TEORIA DE ANTENAS

Manual sobre Teoría de Antenas

José Carlos Pérez

27 de Octubre de 2012

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TEORIA DE ANTENAS

ÍNDICE

1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 ¿Qué es una Antena? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Tipos de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Parámetros Fundamentales de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1 Regiones de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Patrón de Radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.3 Ancho de Haz a Media Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Directividad y Ganancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Impedancia de Entrada y Adaptación de Antenas . . . . . . . . . . . . . . . 122.6 Pérdida de Retorno y Relación de Onda Estacionaria (VSWR) . . . . . . . 152.7 Ancho de Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.8 Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Antenas Alámbricas: Dipolo y Monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1 Dipolo de Longitud Finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Dipolo Corto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.3 Dipolo de Media Longitud de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Monopolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Antenas de Apertura: Bocinas y Reflectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.1 Antenas de Bocina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Bocinas Piramidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.1.2 Fórmulas para el Diseño de una Bocina Piramidal Óptima . . . . . . 27

4.2 Reflectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.1 Reflector Diédrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2 Reflectores Parabólicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Antenas de Parche Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 La Antena Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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ÍNDICE DE FIGURAS

1 Antena como estructura de transición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Cambios en el patrón de radiación según la región de campo . . . . . . . . . 93 Sistema de coordenadas para antenas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Patrón de radiación de una antena Dipolo en (a) tres dimensiones, (b) plano

de elevación y (c) plano de azimut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Lóbulos y ancho de haz en plano de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Circuito equivalente de antena transmisora . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 Circuito equivalente de antena y transmisor a alta frecuencia . . . . . . . . 148 Polarizaciones de campo: (a) lineal, (b) horizontal, (c) vertical y (d) circular 179 Geometría para la antena Dipolo de longitud finita . . . . . . . . . . . . . . 1810 Patrones de campo normalizado en plano de elevación para (a) L = λ, (b)

L = 1.5λ y (c) L = 3.5λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1911 Patrones de campo normalizado para el Dipolo de media longitud de onda

en (a) plano de azimut y (b) plano de elevación . . . . . . . . . . . . . . . . 2112 (a) Antena Monopolo sobre un plano conductor perfecto y (b) su imagen

equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2213 Algunas variedades de antenas de Apertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314 Bocinas de sección rectangular: (a) sectorial en el plano E, (b) sectorial en el

plano H y (c) piramidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2415 Geometría de la antena de Bocina Piramidal . . . . . . . . . . . . . . . . . 2516 Geometría para el Reflector Diédrico de 90º: (a) vista de perspectiva, (b)

vista de lado y (c) reflector con sus imágenes . . . . . . . . . . . . . . . . . 2817 Geometría de Reflector Parabólico en dos dimensiones . . . . . . . . . . . . 3118 Geometría de la antena de Parche Rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . 3419 Alimentación de antena de Parche con línea microstrip (a) por conexión

directa a la antena y (b) por inserción de la línea . . . . . . . . . . . . . . . 3820 Estructura de antena Yagi-Uda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS

Abreviaturas

%BW Ancho de banda porcentual

dB Decibelios

dBi Decibelios de directividad con respecto a la directividad de una antenaisótropica

HPBW Ancho de haz a media potencia

IEEE Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos

VSWR Relación de onda estacionaria de voltaje

Símbolos Comunes

ε0 Permitividad eléctrica del espacio libre (F/m)

εap Eficiencia de apertura

η Impedancia de espacio libre (120π Ohms)

Γ Coeficiente de reflexión de voltaje

λ Longitud de onda

µ0 Permeabilidad magnética del espacio libre (H/m)

σ Conductividad (S/m)

~Wprom Vector de Poynting promedio 12Re

[~E × ~H∗

]Ae Área efectiva de antena

F (θ, φ) Función de patrón de campo normalizado

S11 Pérdida de retorno

Z0 Impedancia de línea de transmisión

ZA Impedancia de entrada de antena

c Velocidad de la luz (299,792,458 m/s)

k Número de onda, k = 2π/λ

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1. Introducción

Desde tiempos inmemoriales, el ser humano ha buscado de formas para comunicarse consus semejantes a largas distancias. En un principio, se utilizaron métodos audibles, comotambores y cornetas. Luego, se emplearon métodos visuales, como banderas y señales dehumo. Pero aún existía una gran parte del espectro electromagnético que no se había usadopara comunicaciones: las ahora conocidas como radiofrecuencias.

Tanto Maxwell como Faraday predecían la existencia de ondas electromagnéticas que sepropagan por el espacio. Heinrich Hertz confirmó dichas predicciones con sus experimentosen 1887, para los cuales tuvo que desarrollar algunas de las primeras antenas de dipolo y deespira. Para obtener una radiación más directiva, inventó sistemas de antenas con reflector,utilizando un reflector cilíndrico parabólico, alimentado por un Dipolo a 455 MHz.

Los descubrimientos de Hertz fueron vistos como una mera curiosidad de laboratoriosin aplicación práctica, hasta que el inventor italiano Guglielmo Marconi comenzó aexperimentar con antenas y los primeros enlaces de radio en 1895, construyendo otroreflector cilíndrico parabólico que operaba a 1.2 GHz. En 1901, logró el primer enlaceinalámbrico transoceánico. Pueden haber existido otros pioneros de la radio anteriores aMarconi, pero el italiano fue quien desarrolló la radio de manera comercial y realizó lasprimeras comunicaciones transoceánicas.

Y así fue cómo comenzó una historia que se ha extendido hasta el día de hoy. Desde Hertzy Marconi, los sistemas de comunicación inalámbrica y por ende, las antenas, se han vueltoindispensables en nuestra vida moderna. Se encuentran en todos lados: en nuestros hogaresy lugares de trabajo, en nuestros carros y aviones, en satélites, barcos y naves espaciales.Incluso las llevamos puestas al caminar. Pero ahora, vayamos al grano: ¿qué es exactamenteuna antena?

1.1. ¿Qué es una Antena?

El Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE por sus siglas en inglés) define unaantena como aquella parte de un sistema transmisor o receptor diseñada específicamentepara radiar o recibir ondas electromagnéticas (IEEE Std. 145-1983). Kraus (1988), conocidopionero y académico en el campo de antenas, define la antena como “la estructura asociadacon la región de transición entre una onda guiada y una onda en espacio libre, o viceversa”,así como se muestra en la Figura 1.

Las antenas deben irradiar y captar potencia con las características de direccionalidadapropiadas según la aplicación deseada (Aznar y cols., 2002). Por ejemplo, la radiodifusiónes una aplicación que busca una cobertura en todas direcciones (omnidireccional), así quese utilizan antenas omnidireccionales como el Dipolo o Monopolo. Mientras tanto, en un

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Figura 1: Antena como estructura de transición.(Fuente: Balanis, 2005)

enlace punto a punto de microondas, el transmisor busca concentrar la potencia en una soladirección, así que se emplean antenas direccionales, como los Reflectores Parabólicos.

1.2. Tipos de Antenas

A continuación se enumeran algunos de los tipos principales de antenas, utilizando laclasificación provista por Balanis (2005) en su libro Antenna Theory: Analysis and Design.

Antenas Alámbricas. Se construyen con hilos conductores. Pueden tomar varias formas,como un alambre recto (Dipolo), una espira, o una hélice. Aunque fueron las primerasantenas, siguen siendo uno de los tipos más versátiles y utilizados.

Antenas de Apertura. Son antenas de apertura las bocinas (piramidales y cónicas), lasaperturas y las ranuras sobre planos conductores, y las bocas de guía. Normalmentese usan para trabajar en la banda de microondas (0.3-30 GHz).

Antenas de Reflector La necesidad de comunicarse a través de grandes distancias llevóa los ingenieros y científicos a utilizar reflectores para aumentar la direccionalidad ydistancia máxima de la radiación transmitida. Los reflectores “amplifican” la radiación

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emitida por un alimentador primario. El Reflector Parabólico es el ejemplo másconocido de este tipo de antenas.

Antenas de Parche (microstrip) La tecnología de circuitos impresos utiliza líneasde transmisión microcinta (microstrip). En los años 70, se vio que estas líneasde microcinta podían ser utilizadas como antenas. Las antenas de Parche estáncompuestas por un parche metálico dispuesto sobre un sustrato dieléctrico colocadoencima de un plano metálico. El parche puede tomar una variedad de formas, pero lasmás comunes son las rectangulares y circulares. Su bajo perfil, su fabricación simple yeconómica así como su versatilidad la hace ideal para aplicaciones como en teléfonoscelulares.

Agrupaciones de Antenas Ciertas aplicaciones requieren características de radiaciónque no pueden lograrse con un solo elemento. Sin embargo, con la combinación devarios elementos radiantes se puede obtener una flexibilidad que permita obteneresa radiación deseada. La agrupación de antenas se analiza como una sola unidad;sus campos irradiados son la suma de los campos irradiados por cada uno de suselementos.

2. Parámetros Fundamentales de Antenas

Antes de comenzar cualquier discusión sobre tipos de antenas y su análisis, es menesterexplicar los parámetros fundamentales de toda antena. Ahora que comienza la parte más“matemática” de este documento, cabe aclarar que en las siguientes secciones sólo se haráreferencia a fórmulas específicas. Si desea conocer la demostración de dichas fórmulas,se recomienda revisar los libros mencionados en la sección de Referencias al final deldocumento. Los parámetros que se describen a continuación no son todos; sólo se nombranaquellos parámetros que se analizan en el software Análisis de Antenas que estará utilizandoen sus prácticas de laboratorio.

2.1. Regiones de Campo

Dado que la estructura de los campos radiados por una antena cambia con la distancia, sesubdivide el espacio que rodea a la antena en tres regiones distintas:

Región campo cercano reactivo

Región de campo cercano de radiación, o región de Fresnel

Región de campo lejano, o región de Fraunhofer

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El campo cercano reactivo es una región compuesta en su mayoría de campos inducidos,lo que significa que los campos eléctricos y magnéticos están desfasados 90º entre sí. Es laregión que está justo en la vecindad inmediata de la antena. Los límites de esta región sedefinen como:

R < 0.62

√D3

λ(1)

donde D la dimensión más grande de la antena, y λ es la longitud de onda.

La siguiente es la región de Fresnel, en donde los campos de radiación empiezan a emerger.Sin embargo, los campos inducidos siguen presentes, causando que la forma del patrón deradiación varíe con la distancia R. La región está comúnmente delimitada por:

0.62

√D3

λ< R <

2D2

λ(2)

Finalmente, se encuentra la región de campo lejano (Fraunhofer). En esta región, la formadel patrón de radiación ya no varía con la distancia desde la antena. Los campos magnéticosy eléctricos son transversales entre sí, y transversales a la dirección de propagación. En otraspalabras, ya se puede modelar la radiación desde la antena como una onda plana. Los límitesde esta región son:

R >2D2

λ(3)

En la Figura 2, se puede apreciar claramente como el patrón de radiación va cambiando enlas diferentes regiones de campo. Entre más se aleja de la antena, se le ve una forma másdefinida, en la cual se observan varios lóbulos.

2.2. Patrón de Radiación

Se define el patrón de radiación como la representación gráfica de una de las propiedadesde radiación de la antena (puede ser intensidad de radiación, directividad, amplitud decampo, fase, polarización) en función de las distintas direcciones del espacio, determinadanormalmente en la región de campo lejano. El sistema de coordenadas que mejor representalas direcciones en el espacio es el esférico.

Para el programa Análisis de Antenas, se escogió la propiedad de amplitud de campoeléctrico. Con la antena situada en el origen y manteniendo una distancia constante, así comose ve en la Figura 3, se expresará el campo eléctrico en función de las variables angulares(θ, φ). A esta gráfica de campo eléctrico recibido a un radio constante se le llamada patrónde amplitud de campo. Dado que el campo magnético se deriva directamente del eléctrico,se podría construir la gráfica a partir de cualquiera de los dos, pero lo habitual es que lospatrones de radiación se refieran al campo eléctrico.

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Figura 2: Cambios en el patrón de radiación según la región de campo.(Fuente: Rahmat-Samii, Williams, y Yoccarino, 1995)

Muchas veces, los patrones de campo están normalizados con respecto a su valor máximo.Este patrón de campo normalizado se representa como la función F (θ, φ), y habitualmenteestá expresado en escala de decibelios (dB). El programa graficará entonces la siguientefunción:

FdB(θ, φ) = 20 log E(θ, φ)Emax

(4)

La función F es tridimensional, pero el programa no grafica un patrón en tres dimensiones;sólo representa dos cortes bidimensionales del diagrama en coordenadas polares. El primercorte es en el plano de azimut, o sea, el plano horizontal de la antena. El segundo corte esen el plano de elevación, que sería el plano vertical. En la Figura 4, se puede observar unejemplo del patrón tridimensional de una antena Dipolo, con sus respectivos cortes en elplano de elevación y plano de azimut.

Para el caso de las antenas de Bocina, Microstrip y Yagi-Uda, se grafican también estos dospatrones en coordenadas cartesianas.

2.3. Ancho de Haz a Media Potencia

En un patrón típico de radiación, como los mostrados en la Figura 4, se observa una zonaen la que la radiación es máxima, a la que se denomina haz principal o lóbulo principal. Laszonas que rodean a los máximos, de menor amplitud, se denominan lóbulos laterales. Algunasantenas también presentan lóbulos de menor amplitud a 180º del lóbulo principal. Éstosson lóbulos traseros. Los lóbulos laterales y traseros representan radiación en direcciones

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Figura 3: Sistema de coordenadas para antenas.(Fuente: Balanis, 2005)

indeseadas, y deben ser reducidos lo más posible. La relación de la potencia del lóbulofrontal al lóbulo trasero se llama Relación Delante-Atrás (en inglés, Front-to-Back Ratio).

Una vez explicado el concepto del patrón de radiación y de los lóbulos, se procede a definirel concepto de Ancho de Haz a Media Potencia, que es la separación angular entre las dosdirecciones en las cuales el patrón de intensidad de radiación es la mitad de su valor máximo.Durante el resto del documento, se hará referencia a este término simplemente como anchode haz, o por sus siglas en inglés, HPBW.

Se debe recordar que el diagrama que grafica el software Análisis de Antenas es el patrón decampo, no el patrón de intensidad de potencia. En este caso, el HPBW sería la separaciónangular entre las direcciones en las que el valor del campo ha caído a 0.707 de su valor desu máximo. En otras palabras, donde el patrón de campo normalizado tenga un valor de -3dB. El HPBW y los lóbulos de radiación pueden apreciarse bien en la Figura 5.

El ancho de haz no es una medida del patrón de radiación en tres dimensiones; es unamedida de uno de los cortes bidimensionales. Eso quiere decir que el software diseñado debecalcular el ancho de haz tanto en el plano de azimut como en el plano de elevación.

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Figura 4: Patrón de radiación de una antena Dipolo en (a) tres dimensiones,(b) plano de elevación y (c) plano de azimut.

(Fuente: Stutzman y Thiele, 1998)

Figura 5: Lóbulos y ancho de haz en plano de elevación.(Fuente: Eibert y Volakis, 2007)

2.4. Directividad y Ganancia

La directividad, como función de la dirección, se define como la relación entre la intensidadde radiación en una determinada dirección y la intensidad de radiación promedio en todaslas direcciones:

D(θ, φ) = U(θ, φ)Uprom

= U(θ, φ)Prad/(4πr2) (5)

siendo U(θ, φ) la función de intensidad de radiación, y Prad la potencia irradiada.

Dicho de otra forma, la directividad es la razón entre la intensidad de radiación en unadirección, y la intensidad de radiación de una antena isotrópica que irradia la mismacantidad de potencia. Cuando se hace referencia al término directividad sin especificaralguna dirección angular, se sobreentiende que se está hablando de la directividad máxima,

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o sea, la directividad en la dirección de máxima intensidad de radiación.

Dmax = UmaxUprom

= UmaxPrad/(4πr2) (6)

Muchas veces la directividad se expresa en decibelios. Ya que se usa la antena isotrópicacomo referencia, las unidades son expresadas como dBi.

DdBi = 10 log(D) (7)

La directividad es una medida de la capacidad de la antena para concentrar potencia enuna dirección particular.

La ganancia de la antena es un parámetro muy parecido a la directividad, pero en lugar decomparar con la potencia radiada, utiliza la potencia entregada a la antena.

G(θ, φ) = U(θ, φ)Pentregada/(4πr2) (8)

En otras palabras, la ganancia toma en cuenta las pérdidas de la antena; asume que no todala potencia entregada a la antena será radiada. Si se expresa la eficiencia de radiación e dela antena como la razón entre la potencia radiada y la potencia entregada a la antena:

e = PradPentregada

(9)

se puede definir la ganancia como

G(θ, φ) = U(θ, φ)Pentregada/(4πr2) = Prad

Pentregada

U(θ, φ)Prad/(4πr2) = eD(θ, φ) (10)

En la Ecuación (10), se observa que la ganancia está directamente relacionada con ladirectividad por la eficiencia. Si la antena no presenta pérdidas, ambos parámetros sonequivalentes. El programa Análisis de Antenas sólo calcula la directividad de la antena encuestión.

2.5. Impedancia de Entrada y Adaptación de Antenas

Ahora se analizará a la antena desde la perspectiva de la teoría de circuitos. En la Figura6, se puede apreciar el circuito equivalente de Thévenin de un transmisor y su antenaasociada, a baja frecuencia. A la impedancia vista desde las terminales de entrada de laantena se le llamará impedancia de entrada, ZA. Ésta representa la razón entre el voltaje en

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las terminales de entrada de la antena y la corriente de entrada, y tiene la siguiente forma:

ZA = VinIin

= RA + jXA (11)

La parte real de la impedancia representa la potencia radiada o absorbida dentro de laantena. La parte imaginaria representa la potencia inducida en el campo cercano de laantena, o sea que esta potencia tampoco es radiada.

En términos generales, la parte resistiva de la impedancia se caracteriza como:

RA = Rr +RL (12)

donde Rr es la resistencia de radiación de la antena, y RL es la resistencia de pérdidas.

Figura 6: Circuito equivalente de antena transmisora.

Así como explica Tomasi (2003), la resistencia de radiación Rr, es aquella que, si reemplazaraa la antena, disiparía exactamente la misma potencia. Se acostumbra a referir la resistenciade radiación al punto de máxima corriente o a la corriente de entrada. Ya que en esteproyecto lo que interesa es la impedancia de entrada de la antena, nos interesa referir Rr ala corriente de entrada, Iin. Por lo tanto, la resistencia de radiación queda definida como:

Rr = 2Prad|Iin|2

(13)

La impedancia de antena es una función que depende de muchos factores, como la frecuencia,la geometría, la proximidad a otros objetos o el método de excitación (guía de onda, coaxial,etc). Dada la complejidad geométrica, sólo algunos tipos de antenas prácticas tienen unaexpresión analítica que describa su impedancia de entrada. Para muchas otras, la impedanciade entrada se determina experimentalmente. El programa Análisis de Antenas calcula la

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impedancia para los casos de antenas Dipolo, Monopolo, Dipolo con Reflector Diédrico, yParche.

Un aspecto fundamental en el diseño de antenas es la adaptación. La antena ha de conectarsea un transmisor y radiar el máximo de potencia posible con un mínimo de pérdidas en ella.La antena y el transmisor han de adaptarse para una máxima transferencia de potencia enel sentido clásico de la teoría de circuitos.

En el caso de bajas frecuencias, como en la Figura 6, se desprecian los efectos de la línea detransmisión, ya que la línea es corta comparada con la longitud de onda. En base a la Figura6, se define la impedancia del generador como Zg = Rg + jXg. De la teoría de circuitos, sesabe que la potencia que llega a la antena es:

PA = V 2ZA(ZA + Zg)2 (14)

Para lograr la máxima transferencia de potencia, ZA = Z∗S .

Figura 7: Circuito equivalente de antena y transmisor a alta frecuencia.

En el caso de altas frecuencia, como en la Figura 7, la longitud L de la línea de transmisiónse vuelve más significativa con respecto a la longitud de onda y ya no se puede ignorar losefectos de la línea. En general, la línea transformará la impedancia de la antena, haciendoque se vea una impedancia de entrada distinta desde el transmisor. Este fenómeno hacemás difícil la transferencia máxima de potencia. En la teoría de líneas de transmisión, laimpedancia de entrada, vista desde el transmisor, sería:

Zin = Z0ZA + jZ0 tan(2πf

c L)Z0 + jZA tan(2πf

c L)(15)

donde Z0 es la impedancia característica de la línea de transmisión. A pesar de lo complicadaque se mira esta ecuación, si la impedancia de la antena está adaptada con la de la línea

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de transmisión (ZA = Z0), la ecuación se simplifica a Zin = Z0, y se tendrá una máximatransmisión de potencia. ¿Pero qué sucede cuándo la antena no está adaptada a la línea detransmisión? Ése es el siguiente tema.

2.6. Pérdida de Retorno y Relación de Onda Estacionaria (VSWR)

Si la antena no está correctamente adaptada a la línea de transmisión, parte de la onda devoltaje transmitida será reflejada de vuelta hacia el generador. La relación entre la ondaincidente y la reflejada está dada por el coeficiente de reflexión de voltaje, simbolizado porΓ:

Γ = VrVi

= ZA − Z0ZA + Z0

(16)

donde Vi es el voltaje de la onda incidente, y Vr es el voltaje de la onda reflejada. En lateoría de redes de microonda de dos puertos, este parámetro se conoce como S11. Dado queZA es habitualmente una cantidad compleja, Γ también lo es; por lo tanto, tiene la formade Γ = |Γ| ejθr . Este coeficiente se expresa también en escala de decibelios, en cuyo caso sele conoce como pérdida de retorno (en inglés, return loss):

RLdB = 20 log(|Γ|) (17)

Una pérdida de retorno de 0 dB (Γ = 1) indica que toda la onda de voltaje está siendoreflejada, o sea que no llega nada a la antena. Una pérdida de retorno de −∞ dB (Γ = 0)indica que no hay reflexión; toda la onda de voltaje está siendo transmitida hacia la antena.

Otra medida que sirve para caracterizar que tan bien adaptada está la antena a la línea detransmisión es la Relación de Onda Estacionaria de Voltaje (VSWR). Al haber una ondareflejada, ésta se suma a la onda incidente, produciendo una onda estacionaria en la línea.El VSWR es la relación entre el valor máximo de la onda estacionaria, y el valor mínimo.

V SWR = VmaxVmin

= 1 + |Γ|1− |Γ| (18)

El VSWR es siempre un número real y positivo. Entre más pequeño sea, mejor adaptadaestá la antena con la línea de transmisión y más potencia es transmitida hacia ella. UnVSWR de 1 (Γ = 0) indica que no hay onda reflejada, y un VSWR de +∞ (Γ = 1) indicaque toda la onda está siendo reflejada de vuelta al generador. En términos generales, unVSWR = 2 es ya bastante bueno, porque significa que el sólo 11.1% de la potencia esreflejado. Para el caso de las antenas de Dipolo, Monopolo y Dipolo con Reflector Diédrico,el programa Análisis de Antenas gráfica la pérdida de retorno vs. frecuencia.

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2.7. Ancho de Banda

Mantener una antena adaptada a su respectiva línea de transmisión es una tarea difícilpara los ingenieros. La impedancia de antena es una función de la frecuencia, y dado quelas pérdidas de retorno dependen de ZA, se tiene que sólo hay un determinado rango defrecuencias en las cuáles las pérdidas de retorno serán aceptables. Ese el ancho de banda deimpedancia de la antena.

La definición de ancho de banda es muy amplia. Según “IEEE Standard Definitions ofTerms for Antennas” (1983), es “el rango de frecuencias dentro del cual el rendimientode la antena, con respecto a alguna característica, cumple con un estándar especificado”.Aparte de la impedancia, hay muchos otros parámetros de antena que se podrían usar paracaracterizar el ancho de banda, como el patrón de radiación, la eficiencia, la polarizacióno el ancho de haz. Todo depende de las necesidades que exija la aplicación para la que seconstruye la antena. Durante el resto del documento, cuando se hable de ancho de banda,se está haciendo referencia al ancho de banda de impedancia.

Típicamente, el ancho de banda se expresa en términos del VSWR. Por ejemplo, se diceque una antena opera en 300-500 MHz con un VSWR < 2. Esta afirmación implica que, enel rango de frecuencias mencionado, hasta el 11.1% de la potencia transmitida a la antenase verá reflejada. A otras frecuencias, se reflejaría mucha más potencia de vuelta.

El ancho de banda muchas veces se expresa como ancho de banda porcentual, %BW :

%BW = fH − fLfc

(19)

donde fc es la frecuencia central de la antena, fH es la máxima frecuencia aceptable y fL esla mínima frecuencia. El ancho de banda calculado en el programa Análisis de Antenas fueun ancho de banda de impedancia, para un VSWR < 2, y expresado como ancho de bandaporcentual.

2.8. Polarización

La polarización puede ser un concepto un poco difícil de entender al principio. Descrito enpocas palabras, la polarización describe la posición del campo eléctrico de una onda en ladirección de propagación. La polarización es básicamente la forma que trazaría el campoeléctrico si lo vemos de frente, avanzando hacia nosotros. Así como se ve en la Figura 8, puedehaber varios tipos de polarizaciones. En general, si el campo eléctrico forma una línea rectaal propagarse, se dice que tiene polarización lineal. Esa línea puede ser horizontal, como semira en la Figura 8(b). En ese caso, se tendría una polarización horizontal. También puedehaber una polarización vertical, como la de la Figura 8(c). El campo eléctrico también

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podría formar un círculo. Esa es la polarización circular.

Figura 8: Polarizaciones de campo: (a) lineal, (b) horizontal, (c) vertical y (d)circular.

Un parámetro importante de las antenas es la polarización de los campos que emiteny reciben. Si la antena de recepción no tiene la misma polarización que la antena detransmisión, habrá mucha pérdida y difícilmente se podrá recibir una señal. Una antenaverticalmente polarizada no podría recibir bien la señal de una antena transmisora que estáhorizontalmente polarizada. La polarización es lo que explica porque a veces se puede tenermejor recepción si se coloca el teléfono celular a un ángulo distinto.

Explicados ya los parámetros fundamentales de antenas que utilizará el programa, se procedea explicar en mayor detalle los tipos de antenas de presentados en la sección 1.2.

3. Antenas Alámbricas: Dipolo y Monopolo

Las antenas de alambre son las más viejas, más baratas y más simples, pero su versatilidadpara una variedad de aplicaciones las hace fundamentales para las comunicaciones modernas.A continuación se explicarán dos de ellas: el Dipolo, incluyendo uno de sus casos específicos,y el Monopolo.

17

TEORIA DE ANTENAS

3.1. Dipolo de Longitud Finita

En primer lugar, se empezará con el caso general de la antena Dipolo de longitud finita yradio muy pequeño. La geometría del problema puede apreciarse en la Figura 9.

Figura 9: Geometría para la antena Dipolo de longitud finita.

La impedancia y el patrón de radiación del Dipolo dependen mucho de la distribución decorriente a lo largo del mismo, así que se comienza definiendo dicha distribución como:

I(z) = I0 sin[k

(L

2 − |z|)]

(20)

donde L es la longitud del Dipolo, I0 es la corriente máxima, y k es el número de onda,k = 2π/λ.

Los campos eléctricos y magnéticos en la región de campo lejano, expresado en un sistemade coordenadas esféricas, serían entonces:

Eθ = jηI0ejkr

2πr

cos(kL2 cos θ

)− cos

(kL2

)sin θ

(21)

Hφ = Eθη

(22)

donde η =√µ0/ε0 = 120π Ohms, es la impedancia del espacio libre y r es la distancia

del origen a un punto en el espacio. El patrón de campo normalizado de esta antena sería

18

TEORIA DE ANTENAS

entonces:

F (θ) =

cos(kL2 cos θ

)− cos

(kL2

)sin θ

(23)

El lector atento habrá notado un detalle interesante: este patrón de campo sólo es unafunción de θ, no de φ. Esto quiere decir que, vista desde un plano horizontal donde θ seaconstante, F tendrá la misma magnitud para toda dirección de φ. La antena Dipolo es,entonces, un ejemplo de antena omnidireccional.

En la Figura 10, puede apreciarse como los lóbulos del patrón de campo se vuelven másestrechos entre más larga sea la antena. En otras palabras, al aumentar el largo del Dipolo,aumenta la directividad, y se reduce el ancho de haz. Éste es un resultado común en teoríade antenas: se requiere un antena más grande para aumentar la directividad.

Figura 10: Patrones de campo normalizado en plano de elevación para (a) L = λ,(b) L = 1.5λ y (c) L = 3.5λ.

Para obtener el valor de la directividad y la resistencia de radiación Rr, se tiene queencontrar la potencia total radiada, Prad. Se comienza encontrando el vector de Poyntingpromedio:

~Wprom = 12Re

[~E × ~H∗

]= ar

12η |Eθ|

2 = arη |I0|2

8π2r2

cos(kL2 cos θ

)− cos

(kL2

)sin θ

2

(24)

y luego se pasa a encontrar la intensidad de radiación:

U = r2Wprom = η |I0|2

8π2

cos(kL2 cos θ

)− cos

(kL2

)sin θ

2

(25)

Para encontrar la potencia total radiada, se integra el vector de Poynting promedio sobreuna esfera de radio r:

Prad =‹

S

~W · d~s =ˆ 2π

0

ˆ π

0Wpromr

2 sin θ dθ dφ =ˆ 2π

0

ˆ π

0U sin θ dθ dφ (26)

19

TEORIA DE ANTENAS

La respuesta a esta integral es relativamente compleja. El programa Análisis de Antenasresuelve esta integral de manera numérica. Una vez encontrada P rad, se puede encontrar ladirectividad usando la Ecuación (6).

Para definir la resistencia de radiación con la Ecuación (13), se debe determinar cuál es lacorriente de entrada Iin. Por la Ecuación (20), se tiene que Iin = I0 sin

(kL2

). Por lo tanto,

la resistencia de radiación del Dipolo queda definida como:

Rr = 2Prad∣∣∣I0 sin(kL2

)∣∣∣2 (27)

En la Ecuación (12), se definió la resistencia de entrada de la antena como la suma Rr yRL. En este caso, como se asume una antena sin pérdidas, RL = 0 y entonces se tendríaque RA = Rr.

La parte imaginaria de la impedancia de antena, referida a la corriente máxima I0, se definecon la siguiente fórmula:

Xm = η

4π

{2Si(kL) + cos(kL)[2Si(kL)− Si(2kL)]

− sin(kL)[2Ci(kL)− Ci(2kL)− Ci

(2ka2

L

)]}(28)

donde a es el radio de la antena, y Si(x) y Ci(x) son, respectivamente, las integralessenoidales y cosenoidales, que se definen como:

Si(x) =ˆ x

0

sin yy

dy (29a)

Ci(x) =ˆ x

∞

cos yy

dy (29b)

MATLAB puede resolver ambas integrales de manera simbólica, pero el tiempo deprocesamiento es mayor; así que se decidió resolver estas integrales en el programa de formanumérica.

La reactancia Xm encontrada con la Ecuación (28) está referida a la corriente máxima. Éstase utilizará para encontrar la reactancia referida a la corriente de entrada, que es la que enrealidad interesa:

XA = Xm[sin(kL2

)]2 (30)

y así se tiene finalmente la impedancia de entrada completa, ZA = RA + jXA.

20

TEORIA DE ANTENAS

3.2. Dipolo Corto

El primer caso especial del Dipolo que se mencionará es el Dipolo corto, la más simple detodas las antenas. Se clasifica a un Dipolo como “Dipolo corto”, cuando su longitud L esmenos de una décima de longitud de onda λ (o sea, L < 10λ).

La directividad de estas antenas es de 1.5 (1.76 dB), lo cual es bastante bajo para una antenapráctica. Su ancho de haz vertical es de aproximadamente 90º. Éstas antenas tienden a serpoco eficientes, y presentan una impedancia de entrada con un componente resistivo RAmuy pequeño, y un componente reactivo XA muy grande y variable, lo que dificulta laadaptación de estas antenas a una línea de transmisión. Según Bevelacqua (2009-2011), seutilizan en aplicaciones de banda estrecha.

Figura 11: Patrones de campo normalizado para el Dipolo de media longitudde onda en (a) plano de azimut y (b) plano de elevación.

3.3. Dipolo de Media Longitud de Onda

El Dipolo de media longitud de onda es un caso especial. Ésta es una de las antenas másutilizadas, ya que tiene una característica muy particular: su impedancia de entrada estádada por ZA ≈ 73 + j42.5 Ohms. Al hacer la antena un poco más corta, como entre 0.47λ(para Dipolos gruesos) ó 0.48λ (para Dipolos delgados), ésta se vuelve resonante (XA = 0),y su impedancia total ZA se acerca a los 70 Ohms, lo cual implica que la antena se puedeadaptar muy bien por sí sola a las líneas de transmisión estándar de 50 y 75 Ohms.

La directividad del Dipolo de media longitud de onda es de 1.64 (2.15 dB). Su ancho de hazvertical es aproximadamente 78º. La Figura 11 muestra su patrón de campo normalizado,tanto en el plano de azimut como en el plano de elevación.

21

TEORIA DE ANTENAS

3.4. Monopolo

Fuentes como Stutzman y Thiele (1998) o Bevelacqua (2009-2011) definen la antenaMonopolo de manera muy sencilla: es un Dipolo cortado a la mitad y montado sobre unplano conductor aterrizado, desde donde es alimentada la antena. Los Monopolos a altafrecuencia son normalmente alimentados por un cable coaxial detrás del plano conductor,cómo se muestra en la Figura 12(a). Asumiendo que el plano es infinito y un conductorperfecto, se puede usar la teoría de imágenes para encontrar los campos sobre el planoconductor utilizando la antena equivalente en el espacio libre, así como se ve en la Figura12(b). Ese equivalente es sencillamente una antena Dipolo de dos veces la altura h delMonopolo.

Figura 12: (a) Antena Monopolo sobre un plano conductor perfecto y (b) suimagen equivalente .

Las corrientes en el Monopolo son las mismas que en su Dipolo equivalente, pero el voltajeentre terminales de entrada de la antena sólo es la mitad. Por lo tanto, la impedancia deentrada de un Monopolo es la mitad que la de su Dipolo equivalente:

ZA,monopolo = VA,monopoloIA,monopolo

=12VA,dipoloIA,dipolo

= 12ZA,dipolo (31)

La forma del patrón de radiación será idéntica que la del Dipolo, con la salvedad que elMonopolo sólo irradia en el hemisferio superior. Como sólo hay campos radiados en lamitad superior, la potencia total radiada es la mitad de la del Dipolo, lo cual implica quela directividad del Monopolo será el doble:

Dmonopolo = U(θ, φ)Prad,monopolo/(4πr2) = U(θ, φ)

12Prad,dipolo/(4πr2)

= 2Ddipolo (32)

22

TEORIA DE ANTENAS

y en escala de decibelios:Dmonopolo = Ddipolo + 3 dB (33)

Ya que el Monopolo es la mitad del tamaño que su contraparte en Dipolo, éstos son atractivoscuando se necesita una antena más pequeña. El Monopolo de cuarto de longitud de onda(L = λ/4) es, según Orfanidis (2010), tal vez la antena más utilizada en los sistemas decomunicación inalámbricos y es utilizada en automóviles, trenes, teléfonos inalámbricos, yera la antena de elección para los teléfonos celulares (actualmente se le está reemplazandopor la antena de Parche y sus variedades). La antena equivalente para este Monopolo esel Dipolo de media longitud de onda, así que su impedancia es la mitad de la Dipolo,ZA = 36.5 + j21.25 Ohms, y su directividad es el doble, 3.28 (5.15 dB).

4. Antenas de Apertura: Bocinas y Reflectores

A frecuencias de microondas (de 300 MHz en adelante), se utiliza muy seguido la antena deApertura. Parte de la estructura de la antena es, como bien dice el nombre, una apertura através de la cual pasan las ondas electromagnéticas. Cuando opera como receptor, la antenade Apertura “recolecta” ondas electromagnéticas a través de la apertura. Estas antenaspueden venir en una variedad de formas, así como muestra la Figura 13. Para describir laradiación a través de una apertura, se utiliza el muy conocido Principio de Huygens, quedescribe la difracción de las ondas electromagnéticas alrededor de un obstáculo.

Figura 13: Algunas variedades de antenas de Apertura.(Fuente: Balanis, 2005)

Según Stutzman y Thiele (1998), una de las características distintivas de las antenasde apertura grandes es que su ganancia aumenta con la frecuencia de operación, y suimpedancia de entrada tiene habitualmente un valor real. La ganancia de toda antena deApertura se describe por la siguiente fórmula:

G = 4πλ2 εapAap = 4π

λ2Ae (34)

donde Ae es el área efectiva de apertura, que describe el área física de la antena que sí se

23

TEORIA DE ANTENAS

utiliza para irradiar potencia. Matemáticamente, se define como Ae = εapAap, donde Aapes el área total de la apertura y εap representa la eficiencia de apertura.

4.1. Antenas de Bocina

Las bocinas son una de las antenas de microondas más comunes, sobre todo para los casosen que se utilizan guías de onda. Y es que en esencia, la antena de Bocina es una guía deonda cuyas paredes fueron dobladas hacia afuera. Las bocinas se utilizan como elementosde alimentación para Reflectores Parabólicos y Lentes, y también sirven como el estándaruniversal para calibración y medidas de ganancia de otras antenas. Su uso tan extendidose debe a su relativamente sencilla construcción, fácil alimentación, versatilidad, ancho debanda extenso, bajo VSWR y buena ganancia. Las bocinas derivadas de una guía de ondarectangular pueden tomar tres formas principales. La Bocina sectorial de plano E se obtieneabriendo las placas superior e inferior (que son perpendiculares al campo eléctrico en laguía) y manteniendo la anchura de la guía de onda, así como se ve en la Figura 14(a). LaBocina sectorial de plano H abre las placas laterales, que son perpendiculares al campomagnético, mientras se mantiene la altura de la guía, como muestra la Figura 14(b). LaBocina Piramidal abre simultáneamente los dos pares de placas, así como se observa en laFigura 14(c).

Figura 14: Bocinas de sección rectangular: (a) sectorial en el plano E, (b)sectorial en el plano H y (c) piramidal.

(Fuente: Aznar y cols., 2002)

4.1.1. Bocinas Piramidales

Las Bocina piramidal se analiza como una combinación de las bocinas sectoriales de planoE y plano H. En la Figura 15, se puede apreciar la geometría del problema en mayor detalle.

24

TEORIA DE ANTENAS

Figura 15: Geometría de la antena de Bocina Piramidal.(Fuente: Stutzman y Thiele, 1998)

La directividad de esta antena se describe por la siguiente ecuación:

Dp = 8πR1R2AB

{[C(u)− C(v)]2 + [S(u)− S(v)]2

}×{C2(

B√2λR2

)+ S2

(B√

2λR2

)}(35)

donde u y v se definen como:

u = 1√2

(√λR1A

+ A√λR1

)(35a)

v = 1√2

(√λR1A

− A√λR1

)(35b)

y las funciones S(x) y C(x) son las integrales senoidales y cosenoidales de Fresnel:

S(x) =ˆ x

0sin(π

2 t2)dt (36a)

C(x) =ˆ x

0cos

(π

2 t2)dt (36b)

El programa resuelve estas integrales de Fresnel por tablas.

La Ecuación (35) se puede reducir a:

Dp = πλ2

32ABDEDH (37)

donde DE y DH representan las directividades de bocinas sectoriales de plano E y planoH, que combinadas formarían la Bocina Piramidal en cuestión. Tanto en la Ecuación (35)como en la (37), se puede ver que la directividad decrece al aumentar las dimensiones de la

25

TEORIA DE ANTENAS

apertura, A y B, pero se incrementa al aumentar las longitudes de la Bocina, R1 y R2. Enla siguiente sección, se mostrarán unas fórmulas aproximadas para calcular ganancia.

Para definir los patrones de radiación, primero tenemos que definir una serie de variablesadicionales. En el proceso de encontrar los campos radiados, se crea una variable I1:

I1 = 12

√πR1k

(ej(k

′2x R1/2k) {[C(t′2)− C(t′1)

]− j

[S(t′2)− S(t′1)

]}+ej(k′′2x R1/2k) {[C(t′′2)− C(t′′1)

]− j

[S(t′′2)− S(t′′1)

]})(38)

donde t′1, t′2 y k′x están dados por:

t′1 =√

1πkR1

(−kA2 − k

′xR1

)(38a)

t′2 =√

1πkR1

(+kA

2 − k′xR1

)(38b)

k′x = k sin θ cosφ+ π

A(38c)

y t′′1, t′′2 y k′′x están dados por:

t′′1 =√

1πkR1

(−kA2 − k

′′xR1

)(38d)

t′′2 =√

1πkR1

(+kA

2 − k′′xR1

)(38e)

k′′x = k sin θ cosφ− π

A(38f)

Similarmente, se define una variable I2:

I2 =√πR2kej(k

2yR2/2k) {[C(t2)− C(t1)]− j [S(t2)− S(t1)]} (39)

donde t1, t2 y ky están dados por:

t1 =√

1πkR2

(−kB2 − kyR2

)(39a)

t2 =√

1πkR2

(+kB

2 − kyR2

)(39b)

ky = k sin θ sinφ (39c)

Utilizando las variables I1e I2, se definen los componentes de campo eléctrico (en

26

TEORIA DE ANTENAS

coordenadas esféricas) de la Bocina Piramidal como:

Er = 0 (40a)

Eθ = jkE0e

−jkr

4πr [sinφ(1 + cos θ)I1I2] (40b)

Eφ = jkE0e

−jkr

4πr [cosφ(1 + cos θ)I1I2] (40c)

En el plano de elevación de la antena (φ = π/2), Eφ se vuelve nulo, y en el plano de azimut(φ = 0), Eθ se vuelve nulo. Eso quiere decir que el patrón de campo normalizado en el planode elevación se define únicamente utilizando el componente Eθ:

F∣∣∣φ=π/2

= (1 + cos θ)I1I2 (41)

mientras que el patrón de campo normalizado en el plano de azimut se define sólo con elcomponente Eφ:

F∣∣∣φ=0

= (1 + cos θ)I1I2 (42)

4.1.2. Fórmulas para el Diseño de una Bocina Piramidal Óptima

La Bocina Piramidal se utiliza como un estándar para realizar mediciones de ganancia deotras antenas, y por lo tanto, muchas veces se habla de ésta como la Bocina de gananciaestándar. Para diseñar una antena de Bocina, se debe saber la ganancia G deseada y lasdimensiones a y b de la guía de onda. El objetivo del diseño es determinar el resto de lasdimensiones de la antena (A, B, `e, `H , RE , RH) de tal manera que la ganancia sea óptima.

La fórmula para la ganancia de Bocina Piramidal, en base a la Ecuación (34), sería:

G = 4πλ2 εapAB (43)

La eficiencia de apertura para la antena de Bocina óptima es aproximadamente del 50%.Las dimensiones óptimas A y B de la apertura, para una longitud ya dada de R1 y R2, son:

A =√

3λR1 (44a)

B =√

2λR2 (44b)

Para que la Bocina sea físicamente realizable, RE = RH . Considerando esta condición, ycombinando las Ecuaciones (43), (44a) y (44b), obtenemos:

A4 − aA3 + 3bGλ2

8πεapA = 3G2λ4

32π2ε2apA (45)

27

TEORIA DE ANTENAS

Ésta es, según Stutzman y Thiele (1998), la Ecuación de Diseño Óptimo de la BocinaPiramidal.

4.2. Reflectores

Para comunicaciones a grandes distancias y radares de alta resolución, se necesitan antenasde muy alta ganancia que produzcan un haz estrecho. Para aumentar la directividad, senecesitan geometrías que permitan focalizar la energía radiada en regiones angulares cadavez más pequeñas. Con ese propósito es que se utilizan los reflectores: se colocan frente aun radiador primario (dipolo, boca de guía, bocina) y concentran la energía de ese radiadoren un haz más estrecho, de alta directividad. Los sistemas de reflector se emplean en unavariedad de aplicaciones, como enlaces de microonda, rastreo y comunicaciones satelitales,radares y radio astronomía.

4.2.1. Reflector Diédrico

Una forma sencilla de concentrar la radiación de un Dipolo es mediante un ReflectorDiédrico. Para la mayoría de aplicaciones prácticas, dicho reflector presenta un ángulo de90º entre placas. Se utilizan como elementos receptores para televisión.

Figura 16: Geometría para el Reflector Diédrico de 90º: (a) vista de perspectiva,(b) vista de lado y (c) reflector con sus imágenes.

La geometría del problema puede apreciarse en la Figura 16(a) y 16(b). Asumiendo placasconductoras perfectas de tamaño infinito (o cuando menos, muy grande comparado con λ),se puede analizar este problema utilizando la teoría de imágenes. Para el análisis de unReflector con un doblez de 90º, se utilizan 3 imágenes, así como se ve en la Figura 16(c).Para cumplir con las condiciones de frontera del problema, las corrientes de los elementos

28

TEORIA DE ANTENAS

1 y 3 están en fase con la antena original, mientras que las corrientes de los elementos 2 y4 tienen un desfase de 180º con respecto a la original.

Asumiendo que la antena de Dipolo original tiene un patrón de radiación F (θ) como eldescrito en la Ecuación (23), el patrón de campo R(θ, φ) del sistema de imágenes de laFigura 16(c) se describe por la siguiente forma:

R(θ, φ) = 2F (θ) [cos(ks sin θ cosφ)− cos(ks sin θ sinφ)] (46)

donde, para un ángulo de doblez α = 90º:

0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ φ ≤ π

47π4 ≤ φ ≤ 2π (46a)

El patrón resultante posee la misma polarización que el de la antena original. La directividadincrementará hasta unos 9-12 dBi, dependiendo del separación s entre el Dipolo y la arista.Una separación más pequeña da mayor directividad, pero reduce el ancho de banda, mientrasque una separación más grande reduce la directividad. Cuando se tiene una separación mayora 0.7λ, comienzan a aparecer lóbulos secundarios indeseados en el patrón de radiación. Porestas razones, Kraus (1988) recomienda mantener la separación s entre 0.25λ y 0.7λ. Unaseparación de 0.5λ representa un buen balance entre ancho de banda y directividad (quellega casi a 12 dBi), y es la que normalmente se utiliza.

Para este análisis utilizamos placas una longitud L infinita. Para propósitos prácticos, serecomienda un L = 2s. La altura de las placas usualmente oscila entre 1.2 y 1.5 veces laaltura del Dipolo.

La impedancia total del sistema de imágenes, vista desde la antena original, está dada por:

ZT = Z11 − 2Z12 + Z13 (47)

donde Z11 es la auto-impedancia del elemento activo (elemento 1), Z12 es la impedanciamutua entre los elementos 1 y 2 (la cual se multiplica por 2 ya que es igual a la impedanciamutua entre los elementos 1 y 4) y Z13 es la impedancia mutua entre los elementos 1 y 3.

La auto-impedancia Z11m, que está referida a la corriente máxima se calcula de la siguienteforma:

R11m = η

2π

{C + ln(kl)− Ci(kl) + 1

2 sin(kl)[Si(2kl)− 2Si(kl)]

+12 cos(kl) [C + ln(kl/2) + Ci(2kl)− 2Ci(kl)]

}(48a)

29

TEORIA DE ANTENAS

X11m = η

4π

{2Si(kl) + cos(kl)[2Si(kl)− Si(2kl)]

− sin(kl)[2Ci(kl)− Ci(2kl)− Ci

(2ka2

l

)]}(48b)

donde l es la longitud del Dipolo, a es el radio de la antena, C es una constante (C ≈ 0.577), ySi(x) y Ci(x) son, respectivamente, las integrales senoidales y cosenoidales, que se definieronen las Ecuaciones (29a) y (29b).

Para encontrar la impedancia Z11 referida a la corriente de entrada:

R11 = R11m

sin2(kl2

) (49a)

X11 = X11m

sin2(kl2

) (49b)

Para calcular la impedancia mutua Z1xm entre el elemento 1 y uno de los demás elementosx, referida a la corriente máxima, utilizamos las siguientes expresiones:

R1xm = η

4π [2Ci(u0)− Ci(u1)− Ci(u2)] (50a)

X1xm = − η

4π [2Si(u0)− Si(u1)− Si(u2)] (50b)

u0 = kd (50c)

u1 = k(√

d2 + l2 + l)

(50d)

u2 = k(√

d2 + l2 − l)

(50e)

donde d es la distancia entre los elementos. Para encontrar la impedancia Z1x referida a lacorriente de entrada:

R1x = R1xm

sin2(kl2

) (51a)

X1x = X1xm

sin2(kl2

) (51b)

Cuando se calculan las impedancias mutuas Z12 y Z13 con las Ecuaciones (50a) y (50b), laúnica variable que cambia es la distancia d. En el caso de Z12, d =

√2s, y en el caso de Z13,

d = 2s.

30

TEORIA DE ANTENAS

4.2.2. Reflectores Parabólicos

Sin lugar a dudas, los reflectores más populares son los Reflectores Parabólicos, que puedenlograr ganancias superiores a los 30 dBi. El principio de su funcionamiento, heredado de laóptica, consiste en concentrar la potencia incidente en el reflector sobre una fuente primariasituada en su foco. La fuente primaria (el alimentador) es habitualmente una antena deBocina, de apertura circular.

A diferencia de las antenas resonantes como el Dipolo, cuya longitud usualmente es de medialongitud de onda, los Reflectores Parabólicos son mucho más grandes que su longitud deonda de operación. La distancia entre el alimentador y el reflector también es de variaslongitudes de onda. Las típicas antenas Parabólicas pequeñas operan a frecuencias de 2 a28 GHz. Pueden llegar a operar incluso en la región VHF (30-300 MHz), pero necesitaríanser reflectores bastante grandes.

Figura 17: Geometría de Reflector Parabólico en dos dimensiones.

Para saber por qué un paraboloide hace un reflector tan bueno, se debe analizar la geometríadel mismo, así como se ve en la Figura 17. La ecuación de un paraboloide, en un sistemade coordenadas esféricas (r′, θ′, φ′) es:

r′ = 2f1 + cos θ′ = f sec2

(θ′

2

)(52)

31

TEORIA DE ANTENAS

La parábola se puede describir completamente por dos parámetros: el foco f y el diámetrod. Se definen también otros dos parámetros auxiliares: el ángulo subtendido θ0, que es elángulo entre el foco y el borde de la parábola, y la altura del reflector z0. Una expresiónmuy importante en el análisis de reflectores es la que relaciona θ0 con la razón f/d:

f

d= 1

4 tan(θ02

) (53a)

θ0 = 2 tan−1

14(fd

) (53b)

Según Stutzman y Thiele (1998), la parábola tiene dos propiedades fundamentales que danlugar a su patrón de radiación altamente directivo:

Todos los rayos originados desde el punto focal O viajan hacia una misma direcciónluego de ser reflejados por la parábola. En otras palabras, los rayos reflejados sonparalelos entre sí. Se dice que los rayos están colimados.

La distancia que cada rayo viaja desde el punto focal al reflector y de vuelta alplano de apertura es la misma para todo rayo. Esta distancia se mantiene siempreconstante a 2f .

Como resultado, los ondas en la apertura del Reflector Parabólico estarán en fase y viajandoen la misma dirección. Ésto es lo que da lugar a un patrón de radiación tan directivo. Losreflectores tienen un ancho de banda muy amplio. Es más, en la práctica, el ancho de bandade un sistema de Reflector Parabólico usualmente se ve limitado por el ancho de banda dela antena alimentadora.

Las técnicas más comunes para analizar la radiación de un Reflector Parabólico son elMétodo de la Apertura y el Método de las Corrientes Inducidas. El método de corrientesinducidas, a pesar de ser más complicado, es más preciso y nos sirve para analizar reflectoresasimétricos cuyo alimentador no está en el foco de la parábola. El principio de análisisconsiste en calcular las corrientes inducidas en la superficie del reflector para, a partirde ellas, calcular los campos radiados, integrando la contribución de todas las corrientesinducidas sobre la superficie del reflector. En el programa Análisis de Antenas se utiliza uncódigo que implementa el método de corrientes inducidas.

Supongamos que en el foco de la parábola se sitúa una antena con una función de gananciaGf (θ′, φ′), que irradia una potencia total de Pt. La intensidad de radiación de esa antenasería:

Uf (θ′, φ′) = Pt4πGf (θ′, φ′) (54)

El campo eléctrico incidente sobre el reflector ~Ei se calcula a partir de esta expresión y de

32

TEORIA DE ANTENAS

Uf = 12η r′2∣∣∣ ~Ei∣∣∣2, valiendo:

~Ei = ei

[ηPt2πGf (θ′, φ′)

]1/2 e−jkr′

r′(55)

Los campos reflejados ~Er son fijados por las condiciones de contorno:

n×(~Ei + ~Er

)= 0 (56)

En base a estas expresiones, definimos la densidad de corriente en la superficie del reflectorcomo

~Js =

2η

[n×

(ni × ~Ei

)]2η

[n×

(nr × ~Er

)] (57)

Para encontrar los campos radiados, se integra la distribución de corriente sobre la superficiedel reflector:

Eθ = −j ωµ4πre−jkr¨

S1

aθ · ~Jsejkr′·ar ds′ (58a)

Eφ = −j ωµ4πre−jkr¨

S1

aφ · ~Jsejkr′·ar ds′ (58b)

Este método exige una integración complicada en casos generales. El programa Análisis deAntenas resuelve esta integral de manera numérica.

Dado que el Reflector Parabólico es una apertura circular, su directividad se describe usandola Ecuación (34):

D = εap

(πd

λ

)2(59)

donde la eficiencia de apertura εap se define como:

εap = cot2(θ02

) ∣∣∣∣∣ˆ θ0

0

√Gf (θ′) tan

(θ′

2

)dθ′∣∣∣∣∣2

(60)

Como se puede ver, la eficiencia es una función del ángulo subtendido θ0 y la función deganancia del alimentador Gf (θ′). Éso quiere decir que, para un patrón dado de alimentador,todos los reflectores con la misma relación f/d tienen la misma eficiencia.

La elección del parámetro f/d es de gran importancia en el diseño de una antena parabólica.Si esta relación es muy pequeña (f/d ≤ 0.25), las pérdidas por desbordamiento ycaptamiento de ruido son más bajas, pero no se utiliza eficientemente la superficie de laparábola y la polarización cruzada aumenta. Mientras tanto, si es muy grande (f/d ≥ 0.5),se ilumina bien la parábola y se tiene una baja polarización cruzada, pero las pérdidas pordesbordamiento aumentan. Para mantener un balance entre las ventajas e inconvenientes

33

TEORIA DE ANTENAS

descritos anteriormente, Aznar y cols. (2002) nos dicen que es habitual trabajar con valoresen el margen de 0.25 a 0.5.

5. Antenas de Parche Rectangular

La tecnología de circuitos impresos utiliza líneas de transmisión microcinta (microstrip). Enlos años 70, se vio que estas líneas de microcinta podían ser utilizadas como antenas, y asífue como surgieron las antenas de Parche. Estas antenas están compuestas por un parchemetálico dispuesto sobre un sustrato dieléctrico colocado encima de un plano metálico. Elparche puede tomar una variedad de formas, pero las más comunes son las rectangulares ycirculares. En este proyecto, se analizan los Parches Rectangulares únicamente.

Las antenas de Parche son populares a frecuencias de microondas por su bajo perfil, bajopeso, su fabricación simple y económica así como su versatilidad en términos de frecuenciaresonante, polarización, patrón de radiación e impedancia. Se utilizan en aviones, navesespaciales, satélites, misiles, teléfonos móviles y otras formas de comunicación inalámbrica.Las desventajas de las antenas de Parche son su baja eficiencia, limitada potencia, bajapureza de polarización y su reducido ancho de banda (por ser antenas resonantes), queusualmente es un porcentaje muy reducido.

Figura 18: Geometría de la antena de Parche Rectangular.(Fuente: Huang y Boyle, 2008)

En la Figura 18, se puede apreciar la geometría de la antena de Parche Rectangular.El parche está alimentado por una línea de transmisión de microcinta. Tanto la líneade transmisión, el parche, y el plano conductor están hechos de un material de alta

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TEORIA DE ANTENAS

conductividad, como el cobre. Las dimensiones del parche son la longitud L y el anchoW . Ese parche está colocado sobre un sustrato dieléctrico con una permitividad relativaεr y un grosor de h, que usualmente es mucho más pequeño que la longitud de onda. Enlos bordes del parche, se pueden apreciar líneas de campo. Éstas regiones se analizan comoaperturas radiantes y son la clave para describir la radiación y la impedancia de la antenade Parche.

Ya que el parche es finito tanto en ancho como en longitud, los campos radiados por elmismo sufren efectos de borde (en inglés, fringing effects). En la Figura 18, se ve que loscampos radiados pasan tanto por el sustrato dieléctrico como por el aire. Ésto nos obliga adefinir una sola permitividad efectiva del sustrato, para así tomar en cuenta los efectos dela radiación por el aire. Ésta permitividad efectiva se define como:

εreff = εr + 12 + εr − 1

2

[1 + 12 h

W

]−1/2

(61)

Los efectos de borde también hacen que la antena se vea más larga (eléctricamente hablando)de lo que en realidad es, por lo cual también debemos definir una longitud efectiva, dadapor:

Leff = L+ 2∆L (62)

donde la diferencia ∆L es una función de la permitividad efectiva y la relación de ancho yaltura (W/h):

∆L = 0.412h(εreff + 0.3)

(Wh + 0.264

)(εreff − 0.258)

(Wh + 0.8

) (63)

La frecuencia de resonancia del modo dominante TM010 de una línea microstrip es unafunción de la longitud efectiva, descrita por la siguiente fórmula:

(fr)010 = 12Leff

√εreff

√ε0µ0

= c

2Leff√εreff

(64)

Esta ecuación indica que, para tener una antena de Parche resonante, λ = 2Leff , o sea quela longitud efectiva debe ser igual a media longitud de onda. El ancho del parche óptimopuede determinarse con la siguiente fórmula:

W = 12fr√ε0µ0

√2

εr + 1 = c

2fr

√2

εr + 1 (65)

Para el caso de la antena de Parche, el programa de Análisis de Antenas no sólo determinalas características de radiación, sino que también se encarga de la parte de diseño. A la horade diseñar una antena de Parche, se debe saber la frecuencia de resonancia fr deseada, laaltura h y la permitividad del sustrato εr. El objetivo del diseño es determinar la longitud

35

TEORIA DE ANTENAS

L y el ancho W del parche.

Ahora se pasa a la parte de análisis. De acuerdo a Balanis (2005), el campo radiado poruna antena de Parche está dado por:

Eφ = jkhWE0e

−jkr

πr

{sin θ sin(X)

X

sin(Z)Z

}× cos

(kLeff

2 sin θ sinφ)

(66)

donde el factor X está dado por:

X = kh

2 sin θ cosφ (66a)

Z = kW

2 cos θ (66b)

El factor de coseno en la Ecuación (66) se utiliza para considerar el hecho de que tenemosdos aperturas radiantes.

Una vez determinado el campo eléctrico, se pueden definir las expresiones del patrón decampo. En el plano de elevación (θ = 90º, 0º ≤ φ ≤ 90º y 270º ≤ φ ≤ 360º), el patrón decampo se expresa como:

F∣∣∣θ=π/2

=sin(kh2 cosφ

)kh2 cosφ

cos(kLeff

2 sinφ)

(67)

Mientras que en el plano de azimut (φ = 0º, 0º ≤ θ ≤ 180º), el patrón de campo sería:

F∣∣∣φ=0

= sin θsin(kh2 sin θ

)kh2 sin θ

sin(kW

2 cos θ)

kW2 cos θ

(68)

Ahora se enfocará en encontrar la impedancia de entrada de la antena. Así como se dijoanteriormente, la clave está en el análisis de las aperturas radiantes, las cuales se caracterizana través de una admitancia Y . La admitancia de la primera apertura se define como:

Y1 = G1 + jB1 (69a)

donde G1es la conductancia y B1 es la susceptancia. Considerando que las dos aperturasradiantes son iguales, se puede decir que:

Y1 = Y2, G1 = G2, B1 = B2 (69b)

La conductancias G1 y G2 se encuentran resolviendo la siguiente integral, la cual se basa

36

TEORIA DE ANTENAS

en la expresión de campo eléctrico dada en la Ecuación (66):

G1 = G2 = 1120π2

ˆ π

0

sin(kW

2 cos θ)

cos θ

2

sin3 θ dθ (70)

Dado que la antena de Parche se diseña para ser resonante, B1 y B2 se toman como nulas,por lo que la impedancia de entrada sólo tendrá un componente resistivo:

ZA = 12(G1 ±G12) (71)

La Ecuación (71) toma en cuenta los efectos de impedancia mutua entre las aperturas, loscuales se representan a través de una conductancia mutua G12, cuya definición en el campolejano de la antena es la siguiente:

G12 = 1120π2

ˆ π

0

sin(kW

2 cos θ)

cos θ

2

J0(kL sin θ) sin3 θ dθ (72)

donde J0 representa la función de Bessel de primera especie y orden cero. El programa deAnálisis de Antenas evalúa esta integral de forma numérica.

El programa sólo considera el caso de un parche alimentado por una línea microstrip, asícomo se ve en la Figura 18. La impedancia de entrada de una antena alimentada de estaforma es algo elevada (alrededor de 300 Ohms). En la Ecuación (70), se puede ver comoel ancho de parche, W , es la variable principal que controla la impedancia de entrada. Unmayor ancho produce una impedancia de entrada más baja, pero para llegar a los 50 Ohmsde una línea de transmisión estándar, se necesitaría una antena excesivamente ancha, queocuparía demasiado espacio y reduciría la eficiencia de radiación. Así que para resolver elproblema de la impedancia, se utiliza otra solución: las corrientes en el centro del parcheson más altas, por lo que si se alimenta el parche más cerca de su centro, se puede lograruna impedancia de entrada menor (Z = V/I). Una manera de lograrlo es utilizar unaalimentación de línea microstrip por inserción, así como se ve en la Figura 19(b). En estecaso, la profundidad de inserción y0 es la que dicta la nueva impedancia.

Esta alimentación por inserción hace que la impedancia de entrada original se multipliquepor un factor de cos2 ( π

Ly0). La nueva impedancia de entrada estará dada entonces por:

ZA(y = y0) = ZA(y = 0) cos2(π

Ly0

)(73)

donde ZA(y = 0) representa la impedancia de entrada original, con conexión directa alparche, así como se muestra en la Figura 19(a).

La directividad de la antena de Parche se encuentra utilizando la Ecuación (6). Utilizando

37

TEORIA DE ANTENAS

Figura 19: Alimentación de antena de Parche con línea microstrip (a) porconexión directa a la antena y (b) por inserción de la línea.

el patrón de campo normalizado F (θ, φ), se puede reescribir esa ecuación como:

Dmax = 4π F 2maxˆ π/2

−π/2

ˆ π

0[F (θ, φ)]2 sin θ dθ dφ

(74)

donde Fmax es el valor máximo del patrón de campo normalizado F (θ, φ). De nuevo, elprograma de Análisis de Antenas resuelve la integral de manera numérica.

Finalmente, se procede a analizar el ancho de banda de la antena de Parche. Dado que éstaes una estructura resonante, se puede caracterizar su ancho de banda por medio del factorQ que es común en el análisis de los circuitos resonantes. El factor Q representa las pérdidasde la antena. Normalmente se tienen pérdidas de radiación, de conducción, por el dieléctricoy por ondas superficiales. Por lo tanto, el factor de calidad total, Qt es una combinación detodas esas pérdidas, y está dado por la siguiente expresión:

1Qt

= 1Qrad

+ 1Qc

+ 1Qd

+ 1Qsw

(75)

donde Qrad es el factor de calidad debido a pérdidas de radiación, Qc es el factor de calidadpor pérdidas óhmicas, Qd es el factor de calidad por pérdidas del dieléctrico y Qsw es elfactor de calidad por ondas superficiales. Guha y Siddiqui (2011) calculan el factor Qradcon la siguiente fórmula:

Qrad = π

4G1Zr(76)

donde G1 es la conductancia de apertura radiante y el término Zr está dado por:

Zr =120π

[Wh + 1.393 + 0.667 ln

(Wh + 1.444

)]−1

√εr,n

(76a)

Mientras tanto, los factores Qd y Qc se determinan con las siguientes fórmulas, también

38

TEORIA DE ANTENAS

dadas por Guha y Siddiqui (2011):

Qd = 1tan δ

π(εr − 1)√εr,n27.3 (εr,n − 1)

√2εr,n − 1 (77)

Qc = h√πfµ0σ (78)

donde tan δ es el tangente de pérdida del dieléctrico y σ representa la conductividad delmaterial del cual se fabricaron el parche y el plano conductor. En el programa de Análisis deAntenas se utiliza la conductividad de un material de cobre σ = 3× 107 S/m y un tangentede pérdida con tan δ = 0.001, característico de un típico sustrato, como Teflon. El términoεr,n se deriva de la permitividad efectiva:

εr,n = εreff + 12 (79)

Jackson (2007) calcula el factor Qsw de la siguiente forma:

Qsw = Qradeswr

1− eswr(80)

donde el factor eswr se define como:

eswr = 1λ2

0(kh)360π3µ3

0

(1− 1

n21

)3(80a)

Una vez calculados todos los factores anteriores, se puede determinar el factor Qt conla Ecuación (75). El ancho de banda de la antena es inversamente proporcional a Qt y,porcentualmente, estaría dado por:

%BW = 1Qt× 100 % (81)

Dos variables claves que controlan el ancho de banda son el grosor h del sustrato dieléctrico ysu permitividad relativa εr. Un mayor grosor aumenta el ancho de banda. Ésto va de acuerdocon otro de los principios clave del diseño de antenas: una antena de mayor volumen tieneun ancho de banda mayor. La desventaja es que al aumentar el h, se inducen más ondassuperficiales en el sustrato, lo cual constituye radiación no deseada. Aunque disminuir εrtambién aumenta el ancho de banda, está la desventaja de que usar un εr más pequeñorequiere que las dimensiones L y W del parche sean mayores, haciendo que la antena ocupemás espacio (y cabe recordar que el tamaño siempre es una limitante en el diseño de antenasde bajo perfil). Como se puede ver, el diseño de antenas de Parche (y el diseño de antenasen general) es un delicado arte de balance.

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TEORIA DE ANTENAS

6. La Antena Yagi-Uda

Ciertas aplicaciones requieren características de radiación que no pueden lograrse con unsolo elemento. Sin embargo, con la combinación de varios elementos radiantes se puedeobtener una flexibilidad que permita obtener esa radiación deseada. Esta agrupación deantenas (en inglés, antenna array) se analiza como una sola unidad; sus campos radiadosson la suma de los campos radiados por cada uno de sus elementos.

La antena Yagi-Uda es una agrupación de Dipolos, en la cual se tiene un único Dipoloalimentado por la línea de transmisión, el elemento activo, mientras que los demás Dipolosson elementos parasíticos, cuyas corrientes son inducidas por acoplamiento mutuo con elelemento activo.

Las agrupaciones Yagi-Uda son muy comunes en la práctica porque son livianas, fáciles deconstruir, económicas y típicamente presentan ganancias mayores a 10 dBi. Se utilizan en lasbandas de HF (3-30 MHz), VHF (30-300 MHz), y UHF (300-3,000 MHz), para aplicacionesde radiodifusión de televisión, estaciones de radioaficionados y radioenlaces punto a punto.

Los primeros diseños y principios de operación de esta antena fueron desarrollados ypublicados en 1926 por el Profesor Shintaro Uda de la Universidad de Tohoku en Sendai,Japón. El trabajo de Uda fue dado a conocer internacionalmente por una publicación eninglés de uno de sus colegas, Hidetsugu Yagi, en 1928. A pesar de que Yagi reconoció ensu artículo que Uda fue el principal responsable en el desarrollo de la antena, ésta comenzóa ser conocida como la “antena Yagi”. Para reflejar más correctamente la contribución deambos inventores, ahora se hace referencia a esta antena como la Yagi-Uda.

La geometría del problema puede verse en la Figura 20. El elemento activo es normalmenteun Dipolo Doblado resonante, o sea que su longitud es un poco menor a λ/2 (entre 0.45λ y0.5λ). Se utiliza un Dipolo Doblado en lugar de un Dipolo normal para aumentar el anchode banda de la antena, ya que éste, a diferencia del Dipolo normal, tiene una impedanciade 300 Ohms.

Los elementos parasíticos que se colocan en la dirección del haz principal de la antena seconocen como directores y su función principal es conducir la radiación del elemento activoen la dirección deseada. En la Figura 20, son los elementos que se ubican a la derechadel elemento activo. La longitud de los directores oscila entre un 0.38λ y 0.45λ, siendotípicamente entre un 5% ó 10% más corto que el elemento activo. Agregar más directores ala antena siempre aumenta la ganancia, pero entre más directores se agreguen, menor serála mejora aportada por cada director adicional. Por ejemplo, mientras que el primer directorpuede aportar un incremento de hasta 3 dB en la ganancia de la antena, el noveno directorsólo aporta una mejora inferior a 0.5 dB. Normalmente se utilizan de 6 a 12 directores. Losdirectores no necesariamente tienen que ser de una misma longitud o radio.

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TEORIA DE ANTENAS

Figura 20: Estructura de antena Yagi-Uda.

Los elementos parasíticos que se colocan en dirección del haz trasero son los reflectores, ysu función es reducir la radiación en la dirección trasera, mejorando así la relación delante-atrás (front-to-back ratio en inglés) de la antena. Para cumplir su función correctamente,los reflectores deben ser más largos que el elemento activo. Su longitud oscila entre 0.5λy 0.52λ, siendo típicamente un 5% más largo que el elemento activo. Las agrupacionesYagi-Uda tienen normalmente sólo un reflector; agregar más de un reflector no mejorasignificativamente el rendimiento de la antena.

Usualmente, la separación óptima entre el elemento activo y el reflector es de 0.25λ. Laseparación entre directores suele estar entre 0.2λ y 0.4λ, y no necesariamente tiene queser la misma para todos los directores. Es más, los diseños óptimos de antenas Yagi-Udatienen directores de distintas longitudes y distintas separaciones entre sí. Por motivos desimplicidad, en el programa de Análisis de Antenas se asumen directores de una mismalongitud y separación entre sí.

Antes de determinar el campo eléctrico de una agrupación Yagi-Uda, se debe definir ladistribución de corriente por cada elemento. Para encontrarla, es necesario resolver lasiguiente ecuación integro-diferencial:

−dI(z′)dz′

e−jkR

R

∣∣∣∣∣+l/2

−l/2+ˆ +l/2

−l/2

[k2I(z′) + d2I(z′)

dz′2

]e−jkR

Rdz′ = j4π ω ε0E

tz (82)

Se utilizará la representación por series de Fourier para encontrar la solución a esta ecuación.Para alambres de diámetro pequeño, la corriente en cada elemento puede ser representada

41

TEORIA DE ANTENAS

como una expansión de serie de Fourier de la forma:

In(z′) =M∑m=1

Inm cos[(2m− 1)πz

′

ln

](83)

donde Inm representa un coeficiente complejo de corriente del modo m en el elemento n, yln representa la longitud correspondiente al elemento n. Entre mayor sea el número totalde modos M , más precisas serán las soluciones. Sustituyendo la expresión en (83) en laEcuación (82), y luego de unas manipulaciones matemáticas, se obtiene lo siguiente:

M∑m=1

Inm

{(−1)m+1 (2m− 1)π

lnG2

(x, x′, y, y′/z,

ln2

)+[k2 − (2m− 1)2π2

l2n

]

׈ ln/2

0G2(x, x′, y, y′/z, z′n

)cos

[(2m− 1)πz′nln

]dz′n

}= j4π ω ε0E

tz (84)

dondeG2(x, x′, y, y′/z, z′n

)= e−jkR−

R−+ e−jkR+

R+(84a)

R± =√

(x− x′)2 + (y − y′)2 + a2 + (z ± z′)2 (84b)

donde N es el número de elemento en la agrupación Yagi-Uda y R± es la distancia desdeel eje central de cada alambre al eje de cualquier otro alambre.

Esta ecuación integral se resuelve con elMétodo de los Momentos. Se utilizan las condicionesde frontera para determinar toda la matriz de coeficientes Imn para cada modo m de cadaelemento n. Una vez encontrados los coeficientes, la distribución de corrientes descrita enla Ecuación (83) estará completa.

Se procede a encontrar el campo eléctrico de la agrupación Yagi-Uda, el cual está dado por:

Eθ =N∑n=1

Eθn = jω µ e−jkr

4πr sin θN∑n=1

{ejk(xn sin θ cosφ+yn sin θ sinφ)

×M∑m=1

Inm

[sinZ+

Z+ + sinZ−Z−

]}ln2 (85)

dondeZ+ =

[(2m− 1)πln

+ k cos θ]ln2 (85a)

Z− =[(2m− 1)π

ln− k cos θ

]ln2 (85b)

Para calcular la directividad de la antena Yagi-Uda, se utiliza la expresión del patrón decampo normalizado F (θ, φ) junto con la Ecuación (74), así como se hizo en el caso de laantena de Parche.

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TEORIA DE ANTENAS

El otro parámetro importante que se calcula en el programa Análisis de Antenas es larelación delante/atrás de la antena, que se simbolizará como D/A. Ésta es la relación entrela directividad en la dirección de máxima intensidad, y la directividad en la dirección opuesta(180 grados desde la dirección máxima). El parámetro está dado en dB, y el programa localcula tanto para el plano de azimut como para el plano de elevación. Aunque en teoríalas relaciones en ambos planos deben ser iguales (en el caso de la antena Yagi-Uda), a lahora de realizar el cálculo en el programa siempre hay pequeñas diferencias entre ellas. Lafórmula para encontrar la relación D/A, para ambos planos, está dada por:

D

AAzimuth= D

AElevacion= 20 log

[F (θ = 90º, φ = 90º)F (θ = 90º, φ = 270º)

](86)

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TEORIA DE ANTENAS

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