Marzo 2016 - UDG

Primera edición, 2016Autores© 2016, Mónica Alejandra Huerta Castañeda y María del Carmen Mercado VásquezDirector del libro: Francia Carmen Martínez FavelaCoordinador: Luz Elena Rivera CedanoIlustrador: Edson Alonso Jaramillo ReyesFotógrafo: Benjamín Gutiérrez LucasD.R. © 2016, Universidad de GuadalajaraSistema de Educación Media SuperiorLiceo 496. Colonia Centro44100 Guadalajara, JaliscoISBN: 978-607-742-468-0Marzo 2016

Esta prohibida la reproducción parcial o total, por cualquier medio físico o electrónicode este contenido.

Itzcóatl Tonatiuh Bravo PadillaRectoría General

Miguel Ángel Navarro NavarroVicerrectoría Ejecutiva

José Alfredo Peña RamosSecretaría General

Sistema de Educación Media Superior

Javier Espinoza de los Monteros CárdenasDirección General del Sistema de Educación Media Superior

Ernesto Herrera CárdenasSecretaría Académica del Sistema de Educación Media Superior

Adriana Lorena Fierros LaraSecretaría Administrativa del Sistema de Educación Media Superior

Francia Carmen Martínez FavelaDirección de Educación Contínua, Abierta y a Distancia

DIRECTORIO

Introducción 6Objetivo 6Competencias del curso 7Rasgos del perfil de egreso 9Metodología 9Forma de trabajo 13Rol del estudiante y asesor 14Evaluación 14Recomendaciones para el asesor 16Estrategias de aprendizaje alternativas 16Organizador gráfico 17Simbología 18Evaluación diagnóstica 19

Módulo I. Derivada 24 Introducción 24

Derivada 27 Actividad 1. La utilidad de la empresa 27

Cierre de módulo 47 Avance de proyecto. Tasas marginales 47

Módulo II. Integrales 53 Introducción 53

Integrales 56 Actividad 2. Precisiones en el costo 56

Para finalizar 66 Proyecto Integrador. Mi empresa 67

Evaluación de la UAI 72Bibliografía 74

Anexos 75 Anexo 1. Ejercicios (actividad 1) 75 Anexo 2. Ejercicios (actividad 2) 84 Anexo 3. Competencias disciplinares 88

Índice

5

Bienvenida

Estimado(a) asesor(a):

Queremos darte la bienvenida a tu Guía del Asesor de la Unidad de Aprendizaje Integrada (UAI) Matemática avanzada, donde hallarás algunas sugerencias para trabajar de manera conjunta con tus estudiantes. Con la intención que la presente Guía sea un apoyo para ti durante el desarrollo de la UAI, te presentamos los contenidos de una forma amigable.

Para comenzar con tu Guía, es importante recordarte que el proceso que iniciarás con cada grupo es particular y único, por ello, te aseguramos que siempre emprenderás una nueva aventura con tus estudiantes. Es importante que tú y ellos estén en sintonía. De ahí que tu guía contiene la misma distribución del Libro Digital del Estudiante, aunque, la tuya contiene sugerencias de actividades de aprendizaje que podrás aplicar en caso de que surja algún conflicto con el grupo, en general, o con algún alumno, en particular.

¡Te deseamos el mejor de los éxitos!

¡Bienvenidos!

6

M a t e m á t i c a a v a n z a d a

IntroducciónAhora que te encuentras por finalizar el área interdisciplinaria de Razonamiento es momento de concluir el macro proyecto llamado “Mi empresa”.

En esta UAI trabajaremos con contenidos relacionados con cálculo. Una de las posibles aplicaciones del cálculo en nuestra vida diaria la podemos observar en problemas de administración o economía, por ejemplo: cuando el empresario requiere conocer cómo van sus ganancias y gastos, utiliza operaciones del cálculo.

Las actividades de aprendizaje que forman parte de esta UAI comprenden también la resolución de ejercicios, además, te presentamos una serie de situaciones hipotéticas con las cuales pondrás en práctica tu aprendizaje adquirido durante el área interdisciplinaria de Razonamiento.

Para concluir con el Macro proyecto será necesario retomar los proyectos integradores de las UAI anteriores. En esta ocasión presentarás también la misión y visión que tiene tu empresa.

Esperamos que el desarrollo de este Macro proyecto te permita aplicar de forma cotidiana las matemáticas.

Te deseamos la mejor de las suertes.

ObjetivoEstimar situaciones de optimización, razones de cambio y límites mediante el cálculo diferencial e integral para la obtención de inferencias y predicciones basadas en el análisis de datos.

7

Competencias del cursoCompetencias específicas

• Discrimina los conceptos aritméticos, geométricos y algebraicos para representarlos como relaciones de dos o más variables a fin de determinar o estimar su comportamiento.

• Selecciona modelos (funciones) que representan relaciones entre dos variables para resolver situaciones de optimización y razón de cambio mediante herramientas de cálculo diferencial.

Competencias genéricas

Piensa crítica y reflexivamente

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

5.2 Ordena información de acuerdo a categorías, jerarquías y relaciones.

5.3 Identifica los sistemas y reglas o principios medulares que subyacen a una serie de fenómenos.

5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.

5.5 Sintetiza evidencias obtenidas mediante la experimentación para producir conclusiones y formular nuevas preguntas.

5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.

Competencias disciplinares básicas

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

8


4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Competencias disciplinares extendidas

Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.


4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.




8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

9

Rasgos del perfil de egresoPensamiento crítico. Sustenta una postura personal integrando informadamente diversos puntos de vista, utilizando su capacidad de juicio.

Razonamiento lógico-matemático. Aplica procedimientos de la ciencia matemática, para interpretar y resolver problemas y actividades de la vida cotidiana y laboral.

MetodologíaPara el desarrollo e implementación del área interdisciplinaria de Razonamiento se diseñó un macro proyecto titulado “Mi empresa”. Su articulación exige del trabajo colaborativo por parte del estudiante. En cada UAI se espera construir las partes que conforman el macro proyecto.

A través del desarrollo de “Mi empresa” se pretende que el estudiante tenga un acercamiento al mundo de las matemáticas.

La tabla que a continuación se presenta describe su desarrollo.

Unidad de aprendizaje integrada (UAI) Proyecto

Matemática y vida cotidiana

Diseño del plano arquitectónico de la empresa.

En este avance del macro proyecto se espera que el estudiante:

• Calcule la distribución física de las instalaciones.

• Represente geométricamente la empresa y sus necesidades físicas.

• Represente de forma algebraica el plano arquitectónico de la empresa.

Matemática y ciencia

Definición del producto, su costo, producción y mercado.


• Determine el costo total del producto como una ecuación de primer grado con dos incógnitas.

• Determine el punto de equilibrio y el punto de depreciación del producto.

10


Precálculo

Cálculo de la rentabilidad de la empresa.


• Diseñe el empaque para el producto.

• Modele el costo total.

• Modele el costo promedio de la empresa.

Matemática avanzada

Establecimiento de la proyección de la empresa.


• Determine el costo, ingreso y utilidad total de la empresa.

• Determine el cambio de costo, ingreso y cambio dentro de la empresa.

Durante el desarrollo de la UAI es necesario que el estudiante resuelva problemas pues, como recordarás, la resolución de problemas es uno de los vehículos principales del aprendizaje de las matemáticas (Godino, 2003) por lo que, además de aplicar la metodología del aprendizaje basado en proyectos, la unidad de aprendizaje se encuentra estructurada de forma tal que el estudiante resuelva problemas y preguntas guía así como ejercicios que le faciliten la construcción de los productos de aprendizaje.

Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP)

El Bachillerato General por Áreas Interdisciplinarias (BGAI), como parte de las alternativas de educación en modalidades no convencionales para el nivel medio superior, demanda de los estudiantes una participación activa durante el proceso de aprendizaje, por lo que se sugiere la aplicación del Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP) como parte de la metodología de trabajo para las UAI.

De acuerdo con Blank, “el ABP es un modelo de aprendizaje con el cual los estudiantes trabajan de manera activa, planean, implementan y evalúan proyectos que tienen aplicación en el mundo real más allá del aula de clase” (como se cita en Martí, 2010, p. 13). Los proyectos o planes de trabajo que llevan a cabo tienen la finalidad de realizar algo que es de interés para el estudiante y que además le exige poner en juego lo que conoce y sabe hacer. Estos proyectos están relacionados con actividades o problemáticas de la vida diaria. Pueden desarrollarse de forma individual o por equipos, según lo establezca la UAI.

11

El desarrollo e implementación del ABP incluye, según Martí (2010) los siguientes elementos:

1) Un tema relacionado con la realidad.

2) Un objetivo y actividades a realizar claros, posibles de cumplir y que motiven adecuadamente.

3) Etapas de desarrollo del proyecto. En general se consideran tres: etapa de inicio, etapa de desarrollo y etapa de culminación.

4) Cronograma con el fin de establecer el tiempo para su realización.

5) Pautas o normas de acción, sugerencias, etc. que guían el trabajo de los estudiantes.

6) Ayuda a través de medios para facilitar la obtención de mejores resultados.

7) Recursos humanos, técnicos, financieros y didácticos.

Cada UAI que estructura al BGAI considera el desarrollo de un Proyecto Integrador que evidencia el abordaje de las competencias genéricas y disciplinares básicas del Marco Curricular Común (MCC), de acuerdo con cada campo disciplinar. Para su desarrollo, a lo largo de la UAI se elaboran avances del proyecto, los cuales varían conforme con la extensión de cada UAI. A su vez, cada avance es resultado de las actividades concretadas en cada módulo.

Acosta, (2012) propone tres tipos de proyectos que se pueden trabajar:

a) Proyectos científicos: en donde los estudiantes tienen la oportunidad de desarrollar actividades relacionadas con el trabajo científico formal, al describir, explicar y predecir, mediante investigaciones fenómenos o procesos naturales que ocurren en su entorno.

b) Proyectos tecnológicos: estimulan la creatividad en el diseño y la construcción de objetos, e incrementan el dominio práctico de materiales y herramientas.

c) Proyectos ciudadanos: contribuyen a valorar de manera crítica las relaciones entre la ciencia y la sociedad mediante una dinámica de investigación-acción y conducen a los estudiantes a interactuar con otras personas para pensar e intervenir con éxito en situaciones que viven como vecinos, consumidores o usuarios.

El tipo de proyecto integrador para cada UAI se encuentra establecido en el libro de texto del estudiante. Para su elección, los autores siguieron el siguiente proceso:

12


El proceso de evaluación en la metodología del ABP.

Dado su carácter, la evaluación de proyectos constituye una de las fases principales del proceso de enseñanza aprendizaje en el BGAI. Está orientada por y dirigida hacia el proyecto, con especial énfasis hacia el logro de las competencias que articulan la UAI. Se inicia desde el desarrollo de la primera actividad hasta el cierre.

La evaluación del proyecto implica el monitoreo activo del progreso de adquisición de las competencias. Esa tarea se realiza por parte del asesor, el estudiante y sus compañeros, por medio de la presentación de avances, de ahí que es necesario el establecimiento de lineamientos que evalúen el desempeño, comportamiento y los resultados del estudiante (Chávez, 2003).

Durante la elaboración del libro de texto, los autores, además de definir el proyecto integrador, los avances y actividades de aprendizaje de cada UAI, determinaron un instrumento de evaluación, el cual evalúa, entre otros aspectos, el nivel de logro de las competencias por parte del estudiante.

Enseguida te presentamos el proceso de elaboración del proyecto integrador:

13

Proceso de elaboración del proyecto integrador

Forma de trabajoAdemás del uso de la metodología ABP a continuación te presentamos la dinámica en la que se da tanto la participación del estudiante como la del asesor durante la UAI de Matemática avanzada.

La dinámica de trabajo y organización se dará en tres formas: grupo, equipo e individual. El trabajo en grupo consiste en tener sesiones grupales denominadas plenarias para compartir trabajo, construir tareas, compartir puntos de vista y enriquecer el trabajo de todo el grupo con tus aportaciones. El trabajo en equipo es cuando se forman equipos para compartir, construir y evaluar trabajos entre ustedes para obtener un producto determinado que contribuya al aprendizaje de todo el equipo, para ello es necesario que realmente desarrolles habilidades de colaboración con la finalidad de que puedas concluir con éxito tus tareas. El trabajo individual es necesario para la contribución de tus trabajos, hacer aportaciones, reflexiones, análisis y conclusiones sobre las otras dos formas de trabajo.

14


Rol del estudiante y asesor

El asesor es un facilitador que contribuye al desarrollo de

capacidades de los estudiantes.

Su papel es el de guiar a los alumnos a través de los diversos recursos, ampliar la información,

fomentar la convivencia en el grupo y las discusiones grupales.

Instruir a los alumnos en el uso de las herramientas virtuales e

incentivarlos a ser partícipes de su propio aprendizaje.

Se espera que los estudiantes se involucren con los temas, que sean capaces de utilizar razonamientos lógicos a través de las situaciones analizadas, que formen su criterio y que participen con los demás compañeros en la resolución de conflictos sociales y de las relaciones humanas.

EvaluaciónUna de las participaciones más importantes que tienes en el proceso de enseñanza-aprendizaje es durante la evaluación. A continuación te describimos, a detalle, la forma en la que concretarás este proceso.

La evaluación de esta UAI comprende tanto los productos que se obtuvieron en los avances de proyecto, las actividades de aprendizaje y las interacciones de colaboración que enriquecen el aprendizaje de forma virtual y/o presencial.

En la autoevaluación y coevaluación se espera que realices la entrega de los instrumentos diseñados para este fin, es decir, los resultados que consideres haber logrado tendrán un valor numérico inferior al resto de los criterios establecidos para su evaluación.

Recuerda que te sitúas en un bachillerato basado en competencias. Por tanto, al momento la evaluación, tu asesor valora qué tanto has cumplido con las competencias señaladas para la UAI.

Las actividades que se trabajan en cada módulo van dirigidas a que alcances un atributo de la competencia genérica dominante.

Para evaluar el logro de las competencias cada una de las actividades de aprendizaje posee criterios específicos con los cuales el asesor realiza un registro de su avance. Al final de cada módulo, o según lo establezca el asesor, entregarás un avance de tu proyecto.

Lo anterior obedece a un propósito en específico: valorar tu proceso. Cada atributo de las competencias genéricas se trabaja por lo menos dos veces a lo largo del módulo (en una actividad de aprendizaje y en el avance que se realiza al finalizar el módulo). De esta manera, tu asesor tendrá la oportunidad de detectar dificultades en el logro de los atributos y te propondrá estrategias para que los cumplas y acredites la UAI.

15

En lo referente a las competencias disciplinares, éstas quedarán evidenciadas en el examen departamental al final de la UAI y formará parte de la heteroevaluación. Dicha prueba no es aplicada por tu asesor, sino por alguien externo y sus preguntas se basan en casos aplicables en los cuales evidenciarás que has logrado las competencias disciplinares.

Finalmente, la evaluación de las competencias específicas quedará sujeta a la evaluación de las propias competencias genéricas, puesto que encuentran su correspondiente en la competencia trabajada en cada módulo.

Evaluación global

Proyecto integrador 40 puntos

Actividades de aprendizaje y ejercicios 40 puntos

Autoevaluación 5 puntos

Coevaluación 5 puntos

Heteroevaluación 10 puntos

Total 100 puntos

Evaluación del proyecto integrador

Avance de proyecto 20 puntos

Integración del proyecto 20 puntos

Total 40 puntos

16


Recomendaciones• Se recomienda al asesor que en sesión presencial pida a los estudiantes

exponer al resto del grupo su proyecto final.

• Se recomienda que el asesor sugiera a los estudiantes que utilicen los recursos de apoyo para cada actividad de aprendizaje, después de revisarlos será necesario interactuar con los estudiantes mediante el uso del “FORO DE DUDAS”. Posteriormente sugerir que determinen la solución de los problemas propuestos en las actividades de aprendizaje y en sesión presencial cotejar las respuestas, así como el proceso seguido para obtener el resultado.

• En caso necesario el asesor deberá socializar los procesos y hacer énfasis en demostrar que en matemáticas existen muchas formas de solucionar un mismo problema y que, además, todas son válidas siempre y cuando su proceso este argumentado y lleguen a la solución correcta.

• Se recomienda que la solución de problemas en las sesiones presenciales sea mediante el uso de estrategias de trabajo colaborativo.

Estrategias de aprendizaje alternativas• Aprendizaje Colaborativo: en donde los estudiantes organicen su

trabajo dentro y fuera del aula con la finalidad de que, con la interacción entre pares, se facilite el desarrollo de competencias.

• Solución de ejercicios y problemas: se solicita a los estudiantes el desarrollo de procesos que permitan la solución a distintos ejercicios mediante la aplicación de procedimientos.

• Contrato de aprendizaje: establecer un acuerdo entre el asesor y los estudiantes para la consecución de los aprendizajes a través del uso de diversas estrategias.

Organizador gráfico

17

Simbología

56


Integrales

Cuando hablamos del costo marginal de una empresa nos referimos a la variación en el costo total ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir: es el costo de producir una unidad adicional. Por ejemplo, el costo que representa vender una mayor cantidad de producto cualquiera al contratar un mayor número de empleados. En cálculo, el costo marginal es la derivada de la función de costo.

El desarrollo de esta actividad nos permite conocer cuáles serían las variaciones en los costos en caso de requerir un mayor número de producción debido a la demanda por temporada o incluso si existe algún tipo de cambio en el costo total del producto.

Actividad 2. Precisiones en el costoPropósito

Establece, mediante integrales, la ganancia de la empresa.

Atributo de la competencia genérica






5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar la información.

32


Lectura

DerivadasInterpretación geométrica de la derivada

Cuando se trata de analizar el comportamiento de una función como la siguiente, es conveniente asociarla con otra función más sencilla, por ejemplo una función lineal, para lo cual necesitamos marcar dos puntos sobre la curva que representa a la función y trazar la recta que une a esos dos puntos:

Marquemos dos puntos sobre la gráfica y tracemos la recta que une a esos dos puntos:

Si esa distancia h que separa a los dos puntos, la hacemos cada vez más pequeña (se acerca o tiende a cero) nuestro problema de analizar el comportamiento de la gráfica se reduce a calcular la recta tangente a la gráfica de una función, ya que puntualmente (o sea, punto por punto) se trata de la recta que más se acerca a describir el comportamiento de dicha en cada uno de sus puntos, como se observa en el siguiente gráfico:

GLOSARIO.Recta tangente

es la recta que toca a una curva en un

solo punto.

Recta secante es la recta que toca en

dos puntos a una curva.

abc

1.- Me autodetermino y cuido de mi. Me conozco y valoro a mí mismo (a) y abordo problemas y retos que se me presentan teniendo en cuenta los objetivos que persigo.

2.- Soy sensible al arte y participo en la apreciación e interpretación en distintos géneros.

3.- Elijo y practico estilos de vida saludables.

4.- Me sé expresar y comunicar de forma pertinente y atinada, oralmente, por escrito, en otro idioma o el propio y usando la tecnología.

5.- Pienso en forma crítica y reflexiva. Desarrollo innovaciones y propongo soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

6.- Sustento mi postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

7.- Aprendo de manera autónoma. Lo hago por iniciativa e interes propio y lo haré a lo largo de mi vida

8.- Trabajo en forma colaborativa. Participo y colaboro de manera efectiva en equipos de trabajo diversos.

9.- Participo con responsabilidad en la sociedad. Lo hago con una conciencia cívica y ética en la vida de mi comunidad, de mi región, de México y del mundo en que vivo.10.- Mantengo una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la diversidad de creencias, valores y prácticas sociales en mi entorno, mi país y el mundo entero.

11.- Contribuyo al desarrollo sustentable de manera crítica, con acciones responsables.


Lectura

Evaluación

Actividad

50


iii. Costo e ingreso marginal.

iv. Ganancia máxima.

v. Conclusiones sobre el proceso empleado para llegar a la solución de problemas.

6. Entrega tu documento de acuerdo a las indicaciones del asesor.

Producto de aprendizaje

Presentación del costo e ingreso marginal y ganancia de la empresa.

Evaluación

Lista de cotejo. Avance de proyecto

Instrucción: Señala en la lista los criterios que contiene el avance y agrega observaciones de mejora.

Elementos a desarrollar Sí No Observaciones

Criterio de fondo

Define el costo total del producto a comercializar como una función polinómica de primer, segundo o tercer grado. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Expresa el costo para producir el empaque como una función polinómica de primer, segundo o tercer grado. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Identifica a una función polinómica para modelar el ingreso de la empresa. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Utiliza la derivada de una función para determinar el costo e ingreso marginal. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Representa e identifica en forma gráfica la región que determina la ganancia máxima.

Criterio de forma

Presenta al menos el 80% de cálculos correctos.

Ordena la información facilitando su lectura.

abc

Glosario

18


19

Evaluación diagnósticaRecuerda que la evaluación diagnóstica te permite conocer el nivel de aprendizaje en el cual se encuentra tu estudiante. No tiene una ponderación cuantitativa pero su aplicación beneficia tu plan de clase.

¡Bienvenido a la Unidad de Aprendizaje Integrada Matemática avanzada!

Para iniciar con el desarrollo de la UAI te invitamos a resolver el siguiente quiz, en plataforma, con los siguientes problemas que han sido extraídos del “Plan Nacional para la Evaluación de Logros Académicos” (PLANEA 2015).

1. ¿Cuál de las siguientes gráficas corresponde a la siguiente función?

A)

B)

20


C)

D)

2. Dada la función , el valor de está determinado por:

A) 2

B) 6

C) 16

D) 20

21

3. La siguiente gráfica muestra los datos registrados en un municipio con el número de accidentes automovilísticos durante una semana.

¿Cuál es el promedio de choques?

A) 14

B) 35

C) 49

D) 98

22


4. Laura lee dos libros: uno de historia y otro de literatura, y registra en la siguiente gráfica el número de páginas que lee cada día.

Identifique la ecuación para las páginas leídas de historia y de literatura, respectivamente.

A) x, 2x-2

B) 2x+2, x

C) x, 2x+2

D) 2x-1, x

23

5. En un centro comercial se registró la cantidad de piezas vendidas de colchones y computadoras en una semana:

Con base en la gráfica, se puede decir que…

A) Sólo el lunes se vendió la misma cantidad de colchones que el martes de computadoras.

B) El número de computadoras vendidas a lo largo de la semana fue mayor que el número de colchones vendidos.

C) El número de colchones vendidos a lo largo de la semana fue mayor que el número de computadoras vendidas.

D) Sólo la cantidad de colchones que se vendieron cada día es mayor que la venta de computadoras cualquier día de la semana.

24


Módulo I. Derivada

IntroducciónTal vez en algún momento de tu vida algún asesor bancario se ha acercado a ti para ofrecerte abrir una cuenta de inversión. Entre las diferentes ventajas que te puede ofrecer la cuenta se encuentra la tasa de rendimiento. El asesor te sugiere invertir una cantidad x que a corto, mediano o largo plazo generará rendimiento, tu ahorro puede crecer.

¿Conoces algún tipo de operación con la cual puedas obtener un aproximado sobre el rendimiento?

En la UAI de Matemática y vida cotidiana definiste una razón como el resultado de comparar dos cantidades mediante una división; en este módulo de la UAI de Matemática avanzada vamos a continuar con el estudio de razones, pero en esta ocasión vamos a analizar la razón del cambio que tiene una función con respecto a su variable independiente (lo cual en la UAI de Matemática y ciencia lo revisamos durante el contenido de una función lineal cuando se le da el nombre de pendiente), es decir: vamos a analizar la razón de cambio instantánea de una función en un punto dado, lo cual llamaremos derivada, su cálculo te permite, además de otros, obtener resultados como el rendimiento de una inversión. Posteriormente utilizaremos límites para deducir fórmulas o reglas que nos permitan determinar la derivada de una función de una variable y con esto utilizar los resultados para solucionar problemas de optimización y movimiento.

25

Competencias del módulo

Competencias específicas

• Discrimina los conceptos aritméticos, geométricos y algebraicos para representarlos como relaciones de dos o más variables a fin de estimar su comportamiento.



Piensa crítica y reflexivamente









Matemáticas

1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas y formales.

2. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques.


26


4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y comunicación.



8. Interpreta tablas, graficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


Matemáticas








Contenidos

• Interpretación geométrica de la derivada.

• Derivada por definición.

• Derivada por reglas de derivación.

• Aplicación de las derivadas (problemas de optimación y movimientos).

27

Derivada

La derivada de una función se puede interpretar como la pendiente de una recta tangente a una curva o bien como una razón de cambio. El cálculo de estas razones se pueden utilizar para solucionar casi cualquier tipo de situaciones que impliquen movimiento y cambio, como lo son las fluctuaciones en las tasas de interés, tasas de mortalidad o de crecimiento, describir los cambios que tiene la producción de una empresa en cierto período, determinar el momento en que una empresa empieza a generar utilidad o bien cuando inicia su pérdida.

Con el desarrollo de esta actividad, lograremos obtener datos relacionados con el costo total de producción, el costo promedio así como el ingreso y ganancia máxima de la empresa. Recuerda que este tipo de operaciones puedes aplicarlas con otros ejemplos y, por qué no, con alguna iniciativa empresarial que tengas.

Actividad 1. La utilidad de la empresaPropósito

Selecciona la fórmula adecuada para derivar una función.

Atributos de la competencia genérica







28



Matemáticas









Matemáticas








29

Modalidad

Mixta.

Instrucciones

Recuerda que para el desarrollo de las actividades de aprendizaje es necesario que realices una serie de ejercicios, los cuales te permiten seguir un proceso en la construcción del producto de aprendizaje. Estos ejercicios se refieren a preguntas y problemas guiados dentro de la lectura y en el anexo correspondiente.

Las instrucciones se dividen en dos partes con la finalidad de aclarar lo que harás.

Resolución de ejercicios

1. Realiza la lectura de “Derivada” que se encuentra en la página 32 (disponible también en la sección de recursos del módulo).

2. Contesta y resuelve las preguntas y problemas guía en tu cuaderno. Anota cualquier duda que puedas tener. No olvides utilizar el foro de dudas.

3. Si aún tienes complicaciones en confirmar el proceso y la solución de los problemas, revisa el recurso de apoyo “Derivadas”. Puedes buscar también información en internet.

4. Revisa el anexo 1 (disponible en la sección de recursos del módulo). En este formato vas a encontrar los ejercicios que deberás resolver una vez que finalices la lectura.

Una vez que hayas terminado la lectura y tengas los ejercicios del anexo resueltos, es momento de realizar el producto de aprendizaje correspondiente a la actividad.


Situación hipotética 1:

Por fin tienes las condiciones adecuadas para arrancar con tu proyecto de empresa. Un mes después de que iniciaste el proyecto, has logrado recabar datos que te permiten resolver los siguientes problemas:

30


El ingreso total y el costo total de tu empresa están dados por:

1. Determina la cantidad que lleva al máximo la ganancia donde x es la cantidad 0≤x≤1000 unidades. ¿Qué nivel de producción da la misma ganancia?

2. El ingreso de la empresa de tu amigo está modelado por I(x)=450x y el costo es C(x)=3x2+10000, ¿en qué cantidad se maximiza la ganancia?, ¿cuál es la ganancia total en este nivel de producción?


3. Tres meses después del arranque de tu empresa, el costo total de producción de artículos está dado por:

a) ¿Cuál es el costo fijo?

b) ¿Cuál es la ganancia máxima si cada artículo se vende a $11.00? (supón que vendes todo lo que produces).

4. En otra empresa la función de costo total es modelada como:

C(x)=x3-6x2+15x, donde x está en miles y 0≤x≤5

a) Haz el gráfico de C(x). Calcula visualmente la cantidad a la que el costo promedio se minimiza.

31

b) Traza la gráfica de la función costo promedio y utilízala para calcular el costo promedio mínimo.

c) Determina analíticamente el valor exacto de x en que el costo promedio se minimiza.


Costo total de producción, costo promedio, ingreso y ganancia máxima de la empresa y ejercicios del anexo.

Criterios de evaluación

• Identifica la derivada como forma para simplificar los procesos algebraicos para el cálculo de los puntos mínimos y máximos de una función al obtener los costos (atributo 5.2, 5.3, 5.4).

• Identifica y utiliza procesos algebraicos que contribuyen a la solución de problemas de optimización con el uso de derivadas (atributo 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5).

• Utiliza programas graficadores para verificar la solución de problemas de optimización (atributo 5.6).

• Presenta las soluciones correctas en los ejercicios del anexo.

32


Lectura

DerivadasInterpretación geométrica de la derivada

Cuando se trata de analizar el comportamiento de una función como la siguiente, es conveniente asociarla con otra función más sencilla, por ejemplo una función lineal, para lo cual necesitamos marcar dos puntos sobre la curva que representa a la función y trazar la recta que une a esos dos puntos:

Marquemos dos puntos sobre la gráfica y tracemos la recta que une a esos dos puntos:

Si esa distancia h que separa a los dos puntos, la hacemos cada vez más pequeña (se acerca o tiende a cero) nuestro problema de analizar el comportamiento de la gráfica se reduce a calcular la recta tangente a la gráfica de una función, ya que puntualmente (o sea, punto por punto) se trata de la recta que más se acerca a describir el comportamiento de dicha en cada uno de sus puntos, como se observa en el siguiente gráfico:

GLOSARIO.Recta tangente

es la recta que toca a una curva en un

solo punto.

Recta secante es la recta que toca en

dos puntos a una curva.

abc

33

Para realizar el análisis de su comportamiento en forma general y no punto por punto, debemos de hacer el cálculo de la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos:

La expresión algebraica anterior nos muestra la pendiente de la recta tangente que describe una función, esto representa otra función la cual conocemos con el nombre de derivada de la función, en términos algebraicos:

Reglas para determinar la derivada de una función

Hemos interpretado a la derivada como una razón de cambio (pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado) de una función, si esa función representa un fenómeno, la derivada ilustra los cambios de la variable dependiente respecto a la independiente.

Vamos a utilizar la definición de derivada: para establecer reglas que nos faciliten calcular la derivada de cualquier función.

abcGLOSARIOLa derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la curva que representa a la función en ese punto, o bien, la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

34


Derivada de funciones básicas o simples

Derivada de una función constante f(x)=k

La función f(x)=k, es una recta horizontal, por lo que no tiene inclinación y su pendiente es cero por lo que en forma general podemos deducir que:

Por lo que la derivada de una función constante es cero, esto lo podemos expresar de la siguiente forma:

Derivada de una función identidad f(x)=x

La función f(x)=x, es una recta con una inclinación de 45°

Esto lo podemos expresar de la siguiente forma:

Derivada de función potencia f(x)=xn

La función f(x)=xn, por lo que:

Esto lo podemos expresar de la siguiente forma:

35

EJEMPLO 1:

Utiliza las tres fórmulas anteriores para determinar la derivada de cada una de las siguientes funciones.

Función f(x)=7

Derivada f´(x)=0

Cómo la función no tiene variable es considerada una función constante por lo que utilizamos la primer fórmula

f(x)=k,entonces f´(x)=0

f(x)=x8

f´(x)=8x7

Derivada de la función

f(x)=xn entonces f´(x)=nxn-1

f(x)=x12

f´(x)=12x11

Derivada de la función

f(x)=xn entonces f´(x)=nxn-1

Cuando el exponente no es un número natural (entero positivo) es posible determinar la derivada de una función pero debes utilizar propiedades de los exponentes, para lo cual te recomendamos ver el recurso “ecuaciones con radicales”; este recurso lo utilizaste en la UAI Precálculo.

EJEMPLO 2:

36


Teoremas o reglas de derivación

Regla de múltiplo constante:

Si k es una constante y f es una función diferenciable entonces:

(kf)´(x)=kf´(x)

Demostración

A continuación, te mostramos algunos ejemplos resueltos donde se utiliza la derivada del múltiplo constante.

EJEMPLO 3:

Fórmula

37

Teorema para suma y/o diferencia de funciones:

Si f y g son funciones diferenciables, entonces:

Demostración

Sea F(x)=f(x)+g(x), entonces

A continuación te mostramos algunos ejemplos resueltos donde se utiliza la derivada de suma y/o resta de funciones, recuerda que para aplicar esta fórmula cada término de la función se deriva por separado utilizando una o más de las funciones anteriores.

EJEMPLO 4:

Fórmula

38


Teorema para el producto de funciones


Demostración

Agreguemos un cero definido de la siguiente forma:

A continuación, te mostramos algunos ejemplos resueltos donde se utiliza la derivada de multiplicación de funciones; recuerda que para aplicar esta fórmula cada término de la función se deriva por separado utilizando una o más de las funciones anteriores.

EJEMPLO 5:

Fórmula

39

Teorema para el cociente o división de funciones


Demostración

Sea F(x)=f(x)g(x), entonces:

Agreguemos un cero definido de la siguiente forma:

A continuación, te mostramos algunos ejemplos resueltos donde se utiliza la derivada de cociente o división de funciones; recuerda que para aplicar esta fórmula cada término de la función se deriva por separado utilizando una o más de las funciones anteriores.

40


EJEMPLO 6:

Fórmula

41

Regla de la cadena o derivada de una composición de funciones

Regla de la cadena:

Sean f(x) y g(x) funciones diferenciables, entonces la regla de la cadena se manifiesta de la siguiente forma F(x)=f(g(x))=(f°g)(x) entonces F´(x)=f´(g(x)) g´(x)

A continuación, te mostramos algunos ejemplos resueltos donde se utiliza la regla de la cadena, recuerda que para aplicar esta fórmula cada término de la función se deriva por separado utilizando una o más de las funciones anteriores.

EJEMPLO 7:

Fórmula

Aplicación de las derivadas (problemas de optimización y movimiento)

PROBLEMA 1: En cada uno de estos gráficos indica lo siguiente:

i) Los intervalos donde la función es creciente.

ii) Intervalos donde la función es decreciente.

iii) Coordenada de los puntos donde la función cambia de creciente a decreciente o viceversa (PUNTOS DE INFLEXIÓN).

42


Gráfica Función creciente

Función decreciente

Puntos de inflexión

f(x

)=x

2 -2x

-8

(1,∞) (1,∞)

f(x

)=x

3 -3x

2 -6x

+8f(

x)=

x4 -4

x2 +

4

43

f(x

)=x

4 -4x

3 +10

f(x

)=3x

5 -5x

3

Los puntos de inflexión son puntos donde el comportamiento de la función cambia de creciente a decreciente o bien de decreciente a creciente; son los puntos donde la derivada de la función es cero, f ’(x)=0 y se les conoce como puntos críticos. El determinar estos puntos nos va a ayudar a determinar el comportamiento de la función. Lee con cuidado las siguientes proposiciones y relaciónalas con la tabla anterior que acabas de contestar.

La derivada de una función y la propia función se relacionan entre sí de la siguiente forma:

i) Si f ’>0 en un intervalo, entonces f es creciente en dicho intervalo.

ii) Si f ’<0 en un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.

iii) Si f ’’>0 en un intervalo, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en dicho intervalo. MÍNIMO

iv) Si f ’’<0 en un intervalo, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en ese intervalo. MÁXIMO

44


EJEMPLO 8:

1. El primer paso es encontrar la derivada de f (x), por lo que nos queda

f ´(x)=26x+52

2. El segundo paso es hacer la derivada cero y resolver la ecuación que queda

26x+52=0

26x=-52

3. Para este valor de x que acabamos de determinar la función, alcanza un punto máximo o mínimo (punto crítico) por lo que ahora hay que sustituir en la función original para determinar las coordenadas del punto:

f (x)=13x2+52x+12

f (-2)=13(-2)2+52(-2)+12

f (-2)=13(4)-104+12

f (-2)=52-92=-40

Por lo que las coordenadas del punto crítico son (-2,-40)

4. Para determinar si el punto es un máximo o mínimo, hay que determinar la segunda derivada de la función y evaluar la segunda derivada cuando x=-2

f´(x)=26x+52

f´´(x)=26

5. Como la segunda derivada evaluada en el punto es positiva entonces el punto (-2-40) es un mínimo.

45

Aplicaciones de la derivada

Ganancia, costo e ingreso:

Otro uso que se le pude dar a la derivada es para facilitar el cálculo de maximizar la ganancia en un empresa.

Para una cantidad x la ganancia π(x) es la diferencia entre el ingreso, I(x), y el costo, Cx, de producir dicha cantidad, es decir, π(x)=I(x)-C(x). El costo Marginal, CM=C ’, es la derivada

El Ingreso Marginal es: IM=I ’, es la derivada de la función ingreso total.

La ganancia máxima (o mínima) puede darse cuando INGRESO MARGINAL=COSTO MARGINAL, como modelo matemático C’=I ’ .

Función costo promedio y su relación con el costo marginal

Si el costo de producir una cantidad x es C(x), el costo promedio a(x), de producir una cantidad x está dado por C(x)=

• Si el costo marginal es menor que el costo promedio, el costo promedio se reduce al aumentar la producción.

• Si el costo marginal es mayor al costo promedio, el costo promedio aumenta al incrementar la producción.

• El costo marginal es igual al costo promedio en los puntos críticos del costo promedio.

46


Cierre de módulo

En toda empresa o negocio existe una serie de gastos que podrían considerarse como adicionales a los requerimientos de la empresa, sin embargo, estos gastos representan un beneficio ya que entre estos se encuentran, por ejemplo, los pagos a seguros médicos para el empleado, los descuentos para empleados, etc.

Para el desarrollo de este avance es necesario obtener ciertos datos que nos permitan comparar estos tipos de gastos.

Te deseamos buena suerte y recuerda solicitar asesoría en caso de requerirla.

Avance de proyecto. Tasas marginalesPropósito

Compara las tasas marginales de la empresa.








47


Matemáticas









Matemáticas








48


Modalidad

Mixta.

Instrucciones

Recuerda que para el desarrollo del avance de proyecto deberás integrarte en tu equipo de trabajo. Si deseas cambiar de equipo consúltalo con tu asesor.

1. Retoma el proyecto integrador de la UAI de Precálculo e identifica las funciones costo total y costo promedio que fueron definidas para tu empresa.

2. Realiza la lectura “Tasas marginales” (disponible para descarga en la sección de recursos) y resuelve los problemas que ahí se encuentran.

3. Una vez que han terminado la lectura, resuelve los siguientes problemas:

a) Define el costo total del producto a comercializar de la siguiente forma:

i) Como una ecuación lineal (de primer grado).

ii) Como una ecuación de segundo grado completa.

iii) Como una ecuación de tercer grado con las características que consideren conveniente.

b) Define la función que representa el costo de producción del empaque.

c) Escribe una función que modele el ingreso de tu empresa (recuerda que este es ficticio).

d) Determina el costo y el ingreso marginal considerando las tres funciones que definiste para representar el costo total.

e) En forma gráfica, determina las regiones en que se tiene una ganancia máxima.

f) Determina esa solución en forma algebraica.

4. Realiza una presentación de la información y resultados que obtuviste en el material que especifique tu asesor.

5. La presentación deberá incluir los siguientes aspectos:

i. Nombre de la empresa.

ii. Producto que se pretende comercializar.

49

iii. Costo e ingreso marginal.

iv. Ganancia máxima.

v. Conclusiones sobre el proceso empleado para llegar a la solución de problemas.

6. Entrega tu documento de acuerdo a las indicaciones del asesor.


Presentación del costo e ingreso marginal y ganancia de la empresa.

Evaluación

Lista de cotejo. Avance de proyecto

Instrucción: Señala en la lista los criterios que contiene el avance y agrega observaciones de mejora.


Criterio de fondo

Define el costo total del producto a comercializar como una función polinómica de primer, segundo o tercer grado. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Expresa el costo para producir el empaque como una función polinómica de primer, segundo o tercer grado. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Identifica a una función polinómica para modelar el ingreso de la empresa. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Utiliza la derivada de una función para determinar el costo e ingreso marginal. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Representa e identifica en forma gráfica la región que determina la ganancia máxima.

Criterio de forma

Presenta al menos el 80% de cálculos correctos.

Ordena la información facilitando su lectura.

50


Lectura

Tasas marginalesLa derivada tiene muchas aplicaciones; una de sus aplicaciones se presenta en el área de economía, en la teoría de costos. Los costos se basan en el proceso de producción que se defina, por lo que pueden referirse a capital, recursos humanos o recursos naturales. En el caso de los recursos humanos como factor del proceso de producción, se considera el salario, que representa un ingreso para el trabajador y un costo para el empresario. El aumento de los costos varía con respecto a la producción, se trata de un costo variable (CV ). De igual forma, hay costos que no dependen del nivel de producción, por ejemplo: las primas del seguro o la renta de una oficina que incluye todos los gastos. Este tipo de costos se conoce como costos fijos (Cf ).

La suma de estos dos tipos de costos resulta en el costo total (C ), es decir,

Fórmula de costo total

C(x)=CV+Cf

Si x es el número de unidades que se producen, entonces el costo por unidad o costo promedio, estará por el cociente.

Fórmula de costo promedio

La función de ingresos es I(x)=px donde p es el precio de venta y x es de la cantidad de artículos vendidos o comercializados.

Fórmula de Ingresos

I(x)=px

La razón de cambio del costo respecto al número de unidades producidas es el costo adicional que resulta de vender la última unidad producida, ésta razón de cambio se llama costo marginal y corresponde a la derivada del costo.

Fórmula del costo marginal

Costo Marginal=CM=C´(x)

De forma similar al costo marginal, el ingreso marginal es una razón de cambio que se genera con el ingreso adicional al incrementar el número de elementos vendidos.

51

Fórmula de ingreso marginal

Ingreso marginal=IM=I´(x)

Maximización de ganancias (ganancia=ingresos-costos)

IM=CM

En equipos, resuelvan los siguientes problemas:

1. El costo de producción de un artículo determinado ha sido modelado por la función , determina el costo marginal cuando la producción es de 50, 100 y 150 artículos.

2. Una empresa ha modelado el costo de producción de x unidades de cierto producto por la función , determina el costo promedio y el costo marginal para producir 100, 500 y 1000 unidades.

3. Los ingresos semanales de una empresa en miles de pesos por venta de x artículos por semana es modelada por la función I(x)=-x2+60x, determina el número de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio.

52


Módulo II. Integrales

IntroducciónEn este segundo módulo de la UAI de Matemática Avanzada, y último del área de razonamiento, vamos a analizar la conexión entre la derivada y la integral, es decir: ahora que ya conocemos la razón de cambio se va a buscar la función original; en problemas que ya resolviste con la derivada, determinaste el cambio total a partir de una razón de cambio; con la integral vas a tener una aproximación más precisa. Esto lo vas a llevar a cabo realizando el cálculo de la integral indefinida como la operación inversa de la derivada, para lo cual vas a inducir una fórmula para calcular la integral de funciones algebraicas y posteriormente vas a utilizar la derivada para realizar el cálculo del área de figuras que no necesariamente son polígonos (triángulos, rectángulos, cuadrados, pentágonos…) como es el caso del área que se forma bajo una curva considerando como límites el eje de las x y dos rectas verticales para acotar el espacio del cual se quiere saber el área.

53

Competencias del módulo

Competencias específicas

• Discrimina los conceptos aritméticos, geométricos y algebraicos para representarlos como relaciones de dos o más variables a fin de estimar su comportamiento.


Competencia genérica









Matemáticas




4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el

54


uso de las tecnologías de la información y comunicación.





Matemáticas





5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento



Contenidos

• Área bajo la curva y la integral (noción intuitiva).

• Fórmulas, integración algebraica y trigonométrica.

• Aplicaciones físicas de límites de las integrales.

55

Integrales

Cuando hablamos del costo marginal de una empresa nos referimos a la variación en el costo total ante el aumento de una unidad en la cantidad producida, es decir: es el costo de producir una unidad adicional. Por ejemplo, el costo que representa vender una mayor cantidad de producto cualquiera al contratar un mayor número de empleados. En cálculo, el costo marginal es la derivada de la función de costo.

El desarrollo de esta actividad nos permite conocer cuáles serían las variaciones en los costos en caso de requerir un mayor número de producción debido a la demanda por temporada o incluso si existe algún tipo de cambio en el costo total del producto.

Actividad 2. Precisiones en el costoPropósito

Establece, mediante integrales, la ganancia de la empresa.








56



Matemáticas









Matemáticas








57

Modalidad

Mixta.

Instrucciones

Resolución de ejercicios

1. Realiza la lectura de “Integrales” que se encuentra en la página 60 (disponible también en la sección de recursos del módulo).

2. Contesta y resuelve las preguntas y problemas guía en tu cuaderno. Anota cualquier duda que puedas tener. No olvides utilizar el foro de dudas.

3. Intenta resolverlas consultando el recurso de apoyo “Integrales”. Puedes buscar también información en internet.

4. Revisa el anexo 2 (disponible en la sección de recursos del módulo). En este formato vas a encontrar los ejercicios que deberás resolver una vez que finalices la lectura.

Una vez que hayas terminado la lectura y tengas los ejercicios del anexo resueltos, es momento de realizar el producto de aprendizaje correspondiente a la actividad.



En esta ocasión vamos a buscar el costo marginal de la empresa al aceptar la propuesta de producir una mayor cantidad de artículos, así como de empaques, debido a su demanda por temporada.

Resuelve los siguientes problemas, considera los datos propuestos:

El costo marginal CM en la producción mensual de x unidades de artículos en tu empresa está dado por:

1. Determina ¿cuál es el costo total de producir 1000 unidades si se considera que fabricar una pieza cuesta $100.00?

58


2. Determina el costo extra mensual que debería considerarse al elevar la cantidad de producción en 100, 200 y 300 unidades.

1000 artículos

1100 artículos

1200 artículos

1300 artículos

El costo marginal del empaque está determinado por la función:

3. Determina el costo total si el precio por unidad es de $5.00


Costo total de producción de 1000 unidades, costo total del empaque y ejercicios del anexo.

59

Criterios de evaluación

• Emplea la integral como una forma para obtener la función costo total (atributo 5.2, 5.3, 5.4).

• Identifica y utiliza procesos algebraicos que contribuyen a la solución de problemas que implican el uso de integrales (atributo 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5).

• Utiliza programas graficadores para verificar la solución de problemas de optimización (atributo 5.6).

• Presenta las soluciones correctas en los ejercicios del anexo.

Lectura

IntegralesIntegral indefinida

En nuestra vida cotidiana podemos encontrar un gran número de situaciones en las que existe un comportamiento, función u operación que anula al otro, por ejemplo cuando tienes sueño esto lo anulas durmiendo, cuando tienes la sensación de hambre la anulas comiendo, etc. En matemáticas también se da la relación.

PROBLEMA 1:

En el siguiente cuadro escribe la operación o función que anula la primera operación o función.

Función Función inversa

Sumar

Restar

Multiplicar

Dividir

Elevar a una potencia

Logaritmo natural

En tu unidad de aprendizaje integrada has aprendido como derivar, la inversa de esta operación se le conoce como la antiderivada o integral.

Llamamos a F’ una antiderivada de f en si su derivada es igual a una función, es decir:

60


F’ (x)=f (x)

Por ejemplo en f (x)=2x , su anti derivada es F(x)=x2 porque la derivada de F, es F’(x)=f (x).

PROBLEMA 2:

Completa la siguiente tabla determinando la antiderivada de la función indicada

Esta notación suele llegar a no ser muy práctica, por tal razón de aquí en adelante utilizaremos la notación de Leibniz, utilizando el símbolo ∫ f (x)dx, por ejemplo en el último ejercicio de la tabla anterior determinaste la siguiente antiderivada:

Utilizando la notación de Leibiniz nos queda:

Por lo que podemos deducir la siguiente fórmula para determinar la integral de un término algebraico que forma parte de una función:

61

EJEMPLO 1:

En la siguiente tabla se muestran ejemplos resueltos del cálculo de la integral de una función mediante el uso de la fórmula:

n=3

n=11

n=1

n=1

El 7 por ser constante sale fuera de la integral.

n=3

El 8 por ser constante sale fuera de la integral. Por último se simplifica la expresión algebraica.

Las sumas y/o restas se separan en distintas integrales, después se realiza la operación de integrar cada término por separado.

u=x2-5x+8

Recuerda que “du” es la derivfada de la función

du=2x-5

n=6

62


Área bajo la curva (integral definida)

En tu trayectoria académica has aprendido a calcular el área de muchas figuras geométricas comunes, como triángulos, rectángulos, cuadrados, rombos, polígonos, círculos… ahora vamos a aprender a calcular el área bajo una región que no necesariamente es una de las figuras antes mencionadas.

EJEMPLO 2:

Calcular el área bajo la curva de la función f (x)= que se encuentra sobre el intervalo [0,4].

1

-1

-2

-3

1-1-2-3-4

2

2

3

3

4

4

6

7

8

5

y

x

Realicemos una primera aproximación al área dividiendo el intervalo en cuatro segmentos iguales y construyendo sobre cada segmento un rectángulo cuya altura queda ajustada por debajo de la parábola como se muestra en la siguiente figura:

Ahora formemos rectángulos de base 1. Determina el área de cada rectángulo que se forma en la siguiente figura:

63

PROBLEMA:

Área del primer rectángulo=________________

Área del segundo rectángulo=________________

Área del tercer rectángulo=________________

Área del cuarto rectángulo=________________

Área total de los cuatro rectángulos=________________

La suma de las áreas de los rectángulos que has obtenido corresponde a una aproximación más pequeña que el área que queremos encontrar, explica porqué __________________________________________________________________________________________________

La suma de las áreas de los rectángulos que obtuvimos en la región que se forma bajo la curva corresponden a una aproximación muy burda del área que nos interesa, pero si en lugar de dividir el intervalo [0,4] en cuatro partes, la dividimos en ocho partes, la aproximación mejora, y es mucho mejor si dividimos en 16, 32, 64, …, al ir dividiendo el intervalo en partes cada vez más pequeñas la aproximación va siendo mejor, entonces el plan para calcular el área bajo la curva de una función puede ser:

1) Dividir el intervalo en n partes iguales.

2) Construir los rectángulos correspondientes.

3) Sumar las áreas de esos rectángulos.

4) Calcular el límite de esa suma cuando el número n de intervalos tiende a infinito.

Generalmente dada una función integrable en un intervalo [a,b], dividimos el intervalo en n partes iguales en el punto medio del intervalo.

64


Entonces cada subintervalo tiene longitud:

En el i-ésimo intervalo escogemos un elemento xi y evaluamos f (xi). La suma de las áreas queda expresada de la siguiente forma:

Es la llamada suma de Riemann. Al límite común se le llama integral definida de f en [a,b] y se le denota como:

65

Para finalizarPara el desarrollo del Proyecto Integrador y como cierre del área interdisciplinaria de Razonamiento es momento de concluir con el Macro proyecto llamado “Mi empresa”.

Durante el área interdisciplinaria has llevado a cabo diversas operaciones las cuales te permiten evaluar cómo se llevaría a cabo la planeación y desarrollo de una empresa.

El proyecto final se compone de la integración de estas operaciones además de la misión y visión que probablemente tendría tu empresa.

Recuerda que cuando hablamos de la misión de una empresa damos respuesta a:

1. ¿Qué hace la empresa?2. ¿A qué se dedican?3. ¿Cuál es su razón de ser?4. ¿Quién es su público objetivo?

5. ¿Qué los diferencia de los competidores?

La visión en cambio, responde a las siguientes preguntas:

1. ¿Qué quiero lograr con la empresa?

2. ¿Cómo visualizo mi empresa?

3. ¿Cómo ampliaré mi producción y ventas?

Esperamos que el desarrollo de este proyecto te permita evaluar la aplicación de las matemáticas en la vida cotidiana.

66


Proyecto Integrador. Mi empresaPropósito

Evalúa el macro proyecto “Mi empresa”.









Matemáticas







67




Matemáticas









Modalidad

Mixta.

68


Instrucciones

Es momento de hacer la presentación de tu proyecto de empresa.

1. Reúnete con tu equipo de trabajo.

2. Para el desarrollo del Macro proyecto es necesario que recuperes los proyectos integradores de las UAI que conforman el área interdisciplinaria de Razonamiento.

3. Cada uno de los proyectos se integrará en una presentación que pueden hacer con algún programa de cómputo o en algún otro tipo de aplicación que te permita diseñarla.

4. El documento de la presentación deberá incluir:

i. Nombre de la empresa.

ii. Imagen de presentación de la empresa.

iii. Misión y visión de la empresa.

iv. Representación en lenguaje algebraico de la inversión económica y el espacio físico para la empresa (proyecto Matemática y vida cotidiana).

v. Descripción del producto que se va a comercializar, su costo y los datos que evidencian la rentabilidad del proyecto empresarial (proyecto Matemática y ciencia).

vi. Representación del empaque y funciones que definen el costo total y el costo promedio del producto y su empaque.

vii. Presentación del costo e ingreso marginal y ganancia de la empresa.

5. Una vez terminada la presentación agrega una reflexión personal sobre el desarrollo del proyecto.

6. Presenta junto a tu equipo el macro proyecto que desarrollaron y compartan su experiencia.

7. Contesta la lista de cotejo para concluir con el proceso de coevaluación y entrégala en el espacio destinado en plataforma.

8. Entrega el producto de acuerdo con las indicaciones del asesor.

Recuerda que el producto se entrega de manera individual.

69


Presentación del macro proyecto.

Instrumento de evaluación

Instrucciones: Revisa si en el proyecto se ven reflejados el alcance de las competencias propuestas para la UAI. Cada criterio tiene un valor de 5 puntos teniendo un máximo de 40 y como puntaje aprobatorio de 20.


Criterio de fondo

Analiza las funciones polinómicas y racionales para determinar el costo e ingreso total y marginal. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Utiliza las la derivada de una función para determinar los costos e ingresos marginales. (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Contrasta el gráfico de una función para determinar puntos máximos y mínimos así como la región en la que hay una ganancia máxima (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Hace uso de la derivada para determinar las coordenadas de los puntos máximos y mínimos así como la región en la que hay una ganancia máxima (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Utiliza los puntos máximos y mínimos para determinar el menor costo para producir una caja con el mayor volumen posible (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Identifica los cortes con el eje X de una función como sus ceros o raíces (5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6).

Criterio de forma

Utiliza programas de cómputo graficador para realizar el grafico de una función.

La presentación de la imagen y del producto de la empresa es claro y utiliza los conceptos matemáticos requeridos.

70


Mapeo del proyecto

Avance de proyecto Integración del proyecto (producto final)

Propósito Compara las tasas marginales de la empresa.

Evalúa el macro proyecto “Mi empresa”

Atributo de la competencia 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6

Producto Presentación del costo e

ingreso marginal y ganancia de la empresa.

Presentación del macro proyecto.

Instrumentos de evaluación Lista de cotejo Lista de cotejo

71

Evaluación de la UAI

En este apartado te presentamos los instrumentos que utilizarás durante el desarrollo de la UAI de acuerdo al agente o modalidad de la evaluación.

Autoevaluación

Has llegado al final de UAI. Es importante que descubras cuál ha sido, hasta ahora, el logro que has tenido de las competencias específicas del curso.

Instrucciones: responde al siguiente instrumento y espera la retroalimentación de tu asesor.

• Marca con una (X) el nivel que consideras has logrado en cada una de las competencias del curso ahora que ha concluido.

• Escribe, en el espacio de observaciones, la razón por la cual consideras que te encuentras en ese nivel.

Competencia Logrado (3)

En proceso

(2)

No logrado

(1)Observaciones

Distingo los conceptos aritméticos, geométricos

y algebraicos para representarlos como relaciones de dos o

más variables a fin de determinar o estimar su

comportamiento.

Selecciono modelos (funciones) que representan

relaciones entre dos variables para resolver

situaciones de optimización y razón de cambio

mediante herramientas de cálculo diferencial.

72


Coevaluación

Nombre del equipo: ______________________________________________

Nombre del estudiante: ___________________________________________

Escuela preparatoria: _____________________________ Grupo: _________

Instrucciones: Evalúa el desempeño de los distintos compañeros con los que trabajaste en equipo a lo largo del curso. Escribe el nombre de cada uno de ellos, considera lo que cada uno de ellos realizó y evalúalos. Agrega los comentarios que creas pertinente, siempre y cuando se den en un marco de respeto.

Criterio

Nom

bre

Nom

bre

Nom

bre

Nom

bre

Nom

bre

Colabora y apoya a sus compañeros de equipo.

Mantiene la armonía y cohesión entre sus compañeros de equipo.

Proporciona ideas útiles al desarrollo del producto.

Ofrece soluciones ante las problemáticas que puedan presentarse.

Su participación se centra en el trabajo a desarrollar.

Participación activa en el trabajo colaborativo.

Cumple tareas establecidas dentro del equipo de trabajo.

Demuestra interés en las actividades que desarrolla.

Maneja el tiempo específico para el desarrollo de actividades.

Identifica los aspectos que puede mejorar para el trabajo colaborativo.

Heteroevaluación

La heteroevaluación se lleva a cabo mediante la aplicación del examen departamental.

73

Bibliografía• Chávez, A. (2003). “El método de proyectos: una opción metodológica de

enseñanza en primer grado de educación primaria” (Tesis de maestría). Universidad Pedagógica Nacional unidad 25 A, Culiacán, Sinaloa México.

• CONAMAT. (2010). Cálculo diferencial. México: Pearson.

• Díaz, M. J., Benítez, T. F. (2009) Introducción a los métodos numéricos para resolución de ecuaciones. Cádiz, Servicio de publicaciones Universidad de Cádiz.

• Espinoza, F. (2012). Funciones en contexto. México: Pearson.

• Fernández, H., Meja, F., Álvarez, R. (2011). Matemáticas previas al cálculo. Medellin: Universidad de Medellin.

• Godino, J. (2003). Fundamentos de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas para maestros. Granada, España: ReproDigital.

• Martí, J. et al (2010, 04). Aprendizaje basado en proyectos: una experiencia de innovación docente. REVISTA Universidad EAFIT, 46, 11-21.

• Oteisa, E. (2013). Cálculo diferencial e integral. México: Pearson.

• Secretaría de Educación Pública. Plan Nacional para la Evaluación de Logros Académicos (PLANEA 2015). Consultado el 05 de Octubre de 2015. http://201.175.30.177/PLANEA/Resultados2015/MediaSuperior2015Examenes/r15ExamenMediaSuperiorPreguntas.asp#ParteSuperior

• Purcell, E. (2009). Cálculo diferencial e integra. México: Prentice Hall Hispanoamericana. Hitt.

• Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2009) Análisis Numéricos. México: Thompson.

http://201.175.30.177/PLANEA/Resultados2015/MediaSuperior2015Examenes/r15ExamenMediaSuperiorPreguntas.asp#ParteSuperior



74


AnexosAnexo 1. Ejercicios (actividad 1)

76


78


80


82


83

Anexo 2. Ejercicios (actividad 2)Instrucciones: Determinan la integral indefinida de las siguientes funciones, utilizando la fórmula. Recuerda utilizar propiedades de los exponentes.

84


86


87

Anexo 3. Competencias disciplinares

Matemáticas1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o fenómeno, y argumenta su pertinencia.8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Ciencias experimentales1. Establece la interrelación entre la ciencia, la tecnología, la sociedad y el ambiente en contextos históricos y sociales específicos.2. Fundamenta opiniones sobre los impactos de la ciencia y la tecnología en su vida cotidiana, asumiendo consideraciones éticas.3. Identifica problemas, formula preguntas de carácter científico y plantea las hipótesis necesarias para responderlas.4. Obtiene, registra y sistematiza la información para responder a preguntas de carácter científico, consultando fuentes relevantes y realizando experimentos pertinentes.5. Contrasta los resultados obtenidos en una investigación o experimento con hipótesis previas y comunica sus conclusiones.6. Valora las preconcepciones personales o comunes sobre diversos fenómenos naturales a partir de evidencias científicas.7. Hace explícitas las nociones científicas que sustentan los procesos para la solución de problemas cotidianos.

8. Explica el funcionamiento de máquinas de uso común a partir de nociones científicas.9. Diseña modelos o prototipos para resolver problemas, satisfacer necesidades o demostrar principios científicos.10. Relaciona las expresiones simbólicas de un fenómeno de la naturaleza y los rasgos observablesa simple vista o mediante instrumentos o modelos científicos.11. Analiza las leyes generales que rigen el funcionamiento del medio físico y valora las acciones humanas de impacto ambiental.12. Decide sobre el cuidado de su salud a partir del conocimiento de su cuerpo, sus procesos vitales y el entorno al que pertenece.13. Relaciona los niveles de organización química, biológica, física y ecológica de los sistemas vivos.14. Aplica normas de seguridad en el manejo de sustancias, instrumentos y equipo en la realización de actividades de su vida cotidiana.

Ciencias sociales1. Identifica el conocimiento social y humanista como una construcción en constante transformación.2. Sitúa hechos históricos fundamentales que han tenido lugar en distintas épocas en México y el mundo con relación al presente.3. Interpreta su realidad social a partir de los procesos históricos locales, nacionales e internacionales que la han configurado.4. Valora las diferencias sociales, políticas, económicas, étnicas, culturales y de género y las desigualdades que inducen.5. Establece la relación entre las dimensiones políticas, económicas, culturales y geográficas de un acontecimiento.6. Analiza con visión emprendedora los factores y elementos fundamentales que intervienen en la productividad y competitividad de una organización y su relación con el entorno socioeconómico.7. Evalúa las funciones de las leyes y su transformación en el tiempo.8. Compara las características democráticas y autoritarias de diversos sistemas sociopolíticos.9. Analiza las funciones de las instituciones del Estado Mexicano y la manera en que impactan su vida.10. Valora distintas prácticas sociales mediante el reconocimiento de sus significados dentro de un sistema cultural, con una actitud de respeto.

88


Comunicación1. Identifica, ordena e interpreta las ideas, datos y conceptos explícitos e implícitos en un texto, considerando el contexto en el que se generó y en el que se recibe.2. Evalúa un texto mediante la comparación de su contenido con el de otros, en función de sus conocimientos previos y nuevos.3. Plantea supuestos sobre los fenómenos naturales y culturales de su entorno con base en la consulta de diversas fuentes.4. Produce textos con base en el uso normativo de la lengua, considerando la intención y situación comunicativa.5. Expresa ideas y conceptos en composiciones coherentes y creativas, con introducciones, desarrollo y conclusiones claras.6. Argumenta un punto de vista en público de manera precisa, coherente y creativa.7. Valora y describe el papel del arte, la literatura y los medios de comunicación en la recreación o la transformación de una cultura, teniendo en cuenta los propósitos comunicativos de distintos géneros.8. Valora el pensamiento lógico en el proceso comunicativo en su vida cotidiana y académica.9. Analiza y compara el origen, desarrollo y diversidad de los sistemas y medios de comunicación.10. Identifica e interpreta la idea general y posible desarrollo de un mensaje oral o escrito en una segunda lengua, recurriendo a conocimientos previos, elementos no verbales y contexto cultural.11. Se comunica en una lengua extranjera mediante un discurso lógico, oral o escrito, congruente con la situación comunicativa.12. Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para investigar, resolver problemas, producir materiales y transmitir información.

HumanidadesCompetencias:1. Analiza y evalúa la importancia de la filosofía en su formación personal y colectiva.2. Caracteriza las cosmovisiones de su comunidad.3. Examina y argumenta, de manera crítica y reflexiva, diversos problemas filosóficos relacionados con la actuación humana, potenciando su dignidad, libertad y autodirección.4. Distingue la importancia de la ciencia y la tecnología y su trascendencia en el desarrollo de su comunidad con fundamentos filosóficos.5. Construye, evalúa y mejora distintos tipos de argumentos, sobre su vida cotidiana de acuerdo con los principios lógicos.6. Defiende con razones coherentes sus juicios sobre aspectos de su entorno.7. Escucha y discierne los juicios de los otros de una manera respetuosa.8. Identifica los supuestos de los argumentos con los que se le trata de convencer y analiza la confiabilidad de las fuentes de una manera crítica y justificada.9. Evalúa la solidez de la evidencia para llegar a una conclusión argumentativa a través del diálogo.10.Asume una posición personal (crítica, respetuosa y digna) y objetiva, basada en la razón (lógica y epistemológica), en la ética y en los valores frente a las diversas manifestaciones del arte.11. Analiza de manera reflexiva y critica las manifestaciones artísticas a partir de consideraciones históricas y filosóficas para reconocerlas como parte del patrimonio cultural.12. Desarrolla su potencial artístico, como una manifestación de su personalidad y arraigo de la identidad, considerando elementos objetivos de apreciación estética.13. Analiza y resuelve de manera reflexiva problemas éticos relacionados con el ejercicio de su autonomía, libertad y responsabilidad en su vida cotidiana.14. Valora los fundamentos en los que se sustentan los derechos humanos y los practica de manera crítica en la vida cotidiana.15. Sustenta juicios a través de valores éticos en los distintos ámbitos de la vida.16. Asume responsablemente la relación que tiene consigo mismo, con los otros y con el entorno natural y sociocultural, mostrando una actitud de respeto y tolerancia.

89

Registro parcial de competencias

Instrucciones: Escribe en la casilla correspondiente, la sigla que indica el nivel de logro de la competencia evidenciado por el estudiante en cada actividad.

Módulo 1

Nombre del estudianteActividad 1

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Nivel de logro Sigla Ponderación

Óptimo O 91-100

Avanzado A 81-90

Suficiente S 71-80

Básico B 60-70

Insuficiente I 0-59

90


Avance de proyecto

Nombre del estudianteAvance de proyecto

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6


Óptimo O 91-100

Avanzado A 81-90

Suficiente S 71-80

Básico B 60-70

Insuficiente I 0-59

91

Módulo II

Nombre del estudianteActividad ll

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6


Óptimo O 91-100

Avanzado A 81-90

Suficiente S 71-80

Básico B 60-70

Insuficiente I 0-59

92


Proyecto Integrador

Nombre del estudianteProyecto Integrador

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6


Óptimo O 91-100

Avanzado A 81-90

Suficiente S 71-80

Básico B 60-70

Insuficiente I 0-59

93

Universidad de Guadalajara

Sistema de Educación Media SuperiorSecretaría Académica

Dirección de Educación Continua, Abierta y a Distancia Guadalajara, Jalisco. México

Esta obra se terminó de editar en marzo de 2016

Marzo 2016 - UDG

Documents

Transcript of Marzo 2016 - UDG