TEMA:2

Tema 3: DivisibilidadE.S.P.A.: MATEMTICAS 1

1.-MLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NMEROUn nmero es mltipo de otro cuando la divisin del primero entre el segundo es exacta10 es mltiplo de 2 ya qu 10 : 2 = 5

Un nmero es divisor de otro cuando la divisin del segundo entre el primero es exacta.

2 es divisor de 10 ya que 10 . 2 = 5

Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad.

El 0 es mltiplo de cualquier nmero natural.

Ejercicio 1. Contesta en el cuaderno:

a) Es 50 mltiplo de 6?

b) es divisor de 240?

c) El nmero 17 es divisible por 3? y por 2?

d) escribe dos divisores de 12Ejercicio 2. Escribe seis mltiplos de cada uno de estos nmeros: 8, 7, 4 y 15.Ejercicio 3. Escribe todos los divisores de los nmeros:

a) 45

b) 362.-CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Los criterios de divisibilidad son unas reglas que nos permiten averiguar, en algunos casos, si un nmero es divisible por otro sin necesidad de efectuar la divisin.

Un nmero es divisible por diez si acaba en cero. Un nmero es divisible por dos si acaba en cero o cifra par. Un nmero es divisible por cinco si acaba en cero o en cinco. Un nmero es divisible por cuatro o por 25 si las dos ltimas cifras son ceros o forman un nmero mltiplo de 4 o 25, respectivamente

Un nmero es divisible por 3 o por 9 ,cuando la suma de sus cifras es mltiplo de 3 o de 9, respectivamente

Ejercicio 4. Dados los nmeros 121, 7392, 6061, 4320, 1915, 3276, 428, 505, 400, 936 indica, empleando los criterios de divisibilidad:a) cuales son divisibles por 2b) cules son divisibles por 3c) cules son divisibles por 5d) cules son divisibles por 4Ejercicio 5. Cul es el valor que debe tener la letra a para que los nmeros siguientes sean divisibles por 3?

a) 2 a 46

b) 301 ac) 413 ad) a 314

Ejercicio 6. Contesta, sin realizar la divisin, si los nmeros 102, 210, 387, 225, 360, 121 y 3.600 son mltiplos de 2, 3, 4 y 5.3.-NMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Un nmero natural distinto de 1 es nmero primo si slo tiene como divisores el 1 y l mismo.Un nmero natural es compuesto si tiene otros divisores adems del 1 y del mismo

2357

11131719

2329

3137

414347

5359

67

7379

8389

97

13 es primo, sus divisores son 1 y 1312 es compuesto , sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 12

TABLA DE NMEROS PRIMOS(CRIBA DE ERATSTENES)Ejercicio 7. De los siguientes nmeros decir cuales son primos: 43, 47,49,55,74,83,96,107,121.

Ejercicio 8. Escribe los nmeros del 2 al 100 en una tabla de 10 filas y 10 columnas. Tacha los siguientes nmeros:

a) de 2 en 2 a partir del 2.

b) de 3 en 3 a partir del 3.

c) de 5 en 5 a partir del 5.

d) de 7 en 7 a partir del 7.

e) de 11 en 11 a partir del 11.

f) de 13 en 13 a partir del 13.

g) de 17 en 17 a partir del 17.

4.-DESCOMPOSICIN DE UN NMERO EN FACTORES PRIMOS

Para descomponer un nmero en factores primos de divide por el menor nmero primo del que sea mltiplo . Lo mismo se hace con los cocientes que se vayan obteniendo.

2

2

3

5

60

30

15

5

60= 2235

Ejercicio 9. Hacer la descomposicin en factores primos de 40, 50, 60, 100, 240, 180, 75, 2250, 1400, 1690, 1440, 2560

5.-MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLOMximo comn divisor es el mayor divisor comn a varios nmeros. Se obtiene descomponiendo los nmeros en factores primos . A continuacin ser multiplican los factores comunes afectados por el menor exponente. m.c.d. (48 32, 35)

48=243

32=25

m.c.d. = 22 = 4

36=2233Mnimo comn mltiplo es el menor de los mltiplos comunes a varios nmeros. Se obtiene descomponiendo los nmeros en factores primos. A continuacin se multiplican los factores comunes y no comunes afectados por el mayor exponente.

m.c.m. ( 12, 15, 20)

12=223

15=35

m.c.m. = 22 3 5 = 60

20=225

Si dos nmeros no tienen divisores comunes, se dice que son primos entre s.Ejercicio 10. Calcular el mcd y el mcm de 60 y 108.Ejercicio 11. Calcula :

m.c.d ( 56, 84 )

m.c.d. ( 24, 56, 110 )

m.c.m ( 56, 84 )

m.c.m ( 24, 56, 110 )

Ejercicio 12. Hallar el m.c.d. y el m.c.m. de:

a) 870 y 261

b) 930 y 1240

c) 340, 560 y 720

d) 105, 140, y 700

Ejercicio13. Tenemos dos cuerdas, una de 12 metros y otra de 8 metros Cmo las dividiremos de modo que los trozos se una sean de igual longitud que los de la otra y lo ms largos posibles?

Ejercicio 14. Un padre y dos hijos tiene ocupaciones tales que el primero no puede estar en casa ms que cada 15 das, uno de los hijos cada 10 das, y el otro, cada 12. El da de Navidad estn juntos los tres. Indquese la primera fecha en que vuelvan a coincidir los tres en casa

Ejercicio 15. Para medir exactamente el contenido de 3 recipientes de 30, 45 y 105 l de capacidad con un recipiente del mayor tamao posible Qu capacidad deber tener la vasija que emplearemos?

Ejercicio 16. Tres aviones salen de un mismo aeropuerto, uno cada 7 das, otro cada 12 y el tercero cada 18. Si hoy salen los tres juntos, Cundo a hacerlo de nuevo por primera vez?

(

Ejercicio17. Calcular los divisores de 60.Ejercicio 18. Es primo el nmero 89?Ejercicio 19. Calcular todos los divisores de 20, 27, 85, 100Ejercicio 20. Factoriza los siguientes nmeros:98, 105, 136, 346, 940Ejercicio 21. Sustituye b por un dgito de forma que el nmero 66b sea divisible:a) Por 2 y por 5

b) Por 3 pero no por 5

c) Por 5 pero no por 3

d) Por 2 por 11 y por 5

Ejercicio 22. Contesta a las siguientes preguntas, razonando las respuestas :a) Cuntos divisores tiene un nmero primo ?

b) Cuntos divisores tiene el nmero 0 ?

c) Es el nmero 0 divisor de algn nmero ?

d) Si un nmero tiene dos divisores distintos, cmo es el nmero ?

Ejercicio 23. Ser primo un nmero que no es divisible por 2, ni por 3, ni por 5, ni por 7, y que tenga dos cifras? Razona la respuesta

Ejercicio 24. Al dividir un nmero n por 7 da de resto 3. Piensa y contesta:

a) Es mltiplo de 7?b) Cunto debemos restar a n para obtener un mltiplo de 7?c) Cunto se debe sumar a n, como mnimo para obtener un mltiplo de 7?.

Ejercicio 25. Averigua todos los divisores de 60 y de 72

Ejercicio 26. Resuelve los siguientes apartados :

a) m.c.d ( 90, 1540 )

b) m.c.m ( 12, 42, 90 )

c) Descompn en factores primos el nmero 1260.Ejercicio 27. Los periodistas asistentes a una rueda de prensa son ms de 100 y menos de 120. Su nmero es tal, que si se agrupan de 5 en 5 sobran 2 ; si se agrupan de 2 en 2 sobra 1 y si lo hacen de 3 en 3 no sobran ninguno. Cul es el nmero de periodistas ?

Ejercicio 28. Se tienen dos cubas de vino, una de 420 litros y otra de 225 litros. Queremos envasar el vino en el mnimo nmero de botellas iguales. Qu capacidad tendr cada botella?

Ejercicio 29. La longitud del neumtico delantero de una bicicleta mide 60 cm y el trasero 175 cm. Se sealan con tiza los puntos de los neumticos que tocan el suelo y se hace andar la bicicleta. Cunto debe avanzar como mnimo la bicicleta para que coincidan las dos seales a la vez en el suelo?

Ejercicio 30. Tres amigos recorren un circuito en bicicleta. El primero tarda 3 minutos, el segundo tarda 1 minuto ms que el primero y el tercero 2 minutos ms que el segundo. cundo coincidirn de nuevo los tres en la lnea de salida ?

Ejercicio 31. Tengo un local rectangular que mide 45 m de largo por 36 de ancho y quiero embaldosarlo con planchas de cierto material. Por razones estticas, deseo que tengan el mayor tamao posible y que no haya que partirlas. De que dimensiones deben de ser las planchas?Ejercicio 32. Las luces del primer semforo de una calle de Badajoz cambian de rojo a verde cada 40 seg, y las del segundo semforo de esa misma calle cada 60 seg. A las 9 de la maana los dos semforos estaban en verde. Cuntas veces y a que hora coincidirn los dos semforos hasta la medioda ?

Ejercicio 33. Hay que llevar 10 perros y 18 gatos de un sitio a otro. Cuntas jaulas se necesitarn de tal forma que en cada una haya el mismo nmero de animales ?

Ejercicio 34. El autobs de la lnea A pasa por la primera parada cada 10 minutos y el de la lnea B cada 12 minutos. Cundo se encontrarn sabiendo que han salido los dos a las siete de la maana ?

RESUMEN

1.-MLTIPLOS Y DIVISORES DE UN NMERO

Un nmero es mltiplo de otro cuando la divisin del primero entre el segundo es exacta

Un nmero es divisor de otro cuando la divisin del segundo entre el primero es exacta.

Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad.

2. -CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Un nmero es divisible por diez si acaba en cero.

Un nmero es divisible por dos si acaba en cero o cifra par.

Un nmero es divisible por cinco si acaba en cero o en cinco.

Un nmero es divisible por cuatro o por 25 si las dos ltimas cifras son ceros o forman un nmero mltiplo de 4 o 25, respectivamente.

n nmero es divisible por 3 o por 9 ,cuando la suma de sus cifras es mltiplo de 3 o de

3. -NMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS

Un nmero natural distinto de 1 es nmero primo si slo tiene como divisores el 1 y l mismo.

Un nmero natural es compuesto si tiene otros divisores adems del 1 y del mismo

4. -DESCOMPOSICIN DE UN NMERO EN FACTORES PRIMOS

Para descomponer un nmero en factores primos se divide por el menor nmero primo del que sea mltiplo. Lo mismo se hace con los cocientes que se vayan obteniendo.

5. -MXIMO COMN DIVISOR Y MNIMO COMN MLTIPLO

Mximo comn divisor es el mayor divisor comn a varios nmeros. Se obtiene descomponiendo los nmeros en factores primos. A continuacin ser multiplican los factores comunes afectados por el menor exponente.

Mnimo comn mltiplo es el menor de los mltiplos comunes a varios nmeros. Se obtiene descomponiendo los nmeros en factores primos. A continuacin se multiplican los factores comunes y no comunes afectados por el mayor exponente.

POTENCIA: es el producto de factores iguales.

2 2 = 2 2 = 4

2 3 = 2 2 2 = 8

BASE EXPONENTE

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