qué ocurre cuando x = 4?

48

2) x + 2 ≤ 5

Esta desigualdad condicional solo se cum-ple cuando x = 3 porque 3 + 2 ≤ 5; vea que 5 ≤ 5.

3) x – y > – 4

Esta desigualdad condicional se cumple cuan-do x = 1 y y = 3 por ejemplo. Cuando tenemos varias variables el valor de x depende del valor de y o viceversa.

¡Compruébelo usted mismo!

inecuaciones

Una inecuación es una desigualdad con una o más variables que se cumple únicamente para algunos valores de las variables.

Por ejemplo:

1) 10x < 5 es una inecuación con una incógni-ta.

2) 2x + 3 ≤ 0

3) 4x – 7 > 8

4) 3x + 2 – y < 0

Importante

Las desigualdades condicionales también se les llama inecuaciones.

Solución de una inecuación

resolver una inecuación implica hallar los va-lores para los cuales se cumple la desigualdad.

El valor x = 4 es una solución de la inecuación 2x – 3 < 7 ya que

2x – 3 < 7

2 • 4 – 3 < 7

8 – 3 < 7

5 < 7

Importante

Cuando se resolvieron ecuaciones en el libro de Matemática Ujarrás, se aplicaron las propiedades de adición, sustracción (resta), multiplicación y división de las igualdades. A continuación se aplicarán propiedades parecidas para resolver inecuaciones.

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b, c, d ∈ ℝ, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1) Si en una desigualdad se intercambian las expresiones que la forman, el sentido de la desigualdad se invierte

a > b ⇒ b < a y a a

Importante

El símbolo utilizado ⇒ indica "entonces".

49


Por ejemplo:

4 > 3 ⇒ 3 < 4 y – 2 < – 1 ⇒ – 1 > – 2

6 > – 3 ⇒ – 3 < 6 y 2 < 5 ⇒ 5 > 2

2) Si a es mayor que b y b es mayor que c, en-tonces a es mayor que c.

a > b y b > c entonces a > c

Por ejemplo:

6 > 4 y 4 > 1 entonces 6 > 1

– 12 > – 13 y – 13 > – 14 entonces – 12 > – 14

3) Si a ambos miembros de la desigualdad, se le suma o resta una misma expresión, la des-igualdad no se altera:

a > b ⇒ a + c > b + c

a > b ⇒ a – c > b – c

Por ejemplo:

a) 9 > 5 b) – 2 > – 6 9 + 2 > 5 + 2 –2 – 3 > – 6 – 3 11 > 7 – 5 > – 9

Como consecuencia de esta propiedad:

Podemos suprimir un término de un miembro de la desigualdad, teniendo cuidado de agre-gar en el otro miembro el término opuesto del suprimido; es decir, se puede pasar un término de un miembro a otro, cambiando su signo, por que esto equivale a sumar o restar una misma cantidad a los dos miembros.

Por ejemplo:

a) 6x – 2 > 4x + 4 6x – 4x > 4 + 2

2x > 6

x > 62

x > 3

b) 3x – 1 > 6

3x > 6 + 1

3x > 7

x > 73

4) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número positivo la desigual-dad no se altera

a > b ⇒ a • c > b • c si c > 0

Por ejemplo:

a) Si a = 12, b = 7 y c = 3

a > b ⇒ a • c > b • c si c > 0

12 > 7 ⇒ 12 • 3 > 7 • 3 si c = 3

⇒ 36 > 21

b) Si a = 15, b = – 25 y c = 2

a > b ⇒ a • c > b • c si c = 2

15 > – 25 ⇒ 15 • 2 > – 25 • 2 si c = 2

⇒ 30 > – 50

5) Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por un número negativo la des-igualdad se altera invirtiendo su sentido.

a > b ⇒ a • c b ⇒ a • c 4 ⇒ 6 • – 2 < 4 • – 2 si c = – 2

⇒ – 12 < – 8

b) Si a = – 1, b = – 4 y c = – 5

a > b ⇒ a • c – 4 ⇒ – 1 • – 5 < – 4 • – 5 si c = – 5

⇒ 5 < 20

50

6) Si ambos miembros de una desigualdad se divide por un número positivo distinto de cero, la desigualdad no se altera.

a > b ⇒ ac

>bc

; c > 0, c ≠ 0

Por ejemplo:

a) Si a = 8, b = 4 y c = 2

a > b ⇒ ac

>bc

; c > 0, c ≠ 0

8 > 4 ⇒ 82

>42

si c = 2

⇒ 4 > 2

b) Si a = 5, b = – 3 y c = 4

a > b ⇒ ac

>bc

; c > 0, c ≠ 0

5 > – 3 ⇒ 54

>– 34

; c = 4

⇒ 1,25 > – 0,75

7) Si ambos miembros de una desigualdad se dividen por un número negativo distinto de cero, la desigualdad se invierte.

a > b ⇒ ac

<bc

si c < 0, c ≠ 0

Por ejemplo:

a) Si a = 2, b = – 5 y c = – 3

a > b ⇒ ac

<bc

si c < 0, c ≠ 0

2 > – 5 ⇒ 2–3

<– 5– 3

si c = – 3

⇒ 2− 3

<− 5− 3

b) Si a = 5, b = 0 y c = – 7

a > b ⇒ ac

<bc

si c < 0, c ≠ 0

5 > 0 ⇒ 5

– 7< 0

– 7

⇒ – 57

< 0

Importante:

Como consecuencia de las propiedades 5 y 7 tenemos lo siguiente:

Todos los signos de una desigualdad se pueden cambiar siempre y cuando se cambia el surtido de la misma; porque esto equivale a multiplicar sus dos miembros por – 1.

Por ejemplo:

– 7x + 130 < 9 – 5

– 1 • (– 7x + 130) < – 1 • (9 – 5x)

7x – 130 > – 9 + 5x

8) Si a y b son distintos de cero y con el mismo signo, tales que a > b, entonces se cumple que el inverso de a es menor que el inverso de b.

a > b ⇒1a

<1b

Por ejemplo:

a) Si a = 4, b = 2; a > b ⇒1a

<1b

4 > 2 ⇒

14

<12

b) Si a = – 4, b = – 7, a > b ⇒1a

<1b

– 4 > − 7 ⇒

− 14

<− 17

9) Si a y b son distintos de cero y con el mismo signo, tales que a < b, entonces se cumple que el inverso de a es mayor que el inverso de b.

a 1b

Por ejemplo:

a) Si a = – 2, b = – 1; a 1b

51


− 2 < – 1⇒

1– 2

>1

– 1

⇒ –12

> – 1

b) Si a = 2, b = 5; a 1b

2 < 5 ⇒

12

>15

inecuación lineal en una incógnita

Se llama inecuación lineal a una desigualdad en la que aparece una incógnita de primer grado.

Por ejemplo:

a) 2x > 3 x es la incógnita de primer grado

b) 3y – 1 > 5 y es la incógnita de primer grado

Para resolver las inecuaciones lineales con una incógnita de primer grado hacemos un proceso similar al de resolución de ecuaciones lineales con una incógnita de primer grado ya visto en el libro de Matemática Ujarrás.

Aplicamos las propiedades necesarias de las desigualdades para intentar despejar, en el primer miembro en general, la incógnita.

Cuando se llega hasta la forma ax > b, ax < b, ax ≥ b o ax ≤ b debemos tener las siguientes con-sideraciones.

t Si a es positivo se despeja x manteniendo el signo de la desigualdad.

t Si a es negativo se despeja x cambiando el signo de la desigualdad.

Cada valor de la incógnita que satisface la inecuación se dice que es una solución particular, y el conjunto de todas las soluciones particulares se llama solución general o conjunto solución.

La solución de una inecuación lineal se pue-de representar haciendo uso de intervalos en la recta numérica, la cual contiene infinito números reales. Estos son: ] – ∞, a [, ] a, + ∞[, ] – ∞, a [, ] a, + ∞[.

Tenemos así en resumen tres formas de ex-presar la solución de la inecuación lineal con una incógnita de primer grado, mediante la desigualdad entre la incógnita y un número, por un intervalo o representando en la recta real el conjunto so-lución.

i. Resolución de inecuaciones lineales en una incógnita de la forma ax > c, ax ≥ c, ax < c, ax ≤ c

resolver una inecaución lineal en una incógnita como por ejemplo 2x > – 4, 7x ≤ 28 y muchas más, consiste en hallar el conjunto de todos los números reales que puede representar la x.

ejemplos:

1. resuelva la siguiente inecuación lineal 2x > – 4.

Solución:

2x > – 4

x > – 42

= − 2

x > – 2

Esto significa que, x representa cualquier nú-mero real mayor que – 2.

Esto se ilustra gráficamente de la manera siguiente:

Dividimos a ambos lados por 2, y aplicamos la propiedad 6 anterior.

– 2 0

52

(x es cualquier número real cuyo punto se localice en la semirrecta representada, a la derecha del punto correspondiente al número – 2).

La solución es el siguiente intervalo: ] – 2 , + ∞[

2. resuelva la inecuación lineal 7x ≤ 28.

Solución

7x ≤ 28

x ≤

x ≤ 4

Esto significa que, x representa cualquier nú-mero real menor o igual que 4.

Esto se ilustra gráficamente de la manera siguiente:

Solución: ] – ∞, 4]

3. resuelva la inecuación lineal – 6x ≥ 3

Solución

– 6x ≥ 3

x ≤3

− 6=

− 12

x ≤− 12

Este resultado significa que x, representa cual-

quier número real menor o igual que − 12

, esto se

ilustra gráficamente de la manera siguiente:

Aplicamos la propiedad 6, dividiendo por 7 a ambos lados.

Aplicamos la propiedad 7 dividien-do por – 6 a ambos lados.

Recuerde:

Al pasar a dividir – 6 al 3 se invierte el sentido de la desigualdad.

El negativo siempre se traslada al numerador.

Como al resolver una inecuación lineal, halla-mos el conjunto de todos los números reales que pueden representar una determinada letra, se puede utilizar la notación de conjunto para expresar las soluciones de una inecuación lineal.

Entonces podemos decir que el conjunto solución de la inecuación lineal – 6x ≥ 3 es el conjunto de todos los números reales menores

o iguales que − 12

. En símbolos:

x / x ∈ ; x ≤− 12

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

4. resuelva la inecuación lineal – 7x < 6

Solución

– 7x < 5

x >5

– 7=

− 57

Así pues, decimos que el conjunto solución de – 7x < 5 es el conjunto de todos los números reales mayores que − 5

7. En símbolos:

En forma de intervalo este conjunto equivale a

– 57

, + ∞ ⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢ y en la recta numérica así:

Recuerde: Resolver una inecuación lineal con una incógnita consiste en buscar el valor o valores de la incógnita de primer grado para que la desigualdad sea ver-dadera.

Aplicamos la propiedad 7 dividiendo por – 7 a ambos lados.

Observe que al trasladar el – 7 debajo del 5 se invierte el signo.

53


resuelva las siguientes inecuaciones lineales y represente la solución:

a) mediante la desigualdad y un número,

b) en la recta numérica,

c) con intervalos,

d) con un subconjunto de números reales.

Por ejemplo:

1) 4x > 3

x >34

Solución:

a) x >34

b)

c) 34

, + ∞ ⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

d)

2) – 5x ≥ 6

3) – 7x < 1

4) 14x ≤ – 6

5) – 15x > – 9

6) – 7x ≤ – 8

7) – 11x < – 121

8) – 16x > 36

9) – 5 < 6x

10) 4 > 8x

11) – 20 ≥ – 5x

12) 36x ≤ – 18x

importante

Las relaciones numéricas que se expresan con los signos < menor que, > mayor que, ≤ menor o igual que, ≥ mayor o igual que se llaman desigualdades y las relaciones algebraicas correspondientes se llaman inecuaciones.

Ejemplos de desigualdades

a) 3 + 7 > 6 b) 3 + 7 < 8

Ejemplos de inecuaciones

c) x – 1 < 5 c) x – 1 < x + 5

Lo mismo que ocurre con las igualdades, las desigualdades pueden ser ciertas o falsas.

Esta valoración en el caso de las literales puede depender del valor de la variable.

En los ejemplos anteriores, la primera y la cuarta son ciertas, la segunda fase, y la tercera depende del valor que le demos a x.

Además, los signos > y < ó ≥ y ≤ se dice que son de sentido contrario.

2

54

ii. Resolución de inecuaciones lineales en una incógnita de la forma: ax + b > c, ax + b ≥ c, ax + b < c, ax + b ≤ c

resolver una inecuación significa hallar los valores que deben tomar las incógnitas para que se cumpla la desigualdad.

1. resolver la inecuación lineal 3x – 2 < 1

Estimado estudiante: para resolver esta inecuación lineal, se presentan dos pro-cedimientos. Usted debe estudiar ambos procedimientos, y seleccionar el que más le convenga.

Despejando Aplicando las propiedades de las inecuaciones

3x – 2 < 1 3x – 2 < 1

3x < 1 + 2 3x – 2 + 2 < 1 + 2

3x < 3 13 • 3x <

13 • 3

x < 33

x < 1

x < 1

Solución: S = ] – ∞, 1 [

representación gráfica:

2. resolver la inecuación lineal 6x – 27 > 9

Solución:

Vamos a ir indicando los pasos con su respec-tiva justificación.

6x – 27 > 9

6x > 9 + 28

6x > 36

x > 366

= 6

x > 6

respuesta: El conjunto solución es {x/x ∈ ℝ; x > 6}.

Este conjunto también se puede indicar como un intervalo, así: ] 6, + ∞ [.

3. resolver la inecuación lineal – 12x – 8 ≥ 16

Solución: Aplicando las propiedades de las inecuaciones.

– 12x – 8 ≥ 16

– 12x – 8 + 8 ≥ 16 + 8

– 12x ≥ 24

− 12– 12

x ≤− 2412

x ≤ – 2

Respuesta: La solución de esta inecuación lineal puede darse gráficamente así:

o bien en notación de intervalo ] – ∞, – 2 ]

4. resolver la inecuación 2x + 6 ≤ – 7

Solución:

2x + 6 ≤ – 7

2x ≤ – 7 – 6

Trasladamos el número 27 con sentido opuesto.

Realizamos la operación en el miembro derecho.

Dividimos por 6 ambos lados.

Sumamos 8 a ambos lados de la inecuación.

Reducimos términos semejantes.

Dividimos a ambos lados por – 12, aplicamos la propiedad 7.

El signo menos pasa al numerador

Trasladamos los términos sin incógnita (número) al lado derecho, utilizamos la propiedad 3.

55


2x ≤ – 13

2x2

≤− 13

2

x ≤

− 132

Solución: − ∞, – 132

⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥=

x / x ∈ ; x ≤

− 132

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

resuelva las siguientes inecuaciones y repre-sente en la recta real el conjunto solución.

a) x – 5 > 0

b) 3 – x ≥ 16

c) 2x – 3 < 5

d) 3x + 2 ≤ 14

e) 2x – 1 < –7

f) 5x – 1 ≥ – 4

g) – 3x + 1 < 7

h) – 4 ≤ 3 x – 1

i) 4 > 5 x + 2

j) 13 ≤ 2x + 3

k) – 2x – 5 ≥ 0


Dividimos por 2 a ambos lados (propiedad 6).

3

iii. Resolución de inecuaciones lineales en una incógnita de la forma ax + b > cx + d; ax + b ≥ cx + d, ax + b < cx + d, ax + b ≤ cx + d

Recuerde

t Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se le resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Por ejemplo:

3x + 4 < 5

3x + 4 – 4 < 5 – 4

3x < 1

t Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.

Por ejemplo:

2x ≥ − 512

• 2x ≥12

• − 5

x ≥− 52

1. resolver la inecuación lineal: x – 2 < 3x – 6

Esta inecuación lineal vamos a resolverla utili-zando las propiedades de dos formas.

x – 2 < 3x – 6

Forma 1

Primero sumamos – 3x a ambos lados

x – 3x – 2 > – 6

Sumemos 2 en ambos lados

x – 3x < 2 – 6

56

reducimos términos semejantes

– 2x < – 4

Multiplicamos por − 12

a ambos lados.

La desigualdad cambia en virtud de la propiedad 7

− 12

• − 2x >− 12

• 4

x > 2

observe que el signo cambió pues se multiplicó por un número negativo.

Forma b

x – 2 < 3x – 6

Conviene dejar la incógnita positiva 3x; por tanto restaremos x a ambos lados

– 2 < 3x – x – 6

restamos términos semejantes y sumamos 6 en ambos lados.

– 2 < 2x – 6; 6 – 2 = 4

4 < 2x

dividimos por 2 (positivo, por lo que no cambia el signo).

2 < x

observe que mediante ambas formas la res-puesta en la forma de intervalo es ]2, + ∞[; es decir, todos los números reales mayores que 2 satisfacen la inecuación.

2. dada la siguiente inecuación lineal 3x + 5 > 5x – 2. Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Solución:

3x + 5 > 5x – 2

Sumando 2 y – 5x a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

3x + 5 + 2 – 5x > 5x – 2 + 2 – 5 x

– 2x + 7 > 0

Sumando – 7 a ambos miembros de la inecua-ción se obtiene:

– 2x + 7 – 7 > 0 – 7

– 2x > – 7

dividiendo por – 2 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

− 2x– 2

<− 7− 2

x <

72

Note que se dividió por un número negativo y se invirtió el sentido de la inecuación.

El conjunto solución es entonces:

S = x / x ∈ ; x <72

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

= − ∞, 72

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

Gráficamente:

3. resolver la siguiente inecuación lineal: 3x – 5 ≥ x + 7

Solución:

3x – 5 ≥ x + 7

3x – x ≥ 7 + 5

2x ≥ 12

x ≥ 122

= 6

respuesta: El conjunto solución es

S = x / x ∈ ; x ≥ 6{ }

En notación de intervalos, la solución es x ∈ [ 6, + ∞ [; esto es, todos los valores reales mayores o iguales que 6.

Transponiendo los términos sumejantes.

Reduciendo.

Dividimos por 2.

57


La representación gráfica de la solución es:

4. resolver la siguiente inecuación lineal: 3x + 10 ≤ 2x + 13

Solución:

3x + 10 ≤ 2x + 13

3x – 2x ≤ 13 – 10

x ≤ 3

S = {x/x ∈ ℝ; x ≤ 3}; esto nos indica, el conjunto de todos los números reales menores o iguales a 3.

Gráficamente lo representamos así:

En forma de intervalo sería: S = ] – ∞, 3]

Recuerde: Cuando resolvemos inecuaciones el conjunto solución S, puede expresarse de tres formas:

a) Mediante la desigualdad entre la incógnita y un número.

b) representando en la recta el conjunto solu-ción.

c) Utilizando intervalos.

resuelva las inecuaciones siguientes y repre-sente las soluciones gráficas por intervalos.

a) 2x + 5 > – 3x + 8

b) x – 1 ≤ 3x + 1

c) 2x + 4 < 3x – 3

d) 2x + 6 ≥ 3x + 1

e) 7x – 21 ≥ 4 + 8x

f) 5x + 2 < 4 – x

g) 4x – 14 < 2x – 2

h) 2x – 2 ≥ 4x + 8

i) 3x + 15 < 4x + 12

j) – 4x + 2 > – 3 + 3x

Resolución de problemas con inecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver problemas, debemos dar varios pasos, observando con detenimiento todo lo que menciona el enunciado del problema, teniendo en consideración lo siguiente:

El primer paso ayuda a determinar lo que se desea encontrar. Para abordar el segundo paso se debe saber qué datos del problema son dados y por tanto preguntarse lo siguiente: ¿Qué pide el problema? ¿Qué datos ofrece? Es útil, cuando el problema lo permite, se debe hacer un esquema que lo ilustre.

ejemplo 1

david tiene 18 años. La suma de su edad más las de su hermano no supera los 35 años. ¿Cuál puede ser la edad del hermano?

Solución:

edad de Pedro

+edad del hermano

no superan 35 años

➠ ➠ ➠

18años + xaños < 35años

4

58

importante

Evidentemente x puede tomar "muchos" valores. Son muchas las edades que suma-das a 18 nos dan menos que 35. Por tanto, resolver una inecuación significa encontrar el conjunto de valores (números) que lo ve-rifican. Estos grupos de números recibe el nombre de conjunto solución que se indica con la letra mayúscula S.

18 + x < 35

x < 35 – 18

x < 17

Esto significa que la edad del hermano de david está comprendida entre 1 y 16 años. Por lo tanto

S: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}

ejemplo 2

Si el triple de la edad de Fernando menos cinco años es menor que su edad más trece, ¿qué se puede decir de la edad de Fernando?

Solución:

x edad de Fernando:

Eltripledeedad – cincoaños < suedad + trece

años3x – 5 < x + 13Esta inecuación lineal resuelve este problema.

Veamos:

3x – 5 < x + 13

3x – x < 13 + 5

2x < 18

x < 182

= 9

x < 9

Esto significa que la edad de Fernando está comprendida entre 1 y 9 años. Por lo tanto

S: { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

Conteste cada uno de las siguientes preguntas. Considere los siguientes ejemplos:

a) ¿Cuántos números hay mayores que 8? ¿Cómo expresaría cualquier número mayor que 8? ¿Cómo indicaría en la recta numérica los números mayores que 8?

respuesta:

1. x > 8

2. {x/x ∈ ℝ, x > 8}

3.

b) ¿Cuáles son los números que al sumarles 3 dan como resultado un número mayor que 8? ¿cuántos hay? ¿Cómo expresaría cualquiera de estos números? ¿represéntelos todos en la recta numérica?

respuesta:

x + 3 > 8

x + 3 > 8 ⇒ x > 8 – 3 ⇒ x > 5

{x/x ∈ ℝ, x > 5}

5

59


c) ¿Cuántos números hay cuyo doble es mayor que 10? ¿Cómo expresaría cualquier número cuyo doble es mayor que 10? represéntelos todos en la recta numérica.

respuesta:

1.

2.

3.

d) ¿Cuáles son los números que al restarles 3 dan como resultado un número mayor que 2? ¿Cuántos hay? ¿Cómo expresaría cualquiera de estos números? represéntelos en la recta numérica.

respuesta:

1.

2.

3.

4.

e) ¿Cuántos números hay menores que 8? ¿Cómo expresaría cualquier número menor que 8? ¿Cómo indicaría en la recta numérica los números menores que 8?

respuesta:

1.

2.

3.


60

f) ¿Cuántos números hay cuyo doble es menor que 16? ¿Cómo expresaría cualquier número cuyo doble es menor que 16? represéntelos todos en la recta numérica?

respuesta:

1.

2.

3.

g) ¿Cuáles son los números que al sumarles 5 dan como resultado un número menor que 13? ¿Cuántos hay? ¿Cómo expresaría cualquiera de estos números? represéntelos todos en la recta numérica.

respuesta:

1.

2.

3.

4.

h) ¿Cuáles son los números que al restarles 5 dan como resultado un número menor que 3? ¿Cuántos hay? ¿Cómo expresaría cualquiera de estos números? represéntelos en la recta numérica.

respuesta:

1.

2.

3.

4.

i) ¿Cuántos números hay cuya mitad es menor que 4? ¿Cómo expresaría cualquier número cuya mitad es menor que 4? represéntelos todos en la recta numérica.

respuesta:

1.

2.

3.

61


aPaRtaDO 1

SUmaR O mULtiPLicaR UNa cONStaNte a LOS DOS miemBROS De UNa DeSiGUaLDaD

A. Suma de una constante

observe:

Desigualdad Desigualdad Observación inicial final

a) 2 < 4 si sumamos + 5 entonces 7 < 9 El signo < se conserva

b) 2 > – 1 si sumamos – 5 entonces – 3 > – 6 El signo > se conserva.

Al sumar a ambos miembros de una desigualdad un mismo número, obtenemos otra desigualdad del mismo sentido:

Si x < y, entonces: x + a < y + a, para todo x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, a ∈ ℝ

B. Multiplicación por una constante

distinguimos dos casos: que el factor sea positivo o que sea negativo.

Factor positivo


a) – 1 ≤ 2 si multiplicamos por 5 entonces – 5 ≤ 10 El signo ≤ se conserva

b) – 1 ≥ – 3 si multiplicamos por 5 entonces – 5 ≥ – 15 El signo ≥ se conserva.

Al multiplicar una desigualdad por un número positivo se obtiene otra desigualdad del mismo sentido:

Si x < y, a ∈ ℝ+ es positivo, entonces ax < ay para todo x ∈ ℝ, y ∈ ℝ, a ∈ ℝ.

62

Factor negativo


a) – 1 < 2 si multiplicamos por (– 5) entonces 5 > – 10 "<" se cambia por ">"

b) – 3 ≤ – 1 si multiplicamos por (– 8) entonces 24 ≥ 8 "≤" se cambia por "≥"

Al multiplicar una desigualdad por un número negativo se obtiene otra desigualdad pero de sentido contrario:

Si x < y, a ∈ ℝ – es negativo, entonces ax > ay para todo x ∈ ℝ, y ∈ ℝ y a ∈ ℝ.

C. También, podemos dividir una desigualdad por un numero real distinto de cero. Es así porque dividir entre un número equivale a multiplicar por su recíproco y porque un número y su recíproco tienen igual signo.

1. Divisor positivo

Desigualdad Desigualdad Observacióninicial final

a) 3 < 6 si dividimos por 3 entonces 1 < 2 El signo "<" se conserva

33

>63

b) – 5 ≥ 4 si dividimos por 4 entonces − 54

≥ 1 El signo "≥" se conserva

− 54

≥44

2. Divisor negativo

Desigualdad Desigualdad Observacióninicial final

a) 3 < 6 si dividimos por – 5 entonces − 35

>− 65

"<" cambia por ">"

3

− 5>

6− 5

b) 2 ≥ – 7 si dividimos por − 13

entonces –6 ≤ 21 "≥" cambia por "≤"

2 ÷

− 13

≤ − 7 ÷− 13

63


A. resolver la inecuación lineal 7x – 13 < 3x – 1.

Procedimiento:

1. Copie la inecuación lineal 7x – 13 < 3x – 1 2. Sume 13 a cada miembro. 7x – 13 + 13 < 3x – 1 + 13 7x < 3x + 12 3. reste 3x de dada miembro 7x – 3x < 3x + 12 – 3x 4x < 12

4. divida por 4 cada miembro 44x < 12

4 x < 3 S: ] –∞, 3[

B. Formas de expresar el conjunto solución de una inecuación

En general, y salvo casos particulares, el conjunto solución de una inecuación es un conjunto infinito de valores. Existen tres formas de respuesta de dicho conjunto solución, a saber:

t Forma analítica

t Forma gráfica

t Forma de intervalo

Forma analítica Forma gráfica Forma de intervalo

{x/x ∈ ℝ, x > a} ] a, + ∞ [

{x/x ∈ ℝ, x < a} ] – ∞, a [

{x/x ∈ ℝ, x ≥ a} [ a, + ∞ [

{x/x ∈ ℝ, x ≤ a} ] – ∞, a ]

Es importante señalar que se utiliza el símbolo de corchetes y no paréntesis para representar un conjunto solución bajo la forma de intervalo.

aPaRtaDO 2

a

a

a

a

64

A. Complete: Si x < 2, entonces: Operación < > número

a) x + 1 < 3

b) x + 7 ___ ___

c) x – 9 ___ ___

d) 2x ___ ___

e) – 5x ___ ___

f) – x + 3 ___ ___

g) – 3x + 1 ___ ___

B. Complete. Considere los siguientes ejemplos:

a) Si x – 3 ≥ 2, entonces x ≥ 5 (sumar + 3 , a ambos lados)

Solución: x – 3 ≥ 2

x ≥ 2 + 3

x ≥ 5

b) Si 3x < 6, entonces x < 2 (dividir por 3, a ambos lados)

Solución: 3x < 6

3x3

<63

x < 2

c) Si – 2x > 5, entonces x .........

d) Si, – 3x < 5, entonces x ............

e) Si x + 4 ≤ 2, entonces x ...........

f) Si, – x + 5 > 0, entonces x ...............

g) Si x + 4 ≤ 6, entonces x ............

h) Si x – 7 < – 2, entonces x..............

aPaRtaDO 3

65


A. decir qué transformación se usa para resolver cada una de las inecuaciones lineales siguientes:

Ejemplo: – 5h > 12

respuesta: dividir cada miembro por – 5 e invertir el orden de la inecuación: h < − 125

. Así que el conjunto solución es

− ∞, − 125

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

resuelva

aPaRtaDO 4

1) 2x < – 8

2) 3x > – 21

3) x + 5 ≥ – 2

4) x + 2 ≤ –1

5) 0 > 4x – 1

6) 0 < 7x

7) 0 < x – 4

8) – 9 > x – 8

9) –12 x > – 60

10) –13 x ≥ – 39

11) – 3x ≤ 2

12) – 5x + 6 < 5

13) 5x ≥ 0

14) 7x ≥ 0

15) 0 < – 3x

16) 0 > – 4x

66

B. resuelva cada inecuación lineal y represente las soluciones con intervalos.

1) 5x – 1 ≥ 9

2) 6x – 11 ≤ 13

3) – 3x + 1 > 6

4) – 2x – 10 < – 9

5) – 14 ≤ 3x – 2

6) 28 + x ≤ 0

7) 24 + x ≥ 0

8) 26 ≥ – 10 + 4x

9) 2x – 3 > – 9

10) 3x – 8 < – 20

11) 3x + 5 < – 5

12) x – 1 > 9

C. resuelva las siguientes inecuaciones lineales y represente el conjunto solución en la recta real.

1) 2x – 3 < 4 – 2x

2) 6 + 3x ≤ 4 – x

3) 4 – 2x > x – 5

4) x + 8 ≤ 3x + 1

5) 3x + 6 ≥ 4x – 4

6) 3x – 12 ≤ 5x – 6

7) 4 – x > 18x + 5

8) – 2x + 1 ≤ x – 3

9) – 7x + 8 ≤ – 4 + 2x

10) – 10 – 9x ≥ 3 – 5x

67


aPaRtaDO 1

UN PLaN PaRa La ReSOLUcióN De PROBLemaS cUyO PLaNteO iNVOLUcRa UNa iNecUacióN LiNeaL

A. Convertir en desigualdades, cada una de las expresiones siguientes, x es el número descono-cido.

a) La suma de un número y 11 es mayor que – 3.

Solución:

x : es el número desconocido

x + 11 (la suma de un número y 11)

( > ) – 3 (mayor que – 3)

La desigualdad queda escrita así: x + 11 > – 3

b) El producto de un número por 2 es a lo menos, 10.

Solución:

x : es el número desconocido.

2x (el producto de un número por 2)

( ≥ ) 10 (“a lo menos” significa es “mayor que o igual a”)

La desigualdad queda escrita así: 2x ≥ 10

c) El cuadruplo de un número aumentado en 8 no es más de 6.

Solución:

x : es el número desconocido.

4x + 8 (el cuadruplo de un número aumentado en 8)

( ≤ ) 6 (“no es más de” significa “es menor o igual a”)

La desigualdad queda escrita así: 4x + 8 ≤ 6

68

B. Recuerde

v Una inecuación lineal es una desigualdad en la que aparece una incógnita.

Por ejemplo: – 2x + 4 < 1, x – 5 ≥ 7 – 3x

v Para resolver una inecuación lineal en una incógnita, se trasponen los términos de primer grado a un lado y los términos constantes, al otro; se efectúan las operaciones posibles; se divide o multiplica por el coeficiente de la incógnita y se invierte el sentido de la inecuación si el coeficiente es negativo. La desigualdad resultante define el conjunto de valores reales que satisfacen la inecuación dada.

aPaRtaDO 2

A. resuelva el problema siguiente:

Cierto tipo de panecillo integral tiene 10 calorías menos que el doble de las que contiene una re-banada de pan cuadrado corriente. Juntos contienen un mínimo de 185 calorías. Hallar el menor número posible de calorías de la rebanada de pan cuadrado corriente.

Solución:

1. ¿Qué pide el problema? El menor número posible de calorías de la rebanada de pan cuadrado corriente.

Sea x = número de calorías.

El otro tipo de panecillo integral tiene 10 menos que el doble del número de calorías que la reba-nada de pan cuadrado corriente.

Por tanto: 2x – 10 representa el número de calorías en el panecillo integral.

2. ¿Qué otros datos da el problema?

calorías del junto calorías de la son al 185 panecillo integral con rebanada de menos pan cuadrado

2 x – 10 + x ≥ 185

69


3. resuelva la desigualdad: 2x – 10 + x ≥ 185

3x – 10 ≥ 185

3x ≥ 185 + 10

3x ≥ 195

x ≥

La rebanada de pan cuadrado corriente contiene al menos 65 calorías.

B. Una furgoneta pesa 875 kg. La diferencia entre el peso de la furgo-neta vacía y el peso de la carga que lleve no debe ser inferior que 415 kg. Si hay que cargar cuatro cajones iguales, ¿cuánto puede pesar, como máximo, cada uno de ellos para poder llevarlos en esa furgoneta?

En primer lugar, traducimos el enunciado al lenguaje simbólico, llamamos x al peso de cada cajón y planteamos la siguiente inecuación:

Peso de la furgoneta – peso de 4 cajones no es menor que 415 kg

875 – 4x ≥ 415

Una forma de resolver la inecuación es seguir los siguientes pasos:

t restamos 875 a ambos miembros de la desigualdad – 4x ≥ 415 – 875

t Hacemos el cálculo en el segundo miembro – 4x ≥ – 460

t Para despejar x , dividimos a ambos miembros por – 4

(Cuidado: como dividimos por un número negativo, debemos cambiar el sentido de la desigualdad)

− 4x− 4

≤− 460

− 4

t Hacemos el cálculo x ≤ 115

Esto signifi ca que el peso de cada cajón no podrá superar los 115 kg. Además, como se trata de un peso, x > 0.

Peso de la furgoneta – peso de 4 cajones no es menor que 415 kg Peso de la furgoneta – peso de 4 cajones no es menor que 415 kg Peso de la furgoneta – peso de 4 cajones no es menor que 415 kg


70

c. Recuerde

Para resolver un problema se debe seguir los pasos siguientes:

1. Escoger una variable o incógnita con un dominio apropiado y usar la variable para representar cada número descrito.

2. Formar una inecuación lineal usando los datos del problema.

3. Hallar el conjunto solución de la inecuación lineal.

4. Comprobar la respuesta con el enunciado original del problema.

A. resuelva cada uno de los problemas siguientes con el uso de una desigualdad.

1. ¿Qué número sumado a tres da por resultado un número menor que 8?

respuesta:

2. ¿Qué número disminuido en tres es menor que 7?

respuesta:

3. Si un número se suma al doble de sí mismo, la suma es menor que 24. Hallar para qué números es esta proposición verdadera.

respuesta:

aPaRtaDO 3

71


4. Si el lado de un cuadrado es mayor que 5, ¿Qué puede decir de su perímetro?

respuesta:

B. obtener una desigualdad haciendo x igual al número desconocido.

1. Si un número se incrementa en 5, el resultado es igual o menor que 12.

respuesta:

2. El triple de la edad de Fernando aumentado en trece años es menor que su edad más cinco años.

respuesta:

3. El doble de la suma de un número y 3 no es más de 14.

respuesta:

4. El triple de un número más dos es mayor que 5.

respuesta:


72

5. Si se resta el doble de un número de 4 veces es el mismo número, la diferencia es menor que el número aumentado en 2.

respuesta:

C. Traducir en una desigualdad.

1) 100 es menor que un número y.

2) 5 es mayor que un número k.

3) Un número h es a lo más 4.

4) Un número j es al menos 2

5) Un número es mayor o igual a 0.

6) 7 menos que un número es menor que 5.

7) 2 más que un número es mayor que 9.

8) El doble de un número es mayor que 12

9) El doble de un número aumentado en 3 es menor o igual a 6.

73


aPaRtaDO 4

1. La suma de dos enteros es mayor que 12. Uno de los enteros es diez menor que el doble del otro. ¿Cuáles son los valores mínimos para los enteros?

respuesta:

2. El ancho de un rectángulo es 8 cm. ¿Qué largo debe tener para que el área sea mayor que 150 cm2?

respuesta:

10) 3 más el quíntuplo de un número es menor que 9.

11) 18 es mayor o igual a 4 menos que el doble de un número.

12) 4 más que el doble de un número es menor que el opuesto del número.

13) 2 más que 3 veces un número es a lo más 11.

14) 5 menos que un número es a lo más 15.


74

3. El largo de un rectángulo es 26 cm. ¿Qué ancho debe tener para que el perímetro sea mayor que 80 cm?

respuesta:

4. El mayor de dos números excede en 5 unidades al triple del menor y su diferencia ha de ser cuando menos 31. Hallar el menor valor posible de número menor.

respuesta:

5. Si 7 veces un número se disminuye en 5, el resultado es menor que 47. ¿Cuál es el número?

respuesta:

6. david nos dice: "El doble de mi edad más dos años es mayor que mi edad más 14 años". ¿Qué edad puede tener david?

respuesta:

75


7. ¿Cuáles son los números cuyo triple excede a su duplo en más de 20?

respuesta:

8. La suma de tres enteros impares consecutivos es menor que 100. ¿Cuáles son los valores máximos posibles para estos números?

respuesta:

9. Encontrar el par de enteros más grande posible tales que uno de ellos sea el doble del otro, y cuya suma sea menor que 30?

respuesta:

10. Una bolsa mediana de comida para perro pesa 1 kilogramo más que la de tamaño pequeño. La bolsa de tamaño grande pesa 2 kilogramos más que la de tamaño pequeño. Si las bolsas pesan a lo más 30 kilogramos. ¿Cuál es el peso máximo que la bolsa pequeña debe contener?

respuesta:


76

11. El perímetro de un cuadrado no supera el perímetro del rectángulo de la figura. ¿Qué se puede asegurar acerca de la superficie S del cuadrado?

respuesta:

matemática - EL MAESTro EN CASA

77

SEMANA CUArTA

Objetivo:

v Resolver inecuaciones lineales con una incógnita. (Segunda parte)

Contenido:

- Inecuaciones lineales, con una incógnita, con solución en ℝ.

- Inecuaciones de la forma:

a x ± (c x ± b) > d

a x ± (c x ± b) ≥ d

a x ± (c x ± b) < d

a x ± (c x ± b) ≤ d

a (b x ± c) > d (e x ± f)

a (b x ± c) ≥ d (e x ± f)

a (b x ± c) < d (e x ± f)

a (b x ± c) ≤ d (e x ± f)

a x ± (b x ± c) > d x ± (e x ± f)

a x ± (b x ± c) ≥ d x ± (e x ± f)

a x ± (b x ± c) < d x ± (e x ± f)

a x ± (b x ± c) ≤ d x ± (e x ± f)

con {a, b, c, d, e, f} ⊂ ℤ.

SE

MA

NA

CU

Ar

TA

SEMANA CUArTAmatemática - EL MAESTro EN CASA

78

79

SEMANA CUArTA

Ahora en esta semana resolveremos inecua-ciones lineales con una incógnita tales como:

a) x + (2x – 3) ≥ – 5x – (1 – 2x);

b) 2x – (3x – 7) ≤ – 2;

c) 4 (5x + 2) > 3 (2 – 3x)

El conjunto solución de una inecuación de primer grado con una incógnita es el conjunto de todos los valores de la variable o incógnita que hacen de la inecuación un enunciado verdadero. Cada elemento del conjunto solución se conoce como solución de la inecuación. resolver una inecuación es encontrar su conjunto solución.

dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

ReSOLUcióN De OtRaS iNecUaciONeS LiNeaLeS eN UNa iNcóGNita cON SOLUcióN eN ℝ

Como con las ecuaciones, se realizan las operaciones sobre las inecuaciones que produz-can inecuaciones equivalentes más simples, y se continúa el proceso hasta llegar a una inecuación cuya solución más simple.

Las propiedades de las desigualdades dadas en la semana anterior se pueden usar para obtener inecuaciones lineales equivalentes.

recuerde que estas propiedades se cumplen si cada signo de la desigualdad se invierte, o si < se reemplaza con ≤ y > se reemplaza con ≥. de esta manera, encontramos que se pueden ejecutar esencialmente las mismas operaciones para las inecuaciones lineales, que las que se realizaron para las ecuaciones.

Cuando se trabaja con inecuaciones lineales, sin embargo, se debe tener particular cuidado con el uso de las propiedades de la multiplicación y di-visión. El orden de la desigualdad se invierte si se multiplica o divide ambos lados de la desigualdad por un número negativo.

80

1. Resolución de inecuaciones lineales en una incógnita de la forma

ax ± (bx ± c) > d, ax ± (bx ± c) ≥ d, ax ± (bx ± c) < d, ax ± (bx ± c) ≤ d

a) resuelva – x + (18 – 2x) ≤ 0

Solución:

obtenemos inecuaciones equivalentes como sigue:

Copie la inecuación – x + (18 – 2x) ≤ 0 Eliminar el paréntesis, del término izquierdo de la inecuación – x + 18 – 2x ≤ 0

reducir los términos semejantes – 3 x + 18 ≤ 0

restamos 18 a ambos lados – 3x + 18 – 18 ≤ 0 – 18 – 3x ≤ – 18

dividimos por – 3 a ambos miembros − 3x− 3

≥− 18− 3

e invertimos la desigualdad. x ≥ 6 El conjunto solución es: [6, +∞[ represente gráficamente el conjunto solución.

b) resuelva -7x + (7 + 9x) < – 3

Solución:


Copie la inecuación – 7x + (7 + 9x) < – 3 Eliminar el paréntesis, del término izquierdo de la inecuación – 7x + 7 + 9x < – 3

reducir los términos semejantes 2x + 7 < – 3

restamos 7 a ambos lados 2x + 7 – 7 < – 3 – 7 2x < – 10

60

81

SEMANA CUArTA

dividimos por 2 a ambos miembros de la desigualdad. 2x2

<− 10

2

x < – 5

S: ] – ∞, – 5[

represente gráficamente el conjunto solución.

c) resuelva 3x – (x + 7) > – 4

Solución:


Copie la inecuación 3x – (x + 7) > – 4 Eliminar el paréntesis, aplicando la propiedad distributiva

de la multiplicación respecto de la suma. 3x – x – 7 > – 4

reducir los términos semejantes 2x – 7 > – 4

Sumar 7 a ambos lados 2 x – 7 + 7 > – 4 + 7 2x > 3

dividir por 2 cada miembro

22

3232

x

x

>

>

El conjunto solución:


32

-5

32

, + ∞


82

d) resuelva (– 5x – 10) + 7 ≥ – 2

Solución:


Copie la inecuación (– 5x – 10) + 7 ≥ – 2

Eliminar el paréntesis, del término izquierdo de la inecuación – 5x – 10 + 7 ≥ – 2 reducir los términos semejantes – 5x – 3 ≥ – 2 Sumamos 3 a ambos lados – 5x – 3 + 3 ≥ – 2 + 3 – 5x ≥ 1

dividimos por – 5 a ambos miembros e invertimos la desigualdad.

− 5x− 5

≤1

− 5 y como 1

− 5=

− 15

x ≤− 15

El conjunto solución es:

S: − ∞

− , 15


–15

83

SEMANA CUArTA

2. Resolución de inecuaciones lineales en una incógnita de la formaa(bx ± c) > d(ex ± f), a(bx ± c) ≥ d (cx ± f)

a(bx ± c) < d(ex ± f), a(bx ± c) ≤ d(ex ± f)

a) resuelva – (x – 3) ≥ 2 (2 + 3x) Solución:

obtenemos inecuaciones equivalentes, como sigue: – (x – 3) ≥ 2(2 + 3x)

– x + 3 ≥ 4 + 6x – 6x – 6x – 7x + 3 ≥ 4

– 7x + 3 ≥ 4 – 3 – 3 – 7 x ≥ 1

– 7 x ≥ 1 ≤ 1

− 7 x ≤ − 1

7

S: − ∞, − 17

⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥ b) resuelva 15 (– 4 – x) < – 5 (12 – 3x)

Solución: obtenemos inecuaciones equivalentes, como sigue: 15 (– 4 – x) < – 5 (12 – 3x)

– 60 – 15x < – 60 + 15x – 15x < – 15x – 60 – 30x < – 60

– 60 – 30x < – 60 + 60 < + 60 – 30x < 0

– 30x < 0

− 30− 30

x > 0− 30

x > 0

Por lo que obtenemos el conjunto soución S: ]0 , +∞[

c) resuelva – 2 (3x – 2) > 5 (4x + 2)

Solución:

obtenemos inecuaciones equivalentes, como sigue: – 2(3x – 2) > 5(4x + 2)

– 6x + 4 > 20x + 10 – 20x > – 20x – 26x + 4 > 10

–26x + 4 > 10 – 4 . – 4 – 26x > 6

– 26x > 6

− 26− 26

x < 6− 26

; − 626

=− 313

x < − 313

S: − ∞, − 313

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

d) resuelva – 2(1 – 7x) ≤ 2(7x – 26)

Solución:

obtenemos inecuaciones equivalentes, como sigue: – 2(1 – 7x) ≤ 2(7x – 26)

– 2 + 14x) ≤ 14x – 52 – 14x – 14x – 2 x ≤ – 52

S: { }

En esta respuesta se puede apreciar que – 2 no es menor o igual a – 52. Así que el conjunto solución de esta inecuación no posee ningún elemento. Cuando esto ocurre, se dice que el conjunto so-lución es vacío, el cual se puede simbolizar con ∅. También, se puede representar con { }.

− 7x− 7

84

3. Resolución de inecuaciones lineales en una incógnita de la forma

ax ± (bx ± c) > dx ± (ex ± f), ax ± (bx ± c) < dx ± (ex ± f)

ax ± (bx ± c) ≥ dx ± (ex ± f), ax ± (bx ± c) ≤ dx ± (ex ± f)

a) resuelva – 9x + (8x – 4) < – 5x – (10 + 2x)

Solución

obtenemos inecuaciones equivalentes, como sigue:

– 9x + (8x – 4) < – 5x – (10 + 2x) Eliminamos los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma y de la resta.

– 9x + 8x – 4 < – 5x – 10 – 2x Reducimos los términos semejantes de – x – 4 < – 7x – 10 ambos lados de la inecuación.

– x + 7x < – 10 + 4 Colocamos los términos de primer grado 6x < – 6 al lado izquierdo y los términos constantes a la derecha y reducimos los términos semejantes.

x <− 66

x < − 1 Pasamos a dividir el 6 y simplificamos.

S: ] – ∞, – 1 [

Gráfica del conjunto solución:

– 1


85

SEMANA CUArTA

b) resuelva 7x – (16 + 6x) ≥ x + (12 – 28x)

Solución


7x – (16 + 6x) ≥ x + (12 – 28x) Eliminamos los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la resta y la suma.

7x – 16 – 6x ≥ x + 12 – 28x Reducimos los términos semejantes de x – 16 ≥ – 27x + 12 ambos lados de la inecuación.

x + 27x ≥ 12 + 16 Colocamos los términos de primer grado 28x ≥ 28 al lado izquierdo y los términos constantes a la derecha y reducimos los términos semejantes.

x 2828

x 1

≥

≥ Pasamos a dividir el 28 y simplificamos. S: [ 1, +∞ [


c) resuelva 4x + (x + 3) > – 2x – (5x – 1)

Solución


4x + (x + 3) > – 2x – (5x – 1) Eliminamos los paréntesis, el menos antes de uno de ellos, cambia el signo de cada término dentro de éste.

4x + x + 3 > – 2x – 5x + 1 Reducimos los términos semejantes de ambos lados de la inecuación.

5x + 3 > – 7x + 1 Colocamos los términos de primer grado al lado izquierdo y los términos constantes a la derecha y reducimos los términos semejantes.

1


86

5x + 7x > 1 – 3 12x > – 2 Pasamos a dividir el 12 y simplificamos.

x > − 212

x > − 16

S: − 16

, + ∞ ⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢


d) resuelva 1 + (3x – 18) ≤ 5 – (8 – 4x)

Solución:


1 + (3x – 18) ≤ 5 – (8 – 4x) Eliminamos los paréntesis, aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma y resta.

1 + 3x – 18 ≤ 5 – 8 + 4x Reducimos los términos semejantes de 3x – 17 ≤ – 3 + 4x ambos lados de la inecuación.

3x – 4x ≤ – 3 + 17 Colocamos los términos de primer grado – x ≤ 14 al lado izquierdo y los términos constantes a la derecha y reducimos los términos semejantes

y como – x = – 1 • x pasamos el – 1 a dividir al 14. x ≥ – 14 Invertimos la desigualdad y el signo del número.

S: [ – 14, + ∞ [


-16

-14

87

SEMANA CUArTA

aPaRtaDO 1

Hagamos más inecuaciones lineales en una incógnita

A. resolver la inecuación 3x – (7 – 5x) < – 8 y trazar la gráfica del conjunto solución.

a) Copiar la inecuación 3x – (7 – 5x) < – 8

b) Eliminamos los paréntesis y reducimos los términos semejantes. 3x – 7 + 5x < – 8 8x – 7 < – 8 c) Sumamos 7 a ambos lados de la inecuación. 8x – 7 < – 8 +7 +7 8x < – 1 d) El coeficiente del término de la izquierda (8x) se pasa a dividir 8x < – 1

la constante (– 1) de la derecha. x < −18

e) El conjunto solución es f) La gráfica del conjunto solución es

B. OBSeRVe

Consideremos la siguiente desigualdad verdadera: 3 < 7

t Si multiplicamos ambos números por 3, obtenemos otra desigualdad verdadera.

9 < 21 Verdadera

t Si multiplicamos ambos números por – 1, obtenemos una desigualdad falsa.

– 3 < – 7 Falsa

t Sin embargo, si invertimos el signo de la desigualdad, obtenemos una desigualdad verdadera.

– 3 > – 7 Verdadera

-18

− ∞, − 18

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

88

aPaRtaDO 2

A. resolver la inecuación 3x + (14x – 7) ≤ 27.

Solución:

3x + (14x – 7) ≤ 27

3x + 14x – 7 ≤ 27

17x – 7 ≤ 27

17x ≤ 27 + 7

17x ≤ 34

x ≤ 3417

x ≤ 2

S: ] – ∞, 2 ]

B. RecUeRDe

Para { a, b, c } ⊂ ℝ

c > 0 c < 0 si a < b, entonces ac < bc si a bc

si a > b, entonces ac > bc si a > b , entonces ac < bc

Afirmaciones similares son válidas para ≤ y ≥.

89

SEMANA CUArTA

aPaRtaDO 3

resuelva las siguientes inecuaciones lineales, indique la solución utilizando intervalos.

aPaRtaDO 4

resuelva cada inecuación lineal con una incógnita, y trace la gráfica del conjunto solución.

1. (3x + 6) – 2x < 4

2. (4x + 20) – 3x ≥ 7

3. 3x + (6 + 2x) ≥ – 19

4. (4x + 12) – 3x > 4

5. 3x – (10 + 2x) ≥ – 5

6. (– 6x – 12) + 7x ≤ – 12

7. (5x – 6) – 4x < 0

8. (3x + 12) – 2x < 4

1. 3x − (2x − 9) ≤ 6 6. 4x + (9 − 15x) ≥ − 8

2. (10 − 2x) + 3x ≤ 8 7. −7 ≤ 4x − (−3 + 2x)

3. (−6 − 4x) + 5x < −2 8. 0 > (35 − 7x) − 12

4. (5x + 8) − 6x > 9 9. −5 > (36x − 63) − 10

5. −3x + (20 − 8x) ≥ −7 10. 0 > 7x − (15x − 35)

90

aPaRtaDO 1

A. resolvamos la inecuación 4 (x – 5) > – 3 (2 – x)

Solución:

4 (x – 5) > – 3 (2 – x) Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la resta para eliminar los paréntesis.

4x – 20 > – 6 + 3x En la parte izquierda trasladamos los términos que poseen la incógnita y en la parte derecha trasladamos las constantes.

4x – 3x > – 6 + 20 Reducimos los términos semejantes.

x > 14

S: ] 14, +∞ [

B. RecUeRDe.

t Las inecuaciones de primer grado con una incógnita son las que responden a las siguientes formas básicas: ax + b < 0, ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b ≥ 0, donde a, b ∈ ℝ, a ≠ 0.

t resolver una inecuación lineal consiste en buscar el valor o valores de la incógnita para que la desigualdad sea verdadera.

A. resolver la inecuación lineal.

3x + (4 – 2x) ≤ – 1 – (7 – 4x) y describa el conjunto solución mediante intervalos.

a) Copiar la inecuación 3x + (4 – 2x) ≤ – 1 – (7 – 4x)b) Eliminar los paréntesis y reducimos los términos semajantes 3x + 4 – 2x ≤ – 1 – 7 + 4xc) reducimos los términos semejantes de ambos lados x + 4 ≤ 4x – 8d) Trasladamos los términos semejantes x – 4x ≤ – 8 – 4e) reducimos los términos semejantes – 3x ≤ – 12f) dividimos por – 3 a ambos lados. Cambiamos de sentido la

desigualdadx ≥

− 12– 3

= 4

g) La solución es el intervalo S: [4, + ∞ [

aPaRtaDO 2

ReSOLVamOS iNecUaciONeS LiNeaLeS eN UNa iNcóGNita

91

SEMANA CUArTA

0 1-1 -38

0 3 6 9

0-20 40

0 1 2-1 -23

B. Escriba en la línea de la derecha, el intervalo que describe cada gráfica.

a) _______________

b) _______________

c) _______________

d) _______________

e) _______________

f) _______________

g) _______________

h) _______________

i) _______________

c. Recuerde

t Las expresiones a < b, a > b, a ≤ b y a ≥ b reciben el nombre de desigualdades.

t En particular, a b reciben el nombre de desigualdades estrictas, en tanto que a ≤ b y a ≥ b se conocen como desigualdades no estrictas.

0 2

0-3

0-21 14

0 8-6

0

aPaRtaDO 3

determine el conjunto solución de cada una de las siguientes inecuaciones.

1. 9 (2x – 7) > 5 (1 + 7x) ____________________________

2. 3 (2x – 3) > – (3 – 5x) ____________________________

3. 5 (4 – 5x) ≤ 4 (9 – 8x) ____________________________

92

4. 2 (11 + 7x) ≤ 3 (4 + 5x) ____________________________

5. 4 (3x – 4) ≥ – 2 (5 + 3x) ____________________________

6. 4 (3x – 2) > 7 (6 – 9x) ____________________________

7. – 3 (2 + 5x) > – 5 (3x – 1) ____________________________

8. – 2 (3x – 6) < 6 (2 + x) ____________________________

9. – 3 (4 – 11x) ≥ – 7 (4 – x) ____________________________

10. 7 (x + 3) ≥ 2 (x + 20) ____________________________

11. – (x + 8) ≤ 2 (x – 6) ____________________________

12. 5 (18 – x) ≥ 3 (20 – 7x) ____________________________

aPaRtaDO 4

A. resuelva cada inecuación lineal.

1. 2x + (5x – 7) ≥ 3x – (x + 1) ____________________________

2. – 6x – (3x – 2) ≥ (8 + x) ____________________________

3. 2x – (x + 2) > (x + 4) ____________________________

93

SEMANA CUArTA

4. (x – 9) + x > (61 + 2x) + 2x ____________________________

5. 2x – (4x + 12) ≤ (x + 7) – 5x ____________________________

6. (3x + 2) – 6x ≤ 8x + (3 – x) ____________________________

7. 5x + (x + 15) < – 3x – (5x + 6) ____________________________

8. – 2 (x – 3) < 5x – (x – 5) ____________________________

9. (7x – 6) – x < 3x – (2 – x) ____________________________

10. (x – 9) > 6x – (3 – x) ____________________________

B. Trace en cada recta numérica la solución de cada inecuación lineal anterior y escriba en la línea de la derecha, el conjunto solución que describe la gráfica.

1. _______________

2. _______________

3. _______________

4. _______________

5. _______________


94

6. _______________

7. _______________

8. _______________

9. _______________

10. _______________

SEMANAS QUiNTA y SEXTAmatemática - EL MAESTro EN CASA

95

ObjETIVOS:

v Simplificar expresiones aritméticas y algebraicas aplican-do las propiedades de las potencias y de los radicales.

v Obtener radicales semejantes y radicales homogé-neos.

v Resolver sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones con radicales.

v Simplificar expresiones con radicales en las que se utilice la combinación de operaciones.

v Racionalizar el denominador de expresiones algebraicas fraccionarias con un radical.

CONTENIDOS:

- Potencia con exponente racional expresado en notación fraccionaria.

- Transformación de expresiones de notacion radical a la notación exponencial y viceversa.

- Propiedades de los radicales:

• raíz de una multiplicación.

• raíz de una división.

• potencia de un radical.

• raíz de una raíz.

• introducción de factores al subradical.

• extracción de factores del subradical.

- Radicales semejantes

- Radicales homogéneos

- Operaciones con expresiones que contienen radicales.

- Combinación de operaciones que incluyen expresiones con radicales.

- Racionalización de denominadores monomios con un solo radical de índice 2 y 3 y de binomios radicales de índice 2, de expresiones algebraicas fraccionarias.

SE

MA

NA

S Q

UiN

TA

y S

EX

TA


96


97

En la semana primera hemos estudiado un nuevo conjunto de números denominado Conjunto de los Números reales. Conocimos de este, sus principales características: infinito, denso, com-pleto, continuo.

También observamos que un número real puede ser racional o bien irracional. Con respecto a los números irracionales sabemos que estos se pueden expresar con una expansión decimal infinita no periódica.

Por ejemplo:

1,002 387 694 309 586 734 023 874…

Sin embargo, otros pueden representarse con una forma muy característica: la forma de radical.

Podemos decir que antes de que se usaran signos de radical, para describir estos nuevos conceptos matemáticos, ya se empleaban las palabras raíz o lado para referirse a la raíz cuadrada de un número. Se tiene indicios que los Sumerios, un pueblo de la antigüedad 3000 años antes de Cristo ya conocían este concepto de «la raíz». Se dice que fue inventada por razones prácticas, pues tenían la necesidad de calcular el área de una superficie cuadrada cuando conocían la medida de su lado.

Algunos indicios de esto se pueden observar en una antigua tablilla conocida como el Texto Plimpton 322, la cual consta de columnas alineadas primero con números y luego su raíz.

«1 : 1 es su raíz»



Según los historiadores se trata de una tabli-lla para escolares, parecida a nuestras tablas de multiplicar.

Mucho tiempo paso y fue hasta en el año 1525 que se presenta el símbolo . Esta notación significó un extraordinario avance en el manejo de los radicales.

Potenciación en ℝCuando estudiamos los números racionales,

teníamos que con ellos podíamos efectuar las operaciones básicas suma, resta, multiplicación, división y además la operación potenciación con exponentes naturales como caso particular de la multiplicación.

Esta operación «Potenciación en ℝ» vamos a estudiarla con un poco mas de detalle pero aho-ra aplicándola a todo el conjunto de los números reales y en particular con los radicales.

Utilizando la operación potenciación tenemos por ejemplo que el producto 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 128 podemos escribirlo así:

2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 27 = 128

En este caso tenemos que el número 2 se llama base, el número 7 se llama exponente el cual nos indica que la base debe multiplicarse siete veces y el número 128 se llama potencia.

Como podemos ver las potencias no solamente nos sirven para escribir en forma abreviada ciertos productos sino que también nos permiten efectuar operaciones en forma ágil y rápida.

En forma general podemos expresarlo así, pero ahora haciendo una generalización para potencias

POteNciacióN y RaDicacióN


98

con exponentes enteros cuando la base es un número real positivo:

an = a • a • a • a • a • a • a • a • a... = b, donde {a, b, n} ⊂ ℝ

n veces

Las Leyes de potencias utilizadas anterior-mente, cuando la base es un número racional y los exponentes son números enteros también se pueden trasladar al conjunto de los números reales.

Estas leyes de ahora en adelante se uti-lizarán tanto con números racionales ( 9 ,

164 , 25, 36, 16, 81, 814 ,...) como con números irracionales tales como ( 2 , 3,

7 , 8,...).

Leyes de potencias1. Producto de potencias de igual base: para

multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

am • an = am + n

Ejemplos

a) 3( )4• 3( )7

= 3( )4 + 7= 3( )11

b) 5( )3• 5( )2

= 5( )3+ 2= 5( )5

c) 7( )5• 7( )–3

= 7( )5 + – 3= 7( )2

= 7

d) 9( )−3• 9( )7

= 9( )−3+ 7= 9( )4

= 32( )4= 3( )4

= 81

2. Cociente de potencias de igual base: para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

am ÷ an = am – n, a ≠ 0

Ejemplos

a) 2( )7÷ 2( )3

= 2( )7 − 3= 2( )4

b) 8( )5÷ 8( )2

= 8( )5 − 2= 8( )3

c) 4( )4÷ 4( )2

= 4( )4 − 2= 4( )2

= 22( )2= 2( )2

= 4

d) 16( )−5÷ 16( )−7

= 16( )−5 −− 7= 16( )2

= 4( )2= 16

3. Potencia de una potencia: para determinar la potencia de una potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

(am)n = am • n

Ejemplos

a) 8( )2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

5

= 8( )10

b) 7( )5⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

7

= 7( )35

c) 2( )−2⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−3

= 2⎡⎣

⎤⎦

−2•−3= 2⎡

⎣⎤⎦

6

4. Potencia de un producto: para determinar la potencia de un producto, se eleva a potencia cada factor.

(a • b)n = an • bn

Ejemplos

a) 7 • 6( )3= 7( )3

• 6( )3

b) 11• 2( )5= 11( )5

• 2( )5

c) 4 • 9( )2= 4( )2

• 9( )2= 22 • 32 = 4 • 9 = 36

5. Potencia de un cociente: para determinar la potencia de un cociente, se eleva a potencia tanto el numerador como el denominador.ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n

=an

bn ; b ≠ 0


99

Ejemplos

a) 32

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

=3( )4

2( )4

b) 52

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

7

=5( )7

2( )7

c) 254

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

3

=25( )3

4( )3 =53

43 =12564

d) 29

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

2

=2( )2

9( )2 =29

6. Potencia de exponente cero: en general, si a ≠ 0, definimos a0 = 1

Ejemplos

a) 8( )0= 1

b) − 5( )0= 1

c) − 9( )0= 1

7. Potencia de exponente uno: en general, de-finimos a1 = a

Ejemplos

a) 8( )1= 8

b) 5( )1= 5

c) 9( )1= 9 = 3

8. Potencia de exponente negativo: en general, si a ≠ 0, definimos

Ejemplos

a) 3( )−7=

13( )7

b) 2( )−5=

12( )5

c) 5( )−2=

15( )2 =

15

Relacionemos raíces con potenciasPartiendo del hecho de que la radicación es

la operación inversa de la potenciación; vamos a resolver muchos problemas simples de la ciencia, los negocios y las ingenierías. Veamos la justifi-cación siguiente:

s2 = 25 o x3 = 64

En particular:

1) Si s2 = 25, y s > 0 entonces ese "s" se llama raíz cuadrada de 25.

obsérvese que s es la base de la potencia 25.

Por ejemplo

1253 = 5 puesto que 53 = 5 • 5 • 5 = 125

− 325 = – 2 puesto que

(– 2)5 = – 2 • – 2 • – 2 • – 2 • – 2 = – 32

2. Si el índice n es par y x positivo:

Por ejemplo:

a) 81 3 3 814 4= =pues

Recuerde siempre

Si el índice es 2, normalmente se omite del radical, por esta razón lo escribiremos así: 4 = 2


100

b) de igual manera, tenemos que 6254 = 5 puesto que 54 = 625

Observación importantet Si el índice de an es par y el subradical a

es negativo entonces la raíz enésima de un número real negativo no está definida en el conjunto de los números reales.

Por ejemplo − 16, − 14 , − − 5 no son números rea-

les, puesto que carecen de sentido en dicho conjunto.

t Si el índice n de an es impar y el subradical es un número real negativo se tiene que:

Por ejemplo:

exponentes racionales

Hasta ahora sólo hemos trabajado con ex-ponentes enteros, pero también los exponentes pueden ser números racionales. Veamos.

debemos decir que los exponentes racionales siguen las mismas reglas que los exponentes enteros, con la particularidad de que cada potencia con expo-nente racional se puede escribir de esta manera

a1n = an

Analicemos el siguiente caso.

312 • 3

12 = 3

12

+12 = 3

22 = 31 = 3

A su vez tenemos que

por la definición de raíz anterior cuando n = 2

3 = 312

Por tanto, lo anterior lo podemos escribir así:

3 • 3 = 32 = 3

En general, para expresar raíces en forma de potencias, se coloca como base la cantidad subradical, y como exponente, una fracción cuyo numerador es el exponente de la cantidad subra-dical y cuyo denominador es el índice de la raíz.

amn = amn

1. exprese en notación radical

Para expresar la potencia 823 en notación

radical, colocamos el numerador 2 como ex-ponente de 8, y el denominador 3 como índice de la raíz.

Ejemplos

a) 823 = 823

b) 13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

34

=13

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

4 =1

274

c) π23 = π23

d) x27 = x27

e) ab2( )35 = ab2( )35 = a3b65

2. exprese en notación exponencial

Para expresar el radical 325 en notación ex-ponencial, colocamos el subradical (3) como la base de la potencia, luego formamos la fracción que será el exponente del subradical.


101

Colocamos como numerador al exponente (2) de subradical y como denominador al índice (5) de la raíz, esto es, 325 = 3

25 .

Ejemplos:

Procediendo como en los ejemplos siguientes, obtenga el cuadrado perfecto de cada uno de los números indicados. Por ejemplo:

a) 122 = 12 • 12 = 144, 144 es un cuadrado perfecto

b) (0,23)2 = 0,23 • 0,23 = 0,0529; 0,0529 es un cuadrado perfecto

1. determine cada resultado:

a. 12 = _____ 0,12 = _____ 0,012 = _____

b. 22 = _____ 0,22 = _____ 0,022 = _____

c. 32 = _____ 0,32 = _____ 0,032 = _____

d. 42 = _____ 0,42 = _____ 0,042 = _____

e. 52 = _____ 0,52 = _____ 0,052 = _____

f. 62 = _____ 0,62 = _____ 0,062 = _____

g. 72 = _____ 0,72 = _____ 0,072 = _____

h. 82 = _____ 0,82 = _____ 0,082 = _____

i. 92 = _____ 0,92 = _____ 0,092 = _____

2. determine el valor de cada raíz.a. 1 =____ 0,1 =____ 0,0001 =____

b. 9 =____ 0,09 =____ 0,0009 =____

c. 36 =____ 0,36 =____ 0,0036 =____

d. 64 =____ 0,64 =____ 0,0064 =____

e. 0,04 =____ 400 =____ 40 000 =____

f. 16 =____ 1600 =____ 0,0016 =____

g. 25 =____ 0,25 =____ 2500 =____

h. 0,49 =____ 4900 =____ 0,0049 =____

i. 81 =____ 0,81 =____ 810 000 =____

3. Simplifique las potencias siguientes:

a) 2( )5• 2( )7

= _________

b) 24 3( )4= _________

c) 5π( )3 • 2π( )−1= _________

d) 115( )9• 115( )3

= _________

e) 5 2( )2• 5( )2

• 7 4( ) • 5( )3• 3 4( ) • 7 4( )−3

= _____

f) a2x4y−2z5a3x−1y7 = _________

g) a−3

p4 • x3

a2 • m5

n6 • nx7 = _________

h) π2 3( )5⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−3

= _________

4. Escriba en forma de potencia las raíces si-guientes.

a) 423 = _____ e) apa = _____

b) 23 = _____ f) yax = _____

c) 735 = _____ g) 27a6b35 = _____

d) 25 = _____ h) 16a5b107 = _____

1


102

5. Escriba en forma de raíz las siguientes poten-cias.

6. Evaluar la expresión.

Por ejemplo:

a) 3x − 12 con x = 4.

¿El resultado es un número real? ________

Solución:

3x − 12 = 3(4) − 12

= 12 − 12

= 0 = 0 ∈ ℝ

respuesta: Sí es un número ℝ.

b) 8 − 4y con y = 10.


c) x + 12 con x = – 6.


d) 3y + 12 con y = – 5.


e) 15 − 2x con x = 8.


Radicación en ℝAnteriormente hemos estudiado la operación

potenciación utilizando para ello, los números rea-les. Ahora vamos a estudiar la operación radicación de igual manera, utilizando los números reales.

Al igual que en la suma la operación inversa es la resta, los mismo ocurre con la multiplicación, la operación inversa es la división. La operación potenciación que hemos estudiado anteriormente también posee una operación inversa, que se llama radiación.

Este procedimiento inverso consiste en lo siguiente: si tenemos an = b una potencia, la radi-cación nos permite obtener el término a conociendo los términos b y n. ya obtenido el valor de a este suele identificar así: a = bn .

Se llama raíz n-ésima de un número real b a otro número real a cuya potencia n-ésima es igual a b (an = b).

observe que para denotar la raíz n-ésima de un número b utilizamos el símbolo bn . El valor de nse llama índice. resumiendo:

bn : es el radical

b: es el radicando

bn = a

n: es el índice

a: es la raíz

Un radical puede llevar coeficientes que formen parte de él como por ejemplo 3 bn donde 3 es el coeficiente y forma parte del radical.

Si n = 2, es la raíz cuadrada y se acostumbra a omitir el índice.

Si n = 3, es la raíz cúbica

Si n = 4, es la raíz cuarta y así sucesivamente.

a) 21512 = _________ d) m

13 = _________

b) 3223 = _________ e) (ab)

34 = _________

c) 943 = _________ f) (x6y7z4 )

13 = _________

103

algunas propiedades de los radicales

Considere a un número real y n un número entero positivo mayor que uno.

1. an( )n= a si an existe

Ejemplos:

a) 5( )2= 5

b) − 83( )3= − 8

2. ann = a si a ≥ 0

Ejemplos:

a) 52 = 5

b) 333 = 3

3. ann = a si a < 0 y n es impar

Ejemplos:

a) (− 2)33 = − 2

b) (− 3)55 = − 3

4. ann = a si a < 0, n es par

Ejemplos:

a) (− 3)2 = − 3 = 3

b) (− 2)44 = − 2 = 4

1. Escriba en cada rectángulo, el número real que convierte cada expresión en una igualdad numérica.

a) ( 7) = 7 d) ( 5 5)5 =

b) ( 5 11) = 11 e) (10 ) = 2

c) ( 6)8 = 6 f) ( )3 = 5

2. Aplicando las propiedades de las potencias y los radicales estudiadas hasta el momento, determine el número racional que representa cada una de las siguientes expresiones:

a) ( 2)4 = _____ d) 4 1 12 = _____

b) ( 3 -2)3 = _____ e) 4 (-0,5)4 = _____

c) (5 7)5 = _____ f) (6 2)18 = _____

3. de acuerdo con los siguientes ejemplos sim-plifique.

a) (3x)2 = 3x

b) a2b2 = (ab)2 = ab

c) t2 = _____

d) 9x2 = _____

e) (– 4d)2 = _____

f) (x + 3)2 = _____

g) 14

x2 = _____

h) 125

. = _____

2

15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

4


104

Simplificación de expresiones radicales

La mayoría de las veces necesitamos expre-sar los radicales en su forma mas simple, es decir, expresarlos de manera que el subradical y el índice del radical sean lo más pequeños posible; lo cual significa expresar el radical en su forma estándar.

Consideremos los casos siguientes que nos favorecerán posteriormente la comprensión de la operación radicación con los números reales.

caSO 1

a) Exprese en forma simple 166

Solución:

1) Para llevar a la forma simple el radical 166 , debemos expresar el subradical en forma

de potencia. observe que 16 puede escribirse como 24, por lo tanto, podemos escribir:

166 = 246

2) Seguidamente, expresamos el radical como una potencia de exponente fraccionario:

246 = 246

3) Expresamos en la forma canónica el exponente 46

, es decir:

2 2 2 446

23 23 3= = =

4) Por tanto tenemos que: 166 = 43 , que es la forma simple del radical dado.

b) Simplifique la siguiente expresión: x3y6z96

Solución:

t Para simplificar un radical como este, tenemos que dividir el índice del radical y el exponente de cada factor del subradical por un mismo número que sea divisor común de todos ellos. (Esto es, hacemos uso de la propiedad amn = a

mn ),

observe que el divisor común es 3.

Así:

x y z x y z xy z xy z3 6 9633

63

93

63 2 32 2 3= = =

c) Simplifique la expresión 3a 25a84

Solución:

Se escriben los factores del subradial como potencias:

3a 25a84 = 3a 52 a84

Luego se divide el índice del radical y el expo-nente de cada factor del subradical por un mismo número que sea divisor común de todos ellos.

¡Hallemos el divisor del índice y de los expo-nentes de los factores del subradical!

4 2 8 2

2 1 4 divisor común: 2

Cuando el divisor común del índice y de los exponentes de los factores del subradial es el mismo índice se puede proceder así:

d) Simplifique la expresión − 8a3b6x123

Solución:

Se escriben los factores del subradical como potencias de exponente igual al índice.

Usando la propiedad amn = amn obtenemos lo

siguiente


105

e) Simplifique la expresión 5a 27x6y18z63

Solución:

Se escriben los factores del subradical como potencia de exponente igual al índice. Así:

5a 27x6y18z63 = 5a 33(x2 )3(y6 )3(z2 )33

Usando la propiedad amn = amn , obtenemos

lo siguiente:

5a 33(x2 )3(y6 )3(z2 )33 = 5a 333 (x2 )

33 (y6 )

33 (z2 )

33

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= 5a 3x2y6z2( )= 15ax2y6z2

caSO 2

1. Exprese en forma simple 1283

Escribimos el radical en la notación de po-tencia, esto es:

1283 = 273

Seguidamente, expresamos el radical (con el subradical en forma de potencia) como una potencia de exponente fraccionario:

273 = 273

Aquí tenemos que el exponente 73

no se puede simplificar.

Sin embargo, podemos escribir 73

= 2 + 13

Recuerde que la idea es hacer en lo posible un subradical más pequeño.

Por esta razón tenemos que:

2 2 2 273

2 13 2

13= =

+•

observe que hemos utilizado una ley de po-tencias. ¿Cuál es?

de esta manera podemos escribir la potencia con exponente fraccionario mediante un radical y la otra como coeficiente del mismo. Es decir:

22 • 213 = 4 23

Esta es la forma simple del radical dado.

1283 = 4 23

Como se puede apreciar las relaciones ante-riores sugieren la propiedad multiplicativa de los radicales.

Para cualquier par de números reales tene-mos que:

abn = an • bn

si an y bn existen y n es un número entero positivo.

2. Simplificar la expresión 125a4b73

Solución:

Se expresa el subradical como producto de potencias con índice igual al radical multipli-cadas por otros términos.

125a4b73 = 53 a3b6 • a1b13 =

125 5

25 5 53; a4 = a3 • a

5 5 b7 = b6 • b1

1

Se simplifica el radical extrayendo las variables que permiten las propiedades.

recuerde: ann = a ; ambn( )x= am•xbn•x


106

3. Simplificar la expresión 128x6y76

Solución:

Se expresa el subradical como producto de potencias con índice igual al radical multipli-cados por otros términos.

128x6y76 = 26 x6y6 • 2y6

128 2 64 2 32 2 16 2 27 = 26 • 21, y7 = y6 • y1

8 2 4 2 2 2 1

26 x6y6 • 2y6 = (2xy)66 • 2y6 =

= 2xy 2y6

caSO 3

Este consiste en la obtención de la raíz de un radical.

La raíz de cualquier grado de una raíz se obtiene al multiplicar los índices de ambas raíces.

Esta ley se representa mediante la fórmula:

anm = an•m

ejemplos

a) Exprese en forma simple 354

Solución

En este caso se trata de extraer la raíz cuarta de 35

354 = 34•5 = 320

Descomponemos cada potencia como el producto de un número múltiplo del índice y otro número cualquiera.

ann = a

Según la definición de la raíz, 320 será la raíz cuarta de 35 si elevada a la cuarta reproduce la cantidad subradical 35 .

Hagamos la comprobación.

320( )4 = 3120

4

= 3120

•4= 3

420 = 3

15 = 35

b) Simplifique el siguiente radical a23

Solución

En este caso se trata de extraer la raíz cúbica de a2 = a .

Veamos a23 = a3•2 = a6

comprobación:

Según la definición de la raíz, a6 será la raíz cúbica de a si elevada al cubo reproduce la cantidad subradical a , y así es:

a6( )3 = a

16

3

= a16

• 3 = a

36 = a

12 = a

c) Exprese en la forma más simple el radical

256a8b8

Solución:

256a8b8 = 256a8b82•2•2

= 256a8b88

= 28 a8b88

= (2ab)88

= 2ab

t Utilizamos la propiedad de los radicales:

anm = an•m.

t Para extraer la raíz de una raíz se conserva el subradical y se multiplican los índices.

ann = a


107

d) Exprese en la forma más simple el radical

35

34

Solución:

35

34 =35

3•4 =35

12

Se utilizó la propiedad de radicales

xnm = xn•m

e) Calcule el siguiente radical

5 + 14 + 1+ 9

Solución:

Estos ejercicios se comienzan a resolver desde el radical más interior.

5 + 14 + 1+ 9 = 5 + 14 + 1+ 3

= 5 + 14 + 4

= 5 + 14 + 2

= 5 + 16= 5 + 4= 9= 3

1. Extraer todos los factores posibles de:

a) 64x6y3z = ______________

b) 54x7y2z123 = ______________

c) 81a5bc6 = ______________

d) 128a8b2c153 = ______________

2. Exprese en la forma más simple.

caSO 4

Todo el tiempo pasado, usted se había dado cuenta que en todos los ejemplos se han extraído factores del radical, ahora se hará lo contrario; in-troduciremos factores dentro de un radical. Vamos a utilizar una propiedad de los radicales que dice: "para introducir factores dentro de un radical se

3

a) 3x35 = ______________

b) 2x2y (xy2 )343 = ______________

c) 32x2y236 = ______________

d) 16x = ______________

e) 4mn (mn)3 = ______________

f) 3 = ______________

g) 243 = ______________

h) x1035 = ______________

i) 7x43 = ______________

j) 2 = ______________

k) 32

ab53 = ______________

l) 23

ax34

4

= ______________

m) 20 + 21+ 8 + 64 = ______________

n) 19 − 4 + 32 − 49 = ______________

ñ) 5a + 21 a + 16a8 = ______________2


108

tiene que multiplicar su exponente por el índice de la raíz y luego se multiplica por el subradical"; simbólicamente esto se escribre así:

a bn = anb

Ejemplos:

1. introduzca el coeficiente en cada uno de los siguientes radicales.

a) 2 43 = 23 • 4 = 8 • 4 = 32

b) x2 2x = x2•2 • 2x = 2x4 • x = 2x5

c) 2x4y3 4xy23 = (2x4y3 )1•3 • 4xy23

= 23 x12y9 • 4xy23

= (8 • 4)(x12x)(y9y2 )3

= 32x3y113

d) 2ab

3b2

4a23 =

2ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1•3

• 3b2

4a23 =

23 a3

b3 • 3b2

22 a23

=24a3b2

4a2b33

=6ab

3

Hicimos uso de la ley de potencias

ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

m

=am

bm

y simplificamos las potencias siguientes:

algunos ejemplos

a) Simplifique el radical 2 33 en la forma más simple.

Solución:

Aquí primero introducimos el factor 2 en el radical 33 , observe que se multiplicó el ex-ponente del factor 2 (el número uno) por el índice del radical 33 (el número 3) se obtiene

23 • 33

23 • 33 = 8 • 32•3 = 246

Entonces 33 = 246

b) Simplifique el radical x 2 x33 en la forma más simple.

Solución:

Aquí tenemos que aplicar la propiedad: raíz de una raíz, que nos dice que para extraer la raíz a una raíz se conserva el subradical y se multiplican los índices:

anm = an•m

¡Pero antes!

t debemos introductir el factor 2 dentro del radical x3 ; obtenemos:

x 2 x33 = x 22 x33

mUy imPORtaNte:

Utilizando la propiedad , podemos aplicar el caso 3 anterior; esto con el fin de poder extraer raíces de la forma:

a xmn = amxmn = amxm•n


109

observe lo que se hizo, aplicamos la propiedad raíz de una raíz con los radicales

22 x33 = 22 x36 = 4x36

t debemos introducir el factor x dentro del radical 4x36

x 4x3 6 = x6 4x36 = 4x96•2

= 4x912

Entonces x 2 x33 = 4x912

c) Simplifique el radical a2

bb3 en la forma más

simple.

Solución:

Este radical nos está indicando que debemos

hallar la raíz cúbica del subradical a2

bb .

Primero debemos introducir el factor a2

b dentro

del radical b . Veamos:

a2

bb3 =

a2

b⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2

• b3

=a4

b2 • b6

=a4bb2

6

=a4

b6

Entonces a2

bb3 =

a4

b6

4Simplifique al máximo cada uno de los si-

guientes radicales.

a) 2 253 = ______________

b) 2 22735 = ______________

c) 25 x2y2 = ______________

d) x x34 = ______________

e) 2x x4 = ______________

f) 5 abc3 = ______________

g) 2 3 235 = ______________

h) 3 3 3 353 = ______________

i) − 3 ab 2a3 = ______________

j) a 1a

a34 = ______________

k) x2 1x

x3 = ______________


110

Estimado estudiante

A continuación presentaremos el tema de los Radicales semejantes y los Radicales homogéneos el conocimiento de estos, facilitará el estudio posterior de las distintas operaciones con radicales.

Radicales semejantes

Considere los siguientes grupos de radica-les.

t 2a3 , −73

2a3 , 2a3

3

t 12

3, 5 3, 38

3

Estos radicales tienen algo en común tienen el mismo índice y el mismo subradical; por ejemplo el primer grupo, tienen como índice el número 3 y como subradical 2a; el segundo grupo tiene como índice el número 2 y como subradical el 3. A estos radicales se les llama radicales semejantes.

Radicales semejantes: son aquellos radicales que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical; diferencián-dose solamente en los signos y en los coeficientes.

importante

Algunas veces, para determinar si dos o más radicales son semejantes, se tiene que simplificar cada uno de ellos para verificarlos.

Por ejemplo: 45, 80, 20

A simple vista estos radicales tienen en común solo el índice 2, pero esto no es suficiente para asegurar que ellos no sean semejantes, hay que simplificarlos así:

45 = 32 • 5 = 32 • 5 = 3 5

Se hace uso de la ley ann = a

45 3 15 3

32

5 5 1

Se hace uso de la propiedad

anm = anm

24 = 242 = 22 = 4

80 2 40 2 20 2 24

10 2 5 5 1

20 = 22 • 5 = 22 • 5 = 2 5

20 2 10 2

22

5 5 1 Así entonces se tiene que 45, 80, 20

son equivalentes a 3 5, 4 5 y 2 5

Recuerde:

No solo el índice nos indica que un radical es semejante.

El subradical también de ser semejante.

¡Pero cuidado si no son semejantes los subradicales, piense en simplificarlos prime-ro! eso le evitará mucho contratiempo.

Los radicales semejantes, nos permitirán sumar o restar radicales, un tema que pronto estudiaremos.


111

Radicales homogéneos

Este tipo de radicales solo deben poseer una característica común que cumplir; todos tienen que tener el mismo índice; por ejemlo:

a) 23 , 33 , 53

b) 12

3x, 5 5x3 , 38

7x5

Radicales homogéneos: son aquellos radicales que tienen el mismo índice.

Cuando los radicales no son homogéneos, estos se pueden homogeneizar; pongamos aten-ción.

recuerda que en los números racionales po-díamos amplificar una fracción, es decir, multipli-car el numerador y el denominador por un mismo número. Por ejemplo.

a) 13

=13

• 44

=4

12

b) − 27

=− 27

• 55

=− 1035

Un procedimiento semejante vamos a utilizar para homogenizar radicales que poseen distinto índice.

Practiquemos la homogeneización

Consideremos los radicales siguientes, en su forma heterogénea, es decir, con diferente índice.

reduzca al mínimo común índice estos radi-cales.

a) 7, 63

Solución:

En realidad reducir solo al mínimo común índice significa homogeneizar radicales en radicales con el mismo índice. Para esto, primero debe-mos transformar cada radical a una potencia con exponente fraccionario.

7 7 6 612 3

13= =, 2 3 2

1 3 3 1 1 m.c.m.: 6

Encontramos el mínimo común múltiplo índice de ambos índices: m.c.m. (2,3) = 6, transfor-mamos entonces los radicales con índice igual a 6. de la misma manera como amplificamos fracciones.

7 7 7 7 7 343

6 6 6 6 6

12

12

33

36 36 6

313

13

22

26 26

= = = = =

= = = = =

•

•3366

Así entonces se tiene que 7, 63 es equi-valente en su forma homogeneizada a

3436 ; 366

b) 3 54 , 119

Solución:

Transformemos los radicales con índice igual al m.c.m. (4,9) = 36

54 = 514 = 5

14

• 99 = 5

936 = 5936

119 = 1119 = 11

19

• 44 = 11

436 = 11436

Entonces tenemos que 3 54 , 119 es equi-valente a 3 5936 , 11436

6 2– 6 3 0

6 3– 6 2 0

36 4– 36 9 0 36 9– 36 4 0


112

c) 3x3 ; 5a2 ; 4m6

Solución:

En realidad homogenizar radicales también significa reducir los radicales al mínimo común índice.

Los índices de estos radicales son 3, 2, 6. Hallemos el m.c.m. de los índices.

2 3 6 2 1 3 3 3 1 1 1 El m.c.m. es 6

Como

t 3x3 = 3x( )13 lo podemos amplificar así:

3x3 = 3x( )

13

• 22 = 3x( )

26 = (3x)26 = 9x26

t 5a2 = 5a2( )12 lo podemos amplificar así:

5a2 = 5a2( )12 = 5a2( )

12

• 33 = 5a2( )

36 = 5a2( )36

= 53 a66

= 125a66

t 4m6 = 4m( )16 , amplificamos así:

4m6 = 4m( )16 = 4m( )

16

•11 = 4m( )

16 = 4m6

respuesta:

es equivalente a

5

1) 5, 34 6) 5x, 4x2y3 , a3b6

2) 43 , 84 , 3 7) 2 a3 , 3 2b, 4 5x24

3) 53 , 24 , 3 8) 8a2x34 , 3a5m46

4) 34 , 45 , 15 9) 2mn3 , 3m2p5 , 5m3p215

5) 23 , 36 , 99 10) 2y36 , x23 , 5m79

Homogeneizar los siguientes radicales.


113

Operaciones con expresiones que contienen radicales

Hasta ahora, hemos estudiado algunos defini-ciones y principos básicos relativos a los radicales, pero no hemos estudiado aún, las operaciones que se pueden realizar con estos radicales. Se-guidamente vamos a considerar dos de ellas, muy conocidas por todos nosotros, a saber:

Suma y resta de expresiones que contienen radicales

Para sumar o bien restar radicales, éstos deben ser radicales semejantes, es decir, deben poseer igual índice e igual subradical.

importante:

La suma o resta de radicales semejantes da como resultado otro radical semejante, cuyo coeficiente se obtiene sumando o restando los coeficientes de los radicales.

Si los radicales no son semejantes se deja la operación indicada.

Ejemplos

1. 3 23 , − 2 23 , 14

23

2. 114

7x5 , − 23

7x5

Observe:

El resultado de sumar dos o más radicales semejantes se obtiene sumando los coeficientes de los radicales y manteniendo el subradical. Esto es p a + q a = (p + q) a .

Índice : 3Subradical : 2

Índice : 5Subradical : 7x

Ejemplos

1. obtengamos el resultado de

6 2 − 4 2 + 3 2 =

Solución:

Estos radicales son semejantes; todos poseen el a 2 como radical.

Entonces:

2. Efectúe

− 2 12 + 8 3 − 75 =

Solución:

Al simplificar los radicales tenemos.

−2 12 = – 2 22 • 3 = − 4 3 12 2 6 2

22

3 3 1

8 3 = 8 3

− 75 = − 52 • 3 = − 5 3 75 3 25 5 5 5

52

1 resolviendo tenemos que:

− 2 12 + 8 3 − 75 = − 4 3 + 8 3 + − 5 3= (− 4 + 8 + –5) 3= (4 + – 5) 3= − 1 3= − 3


114

3. Efectuar 2 3 + 5 27 48−

Solución:

Al simplificar los radicales tenemos:

2 3

5 27

48

= 2 3

= 5 3 3 = 5 3 3 = 15 3

2 • •

== 2 3 = 2 = 4 3

Entonces: 2 3 + 5 27

4 2• 3

48 = −

2 3 15 3 4 3 2 15 4 3 13 3 + − = + − =( )

4. Efectuar 2 75 + 28 12−

Solución:

Al simplificar los radicales tenemos:

2 75

28 2

= 2 5 3 = 2 5 3 = 10 3

=

2

2

• •

• 77 = 2 7

= 2 3 = 2

Entonces: 2 75 +

212 3•

28 12 = −

10 3 2 7 2 3 10 3 2 3 2 710 2 3 2 7 8 3 2 7

+ − = − + =

− + = +

( )

Observe: 8 3 y 2 7 no son radicales seme-jantes; por eso no se suman

5. Efectuar 23

50 45 18 + 35

13

−

Solución:

Simplificando cada término de la operación:

23

18 3

35

50

2 = 23

2 = 23

3 2 = 2 2

=

• •

35

2 = 35

5 2 = 3 2

= 13

5

13

45 3

2

2

• •

• 55 = 13

3 5 = 5•

Entonces:

23

50 45 18 + 35

13

=

2 2 + 3 2 5 = 5 2

−

− 5−

6. Efectuar 24 + 813 3

Solución:

Al simplificar los radicales, tenemos:

24 = 2 3 = 2 3

81 = 3 3 = 3

3 33 3

3 33

•

• 33

Entonces:

24 + 81 = 2 3 + 3 3 = 5 33 3 3 3 3

7. Efectuar 5 16 + 81 – 1283 3 3

Solución:

Simplificando

5 16 5 2 2 5 2 2 10 2

81 3 3 3 3

12

3 33 3 3

3 33 3

= = =

= =

• •

•

88 2 2 2 2 4 23 63 2 3 3 = = =•

Entonces:

5 16 81 128 10 2 3 3 4 210 2 4 2 3

3 3 3 3 3 3

3 3

+ − = + −

− + 3 6 2 3 33 3 3= +

8. Efectuar 12

16 23

54 25

2503 3 3–+

Solución:

Simplificando

12

16 12

2 2 12

2 2 2

23

54 23

3 2 23

3 33 3 3

3 33

= = =

= =

• •

• • 33 2 2 2

25

250 25

5 2 25

5 2 2 2

3 3

3 33 3 3

=

= = = • •


115

12

16 12

2 2 12

2 2 2

23

54 23

3 2 23

3 33 3 3

3 33

= = =

= =

• •

• • 33 2 2 2

25

250 25

5 2 25

5 2 2 2

3 3

3 33 3 3

=

= = = • •

Entonces:

12

16 23

54 25

250

2 2 2 2 2 2

3 3 3

3 3 3 3

–

+ =

+ − =

9. Efectuar x 8x − 3 50x3 + x 18x

Solución:

x 8x = x 22 • 2x = x 22 • 2x = 2x 2x

3 50x3 = 3 52 • x2 • 2x = 3 (5x)2 • 2x

= 3(5x) 2x

= 15x 2x

x 18x = x 32 • 2x = x 32 • 2x = 3x 2x

Entonces:

x 8x − 3 50x3 + x 18x = 2x 2x − 15x 2x + 3x 2x= (2x − 15x + 3x) 2x= − 10x 2x

Sume y reste los siguientes radicales.

a) 4 18 + 2 8 − 3 32 = ___________

b) 7 163 + 3 543 − 2 1283 = ___________

6

c) 2 5 − 3 45 + 3 20 = ___________

d) 12 − 75 + 48 = ___________

e) 5a 3 − 3 3a2 + 12a2 = ___________

f) 2a 3a − 27a3 + a 12a = ___________

g) 2 16x53 − x 54x23 + 128x53 = ___________

multiplicación de expresiones radicales con un mismo índice

Sabemos que, para números reales tene-mos que

an = an • bn

Para multiplicar y simplificar radicales po-demos utilizar la propiedad multiplicativa de los radicales.

ejemplos: multiplicar

1. 5 • 7 = 5 • 7 = 35

2. 8 • 8 = 8 • 8 = 64 = 8

Algunas veces, también podemos simplificar después de multiplicar.

Por ejemplo se pueden encontrar factores cua-drados perfectos y tomar sus raíces cuadradas.


116

ejemplos: multiplicar y simplificar

a) 3 • 18 = 3•18 = 54 = 32 • 6 = 3 6

Solución

54 2 27 3 9 3 3 3 1

b)

c)

d) Efectuar 3 10 5 123 3 •

Solución:

Se multiplican los coeficientes, luego los su-bradicales así:

3 10 5 12 3 5 10 12 15 120

15 2 3 5 15 2 15 30

3 3 3 3

33 3

• • •

• • •

= = =

= = 1153

e) Efectuar 25

15 34

30 56

8• •

Solución:

6

32

Entonces: 25

15 • 34

30 • 56

8 = 15

f) Efectuar 8 83 45 2 35a b a b•

Solución:

Entonces 8a3b45 • 8a2b35 = 2ab 2b25

imPORtaNte

debemos tener presente que no siempre es posible extraer todos los factores de una expresión radical.

Las raíces no exactas, quedan en el subradical y determinan números irracionales.

algunos ejemplos

1. 8 = 22 • 2 = 22 • 2 = 2 • 2 =

factor irracional

coeficiente


117

2. 3x168 = 38 • x168 = 38 • x2

factor irracional

coeficiente

observe x168 = x168

88

= x2 Entonces tenemos que el factor que tiene

raíz exacta en la expresión radical, se le llama coeficiente.

El coeficiente de una expresión radical puede ser numérico, literal o ambos a la vez.

imPORtaNte

1. Los radicales que no se pueden simplificar se llaman irreducibles.

2. Un radical es irreducible si los exponentes de todas las potencias del subradical son menores que el índice y que alguno de estos exponentes no tenga factor común con él.

Ejemplos.

a) a2b7

b) 5abc) 43

d) 2x3y58

multiplicación de expresiones radicales no homogéneos

Anteriormente hemos multiplicado radicales homogéneos, es decir, multiplicamos radicales con el mismo índice.

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando los radicales no son homogéneos?

Cuando los radicales no son homogéneos debemos transformarlos realizando el proceso de la homogeneización. Por ejemplo.

1. 2 4a23 • 2ax =

Solución:

Homogeneizamos primero los radicales al mínimo común índice de 3,2 que es 6.

2 4a23 = (4a2 )23•2 = 16a46

2ax = (2ax)32•3 = 8a3x36

Nótese que hemos realizado dos pasos.

a) Multiplicamos los índices por el número que los hace iguales, según el mínimo común múltiplo (6) de los índices.

b) Elevamos el subradical al número (exponente) que se ocupó para multiplicar los índices.

Entonces,

2 4a23 • 2ax = 16a46 • 8a3x36 = 2 16a4 • 8a3x36

2 128a7x36

Simplificando:

Por lo tanto,

2 4a23 • 2ax = 2 128a7x36 = 2 • 2a 2ax36

= 4a 2ax36


118

2. 2 3a6 • 3x 2a4 =

Solución:

Homogeneizamos primero los radicales:

observe que m.c. m. (6,4) = 12

3a6 = (3a)26•2 = 9a212

2a4 = (2a)34•3 = 8a312

Entonces,

2 3a6 • 3x 2a4 = 6x 9a212 • 8a312 = 6x 9a2 • 8a312

= 6x 72a512

Por lo tanto,2 3a6 • 3x 2a4 = 6x 72a512

1) 3 • 6 = __________

2) 2 15 • 3 10 = __________

3) 12

14 • 27

21 = __________

4) 3 ab • 2a b = __________

5) 2 a2x • 32

a3 = __________

7

División y simplificación de radicalesHasta este momento hemos estudiado muchos

aspectos sobre radicales, por esto le pregunto:

¿Qué se puede observar de los resultados de los radicales siguientes?

369

y 369

resolvamos,

369

= 63

= 2 y 369

= 4 = 2

Para contestar a esta pregunta tenemos que decir que con radicales homogéneos se cumple

ab

n =an

bn y an

bn=

ab

n

6) 2x4

25y53 • 4x5

5y3 = __________

7) x • 2x23 = __________

8) 3 2ab • 4 8a34 = __________

9) 9x2y3 • 81 x5

5

6 = __________

10) a2b23 • 2 3a3b4 = __________

11) − 53

a2b ab3 • – 3a

a2b = __________


119

8

Siempre que existan an y bn ; y ademásb ≠ 0 .

Algunas veces un radicando fraccionario se puede simplificar, por ejemplo en un cuadrado perfecto, en un cubo perfecto, etc.

ejemPLOS. Simplificar.

a. 259

=259

=53

b. 116

=1

16=

14

c. 278

3 =273

83=

(3)33

(2)33=

32

También podemos utilizar la propiedad de la división de radicales para simplificar los radicales con fracciones y para dividir los radicales.

ejemPLOS. Dividir y simplificar

a. 273

=273

= 9 = 3

b. 30a3

6a2=

30a3

6a2 = 5a

c. 7 13 ÷ 28 26 =7 13

28 26=

728

1326

=14

12

Pero en la división también homoge-nei zamos

Tal como ocurre con la multiplicación, para dividir radicales de distinto índice debemos prime-ramente homogeneizarlos.

Efectúe la división 323

45

Solución:

Homogeneizamos primero los radicales:

323 = 253 = 25•53•5 = 22515

45 = 225 = 22•35•3 = 2615

observe el m.c.m. (3,5) = 15

Entonces,

Por lo tanto,

323

45= 2 1615

dividir los siguientes radicales indicados.

a) 4 6 ÷ 2 3 = _________

b) 2 50 ÷ 6 24 = _________

c) 12 3 ÷ 4 3 = _________

d) 18 ÷ 25 = _________

e) 2 81x23

3 3x23= _________

323

45=

25215

6215=

25262

15 = 225 − 615 = 21915 = 152 • 4215

= 15215 • 4215

= 2 1615


120

Racionalización de denominadoresUna expresión radical para estar expresada

correctamente, es decir, simplificada, debe satis-facer las siguientes condiciones.

a. El subradical no tiene que tener factores con raíces exactas.

b. Una expresión radical en su forma más simple no tiene que tener radicales en el denominador.

c. Un radical bien simplificado no tiene que poseer subradicales fraccionarios.

En algunos casos estudiados por nosotros obtuvimos resultados donde el denominador es un radical o bien poseen subradicales fraccionarios.

Es por esta razón que vamos a trabajar con el proceso que nos permite eliminar fracciones en el subradical o bien el radical denominador de expre-

siones radicales. Para esto vamos a considerar los casos siguientes:

A. Cuando el denominador es un términos radical de índice 2 y no tiene coeficiente, se multiplica el numerador y el denominador por el radical del denominador.

Este caso corresponde a los radicales de la

forma ab , aquí para racionalizar multiplicamos

numerador y denominador por b , así:

ab

=a bb • b

=a b

b2=

a bb

ejemPLOS

1. racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones:

a) 62

=62

• 22

=6 • 22 • 2

=6 2

4=

6 22

= 3 2

b) 23

=23

• 33

=2 • 33 • 3

=69

=6

3

observe que en ambos, utilizamos el hecho de que la división de un número por si mis-mos es 1.

22

= 1 ; 33

= 1

Nótese que tanto 2 como 3 es el radical del denominador; al realizar este proceso "convertimos" el radical denominador en un número racional.

B. Cuando el denominador es un término radical de índice 2 que tiene coeficiente racional, se procede de la manera siguiente: se multiplica el numerador y el denominador por el radical sin tomar en cuenta el coeficiente.

Este caso corresponde a los radicales de la forma a

c b, aquí para racionalizar multipli-

f) ab3c7

a2b57= _________

g) 43

2x510 34

4x210 = _________

h) 9x 3x23 = _________

i) 5m2n3 m3n25 = _________

j) 18x3y4z56 3x2y2z34 = _________

k) 45

4ab3 110

2a2 = _________

l) 12

2x 14

16x46 = _________

121

camos numerador y denominador por b ; el cociente se deja igual.

ac b

=a b

c b b=

a bc b2

=a bcb

=a bb • c

racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.

ejemPLOS:

a) 35 2

=3

5 2• 2

2=

3 • 25 2 • 2

=6

5 • 2=

610

multiplicamos por 1=22

b) 5xa x

=5x

a x• x

x=

5x • xa x • x

=5x x

ax=

5 xa

observe x • x = x2 = x; 5xax

=5a

c) determine una expresión equivalente a 218

.

Solución:

Como 18 = 2 • 32 multiplicamos ambos términos; el numerador y el denominador por 2 para que el exponente del 2 se haga par, esto es 22.

Así pues, tenemos que:

218

=2 2

2 • 32 • 2=

2 222 • 32

=2 22 • 3

=2

3=

13

2

racionalizar el denominador.

9

a) 25

b) 37

c) 13 3

d) 32 2

e) 590

f) 932

g) 6128

h) 12 2

C. Cuando el denominador es un radical de ín-dice tres se multiplican los dos términos de la fracción (numerador y denominador) por el cuadrado del radical, el cual al ser multiplica-do por el denominador lo convierte en cubo perfecto y se multiplica así el resultado.

Este caso corresponde a los radicales de la forma

abmn , con m < n, para racionalizar

multiplicamos numerador y denominador por bn−mn , si hubiera coeficientes, se deja igual.

abmn

=abmn

• bn−mn

bn−mn=

a bn−mn

bnn=

a bn−mn

b

observe:

ejemplos:

racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.

a) 223

Solución:

Se multiplican ambos términos de la fracción por 223 y se efectúan las operaciones:

223

=2 • 223

23 • 223=

2 223

232=

2 43

2= 43

b) 2

3 33

Solución:

Se multiplican ambos términos de la fracción por 323 y tenemos:

23 33

=2 • 323

3 33 • 323=

2 93

3 333=

2 93

3 • 3=

2 93

9=

29

93

e) 63 5

9 5

3 3

5 2

f)2 2

g)90

h)32

= ______ = ______

= ______ = ______


122

racionalizar el denominador de:

d. Cuando el denominador es una expresión algebraica de dos términos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador de la expresión.

En este último caso, corresponde a los radicales de la forma

ab + c , con {a, b, c} ⊂ ℝ, b > 0,

c > 0, para racionalizar multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador así:

ab + c

=a( b − c)

( b + c)( b − c)=

a( b − c)( b)2 − ( c )2

=a( b − c)

b − c

ejemplos: racionalice el denominador de cada una de las siguientes expresiones.

10

1. 52 43

2. 35 103

3. 333

4. 363

5. 753

6. 4163

7. 7113

8. 243

9. 123

10. 523

11. 993

12. 12 33

1. 52 43

2. 35 103

3. 333

4. 363

5. 753

6. 4163

7. 7113

8. 243

9. 123

10. 523

11. 993

12. 12 33

a) 53 + 2

Para racionalizar este tipo de expresiones radicales nos valdremos de la fórmula notable (a – b) (a + b) = a2 – b2.

Estimado estudiante: El tema de los productos notables se estudió en el libro de Matemática Ujarrás en la semana novena.

En efecto, para transformar una expresión algebraica de dos términos irracionales del denominador, en expresiones algebraicas de dos términos racionales, amplificamos cada una de las expresiones por el conjugado del denominador.

Por ejemplo:

El conjugado de 3 + 2 es 3 − 2

El conjugado de 2 − 3 es 2 + 3

El conjugado de 2 + 5 es 2 − 5

Ahora bien,

a)

53 + 2

=5

( 3 + 2 )•

( 3 − 2 )( 3 − 2 )

=5( 3 − 2 )

( 3 )2 – ( 2 )2

=5( 3 − 2 )

3 − 2=

5( 3 − 2 )1

= 5 3 − 5 2

b)3

2 − 7=

3(2 − 7 )

•(2 + 7 )(2 + 7 )

=3(2 + 7 )22 − ( 7 )2

=3(2 + 7 )

4 − 7=

3 (2 + 7 )− 3

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

c)3

2( 5 − 2)=

3( 5 + 2)2( 5 − 2)( 5 + 2)

=3( 5 + 2)

2 ( 5 )2 − (2)2⎡⎣

⎤⎦

=3( 5 + 2)2(5 – 4)

=3( 5 + 2)

2 • 1

=3( 5 + 2)

2

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______

= ______


123

cOmBiNaNDO OPeRaciONeS

a) Efectuar 6 • 10( ) ÷ 3

Recuerde: La prioridad de las operaciones, primero se hacen las multiplicaciones o divi-siones según el orden que aparecen, después las sumas y las restas.

Solución:

1) 6 • 10 = 6 •10 = 60 = 22 • 3 • 5 = 2 15

2) 2 15 ÷ 3 = 2 15 ÷ 3 = 2 5

respuesta: 6 • 10( ) ÷ 3 = 2 5

b) Efectuar 2 3 • 5 18 − 3 24

Solución: Por prioridad en el orden de las operaciones, resolveremos primero

2 3 • 5 18 = 2 • 5 3 •18 = 10 54 = 10 32 • 3 • 2= 10 • 3 3 • 2= 30 6

3 24 = 3 22 • 2 • 3 = 3• 2 2 • 3 = 6 6

ambos resultados se restan

30 6 − 6 6 = 24 6

respuesta: 2 3 • 5 18 − 3 24 = 24 6

c) Efectuar 3 103 • 5 123( ) ÷ 5 53⎡⎣

⎤⎦ +

18

33

Solución:

resolvemos 3 103 • 5 123 = 3• 5 10 •123 = 15 1203

= 15 23 • 3 • 53

= 15 • 2 3 • 53

= 30 153

Este resultado se divide por 5 53

30 153 ÷ 5 53 =

305

15 ÷ 53 = 6 33

Sumemos este resultado con 18

33

6 33 + 1

8 33 = 48 + 1

8⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

33 = 498

33

respuesta:

3 103 • 5 123( ) ÷ 5 53⎡⎣

⎤⎦ +

18

33 =498

33

binomio conjugado

5 + 2( )

a)5

3 + 2=

5( 3 + 2 )

•( 3 − 2 )( 3 − 2 )

=5( 3 − 2 )

( 3 )2 – ( 2 )2

=5( 3 − 2 )

3 − 2=

5( 3 − 2 )1

= 5 3 − 5 2

b)3

2 − 7=

3(2 − 7 )

•(2 + 7 )(2 + 7 )

=3(2 + 7 )22 − ( 7 )2

=3(2 + 7 )

4 − 7=

3 (2 + 7 )− 3

= −(2 + 7 ) = −2 − 7

c)3

2( 5 − 2)=

3( 5 + 2)2( 5 − 2)( 5 + 2)

=3( 5 + 2)

2 ( 5 )2 − (2)2⎡⎣

⎤⎦

=3( 5 + 2)2(5 – 4)

=3( 5 + 2)

2 • 1

=3( 5 + 2)

22


124

d) Efectuar 150 ÷ 2( ) + 12 + 3 27( )⎡

⎣⎤⎦ • 8 3 = 384

Solución:

Por prioridad en el orden de las operaciones y uso de los paréntesis resolvemos:

1) 150 ÷ 2 = 150 ÷ 2 = 75 = 3• 52 = 5 3

2) 12 + 3 27 = 22 • 3 + 3 32 • 3 = 2 3 + 3• 3 3 =

2 3 + 9 3 = 11 3

Se suman ambos resultados

3) 5 3 + 11 3⎡⎣

⎤⎦ = 16 3

4) Multiplicamos el resultado obtenido entre los corchetes con 8 3

16 3 • 8 3 = 16 • 8 3 • 3 = 128 32 = 128 • 3 = 384

respuesta:

150 ÷ 2( ) + 12 + 3 27( )⎡⎣

⎤⎦ • 8 3 = 384

e) Efectuar 23a

– 2 32a

=− 23a

6a

Solución:

23a

− 2 32a

=2(3a)

3a(3a)− 2 3(2a)

2a(2a)=

6a9a2 − 2 6a

4a2 =1

3a 6a −

22a

6a =

1 3a

6a −1a

6a =6a − 3 6a

3a=

−2 6a3a

=− 23a

6a

respuesta: 23a

– 2 32a

=− 23a

6a

f) Efectuar 26 − 21312

Solución:

26 − 21312 = 26 • 2 − 21312

= 212 − 212 • 212

= 212 − 2 212

= − 212

respuesta: 26 − 21312 = − 212

Estimado estudiante: En estas opera-ciones hacemos uso de los productos notables; si usted tiene alguna dificultad con estos le sugiero que repase la se-mana novena del libro Ujarrás, página 165 y más.

g) Efectuar 3 + 5( )2

Solución:

3 + 5( )2 = 32 + 2(3) 5( ) + 5( )2

= 9 + 6 5 + 5 = 14 + 6 5

respuesta: (3 + 5)2 = 14 + 6 5


125

h) Efectuar a − b ( )2

Solución:

a − b ( )2= a( )2

− 2 a( ) b( ) + b( )2

= a + b − 2 ab

= a2 − 2 a b + b2

respuesta: ( a − b)2 = a + b − 2 ab

En los números reales se cumplen algunas propiedades:

amn = an( )m

i) Efectuar 34

2 25

32

−

34

2 −25

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=34

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

− 2 34

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+25

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=34

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2( )2− 2 3

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2( ) 3( ) +25

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3( )2

=9

1622 −

2 • 3 • 24 • 5

6 +425

• 32

=9

16• 2 −

2 • 3 • 2 64 • 5

+4 • 325

=1816

−1220

6 +1225

=98

+1225

−3 6

5

=321200

−35

6

respuesta: 34

2 −25

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=321200

−35

6

recuerde: ann = a

recuerde las propiedades que hemos estado haciendo uso en resolver estas operaciones con radicales.

PROPieDaD ejemPLO

bn = b1n 53 = 5

13

an • bn = abn 53 • 43 = 203

amn = amn 543 = 5

43

an

bn=

ab

n203

43= 53

anm = anm 543 = 512


126

an( )m= amn 53( )2

= 523 = 253

a • bn = anbn 5 • 23 = 53 • 23 = 2503

an( )n= a 53( )3

= 5

a xmn = amxm•n 2 x33 = 23 x2•3 = 8x6

ann = a 333 = 3

p a + q a = (p + q) a 4 a + 8 a = (4 + 8) a = 12 a

p a − q a = (p − q) a 8 3 − 7 3 = (8 − 7) 3 = 1 3

Como podemos apreciar, todo lo que se puede realizar con los radicales es innumerable, nosotros en los esquemas siguientes trabajaremos algunas de las operaciones. Veamos.


127

HaGamOS OPeRaciONeS cON RaDicaLeS

A. Sumemos o restemos los radicales siguientes

12 – 27 + 75

❖ Para sumar o restar radicales estos, primero deben convertirse en radicales semejantes.

12 = ____ = _____ 27 = ____ = _____ 75 = ____ = _____

12 2 27 3 75 3 6 2 9 3 25 5 3 3 3 3 5 5 1 1 1

❖ después de convertirlos en radicales semejantes, se utiliza la propiedad distributiva de la multipli-cación con respecto de la suma o la resta. Así:

( ___________ ) 3 = ( _______ ) 3 = ___ 3

B. Recuerde

Para sumar o restar radicales semejantes

1. Se expresa cada radical en su forma más simple o estándar.

2. Mediante la propiedad distributiva, se combinan radicales con igual subradical.

Luego 12 – 27 + 75 = ___________

aPaRtaDO 1


128

A. Más operaciones con radicales

a) 2 5 –1 5 = __________ 3 4

2 – 1 = __________ = __________ 3 4

b) 3 6 + 2 6 = __________ 4 5

3 + 2 = __________ = __________ 4 5

B. Recuerde

Para realizar operaciones con radicales, debemos utilizar todas las propiedades y reglas básicas de los números naturales, enteros, racionales e irracionales.

aPaRtaDO 2


129

1. Señale cuál de los grupos contiene radicales semejantes.

a) 3 2, -5 3

b) 5 5 2, 7 5 3

c) 7, -5 7

e) 4 6, 3 6

d) -7 2, 2

2. Compruebe que los grupos de radicales siguientes son radicales semejantes

a) 75; 2 48; -5 27 = _______

b) 3 8a; 4 18a; 2a = _______

c) – 3 24; -2 3 81; 3 3 = _______

d) x 147 m3; m 75x2m; x 48m3 = _______

3. Efectúe las sumas y restas inicadas.

a) 8 3 + 3 3 = ______

b) 7 5 – 18 5 = ______

c) 6 x + 7 x = ______

d) 9 x – 11 x = ______

e) 5 8 + 15 2 = ______

f) 3 27 – 2 3 = ______

g) 7 50 – 3 2 = ______

h) 45 – 20 = ______

i) 72 + 98 = ______

j) 45 + 80 = ______

aPaRtaDO 3

k) 2 10243 − 20003 = _______

l) 3 1893 + 6 4483 = _______

m) 243 + 813 = _______

n) 12

163 +13

2503 = _______

23

12

−57

−34

15


130

4. Efectuar las operaciones indicadas.

a) 6 x2 = ______

b) 10 x5 = ______

c) 12 x2 = ______

d) p17 = ______

e) 5 x7 = ______

f) a7b3 = ______

g) 7 6a2 b7 = ______

h) 5 2a6 b7 = ______

1. Escriba cada uno de los radicales siguientes como potencias de exponente fraccionario o como producto de potencias de exponentes fraccionarios.

a) 3 57 = ______

b) 6 a13 = ______

c) 3 m5 n5 = ______

d) 7 a8 b3 = ______

2. Escriba las expresiones siguientes, utilizando la notación radical.

a) 3 2/5 = _____

b) a11/7 = ______

c) (2a)1/3 = ______

d) (3x 2)1/4 = ______

e) (a + b)1/5 = ______

f) 32/3 m4/7 = ______

3. Simplifique. Suponga que los radicales están bien definidos.

e) 8 (3y – 2)2 = ______

f) 4 4 (x + 5)10 = ______

g) 250 y3 = ______

h) 225 x2 y3 = ______

aPaRtaDO 4

a) 17

7 −34

7 + 2 = ___________ d) 13

12 +14

16 = ___________

b) 23

6 + 5 −25

6 = ___________ e) 29

+13

1825

−249

= ___________

c) 3 83 − 163 + 233 = ___________ f) 0,04 − 2 0,01x + 3 0,16x = ___________


131

mULtiPLiQUemOS y DiViDamOS exPReSiONeS RaDicaLeS

A. Multiplique

a) 32 a2 b • 4 a3 b2 = 25 a2 b • 22 a3 b2

= 26 • 21 a4 • a1 b2 b1

= (23 a 2 b1)2 • 21 a1 b1

= (23 a2 b1)2 • 2ab

= 23 a2 b1 2ab

= 8 a2 b 2ab

b) 3 a • 5 b = 3•5 a5 • 5•3 b3

= 15 a5 15 b3

= 15 a5b3

3 5 3

1 5 5 índice común = 15

1 1

B. Recuerde:

Para multiplicar radicales es necesario que sean homo-géneos; es decir; deben poseer el mismo índice.

aPaRtaDO 1


132

A. divida y simplifique.

7 3 3

7 1 7 índice común= 21.

1 1

Multiplicamos 1 22

=

aPaRtaDO 2

c) 13 − 2

=1

3 − 2( )•

3 + 2( )3 + 2( )

= 3 + 23( )2

− 2( )2

=3 + 23 − 2

= 3 + 2

d) 2 xx − y

=2 xx − y( )

• x + y( )x + y( )

=2 x x + y( )

x( )2− y( )2

=2 x2 + 2 xy

x − y

=2x + 2 xy

x − y

=2 x + xy( )

x − y

a) a2b87

a5b33=

(a2b8 )37•3

(a5b3 )73•7=

a6b2421

a35b2121=

a6b24

a35b2121 =

b3

a2921 =

b3

a21 • a821 =

1a

b3

a821

b) 32

=32

• 22

= 3 • 24

= 62


133

1) Multiplique los radicales siguientes:

a) 2 • 5 = ________

b) 3 • 7 = ________

c) 4 a2 b • 4 a b2 = ________

d) 5 a2 b3 • 5 a b c3 = ________

e) 7 2 a b • 7 3 a2 b2 • 7 4 a b3 = ________

2) Multiplique y simplifique

a) 10 • 15 = ________

b) 14 • 2 = ________

c) 8 • 5 = ________

d) 6a • 8 b3 = ________

e) a3 b • 4 a2 b3 = ________

3) Homogenice cada conjunto de radicales.

a) 3 , 4 2 , 5 4 = ________

b) 2a , 3 3a , 4 4a = ________

c) 3 2 , 4 2 , 5 2 = ________

d) 2 , 3 3 , 4 4 = ________

aPaRtaDO 3


134

4) Multiplique

a) 3 3 • 4 2a = ________

b) 3 a • 4 a2 b • 5 b2 = ________

c) 3 2a • 4 4a • 5 2 b = ________

d) 3 a2 b • 4 a b5 = ________

5) Efectúe los productos siguientes y escriba el resultado en su forma estándar.

a) −12

5 • 14

20a = ______________

b) −35

a2b • −7 4

ab7 = ______________

c) 27

a2b7 • −45

a8b4 = ______________

d) 32

8a • −15

3a2b = ______________

e) −14

4a2b • −17

16b2 = ______________


135

1. divida y simplifique

2. racionalice

aPaRtaDO 4

g) 427

= ________

h) 14

= ________

i) 25

= ________

j) −19

= ________

k) −1

25= ________

l) 3070

= ________

3. racionalice el denominador

a) 13

= _____________

b) 83

= _____________

c) 125

= _____________

d) 35

= _____________

e) xy

= _____________

a) 23 3

= _____________

b) 3 66 2

= _____________

c) 5 23 5

= _____________

d) 3 155 32

= _____________

a) 4a53

2a3 = ____________

b) 80a2b3

10a2b6 = ____________

c) 48x3

3x = ____________

d) 30a5

5a = ____________

e) 36a5b2

b 6a= ____________

f) 98

= ____________


136

4. racionalice y simplifique

e)4 6

71263

= ________

f)

2332

= ________

g) 714

13

= ________

h) 55 3

= ________

a) 23 + 2

= _____________

b) 4 35 − 3

= _____________

c) 2 3a − b

= _____________

d) 3a + 2

= _____________

e) 45 + a

= _____________

f) 35 + 3

= _____________

g) 2 3 − 55 + 2 3

= ________

h) 3 + 25 − 3

= ________

i) 42 3 − 5 3

= ________

j) 3 53 5 − 5 3

= ________

k) 58 − 3

= ________

l) 3 +

+

22 1

= ________

137


estadísticaIniciamos esta semana sétima y octava en el libro de Matemá-

tica Zapandí con la definición de algunos conceptos elementales y básicos, y sin embargo pilares, para una comprensión intuitiva y real de lo que es la Estadística. Se pretende introducir al estimado estudiante en los primeros pasos sobre el uso y manejo de datos numéricos: distinguir y clasificar las características, enseñarle a organizar y tabular las medidas obtenidas mediante la construcción de tablas de frecuencia y por último los métodos para elaborar una imagen que sea capaz de mostrar gráficamente unos resultados (histogramas y polígonos de frecuencia)

El aserto “una imagen vale más que mil palabras” se puede aplicar al ámbito de la estadística descriptiva diciendo que “un gráfico bien elaborado vale más que mil tablas de frecuencias” Cada vez es más habitual el uso de gráficos o imágenes para representar la información obtenida. No obstante, debemos ser prudentes al confeccionar o interpretar gráficos, puesto que una misma información se puede representar de formas muy diversas, y no todas ellas son pertinentes, correctas o válidas.

Nuestro objetivo, en esta semana consiste en establecer los criterios y normas mínimas que deben verificarse para construir y representar adecuadamente los gráficos en el ámbito de la estadística descriptiva.

SEGUNdA UNidAd

SEMANAS SéTiMA y oCTAVAmatemática - EL MAESTro EN CASA

138

Objetivos:

1. Construir tablas de frecuencias absolutas y frecuencias relativas con variables con-tinuas para una mejor comprensión de los aspectos sociales que nos rodean.

2. Representar gráficamente la información tabulada en una tabla de frecuencias con variables continuas, en forma de histograma y de polígono de frecuencias.

3. Determinar de la información que proporcio-nan las tablas de frecuencia y los gráficos estadísticos correspondientes a variables continuas.

Contenidos:

- Tablas de frecuencia absoluta y frecuencia relativa con variables continuas.

- Histogramas y polígono de frecuencias absolutas y frecuencias relativas para variables continuas.

- Interpretación de la información brindada por tablas de frecuencia y gráficos estadís-ticos.S

EM

AN

AS

Sé

TiM

A y

oC

TA

VA

139


Cuando coloquialmente se habla de estadística, se suele pensar en una relación de datos numéricos presentada de forma ordenada y sistemática. Esta idea es la consecuencia del concepto popular que existe sobre este término y que cada vez está más extendido debido a la influencia de nuestro entorno, ya que hoy día es casi imposible que cualquier medio de difusión, bien sea el periódico, la radio, la televi-sión y otros no nos aborde diariamente con cualquier tipo de información estadística sobre accidentes de tráfico, índices de crecimiento de población, turismo, tendencias políticas, etc.

Sólo cuando nos adentramos en un mundo más específico como es el campo de la investigación, por ejemplo, de las Ciencias Sociales: Medicina, Biolo-gía, Psicología, etc. se empieza a percibir que la Estadística no sólo es algo más, sino que se convierte en la única herramienta que, hoy por hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio, cuyos movimientos y relaciones, por su variabilidad intrínseca, no puedan ser abordados desde la perspectiva de las leyes deterministas. Podríamos, desde un punto de vista más amplio, definir la estadística como la ciencia que estudia cómo debe emplearse la información y cómo dar una guía de acción en situaciones practicas que entrañan incertidumbre.

La Estadística se ocupa de los métodos y procedimientos para recoger, clasificar, resumir, hallar regularidades y analizar los datos, siempre y cuando la variabilidad e incertidumbre sea una causa intrínseca de los mismos; así como de realizar infe-rencias a partir de ellos, con la finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en su caso formular predicciones.

¿QUé eS La eStaDÍStica?

Podríamos por tanto clasificar la Estadística en descriptiva, cuando los resultados del análisis no pretenden ir más allá del conjunto de datos, e inferencial cuando el objetivo del estudio es derivar las conclusiones obtenidas a un conjunto de datos más amplio.

estadística descriptiva: describe, analiza y representa un grupo de

datos utilizando métodos numéricos y gráficos que resumen y presentan la información contenida en ellos.

estadística inferencial: Apoyándose en el cálculo de probabilidades y

a partir de datos muéstrales, efectúa estimaciones, decisiones, predicciones u otras generalizaciones sobre un conjunto mayor de datos.

conceptos básicos sobre estadísticaAnteriormente en la semana decimotercera

del libro de Matemática Ujarrás conocimos y estu-diamos estos conceptos, aquí nuevamente vamos a repasarlos debido a que haremos referencia continuamente de estos a lo largo de la semana quinta.

Población, elementos y variables estadísticas

Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que denominaremos población.


140

Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan elementos. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con exis-tencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo.

A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si consi-deramos como elemento a una persona, podemos distinguir en ella los siguientes caracteres:

Sexo, Edad, Nivel de estudios, Profesión, Peso, Altura, Color de pelo, Etc.

Luego por tanto de cada elemento de la po-blación podremos estudiar uno o más aspectos cualidades o caracteres que se llaman variables estadísticas.

La población puede ser según su tamaño de dos tipos:

t Población finita: el número de elementos que la forman es finito, por ejemplo el número de alumnos de una escuela primaria.

t Población infinita: el número de elementos que la forman es infinito, o tan grande que pudiesen considerarse infinitos. Como por ejemplo si se realiza un estudio sobre lo pro-ductos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas cualidades que esta población podría considerarse infinita.

Ahora bien, normalmente en un estudio esta-dístico, no se puede trabajar con todos los elemen-tos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma al que se llama muestra, es decir, un determinado número de elementos de la población.

Variables estadísticas

Como hemos visto, los caracteres de un ele-mento pueden ser de muy diversos tipos, por lo que los podemos clasificar en: dos grandes clases:

a) Variables cuantitativas

Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números.

Por ejemplo

El peso, la altura, la edad, número de hijos posibles: 0, 1,2, 3, 4, 5,…

A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:

t cuantitativas discretas.Son aquellas que pueden tomar solo ciertos valores en un in-tervalo, de manera que no admite un valor intermedio entre dos valores consecutivos fijos, por ejmplo el número de hermanos, páginas de un libro, etc.

t cuantitativas continuas: Son las variables que pueden medirse, cuantificarse o expre-sarse numéricamente, ellas admiten cualquier valor de rango numérico determinado (edad, peso, talla).

No obstante en muchos casos el tratamiento hace que a variables discretas las trabajaremos como si fueran continuas y viceversa.

b) Variables cualitativas

Las variables cualitativas son aquellos carac-teres que para su definición precisan de palabras, es decir, no le podemos asignar un número.

Por ejemplo

1. Supongamos que en una urna tenemos 20 bolas de color rojo, 15 de color azul y 18 de

141


color blanco. Sacamos una bola al azar, esto es sin mirar la urna. Si suponemos que la variable es “el color de la bola extraída de la urna”. Entonces los valores posibles de esta variable son el extraer {rojo, azul, blanco}.

2. El grupo sanguíneo tiene por modalidades: grupo sanguíneo A, grupo sanguíneo B, grupo sanguíneo AB y grupo sanguíneo o.

3. Si estudiamos el grado de recuperación de un paciente al aplicarle un tratamiento, podemos tener como modalidades:

Grado de recuperación: Nada, Poco, Modera-do, Bueno, Muy Bueno.

A veces se representan este tipo de variables en escalas numéricas, por ejemplo, puntuar el dolor en una escala de 1 a 5. debemos evitar sin em-bargo realizar operaciones algebraicas con estas cantidades. ¡Un dolor de intensidad 4 no duele el doble que otro de intensidad 2!

IMPORTANTE

Si la variable estadística es continua, y hay muchos valores entre sí, que en algunos casos se repiten, es conveniente agrupar estos valores de la variable estadística en intervalos para poder manejar la infor-mación de forma más cómoda. Para ello dividimos todos los valores de la variable estadística en n partes iguales, y cada uno de los intervalos obtenidos se les lla-ma intervalo de clase. La marca de clase (xi) es el punto medio de los intervalos de clase.

11. diga de las variables siguientes cuáles repre-

sentan datos discretos y cuales datos conti-nuos.

A. Censos anuales realizados por el iNEC (instituto Nacional de Estadística y Cen-so)

B. Temperaturas registradas del cráter del Volcán Arenal cada hora en una estación sismográfica.

C. Longitud de 20 000 llaves producidas en una fábrica.

d. Número de jabones vendidos en uno de los supermercados en el Cantón de Aserrí.

E. Las medidas de los diámetros de los torni-llos producidos en un día en una fábrica.

F. Las alturas de los estudiantes de una escuela.

G. El número de hijos en cada una de las familias que integran la Escuela Manuel Hidalgo Mora de Aserrí.

2. diga qué tipo de variables son:

A. X = Los países de Centroamérica.

B. T = Número de libros en uno de los es-tantes en la recepción de iCEr.

C. L = Número de litros de agua en una pis-cina.

d. M = El radio de un circulo.

E. N = El periodo de duración de los bulbos de televisión producidos por una compañía.

F. Ñ = El número de pedacitos de lotería vendidos cada día por don Alejandro.


142

3. indique si estamos tomando una muestra o toda la población en cada caso:

a) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos de los estudiantes del nivel Zapandí del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a los estudiantes del Zapandí C.

b) Para hacer un estudio sobre el número de hermanos y hermanas de los estudiantes del nivel Zapandí C del Liceo de Aserrí, se pregunta para esto a cada uno de los estudiantes de la clase.

4. diga en cada una de las siguientes situaciones, cuál es la variable y de qué tipo es (cualitativa, cuantitativa discreta o cuantitativa continua):

a) Tiempo de espera para entrar en la consulta de un médico.

b) Color favorito.

c) Número de veces al mes que van al cine los estudiantes de la Escuela de Barrio Corazón de Jesús de Aserrí.

d) Estatura de los recién nacidos en Costa rica durante el último año.

5. Clasifique cada una de las siguientes variables en cualitativas o cuantitativas. Si son cuan-titativas clasifíquelas a su vez en discretas o continuas.

a) ocupación

b) zona de residencia

c) peso

d) altura

e) número de automóviles que ha poseído

f) número de hermanos

g) número de empleados de una fábrica

h) peso en kg de los recién nacidos en un día en la provincia de Limón.

143


tabla de distribución de frecuenciaA menudo en una investigación se recogen

grandes cantidades de datos numéricos. Cuando esto ocurre es difícil visualizar un orden o estructura que ayude a analizarlos. Para lograrlo es necesario condensar los datos en grupos de acuerdo a ciertas di-visiones de la recta numérica (intervalos o clases).

Intervalo de clase: Intervalos empleados en las tablas de frecuencias estadísticas, capaz de contener diversas medidas de una variable. Consta de un límite inferior (Li) y un límite superior (Ls).

otro punto importante que el estadista debe definir, es la cantidad de intervalos de clase que empleará en la tabla de frecuencia. Esta cantidad de intervalos no deberían ser muchos, debido a que no se cumpliría el objetivo de resumir la información, y no tan pocos intervalos, ya que se perdería mucha información.

Aunque con esta agrupación la información inicial sobre cada dato individual se pierde, es más fácil visualizar rápidamente las características principales del grupo total de datos.

La frecuencia de un intervalo es el número de datos que corresponden a ese intervalo.

Una distribución de frecuencia es una tabla en la que aparecen todos los intervalos y las frecuen-cias de datos correspondientes a cada intervalo. Esta agrupación de datos numéricos por intervalos o clases se llama una distribución de frecuencia porque en ella se indica cuan frecuentemente aparecen datos en cada intervalo.

Aspectos importantes que se deben tener en cuenta cuando se crea una distribución de frecuencia

1. Rango o amplitud total (recorrido)

Es el límite dentro del cual están compren-didos todos los valores de la serie de datos, en otras palabras, es el número de diferentes valores que tome la variable en un estudio o investigación dada. Es la diferencia entre el valor máximo de una variable y el valor mínimo que ésta toma en una investigación cualquiera.

El rango es el tamaño del intervalo en el cual se ubican todos los valores que pueden tomar los diferentes datos de la serie de valores, desde el menor de ellos hasta el mayor estando incluidos ambos extremos. El rango de una distribución de frecuencia se designa con la letra r.

rango = Valor Máximo – Valor Mínimo

Observe:

El rango r gráficamente se puede interpretar de la manera siguiente:

2. clase o intervalo de clase

Son divisiones o categorías en las cuales se agrupan un conjunto de datos ordenados con características comunes. En otras palabras, son fraccionamientos del rango o recorrido de la serie de valores para reunir los datos que presentan valores comprendidos entre los límites.


144

Para organizar los valores de la serie de datos hay que determinar un número de clases que sea conveniente. En otras palabras, que ese número de intervalos no origine un número pequeño de clases ni muy grande. Un número de clases pe-queño puede ocultar la naturaleza de los valores y un número muy alto puede provocar demasiados detalles como para observar alguna información de gran utilidad en investigación.

Se recomienda que en una distribución de frecuencia no haya más de 15 ni menos de 5 intervalos.

No existe una fórmula, ni unos principios únicos para establecer el número de intervalos. Cuando sea necesario estableceremos el número de inter-valos NC calculando la raíz cuadrada del total de elementos considerados en el estudio.

Nc = n

Número de intervalos (Nc): Cantidad de intervalos con los cuales se compone una tabla de frecuencia.

3. Límites de los intervalos

El límite inferior de un intervalo corresponde al valor mínimo que puede incluirse en el intervalo. El límite superior de un intervalo corresponde al valor máximo que puede incluirse o no en el intervalo.

Por ejemplo:

a) Puntuaciones Frecuencia

200 – 299 2300 – 399 8400 – 499 6

En el ejemplo anterior 200 es el límite inferior y 299 es el límite superior del primer intervalo.

En este libro de Matemática Zapandí, agru-paremos los datos de variable continuas en clases o intervalos que incluyen todos los valores desde un número dado hasta otro número pero excluyendo a este número. Además aquí optaremos por manejar un número de intervalos solo entre 5 y 15.

b) Peso Frecuencia

100 – bajo 120 5120 – bajo 130 8130 – bajo 140 6

Lo representaremos así:

Peso Frecuencia100 – 120 5120 – 130 8130 – 140 6

En el ejemplo anterior 100 es el límite inferior y 120 es el límite superior del primer intervalo.

4. tamaño de los intervalos de clase

Los intervalos de clase pueden ser de tres tipos según el tamaño que estos presentan en una distribución de frecuencia:

a) clases de igual tamaño

b) clases desiguales de tamaño

c) clases abiertas

5. amplitud de los intervalos (a)

Se refiere al tamaño que debe tener cada intervalo de clase.

Para determinar la amplitud (A) de los intervalos de una distribución se divide la amplitud o alcance

145


de la distribución: rango (r) entre el número de intervalos (Nc).

A =rNc

El conjunto de intervalos debe incluir todos los datos.

No debe haber traslapo de intervalos.

6. Distribución de frecuencia absoluta

En la tabla de frecuencia absoluta se señala, para cada intervalo o clase, la cantidad de datos cuyos valores pertenecen al intervalo.

7. Distribución de frecuencia relativa

La frecuencia relativa es la razón que se obtiene al dividir la frecuencia absoluta de un intervalo entre el número total de datos en la distribución.

t La frecuencia relativa se puede expresar como una proporción o como un por ciento.

t La distribución de frecuencia relativa es esen-cial para comparar datos de dos distribuciones diferentes.

t Si la frecuencia relativa del intervalo se multi-plica por 100 se obtiene el por ciento corres-pondiente a dicho intervalo.

Por lo general, en las publicaciones no es-pecializadas, se utiliza más la frecuencia relativa expresada en por cientos que en proporciones.

Ejemplo 1

Un sondeo realizado en la facultad de Admi-nistración de una universidad del país sobre 30 alumnos del sexto semestre de Administración industrial, pretende mostrar que edad es la más representativa.

Las edades de los alumnos fueron:

17 17 19 19 3121 18 27 21 2224 19 25 24 2423 20 29 21 1921 22 21 20 2019 19 23 20 21

Construya una tabla de distribución de fre-cuencias absolutas y relativas que resuma los resultados obtenidos.

Solución:

PaSO 1: ordenamos la información en forma creciente

17 17 18 19 1919 19 19 19 2020 20 20 21 2121 21 21 21 2222 23 23 24 2424 25 27 29 31

PaSO 2: determinar el número de intervalos (Nc)

Como tenemos 30 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número (Nc = n )

Nc = n

(Nc = 30 = 5,477 ≅ 6 intervalos)

Se debe siempre aproximar el número de intervalos al entero más próximo, recordando que este valor no será menor a 5, ni un valor mayor a 15. Nuestra tabla estará constituida por seis intervalos.

PaSO 3: determinar el ancho de cada inter-valo.

Antes de hallar el ancho de los intervalos de clase, debemos calcular el rango (r) como primera medida.

observando la tabla tenemos que el termino me-nor es 17 y el mayor 31 (r = 31 – 17 = 14).


146

Con el rango y el número de intervalos, po-dremos hallar el ancho:

A =rNc

=146

A = 2,333

El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados. Como los datos son valores enteros, aproximamos al entero superior

A ≅ 3

El ajuste del ancho no podrá ser menor al valor obtenido inicialmente.

PaSO 4: determinar el nuevo rango (r’).

En el momento de realizar el ajuste del ancho del intervalo, el rango se incrementa automáticamente. Este “Nuevo rango” lo denotaremos como r’:

r’ = A • Nc

r’ = 3 • 6 = 18

Nuevo Rango ( R’): rango que es con-venido por el ancho de los intervalos a los decimales que son manejados en los datos objeto del estudio. Su cálculo se realiza multiplicando el ancho ajustado por el número de intervalos:

r’ = A • Nc

El rango se incremento en cuatro años. El incremento se le sumará al valor Máximo (Xmax’) o se restará al valor Mínimo (Xmin’). En este caso optaremos por aumentar el valor Máximo y reducir el valor Mínimo en dos.

incremento = r’ – r = 18 – 14 = 4

(Xmax’) = 31 + 2 = 33

(Xmin’) = 17 - 2 = 15

PaSO 5: determinar los intervalos de clases iniciales.

Con los valores máximos y mínimos, y el ancho, podremos armar cada intervalo de clase. El primer intervalo parte del valor mínimo, al cual le agregamos el ancho.

Ni Li Ls1 15 18

El segundo intervalo parte del límite superior del intervalo anterior

Ni Li Ls1 15 182 18 21

•••

Seguimos realizando este proceso hasta al-canzar el valor máximo:

Ni Li Ls1 15 182 18 213 21 244 24 275 27 306 30 33

IMPORTANTE:

Observe que esta primera distribución pre-senta algunos inconvenientes al momento de repartir las frecuencias a cada intervalo de clase, por ejemplo, existen 6 personas del total de encuestados que tienen una edad de 21 años, los cuales podrían ser clasificados en el intervalo dos o en el tres.

Ni Li Ls2 18 213 21 24

147


Este caso se le conoce como el “Problema de la ambigüedad”, y el cual debe ser soluciona-do antes de terminar la tabla de frecuencia.

En este libro de Matemática Zapandí rea-lizaremos lo siguiente:

Se trabajan con intervalos cuyos límites superiores e inferiores tendrán un decimal adicional sobre el número de decimales manejados en los datos.

Por ejemplo, si el Límite Superior del primer intervalo es 21 y los datos trabajados son valores enteros, el nuevo límite superior será 21,1. Si los datos trabajan con un decimal, el nuevo Límite Superior sería 21,01.

El primer límite Inferior (Valor Mínimo) y el último límite Superior (Valor Máximo) se mantendrán sin modificación.

El problema quedaría solucionado de la si-guiente manera:

Ni Li Ls2 18,1 21,13 21,1 24,1

Las seis personas que tienen 21 años queda-rían registradas en el intervalo número 2.

PaSO 6: determinar los intervalos de clases reales.

Ni Li Ls1 15,0 18,12 18,1 21,13 21,1 24,14 24,1 27,15 27,1 30,16 30,1 33,0

PaSO 7: Cuando ya se tiene definidos quienes son los intervalos reales, por conteo, y ayudán-donos con la tabla obtenida en el PASo 1, obte-nemos la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, o sencillamente clase.

Estimado estudiante.

Este procedimiento de conteo, lo estudia-mos en el libro de Matemática Ujarrás.

Si posee alguna duda ahí puede volver a repasarlo.

Ni Li Ls conteo1 15,0 18,1 ///2 18,1 21,1 //// //// //// /3 21,1 24,1 //// //4 24,1 27,1 //5 27,1 30,1 /6 30,1 33,0 /

PaSO 8: La columna de frecuencias absolutas se completa de acuerdo al conteo obtenido en el PASo 7.

Ni Li Ls Fa1 15,0 18,1 32 18,1 21,1 163 21,1 24,1 74 24,1 27,1 25 27,1 30,1 16 30,1 33,0 1

Total 30

observe que el número total de datos corres-ponde a 30.


148

PaSO 9: La columna de frecuencias relativas se completa de acuerdo a la información ob-tenida en el PASo 8.

recuerde que la frecuencia relativa de cada clase se obtiene dividiendo la frecuencia ab-soluta por el número total de datos, en este caso N = 30.

Ni Li Ls Fa Fr1 15,0 18,1 3 3 ÷ 30 = 0,102 18,1 21,1 16 16 ÷ 30 = 0,533 21,1 24,1 7 7 ÷ 30 = 0,234 24,1 27,1 2 2 ÷ 30 = 0,075 27,1 30,1 1 1 ÷ 30 = 0,036 30,1 33,0 1 1 ÷ 30 = 0,03

Total 30 1,00

PaSO 10: respuesta: la tabla de frecuencias ab-solutas, frecuencias relativas es la siguiente:

Ni Li Ls Fa Fr1 15,0 18,1 3 0,102 18,1 21,1 16 0,533 21,1 24,1 7 0,234 24,1 27,1 2 0,075 27,1 30,1 1 0,036 30,1 33,0 1 0,03

Total 30 1,00

2. ejemplo de cálculo con frecuencias

Calcular los datos que faltan en la siguiente tabla:

Li Ls fa fr0 10 60 f1

10 20 n2 0,4020 30 30 f330 40 n4 0,1040 50 n5 f5

total N = 200

Solución:

Sabemos que el total de los datos N es igual al total de observaciones, luego N = 200.

a) calculemos f1

Como f1 corresponde a la frecuencia relativa

de la primera clase, f1 =60200

= 0,30

b) calculemos n2

Como n2 corresponde a la frecuencia absoluta del segundo intervalo de clase,

n2

200= 0,40

n2 = 200 • 0,40n2 = 80

c) calculemos f3

Como f3 corresponde a la frecuencia relativa del tercer intervalo de clase,

f3 =30200

= 0,15

d) calculemos n4

Como n4 corresponde a la frecuencia absoluta del cuarto intervalo de clase,

n4

200= 0,10

n2 = 200 • 0,10n4 = 20

e) calculemos n5

n5 corresponde a la frecuencia absoluta del quinto intervalo de clase, puesto que

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 200 donde n1 = 60,

n2 = 80, n3 = 30, n4 = 20

149


se tiene que 60 + 80 + 30 + 20 + n5 = 200

190 + n5 = 200

n5 = 200 – 190 n5 = 10

f) calculemos f5

f5 corresponde a la frecuencia relativa del quinto intervalo de clase, puesto que

f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 1 donde f1 = 0,30,

f2 = 0,40; f3 = 0,15, f4 = 0,10

se tiene que

0,30 + 0,40 + 0,15 + 0,10 + f5 = 1,00

0,95 + f5 = 1,00

f5 = 1,00 – 0,95

f5 = 0,05

La tabla completa corresponde a

Li Ls fa fr0 10 60 0,3010 20 80 0,4020 30 30 0,1530 40 20 0,1040 50 10 0,05

total N = 200

Recuerde:

tablas de datos

Tabular datos consiste en confeccionar una tabla en la que aparecen bien organizados los valores de la variables que se están estudiando, junto con otros datos que ahora explicamos:

t Frecuencia absoluta fa es el número de individuos que toma cada valor.

t Frecuencia relativa fr =faN , resulta-

do de dividir la frecuencia absoluta entre el total de la población.

Representaciones gráficasHemos visto que la tabla de distribución de

frecuencias resume los datos que disponemos de una población, de forma que ésta se puede analizar de una manera más sistemática y resumida. Para darnos cuenta de un solo vistazo de las caracterís-ticas de la población resulta aún más esclarecedor el uso de gráficos y diagramas, cuya construcción abordamos en esta semana 5.

Nosotros en esta semana sétima y octa-va del libro de Matemática Zapandí sólo vamos a construir gráficos para variables cuantitativas continuas.

Gráficos para variables cuantitativas

Para las variables cuantitativas, se conside-ran dos tipos de gráficos, en función de que para realizarlos se usan las frecuencias (absolutas o relativas) a saber:

Diagramas diferenciales: Son aquellos en los que se representan frecuencias absolutas o relati-vas. En ellos se representa el número o porcentaje de elementos que presenta una modalidad dada.

Diagramas integrales: Son aquellos en los que se representan el número de elementos que presentan una modalidad inferior o igual a una dada. Se realizan a partir de las frecuencias acu-muladas, lo que da lugar a gráficos crecientes, y


150

es obvio que este tipo de gráficos no tiene sentido para variables cualitativas.

Según hemos visto existen dos tipos de varia-bles cuantitativas: discretas y continuas.

Veamos a continuación las diferentes repre-sentaciones gráficas que se pueden realizar para cada una de ellas así como los nombres específicos que reciben.

Estimado estudiante:

Según hemos visto existen dos tipos de variables cuantitativas: discretas y conti-nuas. En esta semana sétima y octava del libro de Matemática Zapandí sólo vamos a considerar el tipo de gráficos para variables continuas en función de que para realizar-los se usen las frecuencias (absolutas o relativas) los cuales corresponden a los diagramas diferenciales.

construcción y análisis de histogramas

En muchas ocasiones la información proporcio-nada en una tabla de distribución de frecuencias es tan singular o importante que se decide presentar esos resultados de forma gráfica. Cuando se decide utilizar el gráfico, este sustituye a la tabla, no la complementa. Por ello no se deben tener tantos gráficos como tablas. Como se presenta sólo uno de los dos se acostumbra reflejar la información numérica en el gráfico para que no sea necesa-ria la tabla correspondiente. incluso, un número innecesariamente grande de gráficos le puede restar lucidez al trabajo en lugar de proporcio-narle calidad o rigor científico. Se debe lograr un balance entre estas dos formas de presentación de resultados.

Los histogramas son una forma sencilla de mostrar datos que se han recolectado para su análisis, a partir de hojas de verificación u hojas de registro, o simplemente a partir de registros convencionales de datos.

El objetivo básico de un histograma es transmitir la información de forma tal que pueda ser captada rápidamente, de un golpe de vista. Luego, un histograma debe ser ante todo sencillo y claro, a pesar de su aspecto artístico, ya que se elabora para ser incluido en un trabajo científico.

Este tipo de gráfico se usa para representar una distribución de frecuencias de una variable cuantitativa continua.

método de elaboración del histograma

1. obtener una muestra y los valores de la va-riable que se estudia. Mínimo 30 datos. Es recomendable utilizar una hoja de registros.

2. Calcular el rango o amplitud de los datos (diferencia entre el mayor y el menor de los datos).

3. determinar el ancho de cada intervalo que servirá para construir el histograma. Se ob-tiene dividiendo el rango calculado en el paso anterior en el número de intervalos:

c =

rNc

.

4. A cada barra corresponde un intervalo de clase o “clase”.

Es recomendable que el histograma tenga de 5 a 15 barras. Una buena aproximación del número de intervalos aconsejable se obtiene calculando la raíz cuadrada del número de datos.

151


Se aconseja que el tamaño o amplitud de inter-valo tenga un grado de aproximación no mayor a aquel con el que se registran los datos.

5. Establecer los límites o fronteras de cada clase, es decir, los valores de inicio y terminación de cada intervalo.

6. Construir la tabla de frecuencias. La tabla de frecuencias se puede construir de diferentes formas pero hay que tener en cuenta que el primer intervalo debe contener el menor de los datos y el último el mayor. Asimismo, la presen-tación de los datos en la tabla de frecuencias no debe generar confusiones acerca del intervalo que contiene cada dato. En lo posible, todos los intervalos deben tener el mismo ancho.

7. Es usual que en la primera columna se registre el número de orden de cada clase, en la se-gunda se escriban los intervalos, en la tercera las marcas de clase en la cuarta las frecuen-cias absolutas y en la quinta las frecuencias relativas.

8. Graficar el histograma. En lo posible dar una presentación tal que la altura sea aproxima-damente ¾ del ancho de la gráfica.

El histograma de frecuencias en sí es una sucesión de rectángulos construidos sobre un sistema de coordenadas cartesianas de la manera siguiente:

t Las bases de los rectángulos se localizan en el eje horizontal, eje X. La longitud de la base es igual al ancho del intervalo.

t Las alturas de los rectángulos se registran sobre el eje vertical, eje y y corresponden a las frecuencias de las clases.

t Las áreas de los rectángulos son proporcio-nales a las frecuencias de las clases.

t Los histogramas pueden estar referidos a las frecuencias absolutas, a las frecuencias rela-tivas o porcentuales.

El análisis de sus características nos puede con-ducir a diferentes conclusiones acerca de la población de la cual se ha tomado la muestra en estudio.

ejemplo 1

En una Clase de Matemática se pesan todos los estudiantes para realizar una práctica de es-tadística. Los datos obtenidos se resumen en la siguiente tabla y están expresados en kg.

66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51

58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61

62 60 56 55 62 65

calcule:

a) El tamaño de la población.

b) Construya una tabla estadística asociada con intervalos de amplitud de 3 kg.

c) Construya el histograma de frecuencias abso-lutas asociado a esta tabla.

d) Construya el histograma de frecuencias rela-tivas asociado a esta tabla.

Solución:

a) El tamaño de la población es 30.

b) Para construir una tabla estadística de dis-tribución absoluta o simple en intervalos de amplitud 3 kg necesita

PaSO 1. Se ordenan los datos de la tabla de va-lores en forma creciente. Ver tabla siguiente:

49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 58

59 59 60 60 61 61 62 62 62 64 65 65

66 66 68 69 69 72


152

El Valor inferior es 49 y el Valor superior es 72.

PaSO 2: Construimos los intervalos con una amplitud de 3 kg (este es un dato previo), así, no olvidemos que el valor inferior es 49 y el valor superior es 72.

intervalos49 - 5252 – 5555 – 5858 – 6161 – 6464 – 6767 – 7070 – 73

PaSO 3. observando la tabla de valores del PASo 1 y los intervalos construidos en el PASo 2, podemos construir la columna de fre-cuencias absolutas de los intervalos de clase.

n Los datos 49 51 están en el intervalo 49 – 52.

n Los datos 53 53 54 están en el in-tervalo 52 – 55, observe que el 55 queda afuera, recuerde, antes se combino para este libro de Matemática Zapandí que el extremo superior del intervalo no es un valor de este.

n Los datos 55 56 56 57 57 están en el intervalo 55 – 58.

.

.

. Procediendo de igual manera completamos la

siguiente tabla con las frecuencias absolutas.

intervalos Frecuenciaabsoluta

49 - 52 252 – 55 355 – 58 558 – 61 661 – 64 564 – 67 567 – 70 370 – 73 1

Total 30

PaSO 4. de igual manera, observando la tabla de valores del PASo 1 y la tabla de frecuencias absolutas construidas en el PASo 3, podemos construir la columna de frecuencias relativas de los intervalos de clase.

recuerde que para obtener las frecuencias relativas debemos realizar la división de la frecuencia absoluta entre el total de datos, en este caso es N = 30.

intervalosFrecuencia

absolutaFrecuencia

relativa

49 - 52 2 2 ÷ 30 = 0,06752 - 55 3 3 ÷ 30 = 0,10055 - 58 5 5 ÷ 30 = 0,16758 - 61 6 6 ÷ 30 = 0,20061 - 64 5 5 ÷ 30 = 0,16764 - 67 5 5 ÷ 30 = 0,16767 - 70 3 3 ÷ 30 = 0,10070 - 73 1 1 ÷ 30 = 0,033Total 30 1,00

importante: Cuando el propósito de la tabla que estamos creando es construir un polígono asociado a ella, necesitamos la columna de las marcas de clase o puntos medios de los interva-

153


los. Para las marcas de clase solo se necesita la columna de los intervalos. Pero como todo está junto, la vamos a colocar después de la columna de las frecuencias relativas.

inte

rval

os

Frec

uenc

iaab

solu

ta

Frec

uenc

iare

lativ

a

mar

cas

de

cla

se49 – 52 2 0,067 49 + 52

2= 50,5

52 – 55 3 0,10052 + 55

2= 53,5

55 – 58 5 0,16755 + 58

2= 56,5

58 – 61 6 0,20058 + 61

2= 59,5

61 – 64 5 0,16761+ 64

2= 62,5

64 – 67 5 0,16764 + 67

2= 65,5

67 – 70 3 0,10067 + 70

2= 68,5

70 – 73 1 0,03370 + 73

2= 71,5

realizando lo anterior, tenemos que la tabla de frecuencias estadística asociada es la siguiente:

taBLa 1: Peso (en kg) de los estudiantesde una clase de Matemática

intervalos Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

marcas de clase

49 - 52 2 0,067 50,552 – 55 3 0,100 53,555 – 58 5 0,167 56,558 – 61 6 0,200 59,561 – 64 5 0,167 62,564 – 67 5 0,167 65,567 – 70 3 0,100 68,570 – 73 1 0,033 71,5

Total 30 1,000

c) El histograma de frecuencias absolutas asociado a la distribución de la Tabla 1 es el siguiente:

Observe:

Habitualmente se representa la frecuencia observada en el eje y, esto es, la información reunida en la columna de las frecuencias ab-solutas, la escala vertical o eje y generalmente comienza en cero.

Frecuenciaabsoluta

2

3

5

6

5

5

3

1

30

En el eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje hori-zontal, el eje X o escala horizontal puede iniciarse con cualquier número adecuado que convenga como punto de partida para iniciar clases.

La escala del eje correspondiente a la variable se rotula con los límites inferiores de notación de las clases consideradas y se agrega al final el que le correspondería a una clase subsiguiente inexis-tente. En este caso, las frecuencias deben resultar proporcionales no a la altura de las barras, sino al área de las mismas, lo que significa que la obtención de las alturas de las barras resulta un poco más compleja que en los gráficos anteriores.


154

Recuerde:

Un histograma se emplea para ilustrar mues-tras agrupadas en intervalos. Está formado por rectángulos unidos a otros, cuyos vérti-ces de la base coinciden con los límites de los intervalos y el centro de cada intervalo es la marca de clase, que representamos en el eje de las abscisas, eje X. La altura de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia del intervalo respectivo.

d) El histograma de frecuencias relativas asociado a la distribución de la tabla 1 es el siguiente.

observe, en el eje y, se coloca la información reunida en la columna de las frecuencias re-lativas expresadas en porcentajes.

FrecuenciaRelativa (%)

6,710,016,720,016,716,710,03,3

100,0

En el eje X, se coloca la variable, usualmente miden la amplitud de los intervalos de clase, o bien, los límites de cada clase aparecen en el eje horizontal.

ejemplo 2:

El siguiente dibujo corresponde a un histo-grama de frecuencias absolutas de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el eje vertical o eje y, la frecuencia absoluta.

Gráfico 1: Histograma de frecuencias absolutas

Peso (en kg) de los estudiantes de una clasede Matemática

Escala 3 : 2 Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta

Gráfico 2: Histograma de frecuencias relativas porcentuales

Peso (en kg) de los estudiantes de una clasede Matemática

Escala 3 : 2 Peso (kg)

Frec

uen

cia

rela

tiva


Edades (años) de los obreros de una fábrica

Edades (años)

Frec

uen

cia

abso

luta

155


ejemplo 3:

El siguiente dibujo corresponde a un histograma de frecuencias relativas porcentuales de las edades de 30 obreros de una fábrica, observe que en el eje horizontal se tiene como ancho de lo rectángulos el extremo inferior y el extremo superior de los distintos intervalos de clase y en el eje vertical o eje y, la frecuencia de los datos dados en porcentajes.

Polígonos de frecuenciaSe utiliza, al igual que el histograma, para re-

presentar distribuciones de frecuencias de variables cuantitativas continuas, pero como no se utilizan barras en su confección sino segmentos de recta, de ahí el nombre de polígono. Habitualmente se usa cuando se quiere mostrar en el mismo grá-fico más de una distribución o una clasificación cruzada de una variable cuantitativa continua con una cualitativa o cuantitativa discreta, ya que por la forma de construcción del histograma sólo se puede representar una distribución.

Para su confección, una vez construidas y rotu-ladas las escalas, de manera a como se realiza para un histograma, los valores de alturas obtenidos se marcan sobre el punto medio o marca de clase de los intervalos correspondientes y luego se procede a unir esos puntos con segmentos de recta.

Para elaborar un polígono de frecuencia parti-mos de una tabla de frecuencia dada. Al igual que

con los histogramas: histograma de frecuencias absolutas e histogramas de frecuencias relativas, también se tiene polígonos de frecuencias abso-lutas y polígonos de frecuencias relativas.

ejemplo 1:

El siguiente polígono que construiremos es un polígono de frecuencias absolutas.

Consideremos la Tabla 2 sobre la velocidad (kg/h en una zona escolar:

Li Ls Frecuenciaabsoluta

marcas de clase

2,0 6,1 12 4,16,1 10,1 15 8,1

10,1 14,1 21 12,114,1 18,1 24 16,118,1 22,1 21 20,122,1 26,1 12 24,126,1 30,0 8 28,1

Total 113

PaSO 1: Para crear el polígono de frecuencias absolutas primero se debe crear el histograma de fre-cuencias absolutas de acuerdo a la Tabla 2 anterior:

Observe que ya lo tenemos construido, usted debe seguir todos los pasos que ya estudiamos anteriormente.

Gráfico 4: Histograma de frecuencias relativas porcentuales

Edades (años) de los obreros de una fábrica

Edades (años)

Frec

uen

cia

rela

tiva


Velocidad (km/h) en zona escolar

Velocidad (km/h)

Frec

uen

cia

abso

luta


156

PaSO 2: Trazar los segmentos de recta entre los puntos medios de los techos de columnas contiguas, partiendo desde el punto de origen (0,0) hasta el punto final definido en el eje horizontal

PaSO 3: Nuestro polígono de frecuencias sin el histograma quedaría de la siguiente forma:

características de los polígonos de frecuenciast No muestran frecuencias acumuladas

t Se prefiere para el tratamiento de datos cuan-titativos.

t El punto con mayor altura representa la mayor frecuencia.

t Suelen utilizarse para representar tablas de datos agrupados.

t El área bajo la curva representa el 100% de los datos.

t El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las columnas.

Consideremos la siguiente porción de un gráfico cualquiera para probar la anterior afirmación.

“El polígono de frecuencia está diseñado para mantener la misma área de las co-lumnas”.

observe que cada línea corta una porción de la columna, pero a su vez, agrega una porción adicional. Ambas porciones son iguales (triángulos rectángulos iguales), manteniendo el área global en el gráfico.

Gráfico 5.1: Polígono e histograma de frecuencias absolutas

Velocidad (km/h) zona escolar

Velocidad (km/h)

Frec

uen

cia

abso

luta

Gráfico 5.2: Polígono de frecuencias absolutas

Velocidad (km/h) zona escolar

Velocidad (km/h)

Frec

uen

cia

abso

luta

157


imPORtaNte:

Para representar el polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, suponemos que adya-centes a estos rectángulos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia nula, que se unen por una línea recta a los puntos del histograma correspondiente a las marcas de clase. observe el dibujo siguiente, el polígono de frecuencias tiene en común con el histograma el que las áreas de las gráficas sobre un intervalo son idénticas. Considere ambas gráficas diferenciales representadas en la parte superior de la figura siguiente:

ejemplo 2:

Considere la Tabla 3 de frecuencias que correspon-de al peso en kilogramos de 65 personas adultas:

taBLa 3: Peso en kilogramosEjemplo de ilustración

intervalos marcas declase

Frecuenciaabsoluta

50 – 60 55 860 – 70 65 1870 – 80 75 1680 – 90 85 14

90 – 100 95 10100 – 110 110 5110 – 120 115 2

Total : 65

Construir un polígono de frecuencias absolutas.

Solución:

PaSO 1: Para construir un polígono de fre-cuencias, se debe construir primero el histograma de frecuencias absolutas, no olvide, debemos suponer un rectángulo al inicio y adyacente a los obtenidos, también al final de los rectángulos con frecuencias nulas.

PaSO 2: En el histograma construido, marca-mos los puntos medios de los rectángulos, inclu-yendo los adyacentes a los dibujados de acuerdo con la tabla de frecuencias.


Peso (en kilogramos) de 65 personas adultas

Peso (kg)

Frec

uen

cia

rela

tiva

10

Gráfico 6: Histograma y polígono de frecuencias absolutas

Peso (en kilogramos) Nacimientos de bebés durante el mes de mayo en el Hospital de la Mujer

Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta

Gráfico 7.1: Histograma y polígono de frecuencias


Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta


158

PaSO 3: La respuesta debe ser dada retirándole los triángulos y dejando solo los segmentos que unen los puntos medios de los intervalos de clase.

Recuerde:

Un polígono de frecuencias es una gráfica de líneas de una distribución de frecuen-cias, en donde para el eje horizontal se anota las marcas de clase y en el eje vertical la frecuencia absoluta o relativa. También un polígono de frecuencias pue-de formarse colocando un punto sobre la mitad de la cúspide de cada rectángulo del histograma y luego uniendo dichos puntos por medio de una línea). Este representa curvas útiles para describir los datos.

1. Escriba el significado de cada una de las si-guientes palabras:

❖ Clase

❖ intervalo de clase

❖ Límites de Clase

❖ Marca de Clase

❖ Frecuencia de clase

❖ rango o recorrido

❖ Frecuencia absoluta

❖ Frecuencia relativa

2. Los siguientes puntajes representan el número de tomates rechazados en un día en un mer-cado mayorista. Los puntajes corresponden a 50 días seleccionados aleatoriamente.

29 58 80 35 30 23 88 49 35 97

12 73 54 91 45 28 61 61 45 84

83 23 71 63 47 87 36 8 94 26

95 63 86 42 22 44 88 27 20 33

28 91 87 15 67 10 45 67 26 19

❖ Construya una tabla de frecuencias con 9 clases.

❖ Construya un histograma de frecuencias ab-solutas que corresponde a la tabla anterior.

3. La siguiente tabla registra la temperatura máxima en una ciudad durante 20 días.

temperatura (°c)

FrecuenciaFa

27 – 29 230 – 32 633 – 35 836 – 38 4

2

Gráfico 7.2: Polígono de frecuencias


Peso (kg)

Frec

uen

cia

abso

luta

159


¿Cuál es el histograma correspondiente a la tabla anterior? Seleccionar entre a, b y c.

a)

b)

c)

4. En una clase se pesan todos los alumnos y los datos obtenidos en kilogramos se resumen en la siguiente tabla.

66 59 53 65 72 64 62 69 56 54 57 51

58 69 57 60 53 61 58 66 49 59 68 61

62 60 56 55 62 65

Calcule:

a) El tamaño de la población.

b) Construye una tabla estadística asociada.

c) Construya el polígono de frecuencias asociado a esa tabla.

5. organice los datos siguientes en intervalos de 10 cm desde 150 a 200.Construya una tabla de frecuencias y elabore un polígono de frecuencias simple:

171 158 150 185 186 178 166 185 199183 175 173 175 164 173 178 179 164176 159 190 173 189 163 156 169

Resumiendo:

El análisis de la distribución de frecuencias en las variables cuantitativas continuas tiene el interés de que las categorías mediante las que se ordena la distribución no viene determinado por la variable, sino que debe elegirse. El primer paso para cons-truir la tabla de la distribución de frecuencias es dividir el recorrido (conjunto de posibles valores de la variable)en clases o intervalos (preferentemente que no se solapen). Al punto central de cada un de estos recorridos lo llamaremos marcas de clase y lo representamos por mc.

Frec

uen

cia

abso

luta

Temperatura (°C)

Frec

uen

cia

abso

luta

Temperatura (°C)

Frec

uen

cia

abso

luta

Temperatura (°C)


160

inte

rval

o

cat

egor

ías

de la

var

iabl

e

Frec

uenc

ia

abs

olut

a

Freu

enci

a R

elat

iva

l0, l1 Mc1 n1 f1 =n1

N… … … …

lf–1, lj Mcj nj fj =nj

N… … … …

lk–1, lk Mck nk fk =nk

NN 1

La marca de clase queda fijada por Mc =Li + Ls

2

donde Li es el límite inferior del intervalo y Ls es el límite superior del intervalo.

Se llama amplitud del intervalo a la cantidad de unidades del recorrido de la variable que contiene un intervalo.

161


aPaRtaDO 1

UNa taBLa De FRecUeNcia

A. Construya una tabla de frecuencia con la siguiente tabla de datos:

96,65 118,94 353,18 831,52 170,72 136,76546,56 949,14 717,34 189,10 226,96 888,39376,43 97,94 72,06 897,99 510,13 774,02358,48 835,14 146,19 992,42 722,36 56,06718,43 869,57 251,83 473,74 253,90 852,44859,76 950,77 742,90 243,41 558,50 965,75705,55 461,15 167,49 174,51 919,39 784,0173,16 673,45 137,28 490,94 87,95 763,32

731,09 235,69 927,49 43,07 224,61 829,01

SOLUcióN

PaSO1: debemos ordenar la tabla de datos en forma creciente

43,07 56,06 72,06 73,16 87,95 96,6597,94 118,94 136,76 137,28 146,19 167,49

170,72 174,51 189,10 224,61 226,96 235,69243,41 251,83 253,90 353,18 358,48 376,43461,15 473,74 490,94 510,13 546,56 558,50673,45 705,55 717,34 718,43 722,36 731,09742,90 763,32 774,02 784,01 829,01 831,52835,14 852,44 859,76 869,57 888,39 897,99919,39 927,49 949,14 950,77 965,75 992,42

PaSO 2: determinar el número de intervalos (Nc).

Como tenemos 54 datos vamos a calcular la raíz cuadrada de este número (Nc = n )

Nc = n

(Nc = 54 = 7,348 ≅ 8 intervalos)


162

PaSO 3: determinar el ancho de cada intervalo.

Pero antes debemos determinar el rango como primera medida utilizando

Xmax = 992,42

Xmin = 43,07

r = 992,42 – 43,07 = 949,35

Con el rango y el número de intervalos, podremos hallar el ancho:

A =rNc

=949,35

8A = 118,67

El ancho se debe ajustar para trabajar con el mismo número de decimales que en el conjunto de datos tratados, son dos decimales.

A ≅ 118,67

PaSO 4: determinar el nuevo rango (r’).

Como el ancho fue ajustado, se procede a hallar el nuevo rango (r’).

r’ = A • Nc

r’ = 118,67 • 8 = 949,36

El incremento entre el nuevo rango (r’) y el rango inicial (r), se reparte entre el valor mínimo y el valor máximo.

incremento = r’ – r = 949,36 – 949,35 = 0,01

(Xmax’) = 992,42 + 0,005 = 992,425

(Xmin’) = 43,07 – 0,005 = 43,065

163


PaSO 5: determinar los intervalos de clases iniciales.

observe con atención lo siguiente:

t La columna Ni nos indica el número del intervalo o clase, para este caso lo vamos a incluir, pero no necesariamente se hace todo el tiempo.

t El colocar la columna Li y la columna Ls en algunos casos es relativamente más cómoda.

t Seguidamente se dará la información de los intervalos de clase iniciales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente.

PaSO 6: determinar los intervalos de clases reales.

Observe

El límite inferior 43,065 (valor Mínimo) y el último límite Superior 992,425 (Valor Máximo) se deben mantener sin modificación.

Como el límite superior del primer intervalo de los intervalos originales es 161,735 (tiene tres decimales) para crear el primer intervalo de clases reales, se debe agregar un cuarto decimal uno, así: 161,7351 y al límite inferior del primer intervalo real, siempre manteniéndolo sin cambios se le agrega un cero, así: 43,0650, por esto el intervalo en la tabla inicia así:

Ni Li Ls1 43,0650 161,7351

Haciendo el mismo procedimiento creamos el último intervalo de clases reales así:

8 873,7551 992,4250

Ni Li Ls1 43,065 161,7352 161,735 280,4053 280,405 399,0754 399,075 517,7455 517,745 636,4156 636,415 755,0857 755,085 873,7558 873,755 992,425

intervalos43,065 – 161,735

161,735 – 280,405280,405 – 399,075399,075 – 517,745517,745 – 636,415636,415 – 755,085755,085 – 873,755873,755 – 992,425


164

Estos son los intervalos de clase reales en dos presentaciones, ambas son equivalentes, usted puede seleccionar la que le parezca más conveniente.

Paso 7: determinar las frecuencias absolutas.

Para obtener la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase, se realiza el conteo de los datos ubicados en la tabla de datos que pertenecen en dicho intervalo.

Ni Li Ls fa1 43,0650 161,7351 142 161,7351 280,4051 73 280,4051 399,0751 34 399,0751 517,7451 45 517,7451 636,4151 26 636,4151 755,0851 77 755,0851 873,7551 98 873,7551 992,4250 8

total 54

Paso 8: determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas.

Para obtener la frecuencia relativa dividimos el total de los datos por la frecuencia absoluta de cada intervalo de clase.

Ni Li Ls fa fr1 43,0650 161,7351 14 0,262 161,7351 280,4051 7 0,133 280,4051 399,0751 3 0,064 399,0751 517,7451 4 0,075 517,7451 636,4151 2 0,046 636,4151 755,0851 7 0,137 755,0851 873,7551 9 0,178 873,7551 992,4250 8 0,15

total 54 1,00

Ni Li Ls1 43,0650 161,73512 161,7351 280,40513 280,4051 399,07514 399,0751 517,74515 517,7451 636,41516 636,4151 755,08517 755,0851 873,75518 873,7551 992,4250

intervalos43,0650 - 161,7351 161,7351 - 280,4051280,4051 - 399,0751399,0751 - 517,7451517,7451 - 636,4151636,4151 - 755,0851755,0851 - 873,7551873,7551 - 992,4250

165


Paso 9: determinar las frecuencias absolutas, frecuencias relativas y marcas de clases.

Para obtener la marca de clase de cada intervalo se suma el límite inferior y el límite superior, al resultado de esta suma se le divide por dos.

Ni Li Ls fa fr mc1 43,0650 161,7351 14 0,26 102,402 161,7351 280,4051 7 0,13 221,073 280,4051 399,0751 3 0,06 359,674 399,0751 517,7451 4 0,07 339,745 517,7451 636,4151 2 0,04 577,086 636,4151 755,0851 7 0,13 704,827 755,0851 873,7551 9 0,17 814,428 873,7551 992,4250 8 0,15 933,09

total 54 1,00

imPORtaNte

La marca de clase es el representante de un intervalo, y corresponde al punto medio entre los extremos de este.

aPaRtaDO 2

Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla de frecuencias que se muestra a continuación.

clase Frecuencia(fa)

Frecuenciarelativa porcentual (%)

45 – 55 4 355 – 65 16 1165 – 75 36 2475 – 85 60 4085 – 95 31 2095 – 105 0 0105 – 115 3 2

Totales 150 100,00


166

Con base en la información de la tabla anterior conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Cuántos obreros fueron consultados?

respuesta:

b) ¿Cuántos obreros emplean entre 65 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

respuesta:

c) ¿Cuántos obreros emplean entre 55 y 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

respuesta:

d) ¿Cuántos obreros emplean entre 95 y 105 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

respuesta:

e) ¿Cuántos obreros emplean más de 85 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

respuesta:

f) ¿Cuántos obreros emplean menos de 75 minutos en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

respuesta:

g) ¿Cuál es el porcentaje de los obreros que duran más tiempo en trasladarse de su domicilio al lugar de trabajo?

respuesta:

167


1. Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencias que indica el tiempo de duración efectivo de una muestra de 400 Cd’S. Si se establece que el número de intervalos son 9, complete la columna de frecuencias relativa y la columna de marcas de clase.

DURacióN (Horas) NUmeRO De cD’S FrecuenciasRelativas

marcas declase

300 - 400 14

400 - 500 46

500 - 600 58

600 - 700 76

700 - 800 68

800 - 900 62

900 - 1000 48

1000 - 1100 22

1100 - 1200 6

ToTAL: 400

determine:

A.- Límite superior de la quinta clase.

B.- Limite inferior de la octava clase.

C.- Marca de clase de la sétima clase.

d.- Límites reales de la última clase.

E.- Tamaño del intervalo de clase.

F. Frecuencia de la cuarta clase.

G.- Frecuencia relativa de la sexta clase.

aPaRtaDO 3


168

2. El gerente de una agencia bancaria, de acuerdo a un estudio del tiempo de espera de los clientes, antes de ser atendidos por parte de los cajeros, obtiene para un día laborable cualquiera la siguiente información:

tiempo de espera(en minutos) N. de clientes

10 14 814 18 2018 22 3222 26 4026 30 2430 34 16

Total 140

Construya la columna de las marcas de clase y la frecuencia relativa.

3. La siguiente información se refiere a una muestra de 120 componentes electrónicos y su duración.

DURacióN (en miles de horas)

Nº de componentes

10 15 815 20 2420 25 4425 30 2830 35 16

Total 120

Construya la tabla de distribución de frecuencias relativas

4. Las horas de estudio que 50 universitarios dedicaron a la preparación de un examen fueron:

25, 16, 42, 8, 36, 25, 19, 14, 12, 18, 21, 36, 46, 24, 18, 26, 31, 42, 26, 16, 5, 29, 14, 20, 26, 19, 32, 45, 28, 17, 34, 28, 9, 15, 24, 40, 36, 32, 23, 25, 35, 35, 26, 18, 7, 22, 17, 12, 16, 32

Agrupe los datos en cinco intervalos, y construye una tabla de frecuencias porcentuales.

5. Los siguientes valores corresponden a los índices de productividad de 20 establecimientos:

45,0 55,0 48,9 40,5 42,8

52,0 49,0 52,5 51,7 50,0

50,0 56,5 57,0 52,0 45,0

49,0 44,3 41,0 59,2 46,3

169


a) ¿Cuál es el valor extremo inferior? respuesta: _____________________________

b) ¿Cuál es el valor extremo superior? respuesta: _____________________________

6. La siguiente tabla muestra de distribución de frecuencia de los salarios ( en miles de colones) de los 110 obreros de una fábrica.

Salarios(en miles de colones)

Número de obreros

800 – 899 10900 – 999 13

1000 – 1099 171100 – 1199 211200- 1299 221300 – 1399 151400 – 1499 91500 – 1599 3

Total 110

CoNTESTE:

a) La frecuencia porcentual correspondiente a la segunda clase es:

A) 50

B) 12

C) 55

b) La frecuencia relativa correspondiente a la quinta clase es:

A) 22

B) 0,02

C) 0,2

c) El valor medio o marca de clase correspondiente a la sexta clase es:

A) 1399

B) 1300

C) 1349,5


170

7. Considere la siguiente tabla de frecuencias:

Ni Lm Ls Fa Fr(%) mc1 21,20 29,21 5 12,50 25,212 29,21 37,21 2 5,00 33,213 37,21 45,21 10 25,00 41,214 45,21 53,21 7 17,50 49,215 53,21 61,21 12 30,00 57,216 61,21 69,21 3 7,50 65,217 69,21 77,20 1 2,50 73,21

Total 40 100,00

a) ¿Cuál es el rango?

b) ¿Cuál es el límite superior del sexto intervalo?

8. debido a un grave accidente, el gerente de una compañía consultora perdió información de un estudio de mercado que realizó a una importante compañía a nivel nacional de gaseosas. Solo se conoce algunos datos parciales sobre una entrevista que se elaboró a 150 personas.

Nc Lm Ls Fa Fr mc1 0,0 2,1 242 2,1 4,1 0,2463 4,1 6,14 6,1 8,15 8,1 10,1 86 10,1 12,1 0,1077 12,1 14,0 13,05

Total 150 1,00

reconstruya la tabla de frecuencia.

a) ¿Cuántas personas toman 4 gaseosas o menos por semana?

b) ¿Cuántas personas toman 6 gaseosas a 12 por semana?

171


9. En una revisión se ha pesado a un grupo de 50 alumnos, con los resultados (en kilos) que se expo-nen en el cuadro. Complete la tabla de frecuencias.

10. Las estaturas (en centímetros) de los socios de un club de jóvenes, son las siguientes:

153 123 129 132 147 138 137 134 131 147138 128 134 148 125 139 146 145 148 135152 128 146 143 138 138 122 146 137 151145 124 132 138 144 141 137 146 138 146152 136 160 159 157 150 160 142 148 130

Con los datos de esta tabla, construya una tabla de distribución de frecuencias con 6 intervalos.

11. A partir de la siguiente tabla de frecuencias con datos parciales:

Ni Li Ls Fa Fr(%) mc1 10 14 52 14 18 23 18 22 104 22 26 75 26 30 12

Total 36

a) Calcule las frecuencias: Fr(%) y Mc .

b) ¿Calcule el rango?

53 61 71 63 5866 65 54 67 7664 43 62 55 8158 72 60 61 7269 64 56 68 6360 50 62 45 6754 71 52 70 6170 61 65 56 7457 56 63 64 5973 69 66 74 48

intervalos Frecuencias42,5 - 47, 547,5 - 52, 552,5 - 57, 557,5 - 62, 562,5 - 67, 567,5 - 72, 572,5 - 77, 577,5 - 82, 5

Total


172

aPaRtaDO 4

1. Los siguientes datos corresponden a la temperatura medida en grados Celsius durante tres semanas en el distrito de Lourdes de Montes de oca de la provincia de San José en cierta época del año.

1º semana 14,9 14,3 15,2 22,8 16,8 19,0 18,72º semana 19,8 21,0 18,3 19,1 21,5 22,4 22,13º semana 20,9 20,6 18,8 18,9 17,2 16,1 15,6

Con base en el cuadro anterior, complete la siguiente tabla de frecuencias relativas.

temperatura (enGrados celsius) marca de clase Frecuencia

absolutaFrecuencia

relativa14,75 3

15,5 – 17,02

28,620,75

21,5 – 23,0Total 21 100%

2. La tabla muestra una distribución de frecuencias de la duración de 400 bombillos de una fábrica.

Duración (horas) Número de tubos300 – 400 14400 – 500 46500 – 600 58600 – 700 76700 – 800 68800 – 900 62900 – 1000 481000 – 1100 221100 – 1200 6

Total N = 400

Completar la tabla para luego determinar:

a) Límite superior de la quinta clase.

b) Límite inferior de la octava clase.

173


c) Marca de clase de la sétima clase.

d) Tamaño del intervalo de clase.

e) Frecuencia de la cuarta clase.

f) Frecuencia relativa de la sexta clase.

3. Antes de construir una presa sobre un río, se efectuaron una serie de pruebas para medir el flujo de agua que pasa por el lugar de la presa. Los resultados de las pruebas se usaron para preparar la siguiente distribución de frecuencia:

Flujo del río(miles de galones

por minuto)Frecuencia

1001 – 1051 71051 – 1101 211101 – 1151 321151 – 1201 491201 – 1251 581251 – 1301 411301 – 1351 271351 – 1401 11

Total 246

Con los datos de la tabla anterior construya una distribución de frecuencias relativas.

4. Los siguientes datos corresponden a la duración real, en años, de 21 baterías para automóvil, los cuales tienen una garantía de 3 años otorgada por el fabricante:

3,6 2,3 3,1 3,7 4,1 1,7 3,4 3,7 4,7 3,3 3,9 2,6 4,8 3,9 3,3 2,9 3,5 4,4 4,0 3,2 3,8

Con base en esta información complete la siguiente tabla y luego conteste lo que se pide:

intervalo de clase marca de clase Frecuenciade clase

Frecuencia de clase relativa

1,50 - 2,12 1,812,12 - 2,74

3,053,36 - 3,98 3,673,98 - 4,604,60 - 5,22 4,91

Totales


174

5. La siguiente tabla muestra las alturas (en centímetros) de todo el personal del iCEr (profesores y administrativos).

1,81 1,76 1.21 1,58 1,66 1,65 1,69

1,69 1,62 1,16 1,24 1,71 1,65 1,60

1,50 1,66 1,50 1,21 1,64 1,50 1,83

1,55 1,75 1,44 1,68 1,54 1,64 1,93

1,61 1,56 1,40 1,84 1,60 1,71 1,67

1,75 1,62 1,52 1,74 1,51 1,50 1,63

1,69 1,34 1,53 1,66 1,61 1,73 1,61

1,83 1,30 1,45 1,67 1,66 1,65 1,60

1,45 1,31 1,41 1,61 1,38 1,77 1,57

1,58 1,31 1,28 1,69 1,61 1,68 1,60

represente en una tabla lo siguiente:

a) La distribución de frecuencias absolutas.

b) La distribución de frecuencias relativas.

175


aPaRtaDO 1

A. Se tiene la siguiente distribución de frecuencias de los salarios (por 1000 colones) de los 65 obreros de una compañía purificadora de agua.

SaLaRiOS (por 1000 colones) NÚmeROS De OBReROS

¢50,00 - ¢59,95 8

¢60,00 - ¢69,95 10

¢70,00 - ¢79,95 16

¢80,00 - ¢89,95 14

¢90,00 - ¢99,95 10

¢100,00 - ¢109,95 5

¢110,00 - ¢119,95 2

ToTAL: 65

Construya la columna de frecuencias relativas y la columna de las marcas de clase faltantes y luego conteste:

1.- El límite inferior de la sexta clase.

2:- El límite superior de la cuarta clase.

3.- La marca de clase de la tercera clase.

4.- Los límites reales de la quinta clase.

5.- Tamaño del quinto intervalo de clase.

6.- Frecuencia de la tercera clase.

7.- Frecuencia relativa de la tercera clase.

8.- intervalo de clase que tiene mayor frecuencia.

B. Construya un histograma de frecuencias absolutas.

C. Construya un histograma de frecuencias relativas.

d. Construya un polígono de frecuencias absolutas.

E. Construya un polígono de frecuencias relativa.

HiStOGRamaS y POLÍGONOS De FRecUeNciaS


176

Solución:

1. columna de las frecuencias relativas.

Para obtener las frecuencias relativas (fr) se divide la frecuencia absoluta (fa) del intervalo de clase (número de obreros) por el total de de los obreros N= 65

SaLaRiOS (por 1000 colones)

NÚmeROS De OBReROS

FRecUeNciaS ReLatiVaS

(en tanto por ciento)

¢50,00 - ¢59,95 8865

= 0,123 = 12,3%

¢60,00 - ¢69,95 101065

= 0,154 = 15,5%

¢70,00 - ¢79,95 16 24,6¢80,00 - ¢89,95 14 21,5¢90,00 - ¢99,95 10 15,4

¢100,00 - ¢109,95 5 7,70¢110,00 - ¢119,95 2 3,10

ToTAL: 65 ToTAL: 100,00%

2. columna de las marcas de clase.

Para obtener las marca de clase (mc) se suman los extremos inferior y superior de los intervalos de clase y luego se divide por dos.

SaLaRiOS(por 1000 colones)

NÚmeROSDe OBReROS

FRecUeNciaSReLatiVaS

(en tanto por ciento)marcas de

clase

¢50,00 - ¢59,95 8 12,3%50 + 59,95

2= 55

¢60,00 - ¢69,95 10 15,5%50 + 69,95

2= 65

¢70,00 - ¢79,95 16 24,6% 75¢80,00 - ¢89,95 14 21,5% 85¢90,00 - ¢99,95 10 15,4% 95

¢100,00 - ¢109,95 5 7,70% 105¢110,00 - ¢119,95 2 3,10% 115

ToTAL: 65 100,00%

respuesta 1: El límite inferior de la sexta clase (¢100,00 - ¢109,95) es ¢100,00.

177


respuesta 2: El límite superior de la cuarta clase (¢80,00 - ¢89,95) es ¢89,95.

respuesta 3: La marca de clase de la tercera clase (¢70,00 - ¢79,95) es 12

(¢70,00 + ¢79,95) = 74,95 . En la práctica se redondea a ¢75,00.

respuesta 4:

Límite real inferior de la quinta clase: 12

(¢90,00 + ¢89,95) = 89,975

Límite real superior de la quinta clase: 12

(¢99,95 + ¢100,00) = 99,975

respuesta 5: Tamaño del quinto intervalo de clase (¢90,00 – ¢99,95) es igual al límite real superior de la quinta clase menos límite real inferior de la quinta clase es igual ¢99,975 – ¢89,975 = ¢10,00.

respuesta 6: La frecuencia de la tercera clase ¢70,00 - ¢79,95 es 16

respuesta 7: La frecuencia relativa de la tercera clase ¢70,00 - ¢79,95 es 1665

= 0,246 = 24,6%

respuesta 8: El intervalo de clase que tiene mayor frecuencia es ¢70,00 – ¢79,95.

Recuerde:

Cuando tengamos que dibujar polígonos de frecuencia debemos crear la columna de las marcas de clase

B. Un histograma de frecuencias absolutas.

Frec

uen

cia

abso

luta


178

C. Un histograma de frecuencias relativas en porcentajes.

d. Un polígono de frecuencias absolutas.

E. Un polígono de frecuencias relativas.

2

55 65 75 85 95 105 115

5

8

10

FREC

UEN

CIA

SALARIOS ( en colones )

16

14

20

179


aPaRtaDO 2

A. En el siguiente conjunto de datos, se proporcionan los pesos (redondeados) a libras de niños y niñas nacidos en cierto intervalo de tiempo:

4 8 4 6 8 6 7 7 7 810 9 7 6 10 8 5 9 6 37 6 4 7 6 9 7 4 7 68 8 9 11 8 7 10 8 5 77 6 5 10 8 9 7 5 6 5

a) Construir una tabla de distribución de frecuencia absoluta de estos pesos.

b) Luego encontrar las frecuencias relativas

c) Construir un histograma de frecuencias relativas con los datos de las partes a) y b).

d) ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras?

Solución:

a) Antes de comenzar a construir la tabla de frecuencias debemos ordenar los datos en forma creciente:

3 4 4 4 4 5 5 5 5 5

6 6 6 6 6 6 6 6 6 7

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 8 8 8 8 8 8 8 8 8

9 9 9 9 9 10 10 10 10 11

A través del estudio de los histogramas y de los polígonos de frecuencias se ha dicho que para encontrar el ancho de los intervalos primeramente debemos encontrar el Rango realizando la resta del límite mayor y del límite menor del intervalo y luego lo dividimos por la raíz cuadrada del número de datos de la muestra de estudio. Esto es lo que se debe hacer, pero en algunos libros nos dicen cuantos intervalos y el ancho que se debe usar. Esto también es posible puesto que depende del grado de confiabilidad que se desee del estudio estadístico.


180

Vamos a construir una columna con los 5 intervalos de clase reales y amplitud de 2 y la columna de las frecuencias absolutas.

intervalos Fr(%)

2,0 4,1 10%4,1 6,1 28%6,1 8,1 42%8,1 10,1 18%

10,1,1 12,0 2%Total 100

b) A la tabla anterior, vamos a unirle la columna de las frecuencias relativas.

intervalos Fa Fr(%)

2,0 4,1 5 10%4,1 6,1 14 28%6,1 8,1 21 42%8,1 10,1 9 18%

10,1,1 12,0 1 2%Total 50 100

c) Construcción del histograma de frecuencias relativas

d) interpretación del gráfico: Se puede observar que la mayor cantidad de niños tuvieron un peso de 6 a 7 libras.

Además, se utiliza un histograma en lugar de un gráfico de barras porque la variable peso es una variable cuantitativa continua. A los efectos de facilitar los cálculos se la redondea, pero su naturaleza igual sigue siendo cuantitativa continua.

181


aPaRtaDO 3

1. Analice el histograma siguiente donde se especifican los años de servicio del personal docente y administrativo de una escuela.

a) ¿Cuántos docentes y administrativos posee la escuela?

b) ¿Cuántos de ellos llevan más de 20 años de laborar?

2. A partir de los siguientes datos, construya una tabla de frecuencia absolutas que contenga 7 inter-valos de clase, para los siguientes datos:

31,2 44,3 31,819,0 59,9 87,966,1 5,4 47,996,6 36,5 74,042,7 10,6 56,087,7 11,7 30,15,3 11,7 31,451,2 67,0 46,860,7 29,6 55,667,0 32,1 82,281,2 75,5 91,040,4 42,4 31,826,6 70,1 30,46,4 19,1 77,657,3 62,1 40,9

Además, construya un histograma de frecuencias absolutas.


182

3. Se les preguntó a los obreros de una fábrica cuánto tiempo empleaban para trasladarse desde su domicilio al lugar de trabajo. Con los datos obtenidos se construyó la tabla que se muestra a conti-nuación.

clase Frecuencia Frecuenciaporcentual (%)

45 – 55 4 3

55 – 65 16 10

65 – 75 36 24

75 – 85 60 40

85 – 95 31 21

95 – 105 0 0

105 – 115 3 2

Totales 150 100

Construya un histograma de frecuencias absolutas (histograma de frecuencias) y un histograma de frecuencias porcentual (%).

4. Utilizando el siguiente histograma, complete en la tabla de frecuencias relativas dada, la columna de marcas de clase y dibuje un polígono de frecuencias.

intervalos marca de clase

Frecuencia(Fa)

30 - 40 640 - 50 1850 - 60 7660 - 70 7070 - 80 2280 - 90 8

Total 200

Frec

uenc

ia ab

solu

ta

HISTOGRAMA Y POLÍGONO DE FRECUENCIAS ABSOLUTAS

183


5. En una empresa se vienen reprogramando los tiempos de salida y llegada de sus autobuses. En particular se tiene el problema de determinar el tiempo de recorrido entre dos ciudades; para ello se acude a los archivos de los últimos tres meses y se toman aleatoriamente una muestra de 35 tiempos de recorridos entre tales ciudades. Los datos, en horas, se muestran a continuación:

3.49 3.59 3.69 3.42 3.31 3.60 3.58 3.54 3.52 3.04 3.69 3.483.66 3.57 3.51 3.61 3.40 3.53 3.61 3.61 3.24 3.63 3.61 3.513.50 3.57 3.53 3.67 3.51 3.24 3.70 3.70 3.50 4.40 3.58

a) realice un histograma de frecuencias absolutas y describa lo que se perciba en él.

b) Establezca el tiempo máximo de los 35 datos de la muestra. ¿Eso significa que el tiempo máximo que hicieron los autobuses en los últimos tres meses fue ese valor? Argumente.

6. Considere el siguiente histograma y complete la siguiente tabla de frecuencias.

intervalo Frecuencia marca de clase Frecuenciarelativa


184

aPaRtaDO 4

7. Complete la tabla de frecuencias relativas porcentuales a partir del siguiente histograma.

intervalo de clase

marca de clase

Frecuencia relativa

porcentual (%)

1. Se ha controlado el peso de 50 recién nacidos, obteniéndose los siguientes resultados:

Peso (en kg) Número de niños2,5 – 3,0 63,0 – 3,5 233,5 – 4,0 124,0 – 4,5 9

Total 50

A. Construya una tabla de frecuencias relativas.

Grafique:

B.- El histograma de frecuencias absolutas

C.- Un polígono de frecuencias relativas.

185


Solución:

A. Tabla de frecuencias relativas.

B. Histograma de frecuencias absolutas.

C. Un polígono de frecuencias relativas.

Peso (en kg) fa fr2,5 – 3,0 6 6 ÷ 50 = 0,120 = 12%3,0 – 3,5 23 23 ÷ 50 = 0,460 = 46%3,5 – 4,0 12 12 ÷ 50 = 0,240 = 24%4,0 – 4,5 9 9 ÷ 50 = 0,180 = 18%

Total 50 50 ÷ 50 = 1,00 = 100%

Peso (en kg) fa fr2,5 – 3,0 6 12%3,0 – 3,5 23 46%3,5 – 4,0 12 24%4,0 – 4,5 9 18%

Total 50 100%

POLÍGONO

Nú

mer

o d

e n

iño

s


186

2. En una finca productora de papas en Tierra Blanca de Cartago se realiza un análisis sobre la pro-ducción anual del año anterior. Este mostró los siguientes resultados:

a) ¿Cuáles son los cuatro meses de mayor producción?

b) ¿A qué porcentaje equivalen los tres meses de menor producción?

c) ¿Qué recomendación haría?

3. El siguiente gráfico corresponde a la precipitación anual.

Con base en la información suministrada:

a) ¿En cuales años se dieron las mayores precipitaciones?

b) ¿Cuál fue el promedio de precipitación anual en los 10 años mostrados?

c) Elabore una tabla de distribución de frecuencias absolutas que resuma el gráfico anterior.

187


4. En una pequeña finca ganadera guanacasteca se han registrado 52 nacimientos en ocho meses, como se describe a continuación:

a) ¿Cuál es el mes con mayores nacimientos?

b) ¿Cuál el menor número de nacimientos que se registró en un solo mes?

c) Elabore una tabla de frecuencias relativas y otra de frecuencias absolutas.

5. En una determinada empresa se realiza un estudio sobre la calidad de su producción. La distribución siguiente informa sobre el número de piezas defectuosas encontradas en 100 cajas examinadas con 50 unidades cada una de ellas:

N. de piezas defectuosas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10N. de cajas 6 9 10 11 14 16 16 9 4 3 2

Construya el polígono de frecuencias absolutas.

6. A partir de los siguientes datos, construya la correspondiente tabla de frecuencia y grafique:

6,42 66,49 72,7192,64 49,55 37,3364,86 9,80 36,3314,97 42,92 19,6013,22 5,32 85,4566,85 77,37 93,43

a) Un histograma

b) Un polígono de frecuencia.


188

7. A continuación se dan los resultados obtenidos con una muestra de 50 colegiales. La característica es el tiempo de reacción ante un estímulo auditivo:

0,110 0,110 0,126 0,112 0,117 0,113 0,135 0,107 0,122

0,133 0,098 0,122 0,105 0,103 0,119 0,100 0,117 0,113

0,124 0,118 0,132 0,108 0,115 0,120 0,107 0,123 0,109

0,117 0,111 0,012 0,101 0,112 0,111 0,119 0,103 0,100

0,108 0,120 0,099 0,102 0,129 0,115 0,121 0,130 0,134

0,118 0,106 0,128 0,094 0,114

a) ¿Cuál es la amplitud total de la distribución de la distribución de los datos?

b) obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas.

c) dibuje el polígono de frecuencias relativas.

8. La siguiente tabla muestra los diámetros en pulgadas de nuestra muestra de 60 cojinetes de bolas fabricadas por una compañía.

0,738 0,729 0,743 0,740 0,736 0,741 0,735 0,731 0,726 0,737

0,728 0,737 0,736 0,735 0,724 0,733 0,742 0,736 0,739 0,735

0,745 0,736 0,742 0,740 0,728 0,738 0,725 0,733 0,734 0,732

0,733 0,730 0,732 0,730 0,739 0,734 0,738 0,739 0,727 0,735

0,735 0,732 0,735 0,727 0,734 0,736 0,732 0,741 0,736 0,744

0,732 0,737 0,731 0,746 0,735 0,735 0,729 0,734 0,730 0,740

Construir una tabla de distribución de frecuencias relativas de los diámetros utilizando intervalos de clase, luego construya

a) Un histograma de frecuencias absolutas.

b) Un histograma de frecuencias relativas.

c) Un polígono de frecuencias absolutas.

d) Un polígono de frecuencias relativas.

189


9. La tabla muestra la cantidad de material radiactivo que se encuentra en el suelo de áreas recupera-das de minas de fosfato. Las mediciones de las cantidades de uranio 238 es 25 muestras fueron las siguientes (medidas en picocuries por gramo).

0,74 6,47 1,90 2,69 0,750,32 9,99 1,77 2,41 1,961,66 0,70 2,42 0,54 3,363,59 0,37 1,09 8,32 4,064,55 0,76 2,03 5,70 10,00

Constrúyase un histograma de frecuencias relativas con estos datos y su respectivo polígono de frecuencias relativas.

10. Se ha preguntado a los pacientes que han acudido un determinado día a la Clínica de Aserrí acerca del tiempo (en minutos) que han pasado en la sala de espera antes de entrar en la consulta. Se obtuvieron los siguientes valores:

28 4 12 35 2 26 45 22 6 2327 16 18 32 8 47 8 12 34 1528 37 7 39 15 25 18 17 27 15

a) Construya una tabla de frecuencias agrupando estos datos en los siguientes intervalos:

0 - 10, 10 - 20, 20 - 30, 30 - 40, 40 - 50

b) represente los datos mediante un histograma de frecuencias absolutas.

11. En el siguiente conjunto de números, se proporcionan los pesos (redondeados a la libra más próxi-ma) de los bebés nacidos durante un cierto intervalo de tiempo en un hospital:

4,8,4,6,8,6,7,7,7,8,10,9,7,6,10,8,5,9,6,3,7,6,4,7,6,9,7,4,7, 6,8,8,9,11,8,7,10,8,5,7,7,6,5,10,8,9,7,5,6,5.

a. Construir una distribución de frecuencias de estos pesos.

b. Encontrar las frecuencias relativas porcentuales.

c. dibujar un histograma con los datos de la parte a.

d. ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar de una gráfica de barras.


190

12. Un investigador médico desea conocer la eficacia de un tratamiento de diálisis en cuanto al mejo-ramiento de los niveles de calcio en pacientes renales que concurren habitualmente a cierta unidad hospitalaria.

Para ello midió los niveles de calcio de una muestra de 49 pacientes antes del tratamiento en cues-tión. Las mediciones obtenidas fueron las siguientes:

98 109 97 106 99 100 96 105 90100 91 96 97 90 90 103 101 9993 102 96 98 102 99 103 94 7283 77 81 84 83 86 82 81 8185 83 91 82 89 87 87 82 7375 86 88 87

a) identificar la variable en estudio, a qué tipo pertenece.

b) Construya una tabla de frecuencias para las mediciones efectuadas, considere 10 intervalos de amplitud 4.

c) Calcule todas las frecuencias aprendidas

d) Grafique la distribución, histograma y polígono de frecuencias absolutas.

e) Extraiga las conclusiones que pueda obtener.

Estimado amigo estudiante, la siguiente es una posible interpretación considerando tanto el histo-grama como el polígono de frecuencia.

interpretación:

Se puede observar que hay una frecuencia absoluta que muestra un valor máximo del nivel de calcio, ya que tanto 10 pacientes tienen niveles de calcio entre 96 y 100. Sí se podría decir que aproxima-damente el 81% de los pacientes tienen niveles de calcio superiores a 80. En esta resolución se tomó la decisión de trabajar con 10 intervalos de longitud 4 cada uno, pero el alumno puede haber construido intervalos de distinta amplitud, ya que la cantidad de intervalos d clase es subjetiva.

191

SEMANA NoVENAmatemática - EL MAESTro EN CASA

GeometríaLa importancia del triángulo en la técnica y también en la geometría se debe a

que un triángulo aunque esté articulado, es indeformable.

Grúas, andamios, puentes, están hechos a base de triángulos. En esta unidad de Geometría, entre otras, estudiaremos a uno de los teoremas más conocidos y útiles, el Teorema de Pitágoras, llamado así por el matemático griego Pitágoras.

El teorema dice que el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos del triángulo.

También estudiaremos los derivados del Teorema de Pitágoras a saber:

n La altura sobre la hipotenusa define dos triángulos rectángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.

n La altura es media proporcional, entre las medidas de los segmentos que esta determina sobre la hipotenusa.

n La igualdad entre el producto de los catetos y el producto de la hipotenusa por la altura trazada sobre ella.

n La medida de un cateto en media proporcional, entre la medida de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto.

Estudiaremos con mucha atención a dos triángulos rectángulos especiales, a saber, los triángulos 30° - 60° - 90° y 45° - 45° - 90°.

Hallaremos además el área de triángulos de cualquiera tipo con la fórmula de Herón.

Recuerde:

n La geometría surge a partir de la observación de cosas simples y relaciones comunes.

n El estudio de la geometría no debe aislarse del mundo ni de otras áreas de la matemática.

TErCErA UNidAd


192

Objetivos:

v Aplicar el teorema de Pitágoras, y su recíproco, en la resolución de ejercicios y problemas.

v Aplicar las relaciones de medida entre los lados de triángulos rectángulos isósceles y en triángulos rectángulos con ángulos agudos de 30° y 60°, en la resolución de problemas.

Contenidos

- Teorema de Pitágoras y su recíproco.

- Triángulos rectángulos especiales (trián-gulos cuyos ángulos agudos miden 30° y 60° ó 45° cada uno).S

EM

AN

A

No

VE

NA

193


Uno de los teoremas más conocidos y útiles en Geometría es el Teorema de Pitágoras, llamado así por el matemático griego Pitágoras.

Cuenta la historia que varias civilizaciones anti-guas han tenido conocimiento de esta propiedad de los triángulos rectángulos. La civilización griega era una de ellas. La conocían desde hace unos 2500 años, por lo menos. También en la india se conocía; lo curioso es que las civilizaciones que descubrieron esto lo hicieron en forma independiente.

En la antigua Grecia hubo un hombre muy relacionado con este conocimiento, se llamaba Pitágoras, que vivió desde el año 585 a de C. Hasta 500 a de C. Mezcló la ciencia con la religión y la magia. Fue fundador de una secta, y en honor a él, la propiedad de los triángulos rectángulos se conoce con el nombre de Teorema de Pitágoras.

El “Teorema de Pitágoras” se enuncia así:

En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

Hallemos una fórmula para este Teorema de Pitágoras, utilizando recursos muy modestos y sencillos.

Veamos:

Tomemos un cuadrado de papel. Supon-gamos que tiene 7 cm de lado. Cada lado lo dividimos en dos segmentos llamados catetos de 3 cm y 4 cm, como se puede observar en la figura siguiente:

teORema De PitáGORaS

Unimos estos puntos A,B,C,d y cortamos los segmentos AB, BC, Cd, dA.

Tomemos otro cuadrado de papel, también de 7 cm de lado; dividamos cada lado en 3 cm y 4 cm como en el caso anterior, pero en esta otra forma. Cortemos el papel a lo largo de todas las líneas y observemos que se forman cuatro triángulos rectángulos iguales a los que obtuvimos cortando el papel de la figura anterior.

Como podemos ver, en el primer caso, quitando cuatro triángulos rectángulos iguales, obtenemos el cuadrado ABCd

cateto 3 A

D

CE

H F

G

B

4

3

4

34

3

cate

to 4

3 A

DM

C G

B

4

3

4

3 4

3

4

F

E

H

C

A D

B

a 5 cm =2


194

En el segundo caso, quitando también cua-tro triángulos rectángulos iguales (los triángulos sombreados ) nos quedan dos cuadrados AFdM y BMCE.

Por eso podemos ver, que si a dos cuadrados que eran equivalentes, les quitamos triángulos rectángulos equivalentes, en ambos casos, las superficies que restan o quedan en los dos cuadrados han de ser iguales.

Por lo tanto, el cuadrado formado por las hipotenusas (a2) será igual a la suma de los cuadrados formados por los dos catetos (b2) y (c2).

En un triángulo rectángulo la superficie del cuadrado construido sobre la hipotenusa equivale a la superficie conjunta de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Por lo tanto a2 = b2 + c2

Esta fórmula es muy útil, como ahora veremos, para poder determinar uno de los lados del triángulo rectángulo conociendo los otros dos.

En efecto; a partir de esta fórmula podemos obtener los siguientes resultados:

1) a = b2 + c2

Con esta fórmula podemos calcular el valor de la hipotenusa (a)

conociendo los dos catetos (b y c).

2) b = a2 − c2 o bien c = a2 − b2

Con esta fórmula podemos calcular el valor del cateto (c)

conociendo a la hipotenusa (a) y el otro de sus catetos (b).

Por ejemplo:

Utilizando el teorema de Pitágoras, hallamos el valor de x en los triángulo siguientes:

a)

Para este trángulo tenemos que:

B

C

M

E

b2

= 3 cm A

M

F

D

c2= 4 cm

ca

b

a

b c2

2

2

x2 = 22 + 12

x2 = 4 + 1x2 = 5x = 5 ≈ 2,24

195


b)


82 = 42 + x2

x2 = 82 − 42

x2 = 64 − 16x2 = 48x = 48 ≈ 6,93

c)


22 = x2 + 32

4 = x2 + 3x2 = 4 − 3x = 1

Utilice el teorema de Pitágoras para encontrar la medida del lado que falta.

a) b)

1

c) d)

e)

Como recordaremos en la Semana Cuarta de Matemática Térraba clasificamos los triángulos según la medida de sus ángulos en tres clases: acutángulo, rectángulo y obtusángulo. Una de las posibilidades que nos permite el teorema de Pitágoras es poder clasificar los tirángulos por sus ángulos, según la medida de los lados.

recíproco del Teorema de Pitágoras:

Si para las longitudes de los lados de un triángulo se cumple que a2 = b2 + c2 en-tonces el triángulo es triángulo rectángulo. La longitud a corresponde a la medida de la hipotenusa.

Esto es

196

Para poder establecer si un triángulo es acu-tángulo o bien obtusángulo el recíproco del teorema del Pitágoras se puede adaptar según corresponde a acutángulo o bien obtusángulo, estableciendo la relación según las áreas determinadas por sus respectivos lados así:

a2 > b2 + c2

El triángulo ABC es obtusángulo en A.

a2 < b2 + c2

El triángulo ABC es acutángulo.

1. del Teorema de Pitágoras y su recíproco se deduce que cuando se conocen las medidas de las longitudes de los lados de a, b y c de un triángulo, puede saberse qué clase de triángulo es (rectángulo, obtusángulo o acu-tángulo).

2. Como a, b y c son las medidas de las longitudes de los lados de un triángulo; si se tiene que a > b y a > c, los ángulos opuestos B y C siempre son menores que el ángulo A. Por lo tanto

i. a2 = b2 + c2 el triángulo es rectángulo.

ii. a2 < b2 + c2 el triángulo es acutángulo.

iii. a2 > b2 + c2 el triángulo es obtusángulo.

Ejemplos.

1. Si los lados de un triángulo miden 21, 28 y 35 metros respectivamente. determinar qué clase de triángulo es.

Solución: Tenemos que 35 > 21 y 35 > 28

cuadrado del lado mayor

352 = 1225

Suma de los cuadrados de los otros dos

212 = 441

282 = 784

Sumamos 212 + 282 = 1225

Como 1225 = 1225

el lado de 35 m se opone a un ángulo recto; luego el triángulo es rectángulo.

2. Los lados de un triángulo miden respectiva-mente 16, 20 y 24 metros.

determine qué clase de triángulo es.

Solución:

Se tiene que 24 es el número mayor, 24 > 20 y 24 > 16, luego podemos hacer lo siguiente:

a) 242 = 576

b) 162 + 202 = 256 + 400 = 656

y como 576 < 656

197


el lado mayor de este triángulo se opone a un ángulo agudo; luego el triángulo es acutángulo.

3. Los lados de un triángulo miden respectiva-mente 32 , 48 y 60 metros.

determine qué clase de triángulo es.

Solución:

Se tiene que 60 es el número mayor.

a) 602 = 3600

b) 322 + 482 = 1024 + 2304 = 3328

Como 3600 > 3328

El lado mayor de este triángulo se opone a un án-gulo obtuso; luego el triángulo es obtusángulo.

1. En cada columna aparecen los lados de un triángulo ABC. indique en cada caso si es, o no, un triángulo rectángulo; sino lo es, que tipo de triángulo es.

a b c d e AB 4,1 1,3 42 1 1,5

AC 7 1,2 55 2,5

BC 9 0,5 61 2

2. En los siguientes ejercicios, indique si las cifras dadas pueden ser longitudes de lados de un triángulo rectángulo.

a) 10, 24, 26

b) 7, 25, 674

c) 20, 21, 29

d) 5, 13, 195

e) 8, 15, 17

f) 5, 12, 13

aplicaciones del teorema de PitágorasEl teorema de Pitágoras se puede utilizar para

hallar longitudes de segmentos. Pero necesitamos que los segmentos cuya longitud queremos calcular sean lados de un triángulo rectángulo.

1. aplicaciones inmediatas

EJEMPLo 1

El hilo de mi cometa mide 25 m. He soltado todo el hilo y el cometa está justo encima de david que se encuentra a 10 m de donde yo estoy. ¿A qué altura ha subido el cometa?

Solución: Hacemos un gráfico indicativo y aparece un

triángulo rectángulo del que conocemos un cateto y la hipotenusa.

Así entonces:

h2 = 252 – 102 = 625 – 100 = 525 h = 5 21

respuesta: La cometa ha subido a una altura de 5 21 m.

3545

2

Aplicando la fórmula 2 de la página 194


198

EJEMPLo 2

Los lados de un trián-gulo isósceles miden 13 cm, 13 cm y 10 cm. Calcule su área.

Solución:

Necesitamos hallar una altura para aplicar la fórmula del área.

¿Qué altura nos conviene?

La correspondiente al lado desigual. Esta altura es también mediatriz de ese lado, con lo que la base queda dividida en dos partes iguales.

El triángulo BHC es rectángulo en H.

BH2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144

BH = 144 = 12 cm

Área =

12

base • altura = 12

•10 •12 = 60 cm2

respuesta: El área del ∆ BHC es 60 cm2.

EJEMPLo 3

Calcule la medida de la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 8 cm y 5 cm, respectivamente.

Solución:

La diagonal es la hipotenusa de un triángulo rectángulo.

d2 = 82 + 52

d2 = 64 + 25

d = 89 cm

respuesta: La diagonal mide 89 cm

5 cm

8 cm

d

2. el teorema de Pitágoras y los polígonos regulares.

EJEMPLo 1

Calcule la medida de la apotema del hexágono regular inscrito en una circunferencia de radio 15 mm.

Solución:

Puesto que, el lado de un hexágono regular es igual al radio de la circunferencia en la que está inscrita. Tenemos que la apotema es la altura de un triángulo equilátero del que conocemos la medida del lado. Además, el ∆ AoH es rectángulo en H.

Si el radio mide 15 mm, entonces HA = 7,5 mm

oH2 = 152 – ( 7,5 )2

= 225 – 56,25

= 168,75

oH = 168,75 ≈ 13 mm

respuesta: La apotema mide aproximada-mente 13 mm.

EJEMPLo 2

Calcule la medida del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 15 mm.

Solución:

dibujemos un hexá-gono regular. Unien-do puntos alternos se obtiene un triángulo equilátero. Ad es un diámetro y por lo tanto ∆ ABd es triángulo rectángulo en B.

B

A

0 H

60°

Hexágono regular

B

A D

Triángulo equiláteroC

13 13

5 5A C

B

H

199


Bd = 15 ; Ad = 30 AB2 = 302 – 152 = 675 AB = 15 3

respuesta: El lado del triángulo equilátero mide 15 3 mm.

EJEMPLo 3

Calcule la medida del lado de un cuadrado ins-crito en una circunferencia de radio 15 mm.

Solución:

En la figura de la derecha se observa que el lado AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son dos radios.

AB2 = 152 + 152 = 450

AB = 450 = 15 2 mm

respuesta: El lado del cuadrado mide 15 2 mm.

A. Conteste Sí o No:

a) La sombra del árbol mide más de 97 metros: ____________

b) El ∆ ABC es equilátero: ___________

100 m

20 m

6,4 cm

3,2 cm

6,4 cm 4,1 cm

A

B C

3


200

c) El ∆ ABC es isósceles: ___________

d) Uno de los dos triángulos no es rectángulo: __________

e) El cateto AB mide 3 y la hipotenusa BC 5: ______________

B. Calcule la medida del lado o lados que faltan en los siguientes triángulos:

A

C

B

2,8

1,65

3,5

0,8

41 cm

40 cm9 cm

17 cm

15 cm

8 cm

5

4

10

1

x x

y

xh

x z

y

1,53

1010

6

a) b) c) d)

201


C. rellene la tabla siguiente sabiendo que h, a y b son respectivamente la hipotenusa y los catetos de un triángulo rectángulo.

Los datos están en centímetros y debe estar el resultado en centímetros, (redondeando si es ne-cesario con un decimal):

h a b

17 15

41 40

51 9

d. (Aplicación del Teorema de Pitágoras)

Para saber si un marco está torcido, un carpintero mide los lados y determina que son 20 cm y 30 cm y una diagonal mide 37 cm. ¿Está torcido el marco? Justifique su respuesta.

E. (Aplicación del Teorema de Pitágoras)

El escritorio se cierra mediante un mecanismo plegable de las medidas que se indican. ¿Está el escritorio paralelo al suelo? Justifique su respuesta.

30 cm

20 cm37

cm

14 cm

22,1 cm

35

45

512

13


202

F. ¿Qué longitud debe tener una escalera si debe alcanzar una altura de 6 m y su pie debe estar por lo menos a 1,5 m de la pared?

G. Una cancha de fútbol olímpica es un rectángulo de 100 metros de largo y 70 metros de ancho. ¿Qué longitud tiene la diagonal de la cancha?

H. ¿Cuál es el área de un triángulo rectángulo con un cateto de 5 pies de longitud y una hipotenusa de 13 pies de longitud?

i. édgar quería construir un corral rectangular para su conejillo de indias. Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 54 pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pul-gadas de largo y una diagonal media 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular?

203


tRiáNGULOS eSPeciaLeSLlamamos triángulos especiales a dos triángu-

los rectángulos que poseen como ángulos internos 45° - 45° - 90° y 30° - 60° - 90°.

Por ejemplo,

t El ∆ ACB es un triángulo 45° - 45° - 90°, puesto que está formado por los lados de un cuadrado y una diagonal.

t El ∆ AdC es un triángulo 30°- 60°- 90°, puesto que está formado por una altura de un trián-gulo equilátero.

Con respecto a estos triángulos, tenemos los siguientes teoremas:

teorema del triángulo 45° – 45° – 90°

En un triángulo 45° – 45° – 90°, ambos catetos son congruentes y el largo de la hipotenusa es el largo de un cateto 2 veces

AC = BC = AB = 2

algunos ejemplos

Encuentre el valor de x en forma simplificada.

a) Solución:

Como el triángulo es un triángulo rectángulo 45°, 45°, 90°, tenemos que si 7 cm corresponde a la medida de

A

BC

x

x

45°

45°

uno de los catetos se tiene que la hipotenusa x es igual a 7 2 cm.

b) Solución:

Por el teorema 45° – 45° – 90°.

Como la hipotenusa es el largo de un cateto 2 veces, tenemos que

h= x 2

3 = x 2

32

= x racionalizando el denominador

32

• 22

=3 2

4=

3 22

= x

respuesta: Los catetos x miden 32

2 cada uno.

c) Solución:

Por el Teorema 45°, 45°, 90° se tiene que x = 8 2 . Esto pues, la hipotenusa mide el largo de un cateto 2 veces.

respuesta: La hipotenusa mide x = 8 2 .

d) Solución:

Por el teorema 45° – 45° – 90° los catetos co-rresponden a los lados iguales de un triángulo


204

rectángulo isósceles y como la hipotenusa es 5 que es igual a x 2

52

= x

52

• 22

=5 2

4=

5 24

=5 2

2= x

respuesta: Los catetos x miden 5 22

respec-tivamente.

teorema del triángulo 30° – 60° – 90°

En un triángulo 30° – 60° – 90°, el largo de la hipotenusa es 2 veces el tamaño del cateto más corto y el largo del cateto más grande es

3 veces el tamaño del cateto más corto.

AC = x AB = 2x BC = x 3

importante:

- El cateto más corto se opone al ángulo de 30°.

- El cateto más grande se opone al ángulo de 60°.

- La hipotenusa se opone al ángulo de 90°.

algunos ejemplos

Encuentre el valor de "x" e "y" en forma simplificada.

a) Solución:

Por el teorema 30° – 60° – 90° tenemos que la hipotenusa es 2 veces el tamaño al cateto que se opone al ángulo de 30° como

16 = 2x

162

= x

8 = x

Como el cateto más largo es el que se opone al ángulo de 60° mide 3 veces el más corto se tiene que y = 8 3.

respuesta: Los catetos miden x = 8 e y = 8 3.

b) Por el teorema 30° – 60° – 90° tenemos que el cateto que se opone al ángulo de 60° es el cateto largo y mide x 3 = 5, (el cate-to menor 3 veces). Así tenemos que:

x 3 = 5

x =53

x =53

• 33

x =5 3

9=

5 33

205


Por otro lado, la hipotenusa mide dos veces la medida del cateto más corto, o sea,

h = 2 • 53

3

h =103

3

respuesta: El cateto más corto mide x = 5 33

y la hipotenusa mide y = 10

33 .

c) Solución:

Por el teorema 30° – 60° – 90°. El cateto más grande mide 3 el cateto más corto; esto es

Por otro lado, como la hipotenusa mide 2 veces el cateto más corto,

y =

2 •11 33

=22 3

3

d) Solución:

Por el teorema 30° – 60° – 90°. La hipotenusa es 2 veces el cateto más corto.

h = 2x22 = 2x222

= x

11= x

Por otro lado el cateto más grande es 3 veces el cateto más corto, esto es

y = 3 •11y = 11 3

respuesta: Los catetos miden x = 11 e y = 11 3 respectivamente.

11= 3x113

= x

113

• 33

= x

11 39

=11 3

3= x

La hipotenusa mida el doble de la medida del cateto más corto.

A. En los ejercicios siguientes, emplee el teorema del triángulo 45° – 60° – 90° para encontrar las longitudes de los lados indicados.

1) _______ 2) _______ 3) _______ 4) _______

4

?2

45°

?

? 1745° ?

?

45°5 2 ?

?45°

8


206

B. En los ejercicios siguientes, emplee el teorema del triángulo 30° – 60° – 90° para encontrar las longitudes de los lados de cada triángulo.

1) _______ 2) _______ 3) _______ 4) _______

5) _______ 6) _______ 7) _______ 8) _______

?

?

130°

30°? ?

3

?

?

4

60°

??

30°3

16 7?

30°?60°

?

?

9

60°19 ?

?30°

?

?

2 3

207


aPaRtaDO 1

¿cUáL eS La LONGitUD De La DiaGONaL?

A. Alexander tiene un corral de forma rectangular que mide 12 m de ancho y 16 m de largo. Necesita un drenaje para el corral, en forma diagonal.

¿Cuántos metros mide el drenaje?

Solución:

h2 = a2 + b2

h2 = 122 + 162

h2 = 144 + 256h2 = 400

h = 22 • 22 • 52 =

h = 2 • 2 • 5h = 20

respuestas: El drenaje mide _______________________.

B. Recuerde:

Para todo triángulo rectángulo se cumple a2 + b2 = c2, donde a y b son catetos y c hipotenusa.

12 mdrenaje

16 m

12 m

16 m

hipotenusa

FORMA DELCORRAL

TRIÁNGULO QUE"SE FORMA"

c hA = 122

= ___

A = 162

= ___

A = __ __= ____


208

aPaRtaDO 2

A. oscar necesita instalar una viga en forma diagonal en una bodega rectangular. La bodega mide 4 m de ancho y 7,5 m de largo. ¿Cuál debe ser el largo de la viga?

Solución:

a2 + b2 = c2 Teorema de Pitágoras

__ + __ = c2 cateto a : 4 m

__ + __ = c2 cateto b : 7,5 m

______ = c2 hipotenusa c : ?

______ = c

______ = c

respuesta:

B. OBSeRVe:

Si en un triángulo se cumple a2 + b2 = c2

este triángulo es rectángulo.

hipotenusa

largo

ancho 4 m

7,5 m

= _____

ac

b

209


1. En los siguientes ejercicios, establezca si la ecuación es correcta o no.

a) b)

__________________ _________________

c) d)

__________________ _________________

e) f)

__________________ _________________

g) h)

__________________ _________________

aPaRtaDO 3

c

a

b

c2 = a2 + b2

x z

x2 + y2 = z2

y

a

b

c

c2 = a2 + b2

s

u t

s2 = u2 – t 2

f

e g

f = e2 + g2

r t

sr = s2 + t2


210

17

15

x 7 x

5

3

x

10 x

8

4 3

x3

4

x7

24

2. de acuerdo con los datos de cada figura, encuentre el valor de x.

a) b)

__________________ _________________

c) d)

__________________ _________________

e) f)

__________________ _________________

3. resuelva cada uno de los siguientes ejercicios; considere la información que se indica en cada caso:

a) Si el m EdB = 45°, m BdC = 60° y Bd = 3 2 . Calcule AB, BC, Ad, el perímetro del ABCd y el área del ∆ BCd.

211


b) Si el m BCA = 60° y m dEC = 30° y la medida de AC es 4, calcule la medida del segmento BC, el perímetro del triángulo ACE, el área del rectángulo ABdE y el área del ∆ ACE.

c) En la figura, se tiene el rombo ACBd con medida de la diagonal mayor de AB = 6 3 ; y de la diagonal menor dC = 6. El ángulo QAC tiene medida 30°. P es punto medio del segmento QC y el ángulo PCr mide 45°. Calcule la medida de los segmentos BC, rC y AQ.

4. de acuerdo con la figura de la derecha y con los datos mencionados, determine la medida que se solicita, en cada caso.

a) Si AC = 6 y AB = 8, entonces BC = _____

b) Si BC = 15 y AB = 9, entonces AC = _____

c) Si AC = 2 y AB = 2 , entonces BC = ______

d) Si BC = 15 y AB = 10, entonces AC = _____

C

A B


212

e) Si AC = 2 y AB = 3, entonces BC = ______

f) Si AB = 2 3 y BC = 6, entonces AC = _______

5. resuelva cada uno de los problemas siguientes en forma ordenada.

a) Si un lote de forma rectangular mide 33 m de ancho y 44 m de largo; ¿ cuánto mide su diagonal?

Solución:

respuesta:

b) Si un terreno rectangular mide 60 m de ancho y 175 m de largo; ¿ cuánto mide su diagonal?

Solución:

respuesta:

213


c) david necesita instalar un cable eléctrico diagonalmente en su local de forma rectangular que mide 6 m de ancho y 17,5 m de largo. ¿Qué longitud debe tener el cable?

Solución:

respuesta:

d) Fernando necesita guardar unas varillas de 7,5 m de longitud. Las lleva para una bodega que mide 3 m de ancho y 7,2 m de largo. ¿ Caben las varillas en la bodega? realice la justificación mediante el Teorema de Pitágoras.

Solución:

respuesta:

e) Carlos lleva a guardar una reglas de 2,7 m de longitud a un local pequeño de 1 m de ancho y 2,4 m de largo. ¿ Caben las reglas ? ¿ Por qué ?

Solución:

respuesta:


214

f) Para trazar un triángulo rectángulo, en el campo, un topógrafo dispone su cinta como se muestra en la fi gura. ¿Cuál es la medida del lado mayor? ¿Cuál es el perímetro?

Solución:

respuesta:

6. resuelva el siguiente problema, indique su respuesta con dos decimales.

Un poste de 5 m clavado verticalmente en el suelo, proyecta una sombra de 12 m. ¿Qué distancia habrá entre el extremo de la sombra y la punta superior del poste?

Solución:

respuesta:

5 m

12 m

8

6

215


aPaRtaDO 4

A. resuelva:

1. Si un terreno rectangular mide 40 m de ancho y 50 m de largo; ¿ cuánto mide aproximadamente su diagonal ?

Solución:

respuesta:

2. Si un local rectangular mide 6 m de ancho y 10 m de largo; ¿cuánto mide aproximadamente su perímetro?

Solución:

respuesta:

B. Encuentre el valor de x en las siguientes figuras.


216

20 m

largo

52 m

aPaRtaDO 1

¿cUáNtO miDeN LOS LaDOS?A. Sandra tiene un lote de forma rectangular. Como le gusta poner a pensar a otros, cuando le pre-

guntan por las medidas dice: «el lote mide 20 m de ancho y la diagonal mide 52 m.» ¿Cuánto mide de largo?

Solución:

a2 + b2 = c2 - para hallar la medida de la hipotenusa.

c2 – b2 = a2 - para hallar la medida de los catetos.

522 – 202 = a2 - utilizamos los datos suministrados por el problema. ____– __ = a2

= a2 - obteniendo la raíz cuadrada hallamos la medida del largo del lote. ––––––– = a

respuesta:

A. ¿Serán las medidas siguientes, medidas de triángulos rectángulos.

a) 3 – 4 – 5 _______ b) 6 – 2,5 – 6,5 _______ c) 3 – 7,2 – 7,8 _______ d) 4 – 6 – 8 _______

B. Recuerde:

Para qué un triángulo sea rectángulo se debe cumplir que a2 + b2 = c2; c es la medida de la hipotenusa.

aPaRtaDO 2

217


aPaRtaDO 3

A. resuelva los problemas siguientes:

1. Manuel dijo que su tío tiene un terreno rectangular que mide de largo 72 m y de diagonal 78 m. ¿Cuánto mide de ancho?

Solución:

respuesta:

2. Un corral rectangular mide 24 m de largo y 25 m de diagonal. ¿ Cuánto mide de ancho ?

Solución:

respuesta:

3. Entre las dos paredes de una calle distantes entre sí 30 m se ha tendido un cable de cuyo centro cuelga una pesada lámpara. Como consecuencia de dicho peso el punto medio del cable se desplaza 0,75 m de la horizontal. ¿Cuál deberá ser la longitud del cable?

Solución:

respuesta:

4. Una escalera de 4 m de longitud está apoyada en una pared; el pie de la escalera está a 1,20 m de la pared. ¿Cuál es la altura que alcanza la escalera en esa posición?

Solución:

respuesta:

30 m

0.75

1,20m


218

aPaRtaDO 4

A. de acuerdo con los datos de cada figura, determine el valor de x.

a) b)

c) d)

B. Compruebe que las siguientes medidas no corresponden a las medidas de triángulos rectángulos. ¿A qué tipo de triángulo corresponden? Considere el recuadro de la página 111.

a) 4 – 6,8 – 7,2 _______________

b) 4 – 5 – 7 _______________

c) 8 – 10 – 12 _______________

C. Utilice los teoremas 45°, 45°, 90° y 30°, 60°, 90° para completar cada línea en blanco.

1. AB = ________ BC = 9, CA = ________

2. AB = 12, BC = ________, CA = ________

3. AB = ________, BC = ________, CA = 6 3

4. AB = 27, BC = ________, CA = ________

5. AB = ________, BC = 4 3 , CA = ________

6. AB = ________, BC = ________, CA = 10

7. Xy = 12, XZ = ________, yZ = ________

8. Xy = ________, XZ = 3 2 , yZ = ________

9. Xy = ________, XZ = ________, yZ = 4

10. Xy = 8 2 , XZ = ________, yZ = ________

10,4 cm

9,6 cm

x

6 cm

7 cmx

x

3,9 cm6,5 cm

7 cm

x8 cm

219

SEMANA déCiMAmatemática - EL MAESTro EN CASA

ObjETIVO:

v Aplicar las relaciones métricas en triángu-los rectángulos, para resolver ejercicios y problemas.

CONTENIDOS:

Relaciones métricas en triángulos rectángulos (conocidos como derivados de Pitágoras)

- La altura sobre la hipotenusa define dos triángulos rectángulos semejantes entre sí y semejantes al triángulo original.

- La altura es media proporcional, entre las medidas de los segmentos que esta determina sobre la hipotenusa.

- La igualdad entre el producto de los catetos y el producto de la hipotenusa por la altura trazada sobre ella.

- La medida de un cateto es media propor-cional, entre la medida de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto.

SE

MA

NA

d

éC

iMA


220

221


Vamos a seguir con el estudio de la Geometría, en particular con los triángulos pero específica-mente con los triángulos rectángulos.

Como recordarán, un triángulo rectángulo, es aquel triángulo que posee un ángulo interno con una medida de 90°, donde los dos lados de menor longitud se llaman catetos y el lado de mayor longitud se llama hipotenusa.

Esta clase de triángulo ha sido la fuente de muchos conocimientos matemáticos. Por ejem-plo, muchos de los números irracionales han sido generados de la relación que existe entre los lados del triángulo como producto de la aplicación del famoso Teorema de Pitágoras, y otros más.

Es difícil, por no decir imposible, saber con certeza quienes fueron los primeros en formular el Teorema de Pitágoras, lo cierto es que no fueron los griegos. Sin embargo, a partir de Pitágoras general-mente considerado como el primero de los grandes matemáticos griegos, el teorema alcanzó una gran

ReLaciONeS eN LOS tRiáNGULOS RectáNGULOS.

difusión que llegó a su máxima expresión durante el renacimiento en Europa en los siglos XV y XVi.

Las relaciones métricas en el triángulo rectángulo y el teorema de Pitágoras

En el triángulo rectángulo se generan una serie de relaciones métricas entre los catetos y la hipotenusa y la altura sobre la hipotenusa.

teorema 1La altura sobre la hipotenusa de un triángulo

rectángulo divide a éste en dos triángulos, cada uno de los cuales es semejante a aquel.

βδC

A

BDβ

A

BD

δC

A

D

∆ caB ~ ∆ cDa ~ ∆ BDa

βδC

A

BD


222

Observe

Los ∆ CAB ~ ∆ CdA ~ ∆ BdA son seme-jantes, puesto que cumple con el postulado de semejanza (a, a, a).

En la tabla siguiente aparecen en cada una de las filas las medidas de los lados homólogos en estos triángulo; según los ángulos correspon-dientes a ellos.

∆CAB ∆CDA ∆BDA

Hipotenusa

Cateto opuesto al ángulo δ

Cateto opuesto al ángulo β

de algunas proporciones que se pueden establecer entre los lados homólogos de los tres triángulos semejantes anteriores, podemos dedu-cir tres teoremas que tienen lugar en triángulos rectángulos cualesquiera.

conocimientos previosProyecciones

dado un punto P y una recta r, se llama pro-yección del punto P sobre la recta r al punto P1, pie de la perpendicular trazada desde P a r.

BC AC AB

AB AD

AC AD

P

P1r

Proyección de un segmento

dado un segmento AB y una recta r, se llama proyección del segmento AB sobre la recta r al segmento A'B' cuyos extremos son las proyec-ciones de los extremos A y B.

Por ejemplo

media geométrica o media proporcional

Un número x es una media geométrica o media proporcional entre dos números a y b si

ax

xb

x b ≠ ≠ = 0 0,

teorema 2 (Teorema de la altura en un triángulo rectángulo)

En un triángulo rectángulo, la altura trazada sobre la hipotenusa, es media proporcional entre las dos partes en que divide a ésta.

Ar

1 B1

A

B

A1 Br

1

A

B

223


Por ejemplo:

En el triángulo rectángulo BAC se ha trazado la altura AD con medida h, sobre la hipotenusa BC con medida a, obteniéndose la proyección del cateto AB con medida c al segmento BD con medida Pc y la proyección del cateto AC con medida b al segmento CD con medida Pb.

de acuerdo con lo anterior, tenemos que para cualquier triángulo rectángulo se cumple la siguiente igualdad:

CDAD

ADBD

Ph

hP

b

c

= ↔ =

La razón por lo que se cumple esta igualdad es porque la altura divide al triángulo rectángulo BAC en otros dos triángulos rectángulos que son semejantes y por tanto sus lados son proporcio-nales.

También son semejantes porque tienen los ángulos iguales (ambos rectos y los dos ángulos agudos tienen sus lados perpendiculares).

Esta primera proporción se puede escribir así:

Ph

hP

h P Pb

cb c = ↔ =2 •

Este teorema 2; también puede enunciarse de la manera siguiente:

teorema 3En todo triángulo rectángulo, el producto de

los catetos es igual al producto de la hipotenusa y la altura trazada sobre ella.

b • c = a • h

ejemPLO 1

En un triángulo ABC la altura trazada sobre la hipotenusa la divide en dos segmentos de me-didas p = 16 cm y q = 4 cm los cuales son las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. determine la medida de esta altura.

Solución:

Por el teorema de la altura sobre la hipotenusa, tenemos que

h2 = p • q

h2 = 16 • 4

h2 = 64

h = 64

h = 8

respuesta: La altura mide 8 cm.

ejemPLO 2

Considere el triángulo ABC rectángulo en a y sea h la medida de la altura trazada sobre la hipo-tenusa, p y q las medidas de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.

βδC

A

BD

bh

c

Pb Pc

a

C

A

BD

h

q = 4 p = 16


224

Si p = 4 dm y q = 8 dm. Calcule la medida de la altura trazada sobre la hipotenusa.

Solución:

Por el teorema de la altura sobre la hipotenusa, tenemos que

h2 = p • q

h2 = 4 • 8

h2 = 32

h = 32

h = 4 2

respuesta: La medida de la altura sobre la hipotenusa es 4 2 dm.

dibuje en su cuaderno un triángulo rectángulo de lados 10, 8 y 6 centímetros respectivamente. Trace la altura sobre la hipotenusa y mida las pro-yecciones de los catetos sobre esta. Compruebe que se cumple el teorema de la altura.

teorema 4 (Teorema del cateto en un triángulo rectángulo)

En un triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de la longitud de la hipotenusa por la longitud de la proyección de este cateto sobre la hipotenusa.

Puesto que anteriormente en la página 133, teníamos que ∆ AdC ~ ∆ CAB tenemos que

bP

ab

b a Pb

b = ↔ =2 •

y como además ∆ CAB ~ ∆ AdB, también tenemos cP

ac

c a Pc

c = ↔ =2 •

ejemPLO

En la figura de abajo, tenemos que ∆ ABC rectángulo en C de hipotenusa AB; y CD altura sobre la hipotenusa, CD AB⊥ . Si a = 6 cm, b = 8 cm; calcule c, p, q y h.

Solución:

c2 = a2 + b2 a2 = c • p

62 = 10 • p

3610

= p

3,6 cm = p

Los valores de q y h los encontramos de la manera siguiente:

c = p + q h2 = p • q

10 = 3,6 + q h = p q•

10 – 3,6 = q h = 3 6 6 4, • ,

6,4 cm = q h = 23 04,

h = 4,8 cm

respuesta: c = 10 cm, p = 3,6 cm, q = 6,4 cm y h = 4,8 cm

C

A

BD

h

p = 4 q = 8

c a b

ccc cm

= +

= +

=

=

2 2

2 26 8100

10

C

A BD

b h a

cq p

ReLaciONeS métRicaS

Teorema de PiTÁGorAS a2 = b2 + c2

Teorema de la ALTUrA h2 = Pb • Pc

h • a = b • cTeorema del CATETo b2 = a • Pb

c2 = a • Pc

225


aPaRtaDO 1

UtiLicemOS eL teORema De La aLtURa eN UN tRiáNGULO RectáNGULO

A. Suponga que m HEG = 90° y EO HG⊥ . Si Go = 5 cm y oH = 12 cm. Encuentre la medida del EO (altura trazada sobre la hipotenusa).

Solución:

Tenemos que GO y OH son las proyecciones de los catetos EG y EH respectivamente.

Por el teorema de la altura en un triángulo rectángulo tenemos

GOEO

EOOH EO

EO

= ↔ =5

12

↔ =

↔

60 2EO

60

2 32

=

↔

EO

• ••

52 15

=

↔

EO== EO

respuesta: La medida del EO altura sobre GH es 2 15 cm

B. RecUeRDe

En un triángulo rectángulo, la altura sobre la hipotenusa al cuadrado es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre esta.

Así: h2 = Pb • Pc

C. Completemos cada espacio en blanco con la información solicitada. Considere el dibujo de la dere-cha.

a) a = ____________ cm

b) c = ____________ cm

c) m = ____________ cm

d) n = ____________ cm

e) h = ____________ cm

G

E H

O


226

aPaRtaDO 2

A. Suponga que m AdB = 90° y AC BD⊥ . Si AB = 18 cm; BC = 24 cm y la altura sobre la hipotenusa mide 14,4 cm. Calcule la medida de la hipotenusa AC.

Solución:

Puesto que en todo triángulo rectángulo, el producto de los catetos es igual al producto de la hipotenusa y la altura trazada sobre ella.

Tenemos que: AB • BC = AC • Bd

Considerando los datos del problema, sustituyendo

18 • 24 = AC • 14,4

432 = AC • 14,4

43214 4,

= AC

30 = AC

respuesta: La medida de la hipotenusa es 30 cm

B. resolvamos el siguiente problema.

El cateto de un triángulo rectángulo mide 10 m y su proyección mide 8 m. ¿Cuáles son las medidas del otro cateto y de la altura sobre la hipotenusa?

Solución:

Consideremos el triángulo ABC, rectángulo en B.

Si la medida del cateto AB es 10 m y de su proyección sobre la hipotenusa Ad es 8 m por el teorema 4 encon-tramos la medida de la hipotenusa AC , así:

102 = 8 • AC100

8= AC

12,5 = AC

CA

B

D

227


La longitud de la hipotenusa es 12,5 m. Para obtener la proyección de BC sobre AC la hipotenusa, hacemos la operación 12,5 – 8 = 4,5. Esto nos dice que la proyección dC del cateto BC volvemos a utilizar el teorema 4 así:

BC2 = 12,5 • 4,5BC2 = 56,25BC = 56,25BC = 7,5

Por último para encontrar la altura Bd sobre AC ; utilizamos el teorema 2, así:

h2 = m• nh2 = 8 • 4,5h2 = 36h = 36h = 6

respuesta: La medida del otro cateto es 7,5 m y de la altura es 6m.

aPaRtaDO 3

1. de acuerdo con el triángulo donde m ACB = 90° y además se conocen q y p. Calcule en cada caso la medida CD.

a) b) c) d)q 2,0cm 3,5cm 5,3cm 3,7cmp 2,5cm 3,0cm 4,1cm 2,8cm

respuesta:

a) _______________ b) _______________

c) _______________ d) _______________

2. Considere la figura siguiente donde Cd = 4 cm, Bd = 9 cm. Calcule Ad.

C

A BDq p

C

A B

D


228

3. Considere la figura siguiente para calcular:

a) Si PQ = 10, QN = 4. Encuentre MQ

b) Si QN = 3, MQ = 9. Encuentre PQ

4. Suponga que m HEG = 90° y EO HG ⊥ , Eo = 8 cm y HOOG

=21

. Encuentre Ho.

5. Si el triángulo ABC es rectángulo en C y CD es la altura so-bre la hipotenusa AB y además AB = 12 cm y dB = 8 cm. Calcule AC.

N

P M

Q

G

O

E H

C

A

B

D

aPaRtaDO 4

1. de acuerdo con el triángulo donde m ACB = 90°. Calcule en cada caso la longitud del cateto BC.

a) b) c) d)p 5,0 cm 6,1 cm 37 cm 83 cmh 4,0 cm 4,7 cm 17 cm 34 cm

respuesta: a) _______________ b) _______________ c) _______________ d) _______________

2. Plantee para las alturas de los triángulos ACF, CEF y ACE de la figura de abajo, las ecuaciones correspondientes al Teorema de las alturas.

B F

DC E

A

229


aPaRtaDO 1

UtiLicemOS eL teORema DeL catetO eN UN tRiáNGULO RectáNGULO

A. Si la altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo divide a esta en dos segmentos de me-didas 7 y 4, aplique el teorema del cateto para hallar los valores de cada uno de los catetos.

Solución:

a) dibujamos el triángulo rectángulo con las indicaciones del problema.

b) Según el teorema del cateto en un triángulo rectángulo, tenemos que:

AB2 = 11 • 7 BC2 = 11 • 4

AB2 = 77 BC2 = 44

AB = 77 BC = 44 = 2 11

c) Los valores de los catetos son AB = 77 y BC = 2 11.

B. RecUeRDe:

Estas son las relaciones métricas en los triángulos rectángulos.

ReLaciONeS métRicaS

Teorema de PiTÁGorAS a2 = b2 + c2

Teorema de la ALTUrA h2 = Pb • Pc

h • a = b • c

Teorema del CATETo b2 = a • Pb

c2 = a • Pc

CA

B

D7 4

c

a

b

PbPB

A

Cc

h

β γ


230

aPaRtaDO 2

C

A BD

E

Consideremos la siguiente figura para indicar:

a) La longitud del CD es la media geométrica entre las longitudes de dos segmentos, ¿cuáles?

Solución:

Puesto que CD es la altura sobre la hipotenusa del ∆ ACB; tenemos que CD es la media geomé-trica de los segmentos AD y BD.

b) La longitud AC es la media geométrica entre las longitudes de dos segmentos, ¿cuáles?

Solución:

Puesto que AC es un cateto del ∆ ACB; y además cada cateto es la media proporcional o geométrica entre la longitud de la hipotenusa y la proyección de dicho cateto; los segmentos son AB y AD.

B. imPORtaNte

Un número x es una media proporcional o geométrica entre dos números a y b si

ax

= xb

; x ≠ 0 ; b ≠ 0

231


aPaRtaDO 3

A. En la siguiente figura:

a) Supóngase que m HEG = 90°, EO HG⊥ , Ho = 10 y oG = 8. Encuentre HE • EG.

b) Supóngase que m HEG = 90°, EO HG⊥ , Ho = 6 y EG = 4. Encuentre oG.

B. En la siguiente figura supóngase que m CAB = 90°, AD BC⊥ .

a) Si AB = 8 y BC = 12, encuentre Bd.

b) Si AC = 6 y dC = 4, encuentre BC.

c) Si Bd = 4 y Ad = 6, encuentre dC.

C. Supóngase que ∆ ABC y ∆ ABd son triángulos rectángulos.

a) Si AC = 3 y AB = 4 Encuentre Ad.

b) Si AB = 12 y BC = 13 Encuentre dC.

c) Si Bd = 9 y BC = 15 Encuentre Ad

d) Si AC = 20 y BC = 40 Encuentre dC.

G

H

O

E

C

A

BD

B A

D

C


232

aPaRtaDO 4

1. Calcule x, y en las siguientes figuras.

a) b) c)

2. ¿Cuál es la media geométrica entre los números siguientes:

a) 4 y 9

b) 9 y 16

c) 4 y 5

d) 3 5y

3. de acuerdo con los datos de la figura siguiente:

a) Si a = 10, b = 6 ; calcule x.

b) Si a = 10, c = 8 ; calcule y.

c) Si b = 3, c = 4 ; calcule y.

4. El cateto de un triángulo rectángulo mide 24 cm y la proyección del otro cateto sobre la hipotenusa 10,8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa del triángulo?

5. En un triángulo rectángulo, las proyecciones sobre la hipotenusa miden 3 cm y 2 cm. determine el perímetro de dicho triángulo.

CA

B

Dx

y

4

5

CA

B

D

x

y

3

12

CA

B

D

x

y

4 5

C

B

D

A

hb

y

x

c

a

233


6. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 6 cm y 12 cm. determine el área de este triángulo.

7. determine el perímetro del triángulo cuya hipotenusa mide 10 cm y sus catetos están en razón 3: 4.

8. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 12 cm y la altura correspondiente 6 cm. determine la medida de los catetos de este triángulo.

9. dada la siguiente figura:

resuelva:

a) Cd = 6 cm, Ad = 3 cm, determine el área del triángulo ABC.

b) Ad = 3,6 cm, Bd = 6,4 cm; AC = _______

c) Bd = 3,2 m; AB = 5 m; BC = _______

d) Ad = 2 cm; Bd = 4 cm; Cd = _______

e) Ad = 16 cm; AB = 52 cm; Cd = _______

Considere el siguiente ejemplo:Si Ad = x, Bd = 4x, Cd = 4, determine ACSolución:t Por el teorema de la altura h2 = PBC • PAC

tenemos Cd2 = Bd • Ad 42 = 4x • x 16 = 4x2

t Por el teorema del cateto AC2 = AB • Ad, como AB = x + 4x

= 2 + 8 = 10 AC2 = 10 • 2 AC2 = 20 AC = 20 = 2 5 respuesta: AC = 2 5


234

f) AB = 12 cm; Ad = 9 cm; BC = _______

g) AC = 5 cm; BC = 10 cm; Cd = _______

h) AB = 10 cm; AC = ( p + 2 ) cm; BC = 2p cm; Cd = _______

10. Complete la tabla siguiente si sabe que en el ∆ ABC la medida del ángulo C es 90°.

AB Ad Bd Cd AC BC

a) 3,0 cm 4,0 cm

b) 3,9 cm 5,1 cm

c) 6,2 cm 3,5 cm

d) 5,5 cm 4,1 cm

e) 2,1 m 4,9 m

f) 5,0 m 5,4 m

235

SEMANA UNdéCiMAmatemática - EL MAESTro EN CASA

ObjETIVO :

v Aplicar la fórmula de Herón, en el cálculo de áreas de figuras geométricas y solución de pro-blemas.

CONTENIDO:

- Fórmula de Herón.

- Aplicación en la solución de problemas.

SE

MA

NA

U

Nd

éC

iMA


236

237


HeRóN De aLejaNDRÍa

Matemático e inventor griego. En su principal trabajo sobre geometría (Métrica) enumera dife-rentes maneras de hallar el área de triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares de tres a doce lados, círculos, elipses y superficies y volúmenes de cilindros, conos y esferas. En él se incluyen, además la conocida fórmula que permite calcular el área de un triángulo a partir de la longitud de sus lados, y un método aproximado para halla la raíz cuadrada de un número, usado hoy en día por las modernas computadoras. En otro libro, Neumática, describe el diseño de sifones, de máquinas que funcionan con monedas y del aelopilo, que vendría a ser el equivalente de una turbina de vapor.

Determinación del área de un triángulo cualquiera

Posiblemente la expresión matemática más conocida de Heron sea su fórmula para determi-nar el área de un triángulo conocidos sus lados. Algo realmente útil en aquellos tiempos de los griegos.

Esta fórmula nos garantiza que conociendo los lados de un triángulo, podemos determinar su área, esto mediante la expresión:

A s s a s b s c= − − − ( ) ( ) ( )

donde a, b, c son los lados del triángulo y s = p

2 es el semiperímetro del triángulo.

Por ejemplo:

1. Hallemos el área de un triángulo con medidas a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm.

observe el triángulo siguiente:

Solución:

i) Utilizando la fórmula A = B h •

2

observe que las medidas de este triángulo corresponden a las medidas de un triángulo rectángulo, puesto que, por el teorema de Pitágoras, tenemos que:

c2 = a2 + b2

102 = 82 + 62

100 = 100

Entonces tenemos que el área es

A = B h •2

, donde B = 8 y h = 6

A = 8 62

•

A = 482

A = 24

respuesta: El área del triángulo es 24 cm2.

ii) Utilizando la fórmula de Herón, tenemos que:

A = s s a s b s c ( ) ( ) ( )− − − , donde

s = 10 + 8 + 62

= 242

= 12


238

Así pues,

A

A

= − − −

=

12 12 6 12 8 12 10

12 6 4

( ) ( ) ( )

• • •

2

576 2 3 2 3 8 3 246 2 3A = = = = =• • •

Como se puede observar, para calcular el área de un triángulo cualquiera, podemos utilizar la fórmula de Herón, debido a que basta conocer las medidas de los lados.

Esto lo hemos comprobado en este caso, uti-

lizando tanto la fórmula clásica A = B h •2

y la

fórmula de Herón A = s s a s b s c ( ) ( ) ( )− − − .

Ambos resultados son los mismos; 24 cm2; es el área del triángulo de medidas a = 6 cm, b = 8 cm y c = 10 cm.

2. También podemos calcular una de las alturas o bien todas, de este triángulo, puesto que, cualquier lado de este triángulo rectángulo, puede considerarse como base.

Veamos por que.

a) Calculemos la altura sobre el lado a.

Solución:

Sabemos que el área es igual a 24 cm2 (calcu-lado por la fórmula clásica A = B h •

2 o bien

por la fórmula de Heron), por tanto, podemos escribir.

24 = B h •2

24 = 62

• h

48 = 6 • h

486

= h

8 = h

Esto nos indica que la altura sobre el lado a mide 8 cm.

b) Calculemos la altura sobre el lado b.

Solución:

Sabemos que el área es igual a 24 cm2, así entonces escribimos

24 = B h •2

24 = 82

• h

48 = 8 • h

488

= h

6 = h

Esto nos indica que la altura sobre el lado b mide 6 cm.

c) Calculemos la altura sobre el lado c.

Solución:

24 = B h •2

24 = 102 • h

48 = 10 • h

4810

= h

4,8 = h

Esto nos indica que la altura sobre el lado c mide 4,8 cm.

Por tanto, se tiene:

t la altura sobre el lado a es 8 cm.

t la altura sobe el lado b es 6 cm.

t la altura sobre el lado c es 4,8 cm.

Si consideramos como base el lado con medida a = 6 cm obtenemos:

Si consideramos como base el lado con medida b = 8 cm, obtenemos:

Si consideramos como base el lado con medida c = 10 cm, obtenemos:

239


Observe:

En un triángulo rectángulo cualquiera, un cateto puede ser altura y el otro puede ser base o viceversa.

3. Cierta finca tiene la forma y las dimensiones indicadas en la figura. Calcule su área.

Solución:

Vamos a obtener el área de esta figura haciendo uso de la fórmula de Herón, la dividimos de la siguiente manera:

t Cálculo del área del triángulo a

Aplicamos la fórmula de Herón: S =P2

y

A = s(s − a)(s − b)(s − c)

S =29 + 29 + 42

2=

1002

= 50 m

A = 50(50 − 29)(50 − 29)(50 − 42

= 50(21)(21)(8)

= 176400

A = 420 m2

t Cálculo del área del triángulo B

Aplicamos la fórmula de Herón:

S =

a + b + c2

; A = s(s − a)(s − b)(s − b)

S =29 + 36 + 25

2=

902

= 45

A = 45(45 − 29)(45 − 36)(45 − 25)

A = 45(16)(9)(20)

A = 129600

A = 360 m2

t El área de la finca es

Afinca = AA + AB

Afinca = 420 m2 + 360 m2

Afinca = 780 m2

respuesta: El área de la finca es 780 m2.

4. En la figura, se tiene que Bd ≅ BC, entonces el área del cuadrilátero ABCd es aproximada-mente.

Solución:

Como puede observar, el cuadrilátero se puede dividir en dos triángulos.

t El ∆ ABd es rectángulo, luego por Teorema de Pitágoras:


240

Bd2 = AB2 + Ad2

Bd2 = AB2 + Ad2

Bd2 = 122 + 52

Bd2 = 144 + 25

Bd2 = 169

Bd = 169

Bd = 13

También, por ser el triángulo rectángulo po-demos obtener su área; utilizando la fórmula tradicional A =

B • h2

, donde B puede ser cual-quier cateto y h el otro cateto.

A =

12 • 52

=602

= 30 cm2

Recuerde: el problema nos indica que BD = BC

t Al triángulo dBC se le puede hallar el área utilizando la fórmula de Herón:

S =13 + 8 + 13

2=

342

= 7

A = 17(17 − 13)(17 − 8)(17 − 13)

A = 17 • 4 • 9 • 4

A = 2448

A = 49,47 cm2

Por tanto el área del cuadrilátero ABCd resulta de sumar el área del ∆ ABd y el área del ∆ dBC, esto es, 30 cm2 + 49,47 cm2 = 79,47 cm2

Las dimensiones de un lote triangular son 100 m, 50 m y 75 metros. Si el precio del terreno es de ¢40 000 por metro cuadrado, ¿cuánto cuesta el lote?

respuesta:

241


aPaRtaDO 1

áReaS De tRiáNGULOS cUaLeSQUieRa

Fernando es un ingeniero civil que necesita en-contrar el área de un lote para edificación de forma irregular, semejante a la que se ilustra en la figura con el número 6. Esto puede hacerse dividiendo el lote en regiones triangulares y calculando el área de cada región triangular. ¿cuánto mide el área del lote 6?

Solución

Por la fórmula de Herón, tenemos que A s s a s b s c= − − − ( ) ( ) ( ) donde s = p2 es el semi-

perímetro. Además observe que la figura sombreada y numerada con 6; está divida en tres triángulos.

a) Calculo del área del triángulo cuyas medidas son 16 cm, 17 cm y 24 cm, respectivamente.

s m

A

=+ +

= =

=

16 17 242

572

28 5

281

,

,55 28 5 16 28 5 17 28 5 24

28 5 121

( , ) ( , ) ( , )

, • ,

− − −

=A 55 115 4 5

18 435 937 5

135 80

1

1

• , • ,

,

,

A

A

=

≈ m2 A1 � 135,80 m2

56 8

9

7

45 m 49 m13 m

18 m

16 m

35 m

45 m

29 m

24 m

32 m

19 m

17 m

30 m

Edific

io

28,5 m


242

b) Calculo del área del triángulo cuya medida de los lados son 24 cm, 19 cm y 32 cm.

s m

A

=+ +

= =

= −

24 19 322

752

37 5

37 5 37 5 24 37 52

,

, ( , )( , −− −

=

=

19 37 5 32

37 5 13 5 18 5 5 5

51 510

2

2

)( , )

, • , • , • ,

,

A

A

937 5

226 9622A m≈ ,

c) Calculo del área del triángulo cuya medida de los lados son 32 cm, 13 cm y 29 cm.

s m

A

=+ +

= =

= − − −

32 13 292

742

37

37 37 32 37 13 37 293 ( )( )( ))

• • •

,

A

A

A m

3

3

32

37 5 24 8

35 520

188 47

=

=

≈

respuesta: El área del lote 6 mide

135,80 m2 + 226,96 m2 + 188,47 m2 = 551,23 m2

=

=

243


aPaRtaDO 2

Un método para encontrar el área del lote 11, requiere encontrar primero el área del ∆ ABC. ¿Cuál es el área del este triángulo? (observe el dibujo, considere r-15 m)

Solución:

a = 39 + 15 = 54 (r = 15 m)

b = 46 m

c = 43 + 15 = 58 (radio: r = 15 m)

s = 1

2 54 + 46 + 58 = 158

2 = 79( )

s – a = 79 – 54 = 25; s – b = 79 – 46 = 33; s – c = 79 – 58 = 21

Por la fórmula de Herón el área del ∆ ABC es

A

A

A

≈

=

=

79 25 33 21

1 368 675

1

• • •

1169 90 2, m

respuesta: El área del triángulo es aproximadamente 1169,90 m2.

1. Una persona compró un terreno con forma de pentágono irregu-lar. Encuentre el área de este terreno si AF = 10 m, FG = 40 m, GH = 15 m, HC = 20 m, EF = 20 m, dG = 30 m y HB = 35 m.

respuesta:

aPaRtaDO 3

A

E D

C

B

FG

H

1,5 m


244

2. ¿Cuál es el área del terreno que se muestra en la figura de la derecha? Sugerencia: divida el terreno en dos regiones triangulares, como se muestra y luego calcule el área de cada uno de los triángulos. Use la fórmula de Heron para hallar el área del triángulo obtusángulo.

respuesta:

3. Las dimensiones de un lote triangular son 100 m por 50 m por 75 m. Si el precio del terreno es de ¢30 000 por metro cuadrado, ¿cuánto cuesta el lote?

respuesta:

4. Un hombre de negocios desea comprar un lote triangular en un transitado lugar de la ciudad. Los frentes del lote en las tres calles adyacentes son 125, 280 y 315 metros. Encuentre el área del lote.

respuesta:

20 m

35 m

40 m

30 m

aPaRtaDO 4

1. Utilizando la fórmula de Herón, encuentre el área del triángulo, dadas las medidas.

a) a = 5 cm , b = 8 cm , c = 4 cm

b) a = 12 dm , b = 5 dm , c = 13 dm

2. ¿Cuál es el área de un jardín triangular si las longitudes de los tres lados son 25, 32 y 41 metros; respectivamente?

respuesta:

245


3. Considere la siguiente figura el ABCd; donde se indican los datos pertinentes de ésta; si AC = 15 cm; utilice la fórmula de Herón y calcule su área.

respuesta:

4. Los lados de un triángulo miden 12, 17 y 21 cm. determine el área de éste.

respuesta:

5. Considere el siguiente cuadrilátero ABCd, donde los datos están indicados en la figura siguiente. Calcule su área.

respuesta:


246

aPaRtaDO 1

caLcULemOS La aLtURa De UN tRiáNGULO Si cONOcemOS LaS meDiDaS De LOS LaDOS

A. En ocasiones, puede suceder que se conozcan los tres lados de un triángulo, pero no la altura. En tales casos es muy conveniente utilizar la fórmula de Herón de Alejandría del siglo primero de nuestra era para encontrar el área de este y con la fórmula clásica A B h

=•2

hallar la altura sobre cualquier lado considerado como base de este triángulo

Por ejemplo

Datos

a = 12 cm

b = 8 cm

c = 6,5 cm

Hallemos el área del ∆ ABC, utilizando la fórmula de Herón, también halle la altura sobre cada lado y verifique con una regla numerada dicha medida. (Sugerencia: construya un triángulo semejante a este en una hoja de su cuaderno).

1) Por la fórmula de Herón

s = 12 + 8 + 6,5

2 = 13,25

s – a = 13,25 – 12 = 1,25

s – b = 13,25 – 8 = 5,25

s – c = 13,25 – 6,5 = 6,75

A

DC

B

F E

b

a

c

247


2)

a. Altura sobre lado 12 cm; esto es, consideremos como b = 12 cm

A B h

h

h

=

=

=

•

, •

,

,

2

24 23 122

48 4612

4 004 ≈ h

b. Altura sobre el lado b = 8 cm

A B h

h

h

=

=

=

•

, •

,

,

2

24 23 82

48 468

6 06 ≈ h

Algunas veces al comparar con una regla nume-rada obtenemos una diferencia de milímetros, esto se debe al tipo de regla que se utilice.

A = 13,25 • 1,25 • 5,25 • 6,75

A = 586,9336

A ≈ 24,23 cm2


248

c. Altura sobre lado B = 6,5 cm

A B h

h

h

=

=

=

•

, , •

,,

,

2

24 23 6 52

48 466 5

7 45 ≈ h

otras veces fallamos en milímetros, puesto que estamos redondeando nú-meros a la diezmilésima, como ocurrió con ≈ 586 9336 24 23, , .

aPaRtaDO 2

A. Calcule el área del triángulo equilátero si su lado mide 8 cm. ¿ cuál es la altura de este?

Solución:

Por teorema de Herón.

s = 8 + 8 + 8

2 = 24

2 = 12

s – a = 12 – 8 = 4

s – b = 12 – 8 = 4

s – c = 12 – 8 = 4

768 2384 2192 296 248 224 212 26 23 31

respuesta: El área del triángulo equilátero es 16 3 .

A

A

A

A

=

=

=

=

12 4 4 4

768

2 38

• • •

•

2 3

16 3

4

2A cm=

249


B. Una vez obtenida el área del triángulo si podemos calcular cualquiera de sus alturas.

Utilizando la fórmula A B h =

•2

, obtenga la altura sobre el lado de 8 cm, sabiendo que el área

calculada por la fórmula de Herón es 16 3 cm2.

Solución:

16 32

8

16 3

= =B h considerando B cm•

=

=

=

=

82

32 3 8328

3

4 3

•

•

h

h

h

h

La altura del triángulo equilátero es 4 3 cm.

aPaRtaDO 3

1. Utilice los datos de la siguiente figura para comprobar que los triángulos AMN; MNB y MNC poseen la misma área. (nota: en el cálculo final de cada área redondee a la unidad más próxima)

MN = 6 cm

NB = 5 cm

BM = 5 cm

AM = 4 cm

MC = 9 cm

NC = 4,5 cm

AN = 7,21 cm

respuesta:

A B

M N

C


250

2. de acuerdo con los datos de la figura, compruebe que el área de los triángulos AFB; AEB; AdB y ACB es de la misma medida. (redondee cada área a la unidad más próxima).

AB = 8 cm

BC = 5,9 cm

AC = 13 cm

Bd = 4 cm

Ad = 8,9 cm

BE = 4,4 cm

AE = 7,3 cm

AF = 5,5 cm

BF = 5,8 cm

respuesta:

3. Halle el área total de la figura; utilice la fórmula de Herón.

respuesta:

A B

CDEF

4

5

3

3,5

4,3

2I

II

III

IV

7,7

7,8

7,2

251


4. Con ayuda del Teorema de Herón, halle el área sombreada en cada una de las figuras siguientes

a) b) c)

aPaRtaDO 4

1. Si el área del ∆ ABC con medidas de sus lados a = 4 m, b = 7 m, c = 10 m es 32 m2. Calcule la altura sobre cada uno de los lados.

2. Encuentre el área de la siguiente figura.

3. dibuje un triángulo isósceles de lados 6 cm, 6 cm y 10 cm.

a) Calcule su área, utilizando la fórmula de Herón.

b) Calcule la altura, utilizando el teorema de Pitágoras.

c) Calcule la altura utilizando A =B • h

2 y el resultado hallado en a).

10 cm

12 cm

12 cm


252

d) Compare la altura hallada por el teorema de Pitágoras, la fórmula A B h =

•2

y la medida por una regla numerada. ¡Qué opinión le merece!

4. Encuentre cada una de las alturas de los triángulos con medidas de sus lados:

a) a = 5 cm, b = 8 cm y c = 4 cm

b) a = 12 dm, b = 5 dm y c = 13 dm

c) a = 20 cm, b = 65 cm y c = 75 cm

d) a = 9 dm, b = 11 dm y c = 14 dm

5. Halle el valor del área de los triángulos escalenos cuyos lados miden en cada caso:

a) a = 20, b = 26 y c = 24

b) a = 30, b = 25 y c = 22

c) a = 50, b = 35 y c = 40

d) a = 120, b = 110 y c = 115

e) a = 210, b = 250 y c = 240

253

SEMANA dUodéCiMAmatemática - EL MAESTro EN CASA

trigonometría

Una de las unidades que estudiaremos en este libro de Matemática Zapandí, es la unidad de Trigo-nometría.

Puesto que la Trigonometría nos permite relacionar ángulos y longitudes de triángulos rectángulos, en las semanas siguientes conoceremos los conceptos tales como: las razones trigonométricas de un ángulo agu-do, y por consiguiente estableceremos las relaciones que cumplen las razones trigonométricas de ángulos complementarios.

Además determinaremos el valor de las razones trigonométricas de dichos ángulos, y para ello resolve-remos problemas utilizando los conceptos de ángulos de elevación y de depresión.

También resolveremos problemas utilizando trián-gulos oblicuángulos o escalenos utilizando el Teorema de los Senos.

CUArTA UNidAd


254

OBjetiVOS:

v Analizar la aplicación de las razones trigono-métricas en el desarrollo científico y tecnoló-gico.

v Determinar el valor de las razones trigonomé-tricas, seno, coseno y tangente de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, a partir de las medidas de los lados del triángulo.

v Determinar las medidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo, utilizando razones trigonométricas.

v Determinar las medidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo, utilizando razones tri-gonométricas de ángulos complementarios.

v Resolver problemas provenientes de la cultura cotidiana y sistemátizada, que involucren los conceptos de ángulos de elevación y ángulo de depresión.

cONteNiDOS:

- Concepto de trigonometría.

- Aportes en el desarrollo científico y tecnológi-co.

- Razones trigonométricas: seno, coseno, tan-gente y cotangente de un ángulo agudo.

- Razones trigonométricas: su aplicación al de-terminar las medidas de lados y ángulos de un triángulo rectángulo, así como la altura de un triángulo y diagonales de paralelogramos.

- Relaciones trigonométricas de los ángulos complementarios de un triángulo rectángulo.

- Razones trigonométricas de los ángulos de medidas 30°, 45° y 60°.

- Ángulo de elevación y ángulo de depresión.

- Problemas de aplicación de razones trigono-métricas.

SE

MA

NA

d

Uo

dé

CiM

A

255


Continuamos esta semana con los triángu-los pero no cualquier triángulo, estudiaremos el triángulo rectángulo y, específicamente, sus lados: catetos e hipotenusa.

Podemos decir que la trigonometría es la parte de la geometría que trata del cálculo de los elementos de los triángulos y las razones trigonométricas correspondientes a los án-gulos de los triángulos rectángulos.

Concibiendo tales razones como los cocien-tes que se establecen entre el cateto opuesto a un ángulo del triángulo rectángulo y la hipotenusa de este (seno), o bien, el cociente que resulta de la correspondencia entre el cateto adyacente o contiguo y la hipotenusa (coseno).

Así pues, tenemos que las razones trigo-nométricas básicas de un ángulo son el seno y el coseno. Es necesario aclarar que el seno y el coseno no son rectas ni ángulos sino cons-tantes, es decir, números que por convenio son designados por estos nombres.

A partir de estas dos razones pueden calcu-larse otras razones trigonométricas tales como la tangente y la cotangente.

El conocimiento de las razones trigonomé-tricas de un ángulo presenta una gran utilidad práctica. Sin este, la única manera de conocer el valor de los lados de un triángulo es utilizar el teorema de Pitágoras o algunas de las rela-ciones métricas que se dan en los triángulos rectángulos. en cambio, gracias al empleo de estas razones trigonométricas nos es posible

determinar los lados, conociendo el valor de sus ángulos.

Las razones trigonométricas se usan general-mente en triángulos rectángulos pero es posible aplicarlas a otra clase de triángulos como los isósceles, equiláteros u otros; para ello debemos trazar la altura correspondiente a la base. de esta manera habremos obtenido dos triángulos a los que sí se pueden aplicar dichas razones.

En la práctica existen muchas ciencias que precisan de la trigonometría, como la astronomía, la topografía, la náutica y otras, ya que existen problemas prácticos que necesitan datos que sólo pueden obtenerse usando los métodos trigono-métricos.

Una de las aplicaciones prácticas de la trigo-nometría más usada por los topógrafos es la que se conoce con el nombre de método de la doble observación y que les permite determinar la altura de una montaña a la cual no pueden acercarse. Consiste dicho método en observar la cúspide de la montaña y determinar el ángulo con que esta se ve desde el lugar en que nos encontramos por medio de un teodolito (aparato que sirve para medir ángulos). después se retrocede o se avanza una longitud determinada que se mide con una cinta métrica y se vuelve a calcular el ángulo de mira.

Conociendo las medidas de los dos ángulos y la distancia que separa las dos estaciones de observación, podemos conocer la altura de la montaña y si lo deseamos, la distancia a que nos encontramos de ella.

LaS RazONeS tRiGONOmétRicaS


256

C

HBAα β

Veamos la ilustración siguiente:

Pero en el pasado así era como se procedía.

Veámoslo:

Aplicando el teorema de Tales (matemático griego de los siglos

Vii-Vi a.C.) fue capaz de resolver problemas que en su tiempo

parecían irresolubles. Para medir la altura de la cima de una peña Tales se sirvió de un bastoncillo

y de los rayos del sol. Clavando el bastoncillo verticalmente en el

suelo, la longitud de la sombra que proyecta y la que proyecta

la peña tienen la misma relación que las alturas respectivas, de tal

manera que cuando la sombra del bastoncillo tiene la misma longitud

que éste, la sombra de la peña tiene también la misma longitud

que la altura de la misma y, por lo tanto, midiendo dicha sombra se puede saber la altura de la peña.

Ahora que tenemos que CH puede ser (AB + BH) tan α o bien (BH) tan β. y como a través del teodolito (instrumento de abajo), podemos saber el valor de α y de β, calculando el valor de BH en esta ecuación, encontramos después el valor de CH, que es la altura que estamos buscando.

45°

45° 90°sombra

bastoncillo

método de la doble observación

He aquí un ejemplo de cómo calcular la altura de una montaña a través del método de la doble observación:

En el ∆ CAH ➠ tan α = CH ➠ CH = (AB + BH) tan α AB + BH

En el ∆ CBH ➠ tan β = CH ➠ CH = BH tan β BH

257


Con lo expuesto anteriormente, podemos decir que lo único que tenemos que hacer es volver a desempolvar esos conocimientos que en el pasado se concibieron y aplicarlos a situaciones actuales. Esto es lo que haremos a continuación.

Veamos.

En la figura siguiente tracemos rectas per-pendiculares formando así triángulos rectángulos semejantes.

Se dijo anteriormente que la razón seno es el cociente de la medida del cateto opuesto al ángulo agudo seleccionado y la hipotenusa.

de acuerdo con la figura anterior tenemos

sen A = BC = dE = FG = Hi AC Ad AF AH

Esta razón así concebida no depende de la longitud de los lados del triángulo.

Mida los lados de cada triángulo y realice las divisiones indicadas.

¿Qué puede observar en el cociente de cada una?

respuesta:

Así pues tenemos que recordar lo siguiente:

Si un ángulo agudo forma parte de un triángulo rectángulo, se llama seno (sen) de este ángulo a la razón del cateto opuesto y la hipotenusa.

sen A = BC = cateto opuesto AC hipotenusa

También tenemos que podemos establecer las proporciones siguientes:

AB = AE = AG = Ai AC Ad AF AH

Con estas obtendremos una nueva razón, a la cual se le denomina coseno.

Es decir:

Se llama coseno (cos) de un ángulo de un triángulo rectángulo a la razón del cateto adyacente o contiguo y la hipotenusa.

cos A = AB = cateto adyacente AC hipotenusa

AB E IG

HF

D

C

A B

C

hipotenusa

cateto opuesto

A B

C

hipotenusa

cateto adyacente ocontiguo

1


258

otra razón más conocida es la tangente (tan); diremos que la tangente de un ángulo es la razón del cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente a este.

Así pues, tenemos que

BC ; dE ; FG y Hi producen el mismo cociente. AB AE AG Ai

O sea

tan A = BC = cateto opuesto AB cateto adyacente

También tenemos otra razón trigono métrica muy útil, es la cotangente de la cual di remos que …

La razón del cateto adyacente o contiguo y el cateto opuesto a un ángulo de un triángulo rectángulo se llama cotangente (cot).

cot A = AB = cateto adyacente BC cateto opuesto

A B

C

hipotenusa

cateto adyacente

cateto opuesto

A B

C

hipotenusa

cateto adyacente

cateto opuesto

Por ejemplo:

1. Calcule las razones trigonométricas del án-gulo α.

Solución:

Como se puede observar, los tres lados del triángulo rectángulo son conocidos, así que para calcular las razones trigonométricas, solo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir.

Para el ángulo α el cateto opuesto es 9, el contiguo o adyacente 12 y la hipotenusa 15.

2. En un triángulo rectángulo halle a si sen A = 2

5 y C = 3,45.

259


Solución:

Sabemos que

esto es; sen A =ac

=a

3,45 pero como

sen A =25

=a

3,45 despejamos a

a =2 • 3,45

5=

6,95

= 1,38

respuesta: a = 1,38.

1. Al despejar de la pista elevándose en línea recta, un avión forma un ángulo constante de 30° con la pista, como se muestra en la figura.

t Cuando el avión ha recorrido una distancia de 40 metros sobre la trayectoria, su altura sobre la pista es de 20 metros.

t Cuando su distancia es de 60 metros, su altura es de 30 m.

t Cuando su distancia es de 100 metros, su altura es de 50 m.

a) Para la posición 1, ¿cuál es la razón de la altura alcanzada por el avión y su distancia recorrida sobre la trayectoria.

2

b) Calcule la misma razón para las posiciones 2 y 3. ¿Qué observa?

c) Para un mismo ángulo de despegue, ¿depen-derá la razón de la distancia recorrida por el avión?

2. observe el triángulo rectángulo en el B y la tabla de la derecha, complete la columna con la respectiva razón trigonométrica respecto al ángulo A.

Fracción Valor

cot5

12

cos

tan

sen

3. Para cada triángulo rectángulo indique las ra-zones (seno, coseno, tangente y cotangente) de cada uno de los ángulos agudos.


260

AB

C

ab

c

90° - m A

4. Halle sen, cos, tan y cot de los ángulos α y β. Considere el triángulo rectángulo.

Razón α β

sencostancot

5. En cada uno de los siguientes casos considere el siguiente triángulo rectángulo y obtenga

a) halle a si sen A = 34

y c = 12

b) halle b si cos A = 23

y c = 23

c) halle a si tan A = 2 y b = 4 (2 = 21

)

ángulos complementarios

Se dice que dos ángulos son complementarios cuando su suma es 90°.

Como ya sabemos las razones trigonométricas anteriores se refieren a los ángulos agudos de los triángulos rectángulos.

Seguidamente veremos la relación entre las razones trigonométricas de los ángulos comple-mentarios de un triángulos rectángulo.

Consideremos el triángulo rectángulo ABC, en donde el ángulo del vértice B es recto y los otros dos son ángulos agudos.

Como la suma de las medidas de los ángulos internos de todos el triángulo es 180°; se tiene que m C + m A = 90°. Esto nos indica que los án-gulos C y A son complementarios, donde además, m C = 90° – m A. Las razones trigonométricas de los ángulos complementarios se definen de la siguiente manera:

sen A = a1) b sen A = cos C cos (90° – A) = cos C = a b

cos A = c2) b cos A = sen C sen (90° – A) = sen C = c b

261


tan A = a3) c tan A = cot C cot A (90° – A) = cot C = a c

de lo anterior podemos concluir que…

1. El seno de un ángulo agudo es igual al coseno del ángulo complementario.

2. La tangente de un ángulo agudo es igual a la cotangente del ángulo complementario.

Verifiquemos lo anterior utilizando los triángulos rectángulos 30°, 60°, 90° y 45°, 45°, 90°.

sen 30° = cos 60° = 12

cos 30° = sen 60° = 32

tan 30° = cot 60° = 13

=3

3

sen 45° = cos 45° = 12

=2

2

cos 45° = sen 45° = 12

=2

2

tan 45° = cot 45° = 11

= 1

Recuerde:

❖ El complemento del ángulo 30° es 60° pues 90° – 30° = 60°.

❖ El complemento del ángulo 45° es 45° pues 90° – 45° = 45°.

❖ La expresión 13

=3

3 ; 1

2=

22

Ejemplos:1. de las siguientes parejas de ángulos, ¿cuáles

son complementarios?

45° y 45° 21° y 68°

90° y 10° 85° y 95°

31° y 59° 90° y 90°

100° y 90° 54° y 36°

43° y 47° 62° y 118°

50°19' y 49°41' 90°30'12" y 81°29'48"

2. Complete la siguiente tabla

complementario ángulo

90° – 36° = 36°

14°

69°

85°

47°15'

2

1

60°

30°

3

21

45°

45°

1


262

3Considere el siguiente triángulo rectángulo.

a) Calcule los valores de ls razones trigonométricas de cada uno de sus ángulos agudos y complemen-tarios α y β.

ánguloFunciones trigonométricas

Seno coseno tangente cotangente

α

β

b) ¿Qué relaciones encuentra entre los valores de las razones trigonométricas con seno y coseno del ángulo α, con respecto a los valores de las mismas razones del ángulo β?

c) ¿Por qué se cumplen estas relaciones?

263


Como los valores de las razones trigonomé-tricas varían con el ángulo, hay tablas construidas con los valores para cada ángulo de cada una de las razones sen, cos, tan y cot.

Las tablas que incluimos aquí están dadas de grado en grado para cada una de las razones.

En esta tabla encontraremos tabulada tam-bién la razón cotangente ya que va ligada a la razón tangente puesto que la razón se define como:

cot A = cateto adyacente cateto opuesto

taBLa De VaLOReS PaRa RazONeS tRiGONOmétRicaS 1 2 3 4 GrAdoS SENo TANGENTE CoTANGENTE CoSENo GrAdoS

0 0,0000 0,0000 no existe 1,0000 90 1 0,0175 0,0175 57,290 0,9998 89 2 0,0349 0,0349 28,636 0,9994 88 3 0,0523 0,0524 19,081 0,9986 87 4 0,0698 0,0699 14,301 0,9976 86

5 0,0872 0,0875 11,430 0,9962 85 6 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 84 7 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 83 8 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 82 9 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 81

10 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 80 11 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 79 12 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 78 13 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 77 14 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 76

15 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 75 16 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 74 17 0,2924 0,4057 3,2709 0,9563 73 18 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 72 19 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 71

20 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 70 21 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 69 22 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 68 23 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 67 24 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 66

25 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 65 26 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 64 27 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 63 28 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 62 29 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 61

30 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 60 31 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 59 32 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 58 33 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 57 34 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 56

35 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 55 36 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 54 37 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 53 38 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 52 39 0,6293 0,8098 1,2349 0,7771 51

40 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 50 41 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 49 42 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 48 43 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 47 44 0,4967 0,9657 1,0355 0,7193 46

45 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 45 GRaDOS cOSeNO cOtaNGeNte taNGeNte SeNO GRaDOS

8 7 6 5 ➠

➠


264

Uso de la tabla

En la primera columna encontramos la medida del ángulo desde 0° hasta 45°. Cuando se lee uno de estos ángulos entre 0° y 45° se busca el nombre de la función arriba y en la columna respectiva, el valor para ese ángulo.

Ejemplo:

1. Busquemos el valor para sen 35°. En la co-lumna 1 donde dice seno buscamos hacia abajo hasta llegar a la línea para los 35° para el cual leemos 0,5736.

2. Para ese mismo ángulo leemos tan 35° = 0,7002 (en la misma línea).

Compruebe los valores siguientes:

sen 18° = 0,3090 tan 22° = 0,4040

sen 50° = 0,7660 tan 35° = 0,7002

cos 30° = 0,8660 cot 38° = 1,2799

cos 37° = 0,7986 cot 82° = 0,1405

Con los valores de esta tabla próximamente vamos a resolver problemas en los cuales se dan dos elementos de un triángulo rectángulo para encontrar los otros tres. (Un dato fijo en los pro-blemas es el ángulo recto.)

Resolución de triángulos rectángulos

resolver un triángulo consiste en averiguar las medidas de sus tres ángulos y tres lados. Como uno de los ángulos es un ángulo recto; es 90° la información mínima que necesitamos para resolver el triángulo es

4

que conozamos dos lados del triángulo o que conoz-camos un ángulo (distinto de cero) y un lado.

Veamos como resolver el triángulo en cada caso.

a) conocidos dos lados del triángulo

Si conocemos dos lados del triángulo rectán-gulo, se determina el tercero usando el teorema de Pitágoras, una vez hallado el lado que falta se determinar el seno, coseno o tangente de un ángulo cualquiera y a través del uso de la tabla de razones trigonométricas se halla uno de los ángulos agudos. El otro ángulo agudo se obtienee restando de 90°, recordemos que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

1. Se conoce la medida de la hipotenusa y de un cateto de un triángulo rectángulo así: c = 10 cm b = 7 cm. determine la medida del otro cateto y de los ángulos agudos respectivos y el área del triángulo.

Solución

a) Para encontrar el tercer lado. Utilizamos el teorema de Pitágoras.

c2 = a2 + b2

102 = a2 + 72

a2 = 102 – 72

a2 = 10 – 49

a2 = 51

a = 51

265


b) Para encontrar los ángulos agudos complemen-tarios vamos a utilizar la razón trigonométrica coseno.

cos A =cateto adyacentecateto hipotenusa

=7

10

= 0,7

Buscamos en la tabla de valores el valor cos A = 0,70 se observa que el ángulo es aproxi-madamente 45°. Por lo tanto, el otro ángulo complementario es 90° – 45° = 45°.

Los ángulos son 45°, 45 y el cateto faltante es 51.

c) Para calcular el área del triángulo basta con aplicar:

área (∆ ACB) =a • b

2, luego

área (∆ ACB) =51• 72

=7,14 • 7

2

=49,98

2= 24,99 cm2

2. Los catetos de un triángulo rectángulo mide 7 cm y 4 cm. ¿Cuánto miden sus ángulos agudos?

Solución:

dado que los elementos conocidos del triángulo son los catetos, las razones trigonométircas que

los relacionan son la tangente con cualquiera de sus ángulos agudos.

Entonces: tan A = 47

= 0,5714

Cuando tenemos esta situación buscamos la tabla de razones trigonométricas; un valor aproximado a 0,5714 en la columna de tan-gente.

Como puede ver, 0,5714 se encuentra ubicado entre la tan 30° = 0,5774 y la tan 29° = 0,5543.

Para este libro de Matemática Zapandí, toma-remos el ángulo más cercano al valor encon-trado, así que el ángulo A, tendrá una medida de 30°.

Como los ángulos A y B son ángulos comple-mentarios

m B = 90° – m A

= 90° – 30°

= 60°

respuestas: Los ángulos agudos miden aproxi-madamente 30° y 60°.

3. Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 10 cm y el ángulo opuesto a este cateto mide 30°. ¿Cuánto mide la hipotenusa y el otro cateto de este triángulo?

Solución:

Siempre que se vaya a resolver un problema es conveniente hacer el dibujo y poner los datos sobre el dibujo.

y

x10

30°

C

BA


266

El valor sen 30° lo buscamos en la tabla, en la columna que dice sen hacia abajo hasta encontrar 30°. En este caso sen 30° = 0,5000 y la relación se transforma en esta ecuación

0,5000 = 10x

donde despejando x se tiene

0,5000 x = 10

x = 10

0,5000

x = 20 cm La hipotenusa mide 20 cm.

Para resolver la parte b) escogemos

tan A = cateto opuesto cateto adyacente

que es la que tiene el dato que nos dan y el que nos piden en este caso.

Tenemos: m A = 30°, cateto opuesto 10 cm; cateto adyacente y; luego esta relación se trans-forma en

tan 30° = 10y

El valor tan 30° lo buscamos en la columna donde diga tangente para el ángulo 30°. Así tene-mos que tan 30° = 10

y

0,5774 = 10y

0,5774 y = 10

y =

100,5774

y = 17,31 cm

El cateto adyacente mide aproximadamente 17,31 cm.

de la lectura del problema debe quedar bien claro cuáles son los datos y cuál es la pregunta del problema.

Para resolver este problema tenemos un án-gulo y el cateto opuesto a este ángulo. Las preguntas son:

a) ¿Cuánto mide la hipotenusa?

b) ¿Cuánto mide el cateto adyacente?

Para contestar la primera parte contamos con los datos siguientes: un ángulo y el cateto opuesto, por lo tanto, debemos buscar en las razones trigonométricas

sen A = cateto opuesto hipotenusa

tan A = cateto opuesto cateto adyacente

cos A = cateto adyacente hipotenusa

cot A = cateto adyacente cateto opuesto

¿Cuál de estas tiene la hipotenusa y el cateto opuesto?

Notamos en este caso que el

sen A = cateto opuesto hipotenusa

por lo tanto, vamos a usar esta razón para resolver la parte a).

En nuestro problema tenemos que m A = 30°; cateto opuesto: 10 cm; hipotenusa = x. Por lo que la relación se transforma en

sen 30° = 10 x

267


b) conocidos un lado y un ángulo

Si conocemos un ángulo agudo del triángulo rectángulo, podemos determinar su complemento, este será el segundo ángulo.

Una vez que tengamos los tres ángulos y al conocerse uno de los lados valiéndose de las razo-nes trigonométricas calcularemos los otros dos.

1. de un triángulo rectángulo sabemos que su hipotenusa mide 10 cm y un ángulo mide 20°. Calcule todos sus elementos y su área.

Solución:

t Para encontrar el segundo ángulo, hacemos uso del hecho de ser complementarios; esto es:

m A + m B = 90°

20° + m B = 90°

m B = 90° – 20°

m B = 70°

t Para encontrar la medida de los catetos a y b lados faltantes y como ya conocemos las medidas de los ángulos agudos utilizamos una razón que utilice uno de los ángulos y la hipotenusa, dato conocido así: Usemos sen 20° y cos 20° para calcular el cateto a y el cateto b.

sen 20° =a

10cos 20° =

b10

a = 10 • sen 20° b = 10 • cos 20

a = 10 • (0,3420) b = 10 • (0,9397)

a = 3,42 cm b = 9,397 cm

El ángulo faltante es 70° y los catetos a = 3,42 cm y b = 9,397 cm.

El área del triángulo es:

área ∆ ABC =12

(9,397)(3,42)

= 16,07 cm2

2. En el triángulo rectángulo de la figura, los elementos conocidos son: el ángulo recto, el de 56° y uno de los catetos, el de longitud 10, adyacente al ángulo de 56°. Por tanto, falta encontrar el ángulo A, el cateto x opuesto al ángulo 56°, y la hipotenusa y.

a) Encontremos el ángulo A

Como el ángulo A es complementario de 56°, podemos encontrar su medida así:

m A = 90° – 56° = 34°

Para encontrar uno de los lados que hace falta, necesitamos utilizar los elementos co-nocidos y una relación entre ellos y el lado desconocido.


268

b) Si comenzamos con el cateto x, la razón tan-gente, en este caso lo relacionan con los datos originales, es decir:

tan 56° =x

10 resolviendo esta ecuación tenemos que

x = 10 tan 56°

importante:

El valor de tan 56° lo podemos encontrar en la tabla de valores anterior, si tiene duda, repase la página: uso de la tabla (264).

x = 10 • 1,4826

x = 14,826

También, podríamos comenzar hallando la hipotenusa y con la razón trigonométrica co-seno.

c) Utilizamos la razón coseno relacionando el ánglo 56° y el lado de longitud 10 así:

cos 56° =10y

resolviendo la ecuación, tenemos que:

y =10

cos 56°

y =10

0,5592

y = 17,88

respuesta: El ángulo agudo que falta: 34°

La hipotenusa: 17,88

El cateto que hacía falta: 14,826

Ver tabla para cos 56° = 0,5592

Observe

Como se puede ver, las razones trigo-nométricas son útiles para encontrar elementos de triángulos a partir de otros elementos conocidos del mismo.

4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 10 cm y uno de sus ángulos mide 18°. ¿Cuáles son las medidas de sus catetos?

Sean a el cateto opuesto al ángulo de 18° y b el adyacente al mismo ángulo.

Como sen 18° =a

10 cm, entonces:

a = (10 cm)(sen 18°)

a = (10 cm)(0,309)

a = 3,09 cm

Como cos 18° =b

10 cm, entonces

b = (10 cm)(cos 18°)

b = (10 cm)(0,951)

b = 9,51 cm

respuesta: Las medidas de sus catetos es 3,09 cm y 9,51 cm.

269


5. Calcule las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo.

Solución:

Como se puede observar, en este triángulo ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos. Para calcular lo vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.

Lo primero que debemos hacer es ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m y c es el lado que queremos calcular.

Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:

a2 = b2 + c2

142 = 82 + c2

196 = 64 + c2

196 − 64 = c2

132 = c2

132 = c

11,49 = c

Luego c = 11,49 m

Ahora aplicando las razones trigonométricas para el ángulo C tenemos:

sen c =11,49

14= 0,82

cos c =8

14= 0,57

tan c =11,49

8= 1,44

cot c =8

11,49= 0,69

Con frecuencia, en diversas situaciones de la vida real se presentan poblemas relacionados con figuras geométricas como triángulos, cuadrados, rectángulos y paralelogramos. En muchos de esos casos surge de manera natural la figura del triángulo rectángulo.

Veamos algunos ejemplos:

1. La pantalla de un tele-visor de 27 pulgadas es cuadrada y plana. Sabiendo que esta medida es la longitud de la diagonal del cuadrado, ¿cuál es el ancho de la pantalla?

Solución:

El ancho de la pantalla es la longitud del lado del cuadrado. Sea x su medida.

La diagonal del cuadrado lo divide en dos triángulos rectángulos isósceles con ángulos agudos de 45° y con catetos iguales a x.

sen 45° =x

27

pero sen 45° =12

27 pulg

45°

45°


270

entonces

respuesta: El ancho de la pantalla es 19,09 pulgadas.

2. La escalera de un pintor mide 4 m de longitud. ¿Qué altura alcanza si al apoyarla en la pared forma con ésta un ángulo de 34°?

Solución:

Podemos representar el enunciado con la figura de abajo, donde h es la altura que alcanza la escalera.

En el triángulo rectángulo formado, h es cateto ad-yacente al ángulo de 34° y la escalera es la hipote-nusa, las funciones trigonométricas que relacionan estos elementos son el coseno y la secante.

Si utilizamos la función coseno tenemos:

cos 34° =h

4 m

h = (4 m)(cos 34°)

h = (4 m)(0,8290)

h = 3,32 m

respuesta: La altura que alcanza la escalera es de 3,32 m.

3. Un ingeniero está diseñando un techo de dos aguas para una cochera, cuya sección es un triángulo isósceles, como se ilustra en la figura.

Si el ancho de la cochera es de 4,2 m, la altura de las columnas es de 2,6 m y los ángulos de la base del triángulo son de 22, ¿qué altura alcanza el punto más alto del techo?

Solución:

Las características geométricas de la cochera se representan a continuación.

de acuerdo con el enunciado, la altura que alcanza el punto más alto del techo es 2,6 m más la altura h del triángulo isósceles, la cual lo divide en dos triángulos rectángulos con-gruentes, con catetos de medida h y 2,1 m.

12

=x

272 = 27

x =27

2=

272

22

• =27 2

2=

2 222

271


de tan 22° =h

2,1 m, obtenemos:

tan 22° =h

2,1 m

h = (2,1)tan22°

h = (2,1)(0,4040)

h = 0,8484 m

h ≈ 0,85

Así, la altura del punto más alto del techo es 2,6 m + 0,85 m = 3,45 m

respuesta: La altura que alcanza el punto más alto del techo es 3,45 m.

ángulos de elevación y depresión

Cuando un observador mira un objeto de modo que tiene que "levantar la vista" para encontrarlo se forma un ángulo entre el horizontal (a la altura de los ojos) y la visual del observador, este ángulo se llama ángulo de elevación. igualmente, si el ob-servador debe "bajar la vista" para mirar un objeto, su visual forma con la horizontal un ángulo que se llama ángulo de depresión.

Los ángulos de elevación y de depresión se constituyen en elementos de un triángulo rectángulo formado por la horizontal y la vertical ya sea en el objeto o en el punto de mira.

1. édgar fue a elevar su papalote a un parque, utilizando 50 metros de hilo. Si el ángulo que forma el hilo con la horizontal es de 35°, ¿a qué altura sobre la horizontal se encuentra el papalote?

Solución:

Podemos ilustrar el enunciado con la figura de arriba, siendo h la altura a que se encuentra el papapelote.

El ángulo de 35° que forma el hilo con la ho-rizontal, medida sobre ésta, es el ángulo de elevación del papalote.

de acuerdo con el triángulo rectángulo, h es el cateto opuesto del ángulo de 35° y el hilo es la hipotenusa. Por tanto la función trigonométrica que lo relaciona es el seno.

Si utilizamos la función seno tenemos:

sen 35° =h

50 m

h = (50 m)(sen 35°)

h = (50 m)(0,5736)

h = 26,68 m

Así, la altura a la que se encuentra el papalote es de 28,68 m.


272

2. Un faro tiene 65 m de altura. El ángulo de depresión desde la cima del faro hasta el barco en el mar es de 35°. ¿Qué tan lejos desde la base del faro está el barco?

Solución:

tan 35° = 65x

0,7002 = 65x

x = 650,7002

x = 92,85 m (redondeado)

respuesta: El barco se encuentra aproxima-damente a 92,85 m.

3. El estacionamiento de un centro comercial se encuentra en su sótano a 3,5 m bajo el nivel del suelo como se muestra en la figura. Si la longitud máxima de la rampa está restringida a 6,5 m, ¿cuál será su ángulo de inclina-ción?

X

ángulo de elevación

ángulo de depresión

altura = 65 m

35°

Solución:

La interpretación geométrica del enunciado es:

donde ϕ es el ángulo de inclinación de la rampa. Así:

sen ϕ =3,5 m6,5 m

sen ϕ = 0,5385ϕ = 32°

respuesta: La inclinación de la rampa es de 32°.

Buscamos en la tabla de valores el valor de seno que se aproxime, tenemos que este valor está ubicado entre sen 32° = 0,5299 y sen 33° = 0,5446. Escogemos el ángulo de 32°.

273


4. desde el puesto de obser-vación de un faro, que está a una altura de 40 m sobre el nivel del mar, los ángulos de depresión a dos yates que se encuentran alineados con él son 24° y 36° respectiva-mente. ¿Cuál es la distancia entre los yates?

Solución:

Podemos ilustrar el enun-ciado con la figura de la derecha:

Un ángulo que tiene como lado inicial la ho-rizontal del observador y como lado terminal la visual dirigida al objeto que se encuentre por debajo de la horizontal, es un ángulo de depresión.

La situación representada en la figura tiene los siguientes componentes geométricos:

observa que se forman dos triángulos rectán-gulos, el aBc y el aBD, que tienen como lado común aB que representa la altura del puesto de observación.

Para hallar la longitud cD encontraremos la diferencia BD – Bc, donde BD es el cateto adyacente al ángulo de 24° en el triángulo aBD y cD es el cateto adyacente al ángulo de 36° en el triángulo aBc.

En el triángulo aBD:

En el triángulo aBc:

Por tanto cD = 89,85m – 55,06m = 34,79 m

Así, la distancia entre los yates es de 34,79 m.


274

Recuerde:

FuNCIONES DE áNgulOS COMPlEMENTARIOS

Los ángulos complementarios A y B del triángulo rectángulo cumplen:

sen A =cateto opuesto de A

hipotenusa=

35

=cateto adyacente de B

hipotenusa= cos B

cos A =cateto adyacente de A

hipotenusa=

45

=cateto opuesto de B

hipotenusa= sen B

tan A =cateto opuesto de A

cateto adyacente de A=

34

=cateto adyacente de Bcateto opuesto de B

= cot B

cot A =cateto adyacente de Acateto opuesto de A

=43

=cateto opuesto de B

cateto adyacente de B= tan B

Los ángulos de depresión y los ángulos de elevación.

275


cáLcULO De ReLaciONeS tRiGONOmétRicaS

A. En los triángulos rectángulos siguientes, calculemos las relaciones trigonométricas correspondientes a cada ángulo agudo.

FóRmULaS

cot A = ba

cot B = ab

tan A = ab

tan B = ba

sen A = ac

sen B = bc

cos A = bc

cos B = ac

a = 3, b = 4, c = 5

cot A = _____

cot B = _____

tan A = _____

tan B = _____

sen A = _____

sen B = _____

cos A = _____

cos B = _____

a = 5, b = 12, c = 13

cot A = _____

cot B = _____

tan A = _____

tan B = _____

sen A = _____

sen B = _____

cos A = _____

cos B = _____

aPaRtaDO 1

CA

B

c

b

a

CA

B

5

4

3

CA

5

12

13

B


276

B. Considere el siguiente triángulo ABC, recto en c para hallar el valor de c si sen A = 516

y a = 8 cm.

Solución:

de acuerdo a la figura sen A = ac

=8c pero como tamibén tenemos

que sen A = 516

. igualamos 8c

=5

16 despejamos c.

c =16 • 8

5

c =128

5

c = 25,6

respuesta: El valor de c es 25,6 cm.

C) Considere el siguiente triángulo ABC, recto en c para hallar: el valor de c, el valor de a si sen B = 2

3 y b = 48 cm.

Solución:

Para hallar c

La figura nos indica que sen B = bc

. Como b = 48; sen B = 48c

.

Pero como la información que tenemos es que sen B = 23

. Pode-mos comparar:

sen B =48c

=23

despejamos c

c =3• 48

2

c =144

2c = 72 cm

Para hallar a En este caso podemos encontrar el valor de a utilizando el teorema de Pitágoras así:

a2 + b2 = c2

a2 + 482 = 722

a2 = 722 − 482

a2 = 2880

a = 2880

a = 53,65 cm

277


d. Recuerde:

En Trigonometría se estudia la medición o resolución de triángulos, dados tres elementos que no sean los tres ángulos.

A. Expresemos, en su forma más simple, cada uno de los valores siguientes:

a) sen 30° + tan 45° = _____

_____ + _____ =

_____________ = _____

b) 2 cos 30° + 3 sen 45° = _____________

_______ + _______ =

_______ + _______ =

_________________ = _____

B. Recuerde:

13

= 33

; 12

=2

2

aPaRtaDO 2

21

330°

60°


278

1. ¿Cuál es el valor de la razón tangente con respecto al A en el triángulo siguiente? ¿Cuál es la tangente de su complementario B?

respuesta:

2. El triángulo de la figura de la derecha es un triángulo rectángulo, entonces:

a) tan _____ = 63

b) tan _____ =

c) cot _____ =

d) cot _____ = 63

3. Si en un triángulo rectángulo la medida de la hipotenusa es 2 dm y uno de sus catetos mide 1 dm; ¿cuál es la tangente y la cotangente del ángulo complementario a este, con respecto a cada uno de sus ángulos agudos?

(recuerde: el triángulo 30°, 60°, 90°)

Solución:

aPaRtaDO 3

C

A

8

B

4

6

3

β

α

3 dm

60°

30°

2 dm1 dm

3 36 6

=6

• =3 6

36=

3 66

=12

66

36

=36

• =3 6

36=

3 66

=12

666

279


1. Sin usar calculadora, halle el valor numérico de las expresiones siguientes. Simplifique al máximo el resultado.

a) tan 60° + 2 tan 45° = ____________

b) cot 45° • sen 60° • tan 30° • sen 30° = _______________

c) sen 30° = ___________ tan 45°

d) 4 cos 60° = __________ sen 30°

2. Utilizando los triángulos 45°, 45°, 90° y 30°, 60°, 90° de la semana sétima, halle el valor de las ex-presiones trigonométricas. Simplifique al máximo.

a) 2 • sen 45° – tan 30° = ________________

b) (sen 45°)2 + (cos 45°)2 = ________________

c) sen 45° – 6 cos 60° = ________________

d) tan 60° • cos 30° ÷ sen 60° = ________________

e) sen 30° − tan 60°

tan 45°= ________________

f) tan 30° • tan 60°

tan 45°= ________________

aPaRtaDO 4


280

g) cos 60° − sen 60°

1− 3 tan 45°= ________________

h) cos 45° • sen 30°

cos 45° − sen 30°= ________________

3. de acuerdo con la figura de la derecha, determine:

a) sen 39° = __________

b) cos 39° = __________

c) sen 51° = __________

d) cos 51° = __________

3

39°

51°5

4

281


ReSOLUcióNDe tRiáNGULOS RectáNGULOS

observe el siguiente ejercicio.

Datos Hallar

m B = 29° m A = _____

AB = 57 cm AC = _____

Solución:

1. Hallemos la medida del A.

Los ángulos agudos de triángulos rectángulos son complementarios.

m A = ___________

= ___________

2. obtengamos la medida de AC.

sen ____ = AC

___________ = AC

___________ = AC

___________ = AC

respuesta:

aPaRtaDO 1

A

C B


282

A. resolvamos el problema siguiente.

Un cometa se queda atascada en las ramas más altas de un árbol. Si la cuerda del cometa mide 30 m y forma un ángulo de 22° con el suelo, estime la altura del árbol encontrando la distancia que hay entre el cometa y el suelo.

Solución:

sen 22° = x 30

30 • sen 22° = x

30 • 0,3746 = x

11,238 = x

respuesta: La altura del árbol es 11,25 m aproximadamente.

B. determine las razones trigonométricas para el ángulo α, en cada uno de los triángulos semejantes de la figura.

∆ cDe ∆ cFG ∆ cHj ∆ caB

sen α =

cos α =

tan α =

C. Observe:

El valor numérico de cada razón, no depende de la lon-gitud de los lados del triángulo sino que de la medida del ángulo en cuestión.

aPaRtaDO 2

283


1. resuelva los triángulos rectángulos siguientes:

a) Datos Hallar

m A = 35° m C ; AC, AB

BC = 29 mm

respuesta:

b) Datos Hallar

m Q = 19° m P , PQ

Qr = 45 mm

Pr = 25 mm

respuesta:

c) Datos Hallar

m X = 55° m y , yZ , XZ

Xy = 45 dm

respuesta:

aPaRtaDO 3

B

C

A

Q

R

P

X

Y

Z


284

2. Utilice la figura de la derecha y halle las razones trigonométricas indicadas.

1. sen ϕ = ________ 4. sen g = ________

2. cos ϕ = ________ 5. cos g = ________

3. tan ϕ = ________ 6. tan g = ________

3. Encuentre el valor aproximado de las razones trigonométricas dadas (utilice la tabla de valores para razones trigonométricas de la página 263).

1. sen 30° = ______ 8. cos 85° = ______

2. sen 19° = ______ 9. tan 34° = ______

3. sen 38° = ______ 10. tan 57° = ______

4. sen 85° = ______ 11. tan 74° = ______

5. cos 25° = ______ 12. tan 85° = ______

6. cos 42° = ______ 13. sen 8° = ______

7. cos 82° = ______ 14. cos 2° = ______

resuelva los problemas siguientes utilizando la tabla de razones trigonométricas dada.

1. Una torre de 15 m de alto proyecta una sombra. Si en ese momento los rayos del sol tienen un ángulo de elevación de 20°; ¿cuánto mide la sombra?

respuesta:

aPaRtaDO 4

15 m

X20°

285


2. desde la cúspide de una torre de 20 m de alto se divisa un objeto con un ángulo de depresión de 60°. ¿A qué distancia está el objeto del pie de la torre?

respuesta:

3. Una escalera recostada a una pared forma con el suelo un ángulo de 65°. Si el pie de la escalera está a 4 m del pie del muro; ¿cuánto mide la escalera?

respuesta:

4. ¿Cuántos metros debe recorrer un automóvil para ascender 5 m, si la carretera tiene una inclinación de 10° con respecto al plano horizontal?

respuesta:

ángulo de depresión

60°

60°

4 m

10°

X 5 m


286

5. El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio?

287

SEMANA dECiMoTErCErAmatemática - EL MAESTro EN CASA

ObjETIVO ESPECíFICO:

v Resolver problemas en que es necesaria la aplicación de la ley de senos.

CONTENIDO:

- Ley de senos.

SE

MA

NA

dE

CiM

oTE

rC

Er

A


288

289


En la semana duodécima, se utilizaron métodos trigonométricos para resolver triángulos rectángu-los, sin embargo la Trigonometría se puede utilizar para resolver cualquier triángulo.

En esta semana resolveremos ejercicios con triángulos oblicuángulos o escalenos, pero cuando se habla de triángulos oblicuángulos no se pretende excluir al triángulo rectángulo en el estudio, queda asumido como caso particular.

de todos es conocido, que un triángulo escale-no es el triángulo que tiene los tres lados desiguales, los cuales se clasifican en acutángulos si los tres ángulos internos son agudos y obtusángulos si uno de los ángulos internos es obtuso.

y al igual que en el caso de los triángulos rectán-gulos, los vértices de los triángulos oblicuángulos o escalenos se denominan A, B y C, las medidas de los lados opuestos a ellos se designan a, b y c respectivamente.

Las medidas de los ángulos de los vértices se denotan por α, β, δ respectivamente.

Para poder resolver un triángulo deben co-nocerse las medidas de tres de sus partes antes de que se calculen las tres medidas de las otras partes. La solución depende entonces de qué elementos se conocen.

Existe una relación muy útil para la resolución de triángulos que relacionan los lados con los án-gulos. Esta relación es conocida como la ley de los senos, la cual dice:

En todo triángulo, la razón entre el seno de uno de sus ángulos y el lado opuesto a este es la misma para sus tres ángulos.

a. Veamos esta relación si el triángulo es acutángulo

Consideremos el triángulo ABC, un triángulo acutángulo y en él, tracemos CD la altura desde el vértice C sobre AB y AE la altura desde el vértice A sobre BC.

En el ∆ ACd: CDb

sen = α ⇒ Cd = b • sen α (1)

Ley De LOS SeNOS

C

b a

c BAα β

δ

Triángulo acutángulo

C

ba

c BAα β

δ

Triángulo obtusángulo

C

ba

c

BAα β

δ E

D


290

En el ∆ BCd: CDa

sen = β ⇒ Cd = a • sen β (2)

igualando (1) y (2) tenemos:

b • sen α = a • sen β ⇒ sen

a = sen

b (3)α β

En el ∆ ACE: AEb

sen = δ ⇒ AE = b • sen δ (4)

En el ∆ ABE: AEc

sen = β ⇒ AE = c • sen β (5)

igualando (4) y (5) resulta

b • sen δ = c • sen β ⇒ sen c

= sen b

δ β (6)

de comparar (3) y (6) obtenemos que

sen a

= sen b

= sen c

α β δ

Es decir, para todo triángulo se tiene que:

sen a

= sen b

= sen c

α β δ

Ley Ley de los senos es válida para cualquier tipo de triángulo.

En el triángulo obtusángulo siguiente, si con-sideramos la altura CD relativa al vértice C, en

el ∆ AdC resulta que Cd = b • sen α y en el ∆ BdC resulta que:

Cd = a • sen (180° – β) = a • sen β

sen (180° – β) = sen β, cuando β está entre 90° y 180°. Estos ángulos son suplementarios.

igualando ambas expresiones, obtenemossen

a = sen

bα β

Si consideramos AE la altura sobre la prolon-gación de BC e igualando resultados obtenemos que

sen a

= sen b

= sen c

α β δ

Por ejemplo

Considere el siguiente triángulo cuyas medidas están indicadas.

sen sen sen ° ° °304

0 1250

6 20 12

1008

0 12= = =,,

, ,

(Redondeando a dos decimales)

δ

α β

ba

c

C

A B

C

ba

c BAα β

δ

E

D180-β

C

6,2 cm

BA

4 cm

8 cm

100°

50°30°

291


actiViDaD 1

Construya triángulos semejantes a estos en su cuaderno con las medidas indicadas y compruebe que:sen

a = sen

b = sen

cα β δ

4,3 cm6,1 cm

5 cm

55°

45°80°

8,2 cm

5 cm

129°29°4 cm

22°

aplicación de Ley de los senos Consideremos el triángulo ABC con ángulos α,

β, δ y con lados a, b y c respectivamente.

Si conocemos:

a) dos ángulos y cualquiera de los lados.

b) dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

podemos encontrar las tres partes restantes usando el Ley de los senos.

sen a

= sen b

= sen c

α β δ

C

c

B

A

b

a

α

β δ

Para resolver triángulos oblicuángulos o escalenos se debe seguir los pasos siguientes:

1) Se dibuja un triángulo, colocando en los vértices las letras usuales A, B y C.

2) Los datos se escriben sobre el propio trián-gulo.

3) ¿Qué fórmulas ligan los datos e incógnitas?

4) Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación.

5) Se resuelve la ecuación.

6) Se discute la solución.

7) Se comprueban los resultados.

1


292

Esto se debe a que el Ley de los senos consiste en las tres ecuaciones o fórmulas si-guientes:

(1) sen αa

= sen βb

(2) sen αa

= sen δc

(3) sen βb

= sen δc

1. Resolución de un triángulo del que se conocen dos ángulos y cualquiera de los lados

Ejemplo

Si de un triángulo conocemos α = 30°, β = 85° y c = 5 cm. Calcule el resto de los elementos.

A) Como m α + m β + m δ = 180° tenemos que

m δ = 180° – α – β

m δ = 180° – 30° – 85°

m δ = 65°

(la suma de los ángulos internos de todo trián-gulo es 180°)

B) Para calcular las longitudes de los lados utili-zamos de la Ley de los senos las fórmulas:

1) sen a

= sen c

α δ en la cual sustituimos los

datos conocidos

sen 30°

a=

sen 65°

5↔ 5 • sen 30° = a • sen 65°

↔ 5 • sen 30°

sen 65° = a

↔ 5 • 0,50,9063

= a

↔ 2,50,9063

= a

↔ 2,76 = a

2) sen b

= sen c

β δ despejando b c sensen

=• β

δ

Sustituimos

b = c • sen βsen δ

b = 5 • sen 85°

sen 65°

= 5 • 0,99610,9063

= 4,98050,9063

= 5,50

Se redondea a dos dígitos.

respuesta: El resto de los otros tres elementos son δ = 65°, a = 2,76 cm, b = 5,50 cm.

C

BA 85°5

δ

30°

Despejando

Sustituimos los valores hallados en la tabla de valores para razones trigonométricas.

Redondeamos a dos decimales.

293


2. Resolución de un triángulo del que se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

ejemplo: En el triángulo ABC conocemos a = 3,57 cm, b = 2,5 cm y α = 64°, calcule los otros ángulos y el lado restante del triángulo.

Solución:

Tenemos las me-didas de dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos, utilizan-do la Ley de los senos con la ecuación siguiente, hallamos el valor del ángulo β.

sen a

= sen b

α β

b • sen α = a • sen β

b • sen αa

= sen β

2,50 • sen 64°

3,57 = sen β

2,50 • 0,89883,57

= sen β ↔

2,2473,57

= sen β ↔

0,6294 = sen β ↔

39° = β

Como m α + m β + m δ = 180° tenemos que

m δ = 180° – 64° – 39° m δ = 180° – 103° m δ = 77°

(la suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo es 180°)

2,5 cm3,57 cm

64°A

C

B

Para hallar la medida del tercer lado del trián-gulo, utilizamos siempre la ley de los senos con la ecuación:

sen senc

c sensen

° °

°

643 57

77

3 57 776

,, •

=

=44

3 57 0 974 40 898 8

3 87

°

c

c cm

=

=

, • ,,

,

Despejando

Buscando en la tabla de valores para razones trigonométricas

sen 77° = 0,9744

sen 64° = 0,8988

respuesta: los otros ángulos miden 39° y 77° y el otro lado mide 3,87 cm aproximadamente

comprobación:

redondeando a 4 dígitos

sena

senb

senc

sen

°

α β δ= =

=64

3 57,ssen sen ° °

392 5

773 87

0 2517 0 2517, ,

, ,

=

= = 0 2517,

En cada uno de los casos, resuelva cada triángulo, es decir, obtenga los ángulos y los lados que faltan.

Despejamos.Buscamos en la tabla de valores para razones trigonométricas de la semana duodécima en la columna del seno el número 0,6294 o uno muy cercano y encontramos que sen 39° = 0,6294 se redondea a dos decimales.

2


294

aPLicacióN De La LeyDe LOS SeNOS

ejemplo 1

Para determinar la altura de una roca inaccesible se le observa desde dos puntos A y B a 45,0 m de distancia. El ángulo elevación de la cima de la roca desde A es 12° y desde B es 15°. Si A y B y la base de la roca están sobre la misma línea horizontal, calcular la altura de la roca, aproximadamente.

Solución:

Tenemos el triángulo obtusángulo ∆ABC donde CD es la altura relativa desde el vértice C; punto más alto visible de la roca inaccesible.

Entonces

Cda

= sen 15° = sen (180° − 15°) = sen 165°

Cda

= sen 165°

Recuerde:

sen (180° – α ) = sen α, cuando α está entre 90° y 180°. Estos ángulos son ángulos suplementarios.

Como m α + m β + m δ = 180° tenemos que m δ = 180° – 12° – 165° = 3°

Con la Ley de los Senos tenemos la ecuación:

Finalmente, para calcular la altura de la roca sustituimos en la expresión

CDa

sen CDa

sen

CD

° °

= ↔ =

↔ =

165 15

178 88, • °

sen CDCD m

15 178 88 0 258846 30

↔ =

↔ =

, • ,,

respuesta: La altura de la roca es 46,30 m, aproximadamente.

ejemplo 2

Un piloto vuela sobre una carretera recta. de-termine los ángulos de depresión hasta dos postes de medición de millaje apartados 5 millas, como 32° y 48° según se ilustra en la figura.

12° 15°

b

a

C

BA D45 m

295


a) Encuentre la distancia del avión al punto A.

b) Encuentre la elevación del avión.

Solución:

Como el avión vuela paralelamente a la ca-rretera, tenemos que el ángulo ABC mide 48° y el ángulo BAC mide 32°, recordemos que son ángulos alternos internos.

Estimado estudiante:

Este tema: ángulos alternos corresponde a lo estudiado en la semana tercera del libro Ma-temática Térraba. Puede consultarlo.

Todavía nos falta hallar la medida del ángulo ACB

como m ABC = 48°, m BAC = 32° y sabemos que

m ABC + m BAC + m ACB = 180°; se tiene que

48° + 32° + m ACB = 180°

m ACB = 180 – 48° – 32°

m ACB = 100°

Considerando lo anterior la figura se trans-forma en

a) Para encontrar la distancia del avión al punto A.

Utilizamos la Ley de los senos, con la siguiente ecuación

sen 48°

AC=

sen 100°

5 despejando AC

AC =5 • sen 48°

sen 100°

AC =5 • 0,74310,9848

AC = 3,77

respuesta: a) La distancia del avión al punto A es de 3,77 millas.

importante:

Los valores sen 48° = 0,7431

sen 80° = 0,9848

se obtuvieron de la tabla de valores para razones trigonométricas de la página 263, de la semana duodécima.

b) Para encontrar la elevación del avión.

Tengamos presente que el avión viaja en forma paralela a la carretera recta; como el ángulo de depresión es de 32° el ángulo de elevación es de 32°.

respuesta: El ángulo de elevación del avión mide 32°.

tenemosquesen48°=0,7431yademáscomosen100°=sen(180°–100°) =sen80° =0,9848


296

resuelva cada uno de los siguientes problemas.

1. Un edificio está ubicado al final de una calle que está inclinada en un ángulo de 8° con el horizonte. En un punto P, 210 m calle abajo a partir del edificio el ángulo subtendido por el edificio es de 16°. ¿Cuál es la altura del edificio?

2. Un asta para bandera está colocada en la parte superior de un edificio que mide 34,5 m de altura. desde un punto en el mismo plano horizontal que la base del edificio los ángulos de elevación de la parte superior y la base del asta son 63° y 57°, respectivamente. ¿ Cuál es la altura del asta?

3. Para determinar la distancia a través de un río recto un topógrafo elige dos puntos P y Q en la ribera, donde la distancia entre P y Q es 200 m En cada uno de estos puntos se observa un punto r en la ribera opuesta. El ángulo que tiene lados PQ y Pr mide 63° y el ángulo con lados PQ y Qr mide 80°. ¿Cuál es la distancia a través del río más corta?

4. Un lote de forma triangular con vértices en r, S y T se delimita mediante una cerca, pero se advierte la ausencia de la marca del lindero en S. de la escritura, se sabe que la distancia desde T hasta r es 324 m, la distancia desde T hasta S es 506 m y el ángulo en r del triángulo es 125°. Encuentre la ubicación de S determinando la distancia desde r hasta S.

5. En cierto momento, cuando un avión vuela directamente sobre un camino recto que une a dos pe-queñas ciudades, los ángulos de depresión de ambas son 10° y 9°.

(a) Halle las distancias rectas desde el avión a cada una de la ciudades en este instante si la separación entre ambas es de 8,45 km

(b) determine la altura del avión en tal momento.

3

297


aPaRtaDO 1

DOS áNGULOS y cUaLQUieRa De LOS LaDOS

A. Sea el ∆ ABC un triángulo obtusángulo donde m α = 130°, m β = 20° y b = 6 cm. determine las partes restantes del triángulo.

Solución:

1. Como m α + m β + m δ = 180° entonces m δ = 180° – 130° – 20°

m δ = 180° – 150°

m δ = 30°

Recuerde

La suma de las medidas de los ángulos internos de todo triángulo es 180°.

2. Utilizando la Ley de los senos y el dato hallado anteriormente, tenemos que;

sen 130°

a = sen 20°

6 = sen 30°

csen 50°

a = sen 20°

6 = sen 30°

c

Recuerde

i) sen 130° = sen 50°, cuando el seno está entre 90° y 180°. Estos ángulos son suple-mentarios.

ii) Un ángulo tiene un solo valor del seno, pero al mismo seno le corresponden dos ángulos.

CB

A

b

aδβ

α

c


298

3. obtención del lado de medida a.

sena

sen sen a se ° ° ° 50 206

6 50= ↔ =• • nn

sensen

a

°

° °

20

6 5020

6 0 76600 3

↔ =

↔

•

• ,, 4420

4 5960 342013 44

=

↔ =

↔ =

a

a

cm a

,,,

Observe

i) A los valores sen 50° = 0,7660 y sen 20° = 0,3420 los hallamos en la tabla de valores para razones trigonométricas.

ii) Usualmente en este tipo de problemas tenemos que redondear a uno , dos o tres decimales.

iii) Con respecto a los ángulos utilizaremos el ángulo que más se aproxime a la cantidad en decimal hallada.

Por ejemplo

Si hallamos 0,6409 en la tabla de valores para razones trigonométricas, encontraremos 0,6428 como el más aproximado, así que se elige el ángulo 40°.

4. obtención del lado de medida c.

Siempre con la Ley de los senos y la ecuación

sen 20°6

=sen 30°

c↔ c • sen 20° = 6 • sen 30°

↔ c ≈6 • sen 30°

sen 20°

↔ c ≈5 • 0,5000

0,3420

↔ c ≈3

0,3420↔ c ≈ 8,77 cm

respuesta: las partes restantes son m δ = 30°, a = 13,44 cm y c = 8,77 cm

299


aPaRtaDO 2

dado el triángulo ABC, donde m α = 48°, m δ = 57° y b = 47 cm. Calcule las partes restantes.

Solución:

1. Como m α + m β + m δ = 180° entonces m β = 180° – 57° – 48°

m β = 75°

2) Para calcular la medida aproximada de a.

Como b = 47 cm, m α = 48°, m β = 75°, m δ = 57° usaremos

sena

senb

b sen a sen

a

α βα β= ↔ =

↔

• •

==

↔ =

↔

° °

b sensen

a sensen

a

•

•

αβ

47 4875

=

↔ =

↔

47 0 74310 9659

34 92570 9659

• ,,

,,

a

a = 36 16, cm

C

B

Aδ

a

β

α

c

b


300

aPaRtaDO 3

3) Para calcular la medida aproximada de c.

Utilizaremos

sen 57°c

=sen 75°

47↔ 47 • sen 57° = c • sen 75°

↔ 47 • sen 57°sen 75°

≈ c

↔ 47 • 0,83870,9659

≈ c

↔ 39,41890,9659

≈ c

↔ 40,81 cm ≈ c

respuesta: las partes restantes son a = 36,16 cm y c = 40,81 cm y además m β = 75°.

1. Considere el triángulo ABC, con medidas de los ángulos m α = 65°, m β = 40° y el lado a con medida 50 m. Calcule las longitudes de los lados b y c.

respuesta:

2. Considere el triángulo ABC, con medidas de los ángulos m α = 80°, m β = 35° y el lado c = 60 cm. Calcule las partes restantes.

respuesta:

301


3. dado el triángulo ABC, de la figura de la derecha en el que a = 41 cm, m β = 28° y m δ = 100°.

Calcule las partes restantes.

respuesta:

4. Utilice la ley de los senos para encontrar las partes restantes de un triángulo ABC en cada uno de los casos.

a) m α = 83°, m δ = 39° y a = 78,6 cm

b) m β = 63°, m δ = 75° y a = 1048 mm

c) m α = 57°, m δ = 78° y b = 50 cm

d) m β = 41°, m δ = 104° y c = 547,5 dm

aPaRtaDO 4

1. Utilizando la información siguiente; y la ley de los senos, obtenga los valores restantes, de cada uno de los triángulos.

a) m α = 80°, m β = 20° y b = 7 m

b) m β = 37°, m δ = 51° y a = 5 mm

c) m α = 60°, m β = 15° y c = 30 cm

d) m α = 30°, m δ = 75° y a = 6 m

e) m β = 110°, m δ = 25° y a = 14 dm

f) m δ = 63°, b = 7 mm y c = 14,10 mm

δ

Por ejemplo

sen Aa

= sen Bb

= sen Cc

sen 80°a

= sen 20°7

= sen 80°c

sen 20°7

= sen 80°c

c sen 20° = 7 sen 80°

c = 7 sen 80°sen 20°

c = 20,16 m

m δ = 180° - 80° - 20° = 80°δ = 80°

sen 80°a

= sen 20°7

7 sen 80° = a s en 20°7 sen 80°sen 20°

= a

20,16 = aa = 20,16 m


302

g) m δ = 15°, a = 7,86 m y c = 5 m

h) β = 41°, b = 34 m y c = 51 m

2. En cada uno de los casos, resuelva cada triángulo, es decir, obtenga los ángulos y los lados que faltan.

a) b)

c) d)

e)

303


aPaRtaDO 1

PROBLemaS De aPLicacióN De La Ley De LOS SeNOS

A. Cuando el ángulo de elevación del Sol es 64°, un poste que está inclinado un ángulo de 9° direc-tamente frente al Sol forma una sombra de 6,40 m de longitud en el terreno horizontal. Calcular la longitud aproximada del poste.

Solución:

m β = 90° – 9° = 81°

m δ = 180° – 64° – 81° = 35°

Para calcular la longitud del poste, es decir, el lado a del triángulo ABC, se procede como sigue:

respuesta: La longitud aproximada del poste es 10 m.

B. Observe

La Ley de los senos, también puede escribirse así:

a

sen = b

sen = c

sen α β δ

El cual se puede enunciar:

en todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.

asen sen

a sen s °

°

° 64

6 4035

35 6 40= ↔ =, • , • een

a sensen

a

°

° °

64

6 40 6435

6 40

↔ =

↔ =

, •

, •

0 89880 5736

5 752320 5736

10

,,

,,

↔ =

↔ =

a

a m

9°

C

A B6,40 m

35°

64° 81°


304

aPaRtaDO 2

A. observe la figura de la derecha.

Un punto P en el suelo a nivel está a 3,0 km al norte de un punto Q. Un corredor sigue la dirección N 25° E desde Q hasta un punto r y después de r a P en dirección S 70°. Calcular la distancia aproximada que recorrió.

Solución:

Como las rectas que pasan por PQ y RS son paralelas, los ángulos alternos internos

PQr y QrS. miden 25°. Por lo tanto,

m PrQ = 70° – 25° = 45°

Luego, tenemos que en el triángulo PQr el m QPr = 180° – 25° – 45° = 110°.

Aplicamos la ley de los senos.

Para hallar la distancia recorrida, debemos encontrar la medidas p, q.

Calculo de q Calculo de p

qsen sen

°

4253 0

=,

55 1103 0

45110

° °

° ° p

sen sensen=

,==

=

°

°

sen

q sensen

70

3 0 254

, •55

3 0 7045°

° °

p sensen

q

=

=

, •

33 0 0 42260 7071

3 0 0 93970 7071

, • ,,

, • ,,

p =

q p= =126780 7071

2 81910 7071

,,

,,

q km p km= =180 4 0, ,

respuesta: La distancia que recorrió, p + q = 1,8 + 4, 0 = 5,8 km aproximadamente.

45°

25°

110°

3,0

P q R

Q

p

70°

25°

3,0 km

P R

Q

S

PQ RS

ImportanteEn navegación una dirección con frecuencia se da como un rumbo, es decir, como un ángulo agudo medido a partir del norte o del sur. El rumbo N 30° E, por ejemplo, indica una dirección que apunta 30° al este del norte.

305


B. Una carrera de veleros se inicia en el punto A se debe llegar al punto B localizado a 52° al suroeste. después se debe ir hasta el punto C que está a 40° al sureste y finalmente regresar al punto de partida, como se muestra en la figura. El punto C se encuentra exactamente a 8 km al sur del punto A. Calcule la distancia total del recorrido.

Solución:

Como las rectas que pasan por Bd y AC son paralelas, entonces m dBC = m BCA. Entonces el otro ángulo del triángulo es m B = 180° – 52° – 40° = 88°

Por la ley de los senos tenemos que:

asen 52°

=b

sen 88°=

csen 40°

y además b = 8

utilizamos asen 52°

=b

sen 88° para calcular a

utilizamos bsen 88°

=c

sen 40° para calcular c

respuesta: La distancia total de recorrido es 8 km + 6,308 km + 5,145 km = 19,453 km

asen 52°

=b

sen 88° despejamos a b

sen 88°=

csen 40°

a =8 • sen 52°

sen 88°

8sen 88°

=c

sen 40° despejamos c

a =8 • 0,7880

0,9994c =

8 • sen 40°

sen 88°

a = 6,308 km c =8 • 0,6428

0,9994

c =5,14240,9994

c = 5,145

asen 52°

=b

sen 88° despejamos a b

sen 88°=

csen 40°

a =8 • sen 52°

sen 88°

8sen 88°

=c

sen 40° despejamos c

a =8 • 0,7880

0,9994c =

8 • sen 40°

sen 88°

a = 6,308 km c =8 • 0,6428

0,9994

c =5,14240,9994

c = 5,145


306

1. Un edificio esta situado en el lado de una colina con una pendiente de 15° de inclinación. El sol esta sobre el edificio con un ángulo de elevación de 42°. Encuentre la altura del edificio si este proyecta una sombra de 11 m de largo.

Solución:

Sea h la altura del edificio que está sobre la pendiente y construya el triángulo rectángulo ABC.

Ahora, m α + 15° = 42° entonces m α = 42° – 15° = 27°

Como el ∆ ABC es un triángulo rectángulo; m δ = 90° – 42° = 48°

Con la Ley de los senos, se sigue que

senh

sen sen h sen

α δα δ= ↔ =

↔

1111 • •

°

h sensen

h sensen

=

↔ =

11

11 27

•

•

αδ

°

4811 0 4540

0 74314 994

↔ =

↔ =

h

h

• ,,

, 000 74316 72

,, ↔ =h

respuesta: La altura aproximada del edificio es 6,72 m

aPaRtaDO 3

B

D

A

C

Rayos del sol

Edificio

42α

δ

°

15°

42°

Sombra AD = 11 m

h

307


2. Para instalar una antena de televisión, una persona ata dos alambres al extremo superior del tubo que la soportará. Toma uno de los alambres y lo amarra a una estaca en el suelo, formando un ángulo de 42°. Coge el otro alambre y caminando 3 metros en dirección al tubo soporte lo amarra en otra estaca formando ahora un ángulo de 61°. ¿Qué longitud tiene el alambre más cercano al tubo?

3. dos puntos A y B están cada uno en los lados opuestos de un río. otro punto C se localiza en el mismo lado que B a una distancia de 230 m de B. Si el ángulo ABC es de 105° y el ángulo ACB es de 20°, encuentre la distancia a lo largo del río.

respuesta:

4. Un poste de luz forma un ángulo de 82° con el suelo. El ángulo de elevación del sol es de 76°. Encuentre la longitud del poste de luz si su sombra es de 3,5 m.

respuesta:

42° 61°A B C

82° 76°

3,5 m


308

aPaRtaDO 4

resuelva los siguientes problemas en forma ordenada.

1. Un hombre de 1,72 m de altura se para en un andén que se inclina hacia abajo en un ángulo constante. Un poste vertical de luz situado directamente detrás de él proyecta una sombra de 4,5 m de largo. El ángulo de depresión desde la mayor altura del hombre hasta la punta de su sombra es de 31°. Encuentre el ángulo α como lo muestra la siguiente figura (α es el ángulo formado por el andén y la horizontal).

respuesta:

2. En el problema anterior, supóngase que el hombre está a 20 m del poste de luz sobre el andén, encuentre la altura del poste.

respuesta:

3. Los ángulos de elevación de un avión se miden desde lo más alto y desde la base de un edificio que mide 20 m de alto. El ángulo de la cima del edificio es de 38° y el ángulo desde la base del edificio es de 40 m. En-cuentre la altitud del avión.

respuesta:

4. Un hombre a 100 m de la base de un risco suspendido mide un ángulo de elevación de 28° desde ese punto hasta la punta del risco. Si el risco forma un ángulo de 65° con el suelo. determine su altura aproximada h.

respuesta:

α

31°

Sombra

40°

38°

20 m

h

28° 65°100 m

309

matemática - EL MAESTro EN CASAQUiNTA UNidAd

álgebraAsí como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo

y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al - Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la cono-cemos hoy en día.

El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades.

El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.

Notación algebraica

Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden ser de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfecta-mente determinadas.

Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z…

Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres.

Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación

Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación y en cursos posteriores la logaritmación, etc.

SEMANA dECiMoCUArTAmatemática - EL MAESTro EN CASA

310

Signos de operación

t En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.

t En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis menos ye”.

t En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (×). Así, por ejemplo x x y = x×y se leerá “equis multiplicado por ye”.

El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números. Por ejemplo x x y x z = x×y×z = xyz

t En la división se utiliza el signo dividido entre (:)(÷) ó (/). Así, por ejemplo x : y = x/y = x÷y y se leerá “equis dividido entre ye”.

t En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la de-recha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= x×x×x×x… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.

t En la radicación se utiliza el signo radical ( ), debajo del cual se coloca la cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por x , se leerá “raíz cuadrada de equis”; x3 “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.

Signos de relación

Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.

t El signo = se lee igual a. x = y se leerá “equis igual a ye”.

t El signo ≠ se lee diferente de. x ≠ y se leerá “equis diferente de ye”.

t El signo > se lee mayor que. x > y se leerá “equis mayor que ye”.

t El signo < se lee menor que. x < y se leerá “equis menor que ye”.

t El signo ≥ se lee mayor que o igual.

t El signo ≤ se lee menor que o igual.

Signos de agrupación

Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.

311


ObjETIVO:

v Efectuar divisiones de polinomios en una o dos variables.

CONTENIDOS:

División de:

• Binomio por monomio (con una o dos variables).

• Trinomio por monomio (en una o dos variables).

• Binomio por binomio (en una varia-ble).

• Trinomio por binomio (en una varia-ble).

Nota: En todos los casos coeficientes enteros.S

EM

AN

A d

EC

iMo

CU

Ar

TA


312

313


DiViSióN De POLiNOmiOS

División de monomiosotra de las operaciones que se puede realizar

con monomios es la división, puesto que para realizar operaciones con monomios se utilizan las propiedades de los números reales y además las leyes sobre las potencias ya utilizadas en la Unidad de los números reales.

Muchas son las justificaciones que se pueden dar sobre el uso y desarrollo de esta operación; podemos decir, que su origen es netamente prác-tico, y que en la mayoría de los casos lo que se pretende es resolver una necesidad inmediata: un caso concreto. También veremos casos donde ya no son situaciones normales para nosotros, sino que su manejo nos va a permitir desarrollar des-trezas matemáticas, otro de los objetivos de este libro Matemática Zapandí.

Pero antes recordemos lo siguiente sobre la división de potencias.

1. Si el exponente del numerador es mayor que el exponente del denominador se conserva la base y se le resta el menor de los exponentes al mayor.

Si m es mayor que n

am ÷ an = am – n

a) x7 = x 7 – 6 = x1 = x x6

b) y12 ÷ y6 = y12 – 6 = y6

2. Si los exponentes son iguales, se trata de la división de un número por sí mismo, el cociente valdrá 1.

Si m es igual que n

am ÷ an = a0 = 1

Ejemplos:

a) 52 ÷ 52 = 52 = 25 = 1 5

2 25

b) a2 ÷ a2 = a2 = a 2 – 2 = a0 = 1 a

2

3. Si el exponente del denominador es el mayor, el cociente será otra fracción de numerador 1 y denominador la base elevada a la diferencia de los exponentes.

Si m es menor que n

am ÷ an = 1 . an – m

a) a2

a6 =1

a6 − 2 =1

a4

b) a2

a4 =1

a4 − 2 =1

a2


314

Entonces de acuerdo con estos casos ante-riores, hagamos la siguiente operación:

42 a2 b3 ÷ – 6 a4 b

Solución:

Para dividir monomiosProcedimiento:

1. Se escribe en forma de fracción:

42a2b3( ) ÷ − 6a4b( ) =42a2b3

− 6a4b=

dividendodivisor

2. Se dividen (simplifican) los coeficientes:

42− 6

=− 21

3=

− 71

= − 7

3. Se dividen las partes literales (factores litera-les); como se indicó antes, así:

a2b3

a4b=

b2

a2 a2

a4 =1

a4 − 2 =1

a2 ; b3

b= b3−1 = b2

4. Se multiplican ambos resultados (coeficientes, factores literales) así:

−7b2

a2 − 7 • 1

a2 b2 =

− 71

• 1a2 • b2

1=

− 7b2

a2

5. Entonces tenemos que

42a2b3 ÷ –6a4b = –7b2

a2

Otras de las expresiones algebraicas que se pueden simplificar son los productos notables

a)(a + b)3

(a + b)= (a + b)3−1 = (a + b)2

b)(7x + 1)4

(7x + 1)2 = (7x + 1)4 − 2 = (7x + 1)2

a)(a + b)3

(a + b)= (a + b)3−1 = (a + b)2

b)(7x + 1)4

(7x + 1)2 = (7x + 1)4 − 2 = (7x + 1)2

Tenga presente que la base se conserva y se restan los exponentes; en el caso de (a + b) el exponente es el número 1.

☞ OBSeRVe:

El cociente de dos monomios se obtiene al dividir sus coeficientes y sus variables, pero no siempre este resultado es otro monomio.

6x2y15xy3z

=6

15• x2

x• y

y3

=2x5y2

observe : yy3 =

1y3−1 =

1y2

Veamos otros ejemplos de división de mo-nomios.

a) dividir – 8(x3y)4 entre 2(x2y2)3

☞ imPORtaNte: En Álgebra la división se indica generalmente por la línea fraccionaria.

− 8(x3y)4 entre 2(x2y2 )3 =− 8(x3y)4

2(x2y2 )3

=− 8x12y4

2x6y6

=− 4 • 2 x12 − 6

2 y6 − 4

=− 4x6

y2

315


❖ Para dividir este tipo de monomios con parénte-sis, aplicamos la ley de potencias: para elevar a potencia un producto: (ambn)x = am•xbn•x .

❖ Para obtener el cociente − 4x6

y2 utilizamos

las leyes de signos estudiadas de división de

potencias de igual base.

También existen otro tipo de monomios donde el exponente de la variable o variables está formado por números enteros y constantes.

Por ejemplo x(a + 2)y(m – 1) es un monomio con variables "x" e "y" y exponentes (a + 2) y (m – 1).

Por ejemplo:

❖ (a + 2); esto nos indica que a puede tomar cualquier valor entero al cual se le suma 2.

Si a = 1; a + 2 equivale al 3.

Si a = – 4; a + 2 equivale al – 2.

❖ (m – 1); eso nos indica que m puede tomar cualquier valor entero al cual se le resta 1.

Por ejemplo:

Si m = – 3; m – 1 equivale al – 4

Si m = 8; m – 1 equivale al 7

Con este tipo de monomios, también podemos hacer divisiones, pero en el curso de Matemática Zapandí no lo utilizaremos.

b) dividir 4a3b2 entre – 2ab

Solución: 4a3b2 ÷ − 2ab

4a3b2

− 2ab=

− 2a2b

Recuerde:

Si dividen o simplifican el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor y a continuación se escriben las letras en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el que tiene en el divisor. El signo estará dado por la ley de signos.

importante:

Si en el resultado queda un exponente negativo, se escribe aquello que no tiene exponente negativo, trazamos una línea fraccionaria y debajo de esta, se escribe la potencia sin el exponente negativo, esto se debe a que hemos hecho uso de la ley de potencias.

Por ejemplo

c) dividir – 5a4b3 entre – a2b8

Solución:

d) dividir – 20x2y 3 entre 4x6y7

Solución:

− 20x2y3 ÷ 4x6y7 =

− 20x2y3

4x6y7 =

− 5x2 − 6y3− 7 =

− 5x− 4y− 4 =− 5x4y4


316

A. determine cada uno de los cocientes en:

B. Efectúe las siguientes divisiones.

1) − 45x2

5x= ___________ 7) a4b5

3a2b6 = ___________

2) u7

u14 = ___________ 8) − 2m3

− 4m4n6 = ___________

3) 7c2d3

− 28c3d3 = ___________ 9) (3a3 )2

18a2 = ___________

4) − 12m7n8

4m2n5 = ___________ 10) (− 5m)4

(− 25m2 )2 = ___________

5) (− 2x2 )2

x3 = ___________ 11) 2x6y4

8x4y7 = ___________

6) (4y3 )2

(4y2 )2 = ___________ 12) − 4ab3

− 8a2b4 = ___________

1. (x2x3 )4

(x4 )3 = __________ 4. −(2m6n3 )5

4(−3m2n3 )2 = __________

2. 3(x2y3 )2

−18(xy)4 = __________ 5. −6(p2q3 )2

12p7q2 = __________

3. −(a2b3 )4

3ab4 = __________ 6. 2(x4y3 )2

−3(xy)5 = __________

1

317


2

i. División de un binomio por un monomio

El cociente de un binomio por un monomio es la suma de los cocientes, que resultan de dividir cada uno de los términos del binomio por el monomio.

Veamos cuál es la razón.

Una forma de simplificar la expresión numérica (12 + 9) ÷ 3 es usar las propiedades conocidas.

Así.

(12 + 9) ÷ 3 = 12 ÷ 3 + 9 ÷ 3 = 4 + 3 = 7

o así.

12 + 93

=123

+93

= 4 + 3 = 7

Esto también se cumple en la división de los binomios por los monomios.

En general:

donde x es un monomio distinto de cero.

consideremos algunos ejemplos.

ejemplo 1 dividir 15a3b2 – 9ab entre 3ab

15a3b2 − 9ab

3ab=

15a3b2

3ab−

9ab3ab

=

5a2b − 3

ejemplo 2 dividir –81m4n8+108m8n4 entre –9m3n3

− 81m4n8 + 108m8n4

− 9m3n3 =

− 81m4n8

− 9m3n3 +108m8n4

− 9m3n3 =

9mn5 − 12m5n

determine los cocientes.

1. 3x2 + 9x3x

= ____________

2. 5y + 1510

= ____________

3. 35p4m + 75p2m3

5p2m= ____________

4. 35m4q3 − 15m5q2

−5m3 = ____________

5. 64a2b3 − 48a4b3

− 4a2b2 = ____________

6. 5a2b2 − a2b2

ab2 = ____________

7. 4a2b3 − 6a2b5

24ab2 = ____________

8. − 2a6b3 − 16a2b3

− 6ab= ____________

a + bx

=ax

+bx


318

ii. División de un trinomio por un monomio

Para dividir un trinomio por un monomio se dividen cada uno de los términos del trinomio por el monomio separando los cocientes parciales con sus propios signos, lo que representa la Ley distributiva de la división.

Ejemplos:

1. dividir (3a3 – 6a2b + 9ab2) entre 3a

2. dividir (6a8b8 – 3a6b6 – a2b3) ÷ 3a2b3

6a8b8 − 3a6b6 − a2b3( ) ÷ 3a2b3 =

6a8b8 − 3a6b6 − a2b33

3a2b3 =

6a8b8

3a2b3 −3a6b6

3a2b3 −a2b3

3a2b3 =

2a6b5 − a4b3 −13

determine los cocientes de

1. x3 + 10x2 − 8x( ) entre −2x

2. 4x3 + 6x − 5( ) entre 2

3. 3a3 − 5ab2 − 6a2b3( ) entre −2a

4. x3 − 4x2 + x( ) entre x

5. 4x8 − 10x6 − 5x4( ) entre 2x3

6. 6m3 − 8m2n + 20mn2( ) entre − 2m

7. x4 − 5x3 + 15x( ) entre − 5x

8. − 2m2n3 − 14mn3 − 6mn( ) entre −8mn

1. x3 + 10x2 − 8x( ) entre −2x

2. 4x3 + 6x − 5( ) entre 2

3. 3a3 − 5ab2 − 6a2b3( ) entre −2a

4. x3 − 4x2 + x( ) entre x

5. 4x8 − 10x6 − 5x4( ) entre 2x3

6. 6m3 − 8m2n + 20mn2( ) entre − 2m

7. x4 − 5x3 + 15x( ) entre − 5x

8. − 2m2n3 − 14mn3 − 6mn( ) entre −8mn

iii. División de un binomio entre un binomio

Cuando estudiamos la operación división, nunca pensamos que llegaríamos a dividir otra cosa que no fueran "números".

Casos semejantes a 37 ÷ 4 eran muy fami-liares.

37 4 -36 9 1

Es decir 37 = 9 • 4 + 1

Una situación similar se presente con los po-linomios de una sola variable, tales como x2 – 1, x2 – 7x + 1 y muchos otros más.

dividir x2 – 1 entre x + 1

Solución Procedimientox2 – 1 x + 1 1. Se ordenan los binomios

en forma descendente.x2 ____ – 1 x + 1 2. Se deja el espacio para

el término de grado 1 (x)

3

319


x2_____– 1 x + 1 x

3. Se divide el primer térmi-no del dividendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x).

x2 – 1 x + 1 –(x2 + x) x –x – 1

4. Se multiplica este primer término del cociente por el binomio divisor; x(x+1) = x2 + x. Este resultado se resta del dividendo (x2 – 1).

x2 – 1 x + 1–x2 – x x – 1 –x – 1

5. Se divide el primer térmi-no del residuo parcial (–x – 1) por el primer término del divisor (x + 1); así (x ÷ –x = –1

x2 – 1 x + 1–x2 – x x – 1 –x – 1 –(x + 1) 0

6. Se multiplica este segun-do término del cociente por el divisor; –1(x + 1) = –x – 1. Luego se resta del dividendo parcial. observe que cada término del produc-to cambió a su opuesto. debido a esto tenemos el residuo 0.

de acuerdo al procedimiento anterior se tiene que dividir x2 – 1 entre x +1 es igual a x –1.

Otro ejemplo

dividor (4x2 – 1) entre (2x + 3)

Solución:

Lo ordenamos descendientemente así obsérvese que hay que dejar el espacio para el polinomio ausente x en el binomio dividendo (4x2 – 1)

4x2 – 1 2x + 3– (4x2 + 6x) 2x – 3 – 6x – 1 –(– 6x – 9) 8

1. dividimos (4x2) ÷ (2x) = 2x.

2. Multiplicamos 2x(2x + 3) = 4x2 + 6x.

3. El resultado anterior lo restamos de (4x2 – 1).

4. dividimos el primer término del residuo par-cial (–6x – 1) por el primer término del divisor (2x + 3)

(– 6x) ÷ (2x) = – 3

5. Multiplicamos – 3(2x + 3) = – 6x – 9 y se lo restamos a – 6x –1.

6. obtenemos un residuo parcial 8.

Así entonces tenemos que dividir

4x2 – 1 entre 2x + 3 es igual al cociente 2x – 3 y un residuo 8

Observe

– 6x – 1 es igual – 6x – 1 esto es – 6x – 1–(– 6x – 9) + 6x + 9 + 6x + 9 0 + 8 8

divida.

1. (2 – 4b2) entre (1 + b)

2. (25 – 36x4) entre (5 – 6x2)

3. (1 – x2) entre (1 – x)

4. (2x2 – 18) entre (x + 3)

5. (9 – x4) entre (3 – x2)

6. (10x2 – 6) entre (2x + 8)

7. (3x2 – 2) entre (x – 4)

8. (x2 – 9) entre (x + 5)

4


320

iV. División de un trinomio por un binomio

Anteriormente hemos dividido un binomio por un binomio, también podemos dividir un trinomio por un binomio. Consideremos los siguientes:

dividir (x2 – 5x + 7) por x + 1

Solución Procedimientox2 – 5x + 7 x + 1 1. Se ordenan los poli-

no mios en forma descen dente.

x2 – 5x + 7 x + 1 x

2. Se divide el primer término del divi-dendo por el primer término del divisor (x2 ÷ x = x)

x2 – 5x + 7 x + 1–(x2 + x) x – 6x + 7

3. Se multiplica este primer término del cociente por el poli-nomio divisor; x (x+1) = x2 + x. Ese resultado se resta del dividendo (x2 – 5x + 7).

x2 – 5x + 7 x + 1 – x2 – x x – 6 – 6x + 7

4. Se divide el primer término del residuo parcial por el primer término del divisor (– 6x ÷ x = – 6)

x2 – 5x + 7 x + 1– x2 – x x – 6 – 6x + 7 + 6x + 6 13

5. Se multiplica este segundo término del cociente por el divisor; – 6 (x + 1) = – 6x – 6. Luego se resta del dividendo parcial. Recuerde que cada término del producto cambia por su opues-to. debido a esto tenemos el residuo 13.

observe que hemos transformado el polinomio.

x2 – 5x + 7 = (x + 1) (x – 6) + 13 dividendo divisor cociente residuo

Veamos otros ejemplos.

2. dividir (x2 + x3 + 2) por 1 + x2

Para dividir dos polinomios ordenamos a ambos en forma descendente:

x3 + x2 + 2 por x2 + 1

Colocamos los polinomios ya ordenados en forma descendente, como lo hacemos para una división de números reales:

divisor

(x3 + x2 + 2) ÷ (x2 + 1) dividendo

dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la mayor potencia del divisor.

Así: x3 ÷ x2 = x, x3 + x2 + 2 x2 + 1 x

Se multiplica este primer término del cocien-te por el polinomio divisor x(x2 + 1) = x3 + x

restamos este resultado del dividendo:

x3 + x2 + 0x + 2 x2 + 1 – x3 – x x x2 – x + 2

repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente del polinomio x2 – x + 2 por la potencia de mayor exponente del divisor x2 + 1, es decir: x2 ÷ x2 = 1.

321


x3 + x2 + 0x + 2 x2 + 1 – x3 – x x + 1 x2 – x + 2

Multiplicamos 1 • (x2 + 1) = x2 + 1 y colocamos este resultado debajo del dividendo, respetando el orden de las potencias, y con sentido contrario u opuesto en el resutlado del producto..

x3 + x2 + 0x + 2 x2 + 1 – x3 – x x + 1 x2 – x + 2 – x2 – 1

restamos x2 + 1 de x2 – x + 2

x3 + x2 + 0x + 2 x2 + 1 – x3 – x x + 1 x2 – x + 2 cociente – x2 – 1 – x + 1 residuo

Recuerde:

Dejamos de dividir cuando el grado del residuo (– x + 1) es menor que el grado de divisor (x2 + 1)

Por lo tanto

x3 + x2 + 2 = (x2 + 1) (x + 1) + (– x + 1)

dividendo divisor cociente residuo

3. Vamos a dividir: (x3 – 2x – 35) ÷ (x + 5)

Colocamos los polinomios ordenados en po-tencias de mayor a menor:

x2 – 2x – 35 x + 5

dividimos la potencia de mayor exponente del dividendo por la potencia de mayor exponente del divisor:

Así, x2 – 2x – 35 x + 5 x

x2 ÷ x = x

Multiplicamos el resultado por el divisor: x (x + 5) = x2 + 5x

Colocamos este resultado debajo del dividen-do, respetando el orden de las potencias y con signo opuesto al resultado del producto x (x + 5) = x2 + 5x esto es – x2 – 5x.

x2 – 2x – 35 x + 5 x2 + 5x x

restamos este resultado del dividendo:

x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 + 5x x – 7x – 35

repetimos el proceso, dividimos la potencia de mayor exponente de –7x – 35 por la potencia de mayor exponente del divisor: –7x ÷ x = –7

x2 – 2x – 35 x + 5 –(x2 + 5x) x – 7 –7x – 35

Multiplicamos –7(x + 5) = –7x – 35 y colo-camos este resultado respetando el orden de las potencias y con signo opuesto, 7x + 35.

x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 + 5x x – 7 – 7x – 35 – 7x + 35


322

restamos: x2 – 2x – 35 x + 5 – x2 – 5x x – 7 – 7x – 35 cociente + 7x + 35 0

residuo

En este caso, hemos obtenido un residuo igual a cero.

decimos entonces que el polinomio x2 – 2x – 35 es divisible por el polinomio x + 5

Por lo tanto, tenemos que

x2 – 2x – 3 = (x + 5)(x – 7)

División sintéticaA. división de un trinomio entre un binomio de la

forma (x - a), siendo a un número real.

1. Analicemos la división siguiente:

x2 – 5x + 7 x + 1 – x2 – x x – 6 – 6x + 7 + 6x + 6 13

Para resolver este tipo de divisiones se creó un método más rápido y sencillo donde se utiliza solo los coeficientes.

En lugar de escribir todos los pasos, veamos el siguiente arreglo de números.

coeficientes del Siempre consideramosdividendo del binomio (x – a) el valor opuesto

de a o bien lo podemos hacer así: x – a = 0 cuando x = a

1 –5 7 –1 Dedondepodemosdecirque

–1 6 (x2–5x+7)÷(x+1)=x–6

1 –6 13 conunresiduo(r)de13 1(–1)+–5 –6(–1)+7

coeficiente residuo del cociente

observe:

a) El grado del cociente es un grado menor que el grado del dividendo. (x – 6)

b) El primer coeficiente es igual al primer coefi-ciente del dividendo (1)

c) Cada uno de los demás coeficientes del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el opuesto de "a" y sumando este producto al coeficiente siguiente del dividendo.

1 (– 1) + — 5 = – 6 y – 6 (– 1) + 7 = 13

d) El residuo (13) es igual al producto del último coeficiente del cociente más el término cons-tante del dividendo.

Recuerde

Como el grado del residuo ha de ser inferior al del divisor que es 1, el residuo en estas divisiones es siempre un número real.

Si al ordenar el polinomio en forma des-cendente falta un término, se completa este con un cero.

323


residuo

2. divida (5x2 + 2 + 7x) por (2 + x)

Antes de comenzar a dividir utilizando división sintética, ordenamos el polinomio dividendo 5x2 + 2 + 7x en la forma descendente, así 5x2 + 7x + 2. Lo mismo con el polinomio 2 + x = x + 2.

Utilizamos los coeficientes del dividendo y el valor opuesto del número constante del polinomio divisor.

de esta manera:

5 7 2 –2

– 10 6

5 – 3 8

Recuerde:

El coeficiente del cociente es un grado menor: 5x – 3

El residuo es el último número donde se encuentra ubicado el cociente. Residuo = 8

Entonces, 5x2 + 7x + 2 = (5x – 3)(x + 2) y un residuo 8.

2. divida (3x2 + 6x – 7) por (x – 1)

Aquí este polinomio no posee término de grado 3, lo que indica que se debe asumir que hay un cero como coeficiente.

3 6 –7 1

3 9

3 9 2

Cociente: 3x + 9 residuo: 2 Entonces 3x2 + 6x – 7 = (3x + 9)(x – 1) + 2

B. división de un trinomio entre un binomio de la forma (ax + b)

1. dividir 4x2 – 9x + 1 por 2x + 3

Solución:

Paso 1. Tomamos el divisor 2x + 3 y lo igua-lamos a cero; así:

2x + 3 = 02x = − 3

x =− 32

Consideramos los coeficientes del polinomio (trinomio) así:

4 – 9 1 −32

− 122

= − 6 452

4 − 15 472

4x – 15

importante

Los números 4 y –15 excluyendo el residuo 472

deben ser divididos por el coeficiente del divisor (2x + 3). Así tenemos que 4

2= 2, − 15

2=

− 152

,

por lo tanto, el cociente de (4x2 – 9x + 1) ÷ (2x + 3) es c: 2x – 15

2 y el residuo 47

2

Verifiquemos que:

4x2− 9x + 1 = 2x + 3( ) 2x −152

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

472

= 4x2 −302

x + 6x − 452

+472

= 4x2− 15x + 6x +22

= 4x2− 9x + 1


324

residuo

2. dividir – 3x2 + 4x + 15 entre (3x + 5)

Solución:

El divisor es (3x + 5); este lo igualamos a cero así:

3x + 5 = 03x = − 5

x =− 53

Considerando los coeficientes del polinomio así:

− 3 4 15 − 53

153

= 5 − 453

− 3 9 0 – 3x + 9

recuerde

Los números –3 y 9, excluyendo el residuo 0; debe ser divido por coeficiente del divisor (x + 5); así; −3

9= −1, y 9

3= 3

Por lo tanto al realizar la división sintética de – 3x2 + 4x + 15 entre 3x + 5 se obtiene como cociente: – 3x + 3 y residuo r: 0

divida.

Así como puede observar, la división que usted conoce desde la primaria ha evolu-cionado grandemente, como también lo ha hecho la humanidad; es por eso que debemos ponerle atención para no que-darnos atrás en el conocimiento humano. Tengamos presente que el valor y utilidad que tuvo en su momento la división que co-noció en primaria son los mismos que tiene en el presente esta forma de división.

5

a)x2 + 5x + 6

x + 2

b)x2 − 15x + 56

x − 7

c) n2 − 7n − 9( ) ÷ n + 1( )

d) 4 − 8n + 3n2( ) ÷ 3n − 2( )

e) x2 − 7x + 5( ) entre (x − 3)

f) x2 − x − 6( ) entre (x − 3)

g) a2 − 5a + 1( ) entre a + 2( )

h) 2x2 − 7x + 1( ) entre x − 4( )

i) 3x2 + 5x + 1( ) entre 2x − 1( )

j) 10x2 + 8 − 7x( ) entre − 3 + 5x( )

k) 11− 7x + x2( ) entre 4x + 1( )

l) 2x4 − 7x − 6( ) entre 2x + 1( )

m) 7x2 − 29x + 1( ) entre 4x + 1( )

a)x2 + 5x + 6

x + 2

b)x2 − 15x + 56

x − 7

c) n2 − 7n − 9( ) ÷ n + 1( )

d) 4 − 8n + 3n2( ) ÷ 3n − 2( )

e) x2 − 7x + 5( ) entre (x − 3)

f) x2 − x − 6( ) entre (x − 3)

g) a2 − 5a + 1( ) entre a + 2( )

h) 2x2 − 7x + 1( ) entre x − 4( )

i) 3x2 + 5x + 1( ) entre 2x − 1( )

j) 10x2 + 8 − 7x( ) entre − 3 + 5x( )

k) 11− 7x + x2( ) entre 4x + 1( )

l) 2x4 − 7x − 6( ) entre 2x + 1( )

m) 7x2 − 29x + 1( ) entre 4x + 1( )

a)x2 + 5x + 6

x + 2

b)x2 − 15x + 56

x − 7

c) n2 − 7n − 9( ) ÷ n + 1( )

d) 4 − 8n + 3n2( ) ÷ 3n − 2( )

e) x2 − 7x + 5( ) entre (x − 3)

f) x2 − x − 6( ) entre (x − 3)

g) a2 − 5a + 1( ) entre a + 2( )

h) 2x2 − 7x + 1( ) entre x − 4( )

i) 3x2 + 5x + 1( ) entre 2x − 1( )

j) 10x2 + 8 − 7x( ) entre − 3 + 5x( )

k) 11− 7x + x2( ) entre 4x + 1( )

l) 2x4 − 7x − 6( ) entre 2x + 1( )

m) 7x2 − 29x + 1( ) entre 4x + 1( )

325


A. resuelva las divisiones siguientes.

a) m2 + 3m + 52m

=m2

2m+

3m2m

+5

2m

=m2

+32

+5

2m

B. observe:

❖ Para obtener cada uno de los cocientes anteriores, hicimos usos de la ley de potencias:

am

an = _______

❖ Al dividir dos monomios, algunas veces el resultado no es monomio; en este caso: 5

2m❖ Una expresión algebráica se llama monomio cuando este no posee expontens fraccionarios,

negativos y letras en el denominador: 52m

.

C. otros ejemplos

1. 3m4 − 5m3 + 12m2

30m2 =3m4

30m2 −5m3

30m2 +12m2

30m2

=1

10m2 −

16

m +25

imPORtaNte: Cada fracción obtenida debe simplificarse al máximo.

DiViSióN De UN tRiNOmiO eNtRe UN mONOmiO

aPaRtaDO 1

2. (32x2 + 20x − 12x3 ) ÷ 4x =32x2 + 20x − 12x3

4x

=32x2

4x+

20x4x

−12x3

4x

= 8x + 5 − 3x2

3. 25x2y − 40xy + 5x ÷ − 5x =25x2y − 40xy + 5x

− 5x

=− 25x2y

5x+

40xy5x

−5x

− 5x

= − 5xy + 8y − 1


326

aPaRtaDO 2

DiViSiONeS De POLiNOmiOS eNtRe mONOmiOSA. También se tiene divisiones de un polinomio entre un monomio, donde el resultado posee varia-

bles.

1. divida –10x2y4 + 15x6y7 entre –5xy2

Solución: La colocamos de la siguiente manera:

2. divida x4y4 – 4x2y3 + 5xy2 entre 2x3y3

Solución:

− 10x2y 4 + 15x6y− 5xy 2 =

− 10x2y 4

− 5xy 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

15x6y− 5xy 2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

= 2x2-1y 4-2 − 3x6-1y1-2

= 2xy 2 − 3x5y −1

= 2xy 2 −3xy

x4y4 − 4x2y3 + 5xy2

2x3y3 =

x4y4

2x3y3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟−

4x2y3

2x3y3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+

5xy2

2x3y3

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

xy2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−2x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+5

2x2y⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟=

xy2

−2x

+5

2x2y=

25x2y− 5x

= − 5x2 −1y = − 5xy; − 40xy− 5x

= 8y; 5x− 5x

= −13. (25x2y − 40xy + 5x) 5x =25x2y − 40xy + 5x

−

−−

5x

= 25x2y

5x+

40xy5x

−5x

− 5x

= − 5xy + 8y − 1

327


Otro ejemplo más

3. 2a5 – 4a4 – 5a3 entre 6a2

Solución:

respuesta:

aPaRtaDO 3

A. Simplifique las expresiones siguientes:

a) 4 = ________ e) a3 = ________ i) – b3 = ________ m) n2 = ________ 2 a4 b3 n6

b) – 9 = ________ f) – a14 = ________ j) t6 = ________ n) – j6 = ________ – 3 a2 t4 j7

c) 15 = ________ g) – p15 = ________ k) – t2 = ________ ñ) 22 = ________ – 5 p2 t6 24

d) – 8 = ________ h) 54 = ________ l) a2 = ________ o) – a = ________ 2 53 a6 a6

2a5 − 4a4 − 5a3

6a2 =

2a5

6a2 −4a4

6a2 −5a3

6a2 =

13

a5 − 2 −23

a4 − 2 −56

a3− 2 =

13

a3 −23

a2 −56

a

2a5 − 4a4 − 5a3 entre 6a2 13

a2 −23

a2 −56

aes igual a


328

B. Simplifique las expresiones siguientes:

a) – 64xy ÷ 8 = ____________

b) – 4x2y ÷ –2 = ____________

c) – 4ab ÷ 2 = ____________

d) 45p2q2 ÷ – 15 = ___________

C. Simplifique los monomios siguientes:

a) 8x ÷ 2x = _____________

b) 36p ÷ –4p = ____________

c) 75b ÷ –25 b = ______________

d) –925 ac ÷ -25 ac = _________

d. resuelva las divisiones siguientes:

a) a2b2

ab= _______________

b) m3n4

mn= _______________

c) x9y8

x2y2 = _______________

d) − 4a5

2a3 = _______________

e) 135a4b3

5ab= _______________

f) 96x4y4

− 6xy= _______________

g) 119m7n5

7m5n5 = _______________

h) 144m4n6

− 4m4n= _______________

i) − 175x2y4

− 5x2y= _______________

j) − 375a10b9

25ab7 = _______________

k) 603a8b7

− 9ab= _______________

329


E. divida

a) a2b2

ab= _______________

b) m3n4

mn= _______________

c) x9y8

x2y2 = _______________

d) − 4a5

2a3 = _______________

e) 135a4b3

5ab= _______________

f) 96x4y4

− 6xy= _______________

g) 119m7n5

7m5n5 = _______________

h) 144m4n6

− 4m4n= _______________

i) − 175x2y4

− 5x2y= _______________

j) − 375a10b9

25ab7 = _______________

k) 603a8b7

− 9ab= _______________

a) − 3a6b6 − a2b3( ) entre 3a2b3( ) = ___________

b) − 10m7n4 + 12m3n8( ) entre 2m2( ) = ___________

c) 5x3 − 2x2 + 6x3x2 = ___________

d) − 7x5 − 4x4 + 3x3

3x2 = ___________

e) 6x3 − 10x2 + 8x2x

= ___________

f) − 108a7b6 − 14a2b3 + 2b6

− a2b6 = ___________


330

A. Efectúe las divisiones siguientes.

a) 5x2y6xy2 = _________________

b) x2y2

4xy== _________________

c) − 2x4y6

3x2y9 = _________________

d) x4y2

3xy3 = _________________

B. Simplifique las expresiones siguientes:

a) 2 − 7x( )2

4 2 − 7x( )= _________________

b)a2b − 7b( )2

2 a2b − 7b( )= _________________

c)x2y2 − 1( )4

5 x2y2 − 1( )2 = _________________

d)− 3 a2 − b( )4

5 a2 − b( )4 = _________________

aPaRtaDO 4

331


C. Simplifique.

a) x − y( )3

4 x − y( )4 = _________________

b)− 4 a2 − c( )4

3 a2 − c( )3 = _________________

c)− 2 a4b + 2( )4

a4b + 2( )2 = _________________

d) 28x2y2

7x= _________________

e) 25 a + b( )a + b( )2 = _________________

f) 2x + 3y( ) x + y( )x + y( ) 3x + 2y( )

= _________________

g) x2 + 5x + 6x + 3

= _________________


332

aPaRtaDO 1

SiGamOS DiViDieNDO POLiNOmiOS eNtRe POLiNOmiOSdividamos: – 28x + 11 + 15x2 entre – 2 + 3x

Para dividir un trinomio entre un binomio, debemos seguir algunos pasos importantes.

t Primero: ordenamos y completamos los términos del dividendo y del divisor, según la variable.

En este caso procedemos así:

15x2 – 28x + 11 3x – 2

t Segundo: Se divide el primer término del primer término del dividendo con el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente.

15x2 – 28x + 11 3x – 2 5x

t tercero: Este valor se multiplica por cada término del dividendo. Cada producto se coloca debajo de su término semejante, con signo contrario u opuesto al obtenido, en este caso: 5x • 3x = 15x2 y 5x • (– 2) = – 10x, el opuesto o contrario es: – 15x2 y 10x así:

15x2 – 28x + 11 3x – 2 – 15x2 + 10x 5x – 18x

t cuarto: Bajamos el término siguiente del trinomio, en este caso es el 11, lo colocamos junto al re-siduo – 18x y formamos el residuo parcial – 18x + 11. dividiendo el primer término de este residuo por 3x; obtenemos el siguiente término del cociente.

15x2 – 28x + 11 3x – 2 – 15x2 + 10x 5x – 18x + 11

t Quinto: Este segundo término – 6 del cociente se multiplica por todo el divisor; cada producto se coloca en la columna de términos semejantes del residuo parcial – 18x + 11 con signo contrario u opuesto. Luego, se suma algebraicamente.

15x2 – 28x + 11 3x – 2 – 15x2 + 10x 5x - 6 – 18x + 11 + 18x – 12 – 1

15x2

3x= 5x

333


Observe:

dejamos de dividir cuando el grado del residuo en menor que el grado del divisor.

Por tanto, tenemos como resultado a: Cociente: 5x – 6;

residuo = 3

Luego, la división (15 x2 – 28x + 11) entre (3x – 2) es

(15x2 – 28x + 11) = (5x – 6)(3x – 2) – 1.

aPaRtaDO 2

Los trinomios también puede dividirse entre los binomios utilizando la división sintética.

1. divida utilizando el método de la división sintética:

a) x2 – 2x + 1 entre x – 3 1 –2 1 3 3 3 1 1 41(3) – 2 = 1 1(3) + 1 = 4coeficiente residuodel cociente

❖ Aquí colocamos los coecifientes del trinomio

❖ El número 3, corresponde al término opuesto inde-pendiente del binomio divisor (x – 3)

❖ El número 1 así: 1 corresponde al coeficiente del primer término del trinomio x2 – 2x + 1.

Por lo tanto, podemos decir que x2 – 2x + 1 entre x – 3 es igual al cociente (x + 1) y al residuo: r = 4. Esto es

(x2 – 2x + 1) ÷ (x – 3) = (x + 1)(x – 3) + 4

b) divida (6x2 + 17x + 12) ÷ (x + 2) utilizando el método de la división sintética.

6 17 12 –2 –12 –10 6 5 2


334

aPaRtaDO 3

A. divida por a cada binomio.

a) ax + ay = __________

b) 3a – 7 ab = ___________

c) a2y – 3a5 = ___________

B. Efectúe las siguientes divisiones:

a) px2 + p por p ___________

b) 3ax2 – 8ax2 por a ___________

c) mp – 7m por m ___________

d) – ax + ay por a __________

e) – ax + ay por – a __________

f) am2 – 5a por a __________

Observe:

❖ El número –2 colocado en el cuadro se corresponde al número opuesto del divisor x + 2.

❖ El número 6; así 6 es el primer coeficiente del primer término del trinomio 6x2 + 17x + 12

❖ 6(–2) + 17 = 5

❖ 5(–2) + 12 = 2

Por lo tanto: (6x2 + 17x + 12) ÷ (x + 2)

Cociente: 6x + 5

residuo: 2

335


C. Efectúe las siguientes divisiones

a) 75a5b4 – 65 a3b4 = ________ –5a3b3

b) – 81m4n8 + 108m8n4 = ___________ – 9m3n3

c) – 4b2 – 6b + 8b3 = _________ – 2ab

d) – 9nx3 + 15n2x2 – 3n = ________ – 3n

aPaRtaDO 4

A. ¿Cuál es el primer término del cociente de

a) x2 – 5x + 6 dividido por x – 3?

b) x2 –5x + 6 dividido por x – 2?

c) 8m2 – 10m – 3 dividido por 4m + 1?

d) 8 – 10n – 3n2 dividido por 2 – 3n?

B. divida por el método de la división sintética.

a) a2 + 3a + 2 por a + 1

b) b2 + 5b + 4 por b + 1

c) c2 + 8c + 12 por c+ 2

d) x2 – 3x – 40 por x + 5

e) x2 + 4x + 4 entre x + 2

f) (–9x2 + 3 + x) ÷ (x + 3)


336

g) 12 + 5x − 2x

4 − x

h) 7 − 9x + 8x2

3x − 1

C. divida por la forma: las siguientes expresiones (D: dividendo, d: divisor, c: cociente; r: residuo)

a) 23 − 11x2 + 2x3

2x − 3 = _____________

b) (3x2 – 7x + 2) ÷ (3x – 1) = _____________

c) 2x2 + 3x – 5 entre –2x – 5 = ___________

d) d2 – 5d – 24 entre d – 3 = _____________

e) 1 + c – 6c2 entre 1 + 3c = _____________

d. divida por la forma: las siguientes expresiones.

a) p3 – 8p – 3 divido por p2 + 5p – 2

b) p3 – 8p – 10 dividido por p2 + 2p + 1

337

SEMANA dECiMoQUiNTAmatemática - EL MAESTro EN CASA

ObjETIVO:

v Resolver combinación de operaciones con polinomios.

CONTENIDO:

- Combinación de operaciones con polinomios (dos o tres operaciones y un máximo de dos paréntesis): suma, resta, multiplicación y división, de acuerdo con las dificultades estudiadas.

SE

MA

NA

dE

CiM

oQ

UiN

TA


338

339


cOmBiNacióN De OPeRaciONeS cON POLiNOmiOS

Entre los símbolos algebraicos se encuentran números, letras y signos que representan las di-versas operaciones aritméticas.

Los números son, por supuesto, constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables.

La agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa en los símbolos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.

Entre los símbolos de agrupación se encuen-tran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces, como en el siguiente ejemplo:

ax + bc − dy

b2 − 4ac

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética:

suma ó adición (+)

resta ó sustracción (–)

multiplicación (•)

división (÷)

En el caso de la multiplicación, el signo ‘x’ normalmente se omite o se sustituye por un punto, como en a • b.

Un grupo de símbolos contiguos, como a b c representa el producto de a, b y c.

La división se indica normalmente mediante rayas horizontales.

Una raya oblicua o virgulilla, (/), también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.

Hay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.

Por ejemplo:

(ax + b)/(c – dy) indica que ax + b y c – dy son términos separados, lo mismo que b/c mientras que

(ax + b)/(c – dy) representa la fracción:

€

ax + bc − dy

Prioridad de las operaciones

Primero se hacen las multiplicaciones, des-pués las divisiones, seguidas de las sumas y las restas.

Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacen primero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.

Por ejemplo:

2 3 + (6 • 5 + 2)[ ] = 2 3 + (30 + 2)[ ] =

2 3 + (32)[ ] = 2 35[ ] = 70

Estimado estudiante

Si tiene alguna duda sobre la prioridad de las operaciones, repase la semana décima del libro de Matemática Térraba.

Operaciones con polinomios

Al hacer operaciones con polinomios, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para la aritmética numérica.


340

Operaciones indicadas con signos de agrupación

a) Efectuar 3(x + 4) Solución

Para simplificar esta expresión, utilizamos la propiedad distributiva de la siguiente manera:

3(x + 4) = 3 (x) + 3 (4) = 3x + 12

b) Efectuar –2(x – 4) Solución

En este caso debemos aplicar la propiedad distributiva con el número – 2, así:

– 2(x – 4) = – 2(x) – 2(– 4) = – 2x + 8 donde se observa que –2(-4) = 8 por la ley de

signos de la multiplicación.

c) Efectuar – (x – 3) Solución

Para simplificar esta expresión algebraica debemos recordar que

– (x – 3) = –1 (x – 3) Así que – (x – 3) = –x + 3 aplicando las leyes

de signos.

d) Efectuar 2 + 4(x – 1) Solución

recordemos el orden de las operaciones antes de realizar la suma.

2 + 4(x – 1) = 2 + 4(x) + 4(–1) = 2 + 4x + (– 4) = 2 – 4 + 4x = – 2 + 4x = 4x – 2

observe que las posibles respuestas de 2 + 4(x – 1) = – 2 + 4x = 4x – 2, ambas son aceptables.

e) Efectuar 4[x + 3(2x + 1)] Solución

recordemos la prioridad de las operaciones y el orden de los paréntesis.

Primero hacemos el paréntesis “más interno”.

4[x + 3(2x + 1)] =

4[x + 3(2x) + 3(1)] =

4[x + 6x + 3] =

4[7x + 3] =

4[7x] + 4[3] =

28x + 12

La última operación que se resolvió es multiplicar 4 por la expresión dentro del paréntesis [ ].

f) Efectuar 9 – 3[x – (3x + 2)] + 4 Solución

Se puede observar que tanto el 9 como el número 4 pueden sumarse, ambos no están relacionados con los paréntesis [ ].

Pero usualmente resolvemos las operaciones dentro los paréntesis [ ] de primero.

9 – 3[x – (3x + 2)] + 4 =

9 – 3[x – 1(3x + 2)] + 4 = 9 – 3[x – 1(3x) – 1(2)] + 4 = 9 – 3[x – 3x – 2] + 4 = 9 – 3[– 2x – 2] + 4 = 9 – 3[– 2x] – 3[– 2] + 4 = 9 + 6x + 6 + 4 =

6x + 19

341


observe que no es necesario escribir todos estos pasos, algunos pueden obviarse, todo depende de usted.

g) Efectuar 5 + 2 [3 + (2x – 1) + x] – 2

Solución

5 + 2 [3 + (2x – 1) + x] – 2} = 5 + 2 [3 + 2x – 1 + x] – 2} = 5 + 2 [2 + 3x] – 2} = 5 + 4 + 6x – 2 = 7 + 6x

el orden de las operacionesEn Matemática tenemos algunas reglas en el

orden de las operaciones:

v potencias y radicales

v multiplicaciones o divisiones según lo que se encuentre primero

v sumas y restas.

Cuando solo aparecen multiplicaciones y divisiones recuerde que éstos se efectúan según aparezcan de izquierda a derecha.

Por ejemplo:

24 ÷ 3 • 8 = 64

más ejemplos

a) Efectuar 4 + 32.

Solución

Primero calculamos el valor de 32 y así

4 + 32 = 4 + 9 = 13

b) Efectuar 4 + (2 + 1)2.

Solución

Simplificamos lo que se encuentra dentro del paréntesis antes de elevar al cuadrado.

4 + (2 + 1)2 = 4 + (3)2 = 4 + 9 = 13

c) Efectuar 4 + [– 1(– 2 – 1)]2.

Solución

4 + [– 1(– 2 – 1)]2 = 4 + [– 1(– 3)]2 = 4 + [3]2 = 4 + 9 = 13

d) Efectuar 4 – 3[4 –2(6 – 3)] ÷ 2

Solución

Simplifique de dentro hacia afuera, el parénte-sis redondo, luego el paréntesis [ ], recuerde que – 3 se multiplica por el resultado hallado dentro de los paréntesis de [ ].

4 – 3[4 –2(6 – 3)] ÷ 2 = 4 – 3[4 – 2(3)] ÷ 2 = 4 – 3[4 – 6] ÷ 2 = 4 – 3[– 2] ÷ 2 = 4 + 6 ÷ 2 = 4 + 3 = 7

observe que la división se hace antes que una suma, por esto se hizo “4 + 3 ” y no "10 ÷ 2".

e) Efectuar 16 – 3(8 – 3)2 ÷ 5

Solución

recuerde que debemos simplificar las ope-raciones dentro del paréntesis antes, porque (8 – 3)2 no es igual a 82 – 32.


342

16 – 3(8 – 3)2 ÷ 5 = 16 – 3(5)2 ÷ 5 = 16 – 3(25) ÷ 5 = 16 – 75 ÷ 5 = 16 – 15 = 1

f) Efectuar 16 ÷ 2[8 – 3(4 – 2)] + 1

Solución

16 ÷ 2[8 – 3(4 – 2)] + 1 = 16 ÷ 2[8 – 3(2)] + 1 = 16 ÷ 2[8 – 6] + 1 = 16 ÷ 2[2] + 1 = 16 ÷ 4 + 1 = 4 + 1 = 5

g) Efectuar 14x + 5[6 – (2x + 3)]

Solución:

Si usted, tiene problemas con los signos menos antes de un paréntesis, escriba el número 1.

14x + 5[6 – (2x + 3)] = 14x + 5[6 – 1(2x + 3)] = 14x + 5[6 – 2x – 3] = 14x + 5[3 – 2x] = 14x + 15 – 10x =

4x + 15

h) Efectuar – 2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x

Solución

Si usted tiene problemas con la resta de parén-tesis, convierta la resta en una multiplicación del –1 por el paréntesis.

recuerde que usted puede obviar algunos pasos.

– 2x – [3 – (4 – 3x)] + 6x = – 2x – [3 – 1(4 – 3x)] + 6x = – 2x – [3 – 4 + 3x] + 6x = – 2x – 1[– 1 + 3x] + 6x = – 2x + 1 – 3x + 6x = x + 1

Recuerde:

De las cosas más importantes a recor-dar con el orden de las operaciones es trabajar de lo interno hacia fuera de la operación y hacer cada paso totalmente y por separado.

Si usted intenta dar dos pasos inmedia-tamente o intentar hacerlo mentalmente, podrá incurrir en equivocaciones.

i) Efectuar [2(3x2 – 5x – 3) + 3(x2 + 3x + 1)] + 2

Solución:

En esta operación de polinomios tenemos dos multiplicaciones y dos sumas; además del paréntesis de corchetes y redondos.

Procedemos a reducir los paréntesis redon-dos

[2(3x2 – 5x – 3) + 3(x2 + 3x + 1)] + 2 =

[6x3 – 10x – 6 + 3x2 + 9x + 3] + 2 =

reducimos los términos semejantes:

[9x2 – x – 3] + 2 =

realizando la operación suma eliminamos el paréntesis de corchetes

9x2 – x – 3 + 2

9x2 – x – 1

En este caso hicimos la multiplicación primero luego la división, esto es, porque se hacen las ope-raciones de izquierda a la derecha. Esto es 2 [ 2 ] y luego 16 ÷ 4

343


aPaRtaDO 1

OPeRaciONeS cON PaRéNteSiS

aPaRtaDO 2

A. Efectuar 4 – 10[x + (2x – 3)] + 12x

Solución

4 – 10[x + (2x – 3)] + 12x =

4 – 10[x + 2x – 3] + 12x =

4 – 10[3x – 3] + 12x =

4 – 10[3x] – 10[– 3] + 12x =

4 – 30x + 30 + 12x =

– 30x + 12x + 4 + 30 =

– 18x + 34

B. realice las operaciones indicadas y simplifi-que:

− 5x − 5 − 3(7 − x) + (− 4 ÷ 2)[ ] =

− 5x − 5 − 21+ 3x − 2[ ] =

− 5x – 3x – 18[ ] =

5x – 3x + 18 =

2x + 18

A.

importante:

Cuando simplificamos una expresión algebraica, tenemos que sumar o bien restar los términos semejantes, es decir, aquellos que tengan el mismo factor literal.

B. Recuerde

t Por ejemplo sumar (2a2b – ab + 7b)

con – 3a2b – 4ab – 1 los colocamos así:

– 2a2b – ab + 7b

– 3a2b – 4ab – 1

– 1a2b – 5ab + 7b – 1

Esta es una forma de reducir términos semejantes.


344

Elimine los paréntesis y reduzca los términos semejantes cuando sea necesario.

aPaRtaDO 3

aPaRtaDO 4

realice las siguientes operaciones.

1) – [– (3x) – (x + 5y) + 7y] = _________________

2) – 2 [4a – 5b + 7(a – 6b) – (9a) + (– 3b) ] = _________________

3) – 5 [6(x + y) – 5(– 2x + 3y) – (6x – 11y) ] – (2x + y) = _________________

4) 5 [x + 3(– x + 2y) – (7x – 2y)] – 8 – [– 5(x + y)] = _________________

5) 8a + 5 (4a – 6) – 6 [3 – 7(a +10)] = _________________

t Ahora para restar de (2a2b – ab + 7b) el polinomio – 3a2b – 4ab – 1 los colocamos así:

– 2a2b – ab + 7b

– (– 3a2b – 4ab – 1)

– 2a2b – ab + 7b

– 3a2b + 4ab2 + 1

5a2b + 3ab2 + 7b + 1

Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la sua con el – 1

a) (4 – x ) = ____________

b) – (2a + 8b) = ____________

c) (a + b) + (a – b) – (2 + b) = ____________

d) 6x + 2y + (x – 2y) = ____________

e) 5(– 2x + 7y) = ____________

f) – 3 (a + 4b) = ____________

g) – 2 (2x + 5y) – (2x + 3y) + x = ____________

h) –3 [ 6a – (8a – 3b) + (a + 9b) ] = __________

345


aPaRtaDO 1

ORDeN De LaS OPeRaciONeS cON POLiNOmiOSA. Efectúe (3 – 4x) • [2(2 – 3x + 3x3) – (3 – 2x + 4x2)]

Solución: Como ya sabemos tenemos que considerar el orden de las operaciones (multiplicación, división y luego sumas y restas). Aquí comenzamos a multiplicar dentro de los corchetes el 2 y el – 1. ¿dónde está el – 1?

3 − 4x( ) • 4 − 6x + 6x2 − 3 + 2x − 4x2⎡⎣ ⎤⎦ =

3 − 4x( ) • 2x2 − 4x + 1⎡⎣ ⎤⎦ =

6x2 − 12x + 3 – 8x3 + 16x2 − 4x =

− 8x3 + 22x2 − 16x + 3

B. Recuerde:

Cuando resolvemos una combinación de operaciones también hacemos uso de las leyes de potencias

ax • ay = ax + y am( )n= amn

A. Cuando resolvemos operaciones donde se combinan varias operaciones también podemos utilizar los productos notables.

Veamos los siguientes casos.

1. realice las operaciones indicadas y simplifique en cada uno de los siguientes casos:

( x – 2y )(2x + 3y ) – ( 2x + y )2 = 2x2 + 3xy – 4xy – 6y2 – ( 4x2 + 4xy + y2 )

= 2x2 – xy – 6y2 – 4x2 – 4xy – y2

= – 2x2 – 5xy – 7y2

2.

4 − x( ) 2x − 3( ) + x − 5( )2= 8x − 12 − 2x2 + 3x + x2 − 10x + 25( ) =

8x − 12 − 2x2 + 3x + x2 − 10x + 25 =

−x2 + x + 13

aPaRtaDO 2


Multiplicamos un binomio por un trinomio.

Reducimos nuevamente términos semejantes.


346

aPaRtaDO 3

B. recordemos los productos notables o fórmulas notables.

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a – b) 2 = a2 – 2ab + b2

(a – b) ( a + b ) = a2 – b2

realice las operaciones indicadas y simplifique:

a) 40x + 25 − 3x + 2( )⎡⎣ ⎤⎦ = _______________

b) 150x − 5x − 1( ) − 4x − 3( )⎡⎣ ⎤⎦ = _______________

c) 250 + 7x − 2( ) + 4 − x( ) + 3x − 2( )⎡⎣ ⎤⎦ = _______________

d) 7x − 5( ) + 13 − 4x( )⎡⎣ ⎤⎦ − 17 + 3x( ) − 18 − 9x⎡⎣ ⎤⎦ = _______________

e) 5 x + 4( )2− 4 − 5x − 4( )2

= _______________

f) 6 x + 3( )2+ 2 − 6x + 2( )2

= _______________

g) 3x − 1( )2 • 3 x − 1( )2+ 2 x2 − 3x + 1( )⎡

⎣⎤⎦ = _______________

h) − 7 a − 3( ) − 2 a + 2( )2⎡⎣

⎤⎦ = _______________

347


A. realice las operaciones indicadas y simplifique:

a) 3x2 − x − 2( ) x2 − 3x + 5( ) = _______________

b) x2 − 2xy + y 2( ) x2 + 2xy + y 2( ) = _______________

c) 3 x + h( )2+ 2 x + h( ) − 3x2 + 2x( ) = _______________

d) 4 x + h( )2− 5 x + h( ) − 4x2 − 5x( ) = _______________

e) − 2 x + h( )2− 3 x + h( ) + 7 − − 2x2 − 3x + 7⎡⎣ ⎤⎦ = _______________

f) 2x + y( )2− 3x − y( ) 2 − 3y( ) = _______________

g) 7x − 9y( )2+ 2x 6 − 7x( ) = _______________

h) x − 2y( )2+ 7x + 3y( )2

− 9x2 − y 2( ) = _______________

i) 4x + 5y( )2− 3x − 2y( )2

+ x2 − 5( )2

= _______________

j) 2a + b( ) − 3a + 5b( )⎡⎣ ⎤⎦ • 2a − 1( ) = _______________

k) 5x3y + 3x2y( ) − x3y⎡⎣

⎤⎦ + 2x2y − 1( ) = _______________

l) x + 6( )2+ 3x − 7( )2⎡

⎣⎤⎦ − 8x2 − 9x + 5( ) = _______________

m) 2a3 a2 − 5( )2⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

− 7a2 − 4( ) = _______________

aPaRtaDO 4


348

B. realice las siguientes operaciones y simplifique.

a) – 10 ÷ 2 • 4(– 9 + 11) – 4[– 4 ÷ (– 2) • 3] + (12 – 6) ÷ 3 – 20 ÷ 5 =

b) 4 ÷ 2 + 5 • 9 ÷ 3 – (– 2) • [7 – 8 ÷ (4 • 2) – 1] + 3 • (5 – 7 • 2) =

C. resuelva y simplifique cada operación.

a) 7x + 5 • 3x – 1 + 16x ÷ 8 = ________________

b) 3x – 6 + 4 • 2x – 8 + 4x – 3 = ________________

c) – 12x + 5 + 7x – 1 + 4x ÷ 4 = ________________

d) 3x – 5 + 7x – 3x + 51 = ________________

e) – 6x – 9 – 3 ÷ 3 – 4x + 6 = ________________

f) 5x – 2 + 9x – 8 + 4 = ________________

g) – 3x – 4 – 6 + 12 – 5x = ________________

m) 4x – 7 + 9 – 3 ÷ 3 – 5x • 4 + 6 – 7x = ________________

349

SEMANA dECiMoSEXTAmatemática - EL MAESTro EN CASA

OBjetiVO:

v Efectuar la factorización de polino-mios en forma completa.

cONteNiDOS:

– Factorización completa de poli-nomios mediante:

• Factor común (con una o dos va-riables).

• diferencia de cuadrados (en una variable).

• Trinomio cuadrado perfecto en una variable.

• Combinación de factor común y productos notables.S

EM

AN

A d

ECiM

oSE

XTA


350

351


FactORizacióN

Si dos expresiones algebraicas (monomios, binomios, …, polinomios) se multiplican obtenemos como producto otra expresión algebraica (mono-mios, binomios, …, polinomios).

A partir de este momento, estudiaremos varios procedimientos que nos permitirán determinar los factores de una expresión algebraica dada, cuando existan.

Pero antes, recordemos algunos conceptos importantes:

❖ Si dos expresiones algebraicas A y B se mul-tiplican y su producto es C, cada una de las expresiones A y B se dice que es un factor o divisor de C.

Ejemplos:

1. Puesto que 2 (x + 1) = 2x + 2, diremos que 2 y x + 1 son factores o divisores de 2x + 2.

2. del mismo modo (x + 4)(x + 3) = x2 + 7x + 12. Luego (x + 4), (x + 3) son factores o divisores de x2 + 7x + 12.

❖ A menudo, resulta conveniente determinar los factores de una expresión algebraica dada. La operación que consiste en hallar estos factores se denomina factorización o descomposición en factores de la expresión.

Seguidamente estudiaremos algunos procedi-mientos para factorizar determinadas expresiones algebraicas.

a. Factorización por factor común1. Factor común monomio

Por ejemplo, si queremos descomponer en factores o sea factorizar la expresión ma + mb, lo

podemos realizar aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto de la suma, de la manera siguiente:

ma + mb = m ( a + b )

En este caso se dice que hemos extraído el factor común m en la expresión ma + mb, ya que dicho factor aparece en cada uno de los términos de la expresión dada.

En general tenemos que:

Si en una expresión algebraica dada exis-te un factor que sea común a todos sus términos, ésta se puede descomponer en el producto de dicho factor común por el polinomio que resulta al dividir cada uno de los términos de la expresión dada por ese factor común.

ejemplos de este tipo de factorización.

a) Factorizar 4 + 8a = 4 (1 + 2a)

Solución:

Se puede observar que 4 y 8a contienen como factor común al 4. El otro factor estará formado por el cociente de (4 + 8a) ÷ 4 = 1 + 2a, ya que 4 ÷ 4 = 1; y 8a ÷ 4 = 2a.

Luego, tendremos que

4 + 8a = 4(1 + 2a)

b) Factorizar 6a2b – 9ab2 + 3ab = 3ab (2a – 3b + 1)

Solución:

En este caso tenemos que existe un factor numérico y un factor literal.


352

Como factor numérico tenemos al número 3, puesto que este es divisor de 6, 9 y 3 a la vez.

Además, como factor literal tenemos a las letras a y b con el exponente 1 , entonces el factor común es 3ab.

Luego el trinomio se puede expresar

6a2b–9ab2+3ab=3ab(2a–3b+1), puesto que

(6a2b)÷(3ab)=2a

(–9ab2)÷(3ab)=–3b

(3ab)÷(3ab)=1

c) Factorizar 10b2 – 5b + 15b3

Solución:

Se puede observar que el factor literal es el factor b.

Para encontrar el factor común numérico, tomamos los coeficientes 10, 5 y 15 y los factorizamos hasta saber cuál es el máximo común divisor entre ellos. Así procedemos:

10 5 15 5

2 1 3

Luego, dividimos el polinomio entre el factor común que tenemos:

10b2

5b= 2b

5b5b

= 1

15b3

5b= 3b2

Por lo tanto, 10b2 – 5b + 15b3 = 5b (2b + 1 + 3b2)

= 5b (3b2 + 2b +1)

d) Factorizar 259

xy2 −3021

x2y

Solución:

Los factores literales corresponden a los fac-tores x e y comunes del polinomio.

Para encontrar el factor numérico de los co-

eficientes 259

y 3021 ; obtenemos primero el

factor común de los numeradores así:

25 30 5

5 6

Segundo obtenemos el factor común de los denominadores así:

9 21 3

3 7

Juntando ambos factores, formamos una nue-va fracción que va a ser el factor común, la misma tiene como numerador el factor común de los numeradores y como denominador el factor común de los denominadores, entonces tenemos que

259xy2 −

3021

x2y =53xy 5

3y − 6

7x

observe: el factor que posee paréntesis en el resultado de dividir cada uno de los términos del polinomio original entre 5

3xy .

e) Factorizar x2y2 + x3y2 + xy

Solución:

El factor común es x e y…

353


x2y2

xy= xy; x3y2

xy= x2y; xy

xy= 1

1. 120a + 20b + 120 =

2. 9a2x − 18ax2 =

3. x2 + x3 − x4 =

4. ab2 − a3b + ab =

5. 4a3 + 30a2 − 50a =

6. 21c4 + 7b2c − 14b3 =

7. 12xy2 − 18y3x2 + 16xy =

8. b3c2 − 21c2 + 14bc2 =

9. 112mn4 + 120m5n − 126m2n2 =

10. a4b + a2b4 + a5 + a3b3 =

11. 15y2 + 20y3 − 30y4 + 40y5 =

12. −hk2 + 2hk + h2 =

13. m3 + mn2 − mn4 + m =

14. a3b2 + a3b =

15. 5ab +103

a2b −157

b4 =

16. 25x2y + 30xy3 + 20x =

17. − x2y + y3 − xy4 − 4y =

18. 259

xy −159

xy2 −109

x3y =

19. 215

a3b2 −3

20a2b3 −

15

a =

20. 203

x4 +152

x3y + 30xy2 =

Por lo tanto:

x2y2 + x3y2 + xy = xy(xy + x2y + 1)

1Factorice los siguientes polinomios utilizando el método del factor común.

12. 42a b2 2 218a b7 a b3− 30+ =

13. −hk2 + 2hk + h2 =

14. m3 + mn2 − mn4 + m =

15. a3b2 + a3b =

16. 5ab +103

a2b −157

b4 =

17. 25x2y + 30xy3 + 20x =

18. − x2y + y3 − xy4 − 4y =

19. 259

xy −159

xy2 −109

x3y =

20. 215

a3b2 −3

20a2b3 −

15

a =

21. 203

x4 +152

x3y y + 30x y2 22 =


354

2. Factor común polinomio

Cuando factorizamos por el método del Fac-tor Común en algunos casos el factor común será un polinomio. Para estas situaciones se procederá de la siguiente manera:

a) Factorizar 4(x + y) – 7(x + y) Solución:

observando la expresión nos damos cuenta que los dos términos de la misma tienen de factor común el binomio (x + y); así entonces podemos realizar lo siguiente:

4 (x + y)(x + y)

= 4

7 (x + y)(x + y)

= 7

y tendremos entonces que

4(x + y) – 7(x + y) =

(4 – 7)(x + y) = – 3 (x + y)

b) Factorizar 2x(a – 1) – 3(a – 1) El factor común es (a – 1)

Así entonces dividimos los términos entre este factor común y obtendremos

2x(a − 1)(a − 1)

= 2x; − 3 (a − 1)(a − 1)

= − 3

Entonces tendremos como resultado final:

2x(a – 1) – 3(a – 1) = (a – 1)(2x – 3)

c) descomponer: 2a(m + 3) + m + 3 Solución:

Esta expresión aunque en apariencia diferente a las demás se puede escribir así:

2a (m + 3) + m + 3 = 2a(m + 3) + (m + 3)

= 2a(m + 3) + 1(m + 3)

El factor común es (m + 3); por eso si:

2a(m + 3)(m + 3)

= 2a y 1(m + 3)(m + 3)

= 1

tenemos como resultado que

2a(m + 3) + m + 3 = (m + 3)(2a + 1)

d) Factorizar 5x(2 + b) – 2 – b Solución:

Vamos a acomodar esta expresión realizando los pasos siguientes:

5x(2 + b) – 2 – b =

5x(2 + b) – (2 + b) =

5x(2 + b) – 1(2 + b)

Luego, tenemos que el factor común es (2 + b) y que 5x(2 + b) – 2 – b = (2 + b)(5x – 1)

recuerde que:

– a – b = – (a + b)

– a + b = – (a – b)

en ambos casos estas expresiones son pro-ducto del uso de la ley distributiva de la multi-plicación con respecto de la suma.

e) Factorizar (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) Solución:

El factor común es (y + 2). Si dividimos cada término por este tenemos que:

(x − 5)(y + 2)(y + 2)

= x − 5 3(y + 2)(y + 2)

= 3

Luego (x – 5)(y + 2) + 3(y + 2) = (y + 2)(x – 5 + 3) = (y + 2)(x – 2)

355


A. Factorice las siguientes expresiones.

1. a(x + 1) + 8(x + 1)

2. − 5(2n + 3) + p(2n + 3)

3. 2a(x − 3) − 11(x − 3)

4. 2x(m – n) + 3(m – n)

5. 4(x + 5) + n(x + 5)

6. x(3 + 5y) + 3 + 5y

7. m(1− x) + 1− x

8. 4x(m − 2) + m − 2

9. 1− x + 2a(1− x)

10. x2 + 1− b(x2 + 1)

11. x(m + 7) − m − 7

12. 12(b + c) − b − c

13. 2y(x + 2) − x − 2

14. −13

− b + x(13

+ b)

15. −2x − 3 + m(2x + 3)

B. Factorice:

a) m(a – 9) + (a – 9)

b) 3x (x – 2) – 2y(x – 2)

c) a(n + 2) + n + 2

d) x(a + 1) – a – 1

e) – x – 1 – 7y(x + 1)

f) –1 + 7x + 2a(1 – 7x)

g) x – 8 + x(x – 8)

h) – 5(2a + b + 3) – 2a – b – 3

i) (x – 6)(n + 1) – 3(n + 1)

j) (x +1)(x – 2) + 3y(x – 2)

k) (a + 3)(a + 1) – 4(a + 1)

2

9. 1− x + 2a(1− x)

10. x2 + 1− b(x2 + 1)

11. x(m + 7) − m − 7

12. 12(b + c) − b − c

13. 2y(x + 2) − x − 2

14. − 3 − b + x( + b)

15. −2x − 3 + m(2x + 3)


356

B. Factorización de una diferencia de dos cuadrados

Una expresión algebraica cuyos términos sean dos cuadrados, uno de ellos con signo negativo, puede relacionarse inmediatamente con el pro-ducto notable correspondiente a la diferencia de dos cuadrados.

En efecto, esta expresión se puede descom-poner fácilmente en factores buscando la raíz cuadrada de cada término y formando una nueva expresión que contenga la suma por la diferencia de tales raíces.

a2 – b2 = ( a + b)( a – b)

identificación de la diferencia de dos cuadrados

Para que una expresión sea la diferencia de dos cuadrados, se deben cumplir dos condicio-nes.

1. debe haber dos términos, ambos cuadrados para extraer la raíz cuadrada exacta.

2. debe haber un signo menos entre los dos términos.

Analicemos los siguientes casos:

ejemPLO 1

¿Es 16a2 – 49 la diferencia de dos cuadra-dos?

El primer término del binomio es un cuadrado 16a2 = (4a)2 entonces 16a2 = (4a)2 = 4a

El segundo término del binomio es un cuadrado 49 = (7)2 entonces 49 = (7)2 = 7

Existe un signo menos entre ellos.

Entonces tenemos una diferencia de dos cua-drados.

ejemPLO 2

¿Es – 4x2 + 16 una diferencia de dos cuadra-dos?

– 4x2 + 16 = 16 – 4x2 Lo escribimos en for-ma de diferencia.

16 = ( 4)2 y 4x2 = (2x)2 El primero y el último término son cuadra-dos.

Poseen raíz cua-drada exacta.

ya que hay un signo menos entre 16 y 4x2, tenemos una diferencia de dos cuadrados.

Recuerde:

La diferencia de dos cuadrados se des-compone en el producto de la suma por la diferencia de las bases de estos cua-drados, esto es, de las raíces cuadradas de estos.

En símbolos:

a2 – b2 = (a + b)(a – b)

ejemplos

A. descomponer en factores

a) x2 – 25 Solución:

Cómo x2 – 25 es una diferencia de cuadrados tal que x2 = x; 25 = 5 . Entonces la des-composición o factorización es (x + 5)(x – 5)

16 = 4 y 4x2 = 2x

357


Por tanto x2 – 25 = (x + 5)(x – 5)

b) 14

− 0,49a2

Solución:

Como 14

− 0,49a2 es una diferencia de cua-

drados y como

además

se tiene que

14− 0,49a2 =

12+ 0,7a 1

2− 0,7a

B. Factorizar

1. 9a4 – 25

Solución:

Tenemos que 9a4 – 25 es una diferencia de

cuadrados y además

9a4 = (3a2 )2 = 3a2

25 = 52 = 5

Multiplicamos la suma de las raíces por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (3a2 + 5)(3a2 – 5).

Por tanto 9a4 – 25 = (3a2 + 5)(3a2 – 5)

2. a2

4−

19

Solución:

Como a2

4−

19

es una diferencia de cuadrados y

14

=14

=12

; 0,49a2 = (0,7a)2 = 0,7a14

=14

=12

; 0,49a2 = (0,7a)2 = 0,7a

a2

4=

a2

4=

a2

19

=19

=13

importante

amn = am ÷n = a

mn

Ejemplo : x6 = x6 ÷ 2 = x3

3. – a8 + 1

Como –a8 + 1 = 1 – a8, el binomio es una di-ferencia de cuadrados y además

1 = 1

a8 = a8 ÷ 2 = a4

Multiplicamos la suma de las raíces cuadradas por la diferencia entre la raíz del minuendo y la del sustraendo (1 + a4)(1 – a4)

Pero observe, el segundo término de esta factorización (1 – a4) sigue siendo una dife-rencia de cuadrados perfectos, por lo que es necesario factorizado de nuevo:

1 = 1

a4 = a42 = a2

Así tenemos que (1 + a2)(1 – a2) = 1 – a4

Otra vez tenemos que el factor (1 – a2) también sigue siendo una diferencia de cuadrados, el cual se descompone como (1 + a)(1 – a); por tanto:

– a8 + 1 = 1 – a8 = (1 + a4)(1 + a2)(1 + a)(1 – a)


358

4. (a + 5)2 – 9

Solución:

(a + 5)2 – 9 = ((a + 5) + 3)((a + 5) – 3)

= (a + 5 + 3)(a + 5 – 3)

= (a + 8)(a + 2)

A. Factorice las siguientes expresiones utilizando el método de la diferencia de cuadrados.

1. n2 − 1

2. x2 − 25

3. 1− 4m2

4. 16 − y2

5. 4x2 − 9

6. 4x2 − 81

7. 100 – m4

8. 25 − 4n2

9. −16 + 4b2

10. 14

− 9a2

11. a2

36−

1625

12. 121100

−y2

81

13. 1−a2

4

14. b2 −14

15. 100 −1

16a4

16. 64a2 −1

25

17. (7x + 1)2 − 81

18. (a + 4)2 − (a + 3)2

19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2

20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2

1. n2 − 1

2. x2 − 25

3. 1− 4m2

4. 16 − y2

5. 4x2 − 9

6. 4x2 − 81

7. 100 – m4

8. 25 − 4n2

9. −16 + 4b2

10. 14

− 9a2

11. a2

36−

1625

12. 121100

−y2

81

13. 1−a2

4

14. b2 −14

15. 100 −1

16a4

16. 64a2 −1

25

17. (7x + 1)2 − 81

18. (a + 4)2 − (a + 3)2

19. (3a + 6)2 − (4a − 5)2

20. (1+ 6c)2 − (− 1− c)2

3

359


B. Factorice.

a) 162 – 9y2 b) 16a2 – 9

c) 25x2 – 4 d) 25m2 – 49

e) 64y4 – 81 f) –16 + a12

g) 121a8 – 100 h) 50a10 – 72

i) x4 – 1 j) 4x4 – 64

k) 16 – y4 l) 5x4 – 80

trinomio cuadrado perfecto

Cuando estudiamos los productos notables se observó que el cuadrado de un binomio es un trinomio, tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Por ejemplo:

( x + 5)2 = x2 + 10x + 25

( x – 5)2 = x2 – 10x + 25

Los trinomios x2 + 10x + 25 y x2 – 10x + 25 son trinomios cuadrados, porque son cuadrados de un binomio.

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado como a2 + 2ab + b2 ó a2 – 2ab + b2.

❖ dos de sus términos son cuadrados perfectos, a2 y b2.

❖ No debe de haber signo menos en a2 o en b2.

❖ Si multiplicamos a y b y duplicamos el resul-tado, obtenemos el tercer término, 2ab, o su opuesto, – 2ab.

ejemPLO 1

¿Es x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado?

observe que este trinomio contiene dos térmi-nos cuadrados perfectos (x2 y 16), cuyas raíces cuadradas son x y 4 respectivamente.

El doble producto de estas raíces es 2 • x • 4 = 8x que coincide con el término restante del trinomio.

Como dicho término tiene signo positivo, en-tonces el trinomio se descompone en el cuadrado de una suma.

Luego, resulta:

x2 + 8x + 16 = (x + 4)2

Por consiguiente, x2 + 8x + 16 es el cuadrado del binomio (x + 4).

ejemPLO 2

¿Es x2 + 6x + 11 un trinomio cuadrado?

La respuesta es no porque sólo hay un término al cuadrado.

¿Cuál es?

ejemPLO 3

¿Es 16a2 – 56a + 49 un trinomio cuadrado?

Sí.

❖ dos de sus términos son cuadrados perfectos.

16a2 = (4a)2

49 = (7)2


360

❖ No hay signo menos antes de 16a2 ni de 49

❖ Si multiplicamos "4a y 7" y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2 • 4a • 7 = 56a

Por consiguiente, 16a2 – 56a + 49 es (4a – 7b)2

c. Factorización de trinomios cuadradosPara factorizar trinomios cuadrados podemos

utilizar las relaciones siguientes.

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a – b)2

ejemPLOS

a) x2 + 6x + 9 = x2 + 2• x • 3 + 32 = ( x + 3 )2

x 3

2 • x • 3 ➠ El signo del término medio es positivo

b) 9a2 – 6a + 1 = (3a)2 – 2• 3a • 1 + 12 = (3a – 1)2

3a 1

2 • 3a • 1 ➠ El signo del término medio es negativo.

c) 1 – 16x2 + 64x4 = 12 – 2 • 1 • 8x2 + (8x2)2

1 8x2

2 • 1 • 8x2 ➠ El signo del término medio es negativo.

luego 1 – 16x2 + 64x4 = (1 – 8x2)2

d) 27 + 72n + 48n2 = 3(9 + 24n + 16n2) = 3 (3 + 4n)2

e) (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1

(y + 3) 1

2 • (y + 3) • 1 ➠ El signo del término medio es positivo.

Luego (y + 3)2 + 2(y + 3) + 1 = (y + 3 + 1)2= (y + 4)2

f) (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1

(y – 2) 1

2 • (y – 2) • 1 ➠ El signo del término medio es negativo.

Luego (y – 2)2 – 2(y – 2) + 1 = (y – 2 – 1)2= (y – 3)2

A. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cua-drados perfectos?

a) x2 + 8x + 16 b) x2 – 10x + 25

c) x2 – 12x + 4 d) 4x2 + 20x + 25

e) 9x2 – 14x + 16 f) 16x2 + 40x + 25

B. Factorice completamente cada trinomio.

a) x2 + 16x + 64 b) x2 + 14x + 49

c) x2 – 2x + 1 d) 1 – 4y + 4y2

e) 2x2 – 4x + 2 f) x3 – 18x2 + 81x

g) 20x2 + 100x + 125 h) 5y4 +10y2 + 5

i) 9x10 + 12x5 + 4 j) 1– 2a3 + a6

k) 49(x + 1)2 – 42(x + 1) + 9 l) (x + 7)2 – 4x – 24

m) (a + 4)2 – 6a – 15 n) 4 – 4(1 – x) + (1 – x)2

4

361


D. Factorización completa combinando el factor común y los productos notables

Hagamos otros ejemplos.

Si los términos de la expresión tienen un factor común, primero sacamos el factor común. Luego continuamos con la factorización.

Factorizar.

a) 49x4 – 9x6 = x4(49 – 9x2)

= x4 [ (7)2 – (3x)2]

= x4(7 + 3x)(7 – 3x)

Sacamos el factor común x4.

Factoriza la diferencia de cuadrados.

b) 18a2 – 50a6 = 2a2(9 – 25a4)

= 2a2[(3)2 – (5a2)2]

= 2a2(3 – 5a2)(3 + 5a2)

Sacamos el factor común 2a2.

Factoriza la diferencia de cuadrados.

c) 1 – 16x12 = (1)2 – (4x6)2

= (1 – 4x6)(1 + 4x6)

= [(1)2 – (2x3)2](1 + 4x6)

= (1 – 2x3)(1 + 2x3)(1 + 4x6)

d) 3x2 – 42x – 147 = 3 (x2 – 14x + 49)

x 7 = 3 (x – 7)2

e) 20x2 + 60x +45 = 5 (4x2 + 12x + 9

2x 9

= 5 (2x + 9)2

A. descomponga en factores.

a) a2(a – 1) – 9(a – 1) = _________________

b) 4 (x + 2) – x2 (x+2) = _________________ 9

c) b2(b – 3) – (b – 3) = ________________

d) 3(x + 3)2 – 27 = ___________________

e) 2(y – 5)2 – 72 = ___________________

f) 5(2y – 7)2 – 20 = _________________

g) 2x2 – 12x + 18 = _________________

h) 27x2 + 18x – 3 = _________________

i) 3x – 6x3 + 3x5 = _________________

j) (x + 2)2 + 3x(x + 2)2 = _________________

k) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = _________________

l) (2 – 3x)2 – (3x + 2)2 = ___________________

5


362

B. determinar el mayor factor común de cada polinomio.

1) 2a2 + 12a 2) 9b2 – 81b

3) 12c2 – 6 4) 9d2 + 27

5) e2 + 9 6) 2f2 – 7

7) 3x2 – 12x + 18 8) 18n2 – 27n + 9

9) 2x4 + 6x3 – 10x2 10) 9y5 – 66y4 + 3y3

C. Factorizar

1) 3x2 + 12y2 2) 18x2 – 12y

3) x2 + 7x 4) 3x2 – 21x3

5) 6x2 – 4x 6) b3 + b2 + b

7) a2b + ab2 8) 15a2c – 3c

9) 25r2s – 10rs2 10) –12x2 – 6x

d. Factorizar las siguientes expresiones

1) y (y – 1) + 2 (y – 1) 2) a (a – 8) + 9 (a – 8)

3) (4c + 5) x – (4c + 5) 4) (x + 1) (2x + 3) – (x + 1)

5) (x – y)2 + (x + y) (x – y) 6) 2m (m – n) – (m + n)(m – n)

7) (1 – 3c) + (1 – 3c)y2 8) – ( 1 –2y) – 8 (2y –1)

363


aPaRtaDO 1

FactORizacióN cUaNDO LOS téRmiNOS tieNe UN FactOR cOmÚN

A. Factorizar es el proceso inverso de multiplicar.

B. Recuerde:

Factorizar una expresión significa escribir una expresión equivalente que sea un producto de dos o más expresiones.

A. Al multiplicar un monomio y un polinomio, utilizamos la propiedad distributiva para multiplicar cada término del polinomio por el monomio.

Factorizar por el método de Factor común es aplicar el proceso inverso al producto de un monomio y un polinomio.

Factorizar

6a2 + 12a3 + 18a4

6 • 1 coeficiente 6 • 2 coeficiente 6 • 3 coeficiente 6a2 = 12a3 = 18a4 = a2 • 1 variable a2 • a variable a2 • a2 variable

Para factorizar por el método de factor común, usamos los coeficientes de cada término del polinomio en este caso son 6, 12 y 18, con ellos obtenemos el máximo común divisor así:

aPaRtaDO 2

a) Factorice: m(x + 2) + x + 2

Solución:

Podemos escribir esta expresión así: m(x + 2) + 1(x + 2).

El factor común es (x + 2) con lo que tenemos:

m(x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)

b) Factorice: a(x + 1) – x –1

Solución:

Al introducir los dos términos en un parénte-sis precedido del signo –, se tiene:

a(x + 1) – x – 1 = a(x + 1) – (x + 1) =

a(x + 1) – 1(x + 1) = (x + 1)(a – 1)


364

aPaRtaDO 3

6 12 18 2

3 6 9 3

1 2 3 m.c.d.(6)

Con respecto a la variable a, tenemos que a2 es común en los tres términos, a2 • 1 = a2, a2 • a1 = a3 y a4 a2 • a2.

Por esto multiplicamos el mcd(6) por la a elevada a la menor potencia que aparezca (a2). El factor común es 6a2.

Así entonces, dividimos cada término del polinomio así:

6a2

6a2 = 1 ; 12a3

6a2 = 2a ; 18a4

6a2 = 3a2

Por lo tanto 6a2 + 12a3 + 18a4 = 6a2(1 + 2a + 3a2)

B. Comparemos lo siguiente:

multiplicar Factorizar

a) 5( x + 3 ) = 5 • x + 5 • 3 5x + 15 = 5 • x + 5 • 3 = 5x + 15 = 5( x + 3 )

b) 3a( b2 + 2 ) = 3a(b2) + 3a(2) 3b2 + 6a = 3a (b2) + 3a (2)

= 3ab2 + 6a = 3a (b2 + 2)

En cada uno de los casos siguientes, decimos que hemos sacado el factor común

A. Encuentre el factor común, si existe alguno.

a) 6a3 + 30a2; 9a3 + 27 a2 + 9a respuesta: _____________

b) 24a4 – 15a3 + 6a ; 16a4 + 24a3 – 48a2 – 32a respuesta: _____________

c) 12b6 – 480b4 ; 144b8 + 72b2 respuesta: _____________

d) 27x5 – 81x2 + 9x ; 8x4 – 16x + 4 respuesta: _____________

365


B. Halle el factor común en las siguientes expresiones.

a) 54a4b3 − 36a3b4

b) 30x2y − 24xy2 + 18x2y2

c) 28a3b2 + 42a4b2 − 56a5b3

d) 15a2x2 − 3a2x3 + 75a2x4 − 9a2x5

e) 12a2b3 − 30a3b2 − 42a4b + 18a2b4

f) 6xy + 6x + 6 + 6y

aPaRtaDO 4

A. Halle el factor común y exprese como productos las expresiones siguientes:

a) ab + ac = ____________ b) b2 – 2b = ____________

c) 3m – 3n = ____________ d) 2c + 8 = ____________

e) 2xy – 10x = ____________ f) 5y2 + 15y3 = ____________

g) 8m2 – 12mn = ____________ h) 9a3x2 – 18ax3 = ____________

i) x3 + x2 + 2x = ____________ j) 4a2 – 8a + 2 = ____________

k) 2a2 + 4ab – 6ac = ____________ l) 6m3n2 – 12m2n + 3m = ____________

m) 9a5 – 6a2x + 3a3x2 = ____________ n) 6a2b3 – 9ab + 12b2 = ____________


366

B. Factorice las siguientes expresiones:

a) 4a + 4b =

b) x2 – xy =

c) b2c2+ 3bc3 =

d) 6x2 – 4xy =

e) 1 b2y2 – 1 b3y = 2 2

f) 24x + 28x3 – 56x4 =

C. descomponga en factores.

a) 4(a + 3) x – (a + 3) = _______ d) 3t(p – 6) + (p – 6) = _______ b) 2m(b – 5) + (b – 5) = _______ e) – 5(a – 10) + x(a – 10) – 2(a – 10) =_______

c) (2a – 1) – (2a – 1) 3q = _______ f) 7c (b2 + 1) + 3(b2 + 1) =_______

367


aPaRtaDO 1

FactORizacióN De POLiNOmiOS UtiLizaNDO PRODUctOS NOtaBLeS

A. También los productos o fómulas notables nos pueden ayudar a factorizar un trinomio.( a + b )2 = a2 + 2ab + b2 = ( a + b )( a + b )( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 = ( a – b )( a – b )a2 – b2 = ( a + b )( a – b ) = ( a – b )( a + b )

B. Factorice.

1) Factorizar 25x2 + 20x + 4

⇓ ⇓

25x2 = 5x 4 = 2 ← raíces cuadradas

2(5x)(2) = 20x ← doble producto

Cada término del binomio coincide con la raíz cuadrada de dos términos cuadráticos del trinomio y el tercero es el duplo o doble del producto de estas raíces cuadradas.

2) Factorizar x2 – 20x + 100 = ( x – 10 )( x – 10 ) = ( x – 10 )2

⇓ ⇓

x2 = x 100 = 10 ← raíces cuadradas

2( x )( 10 ) = 20x ← doble producto

3) Factorizar

4) Factorizar x2 – (x – 7)2 = [x – (x – 7)][x + (x – 7)] = (x – x + 7)(x + x – 7) = 7(2x – 7) ⇓ ⇓

x (x – 7)

14x2 − 1

9=

12x

2

−13

2

=12x + 1

312x − 1

3↓ ↓

14x2 1

9

12

x 13


368

aPaRtaDO 2

A. 1. ¿Es x2 + 8x + 16 un trinomio cuadrado?

Veamos cuáles son las condiciones que cumple:

a) x2 = ( x )2 y 16 = ( 4)2

b) No hay signo menos antes de x2 y 16.

c) Si multiplicamos x y 4 y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término,

2 • 4 • x = 8x.

Luego tenemos que x2 + 8x + 16 es el cuadrado del binomio ( x + 4 ).

Estos nos indica que

x2 + 8x + 16 = ( x + 4 )2

2. ¿Es x2 – 12x + 4 un trinomio cuadrado?

La respuesta es no, porque si duplicamos los términos obtenemos un tercer término ( –4x ) diferente al señalado ( –12x ).

B. Recuerde:

Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

a) dos de los términos deben ser cuadrados a2 y b2.

b) No debe de haber signo menos en a2 o en b2.

c) Si multiplicamos a y b y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer término, 2ab, o su inverso aditivo – 2ab.

369


aPaRtaDO 3

A. Transforme en productos los trinomios siguientes:

a) x2 + 2x + 1 b) n2 – 2n + 1

c) a2 + 8a + 16 d) y2 – 12y + 36

e) m2 + 14m + 49 f) b2 – 3b + 9 4g) 81 + 18p + p2 h) b2 – 10b + 25

i) a4 + 8a2 + 16 j) 1 – 1,6y + 0,64y2

B. Factorice. recuerde que primero hay que buscar un factor común.

a) 2x2 – 4x + 2 e) 20x2 + 100x + 125

b) 2x2 – 40x + 200 f) 12x2 + 36x + 27

c) x3 – 18x2 + 81x g) 5y4 + 10y2 + 5

d) x3 + 24x2 + 144x h) 2a – 4a4 + 2a7

C. Factorice.

a) 4x2 – 25 e) 64y4 – 81

b) 9a2 – 16 f) 36x – 49x3

c) 100x2 – 1 g) 81y6 – 25y2

d) 16x6 – 25 h) 8x2 – 98y2

aPaRtaDO 4

A. determine si cada expresión es una diferencia de dos cuadrados.

a) x2 – 4 _______ e) x2 – 35 _______

b) x2 – 36 _______ f) x2 – 50 _______

c) x2 + 36 _______ g) –25 + 16x2 _______

d) x2 + 4 _______ h) –1 + 36x2 _______


370

B. ¿Cuáles de los siguientes son trinomios cuadrados perfectos ?

a) x2 – 14x + 49 f) x2 + 2x + 4

b) x2 – 16x + 64 g) 8x2 + 40x + 25

c) x2 + 16x – 64 h) 9x2 + 18x + 9

d) x2 –14x – 49 i) 36m2 – 24m + 16

e) x2 – 6x + 9 j) 16 – 56y + 49y2

C. Factorice. observe los ejemplos e y f de la página 360.

a) ( y – 2 )2 + 2 ( y – 2 ) + 1 = ___________________

b) 4( x + 5 )2 + 20( x + 5 ) + 25 = ___________________

c) ( h + 7 )2 – 10 (h + 7) + 25 = ___________________

d) ( b + 4 )2 – 2( b + 4 ) + 1 = ___________________

e) 49( a + 1 )2 – 42( a + 1 ) + 9 = ___________________

d. Factorice los siguientes polinomios

a) 24x4 + 60x3 − 18x2

b) 45x11 + 60x3 + 20x5

c) 4x2 − 9

d) 6x6 − 96x2

e) 12x9 − 36x6 + 27x3

f) x4 + 16 − 8x2

g) 8x4 − 84x3 + 18x2

h) 18x7 + 8x + 29x4

a) 24x4 + 60x3 − 18x2

b) 45x11 + 60x3 + 20x5

c) 4x2 − 9

d) 6x6 − 96x2

e) 12x9 − 36x6 + 27x3

f) x4 + 16 − 8x2

g) 8x4 − 84x3 + 18x2

h) 18x7 + 8x + 29x4

371

EVALUACióNmatemática - EL MAESTro EN CASA

Estimado amiga o amigo

Usted como estudiante de El Maestro en Casa con la siguiente prueba ha de evaluar sus avances y dudas en el estudio del libro de Matemática Zapandí

Las páginas siguientes corresponde a 55 ítemes donde se incluyen al menos uno de cada uno de los objetivos de este nivel correspondiente al noveno año de la educación formal.

resolviéndolo de una manera honesta, le permitirá saber cuáles son los contenidos que son de su dominio o bien, son los que tendrá que ejercitar más antes de aplicar las pruebas.

Le hacemos notar que esta prueba incluida en este libro es similar a la que debe rendir a la dirección de Gestión de Control de la Calidad Educativa del Ministerio de Educación Pública.

"Divide las dificultades que examines en tantas partes como se posible, para su mejor solución".

René Descartes (filósofo y matemático francés)


372

PRUeBamatemática GRUPO zaPaNDÍ

SeLeccióN 55 ÍtemS

1) Considere las siguientes proposiciones:

i. 2–3 es un número racional.

ii. 4π

es un número irracional.

¿Cuáles de ellas son verdaderas?A) AmbasB) NingunaC) Solo la id) Solo la ii


i. 722

∈ Ⅱ

ii. 50 ∈ ℚ



i. ℚ ⊂ ℤ

ii. ℤ ⊂ Ⅱ

iii. ℚ ∩ ℤ = ℤ

iV. Ⅱ ∩ ℚ = ℝ

¿Cuál de ellas es verdadera?

A) Solo la iB) Solo la iiC) Solo la iiid) Solo la iV

373



i. − 54

=− 5

4

ii. −− 2

3=

23

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A) AmbasB) NingunaC) Solo la id) Solo la ii


i. 3 > 2

ii. 32

>23


6) Si , entonces W expresado en notación de intervalo es

A) − 23

,0⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

B) −23

,0⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥

C) −23

,0⎡

⎣⎢⎡

⎣⎢

d) −23

,0⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢


374


i. 312 • 3

12 = 3

ii. 7 • 913 = 633

¿Cuáles de ellas son verdaderas?

A) Ambas

B) Ninguna

C) Solo la i

d) Solo la ii

8) La expresión a b( )2• b2 b( )4

es equivalente a

A) ab5

B) a2b11

C) a2b12

d) a2b32

9) El resultado de 81• 25( )2 • 44 es

A) 30

B) 450

C) 15 2

d) 30 24

10) La expresión 32a6b−8 es equivalente a

A) 8a4

b10

B) 4a3 2b4

C) 4a3b4 2d) 4a3b4 2

375


11) La expresión 0,3x( )2+ 0,027x33 es equivalente a

A) 3x3

B) 2x3

C) 3x5

d) x3

12) Una expresión equivalente a − 2y53 • 3 y es

A) −3y 26

B) −3y5 23

C) −3y2 4y6

d) −3y4 2y3

13) Considere las siguientes tripletas:

i. (3, 4, 5)

ii. (2, 9, 10)

iii. (15, 20, 25)

¿Cuáles de ellas corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo?A) Solo la iB) Solo la iiiC) Solo i y iid) Solo i y iii

14) En una pared se encuentra apoyada a 6m de altura una escalera que mide 12m. ¿Cuál es la dis-tancia en metros entre el pie de la escalera y la pared?

A) 3 2B) 3 6C) 6 3d) 6 5


376

15) Si los catetos de un triángulo rectángulo están en razón de 3 : 5 y la medida de su hipotenusa es 34, entonces la medida del cateto mayor es

A) 1025

B) 32

17

C) 3 34d) 5 34

16) En la figura Δ ABd ≅ ΔCBd. Si Bd = h y AB mide el doble de Bd , entonces Ad + dC corresponde a

A) 6hB) 2h 3C) 2h 5d) 2h2 5

17) de acuerdo con los datos de la figura, el valor x es

A) 45B) 72C) 6 2d) 3 229

18) El perímetro de un triángulo equilátero es 24 3 , ¿cuál es la medida de la altura del triángulo?

A) 8B) 12C) 4 3d) 8 3

BA C

D

x6

45º

377


19) Si la medida de la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es 4, entonces su perímetro es

A) 8B) 8 2C) 4 3d) 4 2 + 4

20) de acuerdo con los datos de la figura, el perímetro del Δ ABC es

A) 9 + 3 2B) 9 + 6 2

C) 32

+ 3 + 9

d) 3 3 + 3 6 + 9

21) de acuerdo con los datos de la figura, si BA = 29 , entonces la medida de dC es

A) 5

B)1029

C) 1164

d)1029

29

22) de acuerdo con los datos de la figura, si ABCd es un rectángulo, entonces cada una de sus diagonales mide

A) 30B) 50C) 8 7d) 40 5

A

B

CD3 6

A

B

C

2

D

2529 29

B

A

E

40 C

D

2432


378

23) El perímetro de un triángulo isósceles es 8, y la medida del lado no congruente es 2. Su área es

A) 4B) 6C) 2 2d) 20 3

24) de acuerdo con los datos de la figura, el área del ΔABE es

A) 12B) 18C) 15d) 3 15

25) El conjunto solución de 23

x ≥427 es

A) − ∞,29

⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥

B) 29

, +∞⎡

⎣⎢⎡

⎣⎢

C) 2227

, +∞⎡

⎣⎢⎡

⎣⎢

d) −∞, 2227

⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥

26) El conjunto solución de 12 – 3 (2x – 1) > 3x es

A) −∞, 53

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

B) −∞, 35

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

C) 35

, +∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

d) 53

, +∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

B C

D

ABE = DCE E

8

6

4

A

379


27) El conjunto solución de x − 1

3<

2x − 42 es

28) El conjunto solución de 35

x − 4 ≤12

− 2(x − 1) es

29) La expresión (8x2y + 5) + (3xy2 – 2) + 4xy es equivalente a

A) 15x4y4 + 3

B) 11x2y2 + 4xy – 3

C) 8x2y – 3xy2 + 4xy + 7

d) 8x2y + 3xy2 + 4xy + 3

30) La expresión 5x2 – 3x – (4x2 + 2x – 5) es equivalente a

A) 2x3

B) x2 – x – 5

C) x2 – 5x + 5

d) –13x2 – 15x


380

31) Si P(x) = 2x2 + x – 1 y Q(x) = – x2 + 4, entonces P(x) – Q(x) es

A) 3x4 + x – 5

B) 3x2 + x + 3

C) 3x2 + x – 5

d) 3x4 + x + 3

32) La expresión (x + 2)(x2 – 2x + 4) es equivalente a

A) x3 + 8

B) x3 – 8

C) x3 + 2x2 + 4x + 8

d) x3 – 4x2 – 8x + 8

33) La expresión 25

x − 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

es equivalente a

A) 425

x2 − 9

B) 45

x2 −65

x + 9

C) 45

x2 −124

x + 9

d) 425

x2 −125

x + 9

34) La expresión 4a3b − 8ab2( ) ÷ab2 es equivalente a

A) 2a2 – 4b

B) 8a2 – 16b

C) 2a4b2 – 4a2b3

d) 8a4b2 – 16a2b3

381


35) El cociente de x3 − 1( ) ÷ x − 1( ) es

A) 0B) x2 + 1C) x2 + x + 1d) x2 – x + 1

36) La expresión (a – b)(a + b) – (a + b)2 es equivalente a

A) 0

B) 2ab

C) – 2b2

d) – 2b2 – 2ab

37) La expresión 8x3 – 4x2 ÷ – 1 + 2x es equivalente a

A) 4x2

B) 8x2

C) 8x3 – 2x

d) 8x3 + 4x2 + 2x

38) La expresión 2 + x − 3( )⎡⎣ ⎤⎦2

+ 2x( )2 es equivalente a

A) 5x2 – 1

B) 5x2 – 2x + 1

C) 9x2 – 6x + 1

d) 5x2 – 6x + 13

39) La expresión 3m [2m + 2 (m – 1)2 – 3] – (m2 – 1) es equivalente a

A) 6m3 – 7m2 – 3m – 1

B) 6m3 – 7m2 – 3m + 1

C) 6m2 + 5m2 – 15m + 1

d) 6m2 + 17m2 – 3m + 1


382

40) La expresión – 8(x – 3) – (x – 1)(x + 2) es equivalente a

A) – x2 – 8x – 1

B) – x2 – 8x – 5

C) – x2 – 7x + 22

d) – x2 – 9x + 26

41) La expresión 8 − 2 x2 − 9( ) ÷ x + 3( ) es equivalente a

A) 14 – 2xB) 4x – 12

C)26 − 2x2

x + 3

d)− 2x2 + 10

x + 3

42) Unos de los factores de x(4x – y) – (y – 4x) es

A) x – 1

B) x + 1

C) (x + 1)2

d) (4x – y)2

43) Uno de los factores de 4a3b – 16ab3 es

A) 4a3b3

B) a – 2b

C) (a – 2b)2

d) (a + 2b)2

44) Uno de los factores de 4x4 – 12x2y + 9y2 es

A) 4x2

B) 2x – 3y

C) 3y – 2x2

d) 2x2 + 3y

383


45) Considere las siguientes expresiones:

i. x2 – y2

ii. x2y2 – 9y2 – x4 + 9x2

¿de cuáles de ellas es factor x + y?

A) de ambas

B) de ninguna

C) Solo de la i

d) Solo de la ii

46) Uno de los factores de (x – 2)2 + 8(x – 2) + 16 es

A) x – 2

B) x + 2

C) x + 6

d) x + 22

47) de acuerdo con los datos de la figura, sen β es

A) 2

B)12

C)3

2

d)104

48) de acuerdo con los datos de la figura, tan α es

A) 1B) 2C) 3

d) 13

2 3

β

4

α

A

D30º B

CAB = 105º

C


384

49) de acuerdo con los datos de la figura, BA es

A) tan 55°

12

B) 12cos 35°

C) 12cos 55°

d) 12 tan 35

50) de acuerdo con los datos de la figura, si el Δ dEB es equilátero, entonces sen α es

A) 3

B) 13

C) 12

d) 22

51) La diagonal menor de un rombo mide 5 y la medida del ángulo interno menor es 20°. El perímetro del rombo es aproximadamente

A) 7,0

B) 20,0

C) 37,6

d) 57,6

52) La puerta de una casa es de forma rectangular. La medida de cada una de sus diagonales es 2 2 . Si el ángulo formado por el ancho de la puerta y una diagonal es de 57°, entonces, ¿cuál es la medida aproximada del ancho de la puerta, en metros?

A) 1,54B) 2,37C) 4,36d) 5,19

55º

C A12

B

α

B

E

CA

62

D

385


53) Un cable tenso une los extremos superiores de dos postes verticales de 5 y 7,43 metros de altura, colocados sobre un mismo plano horizontal. ¿Cuál es la medida aproximada del ángulo de depre-sión del cable si la distancia entre la base de los postes es 12,5 m?

A) 11°

B) 29°

C) 45°

d) 79°

54) de acuerdo con los datos de la figura, el valor aproximado de AC es

A) 16,12

B) 19,24

C) 29,94

d) 35,73

55) de acuerdo con los datos de la figura, si BCdE es un rectángulo, entonces, ¿cuál es aproxima-damente el perímetro del BCdE?

A) 9,82

B) 14,36

C) 15,10

d) 16,48

A C

B

24

53º

85º

A

B

E

D

C

4

4,7644º

37º

HoJAS dE rESPUESTAmatemática - EL MAESTro EN CASA

386

SemaNaS PRimeRa y SeGUNDa

actiViDaD 1, PáGiNa 7

1.

a) irracional

b) irracional

c) racional

d) irracional

e) irracional

f) racional

g) racional

h) racional

i) irracional

j) racional

k) racional

2.


1. a 5. – 7b

2. –b 6. a2

3. ab2 7. a

4. –b3 8. b b5


1.

NOtacióN GRáFica

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

ñ)

o)

NOtacióN De iNteRVaLO

a) −2, 5 [ [

c) −1413

, 10⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥

d) − 93 , +∞⎤⎦

⎡⎣

e) − ∞ , − 4] ]g) − ∞ , 0] [

i) 32

, 9 ⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

j) − 4 , 6] ]l) − 1 , + ∞] [n) 0 , + ∞] [ñ) − ∞ , + ∞] [o) − 3 , 2 ] ]

NOtacióN POR cOmPReNSióN

b) {x/x ∈ ℝ, – 5 < x ≤ 8}

c) {x/x ∈ ℝ, −143

< x ≤ 10 }

d) {x/x ∈ ℝ, x > − 93 }

f) {x/x ∈ ℝ, x > – 2}

g) {x/x ∈ ℝ, x < 0}

h) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}

k) {x/x ∈ ℝ, − 2 < x < 5 }

m) {x/x ∈ ℝ, x ≤ 0,5}

PáGiNa 24

2.1. ∈ 8. ∈

2. ∉ 9. ∉

3. ∉ 10. ∈

4. ∈ 11. ∉

5. ∉ 12. ∉

6. ∉ 13. ∈

7. ∈ 14. ∈

Núm

ero

42,

1717

17…

54

2,36

5678

…−3 4

− 9

Nat

ural

?si

nono

nono

noEn

tero

?si

nono

nono

nor

acio

nal ?

sisi

nono

sino

irrac

iona

l ?

nono

sino

nono

rea

l ?si

sisi

sisi

no

387


aPaRtaDO 1, PaáGiNa 25

A.

a)

b)

c)

d)

e)

aPaRtaDO 2, PáGiNa 26

A.

a) – 5

b) 3

c) 3 – 3

d) 6

B.

a) < g) <

b) < h) >

c) > i) >

PáGiNa 27

d) < j) =

e) > k) <

f) = l) >

aPaRtaD0 3

A.

a)

b)

c)

PáGiNa 28

d)

e)

f)

g)

h)

B.

a)

b)

c)

PáGiNa 29

d)

e)

f)

g)

h)

C.

NÚ

meR

O

– 3

010

020

%0,

333…

0,33

30,

0925 12

72

3+4

−32 2

−32 2

253

Ente

ro

posit

ivoX

Ente

ro

nega

tivo

XX

Núm

ero

racio

nal

XX

XX

XX

XX

XX

Núm

ero

irrac

iona

lX

XX

388

PáGiNa 30

d.

E.

a) verdadera b) falsa

c) verdadera d) verdadera

e) verdadera f) falsa

g) verdadera h) falsa

i) verdadera

F.1) ∉ 10) ∉

2) ∈ 11) ∈

3) ∈ 12) ∉

4) ∉ 13) ∉

PáGiNa 31

5) ∉ 14) ∈

6) ∈ 15) ∈

7) ∈ 16) ∉

8) ∈ 17) ∉

9) ∈ 18) ∈


A.

B.1) ⊄ 7) ⊄

2) ⊂ 8) ⊂

3) ⊄ 9) ⊂

PáGiNa 324) ⊂ 10) ⊄

5) ⊄ 11) ⊂

6) ⊄ 12) ⊂

C.

1. verdadero

2. falso

3. verdadero

4. falso

5. verdadero

d.

a) > h) >

b) < i) >

c) > j) =

d) < k) <

e) < l) =

f) = m) =

g) < n) =

PáGiNa 33

E.

a) V e) V

b) V f) V

c) V g) V

d) V h) V

i) F j) V


B.

1.

a)

b) − ∞, 4] [c) {x/x ∈ ℝ, x > 4}

2.

a)

b) 1, 3] ]

c) {x/x ∈ ℝ, 1 < x ≤ 3}

3.

a)

b) − ∞, 34

⎤

⎦⎥⎤

⎦⎥

c)

4.

a)

b) [2, 4[

c) {x/x ∈ ℝ, 2 ≤ x < 4}

5.

a)

b) ]– 2, 5[

c) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 5}

Nú

MEr

o7

10–

2,08

1,12

1221

2221

…5

- 2,2

424…

47 6

−8 2

NAT

Ur

ALSi

No

No

No

SiN

oSi

No

No

ENTE

ro

SiN

oN

oN

oSi

No

SiN

oSi

rAC

ioN

ALSi

No

SiN

oSi

SiSi

SiSi

irr

ACio

NAL

No

SiN

oSi

No

No

No

No

No

rEA

LSi

SiSi

SiSi

SiSi

SiSi

389


6.

a)

b) [– 3, 2[

c) {x/x ∈ ℝ, – 3 ≤ x < 2}

7.

a)

b) ]– ∞, + ∞[

c) {x/x ∈ ℝ}

8.

a)

b) [11, + ∞ [

c) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 11}

9.

a)

b) ]– ∞, 1[

c) {x/x ∈ ℝ, x < 1}

10.

a)

b) 13

, 127

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

c)

11.

a)

b) [– 8, – 2[

c) {x/x ∈ ℝ, – 8 ≤ x < – 2}

12.

a)

b) ]– ∞,0[

c) {x/x ∈ ℝ, x < 0}

aPaRtaDO 3

1.

a) ]– 7 , – 2[

b) ]1, 10[

PáGiNa 37

c) [5, 10]

d) [– 2, 9[

e) ]– 5, + ∞[

2.

a) {x/x ∈ ℝ, – 2 < x < 4}

b) {x/x ∈ ℝ, 3 ≤ x ≤ 7}

PáGiNa 38

c) {x/x ∈ ℝ, 1 ≤ x ≤ 6}

d) {x/x ∈ ℝ, – 4 < x ≤ 0}

e) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 0}

f) {x/x ∈ ℝ, x ≤ 5}

aPaRtaDO 4

A.

a) − 3 − 2 = 5

b) − 5( ) 3 − 6 =

− 5 • 3 =

− 15

PáGiNa 39

c) 4 − π = 4 − π

Considere π ≅ 3,14

d) 5 – 2 = 3

e) 6(− 2)

= − 3

f) π − 4 = 4 − π

Como π ≅ 3,14 4 − π ≥ 0

g) 4 + π = 4 + π

Considere π ≅ 3,14

h) 2 − 1,5 = 1,5 − 2

Como 2 = 1,414213562...1,5 − 2 ≥ 0

i) 1,7 − 3 = 3 − 1,7

Como 3 = 1,732050...3 − 1,7 ≥ 0

j) 10

k) 4 • 1 = 4

l) − 3 − 1,7 = − 1,3

390

m) 6 – 3 = 3

n) 52

ñ) − 1,7 − 3 = − 3 − 1,7( ) = − 3 + 1,7

Como 3 ≅ 1,735020...3 − 1,7 ≥ 0

o) π + 4 = π + 4Considere π ≅ 3,14

p) 3 − 1,7 = 1,3

q) 15

−13

=3 − 515

=−215

=2

15B.

1. C

PáGiNa 40

2. B

3. d

4. A

PáGiNa 41

C.

a) 3,5 g) 0,35

b) 5 h) 3 55

c) 2 14 i) eπ

d) 8 j) 2 π

e) π k) 2 76

f) 3π5 l) 7π

PáGiNa 42

E.

1. ℝ 5. ℤ – {0} 9. ℤ+

2. ℚ 6. ∅ 10. ∅

3. ℤ+ 7. ℝ 11. ℝ

4. ℝ 8. ∅ 12. Ⅱ

13. I –

SemaNa teRceRa


b) – 3 < 0 0 > – 3

– 3 < 1 1 > – 3

0 < 1 1 > 0

PáGiNa 47

c) – 12 < 0 0 > – 12

– 12 < – 1 –1 > – 12

0 > –1 –1 < 0

d) –18 < 0 0 > – 18

– 18 < 6 6 > – 18

0 < 6 6 > 0

e) – 3 < 0 0 > – 3

– 3 < 2 2 > – 3

0 < 2 2 > 0

f) r < 0 0 > r

r < m m > r

0 > m m < 0

g) 0 0

p < s s > p

0 < s s > 0

h) – 6 < 0 0 > – 6

– 6 < 3 3 > – 6

0 < 3 3 > 0


-6-6

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

5

0

-17

-77

-147

0 77

-77

-137

17-3

7

35

0 55

105

155

-55

391


7) Libre

8) Libre

9) Libre

10) Libre

11) Libre

12) Libre


a) {x/x ∈ ℝ, x > 5}

b) {x/x ∈ ℝ, x ≤ – 13}

c) {x/x ∈ ℝ, x < 4}

d) Libre

e) {x/x ∈ ℝ, x < – 3}

f) Libre

g) Libre

h) Libre

i) Libre

j) {x/x ∈ ℝ, x ≥ 5}

k)

87

0-1 1 2

4 51 2 3

-16 -15-19 -18 -17 -11 -10 -9 -8-14 -13 -12

-1 0-4 -3 -2 4 5 6 7 81 2 3

-7 -6-9-10 -8 -2 -1 0 1 2 3-5 -4 -3

3 410 2 8 9 10 115 6 7

-52

-3 -2-5-6 -4 2 3-1 0 1


a)35

, + ∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

b) − 1, + ∞[ [c) 7, + ∞] [d) − ∞ , 5] [e) − ∞, 25] ]

f) libre

g) libre

h) libre

i) libre

j) − ∞, 57

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢


c) 2x > 10

x > 10 ÷ 2

x > 5

{x/x ∈ ℝ, x > 5}

d) x – 3 > 2

x > 2 + 3

x > 5

{x/x ∈ ℝ, x ≥ 5}

e) x < 8

{x/x ∈ ℝ, x < 8}

PáGiNa 60

f) 2x < 16

{x/x ∈ ℝ, 2x > 16}

g) Libre

h) Libre

i) Libre


A.

b) x+ 7 < 9

c) x – 9 < – 7

d) 2x < 4

e) – 5x > – 10

f) –x + 3 >1

g) – 3x + 1 > – 5

B.

c) x <− 52

(multiplicar por − 12

, a ambos

lados)

d) x <− 53

(multiplicar por − 13

, a ambos

lados)e) x ≤ − 2 (restar 4, a ambos lados)f) x < 5 (restar - 5, a ambos lados y multiplicar

por - 1 a ambos lados)g) x < 2 (restar 4, a ambos lados)h) x < 5 (sumar 7, a ambos lados)


A.

1) dividir cada miembro por 2:

x < – 4. Solución: − ∞, − 4] [

2) dividir cada miembro por 3:

x > – 7. Solución: − 7, + ∞] [

3) restar cada miembro con -5:

x ≥ – 7. Solución: − 7, + ∞] [

4) restar cada miembro con -2:

x ≤ – 3. Solución: − ∞, − 3[ [

0 4 51 2 3

0 4 51 2 3 8 96 7

0 4 51 2 3 8 9 106 7-4 -3-7 -6 -5 -2 -1

0 4 51 2 3 86 7-4 -3-5 -2 -1

392

5) Sumar a cada miembro un 1; luego dividir cada miembro por 4.

ordenar la desigualdad

x < 14 . Solución: − ∞, 1

4⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

6) dividir cada miembro por 7

0 < x ↔ x > 0

Solución: 0, + ∞] [

7) Sumar a cada miembro un 4

4 < x ↔ x > 4


8) Sumar a cada miembro un 8

– 1 > x

Solución: − ∞, − 1 ] [9) Se divide por – 12 a cada miembro

se invierte el orden de la inecuación x < 5

Solución: − ∞, 5] [10) Se divide por – 13 a cada miembro

se invierte el orden de la inecuación x ≤ 3

Solución: − ∞, 3] ]

11) Se divide por – 3 a cada miembro se invierte el orden de la inecuación x ≥ − 2

3 Solución: − 2

3, + ∞⎡

⎣⎢⎡

⎣⎢

12) Se suma – 6 a cada miembro de la desigualdad, se divide por – 5 a ambos lados, se invierte el orden de la inecuación x > 1

5 Solución:

15

, + ∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

13) Se divide por 6 a cada miembro

x ≥ 0

Solución: 0,+ ∞[ [

14) Se divide por 7 a cada miembro

x ≥ 0

Solución: 0,+ ∞[ [

15) Se divide por – 3 a cada miembro, se invierte la desigualdad 0 > x

Solución: − ∞, 0] [

16) Se divide por – 4 a ambos miem-bros, se invierte el orden de la desigualdad 0 < x.


PáGiNa 66

B.1) 2, + ∞ [ [2) − ∞, 4] ]

3) − ∞, − 53

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

4) − 12

, - ∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

5) − 4, + ∞[ [6) − ∞, - 28] ]7) − 24, + ∞[ [8) − ∞, 9] ]9) − 3, + ∞] [10) − ∞, -4] ]11) libre

12) libre

C. Libre para discusión.


A.

Un número menor que 5.

Un número menor que 10

Para los números menores que 8

PáGiNa 71

4. Se puede decir que el perímetro es mayor que 20.

B.

1. x + 5 ≤ 122. 3x + 13 < x + 53. 2 (x + 3) ≤ 144. 3(x + 2) > 5

PáGiNa 72

5. 4x – 2x < x + 2

C.

1) 100 < y

2) 5 > k

3) h ≥ 4

4) j ≤ 2

5) x ≥ 0

6) 7 – x < 5

7) 2 + x > 9

8) 2x > 12

9) 2x + 3 ≤ 6

PáGiNa 73

10) 3+ 5x < 9

11) 18 ≥ 4 – 2x

12) 4 + 2x < – x

13) 2 + 3x ≤ 11

14) 5 – x ≤ 15

aPaRtaDO 4

1. Los valores mínimos para los ente-ros son 7 y 4.

2. debe tener un largo mayor que 150

8= 18,75 .

PáGiNa 74

3. debe tener un ancho mayor que 14 cm.

393


4. El menor valor posible de número menor es 13.

5. Puede concluirse que el número es menor que 52

7.

6. Puede tener más de 12 años.

PáGiNa 75

7. Los números son 12 y 8.

8. Los valores máximos posibles son 31, 33 y 35

9. Los números enteros mas grandes posibles son el 9 y el 18.

10. La bolsa pequeña pesa a lo más 9 kilos.

PáGiNa 76

11. Libre para discusión (Utilice algunas medidas)

SemaNa cUaRta


A.1) S : − ∞, − 2] [2) S : − 13, + ∞[ [3) S : − 5, + ∞[ [4) S : − 8, + ∞] [5) S : 5, + ∞[ [6) S : − ∞, 0] ]7) S : − ∞, 6] [8) S : − ∞, − 8] [

aPaRtaDO 4

1. ] -∞, - 3 ]

2. ] -∞, - 2 ]

3. ] -∞, 4 [

4. ] -∞, - 1 [

5. ] -∞, −27

5 ]

6. ] -∞, 1711

]

7. [ -5 , +∞ [

8. ] 237 , +∞ [

9. ] -∞, 179 [

10. ] 358 , +∞ [


B.

aPaRtaDO 3

1. {x/x ∈ ℝ, x < – 4}

2. {x/x ∈ ℝ, x > 6}

3.

PáGiNa 92

4. {x/x ∈ ℝ, x ≥ 10}

5. ≥13

6.

7. ∅

8. {x/x ∈ ℝ, x > 0}

9.

10.

11.

12.

aPaRtaDO 4

A.

PáGiNa 93

4) − ∞, − 35] [5) − ∞, 19

2] ]

6) − 110

, + ∞⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

7) − ∞, − 2114

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

8) 16

, + ∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

9) − ∞, 2] [10) − ∞, − 1] [

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-5

0358

5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-5-6

0 4

0-1

0-275

0 11711

0-5

0 237

0 2179

0358

5

a) − 38

, + ∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

b) − ∞, 0] ]c) − ∞, 30] [

d) − 23

, + ∞⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢

e) 2, + ∞] [f) − 3, + ∞[ [g) − 7, + ∞[ [h) − ∞, 8] [i) − ∞, 0] [


394

B.

1. Libre

2. Libre

3. Libre

4. Libre

5. Libre

PáGiNa 94

6. Libre

7. Libre

8. Libre

9. Libre

10. Libre

SemaNa QUiNta y Sexta

PáGiNa 101, actiViDaD 1

1.

a) 1 0,01 0,0001

b) 4 0,04 0,0004

c) 9 0,09 0,0009

d) 16 0,16 0,0016

e) 25 0,25 0, 0025

f) 36 0,36 0,0036

g) 49 0,49 0,0049

h) 64 0,64 0,0064

i) 81 0,81 0,0081

2.

a) 1 0,3162… 0,01

b) 3 0,3 0,03

c) 6 0,6 0,06

d) 8 0,8 0,08

e) 0,2 20 200

f) 4 40 0,04

g) 5 0,5 50

h) 0,7 70 0,07

i) 9 0,9 900

3.a) 2( )12

b) 24 3( )4

c) 1252

π2

d) 115( )12

e) 3 • 54 572

f) a5x3y5z5

g) m5

a5n5p4x4

h) 1π6 • 37 • 3

4.

a) 243

b) 232

c) 735

d) 215

e) apa

f) yax

g) 335

a

65 b

35

h) 247 a

57 b

107

PáGiNa 102

5.

a) 215

b) 3223

c) 943

d) m3

e) (ab)34

f) x6y 7z43

6.

b. No

c. Si 6

d) No

e) No


1.

a) 2 d) 5

b) 5 e) 2, 10

c) 8 f) 3 , 5

2.

a) 4 d) 1125

b) – 2 e) – 0,5

c) 7 f) 8

3.

c) t

d) 3x

e) – 4d

f) x + 3

g) 12

x

h) 15


1.

a) 8x3y yz

b) 3x2z4 2x3

c) 9a2c3 ab

d) 4a2c5 2a2b23

2.a) 3x15

b) 2x2y xy28

c) 32x2y218

d) 2 x4

e) 4mn mn( )316

f) 38

g) 224

395


h) x23

i) 7x12

j) 24

k) 32

ab56

l) 23

ax12

m) 5n) 4

ñ) a 10


a) 2 23

b) 4

c) 5 xy

d) x3

e) 2x • x8

f) 125 abc6

g) 2 1830

h) 3 31330

i) − 3 2 a3 b26

j) a512

k) x56


1) 254 , 34

2) 25612 , 51212 , 72912

3) 62512 , 812 , 72912

4) 24320 , 25620 , 151020

5) 6418 , 2718 , 8118

6) 125 x36 , 16 x4y26 , a3b6

7) 2 a412 , 3 64b612 , 4 125x612

8) 218 a18x912 , 9a10m812

9) 32m5n515 , 27m6p315 , 5m3p215

10) 8y918 , x1218 , 25m1418


a) 4 2

b) 15 23

c) − 5

d) 3

e) 4a 3

f) a 3a

g) 5x 2x23


1. 3 2

2. 30 6

3. 6

4. 6ab a

5. 3a2 ax

6. 2x3

5y2

7. x 4x6

8. 24a 2ab24

9. 3x 9x3y26

10. 2a 27a5b1112

11. 5ab2 a9b710

actiViDaD 8, PaGiNa 119

a) 2 2

b) 56

13

c) 3

d) 3 25

e) 2

PáGiNa 120

f) cab2

g) 169

x3

210

h) 81x

6

i) 3125mn

j) 12y2z12

k) 8 2b2

a46

l) 2 12

6


a)2 5

5

b)3 7

7

c)3

9

d)3 2

4

e)25

5

f)34

6

g)13

5

h)98

10


1. 5 23

4

2. 3 1003

503. 93

4. 12

363

5. 7 253

56. 43

7. 7 1213

11


396

8. 23

9. 43

2

10. 5 43

211. 3 33

12. 93

6

aPaRtaDO 1, Página 127

A.


a) 5128 − 312

=5

12

b) 2320

6

15 + 820

=2320


1. c y d

2.

a) 75; 2 48; − 5 27

25 • 3; 3 16 • 3 ; − 5 9 • 3

5 3; 12 3; − 15 3

b) 3 8a; 4 18a; 15

2a

3 4 • 2a ; 4 9 • 2a; 15

2a

6 2a; 12 2a; 15

2a

c) − 243 ; − 2 813 ; 33

− 8 • 33 ; − 2 27 • 33 ; 33

− 2 33 ; − 6 33 ; 33

d) x 147m3 ; m 75x2m; x 48m3

x 49 • 3m2m; m 25 • 3x2m; x 16 • 3m2m

7mx 3m; 5mx 3m; 4mx 3m

3.

a) 11 3

b) − 8 5

c) 13 x

d) − 2 x

e) 5 4 • 2 + 15 2 =

10 2 + 15 2 =

25 2

f) 3 9 • 3 − 2 3 =

9 3 − 2 3 =

7 3

g) 7 25 • 2 − 3 2 =

35 2 − 3 2 =

32 2

h) 9 • 5 − 4 • 5 =

3 5 − 2 5 =

5

i) 9 • 4 • 2 + 49 • 2 =

3 • 2 2 + 7 2 =

13 2

j) 9 • 5 + 16 • 5 =

3 5 + 4 5 =

7 5

k) 2 29 • 23 − 23 • 53 • 23 =

2 • 23 23 − 2 • 5 23 =

16 23 − 10 23 =

6 23

l) 3 33 • 73 + 6 26 • 73 =

3 • 3 73 + 6 • 22 73 =

9 73 + 24 73 =

33 73

m) 8 • 33 + 27 • 33 =

2 33 + 3 33 =

5 33

n) 12

163 + 13

2503 =

12

8 • 23 + 13

125 • 23 =

22

23 + 53

23 =

83

23


1.

a) 573

b) 5136

c) m53n

53

d) a87b

37

e) 512 x

72

f) a72 x

32

g) 617 a

27b

h) 215 a

65b

75

2.a) 325

b) a117

c) 2a3

d) 3x24

e) a + b( )5

f) 323 • m47

397


3.

a) x3

b) x

c) x6

d) p8 p

e) 3y − 24

f) 2 x + 5( )2

x + 5( )

g) 5y 10y

h) 15xy y

4.


1)

a) 10

b) 21

c) a3b34

d) a3b4c35

e) 24a4b67

2)

a) 5 6

b) 2 7

c) 2 10

d) 4b 3ab

e) 2a2b2 b

3)a) 3; 24 ; 225 =

3102 • 10 ; 254 • 5 ; 22 • 45 • 4 =

31020 ; 2520 ; 2820 '

b) 2a; 3a3 ; 4a4 =

26 a62 • 6 ; 34 a43 • 4 ; 22 • 3 a34 • 3 =

26 a612 ; 34 a412 ; 26 a312

c) 2 3 ; 24 ; 25 =

230 3 • 20 ; 2154 • 15 ; 2125 • 12 =

230 60 ; 21560 ; 21260

d) 2; 33 ; 44 =

26 2 • 6 ; 343 • 4 ; 434 • 3 =

26 12 ; 3412 ; 2612

PáGiNa 134

4)

a) 3 3 • 2a4 =

34 3 • 4 • 23 a34 • 3 =

34 12 • 23 a312 =

648a3 12

b) a 3 • a2b4 • b25 =

a20 3 • 20 • a30b154 • 15 • b245 • 12 =

a20 • a30b15 • b24 60 =

a50 • b39 60

c) 2a3 • 4a4 • 2b5 =

220 a20 3 • 20 • 415 a154 • 15 • 212 b125 • 12 =

220 a20 • 230 a15 • 212 b12 60 =

262 a35 • b12 60 =

2 4 a35 • b12 60

impor tan te : 415 = 22( )15= 230

d) a2b3 • ab54 =

a8b4 3 • 4 • a3b154 • 3 =

a8b4 • a3b15 12 =

a a11 • b7 12

5.

a) − 54

a

b) 2120

ab4 a

c) − 835

a5b5 b

d) − 35

a 6ab

e) 27

ab b


1.


398

i) 25

=25

• 55

=1052 =

105

=15

10

j) −19

= −19

• 99

= −992

= −19

9

=−39

=−13

k) −1

25= −

125

=− 25

252=

−525

=−15

l) 3070

=37

• 77

=2172

=217

2.

a) 13

• 33

=39

=3

3

b) 83

=83

• 33

=249

=6 • 4

9=

2 63

c) 125

=12 • 55 • 5

=6025

=22 •15

25=

2 155

d) 35

=3 • 55 • 5

=1525

=1525

=155

e) xy

=x • yy • y

=xyy2 =

xyy2

=xyy

3.

a) 23 3

=2

3 3• 3

3=

63 • 3

=6

9

b) 3 66 2

=3 66 2

• 22

=3 12

6 • 22=

3 22 • 36 • 22

=12

• 22

3 =12

3

c) 5 23 5

=5 23 5

• 55

=5 103 52

=5 103 • 5

=13

10

d) 3 155 32

=3 155 25

• 22

=3 305 26

=3 305 • 23 =

340

30

PáGiNa 136

e)

67

1263

=2 • 3 • 7 • 32

7 • 1• 22 • 3=

32

2=

9 • 22 • 2

=32

2

f)

2332

=2 • 23 • 3

=22

32 =23

g)714

=

7114

=7 • 41• 1

= 27

12=

21

7 = 2 7

e)

67

1263

=2 • 3 • 7 • 32

7 • 1• 22 • 3=

32

2=

9 • 22 • 2

=32

2

f)

2332

=2 • 23 • 3

=22

32 =23

g)714

=

7114

=7 • 41• 1

= 27

12=

21

7 = 2 7

h)3 1

55 3

=3 1

5

5 31

=35

1•15 • 3

=35

15

• 1515

=35

15152 =

35

1515

=3

7515 =

125

15

4.

a) 23 + 2

• 3 − 23 − 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2 3 − 2

32 − 22

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2 3 − 2

3 − 2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 2 3 − 2( )

b) 4 35 − 3

• 5 + 35 + 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

4 15 + 4 32

52 − 32=

4 15 + 125 − 3

= 2 15 + 6( )

c) 2 3a − b

• a + ba + b

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2 3 a + b( )a2 − b2

=2 3 a + b( )

a − b

d) 3a + 2

• a − 2a − 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

3 a − 2( )a2 − 4

=3 a − 2( )

a − 4

e) 45 + a

• 5 − a5 − a

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

20 − 4 a52 − a2

=20 − 4 a

25 − a

f) 35 + 3

• 5 − 35 − 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

3 5 − 3( )52 − 32

=3 5 − 3( )

5 − 3=

32

5 − 3( )

g) 2 3 − 55 + 2 3

• 5 − 2 35 − 2 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

2 15 − 4 9 − 25 + 2 1552 − 4 9

=4 15 − 17

5 − 12=

4 15 − 17−7

=17 − 4 15

7

h) 3 + 25 − 3

• 5 + 35 + 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

15 + 9 + 10 + 652 − 32

=15 + 3 + 10 + 6

5 − 3=

3 + 15 + 10 + 62

i) 42 3 − 5 3

=4

−3 3• 3

3=

− 4 33 32

=− 4 3

9

j) 3 53 5 − 5 3

• 3 5 + 5 33 5 + 5 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

9 52 + 15 159 52 − 25 32

=9 • 5 + 15 159 • 5 − 25 • 3

=45 + 15 15

− 30=

− 3 − 152

k) 58 − 3

• 8 + 38 + 3

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

5 8 + 3( )82 − 32

=5 8 + 3( )

8 − 3=

5 22 • 2 + 3( )5

= 2 2 + 3

l) 3 + 22 + 1

• 2 − 12 − 1

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

6 − 3 + 4 − 222 − 12

=6 − 3 − 2 + 2

2 − 1= 6 − 3 − 2 + 2

399


SemaNa Sétima y OctaVa


1.

A. discretos

B. continuos

C. continuos

d. discretos

E. continuos

F. continuos

G. discretos

2.

A. discretos

B. discretos

C. continuos

d. continuos

E. continuos

F. discretos

PáGiNa 142

3.

a) Muestra

b) Muestra

4.

a) cuantitativa continua

b) cualitativa

c) cuantitativa discretas

d) cuantitativa continua

5.

a) cualitativas

b) cualitativas

c) cuantitivas continuas

d) cuantitivas continuas

e) cuantitativa discretas

f) cuantitativa discretas

g) cuantitativa discretas

h) cuantitativa continuas


1. Libre para discusión

2. ordenamos en forma creciente la tabla de datos.

8 20 26 30 42 47 61 71 86 9110 22 27 33 44 49 63 73 87 9112 23 28 35 45 54 63 80 87 9415 23 28 35 45 58 67 83 88 9519 26 29 36 45 61 67 84 88 97

Construimos la tabla de frecuencias con 10 clases

intervalos Frecuencias absolutas

marcas de clase

8 – 18 4 1318 – 28 8 2328 – 38 8 3338 – 48 6 4348 – 58 2 5358 – 68 7 6368 – 78 2 7378 – 88 6 8388 – 98 7 93

Total 50

Construimos el histograma de fre-cuencias de la tabla anterior.

PáGiNa 159

3. Seleccionar C

4.

a) Tamaño de la población 30

b) ordenamos los datos en orden creciente

49 51 53 53 54 55 56 56 57 57 58 5859 59 60 60 61 61 63 63 63 64 65 6566 66 68 69 69 72

intervalos Frecuencias marcas de clase

48,5 – 52,5 2 50,552,5 – 56,5 6 54,556,5 – 60,5 8 58,560,5 – 64,5 6 62,564,5 – 68,5 5 66,568,5 – 72,5 3 70,5

Total 30

c) El polígono de frecuencias



a) 150 obreros

b) 36 obreros

c) 52 obreros

d) 0 obreros

e) 34 obreros

f) 56 obreros

g) 2%


400


1.

dura

Ción

(h

oras

)

núme

ro d

e Cd

’ s

Frec

uenc

iasre

lativa

s

marc

as d

ecla

se300 – 400 14 0,035 350400 - 500 46 0,115 450500 – 600 58 0,145 550600 – 700 76 0,190 650700 – 800 68 0,170 750800 - 900 62 0,155 850900 - 1000 48 0,120 9501000 - 1100 22 0,055 10501100 – 1200 6 0,015 1150

Total 400 1,000

A. 800B. 1000C. 950d. 1200E. 100F. 76G. 0,155

PáGiNa 168

2.

tiempo de espera

(en minutos)

Nº de clientes

Fr(%) mc

10 14 8 5,71 1214 18 20 14,29 1618 22 32 22,86 2022 26 40 28,57 2426 30 24 17,14 2830 34 16 11,43 32

Total 140 100

3.

dura

Ción

(en

mile

s de

hora

s)

nº. d

e co

mpo

nent

es

Frec

uenc

iaspo

rcen

tuale

s(%

)

10 15 8 6,6715 20 24 20,0020 25 44 36,6725 30 28 23,3330 35 16 13,33

Total 120 100

4. ordenamos los datos

5 7 8 9 12 12 14 14 15 1616 16 17 17 18 18 18 19 19 2021 22 23 24 24 25 25 25 26 2626 26 28 28 29 31 32 32 32 3435 35 36 36 36 40 42 42 45 46

Construimos la tabla de frecuencias con los 5 intervalos de clase

inte

rval

os

Fa

Fr p

orce

ntua

l(%

)

mar

cas

de c

lase

3- 12 4 8 7,512 – 21 16 32 16,521 – 30 15 30 25,530 – 39 10 20 34,539 – 48 5 10 43,5

Total 50 100

PáGiNa 169

5.

a) Valor del extremo inferior 40,50

b) Valor del extremo superior 59,20


PáGiNa 170

7.

a) rango: 77,20 - 21,20 = 56

b) Límite superior del sexto intervalo: 69,21

8.

Nc Lm Ls Fa Fr mc1 0,0 2,1 24 0,160 1,052 2,1 4,1 37 0,25 3,103 4,1 6,1 35 0,234 5,104 6,1 8,1 20 0,134 7,105 8,1 10,1 8 0,05 9,106 10,1 12,1 16 0,11 11,107 12,1 14,0 10 0,067 13,05

Total 150 1,00

a) 61 personas

b) 26 personas

PáGiNa 171

9.

intervalos Frecuencias42,5 – 47,5 247,5 – 52,5 352,5 – 57,5 857,5 – 62,5 1162,5 – 67,5 1267,5 - 72,5 972,5 - 77,5 477,5 – 82,50 1

Total 30

10.

intervalos Fa Fr120 – 127 4 0,080127 – 134 7 0,140134 – 141 14 0,280141 – 148 13 0,260148 – 155 8 0,160155 – 162 4 0,080

Total 50 1,000

11.

a)

Ni Li Ls Fa Fr(%) mc1 10 14 5 13,89 122 14 18 2 5,55 163 18 22 10 27,78 204 22 26 7 19,00 245 26 30 12 34,00 28

Total 36 1,000

b) rango: 30 – 10 = 20


1.

tem

pera

tura

(e

n gr

ados

grad

os

Celsi

us

marc

a de

clase

Frec

uenc

iaab

solu

taFr

ecue

ncia

relat

iva

porc

entu

al (%

)

14 – 15,5 14,75 3 14,3015,5 – 17,0 16,25 5 23,8017,0 – 18,5 17,75 2 9,5018,5 – 20,0 19,25 6 28,6020,0 – 21,5 20,75 2 9,5021,5 – 23,0 22,25 3 14,30

Total 21 100

401


2.

Dur

ació

n (h

oras

)

Núm

ero

de tu

bos

Fa Fr (%)

mc

300 – 400 14 3,5 350400 – 500 46 11,5 450500 – 600 58 14,5 550600 – 700 76 119,0 650700 – 800 68 17,0 750800 – 900 62 15,5 850

900 – 1000 48 12,0 9501000 – 1100 22 5,5 10501100 – 1200 6 1,5 1150

Total 400 100

a) límite superior de la quinta clase 800

b) lìmite inferior de la octava clase 1000

PáGiNa 173

c) Marca de la clase de la sétima clase 950

d) tamaño del intervalo 100

e) frecuencia de la cuarta clase 76 tubos

f) frecuencia relativa de la sexta clase 15,5

3.

Fluj

o de

l rio

(mile

s de

ga

lone

spo

r min

uto)

Frec

uenc

ia

Frec

uenc

iare

lativ

as

1001 – 1051 7 0,0281051 - 1101 21 0,0861101 – 1151 32 0,1301151 - 1201 49 0,1991201 - 1251 58 0,2361251 – 1301 41 0,1671301 - 1351 27 0,1101351 – 1401 11 0,044

Total 246 1,00

4.

inte

rval

o de

cl

ase

mar

ca d

e cl

ase

Frec

uenc

iade

cla

se

Frec

uenc

ia

de clas

e re

lativ

a

1,50 – 2,12 1,81 1 0,04762,12 – 2,74 2,43 2 0,09522,74 – 3,36 3,05 5 0,23803,36 – 3,98 3,67 8 0,38093,98 – 4,60 4,29 3 0,14284,60 – 5,22 4,91 2 0,0952

Totales 21 1,0000

PáGiNa 174

5. Libre


1.

a) 105

b) 32

2.

a)

intervalos Fa1,8 – 15,8 6

15,8 – 29,8 429,8- 43,8 1243,8 – 57,8 757,8 – 71,8 771,8 – 85,8 5

85,8 – 100,1

4Total 45

b)

PáGiNa 182

3.

a)

b)


402

4.

inte

rval

os

mar

ca d

ecl

ase

Frec

uenc

iafa

Frec

uenc

ias

rela

tivas

30 – 40 35 6 0,03

40 – 50 45 18 0,09

50- 60 55 76 0,38

60 – 70 65 70 0,35

70 – 80 75 22 0,11

80 – 90 85 8 0,04

Totales 200 1,00

PáGiNa 183

5.

1)

intervalos Fa mc

3,02 – 3,22 1 3,12

3,22 – 3,42 4 3,32

3,42 – 3,62 22 3,52

3,62 – 3,82 7 3,72

3,82 – 4,02 0 3,92

4,02 – 4,22 0 4,12

4,22 – 4,42 1 4,32

Total 35

2)

Se observa que el tiempo máximo co-rresponde al intervalo 3,42 – 3,62, por parte de 24 unidades de autobuses

b) El tiempo máximo de los 35 datos de la muestra lo indica la marca de clase del intervalo 3,42 – 3,62 con un tiempo de 3 horas con 52 minutos.

6.

inte

rval

o

Frec

uenc

ia

mar

ca d

e cl

ase

Frec

uenc

iare

lativ

a

1 – 2 6 1,5 0,2612 – 3 10 2,5 0,4383- 4 4 3,5 0,1744 – 5 2 4,5 0,0875 – 6 1 5,5 0,043

Totales 23 1,000

PáGiNa 184

7.

intervalomarca

de clase

Frecuenciarelativa

porcentual9,6 – 15,6 12,6 1015,6 – 21,6 18,6 1521,6 – 27,6 24,6 2527,6 – 33,6 30,6 1033,6 – 39,6 36,6 25

Total 100

PáGiNa 186

2.

a) julio, agosto, setiembre, noviem-bre

b) 1,5 + 1,25 + 1,5 = 4,25 toneladas de enero, febrero y marzo

4,2531

= 13,71%

c) incrementar el riego en estos meses de verano.

3.

a) Las mayores precipitaciones se dieron en los años 2000 y 2001, 2003 y 2004.

b) El promedio de precipitación anual en los 10 años es

175 + 150 + 225 + 225 + 175 + 225 + 225 + 125 + 100 + 15010

= 177,50 cm

c)

intervalos Fa1998 – 1999 1751999 – 2000 1502000 – 2001 2252001 – 2002 2252002 – 2003 1752003 – 2004 2252004 – 2005 2252005 – 2006 1252006 – 2007 1002007 – 2008 150

Total 1775

403


PáGiNa 187

4.

a) abril

b) 3 nacimientos

c)

intervalo Fa FrMarzo 6 0,115Abril 14 0,270Mayo 7 0,135Junio 5 0,096Julio 3 0,058

Agosto 4 0,077Setiembre 8 0,154octubre 5 0,096

Total 52 1,000


6.

intervalos Fa mc4,32 – 22,32 6 13,3222,32 – 40,32 2 31,3240,32 – 58,32 2 49,3258,32 – 76,32 4 67,3276,32 – 94,43 4 85,37

Total 18

a)

b)

PáGiNa 188



PáGiNa 189

9.

intervalos Fa Fr mc0,16 – 2,16 13 0,52 1,162,16 – 4,16 6 0,24 3,164,16 – 6,16 2 0,08 5,166,16 – 8,16 1 0,04 7,168,16 – 10,16 3 0,120 9,16

Totales 25 1,000

10.

a)

intervalos Fa Fr (%)0 – 10 6 20

10 – 20 9 3020 – 30 8 26,630 – 40 5 16,640 – 50 2 6,6

Total 30 100

b)

11.

a) y b)

intervalos FaFrecuenciasporcentuales

3 – 5 5 105 – 7 14 287 – 9 21 429 – 11 10 20Totales 50 100

404

c)

d) respuesta libre para discusión

12.

a) variable de estudio: niveles de calcio en pacientes renales.

Tipo de variable: continua

Escala de medición: intervalos

b) y c)

intervalos Fa Fr mc

72 – 76 3 0,060 74

76 – 80 1 0,020 78

80 – 84 9 0,183 82

84 – 88 7 0,142 86

88 – 92 7 0,142 90

92 – 96 2 0,040 94

96 – 100 10 0,204 98

100 – 104 7 0,142 102

104 – 108 2 0,040 106

108 – 112 1 0,020 110

Totales 49 1,000

d)

e) Esta al final de la pregunta.

SemaNa NOVeNa

actiViDaD 1, PáGiNa 195a) x2 = 52 + 62

x2 = 25 + 36 x = 61 x ≈ 7,81 b) 92 = 42 + x2

81 = 16 + x2

81 − 16 = x2

65 = x 8,06 ≈ x c) 122 = 72 + x2

144 = 49 + x2

144 − 49 = x2

95 = x2

95 = x 9,75 ≈ x d) x2 = 1202 + 502

x2 = 14 400 + 2500 x2 = 16 900 x = 16 900 x ≈ 130e) 2002 = x2 + 562

40 000 = x2 + 3136 40 000 − 3136 = x2

36 864 = x2

36 864 = x 192 ≈ x


a. 92 < 72 + 4,1( )2

81 < 49 + 16,81 81 < 65,81 acutángulo

b. 1,32 = 1,22 + 0,5( )2

1,69 = 1,44 + 0,25 1,69 = 1,69 rectángulo

c. 612 < 552 + 422

3721 < 3025 + 1764 3721 < 4789 acutángulo

d. 12 = 45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+35

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

1 = 1625

+ 925

1 = 2525

1 = 1 rectángulo

e. 2,5( )2 = 22 + 1,5( )2

6,25 = 4 + 2,25 6,25 = 6,25 rectángulo

2.

a) si

b) si

c) si

d) no

e) si

f) si


Parte a

a) si

b) no

405


PáGiNa 200c) nod) noe) no

Parte B

a) 91b) x = 1,80 ; y = 3,354

c) x = 5 2d) x = 5 ; y = 5 ; z = 9,16

PáGiNa 201Parte c

h a b17 15 841 9 4051 9 50,20

1 35

45

512

14

13

Parte DSi, puesto que 372 ≠ 302 + 202

Parte eSi, puesto que (22,1)2 ≠ 142 + (17,)2

PáGiNa 202Parte F debe tener una longitud de 6,18 m

aproximadamente.Parte G La diagonal de la cancha tiene de

longitud 122,06 mParte H El área es de 60 pies cuadrados.

Parte i No es rectangular


Parte a

1) 2 2

2) cateto: 17 hipotenusa: 17 2

3) cateto: 5 cateto: 5

4) cateto: 4 cateto: 4

Página 206

Parte B

1) cateto: 3 hipotenusa: 2

2) cateto: 3 hipotenusa: 2 3

3) cateto: 2 cateto: 2 3


5) cateto: 3 3 hipotenusa: 6 3


7) cateto: 3 ; cateto: 3

8) cateto: 8 7 ; cateto: 8 21


A. 20 • 20 40012 • 12 144 16 • 16 256

El drenaje mide 20 m.


A.

= 4 m

42 + 7,5( )2

16 + 56,2572,25

72,258,5

La longitud de la viga debe ser de 8,5 m


1.

a) correcta

b) incorrecta, debe ser y2 = x2 + z2

c) incorrecta, debe ser b2 = a2 + c2

d) correcta

e) correcta

f) incorrecta, debe ser s = r2 + t2

g) correcta

h) correcta

PáGiNa 210

2.

a) x = 5

b) x = 25

c) x = 8

d) x = 2 6

e) x = 19

f) x = 4

3.a) AB = 6

BC =3 6

2

Ad = 3 3 + 3

Perímetro ABCd = 6 +3 6

2 +

2 22

+ 3 + 3 3

= 9 +3 6

2+

2 22

+ 3 3

Área Δ BCd =

3 22

•3 6

22

=

9 12221

=9 12

8=

9 34

Página 211

b) respuestas:

La medida del segmento BC es 2

El perímetro del triángulo ACE es 4 + 4 + 4 = 12


406

El área del rectángulo ABdE es 4 • 2 3 = 8 3

El área del triángulo ACE es 4 • 2 3

2=

82

3 = 4 3

c) respuestas:

La medida de BC es 6

La medida de rC es 32

6

La medida de AQ es 3

4.

a) BC = 10

b) AC = 12

c) BC = 2 2

d) AC = 5

PáGiNa 212

e) BC = 5

f) AC = 2 6

5.

a) mide 55 m

b) mide 185 m

PáGiNa 213

c) La longitud debe ser de 18,5m

d) Si caben las varillas en la bodega.

e) No caben, pues ni diagonalmente se pueden acomodar, ya que esta diagonal mide 2,6 m.

PáGiNa 214

f) La medida del lado mayor es 10 y tiene un perímetro de 24.

6.

La distancia es 13 m

aPaRtaDO 4, Página 215

A.

1. Mide aproximadamente 64,03 m

2. Mide aproximadamente 11,66 m

B.

1. x = 6

2. x = 3 + 2 5


A. 2704 - 400

2304

2304

48

El lote mide de largo 48 m

aPaRtaDO 2

A.

a) Si porque 32 + 42 = 52

b) Si porque 62 + 2,5( )2= 6,5( )2

c) Si porque 32 + 7,2( )2= 7,8( )2

d) No porque 42 + 62 ≠ 82

aPaRtaD0 3

A.

1. Mide de ancho 30 m

2. Mide de ancho 7m

3. La longitud del cable debe ser de 2 veces 15,02m ( 30,04 m)

4. La altura es de 3,82 m aprox.


A.

a) x = 4 cm

b) x = 3,60 cm

c) x = 5,2 cm

d) x = 3,87 cm

B.

a) acutángulo

b) obtusángulo

c) acutángulo

C.

1. AB = 18; CA = 9 3

2. BC = 6; CA = 6 3

3. AB = 12; CA = 6

4. BC = 272

; CA = 272

3

5. AB = 8 3 ; CA = 12

6. AB = 203

3 ; BC = 103

3

7. XZ = 6 2 ; yZ = 6 2

8. Xy = 6; yZ = 3 2

9. Xy = 4 2 ; XZ = 4

10. XZ = 8; yZ = 8

SemaNa Décima

actiViDaD, PáGiNa 224

Libre


Parte c

a) a = 2 3

b) c = 4 3

c) m = 3

d) n = 3 3

e) h = 3


1.

a) 2,24 cm

b) 3,24 cm

407


c) 4,66 cm

d) 3,22 cm

2.

Ad = 6 cm

PáGiNa 228

3.

a) MQ = 2 10

b) PQ = 27

4. Ho = 8 2

5. AC = 4 3

aPaRtaDO 4

1.

a) BC = 45

41 cm

b) BC = 5,93 cm

c) BC = 18,71 cm

d) BC = 3483

8045 = 36,74 cm

2.

En el ∆ ACFABBF

=BFBC

⇔ AB •BC = BF2

En el ∆ CEFCddF

=dEdE

⇔ Cd•dE = dF2

En el ∆ ACEAFFC

=FCFE

⇔ AF •FE = FC2

APArTAdo 3, Página 231

A.

a) HE•EG = 72 5

b) oG = 2

B.

a) Bd = 163

b) BC = 9

c) dC = 9

C.

a) Ad =125

b) dC = 2513

c) Ad = 6

d) dC = 10


1.

a) x = 9; y = 2 5

b) x = 6; y = 6 5

c) x =165

; y =45

41

2.

3.

a) x = 3,6

b) y = 6,4

c) y = 165

4. La hipotenusa mide 30 cm

5. El perímetro es de 5 + 10 + 15

PáGiNa 233

6. El área del triángulo es 54 2

7. El perímetro del triángulo es 24cm

8. Los catetos miden 6 2 cada uno

9.

a) El área es 45 cm2

b) AC = 6 cm

c) BC = 4 cm

d) Cd = 2 2 m

e) Cd = 24 cm

Página 234

f) BC = 6 cm

g) Cd = 2 5 cm

h) Cd = 4,8 cm

10.

SemaNa UNDécima

actiViDaD, PáGiNa 240

S =100 + 50 + 75

2= 112,5

A = 112,5 112,5 - 100( ) 112,5 - 50( ) 112,5 - 75( )A = 1815,46Costo lote: 1815,46 x 40 000 = 72 618 400 El lote cuesta 72 618 400 colones

ABAD

BDCD

ACBC

a)25 3

cm1613cm

3,0cm

4,0cm

20 3cm

5cm

b)10,6cm

3,9cm

6,7cm

5,1cm

6,43c

m8,4

3cm

c)

6,2cm

1,98c

m4,2

2cm

2,89c

m3,5

cm5,1

2cm

d)5,5

cm2,4

5cm

3,05c

m2,7

4cm

3,67c

m4,1

cme)

11,43

cm9,3

3cm

2,1cm

4,43c

m10,33

cm4,9

cmf)

5,83c

m5,0

cm6,8

3cm

2,04c

m5,4

cm2,2

cm


408


1. Si área ∆ AFE es 100 m2, el área del trapecio EFGd es 1000 m2, el área del ∆dCG es 390 m2 y el area del ∆ABC es de 1487, m2. Sumando estas áreas de la figura de forma pentágono irregular es 2977 m2.

PáGiNa 244

2. El área del terreno es 873,32 m2.

3. Libre

4. Libre

aPaRtaDO 4

1.

a) 8,18cm2

b) 30 dm2

2. El área el jardín triangular mide 400 m2.

Página 245

3. Libre

4. Libre

5. Libre


1. El ∆ AMN, el ∆ MNB y el ∆ MNC poseen un aárea de 12 cm2.

PáGiNa 250

2. El ∆ AFB, el ∆ AEB, el ∆ AdB y el ∆ ACB poseen un área de 16,0 cm2.

3. Libre

PáGiNa 251

4.

a) El área de la regioón sombreada es 8 5 + 6 3 .

b) El área de la regioón sombreada es 78,44

c) El área de la regioón sombreada es 45,65

aPaRtaDO 4

1. Sobre a 16 m, Sobre b 9,14 m, Sobre c 6,4 m.

2. El área es 54,54 cm2.

3. Libre

PaGiNa 252

4.

a. La altura sobre a es 3,272, sobre b es 2,045 y sobre c es 4,09

b. La altura sobre a es 5, sobre b es 12 y sobre c es 4,61

c. Libre

d. Libre

5. Libre

SemaNa DUODécima


Libre para discusión


1.

a) razón: 2040

=12

posición 1

b) razón: 3060

=12

posición 2

razón: 50100

=12

posición 3

c) No

2.

513125

1213

3.

(a)

sen A =ac

sen C =bc

cos A =bc

cos C =ac

tan A =ab

tan C =ba

cot A =ba

cot C =ab

(b)

sen A =np

sen B =mp

cos A =mp

cos B =np

tan A =mn

tan B =mn

cot A =nm

cot B =nm

(c)

sen A =ac

sen B =bc

cos A =bc

cos B =ac

tan A =ab

tan B =ba

cot A =ba

cot B =ab

PáGiNa 260

(d)

sen A =67

sen B= 137

cos A =137

cos B =67

tan A =613

tan B =136

cot A =136

cot B =613

=6 13

13

409


(e)

sen A =9

15sen B =

1215

cos A =1215

cos B =9

15

tan A =9

12tan B =

129

cot A =129

cot B =9

12

4.

razón α β

sen 574

=6 74

747 74

74

cos 7 7474

5 7474

tan 57

75

cot 75

57

5.

a) a = 9

b) b = 15,33

c) a = 8

PáGiNa 261

2.

complementario ángulo90º – 36º = 54º 36º90º – 14º = 76º 14º90º – 69º = 21º 69º

90º – 85 = 5 85º90 – 47º 15’5 = 42º 45’ 47º 15’


1.

a)

sen α =35

cos α =45

tan α =34

cot α =43

sen β =45

cos β =35

tan β =43

cot β =34

b) Libre para discusión

c) Libre para discusión ( puede revisar pagina 260)


Libre

aPaRtaDO 1, paágina 275

cot A =43

cot A =125

cot B =34

cot B =5

12

tan A =34

tan A =5

12

tan B =43

tan B =125

sen A =35

sen A =5

13

sen B =45

sen B =1213

cos A =45

cos A =1213

cos B =35

cos B =5

13


A.

a)32

12

+11

=

1+ 2

2=

32

b)2 3 + 3 2

2

2 3

2+

32

=

3

1+

3 22

=

2 3 + 3 2

2=

2 3 + 3 22


1. tan A = 84

tan B = 48

2.

a) β

b) α

c) β

d) α

3. tan 30º = 13

=3

3

cot 60º = 13

=3

3

tan 60º = 31

cot 30º = 31


1.

a ) 3 + 2

b) 14

c) 12

d) 4

2.

a) 3 2 − 33

b) 1

c) 2 − 62

d) 3

e) 1− 2 32

f) 1

PáGiNa 280

g) 3 − 14

h) 2

2 2 − 1( )


410

3.

a) 35

b) 45

c) 45

d) 35


61º

27,63cm

1. 90º – 29º

61º

2. 57º

57º sen 29

57º • 0,4848

27,63

respuesta: La medida del aángulo A es 61.

La medida de AC es 27,63 cm.


B.

∆ CdE ∆ CFG ∆ CHJ ∆ CAB6

101220

1525

1830

810

1620

2025

2430

68

1216

1520

1824


1.

a) m

C = 55°, AC = 50,56 mm

AB = 41,42

b) m

P = 71°, PQ = 47,59 mm

c) m

y = 35°, yZ = 36,86 dm

XZ = 25,81 dm

PáGiNa 284

2.

1.661

=6 61

614.

5 6161

2.5 61

615.

6 6161

3.65

6.56

3. Libre

aPaRtaDO 4

1. La sombra mide 41,40 m

PáGiNa 285

2. La distancia es 11,548 m

3. La escalera mide 9,47 m

4. debe recorrer 28,80 cm

PáGiNa 286

5. Necesita avanzar el buzo 188,19 m

SemaNa DécimOteRceRa


Libre para discusión


1. α = 40

a = 3,23

b = 3,55

2. g = 40

b = 2,58

a = 2,84

3. β = 40

a = 3,25

b = 4,27


1. Semejante al problema N. 1 del apartado 3, paágina 306

Sugerencia puede plantear

sen 16h

=sen 66

210210 • sen 16

sen 66= h

respuesta: La altura del edificio es 63,36 m

2. Plantee la ecuacioón

34,5sen 57

=x + 34,5sen 63

34,5 • sen 63 = x • sen 57 + 34,5 • sen 5730,74 − 28,93 = x • sen 57

1,81sen 57

= x

2,16 = x

respuesta: La altura del asta es 2,16 m

3. Plantee la ecuacioón

200sen 37

=x

sen 63=

ysen 80

x =200 • sen 63

sen 37= 296,11 mm

y =200 • sen 80

sen 37= 327,28

respuesta: La distancia a traveés del río mas corta es 296,11 m

4. La distancia desde r hasta S es 244,93 m y la m

rST = 32

5.

a) Las distancias son 4,51km y 4,06 km.

b) La altura del avioón es 0,705 km

411



1. b = 35,46 cm, c = 53,29 cm

2. δ = 65, a = 65,20cm, b = 38

PáGiNa 301

3. α = 52

c = 51,24 cm

b = 24,47 cm

4.

a) β = 58 c = 49,84 cm, b = 67,16 cm

b) α = 42 b = 1395,50 mm, c = 1512,84 mm

c) β = 45 a = 59,30 cm, c = 69,17 cm

d) β = 35 a = 323,65 dm, b = 370,19 dm

aPaRtaDO 4

a) δ = 80 a = 20,16 m, c = 20,16 m

b) α= 92 b = 3,01 mm, c = 3,89 mm

c) δ = 105 a = 26,9 cm, c = 8,04 cm

d) β = 45 b = 11,6 m, c = 11,6 m

e) α = 45 b = 18,6 dm, c = 8,37 dm

f) α= 91 β = 26, a = 15,82 mm

PáGiNa 302

g) α = 24 β = 141, b = 12,16 m

h) α = 59 δ = 80, a = 44,39 m

2. Libre


2. La longitud del alambre maás cer-cano al tudbo mide 6,77 m

3. La distancia es 96,03 m

4. La longitud del poste de luz es 9,06 m


1. α = 12

2. 9,30 m

3. 290,3 m

4. 42,60 m

SemaNa DecimOcUaRta


A.

1) − 9x

2) 1u7

3) −14c

4) − 4m5n3

5) 4x

6) y2

7) a3b

8) 12mn6

9) 12

a4

10) 1

11) x2

4y3

12) 12ab

B.

1. x8

2. −16

y2

3. −13

a7b8

4. −89

m26n9

5. −12

q4

p3

6. −23

x3y


1. x + 3

2. 12

y + 3( ) =12

y +32

3. 7p2 + 15m2

4. – q2m ( 7q – 3m ) = – 7q3 + 3m2q2

5. – 4b ( 4 – 3a2) = – 16b + 12 a2 b

6. 4a

7. 16

ab −14

ab3

8. 13

a5b2 −83

ab2


1. −x2

2− 5x + 4

2. 2x3 + 3x −52

3. −32

a2 +52

b2 + 3ab3

4. x2 − 4x + 1

5. 2x5 − 5x3 −52

x

6. −3m2 + 4mn − 10n2

7. −15

x3 + x2 − 3


1. Cociente: – 4b + 4, residuo: – 2

2. Cociente: 6x2 + 5, residuo: 0

3. Cociente: x + 1, residuo: 0

4. Cociente: 2x – 6, residuo: 0

5. Cociente: x2 + 3, residuo: – 2

6. Cociente: 5x – 20, residuo: 154

7. Cociente: 3x + 12, residuo: 46

8. Cociente: x - 5, residuo: 16


a) x2 + 5x + 6x + 2


412

1 5 6 – 2 –2 – 6 1 3 0

Cociente: x + 3

residuo: 0

b) x2 – 15x + 56x − 7

1 – 15 56 7 7 – 56 1 – 8 0

Cociente: x – 8

residuo: 0

c) (n2 – 7n – 9) ÷ ( n + 1 )

1 – 7 – 9 – 1 – 1 8 1 – 8 – 1 Cociente: n – 8

residuo: – 1

d) (4 – 8n + 3n2) ÷ ( 3n - 2 )

(3n2 – 8n + 4) ÷ ( 3n - 2 )

3 – 8 4 23

63

= 2 −123

= −4

3 – 6 0 3n – 6

dividimos 3 y – 6 por 3; así 33

=, − 63

= − 2

Por lo tanto

Cociente: n – 2

residuo: 0

e) (x2 – 7x + 5) entre ( x - 3 )

1 –7 5 3 3 –12 1 –4 –7 Cociente: x – 4

residuo: – 7

f) (x2 –x – 6) entre (x – 3)

1 –1 –6 3 3 6 1 2 0 Cociente: x + 2

residuo: 0

g) (a2 –5a + 1) entre (a + 2)

1 –5 1 –2 –2 14 1 –7 15 Cociente: a - 7

residuo: 15

h) (2x2 –7x + 1) entre (x – 4)

2 –7 1 4 8 4 2 1 5 Cociente: 2x + 1

residuo: 5

i) (3x2 +5x + 1) entre (2x – 1)

(3n2 – 8n + 4) ÷ (3n – 2)

3 5 1 12

32

134

3 132

174

No olvidemos, se dividen los coefi-

cientes 3 y 132

por el coeficiente del

divisor (2x – 1)

Por lo tanto

Cociente: 32

x +134

residuo: 174

j) (10x2 + 8 – 7x) ÷ (–3 + 5x )

(10x2 – 7x + 8) ÷ (5x – 3)

10 – 7 8 35

305

= 6 −35

10 –1 375

10x – 1

Se divide 10 y – 1 por 5

Por lo tanto

Cociente: 2x −15

residuo: 375

k) (11 – 7x + x2) entre ( 4x + 1 )

(x2 – 7x + 11) entre ( 4x + 1)

1 −7 11 −14

−14

2916

1 −294

20516

10x – 1

Se divide 1 y −294

por 4

Por lo tanto

Cociente: 14

x −294

residuo: 20516

l) Libre

m) Libre


A.

a) 2

b) 3

c) – 3

d) – 4

e) 1a

413


f) – a12

g) – p13

h) 5

i) – 1

j) t2

k) −1t4

l) 1

a4

m) 1

n4

n) −1j

ñ) 14

o) −1

a5

PáGiNa 328

B.

a) – 8xy

b) 2x2y

c) – 2ab

d) – 3p2q2

C.

a) 4

b) – 9

c) – 3

d) 37

d.

a) ab

b) m2n3

c) x7y6

d) – 2a2

Página 329

e) 27a3b2

f) – 16x3y3

g) 17m2

h) – 36n5

i) 35y3

j) 15a9b2

k) 67a7b6

E.a) −a4b3 −

13

b) −5m5n4 + 6mn8

c) 53

x −23

+2x

d) −73

x3 −43

x2 + x

e) 3x2 − 5x + 4

f) 108a5 −14b3 −

2a2

aPaRtaDO 4, paágina 330

A.

a)56

xy

b)14

xy

c)−23

x2

y 3

d)13

x 3

y

B.

a) (2 − 7x)4

b) a2b − 7b2

c) (x2y2 − 1)2

5

d) −35

PáGiNa 331

C.

a) 14(x − y)

b) −43

(a2 − c)

c) −2(a4b + 2)2

d) 4xy2

e) 25a + b

f) 2x + 3y3x + 2y

g) x + 2


A.

a) x + y

b) 3 – 7b

c) ay – 3a4

B.

a) x2 + 1

b) 3x2 – 8x2 = – 5x2

c) p – 7

d) –x + y

e) x – y

f) m2 – 5

PáGiNa 335

c.

a) –15a2b + 13b

b) 9mn5 – 12m5n

c) 2ba

+3a

−4b2

ad) 3x3 – 5nx2 + 1

aPaRtaDO 4

A.

a) x

b) x

c) 2m

d) n

B. Libre


414

PáGiNa 336

C.

b), c), d) libre

d.

b) libre

SemaNa DecimOQUiNta


a) 4 – x

b) –2a – 8b

c) 2a – b – 2

d) 7x

e) –10x + 35y

f) –3a – 12b

g) –5x – 13 y

h) 3a – 36b

aPaRtaDO 4

1. 4x – 2y

2. – 4a+ 100b

3. – 52x – 11y

4. – 40x + 45y – 8

5. 70a + 372


a) 37x + 23

b) 149x – 2

c) 250 + 9x

d) 9 – 9x

e) – 20x2 + 80x + 60

f) – 30x2 + 12x + 54

g) 4x4 – 138x3 + 122x2 – 42x – 5

h) 14a2 + 49a + 77


A.

a) 3x4 – 10x3 + 16x2 + x – 10

b) x4 – 2x2y2 + y4

c) 6xh + 3h2 + 2h

d) 4h2 – 5h + 8xh

e) –2xh – 2h2 – 3h

f) 4x2 + 13xy – 2y2 – 6x + 2y

g) 35x2 + 12x – 126xy + 81y2

h) 41x2 + 38xy + 14y2

i) x4 – 3x2 + 21y2 + 52xy + 25

j) –2a2 – 8ab + a + 4b

k) 4x3y + 5x2y – 1

l) 2x2 – 21x + 80

m) 2a7 – 20a5 + 50a3 – 7a2 + 4

PáGiNa 348

B.

a) – 66

b) 0

C.

a) 24x – 1

b) 15x – 17

c) – 4x + 4

d) 7x + 46

e) – 10x – 4

f) 14x – 6

g) – 8x + 2

h) – 23x + 7

SemaNa DécimOSexta

actiViDaD 1, Página 353

1. 20(6a + b + 6)

2. 9ax (a – 2x)

3. x2(1 + x – x2)

4. ab(b2 – a2 + 1)

5. 2a(2a2 + 15a – 25)

6. 7 (3c4 + b2c – 2b3)

7. 6xy(2y – 3y2 x+ 3)

8. c2(b3 – 21 + 14b)

9. 2mn (56n3 + 60m4 – 63mn)

10. a2( a2b + b4 + a + ab3)

11. 5y2 (3 + 4y – 6y2 + 8y3)

12. 6a2b(7b – 3a5 + 5ab)

13. –h(k2 – 2k – h)

14. m(m2 + n2 – n4 + 1)

15. a3b(b + 1)

16. 5b a +23

a2 −37

b3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

17. 5x (5xy+ 6y3 + 4)

18. – y (x2 – y2 + xy3 + 4)

415


19. 59

xy(5 − 3y − 2x2 )

20. 15

a 23

a2b2 −34

ab3 − 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21. 5x2y 43

x2 −32

xy + 6y⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


a.

1. (x + 1)(a + 8)

2. (2n + 3)(– 5 + p)

3. (x – 3)(2a – 11)

4. (2x + 3)(m – n)

5. (4 + n)(x + 5)

6. (x + 1)(3 + 5y)

7. (1 – x)(m + 1)

8. (m – 2)(4x + 1)

9. (1 – x)(1 + 2a)

10. (x2 + 1)(1 – b)

11. (x – 1)(m + 7)

12. 11(b + c)

13. (2y – 1)(x + 2)

14. (3 + b)(– 1 + x)

15. (– 1 + m)(2x + 3)

B.

a) (m + 1)(a – 9)

b) (x – 2)(3x – 2y)

c) (a + 1)(n + 2)

d) (a + 1)(x – 1)

e) (x + 1)(–1 – 7y) = – (x + 1)(1 + 7y)

f) (1 – 7x)(–1 + 2a)

g) (x – 8)(1 + x)

h) (2a + b + 3)(–5 – 1) = – 6a(2a + b + 3)

i) (n + 1)(x – 9)

j) (x – 2)(x + 3y + 1)

k) (a + 1)(a – 1)


A.

1. (n – 1)(n + 1)

2. (x – 5)(x + 5)

3. (1 – 2m)(1 + 2m)

4. (4 + y)(4 – y)

5. (2x + 3)(2x – 3)

6. (2x + 9)(2x – 9)

7. (10 – m2)(10 + m2)

8. (5 – 2n)(5 + 2n)

9. (–4 + 2b)(4 + 2b)

10. 12

− 3a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

+ 3a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11. a6

−45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a6

+45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12. a6

−45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

a6

+45

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13. 1−a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1+a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

14. b +12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

b −12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15. 10 −14

a2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

10 +14

a2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16. 8a −15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8a +15

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

17. (7x – 8)(7x + 10)

18. 7(2a + 7)

19. (7a + 1)(–a + 11)

20. 5c(2 + 7c)

PáGiNa 359

B.

a) (16 – 3y)(16 + 3y)

b) (4a + 3)(4a – 3)

c) (5x – 2)(5x + 2)

d) (5m – 7)(5m + 7)

e) (8y2 – 9)(8y2 + 9)

f) (a6 – 4)(a6 + 4) = (a3 – 2)(a3 + 2) (a6 + 4)

g) (11a4 – 10)(11a4 + 10)

h) 2(25a10 – 36) = 2(5a5 – 6)(5ª5 + 6)

i) (x2 + 1)(x2 – 1) = (x2 + 1)(x – 1)(x + 1)

j) 4(x4 – 16) = 4(x2 – 4)(x2 + 4)= 4 (x + 2)(x – 2) (x2 + 4)

k) (4 – y2)(4 + y2) = (2 – y)(2 + y)(4 + y2)

l) 5(x4 – 16) = 5(x2 – 4) (x2 + 4) = 5(x – 2) (x – 2) (x2 + 4)


A. a) b) d) f)

B.

a) (x + 8)2

b) (x + 7)2

c) (x – 1)2

d) (1 – 2y)2

e) 2(x – 1)2

f) x(x – 9)2(x + 9) = x (x – 9)2

g) 5(4x + 5)2

h) 5(y2 + 1)2

i) (3x5 + 2)2

j) (1 – a3)2

k) (7x + 4)2

l) (x + 5)2

m) (a + 1)2

n) (x + 1)2

actiViDaD 5, PaGiNa 361

a) (a – 1)(a – 3) (a + 3)


416

b) a + 2( ) 23

− x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

23

+ x⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

c) (b – 3)(b + 1) (b – 1)

d) 3x (x + 12)

e) 2(y + 1) (y – 11)

f) 5(2y – 9) (2y – 5)

g) 2(x – 3)2

h) 3(3x + 1)2

i) 3x(1 – x2)2

j) (x + 2)2 (1 + 3x)

k) 2(1 – 5x)(1 – 10x) (3 –10x)

l) – 24x

PáGiNa 362

B.

1) 2a (a + 6) Mayor factor común: 2a

2) 9b (b – 9) Mayor factor común: 9b

3) 6 (2c2 – 1) Mayor factor común: 6

4) 9 (d2 + 3) Mayor factor común: 9

5) 1 (e2 + 9) Mayor factor común: 1

6) 1 (2f2 – 4) Mayor factor común: 1

7) 3 (x2 – 4x + 6) Mayor factor común: 3

8) 9 (2n2 – 3n + 6) Mayor factor común: 9

9) 2x2 (x2 + 3x – 13) Mayor factor común: 2x2

10) 3y3 (3y2 – 22y + 1) Mayor factor común: 3y3

C.

1) 3(x2 + 4y2)

2) 6(3x2 – 2y)

3) x(x + 7)

4) 3x2(1 – 7x)

5) 2x(3x – 2)

6) b(b2 + b + 1)

7) ab(a + b)

8) 3c(5a2 – 1)

9) 5rs(5r – 25)

10) –6x(2x + 1)

d.

1) (y + 2)(y – 1)

2) (a + 9)(a – 8)

3) (4c + 5)(x – 1)

4) 2(x + 1)2

5) 2x(x – y)

6) (m – n)2

7) (1 – 3c)(1 + y)2

8) –7(2y – 1)


A.

a) 3a

b) a

c) 12b2

d) 1

PáGiNa 365

B.

a) 6a3b3

b) 6xy

c) 14a3b2

d) 3a2x2

e) 6a2b

f) 6

aPaRtaDO 4

A.

a) a(b + c)

b) b(b – 2)

c) 3(m – n)

d) 2(c + 4)

e) 2x(y – 5)

f) 5y2(1 + 3y)

g) 4m(2m – 3n)

h) 9ax2(a2 – 2x)

i) x(x2 + x + 2)

j) 2(2a2 – 4a + 1)

k) 2a(a + 2b – 3c)

l) 3m(2m2n2 – 4mn + 1)

m) 3a2(3a3 – 2x + ax2)

n) 3b(2a2b2 – 3a + 4b)

B.

a) 4(a + b)

b) x(x – y)

c) bc2(b + 3c)

d) 2x(3x – 2y)

e) 12

b2y(y – b)

f) 4x(6 + 7x2 – 14x3)

C.

a) (4x – 1)(a + 3)

b) (b – 5)(2m + 1)

c) (2a – 1)(1 – 3q)

d) (3t + 1)(p – 6)

e) (a – 10)(–7 + x)

f) (b2 + 1)(7c + 3)

417



A.

a) (x + 1)2

b) (n – 1)2

c) (a + 4)2

d) (y – 6)2

e) (m + 7)2

f) (b – 32 )2

g) (9 + p)2

h) (b – 5)2

i) (a2 + 4)2

j) (1 – 0,8y)2

B.

a) 2(x – 1)2

b) 2(x – 10)2

c) x(x – 9)2

d) x(x + 12)2

e) 5(2x + 3)2

f) 3(2x + 3)2

g) 5(y2 + 1)2

h) 2a(1 – a3)2

C.

a) (2x – 5)(2x + 5)

b) (3a – 4)(3a + 4)

c) (10x – 1)(10x + 1)

d) (4x3 – 5)(4x3 + 5)

e) (8y2 – 9)(8y2 + 9)

f) x(6 – 7x)(6 + 7x)

g) y2(9y2 – 5)(9y2 + 5)

h) 2(2x – 7y)(2x + 7y)

aPaRtaDO 4

A.

a) si

b) si

c) no

d) no

e) no

f) no

g) si

h) si

PáGiNa 370

B.

a) si

b) si

c) no

d) no

e) si

f) si

g) no

h) si

i) no

j) si

C.

a) (y – 1)2

b) (2x + 15)2

c) (h + 2)2

d) (b + 5)2

e) (7a + 4)2

d.

a) 6x2 (4x2 + 10x –3)

b) 5x3 (9x8 + 12 + 4x2)

c) (2x – 3) (2x + 3)

d) 6x2 (x2 + 4)(x – 2)(x + 2)

e) 3x3 (2x3 – 3)2

f) (x – 2)2 (x + 2)2

g) 2x2 (4x2 – 42x + 9)

h) x (18x6 + 8 + 29x3)

PRUeBa matemática zaPaNDÍ

PáGiNa 372

1. A

2. B

3. C

PáGiNa 373

4. B

5. A

6. C

PáGiNa 374

7. C

8. B

9. C

10. B

PáGiNa 375

11. C

12. C

13. d

14. C

PáGiNa 376

15. d

16. C

17. C

18. B

PáGiNa 377

19. d

20. d


418

21. d

22. B

PáGiNa 378

23. C

24. d

25. B

26. A

PáGiNa 379

27. A

28. B

29. d

30. C

PáGiNa 380

31. C

32. A

33. d

34. B

PáGiNa 381

35. C

36. d

37. d

38. B

39. B

PáGiNa 382

40. d

41. A

42. B

43. B

44. C

PáGiNa 383

45. A

46. B

47. B

48. A

49. B

PáGiNa 384

50. C

51. d

52. A

PáGiNa 385

53. A

54. d

55. B

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