MARTE SATURNO MERCURIO · 2016-03-08 · Para obtener la ecuación de la circun-ferencia con centro...

609Und. 11 Geometría Analítica

11.2.1. Secciones cónicas

11.2.1A. IntroducciónEl descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres

problemas clásicos de la geometría griega: la duplicación del cubo.

Luego de una peste que arrasó con la población ateniense se envió una delegación al oráculode Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contestoque era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaronlas dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentadoocho veces su volumen en lugar de dos.

Fue Hipócrates de Chios quien demostró quese podría conseguir la duplicación del cubo siempreque se pudiera encontrar curvas que cumplieran:

2ya x

x y a

Fue Menecmo quien halló dichas curvas comosecciones de conos circulares rectos, agudos y ob-tusos. Pero es Apolonio quien hace un tratamientotan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores,dando una formulación definitiva.

Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis(deficiencia), Hyperbola (avanzar más allá) y Pará-bola (colocar al lado o comparar) que indicaba queno había deficiencia ni exceso.

La Teoría Heliocéntrica propuesta por NicolásCopérnico afirma que la Tierra y los demás pla-netas giran en torno al Sol. El estudio de muchí-simos datos le permitieron concluir que:

Los planetas tienen movimientos elípticos al-rededor del Sol, estando éste ubicado en uno delos focos de la elipse y en su recorrido barren áreasiguales en tiempos también iguales.

Como se puede prever el conocimiento de laelipse y de la circunferencia permite comprenderla organización de nuestro sistema planetario.

MERCURIO

VENUS TIERRA

MARTESATURNO

JÚPITER

610 Trigonometría 611Und. 11 Geometría Analítica

11.2.2. La circunferencia

11.2.2A. DefiniciónUna circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un

punto fijo llamado centro.

Todo segmento que une el centro con un punto de la circunferencia se llama radio y sulongitud es la distancia constante. Por comodidad, en adelante nos referiremos al radio como ladistancia del centro a un punto de la circunferencia.

11.2.2B. Ecuación de la circunferenciaLa circunferencia de centro (h; k) y radio «r» tiene por ecuación:

2 2 2( ) ( ) =x - h y - k r

Demostración.- Para obtener la ecuación de la circun-ferencia con centro en C(h; k) y radio «r», aplicamos lafórmula de la distancia. Para esto elegimos un puntoP(x; y) cualquiera de la circunferencia, el mismo que seencontrará en ella si se verifica que:

2 2( ) + ( ) =x - h y - k r

Esta ecuación es válida si y solo si:2 2 2( ) + ( ) =x - h y - k r ; (r > 0) lqqd.

Esta ecuación se satisface sólo por las coordena-das de aquellos puntos que están en la circunferencia.y, por tanto, es la ecuación de dicha curva.

Si el centro de la circunferencia corresponde al origen, entonces h = 0 y k = 0, y por consiguiente,su ecuación es:

2 2 2=yx r

Ejemplo.- A continuación mostramos dos circunferencias:

El de la izquierda con centro en (0; 0) y el otro con centro en (-2 ; 3).

Observación.- Un punto P(x0; y0) pertenece al interior de una circunferencia con centro en (h; k) yradio «r», si sus coordenadas verifican la siguiente desigualdad:

h – r < x0 < h + r k – r < y0 < k + r

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto,variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y «a partir del conodedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que unpunto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar lascónicas por métodos planimétricos exclusivamente...» y «consigue una de las mejores obras de lamatemática antigua».

Mientras que Apolonio había considerado tres tipos de curvas, Kepler prefería considerarcinco tipos... Descartes sólo en un caso examina con detalle un lugar geométrico, y es en conexióncon el problema del lugar de las tres y cuatro rectas de Pappus del que obtiene Descartes laecuación y2 = ay - bxy + cx - dx2. Ecuación general de una cónica que pasa por el origen decoordenadas...». Tras la Geometría de Descartes publicada en francés y no en latín (la lenguauniversal de la ciencia), Van Schooten la traduce al latín en 1649 y junto con sus discípulosadquiere la geometría cartesiana un rápido desarrollo, Debeaune demuestra que las ecuacionesy2 = xy + bx, y2 = -2dy + bx e y2 = bx - x2, representan respectivamente hipérbolas, parábolas yelipses. Pero es en 1658 cuando uno de los miembros del grupo de Van Schooten, Jan de Wittreduce todas las ecuaciones de segundo grado en x e y a formas canónicas, por medio de rotacionesy traslaciones de los ejes.

11.2.1B. DefiniciónSe denomina sección cónica a la curva determinada por la intersección de un cono con un

plano que no pasa por su vértice.

Las distintas secciones se forman por las diferentes inclinaciones que se le da al plano quecorta al cono respecto a su eje. Obsérvese que:

1. La circunferencia se forma cuando el plano corta al eje en ángulo recto.

2. La elipse se forma cuando el plano corta en forma inclinada respecto del eje.3. La parábola es la sección que se forma cuando el plano corta al cono en forma paralela a una de

sus generatrices.4. La hipérbola es una sección doble y se forma cuando el plano corta al cono en forma paralela a

su eje.

Si uno de los planos de corte se traslada en forma paralela a su posición inicial produce uncambio en la amplitud de la sección.


La ecuación de la forma (1) se llama ecuación canónica de la elipse.

Demostración.- «P» pertenece a la elipse si y sólo si:

1 2 2r r a

2 2 2 2( ) ( ) 2x c y x c y a

2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y

Elevando al cuadrado y reduciendo términos, se tiene:

2 2 24 ( ) 4 4a x c y a cx 2 2( ) cx c y a xa

22 2 2 2 2

22 2 cx xc c y a cx xa

22 2 2 2 2

2cx x y a ca

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )x a c a y a a c 22

2 2 2 1( )

yxa a c

Reconociendo que: 2 2 2a c b , concluimos: 22

2 2 1yxa b

lqqd.

Para simplificar los enunciados de los problemas, es conveniente indicar siempre con laletra «a» el semieje situado en el eje Ox y con la letra «b», el semieje situado en el eje Oy, indepen-dientemente de cuál sea mayor, si a o b.

Si a = b, la ecuación (1) determina una circunferencia, considerada como un caso particular dela elipse.

Ejemplos.- Mostremos las elipses cuyas ecuaciones son: 22

125 16yx y

22116 25

yx .

En el caso (1) se cumple que: a = 5, b = 4. Luego: 2 2 2 25 4 3c a b y 1 2 10r r

En el caso (2) debemos recordar que a > b, luego: a = 5; b = 4 y c = 3. El semieje mayor en el eje «y».

11.2.3. La elipse

11.2.3A. DefiniciónSe llama elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano tales que la suma de sus distan-

cias a dos puntos fijos del plano es una cantidad constante.

11.2.3B. Construcción de la elipsePara construir una elipse basta tomar un cordel,

fijar sus dos extremos en los puntos fijos F1 y F2, ymantenerlo tirante mediante un lápiz. La punta deéste, sobre un papel, describe la elipse.

La suma constante de las distancias de un pun-to P arbitrario de la elipse a los focos F1 y F2 se indi-ca mediante 2a.

1 2 2r r a

11.2.3C. Elementos de la elipseC1. FOCOS

Los focos de la elipse, denotados por las letras F1 y F2; son los puntos fijos respecto de loscuales se definen las distancias r1 y r2; cuya distancia entre ellos se designa por 2c.

Por definición de la elipse se debe cumplir que: 2a > 2c o a > c.

C2. EJES DE SIMETRÍASe llaman ejes de simetría de la elipse ,o simplemente ejes, a dos rectas: una que contiene a sus

focos, llamada eje principal, y la otra que siendo normal a la primera divide a la elipse en doscurvas congruentes.

En la figura los ejes de simetría son L1 y L2, siendo el primero el eje principal. Los segmentos A’A= 2a y B’B = 2b se llaman eje mayor y eje menor respectivamente. Asimismo, al segmento OA = a, sellama semieje mayor, al segmento OB = b, se llama semieje menor.C3. CENTRO DE SIMETRÍA

Se llama centro de simetría al punto de intersección O de los ejes de la elipse.C4. VÉRTICES DE LA ELIPSE

Son los puntos, en los que la elipse corta a sus ejes.

En la gráfica los vértices de la elipse son A, A’, B y B’. Cada par de vértices equidistan del centro.

11.2.3D. Ecuación de la elipseSi el eje x contiene a los focos de la elipse situados simétricamente respecto al origen de coorde-

nadas a la distancia 2c, la ecuación de la elipse cuyos semiejes miden a y b, en los ejes x e y,respectivamente, es de la forma:

(1)22

12 2yx + =

a b, donde 2 2b a c ; siendo: a > b.


11.2.4. Excentricidad

11.2.4A. Definición

El número ce a , en donde a es el semieje mayor, se llama excentricidad de la elipse.

Es evidente que 1e (para la circunferencia 0e ). Si P(x; y) es un punto arbitrario de laelipse, los segmentos F1P = r1 y F2P = r2, según la gráfica, se llaman radios focales del punto P. Losradios focales se pueden calcular mediante las fórmulas:

r a ex r a ex1 2

11.2.4B. Directrices de la elipseSi la elipse está dada por la fórmula (1), las direc-

trices son rectas paralelas al eje menor tales que:

;a ax xe e , si a > b

En este caso el semieje mayor es paralelo a «x».

;b by ye e , si b > a

En este caso el semieje mayor es paralelo al eje«y», de este modo las directrices son horizontales,es decir, son paralelas al eje «x».

11.2.4C. Propiedad de las directrices«Si r es la distancia de un punto arbitrario de la elipse a un foco y d es la distancia del mismo punto a la directriz,

unilateral a este mismo foco, la razón r/d es una cantidad constante e igual a la excentricidad de la elipse»

r ed

Ejemplo.- El gráfico corresponde a una elipse y LD su directriz, determinar «m», si e = 3/5.

Según la propiedad anterior se cumple: 3,6 35m m = 6

11.2.4D. Lado rectoLlamamos lado recto de la elipse a la longitud del

segmento de recta que intersecta de forma perpendicularal eje principal y que contiene a uno de los focos.

Toda elipse posee dos lados rectos congruentes,cuya longitud se determina haciendo x = c en (1) obte-niéndose y = b2/a, de este modo el lado recto LL’,está dado por:

22' bLL a

Ejemplo.- Determinemos el lado recto de las elipses del ejemplo anterior

Observa que los lados rectos de las dos elipses son iguales.

22

1 125 16yxE

22

2 116 25yxE

a = 5 ; b = 422 16 32 '' 2· 5 5

bLL a a = 5 ; b = 422 16 32 '' 2· 5 5

bLL a

11.2.3D. Ecuación de la elipse con centro en C(h; k)Si el centro de una elipse se encuentra en el punto C(h; k), el eje principal es paralelo a uno de

los ejes coordenados, los semiejes son a y b, paralelos a los ejes x e y respectivamente, la ecuaciónde la elipse está dada por la fórmula:

(2)22 ( )( ) 12 2

y - kx - h + =a b

donde 2 2b a c ; siendo: a > b.

En esta expresión el semieje mayor se reconoceráinspeccionando los denominadores. Así el mayordenominador corresponde al semieje mayor y éste seráparalelo al eje coordenado correspondiente dado por elnumerador.

Ejemplo.- Grafiquemos la elipse cuya ecuación es: 6x2 + 9y2 -24x - 54y + 51 = 0.

Primero, agrupamos para completar cuadrados identificando: 3, 6 3a b c

(6x2 - 24x) + (9y2 - 54y) + 51 = 0

6(x2 - 4x + 4 - 4) + 9(y2 - 6y + 9 - 9) + 51 = 0

6(x - 2)2 - 24 + 9) (y - 3)2 - 81 + 51 = 0

6(x - 2)2 + 9(y - 3)2 = 5422 ( 3)( 2) 19 6

yx


07.- Dada la siguiente lista de ecuaciones de elipses,se pide vincularla con una línea con las coordenadasde su centro ubicadas al lado derecho:

a. 22 y 3x 2 116 20 i. (-1; -5)

b. 22 y 5x 1 19 25 ii. (-4; 2)

c.

22 y 3x 3 19 iii. (2; 3)

d. 2 2x 4 y 2 125 iv. (3; -3)

08.- De las elipses del ejercicio anterior, se pide deter-minar sus excentricidad (e) y las ecuaciones de susdirectrices (d y d’).

Elipse d d'e

09.- Dada la siguiente lista de ecuaciones de elipses:

A. 22 yx 19 25

B. 22 yx 116 9

C. 22 y 4x 2 14 9

D. 22 y 4x 3 125 9

Se pide completar el siguiente cuadro, si se sabe que Vy V’ son los vértices, F y F’ son los focos:

Elipse V' F'V F

10.- Dado el siguiente conjunto de elipses:

a. 9x2 + 25y2 = 25

b. x2 + 4y2 = 4

c. x2 + 9y2 + 4x – 18y – 23 = 0

d. x2 + 4y2 – 6x + 32y + 69 = 0

e. 16x2 + 9y2 + 32x – 36y + 69 = 0

Se pide completar el siguiente cuadro con las coorde-nadas de lo que se indica:

Caso V' F'VC F

11.- Del ejercicio anterior se pide dar la excentricidadde cada elipse:

A. e =

B. e =

C. e =

D. e =

E. e =

01.- Dadas las siguientes ecuaciones de circunferen-cias, se pide vincularla con una línea, con su respectivocentro indicado por las coordenadas de la derecha:

a. (x + 3)2 + (y – 2)2 = 6 i. (-5; 0)

b. (x – 3)2 + (y + 2)2 = 9 ii. (3; -2)

c. (x + 5)2 + y2 = 4 iii. (0; -6)

d. x2 + (y + 6)2 = 8 iv. (-3; 2)

02.- Dado el siguiente conjunto de circunferencias:

A. x2 + y2 – 10x + 8y + 5 = 0

B. x2 + y2 – 6x – 8y + 25 = 0

C. x2 + y2 + 4x – 6y + 24 = 0

D. 4x2 + 4y2 + 80x + 12y + 265 = 0

Se pide completar el siguiente recuadro:

RadioCircunferencia Centro

03.- Escribir las ecuaciones de las circunferencias co-nociendo su centro y un dato adicional:

EcuaciónC Dato

04.- Indica con S o N si el punto dado está o no elinterior de una circunferencia, cuya ecuación es:

(x – 3)2 + (y + 4)2 = 25

a. (-3; 0) b. (0; -6)

c. (5; -3) d. (3; -4)

05.- Escribir al lado de cada elipse las coordenadas desus focos y su correspondiente ecuación (E):

a.

b.

06.- Dadas las ecuaciones de elipses, escribir las medi-das de los semiejes mayor (M) y menos (m), así comola distancia entre focos (2c):

Ecuación M m 2c


Prob. 03

Determinar la ecuación de la circunferencia que,teniendo el centro en la recta 2x + y = 0 , es tan-gente a las rectas 4x - 3y + 10 = 0; 4x - 3y - 30 = 0.

Elaboramos la gráfica correspondiente y ubi-camos los datos del problema:

Ahora, aplicamos la fórmula de la distancia en-tre rectas paralelas, en este caso entre L1 y L2:

2 2

10 30AB 24 3

r

2r = 8 r = 4

Luego, calculamos la distancia «r» del centro«C» a la recta L1, así tenemos que:

2 2

4 3 104 3a br 4 3 104 5

a b

De donde: 4 3 10 20a b . . . (1)

Pero como C(a; b) L3, se tiene:

2a + b = 0 b = -2a

Ahora, reemplazando valores en (1):

|4a - 3(-2a) + 10|= 20

|a + 1|= 2

a = 1 b = -2 a = -3 b = 6

Luego, se comprueba que el centro C(1; -2) estáentre las rectas L1 y L2 1 2L L .

La ecuación de la circunferencia es:

(x - 1)2 + (y + 2)2 = 16

Prob. 04

Determinar las ecuaciones de las circunferenciasque pasan por el origen de coordenadas y sontangentes a las dos rectas concurrentes:

x + 2y - 9 = 0 2x - y + 2 = 0

Elaboramos un esquema que nos permita ubi-car los datos del problema:

Ahora, según el gráfico se tiene que:

2 2OCr a b . . . (1)

1 2 22 9C ;

1 2a br d L . . . (2)

2 2 22 2C ;

2 1a br d L . . . (3)

2 22 AC 1 4r a b . . . (4)

Luego, resolviendo el sistema de ecuaciones (1),(2), (3) y (4), obtenemos:

a = 2 b = 1 5r

a = 22/5 b = -31/5 r = 17/ 5

Finalmente las ecuaciones de las circunferen-cias son:

C1: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 5

C2: 2 222 31 289

5 5 5x y

LA CIRCUNFERENCIA

Prob. 01

El punto C(3; -1) es el centro de una circunfe-rencia que intercepta en la recta 2x – 5y + 18 = 0una cuerda, cuya longitud es igual a 6.

Calcular la ecuación de esta circunferencia.

Elaboramos el gráfico y ubicamos los datos co-rrespondientes:

Aplicando la fórmula de la distancia de unpunto a una recta, tenemos:

2 2

2 3 5 1 18CM2 5 CM = 29

Ahora, calculamos r en el triángulo rectán-gulo CMB:

22 229 3r 38r

Luego, la ecuación de la circunferencia es:

x y 222( 3) (-1) 38

(x – 3)2 + (y + 1)2 = 38

Prob. 02

Escribir las ecuaciones de las circunferenciasde radio R 5 , que son tangentes a la rectax – 2y – 1 = 0 en el punto M(3; 1).

Elaboramos un esquema en el que ubicamoslos datos del problema:

De la ecuación de la recta «L» dada se tiene quesu pendiente es: mL = 1/2.

La pendiente de CM es: CM13

bm a . . . (*)

Luego, como CM es perpendicular a «L», secumple que:

CM 2m

Reemplazando en (*), se tiene: 1 23

ba

De donde se obtiene: 2a + b = 7 . . . (1)

Ahora, calculamos la distancia del centro «M»a la recta «L»:

2 22 1CM 5

1 2a b

2 1 5a b

De donde: a - 2b = 6 a - 2b = -4 . . . (2)

Luego, resolviendo (1) y (2):

a = 4 b = -1 a’ = 2 b’ = 3

Las ecuaciones de las circunferencias son:

(x - 4)2 + (y + 1)2 = 5 (x - 2)2 + (y - 3)2 = 5


Prob. 07

Determinar la ecuación del diámetro de la circun-ferencia x2 + y2 + 4x - 6y - 17 = 0, que es perpendi-cular a la recta 5x + 2y - 13 = 0.

De la ecuación dada determinamos el centro dela circunferencia completando cuadrados así:

x2 + y2 + 4x - 6y - 17 = 0

(x2 + 4x + 4) + (y2 - 6y + 9) = 17 + 4 + 9

(x + 2)2 + (y - 3)2 = 30

El centro y radio son respectivamente:

C(-2; 3) 30r

Elaborando el gráfico correspondiente:

Reconocemos que: mL = -5/2

Y como LAB es perpendicular a «L», entonces lapendiente de LAB es:

mAB = 2/5

Luego, la ecuación del diámetro AB es la mis-ma que la ecuación de LAB , entonces:

LAB :

325 ( 2)

yx

LAB : 2x - 5y + 19 = 0

Prob. 08

Deducir la condición según la cual, la recta dadapor y = kx + b es tangente a la circunferenciax2 + y2 = R2.

Elaboramos el esquema y ubicamos los datosdel problema:

Obsérvese que el punto «A» es el único puntode intersección entre la recta y la circunferen-cia. Luego, para determinar las coordenadasdel punto «A», resolvemos el sistema de ecua-ciones:

y = kx + b x2 + y2 = R2

x2 + (kx + b)2 = R2

(k2 + 1)x2 + 2kbx + b2 - R2 = 0

2 2 2 2 2

22 4 4 1

2 1kb k b k b Rx

kPara que el punto de intersección sea único,entonces «x» debe tomar un solo valor, paraque esto suceda el discriminante debe ser cero,es decir:

4k2b2 - 4(k2 + 1) (b2 - R2) = 0

2 221

b Rk

Prob. 09

Calcula la ecuación de la cuerda de la circunfe-rencia (x - 3)2 + (y + 7)2 = 169, que se divide porla mitad en el punto M(8,5; 3,5).

De la ecuación de la circunferencia:

(x - 3)2 + (y + 7)2 = 169

Prob. 05

Calcular las ecuaciones de las circunferencias quepasan por el punto A(-1; 5) y son tangentes a lasdos rectas concurrentes:

3x + 4y - 35 = 0; 4x + 3y + 14 = 0.

Elaboramos la gráfica correspondiente y ubi-camos en ella los datos del problema:

a) De la igualdad: d(C; L1) = d(C; L2)

2 2 2 2

4 3 14 3 4 354 3 3 4

a b a b

4 3 14 3 4 35a b a b

De donde resultan dos ecuaciones:

a - b = -49 a + b = 3 . . . (1)

b) De la igualdad: d(C; L1) = CA = r

2 22 2

4 3 14 1 54 3

a b a b . . . (2)

Ahora, resolviendo (1) y (2) obtenemos:

a = 2 b = 1 r = 5

a = - 200/49 b = 349/49 r = 185/49

Las ecuaciones de las circunferencias son:

(x - 2)2 + (y - 1)2 = 25

2 2 2202 349 185

49 49 49x y

Prob. 06

Determinar las ecuaciones de las circunferenciasque son tangentes a las tres rectas:

3x + 4y - 35 = 0; 3x - 4y - 35 = 0; x - 1 = 0

Elaboramos el esquema de acuerdo a los datosdel problema:

1 2 23 4 35C;

3 4a br d L . . . (1)

2 2 23 4 35C;

3 4a br d L . . . (2)

3 2 21C;

1 0ar d L . . . (3)

Luego, resolviendo las ecuaciones (1), (2) y (3)obtenemos:

a = 5 b = 0 r = 4

a = -15 b = 0 r = 16

a = 35/3 b = 40/3 r = 32/3

a = 35/3 b = 40/3 r = 32/3

Las ecuaciones de las circunferencias, que cum-plen con la condición dada, son:

(x - 5)2 + y2 = 16 ; (x + 15)2 + y2 = 256

2 2 235 40 32

3 3 3x y ,

2 2 235 40 32

3 3 3x y


Al igual que en el problema anterior, formamosla familia de circunferencias que pasan por lospuntos de intersección de C1 y C2: C1 + kC2 = 0

Luego, reemplazamos según datos del problema:

3x2 + 3y2 + 2x + y + k(x2 + y2 + 3x - y) = 0

(k + 3)x2 + (k + 3)y2 + (2 + 3k)x + (1 - k)y = 0

Si evaluamos con k = -3, obtendremos la ecua-ción de la recta «L» que pasa por los puntos deintersección llamada eje radical, así:

L: 7x - 4y = 0

Prob. 12

Determina la longitud de la cuerda común a lasdos circunferencias:

x2 + y2 - 10x - 10y = 0

x2 + y2 + 6x + 2y - 40 = 0

Elaboramos el gráfico para ubicar los datos delproblema:

Luego, para determinar las coordenadas de losextremos de la cuerda común A y B resolvemosel sistema:

x2 + y2 + 6x + 2y - 40 = 0 . . . (1)

x2 + y2 - 10x - 10y = 0 . . . (2)

Ahora, restando (1) y (2), obtenemos:

4x + 3y = 10 . . . (3)

Al reemplazar (3) en (2), se obtiene:

x = 4 y = -2 A(4; -2)

x = -2 y = 6 B(-2; 6)

Finalmente la longitud de la cuerda AB es:

2 2AB 4 2 2 6 AB = 10

Prob. 13

Determina la ecuación de la tangente a la circun-ferencia:

x2 + y2 = 5en el punto A(-1; 2).

Elaboramos el esquema correspondiente segúndatos del problema:

La pendiente de CA es:

CA CA2 0 21 0m m

Y como TAC L , entonces la pendiente de LT es:

mT = 1/2

Luego, como A(-1; 2) es punto de paso, enton-ces determinamos la ecuación, así tenemos que:

T

21: 2 1yL x

T : 2 5 0L x y

De aquí obtenemos las coordenadas del centroy el radio:

C(3; -7) r = 13

Ahora, la siguiente gráfica nos permite visuali-zar el problema:

Luego, tenemos que la pendiente de CM es:

CM

7/2 7 211117/2 3

m

Y como CM AB , la pendiente de AB es:

AB 11/21m

Finalmente:

AB

711 2: 21 17

2

yL

x

La ecuación de la cuerda AB es:

11x + 21y - 167 = 0

Prob. 10

Determina la ecuación de la circunferencia quepasa por el punto A(1; -1) y por el punto de inter-sección de las dos circunferencias:

x2 + y2 + 2x - 2y - 23 = 0

x2 + y2 - 6x + 12y - 35 = 0

Las circunferencias que se intersectan son:

C1: x2 + y2 - 6x + 12y - 35 = 0

C2: x2 + y2 + 2x - 2y - 23 = 0

Sea C3 la circunferencia que pasa por los pun-tos de intersección de C1 con C2, entonces secumple que la ecuación de C3 es una combina-ción de las otras dos circunferencias, llamadafamilia de curvas y cuya forma está dada por:

C3: C1 + kC2 = 0

C3: x2 + y2 - 6x + 12y - 35 + k(x2 + y2 + 2x - 2y - 23) = 0

Luego, como A(1; -1) C3, reemplazamos con-venientemente x = 1 y = -1, en C3, de estemodo podemos calcular el valor de «k», resul-tando que:

k = -3

Luego la ecuación de C3 es:

C3: x2 + y2 - 6x + 12y - 35 - 3(x2 + y2 + 2x - 2y - 23) = 0

Reduciendo, obtenemos la ecuación:

x2 + y2 + 6x - 9y - 17 = 0

Nota.- La familia de curvas, dada por la ecua-ción de C3, reúne a todas las circunferenciasque pasan por los puntos de intersección entreC1 y C2. Este recurso, empleado en la resolu-ción, nos evita determinar tales puntos.

Prob. 11

Calcula la ecuación de la recta que pasa por elpunto de intersección de las dos circunferencias:

x2 + y2 + 3x - y = 0; 3x2 + 3y2 + 2x + y = 0

Ilustrando el problema mediante un esquema,tenemos:


x2 + y2 - 6x - 2y + 2 = 0 . . . (1)

(x - 2)2 + (y + 2)2 = 2

x2 + y2 - 4x + 4y + 6 = 0 . . . (2)

De (1) y (2) obtenemos:

x = -1/5 y = -9/5 A(-1/5; -9/5)

x = 1 y = -1 B(1; -1)

Aplicando la propiedad en nuestro problema,respecto al punto B(1; -1), si:

C1 : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 8

LT : (1 - 3)(x - 3) + (-1 - 1)(y - 1) = 0

mT1 : x + y - 4 = 0 mT1 = -1

Si C2 : (x - 2)2 + (y + 2)2 = 2

LT2 : (1 - 2)(x - 2) + (-1 + 2)(y + 2) = 0

LT2 : x - y - 4 = 0 mT2 = 1

Luego, deducimos que:

LT1 LT2 porque mT1· mT2 = -1

Ahora, elaboramos la gráfica correspondientesegún los datos del problema:

Finalmente, el ángulo formado por la intersec-ción de las dos circunferencias es el mismo queel ángulo formado entre sus tangentes y es de90º.

LA ELIPSE

Prob. 16

Dada la elipse: 9x2 + 25y2 = 225, calcular:a) Los ejes mayor y menor.b) Sus focos.c) Su excentricidad.d) Las ecuaciones de sus directrices.

Transformemos la ecuación a la forma ordinaria:

9x2 + 25y2 = 22522 259 225225 225

yx 22

125 9yx

22

2 2 15 3

yx

Identificamos los semiejes: a = 5 ; b = 3

Reemplazando valores en:

c2 = a2 - b2 c2 = 52 - 32 c = 4

Ahora, la gráfica de esta elipse es:

Desarrollando lo pedido en el problema:

a) Los ejes mayor y menor son:

V1V2 = 2a = 10 B1B2 = 2b = 6

b) Las coordenadas de sus focos son:

F1 = (c; 0) F1 = (4; 0)

F2 = (-c; 0) F2 = (-4; 0)

Prob. 14

Calcula en la circunferencia:16x2 + 16y2 + 48x - 8y - 43 = 0 el punto M1, máspróximo a la recta 8x - 4y + 73 = 0, y determina ladistancia del punto M1 a esta recta.

Elaboremos el gráfico correspondiente segúnlas condiciones del problema:

De: 16x2 + 16y2 + 48x - 8y - 43 = 0

Ahora, completando cuadrados, obtenemos:

2 23 1 52 4x y

L1: 8x - 4y + 73 = 0

Luego, las tangentes LT y LT1 que son paralelasa L1 tienen por ecuación:

LT LT1: 8x - 4y + k = 0...(1)

r = d(C; LT)

3 3/2 4 1/4

564 16

k

20 = |k - 13|

k = 33 k = -7

Ahora, reemplazando en (1), las ecuaciones delas tangentes son:

LT : 8x - 4y + 33 = 0 . . . (2)

LT1: 8x - 4y - 7 = 0 . . . (3)

Luego, el punto M1 buscado se calcula en laintersección de la tangente LT con la recta L2pero L2 L1 cuya ecuación es:

L2 :

11 42 3

2

y

x

L2 : x + 2y + 1 = 0 . . . (4)

Resolviendo (2) y (4) encontramos las coorde-nadas de M1, estos resultan ser:

x = -7/2 y = 5/4

M1(-7/2; 5/4)

Luego calculamos:

d(M1; L1) = d(LT; L1)

d(M1; L1) 73 3364 16

d(M1; L1) = 2 5

Prob. 15

Sea la circunferencia:

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

Si LT es una recta tangente a la circunferencia enel punto (a; b), su ecuación estará dada por:

LT : (a - h)(x - h) + (b - k)(y - k) = 0

Determina el ángulo formado por la intersecciónde las dos circunferencias:

(x - 3)2 + (y - 1)2 = 8; (x - 2)2 + (y + 2)2 = 2

Nota.- Se llama ángulo formado por dos circunfe-rencias al ángulo comprendido entre sus tangen-tes en el punto de intersección.

Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtene-mos las coordenadas de los puntos de intersec-ción «A» y «B».

(x - 3)2 + (y - 1)2 = 8


de «M» a la directriz y «e» es la excentricidad,elaboramos una gráfica según el enunciado:

Luego, reemplazando datos se tiene:

10 23

re d d d = 5

Prob. 20

Habiendo verificado que el punto M1(-4; 2,4) estáen la elipse:

22 yx 125 16

determinar los radio focales del punto «M1».

Analizando la elipse: yxE

22: 125 16

22

2 2545 4

ayxb

Luego: c2 = a2 - b2 c2 = 52 - 42 c = 3

Los radios focales son:

r 221 1 1= M F 4 3 12/5 2,6

r 2 22 1 2=M F 4 3 12/5 7,4

Prob. 21La excentricidad de una elipse es: e = 1/2, su cen-tro coincide con el origen de coordenadas y unade sus directrices se da mediante la ecuación:x = 16. Calcular la distancia del punto «M1» de laelipse, cuya abscisa es igual a -4, al foco unilate-ral a la directriz dada.

Si las directrices son paralelas al eje y deduci-mos que el eje mayor de la elipse está en el eje x.

21 : 16 162c ae L xa c

Resolviendo el sistema, obtenemos:

a = 8; c = 4

b 1

2

F (4; 0)4 3

F (-4; 0)

Luego la ecuación de la elipse es:

y yx xE E

a b

2 22 2

2 2: 1 : 164 48

Si yy E y

22

14M 4; 1 664 48

Luego: M1(-4; 6) M’1(-4; -6). Reconociendo queestos puntos equidistan de F1, calculamos M1F1:

2 21 1M F 4 4 6 0 M1F1 = 10

Prob. 22

Determinar los puntos de la elipse: 22 yx 1100 36

cuyas distancias al foco derecho son iguales a 14.

c) Sabemos que la excentricidad (e) se define así:45

ce a

d) Las ecuaciones de sus directrices son:

2 254

ax c x = 25/4

2 254

ax c x = -25/4

Prob. 17

Calcular el área del cuadrilátero que tiene dosvértices en los focos de la elipse: 9x2 + 5y2 = 1y los otros dos coinciden con los extremos de sueje menor.

Transformando la ecuación a la forma ordinaria:

9x2 + 5y2 = 1

22

2 2 111

3 5

yx

De aquí los semiejes son: 15

a ; 13b

Luego, en la expresión: c2 = a2 - b2

Reemplazando valores:

222 1 135

c 23 5

c

Ahora, la gráfica de la elipse será:

El área del cuadrilátero V’2F1V2F2 es dos vecesel triángulo V’2F1V2.

2S 22

b c 1 22 2 3 3 5bc

S 4 545

Prob. 18

Calcular en la elipse: 22 yx 125 4 , los puntos

cuyas abscisas son iguales a -3.

Primero, graficamos la elipse:

yxE

22: 125 4

22

2 25

125 2

ayxb

(-3; y)E 223 125 4

y y = ±8/5

Los puntos son: 83; 5 y 83; 5

Prob. 19

La excentricidad de una elipse es: e = 2/3, el radiofocal de un punto «M» de la elipse es igual a 10.Calcular la distancia del punto «M» a la directrizunilateral a este foco.

Aplicando la propiedad expuesta en la teoría:

e = r/d

donde «r» es el radio focal, «d» es la distancia


gulo equilátero F1B1B2. Si asumimos que su ladomide a = 2k, entonces se deduce que:

b = k (semieje menor) y c = k 3

Luego la excentricidad «e» lo calculamos, así:

3 32 2

kce a k

Prob. 25

Por el foco «F» de la elipse se ha trazado unaperpendicular a su eje mayor:

Determinar para qué valor de la excentricidad dela elipse serán paralelos los segmentos AB y OC .

Elaboramos un esquema para visualizar lascondiciones del problema:

CC' es el lado recto 22CC' b

a 2

CF ba

En el AOB: tan = ba . . . (1)

En el OFC: tan = 2/b ac . . . (2)

Igualando (1) y (2): ba

b2

a c bc

Además, sabemos que: 2 2 2a b c

2 2 2 2 22 2a c c a c a c

Finalmente, calculamos la excentricidad:

cce a 2 c

12

22e

Prob. 26

La elipse es tangente al eje de abscisas en el puntoA(3; 0) y al eje de ordenadas en el punto B(0; -4).Calcular la ecuación de esta elipse, sabiendo quesus ejes de simetría son paralelos a los ejes coor-denados.

Elaborando la gráfica correspondiente segúncondiciones del problema:

De aquí identificamos: a = 4 y b = 3

Luego, el centro está en: (h; k) = (3; -4)

Dado que el centro de la elipse no está en elorigen de coordenadas aplicamos:

22

2 2 1y kx h

b a

22 43 19 16

yx

Graficamos la elipse:22

2 2: 110 6

yxe

De donde: a = 10 ; b = 6 c = 8

Por definición de elipse sabemos que:

PF1 + PF2 = 2a 14 + PF2 = 20 PF2 = 6

Luego, tenemos: x y221PF 8 14 ...(1)

x y222PF 8 6 ...(2)

Resolviendo (1) y (2), obtenemos:

x y y5 ( 3 3 3 3)

Los puntos pedidos son:

P 5; 3 3 P' 5; -3 3

Prob. 23

Por el foco de la elipse: 22 yx 125 15 , se ha traza-

do una perpendicular a su eje mayor. Determinarlas distancias de los puntos de intersección de estaperpendicular con la elipse hasta los focos.

De la ecuación obtenemos a, b y c:

22: 125 15

yxe 22

2 15 15

yx

a b c5 ; 15 10

Graficamos la elipse con las condiciones da-das, donde LR es la perpendicular trazada aleje mayor, conocida como lado recto.

Aplicamos la definición de elipse:

1 2LF LF 2a x x2 2(2 10) 10

Resolviendo, obtenemos: x = 3

Finalmente, piden:

LF1 = x = 3 22LF 40 7x

Prob. 24

Determinar la excentricidad «e» de la elipse, si sueje menor se ve desde uno de los focos formandoun ángulo de 60º.

Graficamos una elipse para visualizar las con-diciones dadas:

Luego, del foco F1 observamos al eje menor B1B2con un ángulo de 60º, determinándose el trián-


Prob. 29

El punto A(-3; -5) está en una elipse, uno de cuyosfocos es F(-1; -4) y la directriz correspondiente seda mediante la ecuación: x – 2 = 0. Determinar laecuación de esta elipse.

Sea «L» la directriz correspondiente al focodado «F». A continuación elaboramos un es-quema:

Aplicando la propiedad de las directrices vistaen el ítem 11.2.4C, tenemos:

e e2 23 1 5 4AF AL 3 21

e e 54 1 5 5

Hacemos lo mismo para un punto P(x; y) de laelipse:

e PFPL

Luego, reemplazando el valor de «e» obtenidoen el paso anterior, se tiene:

x y

x

221 455 2

Ahora, desarrollando determinamos la ecua-ción de la elipse:

x x y 22 22 5 1 5 4

x x x x y y2 2 24 4 5 10 5 5 40 80

2 24 5 14 40 81x y x y

Prob. 30

El punto M(2; -1) está en la elipse, uno de cuyosfocos es F(1; 0) y la directriz correspondiente seda mediante la ecuación: 2x – y – 10 = 0. Determi-nar la ecuación de esta elipse.

Sea «L» la directriz correspondiente al focodado «F». A continuación elaboramos un es-quema:

Aplicando la propiedad de las directrices utili-zada en el problema anterior, se tiene:

e MF PF=ML PL = Constante

Aplicando las fórmulas de distancia, se tiene:

2 22 1 1 02 2 1 10

5

x yx y

2212 10

5Elevando al cuadrado y simplificando térmi-nos, resulta:

x y x y22 22 2 10 125

Ahora, reduciendo, obtenemos:

2 217 8 23 30 40 175 0x xy y x y

Prob. 31

Calcular los puntos de intersección de la recta:

3x + 10y – 25 = 0

y la elipse:22 yx 125 4

Prob. 27

Determinar la ecuación de la elipse, sabiendo quesu eje mayor es igual a 26 y los focos sonF1(-10; 0) y F2(14; 0).

Dado que los focos (14; 0) y (-10; 0) tienen orde-nadas nulas, deducimos que el eje mayor estásobre el eje «x». Asimismo debemos reconocerque el centro «C» de la elipse es el punto mediodel segmento F1F2, entonces C(2; 0). Y si el ejemayor mide 26, entonces a = 13, luego podemoshacer un esquema de la elipse:

De la figura, concluimos que:

a = 13 ; c = 12 b = 5

Luego: y kx hE

a b

22

2 2: 1

222: 1169 25

yxE

Prob. 28

Calcular la ecuación de la elipse, si se conoce suexcentricidad e = 2/3, un foco F(2; 1) y la ecua-ción de la directriz correspondiente: x – 5 = 0.

Nos informan que la excentricidad:

c nce a a n22

3 3

b n5

Si la directriz tiene por ecuación x = 5, eso indi-ca que su eje mayor es paralelo al eje «x». Portanto un gráfico aproximado sería:

Sea (h; k) el centro y F(2; 1) el foco, entonces:

(h + 2n; k) = (2; 1)

h + 2n = 2 k = 1

Como la elipse no tiene su centro en el origende coordenadas, la ecuación de la directriz es:

x = 5 2

5ah c

Expresando todo en términos de «n»:

232 2 52nn n n = 6/5

Reemplazando en a; b y h:

6 518 2; ;5 5 5a b h

La ecuación tiene la forma:

22

2 2 1y kx he

a b

x y

E

22

2 2

215: 1

18 6 55 5

Desarrollando, pasamos a la forma general ob-tenemos:

E: 5x2 + 9y2 + 4x – 18y + 55 = 0


yxe

22: 1 ....(2)20 5

Reemplazando (1) en (2) obtenemos:

x mx m2 25 8 4 25 0 ....(3)

Luego, para que la recta L sea secante a la elip-se E, la ecuación (3) debe tener soluciones rea-les, y esto sólo será posible si el discriminantede esta ecuación es mayor que cero, es decir:

m m228 4 5 4 25 0

Resolviendo concluimos que: |m| < 5 52

Prob. 34

Deduce la condición, según la cual la recta

L: y = kx + m

es tangente a la elipse: 22

2 2yx 1

a b .

Resolvemos el sistema formado por las ecua-ciones dadas:

L: y = kx + m ....(1)

yxe

a b

22

2 2: 1 ....(2)

Reemplazando (1) en (2), se tiene:

kx mxa b

2 2

2 2 1

Luego, resulta una ecuación cuadrática:

b a k x ma k x a m a b2 2 2 2 2 2 2 2 22 0

Para que L sea tangente a E, la ecuación obteni-da debe tener una única solución, es decir sudiscriminante debe ser cero. Así:

ma k b a k a m a b22 2 2 2 2 2 2 22 4 0

k2a2 + b2 = m2

Prob. 35

Desde el punto C(10; -8) se han trazado tangentes

a la elipse: 22 yx 125 16

Calcular la ecuación de la cuerda que une lospuntos de contacto.

Primero elaboramos un gráfico aproximado,según los datos del enunciado:

En la elipse identificamos: a2 = 25; b2 = 16

Asimismo un punto de las tangentes es el queestá dado por:

Luego la ecuación de la cuerda cuyos extre-mos son los puntos de contacto es como sigue:

x x y y

La b0 0

TT' 2 2: 1

x y10 8 125 16

4x – 5y – 10 = 0

Para calcular los puntos de intersección resol-veremos el sistema de ecuaciones dado por larecta y la elipse:

L y 3 25: ....(1)10

yxE

22: 1 ....(2)25 4

Reemplazando (1) en (2), se tiene:

xx2 3 25

10 125 4

Resolviendo obtenemos un único valor para x,esto es:

x = 3 y = 8/5

El único punto de intersección es P(3; 8/5), estosignifica que la recta L es tangente a la elipse E,como vemos en la siguiente gráfica:

Prob. 32

Determinar la posición de la recta con relación ala elipse (la corta, es tangente o pasa fuera deella), si la recta y la elipse se dan mediante lassiguientes ecuaciones:

2x – y – 3 = 0 ; 22 yx 116 9

En principio supondremos que ambas líneasse intersectan y para ello procedemos como lohicimos en el problema anterior:

L y x: 2 3 ....(1)

yxE

22: 1 ....(2)16 9

Luego, reemplazamos (1) en (2):

xx2 22 3 116 9

Resolviendo, obtenemos:

x y

x y

0 3

192 6573 73

Luego los puntos de intersección son:

P(0; -3) y 192 65P' ;73 73

Esto nos indica que la recta L es secante a la elip-se E, como mostramos en la siguiente gráfica:

Prob. 33

¿Para qué valores de «m» la recta:y = -x + m

corta la elipse: 22 yx 120 5 ?

Análogamente al problema anterior, resolvemosel sistema de ecuaciones formado por las doslíneas. Veamos:

L: y = -x + m ...(1)


A) 2x + y - 3 = 0 B) 3x - y + 3 = 0

C) x + y - 3 = 0 D) 2x - y + 3 = 0

E) x - y + 3 = 0

09.- Determina la longitud de la cuerda de la circun-ferencia (x - 2)2 + (y - 4)2 = 10, que se divide por lamitad en el punto A(1; 2)

A) 3

B) 2 5

C) 5

D) 6

E) 2 7

10.- Determina la ecuación de la circunferencia quepasa por el origen de coordenadas y por el punto deintersección de las dos circunferencias:

(x + 3)2 + (y + 1)2 = 25, (x - 2)2 + (y + 4)2 = 9

A) 13x2 + 13y2 + 3x + 71y = 0

B) x2 + 13y2 + 3x + 71y = 0

C) 13x2 + y2 - 3x + 71y = 0

D) 13x2 + 13y2 + 7x + 3y = 0

E) 12x2 + 12y2 + 2x + 3y – 1= 0

11.- Calcula la distancia del centro de la circunferen-cia x2 + y2 = 2x a la recta que pasa por el punto deintersección de las dos circunferencias:

x2 + y2 + 5x - 8y + 1 = 0, x2 + y2 - 3x +7y - 25 = 0

A) 1

B) 2

C) 3

D) 2

E) 3

12.- El centro de una circunferencia está en la rectax + y = 0. Calcula la ecuación de esta circunferencia,si se sabe que pasa por el punto de intersección delas dos circunferencias:

(x -1)2 + (y + 5)2 = 50, (x + 1)2 + (y + 1)2 = 10

A) (x - 3)2 + (y - 3)2 = 10

B) (x - 3)2 + (y + 3)2 = 10

C) (x + 3)2 + (y + 3)2 = 10

D) (x + 3)2 + (y - 3)2 = 10

E) (x + 4)2 + (y – 2)2 = 16

13.- Determina la ecuación de la tangente a lacircunferencia (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25 en el puntoA(-5; 7).

A) 3x – 4y + 43 = 0 B) x – 3y = 0

C) x – 4y + 15 = 0 D) 3x + y – 15 = 0

E) 3x + 4y – 43 = 0

14.- Calcula el ángulo agudo formado por la inter-sección de la recta L: 3x - y - 1 = 0 y la circunferencia(x - 2)2 + y2 = 5 (Se llama ángulo formado por unarecta y una circunferencia al ángulo comprendidoentre la recta y la tangente a la circunferencia traza-da en el punto de intersección).

A) 60º

B) 30º

C) 37º

D) 53º

E) 45º

15.- Desde el punto A(4; 2) se han trazado tangen-tes a la circunferencia x2 + y2 = 10. Calcula el ánguloformado por estas tangentes.

A) 90º

B) 72º

C) 60º

D) 45º

E) 30º

CIRCUNFERENCIA

01.- Calcular la ecuación de la circunferencia quees tangente a las rectas paralelas: 2x + y - 5 = 0,2x + y + 15 = 0 y, a una de ellas, en el punto A(2; 1)

A) (x + 2)2 + (y - 1)2 = 1

B) (x + 2)2 + (y - 1)2 = 20

C) (x + 2)2 + (y + 2)2 = 20

D) (x + 1)2 + (y + 2)2 = 20

E) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 20

02.- Determina los centros de las circunferenciasque pasan por el punto A(1; 0) y son tangentes a lasdos rectas paralelas:

2x + y + 2 = 0, 2x + y - 18 = 0.

A) (5; -2) y (9/5; 22/5) B) (0; 0) y (2; 2)

C) (3; 2) y (1/5; 3/5) D) (1; -5) y (3/5; 9/5)

E) (9; 2) y (9/5; 3/5)

03.- Calcula las ecuaciones de las circunferen-cias que son tangentes a dos rectas concurren-tes: 7x - y - 5 = 0, x + y + 13 = 0 y, a una de ellas, enel punto M1(1; 2)

A) (x + 6)2 + (y - 3)2 = 50; (x - 29)2 + (y + 2) 2 = 800

B) x2 + y2 = 50; (x - 2)2 + y2 = 800

C) (x - 1)2 + y2 = 50; x2 + (y - 2)2 = 800

D) (x + 6)2 + y2 = 50; x2 + (y - 2)2 = 800

E) (x – 4)2 + (y – 6)2 = 800

04.- Determina la ecuación de alguna circunfe-rencia que, teniendo sus centros en la recta4x - 5y - 3 = 0, sea tangente a las rectas:

2x – 3y – 10 = 0 ; 3x - 2y + 5 = 0

A) (x - 8)2 - (y + 7)2 = 25/13

B) (x + 2)2 + (y + 1)2 = 81

C) (x + 8)2 + (y - 7)2 = 25/13

D) (x - 2)2 + (y - 1)2= 81/13

E) (x + 4)2 + (y – 2)2 = 36

05.- Calcula la ecuación de alguna circunferenciaque sea tangente a las tres rectas:

4x – 3y – 10 = 0, 3x – 4y – 5 = 0 y 3x – 4y – 15 = 0

A) 2 210 25 17 7

x y

B) 2 230 17

x y

C) 2 210 25 17 7x y

D) x2 + y2 = 5/7

E) (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

06.- Calcula la distancia mínima del punto A(6; -8) ala circunferencia: x2 + y2 = 9

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

07.- Determina las coordenadas de los puntos deintersección de la recta 7x - y + 12 = 0 y la circunfe-rencia (x – 2)2 + (y - 1)2 = 25

A) (-1; 5) y (2; 2) B) (-5; 1) y (2; -2)

C) (1; -5) y (2; -2) D) (-1; 5) y (-2; -2)

E) (2; -3) y (4; 1)

08.- Calcula la ecuación del diámetro de la cir-cunferencia (x - 2)2 + (y + 1)2 = 16, que pasa por lamitad de la cuerda definida por la intersección conla recta x - 2y - 3 = 0.


24.- Determinar las coordenadas de los puntos de la

elipse: 22

116 7yx , cuyas distancias al foco izquier-

do son iguales a 2,5.

A) (-2; 3) y (-2; -3)

B) 21-2; 2 y 21-2; - 2

C) 21- ; 32 y 21 ; -32D) (-4; 1) y (-5; -1)

E) (2; 5) y (-4; 3)

25.- Calcular la ecuación de la elipse cuyos focosestán situados en el eje de las abscisas y son simé-tricos con respecto al origen de coordenadas, si elpunto 1M 2 5; 2 pertenece a la elipse y susemieje menor b = 3.

A) 22

13 4

yx B) 22

112 6

yx

C) 22

14 9

yx D) 22

136 9 yx

E) 22

14 36 yx

26.- Calcular la ecuación de la elipse cuyos focosestán situados en el eje de las abscisas y son simé-tricos con respecto al origen de coordenadas, si elpunto 1M 15; -1 pertenece a la elipse y la dis-tancia entre sus focos es 2c = 8.

A) 22

120 4 yx B) 22

110 5

yx

C) 22

115 4

yx D) 22

120 5

yx

E) 22

116 9 yx

27.- Determinar la excentricidad «e» de la elipse, siel segmento entre los focos se ve desde los extre-mos del eje menor formando un ángulo recto.

A) 2 B) 3 C) 1/3

D) 2/5 E) 22

28.- Calcular la ecuación de la elipse de semiejes«a» y «b» con el centro C(3; 5), si se sabe que losejes de simetría de la elipse son paralelos a los ejescoordenados.

A) 2 2

2 2( 3) ( 5) 1x y

a b

B) 22

2 253 1

yxa b

C) 22

2 253 1

yxb a

D) 22

2 253 1

yxb a

E) 2 2

2 2( 2) ( 4) 1 x y

a b

29.- El punto C(-3; 2) es el centro de una elipse, quees tangente a los dos ejes coordenados. Calcular laecuación de esta elipse, sabiendo que sus ejes desimetría son paralelos a los ejes coordenados.

A) 22 23 19 4

yx

B) 2 2( 3) ( 2) 19 4

x y

C) 22 23 14 9

yx

D) 22 23 14 9

yx

E) 2 2( 3) ( 2) 116 9

x y

30.- Calcular la ecuación de la elipse, sabiendo quesu eje menor es igual a 2 y los focos sonF1(-1; -1) y F2(1; 1).

ELIPSE

16- Dada la elipse: 9x2 + 5y2 = 45, calcular sussemiejes

A) 5 y 3 B) 1 y 2 C) 2 y 3

D) 3 y 5 E) 3 y 4

17.- Para la elipse del problema anterior, determinarlas coordenadas de sus focos.

A) F1(2; -4), F2(8; 4) B) F1(0; -2), F2(5; 2)

C) F1(0; -3), F2(0; 3) D) F1(0; -2), F2(0; 2)

E) F1(0; - 5 ), F2(0; 5 )

18.- Para la elipse del problema anterior, se pide cal-cular su excentricidad.

A) 2/3 B) 1/3 C) 3/4

D) 5/2 E) 2 5

19.- Identificar la elipse cuya ecuación es:22

116 9yx

A) B)

C) D)

E)

20.- De la elipse del problema anterior se pide deter-minar las ecuaciones de sus directricesA) x = ±9/2 B) x = ±5/2 C) x = ±1

D) x = ±3 E) 167

x

21.- La excentricidad de una elipse es: e = 2/5, ladistancia de un punto «M» de la elipse a la directrizes igual a 20. Calcular la distancia del punto «M» alfoco unilateral a esta directriz.

A) 16

B) 10

C) 12

D) 8

E) 20

22.- Se da el punto 15M 2; - 2 en la elipse:

2219 5

yx

Calcular las ecuaciones de las rectas en las que es-tán los radios focales del punto «M1».

A) 5x – 10y + 12 = 0 ; x – 3 = 0

B) 5x – 12y + 10 = 0 ; x – 3 = 0

C) 5x + 12y – 10 = 0 ; x – 2 = 0

D) 5x + 12y + 10 = 0 ; x – 2 = 0

E) 12x + 5y + 10 = 0 ; x + 2 = 0

23.- La excentricidad de una elipse es e = 1/3, sucentro coincide con el origen de coordenadas y unode los focos es F(-2; 0). Calcular la distancia delpunto «M1» de la elipse, cuya abscisa es igual a 2, ala directriz unilateral al foco dado.

A) 18

B) 15

C) 10

D) 12

E) 20

638 Trigonometría

A) x2 - xy + y2 - 3 = 0 B) x2 + 2xy - 2y2 - 3 = 0

C) 2x2 – 2xy + 2y2 – 3 = 0 D) 2x2 - 2xy + y2 - 3 = 0

E) 3x2 – 2xy + 3y2 – 5 = 0

31.- Calcular la ecuación de la elipse, si se conocesu excentricidad e = 1/2, su foco F(-4; 1) y la ecua-ción de la directriz correspondiente: y + 3 = 0.

A) 4x2 + 3y2 + 32x – 14y + 59 = 0

B) x2 + y2 + 32x - 14y + 59 = 0

C) 5x2 + 3y2 - x - y + 59 = 0

D) x2 + 5y2 - x - y + 59 = 0

E) 5x2 + y2 + x – y – 36 = 0

32.- Calcular la ecuación de la elipse, si se conocesu excentricidad e = 1/2, el foco F(3; 0) y la ecuaciónde la directriz correspondiente: x + y – 1 = 0

A) 6x2 – 2xy + 7y2 – 42x + y - 71 = 0

B) 7x2 – 2xy + 7y2 – 46x + 2y + 71 = 0

C) 7x2 – xy + y2 – 46x + 2y + 29 = 0

D) 6x2 + 2xy + 7y2 + 42x - y - 71 = 0

E) 2x2 – 7xy + 2y2 – 46x + 2y + 71 = 0

33.- El punto M1(3; -1) es un extremo del eje menorde una elipse, cuyos focos están en la recta:

y + 6 = 0Calcular la ecuación de esta elipse, conociendo su

excentricidad: 22

e .

A) x2 + 2y2 – 6x + 24y + 31 = 0

B) x2 - 2y2 – 6x - 24y + 31 = 0

C) x2 + 2y2 + 6x - 24y - 31 = 0

D) x2 + 2y2 + 6x + 12y + 31 = 0

E) 2x2 + y2 + 6x – 12y – 31 = 0

34.- Determinar las coordenadas de los puntos deintersección de la recta: 3x – 4y – 40 = 0 y la elipse:

22116 9

yx

A) (1; -1) y (0; 0) B) (0; 0) y (2; -2)C) (5; -5) y (2; 3) D) (6; 0) y (-5; 2)E) La recta pasa por fuera de la elipse.

35.- Determinar la posición de la recta con relación ala elipse (la corta, es tangente o pasa fuera de ella),si la recta y la elipse se dan mediante las siguientesecuaciones:

2x + y – 10 = 0 ; 22

19 4yx

Indique la respuesta correcta:A) Es tangenteB) La corta en dos puntosC) Pasa fuera de la elipseD) La corta en un solo puntoE) Falta información para decidir

36.- ¿Para qué valores de «m» la recta: y = -x + m es

tangente a la elipse 22

120 5yx ?

A) m = 7 B) m = 3 C) m = 2D) m = 6 E) m = 5

37.- Calcular la ecuación de la tangente a la elipse:2

2 16yx en uno de sus puntos M1(3; 12)

A) 3x - 2 y = 1 B) x - 2y = 1 C) 3x - y = 1D) 3x + 2y = 1 E) 2x + 3y = -1

01E

09B

17D

25D

33A

02A

10A

18A

26A

34E

03A

11B

19C

27E

35C

04D

12D

20E

28A

36E

05C

13A

21D

29B

37D

06A

14E

22D

30C

07D

15A

23A

31A

08A

16A

24B

32B

MARTE SATURNO MERCURIO · 2016-03-08 · Para obtener la ecuación de la circun-ferencia con centro...

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