Máquina Sincrónica Kimbark

MAQUINA SINCRONICA

POWER SYSTEM STABILITY: SINCHRONOUS MACHINES

Edward Wilson Kimbark

INTRODUCCIN:

Puesto que el problema de estabilidad de los sistemas de potencia es determinar en todo caso las variaciones que la mquina sincrnica produce sobre el sistema, las caractersticas de estas mquinas sincrnicas juegan un importante papel en el problema .

Las mquinas sincrnicas son clasificadas en dos tipos principales: mquinas de rotor cilndrico y mquinas de polos salientes.

Reactancias resistencias y constantes de tiempo:

La mquina sincrnica es frecuentemente representada en un circuito por una reactancia constante en serie con una tensin constante. Pero, qu reactancia puede ser usada para este propsito ? . Como sabemos, hay reactancias: sincrnicas de eje directo, de eje en cuadratura, transitoria y subtransitorias.

Reactancias de las mquinas sincrnicas:

Las impedancias de las mquinas sincrnicas trifsicas son clasificadas de acuerdo al mtodo de las componentes simtricas en: de secuencia positiva, inversa y homopolar. En la determinacin de alguna de ellas, el circuito del rotor est cerrado, pero no excitado, el rotor es llevado a la velocidad sincrnica, corriente de la propia secuencia es aplicada a la armadura y la tensin terminal de la armadura de la misma secuencia como la corriente es hallada. La razn de la tensin a la corriente es por supuesto, la impedancia. La reactancia es la componente ms importante de la impedancia de la mquina y la resistencia es despreciable para nuestro propsito.

Reactancia sincrnica de eje directo (Xd):

Es bien conocido que las corrientes de armaduras de secuencia directa crean un campo magntico rotante en el entrehierro.

Ms exactamente descripto, este campo consiste en una fmm ondulatoria y en un flujo, incluyendo en ambos, la fundamental y varias armnicas, unas rotando hacia adelante y otras hacia atrs a varias velocidades, pero la ms importante de ellas es la fundamental que rota hacia adelante respecto al estator,a la velocidad de sincronismo y es estacionaria respecto al rotor.

Dichas corrientes de armadura producen la fmm fundamental sin tener en cuenta la posicin del rotor, pero el flujo fundamental ondulatorio varia mucho con la posicin del rotor. La impedancia de secuencia cero y la impedancia de secuencia inversa, tienen grandes diferencias con la de secuencia directa, dependiendo de la posicin angular del rotor y de si las corrientes de armadura estn estabilizadas o son transitorias.

Si el rotor es girado de tal manera que el eje se mantiene en lnea con el mximo del campo rotante, un camino de alta permeancia es recorrido (fig. 15a).y la fundamental de la onda de flujo tiene su valor mayor posible para una dada corriente de armadura.

Por consiguiente, el flujo total enlazado de cada bobina de fase de la armadura tiene el mayor valor posible para una corriente dada en la bobina, y la inductancia de armadura y la reactancia inductiva son lo ms grande posible, de acuerdo a la mejor posicin que se pudiera encontrar el rotor.

Sistemas de Potencia Mquina sincrnica 2

Mquina Sincrnica, Power System Stabilty, E Kimbark Pgina 2

El flujo enlazado en la fase de una armadura por Ampere de corriente de armadura bajo estas condiciones es la inductancia sincrnica de eje directo Ld, as Xd = . Ld . Ntese que bajo las condiciones estipuladas, el flujo es estacionario con respecto al campo, y que, por lo tanto, este no difiere si la bobina de campo est abierto o cerrado(el valor del flujo concatenado es constante en todo caso ).Con respecto a la armadura, el flujo se est moviendo a la velocidad sincrnica. Consecuentemente el flujo concatenado por cada bobina de la armadura varia sinusoidalmente con el tiempo.

El tiempo de variacin del flujo concatenado est en fase con el tiempo de variacin de la corriente de armadura, porque la fundamental del flujo esta en fase con la fundamental de la fmm.

Entonces la razn del flujo con la corriente es la misma ya sea se utilicen valores instantneos, mximos o efectivos La tensin inducida de la armadura, debido al cambio de flujo concatenado est en cuadratura respecto al flujo y a la corriente. La razn de esta tensin a esta corriente, bajo las condiciones estipuladas, es la reactancia sincrnica de eje directo Xd.

Consideremos un mtodo de medir Xd : Aplicamos una corriente de secuencia directa a la armadura, llevando el rotor hacia adelante a la velocidad de sincronismo, en una posicin tal que su eje directo coincida con la cresta de la fundamental de la fmm rotante y medimos la tensin de secuencia directa en cuadratura con la corriente.



Hay otro mtodo de medir Xd : El rotor es llevado a la velocidad de sincronismo con la bobina de campo excitada y la tensin a circuito abierto de la bobina de la armadura es medido. Entonces un cortocircuito trifsico es aplicado a los terminales de la armadura, y la corriente de arma dura es medida, manteniendo la corriente de campo igual a la misma que antes. La razn de la tensin a circuito abierto a la corriente en cortocircuito es Xd. En este mtodo la fmm de armadura es automticamente alineada con el eje directo del rotor.

Este segundo mtodo da los mismos resultado que el primero para una mquina no saturada.

En la fig. 16a la bobina de campo del generador es excitado por aplicacin de una tensin directa, obtenindose una tensin de secuencia positiva en los terminales de la armadura a circuito abierto.

Si ahora una tensin alternada externa es aplicada a la armadura, exactamente en oposicin a la inducida no circular corriente por la armadura.

En la fig. 16a la corriente de armadura es cero, pero en la fig. 16b,la corriente es igual y opuesta a la de la fig. c. La tensin en la fig. 16a es la misma que la suma de las tensiones de armaduras de las figuras 16b y c, que son cero y E respectivamente. La corriente de campo de la fig. 16a es la suma de las corrientes de campo de las fig. 16b y c.

Por lo tanto, la reactancia Xd determinada como la razn escalar entre la tensin E en la fig 16a y la corriente Is en la fig 16b es la misma que la calculada con los valores de la fig 16c.

La figura 16c incorpor las condiciones usadas en la en la definicin de Xd.

Las fig 16a y b describen un mtodo alternativo para medir Xd, ya que ello se realiza por medio de ensayos de cortocircuito y a circuito abierto, los cuales son mtodos de ensayos usuales.

Reactancia sincrnica de eje en cuadratura (Xq):

La magnitud de la onda fundamental del flujo en el entrehierro depende de la posicin del rotor respecto a la onda de fmm y es grande cuando el eje directo del rotor coincide con la cresta de la fmm.



As el flujo es pequeo cuando el eje de cuadratura del rotor coincide con la cresta de la fmm, el recorrido del flujo es mostrado en la fig 15b.

Bajo estas condiciones el flujo concatenado de armadura por Ampere de armadura es la inductancia sincrnica de eje en cuadratura Lq . La reactancia sincrnica de eje en cuadratura ser Xq = Lq . Est reactancia es tambin igual a la componente de tensin de armadura en cuadratura con la corriente de armadura dividido la corriente .

En mquinas con rotor cilndrico, Xd es casi igual a Xq. De cualquier modo Xq es escasamente menor que Xd debido a los efectos de las ranuras del rotor.

Ntese que Xd y Xq estn definidas con el rotor en simtrica posicin con respecto a la rotacin de la fmm. Entonces en ningn caso hay un torque magntico que tienda a poner al rotor en una posicin diferente. No se desarrolla potencia mecnica en ninguno de los dos casos, y la tensin es puramente reactiva en ambos casos.

Con el rotor en alguna posicin intermedia, el flujo no estar en fase con la fmm, y entonces la tensin no estar en cuadratura con la corriente. Un torque, llamado torque de reluctancia, se desarrollar, tendiendo a mover el rotor a la posicin en que su eje directo coincide con la fmm.

Para la medicin de la Xq se procede de la siguiente manera : Una corriente de secuencia positiva ser aplicada a la armadura y el rotor se har girar hacia adelante a la velocidad de sincronismo, con el eje en cuadratura en lnea con la fmm rotante. Bajo estas condiciones la tensin de armadura de secuencia positiva podr ser medida y la razn de la tensin de armadura y la corriente de armadura ser Xq.

El procedimiento recin descripto es muy difcil de llevar a cabo porque, debido al torque de reluctancia, el rotor est en un equilibrio inestable cuando el eje de cuadratura coincide con la cresta de la fmm.

Un procedimiento ms fcil es el slip test, en el que el rotor es conducido a una velocidad

difiriendo insignificantemente frente a la velocidad sincrnica as determinada por la frecuencia de la corriente de armadura aplicada. Estas corrientes son moduladas a la frecuencia de deslizamiento por la mquina ; ellas tienen mxima amplitud cuando el eje en cuadratura est en lnea con la fmm y mnima amplitud cuando el eje directo esta en lnea con la fmm.

A causa de la impedancia de la lnea de suministro, la tensin de armadura es usualmente modulada a la frecuencia de deslizamiento tambin, siendo grande cuando la corriente es pequea y viceversa.

La fig 17 muestra un oscilograma mostrando las variaciones de corriente y tensin. Si el deslizamiento es pequeo, el mximo y el mnimo valor de tensin y corriente pueden ser medidos desde un voltmetro y un ampermetro.

La reactancia sincrnica de eje en cuadratura es la razn de mnima tensin a mxima corriente

Desde este mismo test la reactancia de eje directo es calculada como la razn de la mxima tensin a la mnima corriente.



Reactancia de dispersin de la armadura (Xl):

Es la reactancia resultado de la diferencia entre el flujo total producido por la corriente de armadura actuando sola y la fundamental del flujo en el entrehierro.

Este est compuesto por tres partes :

1) Flujo disperso en las ranuras

2) Flujo al final de la bobina

3) Flujo de dispersin diferencial, que incluidos los armnicos de flujo del entrehierro que inducen una tensin de la frecuencia de la fundamental .

La inductancia de dispersin de la armadura es una cantidad calculada y no medida.

Esta forma una parte de la reactancia sincrnica de eje directo y de eje en cuadratura, como as tambin de toda otra reactancia de secuencia negativa o positiva.

Reactancia transitoria de eje directo ( X`d ):

Las condiciones usadas en la definicin de la reactancia transitoria de eje directo son las que se usaron en la definicin de reactancia sincrnica de eje directo, excepto que la corriente de armadura de secuencia positiva es sbitamente aplicada y la tensin de armadura de secuencia directa es medido inmediatamente despus de la aplicacin de la corriente en lugar de despus que la tensin halla alcanzado un valor de estado estable.

En ambos casos el rotor es girado hacia adelante a la velocidad de sincronismo con su eje directo en lnea con la fmm de armadura y con la bobina de campo cerrada pero no excitada.

La aplicacin abrupta de la corriente de armadura causa la brusca aparicin de una fmm opuesta a cada polo del campo, tendiendo a estabilizar a el flujo a travs del polo del rotor.

Tal flujo podr enlazar la bobina de campo y se opone por induccin a la corriente de campo, tendiendo a mantener el flujo concatenado por la bobina de campo a un valor constante igual a cero. Por el teorema del flujo concatenado constante, un instante inmediatamente despus de la aplicacin de la corriente de armadura, el campo enlazado es cero .



Por lo tanto, el nico flujo que puede ser establecido inmediatamente, es aquel que no concatena la bobina de campo, sino que pasa a travs de un camino de baja permeancia., en gran parte por el aire, como muestra la figura 15c.

Bajo estas condiciones el flujo por Ampere es pequeo y esta definido como la inductancia transitoria de eje directo L`d .

La reactancia es siempre pequea con respecto a la de eje directo, o sea: X`d< Xd

La mquina sincrnica bajo las condiciones descritas, es anloga a un transformador con el devanado secundario cortocircuitado y con una corriente aplicada de repente al bobinado primario. El bobinado de armadura es el primario; el bobinado de campo : el secundario.

La reactancia Xd es anloga a la misma reactancia primaria, o reactancia a circuito abierto X11, y la X`d corresponde a la reactancia de cortocircuito primaria

Xsc = X11 = X11 - (X12)^2/ X22 Por lo tanto, X`d = Xd . Hay una diferencia entre el transformador y la mquina sincrnica Como en el transformador la frecuencia es la misma en ambos bobinados, visto que en la mquina, la corriente est alternando a la frecuencia fundamental de secuencia positiva en la armadura corresponde a la corriente directa en la bobina de campo; esto es, ambos producen un campo magntico rotante hacia adelante.

De repente una corriente aplicada a la armadura induce unidireccionalmente una corriente de campo que se opone al cambio del flujo concatenado de la bobina de campo lentamente tiende a estabilizarse a un determinado valor, y al mismo tiempo, la corriente de campo decae a cero.

La condicin estable que es finalmente alcanzada si la amplitud de la corriente o tensiones de armadura es mantenido constante es la condicin bajo la cual la reactancia sincrnica de eje directo fu definida, y bajo esta condicin no ha de importar en todo caso si la bobina de campo est abierta o cerrada porque esta concatenacin es constante en todo caso.

Si la corriente de armadura de secuencia positiva es de repente aplicada, la tensin de armadura de secuencia positiva es inicialmente X`d . I, pero gradualmente se incrementa hasta I . Xd.

Si la tensin de secuencia positiva es aplicada de repente, la corriente de secuencia positiva es inicialmente V/ X`d pero gradualmente decrece a V/ Xd. El cambio es exponencial, con una constante de tiempo de varios segundos.

La reactancia transitoria de eje directo, como la reactancia sincrnica de eje directo puede ser medidas por medio de ensayos de circuito abierto y cortocircuito, con la bobina de campo excitada.

Reactancia subtransitoria de eje directo ( X``d): En la definicin de X`d fue asumido que no hay otros circuitos en el rotor que el bobinado de campo principal. Pero podra haber circuitos adicionales en el rotor en cada eje.

Algunas mquinas de polos saliente tienen bobinados amortiguadores mostrados en la fig 15 e y 15f.

Si las corrientes de armadura de secuencia directa son aplicadas de repente en el momento en que la fase de la fmm rotante est en lnea con el eje directo del rotor, corrientes transitorias son inducidas en los circuitos del rotor de eje directo adicionales adems de la bobina de campo principal.

Estas corrientes transitorias opuestas a la fmm de armadura e inicialmente ellas son suficientemente fuertes

Los circuitos adicionales del rotor estn situados cercanos al entrehierro .

Consecuentemente el flujo creado por la corriente de armadura es inicialmente forzado a seguir un camino de dispersin de pequea seccin y baja permeancia que fue el caso en que todo el circuito del rotor fuera el bobinado de campo ( fig 15e).



Bajo estas condiciones el flujo concatenado por la bobina por Ampere de armadura es la inductancia subtransitoria de eje directo L``d. La inductancia subtransitoria y la reactancia son siempre ms pequeas que las cantidades transitorias.

La disminucin de las corrientes en el bobinado adicional es mucho ms rpido que en el bobinado de campo, as que despus de unos pocos ciclos, todas las corrientes del rotor, excepto la de campo, llegan a hacerse insignificantemente pequeas. La reactancia de armadura efectiva

tiende a incrementarse respecto a el valor de la transitoria y a la subtransitoria. El trmino subtransitorio da idea de un transitorio a muy corto tiempo.

La reactancia transitoria de las mquinas, teniendo circuito amortiguador, es prcticamente igual a aquella que existiera si este circuito amortiguador fuera sacado.

Reactancias transitorias y subtransitorias de eje en cuadratura ( X`q y X``q):

Estas cantidades son definidas de una manera similar a X`d y a X``d respectivamente excepto que la corriente de armadura de repente aplicada es en tal tiempo de fase que la cresta de la onda de fmm est en lnea con el eje en cuadratura de el rotor en vez del eje directo.

En una mquina de polos salientes y sin bobinados amortiguadores el cambio de flujo puede pasar de lado a travs de la bobina sin concatenar a ellas e induciendo corriente de campo

Los caminos de flujo, fig 15d,son los mismos que aquellos para un flujo estable fig 15b.

Esto es verdadero en una mquina con polos amortiguadores luego que la corriente en ellos ha llegado a ser insignificante. Consecuentemente, para mquinas de polos salientes, la X`q = Xq

A causa de que la corriente de campo es inducida por un cambio en el flujo de eje directo, aunque no por un cambio en el flujo de eje en cuadratura, X`d es ms pequeo que X`q. Los polos amortiguadores limitan inicialmente el flujo de eje en cuadratura a un camino de baja permeancia, como se muestra en la figura 15f,por ello se hace la reactancia X``q mucho menor que la X`q.

X``q es insignificantemente mayor que X``d. En una mquina de polos salientes sin devanado amortiguador X``q es igual a X`q, que como ya dijimos es igual a Xq.

En una mquina de rotor cilndrico el cambio de reactancia debido a las corrientes de remolino del eje en cuadratura pueden ser representadas bien equitativamente como la suma de dos exponenciales, de las cuales una es rpida y la otra lenta .

La transitoria lenta extrapolada desde atrs hasta cero nos da la X`q y la reactancia total inicial ser X``q.

Reactancia de secuencia negativa X2:

Supongamos que la mquina ser rotada hacia adelante a la velocidad de sincronismo con todos los circuitos del rotor cerrados, mientras una corriente de secuencia negativa es aplicada a la bobina de la armadura.

La corriente de secuencia negativa produce una fmm rotante a la velocidad de sincronismo con respecto a la armadura y en sentido contrario al movimiento del rotor y con velocidad del doble de la de sincronismo con respecto a este.

Viendo desde el rotor, la fmm alterna a el doble de la frecuencia aplicada a la mquina. Corrientes del doble de frecuencia son inducidas en todos los circuitos del rotor, manteniendo el flujo concatenado de estos circuitos casi al valor cero.

El flujo a causa de la corriente de armadura es forzado a pasar por un camino de baja permeancia que no enlaza ningn circuito del rotor. Estos caminos son los mismos que aquellos para la reactancia subtransitoria ( fig 15e y 15f ).El flujo concatenado bajo Ampere de armadura bajo estas condiciones es



la inductancia de secuencia negativa L2 . Entonces la onda de fmm se mueve al doble de la velocidad de sincronismo respecto al rotor, est encuentra alternativamente permeancias de los dos ejes del rotor, correspondiendo a X``d y X``q

Por lo tanto el valor de X2 est situado entre X``d y X``q, este valor ser :

X2 = ( X``d + X``q )/ 2

Reactancia de secuencia cero Xo:

Si corrientes de secuencia cero son aplicadas a la armadura,no hay componente fundamental de la fmm entonces la reactancia es pequea y es duramente afectada por el movimiento del rotor.

Hay en general un tercer armnico de la fmm en el entrehierro que es estacionario pero pulsante Las corrientes inducidas en los circuitos del rotor se oponen a esta fmm, por lo tanto no hay mucho flujo en el entrehierro. Las corrientes de secuencia cero producen flujos de dispersin en las ranuras, en las bobinas y flujos de dispersin diferencial, pero estos no son los mismos que los producidos por la corriente de secuencia directa.

En total un pequeo flujo es creado y la reactancia de secuencia cero es la ms chica de las reactancias sincrnicas de la mquina, igual de baja que X``d .

El valor de Xo varia en un amplio rango y depende de la inclinacin de las bobinas en la armadura.

La reactancia de secuencia cero es determinada por conexin de tres bobinados de armadura en serie y enviando corriente de una fase a travs de ellas. La razn de la tensin terminal de una bobina de fase a la corriente es la impedancia de secuencia cero, que tiene en forma muy aproximada la magnitudes la reactancia de secuencia cero.

Resistencia de las mquinas sincrnicas:

Resistencia de secuencia positiva r1

La resistencia de secuencia positiva de una mquina sincrnica es su resistencia de armadura de corriente alterna, que mayor que la de corriente continua a causa de la no uniformidad de la densidad de corriente y las prdidas locales en el hierro. Esta resistencia es siempre despreciable en anlisis de sistemas de potencia.

Resistencia de secuencia negativa r2

Bajo condiciones de secuencia negativa, son inducidas corrientes en todos los circuitos del rotor La mitad de la potencia de secuencia negativa de entrada es gastada en las perdidas en el cobre del rotor, la otro mitad es usada en forma mecnica.

Como estas perdidas son ms grandes que las prdidas en el cobre de la armadura, la resistencia de secuencia negativa es ms grande que la resistencia de secuencia positiva.

Su valor depende en gran parte de la resistencia de los bobinados amortiguadores si estos estn presentes.

Resistencia de secuencia cero

Es igual o algo ms grande que la de secuencia positiva, dependiendo de las prdidas en el cobre del rotor a causa de las corriente inducidas en el rotor por las corrientes de secuencia cero de la armadura.

Esta es usualmente despreciable



Constantes de tiempo de las mquinas sincrnicas:

Durante un transitorio en una mquina sincrnica, las corrientes y las tensiones tienen componentes cuyas magnitudes cambian con una o ms constantes de tiempo como las que mostraremos a continuacin :

Constante de tiempo transitoria de eje directo a circuito abierto T`do

Si la armadura est a circuito abierto y si no hay circuitos amortiguadores, el circuito de campo no es afectado por ningn otro.

Bajo estas condiciones el cambio de la corriente de campo en respuesta a una aplicacin repentina, eliminacin o cambio de la fem en el circuito de campo, es gobernado por la constante de tiempo de circuito abierto.

Que es dado por una expresin similar a la de un circuito simple R-L, a saber

T`do = Lff / Rf

donde Lff es la autoinductancia del circuito del campo en Henrys y Rf es la resistencia del circuito de campo Ohms. El circuito de campo incluye : el bobinado de campo, el restato de campo, la armadura de la excitacin, y las conexiones.

La amplitud de la tensin terminal de armadura de c.a. a circuito abierto de una mquina no saturada es directamente proporcional a la corriente de campo, por lo tanto, cambia con la misma constante de tiempo que la corriente.

Esta constante de tiempo est entre 2 y 11 segundos.

_Constante de tiempo transitoria a eje directo en cortocircuito T`d

Si ambos circuitos, de campo y armadura son cerrados, la corriente en un circuito induce corriente en el otro.

A causa de la rotacin de un circuito con respecto al otro, como, las dos corrientes no estn a la misma frecuencia: la corriente directa en la bobina del campo es asociada con corriente alterna de secuencia positiva en la armadura y la corriente directa en la armadura es asociada con corriente alterna en el campo. Cada grupo de corrientes tiene una diferente constante de tiempo

Una que gobierna la velocidad de cambio de la corriente directa en el campo, y la amplitud de la corriente alterna en la armadura, esta constante de tiempo es la de campo. La otra gobierna la corriente directa en la armadura y la corriente alterna en el campo .(constante de tiempo de la armadura.

La constante de tiempo en la armadura es la razn de la inductancia aparente del circuito del campo cuando se acopla al cierre de el circuito de armadura la resistencia aparente del circuito de campo bajo las mismas condiciones.

Por lo tanto su valor depende de la impedancia del circuito de armadura.

La constante de tiempo de circuito abierto de campo, discutida arriba, tiene un valor particular de constante que es valido cuando el circuito de campo esta abierto. En el otro extremo, la constante de tiempo de campo en corto circuito es valido cuando el campo est cortocircuitado En cortocircuito la constante de tiempo del circuito de campo es mucho menor que la de circuito abierto.

La resistencia aparente de la bobina de campo, no as la inductancia, es la misma que si el circuito de armadura est abierto o cerrado .



La razn de la inductancia de cortocircuito del bobinado de campo a su inductancia a circuito abierto es X`d / Xd, mientras su resistencia no cambia, la razn de la constante de tiempo de cortocircuto a la de circuito abierto es igual a la razn de las correspondientes impedancias.

Por lo tanto la constante de tiempo de cortocircuito transitoria de eje directo es :

T`d = ( X`d /Xd ) . T`do

Si la armadura es cerrada por medio de una impedancia externa, balanceada, de valor finito, entonces, la constante de tiempo del campo tiene un valor entre T`d y T`do .

Si la impedancia externa es puramente reactiva, la constante de tiempo est dada por la modificacin de la ecuacin anterior en el valor en el cual estas reactancias son incrementadas externamente .Si la impedancia externa tiene mucha resistencia, o la mquina es conectada a una red teniendo otra mquina sincrnica conectada, la situacin es ms compleja.

Constante de tiempo subtransitoria de eje directo T``do y T``d En una mquina con campo amortiguador, hay sobre el eje directo del rotor dos circuitos acoplados (el del campo y el amortiguador ),en reposo uno con respecto al otro, pero ambos en rotacin con respecto a la armadura. Los dos circuitos acoplados tienen dos constantes de tiempo, el largo, tiene una constante de transitoria ; el corto, una constante de tiempo subtransitoria. Ambas constates de tiempo estn afectadas por la impedancia del circuito de armadura.

Si el circuito de armadura est abierto, las constantes de tiempo tienen sus valores a circuito abierto T`do y T``do.

Si la armadura est cortocircuitada, las constantes de tiempo tienen sus valores de cortocircuito T`d y T``d .

Un valor tpico de circuito abierto es T`do = 6 seg. y T``do = 0,125 seg.

Un valor tpico de cortocircuito es T`d =1,5 seg. y T``d =0,035 seg.

Constantes de tiempo de eje en cuadratura T`qo, T``qo, T`q, T``q En un rotor cilndrico macizo, el cambio de amplitud de las componentes de eje en cuadratura de de la corriente o tensin alternas de armadura pueden ser representadas bastante bien por la suma de dos exponenciales.

Las constantes de tiempo de estas dos exponenciales son T`qo y T``qo cuando la armadura est a circuito abierto ; T`d y T``d cuando la armadura est en cortocircuito.

El valor de T`q es aprox. la mitad de T`d, o sea 0,8 seg, y el valor de T``q es muy cercano al de T``d, aprox. 0.035 seg.

En una mquina de polos salientes T`q es insignificante, pero si la mquina tiene polos amortiguadores, T``q es significativo y es aproximadamente igual a T``d .

Constante de tiempo de cortocircuito de la armadura Ta Apliquemos una corriente directa en el bobinado de la armadura y una corriente alterna al campo y circuitos amortiguadores, ambos de los cuales estn cerrados.

La constante de tiempo es igual a la razn de la inductancia de armadura a la resistencia bajo estas condiciones. La inductancia de armadura bajo estas condiciones es igual a la inductancia de secuencia negativa L2, porque, aunque las corrientes del rotor son de la frecuencia fundamental en el presente caso y el doble de la frecuencia fundamental en el caso de la de secuencia negativa,

en ambos casos el flujo enlazado por los circuitos del rotor son constantes y el flujo creado por la corriente de armadura es forzado a circular por caminos de baja permeancia como el ilustrado en la fig 15e y f.



La resistencia de armadura no es afectada por los circuitos del rotor y es el valor de corriente continua ra.

Consecuentemente la constante de tiempo es :

Ta = L2 / ra = X2 / ra Esta tiene un valor aproximado de 0,15 seg con un cortocircuito en los terminales de la armadura, pero es mucho mayor si es cortocircuitado por una resistencia externa en el circuito de la armadura.

Teora matemtica: [pag 52} En la parte anterior se han visto los conceptos de reactancias de mquinas sincrnicas y de constante de tiempo.

Este enfoque terico es desarrollado suponiendo que la mquina est compuesta de varios circuitos inductivos aplicados, las inductancias propias y mutuas de que varan peridicamente con la posicin angular de rotor.

Consideremos una mquina trifsica de polos salientes sin bobinados amortiguadores. Las prdidas en el hierro y saturacin pueden ser despreciados.

Tal mquina tiene cuatro bobinados : el bobinado de campo, y tres bobinados de armadura, uno por cada fase.

La tensin terminal instantnea en cada uno de estos bobinados pueden ser escritos en la siguiente forma

v = r i + d / dt (89) Donde r es la resistencia del bobinado, i es la corriente, y es el flujo enlazado por la bobina que depende de la inductancia propia de la bobina, la inductancia mutua entre esta y otras bobinas y las corrientes en todas las bobinas acopladas; de esta manera :

= L i (90) Sealando las bobinas de las armaduras por a, b, c y la bobina de campo por f ; las ecuaciones anteriores pueden escribirse de la forma que muestran las ecuaciones siguientes

va = r ia + da / dt (91) vb = r ib + db / dt (91b) vc = r ic + dc / dt (91c)

vf = rf if + df / dt (91d) donde a = Laa ia + Lab ib + Lac ic + Laf if

b = Lba ia + Lbb ib + Lbc ic + Lbf if c = Lca ia + Lcb ib + Lcc ic +Lcf if f = Lfa ia + Lfb i + Lfc i +Lff if

En las ecuaciones anteriores, r representa la resistencia de cada fase de la armadura y rf representa la resistencia del campo.

Por causa de que alguna de las inductancias varan con el tiempo, es imposible resolver las ecuaciones anteriores, para hallar las corrientes para algunas tensiones terminales dadas sin conocer esas inductancias como funcin del tiempo.

Por lo tanto, ellas pueden ser expresadas en trminos de la posicin angular del rotor con cambios con el tiempo, por lo tanto : = t + o (93) donde es la velocidad angular, la cual puede ser considerada constante y o es el valor inicial de .



Inductancias de las bobinas como funcin de la posicin del rotor: Las convenciones para las direcciones positivas de las corrientes y de los ngulos estn hechas en acuerdo con la fig 27.

Los ejes magnticos de las tres fases de la armadura estn separados entre si 120 grados elctricos .Los ejes directos y en cuadratura del campo estn separados 90 grados elctricos, con el eje de cuadratura primero como se ve en la figura. La posicin del rotor est dada por el ngulo por cul el eje directo del campo tiene vueltas ms all del eje de la armadura de la fase a .

La autoinductancia de cada fase de la bobina es siempre positiva,pero varia con la posicin del rotor, siendo mayor cuando la posicin del eje del campo coincide con el eje de la fase de la armadura y pequeo cuando el eje en cuadratura coincide con ste. La variacin de la auto inductancia entre estas dos posiciones, puede ser calculada desde los datos de diseo o medida por ambos mtodos esta puede ser encontrada, por ser prcticamente sinusoidal, como se ve en la figura 28.

La variacin de la autoinductancia de fase a puede ser expresada por la ecuacin siguiente :

Laa = Ls + Lm cos ( 2 ) (94) donde Ls > Lm.

Esta tiene el mximo valor para = 0 y 180, y valores mnimos para 90 y 270. La variacin de la inductancia de la fase b es similar, excepto que el mximo valor ocurre donde el eje directo coincide con el eje de la fase b, que est a 120 o a -60, por lo tanto, la ecuacin para la fase b ser :

Lbb = Ls + Lm cos 2( - 120 ) = Ls + Lm cos ( 2 + 120 ) (95) y para la fase c ser :

Lcc = Ls + Lm cos 2 ( + 120 ) = Ls + Lm cos ( 2 - 120 ) (96) La inductancia mutua entre dos fases de la armadura tambin varia con la posicin del campo



Esta es siempre negativa y su mayor valor absoluto ocurre donde el eje directo se encuentra a mitad de camino entre el eje de una fase y el reverso de la otra . De esta manera el valor del mximo absoluto de la inductancia mutua entre fases a y b ocurre a = -30 o 150, y as entre las dems fases. Tambin debemos tener en cuenta para el calculo y para el ensayo, que la amplitud de la variacin de la inductancia mutua entre dos fases del estator es prcticamente la misma que la variacin de la autoinductancia de una fase del estator, como se muestra en la fig 29 .

Consecuentemente esta puede se notado por el mismo smbolo,Lm :

Lab = Lba = -(Ms + Lm cos 2( + 30 ))= - Ms + Lm cos (2 - 120 ) (97) Lbc = Lcb = -(Ms + Lm cos 2( - 90 ) ) = - Ms + Lm cos 2 (98) Lac = Lca= - ( Ms + Lm cos 2( + 150 ) )= -Ms + Lm cos (2 + 120 ) (99)

La inductancia mutua entre el bobinado de campo y cada fase de la armadura es mayor cuando la direccin de eje directo coincide con la direccin de cada fase . Despus de que el campo gira 180, en esta posicin la inductancia mutua es igual y opuesta al valor original .

La variacin es sinusoidal ; esto puede ser visto como que la variacin de est inductancia mutua es necesaria para dar una tensin a circuito abierto sinusoidal, como ocurre comnmente con las mquinas comerciales .

Laf = Lfa =Mf cos (100) Lbf =Lfb= Mf cos ( -120) Lcf = Lfc= Mf cos ( + 120) (102)

La autoinductancia del bobinado de campo es constante .

Sustituyendo los valores de las inductancias en las ecuaciones anteriores obtenemos las siguientes expresiones para los flujos concatenados :

a = ( Ls + Lm cos 2 ) ia + ( -Ms + Lm cos ( 2 - 120)) ib + (-Ms + Lm cos (2 + 120)) ic + ( Mf cos ) if (103a) b =( -Ms + Lm cos ( 2 - 120 )) ia + ( Ls + Lm cos ( 2 + 120 )) ib + (-Ms + Lm cos 2 ) ic + (Mf cos ( - 120 )) if c= (-Ms + Lm cos (2 +120)) ia + (-Ms + Lm cos 2) ib + (Ls + Lm cos (2 - 120)) ic + (Mf cos ( + 120 )) if

f = ( Mf cos ) ia + ( Mf cos ( - 120 )) ib +( Mf cos ( + 120 )) ic +Lff if (103d) Ahora supongamos que las tensiones sobre las cuatro bobinas son conocidas como funciones del tiempo y que son buscadas las cuatro expresiones de las corrientes como funciones del tiempo. En nuestras ecuaciones sern incgnitas las cuatro corrientes y sus derivadas respecto al tiempo. Para obtener estas



ecuaciones ponemos = t + o en las ecuaciones anteriores asumiendo que es constante, haciendo la derivada con respecto al tiempo de estas ecuaciones y sustituyendo el resultado en las ecuaciones 91. El resultado de estas ecuaciones es muy complicado, como muestra la de va:

va = ( r - 2Lm sin 2(t + o) ia - ( 2 Lm sin (2t + 2 o - 120)) ib - (2 Lm sin(2t + 2o + 120)) ic - ( Mf sin (t + o )) if + (Ls +Lm cos 2(t +o)) dia/dt + (-Ms + Lm cos(2t +2o-120)) dib/dt + ( Mf cos (t + o)) dif / dt + [-Ms+Lm cos(2wt+2o+120)]dic/dt [104] Sin bien la solucin de las cuatro ecuaciones diferenciales de este gnero es tericamente posible, pero dicha solucin no es prcticamente viable.

Transformacin de Park:

Las ecuaciones de las mquinas sincrnicas pueden ser grandemente simplificadas por medio de una transformacin de variables .

Esto es un grupo de corrientes ficticias, tensiones, y flujos enlazados pueden ser definidos en funcin de las corrientes, tensiones, y flujos enlazados actuales, y las ecuaciones pueden ser puestas en trminos de nuevas variables.

Las ecuaciones pueden ser resueltas por las nuevas variables como funciones del tiempo.

Desde los resultados, las actuales cantidades elctricas pueden ser fundamentadas como funciones del tiempo

La sustitucin podr ser observada como puramente matemtica, y frente a este punto de vista no ser necesario hacer ninguna interpretacin fsica de estas cantidades ficticias .

Ella podr ser simplemente elegida de manera de seguir un camino que simplifique dichas ecuaciones. Actualmente, la sustitucin particular usada est basada en un razonamiento fsico y las variables sustituidas pueden dar una interpretacin fsica.

El lector se ha enfrentado ya al uso de una sustitucin de variables en el mtodo de componentes simtricas .

La transformacin de la que hablamos es la llamada transformacin de Park y dichas variables son llamadas variables de Park .

Las actuales corrientes de armadura ia,ib y if son reemplazadas por las corrientes ficticias de acuerdo con las siguientes ecuaciones :

ia = id cos - iq sin + io (105a) ib = id cos ( - 120) - iq sin ( - 120) + io ic = id cos ( + 120) - iq sin ( + 120) + io [105c]

No ser hecha la sustitucin de la corriente if .Similares sustituciones haremos en las tensiones y con los flujos enlazados .

La transformacin inversa ser :

id = 2/3 ( ia cos + ib cos ( -120) + ic cos ( + 120) [106a] iq = -2/3 ( ia sin + ib sin ( - 120) + ic cos ( + 120) [106b] io = 1/3 ( ia + ib + ic ) [106c]

Para corrientes de armadura y similarmente para tensiones y flujos enlazados .

Las ecuaciones anteriores pueden ser deducidas de las ecuaciones de ms arriba como sigue

Para obtener i, multiplico la primera, segunda, y tercer ecuacin por, cos , cos ( - 120), cos( + 120) respectivamente y sumo .



Para obtener i, multiplico por sin , sin ( - 120), y sin ( + 120) respectivamente . Para obtener i simplemente sumo las tres ecuaciones .

Las siguientes identidades son necesarias :

(cos )^2 + (cos ( - 120))^2 + ( cos (+120))^2 = 3 / 2 (sin )^2 + (sin ( - 120 ))^2 +(sin (+ 120))^2 = 3 / 2 sin cos + sin ( - 120 ) cos( - 120) +sin ( + 120) cos ( + 120) = 0 cos + cos ( - 120) + cos ( + 120) = 0 sin + sin ( - 120) + sin ( + 120 ) = 0

Estas identidades pueden ser probadas escribiendo los senos y cosenos en trminos de exponenciales.

Flujos concatenados en trminos de la transformada de Park: Procedamos con el cambio de variables . Obteniendo como antes las ecuaciones diferenciales de tensin, pero ahora en el nuevo sistema, podemos encontrar las ecuaciones de los flujos concatenados como funciones de la corriente .

Para lograr esto, escribimos las ecuaciones similares a 106 para d, q y o en trminos de a, b y c . Entonces sustituimos las 105 en las y las 103

El lgebra y la trigonometra requerida es enorme, y las ecuaciones finalmente obtenidas son las siguientes :

d = (Ls +Ms +3/2 Lm ) id + Mf if (112a) q = (Ls +Ms - 3/2 Lm ) iq o = ( Ls - 2 Ms ) io f = 3/2 Mf id + Lff if (112d)

Estas ecuaciones son ms simples que las 103 en dos aspectos : primero, en que todos los coeficientes son constates independientemente de la posicin del rotor y segundo, que hay casi una completa separacin de variables . Las cantidades entre parntesis son las razones de los flujos ligados a las corrientes, obviamente ellas son inductancias en el nuevo sistemas de variables .

Ellas son idnticas a algunas inductancias de mquinas sincrnicas que ya vimos :

Ls +Ms + 3/2 Lm = Ld = inductancia sincrnica de eje directo

Ls +Ms - 3/2 Lm = Lq = inductancia sincrnica de eje en cuadratura

Ls - 2 Ms = Lo = inductancia de secuencia cero

De esta manera las ecuaciones 112 pueden ser escritas :

d = Ld id + Mf if (116a) q = Lq iq o = Lo io f = 3/2 Mf id + Lff if {116d)

Interpretacin fsica de las variables de Park: La fmm de cada fase de la armadura, siendo sinusoidalmente distribuida en el espacio puede ser representada por un vector, la direccin del cual es aquella del eje de la fase y la magnitud del cual es proporcional a los valores instantneos de la corriente. La fmm resultante de la combinacin de las tres



fases puede ser del mismo modo representada por un vector como es el vector suma de los vectores de las fmms .

Las proyecciones de los vectores de las fmms combinadas sobre los ejes directo y de cuadratura del campo son iguales a la suma de las proyecciones de los vectores de las fmms de las fases sobre los respectivos ejes como los dados por las expresiones para id y iq, ecuaciones 106 .

La constante 2/3 es arbitraria .

De este modo id puede ser interpretada como la corriente instantnea en un bobinado de armadura ficticio el cul rote a alguna velocidad, como la del bobinado de campo,y permaneciendo en posicin tal que el eje siempre coincida con el eje directo de campo.

El valor de la corriente en este bobinado, ser tal que nos d la misma fmm sobre este eje que la que nos dan las tres corriente instantneas de armadura circulando en el bobinado de armadura real .

La interpretacin de iq es igual a aquella de i, excepto que acta sobre el eje en cuadratura en vez de en el eje directo .

La io de las nuevas variables es igual que la corriente de secuencia cero original, excepto que esta es un valor instantneo y es definida en funcin de las corrientes instantneas de fase . Esta corriente no da una fmm fundamental en el entrehierro .

El flujo enlazado de los bobinados de armadura ficticios en los cuales id y iq fluye, son d y q respectivamente .

En vista de nuestra anterior interpretacin de id y iq es aparente que sus fmms son estacionarias con respecto al rotor y por lo tanto actan sobre caminos de permeancia constante .Por lo tanto las correspondientes inductancias Ld y Lq son independientes de la posicin del rotor.

Los bobinados ficticios de eje directo del estator y los bobinados de campo estn inductivamente acoplados .Cada uno tiene una autoinductancia ( Ld y Lf) y hay una inductancia mutua entre ellas .Puede ser notado que las inductancias mutuas tienen distintos valores en 106a y 106d, siendo Mf en una y 3/2.Mf en la otra .

Esta diferencia podr ser evitada por la correcta seleccin de los coeficientes constantes en las ec. 105 y 106, de cualquier modo, permaneceremos con la forma de las variables dadas por Park.

Ecuaciones circuitales en trminos de las variables de Park:

Ahora que las ecuaciones de la forma = Li desde su forma original (ec. 103) a ec. en las nuevas variables (ec. 116), as :

v = ir +d/dt Las tensiones de Park estn dadas por ecuaciones similares a las 106 para corrientes, a saber :

vd = 2/3 ( va cos + vb cos ( - 120) +vc cos ( +120)) vq = -2/3 ( va sin + vb sin ( - 120) + vc sin ( + 120)) vo = 1/3 ( va + vb + vc ) [117]

Sustituyendo las ecuaciones 117 en las expresiones para las tensiones de fase, ec. 91:

vd = 2/3 ((r ia + da/dt) cos + ( r ib + db/dt) cos ( - 120) +( r ic + dc/dt ) cos ( +120)) v = r 2/3 ( ia cos + ib cos ( - 120) +ic cos ( +120)) + 2/3 ( da/dt cos + db/dt cos ( -120) + dc/dt cos ( + 120)) = r id + ( d/dt)d (118)

donde ( d/dt)d, es introducido como una abreviatura de el segundo trmino de la segunda expresin, y el cual no debe ser confundido con dd/dt . As,



d = 2/3 (a cos + b cos ( - 120) + c cos ( + 120)) [119] donde = t + o

dd/dt = 2/3 ( da/dt cos + db/dt cos ( - 120 ) + dc/dt cos ( + 120)) - 2/3 ( a sin + b sin ( - 120 ) + c sin ( + 120))= (d/dt)d + q [120]

sustituyendo el valor de (d/dt) de la ecuacin 120 a la 118 obtendremos : vd = r id + dd/dt - q [121]

procediendo de la misma manera con vq

vq = riq + dq/dt + d [122] tambin :

v o = r io + do/dt [123] La ecuacin 123 tiene forma usual, como la 89, pero las ecuaciones 121 y 122 son inusuales debido a los trminos extras - q y d, respectivamente. La presencia de estos trminos demanda una interpretacin fsica.

En la interpretacin de las ecuaciones 116,fue sugerido que i y i estaban en el bobinado del estator, el cul era ficticio y rotaba, el cul daba la misma fmm que la corriente de armadura original en el bobinado de armadura original .

El mismo efecto puede ser logrado considerando que el bobinado de armadura es estacionario y el circuito del bobinado ser cerrado con un conmutador sobre el cual descansan escobillas, las cuales giran con el campo .

El eje magntico de estator siempre coincidir con el eje de la escobilla .

De este modo id puede ser interpretada como la corriente entrante y saliente de la armadura a travs de un par de escobillas las cuales estn alneadas con el eje directo del campo .

Similarmente iq es interpretada como la corriente saliente y entrante de la armadura a travs de un segundo par de escobillas, alneadas con el eje en cuadratura del campo .En otras palabras la armadura, puede ser considerada como la de un generador sicrnico, teniendo ambos, conmutador y anillos rozantes, pero teniendo escobillas en ambos ejes en lugar del eje de cuadratura solamente .

Las corrientes de fases originales, entrando por los anillos rozantes, dan la misma fmm que si se sustituyen las corrientes id e iq entrando en las escobillas conmutadoras .

Esta figura fsica es tambin correcto para las tensiones.

Los trminos -.q y .d en las ecuaciones 121 y 122 pueden ser interpretadas como componentes de tensiones aplicadas, requeridas para el balance de la tensin dinmica .

La tensin dinmica a travs de cada par de escobillas es proporcional al flujo sobre los ejes 90 grados adelante del eje de las escobillas .

Podemos ahora sustituir la ecuacin 116 para el flujo enlazado en la 121, 122, 123 y 91d en este orden, para obtener las ecuaciones diferenciales para las tensiones en trminos de las corrientes . Los resultados son los siguientes :

vd= r id + Ld did/dt -w Lq iq + Mf dif/dt

vq = r iq + Lq diq/dt + w (Ld id + Mf if)

vo = r io + Lo dio/dt

vf = rf if + Lff dif/dt + 3/2 Mf did/dt [124]



Estas ecuaciones se corresponden con las [104], pero son mucho mas simples que aquellas, debido a que hay solamente dos, tres o cuatro trminos por ecuacin en lugar de ocho y las corrientes y sus derivadas tienen coeficientes constantes .

Prueba de las expresiones de las inductancias de Park: Cuando las ecuaciones 116 fueron obtenidas en trminos de las variables de Park,se dijo que las inductancias eran idnticas a algunas de las inductancias de las mquinas sincrnicas, las cuales fueron definidas anteriormente . Ellas son :

Inductancia sincrnica de eje directo Ld

Las condiciones previamente especificadas en la definicin de esta inductancia son ::

a) Corrientes estacionarias de secuencia positiva aplicadas a la armadura:

ia = I cos wt [125]

ib = I cos (wt-120)

ic = I cos (wt +120)

b) Corriente de campo a circuito abierto

if =0 [126]

c) Campo rotante a la velocidad de sincronismo con el eje directo en lnea con el eje de la onda de fmm de la armadura .

= wt [127] Bajo estas condiciones el flujo concatenado por Ampere de armadura a la inductancia sincrnica de eje directo Ld .

Ld = Ls + Ms + 3/2 Lm [132]

Esto es vlido para las tres fases .

Inductancia sincrnica de eje en cuadratura Lq Las condiciones fijadas en la definicin de Ld son las mismas,salvo que el campo es rotado con el eje en cuadratura en lnea con el eje de la onda de la fmm de armadura .

Lq = Ls + Ms - 3/2 Lm [135]

Inductancia de secuencia cero Lo Las condiciones especificadas en la definicin de Lo son :

a) Corriente de secuencia cero en estado estacionario aplicada a la armadura :

ia = ib = ic = I cos wt [136]

b)Corriente de campo a circuito abierto

if= 0 [137]

c) Movimiento del campo no especificado

= [137] Inductancia transitoria de eje directo Ld

Esta inductancia es igual al flujo inicial concatenado en la armadura por unidad de corriente en la armadura bajo las siguientes condiciones :

a) Corriente de secuencia directa aplicada en forma repentina a la armadura :

ia = I1 cos wt [141]



ib = I1 cos (wt-120)

ic = I1 cos (wt +120)

b) Circuito de campo cerrado pero no excitado :

Vf =0 [142]

c)Campo rotado bajo las especificaciones echas en el calculo de la determinacin de la inductancia sincrnica de eje directo :

= wt [143] id = I1

iq = 0

io =0 [144]

As:

L`d = Ld - 3/2 (Mf )^2 /Lff

vemos que L`d < Ld

Inductancias transitoria de eje en cuadratura y subtransitorias de ejes directo y en cuadratura, L`q, L``d, y L``q

Ser asumido en la teora que el rotor posee solo el circuito del bobinado de campo .

Bajo esta suposicin, la inductancia subtransitoria de eje directo ser igual a la inductancia transitoria de eje directo y las inductancias transitoria y subtransitoria de eje en cuadratura son iguales a la inductancia sincrnica de eje en cuadratura .

La adicin de un bobinado amortiguador en el eje directo har que la inductancia subtransitoria de eje directo sea menor que la transitoria .

Un bobinado amortiguador en el eje de cuadratura har que la reactancia subtransitoria del eje de cuadratura sea menor que la transitoria y la inductancia sincrnica, si bien, las ultimas dos se mantendrn fijas a menos que halla un bobinado de campo en el eje de cuadratura (inusual condicin ) o algn otro circuito de similar constante de tiempo .

Inductancia de secuencia negativa L2 La inductancia de secuencia negativa de una mquina sincrnica trifsica, es el flujo concatenado por una fase del bobinado de la armadura por Ampere de corriente de armadura bajo las siguientes condiciones :

a) Corriente de secuencia inversa en estado estacionario aplicada a el bobinado de armadura :

ia = I cos wt [152]

ib = I cos (wt +120)

ic = I cos (wt-120)

b) Circuito del campo cerrado, pero no excitado

Vf = 0 [153]

c) Campo rotando a la velocidad sincrnica, en alguna posicin:

= wt + [154] As :

L2 = (L``d + L``q ) / 2 [165]



Si la resistencia del bobinado amortiguador es apreciable comparada con sus autoinductancia al doble de la frecuencia, entonces la reactancia de secuencia negativa depender algo sobre la resistencia como tambin lo har sobre las reactancias de los bobinados .

Es interesante ver que si la frecuencia de la tensin de secuencia negativa (o del flujo enlazado) impuesta a la armadura, las corrientes de armadura no son sinusoidales y contiene un tercer armnico en adicin a la fundamental .En este caso la inductancia de secuencia negativa, definida de nuevo como la razn del flujo concatenado fundamental por unidad de corriente fundamental tiene un valor diferente que antes, esto es ahora :

L2 = ( 2 L``d L``q) / (L``d + L``q) [167]

Esta ecuacin nos da un lmite inferior y la ecuacin en donde no consideramos los armnicos,un valor superior de L2 .En la prctica hay una pequea diferencia entre los dos valores y la inductancia de valor superior es usada .

Diagrama vectorial de secuencia positiva de eje directo: Consideremos que el campo puede ser excitado con corriente constante : i = If y que la corriente de armadura es estable y de secuencia positiva :

ia = I cos (wt + ) ib = I cos (wt + -120) ic = I cos (wt + +120) [169]

Entonces las corrientes de Park son:

id =Iq [171]

iq = Iq

i0 =0

Los flujos de Park son :

d = ld id + Mf If o =0 q = Lq Iq f = 3/2 Mf Id + Lff If [172]

todos los cuales son constantes . Las tensiones de Park sern :

Vd = r Id - w q = r Id -w Lq Iq =r Id - Xq Iq = Vd = cte. [173] y

Vq = r Iq + wd = r Iq + w Ld Id + w Mf If = r Iq + Xd Id + Eq = Vq = cte. [174] donde

Eq = w Mf If [175]

es la tensin de excitacin, o tensin interna de la mquina sincrnica. Esta es directamente proporcional a la corriente de campo If .

La corriente de armadura de secuencia positiva es :

I = Id + j Iq [176]

y similarmente la tensin terminal de armadura de secuencia positiva es :

V = Vd + j Vq [177]

y la tensin de excitacin de secuencia positiva es :

E = 0 + j Eq = j wMf If [178]

Sustituyendo las ecuaciones 173 y 174 en la 177, tenemos :



V = E + r I + j Xd Id - Xq Iq [179}

Las tensiones, corrientes, y flujos concatenados en las ecuaciones 172 a 179 son constantes igual a los valores de cresta de las correspondientes cantidades de secuencia positiva, como las indicadas en las ecuaciones 169 para la corriente I .Por lo tanto los correspondientes valores efectivos pueden ser usados en algunos excepto en las ecuaciones donde se usa la corriente de campo If .

El diagrama vectorial correspondiente a la ecuacin 179 es mostrado en la fig. 30 .

Este es dibujado para valores positivos de las corrientes If, Id,Iq y . Estas condiciones corresponde al funcionamiento como motor con corriente magnetizante, como puede ser visto desde los siguientes consideraciones :si If e Id son ambas positivas, la ec. 172a muestra que sus efectos son acumulativos. Por lo tanto, Id es magnetizante .

Los polos de campo y armadura son los mostrados en las fig. 31a .

Supongamos ahora que Iq es positiva e Id es cero, entonces, el eje de cuadratura estar 90 grados adelante del eje directo .Los polos podrn ser localizados como los muestra la fig. 31b, correspondiendo a la operacin como motor.

Id negativa ser desmagnetizante e Iq negativa representa el funcionamiento como generador .

Notemos que las ecuaciones del circuito original (91) fueron originadas con tal convencin que la potencia positiva es potencia consumida (que la operacin como motor ) .

En consecuencia, la ec. 179 que fue derivada de las ecuaciones originales, lleva la misma convencin de signos y es de la forma :

V = E + Z I

Y en los generadores

V = E - Z I



Si el signo de I es cambiados in cambiar el signo de If, entonces Id positiva es desmagnetizante e Iq positiva representa la accin como generador, convencin que se mantendr .

La accin como generador es mostrada en la figura 32 .En este diagrama el eje de cuadratura es dibujado horizontalmente .

En ambos diagramas la tensin de excitacin E est situada a lo largo del eje de cuadratura positivo .

Si el vector j Xq I (que es la corriente de armadura total multiplicada por Xq ) est en adelanto al tensin terminal V, una tensin terminal Eqd est situada sobre el eje en cuadratura .

Si el generador es operado con corriente de campo constante If, pero cambiando lentamente la carga o el factor de potencia, entonces E ser constante y Eqd, aunque no lo ser, permanecer en fase con E .

La fase de E y Eqd es indicativa de la posicin del rotor. Entonces cuando es hecho un estudio de estabilidad cada mquina sincrnica de polos salientes podr ser representada por una fem Eqd y una reactancia Xq .Si esta representacin es usada, el valor de Eqd debe ser ajustado, a medida que pasa el tiempo, con el valor constante deseado de E de acuerdo a la siguiente relacin :

Eqd = E - Id (Xd - Xq)

A causa de los pronunciados efectos de la saturacin sobre el estado un estacionario estable, las mquinas son rara vez representadas de esta manera .

En una mquina de rotor cilndrico Xd y Xq son muy parecidas y pueden ser representadas por el mismo valor sin incurrir en un error muy grande.

En este caso Eqd = E .

Diagrama vectorial para el estado transitorio: Si cambiamos lentamente la corriente de armadura I, entonces la corriente de campo permanecer constante . La tensin de excitacin ficticia Eq, la cual por definicin es proporcional a la corriente de campo, tambin permanece constante.

Si hay un circuito del rotor en el eje de cuadratura, permanecer en cero y de esta manera tambin lo har la tensin Ed.

As, la tensin E ser igual a jEq .

Las ecuaciones en estado estacionario (194 a 200a) y el diagrama vectorial de la figura 32 son vlidas para pequeos cambios y Eq e If son constantes durante estos cambios.

Consideremos ahora un rpido cambio de la corriente de armadura (rpido comparado con el decrecimiento transitorio de la corriente de armadura pero no tan rpido como el decrecimiento de la corriente subtransitoria ) .

Tal cambio puede ser suficiente para la aplicacin o eliminacin de una falla o la oscilacin del generador con respecto a otra mquina del sistema de potencia .

Durante tal cambio, el flujo concatenado f del bobinado de campo permanece substancialmente constante . Una nueva tensin interna de armadura ficticia ser definida, la cual es proporcional al flujo concatenado de campo :

Eq = w Mf / Lff f [201] Esta tensin permanece constante durante el cambio de la corriente de armadura, esta puede ser vista como la tensin terminal de eje en cuadratura Vq, la cual difiere de E`q por la pequea impedancia transitoria de eje de cuadratura. La diferencia entre Eq y E`q est dada por las ecuaciones 196 y 201 :

Eq - Eq = w Mf if - w Mf / Lff f [202] Por sustitucin de la 186 tenemos:

Eq - Eq = 3 w (Mf )^2 / (2 Lff) * id [203]



y por la 150 :

Eq -Eq = w ( Ld - Ld ) id = (Xd - Xd) id [204]

Este resultado puede ser arreglado de la siguiente manera :

Eq - Xd id = Eq - Xd id [205]

La relacin entre la componente de eje en cuadratura de la tensin de excitacin y la tensin terminal en estado estacionario esta dado por la ecuacin 195, como fue derivada por la colocacin de las derivadas en la ecuacin 191 igual a cero .

Durante cambios de la rapidez que estamos considerando, estas derivadas son despreciables comparadas con los trminos en . Por lo tanto las ecuaciones (194, 195, y 200a) y el correspondiente diagrama vectorial son vlidos .

Admitiendo que la ecuacin 195 es aplicable, podemos hacer la sustitucin de la 205 en esta, obteniendo :

Vq = - r Iq - Xd Id + Eq [206]

Similarmente, si hay un circuito del rotor en el eje de cuadratura, su flujo concatenado puede ser asumido constante y la tensin E`d definida proporcionalmente al flujo concatenado

Ed = w Mg / Lgg g [207] Por analoga con la ecuacin 204 :

- ( Ed - Ed ) = ( Xq - Xq ) iq [208]

Y de la ecuacin 194

Vd = - r Id + Xq iq + Ed [209]

Combinando las ecuaciones 206 y 209 en una ecuacin vectorial

V = E- r I - j Xd Id + Xq Iq [210]

donde

E= Ed + j Eq [211]

puede ser llamada tensin a travs de la impedancia transitoria. Sus componentes directas y en cuadratura son respectivamente E`d y E`q .

Esta tensin es constante bajo la suposicin que el flujo concatenado por los circuitos del rotor,f y g son constantes .

Este es ms grande que la tensin terminal de la armadura, debido al valor de la pequea impudencia transitoria, la cual tiene una resistencia y una impudencia transitoria como componentes.



Este es ms pequeo que la tensin de excitacin, por la diferencia entre la impedancia sincrnica y la pequea impedancia transitoria.

El diagrama vectorial correspondiente a las ecuaciones 204, 206, 208, 209, y 210 est dado en la fig. 33 .

En el estado estacionario procedemos a hacer un cambio en la corriente de la armadura, la tensin de excitacin E est situada sobre el eje de cuadratura, o sea que Ed=0 .

El correspondiente valor de E`d y E`q puede ser hallado respectivamente por adicin de Iq .(Xq -X`q) a cero y por sustraccin de Id.(Xd - X`d) de Eq .

Durante un cambio de la corriente de armadura E` permanece constante ;E varia y puede partir desde el eje en cuadratura a menos que Xq = X`q .

Supongamos que las componentes Id e Iq de la corriente de armadura sufre cambios de Id y Iq respectivamente. El correspondiente cambio en las ecuaciones es el siguiente:

f = 0 If = 3/2 Mf/Lff Id = (Ld - Ld) / Mf Id Ed=0 g = 0 Ig= 3/2 Mg/Lgg Iq = (Lq - Lq) / Mg Iq Eq = 0 d = - Ld Id Eq = (Xd - Xd) id Vq= - r Iq - Xd Id q = - Lq Iq Ed = - (Xq - Xq) Iq Vd = - r Id + Xq Iq Mquina de polos salientes: Una mquina de polos salientes no tiene un circuito de campo en el eje en cuadratura, entonces Ig=0 y Ed=0 y la tensin de excitacin E = jEq siempre se sita sobre el eje en cuadratura en el estado transitorio como en el estado estable .

As Xq = X`q, E`d = Ed =0 y la tensin a travs de la reactancia transitoria E`= jE`q, tambin estar sobre el eje de cuadratura, como Eqd, la tensin a travs de Xq .El diagrama vectorial es visto en la fig. 34 .

Diagrama vectorial para el estado subtransitorio: En el procedimiento tratado para el estado transitorio, bobinados amortiguadores o sus equivalentes no fueron considerados y las ecuaciones, fueron deducidas bajo estas suposiciones.

Si ahora consideramos los bobinados amortiguadores, sus efectos muestran un brusco cambio en las condiciones del circuito en un periodo de pocos ciclos .

En el instante del brusco cambio en las condiciones, el flujo concatenado del bobinado amortiguador como el del bobinado de campo permanecen constantes .

Bajo estas condiciones la tensin ficticia, E`` = E``d + jE``q, conocida como tensin a travs de la reactancia subtransitoria, del mismo modo permanece constante. Ecuaciones similares a aquellas



escritas parta el estado transitorio pueden se escrita para estado subtransitorio reemplazando E`d por E``d, E`q por E``q, E`por E``, X`d por X``d y X`q por X``q .

El diagrama vectorial del estado subtransitorio es similar al de la figura 33 con los cambios mencionado [P1]

Aplicaciones a estudios de estabilidad transitoria: El perodo de oscilacin de una mquina durante una perturbacin es del orden de un segundo y el comportamiento de la mquina durante el primer cuarto de perodo a menudo es suficiente para mostrar si el sistema es estable o inestable .

La constante de tiempo subtransitoria de una mquina est alrededor de los 0,03 a 0,04 segundos, que es pequeo comparado con el perodo de oscilacin de la mquina .

Por lo tanto en estudios de estabilidad los fenmenos subtransitorios son despreciados .

La constante de tiempo de armadura est alrededor de 0,1 a 0,3 segundos, para cortocircuito en los terminales de la armadura, pero esta es disminuida por la gran resistencia externa .

Por lo tanto, la componente de corriente continua de la armadura es ordinariamente despreciable tambin, aunque su efecto puede ser apreciable en caso de una falla cerca de los terminales de la mquina .

En estudios de estabilidad solo debe ser considerada la componente transitoria .

Su constante de tiempo va desde 0,5 a 10 segundos, siendo usualmente ms largo que el perodo de oscilacin de la mquina .

Entonces la componente transitoria no ser ignorada, si bien su decrecimiento es frecuentemente ignorado .

Como sabemos, existen ms de una componente transitoria :

1_ Mquina de polos salientes Suposiciones :

a) La tensin entre la reactancia transitoria de eje directo puede ser asumida constante ( E`i = constante, fig 34 ) ;

b) El flujo concatenado de bobinado de campo, puede ser asumido constante (E`q = constante figura 34) ;

c) El decrecimiento del campo y la accin reguladora de la tensin pueden ser calculadas (variando E`q)

Estas suposiciones son nombradas en orden creciente de acuerdo a la precisin que se desee .

2_ Mquina con rotor cilndrico Suposiciones :

a) La tensin E`i ( fig 33 o 35 ) a travs de la reactancia transitoria de eje directo puede ser asumida como constante ; o

b) El flujo concatenado en el circuito del rotor en ambos ejes puede ser asumido constante (esto es, Ed y E`q constantes, fig. 33), o

c) El efecto de decrecimiento y la accin de la tensin reguladora sobre el flujo concatenado del eje directo del circuito del rotor (esto es, sobre Eq ) puede ser calculado aunque el circuito del eje en cuadratura es asumido abierto (E`d = 0 ) ; o

d) El decrecimiento del flujo concatenado por el rotor en ambos ejes y el efecto regulador de la tensin, si lo hay, sobre el flujo en el eje directo puede ser calculado .



Curvas potencia ngulo en mquinas de polos salientes (estado estacionario):

La potencia elctrica de salida de un generador de polos salientes puede ser expresado en trminos dla tensin terminal V, la tensin de excitacin Eq, el ngulo entre estas dos tensiones y las componentes de la impedancia sincrnica r, Xq y Xd. Todas estas cantidades estn mostradas en la figura 34 .

Si las ecuaciones 194 y 195 son resueltas para Id e Iq, con Ed igual a cero, el resultado es :

Id = ( - Vd r + ( Eq - Vq ) Xq ) / (r^2 + Xd Xq) [224]

Iq = ( ( Eq - Vq ) r + Vd Xd ) / ( r^2 + Xd Xq) [225]

La potencia de salida es :

P = Vd Id + Vq Iq [226]

Sustituyendo los valores de salida de Iq e Id en la expresin anterior tenemos :

P = ( Vd ( - Vd r + Eq Xq -Vq Xq) + Vq ( Eq r - Vq r + Vd Xd ) ) / ( r^2 + Xd Xq)

= ( Eq ( Vq r + Vd Xq ) - ( Vd^2 + Vq^2 ) r + Vd Vq ( Xd - Xq) ) / (r^2 + Xd Xq ) [227]

ahora:

Vq = V cos Vd = V sen por lo tanto

Vd^2 + Vq^2 = V^2

y

Vd Vq = V^2 cos sen = V^2 sen2 [230] Sustituyendo las 228, 229, y 230 en la 227,da:

P = ( Eq V ( r cos +Xq sen) - V^2 r + V^2 (Xd - Xq ) sen2 ) / (r^2 + Xd Xq ) [231] introduciendo las siguientes abreviaturas :

Z^2 = r^2 + Xd Xq

Zq^2 = r^2 + Xq^2

= arcotag ( r /Xq ) = arcosen ( r/Zq ) = arcocos ( Xq/Zq ) La ecuacin 231 puede ser simplificada, as :

P = Eq V Zq/Z^2 sen( + ) - V^2 r/Z^2 + V^2 r/Z^2 + V^2 ( (Xd - Xq )/( 2 Z^2 ) ) sen2 [235]

Si una mquina sincrnica es operada con una corriente de campo constante y es conectada a una lnea de transporte infinita, ambos V y Eq son independientes. El grfico de la potencia versus el ngulo en una onda senoidal desplazada, ms un segundo armnico .El segundo armnico representa la potencia de reluctancia debida a las saliencias .

La potencia elctrica interna de la mquina sincrnica, que determina el torque, es:

Pu = P + I^2 r = P + ( Id^2 + Iq^2) r [236]



Esto tambin, por sustitucin de las ecuaciones 224 y 225 en esta, podr ser puesta en la forma de la suma de un trmino constante y el primer y segundo armnico en .De cualquier modo la expresin resultante es muy complicada .

Supongamos que la mquina sincrnica es conectada a una red infinita a travs de una impedancia en serie, con r,Xq y Xd externas .Si la resistencia en serie es despreciable frente a la reactancia, la ecuacin del ngulo de potencia se simplifica a :

P = Eq V / Xd * sen + V^2 (Xd - Xq ) / (2 Xd Xq) * sen2 [237] La curva potencia ngulo est dibujada en la figura 36.En esta podemos observar que el efecto de la potencia de reluctancia hace que la curva tenga menor pendiente cerca del origen .

Curvas potencia ngulo en mquinas de polos salientes (estado transitorio):

La potencia elctrica de salida de una mquina de polos salientes puede ser expresada en trminos de la tensin de eje de cuadratura E`q detrs de la reactancia transitoria, la tensin terminal V, y el ngulo entre estas dos tensiones. La expresin es similar a las de las ecuaciones 235 o 237 excepto que Eq en estas ecuaciones es reemplazado por E`q, y Xd por X`d. El ngulo es el mismo en ambos casos, porque ambos, Eq y E`q se encuentran sobre el eje de cuadratura.

As:

P = Eq V / Xd sen - V^2 ( Xq - Xd ) / (2 Xd Xq ) * sen2 [238]

Si ambos E`q y V son independientes de , la curva ngulo potencia tiene una componente fundamental y un segundo armnico como muestra la figura 37.

El segundo armnico de la curva transitoria es inversa en signo frente a la de estado estacionario porque Xq > X`d .En otras palabras, la reluctancia transitoria del eje directo es mayor que la del eje en cuadratura por la presencia del circuito de campo cerrado cuyo flujo concatenado es constante ; por lo tanto, el trmino de la potencia de reluctancia transitoria es negativo.



El efecto de la saliencia: El conocimiento de la curva potencia ngulo transitoria de una mquina sincrnica de polos salientes posibilita el uso del criterio de las reas para fundamentar el cambio del ngulo critico de potencia o el lmite de potencia de un sistema, el cual consiste de una mquina de polos salientes, oscilando con respecto a una red infinita de potencia. Los resultados de tal anlisis pueden ser comparados con los de la teora del rotor cilndrico; esto es, sobre la suposicin de una tensin constante E`i detrs de una reactancia transitoria de eje directo.

El simple caso a analizar es: cuando la mquina est conectada directamente a la red infinita y cuando la resistencia es despreciable

Máquina Sincrónica Kimbark

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