Manzano 2015 ingenieria_economica

ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONÓMICAS Y DE NEGOCIOS

Ingeniería Económica

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INGENIERÍA ECONÓMICA



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UNIDAD I: CONCEPTOS BASICOS DE LA MATEMÁTICA FINANCIERA

1. INTERÉS SIMPLE: Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son función únicamente del interés principal, el número de periodos y la tasa de interés. Los intereses no se capitalizan. El interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. Los intereses no generan más intereses sino que se liquidan sobre el capital inicialmente invertido. Su fórmula está dada por:

Para hallar el valor futuro a interés simple necesitamos de la siguiente fórmula:

Dónde:

El tipo de interés (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el n debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el tiempo irá en meses, etc.). Siendo indiferente adecuar la tasa al tiempo o viceversa. Ejemplo:

http://es.wikipedia.org/wiki/Inter%C3%A9s

http://es.wikipedia.org/wiki/Inversi%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Capital



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1. Calcular en cuánto se convierten 2.500.000 colocados durante 8 meses a una

tasa de interés simple del 8% mensual?

Lo que interesa en este caso es calcular el VF y tenemos entonces: VP= 2.500.000 ip= 8% = 0.08 n= 8 meses

VF= 4.100.000

2. El día de hoy obtenemos un préstamo por $5.000.000 y después de un año

pagamos $5,900.000 Determinar la tasa de interés mensual.

En este caso debemos calcular la tasa de interés, es decir ip para lo cual

debemos despejamos de la fórmula de VF

VF= 5.900.000

VP= 5.000.000

n= 12

ip = 0.015 = 1.5% mensual



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2. INTERÉS COMPUESTO “Intereses sobre los intereses”: La gran mayoría de las operaciones financieras se realizan a interés compuesto con el objeto de tener en cuenta que los intereses liquidados no entregados, entran a formar parte del capital y para próximos periodos generarán a su vez intereses. Es el rendimiento de un capital tomado a préstamo, cuando al principal inicial van acumulándose los intereses generados sucesivamente, en un proceso de retroalimentación que ensancha, momento a momento, la base del capital. Valor Futuro a interés compuesto:

Dónde:

Ejemplo

1. Supongamos que el señor Álvaro Romero invierte en el Banco Bogotá $2.000.000 en un CDT a 6 meses, con una tasa del 2% mensual de interés compuesto. ¿Cuánto dinero recibirá el señor Romero al cabo de 6 meses? VP= 2.000.000 n= 6 meses ip= 2% = 0.02

2. La señora María Teresa Vargas necesita $3.000.000 dentro de 10

meses ¿Cuánto debe invertir hoy si le ofrecen una tasa del 1.5% bimestral compuesto para lograr su objetivo? En este caso no es el valor futuro el que debemos calcular, sino el Valor Presente, para lo cual se hace necesario despejar VP de la fórmula



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El tipo de interés (ip) y el tiempo (n) deben referirse a la misma unidad de tiempo (si el tipo de interés es anual, el n debe ser anual, si el tipo de interés es mensual, el tiempo irá en meses, etc.). En este caso para no hacer aún conversión de tasas, es necesario adecuar el tiempo a la tasa que nos estén dando. 3.EQUIVALENCIA DE TASAS Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de capitalización serán equivalentes si al cabo de un año producen el mismo interés compuesto. Tasa de Interés Nominal Es una tasa cuyo uso está muy generalizado en nuestro medio y aunque tiene una cobertura de un año no se liquida anualmente sino que se fracciona para periodos menores a un año. Por ejemplo: 24% anual liquidable mes vencido. Esto significa que el 24% se debe fraccionar para periodos mensuales, ósea que en realidad se liquidará el 2% sobre saldos vencidos. ip= 0.24/12 =0.02 =2% mensual. Tasa efectiva anual de interés (ia) Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual, siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente se reinviertan a la tasa de interés periódica pactada inicialmente. Representa el rendimiento real obtenido sobre una inversión.



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Observaciones a tener muy presentes: La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador, porque es una función exponencial. Tasas nominales equivalentes entre sí, siempre tendrán la misma tasa de interés efectiva anual. La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para tomar decisiones, para invertir lógicamente escoger aquella entidad que ofrezca la más alta (sin consideraciones por ahora del riesgo) y para endeudarse elegir aquella tasa que en términos efectivos sea la menor.

Es decir una tasa del 36% anual liquidable trimestralmente sería:

Equivalencia de Tasas:

1. De una tasa nominal anual a una tasa efectiva anual

Ejemplo: La señora María Castro está realizando una inversión a una tasa nominal del 38% anual capitalizable semestralmente. ¿La señora María Castro desea saber cuál es la tasa efectiva anual.

(Número de liquidaciones en un año)



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2. Dada una tasa efectiva anual, hallar una tasa periódica.

Ejemplo. Dada una tasa anual efectiva del 24%, hallar la tasa mensual equivalente.

m= Número de liquidaciones en un año

3. Dada una tasa nominal anual, hallar otra tasa nominal anual equivalente pero con diferente periodicidad.

Siempre que se desee hallar la equivalencia entre tasas nominales, lo más expedito será hallar la tasa efectiva equivalente a la nominal dada y luego se determina la nominal equivalente a esa efectiva encontrada. Ejemplo: Dada una tasa del 24% nominal mes vencida, hallar la tasa nominal trimestre vencida equivalente. Como se mencionó, se encuentra la tasa efectiva equivalente al 24% nominal mes vencida:

Luego se establece la tasa nominal equivalente a esta efectiva:

Nominal con capitalización trimestral vencida.



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4. Dada una tasa periódica, hallar otra tasa periódica equivalente

Ejemplo: Convertir el 3% mensual en una tasa semestral equivalente ip1= 0.03 m1=12 ip2= ¿ m2= 2

ip2= (1+0.03)12/2 -1

ip2= 0.1940 = 19.40% semestral

5. Dada una tasa periódica anticipada, hallar una tasa

periódica vencida

ipv= ipa/(1- ipa)

Con esta fórmula se convierte una tasa periódica anticipada a una tasa periódica

vencida

Ejemplo: Convertir el 3.5% mensual anticipado en una tasa mensual vencida.

ipv= 0.035/(1- 0.035) = 0.03627 =3.63% mensual vencido



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UNIDADAD 2: ANÁLISIS DEL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

1. ECUACIONES DE VALOR O ECUACIONES DE EQUIVALENCIA1 Ocurre con alguna frecuencia que por razones de liquidez las deudas no siempre se pueden cancelar en las fechas estipuladas inicialmente, siendo por tanto necesario acordar una nueva forma de pago. Para resolver esta situación se ha recurrido al uso de las llamadas ecuaciones de Valor o equivalencia, las cuales permiten cambiar el conjunto inicial de obligaciones por un nuevo conjunto equivalente. Para efectuar dicho cambio y establecer la equivalencia, se escoge una fecha que los autores llaman fecha focal (ff) y se plantea la ecuación:

O sea que se traslada todo a la fecha focal y se igualan los resultados. Estas transacciones se pueden realizar a interés simple o a interés compuesto. Ejemplo: La señora Mariela Patiño debe al Banco Caja Social los siguientes pagarés:

200.000 con vencimiento a 6 meses 350.000 con vencimiento a 9 meses 420.000 con vencimiento a 18 meses

Acuerda con el Banco pagar 380.000 a los 3 meses, y dos pagos iguales con vencimiento de 15 y 21 meses respectivamente. La señora desea saber el valor de dichos pagos sabiendo que para el cambio se pactó una tasa del 29% anual de interés simple. Tomamos como fecha focal el punto 0.

1 CARDONA, Francisco José. Matemática Financiera asistida por computador. Universidad de

Manizales



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0 3 6 9 12 15 18 21

X X380.000

200.000

350.000

420.000

El valor de los pagos es de 286.657 Nota: (Como la tasa es anual y el n es mensual, se necesita convertir los meses a años por lo tanto se divide en 12. Si en el ejercicio todo está en meses no es necesario dividir) Ahora vamos a cambiar la fecha focal y tomamos 12 meses como fecha focal



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0 3 6 9 12 15 18 21

X X380.000

200.000

350.000

420.000

Ejemplo: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses, $1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un año. La persona desea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de interés es del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.



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La tasa de periódica es:

Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso:

Tomemos como fecha focal el instante cero:

Dentro de 9,24 meses se dará la equivalencia financiera de los pagos. Si reducimos este tiempo a días considerando que un mes tiene 30 días, 0,24 x 30 = 7,2 días, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve meses y siete días.

n

3

1.000.000

10

1.500.000

4.500.000

12

2.000.000

0



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2. SERIES UNIFORMES

Las series uniformes son conjuntos de pagos o cuotas iguales efectuados a Intervalos iguales de tiempo. Las series uniformes deben tener dos condiciones necesarias: pagos o cuotas iguales, efectuados con la misma periodicidad. Valor presente, VP: El valor presente de una serie uniforme equivale a un pago único ahora, el cual es equivalente a N cuotas o pagos de valor C cada uno efectuado al principio o al final de cada intervalo de pago. Si los pagos ocurren al final de cada intervalo de pago se llama serie uniforme ordinaria o vencida y si ocurren al principio de cada intervalo, serie uniforme anticipada o debida. Tasa de interés periódica, ip: A cada intervalo de pago le corresponde una tasa de interés. Es la misma tasa periódica de interés a la cual nos hemos referido en los temas anteriores. Valor de los pagos o cuotas iguales, C: La característica de las series uniformes es la ocurrencia de los pagos iguales en cada intervalo de pago. Numero de cuotas o pagos iguales durante el plazo o término de la serie uniforme, N: En el esquema de los pagos únicos de valor presente y valor futuro, N se refiere a los periodos de conversión. En las series uniformes, hace alusión al número de pagos o cuotas iguales. Valor futuro, VF: Constituye un pago único futuro al final del plazo de la serie y el cual es equivalente a las N cuotas o pagos que ocurren en cada intervalo de pago.



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Valor Presente de una serie uniforme Amortizaciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto cancelar un capital. Las amortizaciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se realizan al final o al comienzo del periodo. Valor Presente anualidad Vencida

Ejemplo. Supongamos un préstamo por valor de 10.000.000, contratado a una tasa nominal del 24% mes vencida, para ser amortizado en cuotas mensuales iguales vencidas y durante un plazo de 15 años. Determinar el valor de las cuotas mensuales iguales: Despejamos el valor de la cuota de la ecuación para hallar el valor presente:

En Excel:



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Ejemplo. VP=750.000. Crédito: plazo 8 meses, tasa interés 2.5%. Qué cuota mensual debe pagar el cliente si compra a crédito.

Un computador cuyo precio de contado es de 1´500.000 se adquirió dando una cuota inicial de 600.000. El resto se financió mediante el pago de 12 cuotas mensuales vencidas con un interés vencido del 1.8% mensual. Determinar el valor de la cuota.



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Valor Presente anualidad Anticipada

Ejemplo. Un carro usado se ofrece en venta con el siguiente plan de crédito. 36 cuotas mensuales anticipadas de 500.000 y un interés mensual sobre saldos del 3%. Determinar el valor de contado.

En Excel:



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Valor futuro de una serie uniforme Imposiciones. Es una anualidad cuyos pagos tienen como objeto acumular un capital. Las imposiciones pueden ser vencidas o anticipadas dependiendo de si se realizan al final o al comienzo del periodo.

Valor Futuro Anualidad Vencida

Valor Cuota Imposición vencida

Valor Futuro Anualidad Anticipada

Valor Cuota imposición Anticipada

Ejemplo: Ramón Molina al principio de cada mes ha depositado $250.000 durante los últimos tres años. En una entidad que abona el 2,1% mensual sobre el saldo. Ramón desea saber ¿Cuál es el capital que ha acumulado a los tres años?



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En Excel:



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Ejemplo: Cuánto debe depositar María López al principio de cada mes en el Banco Bogotá, el cual abona el 2,25% mensual para acumular 3.000.000 en un período de 2 años.

En Excel:

a. ANUALIDADES DIFERIDAS En muchas situaciones de la vida real se presentan casos en los cuales la primera cuota de la anualidad ocurre después de transcurrido un determinado número de periodos. Este lapso de tiempo en el cual no se presentan cuotas recibe el nombre de PERIODO DIFERIDO. Cuando se trata de amortización de créditos se le llama PERIODO DE GRACIA.



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Las anualidades diferidas pueden ser también vencidas o anticipadas.

ANUALIDAD VENCIDA

ANUALIDAD ANTICIPADA

Cuando se habla de un periodo de gracia, esto no significa que durante este tiempo el crédito esté exento de intereses; simplemente durante este periodo no se pagan cuotas. CÁLCULOS BÁSICOS En este tipo de anualidades nos interesa básicamente calcular el valor del préstamo o el valor de la cuota que permite amortizar dicho préstamo.



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Valor Presente Anualidad diferida Vencida

Valor Presente Anualidad Diferida anticipada

Cuota vencida

Cuota anticipada

Ejercicio: Al nacer Julián Rodríguez su padre deposita cierta cantidad de dinero en una entidad financiera, con el propósito de asegurarle su educación universitaria. Si éste ingresa a la Universidad a la edad de 18 años y su carrera dura 6 años, determinar la cantidad depositada por el padre, teniendo en cuenta que el costo del semestre para esa época, se estima será de $4'500.000 y que la entidad le pagará en promedio durante todo este tiempo, un 8% semestral vencido.



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Como no se especificó, asumimos aquí que las cuotas son vencidas. Por lo tanto, se trata de calcular el valor presente de una anualidad vencida.

Series infinitas

Las series infinitas constituyen unos conjuntos de pagos o cuotas que tienden a infinito, también denominadas rentas perpetuas. La mayor aplicación de estas series se encuentra en los fondos de pensiones, seguros de vida y modelos en valoración de empresas, entre otras. Las series uniformes y series gradientes puede ser infinitas, nuestro propósito es lustrarlas a continuación. El valor presente P de esta renta perpetua, lo compone un pago único ahora equivalente a la serie infinita de cuotas iguales.



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Ejemplo.

Supongamos que queremos establecer un fondo de pensiones, de tal manera que atienda a perpetuidad los retiros por cada $1.000.000 mensuales para alguien que desea obtener su pensión de jubilación. Este fondo reconoce una tasa de interés efectiva anual del 18%. De la ecuación de valor presente de esta serie:

C es el valor del retiro mensual de $1.000.000. La tasa de

interés está referida para el periodo anual, por lo tanto se debe establecer la tasa de interés periódica mensual.

Este valor constituye el valor del fondo que permite a perpetuidad, retirar la suma de $1.000.000 para atender la pensión. Realmente es un pago único ahora equivalente a la serie infinita de cuotas de valor C cada una. Naturalmente, al plan diseñado debemos de involucrarle crecimiento, el cual permita contrarrestar la pérdida del poder adquisitivo del dinero. 3. GRADIENTES

En matemáticas financieras gradientes son anualidades o serie de pagos periódicos, en los cuales cada pago es igual al anterior más una cantidad; esta cantidad puede ser constante o proporcional al pago inmediatamente anterior. El monto en que varía cada pago determina la clase de gradiente: Si la cantidad es constante el gradiente es aritmético (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en $250 mensuales sin importar su monto). Si la cantidad en que varía el pago es proporcional al pago inmediatamente anterior el gradiente es geométrico (por ejemplo cada pago aumenta o disminuye en 3.8% mensual)



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Gradiente geométrico

Esta serie corresponde al flujo de caja que cambia en porcentajes constantes en

periodos consecutivos de pagos. En la progresión geométrica cada término es el

anterior multiplicado por un mismo número denominado razón de la progresión.

Valor Futuro Gradiente Geométrico

Valor Presente Gradiente Geométrico

Ejemplo: Calcular el valor presente y el valor futuro de la siguiente serie de pagos de un crédito emitido por el banco Colombia con un tasas periódica del 25% y comparar con el de Davivienda que tiene una tasa periódica del 27%. Banco Colombia



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Davivienda



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Gradiente aritmético o lineal Se presenta cuando los pagos en una serie aumentan o disminuyen de una

cantidad constante. Si la constante es positiva, la serie es creciente, si es negativa

la serie es decreciente.

Valor Presente Gradiente Aritmético

Valor Futuro Gradiente Aritmético

Ejemplo: Necesito acumular un capital durante 15 meses. Tengo el siguiente plan de ahorro pero necesito saber si es suficiente. El primer mes 60000 el segundo 65000 y así sucesivamente hasta el mes 15, a una tasa 20% anual liquidable mes vencido.



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4. SISTEMAS DE AMORTIZACIÓN

Sistema de amortización cuota fija Los pagos que se hacen para amortizar una deuda se aplican al cubrir los interesen y a reducir el importe de la deuda. Para visualizar mejor el proceso conviene elaborar mejor una tabla de amortización que muestre lo que sucede con los pagos, los intereses, la deuda, la amortización y el saldo. Ejemplo 1: Sergio campo contrae hoy una deuda de 95.000.000 a 18% convertible Semestralmente que amortizara mediante 6 pagos semestrales iguales.

TABLA DE AMORTIZACION

Periodo Cuota Interés % Amortización Saldo

1 21177379,41 8550000 12627379,41 82372620,59

2 21177379,42 7413535,853 13763843,57 68608777,02

3 21177379,42 6174789,932 15002589,49 53606187,54

4 21177379,42 4824556,878 16352822,54 37253364,99

5 21177379,42 3352802,849 17824576,57 19428788,42

6 21177379,42 1748590,958 19428788,46 0



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Ejemplo 2: Fernando Lemus solicita a la Caja Agraria un crédito por $3.500.000

para mejorar los equipos de trabajo de su microempresa. Esta entidad tiene una

línea de crédito para microempresarios con las siguientes condiciones: interés del

2.3% Mes Vencido; amortización mensual, plazo 12 meses. ¿Cuánto debe pagar

Fernando mensualmente?

Copie y pegue hasta la cuota 12 y obtendrá el siguiente cuadro de amortización:

VP IP N CUOTA

3500000 0.023 12 $ 337,086.38

PERIODO CUOTA FIJA INTERESES TOTAL AMORTIZADO SALDO

1 $ 337,086.38 $ 80,500.00 $ 256,586.38 $ 3,243,413.62

2 $ 337,086.38 $ 74,598.51 $ 262,487.87 $ 2,980,925.75

3 $ 337,086.38 $ 68,561.29 $ 268,525.09 $ 2,712,400.66

4 $ 337,086.38 $ 62,385.22 $ 274,701.17 $ 2,437,699.49

5 $ 337,086.38 $ 56,067.09 $ 281,019.29 $ 2,156,680.20

6 $ 337,086.38 $ 49,603.64 $ 287,482.74 $ 1,869,197.46

7 $ 337,086.38 $ 42,991.54 $ 294,094.84 $ 1,575,102.62

8 $ 337,086.38 $ 36,227.36 $ 300,859.02 $ 1,274,243.60

9 $ 337,086.38 $ 29,307.60 $ 307,778.78 $ 966,464.82



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10 $ 337,086.38 $ 22,228.69 $ 314,857.69 $ 651,607.12

11 $ 337,086.38 $ 14,986.96 $ 322,099.42 $ 329,507.71

12 $ 337,086.38 $ 7,578.68 $ 329,507.71 $ -0.00

Sistema de Cuota creciente linealmente. En este sistema los créditos se amortizan mediante cuotas periódicas, las cuales se van incrementando en una cantidad constante. Por lo general en este tipo de crédito las cuotas en los primeros años no alcanzan a cubrir los intereses causados en cada uno de los periodos, razón por la cual la duda empieza a incrementarse hasta alcanzar un tope máximo; momento en el cual comenzara a decrecer debido a que el valor de la cuota ha superado el valor de los intereses. Teniendo todas las especificaciones del préstamo, se procede a calcular la primera cuota; la cual podemos despejar de la expresión:

Las demás cuotas se obtienen sumándole a la anterior el incremento correspondiente. Ejercicios:



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1. Un ahorrador solicito un préstamo por $500.000 a 15 años de plazo, si la tasa efectiva anual es del 36.71% y el incremento mensual de $230, desea saber cuál es el valor de las cuotas mensuales que debe pagar.

El resto de las cuotas se obtienen sumando $230 que representan el incremento mensual a la cuota anterior:

Pero si necesitamos calcular la cuota 180 por ejemplo, podemos utilizar la siguiente fórmula:

2. El señor Pedro Quintero solicita un préstamo al banco Agrario por $5.000.000

los cuales pagará en cuotas mensuales con un gradiente de $20.0000 a un interés del 36% anual liquidable mes vencido, calcular el valor de la primera cuota que se pagara.



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Sistema de cuota creciente geométricamente

En este sistema los créditos se amortizan mediante cuotas periódicas, las cuales se van incrementando en un porcentaje. El problema básico consiste entonces en calcular la primera cuota. Las demás se obtendrán incrementando la anterior por el porcentaje dado.

Ejemplo

1. El Señor José Feliciano expide una solicitud al Banco de Bogotá para un préstamo por valor de $3.000.000 a 10 años de plazo, con un interés del 32.3% efectivo anual, se debe amortizar mediante cuotas mensuales vencidas las cuales se incrementaran en un 0.5% mensual. Determinar el valor de la primera cuota.



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Sistema de anualidades creciente geométricamente

En este sistema los créditos se amortizan mediante cuotas periódicas vencidas, las cuales se incrementan cada año en un porcentaje dado. En este caso también debemos calcular el valor de la primera cuota; sólo que esta cuota es para todo el primer año. El resto de las cuotas para los demás años se obtendrán incrementando las del año anterior en el porcentaje dado, teniendo en cuenta que la segunda cuota será para todo el segundo año, la tercera para todo el tercer año y así sucesivamente. Para el cálculo de la cuota para el primer año, utilizaremos la fórmula:

Para ip≠G VP= Valor del Préstamo C1= Cuota para el primer año ip= Tasa periódica ia= Tasa anual efectiva n= número de años que dura el préstamo m= Número de cuotas en un año G= incremento porcentual Ejemplo:

Un préstamo por $5.000.000 se obtuvo con un interés del 40.49% efectivo anual y un plazo de 15 años para amortizar el crédito mediante cuotas mensuales vencidas. Determinar el valor de las cuotas para los 3 primeros años y para los tres últimos años, sabiendo que estas se incrementan cada año en un 12%.



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UNIDAD 3: APLICACIONES DE LA INGENIERÍA ECONÓMICA A LA GESTIÓN

DE PROYECTOS

CRITERIOS DE EVALUACION DE ALTERNATIVAS DE INVERSIÓN

Cuando se evalúan proyectos de inversión y alternativas operacionales, efectivamente se está realizando la aplicación de los conceptos y ecuaciones de los temas anteriores de matemáticas financieras. En los temas precedentes se enfatizaba en la relación prestamista-prestatario, ahora se destaca la relación entre el inversionista y el proyecto de inversión. Realmente cuando se evalúan los proyectos de inversión, se calculan las bondades que obtiene el inversionista de prestar su dinero al proyecto y no en otra alternativa análoga, como sería prestarle o invertir en una entidad financiera, naturalmente considerando riesgos de inversión similares.

En un proyecto de inversión se tienen que identificar 3 indicadores fundamentalmente, los cuales permiten evaluarlo.

Los ingresos de los proyectos: Al evaluar el proyecto se realiza el análisis de la velocidad de generar dinero ahora y en el futuro (Horizonte de evaluación del proyecto).

La inversión en el proyecto: Se debe de estimar los desembolsos a realizar en el proyecto. La inversión son todos los recursos atascados o atorados en el proyecto y mientras no salgan del proyecto no se generaran ingresos.

Los gastos de operación del proyecto: Son todos los desembolsos que se deben de efectuar, con la intención de convertir la inversión en los ingresos del proyecto.

Intuitivamente, en la administración del proyecto se deberá aumentar la velocidad de generar dinero en el proyecto a través del horizonte de evaluación, disminuir los desembolsos en inversión y si esto ocurre por norma casi general, los gastos de operación también disminuirán. El criterio de impacto y mejora global al evaluar proyectos debe focalizarse en estos indicadores.

1. Costo Anual Presente Equivalente Muchas alternativas prestan el mismo servicio, en esta categoría ubicamos todas aquellas situaciones en las cuales los beneficios generados son iguales para todas



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las alternativas que se estén analizando. Por lo general. Estos beneficios no se cuantifican en términos de dinero; el primer lugar, por no existir diferencia entre ellos y en segundo lugar, porque la mayoría de los casos es casi imposible su estimación. En razón de lo anterior, este tipo de alternativas se evalúan en términos de sus costos. Como estas alternativas se avalúan en función de sus costos, en los diagramas de flujo de efectivo sólo aparecerán egresos, los cuales incluirán una inversión inicial y unos costos anuales. En aquellas alternativas donde haya valor de recuperación (valor de mercado, valor de salvamento). Aparecerá un único ingreso al final de la vida útil de la alternativa. Para evaluar este tipo de alternativa; utilizaremos los índices: -Costo presente equivalente (CPE). -Costo anual equivalente (CAE). Ejemplo 1. Una compañía productora de artefactos nucleares planea adquirir un reactor con el fin de mejorar sus procesos de producción. Actualmente están analizando las siguientes dos posibilidades: Reactor A Reactor B Inversión Inicial $150’000.000 $200’000.000 Costos anuales de operación y mantenimiento. $ 25’000.000 $ 15’000.000 Valor del Mercado $ 30’000.000 $ 60’000.000 Vida Útil 6 años 6 Años

Tasa de interés de oportunidad de la compañía: 18% anual efectivo.

Solución. Reactor A



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Calculamos primero el CPE.

Este valor representa (en dinero de hoy) el costo total de la adquisición del reactor A. También podríamos decir que es su costo actual. Calculemos ahora el CAE.

Esta cantidad representa lo que le cuesta anualmente a la entidad adquirir el reactor A.

Reactor B Calculemos CPE



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Esto le costara a la empresa (en dinero de hoy), la adquisición del reactor B. Calculemos ahora el CAE

Esto es lo que le costaría anualmente a la entidad adquirir el reactor B Los resultados anteriores nos muestran entonces que es más económico adquirir el reactor A. Pues tiene menor costo. Ejemplo 2. Una compañía está en plan de adquirir un torno nuevo para lo cual se le han presentado las siguientes alternativas: un torno de fabricación americana cuyo precio de contado es 55 mil dólares instalado. Los costos anuales de operación incluyendo mantenimiento y mano de obra ascienden a 30.000 dólares. La segunda alternativa es un torno de fabricación alemana, cuyo precio de contado es de 70 mil dólares instalado, y los costos anuales de operación serian solo de 25.000 dólares. Se espera que ambas maquinas tengan una vida útil de 10 años al cabo de los cuales podrán venderse por 8 mil dólares el primero y 10 el segundo. Si la tasa de interés de oportunidad de la empresa es del 30% anual efectivo, determinar cuál de los tornos se debe comprar. Solución. Torno alemán



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Calculemos el CPE

Calculamos ahora el CAE

Torno americano



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Se recomienda adquirir el torno alemán por tener un menor costo

2. Método del valor presente neto (VPN)

Este método es muy utilizado primero, porque es de muy fácil aplicación y segundo, porque todos los ingresos y egresos futuros se transforman a pesos de hoy y así puede verse, fácilmente, si los ingresos son mayores que los egresos, el VPN es considerado como uno de los índices más adecuados y en cierta forma el más seguro de los existentes. El valor presente neto es la utilidad (si es positivo) o perdida (si es negativo) a pesos de hoy, que proviene por invertir en el proyecto y no invertir al interés de oportunidad. Este es un concepto de marginalidad, es la riqueza adicional que se obtiene y corresponde exactamente al valor presente de los valores económicos agregados durante el horizonte de evaluación del proyecto. Cuando el VPN es menor que cero implica que hay una perdida a una cierta tasa de interés. Cuando el VPN es mayor que cero se presenta una ganancia. Cuando el VPN es igual a cero se dice que el proyecto es indiferente. En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a rechazarlo o aceptarlo según sea el caso. Al evaluar proyectos con el VPN se recomienda que se calcule con una tasa de interés superior a la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), con el fin de tener un margen de seguridad para cubrir ciertos riesgos, tales como liquidez, efectos inflacionarios o desviaciones que no se tengan previstas. Para su cálculo utilizamos la siguiente relación:



40

Ejemplo 1. Antonio desea realizar un proyecto con una inversión inicial de $20’000.000, el cual produce $8’000.000 de utilidades durante los próximos 5 años, al final del cual lo vende en 10’000.000. Si la tasa de interés de oportunidad de esta persona es del 20% anual efectivo, determine qué tan pertinente es invertir en ese proyecto. Solución.

Traemos al día de hoy todas las ganancias y pérdidas futuras del proyecto, en este caso tenemos unos ingresos de 8.000.000 cada año durante 5 años lo que lo convierte en una anualidad (cuota) entonces lo traemos con al día de hoy con la siguiente fórmula: VP = C 1- ( 1 + ip)-n ip Otro ingreso que es necesario traer hasta al año 0 son los 10.000.000, pero estos

no son una anualidad porque solo se reciben una vez dentro de 5 años y por eso

se emplea la fórmula

VP= VF/(1 + ip)n

Los 20.000.000 de la inversión inicial no es necesario emplear ninguna fórmula

porque ya están en el año 0.

VPN(ip) = Ingresos actualizados – Egresos actualizados



41

Ingresos Actualizados:

8’000.000

2.0

2.0115

+ 52.01

000.000.10

Egresos Actualizados: 20.000.000

Como el Valor Presente Neto calculado es mayor que cero, podemos considerar que es rentable. CALCULO EN EXCEL:

Esto nos da un valor de 27943672.84 que es el valor presente de los Ingresos, entonces:



42

VPN= 27943672.84 – 20000000 VPN= 7.943.672 Ejemplo 2. Calcular el VPN del proyecto anterior considerando que la tasa de interés de oportunidad de Antonio es del 40% anual efectivo. Solución.

En consecuencia para el mismo proyecto puede presentarse que a una cierta tasa de interés, el VPN puede variar significativamente, hasta el punto de llegar a ser negativo como en este caso.

Ejemplo 3

Calcular el VPN del siguiente flujo de efectivo de un proyecto (ip=15%)

En este caso como los valores periódicos son diferentes, es decir, no es una

anualidad, es necesario traer al periodo 0 cada valor con la siguiente fórmula:

VP= VF/(1 + ip)n

De esta forma tendríamos:

VPN= Ingresos actualizados – Egresos actualizados



43

VPN= 200/(1+0.15)1+ 300/(1+0.15)2+300/(1+0.15)3+ 200/(1+0.15)4+500/(1+0.15)5-

1000

VPN= -39

El proyecto no es favorable para el inversionista pues el VPN es negativo, es decir

genera pérdidas.

Ejemplo 4. Se presenta la oportunidad de montar una fábrica que requerirá una inversión inicial de $4.000.000 y luego inversiones adicionales de $1.000.000 mensuales desde el final del tercer mes, hasta el final del noveno mes. Se esperan obtener utilidades mensuales a partir del doceavo mes en forma indefinida, de $2.000.000 Si se supone una tasa de interés de 6% efectivo mensual, ¿Se debe realizar el proyecto?

Solución.

La primera instancia se dibuja la línea de tiempo para visualizar los egresos y los

ingresos.

A) Se calcula el VPN para ingresos de $2.000.000.



44

3. Método de la tasa interna de retorno (TIR)

Este método consiste en encontrar una tasa de interés en la cual se cumplen las condiciones buscadas en el momento de iniciar o aceptar un proyecto de inversión. Tiene como ventaja frente a otras metodologías como la del Valor Presente Neto (VPN) o el Valor Presente Neto Incremental (VPNI) porque en este se elimina el cálculo de la Tasa de Interés de Oportunidad (TIO), esto le da una característica favorable en su utilización por parte de los administradores financieros. La TIR es una tasa que hace el Valor Presente Neto igual a cero. Esta tasa representa el rendimiento obtenido por los dineros que permanecen invertidos en un proyecto. La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad es aquélla tasa que está ganando un interés sobre el saldo no recuperado de la inversión en cualquier momento de la duración del proyecto. En la medida de las condiciones y alcance del proyecto estos deben evaluarse de acuerdo a sus características, con unos sencillos ejemplos se expondrán sus fundamentos. La TIR es una herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para comparar la factibilidad de diferentes opciones de inversión. Generalmente, la opción de inversión con la TIR más alta es la preferida.

Es la tasa de interés por la cual se recupera la inversión.

Es la tasa de interés máxima que se puede endeudar para no perder.

Es la tasa de interés a la cual el inversionista le presta su dinero al proyecto y es característica del proyecto, independientemente de quien evalué.

Ilustremos el concepto y el cálculo de la TIR con un sencillo ejercicio: Flujo de caja del proyecto:

http://es.wikipedia.org/wiki/TIR





45

La TIR es la tasa que hace al VPN igual a cero

Hacemos un primer cálculo del VPN con una tasa estimada la cual calculamos con la siguiente relación

En este primer ensayo hemos encontrado que el VPN es mayor que cero, lo que nos indica que la TIR es mayor del 34%.



46

Segundo ensayo: Calculemos ahora el VPN con una tasa mayor: 40%, por ejemplo:

Como el VPN es menor que cero, significa que la TIR es menor que 40%. Por lo tanto la tasa que estamos buscando se encuentra entre 34% y 40%. Interpolemos entre estas dos tasas:

De esta forma hemos obtenido una TIR=34%+3.255% = 37.255%. Si se desea saber qué tan buen negocio es éste para la persona, se debe comparar esta tasa con su tasa de interés de oportunidad, o sea con la rentabilidad que normalmente obtiene en sus negocios.

Para tomar la decisión con la TIR la debemos comparar con la rentabilidad obtenida en otras alternativas análogas, como por ejemplo, con los mismos niveles de riesgo. Esta rentabilidad de invertir en oportunidades similares es



47

la tasa de interés de oportunidad o el costo de capital promedio ponderado (CCPP). En resumen, cuando:

TIR>CCPP Aceptar el proyecto. TIR<CCPP Rechazar el proyecto. TIR=CCPP El proyecto es indiferente.

CALCULO EXCEL El cálculo de la TIR en forma manual es algo complicado por lo cual es mejor

emplear Excel pues se calcula de forma sencilla de la siguiente manera:



48

TIR=37.1%

4. Razón Costo Beneficio y Periodo de recuperación

Si bien este método se utiliza en la evaluación financiera, su uso es más generalizado en la evaluación de proyectos de interés social o proyectos públicos cuando los fondos para la financiación provienen de organismos internacionales. Para obtener la relación beneficio/costo se realiza el cociente entre la sumatoria de los valores actualizados de los ingresos y la Sumatoria de los valores actualizados de los egresos.

De otro modo, de lo que se trata es de calcular el valor presente de los ingresos y de los egresos del proyecto con base en la tasa de oportunidad y hacer la correspondiente división. Los valores resultantes de la relación B/C deben ser interpretados como sigue:

R B/C > 1 El proyecto es viable, dado que el VP de los ingresos es mayor que el VP de los egresos



49

R B/C < 1 El proyecto no es atractivo, dado que el VP de los ingresos es inferior al VP de los egresos

R B/C = 1 Teóricamente es indiferente realizar o no el proyecto. En este caso la TIR y la tasa de oportunidad son iguales. El VP de los ingresos es igual al VP de los egresos.

Ejemplo: Calculemos la RCB del siguiente flujo de efectivo

Ingresos Actualizados:

= 8’000.000

2.0

2.0115

+ 52.01

000.000.10

= 23’924.897 + 4’018.775,7= 27.943.672.7

Egresos Actualizados: 20.000.000

RCB =27.943.672.7/20.000.000

RCB= 1.4



50

El proyecto es viable, por cada peso invertido en el proyecto este nos recupera 1.4

pesos.

5. Periodo de recuperación (PRI):

El periodo de recuperación de la inversión - PRI - es uno de los métodos que en el corto plazo puede tener el favoritismo de algunas personas a la hora de evaluar sus proyectos de inversión. Por su facilidad de cálculo y aplicación, el Periodo de Recuperación de la Inversión es considerado un indicador que mide tanto la liquidez del proyecto como también el riesgo relativo pues permite anticipar los eventos en el corto plazo.

Es importante anotar que este indicador es un instrumento financiero que al igual que el Valor Presente Neto y la Tasa Interna de Retorno, permite optimizar el proceso de toma de decisiones.

¿En qué consiste el PRI? Es un instrumento que permite medir el plazo de tiempo que se requiere para que los flujos netos de efectivo de una inversión

CALCULO DEL PRI

Supóngase que se tienen dos proyectos que requieren un mismo valor de inversión inicial equivalente a $1.000.00. El proyecto (A) presenta los siguientes Flujo Neto de Efectivo (FNE) datos en miles:

CALCULO PRI (A): Uno a uno se van acumulando los flujos netos de efectivo hasta llegar a cubrir el monto de la inversión. Para el proyecto A el periodo de recuperación de la inversión se logra en el periodo 4: (200+300+300+200=1.000).

Ahora se tiene al proyecto (B) con los siguientes FNE:

http://www.pymesfuturo.com/vpneto.htm

http://www.pymesfuturo.com/tiretorno.htm

http://www.pymesfuturo.com/vpneto.htm#los%20flujos%20netos%20de%20efectivo



51

CALCULO PRI (B): Al ir acumulando los FNE se tiene que, hasta el periodo 3, su sumatoria es de 600+300+300=1.200, valor mayor al monto de la inversión inicial, $1.000. Quiere esto decir que el periodo de recuperación se encuentra entre los periodos 2 y 3.

Para determinarlo con mayor exactitud siga el siguiente proceso:

Se toma el periodo anterior a la recuperación total (2) Calcule el costo no recuperado al principio del año dos: 1.000 - 900 = 100.

Recuerde que los FNE del periodo 1 y 2 suman $900 y que la inversión inicial asciende a $1.000

Divida el costo no recuperado (100) entre el FNE del año siguiente (3), 300: 100÷300 = 0.33

Sume al periodo anterior al de la recuperación total (2) el valor calculado en el paso anterior (0.33)

El periodo de recuperación de la inversión, para este proyecto y de acuerdo a sus flujos netos de efectivo, es de 2.33 períodos.

ANÁLISIS: Como se puede apreciar, el proyecto (A) se recupera en el periodo 4 mientras que el proyecto (B) se recupera en el 2.33 periodo. Lo anterior deja ver que entre más corto sea el periodo de recuperación mejor será para los inversionistas, por tal razón si los proyectos fueran mutuamente excluyentes la mejor decisión sería el proyecto (B).

También es posible calcular el PRI descontado. Se sigue el mismo procedimiento tomando como base los flujos netos de efectivo descontados a sus tasa de oportunidad o costo de capital del proyecto. Es decir, se tiene en cuenta la tasa de financiación del proyecto.

Las principales desventajas que presenta este indicador son las siguientes: Ignora los flujos netos de efectivo más allá del periodo de recuperación; sesga los proyectos a largo plazo que pueden ser más rentables que los proyectos a corto plazo; ignora el valor del dinero en el tiempo cuando no se aplica una tasa de descuento o costo de capital. Estas desventajas pueden inducir a los inversionistas a tomar decisiones equivocadas.

http://www.pymesfuturo.com/vpneto.htm#La%20tasa%20de%20descuento

http://www.pymesfuturo.com/vpneto.htm#La%20tasa%20de%20descuento



52

Tasa interna de retorno versus Valor presente neto:2

Vamos a efectuar una afirmación, la cual demostraremos en el sentido de que la TIR solamente es un criterio que evalúa impactos locales y por lo tanto no permite optimizar el uso del dinero. El criterio del VPN, es un indicador de impacto global y con este tendremos que seguir evaluando para explotar y elevar la restricción, este criterio coincide con el valor económico agregado EVA. En conclusión hemos establecido el objetivo de los proyectos, el cual es agregar más valor a la empresa ahora y en el futuro (aumentar la velocidad de generar dinero) y también determinamos la brújula o el indicador, el VPN, que nos permita comprobar si nos acercamos o alejamos de nuestro objetivo.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Lecciones/Cap%2

09/9-1-4.htm

Alternativas mutuamente excluyentes

Cuando se trate de escoger una alternativa entre varias opciones, es decir

que una excluye a las demás, lo más sensato es evaluar la decisión para cada

caso.

Considere los dos proyectos de inversión, con los flujos que se muestran en el

cuadro, el cual incluye el cálculo de los valores presentes netos y las tasas

internas de retorno para cada proyecto y para la alternativa incremental.

Año Proyecto A Proyecto B B-A

0

1

2

3

4

5

6

-300000

160000

164800

169744

174836

180081

185484

-300000

140000

151200

163296

176360

190468

205706

0

-20000

-13600

-6448

1523

10387

20222

2 NAVARRO, Castaño Diego. Matemáticas Financiera. Universidad Nacional de Colombia.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Lecciones/Cap%209/9-1-4.htm

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/Lecciones/Cap%209/9-1-4.htm



53

7

8

9

10

191048

196780

202683

208764

222162

239935

259130

279861

31114

43156

56447

71097

TIO 0.25

VPN 322326 332625 10299

TIR 55% 53% 31%

Cuál sería su recomendación sobre el proyecto a escoger, si fueran mutuamente

excluyentes y la tasa de interés de oportunidad fuera del 25%.

Se escogería el proyecto con el mayor valor presente neto, que es el proyecto

B, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto A es mayor. Se recalca

que en caso de alternativas mutuamente excluyentes, el valor presente neto

siempre conduce al ordenamiento correcto de alternativas; no así la tasa interna

de retorno aplicada directamente.

La alternativa incremental (B – A) tiene un valor presente neto positivo, para una

tasa de oportunidad de interés de oportunidad del 25%. La tasa interna de retorno

de la alternativa incremental 31% es superior a la tasa de oportunidad mostrando

a su vez que el proyecto B se prefiere al proyecto A.



54

Referencias

AYRES, Frank Jr./ Matemáticas Financieras.- - Mc Graw Hill, 1976. CANADÁ, J.R. y WHITE, Jr JA/Capital Investment Decision Analysis for Managment and Engineering.- - Prentice Hall mc, Englewood Cliffs, NJ, 1980.

CARDONA, Alberto Matemáticas financieras. -- Editorial Interamericana SA., 1986.

CARDONA, Francisco José. Matemática Financiera asistida por computador. Universidad de Manizales

CORREDORES ASOCIADOS Manual para el cálculo de rentabilidades.- - Semi-flash, 1998.

CRUZ, Juan Sergio Lógicas y dialécticas en las decisiones de inversión. 3R Editores, 2001.

EVANS, James R., OLSON, David! Introduction lo Simulation and Risk Analysis.- -Prentice Hall, 1998.

FAMA, Eugene F. Short terms, interest rates as predictors of Inflation.- - merican Economic Review. Junio, 1995.

NAVARRO, Castaño Diego. Matemáticas Financiera. Universidad Nacional de Colombia. Recuperado de:

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/index.html

VÉLEZ P., Ignacio Decisiones de inversión enfocado a la valoración de

empresas. CEJA, 2001.

http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4010045/index.html

Manzano 2015 ingenieria_economica

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