UAG

Faculta de Matemáticas

Materia: Lenguaje Formal y Autómatas

Nombre del Profesor:

DR. EUGENIO AVILUZ RAMÍREZ

Nombre de la alumna:

PALOMA COYOLICATZIN CHÁVEZ MUNDO.

Carrera: Licenciado en matemáticas en el ara de computación

Sexto semestre

cd. Altamirano a 7 de mayo de 2013

INTRODUCCIÓN

En este tema lo que hablaremos es más que nada de Alan Turing un británico que aporto demasiadas cosas a la computación en cuanto que hizo que tomara importancia gracias a él la computación, la programación es lo que es, el no vivió mucho debido a que se suicidó, pero en lo poco que tuvo de vida colaboro demasiado con su nación ya que el ayudo a que se ganara la segunda guerra mundial ya que el descodificaba.

En cuanto a su máquina que es la mencionada máquina de Turing es demasiado importante ya que esta nos dice si un problema matemático tiene o no solución por medio de pasos. Y estos se dividen en determinístico y no determinístico de que podemos ocupar grafos para poder denotarlo. Cuál es su definición formal, de que esta hecho, su funcionamiento y más cosa que quedaran explicadas a continuación.

OBJETIVO

Estudiar a Alan Turing es más que nada darte cuenta de que tan importante es saber de dónde vinieron las, ya que el aporto demasiados a la computación como a la matemática ya que es nos ase que las cosas ahora sean as fáciles ya que con la máquina de Turing nos ayuda a problemas matemáticos ya que nos dice si hay o no solución a problemas planteados

Nos dice su definición formal y de cómo entender cómo se utiliza esta máquina. De que para esto está relacionado con los autómatas de lo que hemos visto en el curso, en cuanto a lo determinístico y no determinístico.

HIPÓTESIS

Investigar sobre este tema es muy bueno ya que nos habla de un gran personaje como lo fue Alan Turing ya que nos dice su historia donde nació, que aporto en cuanto a sus estudios y pues lo que se puede decir que fue un gran genio y pues su mayor logro por así decirlo fue lo que dejo que es la máquina de Turing en la cual se dice cómo funciona, hablamos de grafos, 5-tuplas, de determinístico y no determinístico esto ya lo hemos hablado en el curso así que es un poco más fácil entender lo que hizo Turing en cuanto a su invento como ya lo he mencionado Turing falleció muy joven y pues no se dio cuenta del legado que dejo

ÍNDICE DE CONTENIDO

ContenidoIntroducción...............................................................................................................................3

Objetivo.......................................................................................................................................4

Hipótesis......................................................................................................................................5

Índice de contenido......................................................................................................................6

Historia.........................................................................................................................................8

Descripción Informal...................................................................................................................9

Definición formal.......................................................................................................................10

Funcionamiento.....................................................................................................................11

Representación como diagrama de estados................................................................................11

Ejemplo..................................................................................................................................12

Máquina de Turing con cinta infinita a ambos lados..........................................................13

Máquina de Turing con cinta multipista.............................................................................13

Máquina de Turing multicinta............................................................................................14

Máquina de Turing multidimensional.................................................................................14

Máquina de Turing determinístico y no determinístico..............................................................15

Codificación de una máquina de Turing.....................................................................................15

Bibliografía...............................................................................................................................18

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ÍNDICE DE FIGURAFig.1 Alan Turing 1......................................................................................................................9

Fig.2 Representación artística 1..................................................................................................9

Fig.3 Descripción formal 1..........................................................................................................9

Fig.4 Animación de la máquina 1............................................................................................10

Fig.5 Visualización de una máquina 1........................................................................................11

Fig.6 representación como diagrama 1.....................................................................................12

Fig.7 Ejemplo de máquina 1......................................................................................................13

Fig.8 Máquina de Turing 1.........................................................................................................13

Fig.9 Subdivisión 1....................................................................................................................14

Fig.10 Diagrama de una máquina 1..........................................................................................14

Fig.11 Diagrama de una máquina 1.........................................................................................15

Fig.12 Codificación 1..................................................................................................................16

Fig.13 Codificación 2 1..............................................................................................................16

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HISTORIALas máquinas de Turing son un lenguaje de programación de muy bajo nivel. Son tan potentes como cualquier lenguaje de programación de ahora. Sirve para ver si algún problema se puede resolver con algún lenguaje de programación. Es un dispositivo que manipula símbolos sobre una tira de cinta de acuerdo a una tabla de reglas. A pesar de su simplicidad, puede ser adaptada para simular la lógica de cualquier algoritmo de computador.

Fue descrita como una «máquina automática». Está diseñada como un dispositivo hipotético que representa una máquina de computación. Ayudan a los científicos a entender los límites del cálculo mecánico. Turing no imagina un mecanismo, sino una persona a la que él llama la "computadora", quien ejecuta servilmente estas reglas mecánicas deterministas

Tiene memoria de tamaño finito por tanto son considerados autómatas finitos deterministas. Una maquina con 16 byte tiene más de 2^2^23 configuraciones este es un número más grande que 2*10^77 según los físicos es el número de átomos del universo.

Por este motivo se considera algoritmo= control finito + memoria arbitraria.

Ordenador sirve para la comprobación de la ortografía, también sirve para la exploración espacial.

Alan Turing nación en Gran Bretaña él era un gran estudiante, el destacaba en la ciencia y la matemática pero sobretodo e calculo, por una beca que le fue otorgada siguió con sus estudios.

En 1936 presento un invento con el cual resolvía cualquier problema matemático el cual sirvió en la segunda guerra mundial para así poder ganar. Este programa ayudo a descifrar los códigos Alemanes. Turing era diferente a todos ya que no fácilmente encajaba en la sociedad.

En 1954 se suicidó la razones de esto no se saben. No alcanzo a ver lo que avía hecho en base a su nueva máquina.

Turing escribió que una máquina de computación lógica, consistía en:

Una ilimitada capacidad de memoria obtenida en la forma de una cinta infinita marcada con cuadrados, en cada uno de los cuales podría imprimirse un símbolo.

Una máquina de Turing que es capaz de simular cualquier otra máquina de Turing es llamada una maquina universal de Turing. Estudiando sus propiedades abstractas, la máquina de Turing produce muchas perspectivas en la ciencia de la computación y en la teoría de la complejidad.

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Fig.1 Alan Turing 1

Fig.2 Representación artística 1

Representación artística de una máquina de Turing.

Demostró que existían problemas que una máquina no podía resolver.

La idea de una máquina de Turing es un autómata ejecutando un procedimiento efectivo definido formalmente, donde el espacio de memoria de trabajo es ilimitado, pero en un momento determinado sólo una parte finita es accesible.

DESCRIPCIÓN INFORMAL

Fig.3 Descripción formal 1

Aquí se muestra el estado interno (q1) dentro del cabezal, y la ilustración describe la cinta como siendo infinita y llevada previamente con '0', el símbolo sirviendo como blanco. El estado completo del sistema (su configuración) consiste del estado interno, el contenido de las casillas sombreadas incluyendo el blanco leído el cabezal ("11B") y la posición del cabezal.

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Fig.4 Animación de la máquina 1

Animación de la máquina de Turing

Más precisamente, una máquina de Turing consta de:

1. Una cinta que se divide en celdas, una al lado de la otra. Cada celda contiene un símbolo de algún alfabeto finito. La cinta se supone que es arbitrariamente extensible hacia la izquierda y hacia la derecha. Las celdas que no se hayan escrito previamente se asumen que están rellenas con el símbolo blanco

2. Un cabezal que puede leer y escribir símbolos en la cinta y mover la cinta a la izquierda y a la derecha una (y sólo una) celda a la vez

3. Un registro de estado  Reemplazan el "estado de la mente" en que ordinariamente estaría una persona realizando cálculos.

4. Una tabla finita de instrucciones (llamada ocasionalmente como tabla de acción o función de transición). Las instrucciones son usualmente 5-tuplas

Borra o escribe un símbolo Mueve el cabezal Asume el mismo o un nuevo estado como prescrito (ve al estado qi1).

DEFINICIÓN FORMALUna máquina de Turing  es un modelo computacional que realiza una lectura/escritura de manera automática sobre una entrada llamada cinta, generando una salida en esta misma.

Este modelo está formado por un alfabeto de entrada y uno de salida, un símbolo especial llamado blanco, un conjunto de estados finitos y un conjunto de transiciones entre dichos estados. La máquina va leyendo una celda de la cinta en cada paso, borrando el símbolo en el que se encuentra posicionado su cabezal y escribiendo un nuevo símbolo perteneciente al alfabeto de salida, para luego desplazar el cabezal a la izquierda o a la derecha (solo una celda a la vez). Esto se repite según se indique en la función de transición, para finalmente detenerse en un estado final o de aceptación, representando así la salida.

Una máquina de Turing con una sola cinta puede definirse como una 7- tuplas

Donde

 Es un conjunto finito de estados

 Es un conjunto finito de símbolos, denominado alfabeto de máquina o de entrada.10

 Es un conjunto finito de alfabeto de cinta ( ).

 Es el estado inicial.

 Es un símbolo denominado blanco, y es el único símbolo que se puede repetir un número infinito de veces.

 Es el conjunto de estados finales de aceptación.

 Es una función parcial denominada función de transición, donde   es un movimiento a la izquierda y   es el movimiento a la derecha.

FUNCIONAMIENTO

La máquina de Turing consta de un cabezal lector/escritor y una cinta infinita en la que el cabezal lee el contenido, borra el contenido anterior y escribe un nuevo valor. Las operaciones que se pueden realizar en esta máquina se limitan a:

Mover el cabezal lector/escritor hacia la derecha.

Fig.5 Visualización de una máquina 1

Visualización de una máquina de Turing, en la que se ve el cabezal y la cinta que se lee.

Mover el cabezal lector/escritor hacia la izquierda.

El cómputo se determina a partir de una tabla de estados de la forma:

(Estado, valor)   (Nuevo estado, nuevo valor, dirección)

Esta tabla toma como parámetros el estado actual de la máquina y el carácter leído de la cinta, dando la dirección para mover el cabezal, el nuevo estado de la máquina y el valor a escribir en la cinta.

La memoria es la cinta de la máquina que se divide en espacios de trabajo denominados celdas, donde se pueden escribir y leer símbolos. Inicialmente todas las celdas contienen un símbolo especial denominado "blanco". La máquina de Turing puede considerarse como un autómata capaz de reconocer lenguaje formal.

REPRESENTACIÓN COMO DIAGRAMA DE ESTADOS

Las máquinas de Turing pueden representarse mediante grafos particulares, también llamados diagramas de estados finitos, de la siguiente manera:

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Fig.6 representación como diagrama 1

Representación como diagrama de estados

Esta máquina de Turing está definida sobre el alfabeto , posee el conjunto de

estados , con las transiciones que se pueden ver. Su estado inicial es   y el estado final es , el lenguaje de salidaLos estados se representan como vértices, etiquetados con su nombre en el interior.

Una transición desde un estado a otro, se representa mediante una arista dirigida que une a estos vértices, y esta rotulada por símbolo que lee el cabezal/símbolo que escribirá el cabezal, movimiento del cabezal.

El estado inicial se caracteriza por tener una arista que llega a él y que no proviene de ningún otro vértice.

El o los estados finales se representan mediante vértices que están encerrados a su vez por otra circunferencia.

EJEMPLO

Definimos una máquina de Turing sobre el alfabeto , donde 0 representa el símbolo blanco. La máquina comenzará su proceso situada sobre un símbolo "1" de una serie. La máquina de Turing copiará el número de símbolos "1" que encuentre hasta el primer blanco detrás de dicho símbolo blanco. Es decir, posiciona el cabezal sobre el 1 situado en el extremo izquierdo, doblará el número de símbolos 1, con un 0 en medio. Así, si tenemos la entrada "111" devolverá "1110111", con "1111" devolverá "111101111", y sucesivamente.

El conjunto de estados es   y el estado inicial es . La tabla que describe la función de transición es la siguiente:

Estado Símbolo leído Símbolo escrito Movimiento Estado sig.

1 0

1 1

12

0 0

0 1

1 1

1 1

0 0

0 1

Fig.7 Ejemplo de máquina 1

Ejemplo de máquina de Turing

La máquina realiza su proceso por medio de un bucle, en el estado inicial , reemplaza el primer 1 con un 0, y pasa al estado , con el que avanza hacia la derecha, saltando los símbolos 1 hasta un 0 (que debe existir), cuando lo encuentra pasa al estado , con este estado avanza saltando los 1 hasta encontrar otro 0 (la primera vez no habrá ningún 1). Una vez en el extremo derecho, añade un 1. Después comienza el proceso de retorno; con   vuelve a la izquierda saltando los 1, cuando encuentra un 0 (en el medio de la secuencia), pasa a   que continúa a la izquierda saltando los 1 hasta el 0 que se escribió al principio. Se reemplaza de nuevo este 0 por 1, y pasa al símbolo siguiente, si es un 1, se pasa a otra iteración del bucle, pasando al estado s1 de nuevo. Si es un símbolo 0, será el símbolo central, con lo que la máquina se detiene al haber finalizado el cómputo.

MÁQUINA DE TURING CON CINTA INFINITA A AMBOS LADOS

Esta modificación se denota al igual que una MT sencilla, lo que la hace diferente es que la cinta es infinita tanto por la derecha como por la izquierda, lo cual permite realizar

transiciones iniciales como .

Fig.8 Máquina de Turing 1

Máquina de Turing con cinta infinita en ambos lados

MÁQUINA DE TURING CON CINTA MULTIPISTA

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Fig.9 Subdivisión 1

Subdivisión de una celda de la cinta.

Es aquella que mediante la cual cada celda de la cinta de una máquina sencilla se divide en subceldas. Cada celda es así capaz de contener varios símbolos de la cinta. Por ejemplo, la cinta de la figura tiene cada celda subdividida en tres subceldas.

Se dice que esta cinta tiene múltiples pistas puesto que cada celda de esta máquina de Turing contiene múltiples caracteres, el contenido de las celdas de la cinta puede ser representado mediante n-tuplas ordenadas. Los movimientos que realice esta máquina dependerán de su estado actual y de la n-tuplas que represente el contenido de la celda actual. Cabe mencionar que posee un solo cabezal al igual que una MT sencilla.

MÁQUINA DE TURING MULTICINTA

Fig.10 Diagrama de una máquina 1

Diagrama de una máquina de Turing multicinta, las flechas indican los cabezales de

lectura/escritura.

Una MT con más de una cinta consiste de un control finito con k cabezales lectores/escritores y k cintas. Cada cinta es infinita en ambos sentidos. La MT define su movimiento dependiendo del símbolo que está leyendo cada uno de sus cabezales, da reglas de sustitución para cada uno de los símbolos y dirección de movimiento para cada uno de los cabezales. Inicialmente la MT empieza con la entrada en la primera cinta y el resto de las cintas en blanco.

MÁQUINA DE TURING MULTIDIMENSIONAL

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Fig.11 Diagrama de una máquina 1

Diagrama de una máquina de Turing bidimensional.

Una MT multidimensional es aquella cuya cinta puede verse como extendiéndose infinitamente en más de una dirección, el ejemplo más básico sería el de una máquina bidimensional cuya cinta se extendería infinitamente hacia arriba, abajo, derecha e izquierda.

MÁQUINA DE TURING DETERMINÍSTICO Y NO DETERMINÍSTICOLa función de transición   en el caso no determinista, queda definida como sigue:

Codificación de una máquina de TuringToda máquina de Turing puede codificarse como una secuencia binaria finita, es decir una secuencia finita de ceros y unos.

Símbolo Codificación

1

11

111

.

.

.

.

.

.

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Fig.12 Codificación 1

Los estados de una MT   se codifican también con secuencias de unos:

Símbolo Codificación

1

11

.

.

.

.

.

.

Fig.13 Codificación 2 1

Las directrices de desplazamiento ,   y   se codifican con 1, 11, 111, respectivamente. Una

transición   se codifica usando ceros como separadores entre los estados, los símbolos del alfabeto de cinta y la directriz de desplazamiento . Así, la

transición   se codifica como

En general, la codificación de una transición cualquiera   es

Donde , según la dirección sea

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CONCLUSIÓN

A lo que llegamos es a que entendemos más lo que es la máquina de Turing como se utiliza, de cómo fue que surgió esto, y quien fue el que la invento ya que pues yo por lo menos yo no tenía idea que existiera esta máquina y menos pues quien lo invento pero pues ahora ya lo se así como se también su historia algo de su vida de Alan Turing lo cual pues si me impacto pues es algo que una persona tan inteligente con un futuro demasiado prometedor decidiera suicidarse.

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REFERENCIA

Feynman, Richard (1996). Conferencias sobre computación. Graficromo. ISBN 84-8432-444-3. Consultado el 11 de julio de 2010.

Viso, Elisa (2008). Introducción a la teoría de la computación. ISBN 978-970-32-5415-6. Consultado el 11 de julio de 2010.

De Castro, Rodrigo (2004). Teoría de la computación: lenguajes, autómatas, gramáticas. Consultado el 15 de julio de 2010.

«on computable numbers, with an application to the entscheidungsproblem» (en español). Consultado el 15 de julio de 2010.

«Variantes de una Máquina de Turing» (en español). Consultado el 11 de julio de 2010.

http://www.youtube.com/watch?v=JbLhLZYSUl8 http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A1quina_de_Turing http://computabilidadycomplejidad.webs.com/Teo2.pdf http://www.youtube.com/watch?v=AJthR3BW0r8

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