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Author Mailing Adress Facultad de Ciencias (Matemticas) Ciudad Universitaria 50009 Zaragoza (Spain) Mariano Hormign Depsito Legal: 3248/95 ISBN: 84-89584-03-6 Portada: Jos Luis Cano Edita: Seminario de Historia de la Ciencia y de la Tcnica de Aragn - Facultad de Ciencias (Matemticas) - Ciudad Universitaria - 50009 Zaragoza (Spain) Imprime: FotoKopias s.l. - Corona de Aragn, 22-24 - 50009 Zaragoza (Spain)

Seminario de Historia de la Ciencia y de la Tecnica de Aragon Facultad de Ciencias Mariano Hormign

Paradigmas y Matematicas: Un Modelo Teorico para la Investigacion en Historia de las Matematicas8 Universidad de Zaragoza, 1995 Zaragoza, 1995

Este trabajo ha sido parcialmente financiado con cargo al proyecto de la CICYT PB94Cuadernos de Historia de la Ciencia 0559 Dedico este trabajo, que resume un pedazo de mi historia personal, a los siguientes profesores, algunos, por desgracia, ya fallecidos: Jos Antonio Garca-Junceda (+), Antonio Ferraz, Jos Luis Rubio de Francia (+), Carlos Pars, Eulalia Vintr y Ubaldo Martnez. Tambin a Rafael Rodrguez Vidal (+), Marif Yzuel, Salvador Miracle, Joaqun Snchez Guilln y a los restantes 32 compaeros de la Junta de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza que el 17 de marzo de 1981 me brindaron su apoyo generoso. Tambin a Jess Alczar (+), Mar Quemada (+) y a los PNN de la Universidad de Zaragoza del perodo 1980-1982, por lo mismo acrecentado y adems por haberme permitido conocer el sabor dulce de la solidaridad. Por ltimo, a los alumnos de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Zaragoza del curso 1980-81, que fueron a la huelga para luchar por el derecho a la libertad de abrir las ventanas del saber hacia todos los horizontes.

IndiceAgradecimientos Presentacin Paradigmas y Matemticas: Un modelo terico para la investigacin en historia de las matemticas 13 Parte I. La perspectiva de un historiador 1. Introduccin 2. Mis puntos de referencia 3. Planteamiento general del problema 3.1.El problema de las definiciones 3.2.Comunidades cientficas: individuos y colectivos 3.3.Paradigmas matemticos

Parte II. Paradigmas Matemticos 4.Los Paradigmas Matemticos Universales 4.1.El Paradigma griego 4.2.El Paradigma lagrangiano 4.3.El Paradigma hilbertiano 5.Sic transit pax mathematicorum 6.El problema de la modernidad

AgradecimientosEn trabajos de la dimensin temporal de la que en este libro se presenta son muchos los recuerdos en los que se precisan sentimientos de gratitud. Incluirlos a todos aumentara considerablemente el tamao de este epgrafe y eso pondra nerviosos -una vez ms- a todos los colegas que no tienen ms recipiendario de gratitud que el jefe de turno. Por eso, entre otras razones, voy a concentrar la nmina en aquellas personas que me han ayudado de manera concreta en el proceso de edicin de esta obra. En primer y destacado lugar y por todo tipo de razones quiero dejar constancia de mi agradecimiento a mi compaera Elena, sobre todo por haber soportado con estoicismo la sobrecarga de trabajo que ha supuesto la materializacin impresa de esta empresa. Quiero tambin destacar mi gratitud hacia Jos Javier Martnez Fernndez, por la minuciosa lectura del texto de los Paradigmas y Matemticas y por haber puesto a mi disposicin los documentos de su archivo personal relativos al curso 1980-81, cuando el hoy Prof. Martnez Fernndez era Delegado de 2 de Matemticas de la Facultad de Ciencias de Zaragoza. Tambin ley el citado manuscrito el Prof. Serguei Kara-Murz, lo que propici una interesantsima discusin entre nosotros -en la que aprend muchsimo- y sirvi para pulir algunos detalles del discurso. Como los tiempos cambian a mejor, debo dejar pblica constancia de las facilidades y ayudas recibidas del Decano de la Facultad de Ciencias de Zaragoza para la publicacin de este libro. Mariano Hormign Zaragoza, julio de 1995 Presentacin Este libro es producto de un proceso de larga gestacin. Las ideas fundamentales sobre los Paradigmas y Matemticas se articularon en los das de elaboracin de mi tesis doctoral y constituyeron el Captulo I de la Memoria con la que opt y consegu el grado de doctor, aunque el periodo de tiempo transcurrido entre la opcin y la conclusin fuera ms largo que el que la costumbre universitaria permita presumir. Los avatares vividos por las ideas que se contienen en este trabajo se relatan de una forma no exhaustiva en el Desahogo epilogal. Su perfeccionamiento habr que dejarla para posterior ocasin monogrfica. De la lectura de esta parte final del libro podr entenderse sin excesiva extraeza que mi fervor sobre el tema de los Paradigmas quedara aparcado en los trminos reflejados en el Captulo I de la tesis y de los trabajos que present en las Jornadas Hispano-Lusas de Matemticos de San Feliu de Guixols en 1980 y del I Simposio sobre Metodologa de la Historia de las Ciencias que se reuni en

Madrid en octubre de 1981. En primer lugar, mis discipulos/as y colaboradores, que me instaban a completar el tema de los Paradigmas en el sentido expuesto muchas veces en cursos de doctorado, seminarios y conferencias, y tambin la insistencia de algunos colegas espaoles y extranjeros en la misma direccin -entre los que querra destacar la amable contumacia de Mario Otero, de la Universidad La Repblica de Montevideo, y LuboNov, de la Academia de Ciencias de Praga- me ayudaron a no poderme olvidar de un tema sobre el que prcticamente no escrib una lnea en ms de diez aos. Por fin, lleg el momento. Fue en el XIX Congreso Internacional de Historia de la Ciencia -cuando muchas personas bienintencionadas nos deseaban un largo periodo vacacional, tras el considerable esfuerzo dedicado a la preparacin, organizacin y celebracin de la reunin- cuando pens que podan reunirse las condiciones adecuadas para probar las ideas sobre los Paradigmas por medio de la convocatoria de un encuentro internacional al ms alto nivel en el que, en la medida de lo posible, participasen los mejores historiadores de las matemticas del mundo. Lo posible estaba condicionado, obviamente, por la disponibilidad de gente importante para querer visitar Zaragoza en un intervalo de trece meses y por la voluntad de estos investigadores de acudir a discutir en torno a unas ideas concretas sobre Paradigmas y Matemticas con aportaciones especficas. Indudablemente, para el buen desarrollo del debate, haba que presentar una amplia panormica conceptual sobre la que pudieran articularse las propuestas sobre paradigmas, estilos y revoluciones de las diferentes perspectivas de los distintos autores. As se convoc en el otoo de 1993 la reunin y a la iniciativa respondieron Ivor Grattan-Guinness (Middlesex), Joseph Dauben (Nueva York), Serguei Demidov (Mosc), Christine Phili (Atenas), Eckart Leiser y Reinhard Siegmund-Shultze (Berln), Sergio Nobre (UNESP-Ro Claro), Leo Corry (Tel Aviv), LuboNov, Mario H. Otero (Montevideo), Chavdar Lozanov (Sofa), Alexander V. Soldatov (San Petersburgo), Liviu Sofonea (Brasov) y J.C.B. Tiago de Oliveira (Evora). De los participantes extranjeros que haban anunciado su presencia, solamente Jean Dhombres (NantesPars) se vio imposibilitado a la hora de realizar el viaje por tristes problemas familiares. Entre los espaoles que aportaron sus ideas a la reunin cabe destacar a Mary Sol de Mora, Javier de Lorenzo, Javier Echeverra, Alberto Dou, Jos Llombart, Juan Navarro, adems del elenco zaragozano formado por Elena Ausejo, M Angeles Velamazn, Fernando Vea y yo mismo. Los trabajos ms notables presentados han sido recogidos en un volumen que con el mismo ttulo que la reunin ha sido editado por la Editorial Siglo XXI de Espaa Editores en 1995. Zaragoza, julio de 1995

Paradigmas y Matematicas: Un Modelo Teorico para la Investigacion en Historia de las MatematicasFelix qui potuit Virgilio (Georg., II, 490)

PARTE I La perspectiva de un historiador 1. IntroduccinEl mundo de los cientficos es cada vez ms complejo, ms conflictivo y, en algunos momentos, aparentemente confuso. Los cientficos actuales pueden estar inmersos en varios marcos distintos.

En un primer grupo se instalan los buscadores desinteresados de la verdad. En espritu son coincidentes, de hecho, con los planteamientos bsicos galileano-newtonianos que caracterizan el nacimiento de la ciencia moderna. Otro grupo importante, fundamentalmente afincado en instituciones de tipo docente, lo constituyen los esteticistas, partidarios del estudio y trasmisin de las ideas matemticas en funcin de su perfeccin y belleza. Esta especie de corriente neoplatnica tiene cierta importancia entre los cultivadores de las restantes ciencias formales y entre las ramas tericas de las experimentales. El tercer grupo lo forman los utilitaristas inmediatos, adscritos primordialmente a instituciones o lneas de investigacin de resultados prximos, visibles y materializables. Constituyen un sector bastante bien remunerado econmicamente. Por supuesto, quedan algunos que piensan que la ciencia debera ser una herramienta de liberacin de los quebrantos morales y, sobre todo, materiales de la mayora de las personas y de pertrechamiento crtico ante las memeces y mentiras que proliferan en los ambientes intelectuales. Por penltimo, el sector tcnico, reproductor de ciencia normal aideolgica, no se reclama de ningn paradigma, de ninguna escuela, de ninguna corriente, de ningn sistema de pensamiento y simplemente utiliza la ciencia sin preocuparse en absoluto de dnde surge, qu objetivos tiene, para qu sirve o cules son las corrientes en las que debiera servir. Adems estn los filsofos. Le tomar prestada a propsito una idea a Medawar: la filosofa es actividad intelectual peligrosa que, por la mana de algunos de hacerla larga, esotrica y plmbea, se convierte en tediosa y aburrida(1). No tendra porqu ser as, pero la necesidad de rigor y precisin en los conceptos y en el lenguaje ha ido articulando esotricos cuerpos de doctrina de comprensin enormemente complicada, hasta tal extremo que todo lo que es farragoso y aparentemente complejo, cuando no es ciencia, es filosofa. El summum del difcil entramado se encontrar, por tanto, en la filosofa de la ciencia, conjunto de sublimes saberes con los que podrn desentraarse los recnditos misterios de la Naturaleza, los de la sociedad, los de la gnosfera de Vernadsky y todas sus interrelaciones. Todo un programa que puede venderse -y comprarse- porque se aparenta libre de todo tipo de contaminacin espuria en una inconfesada reminiscencia del mismsimo Platn. Entre las cosas que se han escrito sobre filosofa de la ciencia en los ltimos aos, salvando el respeto a la necesaria servidumbre que algunos grandes tratados -como el imprescindible de Geymonat(2)- imponen, una de las que ms me ha interesado es el ensayo de definicin que Panza ha elaborado como introduccin a su trabajo sobre las ideas de Gonseth(3). Para Panza la filosofa de la ciencia no era el nombre de una disciplina hasta comienzos del presente siglo, cuando se ha producido "un mouvement double qui n'a (...) qu'une seule origine: la conviction que quelque chose existe qu'on appellerait la science qui par ses modalits d'tre et de manifestation, reste diffrente de quelque chose d'autre, qu'on appellerait la philosophie; domaine l'un de l'exactitude, de la prcision, de la fidelit l'exprience sensible, ou bien de l'aridit, de l'troitesse, de la pauvret d'esprit, l'autre du vague, de la mtaphore, des fantasmes, ou bien de la totalit, de la plnitude, de la richesse d'horizons". Panza considera que una gran parte de la filosofa de las ciencias de nuestra poca es hija de esta concepcin, con sus luces y sus sombras, con sus aportaciones concretas a la ciencia y a la filosofa. Digmoslo en sus propias palabras(4): "Bien que cette tentative ait, aux fils des annes, abouti des rsultats qui ont enrichi la pense par la mise en lumire de certains problmes (comme, par exemple, celui de la dmarcation ou des critres de controlabilit des hypothses universelles) qui taient rests auparavant cachs, ou d'aspects nouveaux de problmes classiques (comme l'est, par example, le cas du problme de l'induction), elle a aussi pouss les rflexions d'une communaut de plus en plus large d'individus vers des directions bouches, au point de conduire l'inmobilit. Elle a, de principe, encourag et lgitim une rflexion sur la science en gnral, trangre par principe et par vocation aux contenus spcifiques (techniques) de toute thorie particulire (comme si une science gnrale et non

particulire pouvait exister); une rflexion qui n'a pas vis faire ressortir ce que dans tout particulier et spcifique il y a de gnral et d'universel, ni exprimer de la manire la plus ouverte et simple, mais qui s'est transform, en revanche, dans une habitude considerer la spcificit et la particularit des objets relevant d'une technicit comme dpourvue de tout intrt philosophique et substituer l'exigence d'un registre large (et, sans doute, en quelque sorte double) de spcificits par la thorisation d'une gnralit, pour ainsi dire en soi, possible et profitable. Derrire le masque de son exactitude et de sa rigueur, la philosophie des sciences, pense comme discipline, a, au fil du temps, perdu toute vocation la comprhension d'une alterit quelconque; elle s'est replie sur son langage, sur sa mme tradition, sur la dfense de ses frontires disciplinaires". Situmonos, pues, ah para construir la trama del discurso. Ello no obstante, adelanto que yo, haciendo pblica confesin de mis limitaciones intelectuales, debo declarar y declaro que no alcanzo a dominar ese universo conceptual, para el que no me prepar adecuadamente en mis aos mozos y no he sido suficientemente diligente y estudioso en los muchos que me cayeron encima despus para poder aprehender en mi limitado cerebro todas las sutilezas de la ciencia en general y cada una de las ciencias en particular, ingrediente necesario de los sistemas filosficos y de su sistema de preguntas y respuestas mutuas. Mi instruccin alcanza a las matemticas que aprend en su momento y a la historia de su devenir y el de sus parientes ms prximas. Por lo tanto, el meollo de mis preocupaciones filosfico-cientficas se encuadra de forma preferencial en esos mbitos y las preguntas clave cuya respuesta se me ha hecho ms necesaria han surgido tambin de consideraciones ntimamente vinculadas a esos captulos intelectuales. An podra precisar ms, porque qu es en definitiva la ciencia sino precisin? Afinando, pues, sealara que, a pesar de la tinta vertida a lo largo de los siglos por filsofos, pensadores en general, cientficos y profesionales del ramo sobre las matemticas, no tengo claras algunas cuestiones, y pido excusas por la insolencia terica de pensar que no lo estn. Aunque a lo largo del presente escrito se irn desgranando otros detalles, sealara como entrante del men dos de ellas. La primera es tan general y directa que casi pretende esconderse ya en la batera de cuestiones que se formulan sobre las matemticas: la relativa a su unidad o su pluralidad. Cuanto ms se insiste en el escurridizo concepto de la unidad de las matemticas, entronizado por Hilbert(5) en la solemne puesta de largo del Segundo Congreso Internacional de Matemticos de 1900 -al que visitar de nuevo posteriormente-, ms se complica un panorama plural, una de cuyas fronteras histricas, la que separaba el quehacer matemtico del de los fsicos tericos, est prcticamente borrada. Un penetrante y bien pertrechado filsofo como Albert Lautman abord el problema de la estructura y la tensin unidad-multiplicidad de las matemticas en sendos ensayos(6). En el relativo al estudio de la unidad de las matemticas contemporneas seala que su fin es(7) "seulement de caractriser dans leurs ressemblances communes les diverses thories qui (...) ont pour objet l'tude de la structure globale d'un tout"(8). Sin embargo, la idea del todo se ve obligada a coexistir, en principio pacficamente, con el derecho profesional de quienes se mueven cuantitativamente en el terreno de otras ciencias naturales, sociales, humanas, por no hablar de las tcnicas. Hilbert sealaba en un emblemtico trabajo sobre el pensamiento axiomtico que "los ms importantes pensadores en las matemticas han mostrado un constante inters por las leyes y, en general, por el orden que priva en las ciencias vecinas"(9). Dicho en otras palabras, tan clsicas que casi podran orse en las tertulias de los enteradillos que se han puesto de moda en los ltimos aos en los medios de informacin audiovisuales: propiamente hay que hablar de matemtica o de matemticas? o, reenunciado para evitar contratiempos lingsticos, es la matemtica una, singular, o es un concepto indefinido y por lo tanto plural? Hasta hace poco ms de un siglo esta dicotoma casi hubiera carecido de sentido, ya que hasta entonces el borde de separacin de la ciencia prncipe con el resto del mundo era ntido y los matemticos defendan orgullosamente su baluarte ante los ataques de las restantes actividades

intelectuales. Hoy el asunto ya no est tan claro. El prestigio -matemtico- de fsicos e ingenieros ha movido los cimientos de las torres de marfil de los puretas a ultranza y, como ya he apuntado antes, las fronteras se difuminan a velocidad apreciable. El problema tiene su enjundia a pesar de su simplicidad -o es, como siempre, enjundioso porque tiene un enunciado claro y simple?-. Dejmoslo aqu, de momento, para enunciar otro problema que me surgi estudiando el concreto tema de la historia de las matemticas en Espaa. Aqu, desde los tiempos de la llamada polmica de la ciencia espaola, ha habido una obsesin valorativa sobre la cuestin de la modernidad de las producciones que en esta rama del conocimiento han hecho los espaoles. La frmula utilizada para demostrar la posible obsolescencia de las matemticas de una determinada poca, consistente en comparar lisa y llanamente ttulos y contenidos de libros espaoles con otros elegidos de la literatura cientfica mundial, nunca me pareci rotundamente convincente. Al fin y al cabo el conocimiento y estudio de tpicos considerados importantes varios siglos despus no creo que sea razn suficiente para estimar la vala no slo intrnseca sino global de la obra de un autor. Por si fuera poco, las vidas cientficas cotidianas parecen ratificar como excepcin el conocimiento de todas las novedades que un conjunto concreto de personas produce en una determinada poca. Desde luego la nuestra es una corroboracin de esta aprensin. Hoy no hay nadie que domine toda una macrorea de conocimiento como las matemticas o la fsica, por ms que haya funcionarios en algunos pases que aspiren a pasar por sabios de ese estilo. Mas no es slo cuestin de mirar a la segunda mitad del siglo XX con su pltora inabordable de informacin en todas las ramas del saber en casi todos los pases(10): hace varios siglos que el saber se ha hecho grande y que los cientficos, salvo escassimos casos que se pueden contar con los dedos de muy pocas manos, han conocido unas cosas y otras no. Si recorremos hacia atrs la lnea del tiempo, las dificultades de comunicacin complican an ms el problema de establecer la lnea que delimita la modernidad. Problema que en mi cerebro tuvo un origen espaol, pero que en absoluto es ajeno a las preocupaciones de muchos otros pases. Franceses y alemanes, en una cierta emulacin de la madrastra de Blancanieves sobre la belleza, llevan siglos preguntando a su particular espejo mgico quin es el ms moderno. Otros pases no son en absoluto excepcin. Podra por tanto escudriarse algn tipo de patrn objetivo sobre el que poder contestar ms o menos certeramente el problema de la modernidad de una produccin matemtica? Estas dos preguntas, en principio inconexas, se juntaron un da al profundizar sobre el estudio de las matemticas contemporneas desde una perspectiva espaola y, por lo tanto, perifrica, pero alguna vez haba que hacerlo. Habitualmente los perifricos estamos acostumbrados a escuchar con estoicismo lo que se nos dice desde el centro -o desde los centros- sobre qu es lo que hicimos bien y lo que hicimos mal en matemticas y en casi todos los rdenes de la vida(11); por una vez, y en el mbito de las matemticas, no creo que se tome por descaro imperdonable la formulacin de algunas ideas surgidas desde la periferia. Claro que avanzar en nuestros das una hiptesis de trabajo que encuadre las elaboraciones tericas que en el terreno de las matemticas se realizaron hasta ms o menos los treinta primeros aos del siglo XX es ciertamente un problema arduo, aunque necesario. Es arduo porque la tinta vertida sobre algunos tpicos, como por ejemplo el problema de los fundamentos de la ciencia en general y de las matemticas en particular, es copiosa, pero, no obstante, la dificultad no excusa la necesidad, ya que las respuestas no son sino una sucesin de aproximaciones con las que se van construyendo conclusiones no necesariamente sucesivas ni convergentes, pero que s aportan sucesivamente luz sobre el tema. Como he apuntado ya, el anlisis reflexivo sobre las matemticas ha estado desde hace dos siglos en el ncleo del pensamiento filosfico, al igual que en otros momentos de la historia, como la antigedad clsica en el lado heleno o en determinados mbitos renacentistas e ilustrados. Lo que parece sntoma ms novedoso en las dos ltimas centurias es que la filosofa de la ciencia no ha podido perder de vista en ningn momento el cataclismo terico que las ideas matemticas elaboradas en el siglo XIX supusieron para todo el edificio conceptual de la ciencia y, por tanto, de la filosofa que reflexionaba sobre ella. Adems, la situacin del conjunto de las ciencias respecto de las matemticas -y muy especialmente la fsica- ha supuesto que el nivel cientfico de los

diferentes saberes se mida en funcin del grado de utilizacin del aparato instrumental matemtico, resultando que cualquier modelo de anlisis terico ha situado en el centro de sus preguntas fundamentales las relativas al hecho matemtico. Naturalmente, para no parlotear en el vaco -lo que puede ocurrir cuando uno se aproxima a un tema tan extenso y con tantas aristas y perspectivas- es obligatorio fijar algunos elementos de referencia. Pero, indefectiblemente, el marco exige como poco una delimitacin y alguna opcin previa que a modo de aparato axiomtico ayuden a comprender algunas de las reglas del juego. Desde 1931, ao de celebracin del II Congreso Internacional de Historia de las Ciencias en Londres, los historiadores de la ciencia del ancho mundo han definido sus posiciones de una manera terminante respecto de sus concepciones bsicas. O han dejado de hacerlo, lo que no ha dejado de suponer una aclaracin bastante rotunda de sus posiciones. Se diga lo que se diga, esto ha condicionado la evolucin posterior de la teora de la ciencia. Mas despus de la Segunda Guerra Mundial, o al calor de la Guerra Fra, hemos asistido a una ofensiva del mismo Popper y de algunos discpulos postpopperianos en el sentido de intentar una tercera va entre las lneas de desarrollo materialistas e idealistas en el rea del anlisis histrico de la ciencia que ha colocado en el candelero del inters general -casi popular- un tema ideolgico: es la ciencia -o sea el conocimiento- una variable cuyo desarrollo escapa a la explicacin marxiana? Desde luego que una respuesta en sentido afirmativo seguira teniendo mucho valor de uso y de cambio en el mundo de nuestros das para determinadas fuerzas econmicas, polticas y sociales que, a pesar de su supuesta victoria en el terreno geopoltico, siguen merecindose similar comentario al que Unamuno dirigi a las fuerzas de Franco en la ltima de las contiendas civiles de Espaa: han vencido, pero no han convencido. Las exteriorizaciones impresas de Lakatos(12) mostraron claramente el hecho de que la filosofa de la ciencia actual no slo no ha sido ni es neutral, sino que est imbricada en el confrontado mundo de nuestros das. Y que cualquier resultado, por banal que parezca, tiene implicaciones de tipo extraconceptual(13). Aunque el reconocimiento de que la ciencia es un fenmeno social no puede ser, por evidente, una conclusin para un trabajo de investigacin, por ms que este Mediterrneo an est deliberadamente y aparentemente oculto para muchos autores, hay que convenir que esta posicin se debe, en ms de una ocasin, a la defensa de intereses muy concretos y a menudo poco confesables. Pero la ofensiva popperiana y postpopperiana lleg y en buena medida sigue ah con toda su pujanza y todo su atractivo. Al fin y al cabo, Popper ha tenido al servicio de la difusin de su pensamiento a muy poderosos aliados que le sostenan en su cruzada antimarxista(14). Una posicin frontal basada, segn uno de los exgetas del Coloquio de Cerissy(15), en la condena de las ideas de Marx "en raison des consquences antidmocratiques qu'elles ont eu dans l'histoire relle de l'humanit". Casi al mismo tiempo llegaron con bastante fuerza las doctrinas filosfico-cientficas de sus seguidores(16). De los fieles y de los que tenan que jugar el papel de leves crticos. Y entre stos justo es reconocer que las formulaciones tericas de Lakatos, Kuhn y Feyerabend(17), por citar a los ms notables jefes de fila dentro del territorio de los asuntos relacionados con la ciencia, han irrumpido en los ltimos treinta aos en los medios intelectuales con un impacto tal que han conseguido empaar en cierta medida las interpretaciones sobre la gnesis y evolucin de las ciencias que se crean consolidadas desde bastante tiempo atrs y, con especial acento, desde la dcada de los treinta. Entre todo el bagaje conceptual postpopperiano, la artillera terminolgica de Kuhn ha recibido muchsimos plcemes porque, adems de su escaso compromiso externo, las formulaciones de algunos de sus elementos bsicos (ciencia normal, revoluciones cientficas, etc.) permiten una versatilidad que otros ensayos de aproximacin difcilmente tienen. Como deca el recientemente desaparecido Mikulinski, el libro central de Kuhn de 1962, The Structure of Scientific Revolutions(18), sirvi para apuntalar las debilitadas posiciones del internalismo en un

momento en que sus defensores estaban en franca retirada de la escena intelectual(19). Aclaradas mis reglas del juego ms profundas, a saber, que los hechos en la historia nunca pueden explicarse hasta total satisfaccin en una visin aislada y separada de las mltiples variables que impone la vida, es claro que hay una costumbre intelectual -y el propio oficio de historiador de la ciencia o de lo que sea lo demuestra- de construir conceptos e historias en atencin a variables especficas. En ese sentido y segn ese peculiar derecho consuetudinario, espero que no se tome por incalificable atentado escudriar los hechos matemticos desde el punto de vista de la historia del pensamiento, aunque declaro con una cierta solemnidad que, en mi opinin, se trata de un enfoque sesgado de la cuestin. Se trata de una reflexin que tiene algo de experimento de laboratorio de ideas. Cabe hablar de un mundo interno, exclusivo, del pensamiento matemtico? o, en otra formulacin, son las matemticas una realidad aislable? son dos expresiones equivalentes a las que hemos presentado ms arriba como formulacin de las inquietudes que se han presentado como origen remoto de este trabajo. La respuesta precipitada e irreflexiva en cualquiera de las dos posibles direcciones extremas podra acarrear una infinidad de contraejemplos y, sin embargo, este tipo de posiciones se han mantenido durante siglos -y por supuesto ahora- por gente muy entendida en ste y otros asuntos relacionados. Hay matemticos, entre los que los casos ms conocidos pueden ser Hardy(20) y Dieudonn(21), que defienden las matemticas intiles como una perla, y tienen adems la delicadeza de no aadir que en una cinaga de pragmatismo. Titchmarsh, en los aos posteriores a la Segunda Guerra Mundial, lanzaba al pblico no iniciado esta curiosa reflexin(22): "Hay partes de las matemticas que son tiles. Los astrnomos dieron la bienvenida a los logaritmos porque simplificaban sus clculos. La teora de las ecuaciones diferenciales permite a los ingenieros calcular cosas como el fluir del agua en las tuberas. La teora de los operadores lineales permite a los fsicos hacer hiptesis sobre el tomo. Pero los verdaderos matemticos no cultivan las matemticas por estas razones (...) Los que cultivan las matemticas puras lo hacen para proporcionarse una satisfaccin esttica, que pueden compartir con otros matemticos, y tambin porque les resulta divertido". Siempre, y tambin desde luego en tiempos mucho ms recientes, est presente la moderna obsesin esteticista de profunda raz copernicana o incluso clsica. As, Moshe Flato, al analizar el fracaso del credo bourbakista, seala(23): "[La] passion, qui surprend souvent les non-initis et qui suscite parfois leur ironie sinon leurs sarcasmes, exprime volontiers ses mobiles en germes esthtiques: qui n'a pas entendu un mathmaticien parler d'un beau thorme ou d'une dmonstration lgante". Por otra parte, para otros, y muy sealadamente para intelectuales no matemticos, las matemticas son una especulacin de la mente por medio de las cuales, segn la famosa expresin de Lenin(24) fuertemente inspirada por cierto en A. Rey-, es bastante posible reducir la materia a ecuaciones. La tensin entre ambas perspectivas -tras el peculiar y discreto culto de Gauss a la aritmtica- se hizo patente a partir de la aparicin en escena de las geometras no eucldeas y est sin resolver en la teora, aunque no en la prctica, sobre todo en la de los fondos dinerarios dedicados a la investigacin de cualquier pas desarrollado del mundo. Estudiar la realidad del hecho matemtico en el mbito planetario o en cualquier comunidad cientfica, sobre todo a partir de la Revolucin Francesa, impone tener en cuenta puntos de referencia en ambos campos de gnesis matemtica para poder avanzar en el conocimiento de su estructura aproximada, ya que, como obra de creacin humana que es, siempre quedarn flecos de difcil racionalizacin. Es el captulo nada representativo ni significativo de los llamados genios. Las matemticas, como todas las dems ciencias y bastantes de las artes, son resultado del trabajo personal y del colectivo en que las personas desenvuelven su actividad. Incluso la imaginacin y la capacidad de establecer analogas creadoras se favorece tambin con un adecuado entrenamiento. Al fin y al cabo, lo ms positivo del mundo que la Humanidad comenz a construir hace doscientos aos es la posibilidad y el derecho

de las mayoras y minoras carentes de cualidades excepcionales a elaborar cosas positivas, entre ellas la ciencia.

2. Mis puntos de referenciaLa Primera Guerra Mundial dej unas sorprendentes secuelas en el terreno cientfico y tcnico. El inmenso laboratorio que constituyeron los campos de batalla y los elevados rendimientos destructivos obtenidos de la aplicacin directa de la ciencia al objetivo blico transformaron rotundamente la valoracin social de la ciencia. El positivismo, que haba alentado el desarrollo de las ciencias -a veces de forma un poco pueril- en el siglo XIX, se convirti en una necesidad imperiosa para animar el perfeccionamiento defensivo de los ms potentes estados. Las implicaciones destructivas de la ciencia se hicieron tan evidentes que se produjo una generalizacin uniforme sobre la actividad de los cientficos profesionales. Las secuelas de esta generalizacin fueron, adems de falsas, nocivas. En efecto, en la opinin pblica se asoci la idea de sabidura cientfica a la de utilizacin blica. En el interior de la comunidad cientfica se eludieron ostentosamente las aplicaciones concretas que su trabajo pudiera tener. Y, aunque se siguieron realizando reuniones cientficas, se respet unnimemente el criterio de desconectar el contenido del trabajo cientfico de los resultados que pudieran obtenerse de ese trabajo. La actitud de los estados ms potentes econmicamente tambin cambi, detrayndose fondos especficos para programas de investigacin concretos, normalmente secretos. Del esfuerzo econmico de los estados, de la opinin general y de la actitud de los cientficos tuvo perfecta conciencia el mundo tras el resultado de proyectos como el que se desarroll en Los Alamos(25). Y ese proyecto, a pesar de su grandiosidad cientfica, representa la prehistoria respecto a la organizacin de la investigacin cientfica en dcadas ms prximas a nuestros das. Las actitudes de los cientficos que participaron en la creacin de la bomba atmica tambin son conocidas: unos se encogieron de hombros manifestando que no era cosa suya; otros, como Leo Szilard -uno de los hombres claves de aquel programa- abandonaron la fsica en 1946, cuando se enteraron de los resultados de su sabidura; y, entre otros, Einstein manifest: ojal me hubiera hecho fontanero! El complejo panorama de la ciencia contempornea, para no evidenciar la servidumbre destructiva de la mejor dotada ciencia institucional, gener otra componente representada por el oficio tradicional y aparentemente inocuo de la ciencia. Esa otra componente es el cientismo. El cientismo signific -y significa- el regreso de las posiciones tericas absolutas sustentadas en fuentes epistemolgicas prekantianas. Los presupuestos cientistas fueron bien recibidos por las clases dominantes de los estados interesados en la inversin econmica progresiva en reas cientficas de utilidad concreta, generalmente ms cara, no divulgable y de intereses menos confesables. El cientismo era -y es- una maniobra de diversin. La misin de escaparate cientista le fue confiada a la Universidad, en la que no se poda prescindir de su labor investigadora, pero sin importar (econmicamente) de forma excesiva los resultados que globalmente se obtuviesen de tales estudios. As de sencillamente se oper el proceso de separacin de las dos vas de trabajo cientfico que quedaron institucionalizadas tras la Primera Guerra Mundial. Semejante dilema -aunque no siempre planteado explcitamente- entre trabajo y resultados de dicho trabajo tom cuerpo en trminos de contradiccin entre la necesidad (estatal) y la libertad (personal) de investigacin. Por ello resulta coherente histricamente el retorno a los planteamientos positivistas de corte radical en el periodo de entre-guerras, como puede comprobarse por el barullo organizado por el Crculo de Viena sobre temas como el criterio de verificabilidad(26) -sobre lo que insistir enseguida-. Mas, por el principio de accin y reaccin, las situaciones que se distinguen por su clara crudeza generan movimientos contrarios ms explcitos cuanto ms directa es la actuacin institucional. As, ante la evidencia de las lecciones de la guerra y los avatares histricos subsiguientes, comenz a desarrollarse una nueva tendencia de interpretacin de la ciencia, de lenta progresin cuantitativa, que comenz por el establecimiento de un enfoque distinto de su propia historia. Esta tendencia, que se adscribira posteriormente bajo el calificativo de social, aportaba una argumentacin slida

para explicar la fijacin y el desarrollo de las ideas cientficas, su relacin con las fuerzas productivas o destructivas, y sobre la configuracin definitiva de determinadas reas y lneas de investigacin. La escuela inglesa de historia de la ciencia, una de las comunidades cientficas ms interesantes del siglo, tuvo su portavoz ms genuino en John D. Bernal, que hay quien considera uno de los pensadores ms importantes de este campo en lo que va de siglo(27). Y, por si valiera como prueba del inters que la obra cumbre de Bernal, la Historia social de la Ciencia, ha venido suscitando quede recordada su ininterrumpida reimpresin del texto original desde 1954(28). La aportacin de la escuela crtica britnica supone la adicin de una componente fundamental para la comprensin correcta de los procesos cientficos. Pues si bien esta metodologa histrica no es suficiente para explicar el nacimiento, surgimiento o irrupcin de una determinada teora cientfica, ni es concluyente respecto a la lgica interna de los experimentos cruciales, s que resulta inapelable en la explicacin de los procesos de consolidacin de tales teoras y en la consideracin institucional e impulso subsiguiente de las mismas. Por esta va se han hecho admisibles y necesarios los estudios sobre la incidencia de la ciencia en el anlisis de la situacin de determinados entornos ideolgicos o sociales (y viceversa). En definitiva, este tipo de enfoque ha hecho aflorar en forma mejorada algunos de los postulados bsicos del periodo ilustrado. Porque las ciencias tiles han vuelto a aparecer de forma inequvoca -aunque a veces la utilidad sea fatal- en el concierto mundial, al igual que ha reaparecido la idea de progreso asociado al estudio de las ciencias fsicas y naturales y algo tambin de las formales. Esta humanizacin de los objetivos de la ciencia, visible en ambas direcciones -blica o de progreso-, es un elemento ms de crisis en el difcil equilibrio de intenciones y realidades del mundo cientfico. Digamos, adems, que las matemticas siempre han gozado entre los filsofos profesionales, salvo las excepciones dimanantes de los momentos de mayor furor religioso, de buena opinin. Cuando menos por dos razones. Por una parte, las matemticas en la cultura occidental han ocupado un estratgico punto de partida en la consolidacin del pensamiento griego(29). Por otra, el tradicional carcter tautolgico de sus proposiciones las ha mantenido en una respetable posicin de aproximacin a la verdad, cuando no se han identificado con la verdad misma. Adems las matemticas, en lo que les ha sido dado conocer a conjuntos humanos no especializados, han permitido ganar seguridad en una de las ms importantes aspiraciones humanas, cual es la de predecir; predicciones que, en ocasiones, han llegado a permitir completar el paisaje del Universo(30). Por ltimo, las matemticas han solido desarrollarse al margen de las controversias que han agitado las estructuras conceptuales de otras disciplinas cientficas con mayores implicaciones ideolgicas en la batalla de lo cotidiano, esto es polticas, como en su da la astronoma o, en tiempos ms prximos, la fsica o la biologa. Sin embargo, las paradojas internas y externas, surgidas o planteadas desde fuera o desde dentro, y la aparicin de teoras matemticas lgicamente consistentes -o sea, verdaderas- pero no intuibles en el espacio fsico ordinario admitido como real, plantearon en el siglo XIX una convulsin suficiente para atraer la atencin tanto de los filsofos profesionales como de los propios matemticos hacia la reflexin sobre el problema de los fundamentos y del desarrollo de las teoras matemticas. No voy a entrar en el cuerpo a cuerpo concreto de discutir o simplemente resear las opiniones de quienes desde los diversos sistemas y teoras se ocuparon de repensar las matemticas desde los mismos aos de la formulacin del clculo y de la mecnica clsica, no porque no tenga inters, que lo tiene y mucho, sino por no alargar an ms el proemio introductorio al meollo de la cuestin. Ello no obstante, como quiera que entre lo que se promete se encuentra el trmino paradigmas y stos tienen una genealoga filosfica concreta, habr que hacer una visita a las races de las que se han nutrido algunos de los filsofos contemporneos de la ciencia que ms han influido en los medios dominantes de este atormentado fin de siglo. A comienzos de los aos veinte un grupo de filsofos, entre los que destacaron Carnap, Feigl,

Frank, Gdel, Schlik y otros, se plantearon de nuevo el problema de la liberacin de la filosofa de cualquier tipo de metafsica. Este grupo, conocido por el nombre de Crculo de Viena, pretendi cambiar radicalmente la filosofa vigente. Este objetivo se concret en un principio en la bsqueda de un criterio de significatividad emprica. Uno de estos criterios fue el sostener que las proposiciones empricamente significativas son verificables, saltndose a continuacin a la polmica sobre el sentido de la posibilidad de verificacin. Los sucesivos planteamientos (verificacin lgica, fsica, mixta, etc.) desembocaron, en funcin de las aportaciones de Reichenbach, en criterios de verificacin relativos al desarrollo de la ciencia. Pero a pesar de los esfuerzos denodados por rigorizar el concepto, aparecieron con su machacona impertinencia los conjuntos infinitos de fenmenos, obviamente imposibles de verificar. Este primer y serio contratiempo condujo a Carnap y otros a reflexionar sobre el lenguaje y crear un lenguaje empirista que permitiera expresar de forma consistente las proposiciones empricas. La obsesin por la ciencia emprica alej a la mayora de estos filsofos de la reflexin sobre las matemticas. Y quienes trabajaron (Gdel, Carnap y alguno ms) en el dominio de las ciencias abstractas lo hicieron con ms implicaciones lgicas que matemticas estrictas. Gdel, que entr en la historia de las matemticas por la mayor de las puertas, lo hizo gracias a prolongaciones en la frontera de los fundamentos. Hay que observar un proceso transitivo de implicaciones y retroimplicaciones sucesivas para encajar el Crculo de Viena y la sucesin de crticas y contracrticas hasta llegar a una formulacin ms o menos compleja de la filosofa de las matemticas desde concepciones nuevas. La respuesta a los planteamientos del Crculo de Viena fue protagonizada, desde los extremos que aqu nos afectan, por Popper, aunque tambin bsicamente se realiz en el terreno de la fsica. Popper plante la refutacin como mtodo emprico adecuado, afirmando que slo poda reconocerse el carcter cientfico de las teoras en funcin de su posibilidad de contrastacin con sus postulados bsicos, con la exigencia aadida de la capacidad de prediccin. En consecuencia con esto, para Popper se anula el valor cientfico de las teoras infalsables o teoras con hiptesis ad hoc adicionales. Lakatos, Feyerabend y muchos otros filsofos y cientficos han contestado vivamente este planteamiento que, al amplificarse en funcin de las implicaciones ideolgicopolticas de la obra de Popper, se fue desmoronando con sus seguidores-crticos. Entre ellos, Lakatos lleg a formular una lgica del descubrimiento matemtico que, iniciada en los aos 63-64, se vio varias veces interrumpida por su subsiguiente e inevitable acercamiento a la filosofa de la fsica. Muchas de las ideas de Lakatos sobre las matemticas aparecieron como obras pstumas(31) que editaron sus colaboradores en la dcada de los setenta. Sin embargo, a pesar del indudable inters que puede representar la eleccin de las matemticas como campo para el anlisis de las teoras cientficas, y debido quizs a su muerte prematura, no deja de ser un intento parcial -como reconoci el mismo Lakatos-, al quedar en el tintero multitud de aspectos de la historia de las matemticas que necesitaban una mayor reflexin. Lakatos arranca de la crtica al formalismo reprochndole, precisamente, su desprecio de la historia. Esto, que es una verdad de facto, fue sin embargo negado explcitamente por Hilbert en el Congreso de Pars de 1900, al reclamar con insistencia la unidad multidireccional de las matemticas(32). Lakatos ha trabajado sobre ejemplos concretos para estudiar problemas de metodologa. La denuncia de Lakatos del carcter ahistrico del formalismo podra generalizarse a muchos repensadores de las matemticas. Y precisamente podra decirse que el inters despertado entre los historiadores de la ciencia por parte de las corrientes postpopperianas est muy relacionado con la posicin terica basada en la exigencia de una interrelacin efectiva entre la filosofa y las matemticas, apoyada casi siempre en tesis de Kant. Desgraciadamente, la muerte de Lakatos dej incompleto su esfuerzo de elaboracin de una lgica del descubrimiento matemtico bajo la que palpita la historia real como elemento demarcador de la teora. Lakatos aborda en su vivo y recreado trabajo -aunque a veces de forma poco sistemtica- la

mayor parte de los problemas tericos ms importantes. Los editores advierten a menudo la conveniencia de poner en cuarentena alguna de las ideas de Lakatos, que pudieran no haber sido sostenidas por l mismo en la forma en que figuran en el texto. Lakatos repasa aspectos de la cuestin de los fundamentos, de la autonoma de las matemticas, de su naturaleza alienada, de su posible proceso degenerativo, de su supuesto carcter infalible, de las relaciones entre lgica y matemticas, de la existencia de las teoras dominantes, etc. Busca en las matemticas los programas de investigacin y los procesos de progreso y estancamiento, que para l es la lgica de descubrimiento ms apropiada para la reconstruccin racional de su historia. Naturalmente, Lakatos hunde las races de la teora de los programas de investigacin en la consideracin del alto nivel de autonoma de la ciencia. Y si la aproximacin directa de Lakatos a la historia de las matemticas es destacada, sin embargo la elaboracin de su teora se estructura, quizs debido a la alargada sombra de Popper, en el terreno de la fsica y es aprovechada para sealar sus diferencias con Kuhn y para no perder comba en su antimarxismo filosficamente militante. Para bien o para mal, la aportacin de Lakatos, muy probablemente vctima de la autonoma alienante tan defendida por l mismo, en el mundo matemtico ha quedado, en cierta medida, reducida al conjunto de las cosas curiosas y divertidas. Mayor impacto, hay que reconocerlo, han tenido las tesis de Kuhn sobre las revoluciones cientficas, quizs porque, como dijo Muguerza en el prlogo a la versin castellana de las Actas del Coloquio Internacional de Filosofa de la Ciencia celebrado en Londres en 1965, estaban hacindose esperar(33). Revoluciones o rupturas, inspiracin anglosajona o francesa, el hecho es que la teora contempornea de la ciencia de corte idealista ha tenido que reconocer que tambin en el supuestamente autnomo universo cientfico surgen cortes ms o menos drsticos, pero que sealan que la versin continuista y de acumulacin directa es una forma de caricaturizar la historia e incluso de falsearla(34). Las ideas de Kuhn no han despertado entusiasmos generalizados en la comunidad matemtica, donde la presencia del formalismo es todava muy acusada. El mismo Kuhn ha esquivado de alguna manera el atender este tipo de banco de pruebas en beneficio de otras parcelas de pensamiento ms propicias a un tipo de ejemplificacin ms contundente. En este sentido la fsica, la astronoma, la qumica o la biologa resultan mucho ms atractivas para buscar sustento a las construcciones filosficas. Aun as, en las revistas especializadas y en mbitos de resonancia estructuralista(35) han aparecido en los ltimos aos algunos intentos textuales de reproducir el esquema bsico kuhniano(36) en matemticas con connotaciones bastante dogmticas. Y es que es justo reconocer que en s misma la teora de las revoluciones cientficas resulta sugestiva. La cimentacin de las realizaciones cientficas universalmente reconocidas como tales que, durante cierto tiempo, proporciona modelos de problemas y soluciones a una comunidad cientfica(37) llamada paradigma parece una especie de perogrullada brillante, irrefutable e irrebatible a la luz de ciertas historias de las ciencias. Igualmente significativa es la relacin entre los conceptos de paradigma y de comunidad cientfica, que es quien en definitiva lo articula, lo sostiene, lo desarrolla mediante el ejercicio de la ciencia normal, lo derrumba y lo sustituye por otro. Parece obvio que un paradigma sea entonces el sustrato terico necesario por el que la comunidad cientfica en cuestin explica el mundo. E igualmente adecuada parece la forma de liquidacin del paradigma: bien por agotamiento de los enigmas planteados, bien porque se produzca alguna incompatibilidad entre un enigma abierto y el propio paradigma. Esa incompatibilidad genera una crisis que desencadena una revolucin cientfica, tras la cual el viejo paradigma es sustituido por otro, porque en las ciencias todas las revoluciones resultan triunfantes ms pronto o ms tarde. Al carcter sugestivo y atractivo de la teora hay que aadirle un dato ms que induce a la atencin: el hecho de que en su contrastacin -a veces confrontada- con alguno de los momentos conflictivos de la historia de las ciencias la teora haya salido suficientemente airosa. Aunque lamentablemente,

en el enunciado original, las matemticas y su historia brillen por su ausencia. Los cataclismos tericos siempre impulsan de forma notable la necesidad de historiar el pasado cuya lnea de progresin acumulativa se rompe precisamente por el proceso de ruptura. Eso ocurri en el periodo de la Revolucin Francesa y, con mucho mayor motivo, volvi a suceder en el tiempo de las grandes rupturas temticas del siglo XIX. La obsesiva reflexin sobre los fundamentos de la matemtica y las aguzadas crticas a las elaboraciones clsicas impulsaron la necesidad de trenzar la historia de las matemticas y explicar el proceso de su desarrollo. La historia de la ciencia en el siglo XVIII, que al que suscribe le parece encantadora, fue externalista hasta el maniquesmo, llegando a encubrir en las alabanzas a las ciencias naturales factores de ataque o por lo menos de rechazo o crtica al Antiguo Rgimen vigente o extinto(38). En el siglo XIX, lo resbaladizo del terreno terico exigi dos ingredientes fundamentales en la reconstruccin histrica de la evolucin del pensamiento cientfico: por una parte, el rigor, que fue progresivamente en ascenso en las elaboraciones tericas, se hubo de incorporar tambin a los trabajos histricos; por otra, los excesos del periodo revolucionario del XVIII favorecieron grandes dosis de interiorizacin en las elaboraciones histricas. Pasados los aos, en el terreno de la historia de las matemticas, tras encomiables esfuerzos como los de Boncompagni con su Bollettino di bibliografia e storia delle scienze matematiche e fisiche (1868-1887) y la continuacin de Gino Loria con su Bollettino di bibliografia e di storia delle scienze matematiche (1898-1922)(39), Enestrm con su Bibliotheca Mathematica (1887-1914) y otros, la consagracin del modo de hacer historia de las matemticas vino de la autorizada opinin de Moritz Cantor en el Congreso de 1900 celebrado en Pars, segundo de los internacionales de matemticos. Opinin que l mismo materializara en las monumentales Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik en cuatro volmenes [Leipzig, 1907-1913]. Moritz Cantor que, en un tiempo en el que los alemanes an no estaban completamente henchidos de fervor nacionalista y por ende absolutamente histricos con el tema del idioma, present su trabajo en francs y titul su conferencia Sur l'historiographie des mathmatiques(40). En ella parta de una proposicin de alguna manera contradictoria con la tesis defendida por Hilbert en el mismo Congreso. Para Cantor las matemticas haban perdido su unidad para multiplicarse(41). En consonancia con esto, la figura del matemtico como tal haba desaparecido para alumbrar la de los gemetras, analistas, algebristas, aritmlogos, astrnomos, fsicos tericos e incluso historigrafos(42). Y explicaba la presencia de esta ltima categora con un gesto humilde, reconociendo que del trabajo de los historiadores no podan surgir avances de las matemticas sino solamente unas buenas Guas de Viaje(43). Para mostrarlo construy una sucinta relacin a travs de las historias de las matemticas desde Eudemo de Rodas hasta los aos finales del siglo XIX. El erudito recorrido, a pesar de la asepsia que se pretende aparentar a lo largo de todo el trabajo de Cantor, est salpicado de elementos que permiten comprobar los principios conceptuales que inspiraban las historiografas correctas. Hablando de la conocida obra de Libri sobre L'Histoire des Mathmatiques en Italie se cuestiona Cantor(44): "Peut-on crire convnablement l'Histoire des Mathmatiques dans un pays quel-conque?". Y se contesta inmediatamente: "J'en doute fort". Y lo pone en duda por el carcter internacional de las matemticas, por la influencia constante de un pueblo sobre otro en el terreno matemtico y por el proceso acumulativo del conocimiento matemtico. No obstante, todava es ms explcito Cantor respecto al verdadero sentido de su historiografa. Dice Cantor(45): "On me dira que, pourtant, tout peuple a eu son temps o il marchait la tte d'une Science ou de

l'autre. C'est parfaitement vrai, mais parce que c'est vrai pour tous les peuples, cela prouve d'autant plus la difficult d'crire l'Histoire de cette Science chez un seul peuple, sinon pour l'poque pendant laquelle ce peuple faisait avancer cette Science". En breves palabras est la versin quintaesenciada del positivismo idealista en materia de historia de las matemticas y de la ciencia. Porque, so pretexto de internacionalizar y generalizar el campo de visin, lo que hace Cantor es internalizar el anlisis hasta tales extremos que las matemticas aparecen como una creacin extraespacial y, por as decir, extrasensorial. En efecto, la visin de la historia de las matemticas ratificada por Cantor y seguida, todo hay que decirlo, con un cierto entusiasmo por ciertas comunidades matemticas a lo largo de todo lo que se lleva del siglo XX, separa las creaciones matemticas de cualquier tipo de enlace con factores sociales e incluso intelectuales, extramatemticos. La propia historiografa se encarg de poner en tela de juicio los valores defendidos por Cantor y las comunidades matemticas nacionales se lanzaron a buscar y a analizar sus propias races cientficas en el terreno de las matemticas(46). Factor de importancia singular fue la obra de George Sarton en Estados Unidos, con su revista trimestral Isis y la tendencia al asociacionismo de los historiadores de la ciencia. Durante casi medio siglo el nombre de Sarton se identific en el mundo occidental con el de la historia de la ciencia y, de alguna manera, la ciencia -en un sentido global- fue contemplada e historiada a partir de las ideas desarrolladas en las dinmicas universidades norteamericanas del primer tercio del siglo XX. Sin embargo, el cambio de orientacin ms consolidado se produjo en el Congreso de Londres de 1931 y, como se ha reconocido en todas las partes no contaminadas por los bienpagados de cualquier tipo de alianza para el progreso, fue debido a la aportacin de los historiadores soviticos(47). La Revolucin de Octubre cambi el signo de la consideracin de la ciencia en las jvenes repblicas soviticas, desde donde se irradiara al resto del mundo. Sobre una base progresivamente nutrida de cientficos en general y de matemticos en particular, se comenz a reflexionar sobre la ciencia de un modo diferente. Aunque la institucionalizacin de la historia y de la filosofa de la ciencia no fue inmediata, ya desde el ao 1925 funcion en Mosc un Seminario conducido por S.A. Ianovskaia y constituido fundamentalmente por estudiantes de fsica y matemticas. En la dcada de los aos 30 se institucionalizaron los cursos de historia de las matemticas en la Facultad de Fsica y Matemticas. Los animadores de este incipiente movimiento fueron, adems de la ya citada Ianovskaia, el matemtico Vygodski y el fsico Guessen(48). Cuando se reuni en Londres el II Congreso Internacional de Historia de las Ciencias, Guessen, director del Instituto de Fsica de Mosc y miembro del Senado (Consejo Acadmico) del Instituto de Historia de la Ciencia y de la Tecnologa de la Academia de Ciencias de la URSS(49), cuyo director era Bujarin, present un trabajo sobre Las races socioeconmicas de la Mecnica de Newton(50) que tuvo una gran resonancia cuando se public, junto con otros trabajos de similar inspiracin, bajo el ttulo de Science at the Crossroad(51). La aparicin de una orientacin consistente desde el punto de vista cientfico y con una metodologa marxista cambi radicalmente el sesgo tradicional de las investigaciones en historia de las ciencias, que superaron la meritoria tendencia histrico-cultural de Sarton. En la misma dcada de los 30 aparecieron varios trabajos de prestigiosos cientficos que cambiaron el rumbo de sus preocupaciones concretas por las reflexiones sobre la ciencia y su historia en un sentido global. En Gran Bretaa, particularmente, cuaj una verdadera escuela de historiadores, filsofos y socilogos de la ciencia de formacin marxista que han tenido una gran influencia posterior. Bernal, Hogben, Haldane, Merton son algunos de los cientficos occidentales que comenzaron a trabajar

sobre la idea del carcter social de la ciencia. A partir de entonces se hizo patente la divisin de las escuelas historiogrficas en externalistas e internalistas. En puridad esta clasificacin fue una reaccin un poco exasperada de los neopositivistas de todo corte y condicin contra la penetracin de la nueva metodologa en un rea -la de la historia de las ciencias- que hasta entonces haba sido coto cerrado de las escuelas de definicin idealista. Se quiso aducir con la divisin el hecho de que el externalismo comportara la utilizacin de caracteres ajenos al hecho cientfico stricto sensu. Sin embargo, aunque la defensa desde las posiciones acadmicas mayoritarias de la inteligencia establecida fue bastante dura, la influencia en todos los pases de Occidente fue muy notable. En particular por lo que hace a las obras de Bernal(52). Hoy, en la lectura del trabajo de Guessen, como la de otros historiadores soviticos de ese periodo, aparecen sesgos de linealidad algo tosca, siempre presente por otra parte en las producciones inaugurales de cualquier novedad terica. Se trata obviamente de la irrupcin en escena del externalismo como corriente. Pero estas insuficiencias no empaan, medio siglo despus, el hito representado por los historiadores de la ciencia del joven estado sovitico. Como reaccin, precisamente, al desarrollo de esta perspectiva, apareci con una fuerza innegable otra corriente apoyada tambin en un ejemplo trascendente del siglo XVII y de inspiracin rotundamente idealista. El mismo ao 39 entraban en incruenta batalla el libro de Bernal, La funcin social de la ciencia, y, de otro lado, los Estudios Galileanos de Koyr. La calidad de los trabajos de Koyr signific un fuerte contrapeso a la corriente materialista y un enriquecimiento global notable de la historia de las ciencias. Es obvio que los planteamientos internalistas que surgieron a partir de la escuela historiogrfica francesa, muy pronto extendidos de la mano de los neopositivistas anglosajones, ya no pudieron pasar por alto la influencia de los factores externos, aunque s que rechazaran las implicaciones sobre el universo conceptual de la ciencia, que fue colocado en un dominio ideolgico ms y ms autnomo. La pugna cientfica, dgase lo que se diga, permanece en total vigencia y vigor y de alguna manera ha servido para eliminar construcciones tericas sin matices y sin fisuras que, por muy comprensibles que fueran, no han dejado de ser muy toscas e incluso falsas. Por eso el problema sigue siendo el de averiguar si existen leyes generales que expliquen el desarrollo de la ciencia. Cuestin general aplicable a todas y cada una de las ciencias y, por lo que hace a este trabajo, al rea de las matemticas.

3. Planteamiento general del problema3.1. El problema de las definiciones Es difcil establecer un criterio fijo e inmutable que permita definir el concepto de ciencia en nuestro tiempo. A lo ms que en estos momentos se aspira es al establecimiento de un proceso en el que se recojan los elementos conceptuales y experimentales que, en conjunto, aporten una aproximacin suficientemente buena que vaya permitiendo acoger a la constantemente creciente cantidad de disciplinas candidatas a refugiarse bajo el certificado de denominacin de origen cientfica. La dcada de los noventa del siglo XX asiste con cierta perplejidad al desarrollo de un proceso iniciado en los setenta, en los que se seal que estbamos atravesando el umbral de una Revolucin Cientfico-Tcnica cuyas consecuencias, se deca, trascenderan los marcos habituales de existencia del pensamiento y hecho cientficos. A tal situacin se llegaba en funcin de una extrapolacin natural del gran desarrollo cuantitativo que las ciencias haban tenido a lo largo de los siglo XIX y XX. As, la hiptesis de la Revolucin Cientfico-Tcnica apareca como razonable y se afirmaba en la indudable influencia que las ideas cientficas tenan en la estructura social del mundo desarrollado, llegando a comparar el papel de la ciencia en nuestro tiempo al del dinero en el proceso de descomposicin del mundo feudal.

Tras tales planteamientos se argumentaba la aparicin del umbral de un nuevo estadio evolutivo en el que las sociedades desarrolladas no podan prescindir de la ciencia, cuyo desarrollo, por otra parte, poda entrar en contradiccin grave con estructuras sociales basadas en la propiedad privada de los medios de produccin y no necesariamente por el catastrofismo de su extincin. No es ste el tema de este trabajo, aunque justo es reconocer que de aquellas impresiones a las actuales hay ms de un paso. De aquella Revolucin Cientfico-Tcnica, cuyo bienestar pareca que poda ser tocado con las yemas de los dedos por la inmensa mayora de los terrcolas, hemos pasado a una situacin bien distinta, con esa inmensa mayora de habitantes del planeta sumidos en la pobreza, cuando no en la miseria, sujetados por el poder de unas armas -estas s cada vez ms cientficas- que garantizan ese bienestar para una parte un poco ms reducida de los ciudadanos y ciudadanas del primer mundo, que s que vivimos mejor gracias a la ciencia y que podemos trabajar en mejores condiciones gracias a las nuevas tecnologas. Adems, el aparato cientfico de los entonces pases socialistas europeos, que daba sentido a la intuicin de la nueva era, est destruido, la Unin Sovitica no existe y Rusia tiene, en 1994, como cabeza visible a un borracho corrupto. Vaya panorama! Mas, a pesar de todo, el espectacular desarrollo de los resultados cientficos en la poca contempornea ha desarrollado enormemente la necesidad de reflexin y de creacin terica en torno a la ciencia. Se ha creado la disciplina de la Ciencia de la Ciencia como til herramienta indispensable en nuestros das para comprender el alcance de un fenmeno que, fuera para bien sea para mal, est desbordando todas las previsiones. Si hubiera que destacar una caracterstica fundamental que justificase el inters interno de la metodologa global en la aproximacin a la ciencia habra que pensar que, as como los procesos analticos que permiten profundizar en lo particular dificultan la comprensin de los objetivos a medio y largo plazo, la va de la sntesis, al abstraer los detalles parciales, permite acometer con mayores garantas de xito la investigacin de elementos de prediccin -y la prediccin es una de las razones de ser de la ciencia y del trabajo de los cientficos que ha quedado como ms evidente herencia del viejo positivismo comptiano-. La posibilidad de prediccin plausible justifica por s misma la atencin que los enfoques de sntesis tienen en las elaboraciones cientficas desde hace siglo y medio. Aunque quienes, como yo, llevamos encima determinadas teoras y pensamientos no tenemos muchos motivos para enorgullecernos de la finura de nuestra capacidad de prediccin y debemos tender a ser prudentes, ello no obsta para que la funcin proftica sea una vieja aspiracin humana y, en tanto que tal, perseguible. De todas formas, muchos otros -de indudable y superior talento- lo han hecho antes. Cmo podran olvidarse por ejemplo las Vorlesungen ber die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert del mismsimo Klein? Hay un elemento ms que propicia e incita al seguimiento de la aproximacin global al hecho cientfico: la especializacin. Los programas de investigacin actuales, circunscritos al mbito de las pequeas unidades de trabajo, o sea de las comunidades cientficas usuales, reducen el campo de estudio y conocimiento a microcosmos aparentemente irrelevantes y, de hecho, claramente desconectados del mundo exterior en mltiples campos de las ciencias bsicas. Esta tendencia de especializacin vertiginosa, que se ha agudizado a lo largo del siglo XX, aparece en etapas tempranas del aprendizaje, primero en un rea global (matemticas, fsica, etc.) sobre la que, en intervalos de tiempo cada vez ms breves, se establecen los dominios sucesivos de especializacin hacia el problema abierto que se est en condiciones de abordar. Esto cuando se contina la carrera el tiempo suficiente como para abordar problemticas nuevas. En la mayora de los casos, los procesos de formacin se cortan abruptamente sin haber dado tiempo a consolidar ni los marcos disciplinares globales ni el enunciado de problemas abiertos suficientemente sugestivos. Las comunidades cientficas ms conscientes y responsables han tenido que contrapesar la necesidad de formacin investigadora especializada con aportaciones de carcter general, esto es, con enfoques de sntesis de cada una de las ciencias o de la ciencia como tal, que se han situado en la periferia de las correspondientes disciplinas, bajo epgrafes comprensibles que son los que definen el trabajo de los historiadores y filsofos de la ciencia.

No poda ser de otra manera. Historiar o predecir son extrapolaciones de los hechos que nos es dado conocer y vivir personalmente. Lo ms interesante sera conocer el futuro con cierta seguridad para modificar adecuadamente las condiciones del presente y para ello hay que aspirar al conocimiento lo ms conforme a la verdad que sea posible del presente y del pasado. Como investigar esos extremos es hacer historia de ..., para aumentar el nivel de certeza en la prediccin de los estados futuros de la ciencia en general y de cada una de sus componentes se impone la necesidad de abordar rigurosamente la verdadera evolucin del desarrollo de estos elementos conceptuales. Dicho de otra manera ms directa, a la luz de la realidad del presente y de la mayora del legado documental -e incluso testifical donde tal elemento es posible- se me antoja que las historias de las ciencias hasta ahora escritas son, todava en forma significativa, hermosos volmenes de no menos bellas fantasas, ya que sin afirmar -que no lo afirmo- que sean falsedades, lo que en las historias de las ciencias da en contarse, en su inmensa mayora, responde a cierta entronizacin del individualismo superdotado, un tanto alejado, ciertamente, de la realidad palpable en la que los cientficos se mueven. En la ciencia se ha producido en la poca contempornea un cambio trascendental que responde a las transformaciones intrnsecas del organismo cientfico: el cambio de protagonista. Y ese cambio exige su reflejo en la reconstruccin de su acontecer. Las historias clsicas de las ciencias son relatos de anecdotarios, exposiciones cronolgicas, jalonadas por los descubrimientos geniales de determinados individuos. Las historias clsicas responden a una estructura bsica acumulativa en la que determinados individuos -los cientficos- apoyndose en los descubrimientos de los que les han precedido de forma ms o menos inmediata, resuelven nuevos problemas. El gran protagonista, siempre individual, es el genio singular que realiza tal hazaa. Las estructuras unipersonales son, a cambio de muy sencillas y comprensibles, muy groseras. Muy difcilmente admiten la matizacin. Los problemas de coincidencia en la prioridad -irrelevantes enigmas que han ocupado tremendamente la atencin de los historiadores por la cuestin de la adscripcin de la gloria exclusiva- se han solucionado con el adverbio independientemente, sin ms complicaciones, sobre todo cuando la nacin a la que perteneca el supuesto perdedor aumentaba su peso poltico en el concierto mundial. La escasa finura de la argumentacin clsica no ha sido especfica de la historia de las ciencias. Esta era ms bien una herencia de una escuela historiogrfica en la que la historia de la Humanidad poda explicarse con nombres propios de personas o acontecimientos. La teora de la historia clsica era humana, pero falsa. Los historiadores han tenido que reescribir la historia de los pueblos en funcin de variables ms objetivas: los protagonistas colectivos. Y con ellos tejer un proceso evolutivo en el que se estableciesen los cambios a nivel infraestructural, superestructural, ideolgico y de sus mutuas interrelaciones e influencias. Quizs se ha perdido algo en rotundidad y claridad simplista, pero se ha ganado en objetividad y en veracidad. En las historias de las ciencias, en donde la metodologa clsica no ha hecho sino entrar en crisis, est comenzando a ocurrir lo mismo. Se est produciendo un profundo cambio no slo en el tipo de preguntas que se formulan los historiadores de las ciencias, sino tambin en la explicacin de los propios hitos cientficos. En este sentido, la analoga de los grandes colectivos sociales son las comunidades cientficas. 3.2. Comunidades cientficas: individuos y colectivos El poderoso desarrollo de la ciencia y la tecnologa en nuestros das presenta resistencias a la admisin de la evidencia en los cambios en la organizacin del trabajo. Toda la parafernalia de premios, distinciones y entidades de ms o menos alto copete cientfico de las que se nutre la pompa y la circunstancia de la ciencia desde hace tres siglos se confronta con la realidad cotidiana de los departamentos, institutos, facultades, escuelas y todo tipo de centros donde se despliega la actividad cientfica de la inmensa mayora de trabajadores annimos. En las revistas cientficas del corazn aparecen los gigantes vivos del estudio cuantitativo de la naturaleza y se esconden los gregarios que en ms de una ocasin se ven privados del protagonismo que mereceran.

"Pour se reposer et se remonter un peu la moral, je connais un patron jeune, dynamique, qui fait luimme ses expriences en prparant lui-mme son matriel, qui fait une recherche bibliographique intelligente, qui s'intresse a la progression de ses chercheurs. Ce doit tre pathologique (...) D'ailleurs tous ses collgues s'emploient le soigner: quand gurira-t-il?(53) Esta irnica cita de la antologa de Lvy-Leblond y Jaubert sobre la (Auto) critique de la science sirve de adecuado fundamento para abordar el problema de la organizacin del trabajo. La ciencia francesa, entre los muchos elementos con que ha nutrido a la comunidad cientfica, tanto a nivel puramente intelectual como de organizacin, ha deslizado una figura que ha devenido caduca y objetivamente resulta retardataria para el desarrollo de la ciencia: el patrn. Aunque la existencia de un director unipersonal e incontestable tiene races, justificacin y sentido histricos, los fenmenos acumulativo-restrictivos ya comentados convierten la actual estructura organizativa en algo obsoleto. En efecto, histricamente, tanto en Francia como en otros pases cientficamente adelantados, la autoridad de una larga lista de cientficos y el abismo cultural existente entre los diferentes sectores de cualquier pas en un amplio periodo de la poca contempornea que casi alcanza nuestros das ha dignificado enormemente y destacado del conjunto a las cabezas ms dotadas para la direccin y crtica de la investigacin. Por otra parte, la necesidad de acabar con los excesos fraudulentos de cualquier antiguo rgimen, de estabilizar la situacin laboral y de dar el empaque preciso a esa nueva capa social propiciaron en el siglo XIX un sistema de estructuracin de la comunidad cientfica fuertemente jerarquizado, proteccionista, cerrado y acrtico. Los controles establecidos, tanto a nivel gubernamental como privado, y el cdigo interno de cada unidad de investigacin dificultan en todos los pases la ruptura de las normas de conducta heredadas que ya no tienen ninguna justificacin prctica actual. Al margen de consideraciones diversas que se podran adelantar y de vicios del sistema expuestos en varias publicaciones cientficas que comenzaron a aparecer hace dos dcadas(54) se puede sealar la creciente dificultad de que existan cientficos que dominen (pues se trata de dirigir, que es orientar y criticar la labor investigadora de un equipo) simultneamente varias lneas de investigacin, aunque sean de un rea restringida pero general. El progresivo e imparable progreso de especializacin y la ausencia de alternativas vlidas al problema -a pesar de los muchos intentos y de la permanente polmicaconducen directamente a la necesidad obvia de la renovacin de la estructura, que desde cualquier planteamiento metodolgico de trabajo llega al mismo concepto organizativo para las unidades bsicas: el equipo. Es algo que tena que llegar, habida cuenta del camino de estricta especializacin. Hoy el protagonista individual de la ciencia tiene que ser el cientfico colectivo, que de hecho es -salvadas las distancias- una restriccin al terreno cientfico del intelectual-orgnicocolectivo definido por Gramsci(55). En verdad, la idea del equipo de trabajo, hoy por nadie combatida explcitamente, necesita adems una puesta en prctica presidida por un profundo sentido democratizador que colectivice la direccin y la crtica de las unidades de produccin cientfica a todos los niveles y que someta a debate peridico y abierto los resultados que se van obteniendo(56). Hay un elemento particularmente claro en la crisis de las estructuras cientficas ms tradicionales y que cada da se hace ms patente. As como en las llamadas disciplinas humansticas (inslita definicin que los cientficos aceptamos sin pestaear como si nuestras actividades no lo fueran(57)) el trabajo cotidiano a lo largo de los aos produce inexcusablemente un aumento de la capacidad orientadora por un mero proceso de acumulacin, en el campo de la ciencia la fijacin del hombre con el medio -el laboratorio principalmente-, la inexcusable dureza intrnseca del trabajo y tambin los acicates de la necesidad y la ilusin producen un trastocamiento de las posiciones de vanguardia en el frente investigador a nivel mundial; con lo que no necesariamente los que llevan ms aos son los que ms al corriente estn de los problemas pblicos cruciales en una determinada rea (haciendo abstraccin consciente del contenido). Es ms, normalmente, el proceso acumulativo de conocimientos comporta la adscripcin a una determinada lnea y a un marco preciso de referencia, lnea y marco que con el concurso implacable del tiempo quedarn obsoletos a no ser que se produzcan los siguientes supuestos: i) que la lnea sea fundamental y se justifique por s misma, en cuyo caso los enigmas siguen siendo relevantes; ii) que el investigador

sea lo suficientemente arrojado como para cambiar su lnea cuando observe -o le hagan observarque los resultados obtenidos no compensan ni el esfuerzo realizado, ni el dinero invertido; y iii) que el investigador sea lo suficientemente curioso y capaz para comenzar peridicamente con un problema nuevo. Pero estos tres supuestos, que efectivamente se pueden ejemplificar histricamente en la ciencia, difcilmente se dan en el ejercicio de la ciencia normal mientras se cuente con una estructura de trabajo jerarquizada, conservadora y fijista. La forma menos traumtica de superar esta contradiccin es, precisamente, junto al respeto inveterado a la libertad de investigacin (respeto que en absoluto debe excluir la necesidad y la libertad de crtica), la urgente organizacin colectiva del trabajo en el seno de programas claros de investigacin, con actuacin transparente y generosidad informativa. En definitiva, una casilla del paradigma debe consistir en la sustitucin de la competencia desleal y el carrerismo por la cooperacin entre los trabajadores cientficos y el juego limpio. Kuhn, en su postdata de 1969 al texto original de la Estructura de las Revoluciones Cientficas, se vio obligado a precisar de una forma objetiva el trmino comunidad cientfica como elemento fundamental sobre el que poder sustentar su modelo. Para Kuhn(58), "una comunidad cientfica est formada por practicantes de una especialidad cientfica. Han pasado por una iniciacin profesional y una educacin similar en un grado que no tiene comparacin con otros campos. En este proceso han absorbido la misma literatura tcnica y desentraado muchas de sus mismas lecciones". El concepto, muy intuitivo, es fcilmente generalizable. Por eso se puede enseguida entender lo que se quiere expresar con el trmino comunidad de la disciplina X en el mbito geogrfico Y en el momento cronolgico T y, por variacin de las variables, encontrar inmediatamente los tipos posibles de comunidad. Este aspecto no representa un cambio interpretativo vulgar, ya que subvierte en cierta manera los objetivos prioritarios de las historias clsicas de las ciencias. Con este concepto, no slo el supuesto genio merece ser estudiado como objeto histrico, ya que ese supuesto genio pertenecer a una o varias comunidades cientficas, que adems no sern ajenas, ni mucho menos, a sus realizaciones. Tampoco en esta consideracin reina la unanimidad. Personalidades de tanto peso en la matemtica del siglo XX como Jean Dieudonn -al que voy a hacerle el favor una vez ms de criticarlo como historiador de la ciencia- han sealado muchas trabas tericas a la definicin de comunidad matemtica(59) homologable a la que pueda darse en otras disciplinas cientficas. Para Dieudonn el trabajo en equipo es bastante raro en matemticas, reduciendo su idea de comunidad, en la prctica, a la correspondencia cruzada entre profesionales. Esta reduccin, vlida para situaciones anteriores a la institucionalizacin cientfica del XVII, es claramente insuficiente para explicar las situaciones que se dan desde el momento en el que hay academias, escuelas y revistas. Siguiendo con los presupuestos analgicos entre la historia general y las historias de las ciencias se presenta otro evidente paralelismo entre el modo de produccin de bienes materiales y el modo de produccin de bienes cientficos. La evidente transformacin de los modos de produccin cientfica a lo largo de la historia de la Humanidad lleva directamente a cuestionarse la existencia de unos marcos generales en los que se han desenvuelto las actividades normales o geniales de los cientficos. Y respecto a esto el modelo de Kuhn suministra un sustrato terminolgico atractivo y quizs suficiente para mejorar la explicacin de la historia de las ciencias. Ya se han comentado antes algunos de los aspectos generales ms interesantes de los planteamientos kuhnianos. Por lo que hace a este trabajo debe quedar claro que se recoge una generalizacin del concepto de paradigma, entendindolo como modo de produccin cientfica. Aunque la aplicacin concreta de este modelo al campo de las matemticas se pormenoriza en el

pargrafo siguiente, s es conveniente insistir en un aspecto sobre la pervivencia de los paradigmas(60). Lakatos ha criticado(61) la traduccin mecnica de los postulados marxianos a la periodizacin de las ciencias, sobre todo en lo que respecta a la adscripcin de un determinado tipo de ciencia -y de criterios de elaboracin cientfica- a cada modo de produccin. Ya se ha aducido este aspecto al comentar la disyuntiva internalismo-externalismo. Sin embargo, s que es detectable de forma bastante ntida el mantenimiento y las subsiguientes rupturas de las concepciones bsicas mediante las que las diferentes comunidades cientficas explican el mundo. La pregunta que ms comnmente surge entre los cientficos es, ante esto, cuestionarse dnde queda el genio. La salida ms corriente a esta pregunta se basa en la consideracin de que cada realizacin genial produce una quiebra terica de suficiente importancia. As se puede argumentar que cada genio tiene detrs su escuela de pensamiento cientfico que, de una manera autnoma, elabora un tipo de ciencia diferenciada. Otro de los sesgos que produce el posicionamiento del genio en la historia es el de la generalizacin gratuita. Si un determinado cientfico ha producido en alguna disciplina cientfica concreta una ruptura de pensamiento, se extrapola automticamente a todas las ciencias en las que haya podido trabajar. As se han escrito algunas historias de las ciencias en las que con la pretensin -mucha veces tcita- de primar la individualidad de la creacin cientfica sobre cualquier otra variable, se ha distorsionado la reconstruccin histrica y se ha falseado la interpretacin de los procesos de creacin cientfica. Porque una elaboracin genial no tiene por qu suponer una forma distinta de concebir la ciencia, como tampoco una creacin rupturista en un campo cientfico tiene porqu suponerse para todos. Una idea de Popper puede explicar bastante satisfactoriamente la relacin entre el movimiento general de la ciencia y la aportacin individual de los cientficos. Hablando sobre nubes y relojes, seala(62): "Como ejemplo tpico e interesante de nube recurrir a una nube o enjambre de moscas o mosquitos. Los mosquitos individuales que, como las molculas de un gas, forman todos juntos un enjambre se mueven de un modo asombrosamente irregular. Es casi imposible seguir el vuelo de un mosquito particular, aunque todos ellos sean lo suficientemente grandes como para ser visibles con claridad (...) el que se mantengan juntos puede explicarse fcilmente suponiendo que aunque tengan un vuelo irregular en todas direcciones, aquellos que sienten que se alejan de la muchedumbre tornan hacia su parte ms densa". "Esta suposicin explica de qu modo se mantiene unido el grupo aunque no tenga ni jefe ni estructura -no hay ms que una distribucin estadstica aleatoria que surge del hecho de que cada mosquito hace exactamente lo que quiere de un modo anrquico y aleatorio unido al hecho de que no quiere separarse demasiado de sus compaeros". Quizs en esta idea de Popper se halle una de las ms agudas interpretaciones sobre el papel de las escuelas en trminos generales a lo largo de toda la historia de la ciencia y es particularmente ilustrativa por lo que respecta a la historia de las matemticas, en la que el movimiento cientfico de los grandes creadores es aparentemente muy anrquico. Volviendo al planteamiento general del problema hay que destacar que los trabajos globales de matemticas nunca han sido extraos a su propia definicin. En el periodo clsico griego hubo aproximaciones sintticas de tipo externo desde el terreno de las especulaciones filosficas, y los mismos Elementos de Euclides pueden considerarse como una construccin de sntesis desde una perspectiva interna. En los ltimos siglos y de manera mucho ms frecuente la comunidad matemtica internacional o alguno de sus miembros ms destacados acometa la empresa de poner en orden el cmulo de resultados obtenidos, porque esas puestas en orden siempre han seguido a un periodo ms o menos amplio en el que se han resuelto un nmero elevado de enigmas importantes. Adems de las elaboraciones de sntesis interna, la comunidad matemtica internacional ha

mantenido siempre los enfoques de sntesis objetiva desde dominios de la historia o de la filosofa. Esta tendencia, mucho ms acusada desde que se profundiz el proceso de institucionalizacin de las relaciones internacionales entre los matemticos, procede del legtimo privilegio del decanato cientfico. Mas, no obstante estas consideraciones, que deban haber inclinado a los tericos de la ciencia a probar de forma inapelable sus especulaciones, ninguna de las lgicas del descubrimiento -por volver a utilizar la nomenclatura de Popper- ms firmemente instaladas ha elegido la matemtica como banco de pruebas. La posibilidad de localizar en la historia de las ciencias naturales o experimentales hechos cruciales, que sealen una lnea de demarcacin suficientemente ntida entre dos etapas diferenciadas de la historia, las hace ms aptas para el anlisis. Ese sentido y lo sugerente del trmino ha contribuido a la aceptacin de la expresin revoluciones cientficas y ha permitido esa denominacin por la claridad explicativa a la hora de analizar algunas transformaciones histricas que se han producido en el seno de estas ciencias. Pero en matemticas los procesos, adems de no ser drsticos, suelen respetar los procesos acumulativos, produciendo lo que Bell ha llamado los restos de pocas. Adems, las matemticas, desde hace trescientos aos, parecen desenvolverse en una situacin de cierta inseguridad, con crisis sucesivas entre las que la cuestin suscitada en torno a los fundamentos de la geometra no fue ms que un episodio. Cuando las tesis de Kuhn tomaron cierto cuerpo en la opinin pblica cientfica enseguida se articul un abanico de respuestas internas a la sugestiva idea de las revoluciones cientficas tanto desde el punto de vista externalista como desde el internalista. Para muchos izquierdistas epistemolgicos externalistas la nomenclatura de Kuhn era un oportuno pretexto para hablar de revoluciones sin tener que recurrir a los indeseados ejemplos marxistas conducentes a escenarios del socialismo real, para los derechistas epistemolgicos externalistas Kuhn ofreca la posibilidad de utilizar la palabra revolucin, tab en su lenguaje cotidiano relativo a cuestiones polticas o sociales. Adems Kuhn apareca, como tantos miembros de la comunidad cientfica, como un ser ideolgicamente asexuado y por lo tanto nada comprometido y comprometedor en humanas contingencias. Esto permiti que se vertieran ros de tinta explicativos de situaciones de cambio revolucionario en determinadas ciencias como la fsica, la astronoma y la biologa. Para las matemticas el asunto era otro, como ya he apuntado antes, y durante dos dcadas los matemticos que se atrevieron a introducirse en estos pilagos intelectuales se cuidaron mucho a la hora de establecer esquemas reproductores de cambios revolucionarios radicales en la historia de la disciplina. A lo ms que se arrojaron fue a considerar determinados hitos cruciales en determinados aspectos de determinadas parcelas de la expresividad matemtica(63). Las cuestiones a dilucidar son, por tanto, las siguientes: Es consistente hablar de la existencia de paradigmas matemticos? Qu caractersticas debe comportar una paradigma matemtico? Cundo se puede suponer que un paradigma ha sido sustituido por otro? Resueltas esas cuestiones, habr que plantearse: Qu paradigmas fundamentales han existido en la historia de las matemticas? Cules son sus rasgos esenciales? 3.3. Paradigmas matemticos Hoy, salvo algn popperiano recalcitrante, apenas si quedan matemticos profesionales que se atrevan a negar sin rubor el contenido historicista del conocimiento matemtico. Tampoco se puede disimular el nivel de autonoma del pensamiento matemtico. Pero, pese a esta autonoma, ello no obsta para que ningn profesional pueda esconder las implicaciones ideolgicas y sociales del pensamiento matemtico. Qu tipo de condicionantes fijos habr que exigir a las realizaciones cientficas universalmente reconocidas que, durante cierto tiempo, proporcionan modelos de problemas y soluciones a una comunidad matemtica para ser considerados paradigmas? Desde

luego, debern verificar las dos condiciones exigidas por Kuhn para la categorizacin de un paradigma: ser matriz disciplinar y matriz ejemplar. Dicho en palabras del mismo Kuhn(64), un paradigma debe ser, por una parte, "la completa constelacin de creencias, valores, tcnicas (...) compartidos por los miembros de una comunidad dada" y, por otra, "una especie de elemento (...) que empleado como modelo (...) puede reemplazar a reglas explcitas como base para la solucin de los enigmas restantes de la ciencia normal". Hay alguna matizacin que hacer a esta definicin. El justo nfasis de Kuhn en el trmino comunidad cientfica, al que antes se ha hecho alusin, se generaliza suficientemente en cuanto al conjunto de creencias de la comunidad matemtica internacional. Sin embargo, es obvia la existencia de comunidades matemticas diferenciadas dentro de esa misma comunidad matemtica internacional, que se distinguen no slo por el rea de trabajo en el que inscriben los enigmas de su preferencia, sino fundamentalmente por la finalidad con la que elaboran la matemtica. Ello no obstante, y a pesar de la coexistencia de paradigmas en distintos momentos de la historia en el terreno de las matemticas, hay una tendencia clara a seguir el paradigma sostenido por la comunidad matemtica ms desarrollada, sujeto colectivo inexcusable para la definicin de modernidad. Este aspecto permite atender el problema de la definicin de los paradigmas matemticos desde una perspectiva universal, lo cual simplifica los trminos del problema a los efectos de clasificacin de la historia de las matemticas. Un paradigma matemtico es el conjunto de caracteres internos, externos y de finalidad que fundamentan, explican y seleccionan los enigmas matemticos en un momento dado de la historia de la Humanidad. Por caracteres internos se entienden los aspectos conceptuales, instrumentales y metodolgicos de las elaboraciones matemticas. Caracteres externos son aquellos rasgos que caracterizan la transmisin de ideas matemticas, as como los rasgos sociales ms sealados de los hombres y mujeres que las cultivan. Los caracteres de finalidad definen, por ltimo, como el propio trmino explica, los enigmas ms notables que los matemticos pretenden resolver con el ejercicio de su ciencia, y que normalmente trascienden el mbito estructural de expresin de las propias matemticas. No aspiro a presentar una definicin unvoca. De la misma manera que en las propias matemticas un ente puede ser abordado y, por lo tanto, definido desde mltiples perspectivas, todas vlidas, tambin la idea que yo estoy pretendiendo presentar y desmenuzar aqu admite su respectiva gama de definiciones. No es lejana esta aproximacin de la trada de Grattan-Guinness cuando presenta las matemticas como un conglomerado de forms, reasonings and structures(65). No slo eso. Sera vana pretensin, adems, buscar un paradigma puro y aislado en la historia de las matemticas. La situacin de la ciencia en el seno de la sociedad ha producido contaminaciones ms o menos visibles en el pensamiento matemtico de todas las pocas. De la definicin anterior se desprende que la variacin sustancial de alguno de los caracteres especficos de un paradigma producir primero un proceso de ruptura que se resolver mediante la implantacin de un nuevo paradigma. Tericamente tambin se puede producir la liquidacin histrica del paradigma por agotamiento de los enigmas abiertos planteables y de resolucin factible pero, hasta ahora, en la historia de las matem