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BLOG MATEMATICAS APLICADAS

INTEGRANTES:

CINDY JOHANA LÓPEZ BELTRÁN

NICOLAS EDUARDO MAYORGA CARDONA

DIANA ROCIO ORIGUA AREVALO

LUISA FERNANDA TORRES BELTRAN

MÉTODO DE IGUALACIÓN

EJERCICIOS RESUELTOS:

PRIMER EJERCICIO:

Hallar la solución del sistema dado por el método de igualación:

x - 5y = -14 (1)x + 2y = 7 (2)

Se despeja la misma incógnita en (1) y (2), así:

1. Despejando x en (1), se obtiene x = -14 + 5y (3)

2. Se despeja x en (2) y queda

x = 7 - 2y (4)3. Igualando (3) y (4) queda lo siguiente

-14 + 5y = 7 - 2y

4. Al hacer transposición de términos

5y + 2y = 7 + 145. Resolviendo términos semejantes

7y = 21

6. Aplicando propiedad de las igualdades

y = 21/7

7. Por último, se simplifica y se tiene:

y = 3

Para terminar, se remplaza el valor de y en cualquiera de las dos ecuaciones originales, y obteniendo lo siguiente:

En este caso se tomará la ecuación (1)

x - 5y = -14 (1) Remplazando el valor de y.x - 5(3) = -14 Se resuelve la operación indicadax - 15 = -14 Haciendo la transposición de términos x = 15 - 14 Por último se resuelve la diferencia y queda: x = 1

SEGUNDO EJERCICIO

X + 3 y = 10 2 x + 5/47 y = 1

1. Se despeja una de las incógnitas en las dos ecuaciones.

x = 10 - 3 y (1) 2 x = 1 - 5/4 y x = (1 - 5/4 y) /2 (2)

2. Se igualan las expresiones obtenidas (1) y (2), de allí el nombre de igualación.

10 - 3 y = (1 - 5/4 y) / 2

3. Se resuelve la ecuación en y. Para ello paso el divisor 2 al primer miembro:

2 (10 - 3 y) = 1 - 5/4 y 20 - 6 y = 1 - 5/4 y - 6 y + 5/4 y = 1 - 20 - 19/ 4 y = -19 - y = [(-19).4] / 19 - y = - 4 y = 4

4.Se sustituye "y" por su valor 4 en (1)

x = 10 - 3. 4 x = 10 - 12 x = - 2

TERCER EJERCICIO

1. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones:

x + y = 6

2x - y = 3

2. Se despeja la misma variable de cada ecuación.

y = - x + 6

y = 2x - 3

3. Utilizando la propiedad transitiva de la igualdad se igualan las ecuaciones.

-x + 6 = 2x - 3

4. Se despeja la otra variable quedando una ecuación de una incógnita y se resuelve la ecuación.

-x -2x = -3 - 6

-3x = -9 x = -9 = 3

5. Se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones originales, para encontrar la otra variable.

3 + y = 6

y = 6 - 3 = 3

La solución es la pareja ordenada (3, 3)

EJERCICIOS PLANTEADOS

1. 5x + y = 8 2x – y = - 1

2. X + 6y = - 2 X – 3y = 1

3. 4x - 5y = - 2 3x + 2y = 10

4. 3x – 5y = 54x + y = - 1

5. 26x – 3y = 16 15x + 6y = 3

6. 8x + 6y = 7 4x – 10y = 3

7. 5x+ y = 23x + 4y = 0

8. X – y = 13x + 4y = 2

9. 6x + 8y = - 2 3x – 4y = 1

10.16x + 76y = 10 10x –42y = 9

METODO DE SUSTITUCIÒN


PRIMER EJERCICIO

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones.

2. Se sustituye la expresión de esta incógnita en la otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

1. Despejamos una de las incógnitas en una de las dos ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coeficiente más bajo.

2. Sustituimos en la otra ecuación la variable x, por el valor anterior:

3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4. Sustituimos el valor obtenido en la variable despejada.

5. Solución

SEGUNDO EJERCICIO

3X + Y = 22

4X - 3Y = -1

PASO 1Despejamos una variable de cualquier ecuación. En este caso, despejaremos la Y de la primera ecuación:

3X + Y = 22

Y = 22 - 3X

PASÓ 2Reemplazamos el valor de Y que acabamos de obtener en la otra ecuación, y simplificamos la ecuación:

4X - 3Y = -1

4X - 3(22-3X) = -1

4X - 66 + 9X = -1

13X - 66 = -1

PASÓ 3Despejamos la variable que nos queda (en este caso, X):

13X - 66 = -1

13X = -1 + 66

13X = 65

X = 65/13

X = 5

PASÓ 4Ya obtuvimos el valor de X. Sabemos qué Y = 22 - 3X (fue el primer despeje que hicimos, ¿recuerdas?), así que

Y = 22 - 3X

Y = 22 - 3*5

Y = 22 - 15

Y = 7

Y listo. Tenemos entonces la solución al sistema de ecuaciones:

X = 5

Y = 7

TERCER EJERCICIO

Disfrutando de una excursión estudiantil a la isla de San Andrés, un grupo de estudiantes sale de su hotel y camina a una velocidad de 4,6 km/h hasta un sitio en donde alquilan motos. Luego recorren la isla en moto a una velocidadde 20 km/h y regresan al hotel, desde el sitio en el cual alquilaron las motos, a la misma velocidad que antes. Si el recorrieron 2,33 horas, ¿cuánto tiempo caminaron y cuánto tiempo viajaron en moto?.Se debe determinar qué tiempo gastaron caminando y qué tiempo en el recorrido en moto. Llamemos t1 empleado en caminar y t2 el tiempo empleado en el recorrido en moto. Si se usa la relación.

Distancia = velocidad x tiempo, se obtiene:

De acuerdo con la información de la tabla anterior, se puede plantear el sistema de ecuaciones: t1 + t2 = 2,33 (1)

4,6 t1 + 20 t2= 23,8 (2)

En la ecuación (1) al despejar t2 se obtiene: t2 = 2,33 - t1 (3)

Se remplaza o sustituye t2 en la ecuación (2), queda:

4,6t1 + 20(2,33 - t1) = 23,8

4,6t1 + 46,6 - 20t1 = 23,8

- 15,4t1 = 23,8 - 46,6

Caminando En moto

Total

Tiempo(t)

t1 t2 2,33 horas

Distancia recorrida

4,6 t1 20 t2 23,8 km

- 15,4t1 = -22,8

t1= -22,8/-15,4

t1= 1,48 horas

Ahora. Se remplaza el valor de t1 en (3) para hallar t2 :

t2 = 2,33 - t1

t2 = 2,33 - 1,48

t2 = 0,85 horas

Por tanto el tiempo recorrido a pie fue de 1,48 horas y en el recorrido en moto gastaron 0,85 horas.

Así 1,48 + 0,85 = 2,33. Además 4,6(1,48+20(0,85)=6,80+17 = 23,8


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. x + 2y = 10

3x - y = 2

8. 4p + 12q = 6 2p + 6q = 3

9. x – 2g = 1 Y + 4z = 3

10.Dos trenes de juguetes van por las vías cuya representación se muestra así:

METODO DE REDUCCIÓN


PRIMER EJERCICIO

1.

Y = 3x – 8

X + 3y – 16 = 0

SEGUNDO EJERCICIO:

2.

TERCER EJERCICIO


3.

1. En un teatro se vendían boleas para adultos a 75 pesos y para niños a 50 pesos. Si se recogieron 16.475 pesos y se vendieron 262 boletas, ¿cuántos adultos y cuántos niños entraron?

2. La suma de dos números es 66. El triple de uno de ellos sumado con otro, es igual a 114. ¿cuáles son os números?

3. Un cajero tiene 9.560 pesos en billetes de cinco, diez y veinte pesos. ¿cuántos billetes hay de cada clase, si en total tiene 970 billetes y entre billetes de cinco y de veinte hay 6.650 pesos?

4. Hallar dos números, sabiendo que el doble dl primero más el triple del segundo es -10 y la diferencia entre el primero y el segundo es -10.

5. Un ganadero compró 700Kg de alimento de 10 pesos y 12 pesos el Kg. Si gastó 7.950 pesos, ¿cuánto compró de cada calidad?

6. Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58 cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

7. Por la compra de dos electrodomésticos hemos pagado 3500 €. Si en el primero nos hubieran hecho un descuento del 10% y en el segundo un descuento del 8% hubiéramos pagado 3170 €. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

8. En una granja se crían gallinas y conejos. Si se cuentan las cabezas, son 50, si las patas, son 134. ¿Cuántos animales hay de cada clase?

9. 13. En una librería han vendido 20 libros a dos precios distintos: unos a 800 ptas. y otros a 1200 ptas. con los que han obtenido 19.200 ptas. ¿Cuántos libros han vendido de cada precio?

10. El otro día mi abuelo de 70 años de edad quiso repartir entre sus nietos cierta cantidad de dinero. Si nos daba 300 ptas. a cada uno le sobraba 600 ptas. y si no daba 500 ptas. le faltaba 1000. ¿Cuántos nietos tiene? ¿Qué cantidad quería repartir?

METODO DETERMINANTES

Desarrollar las determinantes:

SISTEMAS DE ECUACIONES 3X3

METODO DE GAUSS


PRIMER EJERCICIO:

1. Un videoclub está especializado en películas de tres tipos: infantiles, oeste americano y terror. Se sabe que:

El 60% de las películas infantiles más el 50% de las del oeste representan el 30% del total de las películas.

El 20% de las infantiles más el 60% de las del oeste más del 60% de las de terror al representan la mitad del total de las películas.

Hay 100 películas más del oeste que de infantiles.

Halla el número de películas de cada tipo.

Infantiles x

Oeste y

Terror z

Sustituimos el valor de y en las dos ecuaciones iniciales y multiplicamos la última obtenida por 3.

Infantiles 500 películas

Oeste 600 películas

Terror 900 películas

SEGUNDO EJERCICIO:

2. Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Calcular el precio de

cada artículo, sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

Leche x

Jamón y

Aceite z

Leche 1 €

Jamón 16 €

Aceite 3 €

TERCER EJERCICIO:3. Los lados de un triángulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en cada vértice

se dibujan tres de conferencias, tangente entre sí dos a dos. Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.


1. x – y + 2z = 2 –x + 3y + z = 3 x + y + 5z = 7

2. 2x – y + w = 0x – 2y + z = 05x – y + z + w = 05x – 2y – z + 2w = 0

3. 2x – y + w = 9x – 2y + z = 115x – y + z + w = 245x – 2y – z + 2w = 0

4. x + y + z = 23x – 2y – z = 4–2x + y + 2z = 2

5. 3x – 4y + 2z = 1–2x – 3y + z = 25x – y + z = 5

6. x – 2y = –3–2x + 3y + z = 42x + y – 5z = 4

7. –x + 2y = 02x + y = –5(3/2)x – 3y = 0

8. x + 2y = 53x – y = 12x + 4y = 0

9. x + y – z = 22x + y + z = 2x – y + z = 0

10.3x+ 4y – z = 36x– 6y + 2z = –16x– y + 2z = – 6

METODO DE CRAMER


PRIMER EJERCICIO:

1)

SEGUNDO EJERCICIO:

2)

TERCER EJERCICIO

3)


1.

2.

3.

4.

5.

6. En una competición deportiva participan 50 atletas distribuidos en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte excede en una unidad al número de cadetes y por otra, coincide con el quíntuplo del número de juveniles. Determina el número de atletas que hay en cada categoría.PISTA:Llamamos: x al número de atletas infantiles, y al número de atletas cadetes, z al número de atletas juveniles.

7.

8. En cierta heladería por una copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobran 34 un día. Otro día por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobran 44 €, y un tercer día te piden 26 € por una horchata y 4 batidos. ¿Tienes motivos para pensar que alguno de los tres días te han presentado una cuenta incorrecta?

9. En una reunión hay 40 personas. La suma del número de hombres y mujeres triplica el número de niños. El número de mujeres excede en 6 a la suma del número de hombres más el número de niños. Averiguar razonadamente cuántos hombres, mujeres y niños hay.

Planteamiento: Llamamos:x al nº de hombresy al nº de mujeresz al nº de niños

10. Compro 100 regalos de diferentes precios, 25 euros, 5 y 0.25 euros y me gasto en total 500 euros, ¿cuántos regalos he comprado de cada cantidad exactamente?Planteamiento:Llamamos x, y, z al número de regalos de 25 euros, de 5 euros y de 0,25 euros, respectivamente.

FUNCION CUADRATICA


PRIMER EJERCICIO:

El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.

Observa la tabla:

euros descuento 0 1 2 X

Precio 30 30-1 30-2 30-x

Nº espectadores 500 500+100.1 500+100.2 500+ 100x

Ingresos 30.500

(30- 1)·(500+100.1)

(30-2)·(500+100.2)

(30-x)·(500+100.x)

Los ingresos obtenidos son:

Siendo X el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.

Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 .

Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000

Que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.

Gráfica de las funciones cuadráticas

La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:

X -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3f(x) =

x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9

Esta curva simétrica se llama parábola.

Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma forma.

Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.

x -1 0 1 2 3 4f(x) 0 -3 -4 -3 0 5

Completando la gráfica obtengo:

SEGUNDO EJERCICIO:

Sea la función: Estúdiala y dibújala.

SOLUCIÓN:

Es una parábola con las ramas hacia arriba, porque a = 1 >0. El eje de simetría es la recta

El vértice tiene por abscisa: x0 = 3 y por ordenada:

Entonces el vértice es el punto (3, −4)

Para calcular los puntos de corte con el eje de

Abscisas hacemos:

Resolvemos y obtenemos:

Entonces los puntos de corte son: (5, 0) y (1, 0)

El punto de corte con el eje de ordenadas es (0, 5).

TERCER EJERCICIO:

Dibuja la gráfica de y = 4x2 + 4x + 1.

Como a = 4 es positivo la parábola tiene sus ramas hacia arriba.

La 1ª coordenada del vértice es p = -b/(2a) = -4/2·4 = -0'5.

Y la 2ª coordenada q = 4·(-0'5)2 + 4(-0'5) + 1 = 0. Luego el vértice es V(-0'5,0).

Utilizando valores de x situados a la misma distancia de -0'5 por la izquierda y por la derecha:


1. Halla en cada caso la ecuación correspondiente a cada una de estas parábolas:

Si la parábola no cumple estas dos condiciones (o no se tiene información de que esto ocurra), su ecuación se determina a partir de tres puntos dados.

2. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:

a. y = 2x2 -14x + 24 b. y = 5x2 - 10x + 5 c. y = 6x2 + 12

d. y = 3(x - 2)(x + 5) e. y = 3(x - 2)2 f. y = 3(x2 + 4)

3. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (1,0) y (3,0).

4. Determina la ecuación de la parábola cuyos cortes con el eje X sean los puntos (-2,0) y (3,0) y con el eje Y sea (0,4).

5. Determina la ecuación de una parábola que corte al eje X en el punto (2,0) y al eje Y en (0,6).

6. Obtener la ecuación de la parábola que pasa por los puntos:

A (3,7) B (1,-3) y C (-2,12). P (-4,-5) Q (0,3) y R (1,0).

7. Dibuja la gráfica de:

8.Halla el vértice y la ecuación del eje de simetría de las siguientes parábolas:

1. y = (x − 1)² + 12. y = 3(x − 1)² + 13. y = 2(x + 1)² - 3

4. y = -3(x − 2)² − 55. y = x² − 7x − 186. y = 3x² + 12x – 5

9. Una función cuadrática tiene una expresión de la forma y = x² + ax + a y pasa por el punto (1, 9). Calcular el valor de a.

10. Indica, sin dibujarlas, en cuantos puntos cortan al eje de abscisas las siguientes parábolas:

1. y = x² − 5x + 32. y = 2x² − 5x + 43. y = x² − 2x + 44. y = −x² − x + 3

FUNCIONES EXPONENCIALES


PRIMER EJERCICIO:

1)

SEGUNDO EJERCICIO:

2)

TERCER EJERCICIO:

3)


1.En las 10 primeras semanas de cultivo de una planta, que medía 2 cm, se ha observado que su crecimiento es directamente proporcional al tiempo, viendo que en la primera semana ha pasado a medir 2.5 cm. Establecer una función a fin que dé la altura de la planta en función del tiempo y representar gráficamente.

2. Por el alquiler de un coche cobran 100 € diarios más 0.30 € por kilómetro. Encuentra la ecuación de la recta que relaciona el coste diario con el número de kilómetros y represéntala. Si en un día se ha hecho un total de 300 km, ¿qué importe debemos abonar?

3. Calcular los coeficientes de la función f(x) = ax + b si f(0) = 3 y f(1) = 4.

4. En enero del 2000 adquiriste un auto en 100000, si cada año disminuye el 13% de su valor inicial, ¿cuánto valdrá en el 2009?

5. si inviertes 1500 pesos en una cuenta bancaria que proporciona 23% de interés anual a plazo fijo de cinco años, ¿cuál es el monto que recibirás al concluir el plazo del depósito?

6. ¿cuánto tiempo debes dejar 25000 pesos en a cuenta que capitaliza anualmente interés a 18% anual para obtener 50000 pesos?

7. un almacen de aparatos electrodomesticos liquida mercancia de exhibición con ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir cada año 35% el precio de esta mercncia que va quedando almacenada. Si compras un refrigerador almacenado tres años, con un precio inicial de $12455, ¿cuánto pagarás por él?

8. si un cuarto de jugo de naranja contiene 200 mg de vitamina C y ésta se oxida a razón de 12.5 mg cada minuto, ¿cuántos mg de vitamina habrá en el jugo si lo consumes despues de transcurridos 35 minutos desde su elaboración?

9. en una ciudad, de 9000 habitantes se esparce un rumor de modo que cada hora se duplica la cantdad de personas que se enteran de mismo, ¿cuántas personas conoeran el rumor al cabo de doce horas?

10. Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2 años.

1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la población de aves?

2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?

FUNCIONES LOGARITMICAS


PRIMER EJERCICIO:

1.- Calcula: R= Respuesta

Log 3 27 + log 3 1 =R: 3

SEGUNDO EJERCICIO:

Calcula: R= Respuesta

Log 5 25 - log 5 5 =R: 1

TERCER EJERCICIO:


Log 4 64 + log 8 64 =

R: 5



a) log 0,1 - log 0,01 =

R:

b) log 5 + log 20 =

R:

c) log 2 - log 0,2 =

R:

d) log 32 / log 2 =

R:

2.- Halla el valor de x:

a) log 2 x = - 3

R:

b) log 7 x = 3

R:

c) Log 6 [ 4 ( x - 1 ) ] = 2

R:

d) log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2

R:

e) log x 125 = 3

R:

f) log x 25 = - 2

R:

g) log 2 x + 3 81 = 2

R:

3.- Calcula el valor de x que haga cierta cada una de estas igualdades:

a) log1/2 32 = x b) 9x+27 = 4.3x+1

4.- Resolver la ecuación: 2x+2.128 = 4x-1

5.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

2x+y =16

9x = 3y-1

6.- Resuelve la siguiente ecuación:

4x-1- 3.2x+1+32 = 0

7.- Resolver la ecuación: 2 · log(5x - 4) - log 4 = log (x + 4)

8.- Sabiendo que log 2 = 0,3010 y que log 3 = 0,4771. Calcula:

a) log 36

b) log (9/4)

c) log 5

9.- ¿Qué anualidad se deberá pagar para amortizar una deuda de 40 000 euros durante 12 años al 4% anual?

10.- ¿Cuánto costará un artículo dentro de 10 años, si la inflación se mantiene al 2,5% anual y en la actualidad cuesta 200 euros?

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