Mat. IV Geometria

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Matemáticas IV

B E A

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Índice

Página Presentación 3 Unidad 1 6 Unidad 2 16 Unidad 3 47 Unidad 4 91 Bibliografía 100

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Matemáticas IV

Presentación Con la Geometría analítica como núcleo temático de la asignatura Matemáticas IV del Bachillerato General, se le ofrece al alumno una oportunidad de auténtica integración de todos los conocimientos matemáticos recibidos como antecedentes a este curso; además, se le proporcionan los elementos necesarios que le permiten su aplicación, tanto en asignaturas de otras áreas como en cursos subsecuentes de Matemáticas. En este contexto, la Geometría analítica es una herramienta eficaz para describir y ordenar la trayectoria de cuerpos en movimiento, sistemas de fuerzas, crecimiento de poblaciones, las formas de los seres vivos, la estructura de la materia y también los fenómenos económicos, entre otros, por lo que resulta ser de gran apoyo para el estudio de asignaturas como Física, Química, Economía, Geografía, Educación ambiental y Biología. Además, este curso se considera propedéutico para Introducción al Cálculo. El punto de partida de este curso está en los problemas de la geometría euclidiana, que usa el método axiomático clásico de Euclides o método sintético, los cuáles ahora serán abordados con otro método, pues la geometría analítica introduce coordenadas numéricas y el manejo del lenguaje algebraico. Este método analítico o de coordenadas sustituye puntos del plano por pares de números, curvas por ecuaciones de dos variables, el estudio de las curvas y proposiciones geométricas por el estudio de las propiedades algebraicas y analíticas de las ecuaciones, la demostración de un teorema geométrico por la demostración del teorema correspondiente del álgebra o del análisis. En síntesis, la Geometría analítica ofrece:

La posibilidad de asociar expresiones algebraicas a figuras geométricas.

La posibilidad de descubrir resultados geométricos a partir de los algebraicos.

La posibilidad de establecer con una sola fórmula, propiedades generales de familias enteras de curvas.

Medios generales y uniformes para proceder a la solución de los problemas que se presentan al investigar las propiedades de las figuras; se obtienen resultados cuya generalidad no está limitada al estado particular de la figura que se considere.

Esta modificación al Programa contempló cambios en la secuencia de las unidades con la intención de facilitar el proceso de aprendizaje en los alumnos, ubicando la unidad de coordenadas polares al final del curso, como Unidad 4 y las unidades 1,2 y 3 se centraron en la adquisición de conocimientos y destrezas propios de la geometría analítica, trabajando en el sistema de coordenadas rectangulares. Igualmente, se ajustaron contenidos y cargas horarias con base en el diagnóstico de las posibilidades de la práctica docente en el aula. Para cumplir con estos propósitos, el programa está integrado por las siguientes cuatro unidades temáticas: 1. Sistemas de coordenadas para el plano 2. Líneas rectas y circunferencias. 3. Cónicas.

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4. Sistema de coordenadas polares y trigonometría.

Objetivos Traducir las representaciones geométricas a representaciones en coordenadas.

Deducir propiedades geométricas a partir de un resultado algebraico.

Resolver problemas geométricos, usando el método analítico o de coordenadas.

Desarrollar una concepción geométrica dinámica.

Ejercitar la imaginación espacial.

Orientaciones metodológicas

Las actividades a través de las que se accede al conocimiento de la geometría analítica

implican el manejo de figuras geométricas y sus propiedades, estudiadas en

Matemáticas III, y la manipulación algebraica, núcleo de Matemáticas I y II.

En este curso se integran y afianzan estas destrezas, a través de ejercicios y

problemas, con el cuidado que el énfasis esté en dar al conocimiento geométrico una

concepción dinámica por medio del álgebra y no supeditar los procedimientos de

solución a complejas rutinas algebraicas. Además, se recomienda, en las unidades que

lo permitan, ampliar los conceptos adquiridos para el plano cartesiano hacia el espacio

y relacionarlos con situaciones de la vida cotidiana; por ejemplo, el espacio delimitado

por los muros del salón de clases, en donde se pueden visualizar fácilmente el origen y

los ejes de un sistema de coordenadas.

El método que tiene más perspectivas es...”.

Entonces, sus partidarios lo defienden, se aclaran las dudas sobre el problema y se

complementa el camino con la participación colectiva. Si todavía no está claro el

camino de solución, se inicia otra sesión de lluvia de ideas. De hecho, la búsqueda

individual queda incluida en la colectiva, dado que cada estudiante busca un camino, el

cual propone, para luego discutirlo de manera colectiva. Dentro de la primera etapa

podemos observar que, de súbito, aparece una idea y se entiende cómo resolver el

problema, este momento se le conoce como insight, o iluminación.

Es difícil para el profesor poder entender cómo el estudiante llegó a ese momento,

pues es un proceso que se da en el subconsciente, pero en la medida que se entienda

la solución de un problema, se podrán crear condiciones en el salón de clases para que

el estudiante se acerque a ese momento.

Una vez que se encuentra el camino, es necesario comprobar que sirve, es decir, se

verifica si a partir de los datos iniciales se llega a la solución, no es necesario hacer en

clase todos los cálculos, se recomienda dejar de tarea un problema, donde escriban la

solución detallada, así se podrán trabajar 3 ó 4 problemas, discutiendo esencialmente

los esquemas de razonamiento seguidos. Es importante insistir en la diferencia entre

las dos etapas, sobre todo porque en los textos, el estudiante sólo encontrará la

exposición de la solución.

La solución de problemas en el salón de clases es una actividad que requiere tiempo

para realizarse, si éste se acorta indebidamente, la actividad pierde sentido o se dejan

de satisfacer los objetivos buscados. Por ello, es importante que se considere el tiempo

suficiente para que la actividad se desarrolle en forma completa y que los problemas

planteados sean accesibles a los estudiantes y provoquen una actitud de búsqueda.

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Las actividades sugeridas que aparecen en cada Unidad son propuestas para que el

profesor y su academia elaboren secuencias de problemas y ejercicios a seguir en

clase, bajo la dinámica de solución de problemas, con las adaptaciones necesarias,

según el número de alumnos, el tiempo disponible o la evaluación que haga el profesor

en cuanto al avance de los estudiantes.

También se recomienda el uso de la calculadora por diversas razones: puede utilizarse

como un recurso para la ejecución de cálculos en la resolución de problemas,

permitiendo que el estudiante se centre en el método de solución y asimile mejor los

conceptos y operaciones involucrados; además, puede proponerse como un medio de

aprendizaje para practicar conocimientos, por ejemplo, la jerarquía de las operaciones

y el uso de los paréntesis, notación exponencial, así como el de aproximación y

redondeo.

Ningún método aislado resuelve el problema de la enseñanza-aprendizaje de las

matemáticas en su totalidad. Las clases magistrales tienen su importancia, lo mismo

que los ejercicios de mecanización y demás actividades por siempre realizadas.

Lo más importante es elegir el mejor método en el momento y con el tema adecuado.

Los programas son una línea para el desarrollo de la enseñanza aprendizaje, pero en

cada salón de clase se tienen que resolver un sinnúmero de detalles sobre la didáctica,

los contenidos y las formas que deberá tomar la evaluación, la operación de los

programas que tienen que ser planteadas en la Academia.

En resumen, se plantea que el papel del profesor en el aula se centre en propiciar y

coordinar la presencia de tres aspectos fundamentales: a) la inducción y motivación

del aprendizaje; b) la orientación sistémica hacia la construcción del conocimiento;

c) la consolidación y retroalimentación del aprendizaje.

Evaluación

La evaluación es una actividad sistemática y continua, como el mismo proceso

educativo, implica una valoración, un juicio de valor, y la calificación es una medición o

cuantificación. Mientras que la valoración se refiere a la calidad, la medición se refiere

a la cantidad.

Ciertamente, la calificación puede y debe ser un elemento significativo para la

evaluación final del proceso de aprendizaje, pero se debe tener cuidado de que en ella

intervengan varios elementos de juicio y, por tanto, se considera un error hacerla

depender de una única actividad académica, sea ésta el examen final o la presentación

de un trabajo escrito.

Se recomienda, por consiguiente, que cada profesor genere sus mecanismos de

evaluación de todas las actividades, además de exámenes, como participación en la

actividad del aula, trabajo en equipo, investigación, presentaciones ante el grupo,

etcétera; es decir, que se realice evaluación continua, y es con este sistema donde las

tareas tienen gran relevancia.

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Unidad I

Sistemas de coordenadas para el plano Presentación En esta Unidad se introduce el uso de las coordenadas para determinar numéricamente la posición de un punto cualesquiera en una recta, el plano, lo que posibilita representar numéricamente diversos tipos de figuras geométricas, así como la investigación de relaciones entre ellas.

Objetivos El alumno será capaz de:

Utilizar el sistema de coordenadas rectangulares para representar figuras en la recta, el plano y el espacio.

Traducir las relaciones geométricas que definen a un lugar geométrico a su presentación algebraica, y viceversa; es decir, a partir de la representación algebraica identificar el lugar geométrico.

Contenidos temáticos Sistema de coordenadas rectangulares. Coordenadas de un punto. Distancia entre dos puntos. Estudio de lugares geométricos a partir de coordenadas. División de un segmento en una razón dada.

Los temas de cada uno de estos incisos serán desarrollados para la recta y el plano

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES

EN EL PLANO

Introducción. El objeto de este tema es presentar algunos de los conceptos

fundamentales de la Geometría Analítica plana.

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Definición de segmento

Segmento es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos.

Se designa por los puntos que lo limitan o por una letra minúscula.

Segmento nulo

Un segmento es nulo cuando sus extremos coinciden.

Segmentos consecutivos

Dos segmentos son consecutivos cuando tienen un extremo en común.

Segmentos alineados o adyacentes

Dos segmentos consecutivos están alineados cuando pertenecen a la misma recta.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por el punto medio del segmento y es

perpendicular a él.

Operaciones con segmentos

Suma de segmentos

La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del

primer segmento y como final el final del segundo segmento.

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La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos

segmentos que lo forman.

Diferencia de segmentos

La diferencia de dos segmentos es otro segmento que tiene por origen el final del

segmento menor y por final el final del segmento mayor.

La longitud del segmento diferencia es igual a la resta de las longitudes de los dos

segmentos.

ACTIVIDAD

Sumar los segmentos AB, CD y EF.

Restar al segmento AB, el segmento CD.

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, E de tal manera que:

AC + BD + CE = 45. Calcular AB si AE = 30 y DE = 2AB

Sobre una recta se dan los puntos consecutivos A, B, C, D, calcular AD sabiendo que

AB + BC = 10, AD =4CD y AC – AB = 2

SISTEMA COORDENADO EN EL PLANO

Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por un eje en la

recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se

cortan en un punto llamado origen.

En el plano, las coordenadas cartesianas o

rectangulares x e y se denominan

respectivamente abscisa y ordenada, y lo

dividen al plano en 4 cuadrantes.

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El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se

representan por sus coordenadas o pares ordenados.

Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las equis a uno de las yes,

respectivamente, esto indica que un punto (P) se puede ubicar en el plano cartesiano

tomando como base sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

Para localizar puntos en el plano cartesiano se debe llevar a cabo el siguiente

procedimiento:

1. Para localizar la abscisa o valor de x, se cuentan las unidades correspondientes

hacia la derecha si son positivas o hacia la izquierda si son negativas, a partir del

punto de origen, en este caso el cero.

En la práctica, eso significa que cualquier punto del plano se puede localizar con

respecto a un par de ejes perpendiculares (Plano cartesiano) anotando las distancias

desde dicho punto a cada uno de los ejes.

Por ejemplo, en la figura 1, el punto A está a 1 unidad

hacia la derecha en el eje horizontal (x) y a 4 unidades

hacia arriba en el eje vertical (y). Las coordenadas del

punto A son, por tanto, 1 y 4, y el punto queda fijado

con las expresiones x = 1, y = 4.

Los valores positivos de x están situados a la derecha

del eje y, y los negativos a la izquierda; los valores

positivos de y están por encima del eje x y los

negativos por debajo. Así, el punto B de la figura 1

tiene por coordenadas x = 5, y = 0.

En general, una línea recta se puede representar

siempre utilizando una ecuación lineal con dos

variables, x e y, de la forma ax + by + c = 0.

De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la circunferencia, la elipse y

otras cónicas y curvas regulares.

Ahora tenemos claro que la geometría analítica se desenvuelve en el llamado Plano

cartesiano, Descartes y Fermat observaron la correspondencia entre las ecuaciones

algebraicas y las figuras geométricas, podemos colegir que los dos objetivos (o

problemas) fundamentales de la geometría analítica son:

1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto

de puntos o lugar geométrico (una línea o una

figura geométrica) en un sistema de

coordenadas, obtener la ecuación algebraica

que cumplen dichos puntos.

Para este objetivo, siguiendo con el ejemplo

anterior, todos los puntos que pertenecen a la línea

recta que pasa por A y B cumplen la ecuación

lineal x + y = 5; lo que expresado de modo general

es ax + by = c.

Un par de ejes

perpendiculares (x e y).

http://www.profesorenlinea.cl/quinto/matematica/ParOrdenado.htm

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.html

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2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es:

dada una expresión algebraica, describir en

términos geométricos el lugar geométrico de los

puntos que cumplen dicha expresión.

Invirtiendo el ejemplo anterior, dada la ecuación algebraica x + y = 5, podemos

calcular todos los valores para x e y que la cumplan y anotados esos valores en el

Plano cartesiano veremos que corresponden a la recta AB.

Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver algebraicamente esos problemas

geométricos de construcción, como la bisección de un ángulo o de una recta dados,

encontrar la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar una

circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén en línea recta.

ACTIVIDAD

Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A (-3,-1); B (0,3); C (3,4) y D

(4,-1).

En un plano cartesiano localicen los puntos A (3,-2), B (1,1), C (-5,3) y D (-4,0)

Representa los puntos dados en un sistema cartesiano.

A (1, 3) E (1/2, 6) B (–6, 4) F (4, –1/3) C (2, –5) G (5/4, –5/2)

D (–1, 0) H (0.5, 3.75)

En el plano cartesiano localiza y dibuja los siguientes puntos:

A (-3,2), B (-3,0), C (-3,-1), D (-3,-2), E (-2,1), F (-4,5), G (1,2), H (0,3), I (-2,0)

J (5,0)

Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados

sobre el eje x o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos

corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este

eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

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d

Observaciones:

En la fórmula (1) se observa que la distancia entre dos puntos es siempre un valor no negativo.

Nótese además que el orden en el cual se restan las coordenadas de los puntos P1 y

P2 no afecta el valor de la distancia.

Si el segmento rectilíneo determinado por los puntos P1 y P2 es paralelo al eje x

(fig.2) Entonces puesto que y1 = y2

fig. 2

Igualmente, si dicho segmento es paralelo al eje y (fig. 2 (b)),

Entonces puesto que x2 = x1

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) en el

sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de Pitágoras.

Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A (7,5) y B (4,1)

d= √ (4 – 7)2 + (1 – 5)2

d= √ (– 3)2 + (– 4)2

d= √ 9 + 16

d= √ 25

d= 5

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ACTIVIDAD

Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo Situamos los

puntos A (-2, -3), B (-1, 3), C (4, -2) y D (5, 4) en un sistema de coordenadas

cartesianas,

Tomando como unidad de longitud el

centímetro.

Demostrar que el cuadrilátero ACDB es un

rombo. Para ello, calcule la longitud de cada

uno de sus lados.

Situemos los puntos A (2, -5), B (0, 3) y C (-3, 0) sobre un sistema de coordenadas

cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Vamos a demostrar que el triángulo es escaleno. Para ello, calculamos la longitud

de cada uno de sus lados.

Calcula el perímetro del siguiente polígono que se muestra en la figura

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Hallar la distancia entre los puntos P1 (2, -8) y P2 (3, 5)

Halla la distancia entre los puntos A (-4, 12) y B(11, -8).

Graficar los puntos A (-3,6) y B (5, 1) y calcular la distancia d(A, B)

Calcular la distancia entre los puntos: A (-3,2) y B (1,-1).

Calcular la distancia entre los puntos: P (6,5) y Q (-7,-3).

Búsquese el perímetro del triangulo (2,3), (-3,3) y (1,1)

Demuestre que los puntos (1, -2), (4,2) y (-3,-5) son los vértices de un triangulo isósceles.

Situemos los puntos A (4, 2), B (4,8) y C (10,2) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

a) Calcular el perímetro de la figura formada

b) Calcular el área

Hallar el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son (-3, -1), (0, 3), (3, 4), (4, -1)

Demostrar que los puntos (-2, -1), (2, 2), (5, -2) son los vértices de un triangulo

isósceles.

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

El resultado de la comparación de dos

cantidades de la misma especie, se llama

razón o relación de dichas cantidades. Las

razones o relaciones pueden ser razones por cociente o geométricas.

La razón por cociente o geométrica es el

resultado de la comparación de dos

cantidades homogéneas con el objeto de

saber cuántas veces la una contiene a la otra.

Observación: En geometría analítica las razones deben considerarse con su signo o

sentido porque se trata de segmentos de recta dirigidos.

TEOREMA Si P1(x1, y1 y P2(x2, y2) son los extremos de un segmento P1 P2, las

coordenadas (x, y) de un punto P que divide a este segmento en la razón dada

r= P1 P: P P2 son

X = x1 + rx2, Y = y1 + ry2 r ≠ -1

1 + r 1 + r

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Ejemplo

Si P1 (-4, 2) y P2 (4, 6) son los puntos extremos del segmento dirigido P1 P2, hallar las

coordenadas del punto P(x, y) que divide a este segmento en la razón P1P; PP2 = -3

X = x1 + rx2 = -4 + (-3)4 = -16 = 8

1 + r 1 – 3 -2

Y = y1 + ry2 = 2 + (-3)6 = -16 = 8

1 + r 1 – 3 -2

Por lo tanto:

r = P1 P = x – x1 = x – (-4) = = -3, de donde x = 8

P P2 x2 – x 4 – x

r = P1 P = y – y1 = y – 2 = = -3, de donde y = 8

P P2 y2 – y 6 – y

ACTIVIDAD Los puntos extremos de un segmento son P1 (7, 8) y P2 (8, -4) hallar el punto P (x, y)

que divide a este segmento en dos partes tales que r= -2

Los extremos de un segmento son los puntos P1 (7, 8) y P2 (-1, -4), hallar la razón en

que el punto P (1, -2) divide al segmento.

Hal lar las coordenadas del punto C, sabiendo que B(2, -2) es el punto

medio de AC, A(-3, 1).

Las coordenadas de los extremos del segmento AB son: A (2, -1) y

B (8, -4). Hal lar las coordenadas del pun to C que divide a l segmento

AB en dos partes ta les que AC es la mitad de CB.

Si el segmento AB de extremos A (1,3), B (7, 5) , se d iv ide en cuatro

partes iguales, ¿cuáles son las coordenadas de los puntos de d iv isión?

Determine las coordenadas del punto P(x, y), que divide al segmento AB cuyos

extremos son: A (1,-1) Y B (10,10) en la razón, r=1/3 e indique si es punto de

trisección. Grafique.

Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por

los puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique

Coordenadas del punto medio de un segmento

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: A (X1, Y1) y B(X2, Y2)

A(X1, Y1) M B(X2, Y2)

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Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de

las coordenadas de de los puntos extremos.

X1 + X2 Y1 + Y2

XM= ---------------------- YM = ---------------

2 2

Ejemplo

Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB.

A (3, 9) B (-1, 5)

3 – 1 2 9 + 5 14

XM = --------------- = ----------- = 1 YM = --------------- = ---------- = 7 2 2 2 2

M = (1,7)

ACTIVIDAD

Sean P1 (-1, 1) y P2 (3, 0) dos puntos en el plano. Determine:

Coordenadas del punto medio M del segmento

Hallar el punto medio M del segmento de recta P1 (-2,3) a P2 (4,-2) C

Halla las coordenadas del punto medio del segmento de extremos A (2, -1) y B(-6, -4).

N CO

Representar estos puntos en un plano cartesiano y el estado en qué cuadrante se

encuentran:

a) Una (-3, b) B (4, 7) c) C (-2, -5) d) D (3, -6)

Encontrar los puntos medios de AB, BC, CD y AD en la pregunta 1.

Encontrar las longitudes de los segmentos de línea AC, BD, AD en la pregunta ORDEL PUNTO MEDIO.

El triángulo ABC tiene vértices en A, B (2, 7) (0, 0) y

C (5, 1)

a) Determinar la longitud del segmento AC.

b) Determinar las coordenadas de M, el punto

medio de AB.

c) Determinar las coordenadas de N, el punto

medio de BC.

d) Determinar la longitud del segmento MN.

e) ¿Qué fracción de BC es MN?

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Unidad 2

Líneas rectas y circunferencias Presentación

En la Unidad 2 se abordarán problemas que

sean resolubles mediante el uso de la línea

recta y la circunferencia, permitiendo

reforzar y ampliar el estudio de sus

propiedades y relaciones como entes

geométricos, a través del uso del método de

coordenadas. La determinación de sus

ecuaciones y el análisis de sus parámetros

posibilitan la integración del trabajo

algebraico y el geométrico en la resolución

de problemas.


Analizar las condiciones que deben cumplir los puntos, para pertenecer a una

línea recta.

Deducir la ecuación de la recta.

Explicitar los parámetros que determinan una línea recta y cómo, a partir de

ellos, se puede presentar a la ecuación de la recta de formas distintas.

Examinar las condiciones que deben cumplir los puntos para pertenecer a una

circunferencia.

Deducir la ecuación de la circunferencia.

Explicitar los parámetros que determinan una circunferencia y cómo, a partir de

ellos, la ecuación de la misma se puede representar de diferentes formas.

Aplicar los conceptos de recta y circunferencia en la resolución de problemas.

Contenidos temáticos

Ángulo de inclinación y pendiente de la línea recta.

Ecuación de la recta.

Familias de rectas.

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad entre rectas.

Ángulo entre dos rectas.

Distancia de un punto a una recta.

Parámetros de la circunferencia.

Ecuación de la circunferencia.

Familias de circunferencias.

Ecuación de la recta tangente a la circunferencia

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ANGULO DE INCLINACION Y PENDIENTE DE UNA RECTA

Una recta horizontal tiene pendiente igual a

0 (cero). Cuanto menor sea el valor de la

pendiente, menor inclinación tendrá la recta;

por ejemplo, una recta que se eleve un

ángulo de 45° con respecto al eje X tiene

una pendiente m = +1, y una recta que

caiga 30° tiene pendiente m = -0,5. La

pendiente de una recta vertical no está

definida, o se dice que es infinita.

El ángulo θ que una recta forma con el eje horizontal está relacionado con la pendiente

m por medio de la siguiente relación trigonométrica:

o equivalentemente:

Dos o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son

verticales y por ende no tienen pendiente definida; dos o más rectas son

perpendiculares (forman un ángulo recto entre ellas) si el producto de sus pendientes

es igual a -1.

Consideramos como (ángulo de inclinación) a aquel ángulo que se pueda presentar

entre un segmento plano (Horizonte) y otro segmento distante.

Por ejemplo:

Dicha noción representa una pieza crucial, para algunas condiciones que se puedan

presentar en unos fenómenos naturales o producidos. Tal es el caso de la construcción

de un puente que posee múltiples vías. Es necesario conocer la pendiente de una vía

con respecto a otra para evitar una mala construcción de mismo.

Esta misma analogía podría ser ubicada en la comodidad del hogar, en las esquinas de

las habitaciones. Si suponemos querer tener una habitación en la que la edificación de

los cuartos cuadre es necesaria, de cierta manera conocer a que ángulos inclinación

están dictadas las paredes.

http://es.wikipedia.org/wiki/Trigonom%C3%A9trica

http://es.wikipedia.org/wiki/Perpendicular

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Pues podría generarse una situación de una mala edificación lo cual repercutiría en

unos cuartos mal construidos. Todo estos detalles muy importante para poder llevar un

trabajo adelante.

Es por ello, que dicha noción debe ser tomada con seriedad pues uno nunca se imagina

en la situación que podría ser útil.

La determinación del (ángulo de inclinación) ya en términos de su valor, es realizado

bajo el contexto de la trigonometría por medio de la (Tangente y su función inversa) o

bien a través del análisis vectorial... Ambos caminos conduciéndonos al mismo

resultado.

Ahora bien ¿cómo podemos calcular el ángulo de inclinación de una recta? La

respuesta a esta pregunta la vamos a dar con un ejemplo práctico que Seguramente

ya has visto en alguna parte donde realizan trabajos de construcción.

Ahora bien, supongamos que tenemos un segmento (Horizonte) cuya longitud es de 2

metros y poseemos una altura de 4 metros del segmento (Horizonte) al segmento

distante y no conocemos la longitud del (Segmento distante) y por supuesto deseamos

conocer el valor del ángulo comprendido entre estos 2 segmentos... Entonces

tendríamos un escenario similar a ésta:

Para empleamos un poco de trigonometría utilizando la razón (Tangente) seguido de la

ejecución de la función (Tangente inversa) para determinar el correspondiente ángulo,

como se muestra en la imagen.

Suponiendo por supuesto que podemos establecer un marco donde es posible

establecer la distancia entre uno y otro segmento. Y por extrañas razones no conocer

el valor de un segmento, lo cual fuera ilógico deduciendo que pudimos establecer una

altura.. Ya si no sabremos la longitud del segmento distante entonces no es posible

deducir un punto de donde fijar la altura.

Todo ello por supuesto considerando que el escenario, genera los elementos necesarios

para la utilización de las razones trigonométricas o sea exista un triángulo rectángulo

en él. Ya que de lo contrario sería necesario aplicar algunas leyes como: (Ley de los

cosenos o ley de los senos) para conocer ello, ya que serían otra clase de triángulo.

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Por el camino del (Análisis vectorial) se sugiere además de la noción de razones

trigonométricas, el conocimiento de la ubicación de los vectores dentro del marco de

un (Sistema de coordenadas).

En lo que ha (Pendiente de una recta) se refiere, consideramos como (Pendiente)

aquella magnitud que expresa la variación o crecimiento de un objeto con respecto a sí

mismo, por ejemplo: El caso de la recta, indica el crecimiento de la misma al cabo del

paso de una unidad. Sirviendo dicho hecho como una base para la construcción de

algunos otros objetos más complejos.

Como se muestra, en la imagen:

Dicha noción es la asociación común de la razón trigonométrica (Tangente) a un

ámbito de continuidad.

EJEMPLO PRÁCTICO PARA DETERMINAR LA IMPORTANCIA Y APLICACIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA. La siguiente figura muestra a una persona que se dispone a construir un piso de concreto. Seguramente te has dado cuenta de que una primera actividad que estos trabajadores realizan es lograr que la superficie esté completamente horizontal luego hecho esto, empiezan a colocar el cemento mezclado

¿Pero qué tan importante es que el piso sea horizontal o no? Pues que la inclinación permite lograr que el agua circule para donde está la parte más baja y

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esto cobra mucho más importancia en la construcción de los techos ya que al estar completamente horizontales el agua se queda atrapada y ocasiona con el tiempo filtraciones que arruinan la edificación. Por ello muchas personas construyen casas con techos que tienen una inclinación como se observa en las siguientes imágenes.

De todo ello que hemos mencionado hasta el momento hemos de enfatizar dos cosas:

Para trazar una recta se requieren dos puntos.

La recta puede tener pendiente positiva, negativa, cero o infinita. Con estos ejemplos podemos tener una mejor comprensión del uso de la recta y su pendiente, así como la forma de obtener la inclinación, pero vayamos a resolver algunos ejemplos que nos permitirán más adelante aplicar las formulas a las situaciones que se plantearán ya que el concepto de pendiente tiene muchas más aplicaciones en diversas áreas del conocimiento. CALCULO DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA DADOS 2 PUNTOS. Se sugiere que tengas una calculadora científica para que vayas siguiendo la secuencia de las operaciones que se van realizando. Como ya se ha dicho, se requiere de 2 puntos, y tratándose de puntos en el plano cartesiano entonces se debe conocer sus coordenadas. Por lo tanto la formula a usar es:

m = y2 – y1 x2 – x1 Donde (x1, y1) son las coordenadas del punto 1 (x2, y2) son las coordenadas del punto 2 Con el fin de obtener practica sobre la aplicación de la formula veamos el siguiente ejemplo. Es importante poner atención a la secuencia de los pasos para llegar al resultado. Ejemplo Obtener la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (2,-3) y B (-4,1) El primer paso es definir el cual es el punto 1 el que será A y el punto 2 el B, por lo que al sustituir en la formula tenemos:

21

m= y2 – y1 = 1 – (-3) = 1 + 3 = 4 m = -2 x2 – x1 - 4 -2 -6 -6 3 Ahora lo que sigue es darle significado a nuestro resultado. Para esto debemos emplear los conocimientos de trigonometría, respecto a cálculo de ángulos. La función trigonométrica que nos permite obtener el ángulo de inclinación es: tangente ya que usando un sistema de coordenadas podemos ver que en un triángulo rectángulo donde la hipotenusa es nuestra recta en cuestión, entonces los puntos1 y 2 forman los lados que se llaman catetos por lo que conocidas las coordenadas podemos usar la función tangente que se define como: Tan C = cateto opuesto Cateto adyacente = y2 – y1 = m X2 – x1 Que es la pendiente buscada. Todo ello lo observamos en la figura siguiente:

Y para aplicarlo a nuestro ejemplo entonces como ya sabemos cuál es el valor de la pendiente entonces lo que necesitamos es saber cuál es el ángulo que le corresponde a este valor. Una primera forma de conocerlo es usando una tabla de valores de la función tangente y la otra que es la más practica y recomendada es por medio de una calculadora hallar la función inversa de la tangente.

Es decir el ángulo cuya tangente es para nuestro caso: -2/3 que corresponde a un valor de - 33.69º, pero como el resultado fue negativo significa que debemos estar a 180º el valor obtenido. Esto es: 180 - 33.69 = 146.3º

De este primer ejemplo, un punto importante es haber realizado el trazo de la recta. Para hacer esto debemos usar el conocido plano cartesiano donde vamos a localizar los puntos y realizar el trazo. Podemos comprobar que la recta forma un ángulo mayor a 90 grados por lo tanto es correcta la solución.

22

Como sugerencia: se recomienda que compruebes en una hoja milimétrica trazando un plano cartesiano y localizando los puntos y haciendo el trazo de la recta para que midas con un transportador el ángulo que se forma entre la recta y el eje “x”.

Un ejemplo de aplicación. Considera la siguiente situación:

El encargado de pruebas de velocidad de una empresa desea conocer la velocidad de un avión en un lapso de tiempo, y para ello decide realizar una medición del tiempo y la distancia recorrida la cual registra en la siguiente tabla. En esta recopilación de datos se considera que el avión lleva una velocidad constante, para lo cual decide hacer una grafica de tiempo transcurrido y distancia recorrida. Los datos son los que se muestran a continuación.

Con esta información hay que determinar la velocidad del avión. Para dar respuesta a la pregunta Lo primero que debemos identificar es la manera en que se relaciona la distancia y el tiempo. Hay que recordar que existe en Física una fórmula que nos puede ser de utilidad, sin embargo vamos a ocupar nuestra conocida formula de la pendiente y empleamos los dos primeros puntos: P1 (1,120) y P2 (2,240). Al aplicar la formula tenemos: m= y2 – y1 x2 – x1 m = 240 – 120 = 120 2 – 1 1 m = 120 y si vemos un libro de física, está pendiente representa la velocidad que se obtiene

mediante v = d/t

TIEMPO (hrs.)

DISTANCIA (km)

1 120

2 240

3 360

4 480

5 600

23

Ahora si observamos en una grafica los datos podemos observar que en efecto se

obtiene una línea recta. Y esta línea recta tiene una pendiente m=120 que significa la

velocidad.

En este caso la variable “Y” representa la distancia, y la variable “x” indica el tiempo.

ACTIVIDAD

Dados los puntos C (1,2) y D (5, 7) determine la pendiente de la recta que se forma

con dichos puntos.

Dibuja la recta que pasa por los puntos dados y halla la pendiente y el ángulo de

inclinación para cada caso.

1) (-3,4) y (6, -2)

2) (-3, -4) y (3, 2)

3) (-4, 2) y (3, 2)

4) (2, 4) y (2, -3)

Halla la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos.

1) (-3, -3) y (2, -3)

2) (0, 4) y (2, -4)

3) (-2, -1) y (1, 2)

4) (-3, 2) y (-3, -1)

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

(-3, 2) y (7, -3).

Una recta de pendiente 3 pasa por el punto (3, 2). La abscisa de otro punto de la recta

es 4. Hallar su ordenada.

La pendiente de una recta que pasa por el punto A (3, 2) es igual a 4/3. Situar dos

puntos sobre la recta que equidisten 5 unidades de A.

Por medio de pendientes explicar porqué los puntos A (-3, 4), B(3,2) y C(6, 1) son

colineales

Señala gráficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura

y obtén el valor de su ángulo de inclinación

24

Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:

2x + 3y – 10 = 0

X – y – 5 = 0

5x – 4y + 15 = 0

LA RECTA COMO LUGAR GEOMÉTRICO.

Para entrar en esta materia y para entender lo que significa la Ecuación de la Recta

es imprescindible estudiar, o al menos revisar, lo referido a Geometría analítica y

Plano cartesiano.

La idea de línea recta es uno de los conceptos intuitivos de la Geometría (como son

también el punto y el plano).

La recta se puede entender como un conjunto infinito de puntos alineados en una

única dirección. Vista en un plano, una recta puede ser horizontal, vertical o diagonal

(inclinada a la izquierda o a la derecha).

Es en este contexto que la Geometría analítica nos enseña que una recta es la

representación gráfica de una expresión algebraica (función) o ecuación lineal de

primer grado.

Esta ecuación de la recta varía su formulación de acuerdo con los datos que se

conozcan de la línea recta que se quiere representar algebraicamente. Dicho en otras

palabras, hay varias formas de representar la ecuación de la recta.

¿Pero cómo obtener la ecuación?, debemos hablar de lo que es la recta como lugar geométrico lo cual significa determinar su ecuación que la representa. Para ello es primeramente importante decir que toda ecuación de la forma Ax + By + C = 0 Representa una recta

Ecuación principal de la recta

Esta es otra de las formas de representar la ecuación de la recta.

Pero antes de entrar en la ecuación principal de la recta conviene recordar lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta se puede representar en un sistema de

coordenadas, siendo x el valor de la abscisa e y el valor de la ordenada.

(x, y) = (Abscisa, Ordenada)

Ejemplo: El punto (–3, 5) tiene por abscisa –3 y por ordenada 5.

Si un par de valores (x, y) pertenece a la recta, se dice que ese punto satisface la

ecuación.

Ejemplo: El punto (7, 2) (el 7 en la abscisa x y el 2 en la ordenada y) satisface la

ecuación y = x – 5, ya que al reemplazar queda 2 = 7 – 5 lo que resulta verdadero.

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Geometria_analitica.html

http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Plano_Cartesiano.html



http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_lineales_tipos.html

25

Recordado lo anterior, veamos ahora la ecuación de la recta que pasa solo por un

punto conocido y cuya pendiente (de la recta) también se conoce, que se

obtiene con la fórmula y = mx + n que considera las siguientes variables: un punto

(x, y), la pendiente (m) y el punto de intercepción en la ordenada (n), y es conocida

como ecuación principal de la recta (conocida también como forma simplificada,

como veremos luego).

Al representar la ecuación de la recta en su forma principal vemos que aparecieron dos

nuevas variables: la m y la n, esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos

elementos que deben considerase al analizar o representar una recta: la pendiente y

el punto de intercepción (también llamado intercepto) en el eje de las ordenadas

(y).

Respecto a esto, en el gráfico de la

izquierda, m representa la pendiente de la

recta y permite obtener su grado de

inclinación (en relación a la horizontal o

abscisa), y n es el coeficiente de posición,

el número que señala el punto donde la recta

interceptará al eje de las ordenadas (y).

Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0,

b) (corresponde a n en la fórmula principal ya vista), podemos deducir, partiendo de la

ecuación de la recta de la forma

y − y1 = m(x − x1)

y – b = m(x – 0)

y – b = mx

y = mx + b

Esta es una segunda forma de la ecuación principal de la recta (se la llama también

forma explícita de la ecuación) y se utiliza cuando se conocen la pendiente y la

ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b (no olvidemos que corresponde a

la n en la primera forma de la ecuación principal). También se puede utilizar esta

ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación

dada.

Ejemplo: La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual

indica que interceptará al eje y en el punto (0, 7).

Conocida la fórmula de la ecuación principal (simplificada o explícita, como quieran

llamarla) de la recta es posible obtener la ecuación de cualquier recta siempre que se

nos den al menos dos variables de ella: puede ser la pendiente, puede ser un punto o

puede ser el intercepto.

26

Esto significa que si te dan esa información se puede conseguir una ecuación de la

forma y = mx + b que cumple con esas condiciones dadas. Nótese que la ecuación y

= mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n; por lo tanto, la

b corresponde al valor de n (el intercepto en la ordenada y).

Ejemplo 1:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

m = 3 y b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 3x + 10.

Nótese que esta forma principal (simplificada o explícita) también podemos expresarla

como una ecuación general:

y – 3x – 10 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como

– y + 3x + 10 = 0, que luego ordenamos, para quedar

3x – y + 10 = 0

Ejemplo 2

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene pendiente m = – 5.

Tenemos que hallar la ecuación de la recta, esto es, y = mx + b.

Usamos a información: m = – 5 y sustituimos en la ecuación:

y = – 5x + b

Ahora tenemos que buscar la b; usamos el otro dato; la recta pasa por el punto

(1, 2), por lo tanto, ese punto es una solución de la ecuación que buscamos. Se

sustituyen esos valores de x = 1, y = 2 en la ecuación que estamos buscando:

2 = – 5 (1) + b

Despejamos la variable b en:

2 = – 5 (1) + b

2 = – 5 + b

2 + 5 = b

b = 7

Sustituimos el valor de b en la ecuación que buscamos: y = – 5x + 7

La ecuación en su forma principal (simplificada o explícita) es y = – 5x + 7.

La cual también podemos expresar en su forma general:

y = – 5x + 7

y + 5x – 7 = 0

27

Ordenamos y queda

5x + y – 7 = 0

En la siguiente grafica se observa las características de la ecuación.

ECUACION GENERAL DE UNA RECTA

Su expresión matemática es:

Ax + By + C = 0

De donde A: es el coeficiente del término en x

B: es el coeficiente del término y

C: es el término independiente

Su pendiente se calcula con: m = -A B

Por tanto la formula es:

Ecuación de la recta dado dos puntos es

y – y1 = y2 – y1 {x – x1}

x2 – x1

De donde:

{x1 , y1} son las coordenadas del primer punto

{x2 , y2} son las coordenadas del segundo punto

Ejemplo Obtener la ecuación en forma general de la recta que pasa por los puntos:

M (3,5) y N (–7,2)

En este caso lo que debemos calcular primero es la pendiente ya que no la conocemos

y después aplicamos la fórmula usando uno de los puntos dados (cualquiera).

Primero el cálculo de La pendiente donde

M es el punto 1 y el punto 2 es N viene a ser:

m = y2 – y1

X2 – x1

Y1 – Y2 = m(X1 – X2)

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Donde “m” es la pendiente, vamos a usar uno de los 2 puntos que en este caso será

(-7,2)

Entonces sustituyendo tenemos:

m = 2 – 5 = - 3 = 3

-7 -3 -10 10

Luego en la formula: Y1 – Y2 = m(X1 – X2)

Y – 2 = 3/10 (X + 7) pasando al 10 a multiplicar al otro miembro se tiene

10Y – 20 = 3X + 21

10Y -20 – 3X – 21=0

10Y – 3X – 41 = 0 si despejamos Y de esta ecuación nos queda

Y = 3X + 41

10

Y = 3X + 41

10 10

Que se conoce como ecuación pendiente, ordenada al origen.

Esta forma de ecuación tiene la estructura:

y = mx + b

Donde m es la pendiente y b es la ordenada que representa la distancia de la recta al

eje “x”

Se observa de manera evidente que para nuestro caso la pendiente es m=

3/10 y la ordenada al origen es b= 41/10

Luego la ecuación en la forma general como la habíamos solicitado se obtiene de: 10Y – 3X – 41 = 0 se multiplica por -1 y se obtiene 3X + 10Y + 41 = 0

Claro es que para este caso tenemos que A= 3, B= -10, C= 41

Por último la grafica de la recta la presentamos en la siguiente imagen donde se observa que la pendiente es en efecto positiva y pasa por los puntos que se han dado.

ACTIVIDAD

Halla la ecuación dado:

29

1) puntos: (0, 5) y (3, 3)

2) puntos: (-2, 3) y (-1, -6)

3) puntos: (3, 1) y (-3, -1)

Encontrar la ecuación en forma general de la recta que pasa por (-7,-1) y Tiene

m = - 4/5

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2) y tiene un ángulo de

inclinación de 45º

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2

Los vértices de un cuadrilátero son A (0, 0), B (2, 4), C) 6, 7), D /8, 0). Hallar la

ecuación de sus lados.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una

pendiente de – 1/3

Obtenga la ecuación de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ángulo de

inclinación es 135º. Grafique

Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique

Halle la ecuación de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su intersección con el eje Y

es el punto (0,-2). Grafique

Ahora analizaremos el caso contrario, en donde dada la ecuación general

de la recta de la forma Ax + By + c = 0

Calcularemos la pendiente y sus intercepciones con el eje “x” y el eje “y”.

La fórmula para calcular la pendiente de una ecuación de la forma Ax + By + C = 0

Donde A, B y C son números reales es como se ha dicho:

M = - A

B

Es decir, se debe dividir el coeficiente del término en “x” entre el coeficiente del

término en “y”

La ordenada al origen y abscisa al origen se calculan con:

Abscisa al origen a= - C

A

La ordenada al origen: b= -C

B

Gráficamente esto significa la distancia a donde la recta cruza cada eje de

coordenadas.

30

Ejemplo.

Determine la pendiente, abscisa al origen y ordenada al origen de la ecuación:

x +2y – 6 = 0

En este coeficiente son A=1, B=2 y C=-6

La pendiente es: m = -A = -1

B 2

La abscisa al origen es: a = -C = -(-6) = 6 = 6

A 1 1

Es decir la intercepción “x” es 6

La ordenada al origen es b = -C = -(-6) = 6 = 3

B 2 2

Es decir la intercepción con “y” es 3

Como se observa, la pendiente es negativa y por ello el ángulo de Inclinación es mayor de 900

ACTIVIDAD

Calcula la pendiente, la ordenada y la abscisa del origen de la recta cuya

ecuación es:

a) y - 3x - 2 = 0

b) 4x + 3y -9 = 0

c) 4x + 3y -9 = 0

d) y - 2 = 0

e) y = 3x + 2

f) 5x + 2y - 3 = 0

31

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean P(x1, y1) y Q(x2, y2) dos puntos de una recta. Sobre la base de estos dos

puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x, y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la

misma pendiente. O sea

y

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Que también se puede expresar como

Ejemplo 1:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P (1, 2) y Q (3, 4)

y – 2 = x – 1

y – x + 1 = 0

Ejemplo 2:

Determina la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P1 (4, 3) y

P2 (–3, –2)

Sabemos que la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Reemplazamos los valores:

–2 – 3 = y – 3

–3 – 4 x – 4

–5 = y – 3

–7 x – 4

32

y – 3 = x – 4 (–5 /–7)

y – 3 = –5 x + 20

–7

–7 (y – 3) = –5 x + 20

–7y +21 + 5x – 20 = 0

5x – 7y + 1 = 0

Que se corresponde con una ecuación de la forma general

Ax + By + C = 0

Donde

A = 5, B = 7, C = 1

Ecuación de la recta dados punto–pendiente (se conoce un punto

y se conoce la pendiente)

Por lo ya visto, y por los ejemplos anteriores, sabemos que la ecuación de la recta que

pasa por dos puntos está determinada por

Pero

Luego, si reemplazamos en la ecuación anterior obtenemos

Despejando, llegamos a:

y – y1 = m(x – x1)

Ejemplo:

Determina la ecuación general de la recta de pendiente –4 y que pasa por el punto

(5, –3)

y – y1 = m(x – x1)

y – (–3) = –4(x – 5)

y + 4 = –4x + 20

Luego la ecuación pedida es 4x + y – 16 = 0.

33

ACTIVIDAD

Ejercicios para obtener la ecuación general de la recta dados un punto y la

pendiente

Recuerde que la fórmula inicial es y – y1 = m(x – x1)

m = –1; punto (–2, 3)

y – 3 = –1(x + 2)

y – 3 = –x – 2

x + y – 1 = 0

m = 2; punto (–3/2, –1)

m = 0; punto (–3, 0)

m= –4; punto (2/3, –2)

m = –2/5; punto (1,4)

m = 3/4; punto (2,5, –3)

m = 0; punto (–4, 1/2)

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (1, 5) y tiene de pendiente 2.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -3) y es paralela a la recta

determinada por los dos puntos (4, 1) y (-2, 2).

Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordenada en el origen son 5 y -3,

respectivamente.

Ángulo que forman dos rectas

Se l lama ángulo de dos rectas a l menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a part i r de: Sus pendientes

Consideremos la figura anterior las dos

rectas l y l`. Sea C su punto de intersección

y A y B los puntos en que cortan al eje X.

Sean Q1 y Q2 los dos ángulos suplementarios

que forman, cada uno de estos ángulos, Q1 y

Q2, se miden, tal como encontrar de las

manecillas del reloj, o sea, en sentido

positivo. La recta a partir de la cual se mide

el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia

la cual se dirige el ángulo se llama recta final.

Las pendientes de las rectas inicial y final se

llaman pendiente inicial y pendiente final, respectivamente.

34

Se designa al Ç1 el ángulo de inclinación de la recta l´ y por m1 la pendiente; para la

recta l, sean Ç2, y m2, el ángulo de inclinación y la pendiente, respectivamente.

Para el ángulo Q1, la recta inicial es l’ , la pendiente inicial es m1, la recta final es l y la

pendiente final es m2; para el ángulo Q2, la recta y la pendiente iniciales, y la recta y

pendiente finales, están dadas por l, m2, l’ y m1, respectivamente.

Por geometría elemental, un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los

dos ángulos interiores opuestos. Por tanto, en el triangulo ABC, siendo Q1 = ángulo

ACB, tendremos:

Ç2 = Ç1 + Q1 o sea Q1 = Ç2 – Ç1. (1)

Tomando las tangentes de ambos miembros de (1), tenemos:

Tg Q1 = m2 – m1

1 + m2 m1

Para el triangulo ABC, con Q2 por ángulo exterior, tenemos:

Tg Q2 = m1 – m2

1 + m1 m2

TEOREMA. Un ángulo especificado Q formado por dos rectas esta dado por la formula:

Tg Q = m2 – m1 , m1 m2 ≠ -1

1 + m1 m2

En donde m1 es la pendiente inicial y me la pendiente final correspondiente al

ángulo Q

Del anterior teorema se puede deducir las condiciones de paralelismo y

perpendicularidad de dos rectas, conocidas sus pendientes.

Si dos rectas son paralelas, el ángulo formado por ellas es 0º o 180º. En cualquiera de

los dos casos, la formula se reduce a cero:

0 = m2 – m1 , de donde, m1 = m2; es decir, las pendientes son iguales.

1 + m1 m2

Recíprocamente, si m1 = m2, se reduce a Tg Q = 0

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean paralelas es que sus

pendientes sean iguales.

Si dos rectas son perpendiculares, el ángulo comprendido entre ellas es de 90º.

Recíprocamente, m1 m2 = -1 por lo tanto la ctg Q = 0, por tanto:

La condición necesaria y suficiente para que dos rectas sean perpendiculares entre si,

es que el producto de sus pendientes sea igual a -10.

35

Ejemplo Modelo Hallar el ángulo agudo del paralelogramo cuyos vértices son A (-2, 1), B (1, 5), C (10,

7) y D (7, 3)

Solución

El primer paso es indicar la dirección positiva del ángulo que se busca que, en este

caso, es el ángulo C de la figura anterior. Entonces el lado BC da la pendiente inicial

m1 y el lado CD la pendiente final m2.

m1 = y2 – y1 = 7 – 5 = 2 m2 = 7 – 3 = 4

X2 – x1 10 – 1 9 10 – 7 3

Después tenemos Tg C = m2 – m1 4/3 – 2/9 = 36 – 6 = 6/7

1 + m2 m1 1 + 4/3 * 2/9 27 + 8

De donde C = 40º 36’

ACTIVIDAD

Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos

A (-3, 2) y B (7, -3).

Los vértices de un triangulo son los puntos C (2, -2), D (-1, 4) y E (4, 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.

Demostrar, por medio de pendientes que los puntos F (9, 2), G (11,6), H (3, 5), y I (1, 1) son vértices de un paralelogramo.

Una recta de pendiente 3 pasa por el punto J (3,2). La abscisa de otro punto de la recta es 4. Hallar su ordenada.

Hallar los ángulos interiores del triangulo cuyos vértices son los puntos K (-2, 1),

L (3,4) y M (5, -2). Comprobar los resultados.

Demostrar que los puntos N (1, 1), O (5, 3), P (8, 0) y Q (4, -2) son vértices de un paralelogramo y hallar su ángulo obtuso.

Demostrar que los cuatro puntos R (2, 2), S (5, 6), T (9, 9) y U (6, 5) son vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio.

Demostrar que los puntos V (2, 5), X (8, -1) y Z (-2, 1) son los vértices de un triangulo rectángulo y hallar sus ángulos agudos.

36

CIRCUNFERENCIA

Definición:

Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto, fijo en el plano.

Por tanto la circunferencia es una curva cerrada.

El punto fijo recibe el nombre de centro y su símbolo es “C” y la distancia constante del centro de la circunferencia a un punto cualquiera de la misma se le llama radio y su símbolo es “r”.

Las coordenadas del centro de la circunferencia fuera del origen del plano cartesiano

son (h, k), siendo “h” la abscisa y “k” la ordenada y “r” el radio, en donde “r” representa un numero real positivo.

Teorema I. La circunferencia de centro C (h, k) y radio r>0, tiene por ecuación:

r2 = (x-h)2 + (y – k)2

DEMOSTRACION: Dada la siguiente figura

Sea “C” el punto fijo en el plano y “P” un punto cualesquiera de la

circunferencia, “r” es la distancia del centro al punto “P” o sea la cual refleja la

propiedad común: CP = r, siendo siempre igual en cualquier posición que tenga

“P” en la circunferencia, por tanto, de acuerdo con la formula de distancia entre dos puntos cualesquiera tenemos:

37

d =√ (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)

2

Según el teorema de distancia entre dos puntos, sustituyendo CP = r por “d” y

el punto P(x, y) por el punto del centro de la circunferencia (h, k) en la formula de distancia entre dos puntos y nos queda:

r = √ (X – h)2 + (Y – k)2

Si se eleva al cuadrado una ecuación se obtiene una que representa a la misma

curva que la ecuación considerada y su complemento, por tanto:

(r)2= (√ (X – h)2 + (Y – k)2 )2 por tanto:

r2= (X – h)2 + (Y – k)

2 (1) por lo cual esta ecuación es equivalente a la

anterior y la ecuación reducida representa la forma usual o normal de la

circunferencia con centro C (h, k).

Corolario: si el centro considerado es el origen del eje de coordenadas

de un sistema cartesiano, sus coordenadas serán: C (0, 0) por tanto, h= k=0 y la ecuación se transformara en:

r2 = (x – 0)2 + (y – 0)2 por lo tanto queda r2 = x2 + y2 (2)

Que es la ecuación de una circunferencia de centro C (0, 0), la cual es una ecuación ordinaria o forma canoníca, por ser el tipo más simple de la ecuación.

Analizando la ecuación (1), vemos que en el primer miembro de la ecuación es

el cuadrado del radio, el segundo miembro está formado por la suma de los

cuadrados de un binomio, uno en “x” y otro binomio en “y”, cuyos términos

independientes son las coordenadas del punto fijo dado (h, k) o sea el centro de la circunferencia con signo cambiado.

Por tanto si se quiere formar la ecuación de una circunferencia cuando se

conocen las coordenadas del centro y el radio de ella, se procede como sigue:

A. Se indica la suma de los cuadrados de los binomios.

a) Uno en “x” cuyo término independiente sea el valor de la abscisa del

centro, pero con signo cambiado (-h).

b) Otro en “y” cuyo término independiente sea el valor de la ordenada del

centro, también con signo cambiado (-k). c) Asimismo, esta suma con el cuadrado del valor dado para el radio.

38

Ejemplo Modelo

Hállese la ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio “r”

Solución: Si h=k=0 modelo matemático r2= (X – h)2 + (Y – k)2

Sustituyendo queda: r2 = (x – 0)2 + (y – 0)2

Por lo tanto: r2 = x2 + y2

Que es la ecuación de la circunferencia de centro el origen y radio “r”

Ejemplo Modelo

Encontrar la ecuación normal de la circunferencia de centro (-2, 3) y radio 4.

Solución:

Modelo matemático Datos

r2= (X – h)2 + (Y – k)2 h= -2 , k= 3 y r=4

Sustitución y desarrollo:

(4)2 = [x – (-2)]2 + (y – 3)2 por lo tanto 16 = (x + 2)2 + (y – 3)2

Grafica

Ejemplo

Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2,3) y B (-4, 5), hallar la ecuación normal de la circunferencia.

Grafica

Se calcula el centro por punto medio:

39

X = x2 + X1 = -4 + 2 = -2 X = -1

2 2 2

Y = y2 + y1 = 5 + 3 = 8 Y = 4

2 2 2

Por lo tanto C (-1, 4)

Modelo matemático de distancia entre dos puntos:

d =√ (X2 – X1)2 + (Y2 – Y1)

2

Sustituyendo el punto B (-4,5) y las coordenadas del centro C (-1,4), queda

d =√ [-1 - (-4)]2 + (4 – 5)2

d =√ (3)2 + (-1)2 por lo tanto

r =√ 9 + 1

r =√ 10

A continuación se calcula la ecuación normal de la circunferencia:


r2= (X – h)2 + (Y – k)2 h= -1 , k= 4 y r =√ 10

Sustitución:

10 = [x – (-1)]2 + (y – 4)2 por tanto 10 = (x + 1)2 + (y-4)2 que es la

ecuación buscada.

ACTIVIDAD

Encontrar la ecuación de la circunferencia de centro C (2, -1) la cual pasa por el

origen.

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7, -6) y pasa por el punto A (2, 2)

Encontrar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 3x – 2y – 24 = 0 y 2x + 7y + 9v= 0

Una circunferencia pasa por los puntos A (-3, 3) y B (1, 4) y su centro está sobre la recta 3x – 2y – 23 = 0, encontrar la ecuación normal de la circunferencia.

40

Escribir la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y radio 6

Escribe la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en el punto (2,1) y radio

r=3

En la ciudad de México se encuentra un reloj floral, que tiene una caratula floral de 10

metros de diámetro. Lo adornan 20 mil plantas de diferentes especies. Determina:

a) La ecuación ordinaria de la circunferencia considerando que su centro está en el

punto P (6,2)

La glorieta del paseo colon en la ciudad de Toluca tiene por ecuación en su base; x

2 + y

2 – 24y – 24y + 144 = 0 Determinar: a) La ecuación ordinaria b) Elementos (centro, radio)

Escribir las ecuaciones de las circunferencias cuyos centros y radios son los siguientes:

C (5, 3) r=8 ……………………………… (x – 5)2 + (y - ___)2 = 64

C (2, -1) r=4 ……………………………… ( + ) + (y _ __)2 = __2

C (0, 5) r=2 …………………………….. _____ + ( __ - __) = __

C (0, 0) r=5 …………………………….. ______ + ______ = __

Obtener las coordenadas del centro y el radio de las circunferencias cuyas ecuaciones

son las siguientes:

( x + 7)2 + (y + 2)2 = 16 ……………………. C (-7, -2)…….. r=4

(x – 2)2 + (y + __)2 = 25……………………. C (__, 3/2)...…. r= ___

X2 + (y - __)2 = __............................. C (__, 1)……….. r=2

_______ + ______ = 9……………………….C (0, 0)……….r=___

ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERANCIA

Teorema: Cualquier circunferencia es la grafica de una ecuación de la forma:

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Demostración: Se desarrolla la ecuación normal de la circunferencia

41

r2= (X – h)2 + (Y – k)2 ; efectuando la suma de los cuadrados de los

binomios del segundo miembro de la ecuación e igualando el resultado a cero, se obtiene la ecuación general de la circunferencia.

r2= (X – h)2 + (Y – k)2

x2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + k2 – r2 = 0

Ordenando queda: x2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + k2 – r2 = 0

Siendo h, k y r constantes, se podrán representar por otra letra, que represente igualmente una constante, reduciendo las constantes, así:

D=-2h; E=-2k; F=h2 + k2 – r2

Quedando de la forma:

X2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

Siendo la forma general de la ecuación de la circunferencia.

Cualquier ecuación de la forma ordinaria puede llevarse a la forma general, siguiendo el procedimiento empleado en esta demostración.

Ejemplo Modelo

Si el centro de la circunferencia es el punto C (4, 5) y radio igual a 3, encontrar la ecuación general.


r2= (X – h)2 + (Y – k)2 C (4, 5), h=4, k=5, r=3

Sustituyendo y desarrollando la ecuación queda:

32 = (x – 4)2 + (y – 5)2

9 = x2 – 8x + 16 + y2 – 10y + 25 igualando a cero queda

0 = x2 + y2 – 8x – 10y + 32 siendo la ecuación general.

ACTIVIDAD:

Si el centro de la circunferencia es el punto c (-2, -4) y radio igual a 3, encontrar la

ecuación general.

Si el centro de la circunferencia es el punto C (2/3, -3/4) y radio es igual a 5,

encontrar la ecuación general.

42

Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el

punto común a las rectas: y

La ecuación: representa una circunferencia. Determine su centro C (h, k) y su radio r.

Del centro el punto (3, -4) y que pasa por el origen, encontrar la ecuación general.

DADA UNA ECUACION GENRAL REDUCIRLA A SU FORMA NORMAL.

En este tema se analizara el problema inverso, o sea, dada la ecuación en su

forma general pasarla a su forma ordinaria o normal, utilizando el método de completar trinomio cuadrado perfecto.

Ejemplo

2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0

Primer paso:

Se ordenan los términos de la ecuación poniendo al inicio los coeficientes de

los términos cuadráticos, si dichos coeficientes son mayores que la unidad; se divide toda la ecuación entre dicho coeficiente, si lo hay.

2x2 + 2y2 – 10x + 6y – 15 = 0 simplificando queda:

2 2 2 2 2

X2 + y2 – 5x + 3y – 15/2 = 0 se despeja el valor constante

X2 + y2 – 5x + 3y = 15/2 se factor iza (por términos semejantes)

(X2 – 5x) + (y2 + 3y) = 15/2

Tercer paso:

Cada binomio se convierte en un cuadrado perfecto, de la siguiente manera:

Se pone el primer binomio tal como se encuentra

Se le agrega la mitad del coeficiente en “x” elevado al cuadrado.

Se le agrega dicha cantidad al segundo miembro para que la ecuación no se

altere. Análogamente se hace con el binomio de la “y”.

[x2 -5x + (5/2)2] + [y2 + 3y + (3/2)2] = 15/2 + 25/4 + 9/4 simplificando queda:

(x2 – 5x + 25/4) + (y2 + 3y + 9/4) = 30 + 25 + 9

4

43

Cuarto paso:

Se factor izan los términos a la forma (a ± b)2 buscando un numero que

multiplicado por si mismo de 25/4 y sumado de -5, para el primer binomio y para el segundo se le hace de forma análoga.

(x2 – 5x + 25/4) + (y2 + 3y + 9/4) = 30 + 25 + 9 = 64/4 = 16

4

(x – 5/2)2 + (y + 3/2)2 = 16 que es la ecuación normal de la circunferencia.

ACTIVIDAD:

Reducir las siguientes ecuaciones a la forma ordinaria de la circunferencia.

36x2 + 36y2 + 48x – 108y + 97 = 0

X2 + y2 – 8x + 6y + 29 =0

4x2 + 4y2 + 28x - 8y + 53 = 0

2x2 + 2y2 - 6 x + 10 y +7 = 0

4x2 + 4 y2 + 28x - 8 y + 53 = 0

16 x2 + 16 y2 - 64x + 8 y +77 = 0

LONGITUD DE LA TANGENTE A LA CIRCUNFERENCIA

Cuando se quiere conocer la longitud del segmento de la tangente comprendido entre

un punto dado y el punto de tangencia de una circunferencia, se aplica el siguiente modelo matemático:

t =√ (x1 – h)2 + (y1 – k)2 – r2

Sean (x1, y1) las coordenadas de un punto dado y /h, k) las coordenadas del centro de la circunferencia.

Grafica

DEMOSTRACION: desde el punto P (x1, y1) se traza la tangente a la circunferencia y

la recta “PC” al centro, siendo “r” el radio, si quiere conocer la longitud del segmento PT=t

44

Formándose un triangulo rectángulo “PCT”, en donde la tangente y el radio son

perpendiculares en el punto de tangencia, los catetos del triangulo son “t” y “r” y la hipotenusa el segmento PC.

Por lo tanto mediante el teorema de Pitágoras tendremos:

PC2 = t2 + r2 por lo tanto t =√ PC2 – r2 de donde t =√ (x1 – h)2 + (y1 – k)2

Ejemplo:

Encontrar la longitud de la tangente trazada del punto (-3, 2) a la circunferencia:

9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0

Solución:

Se encuentra el centro y el radio de la circunferencia dada:

9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0

9 9 9 9 9

x2 + y2 – 10x – 2y – 2 = 0 30/9 = 10/3

3 9

(x2 – 10x) + (y2 – 2y) = 2

3 9

x2 – 10x + 10/3 2 + y2 – 2y + 2

2 = 2 + 25 + 1

3 2 2 9 9

(x2 – 10/3x + 25/9) + (y2 – 2y + 1) = 4

(x – 5/3)2 + (y – 1)2 = 4 por lo tanto C (5/3, 1) y r2= 4

Aplicando la fórmula para obtener la longitud de “t” se tiene:


t =√ (x1 – h)2 + (y1 – k)2 - r2 P (-3, 2), C (5/3, 1) y r2=4

Sustitución:

t =√ (-3, – 5/3)2 + (2 – 1)2 - 4

t =√ (-14/3)2 + (1)2 - 4

45

t =√ 196/9 + 1 - 4

t =√ 169/9

t = 13/3

ACTIVIDAD:

Una circunferencia tiene su centro en el punto C(0, -2) y es tangente a la recta

5x – 12y + 2 =0, hallar su ecuación.

Calcular el centro y el radio de las siguientes circunferencias:

X2+ y2 = 10x – 8y -5 sol. C (5, -4), r=6

8x -21 = -4x2 -4y2 sol. C (-1, 0), r=5/2

-x2 –y2 + 14x - 4y - 53 = 0 sol. C (7, -2), r=0

X2 + y2 + 16x - 6y + 73 = 0 sol. C (-8, 3), r=0

X2 + y2 – 4x + 4y + 7 = 0 sol. C (2, -2), r =1

X2 + y2 -4x – 6y – 12 = 0

X2 + y2 + 3x + y + 10 =0

4y2 + 4y2 – 4x + 12y – 6 = 0

Hallar la longitud de la tangente trazada por los puntos y circunferencias que se indican:

P (3, 4) a la circunferencia 3x2 + 3y2 + 12x – 6y – 12 = 0

P (-1, 3) a la circunferencia 4x2 + 4y2 – 7x + 6y – 8 = 0

P (0, -2) a la circunferencia 5x2 + 5y2 + 2x + 4y – 8 = 0

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto c(-4, -1) y es a la recta

3x + 2y – 12 = 0

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al

eje de ordenadas.

46

Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección

de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A (0, 0), B (3, 1), C (5, 7).

Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A (-5,3) y B (3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

47

Unidad 3

Cónicas .

Presentación En esta Unidad se estudiarán las cónicas a partir de sus propiedades geométricas, para

luego traducirlas a su representación algebraica y resolver algunos problemas donde

aparecen estas curvas, como los planteados en Matemáticas II, que involucran a la

parábola.

También se presentan actividades que inducen al estudio de la elipse y la hipérbola.


Determinar la ecuación que corresponde a cada cónica, partiendo de sus propiedades geométricas.

Identificar la cónica y sus propiedades a partir de su ecuación de segundo grado. Determinar la ecuación de otras curvas en coordenadas rectangulares. Trazar la curva correspondiente a una ecuación dada.


Definición de cada una de las cónicas: elipse, hipérbola y parábola Análisis de la forma de cada una de ellas, Deducción de sus respectivas ecuaciones, Localización de focos, vértices y directrices. Familias de cónicas. Propiedades ópticas de la elipse, hipérbola y parábola.

48

INTRODUCCIÓN

Superficie cónica:

Se llama superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta

que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje.

Cónica:

Se llama cónica a la curva obtenida al cortar una superficie cónica por un plano.

El griego Menaechmos fue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas

tratando de resolver uno de los tres problemas griegos clásicos: la construcción de un cubo del doble de volumen de otro cubo.

Arquímedes logró calcular el área de un elipse y de un sector de la parábola con un método precursor del cálculo integral, que se desarrolló hasta el s. XVII d. C.

Apolonio de Praga representa la culminación de la geometría griega. Escribió ocho

libros sobre secciones cónicas, de los cuales uno se perdió. Fue el primero en

demostrar que son secciones de un cono circular, recto u oblicuo, y las estudió como curvas planas. Los nombres de elipse, parábola e hipérbola se deben a él.

PARABOLA

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.

Elementos de la parábola

Foco

Es el punto fijo “F” y se encuentra a “P” unidades del vértice y la recta fija “d” directriz

la cual se encuentra a “p” unidades del vértice perpendicular al eje focal.

Directriz

La Directriz es la recta sobre la cual si medimos su distancia hasta un punto cualquiera

de la parábola, esta debe ser igual a la distancia de este mismo punto al Foco

Eje focal

Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco

Vértice

Es el punto en el cual la parábola corta el eje focal

49

Lado recto

Es un segmento paralelo a la directriz, que pasa por el foco y es perpendicular al eje

focal y sus extremos son puntos de la parábola, se llama lado recto o ancho focal de la

parábola.

Parámetro

La distancia entre el vértice y la directriz que es la misma entre el vértice y el foco de

una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p), y

se representa por 2p.

Construcción

Se debe tomar una hoja de acetato en ella se dibuja un punto. Para construir la

parábola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto del borde inferior coincida

con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias

veces con un punto distinto del borde inferior cada vez, tendremos que las marcas de

los dobleces han formado una parábola. El punto dibujado es el foco y el borde inferior

de la hoja, la directriz. Otra forma de encontrar una parábola es la siguiente. Se debe

hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la dirección del corte debe ser desde

la base del cono a cualquier punto del cono. El perímetro de este corte será una parábola.

Aplicaciones Las aplicaciones de las parábolas son básicamente aquellos fenómenos en donde nos

interesa hacer converge r o divergen un haz de luz y sonido principalmente. Por

ejemplo las antenas parabólicas, las lámparas sordas, los faros de los autos. Se

pueden construir, por la misma propiedad de las parábolas, hornos solares. Los

micrófonos de ambiente en algunos deportes también tienen forma paraboloide.

Las parábolas tienen una propiedad Si se coloca una bombilla encendida en el foco de

la parábola, algunos haces de luz serán reflejados por la parábola y todos estos rayos

serán perpendiculares a la directriz. Esta propiedad es usada en las lámparas sordas o

en los faros de los automóviles estos están formados por un paraboloide (parábola en

3 dimensiones) de espejos y una bombilla en el foco de este paraboloide. En algunas

lámparas se puede mover la bombilla del foco y los haces de luz divergirán o

50

convergerán. Este principio funciona también en las antenas parabólicas. Un satélite

envía información a la Tierra, estos rayos serán perpendiculares a la directriz por la

distancia a la que se encuentra el satélite. Al reflejarse en el plato de la antena

(blanca, casi siempre) los rayos convergen en el foco en donde se encuentra un

receptor que decodifica la información. También en los telescopios se usa esta propiedad.

En el siglo XVI Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil que se dispara al

aire formando un ángulo con la horizontal es una parábola. Desde entonces, las formas

parabólicas se han usado para diseñar fanales de automóviles, telescopios reflectores y

puentes colgantes.

Funcion cuadratica

Una ecuacion con una sola incognita es de segundo grado o cuadratica, cuando,

despues de reducirla al maximo, el mas alto grado de la incognita es 2, siendo de la forma siguiente:

Ax2 + Bx + C = 0

La curva que representa un trinomio de segundo grado, se llama parabola.

El eje de simetria divide a la parabola en dos mitades, las cuales son imágenes al

espejo una de otra.

El punto donde cambia de direccion la paabola recive el nombre de vertice, su coordenada en equis esta dada por la ecuacion.

X = -b

2a

La parábola se abre a la derecha cuando p > 0

La parábola se abre a la izquierda cuando p < 0

La parábola se abre hacia arriba cuando a > 0

La parábola se abre hacia abajo cuando a < 0

Donde “p” es el semiparametro y “a” es el coeficiente de equis cuadrada, en la ecuación cuadrática.

Por tabulación x2 – 4x + 3 = 0 de la forma Ax2 + Bx + C = 0

Se seleccionan valores de “x” en cualquier lado del vértice, después se obtienen los valores de “y” correspondientes.

51

Solución

Los valores de “x” son:

Los valores de “y” se obtienen tabulando:

Ecuación y= x2 – 4x + 3

Si x = -1 entonces Y= (-1)2 – 4(-1) + 3 se sustituyen los valores de la “x”

Y = 1 + 4 + 3 y se resuelven las operaciones indicadas

Y = 8 simplificando queda

Análogamente se obtienen los valores restantes.

Ejercicio Modelo

Trazar la grafica de la parábola y= x2 – 4x + 3 localizado el vértice, el eje de simetría y cuatro puntos más de la parábola.

Solución

La parábola abre hacia arriba, por ser a = 1 es positiva.

X = -b por lo tanto x = -(-4) = 4 = 2

2a 2(1) 2

Para determinar la coordenada “y” del vertice se sustituye el valor de la coordenada

“x” en la funcion dada:

Y = x2 – 4x + 3

Y = (2)2 – 4(2) + 3

Y = 4 – 8 + 3

Y = -1 por lo tanto el vértice es V (2, -1)

x -1 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 -1 0 3 8

52

Por tabulación:

Para localizar los puntos de la parábola, se seleccionan los valores para “x” en cualquier lado del vértice, se obtinen los valores de la “Y” correspondientes.

Y su grafica es:

Ejercicio Modelo

La altura por encima del suelo, de un proyectil lanzado por un submarino está dada por la

función cuadrática:

S = -16t2 + 96t – 80

Siendo “t” igual al tiempo en segundos.

¿Obtener los tiempos en los que el proyectil sale y regresa al agua?

Solución:

Los valores de “t” cuando S=0, los cuales son equivalentes a las intersecciones sobre el eje

equis.

-16t2 + 96t – 80

Se divide toda la ecuación dada entre -16:

-16t2 + 96t – 80 simplificando queda

-16 -16 -16

t2 – 6t + 5 = 0

x -1 0 1 2 3 4 5

y 8 3 0 -1 0 3 8

53

(t – 1) (t – 5)

t – 1 = 0 por lo tanto queda t=1

t – 5 = por lo tanto queda t=5

El proyectil sale del agua en un segundo y regresa en cinco segundos

Grafica:

Modelos matemáticos

X = -b ax + bx + c

2a

Como la parábola abre hacia abajo cuando a < 0, entonces la parábola abre hacia la

parte negativa del eje de las yes, ya que a = -16 y la altura máxima esta en el vértice.

De acuerdo a la ecuación X = -b entonces t= -96 = 3

2a 2(-16)

Y S= -16(3)2 + 96(3) – 80

S= -144 + 279 – 80

S = 64 por lo tanto V(3, 64)

Por tabulación encontraremos algunos puntos de la parábola:

Graficar:

t 0 1 2 3 4 5

s -80 0 48 64 48 0

54

ACTIVIDAD

Trazar la grafica de cada parábola y localizar al menos 4 puntos:

Y = x2 – 6x + 8

Y= -x2 + 6x -5

Y= 9 – x2

Y= x2 – 4

Y= 3x – x2

Y= 8x + x2

Teorema: la ecuación de la parábola con vértice en el origen del eje de coordenadas y

cuyo eje de simetría coincide con el eje de las equis, es de la forma:

y2 = 4px

Demostración:

El eje de simetría coincide con el eje XX’ y su concavidad esta hacia la part positiva de

dicho eje.

Si “P” es el semiparametro, o sea, la distancia del vértice al foco, las coordenadas del foco serán F (0,0).

Sea M (x, y) un punto cualesquiera de la curva como se muestra en la grafica.

De acuerdo con la definición de parábola, si y solo si, el punto N (-p, y) es el punto de

la directriz donde cae la perpendicular “MN” a “DD’ “entonces debe cumplir con la siguiente igualdad MF = MN (A).

55

Calculando por medio de la ecuación de distancia entre dos puntos.

√ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

Sustituyendo las coordenadas del foco F (p, 0) y M (x, y) por los puntos (x1, y1) y (x2, y2) de la ecuación queda:

√ (x – p)2 + (y – 0)2 por lo tanto MF=√ (x – p)2 + y2 (B)

Las coordenadas del punto “N” son (-p, y), por tanto sustituyendo este punto por (x1, y1) de la ecuación de distancia entre dos puntos, queda:

√ [x – (-p)]2 + (y – y)2 por lo tanto MN = √ (x + p)2 (C)

Sustituyendo (B) y (C) en (A), queda MF= MN (A).

√ (x – p)2 + y2 = √ (x + p)2

Elevando al cuadrado ambos miembros queda

[√ (x – p)2 + y2]2 = [√ (x + p)2 ]2

(x – p)2 + y2 = (x + p)2

X2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2

Reduciendo queda

-4px + y2 = 0

Despejando “y” queda:

Y2 = 4px; que es la ecuación de la parábola a demostrar, la cual se le conoce como

primera forma ordinaria (primer caso).

Análogamente se obtiene la ecuación de la parábola de eje de simetría en xx’ y

concavidad hacia la parte negativa de dicho eje, la cual su ecuación es de la forma:

Y2 = -4px, siendo de la primera forma ordinaria (segundo caso).

Principales pasos para el cálculo de los elementos de una parábola dada en la primera forma ordinaria, (primer caso)

Sea la parábola de la forma y2 = 4px

Vértice en el origen y foco sobre la parte positiva del eje x.

56

Vértice (0, 0)

Parámetro 2p

Semiparametro p

Ecuación de la recta que contiene el eje:

Es el eje “x” y su ecuación es y=0

Foco F (p, 0)

Ecuación de la directriz x = -p

La longitud del lado recto o ancho focal:

De la definición se deduce que el lado recto (Lr) es el doble de la ordenada “FE”

que corresponde al valor de x = p

Ancho focal Lr = 4p

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje de las equis.

Calcular los principales elementos de una parábola dada en la primera forma ordinaria,

(primer caso) y elaborar la grafica

Es de la forma y2 = 4px (vértice en el origen y foco sobre la parte positiva del

eje “x”.

Vértice (0, 0)

Parámetro Si 4p = 12 por lo tanto 2p = 6

Semiparametro si 2p = 6 por lo tanto p = 3


Es el eje “x” y su ecuación es y = 0

Foco F (p, 0) por lo tanto F(3, 0)

Ecuación de la directriz x = -p por lo tanto x = -3

Longitud del lado recto o ancho focal Lr = 4p por lo tanto Lr = 12

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje de las equis.

Grafica:

TEOREMA: la ecuación de la parábola con vértice en el origen del eje de

coordenadas y cuyo eje de simetría coincide con el eje de las yes, y su concavidad esta

hacia la parte positiva de dicho eje, es de la forma: X2 = 4py

57

El eje de simetría coincide con el eje “Y” y su concavidad esta hacia la parte positiva de

dicho eje.

Si “p” es el semiparametro, o sea, la distancia del vértice al foco, las coordenadas del foco serán F (0, p).

Sea M (x, y) un punto cualesquiera de la curva como se muestra en la grafica.

La ecuación de la parábola es x2 = 4py, primera forma ordinaria (tercer caso).

La ecuación de la parábola de eje de simetría en “Y” y concavidad hacia la parte

negativa de dicho eje, la cual su ecuación es de la forma: x2 = -4py, primera forma ordinaria (cuarto caso).

Sea la parábola de la forma x2 = 4py

Vértice en el origen y foco sobre la parte positiva del eje “Y”

Vértice V (0, 0)

Parámetro 2p

Semiparametro “p”


Es el eje “y” y su ecuación es X = 0

Foco F (0, p)

Ecuación de la directriz Y = –p

Longitud del lado recto o ancho focal: de la definición se deduce que el lado

recto (Lr) es el doble de la ordenada “FE” que corresponde al valor de Y = p,

por lo tanto la longitud de Lr = 2x = 4p, entonces Lr = 4p

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje “Y”.

Calcular los principales elementos de una parábola dada en la primera forma ordinaria, (tercer caso) y elaborar su grafica.

Es de la forma x2 = 4py (vértice en el origen y foco sobre la parte positiva del

eje “Y”)

Vértice V (0, 0)

Parámetro: si 4p = 12 por lo tanto 2p = 6

Semiparametro: si 2p = 6 entonces p = 3

Ecuación de la recta que contiene el eje: es el eje “y” y su ecuación es X = 0

Foco F ( 0, p) por lo tanto F ( 0, 3)

Ecuación de la directriz Y = -p entonces Y = -3

Longitud del lado recto o ancho focal: Lr = 4p entonces Lr = 12

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje “Y”.

Grafica:

58

Ejemplo Modelo

DADOS ALGUNOS ELEMENTOS DE LA PARABOLOA, OBTENER LA ECUACION DE LA CURVA.

Dado el vértice V (0,0) Y F (0, 3), encontrar su ecuación.

SOLUCION:

Como el vértice y el foco tienen abscisa cero el eje de simetría es “y”

El vértice esta en el origen del eje de coordenadas, y como el foco tiene abscisa positiva, el foco está en la parte positiva del eje de las yes.

Como la parábola se abre hacia arriba la curva tiene ecuación de la forma x2 = 4py

Por tanto si p = 3 entonces 4p = 4(3), la ecuación queda:

X2 = 12y.

Obtener el foco y la ecuación de la directriz y trazar la parábola x2 = -4y

SOLUCION:

Es de la forma x2 = -4py por tanto 4p = 4 y 2p = 2 entonces p =1

Las coordenadas del foco son F (0, -p) por tanto F (0, -1)

La ecuación de la directriz es Y = p por tanto Y = 1

ACTIVIDAD

En los siguientes ejercicios, hallar los principales elementos de la parábola,

así como su grafica.

a) Y2 = 2x b) x2 = 10y c) y2 = 4x d) x2 = 4y e) y2 + 5x = 0

f) y2 = 8x g) y

2 = -8x h) x

2 = 8y i) x

2 = -8y j) x2 + 2y = 0

k) y2 + 8x = 0 l) x2 + 6y = 0

Obtener la ecuación de cada parábola, así como su grafica, con vértice en el origen del eje de coordenadas.

DATOS VALOR DE “P” ECUACION SOLUCION

V (0, 0); F (3, 0) p = 3 y2 = 12x

V (0, 0); F (0, 2) p = 2 x2 = 8y

V (0, 0); F (3/2, 0) p= 3/2 y2 = 6x

59

V (0, 0); F (0, -1/2) p = -1/2 x2 = -2y

Obtener la ecuación de cada parábola, así como su grafica, con vértice en el

origen del eje de coordenadas.

V (0, 0) y F (0, 3) V (0, 0) y F (-2, 0)

Directriz Y = 4 y V (0, 0) directriz X = -1 y V (0, 0)

Directriz Y = -2 y V (0, 0) F (3, 0) y directriz x+3=0

V (0, 0) y F (0, -1) De directriz x = -3, de foco (3, 0).

De directriz y = 4, de vértice (0, 0). De directriz y = -5, de foco (0, 5).

De directriz x = 2, de foco (-2, 0). De foco (2, 0), de vértice (0, 0).

De foco (3, 2), de vértice (5, 2). De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

De foco (3, 4), de vértice (1, 4). V (0, 0) y F (0, -6)

Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es horizontal, con vértice en (0,0) y foco en el punto (5,0). Trazar la gráfica

TEOREMA: la ecuación cartesiana de la parábola, cuando su vértice es un

punto cualquiera del eje de coordenadas y cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las equis, es de la forma:

(y – k)2 = 4p(x – h)

Grafica:

Sea la parábola de vértice el punto V (h, k), parámetro 2p, su eje de simetría paralelo al eje de las equis y su concavidad esta hacia la parte positiva de dicho eje.

Analizando la grafica que se muestra, se observa que el foco tiene como coordenadas

F (h + p, k) y la directriz es una paralela al eje de las yes que corta al eje de las equis

en el punto (h – p).

60

Sea el punto M (x, y) un punto cualquiera de la curva, por definición de parábola y si el

punto “A” de la directriz cuyas coordenadas son A (h – p, y), donde cae la perpendicular MA a DD’ debe cumplir con la siguiente igualdad: MF = MA (A)

Por lo tanto la ecuación es: (y – k)2 = 4p(x – h) de la segunda forma ordinaria (primer caso).

Análogamente se obtiene la ecuación de una parábola de vértice V (h, k) y cuyo eje de

simetría coincide con el eje de las equis y su concavidad es hacia la parte negativa de

dicho eje, cuya ecuación es de la forma: (y – k)2 = -4p(x – h), segunda forma ordinaria (segundo caso).

Grafica:

Teorema: la ecuación cartesiana de la parábola, cuando su vértice es un punto

cualquiera del eje de coordenadas y cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las yes, es de la forma: (x – h)2 = 4p (y – k)

Grafica:

Sea la parábola de vértice el punto V (h, k), parámetro 2p, su eje de simetría paralelo al eje de las yes y su concavidad esta hacia la parte positiva de dicho eje.

Analizando la grafica que se muestra, se observa que el foco tiene como coordenadas

F (h, k + p) y la directriz es una paralela al eje de las equis que corta al eje de las yes en el punto (k – p).

61

Sea el punto M (x, y) un punto cualquiera de la curva, por definición de parábola y si el

punto “A” de la directriz cuyas coordenadas son A (x, k – p), donde cae la perpendicular MA a D, debe cumplir con la siguiente igualdad: MF = MA (a).

Calculando por medio de la ecuación de distancia entre dos puntos resulta:

(x – h)2 = 4p (y – k) la cual es la ecuación buscada, de la segunda forma ordinaria (tercer caso).

Análogamente se obtiene la ecuación de una parábola de vértice V (h, k) y

cuyo eje de simetría coincide con el eje de las yes y su concavidad es hacia la

parte negativa de dicho eje, cuya ecuación es de la forma:

(x – h)2 = -4p (y – k), de la segunda forma ordinaria (cuarto caso).

Grafica:

Ejemplo:

Principales pasos para el cálculo de los elementos de una parábola dada en la segunda forma ordinaria, (primer caso)

Sea la parábola de la forma: (y – k)2 = 4p(x – h)

Es de la forma (y – k)2 = 4p(x – h) vértice fuera del origen y foco sobre la

parte positiva del eje x.

Vértice (h, k)

Parámetro 2p

Semiparametro”p”

Ecuación de la recta que contiene el eje: es el eje “x” y su ecuación es Y=k

Foco; esta sobre la parábola al eje de las equis que pasa por el vértice de la

parábola, luego tiene la misma ordenada que el vértice, es decir: y=AF=CU= k

su abscisa: x = OA = OC + CA = h + p, por lo tanto el foco es el punto

F (h + p, k)

Ecuación de la directriz es la perpendicular al eje que pasa por el punto D, tal

que DV = VF, por tanto, todos los puntos de la directriz tendrán la misma

abscisa OB, su ecuación es X = OB = h – p.

62

Longitud del lado recto o ancho focal: el lado recto es Lr=4p.

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje x.

Ejercicio Modelo:

Calcular los principales elementos de una parábola dada en la segunda forma

ordinaria, (primer caso).

Sea la parábola (y + 1)2 = 8(x – 3)

Es de la forma (y – k)2 = 4p(x – h) vértice fuera del origen y foco sobre la

parte positiva del eje x.

Vértice (h, k) por tanto V (3, -1)

Parámetro si 4p= 8 por tanto 2p = 4

Semiparametro si 2p = 4 por tanto p = 2

Ecuación de la recta que contiene el eje: es el eje “x” y su ecuación es Y=k

por tanto y = -1

Foco: F (h + p, k) por tanto F (3 + 2, -1) entonces F (5, -1)

Ecuación de la directriz es X = h – p por tanto x = 3 – 2 entonces x = 1

Longitud del lado recto o ancho focal: el lado recto es Lr=4p por tanto Lr=8

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje x.

Grafica:

63

Ejemplo Modelo:

Principales pasos para el cálculo de los elementos de una parábola dada en la segunda

forma ordinaria, (tercer caso)

Sea la parábola de la forma: (x – h)2 = 4p (y – k)

Es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k) vértice fuera del origen y foco sobre la

parte positiva del eje y.

Vértice (h, k)

Parámetro 2p

Semiparametro”p”

Ecuación de la recta que contiene el eje: es el eje “y” y su ecuación es x=h

Foco; esta sobre la parábola al eje de las yes que pasa por el vértice de la

parábola, luego tiene la misma abscisa, por lo tanto el foco es el punto

F (h, k + p)

Ecuación de la directriz es la perpendicular al eje de las equis y todos los

puntos tendrán ordenada constante que se obtiene restando a la ordenada

del vértice el semiparametro Y = k - p

Longitud del lado recto o ancho focal: el lado recto es Lr=4p.

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje y.

Ejercicio Modelo:

Calcular los principales elementos de una parábola dada en la segunda forma ordinaria, (tercer caso)

Sea la parábola de la forma: (x – h)2 = 4p (y – k)

Es de la forma (x – 3)2 = 4p (y – 1) vértice fuera del origen y foco sobre la

parte positiva del eje y.

Vértice (h, k) por tanto V (3, 1)

Parámetro: si 4p=4 por tanto 2p=2

Semiparametro si 2p=2 por tanto p=1

Ecuación de la recta que contiene el eje: es el eje “y” y su ecuación es x=h

por tanto x=3

Foco: F (h, k + p) por tanto F (3, 1 + 1) entonces F (3,2)

64

Ecuación de la directriz Y = k – p por tanto y=1 – 1 entonces y=0

Longitud del lado recto o ancho focal: el lado recto es Lr=4p por tanto Lr=4

La curva dirige su concavidad hacia la parte positiva del eje y.

Grafica:

Ejercicio Modelo:

Hallar la ecuación de la parábola de V (-1, 4), Lr=6, eje paralelo al eje de las

yes y concavidad hacia la parte negativa de dicho eje.

Solución:

Sea la parábola de la forma: (x – h)2 = -4p (y – k)

Es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k) vértice fuera del origen y foco sobre la parte

negativa del eje y.

Datos: h=-1 y k = 4; como Lr= 4p por tanto si Lr=6 entonces 4p=6

La ecuación es: (x + 1)2 = -6 (y – 4)

Ejercicio Modelo:

Encontrar la ecuación de la parábola de V (5, -3) y F (5, 1)

Solución

El eje es paralelo al eje de las yes, por tener el foco y el vértice la misma abscisa.

Por tanto la ecuación es de la forma (x – h)2 = 4p (y – k)

El semiparametro “p” se obtiene mediante la distancia que existe entre el vértice y el

foco, por tanto: VF = h – k entonces VF= -3 – 1 = 4|

65

Por tanto p=4 entonces 2p=8 y 4p=16

Sustituyendo estos datos en la ecuación de la parábola de eje paralelo al eje de las yes

y concavidad hacia la parte positiva del eje de las yes y su ecuación queda

(x – 5)2 = 16 (y + 3)

Actividad: En los siguientes ejercicios, hallar los principales elementos de la parábola, así como su

grafica.

(y + 4)2 = 16 (x – 1) (x + 4)2 = 4 (y + 1)

(y + 3)2 = 8 (x – 2) (x + 1)2 = -6 (y – 4)

(y + 5)2 = -6 (x – 4) (x + 2)2 = 16 (y – 8)

(y + 8)2 = 16 (x + 3) (x + 6)2 = -12 (y + 3)

Encontrar la ecuación de la parábola con vértice en el punto (3,2) y foco en (5,2).

Determine las coordenadas del vértice, del foco, la longitud del lado recto y la ecuación

de la directriz, en una parábola cuya ecuación es:

(x + 6)2 = -24(y-2)

Grafique la parábola cuya ecuación es (y - 4)2 = -12[x + 1/12] indicando las

coordenadas de los extremos del ancho focal, del foco y vértice, así como la longitud

lado recto y la directriz.

Encuentre la ecuación de la parábola cuyo vértice pertenece a la recta 7x + 3y = 4,

con eje focal horizontal y que pasa por los puntos (3,-5) y (1.5,1).

Encuentre la ecuación de la parábola cuyo vértice es el punto (2,3), con eje simétrico

vertical y que pasa por el punto (4,5).

Encuentre la ecuación de la parábola cuyos extremos del lado recto son los puntos (3,-5) y (19,-5). Considere que el vértice corresponde a un punto máximo en la curva.

Obtener la ecuación de la parábola cuyos datos a continuación se indican.

DATOS VALOR DE “P” ECUACION SOLUCION

V (3, 2); F (5, 2) p = xf – h= 5-3= 2 (y – 2)2 = 8(x – 3)

V (-3, 2); F (1, 2) p =xf - __ = __ - __ =__ (y - _)2 = _ (_ + 3)

V (-5, -3); F (-5, -4) p= yf – k = __ - __ = __ (_ + 5)2 = _ (y + _)

V (0, -6); F (0, -4) p = = 2 ______= __ (y + _)

V (0, 3); F (2,3) p= (y - _)2 = ________

66

Obtener la ecuación y los principales elementos de la parábola, cuyos datos se indican

a continuación.

V (3, 2); p=4 eje horizontal

V (5, -3/2); P=1 eje vertical

V (5, -2); p = -1/2 eje vertical.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA EN FORMA GENERAL. Una de las condiciones para que una ecuación de segundo grado con dos variables represente una parábola de eje paralelo al eje de la equis, es que la ecuación de segundo grado con dos variables sea de la forma: Ax

2 + Bxy + Cy

2 + Dx + Ey + F = 0

En donde la ecuación ordinaria de la parábola de eje paralelo al eje de las equis es de

la forma:

(y − k)2 = 4p (x − h)

Desarrollándola queda:

y2 – 2yk + k2 = 4px – 4ph

y2 – 4px - 2ky + k2 + 4ph = 0

Que es de tipo:

Ay2 + Dx + Ey + F = 0

De donde:

D = 4p; E = -2k; F = k2 + 4ph

En donde la ecuación Ay + Dx + Ey + F = 0 carece del término en xy, se tiene que

B=0, comparando la ecuación general con la ecuación de la forma:

Ay2 + Dx + Ey + F = 0 el termino A=0

Ejercicio Modelo

Dada la ecuación de la parábola 2y2 + 4y – 3x + 1 = 0, pasarla a la forma ordinaria.

Solución

Completando cuadrados se tiene:

2y2 + 4y – 3x + 1 = 0

Se separan términos semejantes:

(2y2 + 4y) = 3x – 1

67

Se factoriza el primer miembro y quedo:

2(y2 + 2y) = 3x – 1

Se completa cuadrados:

2(y2 + 2y + 1) = 3x – 1 +2

Se factorizan ambos miembros:

2(y + 1)2 = 3(x – 1/3)

Se pasa el coeficiente del binomio al cuadrado, al segundo miembro y queda:

(y + 1)2 = 3/2 (x – 1/3) la cual es la ecuación buscada.

Ejercicio Modelo

Demostrar que la ecuación 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0, representa una parábola y hallar

sus principales elementos.

Solución 4x2 – 20x – 24y + 97 = 0

Se pasara a la forma ordinaria, por el método de completando cuadrados

Se divide la ecuación entre el coeficiente de x2 si es diferente de la unidad:

4x2 – 20x – 24y + 97 = 0 por tanto queda x2 – 5x – 6y + 97/4 = 0

4

Por el método de completando cuadrados queda:

(x2 – 5x) = 6y - 97/4 + 25/4 = 0

(x – 5/2)2 = 6y – 72/4

Factorizando el segundo miembro de la ecuación queda:

(x – 5/2)2 = 6(y – 3) la cual es la ecuación buscada.

Para obtener los principales elementos de la ecuación antes citada se procede de la

siguiente manera:

La ecuación es de la forma (y − h)2 = 4p (y − k) eje paralelo al eje de las yes y su

concavidad es hacia la parte positiva de dicho eje, por tanto:

Vértice: V (h, k) por tanto V (5/2, 3)

El semiparametro “p” se obtiene de la siguiente manera:

Si 4p = 6 por tanto 2p = 3 y p = 3/2

Foco: F (h, k + p) por tanto F (5/2, 3 + 3/2) entonces queda F (5/2, 9/2)

68

Lado recto: Lr = 4p por tanto Lr = 6

Ecuación de la directriz: y = k – p, por tanto y = 3 – 3/2 entonces queda y = 3/2

Actividad:

Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponde a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal.

a) y2 + 4x – 4y – 20 = 0 b) y2 – 8x + 4y + 12 = 0

c) y2 + 4x + 4y = 0 d) 4y2 + 24x + 12y – 39 = 0

e) 8y2 + 22x – 24y – 128 = 0 f) x2 – 6x – 12y – 15 = 0

g) x2 + 4x + 4y – 4 = 0 h) x2 – 8x + 3y + 10 = 0

i) 6x2 – 8x + 6y + 1 = 0 j) 5x2 – 40x + 4y + 84 = 0

Obtenga la ecuación en forma ordinaria de la parábola con vértice en el punto (-4,3) y

que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga además la ecuación de la directriz y la

longitud del lado recto.

Obtenga la forma ordinaria de la ecuación de la parábola cuya ecuación general es

4y2 - 48x – 20y – 71 = 0

Compruebe que la ecuación 4x2 + 48y+ 12x – 159 = 0 representa una parábola.

Hallar todos sus elementos

Un reflector cuya concavidad es parabólica, tiene un diámetro de 30 cm y mide 20 cm

de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo está en el foco,

¿a qué distancia del vértice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces un

bosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto

(20,15).

69

ELIPSE

Una elipse es el lugar geométrico de todos

los puntos P del plano, tales que la suma de

sus distancias a dos puntos fijos en el plano

es constante, la cual se representa por 2a,

siendo mayor que la distancia entre los dos puntos.

Gráficamente esto es:

Los puntos fijos F y F ‘se llaman focos de la elipse y la longitud FF’ distancia focal que

se designa por 2c.

El punto medio de FF’ es el centro de la elipse.

Los segmentos MF Y MF’ que une un punto cualesquiera de la elipse con los focos, se

llaman radios vectores.

El diámetro que pasa por los focos se llama eje mayor o eje focal, siendo su longitud

2a.

Los extremos del eje mayor se les denomina vértices, los cuales se representan por la

letra “A” del lado positivo del eje y A’ del lado negativo.

El eje menor o normal es perpendicular al eje mayor y su longitud es 2b.

A los extremos del eje menor o normal, se les denomina vértices, los cuales se

representan por la letra “B” del lado positivo del eje y “b’” del lado negativo.

Por tanto las intersecciones A, A’ y B, B’ de los ejes con la curva son los vértices de la

elipse.

Las cuerdas EE’ y GG’ que pasan por los focos y son perpendiculares al eje mayor, son

los lados rectos de la elipse.

70

Construcción de la elipse.

Suma de distancias a dos puntos fijos.

Tómese un cordel de longitud 2a y fijar sus extremos en dos puntos de eje OX, F y F’

que se denominan focos. La distancia entre los focos la designemos 2c que

evidentemente es menor que 2a y siendo F y F’ simétrico respecto al eje OY, sus

coordenadas serán (c, 0) y (-c, 0).

Deslice un lápiz con el cordel tenso, conforme se indica en la siguiente figura, se

obtiene así una curva cerrada cuyos puntos tienen una suma de distancias a los focos

constante igual a 2a.

MF, MF’ = 2a

Grafica:

Teorema: la elipse de focos F (c, 0) y F’ (-c, 0) y siendo 2 a igual a la suma de

las distancias de un punto cualquiera de dicha curva a ambos focos es de la

forma:

x2 + y2 = 1

a2 b2

Demostración:

Sea la elipse de centro C (0, 0) y eje mayor sobre el eje de las equis, siendo el punto

M (x, y) un punto cualquiera de la elipse.

A partir de la definición, se cumple lo siguiente para cualquier punto M (x, y) de la

curva:

MF = MF’ = 2a (A)

De donde calculando por medio de la ecuación de distancia entre dos puntos y

sustituyendo los puntos M (x, y) y F (c, 0) por los puntos de la mencionada ecuación

tendremos:

MF = √ (x – c)2 + (y – 0)2 por tanto MF = √ (x – c)2 + y2 (B)

71

Sustituyendo las coordenadas de los puntos m (x, y) y F’ (-c, 0) en la ecuación

de distancia entre dos puntos tendremos que:

MF’ √ (x + c)2 + (y – 0)2 por lo tanto MF’ = √ (x + c)2 + y2 ©

Sustituyendo (B) y (C) en (A) tendremos:

√ (x – c)2 + y2 + √ (x + c)2 + y2 = 2 a

Separando radicales, elevando al cuadrado dos veces y simplificando, tendremos:

x2 + y2 = 1

a2 b2

Ecuación normal de la elipse con centro el origen, eje mayor sobre el eje de las equis, conociéndose también con el nombre de primera forma ordinaria (primer caso)

Análogamente se obtiene la ecuación de la elipse con centro el origen, focos F (0, c) y

F’ (o, -c) y eje mayor sobre el eje de las yes, llamada también primera forma ordinaria (segundo caso) la cual es de la forma:

x2 + y2 = 1 o b2 a2

y2 + x2 = 1 a2 b2 Designando siempre por 2 a el eje mayor de la elipse.

Excentricidad de la elipse.

Este es un concepto del cual depende la mayor o menor deformación que pueda

experimentar una circunferencia para producir una elipse.

La excentricidad que se representa con la letra e, se define como el cociente de la

semidistancia focal c entre el semi-eje mayor a a.

Entonces podemos expresarla como: a

Excentricidad = e = c

Precisamente veremos que la excentricidad debe ser cualquier número mayor que

cero pero menor que uno.

Es decir: 1 > e > 0.

En efecto, si e=0 forzosamente c=0 y de la fórmula a2 – c2 = b2 se deduce que a=b,

en cuyo caso la curva es una circunferencia, la que puede ser considerada como un

caso particular de elipse con excentricidad nula.

72

Ahora, si e=1 es evidente que a=c y de la propia fórmula a2 – c2 = b2 resulta: b=0,

en cuyo caso la deformación ha sido total, de tal manera que la curva se ha convertido

en línea recta.

En consecuencia:

1 > e > 0

Ejemplo Modelo Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los focos

y de los vértices y hacer la gráfica de la elipse dada por la ecuación:

9x2 + 16y2 = 144.

SOLUCIÓN Dividiendo ambos miembros de la ecuación entre 144 y simplificando:

9x2 + 16y2 = 144

144 144 144

X2 + y2 = 1

16 9

Como a2 > b2, entonces: a2 = 16 y b2 = 9; por lo que: a = 4 y b = 3.

La elipse intercepta a los ejes de coordenadas en:

A1 (-4,0), A2 (4,0), B1 (0,-3) y B2 (0,3).

Además:

Eje mayor = 2a = 8

Eje menor = 2b = 6

Se sabe que: b2 = a2 - c2, por lo que c2 = a2 - b2 =16 - 9 = 7.

Por tanto: c = .

Finalmente, las coordenadas de los focos son:

F1 (- , 0) y F2 ( , 0)

Ejemplo modelo:

Hallar la ecuación de una elipse con foco el punto F (0, 4) y V (0, 6)

Modelo matemático: datos:

y2 + x2 = 1 F (0, 4) y V (0, 6) a2 b2

Por tener la abscisa cero la coordenada del foco y el vértice:

73

Solución:

La localización del punto del foco indica que el centro de la elipse esta en el origen del

eje de coordenadas y por tanto la ecuación es de la primera forma ordinaria (segundo caso), así mismo la ordenada del foco indica que la semidistancia focal es igual a 4.

En el vértice “A” su ordenada se encuentra a 6 unidades del centro, por tanto el semieje es igual a 6.

Utilizando el teorema de Pitágoras donde b2 = a2 – c2, por tanto b2 = 36 – 18 =20 por

tanto, la ecuación requerida es:

y2 + x2 = 1 36 20

Ejemplo Modelo

Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solución:

La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqué?)

4 25

x 2 + y 2= 1

22 52

La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es

b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, c2 = 25 – 4 = 21, de donde c = y en consecuencia, los focos se

encuentran localizados en los puntos F (0, y F’ (0,- .

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la

excentricidad de las siguientes elipses

x2 + y2 = 1

16 12

X2 + 4y2 = 16

x2 + y2 = 1

74

9 25

3X2 + 2y2 = 6

Dada la ecuación reducida de la elipse, x2 + y2 = 1 Hallar las coordenadas de los

vértices de los focos. 9 4

Determinar la longitud del eje mayor y del eje menor, las coordenadas de los

focos y hacer la gráfica de la curva definida por la ecuación: 25 x 2 + 4 y 2 = 100.

Los focos de una elipse son los puntos F1 (-1,0) y F2 (1,0); la longitud de su eje

menor es 2. Obtener su ecuación.

Determinar las longitudes de los ejes, las coordenadas de los focos y la

excentricidad de la elipse, cuya ecuación es: 25x2 + 169y2 = 4225.

Ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen. Método

Su ecuación puede determinarse por el método usado en los casos anteriores, pero

como es demasiado laborioso, nos valdremos de las ecuaciones de translación

paralela de ejes, con el propósito de simplificar este procedimiento.

La elipse con centro C (h, k) y con su eje mayor paralelo al eje de las x, como se

ve en la Figura.

Hemos construido un nuevo sistema de coordenadas x' y', cuyo origen coincide con

C (h, k) y sus ejes son paralelos a los ejes originales x y y.

Con referencia al nuevo sistema de coordenadas, la ecuación de la elipse es:

x’2 + y’2 = 1 a2 b2

Como x = x′ + h; y = y′ + k nos representan las ecuaciones de translación

paralela de los ejes, las aplicaremos.

Entonces x′ = x - h y y′ = y - k, efectuando la sustitución, tenemos:

75

(X – h)2 + (y – k)2 = 1

a2 b2 Que es la ecuación de la elipse horizontal con centro fuera del origen de

coordenadas.

Las coordenadas de los vértices, focos y extremos del eje menor (B1 y B2), se

determinan a partir del centro de la elipse, una vez conocidos los valores de a, b y c.

La longitud del lado recto sigue siendo Lr = 2b2 y la excentricidad e = c.

a a

Ejercicio Modelo Segundo método. Determinar la ecuación de la elipse que tiene por vértices A1 (-10,6), A2 (10,6) y el

lado recto es 10.

SOLUCIÓN;

Como el centro es el punto medio del segmento A1 A 2, resulta que las coordenadas

del centro son: C (0, 6) Y que a = 10.

El eje mayor es horizontal, por lo que la forma de la ecuación está dada por la

fórmula

Falta por conocer b2, la cual se determina a partir del Lr, es decir: Lr =10= 2b2

a

Sustituyendo el valor de a y despejando a b2:

10 = 2b2

10

100 = 2b2

b2 = 50

Finalmente, sustituyendo en la fórmula (III), se obtiene:

(X – 0)2 + (y – 6)2 = 1 Que es la ecuación pedida.

100 50

Demostrar que la ecuación 9x2 + 4y2 + 36 x - 24 y + 36 = 0 representa una elipse

y determinar todos sus elementos.

SOLUCIÓN

Es suficiente observar que los coeficientes de x2 y y2 son desiguales y del mismo signo

y que no hay término rectangular, para asegurar que la ecuación sí representa una

elipse, con ejes de simetría paralelos a los de coordenadas.

Para mayor seguridad nos convendrá ver si se puede llevar esta ecuación a la forma

tipo correspondiente, lo que además nos servirá para determinar los elementos de la

curva.

Completando a trinomios cuadrados perfectos en x y y en la ecuación dada:

76

9 (x2 + 4 x + 4 - 4) + 4 (y2 - 6 y + 9 - 9) + 36 = 0

Simplificando:

9 (x + 2)2 + 4 y - 3)2 = 36

9 (x + 2)2 - 36 + 4 (y - 3)2 - 36 + 36 = 0

Dividiendo entre 36 queda:

( x + 2 )2 + ( y - 3 )2 = 1

4 9

De la ecuación encontramos que a2 = 9 y b2 = 4. Por tanto, a = 3 y b = 2. Las

coordenadas del centro son C (-2, 3).

Los ejes mayor y menor están dados por:

Eje mayor = 2a = 6

Eje menor = 2b = 4

Despejando a c de la expresión:

a2 – c2 = b2: c = a 2 - b 2 = ± √ 5 =± 2.23

Distancia focal = 2c = 4.46

Excentricidad e = 0.74

e = c = 2.23 = 0.74

a 3

Ancho focal = 2.66

Lr = 2b2 = 2(4) = 8 = 2.66

a 3 3

Vértices: A 1 (- 2, 0) y A 2 (- 2, 6)

Focos: F 1 (- 2, 0.74) y F 2 (- 2, 5.23)

Ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen.

La elipse vertical con centro fuera

del origen tiene su eje mayor

paralelo al eje y, como se representa

en la Figura. Usando el método

anterior tenemos:

77

Con referencia al nuevo sistema de coordenadas:

X’2 + y’2 = 1

b2 a2

Pero ya hemos visto que:

y = y’ + k. Por tanto: y’ = y - k

x = x’ + h. Por tanto: x‘= x - h

Sustituyendo, se tiene la ecuación de la elipse vertical con centro fuera del origen:

(X – h)2 + (y – k)2 = 1 b2 a2

Ejemplo modelo:

Hallar la ecuación de la elipse de centro C (-2, 5) y eje mayor paralelo al eje de las

yes, siendo: a=4 y b=2

Solución:

Modelo matemático: datos:

(X – h)2 + (y – k)2 = 1 C (-2, -5); a=4 y b=2

b2 a2

Eje mayor paralelo al eje yes.

Como el centro de la elipse se encuentra fuera del origen su centro es el punto C (h, k)

por tanto:

h = -2 y k = -5

Siendo a=4 por tanto a2 = 16 b=2 por tanto b2 = 4

Por lo tanto sustituyendo queda: [x-(-2)]2 + [y –(-5)]2 = 1

4 16

Simplificando queda: (x + 2)2 + (y + 5)2 = 1

4 16

Forma general de las ecuaciones de las elipses horizontal y

vertical con centro fuera del origen.

78

Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse, desarrollamos, las

ecuaciones ya conocidas en su forma común.

En el caso de la elipse horizontal tenemos que su ecuación es:

(X – h)2 + (y – k)2 = 1

a2 b2

Haciendo las operaciones tenemos:

b2 (X – h)2 + a2 (y – k)2 = 1

a2 b2 Multiplicando por a2b2:

b2 (X – h)2 + a2 (y – k)2 = a2 b2

Desarrollando:

b2 (x2 – 2xh + h2 + a2 (y2 – 2ky + k2) = a2 b2 Quitando paréntesis:

b2 x2 – 2b2xh + b2h2 + a2 y2 – 2a2ky + a2k2 = a2 b2

Ordenando:

b2 x2 + a2 y2 – 2b2hx – 2a2ky + b2h2 + a2k2 = a2 b2

Comparando con la ecuación general de las cónicas:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

Vemos que:

B = 0 D = - 2b2 h

A = b2 E = - 2a2 k

C = a2 F = b2 h2 + a2 k2 - a2 b2

Según esto la ecuación general de la elipse horizontal es:

A x 2 + C y 2 +D x +E y + F = 0

Por otra parte para la forma general de la ecuación de la elipse vertical procedemos

de la misma manera.

Desarrollamos la ecuación:

(X – h)2 + (y – k)2 = 1

b2 a2

Comparando con la ecuación general de las cónicas, tenemos que:

79

A x 2 +B x y + C y 2 +D x + E y + F = 0

A = a2 D = - 2a2 h

B = 0 E = - 2 b2 k

C = b2 F = a2 h2 + b2 k2 - a2 b2

Por lo que la ecuación general de la elipse vertical nos queda:

A x 2 + C y 2 +D x +E y + F = 0

ACTIVIDAD:

Determinar la ecuación de la elipse que tiene por vértices A1 (-10,6), A2 (10,6) y el

lado recto es 10.

Los focos de una elipse son los puntos F1 (-1,0) y F2 (1,0); la longitud de su eje

menor es 2. Obtener su ecuación.

Determinar las longitudes de los ejes, las coordenadas de los focos y la

excentricidad de la elipse, cuya ecuación es: 25 x 2 + 169 y 2 = 4225.

Demostrar que la ecuación 9 x 2 + 4 y 2 + 36 x - 24 y + 36 = 0 representa una

elipse y determinar todos sus elementos.

Los focos de una elipse son F1 (2,1) y F2 (3,4), su eje mayor mide 6. Determinar

su ecuación.

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen de coordenadas, uno de

sus vértices esta en el punto (0; 7) y pasa por M= (√5; 14/3)

Una elipse tiene su centro en el origen de coordenadas y su eje mayor

coincide con el eje X. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos

A = (√6; -1) y B = (2; √2)

Hallar la ecuación de la elipse que pasa por el punto N = (√7/2; 3), tiene su

centro en el origen de coordenadas, su eje menor coincide con el eje X y la

longitud de su eje mayor es el doble de la de su menor.

Sabiendo que a=2√3 y uno de los focos es (0,2√2. Hallar la ecuación general

de la elipse.

Encontrar la ecuación de la elipse cuyos focos son F1 (1,1), F2 (5,1) y cuyo

diámetro focal mide 6.

Una elipse tiene su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje y si

uno de los focos es el punto (0,3) y la excentricidad es igual a 1/2, hallar las

coordenadas del otro foco, las longitudes de los ejes mayor y menor, la

ecuación de la elipse y la longitud del lado recto.

Escribir la ecuación 8x2+4y2-24x-4y-13=0 en forma simétrica y dibujar la

elipse.

80

Una elipse con su centro en el origen y su eje mayor coincide con el eje y, si la

excentricidad es 1/2. Hallar las coordenadas del otro foco, las longitudes de

los ejes mayor y menor, la ecuación de la elipse y el lado recto.

Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como vértices y

focos los siguientes puntos: V (6,0), V´ (0,-3), F (4,0) y F (-4,0).

Escribe la ecuación de la elipse en forma canónica que tiene como focos los

siguientes puntos: F (0,3), F´ (0,-3) y su excentricidad es 2/3.

Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria que tiene como focos los

siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vértices V´ (-4,-8), V (-4,0).

Escribe la ecuación de la elipse en su forma ordinaria con centro en C (-9,3)

foco y vértice en F (-6,3),y vértices V (-4,3)

El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vértices es el punto

(3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuación de la elipse

en su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

La forma general de la ecuación de una elipse es: 9x2 + 4y2 + 18x – 12y –18 = 0

Redúzcala a su forma ordinaria; determine centro, focos, longitud de los ejes

mayor y menor, lado recto y su excentricidad.

La órbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos está el sol, sabiendo

que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilómetros y qué la

excentricidad vale 0.017, hallar la máxima y la mínima distancia de la tierra al

sol.

HIPERBOLA

Se llama hipérbola al lugar geométrico de los

puntos del plano tales que la diferencia de

sus distancias a dos puntos fijos, llamados

focos, es una constante (se representa por

2a).

La recta que une los dos focos se llama eje

real de la hipérbola y la mediatriz se llama

eje imaginario de la hipérbola.

El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama

centro de la hipérbola.

Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola.

81

Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a

las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama

radios vectores del punto.

Sus elementos son:

Vértices: A y A’ A (a, 0) y A’ (-a, 0)

Covértices: B y B’ B (0, b) y B’ (0, -b)

Eje transversal: recta que contiene los focos A A’

Eje conjugado: recta que contiene a los covértices B B’

Centro: intersección de los ejes transversal y conjugado O

Focos: son los puntos F y F’

Eje focal: Es la recta que pasa por los focos

Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF’

Centro: Es el punto de intersección de los ejes

Vértices: Los punto A y A’ son los puntos de intersección de la hipérbola con el

eje focal; los puntos B y B’ se obtienen como intersección del eje imaginario con

la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Radio vector: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los

focos MF Y MF’

Distancia Focal: Es el segmento FF’ de longitud 2c.

Eje Mayor: es el segmento AA’ de longitud 2a.

Eje menor: es el segmento BB’ de longitud 2b.

Eje de simetría: son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.

Asíntotas: son las rectas de ecuaciones: y = - b x; y = b x

a a

Se llama ecuación reducida a la ecuación de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes

coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.

Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(−c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la hipérbola cumple:

82

MF – MF’ = 2a

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y considerando que b2 = c

2 – a

2, llegamos a:

x2 - y2 = 1

a2 b2

EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA

Para cualquier hipérbola, a la relación que existe entre c y a , se le conoce como su excentricidad

y se denota con la letra e :

e c/a

Como el valor de c (foco) es más grande que el a (vértice), siempre se cumple que e 1.

Ejemplos Modelo

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (4, 0), de vértice A (2, 0) y de centro C (0, 0).

C (0, 0) F (4, 0) A (2, 0)

a = 2 c = 4 b = = 2

x2 - y2 = 1

4 12

Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos

F' (-5, 0) y F (5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.

2a = 6 por tanto a = 3

c = 5 por tanto b= = b = 4; x2 - y2 = 1

9 16 e = 5/3

Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la

excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y

2 = 144.

9x2 - 16y2 = 144

144 144 144 x2 - y2 = 1 A (4,0) A’ (-4, 0) F (5, 0) F’ (-5, 0)

16 9

83

e = 5/4 y = ¾ x y = -3/4 x

Actividad Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (0, 5), de vértice A (0, 3) y de centro

C (0, 0).

Calcular las longitudes de los semiejes real e imaginario, las coordenadas de los

vértices, focos, la longitud del lado recto, la excentricidad y las ecuaciones de las

asíntotas de las siguientes hipérbolas.

x2 - y2 = 1 y 8x2 – 12y2 = 96

25 9

Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P (8, 14). Hallar su

ecuación.

Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia

de un foco al vértice más próximo es 2.

Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los

vértices de la hipérbola 50 y 2.

El eje focal de una hipérbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la ecuación de

la hipérbola.

Calcular la ecuación de una hipérbola equilátera sabiendo que su distancia focal es

LONGITUD DE LOS LADOS RECTOS DE UNA HIPÉRBOLA HORIZONTAL Para cualquier hipérbola, los segmentos perpendiculares al eje real que pasan por sus focos y que

incluyen a los extremos de la curva se denominan lados rectos Lr, es:

Lr = 2b2

a

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CON CENTRO

EN EL ORIGEN

El procedimiento para obtener la ecuación de la hipérbola vertical es muy similar al que

se hizo con la hipérbola horizontal.

En este caso, los vértices y focos están sobre el eje y en las coordenadas V1 (0, -a),

V2 (0, a), F1 (0, c) y F’ (0,- c), respectivamente, y aplicando la expresión de distancia

entre dos puntos y después de desarrollar, eliminar radicales y simplificar, se llega a:

84

y2 - x2 = 1

a2 b2

Ecuación conocida como ecuación ordinaria o

canónica de la hipérbola vertical con centro

en el origen, de semieje real a y de semieje

imaginario b. La hipérbola en este caso

tendría la siguiente forma:

Actividad

Obtener todas las características de la hipérbola de ecuación:

y2 - x2 = 1

9 16

Obtener todas las características de la hipérbola con focos en F (0, ± 6) y que tiene

asíntotas de ecuaciones:

y = 4/5 x

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA HORIZONTAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIER PUNTO DEL PLANO

Si el centro de la hipérbola horizontal es el punto C (h, k), que es el origen del sistema

coordenado x' - y’, su ecuación ordinaria viene dada por:

(x’)2 - (y’)2 = 1

a2 b2

Pero teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:

x' = x - h y y' = y - k

Y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

(x - h)2 - (y - k)2 = 1

a2 b2

Que es la ecuación ordinaria de la hipérbola horizontal con centro en C (h, k), de

semieje real a y de semieje imaginario b.

85

La siguiente figura muestra este caso:

De la figura se puede apreciar que los vértices están en: A1 (h + a, k) y A2 (h - a, k),

los extremos del eje imaginario están en: B1 (h, k - b) y B2 (h, k + b), por su parte, los

focos se ubican en F1 (h - c, k) y F2 (h + c, k). La longitud del lado recto sigue siendo:

Lr = 2b2

a los extremos de los lados rectos son:

(h ± c, k ± b

2 / a) y las ecuaciones de las asíntotas son: y – k = ± b/a (x – h)

Ejemplo Modelo

Encontrar todos los elementos de la hipérbola cuya ecuación es: (x + 1)2 - (y - 5)2 = 1

9 36

Solución.

De la ecuación se aprecia que h = -1 y k = 5, por lo tanto, el centro se ubica en

C (-1,5). Por otra parte, se tiene: a2 = 9; b2 = 36 por tanto a = 3 y b = 6

Los vértices están en: V (-1± 3.5) que equivale a: V1 (2, 5), y V2 (4, 5).

Obteniendo c: c = √a2 + b2 c = √ 9 + 36 = 3√5

Los focos se ubican en: F 13 √ 5, 5que equivale a:

F1 (-1+ 3 5, 5) y F2 (-1 -3 5, 5)

86

Lr = 24

ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA VERTICAL CUANDO SU CENTRO ES CUALQUIER

PUNTO DEL PLANO

Si el centro de la hipérbola vertical es el punto C h, k, que es el origen del sistema coordenado

x 'y’, su ecuación ordinaria viene dada por:

(y’)2 - (x’)2 = 1

a2 b2

Pero teniendo en cuenta las fórmulas de traslación:

x' = x - h y y' = y - k

Y sustituyendo en la ecuación anterior se tiene que:

(y - k)2 - (x - h)2 = 1

a2 b2

Que es la ecuación ordinaria de la hipérbola vertical con centro en C (h, k), de semieje

real a y de semieje imaginario b. La siguiente figura muestra este caso:

De la figura se puede apreciar que los vértices están en: V1 h, k a y V2 h, k a y los

focos se ubican en F1 h, k c y F h, k c. La longitud del lado recto sigue siendo

Lr = 2b2

a Los extremos de los lados rectos son: {h ±b2 / a, k ± c} y las ecuaciones de las

asíntotas son: y – k = ± a/b (x- h).

87

Ejemplo Modelo:

Encontrar la ecuación de la hipérbola y sus características si tiene vértices en V1 5, 1, y

V2 (5 7), y cuya longitud de sus lados rectos es 8/3.

Solución. Como las abscisas de los vértices no cambian, se trata de una hipérbola vertical.

El centro se ubica en C (5, 1+7) por tanto C (5, 4)

2

Esto es, h = 5 y k = 4

Así que el semieje real es: a = 7 - 4 = 3, despejando b de la expresión del lado recto

b = 2

Así que la ecuación buscada es:

(y - 4)2 - (x -5)2 = 1

9 4

Forma general de la ecuación de la hipérbola horizontal y vertical con centro

fuera del origen.

Desarrollando la forma común de las ecuaciones de la hipérbola.

(x - h)2 - (y -k)2 = 1 (y - k)2 - (x -h)2 = 1

a2 b2 a2 b2

Procediendo igualmente que en los casos de la parábola y la elipse cualquiera de

estas dos últimas ecuaciones puede expresarse en la siguiente forma general de la

hipérbola suprimiendo los denominadores, desarrollando los binomios, reduciendo

términos semejantes y ordenando la ecuación.

Es decir que se obtiene la forma general de la ecuación de la hipérbola en la cual su

eje es paralelo a cualquiera de los ejes coordenados:

A x2 + C y2 +D x +E y + F = 0

Que en el caso respectivo, se reconocerá como representativa de la hipérbola, porque

los coeficientes de x2 y y2 deben tener signos contrarios. Si la hipérbola es

horizontal el coeficiente de x2 es positivo y si la hipérbola es vertical el coeficiente

de y2 es el positivo.

Ejemplo Modelo:

88

Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0.

Determine y grafique: centro, focos, vértices y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN

La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C (2, 1) y su

eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C (2, 1). En esta caso,

Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .

Las coordenadas de los focos son: x = 2 e . Esto es F (2, 5) y F’ (2, -3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son: x = 2 e . Esto es V1 (2, 3) y V2(2, -1).

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: ,

e,

Actividad:

Representa gráficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos,

de los vértices y la excentricidad de las siguientes hipérbolas:

Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas:

F (3, 0), V (2, 0)

F (0, 0), V (-1, 0)

F (2, 3), directriz: x = 6

V (-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2)

89

V (4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2)

Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16,

-7)

Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas.

Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y

la ecuación de la tangente en el vértice.

y2 + 4x – 4y – 20 = 0

y2 – 8x + 4y + 12 = 0

y2 + 4x + 4y = 0

4y2 + 24x + 12y – 39 = 0

8y2 + 22x – 24y – 128 = 0

x2 – 6x – 12y – 15 = 0

x2 + 4x + 4y – 4 = 0

x2 – 8x + 3y + 10 = 0

6x2 – 8x + 6y + 1 = 0

5x2 – 40x + 4y + 84 = 0

Considere la ecuación de segundo grado: 3x2 – 2y2 – 6x – 4y – 5 = 0, identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos.

Considere la ecuación de segundo grado: x2 + y2 + 2x – 2y + 2 = 0. Identificar la curva que representa y trazar su gráfica con todos sus elementos.

Hallar la ecuación de una hipérbola de eje focal 8 y distancia focal 10.

El eje focal de una hipérbola mide 12, y la curva pasa por el punto P (8, 14). Hallar su ecuación.

Calcular la ecuación reducida de la hipérbola cuya distancia focal es 34 y la distancia de un foco al vértice más próximo es 2.

Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por los

puntos .

Determina la ecuación reducida de una hipérbola que pasa por el punto y su

excentricidad es .

Determina la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que un foco dista de los vértices de la hipérbola 50 y 2.

Determina la posición relativa de la recta x + y − 1 = 0 con respecto a la hipérbola x2 − 2y2

= 1. Una hipérbola equilátera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuación referida a sus

asíntotas como ejes, y las coordenadas de los vértices y los focos.

90

Hallar la ecuación de la hipérbola de foco F (-2, 5), de vértice A (-2, 3) y de centro

C (-2, -5).

Obténgase la ecuación de la hipérbola cuyo centro es el punto C (-2,1), tiene sus ejes paralelos a los de coordenadas y pasa por los puntos P (0,2) y Q (1,-4).

APLICACIONES

Algunas aplicaciones de la hipérbola se pueden encontrar en:

En la localización de epicentros de movimientos telúricos a través de

sismógrafos.

La naturaleza de la hipérbola se aprovecha en el diseño de telescopios

reflectores.

En la navegación se utiliza la definición de la hipérbola: un barco se encuentra

sobre una hipérbola cuyos focos están en la posición de dos estaciones. La

razón de esto es que la diferencia constante de tiempo entre las señales

emitidas desde cada estación corresponde a una diferencia constante entre las

distancias del barco a cada estación. Mediante la utilización de la hipérbola se

puede saber la localización exacta del barco2.

Investigaciones de física atómica han demostrado que las partículas alfa

apuntadas hacia el núcleo de un átomo son repelidas y siguen una trayectoria

hiperbólica.

Las trayectorias de los algunos cometas externos del sistema solar que son

atraídos por la gravedad del Sol, describen una órbita hiperbólica, considerando

que en uno de los focos está el Sol. Al describir este movimiento, estos cometas

escaparán nuevamente de este sistema.

En el diseño de algunos arcos y cúpulas de construcciones modernas.

Una relación hiperbólica determina que dos cantidades son inversamente

proporcionales.

91

Unidad 4 Sistema de coordenadas Polares y trigonometría

Presentación El tema central son las coordenadas polares, como otro sistema de representación del plano, que tiene ventajas para trabajar con ciertos lugares geométricos como las espirales, rosas, etcétera, donde su posición varía de forma periódica. La trigonometría es una herramienta de gran utilidad en esta Unidad.


Usar las coordenadas polares como sistema de referencia para el plano. Usar los radianes para medir ángulos. Utilizar elementos básicos de trigonometría Representar algebraicamente las relaciones geométricas que definen a un lugar

geométrico y viceversa.


Sistema de coordenadas polares Radianes Distancia entre dos puntos Repaso de trigonometría: círculo unitario o trigonométrico, funciones

trigonométricas seno, coseno y tangente, identidades trigonométricas básicas.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

PROPÓSITOS: Mostrar una visión global del método de la Geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos. Proporcionar los elementos que servirán en las unidades posteriores para emplear el método en situaciones más complejas.

92

El primer paso definido hacia la matemática de las magnitudes variables fue la

aparición de la “Geometría” de Descartes. Las ideas básicas de Descartes son las

siguientes: supongamos que nos dan, por ejemplo la ecuación

X2 + y2 = 52

Consideró a x y y como variables, por lo que la anterior ecuación expresa, en este

sentido, la interdependencia de dos variables. Tal ecuación puede escribirse en forma

general, pasando todos sus términos al primer miembro:

F (x, y) = 0 es decir X2 + y2 - 52 = 0

Además, Descartes introdujo en el plano las

coordenadas x, y, que ahora llamamos coordenadas

cartesianas en su honor.

De este modo a cada par de valores x y y corresponde un punto, y recíprocamente, a

cada punto corresponde un par de coordenadas x, y. Así, la ecuación Fx determina el

lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación. Por

ejemplo, la ecuación escrita anteriormente determina la circunferencia de radio 5 y

centro en el origen.

En efecto, como se ve en la de abajo, x2 + y2 es, por el teorema de Pitágoras, el

cuadrado de la distancia del origen O al punto M de coordenadas (x, y). Así la

ecuación X2 + y2 = 52 representa el lugar geométrico de los puntos cuya distancia al

origen es igual a 5, y este lugar es una circunferencia.

Como puede verse, el desarrollo de la Geometría Analítica

necesitó para desarrollarse y resolver problemas, un

sistema de referencia. En las gráficas anteriores dicho

sistema corresponde al plano cartesiano o plano de

coordenadas rectangulares.

EL SISTEMA DE LAS COORDENADAS POLARES.

En el sistema de las coordenadas polares se necesita un ángulo θ y una distancia r.

Para medir el ángulo necesitamos los siguientes elementos de referencia: un punto fijo

llamado polo y denotado con la letra O y una semirrecta dirigida que parte del origen,

llamada eje polar y denotada con la letra e, como se muestra en la figura

Plano Polar:

P (r, θ)

93

Θ

A la distancia dirigida del polo al punto P(r, θ) se le llama radio vector del punto y al

ángulo θ ángulo polar, o bien argumento.

Para medir el ángulo es necesario tomar en cuenta si este es positivo o negativo. Si es

positivo hay que medirlo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj

y si es negativo, a favor del movimiento de las manecillas del reloj.

También podemos tener distancias "negativas": ya que hayamos localizado el ángulo,

la recta que parte del polo en esa dirección tendrán un radio positivo y los puntos que

estén sobre la prolongación de esta recta en sentido contrario al polo tendrán un radio

negativo. Por ejemplo:

3,

-3,

A continuación te mostramos la gráfica de tres puntos en el eje polar: A (3, 60º),

B (2, ) y C (225º,4). Analiza cuidadosamente su gráfica e intenta comprender la

manera en que se gráfica cualquier punto P(r, θ) de esas características.

En la siguiente figura se han trazado circunferencias de radio 1, 2, 3 y 4, y el plano

polar, en Ella localiza los siguientes puntos A (1,90°), B (1,135°), C (1,-120°),

D (-1,-135°) y E (-1,225°). En caso de tener dudas pregúntale a tu profesor, para que

te ayude.

94

En la figura anterior localiza además los siguientes puntos F(2,90°), G(3,135°),

H(2,-120°), K(-3,-135°) y M (-4,225°).

Radián Unidad de medida para ángulos. Un radián se define como la medida de un

ángulo central cuyos lados cortan un arco igual en longitud al radio en la

circunferencia del círculo. Ya que la longitud de este arco es igual a un radio del

círculo, se dice que la medida de este ángulo es un radián.

1 radián = (180/ ) ° = 57.296°

La ventaja de los radianes sobre los grados es solamente que ayudan a simplificar muchas fórmulas trigonométricas.

Si medimos el ángulo subtendido en grados, no obtendremos una igualdad: el largo de

una circunferencia es y el ángulo central que subtiende toda la circunferencia es

360 . Este ejemplo define la nueva unidad angular que denominamos radián:

La equivalencia con los grados es:

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de

360o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180

o equivale a π radianes (recordemos que el

número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se

muestran en las siguientes tres figuras:

95

Para convertir de grados a radianes o viceversa, partimos de que 180o equivalen a π

radianes; luego planteamos una regla de tres y resolvemos.

EJEMPLO A: Convertir 38o a radianes.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese

que la x va arriba, en la posición de los

radianes.

Despejamos x, también simplificamos.

Por último obtenemos el equivalente decimal

con calculadora:

x = 0.6632 radianes

EJEMPLO B: Convertir 2.4 radianes a

grados.

Primero planteamos la regla de tres. Nótese

que la x va abajo, en la posición de los grados.

Despejamos x.

Por último obtenemos el equivalente decimal

con calculadora:

x = 137.5099o

EJERCICIOS:

1) Convertir 82o a radianes.

2) Convertir 1.84 radianes a grados.

3) Convertir 247o a radianes.

4) Convertir 4.06 radianes a grados.

Expresa en grados sexagesimales los siguientes ángulos:

1 3 rad 22π/5rad. 33π/10 rad.

96

Expresa en radianes los siguientes ángulos:

1316° 2 10° 3 127º

Razones trigonométricas en un triángulo:

Las funciones trigonométricas se originaron históricamente como relaciones entre las

longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. Denotemos por α el ángulo AOB, a

continuación definimos las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente,

cotangente, secante y cosecante del ángulo

Sen = AB

0B

Cos = 0A

0B

Tan = AB

0A

0 Radianes 0 Grados Sen Cos Tan

0 0 0

30º 1/2

45º 1

60º 1/2

90º 1 0 No existe

Identidades entre las razones trigonométricas:

1) Identidades

Tan = sen

Cos Cotg = cos

Sen

Cosec = 1

Sen Sec = 1

Cos

Cotg = 1

Tan

97

Funciones trigonométrica:

Para definir las razones trigonométricas hemos trabajado sobre triángulos rectángulos,

por lo tanto sobre ángulos agudos (menores de 90º). No obstante, las definiciones

anteriores se pueden generalizar a cualquier ángulo α como sigue:

Elegimos un punto arbitrario P = (x, y) en el plano de modo que la semirrecta OP

forme un ángulo α con el eje de las x, así α queda en posición estándar.

Denotemos por r = √ x2 + y2 la distancia de O a P entonces

Sen = y

r Cos = x

r

Tan = y

x

De este modo tenemos definidas las funciones seno, coseno y tangente de

cualquier valor real y usando las identidades trigonométricas recíprocas

podemos definir secante, o secante y cotangente.

Definición de las funciones trigonométricas sobre el círculo unidad:

El punto arbitrario P =(x, y) del plano que hemos utilizado para definir seno,

coseno y tangente de α se puede elegir de modo unívoco si nos restringimos a

la circunferencia de radio 1 con centro el origen O. Además, para cualquier

punto de la circunferencia unidad r = √x2 + y2 = 1; con lo cual, cuando

P pertenece a la circunferencia unidad tenemos.

Sen y cos x tan = y/x

Algunas aplicaciones de la trigonometría Resolución de triángulos: Teoremas del seno y el coseno

Hasta el momento sabemos relacionar mediante las razones trigonométricas ángulos y lados de un triángulo rectángulo. Los siguientes teoremas nos proporcionan relaciones para cualquier triángulo.

98

Considérese un triángulo de vértices A, B, C y lados de longitud a, b, c. Denotemos también por A, B y C los ángulos que corresponden a los vértices A, B y C respectivamente

Teorema del seno: a = b = c

Sen A Sen B Sen C En todo triángulo las longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los

ángulos opuestos

Actividad:

Un triángulo ABC tiene un ángulo recto C y dos ángulos agudos A y B. Los lados del

triángulo AC y BC de ambos lados del ángulo recto C están dados como:

(a) AC = 3 BC = 4

(b) AC = 5 BC = 12

(c) AC = 8 BC = 15

En cada caso, use el teorema de Pitágoras para encontrar el tercer lado y luego

encuentre el seno y el coseno de los ángulos A y B.

Un aeroplano vuela a 170 km/s hacia el nordeste, en una dirección que forma un ángulo de

52° con la dirección este.

El viento está soplando a 30 km/h en la dirección noroeste, formando un ángulo de

20º con la dirección norte. ¿Cuál es la "velocidad con respecto a tierra" real del aeroplano y cuál es el ángulo A entre la ruta real del aeroplano y la dirección este?

Los lados de un paralelogramo miden 12 y 20 cm, respectivamente, y forman

un ángulo de 60°. ¿Cuánto mide la altura del paralelogramo? ¿Y su área?

Para medir la altura de una torre nos situamos en un punto del suelo y vemos

el punto más alto de la torre bajo un ángulo de 60°. Nos acercamos 5 metros

a la torre en línea recta y el ángulo es de 80°. Halla la altura de la torre.

En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos

mide 12 cm. Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ángulos.

99

Un mástil de 5 metros se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la

figura:

Halla el valor de c y la longitud del cable.

Uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 4,8 cm y el ángulo opuesto

a este cateto mide 54°. Halla la medida del resto de los lados y de los ángulos

del triángulo.

Halla los valores de x, y, h en el siguiente triángulo:

100

Bibliografía ANGUIANO A., Antonio. Matemáticas IV. Geometría analítica. México, McGraw Hill,1996. BOSCH Giral, Carlos, et al. Matemáticas Técnicas. México, Limusa-Conalep-SEP, 1998. Para la Unidad 2: capítulo 5, p. 117. Para la unidad 3, capítulo 6, p. 137 y capítulo 7, p.173. Para la Unidad 4, capítulos 2 y 3, pp. 45 y 73. DE OTEYZA, Elena, et al. Geometría analítica. México, Prentice Hal, 1994. FLEMING, Walter, et al. Álgebra y Trigonometría con Geometría analítica. USA, Prenticel Hall Hispanoamericana, 1984. FULLER, Gordon, et al. Geometría analítica. USA, Addison -Wesley Iberoamericana, 1988. Para la Unidad l : capítulo 1, p. 29. Para la Unidad 4: capítulo 7, p. 192. GUERRA Tejada, Manuel, et al. Geometría analítica. México, McGraw-Hill, 1997. Para la Unidad 1: capítulo 5, p. 63. Para la Unidad 3: capítulo 5, p. 63. LEHMAN, Charles. Geometría analítica. México, Liimusa, 1980. LUCIO Gómez, María Guadalupe. Geometría analítica. México, Limusa, 1984. Para la

Unidad 2. PURCELLE, Edwin J., et al. Cálculo con Geometría analítica. México, Prentice Hall, 1992. RAMÍREZ de Arellano, Enrique. Geometría analítica 2 (Lugares Geométricos). México,

limusa, 1984. Para Unidad 1. REYES Guerrero, Araceli. Geometría analítica 4. Clasificación de cónicas. México, Limusa, 1984. Para la Unidad 3: capítulo 1,p. 9.

TORRES, Carlos. Geometría analítica. México, Santillana, 1998

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MATERIAL DE TRABAJO RECOLECTADO Y REALIZADO POR:

Dr. Roberto Rodríguez Nava Profesor Efraín Álvarez Chávez Mtra. Rocio Ponce Ortega

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