Mapa conceptual de Álgebra II

Problema a resolver al final del curso

• Se tiene un terreno rectangular y se quiere construir una pileta en forma de elipse cuyo eje no sea paralelo los lados del terreno

Parte del Mapa Conceptual de Álgebra I

Espacios vectoriales .Definición

Sea V un conjunto cuyos elementos se llamarán vectores

Se definen dos operaciones :

Suma de vectores → cada par de vectores u,v le corresponde otro vector u +v

Producto de un vector por un escalar →

Dado k (nro.real o complejo) y un vector u

le corresponde otro vector k.u

Propiedades de la suma

• S1 ) Si u є V , v є V → u+v є V ( cerrada )• S2) u + v = v+u , para todo u,v є V ( conmut.)• S3 ) (u +v) +w = u+(v+w) (asociativa) • S4) Existe elemento neutro para la suma o sea

existe 0 єV , tal que 0+u=u para todo u є V• S5) Para todo u є V existe el vector inverso

designado por -u que cumple u+ (-u) =0

Propiedades del producto

• P1) Para todo uєV → k.u є V (cerrada)

• P2) Para todo u є V →1.u =u

• P3) (k1.k2 ).u = k1.(k2 .u ) (asociativa)

• P4 ) (k1+k2 ).u = k1.u+k2.u (distributiva)

• P5) k.(u+v) = k.u+k.v (distributiva)

Proposiciones

• a)El 0 ,elelemnto neutro para la suma es único• b) Dado 0 R y dado cualquier uV , se cumple

que 0.u =0v

• c) Dado 0v el elemento neutro de un e.v. V y dado cualquier a R , se cumple a.0v = 0v

• d) Para todo u V , -1.u = -u

Subespacio . Definición

• Un subconjunto S no vacío de V es un subespacio de V →

la suma y el producto definidas en V estructuran también a S como un espacio vectorial .

Propiedades necesarias para que S V (e.v.) sea subespacio

• a) Si

c) 0v S

SuSb

.u R, Si )

SvuSvSu

,,

Definiciones

1. Combinación lineal : Un vector v V es combinación lineal de los vectores v1,v2,…vk si existen escalares 1,.. ..k tal que v = 1v1+ …..kvk

2. Sistema de Generadores : Un conjunto de vectores M = {v1 ,….vn } tal que vi V (e.v.) genera al espacio V si y sólo si para todo xV , x = 1v1+ …..nvn

3 . Conjunto de vectores linealmente dependiente o linealmente independiente

Sea M ={ v1,v2 ,….vk } un conjunto de vectores tal que vi V (e.v.) y sea

v1 1+ ….vkk = 0 (una com-binación lineal de dichos vectores igualada a 0)

entonces nos queda formado un sistema de ecuaciones homogéneo que puede tener

soluciones M es un conjunto linealmente dependiente

solución única M es un conjunto linealmente independiente .

4. Sea V e.v. y B= { vi } i=1..n / vi V para todo i.

Decimos B es una base de V si cumple dos condiciones :

a) B es un conjunto l.i.

b) B es un sistema de generadores de V

Ejemplo : Base canónica • Rn : (1,0,…0) , (0,1,0…),(0,…1)• Rnxm (por ejemplo 2x3) ………

• Pn ………………

5. Coordenadas de un vector respecto de una base :

Sea B = { ei } i=1…n una base de V e.v.

y un vector x V , entonces a los escalares i / x= 1e1+….. nen se los llama coordenadas de un vector respecto de la base B.

Proposiciones

a) Para todo x V e.v. existen coordenadas respecto de una base

b) Las coordenadas de un vector respecto de una base son únicas

c) Si un espacio vectorial tiene una base de n elementos ,

entonces cualquier conjunto de n+1 elementos es un conjuno l.d.

d) Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos

Definición

6. Dimensión de un espacio vectorial V :

Es el número de elementos que contiene una base de V

Proposiciones

e) En un e.v. V / dim V =n , n vectores l.i. pertenecientes a V determinan una base de V

f) En un e.v. V / dim V =n si n vectores pertenecientes a V son un S.G. de V , entonces son una base de V

Definiciones

Dados dos subespacios S y T de V e.v. podemos definir :

• Intersección S T= { x V / xS y x T}

• Unión ST={ xV / xS ó xT } • Suma S+T = { xV / x=a+b con aS,bT } • Suma directa S T = S+T con S T={ 0 }

Proposiciones

• Teorema de la dimensión de suma de subespacios :

Si S y T son subespacios de V e.v. ,tal que dimV es un número finito ,entonces

dim(S+T) = dim(S) + dim( T) –dim (S T)