Mat Pc 2 Ecuacion de La Recta 2parte 9 Guzman 16112011

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Instituto Nacional

Departamento de Matemática

Profesora: Esperanza Guzmán C. e.guzmá[email protected]

Guía Ecuación de la Recta (2º parte) Nivel 2º Medios

Objetivo: “Reforzar contenidos sobre ecuación de la recta, sus formas y condiciones

de paralelismo y perpendicularidad”

Formas de la ecuación de la recta.

Una ecuación de primer grado con dos incógnitas se puede escribir de muchas maneras

diferentes, pero manteniendo la misma ecuación( si se hace el gráfico, se obtiene la

misma recta).

Toda ecuación lineal de la forma Ax + By + C = 0 , donde A, B, C son constantes reales

y los números A y B no son ambos nulos, representa la ecuación general de la recta. Sise despeja y en función de x se obtiene la ecuación principal:

Y = B

C x

B

Adonde m = -

B

Ay n =

B

C

Ejemplo:

Consideremos la siguiente ecuación: 5x + y = 7

5x + y = 7 / + (-7) 5x + y = 7 / + (-5x)

5x + y – 7 = 0 y = -5x + 7

Forma general Forma principal

De la ecuación de la recta. De la ecuación de laRecta.

Ax + By + C = 0 y = mx + n(Función afín)

m = coeficiente de

dirección o pendiente.

n = coeficiente de

posición.



Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.

Una recta está perfectamente definida o identificada si se conocen dos puntos de ella.

Sean esos puntos A( , A x A y ) y B( , B x

B y ). Naturalmente sus coordenadas se dan por

conocidas.

Sea P(x, y) otro punto cualquiera de la recta.

Es evidente que los tres puntos son colineales. Entonces, calculando las pendientes de

AP y AB , deben ser iguales.

O sea, APm

ABm

A B

A B

A

A

x x

y y

x x

y y

)( A

A B

A B

Ax x

x x

y y y y 0)( A B

x x

Esta expresión, en que se conoce ,,,, B B A A y x y x es la ecuación de la recta que pasa por

los puntos dados A y B. Se conoce con el nombre abreviado de ” ecuación por dos

puntos”.

Ejemplos:

1.- Sean los puntos A(3, 4) ; B(5, 8). Encontrar la ecuación de la recta determinada por

ellos en el plano.

Sabemos que: A(3,4) = A(11

, y x ) , B(5, 8) = B(22

, y x )



Reemplacemos los datos en la expresión

)(1

12

12

1x x

x x

y y y y

)3(35

484 x y

)3(2

44 x y

624

)3(24

x y

x y

por lo tanto: L : y = 2x – 2, o bien,

L : 2x – y – 2 = 0

2.- Dados los puntos A y B , de coordenadas A(-3, 1) ; B(5,- 4), ¿Cuál es la ecuación de

la recta determinada por ellos en el plano?

Sabemos que: A(-3, 1) = A( ), 11 y x ; B(5, -4) = B( ), 22 y x

Reemplacemos los datos en la expresión

15588

8 / )3(8

51

)3(35

141

)( 1

12

12

1

x y

x y

x y

x x x x

y y y y



Por lo tanto: L : 5x + 8y + 7 = 0

Ecuación de la recta conocida su pendiente y un punto de ella.

Sabemos que12

12

x x

y ym es la pendiente de la recta determinada por dos puntos

A(11 , y x ) y B(

22, y x ) del plano.

Si en la expresión de la ecuación de la recta que ya conocemos:

)( 1

12

12

1 x x x x

y y y y

reemplazamos la fracción por m , entonces: )( 11 x xm y y

Esta expresión es la ecuación de una recta que tiene pendiente m y que pasa por un

punto del plano de coordenadas ( )., 11 y x

Ejemplos:

1.- Calcular la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y que pasa por el punto A(3, 4).

Se tiene: m = 4 y A( ), 11 y x = (3, 4)

Reemplacemos los datos en la expresión:

1244

)3(44

)( 11

x y

x y

x xm y y

Por lo tanto, L : y = 4x – 8



2.- Encontrar la ecuación de la recta L cuya pendiente es -5 y que pasa por el origen del

sistema de ejes cartesianos.

Se tiene que: m = -5 y A( ), 11 y x = A(0, 0)

Reemplazando. )0(50

)(11

x y

x xm y y

Luego, L: y = -5x, o bien, L : 5x + y = 0

Ecuación de los segmentos determinados por la recta en los ejes cartesianos.

Determinemos la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(p, 0) y B(0, q).

Entonces: A(11 , y x ) = A(p, 0) ; B(

22, y x ) = B(0, q)

Sabemos que la expresión de una recta que pasa por los puntos A( 11 , y x ) y B( 22 , y x )

Del plano es:

1

)(

)(0

00

)( 1

22

12

1

q

y

p

x

p

p

p

x

q

y

p

p xq y

p x p

q y

x x y x

y y y y

Esta expresión es llamada ecuación de los segmentos determinados por la recta en

los ejes cartesianos.

El punto A(p, 0) determina un segmento p sobre el eje de las abscisas ( X ) y el punto

B(0, q) determina un segmento q sobre el eje de las ordenadas ( Y ).



Ejemplo:

Calcular la ecuación de una recta que intersecta a los ejes coordenados en los puntos

C(5, 0) y D(0, -2).

Como la abscisa de C es 5 y la ordenada de D es -2, el segmento determinado sobre el

eje de las ordenadas es q = -2.

Reemplazando p y q en:

1

25

:

1:

1

1

y x L

q

y

p

x L

Transformando la ecuación a su forma principal y general:

)10( / 125

y x

-2x + 5y = -10

2x – 5y – 10 = 0 Forma general. a = 2; b = 5; c = -10

y = 25

2 x Forma principal. m =

5

2; n = -2

Posición relativa de rectas en el plano

a) Rectas paralelas.

Dos rectas cualesquiera21 L L son paralelas si y sólo si tienen igual pendiente.

Dadas :1 L y =11 n xm ;

222 : n xm y L

1 L // 212 mm L



Ejemplos:

Como 1321

mmm , entonces321

,, L L L son paralelas.

b) Rectas coincidentes

Dos rectas son coincidentes si y sólo si tienen igual pendiente e igual coeficiente de

posición.

Si:,:

:

222

111

n xm y L

n xm y L

Entonces:1

L es coincidente con21212 , nnmm L

Sean las rectas 1 L y 2 L expresadas en la forma general:

0:

0:

2222

1111

c yb xa L

c yb xa L

Entonces:2

1

2

1

21//

b

b

a

a L L

Luego:1

2

1

2

1

2

1 L

c

c

b

b

a

aes paralela y coincidente con

2 L .

c) Rectas perpendiculares.

Dos rectas222

111

:

:

n xm y L

n xm y L

Son perpendiculares si y sólo si el producto de sus pendientes es -1.

12121

mm L L



Si las rectas1

L y2

L están dadas en su forma general:

0:

0:

2222

1111

c yb xa L

c yb xa L

Tenemos que:

2

2

2

1

1

1

b

am

bam

Entonces:21

2

2

1

1

211 L L

b

a

b

amm

d) Rectas secantes o no paralelas.

Dos rectas son secantes en un plano si y sólo si se intersectan en un único punto.

EJERCICIOS

1.- Que valor debe tener k para que la recta 3x + 5ky – 1 = 0 pase por el punto (1, -3)

a)15

2

b)15

2

c) 2

d) -2

e) 0

2.- La pendiente de una recta es3

2, entonces la ecuación de la recta perpendicular a

ella en el punto (-6, 2) es:

a) 3x – 2y + 14 = 0

b) 3x + 2y – 14 = 0

c) 2x + 3y – 22 = 0

d) 3x – 2y + 22 = 0

e) 3x + 2y – 22 = 0



3.- ¿Cuál es el valor de k en la ecuación de la recta 5kx – y + 8 = 0 para que ésta sea

perpendicular a la recta 3x + 2y – 1 = 0?

a)3

10

b)3

2

c)3

2

d)3

10

e)15

2

4.- La ecuación de la recta que pasa por el punto (-2, -7) y por la intersección de las

rectas x + y = 2 y 2x – y = 7 es :

a) 6x – 5y – 23 = 0

b) 6x – 5y + 23 = 0

c) 3x – 5y + 23 = 0

d) 3x + 5y + 23 = 0

e) N.A.

5.- ¿Qué valor debe tener k, para que la distancia desde el punto (k, 7) al punto (2, 4)

sea igual a 5 unidades?

I) k = -2

II) k = 6

III) k = -6

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) I o II

e) I y III

6.- Si los puntos A(0, 1) ; B(2, 5) ; C(m, 3), pertenecen a una misma recta; entonces elvalor de m es:

a) 2

b) 0

c) 1

d) -2

e) -1



7.- La pendiente de la recta que representa a la función:8

832)(

x x f es :

a) -32

b) -4

c) 0

d) 1e) 8

8.- De acuerdo al gráfico la ecuación general de la recta L es:

a) 2x + 3y = 0

b) 3x + 2y – 6 = 0

c) 3x + 2y + 6 = 0

d) 2x + 3y – 6 = 0

e) 2x + 3y + 6 = 0

9.- El valor de k, para que las rectas1

L : 8x + 2y = 0 y2

L : 2kx – y + 6 = 0 sean

paralelas, es:

a) 2

b) 4

c) 8

d) -2

e) -1

10.- Sea la función afín: 34)(

x x f , entonces ¿Cuál(es) de las siguientes

afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La función es decreciente

II) La recta correspondiente a la función, interfecta al eje Y en (-3, 0).

III) El punto (-1, -7) pertenece a la recta correspondiente a la gráfica de la función.

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) Sólo I y III

e) Sólo II y III

11.- La intersección de las rectas y = 9 – x e y = x – 3 es el punto:

a) (6, -3)

b) (0, 9)

c) (3, 0)

d) (3, 6)

e) (6, 3)



12.- La ecuación de la recta que pasa por el origen y es perpendicular a la recta :

5x + y – 2 = 0 es:

a) 5x – y = 0

b) x – 5y = 0

c) x + 5y = 0

d) 5x + y = 0e) x – y = 0

13.- Dadas dos rectas1

L y2 L de ecuaciones y = 2x + 3, e y = kx + 5

respectivamente.¿Qué valor debe tener k, para que21

L L ?

a)2

1

b) 2

c) -2

d)2

1

e) N.A.

14.- Una recta de pendiente 3 contiene al punto (2, 5). ¿Cuál es el punto donde esta recta

interfecta al eje Y?

a) (0, -11)

b) (0, -7)

c) (0, -3)

d) (0, -1)

e) (0, 3)

15.- La opción que muestra la recta y = 5x – 12 con la recta y = x, es:

16.- La recta y = 3x – 5 es paralela con la recta:

a) y =3

1x + 5

b) y =3

1x – 5

c) y = -3x – 5

d) y = 3x -5

1

e) y = -3x - 5

1



17.- Para que las rectas: 4x – 5y = 5 ; kx + 5y = 12 sean paralelas el valor de k debe ser:

a) 4

b) 5

4

c) -4

d) 4

5

e) 1

18.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) respecto a la figura?

I) Su pendiente es 4

II) Su ecuación es y = -4x + 8

III) El punto (-1, 12) pertenece a ella.

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) Sólo I y III

e) Sólo II y III

19.- Respecto de la recta de ecuación 16x – (3 – k)y – 1 = 0 se puede afirmar que:

I) Si k = 0, entonces la recta pasa por el punto (1, 5)

II) Si k = 0, entonces la recta es paralela al eje X.

III) Si k > 3, entonces la recta tiene pendiente negativa.

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo III

d) Sólo I y III

e) I, II y III

20.- En la figura, las rectas1

L y2 L , se intersectan perpendicularmente en el punto

(0, 0). Si2

L tiene por ecuación y = x, entonces la ecuación de la recta1

L es:

a) y – x = 0

b) y + x = 0

c) y + x = 1

d) y – x = 1

e) y + x = 3



21.- Los vértices de una figura son: A(2, 0) ; B(0, 2) ; C(-2, 0) y D(0, -2). ¿Cuál(es) de

las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) La suma de sus diagonales es 8

II) La figura es un romboide.

III) El área de la figura es 8 2 .

a) Sólo I

b) Sólo II

c) Sólo I y II

d) Sólo II y III

e) I, II y III

22.-¿Cuál de las siguientes rectas del plano cartesiano es representada por la ecuación

y – b = 0?

a) La recta paralela al eje y pasa por el punto (b, 0)

b) La recta paralela al eje y pasa por el punto (0, b)

c) La recta paralela al eje x pasa por el punto (b, 0)

d) La recta paralela al eje x pasa por el punto (0, b)

e) La recta que pasa por los puntos (0, 0) y (b, b)

23.- La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, 4) y B(-7, -12) es

a) 16 x – 9 y + 4 = 0

b)

16 x + 5 y + 12 = 0c) 5 x – 16 y + 74 = 0

d) 16 x – 5 y – 74 = 0

e) 16x - 5y + 52 = 0

24.-En el triángulo ABC, AB // OX . Si m1, m2, y m3 son las pendientes de AB, BC,

y CA respectivamente, entonces un orden creciente está representado por:

a) m1 < m2 < m3

b) m3 < m1 < m2

c) m2 < m1 < m3

d) m2 < m3 < m1 e)m3 < m2 < m1

25.-¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y que es paralela a la

recta que une los puntos (4, 1) y (-2, 2)?

a) x + 6 y + 16 = 0

b) x + 6 y – 10 = 0

c) x + 6 y – 20 = 0

d) x – 6 y – 20 = 0

e) 6 x + y – 9 = 0



26.-¿Cuál es la ecuación de la recta perpendicular al segmento AB determinado por los

puntos A(2, 7), B(6, -3) y que pasa por el punto medio de este?

a) 5 x + 2 y – 24 = 0

b) 2 x – 5 y + 31 = 0

c) 2 x – 5 y + 2 = 0d) 2 x + 5 y – 39 = 0

e) 2 x + 5 y – 39 = 0

27.-Una recta L1 pasa por el punto (2, 1) y tiene pendiente 3. Si una recta L 2,

perpendicular con L1, contiene al punto (6, -2), entonces la ordenada del punto donde se

cortan L1 y L2 es:

a) -8

31

b)

- 2

1

c) 1

d) 2

3

e)10

31

28.-¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación 4 x – 3 y + 2 = 0?

a) (5, 6)

b) (4, -6)

c) (1, -2)

d)

(-2, -2)e) (3, 4)

29.-¿Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de ecuación x – 1 = 0?

30.- Según el gráfico, la ecuación de la recta L es

a) 2 x + 3 y = 0

b) 3 x + 2 y – 6 = 0

c) 3 x + 2 y – 4 = 0

d) 2 x – 3 y + 6 = 0

e) 2 x + 3 y – 6 = 0



SOLUCIONES

A B C D E

1 X

2 X

3 X4 X

5 X

6 X

7 X

8 X

9 X

10 X

11 X

12 X

13 X14 X

15 X

16 X

17 X

18 X

19 X

20 X

21 X

22 X

23 X

24 X

25 X

26 X

27 X

28 X

29 X

30 X

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