CONTENIDO

Parte I.......1 Parte II......7

PALILLOS

Parte III......11 Parte IV..18 Bibliografa.....21

ELABORADA POR: Equipo de Pedagogas Integradas al Territorio. Grupo de Matemticas. Gua de Aprendizaje: Palillos.

Objetivos Mediante la pedagoga activa de aprender jugando se ayuda a desarrollar el razonamiento en el plano. Mostrar cmo a partir de un material tan simple como los palillos se pueden ensear conceptos como permetros, reas, figuras geomtricas.

PARTE I: FAMILIARIZACIN

Los hombres primitivos usaban palillos de dientes Un estudio realizado por una cientfica estadounidense ha planteado una nueva duda sobre las costumbres de los hombres primitivos. Se ha llegado a la conclusin que los antiguos homnidos se preocupaban por su higiene dental y usaban artefactos para limpiar sus dientes. La hiptesis ha surgido a partir de comprobar que los restos de los primitivos estudiados tienen unas ranuras curvas en las races de los dientes y, segn Leslea Hulsko, paleontloga de la Universidad de Illinois y responsable de la investigacin, esto se debe a que usaban tallos de pasto como mondadientes (Instrumento pequeo y rematado en punta, que sirve para limpiar los dientes sacando lo que se mete entre ellos).

1

Estas ranuras dentales han sido halladas en dientes fsiles que datan de hace 1,8 millones de aos lo que convertira esta hiptesis, en el caso de certificarse, en la costumbre humana ms antigua registrada hasta la fecha. Los investigadores crticos con esta postura han afirmado que los humanos modernos que habitualmente usan palillos no tienen estas ranuras. La doctora Hulsko ha manifestado que este hecho se debe a que los primitivos utilizaban pasto que, a diferencia de los palillos de madera, contiene partculas de silicio, un material abrasivo y duro. http://www.educared.net

Los fsiles de los primitivos son de hace 18 millones de aos. A qu poca prehistrica pertenecen? Las dos grandes divisiones que engloban el pasado de la vida humana son la Prehistoria y la Historia. La Prehistoria cubre aproximadamente 3.5 millones de aos del pasado de la humanidad. Esta enorme etapa abarca el desarrollo de los primeras sociedades humanas, desde la aparicin de los primeros homnidos (hace 4 millones de aos) hasta la invencin y difusin de la escritura (hacia el ao 3 500 a. de N. E.). A su vez, la Prehistoria se divide en dos grandes edades o perodos: Paleoltico y Neoltico, con un perodo intermedio de transicin llamado Mesoltico. www.portalplanetasedna.com.ar La Historia dura mucho menos que la Prehistoria. Se inicia con el invento de la escritura (3 500 a. de N. E.) y llega hasta la actualidad. Tambin tiene divisiones temporales, que son: Edad Antigua, Edad Media, Edad Moderna y Edad Contempornea.

2

Se calcula que hace 180 millones de aos, cuando an dominaban los reptiles el planeta, aparecieron los primeros mamferos sobre la Tierra. La multitud de especies de mamferos que comenzaron a desarrollarse a partir de entonces eran muy diferentes a las que actualmente conocemos y muchas de ellas han desaparecido por completo. Para los paleontlogos, el punto de inicio de la historia de la humanidad empez con la aparicin de los primates, hace unos 65 millones de aos. Los primeros de ellos eran unos pequeos seres que empezaron a vivir en los rboles en lugar de permanecer en el suelo, como la mayora de los mamferos. Entre las especies que pertenecen a los primates estn, adems del ser humano, los simios, monos y musaraas. Durante su desarrollo evolutivo, estos primates se hicieron de ciertos rasgos especiales: buena visin, manos con las que se pueden sujetar firmemente objetos y un cerebro relativamente grande.

3

http://sepiensa.org.mx http://redescolar.ilce.edu.mx Puedes hacer alguna relacin entre esta idea de la evolucin del ser humano y otras teoras o creencias que involucren a su creacin? En el texto se habla de la higiene dental de los primitivos. Qu necesitamos hoy en da para conseguir una buena higiene bucal? Qu hbitos debe tener una persona para mantener sus dientes en buen estado? Qu acciones saludables contribuiran a prevenir enfermedades bucales como la caries?

4

SABAS QUEHasta los ocho o nueve aos la especie humana slo posee 20 dientes (denticin de leche), que sern ms tarde sustituidos por un tota l de 32 piezas que constituyen la denticin definitiva.

SABAS QUE La salud de tus dientes y encas puede indicar el estado de toda tu salud en general? Estudios indican que mala higiene dental se ha aunado a un alto riesgo de algunas enfermedades. En nios, la Asociacin Dental Americana (ADA siglas en ingls) indica que cuando un nio tiene decaimiento serio dental, puede afectar toda su salud y llevar a problemas al comer, hablar y hasta causar ausencia en la escuela.

Los dientes son unas piezas duras que estn incrustados en los huesos maxilares. Realizan la parte mecnica de la digestin al cortar y triturar los alimentos. Cada diente est constituido por: Esmalte: Tejido translcido muy duro que protege a la corona. La dureza del esmalte defiende al diente de deterioros y desgastes debidos a la masticacin. Dentina: Se encuentra por debajo del esmalte y es el tejido ms abundante en el diente. Est cubierta por el esmalte y en la raz, por el cemento. La dentina es menos dura y cuando pierde el esmalte se produce dolor al quedar expuesta a alimentos cidos o dulces, lo mismo que a alimentos y bebidas muy fras o muy calientes. Cemento: Tejido que cubre a la raz. Es menos duro que la dentina

Sita en la ilustracin cada una de las palabras.

Cuello: Porcin donde se unen la corona y la raz, para ser ms exactos, donde termina el esmalte y comienza el cemento. Pulpa dentaria: Es un tejido blando de color rosado, sumamente sensible; popularmente se le llama "nervio". Est formada por pequesimas terminaciones nerviosas y vasos sanguneos. Los dientes estn sostenidos firmemente en su lugar por las siguientes estructuras

5

Hueso alveolar: Es donde est colocado el diente. Membrana periodontal: Se trata de miles de fibras delgadas que sostienen al diente. Estn unidas por un extremo al diente y por el otro al hueso alveolar.

http://www.educared.net

De confirmarse este descubrimiento, la costumbre de usar palillos se convertira en la ms antigua registrada hasta el momento. Qu otras costumbres arraigadas en el comportamiento humano crees que pueden tener tantos siglos de historia?

6

PARTE II: ACTIVIDADES

1. Coloca 17 palillos, formando 6 cuadrados iguales de la siguiente manera:

A) Quita 1 palillo de manera que queden 5 cuadrados iguales B) Quita 2 palillos de manera que queden 5 cuadrados iguales 2. NMEROS ROMANOS

Los nmeros romanos son un sistema de numeracin que usa letras maysculas a las que se ha asignado un valor numrico. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000

7

Reglas: Si a la derecha de una cifra romana se escribe otra igual o menor, el valor de sta se suma a la anterior.

Ejemplos: VI = 6; XXI = 21; LXVII = 67 La cifra "I" colocada delante (es decir, a la izquierda) de la "V" o la "X", les resta una unidad; la "X", precediendo a la "L" o a la "C", les resta diez unidades y la "C", delante de la "D" o la "M", les resta cien unidades.

Ejemplos: IV = 4; IX = 9; XL = 40; XC = 90; CD = 400; CM = 900 En ningn nmero se puede poner una misma letra ms de tres veces seguidas. En la antigedad se ve a veces la "I" o la "X" hasta cuatro veces seguidas.

Ejemplos: XIII = 13; XIV = 14; XXXIII = 33; XXXIV = 34 La "V", la "L" y la "D" no pueden duplicarse porque otras letras ("X", "C", "M") representan su valor duplicado.

Ejemplos: X = 10; C = 100; M = 1.000 Si entre dos cifras cualesquiera existe otra menor, sta restar su valor a la siguiente.

Ejemplos: XIX = 19; LIV = 54; CXXIX = 129 El valor de los nmeros romanos queda multiplicado por mil tantas veces como rayas horizontales se coloquen encima de los mismos, esto es solo para nmeros mayores de 3999. = 1.000.000.

Ejemplos:

8

Algunos nmeros romanos 1=I 7 = VII 13 = XIII 19 = XIX 39 = XXXIX 61 = LXI 75 = LXXV 88 = LXXXVIII 101 = CI 444 = CDXLIV 2 = II 8 = VIII 14 = XIV 20 = XX 40 = XL 68 = LXVIII 77 = LXXVII 89 = LXXXIX 109 = CIX 3 = III 9 = IX 15 = XV 21 = XXI 50 = L 69 = LXIX 78 = LXXVIII 90 = XC 114 = CXIV 4 = IV 10 = X 16 = XVI 29 = XXIX 51 = LI 70 = LXX 79 = LXXIX 91 = XCI 5=V 11 = XI 17 = XVII 30 = XXX 59 = LIX 71 = LXXI 80 = LXXX 99 = XCIX 899 DCCCXCIX 1.010 = MX = 6 = VI 12 = XII 18 = XVIII 31 = XXXI 60 = LX 74 = LXXIV 81 = LXXXI 100 = C

149 = CXLIX 399 = CCCXCIX 400 = CD 450 = CDL 900 = CM 1.050 = ML

445 = CDXLV 449 = CDXLIX

989 = CMLXXXIX 990 = CMXC

999 = CMXCIX 1.000 = M

NOTA: Si deseas convertir un nmero (arbigo) en romano, simplemente seprelo en 1000s (unidades de mil), 100s (centenas), 10s (decenas) y 1 (unidades). Luego trabaje de izquierda a la derecha y jntelos. Ejemplo: convierta 2954 en nmeros romanos.

2000 es MM 900 es CM 50 es L 4 es IV

RECUERDA! Para convertir un nmero romano en arbigo simplemente trabaje desde la izquierda a la derecha y junte los

El nmero romano es MMCMLIV 9

Ahora, Podras convertir MCMXXXI en nmeros? CON PALILLOS En los siguientes ejercicios te presentamos algunas igualdades que evidentemente son falsas. Pues desplazando un solo palillo las puedes convertir en verdaderas (y no vale convertir la igualdad en desigualdad). a) V+I=V b) VI-IV=IX c) V=II+VIII d) I-III=II e) XI +I= X f) 3. XI VIII =VI

En los paneles de cristal lquido de muchas calculadoras antiguas puedes encontrar los nmeros construidos mediante pequeos palitos, como los que aparecen en la figura siguiente:

Tomado De: (19/11/2008)

http://problemate.blogspot.com/2007/06/numeros-con-palillos.html Dgitos

Tomemos esos nmeros como modelos. Si los tuvieses que dibujar con palillos Cul es el nmero ms pequeo que necesita para dibujar todas sus cifras exactamente 50 palillos?

10

Nota: Los ceros a la izquierda no son necesarios, es decir, no se deben usar para conseguir que el nmero sea ms pequeo.

PARTE

III:

PROBLEMAS

PROPUESTOS1. Agregando 3 palillos forma 4 tringulos de reas iguales:

TRINGULO

A = (b h) / 2 (Es decir, la base (b) multiplicado por la altura (h) y dividido entre dos)

2. Con 16 palillos se pueden forman 4 cuadrados congruentes, como se muestra en la figura. Es posible construir con los mismos 16 palillos una figura con 5 cuadrados congruentes?

RECUERDA! Dos figuras son congruentes (entre s), si tienen el mismo tamao e igual forma.

11

3. Moviendo tres palillos, hay que conseguir que el pez nade en sentido

contrario.

4. Moviendo dos palillos hay que hacer que el perro mire en direccin contraria.

5. Moviendo dos palillos hay que conseguir que la estrella quede fuera de la copa. La orientacin final de la copa carece de importancia, pero no debe moverse la estrella:

6. Quita 6 palillos para encontrar 2 cuadrados:

7. Quitar 5 palillos para encontrar 3 cuadrados del mismo tamao de los que se muestran:

12

8. Cambiando de lugar 3 palillos, deja 4 cuadrados completos:

9. Al morir un hacendado dej a sus 5 hijos un terreno cuadrado y una casa, tambin cuadrada ubicada dentro de l. En la casa van a continuar viviendo todos, pero el terreno s lo quieren repartir en 5 parcelas congruentes. Los palillos representan las unidades de longitud del terreno y las paredes exteriores de la casa. Para realizar la particin disponen solamente de 10 unidades de longitud. Determinar si se puede lograr su objetivo.

10. Moviendo dos palillos dejar slo 4 cuadrados del mismo tamao que los 5 cuadrados que se muestran en la figura. Repite el ejercicio pero ahora quitando dos palillos.

11. Quitando slo 4 palillos, hay que dejar cuatro tringulos equilteros del mismo tamao que los ocho que se ven. No deben quedar palillos sueltos.

13

Clasificacin de los tringulos Segn sus lados

Equilteros (sus tres lados iguales) Issceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales)

12. Transforma la espiral de la siguiente figura en 3 cuadrados (no necesariamente iguales), moviendo slo 4 palillos:

13. Convierte esta iglesia, palillos:

con su torre,

en 3 cuadrados iguales, moviendo slo 5

14

14. Se tienen 24 palillos dispuestos como se observa en la siguiente figura:

Quita 8 palillos para encontrar 2 cuadrados Quita 8 palillos para encontrar 3 cuadrados Quita 8 palillos para encontrar 4 cuadrados iguales Quita 8 palillos para encontrar 5 cuadrados iguales 15. En la figura hay 4 cuadrados unitarios y un cuadrado 2x2. Cambia de lugar 4 palillos, de tal manera que la nueva figura tenga exactamente: 3 cuadrados 2 cuadrados

15

16. En la figura hay 4 cuadrados unitarios y un cuadrado 2x2. Cambiando de lugar 3 palillos, de tal manera que la nueva figura tenga exactamente 3 cuadrados:

17. Cambia de lugar 3 palillos para formar 6 cuadrados:

18. Se llama cuadrado unitario al cuadrado formado por 4 palillos:

Al cambiar de posicin uno o ms palillos en una figura, no deben quedar palillos pendientes, es decir, con uno de sus extremos libre. Adems, cada extremo de un palillo debe limitar con uno o ms extremos de otros palillos. En la figura, cambiar de posicin dos palillos de tal manera que la nueva figura posea solamente 4 cuadrados unitarios.

19. Utilizando 18 palillos forme una estrella de David como la que aparece en la figura. La estrella contiene 8 tringulos equilteros. Cambie de posicin solamente 2 palillos de tal manera que la nueva figura contenga exactamente 6 tringulos equilteros.

16

20. La figura est formada por dos cuadrados concntricos, uno de lado 4 y otro de lado 2. Cambiar de posicin 4 palillos de tal manera que la nueva figura posea 2 cuadrados congruentes.

21. La figura nos muestra cmo un granjero pensaba construir 6 corrales rectangulares iguales; al tratar de hacerlo descubre que una valla est rota. Aydale a resolver el problema de construir 6 corrales iguales.

22. Con 12 palillos podemos construir una cruz, cuya rea equivalga a la suma de las superficies de 5 cuadrados hechos tambin de palillos. Cambie la disposicin de los palillos de tal modo que el contorno de la figura obtenida abarque slo una superficie equivalente a 4 de esos cuadrados.

17

23. Tenemos 3 montoncitos diferentes de palillos. Hay en total 48 palillos. No sabemos cuntos hay en cada grupo. Si del primer montn paso al segundo tantos palillos como hay en ste, luego del segundo paso al tercero tantos palillos como hay en este tercero y por ltimo, del tercero paso al primero tantos palillos como existen ahora en este primero, resulta que habr el mismo nmero de palillos en cada montn. Cuntos palillos haba en cada montn al principio?

PARTE IV: SOLUCIN

1. Coloca 17 palillos, formando 6 cuadrados iguales de la siguiente manera:

A) Quita 1 palillo de manera que queden 5 cuadrados iguales

B) Quita 2 palillos de manera que queden 5 cuadrados iguales

18

Actividad 3. Cul es el nmero ms pequeo que necesita para dibujar todas sus cifras exactamente 50 palillos? SOLUCIN Si tenemos que gastar 50 palillos en dibujar el nmero ms pequeo posible, necesitaremos que tenga la menor cantidad de cifras, para lo que escogeremos aquella cifra que use la mayor cantidad de palillos. Observando la imagen de ejemplo, y contando los palillos que usa cada dgito, concluimos que tendremos que usar el 8, con el que gastamos siete palillos. El mltiplo de 7 ms cercano a 50 es 49, 7*7, pero si dibujamos 7 dgitos 8, slo nos sobrar un palillo, por lo que no podemos usarlo para ningn dgito y acabar el nmero. As que necesitaremos gastar 42 palillos en dibujar 6 ochos, y nos sobrarn 8 palillos, con los que completaremos el nmero. Es evidente que no podemos dibujar una sola cifra con 8 palillos, as que necesitamos 2 cifras. La ms pequea (que usaremos de primera cifra) es un 1, que gasta dos palillos (no podemos usar el cero, pues segn el problema no podemos poner ceros a la izquierda). Nos quedarn 6 palillos para otra cifra. Si miramos la lista de dgitos, la ms pequea que podemos dibujar con 6 palillos es el 0 (que s podemos usar si no es a la

19

izquierda del todo). Como es ms pequea que ocho, la situaremos delante. El resto, como est dicho, estar formado por 6 ochos, as que el nmero ser el 10888888. .

20

http://roble.pntic.mec.es http://centros5.pntic.mec.es Microsoft Encarta 2008,http://problemate.blogspot.com; http://www.memo.com.co

Gua La Tabla de la sabidura, Grupo baco. Proyecto de matemticas y fsicas bsica en Antioquia. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medelln.

Microsoft Encarta 2008. Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. 1993-2007. [Fecha consulta: 22/05/2005].

El rincn de la Ciencia . Problemas con pajitas . [en lnea] 2006. [Fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://centros5.pntic.mec.es/ies.victoria.kent/RinconC/practica2/pajita/juegmat/juegos.htm

________________ . Problemas Matemticos. [en lnea] 2007. [Fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://problemate.blogspot.com/2007/06/numeros-conpalillos.html memo.com.co m.co. Problemas Matemticos. [en lnea] 2001. [Fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas8.html#2

21

Jess Cmara Olalla. Pensando y jugando con palillos. [en lnea] 1998. [Fecha Consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://roble.pntic.mec.es/~jcamara/indpal.htm

C/ Arag. Los hombres primitivos usaban palillos de dientes. [en lnea] 2003. [Fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: www.educared.net/PrimerasNoticias/HEMERO/2003/nov/cult/primi/primi.pdf -

______________ Qu es la prehistoria. [en lnea] 2001. [Fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://sepiensa.org.mx/contenidos/historia_mundo/prehist/que_es/que_es.htm

______________ La evolucin del ser humano. [en lnea] 2001. [Fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://sepiensa.org.mx/contenidos/historia_mundo/prehist/paleolitico/evol_humn/evolu man.htm

______________ La prehistoria. [en lnea] 2000. [fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://www.portalplanetasedna.com.ar/prehistoria.htm

______________ Nmeros Romanos [en lnea] 2000. [fecha consulta: 03/06/2009]. Disponible en: http://roble.pntic.mec.es/~msanto1/ortografia/numrom.htm

22