Manual Prácticas IP 01-04-2014
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i
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
DEPTO. DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIA
CURSO INGENIERÍA DE PLANTA
MANUAL DE PRÁCTICAS
IGNACIO COVARRUBIAS GUTIÉRREZ
ENERO 2013
ii
Contenido
CONTENIDO ...................................................................................................................................................... II
INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................ 1
UNIDAD 1. PROCESOS AGROINDUSTRIALES ...................................................................................................... 4
1.1 OBJETIVO .......................................................................................................................................................... 4
1.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................................................................... 4
Planos de Distribución de Áreas y de Equipo ................................................................................................... 4
Diagrama de Flujo de Proceso (DFP) ................................................................................................................ 7
Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI) .............................................................................................. 12
PRÁCTICA 1.- LOS PLANOS EN PLANTAS AGROINDUSTRIALES ........................................................................................... 17 1.1. Propósitos ............................................................................................................................................................. 17 1.2. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 17 1.3. Información a obtener .......................................................................................................................................... 17 1.4. Características del informe ................................................................................................................................... 18 1.5. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 18
PRÁCTICA 2.- EL DIAGRAMA DE FLUJO DE PROCESOS (DFP) ............................................................................................ 20 1.1. Propósitos ............................................................................................................................................................. 20 1.2. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 20 1.3. Información a obtener .......................................................................................................................................... 20 1.4. Características del informe ................................................................................................................................... 21 1.5. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 21
PRÁCTICA 3.- EL DIAGRAMA DE TUBERÍA E INSTRUMENTACIÓN (DTI) ............................................................................... 23 1.1. Propósitos ............................................................................................................................................................. 23 1.2. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 23 1.3. Información a obtener .......................................................................................................................................... 23 1.4. Características del informe ................................................................................................................................... 24 1.5. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 24
UNIDAD 2.- SIMULACIÓN Y OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS .............................................................................. 25
2.1 OBJETIVO ........................................................................................................................................................ 25
2.2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ................................................................................................................................... 25
2.2.1. Ejercicios para simulación de procesos ................................................................................................ 26
2.2.2 Cálculo diferencial ................................................................................................................................. 39
2.2.3. Método de Lagrange............................................................................................................................ 40
2.2.4 Programación Lineal ............................................................................................................................. 41
2.2.5 Programación dinámica ........................................................................................................................ 43
PRÁCTICA 4.- SIMULACIÓN DE MODELOS MATEMÁTICOS ................................................................................................. 50 4.1 Ubicación y materiales requeridos ........................................................................................................................ 50 4.2 Información a obtener ........................................................................................................................................... 50 4.3 Características del informe .................................................................................................................................... 50 4.4 Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................. 51
PRÁCTICA 5.- SOLUCIÓN DE MODELOS POR EL MÉTODO DE LAGRANGE Y USO DE PAQUETES DE CÓMPUTO. .............................. 52
iii
5.1 Ubicación y materiales requeridos ........................................................................................................................ 52 5.2 Información a obtener ........................................................................................................................................... 52 5.3 Características del informe .................................................................................................................................... 55 5.4 Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................. 55
PRÁCTICA 6.- SOLUCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Y USO DE EXCEL ............................................................. 56 6.1 Ubicación y materiales requeridos ........................................................................................................................ 56 6.2 Información a obtener ........................................................................................................................................... 56 6.3 Características del informe .................................................................................................................................... 59 6.4 Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................. 60
UNIDAD 3.- SISTEMAS DE TRABAJO ................................................................................................................ 61
3.1. OBJETIVOS ...................................................................................................................................................... 61
3.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................................................................. 61
PRÁCTICA 7.- EL DIAGRAMA DE RECORRIDO DE LOS MATERIALES. .................................................................................... 64 7.1. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 64 7.2. Información a obtener .......................................................................................................................................... 64 7.3. Características del informe ................................................................................................................................... 64 7.4. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 65
PRÁCTICA 8.- CURSOGRAMAS ANALÍTICOS DE OPERADOR, MATERIALES, EQUIPO ................................................................ 66 8.1. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 66 8.2. Información a obtener .......................................................................................................................................... 66 8.3. Características del informe ................................................................................................................................... 66 8.4. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 67
PRÁCTICA 9.- MEDICIÓN DEL TRABAJO Y TIEMPO ESTÁNDAR ............................................................................................ 68 9.1. Ubicación y materiales requeridos ....................................................................................................................... 68 9.2. Información a obtener .......................................................................................................................................... 68 9.3.Características del informe .................................................................................................................................... 69 9.4. Bibliografía de apoyo ............................................................................................................................................ 69
UNIDAD 4.- DISEÑO DE ESTACIÓN DE TRABAJO .............................................................................................. 70
3.1. OBJETIVOS ...................................................................................................................................................... 70
3.2. FUNDAMENTOS TEÓRICOS .................................................................................................................................. 70
PRÁCTICA 10.- EQUIPOS PARA MANEJO DE MATERIALES ................................................................................................ 73 10.1.Ubicación y materiales requeridos ...................................................................................................................... 73 10.2. Información a obtener ........................................................................................................................................ 73 10.3. Características del informe ................................................................................................................................. 73 10.4. Bibliografía de apoyo .......................................................................................................................................... 74
PRÁCTICA 11.- LA ESTACIÓN DE TRABAJO .................................................................................................................... 75 11.1. Ubicación y materiales requeridos ..................................................................................................................... 75 11.2. Información a obtener ........................................................................................................................................ 75 11.3. Características del informe ................................................................................................................................. 75 11.4. Bibliografía de apoyo .......................................................................................................................................... 76
PRÁCTICA 12.- TÉCNICAS PARA BALANCEO DE LÍNEAS .................................................................................................... 77 12.1. Ubicación y materiales requeridos ..................................................................................................................... 77 12.2. Información a obtener ........................................................................................................................................ 77 12.3. Características del informe ................................................................................................................................. 77 12.4. Bibliografía de apoyo .......................................................................................................................................... 78
1
Introducción
El empleo de las herramientas para el diseño y análisis de plantas agroindustriales es
fundamental para el desarrollo profesional de los egresados de la carrera de Ingeniería
Agroindustrial de la Universidad Autónoma Chapingo. La habilidad en el manejo de estas
herramientas se logra mediante la práctica, por lo que el curso de Ingeniería de Planta tiene
la característica de darle una importancia relativamente más alta a la práctica, puesto que el
60 % de la evaluación corresponde a los aspectos prácticos como la elaboración de un
proyecto de diseño de una planta agroindustrial, la asistencia y participación en las prácticas,
y los informes de las prácticas realizadas.
El programa del curso está conformado por cuatro unidades: I) Procesos agroindustriales,
II) Optimización de procesos, III) Sistemas de trabajo, y IV) Diseño de la estación de trabajo.
Para cada una de estas unidades se proponen prácticas para que el alumnos sea capaz de
conocer y emplear las técnicas y los métodos en el diseño y el análisis de los procesos
agroindustriales, el estudio del trabajo, el análisis de la producción y la productividad
conforme al espacio y las técnicas de optimización.
El desarrollo de las prácticas implica su explicación en el salón de clases y el desarrollo en las
plantas piloto de frutas y hortalizas, productos cárnicos, planta lechera, frigorífico
experimental, laboratorio de procesos unitarios, laboratorio de cómputo, para finalmente
realizar el informe respectivo.
Este manual proporciona la información necesaria para el desarrollo de las prácticas y en
cada una de ellas se propone el contenido siguiente: objetivo, fundamentos teóricos,
ubicación y materiales requeridos, información a obtener, características del informe,
bibliografía de apoyo.
Cada práctica tiene una clave relacionada con la unidad, el número de práctica, las horas con
la asesoría de del profesor y las horas estimadas de trabajo extra clase destinadas a la
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preparación del informe. Como ejemplo (U1P1:04-04) implica que es la práctica uno,
corresponde a la unidad uno y se destinan 4 horas de asesoría del profesor y 4 horas para la
elaboración del informe.
En este manual se plasma la experiencia acumulada por más de veinte años en la impartición
del curso, además de la actualización en el empleo de las herramientas de cómputo como el
uso de programas para el análisis de datos como son las hojas de cálculo, paquetes de
cómputo para el desarrollo de planos y diagramas, solución de modelos matemáticos y
simulación de procesos, entre otros.
Las prácticas que se desarrollan en cada una de las unidades del programa del curso son las
siguientes:
Unidad 1.- Procesos Agroindustriales.
Práctica 1.- Los Planos en Plantas Agroindustriales.
Práctica 2.- El Diagrama de Flujo de Procesos (DFP).
Práctica 3.- El Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI).
Unidad 2.- Simulación y Optimización de Procesos
Práctica 4.- Simulación de Modelos Matemáticos.
Práctica 5.- Solución de Modelos por el Método de Lagrange y uso de Excel.
Práctica 6.- Solución de Modelos de Programación Lineal y uso de Excel.
Unidad 3.- Sistemas de Trabajo
Práctica 7.- El Diagrama de Recorrido de los Materiales.
Práctica 8.- Cursogramas Analíticos de operador, de materiales, de equipo.
Práctica 9.- Medición del trabajo y tiempo estándar.
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Unidad 4.- Diseño de Estación de Trabajo
Práctica 10.- Equipos para Manejo de Materiales.
Práctica 11.- La Estación de Trabajo.
Práctica 12.- Técnicas para Balanceo de Líneas.
Para mantener una estructura homogénea del documento, en cada unidad se incluye el
objetivo y los fundamentos teóricos. Además cada práctica está conformada por: Ubicación y
materiales requeridos; Información a obtener; Características del informe; Bibliografía de
apoyo.
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Unidad 1. Procesos agroindustriales
1.1 Objetivo
Elaborar planos y diagramas de instalaciones de la Universidad relacionadas con el
procesamiento de alimentos, mediante el uso de herramientas de diseño auxiliado por
computadora (CAD).
1.2 Fundamentos Teóricos
En la vida cotidiana existen diferentes formas de comunicación, mediante la palabra,
mediante señas, mediante imágenes, mediante textos, entre otros. Los ingenieros para
expresar sus obras y comunicarse emplean planos y diagramas. En este apartado se
describirán brevemente las características de los planos y diagramas que deben conocer los
ingenieros agroindustriales.
Planos de Distribución de Áreas y de Equipo
Los planos son representaciones en dos dimensiones desarrollados a escala e impresos en
hojas de papel de diferentes tamaños, antiguamente era común contar con equipo y
herramientas especiales para la elaboración de planos como el re estirador, los juegos de
reglas, escuadras, escalímetros, estilógrafos, etc., actualmente con el desarrollo de las
computadoras personales se han desarrollado paquetes que facilitan el diseño auxiliado por
computadora (computer-aided design – CAD), siendo el “AUTOCAD” uno de los programas de
cómputo más se empleado en la elaboración de planos.
Para el diseño y análisis de plantas agroindustriales los planos comúnmente empleados son
el plano general de áreas y el plano de distribución de equipo. En el primer plano se incluyen
todas las áreas donde se encuentran el área de proceso, área de oficinas, áreas de
estacionamiento y circulación de vehículos, áreas de esparcimiento, áreas de servicios (agua,
energía eléctrica, combustibles, tratamiento de aguas, etc.); en el plano de distribución de
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equipo se presenta un acercamiento del área de procesos donde se presenta todo el equipo
que se encuentra en cada una de las líneas de proceso. Cuando el área de proceso tiene más
de una planta, como en las fábricas de harina de trigo, se elabora un plano por cada planta.
Un aspecto importante en los planos es el tamaño del papel empleado para la impresión, los
tamaños más comunes se muestran en el cuadro 1, donde se presenta la norma ANSI, ISO y
los planos de arquitectura (ARCH). El tamaño de papel 900 mm X 600 mm es el que más se
empleado y corresponde a los planos tipo “D” (ANSI D ó ISO A1), el cual para dejar un margen
de 20 mm, se indica en el área de dibujo de Auto-Cad 860,560 (Format/Drawing Limits).
Cuadro 1.- Tamaños comunes de papel empleados para imprimir planos.
NORMA PULGADAS MILÍMETROS
X Y X Y
ANSI C 22 17 559 432
ANSI D 34 22 864 559
ANSI E 44 34 1118 864
ARCH C 24 18 610 457
ARCH D 36 24 914 610
ARCH E 48 36 1219 914
ARCH E1 42 30 1067 762
ISO A2 23.39 16.54 594 420
ISO A1 33.11 23.39 841 594
ISO A0 46.81 33.11 1189 841
Fuente: Autocad, versión 2009.
Un ejemplo de hoja de trabajo para Autocad se muestra en la figura 1, donde se observa las
áreas destinadas a dibujo de las áreas del proceso, la simbología y el cuadro de identificación.
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Figura 1.- Ejemplo de una hoja de trabajo con medidas de 860 X 560 mm.
El cuadro de identificación siempre debe estar en el margen inferior derecho con un tamaño
adecuado, para que sea visible en media carta una vez impreso, puede ser de 200 a 160 mm
en el eje “X” y de 150 a 120 mm en el eje “Y”. Las partes que debe tener son: Logotipo y
nombre de la empresa, nombre del plano, nombre de quien lo elaboró y fecha, nombre de
quien lo revisó y fecha, número de identificación y escala utilizada.
En el área de simbología se indican los símbolos empleados en el área de dibujo, cuando se
emplean símbolos relacionados con una norma nacional o internacional no es necesario que
se indiquen en la simbología, solo es necesario hacer referencia a la norma empleado, como
ejemplo norma ISA-S5.1, que define la simbología de los instrumentos de medición y control.
En el área de dibujo se indican a escala y en planta las características de los espacios
agroindustriales puede ser el plano general de las áreas, el plano del área de procesos y
servicios, entre otros. En el plano es importante señalar los muros, puertas, divisiones de los
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espacios abiertos como estacionamientos, accesos y áreas recreativas, espacios cerrados
donde están las áreas de servicios y las de procesos.
Diagrama de Flujo de Proceso (DFP)
El diagrama de flujo de proceso es la representación mediante figuras de los equipos de
todas las operaciones que se realizan en el área de proceso de la empresa agroindustrial, a
diferencia de los planos, los diagramas no son a escala, pero se busca que el tamaño de los
equipos sea representado en forma proporcional. Se recomienda representar el tamaño
como la raíz cuadrada de la dimensiones, como ejemplo, si un deposito de leche tiene una
altura de 100 cm y la bomba de alimentación 25 cm, se representan en el diagrama con 10
cm y 5 cm respectivamente. Cuando se tienen equipos muy grandes como torres de
destilación de 4 m o más, al sacar la raíz cuadrada de 4, el resultado serían 2 m que se
pueden transformar a 20 cm que es una medida que puede representarse en el tamaño de
papel de 90 X 60 cm. Las partes que conforman el DFP, como se ilustra en la figura 2, son:
1. Cuadro de identificación
2. Cuadro de simbología
3. Área de dibujo del proceso y equipo
4. Cuadro de balance de materia y energía
5. Cuadro de especificación de equipo
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Figura 2.- Partes del Diagrama de Flujo de Proceso y su forma de distribuirlas.
Cuadro de Identificación
En el cuadro de identificación se deben indicar el nombre de la empresa que realiza el
diagrama con su logo respectivo, el título del DFP (ejemplo Diagrama de Flujo del Proceso de
elaboración de jugo de manzana), el nombre del responsable de su elaboración, fecha de
elaboración e in dicar un cuadro para revisiones con No. de Rev., fecha y nombre del revisor.
La ubicación debe ser en el margen inferior derecho y el tamaño aproximado de 20 cm a 16
cm de base por 15 a 12 cm de altura.
Cuadro de Simbología
En el cuadro de simbología solo se deben de colocar las banderas empleadas para indicar
punto de balance, línea de flujo principal, línea de flujo secundario, símbolos para indicar
presión, temperatura, concentración cuando se considere importante. El símbolo de los
equipos y su nomenclatura no se indica porque se debe utilizar una norma establecida o
hacer referencia a un autor.
Área de Dibujo del Proceso y Equipo
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En el área de dibujo se deben indicar todas las entradas en el margen izquierdo y todas las
salidas en el margen derecho de esta área, indicando el nombre del material dentro de la
flecha como se ilustra a continuación.
Manzanas Jugo clarificado
Para representar los equipos se emplea nomenclatura internacional dada por algunos
autores como Ulrich, Walas et al, Sandler y Luckiewicz, algunos ejemplos tomados de Ulrich
(1986) son los siguientes:
Ventilador Separador Ciclónico Intercambiador de Calor
Una vez que se distribuyen los equipos principales y auxiliares en el área de dibujo, se unen
con líneas y se indica con flechas el sentido del flujo, además en cada línea se coloca un
número de identificación en forma secuencial, también denominado punto de balance, de la
siguiente forma: 1 2 3 …………………………………..n La línea del flujo principal se
identifica con mayor espesor o un color diferente a los flujos secundarios y terciarios, los
servicios se pueden indicar con los colores normados para dichos servicios (verde para agua,
rojo para vapor, etc).
Cada equipo se identifica con una letra, un guión y números, las letras empleadas son:
Los números indican el área de proceso (100, 200, 300, ..), la sección del proceso (10, 20,
30,..) y la secuencia (1, 2, 3,..). Los equipos principales se numeran con el número de área y
de sección, como ejemplo, un pasteurizador HTST ubicado en la sección 20 y el área 200, su
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nomenclatura será: D-220. Los equipos auxiliares se les da el número secuencial, así una
bomba de alimentación al pasteurizador anterior implica una nomenclatura: L-221 o L-222.
Como ejemplo de la representación del equipo, flujo principal, puntos de balance y
nomenclatura para el pasteurizador HTST ver figura 3.
Figura 3.- Representación de un pasteurizador HTST en el Diagrama de Flujo de Proceso
Cuadro de Especificación de Equipo
Cada equipo que se representa en el Diagrama de Flujo de Proceso debe indicarse sus
características en el cuadro de especificación de equipo, dentro de estas destacan por su
importancia: Tipo, material de construcción, marca, modelo, capacidad, dimensiones,
potencia de motores, velocidad en transportadores, etc., como ejemplo se presentan algunas
especificaciones de equipo empleado comúnmente empleado en plantas agroindustriales.
E-220: Pasteurizador HTST de placas en acero inoxidable, marca Alfa Laval, Modelo AL-550,
con capacidad de 10,000 l/h.
J-121: Banda transportadora de plástico sanitario, marca MAPISA, capacidad de 5 t/h, 2 m
ancho X 5 m de largo, velocidad de 1 m/min, y motorreductor de 3 hp.
Cuadro de Balance de Materia y Energía
En este apartado se indica en cada punto de balance las propiedades de los flujos principales,
secundarios de y de servicios, destacando el flujo másico expresado en kg/h cuando los flujos
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son continuos, y en t/día, t/ciclo de 4 días, t/semana/ toneladas/mes, cuando los proceso son
discontinuos o en lotes. La siguiente propiedad es la composición, donde en primer lugar está
el agua, ya que se encuentra presente en todos los alimentos y algunos servicios como el
vapor; los sólidos totales, sólidos solubles, sólidos insolubles y propiedad de interés al
proceso como aceite, pigmento, proteína, almidón, azúcares, etc., son características que
están presentes en la columna destinada a propiedades. Además para disponer de
información relacionada con la energía debe también indicarse la presión, la temperatura, la
capacidad calorífica (Cp) y la entalpía. Es importante recordar que todos los puntos de
balance tienen que estar indicados, desde el punto de balance uno hasta el punto de balance
“n”. Un ejemplo de cuadro de balance de materia y energía se muestra en la figura 4.
Figura 4.- Ejemplo de Cuadro de Balance de Materia y Energía del DFP.
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Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI)
El diagrama de tubería e instrumentación (DTI) es un acercamiento de mayor detalle de los
equipos de proceso, donde se especifican las características de la tubería y los instrumentos
de medición y control. Las partes que debe incluir el DTI son: el cuadro de identificación; el
área de dibujo del equipo, la tubería y la instrumentación; la simbología y las características
de la tubería. En la figura 5 se muestra un ejemplo de la distribución de las partes.
Figura 5.- Distribución de las partes del Diagrama de Tubería e Instrumentación.
El cuadro de identificación tiene las mismas que características de los planos y diagramas. En
la simbología se indican los principales símbolos empleados para la designación de tubería
como letras empleadas para designar el material que transporta, números empleados para
designar material, tipos de señales empleadas en los circuitos de control, entre otras.
Aunque aparece la identificación del equipo en el área de dibujo, en simbología no se indica
su especificación u otra característica.
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Área de Dibujo
Como en el DTI se incluyen detalles de la tubería y la instrumentación, se recomienda incluir
como máximo tres equipos principales, como ejemplo incluir: i) las dos calderas del área de
servicios; ii) el triple efecto con su sistema de alimentación y generación de vacío.
En la tubería empleada para unir los equipos se debe indicar de forma simple las
reducciones, ampliaciones, codos, tes, niples, válvulas, uniones bridadas, tuercas unión y
demás accesorios. No es necesario hacer dibujos estilizados ni representaciones isométricas,
como ejemplo se ilustra a continuación una tubería con algunos accesorios.
Niple y brida de unión Válvula de tres vías
Válvula de paso Válvula de seguridad
Válvula de control Reducción, ampliación
Válvula Check
Válvula de expansión
Te y codo de 90° Válvula reguladora de P
La nomenclatura de la tubería debe de incluir el diámetro expresado en pulgadas, el número
de identificación, el fluido que maneja con dos o tres letras, el material empleado y cuando
existe aislamiento también debe ser indicado entre paréntesis. El número de identificación
está relacionado con el área y la sección; en el tipo de fluido se colocan las iniciales de del
mismo, como ejemplo vapor de agua (VA), Leche Pasteurizada (LP), Leche Bronca Fría (LBF);
en el material empleado se coloca un número siendo típico usar el 50 para acero inoxidable y
el 12 para acero al carbón; En el paréntesis usado para indicar que existe aislamiento se
colocan letras en dependiendo de la función del aislamiento, como ejemplo:
( I ): Implica aislamiento para ahorro de energía.
( P ): Implica aislamiento para protección de las personas.
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( T ): Implica aislamiento con sistema de calentamiento.
( I&T ): Implica aislamiento para ahorro de energía y sistema de calentamiento.
Un ejemplo de nomenclatura de la tubería es el siguiente:
En el área de dibujo también se deben indicar los instrumentos de medición y control,
empleando para su representación la norma ANSI/ISA–S5.1–1984 (R1992), publicada por las
Sociedad Americana de Sistemas de Instrumentación y Automatización (ISA). Las letras
principales que se emplean para indicar las variables de control son: P para presión, T para
temperatura, L para nivel, S para velocidad, TD para diferencia de temperatura, PD para
deferencia de presión, etc. Las letras posteriores pueden E para sensor o elemento primario,
I para indicador, C para control W para termoposo, L para bajo, LL para muy Bajo, H para alto,
HH para muy alto, etc. También está normado el diámetro del círculo para representar los
instrumentos de medición y control, el cual debe ser de 13 mm, donde en la mitad superior
se colocan las letras y en la mitad inferior el número de identificación, es necesario indicar la
ubicación del instrumento, si el círculo no tiene división en la parte central implica que el
instrumento de medición y control está montado localmente, si tiene una línea continua
muestra que el instrumento se encuentra enfrente del tablero, mientras que cuando la línea
es punteada el instrumento de medición y control se encuentra en la parte posterior del
tablero de control, algunos ejemplos se ilustran a continuación:
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Cuando se presentan circuitos de control se debe tener en cuenta que tiene tres elementos
principales, a saber, 1) el sensor de la variable (E); 2) el control (C) ; y 3) el actuador. Los
principales actuadores son las válvulas de control, los motores de velocidad variable, las
bombas, entre otros. Entre el sensor y el control se indica en transmisor de señal con la letra
T, ejemplo TT indica que es un transmisor de la señal de la variable temperatura. Es muy
común indicar en el control también el indicador de la variable en cuestión, así tenemos que
LIC es un controlador indicador de nivel un ejemplo de circuitos de control para una torre de
enfriamiento se muestra en la figura 6. La señales que se emplean para interconectar los
elementos de los circuitos de control pueden ser neumáticas, eléctricas, tubo capilar,
electromagnética o sónica, hidráulica. A continuación se ilustran las formas en que deben
representarse los diferentes tipos de anales empleadas para la conexión de los instrumentos
de medición y control.
Señal Neumática
Señal Eléctrica
Señal hidráulica
Tubo capilar
Electromagnética o sónica no guiada
Electromagnética o sónica guiada
Fuente: NORMA ANSI-ISA S5.1
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Figura 6.- Ejemplo de circuitos de control empleados en torres de enfriamiento
FUENTE: Couper, et al, 2005.
SC 231
SC 231 TDC
231 TT
230
TE 230
TE 231
TT 231
LE 231
LT 231
LC 231
SC 231
SC 231 TDC
231
P-231
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Práctica 1.- Los Planos en Plantas Agroindustriales
1.1. Propósitos
Desarrollar la habilidad de los alumnos para la obtención de información para el diseño y
análisis de instalaciones agroindustriales y plasmarla en un plano.
Practicar y actualizar sus habilidades para el manejo del programa de cómputo en diseño
auxiliado por computadora (CAD), mediante el desarrollo de los planos de distribución de
áreas y de distribución de equipos.
1.2. Ubicación y materiales requeridos
Esta práctica será desarrollada en las instalaciones de la Universidad, particularmente en las
plantas piloto y la Unidad de Tecnología Lechera del Departamento de Ingeniería
Agroindustrial.
Los materiales requeridos para el desarrollo de esta práctica son: cinta métrica de 15 a 25 m
o un lazo con marcaciones de 1 m y un flexómetro de 2 m, hojas blancas y tabla para portar
hojas tamaño carta u oficio, computadora personal o laptop con el programa de Autocad ©
instalado.
1.3. Información a obtener
Con la cintra métrica o el lazo y el flexómetro realizar las mediciones de las áreas asignadas a
cada uno de los equipos, las áreas que serán asignadas son: áreas del frigorífico
experimental, laboratorios poscosecha, cubículos de profesores y laboratorio de producción
de frío; áreas de procesamiento de frutas y hortalizas, laboratorio de lácteos y laboratorio de
frutas y hortalizas; áreas de calderas, procesamiento de productos cárnicos, laboratorio de
operaciones unitarias y purificadora de agua; áreas de la unidad de tecnología lechera.
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Para el plano de distribución de áreas realizar las mediciones en planta de las áreas
asignadas, incluyendo las separaciones y espacios destinados a realizar actividades
específicas como almacenes, laboratorios, cubículos, entre otros.
Para el plano de distribución de equipos hacer las mediciones de la proyección en planta de
los equipos y su ubicación el área de procesamiento, recuerde que en este plano se proyecta
la sombra vertical de los equipos.
1.4. Características del informe
El informe se realizará por equipos y consiste en lo siguiente:
1. Archivo de Autocad © del plano de distribución en planta del área que le fue asignada
a cada uno de los equipos.
2. Archivo de Autocad © del plano de distribución de equipos del área que le fue
asignada a cada uno de los equipos.
3. Archivo en procesador de texto donde sean indicados los aspectos principales del
desarrollo de la práctica, las conclusiones y las fuentes de información consultadas.
La versión en que debe ser guardados los archivos será indicada por el profesor responsable
del curso y/o por el técnico académico auxiliar del curso, así como el correo electrónico al
cual deberán ser enviados los archivos correspondientes.
1.5. Bibliografía de apoyo
1. Couper, J. R., Penney, W. R., fair, J. R., y Walas, S. M. 2005. Chemical Process Equipment.
Selection and Design. Second edition. Elsevier. U.S.A.
2. Norma ANSI/ISA – S5.1. 1984 (R 1992). Instrumentation Symbols and Identification.
Instrument Society of American. North Carolina. U.S.A.
19
3. Peters, M. S. & Timmerhaus, K. D. 1991. Plant Design and Economics for Chemical
Engineers. McGraw-Hill. U.S.A.
4. Sandler, H. J. y Luckiewicz, E. T. 1987. Practical Process Engineering. A Working Approach
tp Plant Design. McGraw-Hill. U.S.A.
5. Ulrich G. D. 1986. Diseño y Economía de los Procesos de Ingeniería Química. Ed. Inter-
americana. México.
6. Vanaclocha, A. C. 2005. Diseño de Industrias Agroalimentarias. Mundi-Prensa. Madrid,
España.
7. Walas, S. T. 1988. Chemical Process Equipment. Selection and Design. First Edition. Ed.
Elsevier. U.S.A.
20
Práctica 2.- El Diagrama de Flujo de Procesos (DFP)
1.1. Propósitos
Desarrollar la habilidad de los alumnos en la obtención de información para el diseño y
análisis de instalaciones agroindustriales y plasmarla en un diagrama o esquema.
Practicar y actualizar sus habilidades para el manejo del programa de cómputo Auto-Cad,
mediante el desarrollo del diagrama de flujo de procesos.
1.2. Ubicación y materiales requeridos
Esta práctica será desarrollada en las instalaciones de la Universidad, particularmente en la
Unidad de Tecnología Lechera del Departamento de Ingeniería Agroindustrial, que desarrolla
actividades todos los días del año.
Los materiales requeridos para el desarrollo de esta práctica son: hojas blancas y tabla para
portar hojas tamaño carta u oficio o también puede emplearse cuaderno de notas,
computadora personal o laptop con el programa de Autocad © instalado.
Es importante disponer de un flexómetro de 2 a 3 m para medir las dimensiones de los
equipos, un termómetro para medir la temperatura de los fluidos y cubetas de plástico para
medir volúmenes de fluido.
1.3. Información a obtener
Para un día de actividades de la planta lechera obtener la información siguiente:
Equipo de proceso empleado, incluyendo calderas, depósito de agua, banco de hielo y sus
características principales como son medidas, capacidades, flujos, potencias de motores,
marcas y modelos.
21
Cantidad de producto procesado durante un día y propiedades de las materias primas, los
productos y los subproductos para el balance de materia y energía. Litros totales de materia
prima procesada y su densidad, materias primas auxiliares como cuajo, sales, cultivo, fruta y
saborizantes, temperaturas de procesamiento, productos elaborados y subproductos como
el suero y requesón, consumo de agua y vapor, temperatura y presión del agua fría y del
vapor, composición de la leche y productos terminados en cuanto a contenidos de agua,
grasa, proteína y otros sólidos.
1.4. Características del informe
El informe se realizará por equipos y consiste en lo siguiente:
1. Archivo de Autocad © del diagrama de flujo del proceso desarrolla en la Unidad de
Tecnología Lechera durante un día de actividades.
2. Archivo en procesador de texto donde sean indicados los aspectos principales del
desarrollo de la práctica, las características de las materias primas, productos,
subproductos y fluidos de servicio (vapor, agua, agua fría) las conclusiones y las
fuentes de información consultadas.
La versión en que debe ser guardados los archivos será indicada por el profesor responsable
del curso y/o por el técnico académico auxiliar del curso, así como el correo electrónico al
cual deberán ser enviados los archivos correspondientes.
1.5. Bibliografía de apoyo
1. Couper, J. R., Penney, W. R., fair, J. R., y Walas, S. M. 2005. Chemical Process Equipment.
Selection and Design. Second edition. Elsevier. U.S.A.
2. Norma ANSI/ISA – S5.1. 1984 (R 1992). Instrumentation Symbols and Identification.
Instrument Society of American. North Carolina. U.S.A.
22
3. Peters, M. S. & Timmerhaus, K. D. 1991. Plant Design and Economics for Chemical
Engineers. McGraw-Hill. U.S.A.
4. Sandler, H. J. y Luckiewicz, E. T. 1987. Practical Process Engineering. A Working Approach
tp Plant Design. McGraw-Hill. U.S.A.
5. Ulrich G. D. 1986. Diseño y Economía de los Procesos de Ingeniería Química. Ed. Inter-
americana. México.
6. Vanaclocha, A. C. 2005. Diseño de Industrias Agroalimentarias. Mundi-Prensa. Madrid,
España.
7. Walas, S. T. 1988. Chemical Process Equipment. Selection and Design. First Edition. Ed.
Elsevier. U.S.A.
23
Práctica 3.- El Diagrama de Tubería e Instrumentación (DTI)
1.1. Propósitos
Desarrollar la habilidad de los alumnos para la obtención de información de instalaciones
agroindustriales y plasmarla en un plano.
Practicar y actualizar sus habilidades para el manejo del programa de cómputo Auto-Cad,
mediante el desarrollo del plano de áreas y el plano de distribución de equipos.
1.2. Ubicación y materiales requeridos
Esta práctica será desarrollada en las instalaciones de la Universidad, particularmente en las
plantas piloto y la Unidad de Tecnología Lechera (UTL) del Departamento de Ingeniería
Agroindustrial, que desarrolla actividades todos los días del año. Los equipos principales que
se distribuirán entre los equipos son: Pasteurizador de leche en la UTL, calderas de la UTL,
Calderas de plantas piloto, triple efecto de plantas piloto, esterilizadores de plantas piloto.
Los materiales requeridos para el desarrollo de esta práctica son:
Hojas blancas y tabla para portar hojas tamaño carta u oficio o también puede emplearse
cuaderno de notas.
Cinta métrica, Regla de 30 cm o un vernier para medir diámetro de tubería.
Computadora personal o laptop con el programa de Autocad © instalado.
1.3. Información a obtener
Una vez distribuidos los espacios para cada uno de los equipos de trabajo se procederá a
obtener la información siguiente:
Equipo principal (calderas, triple efecto, esterilizadores) y secundario (bombas, depósitos,
separadores).
Características de las tuberías y los accesorios. Identificación de instrumentos de medición y circuitos de control. Medición y/o estimación de los flujos de las tuberías.
24
1.4. Características del informe
El informe se realizará por equipos y consiste en lo siguiente:
1. Archivo de Autocad © del diagrama de tubería e instrumentación (DTI) que se le
asignó de acuerdo al sorteo.
2. Archivo en procesador de texto donde sean indicados los aspectos principales del
desarrollo de la práctica, las conclusiones y las fuentes de información consultadas.
La versión en que debe ser guardados los archivos será indicada por el profesor responsable
del curso y/o por el técnico académico auxiliar del curso, así como el correo electrónico al
cual deberán ser enviados los archivos correspondientes.
1.5. Bibliografía de apoyo
1. Couper, J. R., Penney, W. R., fair, J. R., y Walas, S. M. 2005. Chemical Process Equipment.
Selection and Design. Second edition. Elsevier. U.S.A.
2. Norma ANSI/ISA – S5.1. 1984 (R 1992). Instrumentation Symbols and Identification.
Instrument Society of American. North Carolina. U.S.A.
3. Peters, M. S. & Timmerhaus, K. D. 1991. Plant Design and Economics for Chemical
Engineers. McGraw-Hill. U.S.A.
4. Sandler, H. J. y Luckiewicz, E. T. 1987. Practical Process Engineering. A Working Approach
tp Plant Design. McGraw-Hill. U.S.A.
5. Ulrich G. D. 1986. Diseño y Economía de los Procesos de Ingeniería Química. Ed. Inter-
americana. México.
6. Vanaclocha, A. C. 2005. Diseño de Industrias Agroalimentarias. Mundi-Prensa. Madrid,
España.
7. Walas, S. T. 1988. Chemical Process Equipment. Selection and Design. First Edition. Ed.
Elsevier. U.S.A.
25
Unidad 2.- Simulación y Optimización de procesos
2.1 Objetivo
Resolver problemas de simulación y optimización de operaciones y procesos característicos
de las plantas agroindustriales, mediante el uso de paquetes de cómputo especializado y uso
de una hoja de cálculo comercial.
2.2 Fundamentos teóricos
La instrumentación de procesos es una herramienta muy útil para mejorar las condiciones de
operación de los equipos, las líneas de proceso y la planta en general. Los elementos
principales de la instrumentación en un ciclo de control son un sensor de la variable que se
controla, el transmisor de la señal, el controlador que dará la señal para que el actuador
ejecute la acción correspondiente para mantener el proceso en equilibrio, es decir, dentro de
los parámetros establecidos para la variable de control. Mediante ecuaciones de las leyes y
principios se pueden obtener modelos teóricos que explican el comportamiento de las
operaciones y procesos que se desarrollan en las líneas de producción de las agroindustrias,
los modelos que se desarrollan son ecuaciones diferenciales que pueden resolverse
mediante programas de cómputo como Tutsim, Mathematica, Mat Lab, entre otros, en el
apartado 2.1.1. se desarrollan algunos ejercicios de Simulación aplicados en algunas de las
operaciones comunes desarrollados en las plantas agroindustriales, destacando el vaciado de
tanque por medio de la gravedad, y los diferentes modos de control de variables de proceso.
Existen varios métodos y técnicas que se emplean para resolver los modelos de optimización,
como parte de este curso se recordará el empleo del cálculo diferencial, se revisarán los
métodos de Lagrange para restricciones de igualdad, la Programación Lineal y la
Programación dinámica mediante la solución gráfica.
26
2.2.1. Ejercicios para simulación de procesos
Ejercicio 2.1.- Considere un depósito de agua de
forma cilíndrica como se ilustra en la figura 2.1,
Donde h es la altura de agua, D es el diámetro
del depósito, d es el diámetro del tubo de
descarga.
Las ecuaciones que se emplean son:
Volumen del fluido (V) = Área x Altura = (D2/4) h
Flujo másico ( ) = A Vel = ((d2/4) Vel.
Flujo Volumétrico ( ) = (d2/4) Vel
Para ver el comportamiento de la altura y la velocidad a través del tiempo es necesario desarrollar las
ecuaciones diferenciales que relacionen dh/dt y d(Vel)/dt.
De acuerdo con Domínguez (2004), (dh/dt) = k donde k = - ac /A = - d c /D donde:
(dh/dt) = - (d2 c /D2 )= - d2 c (2g)1/2 h1/2/D2
a, d: son el área transversal y diámetro respectivamente del tubo de salida del fluido.
C : Es el coeficiente de descarga del fluido, que es 1.0 para el agua y 0.60 para el aceite.
A, D : son el área transversal y diámetro respectivamente del depósito de agua.
dh/dt : es la variación de la altura con respecto al tiempo partiendo de una altura inicial ho.
g : es la constante de aceleración de la gravedad, que se considera es de 9.81 m/s2.
Para la solución en el programa matemática, considerando un depósito de agua donde: c = 1; d =
0.05 m (2 pulg), D = 1 m y la altura del depósito h (t=0) = 4 m, se emplean las siguientes instrucciones
en dicho programa.
D h d Fig. 2.1. Esquema del vaciado de un tanque.
27
Para graficar se emplea la expresión siguiente:
Para obtener los valores numéricos en forma de listado se emplea la instrucción siguiente:
0.00118563 0.00083499 0.000545661 0.000317644 0.00015094 0.0000455484 1.4693*10^-6
Este resultado final en forma de lista puede copiarse como (“Copy as”) y luego seleccionar “Plain
Text” y enviarse a una hoja de cálculo para usar los resultados.
Nota: cuando son muchos datos, se recomienda usar solo los resultados gráficos.
28
La solución en el paquete Tutsim se ilustra en la figura 2.2
Figura 2.2.- Desarrollo del modelo para simulación en Tutsim
Los resultados numéricos de la solución algebraica, la solución con el paquete Mathematica y Tutsim
se muestran en el archivo de Excel denominado “vaciado tanque.xls”.
La gráfica realizada en Excel es la siguiente:
Como puede observarse la gráfica es muy similar a la obtenida con el programa Mathematica.
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Alt
ura
h e
n m
Tiempo en s
Gráfica de vaciado de tanque
29
Solución con el programa Matlab
Modelo: dh/dt = - (d2 c /D2 )= - d2 c (2g)1/2 h1/2/D2 = -d1^2*c*(2*g)^0.5*h^0.5/d2^2
En primer lugar introducimos el valor de los parámetros o constantes de la forma siguiente:
Considerando: d1 = 0.05; d2 = 1; c = 1.0; h0 = 4; g = 9.81; y luego se define la función “dhdt”
>> dhdt=inline(‘[-0.05^2*1*(2*9.81)^0.5*h^0.5/1^2]’,’t’,’h’);
Para resolver se emplea el operador ode45
>> [t,h]=ode45(dhdt,[0,360],[4])
Para obtener la gráfica se emplear la instrucción:
>> plot (t,h)
La gráfica que se obtiene es la siguiente:
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
30
Para obtener la solución
numérica emplear:
>> sol=[t,h]
El resultado numérico es:
sol = 0 4.0000 9.0000 3.8032 18.0000 3.6113 27.0000 3.4244 36.0000 3.2424 45.0000 3.0655 54.0000 2.8934 63.0000 2.7264 72.0000 2.5643 81.0000 2.4072 90.0000 2.2551 99.0000 2.1079 108.0000 1.9657 117.0000 1.8284 126.0000 1.6961 135.0000 1.5688 144.0000 1.4465
153.0000 1.3291 162.0000 1.2167 171.0000 1.1092 180.0000 1.0068 189.0000 0.9092 198.0000 0.8167 207.0000 0.7291 216.0000 0.6465 225.0000 0.5688 234.0000 0.4962 243.0000 0.4284 252.0000 0.3657 261.0000 0.3079 270.0000 0.2551 279.0000 0.2072 288.0000 0.1643 297.0000 0.1264 306.0000 0.0934 315.0000 0.0654 324.0000 0.0425 327.5442 0.0348 331.0883 0.0278 334.6325 0.0217 338.1766 0.0163 339.8378 0.0140
341.4990 0.0119 343.1602 0.0100 344.8214 0.0083 346.4826 0.0067 348.1438 0.0052 349.8050 0.0040 351.4662 0.0029 352.4056 0.0024 353.3449 0.0019 354.2843 0.0015 355.2236 0.0011 355.6509 0.0010 356.0783 0.0008 356.5056 0.0007 356.9329 0.0006 357.3603 0.0005 357.7876 0.0004 358.2149 0.0003 358.6422 0.0002 358.9817 0.0002 359.3211 0.0001 359.6606 0.0001 360.0000 0.0000
Resumen de instrucciones y resultados en Matlab
31
Ejercicio 2.2.- Considere el sistema de calentamiento que se muestra en figura 2. 3. A continuación se mostrarán las ecuaciones empleadas para evaluar las ecuaciones que determinan la respuesta del control de temperatura en los diferentes modos de control (P, PD, PI, PID)
Ts, Agua caliente Agua fría Ti, TE 121
Cp, V,
T T 121
TIC 121
s.p.=TR..
, , vapor
Figura 2.3. Sistema de calentamiento con vapor de un depósito aislado térmicamente de agua Donde:
Ti, Ts : Son las temperaturas de entrada y de salida del agua en oC
s.p., TR : Son el “set point” y Temperatura de referencia en oC respectivamente
: Es el flujo másico de agua en kg/s
: Es el flujo másico de vapor en kg/s
Cp : Es el calor específico del agua en kJ/kg oC (4.18 kJ/kg oC)
V : Es el volumen en m3
: Es la densidad del agua en kg/m3 (1000 kg/m3 )
: Es el flujo de calor en kW.
: Es el calor latente del vapor en kJ/kg (a un bar = 2,256.28 kJ/kg)
32
Las ecuaciones que se emplean para evaluar la respuesta del control de temperatura son:
Para estado estable: s = Cp(Ts – Ti), como TR = Ts entonces s = Cp(TR – Ti) --------------------(1)
En estado transitorio la acumulación de calor = VCp(dT/dt) --------------------------------------------------(2)
La ecuación anterior se aplica cuando el flujo másico ( ) es constante
El balance de energía está dado por la ecuación: Acumulación de calor = que entra - que sale, es
decir,
VCp(dT/dt) = – Cp(T – Ti) --------------------------------------------------------------------------------------(3)
Donde T es el valor de la temperatura a la salida del calentador en oC ante cualquier perturbación.
Si consideramos que el error = (TR – T) y c es la constante del control proporcional, i es la contante
del control integrativo, D es la contante del control derivativo.
Las ecuaciones para los diferentes modos de control son:
Control Proporcional (P): = Cp(TR – Ti) + c(TR – T) + Mo = s + c ----------------------------------(4)
Control Integrativo (I): = Cp(TR – Ti) + (1/i)(TR – T)dt + Mo = s + (1/i)(dt) --------------------(5)
Control Derivativo (D): = Cp(TR – Ti) + D d(TR – T)/dt + Mo = s + D(d/dt) -----------------------(6)
Haciendo las sustituciones y el desarrollo algebraico de las ecuaciones, considerando = V y que
el valor de = 1/VCp que se obtienen las siguientes expresiones para los diferentes modos de
control.
MODO DE CONTROL ECUACIÓN
P dT/dt = ( + c ) + Mo
I dT/dt = + (/i)(dt) + Mo
D dT/dt = + (D)(d/dt) + Mo
PI dT/dt = ( + c ) + ( c/i)(dt) + Mo
PD dT/dt = ( + c ) + (( c D)(d/dt) + Mo
PID dT/dt = ( + c ) + ( c/i)(dt) + (( c D)(d/dt) + Mo
Donde:
= V = (0.5/(1000 0.5)) = 1 10^-3 =
= 1/VCp = (1/(1000 0.5 4.18)) = 4.78469 10^-4
Mo es la respuesta media del control (9 psi, 12 mA, 3 Volts), cuando el error = 0.
Resolver considerando la siguiente información:
= 0.5 kg/s; = 1000 kg/m3; V = 500 L = 0.5 m3;
Cp = 4.18 kJ/kg K; c = 1; D = 2; i = 1; TR = 80 °C; T[t=0] = 25 °C;
Control eléctrico con respuesta media Mo = 12 mA.
33
Solución del Control Proporcional (P) con Matlab:
NOTA: Para los controles integrativo, derivativo y los demás estoy buscando la forma de resolver. Si
alguien lo resuelve, favor de informarme el procedimiento, gracias.
34
Ejercicio 2.3.- Determinar el comportamiento de la concentración de salmuera en los tanques que se ilustran en la figura, si el modelo matemático que describe el proceso es el siguiente:
1
1
.
1
V
xm
dt
dx
2
2
.
1
1
.
2
V
xm
V
xm
dt
dx V1
3
3
.
2
2
.
3
V
xm
V
xm
dt
dx
Flujo = 60 L/min V2 V1 = 150 L V2 = 100 L V3 = 300 L Al inicio, es decir, t = 0, X1 = 0.50, X2 = 0 y X3 = 0 V3 La solución en el programa “Mathematica” es:
35
La solución en Matlab es la siguiente:
36
Ejercicio 2.4. Considere un sistema de mezclado de una solución azucarada como se ilustra en la figura.
Flujo = 40 L/min X1(t=0) = 0.40 X2(t=0) = 0 X3(t=0) = 0 V1 = 800 L V2 = 400 L V3 = 1600 L El modelo matemático del proceso está dado por las ecuaciones:
1
1
.
3
3
.
1
V
xm
V
xm
dt
dx
2
2
.
1
1
.
2
V
xm
V
xm
dt
dx
3
3
.
2
2
.
3
V
xm
V
xm
dt
dx
Los resultados empleando el programa Mathematica versión 9.0 son:
37
La solución en Matlab es la siguiente
38
Ejercicio 2.5. Comparar el comportamiento de la concentración si el volumen de los tres tanques es igual a 800 L. Resultado usando el programa “Mathematica”: Resultado en Matlab:
39
2.2.2 Cálculo diferencial
Se emplea cuando las funciones son continuas y no existen restricciones, como ejemplo de
estas funciones tenemos la determinación del diámetro óptimo económico en tuberías, la
estimación del espesor óptimo económico del aislamiento térmico, la determinación del
diferencial óptimo económico (T = Tbh – Tw) en torres de enfriamiento, entre otros. La
determinación de los puntos máximos, mínimos o puntos de inflexión se encuentran en la
función [f(x)] cuando se aplica la primera derivada y se iguala a cero, es decir, sea y = f(x)
entonces
, es la condición necesaria para encontrar los puntos máximos, mínimos o
puntos de inflexión. Por otro lado para saber a que corresponde el resultado se aplica la
segunda derivada a la función, lo que conoce como condición suficiente, aplicando la
siguiente regla:
Si
corresponde a un punto de inflexión
Si
corresponde a un punto máximo
Si
corresponde a un punto de mínimo
= 0
=
= 1
=
=
=
= n
=
=
Cuadro 1.- Fórmulas básicas de diferenciación
Para n = -1
NOTAS: u, v, x, son f(x); C, n, e son constantes.
Cuadro 2.- Fórmulas básicas de integración
40
2.2.3. Método de Lagrange
Este método es útil cuando se tienen funciones objetivo continuas sujetas a restricciones de
igualdad. Como ejemplo de funciones con estas características tenemos maximizar áreas de
figuras geométricas, sujetas a un perímetro dado, minimizar los costos de transporte en el
abastecimiento de materias primas considerando varias fuentes a abastecimiento y varios
lugares de procesamiento.
El modelo matemático plantea lo siguiente:
Sea la función objetivo (F.O.) maximizar o minimizar f(x1, x2, x3, ….xn)
Sujeto a las restricciones de igualdad gj(x1, x2, x3, ….xn) = bj donde j toma valores de 1 a m, es
decir, pueden existir una o más restricciones de igualdad.
Para resolver estos modelos con el método de Lagrange se desarrollan las actividades
siguientes:
Se transforma el modelo en el Lagrangiano (L) como una función objetivo modificada
definida por la expresión:
L(x1, x2, x3, ….xn, 1, 2, 3,….m) = f(x1, x2, x3, ….xn) + j [gj(x1, x2, x3, ….xn) - bj]
Donde j se le denomina multiplicadores de Lagrange y se emplea uno por cada ecuación de
restricción de igualdad, es decir, si solo existe una restricción solo se emplea , si hay dos se
usa 1 y 2, y así sucesivamente.
Se evalúan las derivadas parciales del Lagrangiano (L) con respecto las variables x, , de la
forma siguiente:
;
;
;
;
;
;
La condición necesaria para encontrar el mínimo o máximo es cuando:
=
=
= =
=
=
= =
= 0
41
Como puede observarse se aplica el mismo criterio que se aplicó con el método que emplea
el cálculo diferencial, la diferencia es que mediante este método se llega a un sistema de
ecuaciones con xn + m variables y el mismo número de ecuaciones, por lo tanto puede
resolverse. Así por ejemplo, cuando el sistema de ecuaciones es lineal puede resolverse con
matrices y determinantes empleando un paquete de computadora como la hoja de cálculo
de Excel®.
2.2.4 Programación Lineal
Es la planeación de actividades para obtener un resultado óptimo con respecto a una función
objetivo. Se emplea para resolver problemas cuya función objetivo, así como las
restricciones, son modelos matemáticos lineales.
El modelo matemático básico está definido por:
Maximizar o Minimizar la función objetivo (F.O) = C1X1 + C2X2 + ……..+ CnXn = CiXi
Sujeto a las Restricciones:
a11X1 + a12X2 + a13X3 + ………..+ a1nXn b1
a21X1 + a22X2 + a23X3 + ………..+ a2nXn b2
a31X1 + a32X2 + a33X3 + ………..+ a3nXn b3
. . . ……… . .
. . . ………. . .
am1X1 + am2X2 + am3X3 + ………+ amnXn bm
X1 , X2 , X3 , ………., Xn
Donde:
Ci : Son constantes que representa el beneficio por unidad de Xi.
aji : Es la cantidad de recurso j consumido por Xi.
bj : Es la cantidad de j disponible para todas las Xi.
42
Ejercicio.- Supongamos que en un rancho agrícola con una superficie de 150 ha, se puede
sembrar caña de azúcar (X1) y maíz (X2), la información que se tiene se muestra en el cuadro:
CONCEPTOS CULTIVOS
CAÑA DE AZÚCAR (X1) MAÍZ (X2)
Agua requerida (m3/t) 0.4 1.6
Precio de venta ($/t) 500 4000
Costo de producción ($/t) 350 2800
Productividad (t/ha) 120 10
Agua disponible (m3/ha) 26.6 26.6
Ganancias ($/t) 150 800
Superficie mínima (ha) 30 50
Determinar la superficie que debe destinarse al cultivo de caña de azúcar (X1) y de maíz (X2)
para maximizar las ganancias
Función Objetivo F.O. = Max Ganancias = (150 $/t) (120 t/ha) X1 + (800 $/t) (10 t/ha) X2
Restricciones de superficie: X1 + X2 150; X1 30; y X2 50
Restricciones de agua: (0.4 m3/t) (120 t/ha) X1 + (1.6 m3/t) (10 t/ha) X2 150 * 26.6
Simplificando las expresiones anteriores:
F.O. = Max Ganancias = 18,000 X1 + 12,000 X2
S.T.
48 X1 + 16 X2 3990 RESTRICCIONES DE AGUA
X1 + X2 150
X1 30 y X2 50
Usando solver de Excel®, la respuesta es: X1 = 49.69 ; X2 = 100.31; F.O. = $ 2,098,125.
NOTA.- Como ejercicio, resolver el problema anterior en forma gráfica
43
2.2.5 Programación dinámica
La programación dinámica es una técnica matemática que a menudo resulta útil a tomar una
sucesión de decisiones interrelacionadas. Proporciona un procedimiento sistemático para
determinar la combinación de decisiones que maximice la efectividad global.
Contrastando con la programación lineal, no existe un planteamiento matemático estándar
"del" problema de programación dinámica. Más bien, la programación dinámica es un tipo
general de enfoque para resolver problemas y las ecuaciones particulares usadas deben
desarrollarse para que se ajusten a cada situación individual. Por lo tanto, se requiere un
cierto grado de ingenio y de visión de la estructura general de los problemas de
programación dinámica, a fin de reconocer cuando un problema se puede resolver mediante
los procedimientos de esta programación y cómo se haría. Probablemente se puedan
desarrollar mejor estas aptitudes por medio de una exposición de una amplia variedad de
aplicaciones de la programación dinámica y de un estudio de las características que son
comunes a todas estas.
Por fortuna, la programación dinámica suministra una solución con mucho menos esfuerzo
que la enumeración exhaustiva. (Los ahorros de cálculo serían enormes para versiones más
grandes de un problema.) La programación dinámica parte de una pequeña porción del
problema y encuentra la solución óptima para este problema más pequeño.
Entonces gradualmente agranda el problema, hallando la solución óptima en curso a partir
de la anterior, hasta que se resuelve por completo el problema original. En seguida se dan
los detalles involucrados en la implementación de esta filosofía general.
Considérese que las variables de decisión Xn (n = 1,2,3,4) son el destino inmediato en la
etapa n. Así, la ruta seleccionada sería 1 - XI - X2 - X3 - X4 en donde X4 = 10. Sea fn(s, Xn) el
costo total de la mejor política global para las etapas restantes, dado que el vendedor se
encuentra en el estado s listo para iniciar la etapa n y se selecciona a XII como el destino
inmediato. Dados s y n, denotemos por x el valor de X*n que minimiza al fn(s, Xn) y sea f*(s)
el valor mínimo correspondiente de fn(s, Xn) por tanto, f*n(s) = fn(s, Xn). El objetivo es hallar
f1*(1) y la pol1tica correspondiente. La programación dinámica hace esto, hallando
sucesivamente f4*(s),f3*(s), f2*(s) , a continuación, f1*(1).
44
2.2.5.1. Programación dinámica determinista
Esta sección considera con mayor amplitud el enfoque de programación dinámica para los
problemas deterministas, en los que el estado en la etapa siguiente queda completamente
determinado por el estado y la política en la etapa actual.
La programación dinámica determinista se puede describir en forma de diagrama de la
siguiente forma:
Una manera de catalogar los problemas de programación dinámica determinista es por la
forma de la función objetivo. Por ejemplo, el objetivo podría ser minimizar la suma de
contribuciones de las etapas individuales, o bien minimizar un producto de tales términos y
así sucesivamente.
En un problema de programación dinámica, las temporadas deben ser las etapas.
2.2.5.2. Programación dinámica probabilista
La programación dinámica probabilista difiere de la programación dinámica determinista en
que el estado de la etapa siguiente no queda completamente determinado por el estado y la
decisión de la política en el estado actual. En lugar de ello existe una distribución de
probabilidad para lo que será el estado siguiente. Sin embargo, esta distribución de
probabilidad todavía está completamente determinada por el estado y la decisión de la
política del estado actual. En la siguiente figura se describe diagramáticamente la estructura
básica que resulta para la programación dinámica probabilista, en donde N denota el número
de estados posibles en la etapa n+1.
Sn Sn+1
Etapa
n
Etapa
n + 1
fn(Sn,Xn) Fn*+1(Sn+1)
Contribución
de XnEstado:
45
Cuando se desarrolla de esta forma para incluir todos los estados y decisiones posibles en
todas las etapas, a veces recibe el nombre de árbol de decisión. Si el árbol de decisión no
es demasiado grande, proporciona una manera útil de resumir las diversas posibilidades que
pueden ocurrir.
2.2.5.3. Solución mediante estructura de árbol
La solución mediante estructura de árbol tiene la característica de formar una serie de
ramificaciones a partir de una condición inicial definida por la persona que realiza el análisis
del problema. El empleo de este método es útil en la solución de problemas con estructura
matricial, donde las decisiones previas afectan las decisiones futuras, a tal grado que al
concluir la estructura se suman los resultados de cada una de las ramificaciones y se realiza
la selección de la opción más favorables, que puede ser el valor máximo o el valor mínimo. A
continuación se ilustra con un ejemplo la aplicación de esta técnica de optimización.
Ejercicio 2.2.5.1. Considere que un estudiante de ingeniería dispone de 6 días para estudiar
y presentar sus exámenes finales, por experiencias anteriores el número máximo de días
que puede dedicar a cada materia es de tres el mínimo es de cero. El número de materias
que está cursando en el semestre es de 4 y las posibles calificaciones que obtendrá en
función del tiempo de estudio se muestra en el cuadro siguiente:
P1
P2
PN
C1
C2
CN
Etapa n+1
1
2
3
XnSn
fn(Sn,Xn)
Decisión
Probabilidad
Contribución
de la Etapa nSn+1
f*n+1(1)
f*n+1(2)
f*n+1(3)
Estado
Etapa n
46
CURSOS
CALIFICACIONES EN FUNCIÓN DE LOS DÍAS DE ESTUDIO
0 DÍAS 1 DÍA 2 DÍAS 3 DÍAS
A 4 6 9 9
B 5 6 7 8
C 3 7 8 8
D 6 8 9 10
Determinar el número de días que debe dedicar el estudiante a cada materia para que su
promedio sea máximo.
Para resolver mediante estructura de árbol, primero ubicamos en la parte superior los días
que se dedicarán a estudiar cada materia y en la parte inferior colocamos en los nodos de
las ramificaciones del árbol los cursos, partiendo del tronco se ubican las ramificaciones con
los cursos A, B, C, D.
Una vez teniendo las ramificaciones, en la línea que une cada curso, se coloca el valor de la
calificación que corresponde al curso y a los días de estudio ubicados en la parte superior.
Finalmente siguiendo las líneas se realizan las sumas y se obtiene el promedio, cuyas
columnas se encuentran ubicadas en el lado derecho de la figura de árbol que se forma.
Además se identifican los valores máximos y/o mínimos, dependiendo del planteamiento del
problema.
En la figura 2.2.5.1 se muestra el desarrollo completo del problema con la solución.
47
Resultado Curso D 3 días; A 2 días; C 1 día; B 0 días. Para obtener
calificaciones de 10 (D), 9 (A), 7 (C) y 5 (B) y promedio de 7.75
Figura 2.2.5.1. Desarrollo de la programación dinámica en estructura de árbol.
48
2.2.5.4. Solución mediante estructura de redes y nodos
Otra forma de resolver los problemas con programación dinámica es con el empleo de redes
y nodos. Existen ejemplos típicos donde se aplica este método como las redes de tubería de
agua en un campo de cultivo o una ciudad, el transporte de materias primas o productos de
una localidad hacia otra, el desarrollo de las diversas actividades en un proyecto que
incluyen tiempo y secuencia. En este último caso se puede determinar tiempos máximos y
tiempos mínimos así como la holgura en cada una de las actividades, algo similar a la que se
obtiene con el método de la ruta crítica.
Para la solución de este tipo de problemas, en primer lugar se debe establecer la red y los
nodos como se muestra en la figura 2.2.5.2. A continuación se inicia la evaluación de la
distancia, tiempo, etc., con el último nodo ubicado del lado derecho, colocando en cero en la
parte inferior el último nodo cuando se quiere minimizar o en la parte superior cuando se
quiere maximizar. De la misma forma para los siguientes nodos se coloca los valores ya sea
máximo en la parte superior o mínimo en la parte inferior de acuerdo a lo que corresponda.
Como ejemplo, empleando la figura 2.2.5.2., en la parte inferior del nodo 21 se coloca el
cero, luego en la parte inferior del nodo 20 se coloca el número 30, en la parte inferior del
nodo 19 el número 43, en el nodo 18 el número 53, en el nodo 17 el número 83, en el nodo
16 el número 75, que es la distancia mínima, y así sucesivamente hasta llegar al nodo 1.
El resultado del problema, es decir, la distancia mínima del nodo uno al nodo 21 es de 342
unidades, una vez que se obtiene esta distancia mínima se indica la ruta por la que se llegó
marcándola en la red de nodo a nodo como se observa en la figura 2.2.5.3. El resultado de la
ruta es:
1 3 10 12 14 19 21
49
Ejercicio.- Una compañía quiere saber la distancia mínima entre el nodo 1 y 21, y dispone de la
información sobre distancias mostrada en el cuadro. a) Hacer la estructura de redes (unión entre
nodos) de acuerdo a la información; b) encontrar la distancia mínima del nodo 1 al 21 por
programación dinámica.
Figura 2.2.5.2. Estructura de redes y nodos para la solución del problema.
Figura 2.2.5.3. Resultados del problema
50
Práctica 4.- Simulación de modelos matemáticos
Propósito: Analizar operaciones y procesos agroindustriales mediante modelos matemáticos,
empleando la simulación y optimización a través de paquetes computacionales para resolver
ecuaciones diferenciales.
4.1 Ubicación y materiales requeridos
El desarrollo de esta práctica se realizará en la Sala de Computo “A” del Departamento de Ingeniería
Agroindustrial, donde cada alumno tendrá una computadora personal con el paquete Excel 2007 o
superior.
Además en la Sala se cuenta con laptop, proyector multimedia y pintarrón donde el profesor dará las
instrucciones para el desarrollo de la práctica.
Los alumnos seguirán las instrucciones de los ejercicios resueltos y posteriormente realizarán los
ejercicios propuestos para enviar las respuestas al correo electrónico del profesor.
4.2 Información a obtener
Mediante el uso de los paquetes de cómputo se desarrollarán las instrucciones para la
captura de la información en el paquete Matlab y la exportación de los resultados al editor
de texto para realizar la edición del informe para posteriormente enviarlo al correo
electrónico del profeso.
4.3 Características del informe
Con la información del inciso 2.2.1, para los ejercicios 2.1. a 2.5., desarrollar lo siguiente:
1).- En el procesador de texto Word ©, hacer una breve introducción de la práctica indicando importancia objetivos y metodología.
2.- Para cada uno de los problemas indicar el modelo empleado y el valor de los parámetros.
3).-Para cada modelo, realizar la simulación en el paquete Matlab, indicando las instrucciones empleadas en el editor de texto, mostrar los resultados en forma gráfica y en forma numérica, transformando los datos de salida en la tabla correspondiente con sus encabezados y unidades.
4) Hacer sus comentarios y conclusiones sobre las actividades realizadas.
5) Incluir la bibliografía y otras fuentes de información consultadas
6).- Enviar el archivos en fromato PDF al correo electrónico: [email protected] antes de:
Día: __31___ Hora: ___24:00_________ Año: ___2014______.
51
4.4 Bibliografía de apoyo
Covarrubias, G. I. 2001. Simulación en Tutsim. Material traducido del manual de usuario.
Covarrubias, G. I. 2014. Manual de prácticas del curso de Ingeniería de planta. Universidad Autónoma
Chapingo. Depto. de Ingeniería Agroindustrial. Chapingo. México.
Domínguez, G. G. 2004. Tópicos de matemáticas avanzadas con aplicación en la Agroindustria.
Memoria de Experiencia Profesional. Universidad Autónoma Chapingo. México. 337 pág.
Luyben, W. L. 1996. Process modeling, simulation, and control for chemical engineers. Second Edition.
McGraw-Hill. U.S.A.
Wolfram Research. 2013. Programa de cómputo “Wolfram Mathematica”©, Consultado en la página
electrónica: http://www.wolfram.com/company/background.html. fecha: 14-04-2013. Con sedes en:
Champaign, IL (sede central); Oxfordshire, Reino Unido (sede en Europa); Tokyo, Japón (sede en Asia);
con sucursales en Cambridge, MA; París, Francia; etc.
Universidad de Sevilla. Departamento de Matemática Aplicada. 2008-2009. Práctica II:
Problemas de valor inicial en EDO’s. Consultado en la página electrónica:
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&cad=rja&uact=8&ved=0CCgQFjAA&url=http%3A%2F%2Fperso
nal.us.es%2Fcontreras%2Fpractica2.pdf&ei=zZs1U6LGEKPnsATSlIHABg&usg=AFQjCNHEQRLeZTSMyrtWZ64Ah3y-
3AbPYQ&bvm=bv.63808443,d.cWc.
Percero, S. D., y Salgueiro, F. R. ___. Ecuaciones diferenciales en Matlab. Consultado en:
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=10&ved=0CGAQFjAJ&url=http%3A%2F%2Fwww.matematicaaplic
ada2.es%2Fdata%2Fpdf%2F1354642696_1285504660.pdf&ei=UZ01U7DNGO3ksATPkoK4Dg&usg=AFQjCNEQRQsko65AlXkMgB0FCmkorsOF
gQ&bvm=bv.63808443,d.cWc&cad=rja
Oviedo, J. M.___ Sistemas de ecuaciones diferenciales-Resolución por medio de Maple,
Matemática, Gaus, Matlab y Macros en Excel. Consultado de la página electrónica:
http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CC4QFjAB&url=http%3A%2F%2Fmate
ma.ujaen.es%2Fjnavas%2Fweb_modelos%2Fpdf_mmb08_09%2Fjmauriciooviedo.pdf&ei=hp81U-
ncN5DMsQST4YJY&usg=AFQjCNEQYU1YaOKfDKyudjbRp9YF_OCSew&bvm=bv.63808443,d.cWc
Hunt, B. R., Lipsman, R. L., Rosenberg, J. M., Coombes, K. R., Osborn, J. E., Stuck, G. J. 2001. A
Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users. Cambridge University Press. New
York. USA. Consultado en: http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=
0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fw3.gazi.edu.tr%2F~balbasi%2FA%2520Guide%2520to%2520MATLAB.pdf&ei=cqE1U4TNDfK_sQSm84HAC
g&usg=AFQjCNFFXQhjGDCf19ZHi-egCBdkgHd-AQ&bvm=bv.63808443,d.cWc
52
Práctica 5.- Solución de Modelos por el Método de Lagrange y uso de
paquetes de cómputo.
Propósito: Analizar operaciones y procesos agroindustriales para su optimización por el
método de Lagrange mediante paquetes de cómputo para resolver sistemas de ecuaciones
lineales.
5.1 Ubicación y materiales requeridos
El desarrollo de esta práctica se realizará en la Sala de Computo “A” del Departamento de Ingeniería
Agroindustrial, donde cada alumno tendrá una computadora personal con el paquete Excel y Matlab.
Además en la Sala se cuenta con laptop, proyector multimedia y pintarrón donde el profesor dará las
instrucciones para el desarrollo de la práctica.
Los alumnos seguirán las instrucciones de los ejercicios resueltos y posteriormente realizarán los
ejercicios propuestos para enviar las respuestas al correo electrónico del profesor.
5.2 Información a obtener
Para el desarrollo de práctica, considere que se requiere maximizar el área del rectángulo que se muestra en la figura, cuyo perímetro es de 32 m. Función Objetivo: Max A = XY Restricción de igualdad: P = 2X + 2Y = 32
Lagrangiano: L(X,Y,) = XY – (2X + 2Y -32) Condición necesaria:
= 0
Y X
53
El sistema de ecuaciones anterior puede resolverse con Excel de la forma siguiente:
1) Se determina la matriz “A”, el determinante “B” y se evalúa la matriz inversa, como se
ilustra a continuación.
Es importante observar que para obtener la matriz inversa se emplea el operador INDICE
para que al copiar a las siguientes celdas de la matriz inversa se evalúen correctamente.
2) Se rellenan las celdas y se evalúa la multiplicación de la matriz inversa por el
determinante como se ilustra en la siguiente figura.
54
Al copiar la celda F8 a las celdas F9 y F10 se obtiene el resultado final.
La forma de resolver en Matlab es la siguiente:
55
5.3 Características del informe
Para la realización del informe es necesario desarrollar la solución de:
Ejercicio1.- Considere la función objetivo: minimizar f(X,Y,Z) = 2 X2 + 2 Y2 + Z2 - 2 X Y - 4 X - 6 Y,
sujeta a las restricciones:
X + Y + Z = 2
X + 5 Y = 5
a) Resolver mediante el método de Lagrange y el uso de matrices y determinantes de
Exel y mediante el paquete Matlab.
Ejercicio 2.- Considere la función objetivo z = 4x2 + 5y
2 sujeta a la restricción 2x + 3y = 6
a) Resolver mediante el método de Lagrange y el uso de matrices y determinantes de
Exel y mediante el paquete Matlab.
b) Resolver mediante el método de Lagrange y el método de sustitución.
Desarrollar cada ejercicio en la hoja de cálculo de Excel incluyendo las instrucciones y los
resultados de Matlab y enviar el archivo al correo del profesor con el siguiente título:
Práctica6 IP Nombre Alumno dd-mm-aaaa en formato de paquete Excel.
5.4 Bibliografía de apoyo
Covarrubias, G. I. 2014. Manual de prácticas del curso de Ingeniería de planta. Universidad Autónoma
Chapingo. Depto. de Ingeniería Agroindustrial. Chapingo. México.
Cárdenas, M.A. 1983. La Ingeniería de Sistemas: filosofía y técnicas. LIMUSA. México.
Edgar, T. F. y Himmelblau, D. M. 1988. Optimization of Chemical process. Ed. Mc Graw Hill.
U.S.A.
Hunt, B. R., Lipsman, R. L., Rosenberg, J. M., Coombes, K. R., Osborn, J. E., Stuck, G. J. 2001. A
Guide to MATLAB for Beginners and Experienced Users. Cambridge University Press. New
York. USA. Consultado en: http://www.google.com.mx/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=
0CDQQFjAB&url=http%3A%2F%2Fw3.gazi.edu.tr%2F~balbasi%2FA%2520Guide%2520to%2520MATLAB.pdf&ei=cqE1U4TNDfK_sQSm84HAC
g&usg=AFQjCNFFXQhjGDCf19ZHi-egCBdkgHd-AQ&bvm=bv.63808443,d.cWc
56
Práctica 6.- Solución de Modelos de Programación Lineal y uso de Excel
Propósito: Analizar operaciones y procesos agroindustriales para su optimización mediante
programación lineal y el uso de paquetes de cómputo especializados para la solución de los
modelos formulados.
6.1 Ubicación y materiales requeridos
El desarrollo de esta práctica se realizará en la Sala de Computo “A” del Departamento de Ingeniería
Agroindustrial, donde cada alumno tendrá una computadora personal con el paquete Excel 2007 o
superior.
Además en la Sala se cuenta con laptop, proyector multimedia y pintarrón donde el profesor dará las
instrucciones para el desarrollo de la práctica.
Los alumnos seguirán las instrucciones de los ejercicios resueltos y posteriormente realizarán los
ejercicios propuestos para enviar las respuestas al correo electrónico del profesor.
6.2 Información a obtener
Con los datos del inciso 2.2.4, donde se obtiene el modelo:
F.O. = Max Ganancias = 18,000 X1 + 12,000 X2
S.T.
48 X1 + 16 X2 3990 RESTRICCIONES DE AGUA
X1 + X2 150 RESTRICCIONES DE TIERRA
X1 30 CONDICIÓN DADA POR LA P.L.
X2 50 CONDICIÓN DADA POR LA P.L.
Desarrollar mediante la función solver de Excel el resultado.
57
El planteamiento inicial donde se ubican las variables, los parámetros y las restricciones en
las celdas de la hoja de cálculo, para finalmente activar solver que se ubica en los comandos
de datos, quedando la estructura de la forma siguiente:
El resultado al activar el botón resolver es:
58
Finalmente, una vez que se obtienen los resultados indicarle al programa “Aceptar”
Para resolver el modelo de dos variables por el método gráfico es necesario hacer:
Cómo se observa “C” es el resultado, tiene el valor más alto de la función objetivo (F.O.).
59
6.3 Características del informe
Para el informe en Excel, considerar los ejercicios siguientes.
Resolver cada problema en una hoja de Excel y enviarlo al correo electrónico del profesor.
60
6.4 Bibliografía de apoyo
Covarrubias, G. I. 2014. Manual de prácticas del curso de Ingeniería de planta. Universidad Autónoma
Chapingo. Depto. de Ingeniería Agroindustrial. Chapingo. México.
Bueno de Arjona, G. 1987. Introducción a la programación lineal y análisis de sensibilidad.
Editorial Trillas. Mexico. [519.72 b8]
Cárdenas, M.A. 1983. La Ingeniería de Sistemas: filosofía y técnicas. LIMUSA. México. [620.7 C37]
Edgar, T. F. y Himmelblau, D. M. 1988. Optimization of Chemical process. Ed. Mc Graw Hill.
U.S.A. [660.28 E3]
Robinet III, R. D.; Wilson, D. G.; Eisler G. R.; Hurtado, J. E. 2005. Applied dynamic
programming for optimization of dynamical systems. Society for Industrial Applied
Mathematics (SIAM). Philadelphia. U. S. A.
61
Unidad 3.- Sistemas de Trabajo
3.1. Objetivos
3.2. Fundamentos teóricos
62
63
64
Práctica 7.- El Diagrama de Recorrido de los Materiales.
7.1. Ubicación y materiales requeridos
7.2. Información a obtener
7.3. Características del informe
65
7.4. Bibliografía de apoyo
66
Práctica 8.- Cursogramas Analíticos de Operador, Materiales, Equipo
8.1. Ubicación y materiales requeridos
8.2. Información a obtener
8.3. Características del informe
67
8.4. Bibliografía de apoyo
68
Práctica 9.- Medición del trabajo y tiempo estándar
9.1. Ubicación y materiales requeridos
9.2. Información a obtener
69
9.3.Características del informe
9.4. Bibliografía de apoyo
70
Unidad 4.- Diseño de estación de trabajo
3.1. Objetivos
3.2. Fundamentos teóricos
71
72
73
Práctica 10.- Equipos para Manejo de Materiales
10.1.Ubicación y materiales requeridos
10.2. Información a obtener
10.3. Características del informe
74
10.4. Bibliografía de apoyo
75
Práctica 11.- La Estación de Trabajo
11.1. Ubicación y materiales requeridos
11.2. Información a obtener
11.3. Características del informe
76
11.4. Bibliografía de apoyo
77
Práctica 12.- Técnicas para Balanceo de Líneas
12.1. Ubicación y materiales requeridos
12.2. Información a obtener
12.3. Características del informe
78
12.4. Bibliografía de apoyo