ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Definiciones:Definiciones:

Se llaman ecuaciones algebraicas de Se llaman ecuaciones algebraicas de segundo grado o ecuaciones segundo grado o ecuaciones

cuadráticas, aquellas que adoptan la cuadráticas, aquellas que adoptan la forma típica:forma típica:

axax²² +bx +c +bx +c

O que son deducibles a esta forma por O que son deducibles a esta forma por transformaciones algebraicas.transformaciones algebraicas.

En (1) x representa la incógnita y los En (1) x representa la incógnita y los coeficientes a, b, c son constantes.coeficientes a, b, c son constantes.

Se supone a Se supone a ‡ ‡ 0 pues, de lo contrario, 0 pues, de lo contrario, la ecuación se reduciría a otra de la ecuación se reduciría a otra de

primer grado ( si b primer grado ( si b ‡0)‡0)

Una ecuación cuadrática se obtiene Una ecuación cuadrática se obtiene igualando a cero un trinomio igualando a cero un trinomio

( completo o incompleto) de segundo ( completo o incompleto) de segundo grado grado

EJEMPLO: EJEMPLO:

Son ecuaciones de segundo grado las siguientesSon ecuaciones de segundo grado las siguientes: :

6x6x²-3x+5=0²-3x+5=0

4x²-0.2=04x²-0.2=0

x²+13x=0x²+13x=0

2x²=02x²=0

Como hemos dicho, en una ecuación de Como hemos dicho, en una ecuación de segundo grado se supone siempre a segundo grado se supone siempre a ‡ ‡ 0. 0.

Cuando los coeficientes b ó c, o ambos, Cuando los coeficientes b ó c, o ambos, son nulos la ecuación se dice son nulos la ecuación se dice incompleta. Sin ningún coeficiente es incompleta. Sin ningún coeficiente es cero la ecuación se dice entonces cero la ecuación se dice entonces completa.completa.

También Son Ecuaciones de segundo También Son Ecuaciones de segundo grado la siguiente:grado la siguiente:

x (x+1)(x+3)= xx (x+1)(x+3)= x³+2x-5 ,³+2x-5 ,

Ya que por transformaciones algebraicas Ya que por transformaciones algebraicas se obtiene sucesivamente:se obtiene sucesivamente:

x³+4x²+3x=x³+2x-5x³+4x²+3x=x³+2x-5

4x²+x+5=04x²+x+5=0

Que es una ecuación en forma Que es una ecuación en forma axax²² +bx +bx +c, en esta ecuación los coeficientes +c, en esta ecuación los coeficientes

valen valen

a=4 , b=1 , c=5a=4 , b=1 , c=5

Las ecuaciones incompletas de Las ecuaciones incompletas de segundo grado se reducen a una de segundo grado se reducen a una de las formas siguientes:las formas siguientes:

axax²+c=0 (b=0)²+c=0 (b=0)

ax²+bx=0 (c=0)ax²+bx=0 (c=0)

ax²=0 (b=c=0)ax²=0 (b=c=0)

RESOLUCION DE ECUACIONES RESOLUCION DE ECUACIONES INCOMPLETASINCOMPLETAS

Cuando una ecuación de segundo Cuando una ecuación de segundo grado es incompleta, sus soluciones grado es incompleta, sus soluciones o raíces se determinan fácilmente, o raíces se determinan fácilmente,

como muestran los ejemplos como muestran los ejemplos siguiente:siguiente:

Resolver la ecuación 9xResolver la ecuación 9x²-1=0²-1=0

Resolver la ecuación 9xResolver la ecuación 9x²-1=0²-1=0

Si se traslada el termino constante al segundo Si se traslada el termino constante al segundo miembro, se tiene:miembro, se tiene:

Despejando x²:Despejando x²:

x²= 1 / 9 x²= 1 / 9

Extrayendo la raíz cuadrada:Extrayendo la raíz cuadrada:

X= ± 1 / 3X= ± 1 / 3

La ecuación propuesta admite, pues, las dos La ecuación propuesta admite, pues, las dos raices raices

X1= +1/3 x2=-1/3X1= +1/3 x2=-1/3

Comprobación:Comprobación:

9(±1/3)²-1=9.1/9-1=1-1=09(±1/3)²-1=9.1/9-1=1-1=0

Como demostraremos mas adelante, Como demostraremos mas adelante, toda ecuación de segundo grado tiene toda ecuación de segundo grado tiene

dos raíces. Para distinguir estas dos dos raíces. Para distinguir estas dos raíces afectaremos con subíndices la raíces afectaremos con subíndices la

letra que designe la incógnita; y letra que designe la incógnita; y escribiremos, por ejemplo, como escribiremos, por ejemplo, como

hicimos arriba, hicimos arriba,

x1 ( x sub. uno) para una de las raíces yx1 ( x sub. uno) para una de las raíces y

x2 ( x sub. dos) para la segunda raízx2 ( x sub. dos) para la segunda raíz

EJERCICIOS:EJERCICIOS:

Resolver la ecuación 3xResolver la ecuación 3x²+2x=0²+2x=0En este caso el termino constante es nulo. Sacando x, factor En este caso el termino constante es nulo. Sacando x, factor

comun se tiene:comun se tiene:X(3x+2)=0X(3x+2)=0

Ahora bien, un producto es cero cuando es cero uno Ahora bien, un producto es cero cuando es cero uno cualquiera de sus factores. Por tanto, la ecuación anterior cualquiera de sus factores. Por tanto, la ecuación anterior

se satisfará en uno cualquiera de los casos siguientes:se satisfará en uno cualquiera de los casos siguientes:X=0X=0

3x+2=03x+2=0La primera ecuación nos muestra que la ecuación propuesta La primera ecuación nos muestra que la ecuación propuesta

se satisface para x1=0; la segunda que la ecuación se satisface para x1=0; la segunda que la ecuación propuesta se satisface para x2=-2/3propuesta se satisface para x2=-2/3

Obsérvese que no es licito dividir la ecuación por x pues se Obsérvese que no es licito dividir la ecuación por x pues se perdería la raíz x=0. En general, no debe dividirse una perdería la raíz x=0. En general, no debe dividirse una ecuación por un factor que contenga la incógnita pues ecuación por un factor que contenga la incógnita pues entonces la ecuación obtenida no será equivalente a la entonces la ecuación obtenida no será equivalente a la

propuesta.propuesta.

La determinación de las raíces es La determinación de las raíces es inmediata, pues basta igualar a cero inmediata, pues basta igualar a cero

uno de los factores encontrados.uno de los factores encontrados.

Como esos factores son de primer Como esos factores son de primer grado, la resolución de la ecuación grado, la resolución de la ecuación

de segundo grado queda reducida así de segundo grado queda reducida así a la resolución de dos ecuaciones a la resolución de dos ecuaciones

simples de primer grado.simples de primer grado.

RESOLUCION DE ECUACIONES DE RESOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO POR SEGUNDO GRADO POR

DESCOMPOSISCION EN FACTORES.DESCOMPOSISCION EN FACTORES.

Ya hemos visto que una ecuación Ya hemos visto que una ecuación incompleta de la forma axincompleta de la forma ax²+bx=0, se ²+bx=0, se

resuelve sacando x factor común.resuelve sacando x factor común.

Cuando se tiene una ecuación completa Cuando se tiene una ecuación completa de la forma ax²+bx+c=0 y el trinomio de la forma ax²+bx+c=0 y el trinomio

que forma el primer miembro de la que forma el primer miembro de la ecuación puede descomponerse en ecuación puede descomponerse en factores por alguno de los métodos factores por alguno de los métodos

estudiado.estudiado.

Las raíces encontradas por este Las raíces encontradas por este procedimiento son las raíces de la procedimiento son las raíces de la ecuación propuesta, puesto que ecuación propuesta, puesto que

anulando uno de los factores, anulan anulando uno de los factores, anulan el producto, es decir, el primer el producto, es decir, el primer

miembro de la ecuación.miembro de la ecuación.

EJEMPLOS:EJEMPLOS:

Resolver la ecuación xResolver la ecuación x²+5x-24=0²+5x-24=0

Aplican el método estudiado para, Aplican el método estudiado para, descomponer los trinomios de la descomponer los trinomios de la forma forma xx²+px+q, buscaremos dos ²+px+q, buscaremos dos

numeros que multiplicados den -24 y numeros que multiplicados den -24 y sumados algebraicamente den 5.sumados algebraicamente den 5.

Estos dos numeros son 8 y -3. por lo Estos dos numeros son 8 y -3. por lo tanto, la ecuacion dada se puede tanto, la ecuacion dada se puede

escribir escribir

(x+8)(x+3)=0(x+8)(x+3)=0

Y resultan las siguientes ecuacionesY resultan las siguientes ecuaciones

X+8 = 0 x-3 = 0X+8 = 0 x-3 = 0

En donde En donde

X1 = -8 x2 = 3X1 = -8 x2 = 3

RESOLVER LA ECUACIÓNRESOLVER LA ECUACIÓN

66x²-7X-3=0 Por cualquiera de los métodos x²-7X-3=0 Por cualquiera de los métodos estudiados anteriormente se encuentra:estudiados anteriormente se encuentra:

(2x-3) (3x+1)= 0(2x-3) (3x+1)= 0

e igualando a 0 cada factor e igualando a 0 cada factor

2x-3= 0 3x+1= 02x-3= 0 3x+1= 0

En donde En donde

X1= 3/2 x2= -1/3X1= 3/2 x2= -1/3

RESOLUCION POR EL MÉTODO DE RESOLUCION POR EL MÉTODO DE COMPLETAR UN CUADRADO PERFECTOCOMPLETAR UN CUADRADO PERFECTO

Puesto que Puesto que

(x+m/2)(x+m/2)² = ² = x²+mx+(m/2)²x²+mx+(m/2)²

A un binomio de la forma x²+mx (con m A un binomio de la forma x²+mx (con m positivo o negativo)positivo o negativo)

( m/2)² ( m/2)²

Paras ser un cuadrado perfecto Paras ser un cuadrado perfecto

Por ejemplo, a x²+8x falta agregarlePor ejemplo, a x²+8x falta agregarle

(8/2)² = 16(8/2)² = 16

Para que el trinomio resultante sea Para que el trinomio resultante sea cuadrado perfecto. Análogamente, a cuadrado perfecto. Análogamente, a x²-5x hay que agregar (-5/2)² = 25/4 x²-5x hay que agregar (-5/2)² = 25/4 para obtener el cuadrado perfecto.para obtener el cuadrado perfecto.

x²-5x+25/4x²-5x+25/4La observación anterior es La observación anterior es

aprovechada para resolver cualquier aprovechada para resolver cualquier ecuación de segundo grado, ecuación de segundo grado,

completando en el primer miembro completando en el primer miembro de la ecuación un cuadrado perfecto.de la ecuación un cuadrado perfecto.

En la forma que muestran los siguientes ejemplos:

1. Resolver la ecuación x²+6x-7= 0x²+6x-7= 0

Si se pasa el último término al segundo miembro, se tiene Si se pasa el último término al segundo miembro, se tiene

x²+6x= 7x²+6x= 7

De acuerdo con lo dicho antes, para completar un cuadrado perfecto De acuerdo con lo dicho antes, para completar un cuadrado perfecto en el primer miembro bastará agregarle ( 6/2)²= 3²= 9en el primer miembro bastará agregarle ( 6/2)²= 3²= 9

Sumando 9 en ambos miembros resulta:Sumando 9 en ambos miembros resulta:

x²+6x+9= 7+9= 16x²+6x+9= 7+9= 16

Si se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros se encuentra Si se extrae la raíz cuadrada en ambos miembros se encuentra

x+3=4 o x+3=-4x+3=4 o x+3=-4

Según se tome +4 o -4 para la raíz es 16 resolviendo estas ecuaciones Según se tome +4 o -4 para la raíz es 16 resolviendo estas ecuaciones se tiene:se tiene:

X1=1 x2=-7X1=1 x2=-7

Estas son las dos raíces de la ecuación propuestaEstas son las dos raíces de la ecuación propuesta

COMPROBACION

1²+6(1)-7=0

(-7)²+6(-7)-7 = 49-42-7 = 0

Al extraer la raíz cuadrada en (1) se escribe usualmente x+3= +-4 de donde

X= -3+-4= [1-7]

Observación:

No se obtendría nada nuevo anteponiento el signo menos al mienbro izquierdo de la ecuación pues de

-(x+3)=+-4

se deduce -x-3=4 , -x-3=-4

O bien cambiando los signos

X+3 =-4 , x+3=4

Que son las mismas ecuaciones obtenidas anteriormente

FORMULAS PARA RESOLVER LAS FORMULAS PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La ecuación con coeficiente literales La ecuación con coeficiente literales

aax²+bx+c=0 (a‡0)x²+bx+c=0 (a‡0)

Representan cualquier ecuación de Representan cualquier ecuación de segundo grado. Así, por ejemplo, se segundo grado. Así, por ejemplo, se convierte la ecuación 4x²-7x+3=0 si convierte la ecuación 4x²-7x+3=0 si

se toma a=4, b=-7 y c=3se toma a=4, b=-7 y c=3

Vamos a resolver la ecuación Vamos a resolver la ecuación aax²+bx+c=0 por el método de x²+bx+c=0 por el método de

completar el cuadrado perfecto.completar el cuadrado perfecto.

De este modo obtendremos un resultado general o formula mediante la cual podemos resolver cualquier situación particular de segundo grado sustituyendo simplemente en esta formula los valores de los coeficientes.

Para resolver ax²+bx+c=0 comencemos por dividir ambos miembros de ax²+bx+c=0 comencemos por dividir ambos miembros de la ecuación por el primer coeficiente a, que es por hipótesis distinto de 0la ecuación por el primer coeficiente a, que es por hipótesis distinto de 0

xx²+(b/a)x+c/a=0²+(b/a)x+c/a=0

Y pasamos ahora el ultimo término al segundo miembro Y pasamos ahora el ultimo término al segundo miembro

xx²+(b/a)x=-c/a²+(b/a)x=-c/a

De acuerdo con lo dicho anteriormente completaremos un cuadrado De acuerdo con lo dicho anteriormente completaremos un cuadrado perfecto en el primer miembro añadiendo perfecto en el primer miembro añadiendo

(b/2a)²=b²/4ª(b/2a)²=b²/4ª

A ambos miembros de la ecuación; así se obtiene A ambos miembros de la ecuación; así se obtiene

x²+(b/a)x+b²/4a²=b²/4a²-c/ax²+(b/a)x+b²/4a²=b²/4a²-c/a

O bien O bien

(x+b/2a)²=b²-4ac/4a²(x+b/2a)²=b²-4ac/4a²

Extrayendo la raíz cuadrada de ambos miembros y anteponiendo el doble ± a uno de ellos:

X+b/2ª=±√b²-4ac/2ª²-4ac/2ª

Y despejando x se obtiene finalmente:Y despejando x se obtiene finalmente:

X=-b/2aX=-b/2a±±√b²-4ac/2ª²-4ac/2ª

-b±-b±√b²-4ac²-4ac

X=X=

2a2a

Esta es la formula dse resolución de la ecuación general de un Esta es la formula dse resolución de la ecuación general de un segundo grado segundo grado

REGLA:REGLA:

En una ecuación de segundo grado la En una ecuación de segundo grado la formula axformula ax²²+bx+c la incognita es igual al coeficiente del segundo

término con signo cambiado, mas o menos la raíz cuadrada de la

diferencia entre el cuadrado de este coeficiente y el cuadruplo del primero

`por el tercero, dividido todo por el duplo del primer coeficiente.

EJERCICIOS:EJERCICIOS:Resolver la ecuacion 2xResolver la ecuacion 2x²²†5x-3=0†5x-3=0En este ejemplo se tiene a=2,b=5,c=-3 sustituyendo estos valores en la formula se En este ejemplo se tiene a=2,b=5,c=-3 sustituyendo estos valores en la formula se encuentra:encuentra:

-5±√5-5±√5²-4(2)(-3)²-4(2)(-3)X=X= 2(2)2(2)

-5±√-5±√4949X=X= 44

-5±7-5±7X=X= 44

Lo que queda:Lo que queda:

-5†7 1-5†7 1X= = X= = 4 24 2

-5-7 -12-5-7 -12X= = X= = 4 44 4

= -3= -3

ECUACIONES LITERALESECUACIONES LITERALES

Se resuelve de la misma manera que Se resuelve de la misma manera que las ecuaciones con coeficientes las ecuaciones con coeficientes

numéricos:numéricos:

• Por descomposición en factoresPor descomposición en factores

• Completando un cuadrado perfectoCompletando un cuadrado perfecto

• Por la fórmula generalPor la fórmula general

EJEMPLO:EJEMPLO:RESOLVER LA ECUACIÓNRESOLVER LA ECUACIÓN

xx²-2mx = 3m²²-2mx = 3m²

Si se pasa 3m²al primer miembro, se Si se pasa 3m²al primer miembro, se ve que la ecuación puede escribirse ve que la ecuación puede escribirse

también en la forma.también en la forma.

xx²-2mx -3m²= 0²-2mx -3m²= 0

PRIMER METODOPRIMER METODO

POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORESPOR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES

(x-3m)(x(x-3m)(x†m)=0†m)=0

De donde se obtiene:De donde se obtiene:

X-3m=0 , x†m=0X-3m=0 , x†m=0

Y, por tanto,Y, por tanto,

X1=3m , x2=-mX1=3m , x2=-m

SEGUNDO METODOSEGUNDO METODO

Sumando mSumando m²en ambos miembros de la ²en ambos miembros de la ecuación dada, se obtieneecuación dada, se obtiene

x²-2mx+m²=3m²+m²=4m²,x²-2mx+m²=3m²+m²=4m²,Y extrayendo raíz cuadrada Y extrayendo raíz cuadrada

X-m=±2m;X-m=±2m;Luego Luego

X=m±2mX=m±2mEs decirEs decir

X1=3m , x2=-mX1=3m , x2=-m

TERCER METODOTERCER METODOEn el ejemplo propuesto se tiene a=1, En el ejemplo propuesto se tiene a=1, b=-2m, c=-3mb=-2m, c=-3m². Por tanto,². Por tanto,

2m±√4m²-4(1)(-3m²)2m±√4m²-4(1)(-3m²)X=X=

22 2m±√16m²2m±√16m²X=X=

22

2m±4m2m±4mX=X=

22

= {3m, -m= {3m, -m

ECUACION CON RADICALESECUACION CON RADICALES

Para resolver las ecuaciones con radicales Para resolver las ecuaciones con radicales se requieren tres pasos:se requieren tres pasos:

1.- Racionalizacion de la ecuación. Esto se 1.- Racionalizacion de la ecuación. Esto se consigue por elevaciones a potencias o consigue por elevaciones a potencias o mediante factores racionalizantesmediante factores racionalizantes

2.-Resolución de la ecuación obtenida2.-Resolución de la ecuación obtenida

3.-Verificación de las raíces encontradas en 3.-Verificación de las raíces encontradas en la ecuación original para desechar las la ecuación original para desechar las raíces extrañas que se hayan podido raíces extrañas que se hayan podido introducir en el proceso de racionalización.introducir en el proceso de racionalización.

EjemploEjemploResolver la ecuación:Resolver la ecuación:

√√xx+7 +1=2x +7 +1=2x Si se pasa el 1 al segundo miembro para aislar el radical se tiene:Si se pasa el 1 al segundo miembro para aislar el radical se tiene:

√√xx+7 =2x-1+7 =2x-1Y elevando al cuadrado ambos miembros, Y elevando al cuadrado ambos miembros,

xx+7=4x+7=4x²-4x²-4x+1+1De donde resulta la ecuacion de segundo gradoDe donde resulta la ecuacion de segundo grado

4x²-5x-6=04x²-5x-6=0Despejando x se obtieneDespejando x se obtiene

5± √25+965± √25+96X=X= 8 8

5± 115± 11X=X= 8 8

={ 2 , -3/4={ 2 , -3/4

RESOLUCION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADORESOLUCION GRAFICA DE LAS ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Se llama funcion cuadratica la funcion:Se llama funcion cuadratica la funcion:Y=axY=ax²+bx+c²+bx+c

Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, Para graficar una función cuadrática se deben tener por lo menos tres puntos, "las raices" y el vértice."las raices" y el vértice.

Grafiquemos Grafiquemos ff((xx) = ) = xx2 + 52 + 5xx - 6 - 6

La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) La ordenada al origen es - 6, por lo tanto sabemos que el punto (0, - 6) pertenece a la función.pertenece a la función.

Hallemos el vértice de la parábola:Hallemos el vértice de la parábola:  Ahora las raíces:Ahora las raíces:

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

Hallemos el vértice de la parábola: 

Ahora las raíces:

Con estos tres puntos podemos trazar la parábola:

Dibujemos la gráfica de Dibujemos la gráfica de f(x) =  x2  -2 x - 3f(x) =  x2  -2 x - 3

XX YY

-1-1 00

00 -3-3

11 -4-4

22 -3-3

33 00

44 55

Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y Determina, por este orden, las coordenadas de los puntos A, B, el vértice V y el punto C de la parábola el punto C de la parábola y = x2 - x + 1y = x2 - x + 1 . .

a.   A está situado en el eje Y, es decir sus a.   A está situado en el eje Y, es decir sus coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto coordenadas son de la forma A(0,y). Puesto que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, que A pertenece a la parábola, y = 02- 0 + 1, y = 1. Luego A = (0,1).y = 1. Luego A = (0,1).

b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = b.   B ha de ser de la forma (x,1), por tanto, 1 = x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de x2 - x + 1; 0 = x2- x, 0 = x · (x - 1) de soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).soluciones x = 0 y x = 1. Luego B = (1,1).

c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en c.   La 1ª coordenada del vértice está situada en el punto medio del segmento de extremos 0 el punto medio del segmento de extremos 0 y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene y 1, es decir, . La 2ª coordenada se obtiene con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. con la ecuación y = (0'5)2- 0'5 + 1 = 0'75. Las coordenadas del vértice serán V = Las coordenadas del vértice serán V = (0'5,0'75).(0'5,0'75).

d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo d.   Utilizando la simetría de la parábola puedo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo calcular la 1ª coordenada de C, x = 2. Por lo tanto, tanto,

y = 22-2+1=3. C = (2,3).y = 22-2+1=3. C = (2,3).

• Este método se puede generalizar a Este método se puede generalizar a cualquier parábola de ecuación cualquier parábola de ecuación y = ax2 + y = ax2 + bx + cbx + c y nos permitirá hallar el vértice de y nos permitirá hallar el vértice de forma inmediata.forma inmediata.

RELACIONES ENTRE LAS RAICES Y LOS RELACIONES ENTRE LAS RAICES Y LOS COEFICIENTESCOEFICIENTES

Puesto que en la ecuacion de segundo Puesto que en la ecuacion de segundo grado: axgrado: ax²+bx+c=0²+bx+c=0

Siempre se supone a≠0, se puede Siempre se supone a≠0, se puede dividir la ecuacion por este dividir la ecuacion por este

coeficiente y escribirla en la forma:coeficiente y escribirla en la forma:

xx²+(b/a)x+c/a=0²+(b/a)x+c/a=0

ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES REDUCIBLES A ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Para poder entender esta aplicación Para poder entender esta aplicación vamos a considerar alginos ejemplos vamos a considerar alginos ejemplos

simples de ecuaciones de grado simples de ecuaciones de grado superior que son reducibles a superior que son reducibles a

ecuaciones de segundo grado de la ecuaciones de segundo grado de la forma:forma:

avav²²+bv+c=0+bv+c=0

ASI:ASI:

4x^4-13x4x^4-13x²+3=0²+3=0

Haciendo: Haciendo:

xx²=v ²=v

Se obtiene la ecuacion de segundo grado:Se obtiene la ecuacion de segundo grado:

4v²-13v+3=04v²-13v+3=0

Resolviendo esta ecuacion tenemos:Resolviendo esta ecuacion tenemos:

1313±√169-48±√169-48

V=V=

88

1313±11±11

V=V=

88

V=V={ 3 , ¼ { 3 , ¼

Sustituyendo estos valores de v en xSustituyendo estos valores de v en x²=v ²=v resulta:resulta:

xx²=3 , ²=3 , xx²=1/4 ,²=1/4 ,

De donde se obtieneDe donde se obtiene

x1:= x1:= √3√3

X2= - √3X2= - √3

X3= ½X3= ½

X4= -1/2 X4= -1/2

Estos cuatro valores son todos raices de la Estos cuatro valores son todos raices de la ecuacion propuesta.ecuacion propuesta.

El numero de las raices de una ecuacion El numero de las raices de una ecuacion algebraica es siempre igual al grado algebraica es siempre igual al grado de la ecuacion.de la ecuacion.

En general, las ecuaciones de la forma:En general, las ecuaciones de la forma:aax^4x^4+b+bxx²+c=0²+c=0

Se llaman bicuadradas.Se llaman bicuadradas.

Haciendo Haciendo xx²=vse reduce a la ecuacion ²=vse reduce a la ecuacion cuadraticacuadratica

av²+bav²+bxx²+c=0²+c=0

La cual da:La cual da:

-b-b±√b±√b²-4ac²-4acV=V= 2 a2 aLuego:Luego:

-b-b±√b±√b²-4ac²-4acxx²²== 2 a2 a

De donde se obtiene:De donde se obtiene:

-b-b±±√b²-4ac√b²-4acX=X=±±

2ª2ªCoomo formula de la ECUACION BICUADRATICACoomo formula de la ECUACION BICUADRATICA

SISTEMAS CUADRATICASSISTEMAS CUADRATICAS

Se laman sistemas cuadraticas los sistemas de ecuaciones que contienen al menos una Se laman sistemas cuadraticas los sistemas de ecuaciones que contienen al menos una ecuacion de segundo grado y ninguna ecuacion de segundo grado superior al ecuacion de segundo grado y ninguna ecuacion de segundo grado superior al segundo.segundo.

EJEMPLOS:EJEMPLOS:

4X²-3XY=184X²-3XY=18

{{

2X+3Y=122X+3Y=12

xx²+xy+y²=3²+xy+y²=3

{{

2x2x²-y²=1²-y²=1

El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El segundo El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El segundo sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.

RESOLVER EL SISTEMARESOLVER EL SISTEMA

El primer sistema contiene una ecuacion El primer sistema contiene una ecuacion de segundo grado y una de primero. El de segundo grado y una de primero. El segundo sistema se compone de dos segundo sistema se compone de dos ecuaciones de segundo grado.ecuaciones de segundo grado.

11 xx²-3y²=15²-3y²=15

22 xx²+2y²=1²+2y²=111

EJEMPLOS:EJEMPLOS:RESOLVER EL SISTEMA:RESOLVER EL SISTEMA:

• En este caso las ecuaciones del En este caso las ecuaciones del sistema contienen solamente los sistema contienen solamente los cuadrados de las incognitas. Estos cuadrados de las incognitas. Estos sistemas se resuelven como los sistemas se resuelven como los lineales, resultando al final ecuaciones lineales, resultando al final ecuaciones de segundo grado incompletas de la de segundo grado incompletas de la forma xforma x²=a²=a

11 2x2x²-²-3y²=153y²=15

22 xx²+2y²=1²+2y²=111

Asi, en el ejmplo propuesto, comenzaremos Asi, en el ejmplo propuesto, comenzaremos por eliminar xpor eliminar x² para lo cual ² para lo cual multiplicaremos la segunda ecuacion multiplicaremos la segunda ecuacion por 2:por 2:

(1) (1) {{33} 2x²-3y²=15} 2x²-3y²=15(2) X 2 (2) X 2 {4} 2x²{4} 2x²+4y²=22+4y²=22(4) – (3)(4) – (3) 77y²=7y²=7 y²=1y²=1De donde se obtiene De donde se obtiene Y=1 ó y=-1Y=1 ó y=-1Sustituyendo y=1 en Sustituyendo y=1 en {2} resulta:{2} resulta:xx²+2=11 , ²+2=11 , xx²=9, ²=9, De dondeDe dondeX=X=+3 ó x=-3+3 ó x=-3Sustituyendo y=-1 en Sustituyendo y=-1 en {2} se obtiene otra {2} se obtiene otra

vez vez xx²=9, x=+3 ó x=-3²=9, x=+3 ó x=-3En resumen, el sistema admite las En resumen, el sistema admite las

soluciones que se indican en el cuadro soluciones que se indican en el cuadro siguiente:siguiente:

XX 33 -3-3 33 -3-3

yy 11 11 -1-1 -1-1

RESOLVER ES SISTEMA:RESOLVER ES SISTEMA:

{1} {1} xx²+y²=25²+y²=25

{{

{2} x+y=1{2} x+y=1

Los sistemas que se componen de una Los sistemas que se componen de una ecuacion de segundo grado y una de ecuacion de segundo grado y una de primero se resuelven pro sustitucion, primero se resuelven pro sustitucion, despejando una de las incognitas en la despejando una de las incognitas en la ecuacion de primer grado y sustituyendo su ecuacion de primer grado y sustituyendo su valor en la otra ecuacion. Asi, en el caso valor en la otra ecuacion. Asi, en el caso anterior, despejando y en {2} se tiene:anterior, despejando y en {2} se tiene:

{3} y=1-x{3} y=1-x

Y sustituyendo en Y sustituyendo en {1}:{1}:xx²+(1-x) ²=25²+(1-x) ²=25x²+1-2x+x²+1-2x+xx²=25²=25xx²-x-12=0²-x-12=0(x-4)(x+3)=0(x-4)(x+3)=0De donde:De donde:X1: 4X1: 4X2: -3X2: -3Sustituyendo x1=4 en {3} se Sustituyendo x1=4 en {3} se

obtiene obtiene Y1=1-4=-3,Y1=1-4=-3,Y sustituyendo x2=-3Y sustituyendo x2=-3Y2= 1Y2= 1+3=4.+3=4.Se tienen, pues, las soluciones:Se tienen, pues, las soluciones:

XX 44 -3-3

yy -3-3 44

RESOLUCION GRAFICARESOLUCION GRAFICALos sistemas cuadráticos, lineales, pueden Los sistemas cuadráticos, lineales, pueden

resolverse representando gráficamente resolverse representando gráficamente cada una de las ecuaciones del sistema y cada una de las ecuaciones del sistema y

determinando sobre el papel las determinando sobre el papel las coordenadas de los puntos de coordenadas de los puntos de

intersección.intersección.Para representar gráficamente la ecuación Para representar gráficamente la ecuación

del sistema estudiado anteriormente, del sistema estudiado anteriormente, comenzamos por despejar la y el la formacomenzamos por despejar la y el la forma

Y=Y=±√25-x²±√25-x²Y dando los valores a x establecemos la Y dando los valores a x establecemos la tabla que se observa al lado de la figura tabla que se observa al lado de la figura

EJERCICIOSEJERCICIOS

11 11 22 22

XX YY XX YY

-5-5 00 00 11

-4-4 33 11 00

-3-3 44 33 --22

00 55

33 44

44 33

55 00