Mate Ma Tic A

5/14/2018 Mate Ma Tic A - slidepdf.com

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ESCUELA NAVAL “ARTURO PRAT” MAT. 1

MATEMÁTICAS

I.- INTRODUCCIÓN

El Examen de Admisión de Matemáticas, pretende ser una instanciaevaluativa de la síntesis de temas desarrollados por los y las postulantes en suetapa escolar de Enseñanza Básica y Media, orientada a medir las capacidadesmatemáticas, que deberán ser evidenciadas por medio del manejo de destrezasasociadas a ellas.

Estas destrezas se pondrán a prueba a través de un cuestionario, conpreguntas contextualizadas en las diferentes temáticas.

Las destrezas evaluadas y sus contenidos, constituyen la base para elestudio y comprensión de los distintos tópicos de las Ciencias Básicas yMatemáticas a los que se verán enfrentados los y las cadetes en los cursos de

la Escuela Naval. Institución que, con sólida tradición, desde esta área pretendeformar hombres y mujeres con las competencias necesarias para el futurodesempeño profesional en el ámbito Naval.

II.- OBJETIVOS GENERALES

A.- Razonar con lógica definiciones, conceptos y propiedades relativos aconjuntos numéricos, proporciones, porcentajes, expresionesalgebraicas, funciones, geometría, trigonometría, estadística yprobabilidades al momento de identificarlos, aplicarlos y analizarlos.

B.- Resolver problemas relativos a proporciones, porcentaje, funciones,geometría, trigonometría, estadística y probabilidades mediante lamodelación de problemas contextualizados, representación en lenguajenatural, algebraico o gráfico.




III.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS

A.- Aritmética.

1.- Aplicar definiciones y propiedades de los números enteros oracionales.

2.- Analizar relaciones entre series de números enteros o racionales.3.- Aplicar propiedades de potencias y raíces, sobre números enteros o

racionales.4.- Aplicar conceptos o propiedades de proporcionalidad directa e

inversa, o porcentaje.5.- Analizar problemas de proporcionalidad, porcentaje o unidades de

medida.

B.- Álgebra y Funciones.

1.- Identificar y aplicar reglas de productos notables, factorización ysimplificación.

2.- Aplicar reglas de resolución de ecuaciones y sistemas de ecuacionesde primer o segundo grado, en forma analítica o gráfica.

3.- Representar información de lenguaje natural a su representaciónalgebraica o gráfica o viceversa.

4.- Analizar funciones lineales, hiperbólicas, cuadráticas o del tipo( )∈nx n IN .

5.- Analizar funciones exponenciales y logarítmicas.6.- Analizar y comparar tasas de crecimiento: aritmético y geométrico.7.- Resolver un problema de planteo que de origen a ecuaciones o

sistemas de ecuaciones de primer o segundo grado.8.- Resolver un sistema de ecuaciones lineales de orden dos en forma

algebraica o gráfica.9.- Resolver ecuaciones de segundo grado en el conjunto de los

números reales.10.- Identificar propiedades de las funciones en forma algebraica o

gráfica.11.- Resolver un problema de planteo de origen de una progresión

aritmética o geométrica.




C.- Geometría.

1.- Aplicar identificar propiedades y teoremas relativos a ángulos: entreparalelas interceptadas por una secante, en el triángulo, cuadriláteroso en una circunferencia.

2.- Analizar problemas geométricos, aplicando definiciones, propiedadeso teoremas relativos a: medidas de ángulos entre paralelas, en eltriángulo, en cuadriláteros, o trazos y arcos en la circunferencia.

3.- Aplicar definiciones, propiedades y teoremas en el cálculo del valorde ángulos en: triángulos, cuadriláteros o arcos de circunferencia.

4.- Modelar problemas referidos a razones trigonométricas en eltriángulo rectángulo.

5.- Identificar conceptos geométricos con sus representaciones gráficas,y viceversa.

6.- Aplicar conceptos y teoremas en el cálculo de perímetro, área osuperficie y volumen.

7.- Aplicar los conceptos y teoremas de la geometría del espacio aldeterminar: rectas y planos en el espacio, planos paralelos,intersección de planos, planos perpendiculares e intersección de treso más planos.

D.- Estadística y Probabilidad.

1.- Interpretación de datos estadísticos provenientes de diversos

contextos.2.- Aplicar los teoremas básicos de la teoría de probabilidad a

situaciones de la vida cotidiana, por ejemplo: ecología, saludpública, control de calidad, juegos de azar, etc.




IV.- CONTENIDOS POR EVALUAR

A.- Aritmética.

1.- Operaciones con números enteros o racionales.

2.- MCD y MCM, números primos, divisibilidad.3.- Potencias de números enteros y racionales con exponente entero o

fraccionario.4.- Notación científica.5.- Operaciones y propiedades de las fracciones y decimales.6.- Concepto de números irracionales.7.- Razones, proporciones y porcentajes.8.- Sistema métrico decimal.

B.- Álgebra y Funciones.

1.- Operatoria con expresiones algebraicas.2.- Productos notables.3.- Factorización.4.- Operatoria con fracciones algebraicas. Simplificación.5.- Propiedades y operatoria con potencias de expresiones algebraicas.6.- Propiedades y operatoria con raíces de expresiones algebraicas.7.- Ecuaciones de primer grado. Representación gráfica.8.- Ecuaciones de segundo grado. Propiedades de discriminante.

Gráficas.9.- Función lineal.

10.- Ecuación de la recta. Interpretación de la pendiente. Condición deparalelismo y perpendicularidad.

11.- Sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.Solución analítica y gráfica.

12.- Radicación. Reglas de operatorias para el cálculo con raíces.13.- Potencias de exponente racional.14.- Funciones: Concepto de función. Expresión analítica de una función.

Representación de una función.

15.- Funciones cuadráticas o del tipo ( )∈nx n IN

16.- Funciones exponenciales y logarítmicas.

17.- Crecimiento aritmético y geométrico.




C.- Geometría.

1.- Ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.2.- Ángulos en polígonos.3.- Ángulos en la circunferencia y sus elementos.4.- Criterios de congruencia de triángulo.5.- Triángulo isósceles y sus propiedades.6.- Triángulo, paralelogramos y trapecios.7.- Proporcionalidad de trazos.8.- Semejanza de triángulos.9.- Proporcionalidad de trazos en el triángulo, cuadriláteros y

circunferencia.10.- Teoremas de Thales, Euclides y Pitágoras.11.- Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo.12.- Identidades trigonométricas.

13.- Valores exactos de las razones trigonométricas para algunosángulos.

14.- Perímetro y área de polígonos.15.- Cuerpos geométricos: prismas y pirámides.16.- Área y volumen de poliedros.17.- Área y volumen de cuerpos redondos.18.- Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares.19.- Planos en el espacio, determinados por tres puntos no colineales.20.- Planos paralelos, intersección de dos planos.21.- Ángulos diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más

planos.

D.- Estadística y Probabilidad.

1.- Conceptos básicos de Estadística.2.- Gráficos estadísticos.3.- Estadística descriptiva.4.- Estadística Inferencial.5.- Probabilidad básica en conjuntos discretos.




MODELO DE PRUEBA

M A T E M Á T I C A S

PRIMERA PARTE

A R I T M É T I C A

1. El valor de la expresión ( ) ( ) − − ⋅ − + − − 8 4 2 16 6 : 2 es:

a) −19

b) −11

c) −7

d) 11 e) 19

2. Si =a 3

y =

2

b 3 , entonces el valor de la expresión

2a b

a b

+

− es:

a) 1b) 8

c)43

d)117

e)207

3. Sean ( )+a 3 y ( )+b 2 dos números impares. ¿Cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) ⋅a b es un número divisible por 2.

II) +a b es un número impar.

III) −a b es un número primo.

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo I y IId) Sólo I y IIIe) I , II y III




4. Al reducir la expresión ( )− −⋅1 2 0,3 1,23 se obtiene el número:

a)9

10

b) 4730

c) −0,9

d) −0,89

e) −2,23

5. Si a ∈ » y < −a 1, entonces la(s) expresión(es) que es (son) siempremayor(es) a 1 es (son):

I) 2a

II) 3a III) − a

a) Sólo Ib) Sólo IIIc) Sólo I y IIId) Sólo II y IIIe) I , II y III

6. Si = −a 3 , = 2b a y −= 1c a , entonces el valor de la expresión+a bc

es:

a) 18− b) 2c) 9d) 18 e) 36




7. Si = ⋅ 4a 8 10 , entonces el valor de 2a es:

a) ⋅3 82 10

b) ⋅4 82 10

c) ⋅5 62 10

d) ⋅6 82 10

e) ⋅9 162 10

8. La expresión ( )

12 42

2n 2 1

2n2 nn

− −−

− + − ⋅ es equivalente a:

a)2

n2

b)2n

4

c)2n

12

d)25n

2

e) −2n

2

9. Al reducir la expresión ( )− + − −23 8 16 2 se obtiene:

a) 4b) 2c) 0d) −2

e) No se puede determinar en .




10. Al reducir la expresión−108 48

12se obtiene:

a) 1

b) 5 c) 2 3

d)3

2

e)3

3

11. Con $5.875 una persona compró 25 lápices, ¿cuánto pagará en total por llevar6 lápices más?

a) $ 235b) $ 1.410c) $ 6.110d) $ 6.345e) $ 7.285

12. La expresión que mejor representa la constante de proporcionalidad K, en lacual A es inversamente proporcional al doble de B y directamente proporcional

al cuadrado de C , es:

a)2AC

K2B

=

b)2

2ACK

B=

c)2

2ABK

C=

d)2AB

K

2C

=

e)22B C

KA

=




13. ¿Cuántos octavos de litros de agua se necesitan aumentar a34

3 litros para

obtener 4 botellas llenas de capacidad12

1 litro cada una?

a) 1

b) 2c) 4d) 9e) 18

14. El 25% del cuadrado de un número natural es 49, ¿cuál es la mitad de dichonúmero?

a) 7b) 14

c) 28d) 98e) 196

15. En un estanque que está vacío se depositan 400 litros de combustible y luegose extrae el 50%. A continuación, se depositan 400 litros más, extrayendo el25% de lo que queda, ¿qué porcentaje falta por llenar del estanque, si éstetiene una capacidad de 1.800 litros?

a) 1.350 ltb) 22,2 %

c) 25,0 %d) 33,3 %e) 75,0 %

SEGUNDA PARTEÁ L G E B R A

16. La expresión ( )22x 2x− es equivalente a:

a)4 2

x 2x− b) 4 2x 4x−

c) −4x 4x

d) 4 3 2x 4x 4x− +

e) 4 3 2x 2x 4x− +




17. Al reducir la expresión: ( ) ( )( ) ( ){ }a a 2a b 2 a b a b b a b − − − − + + − ,

se obtiene:

a) 2a b−

b) 2a b+ c) 2a 3b+

d) 2a b 2ab− +

e) 2 2a 2a 3b− −

18. Al factorizar la expresión 21 2x x− + , se obtiene que uno de sus factores es:

a) xb) ( )x 1+

c) ( )1 x−

d) ( )1 2x−

e) ( )− −1 2x

19. Si ( )A x y= + , ( )B x y= − y C 2x y= , entonces el valor de la expresión2 2B A

C

−es:

a) 0b) −1

c) 2−

d)yx

e) 22 y−




20. ¿Cuál(es) de los siguientes gráficos representa(n) la posición de un vehículo enfunción del tiempo?

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo I y IId) Sólo II y IIIe) I , II y III

21. La expresión 32

− =a

a se representa por la frase:

a) Un número a disminuido en su doble resulta 3.b) Un número a disminuido en su mitad resulta 3.c) Un número a disminuido en un medio resulta 3.d) Un número a disminuido en su mitad equivale a su triple.e) Un número a disminuido en su doble equivale a su triple.

22. La expresión algebraica que mejor representa a la frase: el cuadrado de lasuma entre la tercera parte de a y la mitad del sucesor de a, es:

a)2a 1

3a2+

+

b)2a 1

a3 2

+ +

c)2a a 1

3 2+

+

d)2a a

1

3 2

+ +

e)2 2a a 1

3 2+

+

t

dI )

t

dIII )

d

t

II )




23. Si el estanque de un automóvil tiene 15 litros y su capacidad total es de 50

litros, ¿cuánto dinero se necesita para llenar dicho estanque si se sabe que 12

litros de bencina cuestan $ 6.936?

a) $ 578b) $ 8.670c) $ 20.230d) $ 21.964e) $ 28.900

24. Un lápiz y una goma cuestan $520, la misma goma con una regla cuestan

$350 y un lápiz con una regla cuestan $650, ¿cuál(es) de las siguientes

proposiciones es (son) siempre verdadera(s)?

I) Un lápiz cuesta $ 410.II) La regla cuesta el doble de la goma.III) Un lápiz cuesta más que tres gomas.

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo IIId) Sólo I y IIIe) Ninguna de las anteriores.

25. Si el cuociente entre dos números naturales es 3 y el producto de ellosaumentado en 5 es 17, entonces la suma de los dos números es:

a) 2b) 4c) 6d) 8e) 12




26. Si la diferencia entre dos números es 4 y la mitad del doble del menor de ellosaumentado en 4 resulta el mayor, entonces se tiene que:

a) a 4= y b 0=

b) a 0= y b 4= −

c) 1a4

= y 15b4

= −

d)1

a2

= − y = −9

b2

e) Todas las anteriores.

27. Sean a , b , c , d∈ . Un sistema de ecuaciones del tipo:ax y c

x by d

+ =

+ =

puede tener como representación gráfica a:

I) Dos rectas que se intersectan en un punto.II) Dos rectas paralelas.III) Dos rectas superpuestas.

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo IIId) Sólo I y IIIe) I , II y III

28. Señale cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones se representagráficamente por:

a)x y

x 4

=

=

b)

x y

y 4

=

=

c)x 4

y 4

=

=

d)x y 8

x y 0

+ =

− =

e) Ninguno de los anteriores.

x

y

4

4




29. Al representar gráficamente el siguiente sistema de ecuacionesx y 8

x 3y 0

+ =

− =, la ordenada del punto de intersección entre ambas rectas es:

a) x 0=

b) x 6=

c) y 0=

d) y 2=

e) y 4=

30. El conjunto solución, en , de la ecuaciónx 3 2x 1 1 x−

=− −

es:

a) S = ∅

b) S =

c) { }S 1=

d) { }S 5=

e) { }S 1= −

31. El conjunto solución, en , de la ecuación 23x x 0− = es:

a) { }S 0=

b) { }S 3= c) { }S 3= −

d) { }S 0 , 3=

e) { }S 0 , 3= −

32. El conjunto solución, en , de la ecuación ( ) ( )− + =5 x x 3 12 es:

a) { }= −S 1, 3

b) { }= −S 7 , 9c) { }= −S 3 , 5

d) { }= − −S 3 , 5

e) { }S 1, 3=




33. Sea c ∈ . La ecuación 2x 4x c 0+ + = tiene dos soluciones reales ydistintas si:

a) c 4=

b) [ [c 4 ,∈ ∞

c) ] [c 4 ,∈ ∞

d) ] ]c , 4∈ −∞

e) ] [c , 4∈ −∞

34. Sea f : A B→ una relación, ¿cuál(es) de los siguientes diagramasrepresenta(n) a una función?

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo IIId) Sólo II y IIIe) I , II y III

35. Si una función f : A B→ está definida por ( ) xf x 2= , entonces su Dominio

es:

a)

b) +

c) 0+

d) { }0−

e) { }2−

BAf

BAf

BAf

I) II) III)




36. Si la función 0f :+→ está definida por ( )f x 2x 1= + , entonces su

Recorrido es:

a)

b) 0

+

c) { }1−

d) [ [1 ∞,

e)12

∞

,

37. Una persona tenía $ 24.000 y durante 11 meses ahorró una misma cantidadde dinero hasta obtener un total de $ 62.500, ¿cuánto dinero ahorró en lo tres

primeros meses?

a) $ 3.500b) $ 9.500c) $ 10.500d) $ 11.500e) $ 38.500

38. Si en una Progresión Geométrica (PG) de razón positiva se tiene que elsegundo y cuarto término son 6 y 24 respectivamente, entonces el primer

término de la PG es:

a) 2b) 3c) 4d) 2−

e) 3−

39. ¿Cuál de las siguientes progresiones representan una Progresión Aritmética yuna Progresión Geométrica respectivamente?:

a) 2 , 4 , 6 , 8 ,10… y 2 , 4 , 16 , 256…b) 2 , 4 , 6 , 8 , 10… y 2 , 4 , 8 , 16 , 32…c) 2 , 4 , 8 , 16 , 32… y 2 , 4 , 6 , 8 , 10…d) 2− , 4 , 6− , 8 , 10− … y 2 , 4− , 8 , 16− …

e) 2− , 4 , 6− , 8 , 10− … y 2 , 4− , 16 , 256− …




TERCERA PARTE G E O M E T R Í A

40. En la figura 1, si L es una recta, α = β , δ = γ y 45º=α + δ , entonces se

cumple que:

a) α = γ

b) x es un ángulo recto.c) x es un ángulo agudo.d) x es un ángulo obtuso.e) No se puede determinar el valor del ángulo x.

41. En la figura 2, si 1L y 2L son rectas paralelas, entonces el valor del x es:

a) 14°b) 28°c) 42ºd) 70ºe) 110º

42. En la figura 3, si 1 2 3L L L , 4 5 6L L L y 1L no es perpendicular a 4L ,

entonces siempre es verdad que:

I) 360º=α + β + γ + δ

II) α − β = δ

III) 180º=β + δ

a) Sólo Ib) Sólo IIc) Sólo I y IId) Sólo II y IIIe) I , II y III

Figura 1.

αL

β γ

δ x

Figura 2.

28º

2L

x

42º

1L

3L

4L Figura 3.

δ

2L

1L

5L 6L

β

α

γ




43. En la figura 4, si AB es diámetro de la circunferencia y L una recta tangentea ella en el punto B, entonces siempre es verdad que:

I) α = β

II) α es un ángulo recto.

III) α y β son suplementarios.

a) Sólo Ib) Sólo I y IIc) Sólo II y IIId) Sólo I y IIIe) I , II y III

44. En la figura 5, si CD y AE son alturas del triángulo ABC∆ , entonces el x

mide:

a) 20°b) 40°c) 50°d) 70°e) No se puede determinar.

45. En la figura 6, si ABC∆ es un triángulo rectángulo en C y CD es altura,entonces ¿cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) siempre

verdadera(s)?

I) ( )sen 1=β + γ

II) ( ) ( )sen sen=α β

III) ( ) ( )sen cos=β γ

a) Sólo Ib) Sólo I y IIc) Sólo I y III

d) Sólo II y IIIe) I , II y III

Figura 4.

Figura 5.

BA

C

D

E

20º

x

Figura 6.

β α

AB

C

D

γ

α

β

L

A

B




46. Si ( )α = −4

cos5

y 0º 180º≤ α ≤ , entonces el valor exacto de ( )αcosec

es:

a)3

5

b)53

c)54

d)53

−

e)54

−

47. En la figura 7, si ABC∆ es un triángulo rectángulo en C, [ ]AB 8 cm= y elBCD∆ es un triángulo equilátero, entonces el perímetro de este último es:

a) [ ]4 cm

b) [ ]12 cm

c) [ ]16 cm

d) [ ]48 cm

e) No se puede determinar.

48. En la figura 8, si AB AD⊥ y [ ]AB 10 cm= , entonces se tiene que el valor

exacto de AD es:

a)( )

[ ]10

cmtg 60º

b) ( ) [ ]10 tg 60º cm

c) ( )( ) [ ]10 tg 60º cm−

d) ( )( ) [ ]10 10 tg 60º cm−

e)( )

[ ]10

10 cmtg 60º

−

A B

C

D

45º

15º

Figura 8.

Figura 7.

A B

C D

30º




49. Si las figuras siguientes están construidas sobre la base de un cuadrado delado a, al que se le han extraído rectángulos, entonces ¿cuáles tienen igualperímetro entre sí?

a) Sólo I y IIb) Sólo I y IIIc) Sólo II y IIId) I , II y IIIe) Todas son de distinto perímetro.

50. En la figura 9, si ABCD es un cuadrado de lado [ ]8 cm y BC es el diámetro de

la semi-circunferencia, entonces el área de la figura achurada es:

a) 256 cm

π

b) ( ) −

π 28 8 cm

c) ( ) −

π 22 32 cm

d) ( ) −

π 216 8 cm

e)( )

−

π

264 4 cm

51. En la figura 10, si el volumen del cilindro de altura [ ]6 cm es 354 cm

π ,

entonces el diámetro de su base es:

a) [ ]3 cm

b) [ ]6 cm

c) [ ]9 cm

d) [ ]18 cme) [ ]4,5 cm

Figura 9.

Figura 10.

A B

CD

I) II) III)




52. Sean 1 : x y z 6 0+ + − =π y 2 : x y 2z 3 0+ − + =π las ecuaciones de dosplanos en el espacio. La intersección de ellos es:

a) El punto ( )2,1,3

b) El plano z 3 0− =

c) El plano y z 4 0+ − = d) La recta x y 3 0+ − =

e) La recta x z 5 0+ − =

53. La ecuación del plano 1π que pasa por el punto ( )1, 0 , 3 y que es paralelo al

plano de ecuación 2 : 2x 3y 4z 5 0− + − =π , está dada por:

a) 1 : x 3z 5 0+ − =π

b) 1: x 3z 14 0+ − =π

c) 1: x y z 4 0+ + − =π

d) 1: 2x 3y 4z 12 0− + − =π

e) 1: 2x 3 y 4z 14 0− + − =π

54. La recta 1L que pasa por el punto ( )1, 1, 1− y que es paralela a la recta

2x 1 y z

L :

3 2 4

−= = − , tiene como ecuación:

a) 1x 1 y z

L :1 1 1−

= = −−

b) 1x 1 y 1 1 z

L :3 2 4− + −

= =

c) 1x 1 y 1 z 1

L :3 2 4− + −

= =

d) 1x 1 y 1 z 1

L :3 2 4+ − − −

= =

e) 1x 1 y 1 z 1L :3 2 4+ − +

= =




CUARTA PARTEE S T A D Í S T I C A Y P R O B A B I L I D A D E S

55. La tabla 1, muestra una distribución de frecuencias de las estaturas de un

grupo curso en metros.

Intervalos de Clase Marca de Clase Frecuencia Absoluta

[ [1,55 - 1,63 1,59 3

[ [1,63 - 1,71 1,67 7

[ [1,71 - 1,79 1,75 6

[ ]1,79 - 1,87 1,83 6

Tabla 1.

La marca de clase del intervalo modal es:

a) 1,63b) 1,67c) 1,71d) 1,79e) 1,83

56. A partir de la tabla 1, se puede determinar que la marca de clase del intervalo

mediano es:a) 1,59b) 1,67c) 1,75d) 1,83e ) Ninguna de las anteriores.

57. La media de los números 1, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 12 es:

a) 1

b) 3c) 5d) 12e) 45




58. La probabilidad de sacar un as de un naipe inglés de 52 cartas, al extraer unaal azar es:

a) 1b) 4

c) 51d)

113

e)1

52

59. La probabilidad de obtener un número mayor que 4 al lanzar un dado es:

a) 1b) 2

c) 3d)

12

e)13

60. De una caja que contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 4 azules se extrae una alazar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta no sea blanca?

a) 6

b)

1

9

c)13

d)23

e)67




MATEMÁTICAS

RESPUESTAS CORRECTAS

1. a 31. d2. e 32. a

3. c 33. e4. c 34. d5. c 35. a6. a 36. d7. d 37. c8. a 38. b9. d 39. b10. a 40. b11. e 41. d12. c 42. a13. e 43. e

14. a 44. a15. e 45. c16. d 46. b17. a 47. b18. c 48. e19. c 49. b20. e 50. b21. b 51. b22. c 52. d23. c 53. e24. d 54. b25. d 55. b26. e 56. c27. e 57. c28. a 58. d29. d 59. e30. a 60. d

Mate Ma Tic A

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