MATE Lectura 4

Módulo 4

Unidad 4

Ecuaciones

Curso de nivelación de Matemática

Prof. Lic. Valenzuela María Alejandra

Materia – Profesor | 2

4.1 Introducción

Una de las herramientas más poderosas de la Matemática son las ecuaciones; ellas nos trasladan de una realidad concreta a un mundo de simbolismo. Cuanto más seguros manejemos ese mundo de símbolos más útil nos resultará como aplicación a la realidad concreta. Utilizaremos las propiedades de los números reales, el concepto de función y expresaremos conjuntos como solución de las ecuaciones. Su concepto es simple pero la destreza en resolverlas es clave para completar la aprehensión de ellas.

“Transeúnte, ésta es la tumba de Diophante: es él quien con esta sorprendente distribución te dice el número de años que vivió. Su juventud ocupó su sexta parte, después durante la doceava parte su mejilla se cubrió con el primer vello. Pasó aún una séptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco años después, tuvo un precioso niño que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereció de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorándole durante cuatro años.

De todo esto, deduce su edad. "1

Antes de presentar la definición de ecuación, resolvamos este desafío para ver en qué nos pueden ayudar las ecuaciones para simplificar esfuerzo.

Desafío 1

Identifica el área del triángulo obtenido de la intersección de las rectas

y= 2

3x+3 ,y= -

2

3x+3 , y=0

1 http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/14/historia.html


Para hallar las coordenadas del punto A sólo necesitamos usar el concepto de ordenada al origen visto en el módulo 3. ¿Cómo hacemos para reconocer las coordenadas de los puntos B y C (sin mirar la gráfica)?

4.2 Ecuaciones lineales

Antes de definir qué es una ecuación lineal aclaremos algunos conceptos previos necesarios.

Igualdad numérica

2

1- 2542

2

21

(7-3) – 1= 4

1

Igualdad algebraica a(b+c)= ab +ac

x 2 – 4= 0

ECUACIÓN

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Las letras de las expresiones algebraicas son llamadas variables. Si sustituimos las letras por valores numéricos puede transformar o no en una igualdad numérica

Ejemplo

3212 xx

Primer

miembro

Segundo

miembro

Incógnita


Las variables que aparecen en la ecuación se llaman incógnitas y los miembros de la ecuación son las dos expresiones algebraicas que la definen.

IDENTIDAD ALGEBRAICA

Una identidad algebraica es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que es verificada por cualquier valor que asuman sus variables.

Ejemplo

Todos los números reales verifican:

Esta identidad es conocida como la fórmula del cuadrado del binomio.

Resolver una ecuación consiste en hallar todos los valores de la incógnita que producen una igualdad numérica entre los dos miembros de la ecuación. Estos valores se llaman solución de la ecuación.

Ecuaciones equivalentes: Se dice que dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

4.2.1 Ecuación lineal con una incógnita

Una ecuación lineal con una incógnita es una ecuación de la forma:

ax + b =0 a y b números reales

También se reconoce a una ecuación lineal con una incógnita cuando la expresión algebraica es entera con una incógnita de exponente 1.

Recordemos que una expresión algebraica entera es una expresión matemática donde aparece letras y números junto a las operaciones suma, resta, multiplicación y potenciación

Ejemplos:

(x+y) 2 = x2 + 2xy + y2

Incógnitas


5x-3=0 Es una ecuación lineal con incógnita

x

3a+2= 5 a -2 Es una ecuación lineal con incógnita

a

01

1

x

No es una ecuación lineal porque

aparece una división

0232 xx No es una ecuación lineal porque la

incógnita aparece con exponente 2

Resolución de las ecuaciones lineales

Para resolver una ecuación lineal se utiliza la propiedad uniforme de los números reales que dice:

a=b a+c= b+c cR

a=b a.c =b.c cR c 0

Esta propiedad nos dice que cuando tenemos una igualdad si sumamos (restamos) a ambos términos la misma cantidad la igualdad permanece, también si multiplicamos (dividimos) por un número no nulo la igualdad se mantiene.

Ejemplos

Primer paso:

2x+8 = 6

-8 Restamos a ambos

miembros 8

-8

2x = -2

Segundo paso:

2x = -2

2

1.

Dividimos a ambos

miembros por 2

(multiplicamos por ½) 2

1.

x = -1

Lo que hace la propiedad uniforme es transformar, a través de las dos operaciones elementales, nuestra ecuación en otra ecuación equivalente.


El proceso se llama “despejar x”. Resolver una ecuación significa “aislar” a la x en un miembro para encontrar el valor solución en el otro miembro. Muchas veces se utiliza el argumento “lo que es positivo pasa negativo” que lleva a equivocaciones en la resolución, pues lo que en realidad se hace es: lo que está “sumando” lo paso “restando”(o al revés) y lo que está “multiplicando” lo paso “dividiendo” (o al revés).

Verificación:

Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el resultado obtenido es verdaderamente la solución. Para ello se reemplaza el valor en la x de la ecuación.

Ejemplo.

Verifiquemos nuestro resultado en la ecuación 2x+8=6

2 .(-1) +8 = 6

-2+8 = 6

6 = 6 ¡ correcto !

Más ejemplos

4x+4=x-5

4x-x+4=-5

3x+4=-5

3x=-5-4

x= - 3

En este caso tenemos dos términos con x.

Necesitamos combinar estos términos en

un solo término con x.

Aquí procedemos de manera usual

Verificación

4(-3)+4=(-3)-5, -12+4=-3-5, -8=-8 OK

7(x-2) +2x-1=5-x

7x -14+2x-1=5-x

9x-15= 5-x

9x+x=5+15

10 x= 20

x=20/10

x= 2

Algunas veces tenemos varios términos con

x en el mismo miembro. Primero

resolvemos en este término combinando

todos los términos en x y todos los

números.

Luego se continúa como el ejemplo

anterior.

Siempre se llega a la forma ax+b=0 ó ax = -

b


Verificación

7 (2-2) +2(2)-1= 4 –(2), 7 .0 +4-1=5-2,

3=3 OK

x/2 –x/3+1/2=- x/6 +3/2

x/2-x/3 +x/6= 3/2 -1/2

2

2

6

23

xxx

2x/6 = 1

x/3=1

x= 3.1

x=3

Esta ecuación es un ejemplo como el

anterior pero nos disgusta más porque

debemos trabajar con fracciones. En este

caso se empieza “juntando las x” en un

miembro y los números en el otro

miembro.

Luego podemos trabajar con el

denominador común (también podemos

usar calculadora)

Verificación

(3)/2-(3)/3 +1/2= - (3)/2 +3/2 ,

0=0

4.2.2 Soluciones de la ecuación lineal

Una única solución

3(x-1) = 2x+5

3x-3= 2x+5

3x-2x= 5+3

x= 8

S={8}

Infinitas soluciones

3(x-1) = 3x -3

3x-3= 3x-3

3 x-3 x= -3+3

0x=0

S= R

En este caso se obtuvo 0=0, eso significa que no importa cuál es el valor de la x que siempre se llega a una igualdad (la x “desparece”).


Por eso decimos que el conjunto solución es el conjunto de todos los números reales.

Ninguna solución

3 ( x-1) = 3x+2

3x-3= 3x +2

3x-3x= 2 +3

0x= 5

S= { }=

En este caso se obtuvo 0 =5 que no es una igualdad numérica, es un absurdo. Como aquí también la x desaparece pero no se llega a una igualdad significa que ningún valor de x verifica la ecuación.

Por eso decimos que el conjunto solución es el conjunto vacío.

4.2.3 Raíces de la función lineal

En el desafío 1 se nos presenta la necesidad de saber con exactitud la abscisa del punto B y del punto C, pero estos puntos se encuentran sobre el eje x, es decir sabemos que su ordenada “y” vale cero.

La raíz o cero de la función lineal es la x que verifica f(x)=0

Resulta que hallar la raíz o cero de una función lineal es equivalente a resolver una ecuación lineal (de ahí su nombre).


4.3 Sistemas de ecuaciones lineales

Cuando resolvemos una ecuación lineal con una incógnita, nuestro problema se reduce a buscar el valor de un número que cumpla ciertas restricciones. Pero muchas veces nos encontramos con problemas mayores donde hay numerosos valores que deseamos conocer, con diferentes restricciones.

Antes de definir un sistema de ecuaciones lineales vamos a intentar pensar el siguiente desafío como introducción al tema.

Desafío 2

Identifica el área del triángulo obtenido de la intersección de las rectas

y= x

y= -x+2

y=0

Si realizamos su gráfico es fácil ver en el papel cuáles son las coordenadas del punto A. Pero ¿cómo podemos hallar sus coordenadas con exactitud?

4.3.1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x,y es

un sistema de la forma:


feydx

cbyax , fedcba ,,,,, R

Resolver un sistema es encontrar un valor para la x y otro valor para l y

que verifiquen las dos ecuaciones simultáneamente

Ejemplo

2xy

xy En este caso si pasamos las x al otro lado de la igualdad

tenemos:

2

0

yx

yx siendo a =-1 , b =1, c =0, d =1 , e=1, f =2

4.3.2 Métodos de resolución de sistemas

Método de sustitución

El método consiste en eliminar unas de las variables sustituyéndola en una

ecuación. La idea es tomar una ecuación y hacer que una de las variables

“absorba” a la otra y luego utilizando la ecuación restando suplantar la

variable que “absorbe”.

Ejemplos

1)

2xy

xy

)2(

)1(

De la ecuación (1) tenemos la y escrita en función de la x. La y “absorbe” a la

x.

y=x

Luego sustituimos en la ecuación (2) a la y por su equivalente:

(x)=-x+2

Resultando así una ecuación en una sola variable. Resolvemos esta

ecuación:

x+x=2

2x=2

x= 2/2

x=1

Finalmente volvemos a la (1) y reemplazamos a la x por el valor 1


y= (1)

La solución buscada es S= {(1,1)}

2)

64

823

yx

yx

)2(

)1(

Para evitar a las fracciones, podemos empezar tomando la ecuación (2) y

despejando de ella la variable x. Nos quedaría

-x= -4y - 6

x= (-1).(-4y +6)= 4y +6

Sustituimos ahora a la x obtenida en la ecuación (1),

3 (4y +6) - 2y=8

Propiedad distributiva:

12y + 18 -2y = 8

Y resolvemos a la ecuación con una sola incógnita “y”

10y= -10

y= -10/10

y= -1

Para terminar volvemos a la expresión de x que “absorbe” a la y,

sustituyendo el valor de y hallado:

x= 4(-1) +6= 2

la solución al sistema es:

S={(2,-1)}

Método de Igualación

El método consiste en eliminar una de las variables igualándolas en una

ecuación.

Se despeja una de las variables en la primera ecuación, por

ejemplo, la y.

Se despeja la misma variable en la segunda ecuación.

Se igualan las dos expresiones obtenidas resultando una

ecuación lineal en una variable x.

Se resuelva esta ecuación, hallándose un valor para x


Se sustituye el valor encontrado en el paso anterior en

cualquiera de los dos primeros pasos.

Ejemplos

Resolvamos los dos sistemas anteriores pero utilizando ahora el método de

igualación.

1)

2xy

xy

En la primera ya tenemos despejada la y: y=x

En la segunda también ya tenemos despejada la y: y= -x+2

Igualando las y de las dos expresiones obtenemos

x =-x+2

es una ecuación lineal con incógnita x. Resolvemos:

x+x= 2

2x=2

x=1

Volvemos con este número a cualquiera de las dos primeras ecuaciones y

obtenemos y=1

Que es la misma solución que obtuvimos por el método de sustitución.

2)

64

823

yx

yx

Empezamos despejando la y de la primera ecuación:

-2y= 8 -3x

y= -8/2 + 3/2 x

Despejamos y de la segunda ecuación:

4y = -6 +x

y= -6/4 + x/4= -3/2 + x/4

Igualamos

-8/2 + 3/2 x = -3/2 + x/4


Nos quedó una ecuación lineal con una incógnita x. Resolvemos,

3/2 x - x/4 = -3/2 + 8/2

(6x-x)/4 = 5/2

5x/ 4 = 5/2

x= 5

4

2

5

x= 2

Reemplazamos este valor en cualquiera de las dos primeras

y= -8/2 + 3/2 . (2)

y= -4 +3=-1

que es la misma solución que obtuvimos por el método de sustitución.

Método Gráfico

Otra forma de resolver los sistemas de ecuaciones lineales con dos

incógnitas es utilizar las herramientas gráficas vistas en el módulo de

función lineal.

Toda ecuación del tipo, ax+by=c , representa una recta. Efectivamente si

b 0, podemos despejar la y de la ecuación en función de la x,

by= c –ax

y= c/b – a/c x

que es la ecuación de una recta con pendiente –a/c y ordenada al origen

c/b.

Si b=0 la ecuación ax=c, representa a la recta vertical (no es función) x= c/a

Por eso un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas representa

gráficamente dos rectas en el plano cartesiano xy. La solución del sistema,

si existe, es el conjunto de coordenadas del punto intersección de las

mismas (o los puntos de intersección de las mismas).

Ejemplos:

Utilizando los mismos ejemplos para los dos métodos anteriores vemos que

el ejemplo 1 tiene como gráfico el gráfico del desafío 2.


1)

2xy

xy

)2(

)1(

La ecuación (1) es una recta con pendiente 1 y ordenada al origen 0.

La ecuación (2) es una recta con pendiente -1 y ordenada al origen 2.

Graficamos en un mismo sistema cartesiano y vemos que las coordenadas

del punto intersección son (1,1). Eso significa que x=1 e y=1 son las

soluciones buscadas, coincidiendo con los otros métodos.

Para hallar con exactitud el valor de la solución este método no es muy

apropiado ya que puede haber errores en la precisión del gráfico, además de

no ser muy práctico. Pero este método nos orienta a la existencia o no de

solución o soluciones. Por el análisis gráfico de los sistemas podemos

clasificar a los mismos.

4.3.3 Clasificación de los sistemas de ecuaciones

lineales según sus soluciones

De acuerdo a las posibles relaciones de dos rectas en un mismo plano

cartesiano podemos clasificar a los sistemas de dos ecuaciones lineales con

dos incógnitas como:


Sistemas compatibles

determinados.

Tienen una única solución S={ (x0,y0)}

Dos rectas que se intersecan en un

punto A de coordenadas ( x0,y0)

Sistemas compatibles

indeterminados.

Tienen infinitas soluciones

Gráficamente parece una única

recta pero en realidad hay una

superposición de las dos rectas.

Son dos rectas coincidentes. Todos

sus puntos forman la intersección

de ellas.

Sistemas Incompatibles

No hay solución

Dos rectas paralelas NUNCA se

cortan. No tienen puntos en

común

Problemas

Hay muchas situaciones de la vida diaria que tiene como modelo

matemático a las ecuaciones lineales. Uno de los mayores desafíos no sólo

para los estudiantes sino para los profesionales es “traducir” el lenguaje

cotidiano a la expresión matemática. Logrado el modelo, se pueden aplicar

técnicas de resolución, como las vistas en los sistemas de ecuaciones

lineales, para hallar una solución a la problemática concreta. Como

ejercitación al tema nos vamos a encontrar con problemas a resolver.

Tengamos en cuenta los siguientes pasos para ejecutar la resolución de los

mismos:

A= (x0,y0)


1. Leer y releer tantas veces como sea necesaria las consignas hasta

que se comprenda los enunciados.

2. Extraer datos de los enunciados

3. Identificar la/s incógnita/s

4. Traducir al lenguaje simbólico

5. Unir el paso 2 ,3 y 4 para plantear la ecuación correspondiente

6. Resolver y verificar el resultado

Algunos ejemplos de traducción

Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

La suma de dos números x+y

El doble de un número 2x

El consecutivo de un número x+1

La tercera parte de la diferencia de

dos números 3

yx

La suma de dos números pares

consecutivos

2x+ (2x+2)

Otra ayuda para esta traducción es entender dónde está el signo “igual”.

Ejemplos:

1. La suma de tres números consecutivos es igual al cuádruplo del

menor de los tres números.

Obviamente aquí el verbo indica dónde está el igual:

x + (x+1) + (x+2) = 4 x

2. La suma de dos números excede en 10 unidades al producto de

ellos

Aquí el verbo excede equivale al igual

x +y = xy + 10

3. El valor de y representa el 10% el valor de x

Aquí el verbo representa significa es igual


y = 0,10 x

4.4 Ecuaciones Cuadráticas

Una función de la forma cbxaxxf 2)( con 0a se llama función

cuadrática y su gráfica en el plano cartesiano es una curva llamada

parábola.

Ejemplo: 2( ) 2 3f x x x

Los puntos donde la curva corta al eje de las abscisas x son los ceros o raíces

de la función. Esos puntos tienen ordenadas y =0 por eso para calcular

cuáles son las raíces se debe plantear la ecuación:

cbxax 20

llamada ecuación cuadrática.

4.4.1 Resolvente.

La fórmula de cálculo para resolver la ecuación es:


2 4

2

b b acx

a

donde los signos implica utilizar la fórmula dos veces: una sumando y la

otra, restando. Esta fórmula es conocida como la resolverte de la ecuación

cuadrática.

Ejemplo:

Hallar las raíces de la ecuación 22 3 0x x . En este caso a= 2,b= -1 y c=

-3.

2

2

4

2

1 1 4.2.( 3)

2.2

1 1 24

4

1 25

4

1 5

4

1 5 1 5y

4 4

b b acx

a

x

x

x

x

x x

6 4y

4 4

3y 1

2

x x

x x

Encontramos dos soluciones reales y distintas.

Casos especiales

Aunque para resolver la ecuación cuadrática contamos con la fórmula de la

resolvente, no siempre es necesario utilizarla.

Ejemplos:

a. Hallar las raíces de la ecuación 2 25 0x . En este caso, podemos

despejar la incógnita:


2

2

25 0

25

25

5

x

x

x

x

Encontramos dos raíces reales y distintas, una x= 5 y la otra x=-5, sin

necesidad de utilizar la fórmula de la resolverte.

b. Hallar las raíces de la ecuación 22 4 0x x . Sacamos factor común

2 x y obtenemos 2 ( 2) 0x x . La ecuación es un producto de dos

factores igualados a 0. Esto implica que al menos uno de ellos es

igual a 0.

Si el primer factor es igual a 0, obtenemos:

2 0

0

x

x

Si el segundo factor es igual a 0:

2 0

2

x

x

Luego los valores 0 y 2 son las raíces de la ecuación cuadrática.

4.4.2 El discriminante

Puede suceder que al aplicar la resolvente la raíz cuadrada se tenga que

calcular a un número negativo o al cero. En ese caso o no existiría ninguna

solución o existiría una única solución.

Llamamos discriminante de la ecuación cuadrática a la expresión que se

halla bajo la raíz cuadrada de la resolvente:

= acb 42

Se simboliza con la letra griega “delta”

Luego, para una ecuación cuadrática cualquiera, los casos que se pueden

presentar para el discriminante son:


>0

Hay dos raíces reales distintas

En este caso la parábola corta al eje

x en dos puntos.

=0

Hay una única raíz real

En este caso la parábola corta al eje

x en un único punto, su vértice

<0

No hay raíces reales.

La ecuación tiene raíces complejas y

conjugadas

En este caso la parábola no corta al

eje de las x.


Bibliografía Lectura 4

Apostol, Tom M.,(1982) “Calculus”, Argentina, Editorial Reverté S. A.

Cugno, Haydeé, (2009)” Curso de Nivelación en Matemática”. Universidad Empresarial Siglo 21.

Haeussler Ernest F, Jr, Paul Richard S., Wood, Richard J.,(2008),”Matemáticas para administración y Economía”, México, Pearson, Prentice Hall.

Lopez, Antonio Roberto, (1984) “Matemática Moderna 1, 2, 3 y 4”, Buenos Aires, Editorial Stella.

Tarzia D. A, (2000) “Curso de nivelación de Matemática", Santiago de Chile, McGraw-Hill Interamericana.

http://www.regentsprep.org/Regents/math/ALGEBRA/math-

ALGEBRA.htm#Equations_and_Inequalities__

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm1.html

http://www.ing.unp.edu.ar/matematica/Modulos/Unidad_2.PDF

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