Manual Senati

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EXPONENTES I INTRODUCCIÓN En diversos campos de la ciencia se utilizan operaciones con números que son muy grandes o muy pequeños, como por ejemplo: a)La masa de la tierra es aproximadamente 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg. b)La masa de un electrón es: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg. Estos números se pueden reducir, escribiéndolos en su notación científica, es decir de la forma: a) 6 . 10 24 kg., aquí la coma decimal ha de moverse 24 lugares a la derecha. b) 911 . 10 -33 kg., el exponente negativo indica la coma decimal deberá moverse 33 lugares a la izquierda. Estos ejemplos nos muestran la importancia del uso de los exponentes. La aplicación de los exponentes en la matemática financiera, se da en el interés compuesto y todas las formulas derivadas de ella, que lo vamos a ver más adelante. CONCEPTO Estudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes. La operación que da origen al exponente es la potenciación. POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia. Representación: Donde: a: base, n : exponente, b : potencia, Ejemplos:

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Matematica basica

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EXPONENTES I

INTRODUCCIÓN

En diversos campos de la ciencia se utilizan operaciones con números que son muy grandes o muy pequeños, como por ejemplo:

a) La masa de la tierra es aproximadamente 6 000 000 000 000 000 000 000 000 kg.b) La masa de un electrón es: 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 911 kg.

Estos números se pueden reducir, escribiéndolos en su notación científica, es decir de la forma:

a) 6 . 1024 kg., aquí la coma decimal ha de moverse 24 lugares a la derecha.b) 911 . 10-33 kg., el exponente negativo indica la coma decimal deberá moverse 33

lugares a la izquierda.

Estos ejemplos nos muestran la importancia del uso de los exponentes.

La aplicación de los exponentes en la matemática financiera, se da en el interés compuesto y todas las formulas derivadas de ella, que lo vamos a ver más adelante.

CONCEPTOEstudia todas las clases de exponentes y las diferentes relaciones que existen entre ellos, mediante leyes.La operación que da origen al exponente es la potenciación.

POTENCIACIÓN Es la operación que consiste en repetir un número denominado base, tantas veces como factor, como lo indica otro número que es el exponente, el resultado de esto se le denomina potencia.

Representación:

Donde: a: base, n : exponente, b : potencia,

Ejemplos:

1.

2.

3.

4.

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LEYES FUNDAMENTALES1. Producto de Igual Base

. xa . xb = xa+b .

Ejemplos: 23 . 24 = 23+4 = 27

2–5 . 2-4 . 27 = xn+4 = xn . x4

xa+c =

2. Cociente de Igual Base

. . x 0

Ejemplos:

= 28–4 = 24

= 2–6–(–5) = 2–1

x2x-1 =

3. Producto de Potencias de Diferente Base. xa . ya = (x . y)a .

Ejemplos: x4y4z4 = (xyz)4

(2b)3 = 23 . b3

m2n2p2 =

(3x)4 =

4. Cociente de Potencias de Bases Diferentes

. . y 0

Ejemplos:

1.

2.

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5. Potencia de Potencia

. .

Ejemplos: (32)3 = 36 = 729 x2.2.5 = {(x2)2}5

{(22)3}4 = x2.3.5 =

6. Exponente Negativo

. . . . x 0 y 0

Ejemplos:

(-4)-3 =

7. Exponente Nulo o Cero

. x0 = 1 . x 0

Ejemplos:

1.

2.

-20 =

(-2)0 =

EJERCICIOS RESUELTOS

Observación:

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1. Efectuar

Resolución:Transformando los exponentes negativos.

, efectuando operaciones dentro del corchete.

2. Simplificar:

Resolución

Expresando cada base como una potencia de base 2

Sumando los exponentes tanto en el numerador como en el denominador.

Restando los exponentes de “2”.

3. Siendo ; efectúe:

Resolución

Obsérvese que:

En la expresión:

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4. Si , hallar el valor de:

Resolución

La expresión “M” se puede escribir de la forma siguiente:

Pero

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Reducir:

2. Simplificar:

3. Efectuar:

4. Calcular:

5. Reducir:

6. Reducir:

7. Si se cumple que: 222 + 1024 = 1024a

Calcular:

8. Halle el exponente final de “x”.

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9. Calcular:

10. Efectuar:

11. Reducir: P =

12. Resolver:

13. Sabiendo que:

A =

B =

Hallar A / B

14. Simplificar:

E =

15. Simplificar:

P =

16. Hallar “x”: 8x + 2 – 8x = 126

17. Resolver: 4x – 4x – 1 = 192

EXPONENTES II

En este capítulo haremos una breve introducción a los radicales, que luego se va a profundizar mediante el uso de operaciones básicas. Los exponentes y los radicales son utilizados de forma continua en la parte financiera, como es en la conversión de tasas financieras, entre otras.

PROPIEDADES

1. Exponente Fraccionario

. ; . . n 0

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Ejemplos:

271/3 =

811/4 =

25-3/2 =

644/3 =

2. Producto de Radicales Homogéneos

. .

Ejemplos:

3. Raíz de Radicales Homogéneos

Ejemplos:

5. Raíz de Raíz

. .

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Ejemplos:

6. Casos Especiales

1.

2.

3.

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Calcular:

+ 810,25

Solución:

Se procede a convertir el exponente decimal a fracción, para luego aplicar

exponente fraccionario a cada expresión.

2. Calcular:

Solución:

Se procede el desarrollo de arriba hacia abajo, tomando de dos en dos, los

exponentes.

OBSERVACIÓN:

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3. Calcular:

Solución:

Se aplica la propiedad 2 de los casos especiales.

4. Efectuar:

Solución:

Se aplica la definición de potenciación, producto de bases iguales y cociente de

bases iguales.

5. Reducir:

Solución:

Se aplica las propiedades de raíz de raíz y producto de raíces homogéneas.

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6. Reducir:

Solución:

Aplicamos propiedades de exponente negativo y luego propiedades de fracciones.

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Calcular:

2. Simplificar:

3. Reducir:

4. Si: aa = a + 1

Calcular el valor de:

5. Sabiendo que:

Reducir:

7. Reducir:

8. Reducir:

9. Calcular:

10. Calcular:

11. Efectuar:

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12. Calcular:

13. Calcular:

14. Calcular el valor de:

15. Hallar:

16. Hallar el valor de:

17. Si: 5x = 0,125; calcular:

18. Calcular el valor de:

19. Hallar el valor de:

20. Simplificar:

ECUACIONES

DEFINICIÓN

Es una igualdad de dos expresiones, una conocida y la otra desconocida llamada incógnita

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Es aquel valor que toma la incógnita, de modo que al reemplazarla en la ecuación la verifican o la satisfacen.

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Ejemplo:

, es una solución por que

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Es el conjunto formado por todas las soluciones de una determinada ecuación.

Ejemplo:

Sus soluciones son: , luego el conjunto solución es: C.S.=

CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE ACUERDO A SU GRADO

ECUACIÓN LINEAL O DE PRIMER GRADO

Es de la forma:

Donde: x: es la incógnita

a, b: coeficientes reales.

Solución de una ecuación de primer grado

Notación:

EJEMPLOS BASICOS:

1. 3x + 2 = x – 5Solución:Se agrupa las variables en un miembro y la para constante en el segundo miembro.3x – x = - 2 – 5 2x = -7 x = -7/2

C.S = {-7/2}

2. 6x – (x + 2) + 3 = 15x – 10

Solución:6x – x – 2 + 3 = 15x – 10 5x + 1 = 15x – 10 x = 11/10

a.x + b = 0, a ≠ 0

a.x + b = 0 x = -b/a

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C.S = {11/10}

3.

Solución:

C.S = {18/19}

4. ax + x = a(a + b) – (1 + ab)Solución:

C.S = { (a-1) }

ESTRATEGIAS PARA EL DESARROLLO DE PROBLEMASComprensión del problema y elección de la variable- Lea el enunciado atentamente.- Identifique las cantidades conocidas y desconocidas que presenta el problema.- Elija una variable para la cantidad desconocida.Comprensión del problema y planteamiento- Establezca relaciones entre las cantidades y variables.- Traducir el enunciado a una o varias ecuaciones.Resolución - La parte operativa debe ser sencilla.Análisis de respuesta y respuesta completa - Esta parte es muy importante. Uno debe reflexionar sobre el sentido de los

números obtenidos con respecto al contexto del problema y escribir una respuesta completa como solución a la pregunta propuesta. No olvidar colocar las unidades.

5. Anastasio y Sofocleo tienen juntos $75. Si Sofocleo tiene $5 más que Anastasio. ¿Cuánto dinero tiene Sofocleo?Solución:

Sean: Anastasio: $/. x

Sofocleo: $/. (x + 5)

Planteamiento:

x + x + 5 = 75 2x = 70 x = 35

Entonces Sofocleo tiene $/. 40

6. Dos hermanos guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al cabo de un año tienen en total S/.8000, pero al mayor de ellos le corresponde el triple de dinero que al menor. ¿Cuánto posee el hermano menor?Solución:

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Sean los hermanos:Hermano 1: S/. xHermano 2: S/. 3xPlanteamiento:3x + x = 8000 4x = 8000 x = 2000Entonces el hermano mayor posee S/. 6000

7. Desde el comienzo del año se gana en cada mes $600 más que el mes anterior. Si en el cuarto mes (Abril) gana siete veces lo que gana en el primer mes, ¿Cuánto ganó en el mes de enero?Solución:Sean los meses:Enero : $/. xFebrero: $/. (x + 600)Marzo : $/. (x + 1200)Abril : $/. (x + 1800)Planteamiento:x + 1800 = 7x 6x = 1800 x = 300Entonces en el mes de enero ganó $/. 300

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Encontrar el valor de “x” en cada caso:

1. 3x + 2x – 9 = 4x + 11

2. 8x – 7 = x – 7 + 4x – 10

3. 11x + 5x – 1 = -36 + 65 x

4. 2(x - 3) = 4(2x - 7)

5. 3x – (-2x + 3) = 3x – (x + 2)

6. 8x – (5x + 9) = 3x – 5x – (x + 3)

7. (x + 5)(x + 7) = (x + 5)x

8. (x + 7)(x + 6) + 12 = (x + 5)(x + 9)

9. (x + 2)2 + x(x + 1) = (x + 3)2 + x2

10.

11. ax – a = m + mx

12. ax + b = a + bx

13. (p + q)x + p = rx + r – q

14. Calcular el valor de x3 + 1, en :

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(x + 1)(2x + 5) = (2x + 3)(x - 4) + 5

15. Resolver:

16. Calcular: (x - 1)(x-2) en:

17. Hallar “x” en: (a - b)(x - 1) + (x + 1)(a + b) = 0

18. Si la ecuación: (m - 2)x2 + (2m + 1)x = m2 + 5m + 1Es de primer grado para la incógnita “x”, calcular el valor de “x”.

19. Hallar: “x2”:

20. Hallar “x” en:

21. Resolver la ecuación y hallar el valor de “x”:

; (p q)

PROBLEMAS DE APLICACIÓN:

1. Al comprar un pantalón, una camisa y un buzo se gastó S/.154. Si la camisa cuesta 6 veces lo que cuesta el buzo, y el pantalón cuesta S/.15 menos que la camisa; calcule el precio del buzo.

2. Preguntaba una persona por la fecha en que compró su computadora, respondió: “Se realizó un mayo del 2004, en un instante en que la diferencia entre el tiempo que quedaba por transcurrir en el año y el tiempo que había transcurrido excedía en 87/2 días al tiempo transcurrido en el mes de la compra.” Determinar ¿En qué fecha se hizo la compra y qué hora se hizo dicha compra?

3. Se quiere colocar una barda a un terreno rectangular. Sabiendo que su perímetro es 120 metros y que uno de sus lados es cinco veces el otro. ¿Cuál es la longitud de sus lados?

4. Hoy gané 100 soles más que ayer, y lo que he ganado en los dos días es 200 soles más que la mitad de lo que gané hoy. ¿Cuánto gané hoy?

5. Un vendedor de pantalones le dice a otro: “Si yo duplico mis ventas diarias igualo a las tuyas, pero si tu duplicas tus ventas diarias, venderíamos 120 pantalones”. ¿Cuántos pantalones vende cada uno?

6. Cuatro amigos se reparten una cierta cantidad de dinero: el primero recibe la mitad; el segundo la tercera parte; el tercero la novena parte y el último los $60000 restantes. ¿A cuánto asciende el total del dinero repartido?

Page 16: Manual Senati

7. Los ahorros de un niño constan de: (p + 1). (3p – 5) y (p + 3) monedas de 5, 10 y 20 soles respectivamente. ¿A cuánto asciende sus ahorros, si al cambiarlo en monedas de 25 soles el número de monedas obtenidas es el doble que el número de monedas de 5 soles?

8. Por un trabajo a Campos se le pagó $10 más que Salarrayán, a Grigoleto el doble de lo que recibió Salarrayán y a Salas el triple, de lo que recibió Salarrayán y Campos juntos. Si el pago total que se hizo fue $540 ¿Cuánto recibió Grigoleto?

9. El Dr. Franco compra un pase mensual para un autobús que le permite viajar ilimitadamente por $42 al mes. ¿Cuántos viajes por mes tiene que hacer el Dr. Franco para que resulte lo mismo adquirir el pasaje, si el costo del pasaje es $0,75?

10. Un lavamanos tiene una circunferencia de 3,61 m. ¿Cuál es su diámetro?

11. La altura de una tuerca hexagonal es de 28,8 mm. Esta dimensión es 8/10 del diámetro del tornillo. ¿Qué tamaño tiene el diámetro?

12. Se quieren perforar 6 agujeros en un riel de acero plano de de 385 mm de longitud de tal manera que la distancia entre los centros de los agujeros y los bordes sean iguales. Calcule la distancia en mm.

13. El costo de transportar 10 Kg de equipaje es $ 65 y por cada Kg adicional es $ 0,9. ¿Cuántos kilos se transportó, si se pagó $ 353?

14. Si compro 18 libros, me sobra 40 soles y si compro 21 libros, me falta 20 soles. ¿Cuánto tengo?

15. El precio de un libro excede en $ 8 el precio de una docena de lapiceros. Si compro 44 lapiceros y 6 libros por un total de $ 222, ¿cuánto costó un libro?

16. En un árbol hay 80 plátanos, un mono sube y coge la cuarta parte de lo que no coge y baja para comérselos, luego vuelve a subir y baja con la tercera parte que no baja. ¿Cuántos plátanos se comió?

17. Si hoy gasto lo mismo que ayer, mañana gastaría la mitad de hoy, entonces me quedaría sin dinero alguno; pero en cambio, si ayer hubiese gastado la mitad de lo que gasté, hoy tendría que gastar $ 30 más de lo que gasté realmente ayer . ¿Cuánto tenía ayer?

18. Se sabe que en un campeonato, Benavente metió cinco goles más que Herrera, los goles de cuba excedió en dos a los de Benavente y fue excedido por un gol de Paredes, quien a su vez hizo la misma cantidad de goles que Castañeda. Si hubo un total de 53 goles ¿Cuántos goles metió Paredes?

19. En un concurso de belleza, los puntos de Lorena excedió a los de Daniela en dos. Los puntos de María excedió en tres a los de Lorena y fue excedido por los de Alejandra en uno. Si en total hubo 529 puntos. ¿Cuántos puntos logró María?

20. De un número de dos cifras se sabe que la cifra de las decenas excede a la de las unidades en 5, y la diferencia de los cuadrados de estas cifras es 45. Si a la derecha del número se escribe el mismo número, ¿En cuánto excede el número formado al original?

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APLICACIÓN A LA ECONOMÍA

En toda producción de cualquier bien en una empresa, siempre intervienen dos tipos de costos:

COSTOS FIJOS (CF)

Los costos fijos o constantes, son aquellos que no varían con la producción. Son fijos con respecto al volumen, pero varían en cuanto a capacidad y tamaño de la planta. Son costos fijos los pagos de alquileres, remuneraciones de los trabajadores estables, materiales de consumo, viáticos y movilidad, gastos legales, útiles de oficina, las amortizaciones, los gastos de distribución, los impuestos a la propiedad predial, etc.

COSTOS VARIABLES (CV)

Son aquellos que dependen del nivel de producción y/o ventas en un momento determinado. Pueden ser progresivos, proporcionales o regresivos con respecto al volumen. Son costos variables la materia prima, la mano de obra contratada o eventual, lubricantes, combustibles, gastos en conservación de maquinarias, vapor industrial, gastos de venta, etc.

COSTO TOTAL (CT)

Denominado “costo de producción total”, reflejan el monto de desembolsos efectuados en la fabricación de bienes y servicios y se representa de la siguiente manera:

INGRESO ( I )

Es lo que se recibe por las ventas de un bien particular y se expresa:

Donde:

I = ingreso

Pv = precio de venta por unidad

q = número de unidades

UTILIDAD (U)

La utilidad está expresada de la siguiente manera:

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Una empresa en la que se fabrica cierta refacción de un automóvil tiene por concepto de pago de renta del local, agua y luz una cantidad mensual fija de $12, 000.00 y por concepto de materia prima aumenta su costo a razón de $1.20 por producto y por concepto de mano de obra $ 0.80 por producto. Determinar su costo total al final del mes si la producción fue de 10,000 artículos.

CT = CV + CF

I = Pv . q

U = I - CT

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Solución:Del problema sacamos los datos que tenemos:

CF = $12 000Materia prima = $1.20 x productoMano de obra = $0.80 x productoq = 10 000CT = ?

Sabemos que: CT = CF + CVPero el costo variable depende de la materia prima y mano de obra, además de los productos a fabricar, es decir:

CV = (MP + MO) . q

Entonces:CV = (1.20 + 0.80)10 000 = 20 000

Reemplazando:CT = 12 000 + 20 000 = 32 000

Por lo tanto el costo total es de 32 000 dólares.

2. Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de $ 5 por unidad y costos fijos de $ 80 000. Cada uno tiene un precio de venta de $ 12. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de $ 60 000.Solución:Del problema sacamos los datos que tenemos:

CF = $80 000CV = $5 x productoq = ?Pv = $12U = $60 000

Sabemos que: CT = CF + CV CT = 80 000 + 5q

Además I = Pv . qI = 12q

Reemplazando en: U = I – CT

60 000 = 12q – (80 000 + 5q)60 000 = 12q – 80 000 – 5q 140 000 = 7q 20 000 = q

Por lo tanto se deben de producir 20 000 unidades.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Una empresa vende un artículo a un precio de $100.00, si sus gastos por mano de obra son de $10.00 por producto y por concepto de materia prima de $15.00 por producto teniendo costos fijos de $1‘000, 000.00 mensuales, si su producción mensual es de 50,000 artículos determina la utilidad mensual de la empresa.

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2. La compañía AVON fabrica un perfume para mujeres, cuyo costo variable por unidad es de $ 9 y el costo fijo de $ 60 000. Cada perfume tiene un precio de venta de $ 25. Hallar el número de perfumes que debe venderse para obtener una utilidad de $ 40 000.

3. Una fábrica de zapatos, desea saber cuántos pares debe producir para obtener una utilidad de $ 30 000. Se sabe que el precio de la mano de obra es de $ 8 por zapato y $ 10 por el material. Además, el costo fijo mensual es de $ 60 000 y el precio de venta de cada par de zapatos es de $ 50.

4. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2,80 y el de mano de obra de $ 3. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $ 5 000. Si el precio de venta es de $ 6,60 por unidad, halle el número de unidades que debe ser vendido para que la compañía obtenga utilidades de $ 12 336.

5. Para producir una unidad de un producto nuevo, una compañía determina que el costo del material es de $ 2,50 y el de mano de obra de $ 4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $ 5 000. Si el precio para un mayorista es de $ 7,40 por unidad, determine el número mínimo de unidades que debe venderse para que la compañía tenga utilidades.

6. Para una empresa que fabrica webcam, el costo entre mano de obra y material es de $ 21 por cada unidad y sus costos fijos son de $ 70 000. Si el precio de venta de cada webcam es $ 35. ¿Cuántas unidades debe vender como mínimo para que la compañía tenga utilidades?

7. Panfleto tiene un restaurante y ha estimado su ecuación de costo como C = 1600 + 2,7x y su ecuación de ingreso como I = 5,7x donde x es el número de menús vendidos en un mes. Encuentre el número mínimo de menús, que deberá vender Panfleto, para que sus utilidades sean mayores a los 2300 soles mensuales.

ECUACIONES CUADRÁTICAS O DE SEGUNDO GRADO

Al reducir queda de la siguiente forma:

Ejemplos:

3x2 – 12x = 0

3x2 + 4x – 2 = 0

x2 – 49 = 0

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

22. FACTORIZACIÓN

Es cuando al ser reducida la ecuación queda reducida de la siguiente manera:

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Ejemplo:

Hallar los valores de “x” en:

x -3 = -3xx -2 = -2x -5x

Luego se toma en forma horizontal, entonces tendremos:

C.S = {2; 3}

23. FÓRMULA GENERAL

Sea la ecuación cuadrática:

La fórmula general está dada por:

Ejemplo:

Hallar las raíces de la siguiente ecuación

De donde se afirma que:

a = 1; b = 1; c = -1

Reemplazando en la fórmula general:

Donde:

C.S = { ; }

Nota: se llama discriminante.

ESTUDIO DE LA DISCRIMINANTE (RAÍZ)

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Si ∆ >0, hay dos raíces reales y diferentes (x1 ≠ x2)

Si ∆ =0, hay dos raíces reales e iguales (x1 = x2)

Si ∆ <0, hay dos raíces complejas y conjugadas (x1 = a + bi; x2 = a – bi)

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. 2x2 – 32 = 0

Solución.

Aplicamos el método de factorización.

2x2 – 32 = 0 x2 – 16 = 0 (sacando la mitad)

(x – 4)(x + 4) = 0 (diferencia de cuadrados)

x = 4 ν x = - 4

C.S = {- 4; 4}

2. x2 + 5x = 0

Solución:

Aplicamos el método de factorización:

x2 + 5x = 0 x(x + 5) = 0 (factorizamos x)

x = 0 ν x = - 5

C.S = {- 5; 0}

3. x2 + 2x – 24 = 0

Solución:

Aplicamos el método de factorización:

x2 + 2x – 24 = 0 (aspa simple)

x 6 = 6x

x - 4 = -4x

2x

x2 + 2x – 24 = 0 (x + 6)(x – 4) = 0

x = - 6 ν x = 4

C.S = {- 6; 4}

4. Se vende una computadora en 9975 soles. Ganando un porcentaje sobre el costo igual al número de soles que costó la computadora. Hallar el costo de la computadora.

Page 22: Manual Senati

Solución:

Sea S/. x el costo de la computadora.Sabemos: Precio de Venta = Precio de Costo + Ganancia (Pv=Pc+G)AdemásPv = S/. 9975Pc = S/. x

G = (la ganancia es una parte del costo del producto)

Planteando tenemos:

9975 = x +

Efectuando:997 500 = 100x + x2

Trasponiendo y luego factorizando por aspa simple:

x2 + 100x - 997 500 = 0x 1 050x - 950

De donde obtenemos que:

x2 + 100x - 997 500 = 0 (x + 1050)(x – 950) = 0

x = -1050 ν x = 950

La computadora costó 950 soles.5. Cuando dos computadoras actúan a la vez tardan 15 minutos en dar toda una

información requerida. Si solamente actuara una computadora tardaría 16 minutos más en dar dicha información que si solamente actuara la computadora más rápida. ¿Cuánto tardaría esta en dar dicha información?

Solución:

La primera computadora demora: x minutos

La segunda computadora demora: (x+16) minutos

En una hora la primera computadora dará de información

En una hora la segunda computadora dará de información

Entre las dos en una hora darán: de información

Además entre las dos en una hora darán 1/15 de información

Luego:

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De donde obtenemos: x = 24 ν x = -10

Se pide el tiempo que demoraría la computadora más rápida si actuara sola o sea 24 minutos.

6. Una compañía a denominado que el costo de producir x unidades de su producto por semana está dado por:

Evalué el costo de producir:

a) 1000 unidades por semana.b) 2500 unidades por semana.c) Ninguna unidad.Solución:

Evaluaremos cada valor en la ecuación costo.

a) Para x = 1 000 unidades, tenemos:

C (1 000) = 5 000 + 6(1 000) + 0,002(1 000)2

C (1 000) = 13 000 u.m.

b) Para x = 2 500 unidades, tenemos:

C (2 500) = 5 000 + 6(2 500) + 0,002(2 500)2

C (2 500) = 32 500 u.m.

c) Para x = 0 unidades, tenemos:

C (0) = 5 000 + 6(0) + 0,002(0)2

C (0) = 5 000 u.m.

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

En cada caso encontrar los valores de “x”

1. 3x2 – 12x = 0

2. 2x2 – 12x = 0

3. x2 – 5x - 6 = 0

4. x2 + 6x + 9 = 0

5. 5x2 + 9x – 2 = 0

6. 3x2 – 5x –2 = 0

Page 24: Manual Senati

7. 2x2 + 13x + 6 = 0

8. (x + 1/3)(x – 1/3) = 1/3

9. x(x – 1) – 5(x – 2) = 2

10. (2x – 1)2 – 8 = 8

11. (3x – 4)2 =5x – 6

12. (2x + 3)(2x – 3) – 135 = 0

13. Resolver:(x + 4)2 = 2x(5x - 1) – 7(x - 2)

14. Si: a b son raíces de la ecuación.

. Además a < b. Calcular: a/b

15. Si una raíz de la ecuación:2x2 + 5x + c2 + 2c + 1 = 0, es cero. Hallar: c”

16. Resolver:

17. Resolver:

18. Resolver: = 0, e indicar una raíz.

19. Resolver:

20. Resolver:

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. La suma de los cuadrados de dos números impares consecutivos es 650, determine dicho número.

2. Un número menos su raíz cuadrada es 132. Encuentre dicho número.

3. El largo de un jardín rectangular es 2m menor que tres veces su ancho. Determine el largo y el ancho si el área del jardín es 21 m2.

4. Con 50 metros de tela metálica se desea fabricar u corral para cuyes de forma rectangular y de 150 m2 de área. ¿Cuánto deben medir los lados?

5. Carlos desea formar una región rectangular junto al rio, construyendo una barda como la ilustra en la figura que se muestra. Si tiene sólo 400 m de barda y desea

Page 25: Manual Senati

encerrar un área de 15000 m2, determine las dimensiones de la región rectangular (al borde del rio no lleva barda).

6. Torcuato tiene una fábrica de mochilas, cuyos costos fijos mensuales son de $ 1 575 y el costo de la mano de obra y material es de $ 20 por cada mochila. Si la fábrica puede vender q unidades a un precio de $ (140 – q) la unidad. ¿Cuántas mochilas debe de vender para tener una ganancia de $ 2 025?

7. En una prueba de metabolismo de azúcar en la sangre, llevada a cabo en un intervalo de tiempo, la cantidad de azúcar en la sangre era una función del tiempo t (medido en horas) y dada por:

Encuentre la cantidad de azúcar en la sangre:

a) Al principio de la prueba.b) 1 hora después.

c) horas después de iniciada.

8. La suma de las edades de A y B es 23 años y su producto 102. Hallar la edad de A si es el mayor:

9. La diferencia de 2 números es 7 y su suma multiplicada por el número menor equivale a 184. Hallar los números.

10. Elio, un fotógrafo profesional, tiene una foto de 16 x 18 cm. Desea reducir la foto la misma cantidad de cada lado, de modo que la foto resultante tenga la mitad del área de la foto original, ¿En cuánto tiene que reducir la longitud de cada lado?

11. Si la longitud y el ancho de un rectángulo de 6 y 10 cm se aumenta en la misma cantidad, el área del nuevo rectángulo excede en 20 cm2 al doble del área original. ¿En cuánto se incrementaron las dimensiones originales?

12. El ingreso mensual de una compañía que fabrica pantalones, está dada por I = 400p – 5p2, donde es el precio en dólares de cada pantalón. Determine el precio de cada pantalón, para que el ingreso mensual sea de 6000 dólares, si el precio debe ser mayor de $ 50.

13. El área de un baño rectangular será de 306 m2. Si el largo excede al ancho en 1 m, ¿Cuáles serán sus dimensiones?

14. Oscar compra “2x + 27” lápices a “x” soles cada uno. si gasta en total S/.45, ¿Cuántos lápices compró?

15. Con ocasión de las olimpiadas Senatinas 2010 se encargo diseñar el afiche mostrado. Éste tiene un área rectangular de 40 x 60 cm, el cual está enmarcado

Page 26: Manual Senati

con una banda de ancho constante. ¿Cuál es el ancho de la banda, si se sabe que el área del diseño representa los 5/8 del área del afiche?

16. Se reparten 96 chocolates en partes iguales a un grupo de niños. Si hubiese 8 niños más, entonces a cada niño le tocaría 6 chocolates menos. ¿Cuántos niños son?

17. Se ha observado en una fábrica que el precio de costo “p” de cada objeto producido, disminuye a medida que fabrica anualmente mayor número de objetos

según la ley: . Se desea saber cuál es el número de objetos (n) que

deben producirse y venderse durante un año de fabricación, para que vendiendo 20000 al precio de 50 soles cada uno (inferior al precio de costo y que tiene por objeto destruir las competencias) ya las restantes a 62 soles quede un beneficio del 5 por 100.

18. Se desea construir una caja de base cuadrada y sin tapa, recortando en una cartulina cuadrada, cuadrados de cinco por cinco cm2 de cada una de las esquinas; para que la caja tenga volumen de 320 cm3, el lado debe ser:

19. Un vendedor compró 30 computadoras a S/. 1 050 cada una. Le robaron unas cuantas y vendió cada una de las restantes con un aumento de tantas veces S/.42 como computadoras le robaron. Resultando que no tuvo pérdida ni ganancia. ¿Cuántas computadoras le robaron al vendedor?

20. Una persona compró cierto número de libros por S/. 180. Si hubiera comprado 6 libros menos por el mismo dinero, cada libro le hubiera costado un sol más. ¿cuántos libros compró?

21. Dos mecánicos trabajando juntos pueden reparar un tranvía en 12 horas, el primero de ellos trabajando sólo lo puede hacer 10 horas más rápido que el segundo. ¿en cuántas horas reparará 2 tranvías trabajando sólo el segundo de ellos?

22. Una compañía de 180 soldados está dispuesta en filas. El número de soldados por fila excede en 8 al número de filas. ¿Cuántas filas y cuántos soldados hay por fila?

23. Un parque de forma rectangular tiene un jardín de 50 m de largo y 30 m de ancho y una vereda de anchura uniforme a su alrededor, si el área de la vereda es de 600 m2. Hallar su ancho.

Page 27: Manual Senati

24. ¿Qué longitud de tela de ancho 0.80 cm debe comprarse para que después de lavada se disponga de 70 m2, sabiendo que la tela después de lavada disminuye su ancho en 1/16 y su largo 1/15?

25. El área de un baño rectangular será de 306 m2. Si el largo excede al ancho en 1 m, ¿Cuáles serán sus dimensiones?

SISTEMAS LINEALES

CONCEPTOS PREVIOS

PAR ORDENADO

Es un conjunto formado por dos elementos dispuestos en determinado orden:

(x; y)

Primera componente Segunda componente

PROPIEDADES:

1. (x; y) (y; x) (no conmutativa)2. Si: (x; y) = (a; b) x = a y = b

FUNCIONES

Dados los conjuntos no vacíos “A” y “B” y una relación F A x B se define: F es una función de “A” en “B” si y sólo si para cada X A, existe a lo más un elemento y B tal que el par (x ; y) F, es decir que dos pares ordenados distintos no pueden tener la misma primera componente.

Si: F es una función tal que (x;y) F (x;z) F y = z .

Notación

Page 28: Manual Senati

Si “f” es una función de “A” en “B” se designa por:

Se lee “f” es una función de “A” en “B”.

Ejemplo:

f = {(a; 1), (b; 1), (c; 1)} es función.

f = {(1; c), (2; d), (3; b)} es función.

f = {(1; b), (2; a), (2; c)} no es función.

DOMINIO Y RANGO:

Abreviado por Dom(f) y Ran(f) respectivamente se define así:

Dominio: Denominado PRE-IMAGEN, conjuntos de los primeros elementos de un par ordenado.

Notación: Dom(f) = {xЄA/Ξ yЄB/(x; y)Єf}

a b

A B

f

f: A B ó

a

b

c

1

A Bf

Siendo: a b c diremos:

A Bf

1

2

3

a

b

c

d

M Nf

M Nf

1

2

a

b

c

M Sf

M Sf

Page 29: Manual Senati

Rango: Llamado también IMAGEN, es el conjunto de los segundos elementos de la correspondencia que pertenecen al conjunto de llegada B.

Notación: Ran(f) = { Ξ yЄB /xЄA ν (x; y)Єf}

Ejemplo.

Sea f = {(1; 8), (3; 2), (5; 4), (9; 6)}

Dom(f) = {1; 3; 5; 9}

Ran(f) = {2; 4; 6; 8}

En conclusión: Dom(f) A Ran(f) B .

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIÓN CONSTANTE

Regla de correspondencia: f(x) = k

Df = IR Rf = k

Significa que:

f = {… (0; k), (1; k), (2; k)…}

f = {(x; k) / f(x) = k}

Gráfica:

FUNCIÓN LINEAL

Regla de correspondencia: f(x) = ax + b; (a 0)

Df = IR Rf = IR

Gráfica:

Su gráfica es una recta; con pendiente “a” e intercepto “b”.

y

x

F(x) = k

0 2 3 6

y

x

b

y

x

b

Page 30: Manual Senati

y = mx + b y = mx + b

m > 0 m < 0

m: pendiente de la recta

m = tg

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Calcular la función lineal que tenga: f(1) = 3 y además; f(2) = 2f(3)

Solución:

f(x) = mx + b

f(1) = m + b = 3 ………….()

Además:

2m + b = 2(3m + b)

2m + b = 6m + 2b

b = -4m ………….()

De () y ():

m = -1 b = 4

f(x) = -x + 4

2. Hallar los valores de “a” y “b” para que el conjunto de pares ordenados:

A = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b-a), (a + b2; a)}

Sea una función.

Solución:

Para que A sea una función se debe cumplir que dos pares ordenados no deben tener la misma primera componente, de lo contrario deben ser iguales.

Entonces:

A = {(2; 5), (-1; -3), (2; 2a - b), (-1; b-a), (a + b2; a)}

5 = 2a – b- 3 = b - a 2 = a b = -1

Reemplazando:A = {(2; 5), (-1; -3), (3; 2)} es función.

3. Sea la función:

f = {(2; 3), (3; 4), (7; 3), (-2; 6), (4; 1)}

Page 31: Manual Senati

Hallar: M = f(2) + f(3) + f(7) + f(-2) + f(4)

Solución:

Sabemos que:

x = 2 f(2) = 3x = 3 f(3) = 4x = 7 f(7) = 3x = -2 f(-2) = 6x = 4 f(4) = 1

EntoncesM = f(2) + f(3) + f(7) + f(-2) + f(4) = 3 + 4 + 3 + 6 + 1M = 17

4. Construir la gráfica de las siguientes funciones

f(x) = 2x + 6Para graficar funciones debemos tabular:

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Hallar el dominio en las siguientes funciones:f = {(2; 3), (4; 5), (6; 3), (-2; a)}

2. Hallar el rango de:f = {(2; 3), (4; 5), (6; 3)}

3. De la función: F = {(2; 3), (3; 4), (4; 1)}

Calcular:

4. Dado: F = {(0; 1), (1; 2), (2; 3)}

Hallar:

5. Hallar “ab”, si el conjunto de pares ordenados representa una función.F = {(2; 3), (3; a - b), (2; a + b), (3; 1)}

6. Construir la gráfica de las siguientes funciones.

a. f(x) = 5x – 10 b. f(x) = 7x + 3c. f(x) = 3x – 7

x y = f(x) = 2x + 6 Pares -3 y = f(-3) = 2(-3) + 6 = 0 (-3; 0)0 y = f(0) = 2(0) + 6 = 6 (0; 6)1 y = f(1) = 2(1) + 6 = 8 (1; 8)2 y = f(2) = 2(2) + 6 = 10 (2; 10)

Page 32: Manual Senati

d. f(x) = x/5 +9e. f(x) = -2x + 5f. f(x) = -x/4 + 2g. f(x) = -x + 5/4h. f(x) = 3 – 3x/2i. f(x) = -x + 3

SISTEMA DE 2 ECUACIONES Y 2 VARIABLES

Es de la forma:

a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

Donde: a1, a2, b3, b4 Є IR.

x; y; z: incógnitas.

MÉTODOS DE SOLUCIÓN

Encontramos 5 métodos de solución para este sistema de ecuaciones, los cuales son:

1. Método de reducción o eliminación

2. Método de igualación

3. Método de sustitución

4. Método de las graficas

5. Método de las determinantes.

Por el momento nos centraremos en el cuarto método de solución. Dejaremos al lector hacer un análisis de los demás métodos, ya que se harán uso después.

Para hacer uso del método de las gráficas, debemos separar las ecuaciones, luego se tabula cada ecuación por separado para que sea graficado en el plano.

La idea central es ubicar el punto por donde se cruzan (interceptan) las dos rectas. Este punto es la solución del sistema.

EJERCICIO BÁSICO

a. Encontrar los valores de x e y usando el método de las gráficas

2x + 3y = 16

3x + 8y = 31

Tabulamos por separado las ecuaciones:

Despejamos “y” en cada ecuación:

2x + 3y = 16 3x + 8y = 31

x y = (16 – 2x)/3 Pares -1 y = (16 -2(-1))/3 = 6 (-1; 6)

0 y = (16 -2(0))/3 = 5.3 (0; 5.3)

2 y = (16 -2(2))/3 = 4 (2; 4)

5 y = (16 -2(5))/3 = 2 (5; 2)

x y = (31 – 3x)/8 Pares -3 y = (16 -2(-3))/3 = 5 (-3; 5)

0 y = (16 -2(0))/3 = 3.875 (0; 3.9)

1 y = (16 -2(1))/3 = 3.5 (1; 3.5)

5 y = (16 -2(5))/3 = 2 (5; 2)

Page 33: Manual Senati

Como observamos el punto donde se intersectan es el (5; 2), por lo tanto es la solución.

Nota: Se recomienda usar hoja cuadriculada o milimetrada.

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Encontrar los valores de x e y usando el método de las gráficas.

x + y = 52x + y = 8

x + 2y = 72x – y = 4

x + y = 1x – y = 3

3x – 2y = 0x – 5y = 0

2x + 3y = 184x + 4y = 28

y = x/2x + 2y = 8

6 5.3 5 3.9 2 -3 -1 0 2 5

y = (16 – 2x)/3

y = (31 – 3x)/8

x

y =f(x)

Page 34: Manual Senati

MÉTODO ALGEBRAICO PARA RESOLVER UN SISTEMA DE 2 ECUACIONES Y 2 VARIABLES

En este caso haremos uso de los métodos anteriores que mencionamos, los cuales son:

Método de eliminación o reducción.

Método igualación

Método sustitución.

De los tres métodos, el más recomendado es el de eliminación o de reducción.

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Resolver el sistema

Solución:

Decidimos eliminar la variable “y”, aprovechando el signo menos, para conseguirlo multiplicamos la primera ecuación por 6 y la segunda ecuación por 5, obteniendo un sistema equivalente.

Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (3) y (4):

Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación (1):

2. En el cine Solar, los días martes y jueves, el boleto para adulto cuesta $ 7.50 y para un niño cuesta $ 5.00. Para una determinada función se venden en total 172 boletos. Si se recaudó $ 1185,00 en total para una función. ¿Cuántos adultos y cuántos niños asistieron al cine?Solución:Sean las variables:

x: el número de adultosy: el número de niños

Valor de boleto del adulto: $ 7.50Valor de boleto del niño : $ 5.00Se recaudan: $ 1 185

Page 35: Manual Senati

Del enunciado planteamos:x + y = 172 …………….(1) (ya que se venden 172 boletos)7.50x + 5y = 1185……………(2) (ya que se recaudan $1185)

Entonces decidimos eliminar la variable “y”, para conseguirlo multiplicamos a la primera ecuación por (-5), obteniéndose una ecuación equivalente.

Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación (1):

Por lo tanto fueron 130 adultos y 42 niños.

3. Una agencia especializada en alquilar vehículos, cobra una tarifa diaria y una por la distancia en kilómetros. El señor Núñez pagó $ 85 por dos días y 100 kilómetros, y al señor Palacios le cobraron $ 165 por tres días y 400 kilómetros. ¿cuál es la tarifa diaria de la agencia y cuál es su tarifa por kilómetros? Solución:Sean las variables:

x: tarifa por día.y: tarifa por kilometro.

El señor Núñez pagó: 2x + 100y = 85

El señor palacios pagó:3x + 400y = 165

Entonces se obtiene el siguiente sistema:2x + 100y = 85 ………..(1)3x + 400y = 165 ………..(2)

Entonces decidimos eliminar la variable “y”, para conseguirlo multiplicamos a la primera ecuación por (-4), obteniéndose una ecuación equivalente.

Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación (1):

Por lo tanto la tarifa por día es $ 35 y por km. es $ 0.15.

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN1. Encontrar los valores de “x” e “y” usando un método algebraico.

Page 36: Manual Senati

2. Resolver el sistema:

= 9

= 1

e indicar el valor de “x + y”

3. Resolver:3 (x + 2y) + 2 (2x – y) = 13

5 (2x + y) – 3 (x + 3y) = 29

e indicar: “x + y”

4. Resolver el sistema:

= 21

= 25

e indique el valor de “x – y”.

5. Resolver el sistema:

= 1 – a2

= a – ab 2

y hallar y/x.

6. Resolver:

= a + b

= 2

obtener: x + y

7. Resolver el sistema:

3x – (y – 3) = 4

2y + (x – 4) = 8

e indique el producto de “x.y”

Page 37: Manual Senati

8. Dado el sistema:2ax – b2y = ab

2x + by = a

Calcular: “y”

9. Resolver y dar el valor de (x/y)

= a

= b

10. Encontrar el valor de “y” en el sistema de ecuaciones simultáneas:

– 7y = 1

+ 7y = 5

11. Hallar “x” en:x + 1 = (2y)–1

x – 1 = (y)–1

12. En mi clase están 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buen comportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en total han sido 55 regalos, ¿Cuántos chicos y chicas están en mi clase?

13. Héctor y Raúl guardan su dinero en una cuenta mancomunada. Al cabo de un año tienen en total S/. 8000, pero a Héctor le corresponde el triple de dinero que a Raúl. ¿Cuánto dinero posee cada uno?

14. En mi clase somos 33 alumnos entre hombres y mujeres. Se recaudó S/. 1160 para ayudar a los damnificados por los huaycos de esta temporada. Si cada alumno colaboró con S/. 40 y cada alumna con S/. 30. ¿Cuántas chicas hay en mi clase?

15. Si el ancho de un terreno rectangular se aumenta 10 metros y su longitud disminuye 10 metros, entonces el área aumenta 400 m2, si el ancho disminuye 5 metros y la longitud aumenta 10 metros, entonces el área disminuye 50 m2. Calcule el área del terreno.

16. La cantidad de cerca necesaria para encerrar un campo rectangular es de 3000 metros. ¿Cuáles son las dimensiones del campo, si se sabe que la diferencia entre la longitud y la anchura es de 50 metros?

17. Hace 18 años la edad de Ronaldo era el doble de la edad de Kaká, dentro de nueve años la edad de Ronaldo sólo será 5/4 la edad de Kaká. ¿Cuántos años actualmente tienen Ronaldo y Kaká?

18. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de un estante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro. ¿Cuántos libros había inicialmente?

Page 38: Manual Senati

19. Pienso iniciar un negocio con un amigo y voy a aportar el doble de dinero que mi socio. Si yo aportara $ 10 000 más entonces mi aporte sería el triple del de mi socio, ¿cuánto está aportando mi socio?

20. Una compañía que fabrica sillas de madera hace dos tipos de silla. El modelo básico requiere 1 hora para ensamblarse y 0.5 horas para pintarse, mientras que el modelo de lujo requiere 3.2 horas para ensamblaje pero sólo 0.4 horas para pintura. En un día particular, la compañía dedica 46.4 horas – persona para ensamblar y 8.8 horas – persona para pintar, ¿Cuántas sillas de cada tipo se pueden hacer exactamente sin desperdiciar recursos?

21. Jean tiene una deuda en el banco “Agrario”, que asciende a S/. 900, él realiza este pago con billetes de S/. 50 y de S/. 20. ¿Cuántos billetes de S/. 20 se han utilizado si se sabe que hay

MÉTODO ALGEBRAICO PARA RESOLVER UN SISTEMA DE 3 ECUACIONES Y 3 VARIABLES

Al igual que proceso anterior usaremos los métodos estudiados, nos referimos a los métodos algebraicos.

EJERCICIOS BÁSICOS:

Resolver los sistemas de ecuaciones y encontrar los valores de “x”; “y” y “z”.

1.

Solución:

Reemplazando (4) en (1):

Reemplazando (4) en (2):

Reemplazando (4) en (3):

CS = {1; 2; 3}

2.

Solución:

Page 39: Manual Senati

De las ecuaciones (1) y (2), decidimos eliminar la variable “z”, para conseguirlo multiplicamos a la segunda ecuación por (2), obteniéndose una ecuación equivalente.

De las ecuaciones (2) y (3), decidimos eliminar la variable “z”, para conseguirlo multiplicamos a la segunda ecuación por (3), obteniéndose una ecuación equivalente.

De las ecuaciones (4) y (5), decidimos eliminar la variable “y”, para conseguirlo multiplicamos a la cuarta ecuación por (-3), obteniéndose una ecuación equivalente.

Reemplazamos el valor de “x” en la ecuación (4):

Reemplazamos el valor de “x” y “y” en la ecuación (1):

CS = {3; 5; 6}

Page 40: Manual Senati

3. La suma de las edades de tres hermanos es 35 años. El mayor tiene 2 veces la edad del menor y el triple de la edad del mediano excede en 1 al duplo de la edad del mayor. ¿Cuál es la edad de cada uno?Solución:

Sean las edades de los tres hermanos: x; y; z Mayor: x añosMediano: y añosMenor: z años

Del problema, planteamos:x + y + z = 35…………(1)

x = 2z…………(2) 3y – 2x =1 …………..(3)

De las ecuaciones (1) y (2), decidimos eliminar la variable “z”, para conseguirlo multiplicamos a la primera ecuación por (2), obteniéndose una ecuación equivalente.

De las ecuaciones (3) y (4), decidimos eliminar la variable “x”, para conseguirlo multiplicamos a la tercera ecuación por (3) y a la cuarta ecuación por (2), obteniéndose una ecuación equivalente.

Reemplazamos el valor de “y” en la ecuación (4):

Reemplazamos los valores de “x” y “y” en la ecuación (1):

El mayor tiene 16 años, el mediano tiene11 años y el menor tiene 8 años.

4. A, B y C pueden hacer un trabajo en 10 días; A y B lo pueden hacer en 12 días; A y C en 20 días. ¿Cuántos días tomarían cada uno de ellos para hacerlo separadamente?

Solución:

Del problema:

A, B y C hacen el trabajo en 10 días A + B +C = 10

A y B hacen el trabajo en 12 días A + B = 12

A y C hacen el trabajo en 20 días A + C = 20

Page 41: Manual Senati

En 1 día harán el trabajo:

A, B y C:

A y B:

A y C:

Entonces tenemos el siguiente sistema:

Reemplazando la ecuación (2) en la ecuación (1).

Pero es en un día, esto quiere decir que C se demora 60 días solo.

Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (1).

Pero es en un día, esto quiere decir que B se demora 20 días solo.

Reemplazando el valor de C en la ecuación (3).

Pero es en un día, esto quiere decir que A se demora 30 días solo.

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I. Resolver los sistemas de ecuaciones y encontrar los valores de “x”; “y” y “z”.

1.

Page 42: Manual Senati

2.

3.

4.

5.

II. Resuelve los siguientes problemas:

1. La suma de tres números es 36, la suma de los dos primeros es 21 y la suma de los dos últimos es 24. Hallar el mayor de dichos números.

2. La suma de las edades de una señora, su esposo y su hija es 84 años. La quinta parte de la edad de la hija es igual a la diferencia entre las edades del padre y de la madre. La suma de las edades de la madre y la hija es igual a 4/3 de la edad del padre. ¿Cuál es la edad de cada persona?

3. La suma de las tres cifras de un número es 12. La suma de las cifras centenas y decenas excede en 2 a la cifra de las unidades. Si al número se suma 198, el nuevo número tiene las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número?

4. La suma de tres números es 13. El triple del menor mas el mediano excede en 5 al duplo del mayor. El triple del mayor mas el duplo del menor excede en 4 a cuatro veces el mediano. Hallar los números.

5. De los tres ángulos de un triángulo ABC, el ángulo A excede en 30º al ángulo B, y este en 30º al ángulo C. ¿qué clase de triángulo es el triángulo ABC?

6. Un depósito se pueden llenar por los conductos A y B en 70 horas, por los conductos A y C en 84 horas y por los conductos B y C en 140 horas. ¿Qué tiempo demorarán los 3 juntos en llenar el depósito?

7. Tres niños juegan canicas y entre todos reúnen 55. El triple de las del primero es igual al doble de las del segundo y sumando 10 al doble de las del tercero resultan iguales a cinco veces las del primero. ¿Cuántas canicas tiene cada uno?

8. En una caja de lápices de colores hay rojos, verdes y amarillos; los rojos mas los verdes suman 35; los verdes y los amarillos suman 56 y los rojos mas los amarillos suman 51. ¿Cuántos hay de cada color?

MATRICES Y DETERMINANTES

MATRIZ

Es un conjunto de números, letras, símbolos, etc. que están ordenados en filas y columnas, encerrados entre corchetes ó paréntesis.

Page 43: Manual Senati

Ejemplos:

; ; ;

NOTACIÓN Columnas

M = filas

N =

El 4 es el elemento que pertenece a la tercera fila y a la segunda columna esto se denota por:

4 = n32

“El elemento de la fila i, columna j, se representa por nij”

Una matriz en general, se escribe:

A = =

OBSERVACIONES

a. Si una matriz tiene “m” filas y “n” columnas, se dice que es una matriz de orden m x n.En el ejemplo anterior A es un matriz de orden 3 x 4.

b. Si el número de filas es igual al número de columnas entonces se dice que la matriz es cuadrada y que su orden es “n”.

Ejemplo:

M = es una matriz cuadrada de orden 2.

c. Si A es una matriz cuadrada, la diagonal principal de A, está formada por los elementos aij.

Diag (M) = {2; -4}

d. Se llama traza de una matriz a la suma de los elementos de su diagonal principal.

Fila i (i = 3)

Columna j (j = 2)

Fila 1 : 3, -2, 0, 2, 1

Fila 3 : -1, 4, -5, 3, 4

Columna 1 : 3, 2, -1, 5

Columna 3 : 0, -2, -5, 3

Número de columnas

Número de filas

Letra de la matriz (minúscula)

Page 44: Manual Senati

Traza (M) = 2 + (-4) = -2

MATRICES IGUALESDos matrices A y B son iguales, si lo son todos los elementos que ocupan las mismas posiciones, es decir: aij = bij, para todo i, j.Ejemplos:

A. =

B. Para que: = se debe verificar que:

a = 2, x = -2, y = 3, b = -1.

DETERMINANTE

Es un número real que se obtiene de una matriz cuadrada. Cuya notación es:

|A| o det(A)

DETERMINANTES DE SEGUNDO ORDEN

Sea la matriz:

EJERCICIO BÁSICO:

Matriz

Determinante

|A| = 5(2) – 4(3) = -2

Valor del Determinante

DETERMINANTES DE TERCER ORDEN

Emplearemos para el cálculo de estos determinantes la REGLA DE SARRUS, cuyo procedimiento es el siguiente:

Se repite las dos primeras filas (o las dos primeras columnas) a continuación de las existentes, después de lo cual:

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal principal y las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo S1.

Page 45: Manual Senati

Se suman los resultados de multiplicar los elementos de la diagonal secundaria y las dos paralelas a ellas que tengan 3 elementos, obteniendo S2.

- El valor del determinante estará dado por: |A| = S1 – S2

Así: Si el determinante a calcular fuera:

MÉTODO 1

Por la REGLA DE SARRUS horizontal, volvemos a escribir las dos primeras columnas en el lado derecho :

DS

a b c a b

m n p m n = (ant + bpr + cms) – (ncr + spa tmb)

r s t r s DP DS

MÉTODO 2

Por la REGLA DE SARRUS vertical, volvemos a escribir las dos primeras filas en la parte inferior :

a b c

m n p

r s t = (rbp + msc + ant) – (ncr + asp + mbt)

a b c DP DS

m n p

EJERCICIO BÁSICO:

Hallar el determinante:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Entonces

DP

DS

DP

Page 46: Manual Senati

1 2 3 1 2

4 5 6 4 5 = (1x5x9 + 2x6x7 + 3x4x8) – (7x5x3 + 8x6x1+ 9x4x2)

7 8 9 7 8 = 225 – 225 = 0

Valor de la determinante

Dejaremos como práctica para el lector, que encuentre la determinante aumentando las dos primeras filas.

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Halla el determinante de cada matriz siguiente:

І A І = 6x2 – (-2)x3 = 18 І A І =

18

2. Calcular los siguientes determinantes

Page 47: Manual Senati

3. Hallar las determinantes de las siguientes matrices:

4. Determine el (los) valores de “x” en cada caso

5. Hallar , sabiendo que:

Page 48: Manual Senati

6. Calcular:

7. Simplificar:

=

8. Indicar el valor de:

REGLA DE CRAMER

La regla de Cramer, sirve para resolver sistema de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

REGLA DE CRAMER PARA DOS VARIABLES

Sea el siguiente sistema:

Donde: a1, a2, b1, b2, c1, c2 ЄIR

x; y: variables

Por determinantes obtenemos:

;

Donde:

Determinante del sistema:

Determinante con respecto de la variable “x”:

Determinante con respecto de la variable “y”:

EJERCICIO BÁSICO:

Page 49: Manual Senati

a. Utiliza la regla de Cramer para resolver el sistema:

Tomando los coeficientes de las variables “x”, “y” para encontrar la determinante del sistema, así:

Luego tomamos los coeficientes que se encuentran después del igual (en azul) y los coeficientes de las variables de “y”, para encontrar la determinante de “x” ( ).

Luego tomamos los coeficientes de las variables de “x”, luego los coeficientes que se encuentran después del igual (en azul), para hallar la determinante de “y” ( ).

Las respuestas son:

;

CS = { ; }

REGLA DE CRAMER PARA TRES VARIABLES

Sea el siguiente sistema:

Donde: a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3, d1, d2, d3 ЄIR

Page 50: Manual Senati

x, y, z: variables

Por determinantes obtenemos:

; ;

Donde:

Determinante del sistema:

Determinante con respecto de la variable “x”:

Determinante con respecto de la variable “y”:

Determinante con respecto de la variable “z”:

EJERCICIO BÁSICO:

a. Uso de la regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales.

Hallaremos la determinante del sistema:

, , ,

Aumentaremos las dos primeras columnas (método de Sarrus)

= (-5) + (0) + (0) – (4) – (0) – (0) =-9

= (-15) + (0) + (0) – (0) – (0) – (0) = -15

= (5) + (18) + (0) – (- 4) – (0) – (0) = 27

= (0) + (0) + (0) – (-6) – (0) – (0) = -6

Page 51: Manual Senati

Radicando

Raíz

Respuesta:

CS = { ; ; }

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Mediante la regla de CRAMER resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

RADICACIÓN

En este capítulo haremos uso de las operaciones aritméticas con radicales.

DEFINICIÓN

Se define la raíz n-ésima principal de un número real “a” denotado por:

;

“ n ” par a b son mayores iguales a 0.

“ n ” impar a b son reales.

Notación:

Recordar la ley de los signos:

Si n es par: Si n es impar:

Si n es par: Si n es impar:

Índice

Page 52: Manual Senati

OPERACIONES CON RADICALES

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Simplificar:

2. Reducir: a = = = = = a =

b =

MCM (3; 4; 12) = 12

Homogenizando los índices de los radicales.

b =

=

=

=

b =

c =

c =

d =

d =

e =

e =

e =

e =

Page 53: Manual Senati

f = f = f =

g =

MCM (3; 4; 12) = 12

g =

=

=

g =

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓNEfectuar las siguientes operaciones:

a =

c =

d =

e =

f =

h = 3

i =

j =

k =

l =

m =

n =

ñ =

o =

p =

Page 54: Manual Senati

q =

r =

s =

t =

u =

v =

w =

x =

y =

z =

A =

B =

C =

D =

E =

F =

G =

H =

RACIONALIZACIÓN

Es el proceso que consiste en transformar a uno de los componentes (denominador) de una fracción que está en forma irracional en otra equivalente parcialmente racional.

CASOS

Se presentan los siguientes casos de racionalización:

1er Caso: Cuando el denominador irracional es un monomio, es decir si:

f

El factor racionalizante es: , pues = = a

Page 55: Manual Senati

EJERCICIOS BÁSICOS:

2do Caso: Cuando el denominador irracional es un binomio cuyos radicales tienen índice 2, es decir:

f

El factor racionalizante de:

i) es . Pues: . = = a – b

ii) es . Pues: . = = a – b

En éste caso, a los factores racionalizantes se les llama expresiones conjugadas.

EJERCICIOS BÁSICOS:

3er Caso: Cuando el denominador irracional es un binomio cuyo radicales tienen índice 3, es decir:

f =

El factor racionalizante de:

i) pues:

ii) pues:

Page 56: Manual Senati

EJERCICIOS BÁSICOS:

Para racionalizar el denominador de una expresión que contiene tres radicales, hay que verificar dos operaciones, tal como se muestra:

Racionalizar el denominador de:

Solución:

Consideremos el denominador como un binomio . Se multiplican los

dos términos de la fracción por la conjugada de esta expresión que es

y tendremos:

(Multiplicando ambos términos nuevamente por la conjugada del denominador)

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Reducir:

Solución:

Page 57: Manual Senati

2. Indicar el denominador racional de:

Solución:

Haremos un pequeño artificio en el denominador.

Agrupamos convenientemente en el denominador y racionalizamos cada expresión por separado:

El denominador es: 1

3. Racionalizar:

Solución:

Haremos un artificio en el denominador, para simplificarlo con la expresión que se encuentra en el numerador.

Page 58: Manual Senati

4. Simplificar:

Solución:Usaremos las propiedades de fracción

Racionalizando el denominador:

5. Al racionalizar , se obtiene:

Solución:Agrupando en dos grupos en el denominador.

6. Al racionalizar , se obtiene:

Solución:Haciendo un artificio en el denominador, luego factorizando y racionalizando.

Page 59: Manual Senati

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Al racionalizar se obtiene una expresión de la

forma: . Calcular: “a + b”.

2. Al racionalizar obtenemos una expresión de la forma:

proporcionar el valor de “k”.

3. Racionalizar:

4. Reducir:

5. Indicar el denominador racional de:

6. Racionalizar: , Dar su denominador:

7. Simplificar:

8. Efectuar:

9. Dividir 1 entre:

10. Dar el denominador racionalizado de:

11. Racionalizar y simplificar:

12. Racionalizar . Indicar el denominador:

13. Al racionalizar , se obtiene:

14. Efectuar:

15. Simplificar:

16. Resolver:

17. Hallar:

Page 60: Manual Senati

18. Determinar: E2 – 2. Si:

19. Hallar “x”: si x 0, x2 + mx + m = 0

Además:

20. Racionalizar:

21. Si:

Hallar “a”

22. Hallar: “E2 + 1”

23. Hallar:

24. Racionalizar:

25. Simplificar: se obtiene:

26. Racionalizar:

27. Racionalizar:

LOGARITMOS

En la actualidad, los logaritmos se aplican en los diferentes campos profesionales, por ejemplo en la Administración, Economía, Ingeniería, Biología, Medicina, etc. En donde el cálculo se reduce al uso de las calculadoras o procesadores electrónicos. Sin embargo los logaritmos conjuntamente con su inversa la función Exponencial, se considera como una de las más importantes en Matemática, por una serie de razones que van más allá de su utilidad como instrumento del cálculo aritmético.

DEFINICIÓN

(b > 0 b 1)

Page 61: Manual Senati

Donde:

x: resultado (logaritmo)

b: base del logaritmo , b > 0 b 1

N: número real y positivo

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE LOS LOGARITMOS

N > 0 ; b > 0 b 1

Ejemplos:

6log6

3 = 3 7log

75 =

PROPIEDADES GENERALES DE LOS LOGARITMOS

1)

Ejemplos:

log51 = 0; log81 = , ln1 =

log44 = ; lne = , ln(e + 3)(e + 3) =

2)

Ejemplos:

log335 =

log24 =

3)

Ejemplos:

log2 =

log25 =

4)

Ejemplos:

log381 = log334 = 4log33 = 4

log2512 =

Page 62: Manual Senati

log5 =

NOTA:

Por lo tanto, deducimos que:

logbAn

Ejemplos:

5) n 2 ; n Z+

Ejemplos:

6)

Ejemplos:

log27 . log52 . log35 . log73 = log77 = 1

log38 . log85 . log59 =

ANTILOGARITMOS

Ejemplos:

antilog23 = 23 = 8

antilog25 = 25 = 32

PROPIEDADES

1) antilogb (logbN) = N; N > 0 b > 0 b 1

2) logb(antilogbx) = x ; x R b > 0 b 1

Page 63: Manual Senati

Ejemplos:

antilog5(log5log216) = log216 = 4

log3(antilog3400) = 400

EJERCICIOS BÁSICOS.

1. Hallar “x” en:

1. Indicar el valor de:

2. El valor de “x” en la ecuación:

3. Resolver: e indique el producto de las soluciones:Solución:

Factorizando:

De donde obtenemos:

x = 3 ν x = 2

Entonces el producto es: 2x3 = 6

4. Resolver: Solución:Hacemos uso de la definición del antilogaritmo.

5. El valor de la expresión: es:

Solución:

Page 64: Manual Senati

Se toma solo el valor de x = 4, ya que no puede tomar el valor de cero, además los otros dos valores son complejos.

6. Calcular “n” en: *Solución:

*

Solución:

7. El precio P de una vela varía en función de su longitud x según P(x) = log 4x, donde 0,25 pies < x < 4 pies.

a) Halla el precio de una vela que mide 1 pie.b) Qué longitud tiene una vela que cuesta S/ 0,8Solución:

a) Para x = 1pieTenemos: P(1) = log4(1) = log 4 = 0.60 El precio de la vela es S/. 0.60

b) El precio es: P(x) = 0.8

Entonces la longitud es de 1.6 pies, además se encuentra entre 0.25 pies y 4 pies

PRÁCTICA: EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. Aplicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:

a) =

Page 65: Manual Senati

b) =

c) =

d) =

e) =

2. Determinar el valor de:E = Log10 + Log1000 + 1

3. Hallar “x” en cada uno de los siguientes logaritmos:a) Log39 = xb) Log7343 = xc) Logx25 = 2d) Logx36 = 2

4. Hallar: “E”. Si:

5. Indicar el valor de:a) Log327 =

b) =

c) =

6. Calcular:

7. Simplificar:

8. Reducir: (Log23 + Log25) . Log152

9. Indicar el valor de:

10. Reducir:

11. Calcular: 3Log(2x) + 2Logx = Log1/4

12. Resolver: log2x – 7logx = -12 e indicar el producto de soluciones:

13. Luego de resolver: 1+ 2Logx – Log(x + 2) = 0, Indicar sus soluciones:

14. Resolver: Log(2x + 1) – Log(2x - 1) = 2Log3 – 3Log2

Page 66: Manual Senati

15. Resolver: Log(x - 1) + Log(x - 2) = 2

16. Determinar las siguientes expresiones:a) Antilog27 =b) Antilog53 =c) Antilog3log392 =

d) Log6 Antilog68 =

17. Los valores de “x” que satisfacen a la ecuación:

son:

18. Usando calculadora, calcule los valores de los logaritmos siguientes:a. log 340

b. log 1004

c. log 0,34

d. log 4,5863

e. log 8374,4

f. log 567,4453

g. log 33533

h. log 0,04737

i. log 0,0004

19. Compruebe las igualdades siguientes sin usar calculadora:

7 log + 5 log + 3 log = log 2

3log + log - 2 log = log 2

20. Si el peso de una mujer embarazada aumenta según la fórmula P(x) = 52 + 1,3x.

Qué peso tiene?

a) Al cabo de 3 mesesb) Al cabo de 7 mesesc) Al cabo de 9 meses

21. Calcular “n” en: 242000 = (1 + 0,05)n

2 = (1 + 1/100)n

10985 =5000 (1 + 360/1200)n

22. Un aeroplano aterriza en una pista. Su velocidad v (m/s) en el instante t segundos después de aterrizar está dada por la ecuación:

V = 50 – 500,09t

Page 67: Manual Senati

a) Calcular la velocidad del aeroplano al aterrizar.b) Que velocidad tiene el aeroplano a los 5 segundos.

23. La masa m (en gramos) de una pastilla efervescente que calma el dolor de estomago en un determinado instante t (segundos) viene dado por:

M = 150x10-0.2t

a) Que masa tiene la tableta inicialmente.b) Qué masa tiene después de 2 segundos de haber sido tomada.c) Si la masa se ha reducido a 0,05 gramos, ¿Cuánto tiempo ha pasado desde que

la tomó?

Page 68: Manual Senati

RAZONES Y PROPORCIONES

RAZÓN O RELACIÓN Es el resultado de la composición que se establece entre las cantidades dadas. Dicha comparación se puede dar de dos formas:

1) Hallando en cuanto excede una cantidad respecto de otra (por medio de la resta).

Ejemplo: 6 - 2 = 4

2) Hallando en cuanto contiene una cantidad a otra (por medio de la división).

Ejemplo: 6/2 = 3

Por lo tanto decimos que una razón puede ser: Aritmética o por diferencia, y Geometría o por cociente.

RAZÓN ARITMÉTICA O POR DIFERENCIAEs la diferencia que se da entre 2 cantidades. Como su operación básica es la sustracción o resta, La Razón Aritmética se puede dar de 2 formas: separando las cantidades por el signo de la sustracción (-) o por medio de un punto (.) Ejem.:

* Se lee: “6 excede a 2 en 4”; “6 es mayor que 2 en 4”; “2 es menor que 6 en 4”, etc.

PROPIEDADES DE LA RAZÓN ARITMÉTICA Son las mismas propiedades que en la resta o sustracción.

1) Si al antecedente de la R.A. se le suma o resta una cantidad, entonces el valor de la Razón quedará aumentado o disminuido en dicha cantidad, respectivamente.Ejemplo:

2) Si el consecuente de la R.A. quedase aumentado o disminuido en cierta cantidad, entonces el valor de la Razón quedara disminuido, en el primer caso, o aumentado, en el 2do caso, en dicha cantidad. Ejemplo:

Page 69: Manual Senati

3) Si al antecedente y al consecuente de una R.A. Se le suma o se le resta una misma cantidad, entonces el valor de la Razón no se verá afectado (permanecerá constante).Ejemplo:

RAZÓN GEOMÉTRICA O POR COCIENTEEs la Razón que se establece por medio del cociente que se obtiene al dividir 2 cantidades. Se pueden representar de 2 modos: en forma de fracción o por medio de 2 puntos, signo de la división (a/b ó )

Ejemplo:

* Se lee “6 contiene a 2 en 3”; “6 contiene 3 veces a 2”; “2 está incluido en 6, 3 veces” etc.

PROPIEDADES DE LA RAZÓN GEOMÉTRICA Son las mismas propiedades que en las fracciones.

1) Si el antecedente de la R.G. , queda multiplicada o dividida por una cantidad, el valor de la Razón quedará también multiplicado o dividido por la misma cantidad, respectivamente. Ejemplo:

2) Si el consecuente de un R.G. queda multiplicado o dividido, por una cantidad entonces el valor de la Razón quedará dividido, en el 1er caso; o multiplicado, en el 2do caso, por esa misma cantidad. Ejemplo:

3) Si el antecedente ya la consecuente de una R.G. se les multiplica o se les divide por una misma cantidad, entonces el valor de la Razón permanecerá constante. Ejemplo:

A ambos términos o se les suma o se les

resta la misma cantidad

Page 70: Manual Senati

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Hallar la razón aritmética y geométrica en cada caso:

a) 60cm y 15cm

b) 5.6 mm y 2.8 mm

c)

Solución.

a) 60cm – 15cm = 45cm

60cm : 15cm = 4cm

b) 5.6mm – 2.8mm = 2.8mm

5.6mm : 2.8mm = 2mm

c)

2. La razón de los precios de dos productos es 5/6, si el menor precio es 20 soles. ¿Cuál es el otro precio?

El otro precio es 24 soles.

3. La longitud de dos piezas metálicas están en relación de 5 a 7, la pieza metálica más grande es 42 cm. ¿hallar la otra pieza metálica?

La otra pieza metálica tiene una longitud de 30 cm.

Page 71: Manual Senati

4. En una razón el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determinar el antecedente.

El antecedente es 3.

PROPORCIONESSon igualdades que se establecen entre 2 Razones de la misma clase. Las proporciones pueden ser:

PROPORCIONES ARITMÉTICAS O EQUIDIFERENCIA Es la igualdad que se establece entre 2 Razones Aritméticas, Una Equidiferencia se escribe de 2 formas siguientes:

a – b = c – d (v) a . b : c . d ; a ; b ; d Z+

Términos de una P.A.

PROPIEDAD FUNDAMENTAL

“En toda equidiferencia la suma de los extremos es igual a la suma de los medios”.

Si a – b = c – d es P.A. a + d = c + b.

Ejemplo:. 8 – 6 = 11 – 9 9 + 8 = 11 + 6 17 = 17

CLASES DE EQUIDIFERENCIAS

1) E. Directa: Es aquella cuyos Términos medios no son iguales

Forma General: a – b = c – d

Ejemplo: 9 – 7 = 8 – 6Donde:

* d: 4ta diferencial respecto a “a”; “b”; “c”

* a; b; c: 3era diferencial o Tercia Diferencial, respecto de “a” ; “b” ; “c” (abc d).

2) E. Continua: Es aquella cuyos Términos medios son iguales.

Forma General: a – b = b – c

Page 72: Manual Senati

Ejemplo: 11 – 8 = 8 – 5Donde:

* b: Media diferencial respecto de “a” ; “b” ; “c”

* a; c : 3era ó Tercia diferencial, respecto a “a” ; “b” ; “c” (abc).

Obs: Media Diferencial o Aritmética

PROPORCIONES GEOMÉTRICAS O EQUICOCIENTES Son las igualdades que se establecen entre 2 Razones geométricas. Una Proporción geométrica se puede representar de 2 maneras : a : b :: c : d (v) (a/b)= (c/d).

TÉRMINOS DE UNA P.G:

;c= Antecedentesb;d= Consecuentesa;d= T. extremosb;c= T. Medios

: b :: c : d a1°miembro 2°miembro

a

Z +

Se lee “a es a b como c es a d”

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: “En todo equicociente el producto de los extremos es igual al producto de los medios”.

Ejemplo:

CLASES DE EQUICOCIENTES

1) E. Discreta: aquella cuyos Términos medios no son iguales

Ejemplo: 10 : 2 = 125 : 25

Forma General: a : b = c : d

Donde:

* d : 4ta proporcional respecto de a “a” ; “b” ; “c”

* a ; b ; c : 3era o tercia proporcional, respecto de “a” ; “b” y “c” (abcd).

2) E. Continua: aquella cuyos Términos medios son iguales .

Ejemplo: 32 : 16 = 16 : 8

Page 73: Manual Senati

Forma General: a : b = b : c

Donde:

* b: Media proporcional respecto de “a”; “b”; “c”

* a ; c : 3era o Tercia proporcional, respecto a “a” ; “b” y “c” (abc).

Obs: Media Proporcional o Geométricas

TRANSFORMACIONES DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Una P.G. puede sufrir hasta 8 transformaciones distintas y legitimas entre sí (una transformación es legítima cuando su propiedad fundamental permanece constante en valor numérico).

Sea la proporción Geométrica: sus variaciones legítimas serán.

Ejemplo: la proporción puede escribirse de 8 modos:

Obs: Cuando la Progresión Geométrica es continua, las formas distintas serán 4: todas legítimas.

COMPARACIÓN DE PROPORCIONES GEOMÉTRICAS 1) Si 2 proporciones geométricas tienen razón común, las otras 2 Razones

formarán proporción geométrica.

Ejemplo:

2) Si 2 proporciones geométricas tiene antecedentes iguales, los consecuentes formarán proporción geométrica.

Ejemplo:

3) Si 2 proporciones geométricas tienen consecuentes iguales, los antecedentes formarán proporción geométrica.

Ejemplo:

Page 74: Manual Senati

Multiplicando antecedentes y consecuentes

4) El producto que se obtiene al multiplicar, término a término, distintas proporciones geométricas da lugar a una proporción geométrica. Ejemplo:

5) Con los 4 Términos de 2 productos iguales se puede formar una proporción geométrica.

Ejemplo: 6 x 3 = 2 x 9

PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

Sea la proporción se cumple:

OPERACIONES CON LAS PROPORCIONES GEOMÉTRICAS

EJERCICIOS BÁSICOS:

2. Formar las proporciones que resulten en cada caso:

a. 3 x 4 = m x n

b. aX3 = 5b3

Siendo:

R = el valor de la Razón K = constante (k Z +)

Page 75: Manual Senati

c. X x Y = a x b

Solución:

a.

b.

c.

3. Hallar el término desconocido:

a.

b.

c.

d.

e.

Solución:

a.

b.

c.

Page 76: Manual Senati

d.

e.

4. Calcular la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50; S/. 34 y S/.29.

Solución:

La cuarta diferencial es el cuarto término en la proporción:

50 – 34 = 29 – x x = 13

Entonces 13 es la cuarta diferencial de 50; 34 y 29.

5. Si , además: . Calcular “b – a”

Solución:

Del primer dato se deduce que:

a = 7k y b =11k

Luego lo reemplazamos en el segundo dato.

(7k)(11k) = 308 77k2 = 308

k2 = 4 k = 2

Se pide: b – a = 11k – 7k = 4k = 4(2) = 8

6. El número de soles de Andrés es al de Beatriz, como 2 es a 3 y el de Beatriz es al de Carlos, como 4 es a 5. Sabiendo que Andrés y Carlos tienen juntos S/. 92 ¿Cuánto dinero tiene Beatriz?

Solución:

Sea el número de soles de Andrés: S/. A

Sea el número de soles de Beatriz: S/. B

Sea el número de soles de Carlos: S/. C

Sean las proporciones:

Page 77: Manual Senati

Multiplicando ambas proporciones miembro a miembro.

Además tenemos que:

A + C = 92

Reemplazando

A + C = 8k + 15k = 92 23k = 92 k = 4

Hallando el dinero de Beatriz:

Entonces Beatriz tiene S/. 48

7. Si a cada uno de los 4 términos de una proporción se le quita una misma cantidad se obtiene 20, 28, 32 y 44. Hallar la suma de los términos de dicha proporción.

Solución:

Sea la proporción:

Sea x la cantidad a quitar a cada término:

a – x = 20 a = 20 + x

b – x = 28 b = 28 + x

c – x = 32 c = 32 + x

d – x = 44 d = 44 + x

Entonces en la proporción:

Page 78: Manual Senati

Nos piden:

a + b + c + d = 20 + x + 28 + x + 32 + x + 44 + x

a + b + c + d = 140

SERIE DE RAZONES EQUIVALENTES (S.R.E.)

Son las igualdades que se establecen entre los grupos de proporciones que poseen la misma constante de Razón. Puede ser de 2 formas:

1) S.R.E. Aritméticas: Si la igualdad se establece entre 2 o más proporciones aritméticas. Ejemplo: 8 – 5 = 7 – 4 = 11 – 8 = 6 – 3 =........

18 – 15 = 15 – 12 = 12 – 9 = 9 – 6 =........

2) S.R.E. Geométricas: Si la igualdad se establece entre 2 ó más proporciones geométricas.

Ejemplo:

PROPIEDADES DE LAS S.R.E.G:

(*)

Se Cumple :

Donde:

K = Cte. De proporcionalidad (kZ+) a = 1° antecedente N = # Total de Razones geométricas = Ultimo consecuente.

(*)

(*)

Donde: k = cte. De proporcionalidad ( Q +) . ; P Z+

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Hallar el termino desconocido en :a. 50 – 42 = 25 – xb. 16.5 – 8 = x – 2c. 45.3 – x = 18 – 0.03

Page 79: Manual Senati

d. x – 0.4 = 25 – 0.004e. 50 – x = x – 14.26

2. = Siendo x – m = 10, y + n =30, y – n = 20, hallar x + m

3. = Sabiendo que b + 5 = 15, hallar a.

4. = Siendo m + n = 18, ¿Cuánto vale n?

5. = Siendo a – b = 15, ¿Cuánto vale a?

6. = = Sabiendo que c + d + e = 120, hallar c, d y e.

7. = = = Sabiendo m + n + x + y = 14, hallar m, n, x e y.

8. Dos números están en relación de 3 1/4 a 5 1/5. Si la deferencia de ellos es 3030. Indicar uno de los números.

9. La suma de 2 cantidades inversas es a la suma de las cantidades como 3 es a 4. Si una de ellas es el triple de la otra. Hallar la mayor.

10. La suma de 3 números es 500, la razón del 1º con el 2º es 5/8 y la diferencia de los mismos es 111. Hallar el tercer número.

11. Dos números están en la relación de 2 a 5 pero, agregando 175 a uno de ellos y 115 al otro, ambos resultados son iguales. Hallar el número mayor.

12. La suma de 2 números es 270 y cuando se le agrega 65 a cada uno de ellos su razón es 3/5. Hallar el número mayor.

13. Sabiendo que:

= y

a2 + b2 + c2 + d2 =221 Hallar: a + b + c + d

14. La suma, diferencia y el cociente de 2 números están en la misma relación que 9, 7 y 2. Hallar el mayor de dichos números.

15. Dos números enteros son entre sí como 10 es a 9. Si la suma de la mitad del mayor y la tercera parte del menor es 72. Hallar el mayor de los dos números.

16. Se tiene 3 números enteros A, B y C tales que A es a B como 4 es a 5 y es a C como 10 es a 11. Si la diferencia entre A y C es 36. ¿Cuál es el mayor de estos dos números?

17. Se tiene la siguiente serie de razones geométricas iguales.

Page 80: Manual Senati

= =

Hallar la suma de los antecedentes. Si: 3a + 2b – c =76

18. Si el valor de la razón aritmética y geométrica de dos números es 5 ¿Cuál es la suma de dichos números?

19. Dada la proporción: =

Se cumple que:a + b = 15c + d = 25b + d =16Hallar el valor de “a”

20. En una proporción aritmética, la suma de los cuadrados de los términos medios es 34 y la suma de los extremos es 8. Hallar la diferencia entre los términos medios.

21. Cuanto se debe aumentar simultáneamente a cada uno de los números 44, 8, 62 y 14 para que constituyan una proporción geométrica.

22. La razón aritmética de dos números es a razón geométrica como el menor es a 7/4. En qué relación se encuentra los números.

23. Se tiene cierto número de bolas blancas, rojas y azules, donde se observa que por cada 4 blancas hay 5 rojas y por 7 rojas hay 11 azules. Si la cantidad de azules excede a las rojas en 140. ¿En cuánto excede las bolas azules respecto a las bolas blancas?

24. De un grupo de niños y niñas se retiran 15 niñas quedando 2 niños por cada niña. Después se retiran 45 niños y quedan entonces 5 niñas por cada niño. Calcular el Nº de niñas al comienzo.

25. En un corral hay N aves entre patos y gallinas; el número de patos es a N como 3 es a 7 y la diferencia entre patos y gallinas es 20. ¿Cuál será la relación entre patos y gallinas al quitar 50 gallinas?

26. En un colegio la relación de hombres y mujeres es como 2 es a 5 la relación entre hombres en primaria y hombres en secundaria es como 7 es a 3. ¿Cuál es la relación de hombres en secundaria y el total de alumnos?

27. Las edades de Pepe, Felipe y Carlos son proporcionales a los números 3, 2 y 4. Si después de 9 años sus edades serán proporcionales a 9, 7 y 11. Hallar cuantos años mas tiene Carlos respecto a Pepe.

28. Cuatro hermanos reciben una herencia y se reparten en cantidades iguales a sus edades; pero el menor piensa: “si yo tuviera la mitad y mis hermanos la tercera parte, cuarta parte y sexta parte de los que tienen realmente cada uno, todos tendríamos la misma cantidad y sobrarían 88”. ¿Cuál es la edad del mayor de los hermanos?

Page 81: Manual Senati

29. En una carrera sobre una distancia “d” a velocidad uniforme, “A” puede vencer a “B” por 30 metros, “B” puede vencer a “C” por 15 metros. Hallar la distancia “d”, si “A” puede vencer a “C” por 42 metros.

30. La diferencia de 2 números enteros es a su cociente como el menor es a 10. ¿Cuál es la menor semisuma de dichos números?

31. Dos números están en la misma razón que ¼ y 1/3 y los 2/3 del producto de los números es 1152. ¿Cuál es la diferencia de los números?

32. La suma de los términos de una proporción es 340 y cada uno de los tres último es el 25% del término que le precede ¿Cuál es el menor de los términos?

33. El producto de los consecuentes de una proporción cuya razón es ¾ es 880. Si los antecedentes están en la relación de 5/11. Hallar la suma de los términos de dicha proporción.

MAGNITUDES PROPORCIONALES

INTRODUCCIÓNLas definiciones de las magnitudes proporcionales, como acápite de la teoría del Reparto Proporcional, tienen carácter estrictamente matemático porque los conceptos de las magnitudes – sean directa o inversamente proporcionales – no se cumplen siempre en el análisis matemático.

CONCEPTOS PREVIOS

1) Magnitud: Es todo aquello que tiende a sufrir algún tipo de variación proporcional y es usado como patrón de medida de cierta unidad. Ejemplo: Masa ; Longitud (L) y Tiempo (t)

Page 82: Manual Senati

Función de proporcionalidad Directa:Si y = f(x) y = k(x) f(x)= k(x)

y = Variable Dependiente

k = Constante

x = Variable Independiente

“Si A aumenta; B aumenta Si A disminuye; B disminuye”

Donde: a1 a2 a3 ....an b1 b2 b3 ....bn

(*)

2) Cantidad: Es toda aquella unidad con el cual se limita cuantitativamente el valor de una magnitud.Ejemplo: 60 Kg; 200m; 38s.

Una cantidad, por su naturaleza, puede ser:a) Cantidad Constante: Aquella cantidad que tiene un valor fijo o

determinado. Ejemplo: El costo de la edición diaria de un periódico.

b) Cantidad Variable: Aquella cantidad cuyos valores se alteran. Ejemplo: El costo de una cierta cantidad de Kilogramos de Azúcar.

3) Función (f): Se dice que una cantidad es función de otra cuando dicha cantidad (la primera) depende de la otra cantidad (la segunda)

Notación: y = f (x)

La primera cantidad, por tanto, es variable respecto a la segunda.

CONCEPTO DE MAGNITUDES PROPORCIONALES

Son las comparaciones que se establecen entre los valores que adoptan un grupo de magnitudes mayor o igual a 2; teniendo una relación que por naturaleza puede ser directa o inversa entre sí.

Por tanto las Magnitudes Proporcionales pueden ser:

1) Magnitudes Proporcionales Directamente.

2) Magnitudes Proporcionales Inversamente.

I) MAGNITUDES PROPORCIONALES DIRECTAMENTE O MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES Se establece cuando 2 ó más cantidades sufren la misma variación proporcional, 1; 2; 3;......; “n” veces respecto a su valor original, es decir, si una de ellas se multiplica o suma y/o resta o divide la misma constante; la otra sufriría, respectivamente la misma variación.

Propiedad fundamental: “Dos cantidades serán directamente proporcionales si y solo si el cociente de esos dos números sea una cantidad constante (constante de proporcionalidad)”

Ej. Si (10/5)=2 y (80/40)= 2 entonces 10 (dp)5 y 80 (dp) 40

(Directamente Proporcional)

Gráfico: Puntos Colineales

M agnitudes Valores Posibles

1 2 3* a a a a

b b b b

;......; ;

; ; ;......1 2 3 n

A

B

n

*

Operación M atematica

Page 83: Manual Senati

Donde: a1 a2 a3 ....an b1 b2 b3 ....bn

(*)

Función de proporcionalidad Inversa:Si y = k’ /x y = f(x) f(x)= k’(1/x)

y = Variable Dependiente

k’ = Constante

x = Variable Dependiente

Obs. Las áreas bajo la gráfica de la magnitud inversamente proporcional son siempre iguales.

K’ = Potencia de Inversión (Constante)

Discontinuos

(No incluyen al origen)

Ejemplo: El número de obreros con la dificultad de la obra; la velocidad con la distancia; la obra con el rendimiento; etc.

II) MAGNITUDES DE PROPORCIÓN INVERSA O MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALESSe establecen cuando 2 ó más cantidades sufren variación opuesta proporcional: 1; 2;....; “n” veces respecto a su valor original; es decir, si una de ellas se multiplica o suma con una constante, o si se resta o divide con una misma constante; la otra sufriría la variación opuesta, es decir, se divide o resta y/o suma o multiplica respectivamente.

Propiedad fundamental: “Dos cantidades serán inversamente proporcionales si y solo si el producto de esas 2 cantidades sea igual a una cantidad constante (potencia de inversión)”

Ejemplo: Si 18 . 4 =72 y 6 . 12 =72 entonces 18 (ip) 5 y 6 (ip)12

(Inversamente Proporcional)

Gráfico: Hipérbola Equilátera

Asíntota A las Bases (Ejes)

-

-

-

- -12

aaa

b

b

b

;

1

2

n

n ( )

( )b2

2a

b1 ; 1a

A

B

K=Tg

;( )bn an

°

Magnitudes Valores Posibles

1 2 3* a a a a

b b b b

;......; ;

; ; ;......1 2 3 n

A

B

n

*

Inversa de Operación Matematica

1/

Page 84: Manual Senati

1

2

a

a

a

bn

n

A

B

-

-

-

-

- - - -

-

a3

4a

b1 b2 b3 b4

s 1

;( )b an

;( )b a

;( )b a

;( )b a

;( )bn a

1

2 4

3 3

4 2

1

K=S’

”Si A aumenta; B disminuye. Si B disminuye A aumenta”

Ejemplo: Número de obreros vs Rendimientos, números de obreros vs Tiempo; velocidad vs Tiempo; número de objetos vs Costo; etc.

Obs. Las magnitudes proporcionales pueden formar proporciones a partir de su propiedad fundamental y, por lo tanto, cumplen con todas las propiedades de las Proporciones Geométricas; de este modo:

Se forman proporciones de acuerdo a la naturaleza de la magnitud (Si es directamente proporcional) sin invertir alguna de ellas.

Si la magnitud es inversamente proporcional, se forman proporciones invirtiendo una de ellas.

PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES PROPORCIONALES

1) “Si dos cantidades son inversamente proporcionales entre sí entonces una de esas cantidades es directamente proporcional a la inversa de la otra cantidad”.

Si A (ip) B A (dp) (1/B)

2) “Si dos cantidades son directamente proporciones entre sí entonces una de esas cantidades es inversamente proporcional a la inversa de la otra cantidad”

Si A (dp) B A (ip) (1/B)

3) “El orden donde se ubican las cantidades no altera la magnitud proporcional”.

Si A (dp) B B (dp) A y A(ip) B (ip)A

4) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entonces todas las potencias de dichas cantidades también serán directa o inversamente proporcionales”.

Si A (dp) B An (dp) Bn ; donde : n Z

A (ip) B An (ip) Bn

Page 85: Manual Senati

5) “Si dos cantidades son directa o inversamente proporcionales entre sí, entonces todas las raíces enteras de dichas cantidades serán, respectivamente, directa o inversamente. proporcionales”.

6) Sean 3 magnitudes: A; B ; C

Si A (dp) B (C = cte) y Si A (dp) C (B= cte), entonces A (dp) B – C

Si A (dp) B (C = cte) y Si A (ip) C (B= cte), entonces A (dp) B – C-1

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Si A es directamente proporcional a B y cuando A vale 6, B vale 8; determinar B cuando A es 18.

Solución:

Si “A” es DP a “B”, entonces:

Luego reemplazamos los valores del problema:

2. Si la magnitud A es inversamente proporcional a la magnitud B y cuando A = 15, B = 24, hallar B cuando A es 120.

Solución:

Si “A” es I.P. a “B” entonces:

Luego reemplazamos los valores:

3. Si A es DP a B2 además cuando A = 18; B = 9. Calcular: B cuando A = 8.

Page 86: Manual Senati

Solución:

Si: A es DP a B2

Luego:

4. El ahorro mensual de un obrero es D.P. a la raíz cuadrada de su sueldo. Si cuando su sueldo era S/. 324 gastaba al mes S/. 189. ¿Cuánto gastará al mes ahora que su sueldo es S/. 576?

Solución:

Sean: Ahorro: A = 135

Sueldo: S = 324

Gasta = 189

Si

Luego:

Gastará: 576 – 180 = S/. 396

5. El precio de un libro varia en forma proporcional al número de hojas que posee e inversamente proporcional con el número de ejemplares producidos. Si se producen 3000 ejemplares de 240 hojas a un precio de S/. 16 cada uno. ¿Cuánto costará cada ejemplar de 300 páginas, si ahora se producen 4000 en total?

Solución:

Si:

Entonces reemplazando los valores:

Costará S/. 15 cada uno.

Page 87: Manual Senati

6. El costo de un terreno es I.P. al cuadrado de su distancia al SENATI y D.P. a su área. Cierto terreno cuesta S/.9 000; y otro terreno de triple de área y situado a una distancia 4 veces mayor que el anterior, costará:

Solución:

Como:

Entonces reemplazando los valores:

El otro terreno costará: S/. 1 080.

7. En una institución el sueldo es D.P. a la edad y los años de servicio del empleado e I.P. al cuadrado de la categoría. Oscar empleado de 2da categoría con 10 años de servicio en la institución y de 36 años de edad, gana S/. 800. Arroyo que entró 2 años antes que Oscar gana S/. 640 y es empleado de 3era categoría. ¿Qué edad tiene Arroyo?

Solución:

Como:

Entonces reemplazando los valores:

Arroyo tiene 54 años.

8. El costo de un show infantil de 2 horas de duración y separado con 12 días de anticipación es de S/. 200. Si este costo es D.P. a la duración e I.P. a los días de anticipación con los que se separa, ¿Cuál es el costo de un show de una hora y separado con 5 días de anticipación?

Solución:

Como:

Entonces reemplazando los valores:

El costo es de S/. 240.

Page 88: Manual Senati

9. El precio de un ladrillo es D.P a su peso e I.P. a su volumen, un ladrillo de densidad 1.5 gr/cm3 cuesta S/. 300. ¿Cuánto costará un ladrillo de 400 cm3 que pesa 1.6 kg.?

Solución:

Como:

Recordemos:

Además: 1.6 kg <> 1 600 gr

Reemplazando los valores correspondientes:

El ladrillo costará S/. 800.

REPARTO PROPORCIONAL

Es una regla en la cual a ciertas cantidades se les puede repartir en forma directa o inversamente proporcional a otras cantidades, las cuales reciben el nombre de “factores de proporcionalidad”, de tal manera que todas estas formas una serie de Razones iguales.

NOTACIÓN.

Repartir un número entero “N” en partes proporcionales a “q”; “r”; “s”;....; “z”

Sean “a” “b” “c”;.....; “” las partes del número “N” proporcionales a “q”; “r”; “s”;.....; “z” tal que: a + b + c +.....+ = N.

a (dp) q; b (dp) r ; c (dp) s ;.....; (dp)

Donde: k = constante de proporcionalidad (k Q+)

Obs: La operación del Reparto es análoga para el Reparto inverso.

REGLA PRÁCTICA

Al número “N” se le dividen en números proporcionales a los índices “a” “b” “c”. Denominaremos “x” a la parte de “N” que es proporcional a “a”; “y” a la parte proporcional “b” y “z” a la parte proporcional “c”, respectivamente, de manera tal que: 1) x + y + z = N

2) x y z

3) a b c

Los puntos 2) y 3) permiten formar con las cantidades y con los índices de proporcionalidad una serie de Razones geométricas equivalentes.

Page 89: Manual Senati

Si x y z () a b c

Aplicando una de las propiedades de las Razones geométricas:

Pero: x + y + z = N

CLASES DE REPARTO

I) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE (RPS)

1) REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO SIMPLE O DIRECTAMENTE PROPORCIONAL Se establece cuando parte que pertenece a una cantidad es directamente proporcional con cada índice de proporcionalidad. Presenta 3 casos:

(*) De un Número entero a otro Número entero.- Se usa la Regla práctica para cada caso.

Ejemplo: Reparto de 18 en 2 Números proporcionales a 2 y 4.

Si 18 = x + y, aplicando la Regla General: (x/2) = (y/4)

Los Números del Reparto son: 6 y 12.

(*) De un Número entero a un Número Racional: Se homogenizan los índices fraccionarios y se aplica la forma general para cada parte considerando únicamente a los numeradores de cada fracción.

Ejemplo: Repartir 154 en partes directamente proporcionales a 2/3; ¼ ; 1/5; 1/6.

Reduciendo esas fracciones al Mínimo Común Denominador:

2/3; ¼; 1/5; 1/6; 40/60; 15/60; 12/60; 10/60.

Prescindimos el Denominador Común (60), se aplica la Regla práctica para cada caso:

x = 80; y = 30; z =24; u = 20

Page 90: Manual Senati

(*) De un Número entero a un Número Real: Se consideran los casos entre los números enteros y el caso entre el número entero y el número racional.

REGLA GENERAL: Se multiplica el número que se quiere repartir por cada uno de los índices de Proporcionalidad y se divide por la suma de estos últimos.

Ejemplo: Repartir 150 en partes directamente proporcionales a 5; 6 y 9.

x = 37.5; y= 45; z = 67.5

2) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE INVERSO O INVERSAMENTE PROPORCIONAL:Se establece cuando cada parte es inversamente proporcional con cada índice de inversión (índice de las magnitudes inversamente proporcionales). Presenta 3 casos:

(*) De un número entero a otro número entero.(*) De un número entero a otro número Racional.(*) De un número entero a otro número Real.

En los casos se invierten los números dados y se reparte el número que se quiere dividir en partes que son directamente proporcionales a los índices de inversión de los números ya inversos.

Ejemplo:

Repartir 240 en partes inversamente proporcionales a 5; 6; 8.

Invirtiendo los índices de inversión: 1/5; 1/6; 1/8 homogenizando: 24/120; 20/120; 15/20. (120 = mínimo Común Denominador).

Aplicando uno de los casos del Reparto Simple Directo (Reparto entre Números enteros):

Si x + y + z = 240

II) REPARTO PROPORCIONAL COMPUESTO (RPC)

Es aquel donde una cantidad es dividida en partes que son directamente proporcionales a otras cantidades (índices de proporcionalidad) y, a su vez pueden ser directas o inversamente proporcionales a otras cantidades (índices de inversión).

Page 91: Manual Senati

Ejemplo:

Repartir 170 en partes D.P. con 4; 5 y 6 e I.P a 2; 4; 6.

170 = x + y + z; Multiplicamos los índices directamente proporcionales a 170 por las inversas de los índices inversamente proporcionales a 170.

170 = x + y + z () x = (DP) 4 . ½ x (DP) 2

y = (DP) 5 . ¼ y (DP) 5/4

z = (DP) 6 . 1/6 z (DP) 1

Reduciendo los nuevos índices a su mínimo común Denominador:

X (DP) 2 x (DP) 8/4; y (DP) 5/4 y (DP) 5/4; z (DP) 1 z (DP) 4/4

Repartiendo 170 en partes directamente proporcionales a 8; 5; 4:

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Una firma instituye un premio de S/. 470 para ser distribuido entre sus trabajadores en orden inverso a las fallas de los mismos. Al fin de semestre este debe distribuirse entre sus trabajadores que tienen 3, 5 y 4 faltas respectivamente. ¿Cuánto recibirá cada uno?

Solución:

Invirtiendo los índices de inversión: 1/3; 1/5; 1/4 homogenizando: 20/60; 12/60; 15/60. (60 = mínimo Común Denominador).

Aplicando uno de los casos del Reparto Simple Directo (Reparto entre Números enteros):

Si x + y + z = 470

Cada uno recibe: S/. 200, S/. 120 y S/. 150

2. Una mezcla de bronce tiene 5 partes de cobre, 3 de estaño y 2 de zinc. ¿Cuánto kg. de cada metal serán necesarios para preparar 40kg de esa mezcla?

Solución:

Sean la partes x; y; z proporcionales a 5; 3; 2.

Si: x + y + z=40

Page 92: Manual Senati

Aplicando la Regla General:

Serán necesario 20kg de cobre, 12kg de estaño y 8kg de zinc.

3. Tres sastres compran un lote de piezas iguales de tela que valen S/. 57 680. El primero se queda con 2 piezas, el segundo con 5 piezas y el tercero con 7 piezas. ¿Cuánto ha de pagar cada uno?

Solución:

Número a repartir: 57 680

Sean las partes x, y, z proporcionales a 2, 5, 7.

Si: x + y + z = 57 680

Aplicando la Regla General:

Cada uno debe pagar: S/. 8 240, S/. 20 600, S/. 28 840.

4. Repartir una cierta cantidad en partes proporcionales a los jornales de tres operadores que son S/.60; S/.100 y S/.80, correspondió al segundo S/.10 más que al primero. ¿Cuánto le corresponde al tercero en soles?

Solución:

Número a repartir: N

Sean las partes x, y, z proporcionales a 60, 100, 80.

Si: x + y + z = N

Aplicando la Regla General:

Como al segundo le corresponde S/.10 más que el primero, entonces:

Page 93: Manual Senati

Al tercero le corresponde:

5. El premio de un sorteo se reparte en forma inversamente proporcional al número de boletos adquiridos y son respectivamente, 2; 3 y 7. ¿Cuánto de dinero recibió el que compró más boletos, si en total se repartió S/.1 271?

Solución:

Número a repartir: 57 680

Sean las partes x, y, z es I.P. a 2, 3, 7.

Si: x + y + z = 1 271

El que compró más boletos recibió:

6. Cuatro socios reúnen $2 000 000, de los cuales el primero pone $400 000; el segundo las 3/4 de lo que puso el primero; el tercero las 5/3 de lo que puso el segundo y el cuarto lo restante. Explotan una industria durante 4 años. Si hay que repartir una ganancia de $1 500 000. ¿Cuánto le toca al cuarto?

Solución:

Si uno aporta más capital, entonces recibirá más de la ganancia.

Número a repartir: 1 500 000

Sean las partes x; y; z; w repartidas, entonces:

1ero: x DP 400 000

2do: y DP

3ero: z DP

4to: w DP 800 000

Si: x + y + z = N

Aplicando la Regla General:

Page 94: Manual Senati

Al cuarto le corresponde $600 000.

7. Un hombre decide repartir una herencia en forma proporcional en el orden en que nacieron sus hijos. La herencia total es de S/.480 000; adicionalmente deja S/. 160 000 para el menor de tal modo que el primero y el último hijo reciban igual herencia. ¿Cuál es el mayor número de hijos que tiene este hombre?

Solución: Cantidad a repartir: 480 000Sean x1, x2, x3,…, xn, los hijos a repartir D.P. a k, 2k, 3k,…, nk.Entonces aplicando la Regla General:

Además por dato del problema:

El hombre tiene 3 hijos.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

Page 95: Manual Senati

1. Identifique las variables y constantes en cada formula:

a. P = 2L + 2a (en geometría). Fórmula para el perímetro P de un rectángulo : L = lado, a = ancho.

b. E = IR (en electricidad: ley de Ohm). Dado un circuito cuya resistencia es R : E = voltaje aplicado, I = corriente resultante.

c. W = Fd (en mecánica). Definición de trabajo W : F= fuerza aplicada D= distancia a través de la cual se mueve la fuerza.

d. F = ma (en fisica: segunda ley de Newton). Dado un cuerpo de masa m : F= fuerza aplicada, a= aceleración producida por la fuerza.

e. P V = PV (en química: ley de boyle). Un gas tiene una presión inicial P y un volumen inicial V. Cuando la temperatura se mantiene constante, P = presión final, V = volumen final.

f. V = Cv (en dinámica de fluidos). Dado un fluido en un recipiente abierto cuyo coeficiente de velocidad es Cv: v=velocidad de descarga a través de un pequeño orificio que esta h unidades debajo de la superficie, g = gravedad debida a la gravedad.

g. C = 1/C1 + 1/C2 (en electricidad). Dado un circuito eléctrico: C=capacitancia total de dos capacitancias C1 y C2 conectadas en serie.

h. T = Fr (en mecánica). Dado un cuerpo que esta rotando: T= momento de torsión producido, F= fuerza aplicada, r= distancias de la fuerza aplicada al centre de rotación.

i. I= E/(R + r) (en electricidad). Dado un circuito con voltaje en la batería E y resistencia interna r: R= resistencia del circuito, I= corriente resultante.

j. C=2 r (en geometría). Fórmula para calcular la circunferencia C de circulo: r=radio.

k. V=331.5 + 0.607t (en física). Fórmula para calcular la velocidad del sonido V en el aire: t = temperatura del aire (oC)

l. H= T/225 000 (en mecánica). Fórmula para calcular los caballos de potencia H de una barra giratoria: n=revoluciones por minuto T=momento de torsión producido.

m. I = Io + alo (T-To) (en termodinámica). Dado un sólido de longitud lo a una temperatura To: l =longitud a la temperatura T, a=coeficiente de dilatación lineal del sólido.

n. S=Vot+ gt2 (en fisica). Fórmula para calcular la distancia de un cuerpo en

caída libre: Vo =velocidad inicial, t=tiempo transcurrido, g= aceleración debida a la gravedad.

2. Repartir $90 entre A, B y C de modo que la parte de B sea el doble que la de A y la de C triple que la de B.

3. Repartir 240 soles entre A, B y C de modo que la parte de C sea los de la de B y la de A igual a la suma de las partes de B y C.

4. Repartir el número 490 en tres partes tales que cada una sea los 3/8 de la anterior.

5. Repartir 190 soles en tres personas de modo que la parte de la 2ª sea el triple de la parte de la 1ª y el cuádruplo de la parte de la 3ª

6. Repartir 225 en dos partes que sean entre sí como 7 es a 8.

7. Repartir 93 en dos partes que sean entre sí como 3 es a 9/3.

Page 96: Manual Senati

8. Repartir 190 en dos partes que sean entre su como 5/6 es a 7/2.

9. Repartir 240 en 3 partes de modo que la 1ª sea a la 2ª como 9 es a 8 y la 2ª a la 3ª como 8 es a 7.

10. Repartir 60 en tres partes tales que la 1ª sea a la 2ª como 2 es a 3: la 2ª a la 3ª como 1 es a 5.

11. Repartir 56 en cuatro partes tales que la 1ª Sea a la 2ª Como 2 es a 3: la 2ª a la 3ª como 3 es a 4 y la 3ª a la 4ª como 4 es a 5.

12. Repartir 74 soles entre A, B, C y D de modo que la parte de A sea a la de B como 3 es a 4; la parte de B sea a la de C como 1 es a 3 y la parte de C sea a la de D como 2 es a 3.

13. Se ha repartido una cantidad de dinero entre A, B, y C de modo que las partes que reciben son proporcionales a los números 4, 5 y 6. Si la parte de A es 20 soles. ¿Cuáles son las partes de B y C y cual la suma repartida?

14. Repartir 260 soles entre 6 personas de modo que cada una de las dos primeras tenga el triple de lo que tiene cada una de las restantes.

15. Repartir 32 en dos partes que sean a la vez directamente proporcionales a 2 y 4 e inversamente proporcionales 5 y 6.

16. Repartir 100 en tres partes que sea a la vez directamente proporcionales a 5, 6 y 7 e inversamente proporcionales a 2, 3 y 4.

17. Repartir 69 en dos partes que sean a la vez directamente proporcionales a 2/3 y ¾ e inversamente proporcionales a 5/6 y ½.

18. Los hombres alquilan un garaje por 320 soles. El primero ha guardado en el 4 automóviles durante 6 meses y el segundo 5 automóviles por 8 meses. ¿Cuánto debe pagar cada uno?

19. Tres cuadrillas de obreros han realizado un trabajo por el que se ha pagado $ 516. La primera cuadrilla constaba de 10 hombres y trabajó durante 12 días; la segunda, de 6 hombres, trabajó 8 días y la tercera, de 5 hombres trabajo 18 días. ¿Cuánto debe recibir cada cuadrilla?

20. En una obra se han empleado tres cuadrillas de obreros. La primera constaba de 10 hombres y trabajó 6 días a razón de 8 horas diarias de trabajo; la segunda, de 9 hombres, trabajo durante 5 días de 6 horas y la tercera, de 7 hombres, trabajo 3 días de 5 horas. ¿Cuánto debe recibir cada cuadrilla si la obra se ajusto en $ 427.50?

21. Se reparten 26 soles entre dos niños de 3 y 4 años respectivamente en partes proporcionales a sus edades e inversamente proporcionales a sus faltas. El de 3 años tiene 6 faltas y el de 4 tiene5 faltas. ¿Cuánto debe recibir cada niño?

22. Se han comprado 2 automóviles por $ 3400 dólares y se han pagado en razón directa de la velocidad que pueden desarrollar, que es proporcional a los números 60 y 70, y en razón inversa de su tiempo de servicio que es 3 y 5 años respectivamente. ¿Cuánto se ha pagado por uno?

Page 97: Manual Senati

23. La eficiencia de un trabajo se mide en puntos y es directamente proporcional a los años de trabajo e inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la edad del trabajador. La eficiencia de Raúl es 2 puntos cuando tiene un año de trabajo y 25 años de edad. ¿Cuál será su eficiencia a los 36 años?

24. El sueldo de un empleado es proporcional al cuadrado de la que tiene. Si actualmente tiene 15 años ¿dentro de cuantos años cuadruplicara su sueldo?

25. La dificultad de 2 obreros son entre sí como 3 es a 4. Si el primero hace 20 metros de una obra en cierto tiempo. ¿Cuántos metros hará el segundo en el mismo periodo?

26. Se ha descubierto que el trabajo hecho por un hombre en una hora, varía en razón a su salario por hora e inversamente proporcional a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja por días. Si puede terminar una obra en 6 días cuando trabaja 9 horas diarias a 3 dólares la hora. ¿Cuántos días tardara en terminar la misma obra cuando trabaja 16 horas diarias a $ 4,5 por hora?

27. Se han asociado 3 personas aportando la primera S/. 2000 durante 6 meses y la segunda $4000 durante 8 meses y la tercera $ 6000 durante 10 meses. Si al finalizar el periodo obtuvieron una ganancia de 5 200 dólares. ¿Cuánto le corresponde a la persona de menor aportación?

28. Dos amigos reunieron un capital de 10 000 unidades monetarias para hacer un negocio. El primero dejó su capital durante 3 meses y el otro durante 2 meses. Al terminar el negocio las ganancias fueron iguales. Averiguar el capital que impuso el primer socio.

29. La ganancia obtenida en un negocio es repartida en forma proporcional al capital aportado por cada uno de ellos. Si los capitales son 600, 800 y 1000 dólares respectivamente y sabiendo que en el reparto, al tercero le toca 100 dólares más que el primero, entonces al segundo le corresponde.

30. Dos socios aportan 1500 u.m. y 3500 u.m. en una empresa. A los 6 meses se retira el primero. Al liquidar la empresa, terminando el año, la ganancia del primero. Es 510. Hallar ganancia del segundo.

31. Dos personas A y B forman una compañía. El capital que aporta A es la mitad que el de B, pero el tiempo que permanece A en la compañía es eles el triple del tiempo que permanece B. Si al repetir las utilidades, la diferencia entre la utilidad de A y la B es 40,000. Hallar la utilidad total de la compañía.

32. Un fabricante empezó un negocio con US$ 8000 de capital. Cuatro meses después aceptó un socio con US$ 12,000 de aporte, y 2 meses más tarde aceptaron en tercer socio con US$ 10,000 de capital. Si a los 2 años de iniciado el negocio éste se liquidó, y al ser repartida la utilidad el primer socio US$ 15,000 menos que los otros 2 juntos. ¿Cuál fue la ganancia del tercer socio?

33. Si “A” es proporcional a la media aritmética y a la media armónica de 2 números. Si A = 8, cuando la media geométrica de dichos números es 4, hallar “A” cuando el producto de los números sea 30.

34. Un diamante se parte en 3 pedazos, donde el primero pesa el doble del segundo y éste el triple del tercero. Sabiendo que el valor de todo el diamante es

Page 98: Manual Senati

DP al cuadrado de su peso y que su precio original era S/. 10 000. ¿Cuánto se perdió después de partirse?

35. El peso de un oso polar es DP a la raíz cuadrada de sus años; sin un oso tuviera 80 kilos de peso, entonces su edad sería 8 años. ¿Cuál sería su peso, si su edad fuera 50 años?

36. Si la presión a la que está sometido un gas es IP al volumen que contiene. ¿Cuál es la presión inicial, si al aumentar está en 4 atmósferas; el volumen varía en un 20%?

37. Se sabe que el trabajo hecho por un hombre en una hora es proporcional a su pago por hora e IP a la raíz cuadrada del número de horas que trabaja por día. Si puede terminar un trabajo en 8 días, cuando trabaja 9 horas diarias a razón de 50 soles la hora, ¿cuántos días empleará para hacer el mismo trabajo, cuando trabaje 16 horas diarias a razón de 60 soles la hora?

38. El costo por unidad de un artículo es IP a las unidades producidas. Si para cierta producción la venta es de S/. 33 000 ganando el 10%, ¿cuál será el costo de cada artículo para una producción de 150 unidades?

39. Se tienen 2 magnitudes A y B que son inversamente proporcionales para valores de B menores o iguales a 30, pero A es directamente proporcional a B para valores mayores o iguales a 30. Si A = 6 cuando B = 20, ¿cuál será el valor de A cuando B = 60?

REGLA DE TRES

DEFINICIÓN

La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

La Regla de Tres puede ser:

- Simple: Cuando intervienen 2 pares de cantidades proporcionales.- Compuesta: cuando intervienen 2 o más pares de cantidades proporcionales.

REGLA DE TRES SIMPLE (R3S)

Es una regla en donde intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita, distribuidas en dos magnitudes.

REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA (R3SD)

Es cuando las magnitudes que intervienen son Directamente Proporcionales, eso quiere decir que cuando aumenta una de ellas la otra también aumenta o al disminuir una de ellas la otra también disminuye.

D.P.

Magnitud 1 Magnitud 2

más a más

menos a menos

a

c

b

x

Page 99: Manual Senati

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. De 200 litros de agua de mar se pueden extraer 8 kg de sal. ¿cuántos litros de agua se deben tener, si se quiere 30 kg de sal?

Solución:

Sean las magnitudes:

Agua litros

Sal kg

(-)200

x(+)

(-)8

30(+)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Se necesitan 750 litros de agua de mar.

2. Sabiendo que de 250 quintales de remolacha pueden extraerse 30 quintales de azúcar, ¿Cuántos quintales de azúcar podrán proporcionar 100 quintales de remolacha?

Solución:

Sean las magnitudes:

Remolacha Azúcar

(-)250100(+)

(-)30x

(+)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

D.P.

D.P.

Page 100: Manual Senati

Se obtienen 12 quintales de azúcar.

3. Un automóvil recorre 500 m en 10 minutos con velocidad constante, ¿Qué tiempo empleará en recorrer 200 m manteniendo la misma velocidad?

Solución:

Sean las magnitudes:

Distancia Tiempo

(+)500200(-)

(+)10x(-)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Se empleará 4 minutos.

4. Un operario recibe por 18 días de trabajo S/. 288. ¿Cuántos recibirá si solo trabajo 15 días?

Solución:

Sean las magnitudes:

# Días Sueldo

(+)1815(-)

(+)288

x(-)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Recibirá S/. 240.

5. Si por 250 kilos de uva se obtienen cierta cantidad de vino y 300 kilos producen 4 litros más de vino, ¿Cuántos litros de vino producen los 250 kilos de uva?

Solución:

Sean las magnitudes:

D.P.

D.P.

D.P.

Page 101: Manual Senati

kilos de uvas

Litros de vino

(-)250300(+)

(-)x

x + 4(+)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Se producen 20 litros de vino.

REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (R3SI)

Es cuando las magnitudes que intervienen son Inversamente Proporcionales, eso quiere decir que cuando aumenta una de ellas la otra disminuye o al disminuir una de ellas la otra aumenta.

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Si 20 obreros pueden construir un muro en 9 días. ¿Cuántos días se demorarán 15 obreros?

Solución:

Sean las magnitudes:

# Obreros # Días

(+)2015(-)

(-)9x

(+)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Se demoran 12 días.

I.P.

Magnitud 1 Magnitud 2

más a menos

menos a más

a

c

b

x

I.P.

Page 102: Manual Senati

2. Un grupo de 24 excursionistas llevan víveres para 18 días, pero al inicio de la excursión se suman 3 personas más, ¿Cuántos días antes se acabarán los víveres?

Solución:

Sean las magnitudes:

# Excursionistas # Días

(-)2427(+)

(+)18x(-)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Los víveres se acabarán en: 18 – 16 = 2 días antes.

3. Un propietario tiene 640 corderos que puede alimentar durante 65 días. ¿Cuántos corderos debe vender si quiere alimentar su rebaño por 15 días más dando la misma ración?

Solución:

Sea “x” el número de corderos que debe vender.

Sean las magnitudes.

# Corderos # Días

(+)640

640 - x(-)

(-)6580(+)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Debe vender 120 corderos.

4. Un barco tiene provisiones para 24 días y las distribuye equitativamente a todos los tripulantes. Si se desea que las provisiones duren 6 días más. ¿En qué fracción se debe reducir la ración de cada tripulante?

Solución:

Sean las magnitudes:

I.P.

I.P.

I.P.

Page 103: Manual Senati

# Días Ración

(-)2430(+)

(+)1

1 – x (-)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Por lo tanto, a cada tripulante se le debe reducir en un 1/5 de su ración.

5. Dos hombres y 4 niños pueden hacer una obra en 6 días, pero con 2 hombres más pueden hacer el mismo trabajo en 4 días. ¿En cuántos días hará dicha obra un hombre trabajando solo?

Solución:

Sean las magnitudes:Primero hallaremos la relación que hay en el trabajo entre hombres y niños.

# Obreros # Días

(-)2h + 4n4h + 4n

(+)

(+)64(-)

Utilizando ahora este dato se puede obtener:

# Obreros # Días

(+)2h + 4n

h(-)

(-)6x

(+)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Trabajando solo un hombre se demora 24 días.

REGLA DE TRES COMPUESTA (R3C)

I.P.

I.P.

Page 104: Manual Senati

Es una regla de tres en donde intervienen tres o más magnitudes.

MÉTODO DE SOLUCIÓN

Existen varios métodos de solución, en este caso emplearemos el método de nombrar; “si la magnitud es directamente proporcional (D.P.) o inversamente proporcional (I.P.), con la magnitud en donde se encuentra la incógnita”.

Pasos a seguir:

1. Se reconocen las magnitudes que intervienen en el problema.2. En la primera fila se coloca el dato o supuesto del problema y debajo de ésta, la

incógnita.3. Se relaciona la magnitud donde se encuentra la incógnita con cada una de las

demás indicando si es D.P. o I.P.4. Se despeja la incógnita multiplicando las magnitudes I.P. e invirtiendo las

magnitudes D.P.

EJERCICIOS BÁSICOS:

1. Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 días hacen 60 sillas, ¿Cuántos días necesitarán 40 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas?

Solución:

# obreros # sillas h/d # días (+) (-) (+) (+) 16 60 9 12 40 100 8 x (-) (+) (-)

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Se demoran 9 días.

Si son directamente

proporcionales

Arriba -

Abajo +

Si son inversamente

proporcionales

Arriba +

Abajo -

D.P.

D.P.

D.P.

Page 105: Manual Senati

2. Si 180 hombres en 6 días, trabajando 10 horas cada día, pueden hacer una zanja de 200m de largo, 3m de ancho y 2m de profundidad. ¿En cuántos días, de 8 horas, harían 100 hombres una zanja de 400m de largo, 4m de ancho y 3m de profundidad?

Solución:

# hombres h/d Largo (m)

Ancho (m)

Prof. (m) # días

(+)180100(-)

(+)108(-)

(-)200400(+)

(-)34

(+)

(-)23

(+)

(+)6x

Ahora hallamos el valor de la incógnita:

Se demoran 54 días.

3. Una cuadrilla de 30 obreros se compromete hacer una obra en 58 días, trabajando 10 horas diarias. 10 días después de iniciada la obre se pidió que la obra quedara terminada en “x” días antes del plazo estipulado, para lo cual, se aumentaron 10 obreros más y todos, trabajando 12 horas diarias, terminaron la obra en el nuevo plazo estipulado. Hallar “x”.

Solución:

Primero calculamos que parte de la obra hacen en 10 días. En este caso compararemos las magnitudes “obra” con “# días”, por que los demás permanecen constantes.

# días obra

(-)5810(+)

(-)1x

(+)

Se ha hecho Quedan por hacer

Como ya se han trabajado 10 días y el plazo inicial era de 58 días, quedan por trabajar 48 días, pero como se pidió que la obra quede terminada “x” días antes, entonces quedan por trabajar (48 – x) días.

I.P. I.P. D.P. D.P. D.P.

D.P.

I.P.

D.P.I.P.

Page 106: Manual Senati

# obreros # días h/d obra

(+)3020(-)

(+)58

48 – x

(+)1012(-)

(-)1

48/58(+)

Entonces:

Se demora 18 días.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Un automóvil tarda 8 horas en recorrer un trayecto a 90 km/h. ¿Cuánto tardará en recorrer el mismo trayecto yendo a 60 km/h?

2. En 27 días se haría una obra con 35 obreros. Luego de un cierto tiempo se contrata a 14 obreros más y 15 días después se termina la obra. ¿A los cuántos días se aumento el personal’

3. Una cuadrilla de 17 obreros puede terminar un trabajo en 25 días, trabajando 11 horas diarias, al cabo de 13 días de labor se enferman 10 de los obreros y 4 días más tarde, se comunica al contratista para que entregue el trabajo en la fecha fijada previamente. ¿Cuántos obreros adicionalmente tendrá que tomar para cumplir con tal exigencia?

4. Las maquinas M1 y M2 tienen la misma cuota de producción semanal operando 30 horas y 35 horas respectivamente. Si M1 se malogra luego de trabajar 18 horas, M2 debe hacer el resto de la cuota. ¿Cuántas horas adicionales debe trabajar M2?

5. “x” máquinas hacen una obra en 30 días, (x + 4) máquinas hacen la misma obra en 20 días. ¿En cuánto tiempo harán (x + 2) máquinas dicha obra?

6. Una bomba demora 18 horas, 30 minutos, 42 segundos en llenar un tanque. Cuando el tanque está lleno hasta su sexta parte, se malogra la bomba y su rendimiento disminuye en 2/7. ¿En qué tiempo total llenó el tanque?

7. Percy es el doble de rápido que Miguel y este el triple de rápido que Franklin. Si entre los 3 pueden terminar una tarea en 16 días. ¿En cuántos días Miguel con franklin harán la misma obra?

8. Para efectuar una obra se cuenta con 2 cuadrillas. La primera cuadrilla cuenta con 40 hombres y concluir la obra en 30 días. La segunda cuadrilla tiene 60 hombres y puede terminar la obra en 20 días. Si sólo tenemos 3/4 de la primera y los 2/3 de la segunda cuadrilla. ¿En cuántos días se terminará la obra?

9. 30 hombres se comprometen a hacer una obra en 15 días. Al cabo de los 9 días se han hecho los 3/11 de la obra. Si el capataz refuerza la cuadrilla con 42 hombres. ¿podrán terminar la obra en el tiempo fijado o no, y si no es posible, cuántos días más necesitarán?

Page 107: Manual Senati

10. Un capataz contrata una obra que debe comenzarla el día 1 de Junio y terminarla el 5 de Julio. El 1 de Junio pone a trabajar 20 hombres, los cuales trabajan hasta el día 14 inclusive a razón de 6 horas diarias. Ese día el propietario le dice que necesita la obra terminada el día 24 de Junio. Entonces, a partir del 15, coloca más obreros, se trabajan 9 horas diarias en vez de las 6 horas diarias. ¿Cuántos obreros aumentó el capataz a partir del día 15?

11. Una cuadrilla de 12 obreros con un rendimiento del 80% cada uno, trabajando 11 días a razón de 8 horas diarias han hecho 2/5 de una obra, luego se retiran 5 obreros y son reemplazados por 3 obreros de un rendimiento del 100% trabajando todos a razón de 9 horas diarias. ¿En cuántos días hicieron lo que faltaba de la obra?

12. Una guarnición de 500 hombres tiene víveres para 20 días a razón de 3 raciones diarias. ¿Cuántas raciones diarias tomará cada hombre si se quiere que los víveres duren 5 días más?

13. Se han empleado 8 días para cavar una zanja. Si la dificultad de otro terreno guarda con la dificultad del anterior la relación de 3 a 4, ¿Cuántos días llevaría cavar una zanja igual en el nuevo terreno?

14. 8 hombres han cavado en 20 días una zanja de 50 m de largo, 4 m de ancho y 2 m de profundidad. ¿En cuánto tiempo hubiera cavado la zanja 6 hombres menos?

15. Una calle de 50 m de largo y 8 m de ancho se halla pavimentada con 20 000 adoquines. ¿Cuántos adoquines serán necesarios para pavimentar otra calle de doble largo y cuyo ancho es los 3/4 del ancho anterior?

16. 10 hombres, trabajando en una construcción de un puente hacen 8/5 de la obra en 8 días. Se retiran 8 hombres. ¿Cuánto tiempo emplearán los restantes para terminar la obra?

17. Dos hombres han cobrado 350 soles por un trabajo realizado por los dos. El primero trabajó durante 20 días a razón de 9 horas diarias y recibió 150 soles. ¿Cuántos días, a razón de 6 horas diarias, trabajó el segundo?

18. Una cuadrilla de 15 hombres se compromete a terminar en 14 días cierta obra. Al cabo de 9 días solo han hecho 8/7 de la obra. ¿Con cuántos hombres tendrán que ser reforzados para terminar la obra en el tiempo fijado?

19. Se emplean 12 hombres durante 6 días para cavar una zanja de 30 m de largo, 8 m de ancho y 4 m de alto, trabajando 6 horas diarias. Si se emplea doble número de hombres durante 5 días, para cavar otra zanja de 20 m de largo, 12 m de ancho y 3 m de alto. ¿Cuántas horas diarias han trabajado?

20. Se emplean 14 hombres en hacer 45 m de una obra, trabajando durante 20 días. ¿Cuánto tiempo empleará la mitad de esos hombres en hacer 16 m de la misma obra, habiendo en esta obra triple dificultad que en la anterior?

21. Se emplean 14 días en hacer una obra de 15 m de largo, 8 m de ancho y 4.75 m de alto, a razón de 6 horas de trabajo cada día. Si se emplean 8 días en hacer otra obra del mismo ancho y de doble largo, trabajando 7 horas diarias y siendo la dificultad de esta obra los 3/4 de la anterior. ¿Cuál es la altura de la anterior?

22. Un obrero emplea 9 días de 6 horas en hacer 270 m de una obra. ¿Cuántas horas deberá trabajar ese obrero para hacer otra obra de 300 m si la dificultad de la primera obra y la de la segunda están en relación de 3 a 4?

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23. Una pared de 5 m de largo, 1 de alto y 0.07 de espesor ha costado $25. ¿Cuál será el espesor de otra pared de 14 m de largo y 0.70 m de alto, por la cual se pagan $400?

24. En 10 días un hombre recorre 112 km a razón de 5 horas diarias de marcha. ¿Cuál será la distancia que recorrerá en 7.5 días a razón de 5¼ horas de marcha diaria, si disminuye su marcha de 1/8?

25. 6 hombres trabajando durante 9 días a razón de 8 horas diarias han hecho los ¾ de una obra. Si se refuerzan con 4 hombres y los obreros trabajan ahora 6 horas diarias, ¿En cuántos días terminarán la obra?

26. 50 hombres tienen provisiones para 20 días a razón de 3 raciones diarias. Si las raciones se disminuyen en 1/8 y se aumentan 10 hombres. ¿Cuántos días durarán los víveres?

27. Si 20 hombres cavaron un pozo en 10 días trabajando 8 horas diarias y 40 hombres cavaron otro pozo igual en 8 días trabajando 5 horas diarias. ¿Era la dificultad de la segunda obra mayor o menor que la de la primera?

28. 10 hombres se comprometieron a realizar en 24 días cierta obra. Trabajaron 6 días a razón de 8 horas diarias. Entonces se les pidió que acabaran la obra 8 días antes del plazo que se les dio al principio. Se colocaron más obreros, trabajando todos 12 horas diarias y terminaron la obra en el plazo pedido. ¿Cuántos obreros se aumentaron?

29. Una fábrica produce normalmente 10 000 camisas al mes, con 40 operarios. Al recibir un pedido de 18 000 camisas para entregar en un mes, los operarios aumentan la producción en un 20% trabajando horas extras. ¿Cuántos operarios más deberá contratar si se sabe que como son nuevos, su producción es el 80% de los antiguos en jornada normal?

30. Quince obreros pueden sembrar un terreno en 2 semanas y 1 día. Si después de hacer la cuarta parte de la tarea, 6 de los obreros se retiraron. ¿Cuánto tiempo demandó realizar toda la obra?

31. ¿Cuántos obreros se necesitan para hacer 200 rollos de alambre en cuatro días, trabajando 12 horas por día, si sabemos que en otra oportunidad 14 obreros pudieron hacer 100 rollos de la misma calidad en ocho días, trabajando seis horas por días?

32. Si una cuadrilla de obreros puede hacer una obra en 36 días, ¿en cuántos días otra cuadrilla 1/10 menos eficiente que la primera puede hacer la misma obra?

33. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 toneladas de carbón. ¿Cuántas toneladas serian necesario para mantener trabajando 9 horas diarias durante 85 días 3 hornos más?

34. En una fábrica había 80 obreros, se calculó que el jornal que cobraba cada uno diariamente iba a alcanzar para 10 días: transcurridos 4 días se retiraron 20 obreros. Diga para cuántos días más de lo calculado alcanzó el dinero.

35. En una hacienda 5 trabajadores siembran en 14 días de 10 horas un terreno cuadrado de 20 m de lado. ¿Cuántos trabajadores se necesitarán para sembrar otro terreno cuadrado de 40 m de lado trabajando 7 horas diarias durante 20 días?

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36. Se sabe que 10 obreros cavan 40 m trabajando 8 horas diarias. Se quiere una zanja de 60 m por lo cual se contratan 14 obreros, 10 de los cuales trabajan 9 horas diarias. Diga cuántas horas diarias deberán trabajar los restantes para concluir la obra.

37. Cinco obreros son capaces de hacer 30 mesas y 30 sillas en 16 días. ¿En cuántos días más, 8 obreros (de habilidad igual a la tercera parte de los anteriores) serán capaces de hacer 20 mesas y 12 sillas, sabiendo que hacer una mesa representa el triple de trabajo que hacer una silla?

38. Treinta obreros deben entregar una obra en 29 días, 5 días después de iniciado el trabajo se decidió que se entregue 9 días antes del plazo fijado para lo cual se contrató 10 obreros más y se trabajó cada día 2 horas más. ¿Cuántas horas diarias se trabaja inicialmente?

39. Un grupo de 33 obreros puede hacer una obra en 30 días. Si luego de 6 días de trabajo se le pide que terminen lo que falta de la obra, en 18 días. ¿Con cuántos obreros deben reforzarse a partir del sétimo día?

40. Una cuadrilla de obreros puede hacer una obra en 18 días. En los primeros 10 días trabajó solamente la tercera parte de la cuadrilla. Para terminar la obra trabajaron 22 obreros durante 54 días, ya que la dificultad de la segunda parte de la obra es 2 veces mayor que la de la primera. ¿Cuántos obreros constituyen la cuadrilla?

Page 110: Manual Senati

PORCENTAJE

La expresión “..... por ciento” es derivada de la expresión latina “......per centum”, apareciendo en las principales obras de aritmética en la Italia del siglo XV y su signo (%) fue fruto de una sucesiva mutilación a través de los tiempos, de la abreviatura de 100 (cto); apareciendo éste en un libro de comercio y ciencias mercantiles en el año 1685.

DEFINICIÓN

El tanto por ciento viene a ser o una, o varias, de las cien partes en las cuales se divide una cierta cantidad.

La regla del tanto por ciento es una aplicación de la regla de tres simple directa.

Notación: Si a% de b es igual a c:

Ejemplo: Hallar el 7 por ciento de 81:

PROPIEDADES DEL TANTO POR CIENTO

1) Toda cantidad representa el 100% de sí misma. N= 100% N .

2) Los porcentajes de diferentes cantidades se pueden sumar o restar de modo algebraico, es decir, solamente se pueden operar porcentajes que operen a una misma cantidad %N + %N - %N = (++)N .

Donde: ; ; Q+

43% M + 27%M – 15%M = 55%M

RELACIÓN ENTRE LA TEORÍA DEL PORCENTAJE Y LAS FRACCIONES

Las variaciones porcentuales (cambios que experimenta una determinada cantidad, con respecto de su valor original) se pueden expresar como una fracción en la cual el numerador es aquélla cantidad a operar y el denominador es el número respecto al cual se dé a ser la repartición (en el tanto por ciento, el indicador equivale a 100, por ejemplo).

Para convertir una determinada fracción a porcentaje, basta con multiplicar dicha fracción con el número al cual se ha de repartir dicha fracción.

Ejemplo:

(*) Convertir 1/5 a tanto por ciento: 1/5 (100) = 20% se lee: “veinte por ciento”.

Page 111: Manual Senati

(*) Convertir 4/9 a tanto por 27: 4/9 (27) = 12 “doce por veintisiete”.

(*) Convertir 95% a fracción: (95/100) = 19/20

(*) Convertir 3 por 10 a fracción: 3 por 10 3/10

Obs.

* Tanto por Cuanto: Si en un inicio decimos que el tanto por ciento de cierta cantidad era una ó más de las partes (las cien) en que se pueden dividir dicha cantidad; al tanto por cuanto se le define como una o varias partes que se toman en cuenta de un número determinado de partes en las cuales se puede dividir una determinada cantidad.

Notación: Si él a por b de c es igual a d: ; donde b 100.

Hallar el 3 por 5 de 75:

* Tanto por ciento del tanto por ciento: Se denomina así al cálculo del porcentaje sobre otro porcentaje y así, sucesivamente de cierta cantidad.

Ejemplo:

Hallar el 30% del 40% del 60% de 3100:

(30/100)(40/100)(60/100)(3100) = 223,2

OPERACIONES SUCESIVAS DEL TANTO POR CIENTO

En asuntos relacionados con el porcentaje pueden presentarse casos que involucren un aumento o disminución de cierta cantidad que se manifiesta por medio de un porcentaje sobre la cantidad indicada.

Ejemplo:

Si un individuo contaba con una cuenta de ahorros de 80 000 nuevos soles en el Banco Santander – Central Hispano (BSCH) y cuando llega a dicho banco decide extraer todos sus ahorros, los ochenta mil nuevos soles, y recibe cien mil soles en vez de los ochenta mil nuevos soles iniciales, entonces estaría recibiendo un incremento de veinte mil soles, es decir, Recibe un incremento del 25% (veinticinco por ciento) de total de su cuenta de ahorros.

AUMENTOS SUCESIVOS

Consiste en hallar a qué Aumento Único (AU), equivalen a varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad.

En forma general para solucionar estos casos se aplica la formula:

Dados los aumentos sucesivos: a1%, a2%, a3%, …, an%;

Page 112: Manual Senati

Ejemplo:

* Juan Carlos compro 10 Kg. de Azúcar y lo vende haciendo dos incrementos sucesivos del 30% y del 40% sobre el precio de venta. Hallar el incremento Único que se estableció en la venta del Azúcar.

Solución

Sean los incrementos del 30% y del 40%;

El incremento único será del 82%

DESCUENTOS SUCESIVOS

Consiste en hallar a qué descuento único, equivalen varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad.

En forma general para solucionar estos casos se aplica la formula:

Dados los descuentos sucesivos: a1%, a2%, a3%, …, an%;

Ejemplo:

* Alexander, jefe del personal de la Fabrica D’onofrio, tiene encomendado reducir el sueldo básico de sus empleados. Si llega a establecer dos descuentos del 40% y del 25%, el descuento único será:

Solución

Sean los descuentos del 40% y del 25%;

El Descuento único será el 55%

EJERCICIOS BÁSICOS

1. Determine el 3% de 600 piezas.

Solución:

3% <> <>0.03

Por regla de tres simple.

600 piezas 100%

x 3%

Otro método.

0.03x600 = 18

Entonces se encuentran 18 piezas

Page 113: Manual Senati

x = 18 piezas.

2. Un libro que cuesta S/.25 va a aumentar de precio el 20%. ¿Cuál será el nuevo precio?

Solución:

Por regla de tres.

100% S/.25

120% S/.x

x = S/. 30

3. La mano de obra (M) y las indemnizaciones (I) suman 40% del valor de una obra. Si las indemnizaciones representan el 60% del importe de la mano de obra. ¿Qué tanto por ciento del valor de dicha obra importa solo la mano de obra?

Solución:

Del problema:

M + I = 40% obra

I = 60% M

Entonces reemplazando.

M + (60% M) = 40% obra

160% M = 40% obra

M = 40/160 = 0.25

M = 25%.

4. Un comerciante rebajó el precio de venta de su mercadería en un 20%. Si sus ventas aumentaron en un 40%. ¿En qué porcentaje aumentaron sus ingresos? (suponga que son 100 objetos a una venta de S/. 100 c/u)

Solución:

Precio de venta: S/.100

Precio rebajado en 20%: S/. 80

Nº de objetos vendidos: 100

Aumento de ventas 40%: 140

Ingresos = S/. 100x100 = S/. 10 000

= S/. 80x 140 = S/. 11 200

Otro método.

S/. 25<>100%

Si aumenta en 20%, entonces el precio será: 120%<>1.2

Entonces:

1.2 x 25 = 30

Entonces el precio es S/. 30.

Page 114: Manual Senati

Aumento de ingresos = 1 200

S/. 10 000 100%

S/. 1 200 x%

x = 12%

ASUNTOS COMERCIALES

Una Transacción comercial es el intercambio de bienes y servicios a cambio de dinero que se establece entre dos ó más personas, de manera que la persona que vende dicho bien o dicho servicio puede obtener, como consecuencia de la transacción, un beneficio o una pérdida de su patrimonio.

Es necesario conocer las definiciones de las relaciones financieras dadas a continuación:

1) Precio de Venta (Pv): Es aquel con el cual se cotiza un determinado artículo.

Ejemplo: Si en el mercado observamos que el kilo de Azúcar cuesta s/.1.50 entonces decimos que s/.1.50 es el precio de venta del azúcar.

2) Precio de Costo ó de Compra (Pc): Es aquel con el cual se adquiere un determinado artículo para su posterior uso.

Ejemplo:Si compramos un costal de 10 kilos de arroz a 12 soles, es decir, S/. 1.20 por cada kilo de arroz, decimos que 12 es el precio de costo por qué ese fue el precio establecido para poder adquirir dicho producto.

3) Precio Fijado, de Catálogo ó Precio de Lista (Pl): Es el precio determinado en una lista o catálogo de diversas compañías o establecimientos comerciales.

Ejemplo: Los precios de una determinada marca de zapatillas de vestir en una tienda de ropa.

4) Ganancia, Beneficio, Renta o Utilidad (G): Es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio mayor de lo que costo originalmente.

Ejemplo: Si un televisor se compra a 200 dólares y luego se vende a 300 dólares, hablamos de una utilidad de 100 dólares.

5) Pérdida (P): Es la cantidad que se obtiene cuando se vende cierto elemento a un precio menor que lo que costo originalmente.

Ejemplo: Si se compra un televisor a 300 dólares y se vende en 250 dólares, hablamos de una pérdida de 50 dólares.

Page 115: Manual Senati

6) Descuento (dcto; D): Pago de un documento no vencido, al cual se le redujo el costo – en una cantidad acordada por ambas partes – como interés del dinero.

Obs.:

1) Se determina al precio de venta como la suma del precio de costo y la ganancia.

Pv = Pc + G

2) Se determina al precio de venta como la diferencia del precio de costo y la perdida.

Pv = Pc – P

3) Se determina al precio de costo como la suma del precio de venta y la pérdida.

Pc = Pv + P

4) Se define al precio de lista como la suma del precio de venta y el descuento.

Pl = Pv + D

5) La ganancia bruta es la suma de la ganancia neta más gastos.

GB = GN + g

EJERCICIOS BÁSICOS:

A continuación mostraremos un ejemplo en donde veremos con claridad, cómo se aplica las definiciones dadas anteriormente.

1. Un comerciante compró una calculadora en 150 dólares y fija para su venta al público un precio de 190 dólares; sin embargo lo vende en 175 dólares debido a que hizo una rebaja de 15 dólares. Aparentemente ganó 25 dólares, pero no es así porque la venta le generó gastos de 5 dólares, por lo cual realmente ganó 20 dólares.

Haremos un esquema para ayudarnos a desarrollar:

Precio de costo

$150

Ganancia bruta

$25

Descuento

$15

Se observa que: Pf = Pc + G + D y Pv = Pc + Ganancia

Aumentó: $40

Precio fijado: $190

Precio de venta: $175 $190

Page 116: Manual Senati

Además:

Ganancia neta

$20

Gastos

$5

Se observa que:

GB = GN + gastos

Pero no siempre se va a ganar en la venta, también puede haber pérdida. Supongamos que la calculadora que costó $150 sólo se pudo vender a $110, entonces se pierde $40.

Precio de venta

$110

Pérdida

$40

Se observa que:

Pv = Pc – Pérdida

2. Un comerciante compra un objeto en S/. 70 y decide venderlo a S/. 90. ¿Cuánto de utilidad recibe y que porcentaje representa de precio de compra?

Solución:

Sabemos que: Ut = Pv – Pc

Ut = 90 – 70

Ut = 20 soles

El porcentaje es:

3. Se compró un artículo en 800 soles. ¿Qué precio debe fijarse para su venta al público para hacer un descuento del 20% y aun así ganar el 25%?

Solución:

Según el enunciado:

Ganancia: 25%(800) = 200 soles

Descuento: 20%(precio fijado) < > (precio fijado)

Asumiendo: P. fijado = 5k descuento = k

Gráficamente tenemos:

Precio de costo

S/. 800

Ganancia

S/. 200

Descuento

k

Del gráfico tenemos: 800 + 200 + k = 5k

Ganancia bruta: $25 $190

Precio de costo: $150 $190

Precio fijado: 5k

Page 117: Manual Senati

k = 250

Entonces el precio fijado es: 5(250) = S/. 1 250

4. Se vendió una radio en S/. 64, ganando el 28% del precio de compra más el 10% del precio de venta. ¿Cuál es el costo de la radio?

Solución:

Sea el precio de costo: S/. 100x

Mediante una gráfica:

Precio de costo

S/. 100x28%(100x) = 28x 10%(640) = 64

Del gráfico: 100x + 28x +64 = 640

x = 4.5

El precio de costo es: 100(4.5) = S/. 450

ELEMENTOS DEL PORCENTAJE

La ecuación básica que permite identificar los elementos de porcentaje esta dada por:

Producto = tasa x base

P = R x B

P: se considera como porcentaje y es el resultado de multiplicar los otros dos.

R: tasa y aparece con signo de porcentaje (%)

B: es la cantidad total con la que se selecciona la tasa, por lo general viene después de la proposición de (sobre).

Ejemplo:

Jane ahorro 5% de su sueldo, que era S/. 150 a la semana. ¿Cuánto pudo guardar en el banco cada semana?

R = 5% = 0.05

B = S/.150

P = es la cantidad que guarda en el banco cada semana.

Sabemos:

P = R x B

P = 0.05 x 150

P = 7.50

Jane ahorro 5% de su sueldo semanal. De esa forma pudo guardar S/. 7.50 en el banco cada semana.

Ganancia

Precio de venta: S/. 640

Page 118: Manual Senati

PROBLEMAS DIVERSOS QUE SE PRESENTAN

Comisiones

Royal S.A. ha contratado un vendedor. La compañía está de acuerdo en pagarle S/. 300 a la semana y un 5% de sus ventas semanalmente como comisión. Durante la primera semana de trabajo, sus ventas fueron de S/. 960. ¿Cuánto ganó en la semana?

Solución

Ingresos totales = 300 + comisión

R = 5% = 0.05

B = son las ventas semanales (5% de sus ventas semanales) = 960

P = es la comisión, que se desconoce:

P = R x B

P = 0.05 x 960

P = 48

Ingresos totales = 300 + 48

= S/.348

Impuestos

El señor y la señora García son propietarios de una casa y han estado pagando un impuesto sobre la propiedad de 11.2% por cada S/. 100 del valor catastral. Si la propiedad ha sido tasada en S/. 13 000. ¿Cuál es el impuesto anual sobre la propiedad?

Solución

R = 11.2% = 0.112

B = S/.13 000

P = importe de los impuestos y se desconoce:

P = R x B

P = 0.112 x13 000

P = S/. 1 456

Asignación de espacio

Una tienda de especialidades que vende ropa y accesorios para mujer, encuentra que el departamento de joyería ha vendido más de lo que se esperaba y se le deba asignar más espacio en la tienda. En el año que acaba de terminar, las ventas ascienden al 12% de las ventas totales de la tienda. Se decidió darle al departamento la misma proporción (porciento) de espacio total de la tienda, de 20 000 m2, de acuerdo a su participación en las ventas totales. ¿Cuántos m2 debe tener el departamento?

Solución:

R = 12% = 0.12

B = 20 000 m2

P = es el espacio para el departamento que se desconoce.

Page 119: Manual Senati

P = R x B

P = 0.12 x 20 000

P = 2 400 m2

Medición del cambio

El cambio en porciento (aumento o disminución) es la aplicación de la ecuación básica:

P = R x B

R: es el cambio en porciento y es siempre la incógnita.

B: es siempre el valor original.

P: es el importe del cambio.

Ejemplo:

Lamas Cía. ha tenido dificultades para vender sus productos y decidió rebajar el presupuesto de operación para el próximo año. El presupuesto del año actual es S/. 250 000 y el presupuesto estimado para el año próximo será de S/. 225 000. ¿Qué disminución se propuso, en porcentaje?

Solución:

R = es la incógnita

B = S/. 250 000

P = S/. 25 000

P = R x B

25 000 = R x 250 000

R =

R = 0.10 = 10%

Medición económica

La administración de Atlanta Cía. Se sintió satisfecho al encontrar que sus ventas habían aumentado de S/. 100 000 en 2 003 a S/. 120 000 en 2 004, pero cuando analizaron la información sobre las utilidades, su satisfacción fue menor, aunque había un aumento de S/. 5 000 a S/. 5 500 en el mismo periodo. ¿Por qué no estaban satisfechos por completo?

Solución:

Ventas

% de cambio x valor original = importe del cambio

R x 100 000 = 20 000

R =

R = 0.20

R = 20% de aumento

Utilidades

% de cambio x valor original = importe del cambio

R x 5 000 = 500

R =

R = 0.10

R = 10% de aumento

Page 120: Manual Senati

Los cambios en porcentajes muestran que el aumento en la utilidad fue solo la mitad del aumento en las ventas.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN

1. Cambie los siguientes porcentajes a decimales y quebrados equivalentes en los términos menores posibles.

a. 22%b. 6%c. 226%d. 1%e. 10%f. 3.75%g. 400%h. 8.2%i. 0.25%

j. 0.321%k. 110%l. 3 ¼%m. 50%n. 3/8%o. 15 1/8%p. 4/5%q. 165 1/3%

Page 121: Manual Senati

2. Cambie las siguientes cantidades a porcentajes. Redondee el porcentaje a dos decimales cuando sea necesario.

a. 0.37b. 0.04c. 0.2d. 0.823e. 0.0618f. 1g. 2.4h. 0.001i. 3.00172j. 0.6

k. 1/10l. 5/8m. 2/11n. 2 ½o. 21/11p. 4/5q. 2.1/5.2r. 1/17s. 7/10

3. Determine la cantidad que falle: ajuste a dos decimales donde sea necesario.

Tasa Base Productoa. 7%b. 3 ½%c. 105%d.e.f.g.h. 4%i. 2 ½%j. 0.12%

249520$ 31048025736056

1217.99420117.63.847.50.86

4. Determine el cambio en porcentaje al porcentaje completo más cercano; señale si existe un aumento o una disminución:

El cambio es de A a.b.c.d.e.f.g.h.i.j.

301545

$ 60012.82965006.8

18.110 ¾

454520

$ 62514.250029610.714.022 ¼

5. Encuentre el 42 ½% de 300.6. ¿Cuál es el 3.6% de 820?7. ¿Qué porcentaje de 30 es 40?8. ¿De qué número es 11.7 el 15%?9. ¿De qué número 27 es el 135%?10. Un vendedor gana una comisión del 8 ½. Si sus ventas del último mes fueron $ 3

670. ¿Cuánto fue su ingreso?11. El propietario de una casa paga $ 11.20 por cada $ 100.00 en impuestos de

bienes raíces sobre su propiedad, cuyo valor catastral se tasó en $ 12 000. ¿Cuánto es este pago de impuestos?

12. El desempleo en Estados Unidos se mide como un porcentaje de la fuerza laboral. En junio de 1983 existían 113.6 millones de personas en la fuerza laboral. De

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estos, 11.1 millones estaba desempleados. Encuentre la tasa de desempleo llevándola al decimo más cercano de su porcentaje.

13. Una compañía ha decidido trasladar su fábrica a una localidad distinta. Veinticuatro empleados dijeron que no irían con la compañía. Si eran el 12% del número de empleados. ¿Cuántas personas estaban empleadas por la compañía?

14. En ejecutivo de una compañía recibe el 2% de las utilidades anuales como un bono de fin de año. ¿Cuál fue el importe de las utilidades de la compañía?

15. En Nuevo Laredo se cobra un impuesto sobre ventas del 6%. ¿Cuál es el costo total de un aparato de radio que cueste $ 89.99 antes de impuestos?

16. Un pueblo cercano tiene un impuesto sobre venta del 8%. En la semana terminada el 15 de junio, la tienda por departamento H & H pago $ 656 por impuestos sobre sus ventas. ¿Cuál fue el monto de sus ventas en la semana?

17. En Óptica, S.A. 39 empleados se encuentran de vacaciones. Si la empresa emplea 600 personas. ¿Qué porcentaje de los empleados está trabajando?

18. Viajes Placenteros S.A. anuncia un “viaje estupendo con todos los gastos incluidos” en $ 629. (El corresponde a una nota al pie que dice “Añada 15% por servicio e impuesto”).a. ¿Cuál es el cargo por servicio e impuestos?b. ¿Cuál es el costo total del viaje?

19. Un comerciante minorista vendió una gran cantidad de blusas sobrantes a un 23% menos del precio original. Si originalmente las blusas se habían vendido en $ 27. ¿Cuál fue el precio de venta?

20. Una compañía encontró que el 4% de sus empleados solicitaron la jubilación. Si fueron 16 empleados los que la solicitaron, ¿Cuántas personas emplea la compañía?

21. Una secretaria que gana $ 180 a la semana recibió un aumento del 12 ½% ¿Cuál será su nuevo sueldo?

22. El año anterior, Sergio Larios pago impuestos por $ 4 366.12. Si su ingreso bruto fue de $ 19 846. ¿Qué porcentaje de su ingreso pago por impuestos?

23. La universidad estatal tiene un número inicial de estudiantes de 5 000. De estos 1 200 se especializan en humanidades, 1 500 se especializan en administración, 700 han decidido otras especializaciones y el reto aun no se ha decidido.a. ¿Qué porcentaje de la clase desea especializarse en humanidades?b. ¿Qué porcentaje ha seleccionado una especialización distinta a humanidades o

administración?c. ¿Qué porcentaje no se ha decidido?

24. Cuando se introdujo una nueva maquinaria en una fábrica, un trabajador aumentó su producción de 80 a 96 unidades. ¿Cuál fue el porcentaje del aumento?

25. Un gran supermercado ordenó 60 cajas de jalea. Al revisar el pedido, se encontró que solamente se recibieron 55 cajas. ¿Qué porcentaje del pedido falló?

26. Se ha comprado una máquina de escribir eléctrica en $ 410 y se vendió en $ 595. ¿Qué porcentaje del precio de venta es el costo?

27. El señor y la señora López vendieron su cabaña de verano en $ 35 000 aunque había pagado sólo $ 21 000 por ella unos pocos años antes. Determine el porcentaje de cambio en el valor de la casa.

28. El Banco Central decidió integrar en la computadora sus procedimientos de verificación de cheques, encontrando que podían reducir los empleados de 410 a 25. ¿Cuál fue el porcentaje de cambio en el número de empleados?

29. Una universidad, obligada a reducir su presupuesto en un 15%, decidió reducir el número de nuevos estudiantes en el mismo porcentaje. Existían 3 300 estudiantes en el curso anterior. ¿Cuántos alumnos de nuevo ingreso debe aceptar?

30. Una fábrica rebaja el precio de una tela para cortina de $ 12 el metro a $ 8.50, ¿Qué porcentaje de rebaja en precios podrían anunciar?

31. Un grupo de producción en una fábrica produjo 295 unidades en una semana, aunque su cuota era sólo de 255 unidades.

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a. ¿En qué porcentaje la producción fue mayor que la cuota?b. Si se les pagara una cantidad adicional de $ 2.50 por cada artículo producido

en exceso de la cuota. ¿A cuánto ascendería la retribución adicional que recibirán esa semana?

32. Arturo Díaz realizó un primer pago de $ 2 000 por un automóvil nuevo. Después de este pago, él ya poseía el 80% del precio de compra. ¿Cuál es el precio de venta del automóvil?

33. La compañía de teléfonos cobra 75 centavos por una llamada de dos minutos dentro de un radio de 50 millas. Sin embargo, después de las 5 p.m. el cargo es de sólo 50 centavos. ¿Cuál es el porcentaje de rebaja en la tarifa?

34. Un automóvil tiene un precio base de $ 6 900. Después de que el comprador añadió equipo opcional, el precio total fue $ 8 800.a. ¿En qué porcentaje aumentó el precio el añadir equipo opcional?b. Si la venta se realiza en un área donde el impuesto sobre la venta es del 8%,

¿Cuál es el costo total del automóvil, incluyendo el equipo opcional y el impuesto?

35. Se compró un casa de $ 70 000 con un pago inicial de $ 14 000 y una hipoteca por el resto. Se añadieron costos de escrituración de $ 4 000 al precio de compra.a. ¿Qué porcentaje del precio total de compra fue la hipoteca?b. ¿En qué porcentaje la inclusión de los costos de escrituración aumentaron el precio original de la casa?

36. El precio de un aparato de televisión era $ 445. Susana y Guillermo Ruiz lo compraron con un pago inicial de 20% del precio de venta, ¿Cuánto representó este pago inicial? ¿Qué porcentaje del precio representa el saldo pendiente?

37. Horacio Andreas compró 250 acciones a $ 42.10 la acción. Al finalizar el año se pagó un dividendo del 7.1% a todos los accionistas, ¿Cuánto recibió Horacio?

38. Una casa de bolsa aconsejó a José Luis Rodríguez colocar el 22% de su capital en bonos del gobierno, el 51% en acciones y el resto en bienes raíces. Si invirtió $ 47. 061 en bienes raíces, ¿Cuál fue el valor total de su capital?

39. Una oficina dedicada a cobrar cuentas difíciles logró cobrar el 80% de una cuenta de $ 2 500 que tenía mucho tiempo de vencida. Si cobraron el 12% por sus servicios, ¿Cuánto revió la oficina?

40. Una familia con un ingreso mensual de $ 1 800 gasta el 95%de sus ingresos y ahorra el resto. ¿Cuáles son los ahorros anuales de esta familia?