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    CEIPRU

    CENTRO DE INSTRUCCIN PROFESIONAL UNIVERSITARIA

    MATEMTICA V

    SABANA GRAMDE: Final Calle Villaflor Edif. La Roca, Piso 5, Of. 5-A Tlf. 761 23 99 / 415 99.18 / 0414 -229-2036

    1

    OBJETIVO # 1

    1)

    Determinar si la serien Ln n

    nn

    3

    11

    es convergente.

    2) Determinar si la serie1

    7 6 2331

    n nn

    es convergente.

    3) Determine todos los valores de b > 0, (si los hay), para los cuales converge la serie

    Ln(n)

    n=1

    b

    Recuerdeque x = eLn(x)

    4) Estudiar la convergencia de la serie

    1

    2

    2 n Ln n

    n

    .

    5)

    Como se comporta la siguiente serie:

    n

    n

    n

    n!*2 converge o diverge

    6)

    Estudie, para cuales valores de p, la serie converge o diverge

    n

    nn=1

    p (n!) con p 0n

    .

    7) Determine si las siguientes series son convergentes:

    a)n=1

    1.4.7....(3n 2)

    2.4.6....2n

    b) n(n + (-1) )

    n = 0

    1

    2

    8) Determine la convergencia o divergencia de la serie 2 1 2 1

    3 11

    n n

    n

    n

    .

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    2

    9) Estudiar la convergencia de la serie Cosn

    n nSen

    n nn

    2 1 1

    2 2

    1

    .

    10)

    Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la siguiente serie ( )

    1 1 11

    nn

    n

    Ln

    11) Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las series :

    a) ( )

    1 13

    5

    1

    n

    n

    n

    n b) ( )

    1 13

    1

    n

    n

    n

    n .

    12)

    Determine si las siguientes series convergen: a)1

    2

    1 n n

    n

    b)n

    e nn

    n

    5

    5 3

    1

    2

    .

    13)

    Estudiar la convergencia absoluta y condicional de la siguiente serie ( )

    1 11

    nn

    n

    Tg

    14) Estudiar la convergencia absoluta y condicional de las siguientes series :

    a) ( )n Sen

    n n

    n

    n

    n

    2

    5 6

    2 1

    2

    1

    b) ( )

    1 12

    1

    n

    n

    n

    n

    n .

    15)

    Determine si la serie1

    9 621

    n nn

    converge.

    16)

    Determine si la serie8 7

    1

    2

    2

    1

    n

    e nnn

    ( ) converge.

    17) Determine si la serien n n n

    nn

    2 2

    1

    1 1

    es convergente.

    18) Dadas las siguientes series numricas: a) nn

    n

    2

    3

    11

    b)15 6

    2

    1n n

    n

    .

    Determinar la convergencia o la divergencia de las mismas. En caso de que haya convergencia, calcule la suma

    19) Estudiar la convergencia o divergencia de la serie1

    5 41

    nn

    .

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    3

    20) Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes: a)

    n

    nn

    !

    !

    2

    12

    b)1

    1e

    n

    n

    .

    21)

    Calcule la suma de la siguiente serie numrica

    1

    8 1521

    n nn

    .

    22) Determinar si la serie ( )2 1 3 1

    2 11

    n n

    n

    n

    es convergente.

    23) Determine si la serie1

    5 4

    2n Ln n

    n( )

    converge.

    24)

    Determine si la serie 11

    2

    2 n n

    n

    converge.

    25)

    Determine si la siguiente serie converge o diverge

    n 1

    2n=1

    2n( 1)

    4n 3

    26) Determinar si la serie5 13 2

    5

    1

    n n n

    nn

    converge.

    27) Para qu valores enteros positivos k la serie2

    n=1

    (n!)

    (k n)!

    converge?

    28) Estudiar la convergencia de la serie ( )

    1 11

    nn

    n

    Sen .

    29) Estudie la convergencia o divergencia de la siguiente serie

    pn 3

    1

    n Ln(n) (Ln(Ln(n)))

    con p > 0.

    30) Calcule( )

    12 11

    n

    n

    n

    . Sugerencia: Use el ejercicio anterior, tomando: an

    n

    n

    ( )1

    2 .

    31) Determine si la serie:

    1

    6 2n Ln n( ) es convergente

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    4

    32) Use el criterio de la razn (cociente) para establecer la convergencia de la serie.

    ..................2

    1

    22

    4

    2

    3

    2

    2 2

    4

    2

    3

    2

    2

    2

    n

    n

    33) Estudiar la convergencia absoluta o condicional de la serien

    n 1

    ( 1)

    n 3

    .

    34) Aplique el criterio que ms le guste para establecer la convergencia o divergencia de la serie:

    1+ ...............432

    222 321

    35) Determine la convergencia o divergencia de la serien

    n 1

    1 n

    n! a

    con a > 0.

    Recuerde,

    n

    n n 1n

    n 1 1 n!

    lim e yn e (n 1)

    OBJETIVO # 2

    36) Determinar el dominio de convergencia de la serie ( )( )

    11

    4

    2 1

    2

    1

    n

    n

    n

    x

    n .

    37)

    Halle el radio y el intervalo de convergencia de la serie k x k

    k

    ! ( )

    101

    .

    38) Determine el intervalo de convergencia de la serie de potencian 1 2 n

    n 0

    4 . x

    n 3

    .

    39) Encuentre el radio de convergencia de la siguiente serie de potencias:

    10 + 100x2 + .+ 10nxn +

    40)

    Encuentre la serie de MacLaurin de f(x) = sen ( x6

    ).

    41) Calcule la integral

    0 ,5

    2

    0

    cos(x ) dx

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    5

    42) Sea f(x) =Sennx

    nn

    3

    1

    x R . Verificar que f(x) = Cosnxnn

    2

    1

    , x R .

    43)

    Determine si la serie

    n

    enxn

    1 converge uniformemente en el intervalo [1 , +) .

    44) Sabiendo que la serie n

    n 1

    x

    converge uniformemente para x r < 1, pruebe que la serien

    n 1

    x

    n

    converge

    uniformemente para x r < 1 y quen

    n 1

    x 1Ln

    n 1 x

    .

    45) Expanda (desarrolle) el polinomio f(x) =x3 - 6x+2 en potencias de x-2 (alrededor de x=2). Use la expans

    para calcular f(2,003).

    46)

    Determine si la serie de funcionesCosnx

    enx

    n

    0

    converge uniformemente en el intervalo [a ,+ ), donde a

    R+.

    47)

    Calcular el radio de convergencia y el intervalo de convergencia de la serie

    n 1 n

    n=1(2 n) x

    48)

    Sea f xe

    x nn

    n x

    ( )

    2 2

    2 2 , n =1,2,3, ... y x R . Verificar si la siguiente relacin es cierta:

    f x dx f x dxnn

    n

    n

    ( ) ( )

    11 1

    1

    4 4

    .

    49)

    Demostrar que la serie funcional

    e

    n Ln n

    n x

    n

    ( )2

    2 converge uniformemente en (-, +) .

    50) Verificar que la seriex e

    x

    n

    n2

    0

    converge uniformemente en el intervalo [0 , Ln 2] .

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    6

    Pruebe que:x e

    dx

    x

    n

    n

    Ln

    20

    0

    2

    = - 2 + Ln 16 .

    51) Hallar el desarrollo de Taylor alrededor del punto a = 0 de la funcin f xLn x

    x( )

    ( )

    1

    1,

    Con x 1 .

    52) Encontrar la serie de Taylor para la funcin f(x) = Sen x en potencias de x 6

    .

    53) Determine si la seriex

    x

    x

    x

    x

    x

    2

    3

    2

    3

    2

    31

    2

    8

    3

    27

    . .. es uniformemente convergente en el intervalo [0 , R]

    54)

    Calcular el radio y el dominio de convergencia de la seriex

    n n n

    n

    n( )( )

    1 21

    .

    55) Sea f(x) = n Cos nxn

    n

    31

    x R . Verificar que f(x) =

    Sennx

    nn

    2

    1

    .

    56) Determine el dominio de convergencia de la serie1

    2 5 3 2 11

    1

    n

    n

    nn

    x

    ( ) .

    57) Analizar la convergencia de la serie funcional1

    1 2

    1

    x

    n

    n

    .

    58)

    Sea a un nmero real negativo. Determinar si la serie de funciones1 2

    1

    Cos nxenxn

    es uniformeme

    convergente en el intervalo [a , 0) .

    59)

    Dada la funcin f(x) =x

    )x(senpara x 0, y f(0) = 1.

    a)

    Halle la serie de Taylor de la derivada de la funcin f, centrada en x0= 0.

    b)

    Evale en x = la serie hallada en la parte (a), para calcular el valor de la serie

    1n

    1n2

    1n

    )!1n2()n2()1(

    AYUDA: Utilice el desarrollo en serie de Maclaurin de la funcin g(x) = sen(x).

    60) Calcular la integral1

    2

    1

    2

    0

    ex dxx

    .

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    7

    61)

    Determinar el dominio de convergencia de la serie de potencias:

    1 3 3 3 32 3 4 5 1 1

    x x x x x x x xn n n

    ... .

    62) Hallar la serie de Taylor de la funcin f(x) = Ln x1 2 .

    63)

    Analizar la convergencia uniforme de la siguiente serie de funciones1

    2 110

    n

    nnx

    .

    64) Calcular le radio y el intervalo de convergencia de la serie xx x x

    3 5 7

    3 3 5 5 7 7. ! . ! . !...

    65)

    Determine el dominio de convergencia de la serie( )3 4

    3 40

    x

    n

    n

    n

    .

    66) Determinar el dominio de convergencia de la serie ( )( )

    x

    n

    n

    n

    n

    1

    2 3 11

    .

    67) Determinar el dominio de convergencia de la serie( )x

    n

    n

    n

    n

    3

    4 21

    .

    68) Determine un desarrollo en x que permita aproximar el valor de , usando los cinco primeros trminos

    del desarrollo .

    69) Calcular el radio de convergencia de la serie de potencias( !)

    ( )!

    n

    kn x

    k

    n

    n

    1

    donde k es un entero positivo.

    70) Calcular el intervalo de convergencia de la serie: ( )( ) ( ) ( )

    ...xx x x

    11

    2

    1

    3

    1

    4

    2 3 4

    .

    71) Dada la serie: Sen n x

    nn

    3

    2

    1

    Puede la derivada (en caso de que exista) de la funcin: f x Sen nnn

    ( )

    3

    2

    1

    , ser representada por la serie de las derivadas de los trminos de f(x)?

    72) Encuentre el desarrollo en serie de TAYLOR de la funcin

    f(x) = cosx alrededor de x=3

    .Use el desarrollo para calcular cos61.

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    8

    73) Dada la serie x- .......)12(

    )(.....53

    1253

    1

    r

    xxx r

    r

    Halle la regin de convergencia y el radio de convergencia.

    74)

    Obtenga la serie de Maclaurin de f(x) =(1-x)-2

    75) Calcular el radio de convergencia de la serie( )!

    ( )!

    2

    30

    n

    n xn

    n

    .

    76) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 4, definida mediante la relacin f(t) = t2+ 4 c

    2 < t 2.

    77) Demuestre que la serien

    n 1

    cos (x)

    n

    con x 3

    44,

    converge uniformemente en ese intervalo.

    78) A partir del desarrollo en serie de Mac Laurin de ln(1+x) obtenga la suma de la siguiente serie.

    1n

    12n

    12n

    x .

    79) Calcule la integral

    41 x

    4

    0

    1 ed x

    x

    .

    80) Halle los nmeros reales x tales que la serie 3 n

    n 0

    (x 2)

    sea convergente .

    81) Encuentre el radio de convergencia de la serie de potencia zn

    n

    n !

    1

    2

    OBJETIVO # 3

    82) Considere la funcin definida por: f x x con( ) ; 3 x

    Grafique la extensin peridica de f . Desarrolle la serie de Fourier de la funcin f .

    Analizar la convergencia de la serie de Fourier de f .

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    9

    83) Desarrollar en serie de Fourier de cosenos la funcin f x

    x si x

    x si x

    ( )

    0 4

    8 4 8

    .

    84)

    Sea f: R R , la funcin definida por: f(x) = Sen x . Hallar la serie de Fourier de f.

    85)

    Halle la serie de Fourier de cosenos para la funcin

    f(x) =1

    x si 0 x 12

    .

    86)

    Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 10, definida por:

    f t

    si t

    t si t

    t si t si t

    ( )

    0 5 1

    1 0

    0 10 1 5

    .

    87)

    Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 6, definida por:

    f t

    si t

    si t

    si t

    ( )

    0 3 2

    3 2 2

    0 2 3

    .

    88)

    Sea f: R R , la funcin definida por: f x

    x si x

    x si x

    ( )

    1 0

    1 0

    y f(x) = f(x + 2) para todo x. Halle la serie de Fourier de f.

    89) Sea f: [- , ] R , definida por:

    f x

    x si x

    xsi x

    ( )

    ,

    ,

    2 0

    2 0

    Usar la frmula de Fourier para verificar que f xSennx

    nn

    ( )

    1

    x - , .

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    10

    90) Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 4, definida por:

    f t

    si t

    si t

    si t

    ( )

    ,

    ,

    ,

    0 2 1

    2 1 1

    0 1 2

    .

    91) Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 2, definida por:

    f x e x( ) , -1 x 1 .

    92) Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo 2, definida mediante la relacin:

    f(x) = Ax 2 + Bx + C ; - x < , donde A , B y C son constantes.

    93) Considere la funcin definida por: f(t) =

    0 1 0

    0 1

    t

    Sen t t

    ,

    ,

    Grafique la extensin Peridica de f.

    Desarrolle en serie de Fourier la funcin f.

    Analizar la convergencia de la serie de Fourier de f .

    94) Estudiar la convergencia de la serie de Fourier de la funcin f: R R , de perodo 8, definida por: f(t) =

    0 4 0

    2 0 4

    si t

    si t

    ,

    ,.

    95) Exprese la funcin f(x) =1+xcomo una serie de senos valida en el intervalo (0,].

    96) Sea f una funcin peridica de perodo 2 , definida por:

    f(x) = x si xsi x

    2

    20 2

    2 0

    ,

    .

    Halle la serie de Fourier correspondiente.

    97) Desarrollar la funcin f(x) = - x 2 ; -< x 0 en serie de Fourier de senos.

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    11

    98)

    Desarrollar en serie de Fourier de senos la funcin siguiente:

    f(x) =

    Cos si x

    si x L

    x

    L

    L

    L

    0

    0

    2

    2

    ,

    , .

    99)

    Desarrollar en serie de Fourier la funcin f, de perodo T = 2, definida por:

    f(t) =

    3 0 1

    3 2 1 2

    t si t

    t si t

    ,

    ( , ) .

    100) Desarrollar en serie de Fourier la funcin, de perodo 2, definida por:

    f tt si t

    si t( )

    ,

    0

    0 0 .

    101)

    Considere la funcin definida por: f(x) = x3

    , con - < x .

    Grafique la extensin peridica de f .

    Desarrolle en serie de Fourier la funcin f.

    102) Considere la funcin definida por:

    f x

    x si x

    si x

    si x

    ( )

    ,

    2 0 2

    2 0

    2 2

    Grafique la extensin peridica de f .

    Desarrolle en serie de Fourier la funcin f .

    Generalizar la convergencia de la serie de Fourier .

    103) Desarrolle la funcin f(x) en serie de Fourier de cosenos y trace la grfica de la extensin perid

    correspondiente de f(x). f(x) = Sen (-x) con x 0 , .

    104)

    Desarrolle en serie de Fourier la siguiente funcin:

    f(x) = x; x(-2,2)

    105) Desarrolle en serie de Fourier a la funcin f, de perodo T = 2, definida por:

    f tsi t

    t si t ( )

    ,

    ,

    0 0 1

    2 1 2.

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    12

    106) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de perodo 2, definida mediante la relacin f(x) = senh(x)

    < x .

    107) Desarrolle en serie de Fourier la siguiente funcin: f(x) =1; x(0, ).

    108)

    Desarrolle en serie de Fourier la funcin peridica f, de periodo 2 , definida mediante la relacin:

    f(x) = x x con x

    109) Desarrolle en serie de Fourier la siguiente funcin: f(x)=

    )(0,xsi

    ,0)(-xsi0

    x

    110) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de periodo T = 2, definida por:

    f(x) = | x | , < x .

    Evale, en x = 0, la serie de Fourier obtenida anteriormente, para verificar que

    1n2)1n2(

    1=

    8

    2

    .

    111) Desarrolle en serie de Fourier la funcin f, de periodo T = 10, definida por:

    f(t) =1 5 t 0

    1 t 0 t 5

    OBJETIVO # 4

    112)

    Calcular v(x,y) de modo que la funcin: f(z) = u + iv = e x Sen y y Cos y i v x yx ( , ) sea analtica.

    113) Demuestre que la funcin u(x, y) = x2e cos(y) es armnica. Determine adems la funcin v(x, y) conjug

    armnica de u(x, y), y la correspondiente funcin analtica f (z) tal que f (0) = 2.

    114) Encontrar los puntos de discontinuidad de la funcin f definida por:

    f zz

    z( )

    Re

    2 2

    2 y determ

    si es posible definir la funcin en tales puntos de manera que sea continua.

    115) Estudiar la analiticidad de la funcin f(z) = x i y2 2 .

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    CEIPRU

    13

    116)

    Dadas las funciones

    g(z) = g( rei ) = Ln(r) + i ; r > 0,2 2

    ,

    f (z) = f( x + iy ) = 2z 2 + i

    Probar que la funcin compuesta g(f(z)) es analtica en el semiplano x > 1.

    117)

    Encontrar una funcin analtica tal que , y

    118) Sea CCf : , definida por:

    f (z) =

    21 z

    si z iz i

    4i si z i

    Estudie la continuidad de la funcin f (z) en todo el plano complejo.

    119) Determine si la funcin de variable compleja f(z) = Re (z - 1) es derivable en z0 = 1 .

    120)

    Sea f(z) = xy + i y2

    (z = x + iy). Determine los puntos donde f es derivable y calcule la derivada de fdichos puntos.

    121) Sea f(z) = z2 Im z (z = x + iy). Determine los puntos donde f es derivable y calcule la derivada de f en dic

    puntos.

    122) Determine los valores de apara que la funcin f(z) = 1||||||, z = x + iy es derivable.

    123) Sea f: C C , definida por: f(z) = f(x + iy) = xy

    Probar que la funcin f verifica las ecuaciones de Cauchy-Riemann en (0,0).

    Determine si f es derivable en (0,0).

    124) Probar que la funcin f(z) = ez2

    es derivable en todo punto y calcular f(z) .

    125) Halle los valores que deben tomar las constantes ay bpara que la funcin f(z) sea analtica:

    f(z)= cosx(coshy+asenhy)+isenx(coshy+bsenhy).

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    14

    126) Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para probar que la funcin f(z) = Sen h(4z) es derivable en to

    punto y calcular f(z) .

    127) Sea f la funcin definida por: f(z) = f(x + iy) = x - i y 2 .Determinar para que valores de zexiste la func

    primera derivada y calcularla.

    128)

    Determine en qu puntos es derivable la funcin f(z) = z Im z .129) Dada la parte imaginaria v(x,y) = x y x2 2 , de una funcin diferenciable f(x,y), donde (x,y) C , ha

    la funcin f(x,y) .

    130)

    Determinar para cules valores de a, la funcin: f(z) = 3x a e Cos x i a y a e Sen xy y ,

    z = x + iy es derivable.

    131) Sea f: C C , definida por:

    f x i y

    x xy

    x y

    y x y i

    x y si x y

    si x y

    ( )

    3 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    3 3

    0

    0 0

    Probar que la funcin f verifica las ecuaciones de Cauchy - Riemann en (0,0) .

    Determine si f es derivable en (0,0) .

    OBSERVACIN : La funcin f se puede expresar de la forma: f z

    z

    z si z

    si z

    ( )

    0

    0 0

    132) Demostrar que la funcin u(x,y) = e Cos y e Cos xx y , es armnica y determinar la funcin v(x

    conjugada armnica de u(x,y) y la correspondiente funcin analtica f(z) .

    133) Sea w = f(z) =z

    z

    1

    1; calcule

    dz

    dw. Determine donde f(z) noes analtica

    134) Use las ecuaciones de Cauchy - Riemann en forma polar, para verificar que: Si f(z) =1

    z

    z 0 , entonces: f(z) = 1

    2z

    .

    135) Sea f zz

    z( ) , ( z = x + iy ; z 0 ) . Determine los puntos donde f es derivable.

    136) Describa la regin de analiticidad de la funcin:

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    15

    f(z) =yx

    iyx22

    )1(

    )1(

    .

    137) Es analtica la funcin:f(x) =exe-iy?

    138)

    Sea 2 21 x iyf (z) 1 2x x y

    ( z = x + iy, z -1). Determine los puntos donde f es derivable.

    139) Halle los valores que deben tomar las constante a, b y c para que la funcin f definida por

    f( z ) = x + ay + i(bx + cy), sea analtica y calcule f (z) donde z = x + iy.

    OBJETIVO # 5

    140) Calcule la siguiente integral:

    z

    z zdz

    C

    5

    1 22 2

    2 , donde C es la circunferencia definida por:

    z = 4, orientada positivamente .

    141) Calcule la integral Sen z Cos z

    z z

    dzC

    2 2

    1 2

    ( )( )

    , donde C = { z : z = 3 } .

    142) Determine

    2

    C

    z z dz , donde C es la frontera del conjunto B = { z / | z | = 2 ; | Re(z) | | Im(z) | y Re(z) 0}

    143) Usar la frmula de la integral de Cauchy para calcular la integralCosz

    z zdz

    C3 , donde

    C = z z: 3 .

    144) Usar la frmula de integral de Cauchy para calcular la integraldz

    zC2

    9 donde C es un contorno simcerrado, tal que el punto z = -3i est en el interior de C y el punto z = 3i est en el exterior de C.

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    16

    145) Resuelva la integral 2

    2

    3

    1z z

    dzz.

    146) Calcule la siguiente integral

    2

    C

    (z ) dzz z , donde C es el arco de la circunferencia | z | = 1 con 0 arg z .

    147) Usar la frmula de integral de Cauchy para calcular la integral

    1

    2 33

    i

    e

    z z

    dz

    z

    C , donde C es

    contorno simple cerrado, tal que el punto z = 3 est en el interior de C y el punto z = 0 est en el exte

    de C.

    148) Calcule la integral

    C

    (1 i 2 z )dz , Donde C es el contorno formado por la parbola de ecuacin y = x2que va desde el pu

    (0,0) al punto (1,1).

    149) Evale la siguiente integral

    z z

    nC

    e edz

    z

    , donde n es un numero entero positivo y i tC : e con 0 t 2.

    150) Calcular la integral: I z iz dzC

    12 42 , donde C es el trozo de la curva de ecuacin:z(t) = t + (t3 - 3 t2 + 4t - 1)i , que va desde el punto 1 + i hasta el punto 2 + 3i .

    151) Integrar la funcin dada por: f(z) = z (z - 1), a lo largo del contorno C dado por:

    z(t) = t + i t2 , t e [0 , 1] .

    152) Calcule la integralSen iz Cos iz

    zdz

    C

    ( ) ( )

    2 4 , donde C = z z i: 2 .

    153) Calcule la integral )1(

    2

    cos

    zz

    zdz. Donde : z =

    3

    1.

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    17

    154) Calcular, usando la frmula integral de Cauchy, la integral

    1

    2 12

    2

    e

    z

    dz

    zt

    C , t > o , donde C es

    circunferencia definida por: z 3 , orientada en sentido antihorario.

    155)

    Desarrolle f(z) = ln(3-iz) en potencias de (z-2i) .escogiendo la rama del logaritmo para la cual f(0) =

    Determine la regin de convergencia.

    156) Utilizando la frmula de Cauchy aplicada a la circunferencia C de radio r y centro en z . Pruebe que:

    = 1

    2 0

    2

    f z r e dti t , donde f es una funcin analtica en C y en el interior de C.

    157) Sean C un contorno simple cerrado orientado en sentido positivo y g la funcin definida por g(z)

    s s

    s zds

    C

    3

    3

    2

    ( ) . Pruebe que g(z) = 6iz , cuando z est en el interior de C y

    g(z) = 0 si z est fuera de C .

    158) Utilizar la frmula integral de Cauchy para calcular la siguiente integrale

    zdz

    z

    C ( )2 1 3 , donde

    es la circunferencia de radio 1 orientada en sentido antihorario.

    159) Usar la frmula integral de Cauchy para calcular la integralz z

    z zdz

    C

    2

    3

    5

    1

    ( ) , donde C es un contosimple cerrado, tal que el punto z = 1 est en el interior de C y el punto z = 0 est en el exterior de C .

    160) Usar la frmula integral de Cauchy para calcular la integral1

    2 1 3

    i

    Cos z

    z zdz

    C ( ) , donde C es

    contorno simple cerrado tal que los puntos z = 1 y z = 0 estn en el interior de C.

    161) Calcular f z dzC

    ( ) , donde f(z) = y - x - i3x 2 y C es el segmento de recta que va desde z = 0 hasta z + i .

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    18

    162) Calcular la integral I =

    z

    z z idz

    C 9 2

    , donde C es la circunferencia definida por: z 2 , orientpositivamente.

    163)

    Calcular la integrali

    z zdz

    C2 4 8 , donde C es la circunferenciadefinida por: z 3 , orient

    positivamente.

    164) Calcule dzzzC

    zz

    )2)(1(

    cossen 22

    , C es el crculo IzI=3.

    165) Calcule,C

    f (z)dz donde f (z) = 2sen(z 1)

    z 2z 2

    y C es la circunferencia definida por

    | z 1 i | = 1.

    166) Utilice:ds

    sC2

    1 , donde C es el contorno simple cerrado, formado por la parte del eje real desdehasta r y la semicircunferencia definida por: z r ( 0 arg z ), para calcular:

    dxx1 2

    .

    167) Calcule la siguiente integral usando la frmula integral de Cauchy:

    e

    zdz

    z

    C 2 2

    2

    , donde C es

    circunferencia definida por: z 4 , orientada en sentido antihorario.

    168) Evale la siguiente integral:

    4

    C

    zdz

    z 1

    Donde C es el contorno definido por la ecuacin z a = a, con a > 1, Orientado en sentido antihorario.

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    19

    169) Use la frmula integral de Cauchy para calcular la integral2

    3

    C

    z z 5dz

    z ( z 1)

    donde C es un contorno sim

    cerrado, tal que los puntos z = 0 y z = 1 estn dentro de C

    170) Determine

    C

    zd ze

    Donde C es el segmento de la recta y = x que une los puntos z1= 0 y z2= i.

    OBJETIVO # 6

    171) Hallar la serie de Taylor de f(z) = Lnz

    z

    1

    1

    , alrededor de z0 = 0 para z 1 .

    172)

    Dada la seriez

    n r

    n

    n k

    n

    1

    , donde k Z y r R son fijos, determine cul es el radio de convergen

    R , y halle algn otro punto sobre la circunferencia de centro 0 y radio R para el cual la serie es divergent

    173) Halle el radio de convergencia de la serie zn

    n

    n

    2 1

    02 1

    ( )! .

    174) Desarrolle la funcin1

    f (z)(z 2)

    en serie de Laurent en potencias de (z i) y proporcione una expres

    para el n-simo trmino de la serie.

    175)

    Pruebe si para 0 < | z | < 4 se cumple la siguiente igualdad

    n

    2 n 2n 0

    1 1 z

    4z4z z 4

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    20

    176) La funcin23

    1

    2 zz

    es analtica en todas partes, excepto en z =1 ,2. Encuentre su serie de Laurent en

    regin z a .

    185) Encontrar la serie de Laurent de la funcin f(z) =1

    2 1 1( )( )z z en el anillo definido por:

    0 < z 12 3 .

    190) Defina el radio de convergencia de una serie compleja. Desarrolle en serie de Taylor, la funcin: f(z) =z

    z

    , en z0

    1 .

    191) Desarrolle, en serie de Taylor, la funcin f(z) =2

    z

    z 2z 2 alrededor del punto z = 0.

    192)

    Desarrolle, en serie de Laurent, la funcin f(z) =2

    2z 3

    z 3z 2

    en el anillo 1 < | z | < 2.

    193) Desarrolle en serie de Laurent la funcin5

    5f ( z )

    z (3 z)

    , en el anillo 3 < | z |.

    194)

    Desarrolle la siguiente funcin f (z) en serie de Laurent en el anillo 2 < z < +

    2

    1f (z)

    z (z 1) (z 2)

    OBJETIVO # 7

    195) Defina la singularidad y polo de una funcin analtica. Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z

    1

    2 4e

    z

    z

    , en z = 0 . En caso de ser un polo, determine el orden y el residuo.

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    22

    196)

    Calcule la integral x Cos x

    x xdx

    4

    24 20

    .

    197) Encuentre el residuo de la funcin f(z) =z

    1senz

    2 .

    198) Determine que tipo de singularidad tiene la funcin1

    f ( z) cosec(z) con z 0z

    . En caso de ser un polo

    determine el orden y el residuo.

    199) Encuentre los residuos de f(z) =)4(

    222

    )1(

    zz

    zz

    200) Calcular

    e

    z

    dz

    z

    C 2 2

    2

    , donde C es la circunferencia definida por: z = 4 , orientada en sent

    antihorario.

    201) Encuentre y clasifique las singularidades de la funcin. F(z)=zz

    z

    2

    .

    202)

    Calcule la integral z

    3

    C

    edz

    z (z 2) ,

    Donde C es la circunferencia | z + 1 | = 2, orientada en sentido antihorario.

    203) Usando el mtodo de los residuos, calcular Ie

    z z z dz

    z t

    C

    2 2 2 2( ) , donde C es la circunferen

    definida por: z = 3 , orientada en sentido antihorario.

    204) Hallar los residuos de la funcin f(z) =Sen z

    z z

    2

    3

    4

    2

    .

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    23

    205) Evale la siguiente integral: I =

    3 2

    1 9

    3

    2

    z

    z zdz

    C

    , donde C es el contorno definido por la ecuac

    z = 4 , orientado en sentido antihorario.

    206)

    Determinar qu tipo de singularidad tiene la funcin: f(z) = 13

    e

    z

    z

    , en z0 = 0 . En caso de ser un po

    determinar el orden y el residuo.

    207) Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) = 1

    1Cos

    z

    . En caso de ser un polo, calcular el residu

    208)

    Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) =1

    3z e

    z , en z = 0 . En caso de ser un polo, calc

    el residuo.

    209)

    Determine qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) =1

    1 ez

    , en z = 0. En caso de ser un po

    calcular el residuo.

    210) Calcule el residuo de la funcin f(z) =Cosz

    z10

    , para z = 0 .

    211) Determine qu tipos de singularidades tiene la funcin f(z) =Cos z

    Sen z . En caso de polos, determine el orde

    el residuo.

    212) Determinar qu tipo de singularidad tiene la funcin f(z) =1

    6

    e

    z

    z

    en z = 0 . En caso de ser un po

    determinar el orden y el residuo.

    213) Evalez

    z z z

    dz

    C

    13 2

    3 2 , donde C es el contorno indicado por: z 3

    2 , orientado en sent

    antihorario.

    214) Evale I =

    dz

    zC 2

    2

    4 , C es el contorno:

    z = i + 2 ei t , orientado en sentido antihorario.

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    24

    z = ei t donde 0 < t < 2 , orientado en sentido antihorario.

    215) Calcule la integralz

    edz

    z

    C

    3 , donde C es la circunferencia definida por: z 1 4 , orient

    positivamente.

    216) Sea f la funcin definida por f(z) =8

    z sen z

    z

    . Halle los puntos singulares y especifique de que tipo son.

    217) Evale la integral2

    C

    1z 1(1 z z )e , donde C es un contorno orientado en sentido antihorario que contiene

    su interior al punto z = 1.

    218)

    Evale la siguiente integral:

    I =2

    C

    n z1 z e dz2 , con n > 1

    Donde C es el contorno definido por la ecuacin z = 1, orientado en sentido antihorario.

    219) Halle los residuos en los puntos singulares en el plano complejo de la funcin

    f(z) =

    21

    4

    ze

    1 z

    OBJETIVO # 8

    220) Demostrar que si a > b , entoncesd

    a b Cos a b

    02 2

    .

    221) Calcularx Sen x

    x xdx

    22 2

    .

    222) Calcular la siguiente integral:Senx

    x dx

    .

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    25

    223)

    Calcular la siguiente integral:

    022

    2

    1

    )3(dx

    x

    xCosx

    224) EvaluarCos

    Cos

    d

    2

    0 5 4

    2

    .

    225) Calcular el valor de la integrald

    Sen

    20

    2

    .

    226) Calcule I= dt2

    0 3cost5

    cosmt

    , (mIN).

    227) Verifique si se cumple la siguiente igualdad

    2

    dx

    2x 2) 2I

    2(x

    228) Calcule el valor de la integral

    x

    x xdx

    2

    2 2

    20 4 9

    .

    229)

    Aplicar el mtodo de los residuos para calcular la siguiente integralSen

    Cos d

    20

    2

    .

    230) Evale la integral I =2

    0

    sen(2x)dx

    5 4sen(x)

    231) Calcular, aplicando el mtodo de los residuos, la integral

    4

    1

    2

    2 2

    0

    x

    x

    dx

    .

    232) Calcular el valor de la integral

    dx

    x x x2 4 3 1

    .

    233) Calcule la siguiente integral: x Cos x

    x x dx

    4

    2 4 20

    .

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    26

    234) Calcule la integrald

    Cos

    5 40

    2

    .

    235)

    Calcular

    x

    x x dx

    2

    2 2

    3

    1 4

    .

    236) Aplicar el mtodo de los residuos para calcular la integral

    dx

    x x2

    2

    4 5

    .

    237)

    Aplicar el mtodo de los residuos para calcular la integralCos

    Sen

    30

    2

    .

    238)

    Calculard

    a Sen

    10

    2

    , 0 a 1 .AYUDA: Considere la siguiente desigualdad como cierta

    1 | a | < 21 a < 1 + | a |

    239) Calcularx

    xdx

    2

    41

    .

    240) Calcular Sen x Sen x

    x dx

    ( )

    1 20

    .

    241) EvaluarCos

    Cos d

    3

    5 40

    2

    .

    242)

    Calcule la siguiente integral:x

    x dx

    2

    4

    0

    1

    1

    .

    243)

    Aplique el mtodo de los residuos para calcular la integral

    4 2

    cos x x

    x 5x 4I

    d

  • 7/21/2019 MATE-5 EJERCICIOS.pdf

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    CEIPRU

    27

    244) Calcule I= xdbx

    xsenax

    0

    22, a>0 , b>0.

    245) Calcule la integral I =

    2

    0

    2222

    sencosa

    d

    b

    , a,b>0.

    246) Calcula el valor de la integral4 2

    x dx

    x 7x 18

    .

    247) Aplique el mtodo de los residuos para calcular la integral

    0 cos23

    d

    248)

    Evale la integral I =2 2d x

    (x 1)

    .

    249)

    Calcule

    2x

    5 3 cos

    0

    I

    2sen x d

    + (x)

    250) Aplique el mtodo de los residuos para calcular la integral2

    2

    0

    1d

    (5 3sen )

    OBJETIVO # 9

    251) Encuentre L 1 1arc stg .

    252) Halle

    ))((

    12222

    1

    bsasL . a b

    253)

    Halle la transformada inversa de Laplace de la funcin dada por: f s Lnw

    s( )

    1

    2

    2 .

    254) Calcular la transformada de Laplace de la funcin

    F tCos t si t

    si t( )

    2

    3

    2

    3

    2

    30

    .

  • 7/21/2019 MATE-5 EJERCICIOS.pdf

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    28

    255) Verifique el siguiente resultado L{a+bx} =2s

    bas .

    256) Determine la transformada inversa de Laplace de:

    f( s ) =

    2

    12

    s

    s

    257) Aplique el teorema de convolucin para encontrar la transformada inversa de Laplace de la funcin definida p

    f s

    s

    s( )

    3

    1

    2

    2 2

    .

    258) Obtenga la transformada inversa de

    259) Hallar la transformada inversa de la funcin dada por: f ss

    s s

    ( )

    3 5

    4 4 37 2 .

    260) Calcule

    L {3 e2 tcos(6t) 5 e2 tsen(6t) }

    261) Utilizar el teorema de convolucin para calcular la transformada inversa de Laplace de la funcin dada p

    f s

    s

    s( )

    2 2

    1 .

    262)

    Calcular: L

    1

    2

    2 2

    1

    1

    s

    s s , usando el teorema de convolucin .

    263)

    Hallar la transformada inversa de Laplace de la funcin definida por: f ss

    s s( )

    4 12

    4 2 92 .

    264) Sea: L

    F ts s w

    ( )

    12 2 2

    , encontrar F(t) .

    265) Calcular la transformada inversa de Laplace de la funcin

    f ss

    s( )

    3

    2 2

    3

    1 , sabiendo que:

    1

    1

    1

    2

    1

    1

    1

    12 2 2

    2

    2 2

    s s

    s

    s

    .

    266) Calcular la transformada de Laplace inversa de la funcin definida por: f ss s

    s s( )

    2

    3

    1

    16 .

    267) Usando la definicin de transformada de Laplace, verificar que:

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    CEIPRU

    29

    L e Senbt b

    s a ba t

    ( )2 2 .

    268) Demostrar que L

    Cos t

    s s

    s s

    3

    2 2

    7

    9 1

    . Sugerencia : Puede usar los siguientes hechos a) Cos 3

    Cos t - Cos Sen2 t y b) L { F(t) } = s L { F(t) } - F(0) .

    269)

    Sea F: [0 , +) R una funcin continua y de orden exponencial y tal que F es continua por trozos y

    orden exponencial en [0 , +) . Si L F t f s( ) ( ) , entonces se verifica que:

    L 1 s f s F t t F' t' ( ) ( ) ( ) .Utilice el resultado anterior para hallar L

    1

    2

    2 2 2

    2s

    s a

    270) Hallar la transformada de Laplace inversa de la funcin definida por: f s Lns

    ( ) 1 12 .

    271)

    Calcular la transformada de Laplace inversa de la funcin f ss

    ( )

    1

    13 .

    272)

    Sea f una funcin de orden exponencial y peridica, con perodo P. Usar la definicin de transforma

    de Laplace para probar que L f =

    e f t dt

    e

    st

    o

    P s

    P

    ( )

    1

    AYUDA: Hacer el cambio: t = x + np . Recuerde que r r para rn

    n

    0

    1

    1, 1 .

    273)

    Encontrar la transformada de Laplace de f t e te e

    u dut

    u u

    o

    t

    ( ) 3

    2 3

    .

    274)

    Evaluar L

    1

    3 2

    1

    1s s .

    275) Verifique que L t Coswts w

    s w

    2 2

    2 2 .

    276) Determine la transformada inversa de Laplace de:

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    30

    f( s ) =2 2

    3 2

    6s - 26s + 26

    s - 6s + 11s - 6

    277) Halle

    )2( 3

    2

    1 1

    sL

    s

    s

    278) Pruebe que L t es

    t

    1

    1 2( ) , s 1.

    279) Halle

    )34)(2(

    422

    1

    sss

    s

    L . L 1

    es la transformada inversa de Laplace.

    280) Determine la transformada inversa de Laplace de:

    f( s ) = 2 22 s - 4

    s + s s + 1

    281) Halle

    3221

    ss

    s

    L . L 1

    denota transformada inversa de Laplace.

    282) Determine la transformada inversa de Laplace de:

    F( s ) =1)3

    2

    s(s

    283)

    Obtenga la transformada inversa de la funcin f(s) =2

    3 2

    s

    2s 14s 40s 100

    284) Calcule

    L {3 e2 tcos(6t) 5 e2 tsen(6t) }.

    OBJETIVO # 10

    285) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando transformada de Laplace:

    x = 3x - y ; y = x + y , con las condiciones iniciales y(0) = 0 , x(0) = 1 .

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    CEIPRU

    31

    286) Resolver la ecuacind Y

    dt

    dY

    dt

    2

    2

    40 , con las condiciones iniciales Y(0) = 2 , Y(0) = -3

    287)

    Resolver, usando transformada de Laplace, la siguiente ecuacin diferencial: Y + 5Y = f(t) , con: Y(0)

    . Donde: f tSen t si t

    Sen t Cost si t ( )

    0 323

    2

    .

    288)

    Usando el mtodo de la transformada de Laplace, resuelva el siguiente sistema de ecuaciones diferencia

    Y Y Y Y

    Y Y et1 1 2 2

    1 2

    ' '

    ' ' ' '

    , con las condiciones iniciales:

    Y Y Y Y 1 1 2 20 0 0 1 0 1 0 0( ) ; ( ) ; ( ) ; ( )' '

    289) Resolver, usando el mtodo de la transformada de Laplace, el siguiente sistema de ecuaciones diferencia

    Y Y Cost

    Y Y

    1 2

    1 2

    2

    0

    '

    '

    , con Y Y1 20 0 0 1( ) ; ( ) .

    290)

    Resuelva la siguiente ecuacin diferencial aplicando el mtodo de la transformada de Laplace

    Y+ Y = 4x , Y(0) = 1 , Y(

    2 ) = 2.

    291) Resolver, aplicando el mtodo de la transformada de Laplace, el problema:

    y y y y t e

    y y y

    t' ' ' ' ' '

    ( ) ; ' ( ) ' ' ( )

    3 3

    0 0 0 0 1

    2

    .

    292)

    Resolver la ecuacin y y y SentIV 2 '' , con las condiciones iniciales:

    y(0) = 1 , y(0) = -2 , y (0) = 3 , y (0) = 0 .

    293) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial

    y y t e t'' ' 4 4 3 2 , con las condiciones iniciales: y(0) = 0 , y(0) = 0 .

    294) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial

    y y y t e t'' ' 6 9 2 3 , con las condiciones iniciales: y(0) = 2 , y(0) = 6 .

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    32

    295) Resuelva la ecuacind y

    dt

    dy

    dt y

    2

    2 2 0 , con las condiciones iniciales: y(0) = 1 ; y(0) = 0 .

    296) Calcule la solucin de la ecuacin diferencial :

    y +y = 8 2 sen(t+4

    )+(t-3) ,que satisface y(0)=0 ;y(0)=-4.

    NOTA : L [(t-3)] =e -3s

    297) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales usando el mtodo de la transformada de Lapla

    x t x t y t Cost

    x t y t x t y t

    ' ' ( ) ' ( ) ' ( )

    '' ( ) '' ( ) ( ) ( )

    0

    . x(0) = 1 ; x(0) = -1 ; y(0) = 0 ; y(0) = 2.

    298) Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valores iniciales:

    -2xy + 4y + 4y = 4e , y(0) = - 1, y (0) = 4

    299) Resolver, usando el mtodo de la transformada de Laplace, la ecuacin diferencial

    y y et'' ' , con las condiciones iniciales: y (0) = 1 ; y(0) = y(0) = 0 .

    300) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales, usando la transformada de Laplace:

    x x y

    y x y

    '

    '

    2

    3 , con las condiciones iniciales: x(0) = 1 ; y(0) = 2 .

    301) Use el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial

    y + 2 y = Cos 3t , con las condiciones iniciales: y(0) = 1 , y(0) = 0 .

    302) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial

    y + 4 y + 13 y = 2t + 3 e t 2 Cos 3t.

    NOTA: L Cosats

    s a

    2 2 ; L t s

    1

    2 ; L 11

    s

    .

    303) Aplique el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencial

    y - 2a y + a b2 2 y = 0 (a y b constantes no nulas), con las condiciones iniciales:

    y(0) = 2 , y(0) = -3 .

    304)

    Resolver, aplicando el mtodo de la transformada de Laplace, la ecuacin diferencial:

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    CEIPRU

    33

    x + 16 x = f (t) , donde f(t) = Cos t si t

    si t

    4 0

    0

    ,

    , sujeta a las condiciones iniciales:

    x(0) = 0 , x(0) =1 . Represente grficamente tanto f(t) como la solucin x(t).

    305)

    Resolver la ecuacin y + 4 y + 13 y = te

    t

    , con: y(0) = 0 , y(0) = 2 .306) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones usando transformada de Laplace

    t

    t

    x x y e

    y y x e

    Con las condiciones iniciales x(0) = y(0) = 1

    307) Resuelva la ecuacin diferencial x + 2x = t Sen t , con: x(0) = 0 ; x (0) = 0 .

    308)

    Resuelva la siguiente ecuacin diferencialY3 Y+ 3 YY 2 tt e

    con las condiciones iniciales

    Y(0) = 1, Y(0) = 0, Y(0) = 2.

    309)

    Usando el mtodo de transformada de Laplace encuentre la solucin general de la ecuacin diferencial

    Y (t) 4Y(t) 9 t

    Con las condiciones iniciales

    Y(0) = 0, Y (0) = 7.

    310) Resuelva la ecuacin diferencial aplicando la Transformada de Laplace:

    y 6y + 9y = t ,

    Con condiciones iniciales: y( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1.

    311)

    Use el mtodo de la transformada de Laplace para resolver la ecuacin diferencialY + 2Y+5Y = e-tsen(t)

    Con las condiciones iniciales Y(0) = 0, Y (0) = 1.

    312)

    Resuelva: y +4y+ 6y =1+ e-t, Y (0)=0 ; Y (0)=0.

    313) Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial:

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    y + y = 2 sen 2 t , y(0) = 10, y (0) = 0

    Resuelva la siguiente ecuacin diferencial aplicando la Transformada de Laplace:

    y + 2y 3y = e t, con las condiciones iniciales: y( 0 ) = 0, y( 0 ) = 1.