Manual NL Ejemplo ETABS

Análisis No Lineal Estático “Pushover” Base Teórica y Aplicación Usando el Programa ETABS PROCESO FEMA - 356 Y ATC - 40

En este documento vamos a ver la diferencia entre los dos procedimientos

descritos en FEMA-356 y en ATC-40. Luego se implementa el programa ETABS

para efectuar el análisis Pushover a un edificio de hormigón realizando el

proceso paso a paso.

2010

MECE Aneuris Hernández Vélez HIGH LEVEL ENGINEERING

01/05/2010

WWW.hlengineering.com

High Level Engineering (www.hlengineering.com) Por: MECE Aneuris Hernandez Velez Página 2

Nota Importante El objetivo de este trabajo es ofrecer un material didáctico a los participantes de los cursos y

seminarios de Ingeniería Estructural usando el programa ETABS. Aunque los ejercicios y

ejemplos se han verificado con detenimiento, no se garantiza que estén totalmente libres de

errores. Los usuarios son totalmente responsables por el buen uso del programa y el autor no

asume ninguna responsabilidad por el uso incorrecto del programa y de este manual.


INTRODUCCION.

En la actualidad en Estados Unidos y Europa las nuevas provisiones sísmicas requieren que los

ingenieros estructurales efectúen un análisis no lineal. Dicho análisis podría ser dinámico o

estático “pushover”.

En estados unidos los documentos de referencia usados para desarrollar un análisis estático no

lineal o “Pushover Analysis” son el ATC-40 (Applied Technology Council) “Seismic Evaluation

and Retrofit of Concrete Building” y FEMA 356 (Federal Emergency Management Agency). De

acuerdo con los procesos establecidos en este análisis se aplica una carga lateral vertical al

modelo matemático que se incrementa monótonamente. Esta carga se incrementa hasta que

se alcanza la respuesta pico de la estructura o más bien la máxima respuesta de la estructura.

La respuesta de la estructura se representa mediante la grafica del cortante en la base vs el

desplazamiento en el tope de la estructura. Con este proceso el modelo matemático deberá ser

capaz de capturar la no linealidad del material, ya que este es un proceso incremental es

posible obtener la información detallada del comportamiento de cada elemento. Este proceso

permite capturar la secuencia de deformaciones en los elementos o sea la secuencia de

formación de rotulas plásticas.

Este proceso debe ser usado con precaución ya que asume una representación aproximada de

la respuesta estática de la estructura, cuando esta es sometida a cargas dinámicas. Todo esto es

una aproximación. La ventaja de este proceso es que conlleva menos tiempo y es más sencillo

que un proceso dinámico no lineal. En este documento vamos a ver los dos procedimientos

descritos en FEMA -356 y en ATC-40.


Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” según FEMA 356

El método consiste en aplicar una distribución vertical de carga lateral a la

estructura la cual debe incrementarse monótonamente hasta que la estructura

alcance el máximo desplazamiento, mediante la grafica del cortante en la base y

el desplazamiento en el tope de la estructura como se muestra en la siguiente

figura.

El ingeniero estructural puede decidir cuál será la condición de la estructura

después de un movimiento sísmico o más bien el nivel de rendimiento que deberá

tener la estructura luego de un sismo. Esta condición depende de los distintos

niveles de rendimiento estos son:

Nivel Operacional

Ocupación Inmediata

Guardar la seguridad de las vidas

Prevenir el Colapso de la estructura

Distribución de la Carga Lateral Desplazamiento en el Tope

Cortante en la Base

Respuesta Estructural

Cortante en la Base

Desplazamiento en el Tope


El espectro de terremoto usado para el diseño va a depender de la zonificación

donde se encuentra la estructura y se determina según los requerimientos del

código usado. Un espectro típico es mostrado en la siguiente figura.

A continuación se explican los distintos pasos que deben efectuarse para realizar

un análisis estático “Pushover” según Fema 356. Esta secuencia de pasos se

efectúa una vez hemos diseñado la estructura con los procedimientos

convencionales.

I. Determinar la Carga de Gravedad usada en el análisis.

QG = Fuerza total de la gravedad.

QD = Carga Muerta Total.

QL = Efecto efectivo de la Carga Muerta. (25% de la carga viva no reducida)

QS = 70% de la Carga de Nieve.

II. Determinar el factor Cvx para la distribución vertical de la Carga Lateral y

Multiplicar por la Fuerza “F” que es el incremento monótono de la fuerza.

Periodo de Vibración

Sa, Aceleración Espectral


El parámetro k varía con el periodo fundamental de la estructura T.

K = 1, Si T < 0.5 seg

K = 2, Si T > 2.5 seg

III. Determinar del Nivel de Desempeño.

El nivel de desempeño es la condición deseada que deberá tener la estructura

luego de ocurrir el terremoto, se determina según la siguiente tabla.


IV. Calculo de la Amenaza Sísmica.

El siguiente proceso es para crear un espectro de respuesta que cumpla con el

criterio de excedencia de un terremoto seleccionado por el diseñador, según el

nivel de desempeño.

I. Se selecciona la probabilidad de excedencia del terremoto en 50 años, la cual

depende del nivel de desempeño seleccionado, según las dos tablas

anteriores. Luego se calcula el periodo de retorno PR según la siguiente

ecuación.

Donde:

PE50 = Probabilidad de excedencia previamente seleccionado.

Por ejemplo si se requiere que se cumpla con la condición A, K y P entonces el

periodo de retorno se debe calcular tres veces por separado. Entonces el análisis

pushover deberá correrse por separado para cada % de excedencia considerado y

el resultado final debe compararse con los criterios de aceptación de FEMA 273,

para los niveles de desempeño en cada % de excedencia.

II. Calcular la respuesta modificada para periodo corto y largo “Ss y S1” (Esta

fórmula aplica solo cuando Ss no modificado y determinado según el mapa, es

menor que 1.5g y cuando la probabilidad de excedencia del terremoto en 50

años está entre 2% y 10%.

Donde: i = S o 1 dependiendo de la aceleración de corto o largo periodo que estemos modificando.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 10% de excedencia en 10 años.

: Logaritmo Natural de la aceleración espectral en una razón de 2% de excedencia en 10 años.

: Logaritmo Natural del Periodo de Retorno Medio que corresponde a la probabilidad de excedencia.


Esta otra fórmula aplica solo cuando el valor Ss obtenido del mapa es mayor o igual a 1.5g y la probabilidad de excedencia sigua estando entre 2% y 10% de excedencia en 50 años.

Donde el valor de n, se determina según la siguiente tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de

Ss determinado desde el mapa sea menor a 1.5g se debe también usar la

ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente

tabla.

Para el caso de que la probabilidad de excedencia sea mayor del 10% y el valor de

Ss determinado desde el mapa sea mayor o igual a 1.5g se debe también usar la

ecuación anterior pero usando los valores de n, que se describen en las siguiente

tabla.


III. Ajuste Final de las Aceleraciones Espectrales para Corto y Largo Periodo,

Tomando en Cuenta el Tipo se Suelo en el Sitio.

Donde Fa, es una función de la clase de suelo en el sitio y de la aceleración

espectral modificada Ss, para un periodo corto. Fv, es una función de la clase del

suelo en el sitio y de la aceleración espectral modificada S1, para un periodo largo

de un segundo. Estos valores se determinan según las siguientes tablas.


Donde la Clasificación del Suelo se define como:

Class A: Roca Dura con velocidad de corte del agua Vs > 5,000 ft/s

Class B: Roca con Vs > 2,500 ft/s y Vs < 5,000 ft/s

Class C: Suelo muy denso y roca suave con Vs > 1,200 ft/s y Vs < 2,500 ft/s (N>50 y

Resistencia al corte Su>2,000 psf).

Class D: Suelo Rígido con Vs > 600 ft/s y Vs < 1,200 ft/s (15<N<50 Y 1,000 psf < Su

< 2,000 psf).

Class E: Algún suelo con más de 10 ft de arcilla suave con un índice plástico PI > 20

o un contenido de agua w > 40% y una resistencia no drenada al corte Su < 500

psf. También Vs < 600 ft/s. Si no hay suficientes datos para clasificar un suelo

desde los tipos A hasta D, entonces se debe seleccionar un tipo E.

Class F: Este tipo de suelo requiere una evaluación, son suelos vulnerables a fallas

potenciales o colapso bajo cargas sísmicas, como lo es la licuefacción. Estos suelos

tienen arcilla orgánica con un espesor mayor de 10 ft, muy alta plasticidad PI > 75

IV. Graficando el Espectro de Respuesta a Usarse.

El espectro de diseño es una grafica que relaciona el periodo en función de la

aceleración modificada que hemos determinado con la probabilidad de retorno

que hemos seleccionado previamente. Las funciones para crear el espectro se

muestran en la siguiente grafica.

Este espectro es una herramienta usada para

determinar la aceleración espectral de la

estructura cuando esta tiene un periodo

determinado.


Los valores Bs y B1 son parámetros que toman en cuenta el coeficiente de amortiguamiento efectivo de

la estructura y se tabulan a continuación.

El valor To se define como:

V. Calculo del Desplazamiento Máximo que se espera tendrá la Estructura

durante el evento de diseño (Target Displacement). Se determina mediante la

siguiente ecuación.

Nota: Antes de efectuar este proceso se debe haber hecho el análisis de carga

lateral incremental descrito en el paso II, para conocer la respuesta no lineal de la

estructura ante carga lateral.

Donde:


Periodo fundamental efectivo en la dirección en consideración.

Este debe ser calculado usando la relación de fuerza – deformación o curva de

Capacidad. La relación no lineal del cortante en la base y el desplazamiento en el

nudo prescrito debe ser reemplazada por una relación bilineal para estimar de

este modo la rigidez lateral efectiva (Ke) y el cortante de fluencia del edificio Vy.

La rigidez lateral efectiva debe ser tomada como la secante de la rigidez.

Rigidez lateral elástica del edificio (Ki) debe calcularse según se muestra en la

grafica anterior.

El Periodo fundamental elástico de la estructura (Ti) en segundos, se puede

calcular según la siguiente ecuación:

Ct = 0.030

hn = altura en pies desde la base al tope del edificio.

Factor de Modificación Co y C2.


Se pueden determinar con la siguiente tabla:

Tabla 12 (Valores del Factor de Modificación Co).

Tabla 13 (Valores Factor de Modificación C2).

Factor de Modificación C1.

Este es una relación entre el desplazamiento máximo inelástico y el

desplazamiento calculado para la respuesta lineal elástica.

Los Siguientes parámetros fueron descritos en detalle en la sección IV “Amenaza

Sismica”.


R (strength ratio)

Sa = Aceleración Espectral, en el periodo fundamental efectivo en la dirección

considerada

Vy = Resistencia a la Fluencia se calcula con la grafica que relaciona el cortante en

la base y los desplazamientos en el tope de la estructura en el nudo controlado.

W = Carga muerta y viva total

Coeficiente C3.

Proceso de Análisis No Lineal “Pushover” y Método del Espectro de Capacidad

según ATC-40


En este capítulo se presenta el proceso analítico para evaluar cómo actúan los edificios

existentes y verificar su diseño. Este método estima el máximo desplazamiento, por medio de la

intersección entre la curva de capacidad y el espectro de demanda reducido. Aunque un análisis

elástico da una buena indicación de la capacidad elástica de la estructura indicando donde

ocurre la fluencia en los elementos, este no puede predecir el mecanismo de falla y tomar en

cuenta la redistribución de fuerzas durante la fluencia progresiva de los elementos. El análisis

inelástico ayuda a demostrar como realmente trabaja el edificio, por medio de la identificación

de los modos de falla y el colapso progresivo.

El método del espectro de capacidad es un proceso estático, no lineal que provee una

representación grafica de la curva de capacidad, la cual se compara con el espectro de

demanda sísmica, siendo una herramienta útil para evaluar edificios existentes. La demanda es

la representación del movimiento del suelo, mientras que la capacidad es la habilidad que

posee la estructura para resistir la demanda sísmica. El método requiere la determinación de

tres elementos primarios descritos a continuación.

Capacidad: La capacidad de la estructura depende de la resistencia y la capacidad de

deformación de los componentes individuales de la estructura. En orden de determinar

la capacidad más allá del límite elástico, se usa el proceso “Pushover” este proceso usa

una serie de análisis elásticos secuenciales súper impuestos para aproximar un diagrama

de capacidad fuerza-desplazamiento del conjunto estructural.

El modelo matemático de la estructura se va modificando para tomar en cuenta la

reducción de la resistencia de los componentes que van alcanzando la fluencia. Una

distribución de fuerzas laterales se aplica nuevamente hasta que otros elementos

adicionales alcanzan la fluencia. Este proceso se continúa aplicando hasta que la

estructura se vuelve inestable o hasta que un límite predeterminado se alcanza.

Demanda (Desplazamiento): El movimiento del suelo durante un terremoto produce un

patrón complejo de desplazamientos en la estructura que puede variar con el tiempo.

Para una estructura dada y un movimiento del suelo, la demanda de desplazamiento es

un estimado de la máxima respuesta esperada del edificio durante el movimiento del

terreno.

Desempeño: Una vez se ha definido la curva de capacidad y los desplazamientos de

demanda, se puede verificar el punto de desempeño o punto de respuesta máxima en la

estructura. Este punto es aproximadamente igual al obtenido por el método de los

coeficientes el cual no se explica en este trabajo.

Proceso Paso a Paso para Determinar la Curva de Capacidad


La capacidad de la estructura se representa mediante la curva “Pushover”, se puede crear

graficando el cortante en la base y el desplazamiento en el nivel más alto del edificio.

(Concepto Curva de Capacidad)

La curva de capacidad se construye en representación del primer modo, asumiendo que el

primer modo es el que predomina en la estructura. Esto es generalmente valido para edificios

con un periodo fundamental de vibración menor o igual a 1 segundo. Para edificios más

flexibles con un periodo fundamental mayor de un segundo, el análisis debe ejecutarse

considerando el efecto de los modos más altos.

Procedimiento:

1. Crear un modelo computacional.

2. Clasificar los elementos primarios y secundarios.

3. Aplicar fuerzas laterales a la estructura en cada piso. Para esto se usa la masa que

participa en el primer modo o modo fundamental por medio de la siguiente ecuación Fx

= [Wx фx / ∑Wx фx] V en la determinación de las fuerzas también deben incluirse las

cargas de gravedad.

4. Calcule las fuerzas en los elementos, para la combinación de cargas verticales y

horizontales.

5. Ajustar las fuerzas laterales para que por lo menos algunos elementos alcancen el 10%

de su resistencia.

Nota: Una vez se alcanza la resistencia de un elemento, este es considerado como

incapaz de tomar fuerzas laterales. Detectar la fluencia elemento por elemento, puede

ser un proceso muy lento por lo tanto, muchos elementos son agrupados en conjunto

con un punto de fluencia similar.

6. Archivar o ir graficando el valor del cortante en la base vs el desplazamiento en el tope

del edificio, como también las fuerzas y las rotaciones en cada elemento, para


compararlas con el diagrama característico de fuerza – curvatura de cada elemento, a

fin de determinar el estado de cada elemento.

7. Actualizar el modelo usando una rigidez más pequeña para aquellos elementos que han

alcanzado la fluencia.

8. Aplicar un nuevo incremento de la carga lateral a la estructura actualizada hasta que

otros elementos alcancen la fluencia.

Nota: La fuerza actual y la rotación para los elementos en el principio de un incremento

son igual a aquellas fuerzas y rotaciones en el final del incremento previo.

Cada aplicación de un incremento de carga lateral es un análisis separado que inicia

desde una condición inicial igual a cero.

Para determinar cuando un próximo elemento fluye es necesario añadir las fuerzas

provenientes del análisis, ejecutado previamente al análisis actual, de igual modo para

determinar las rotaciones.

9. Agregar el incremento de la carga lateral y el correspondiente incremento del

desplazamiento al total previo para de este modo obtener los valores acumulados del la

gráfica.

10. Repetir los paso 7,8 y 9 hasta que la estructura alcance su límite ultimo, es decir la

inestabilidad por efecto P-∆, Distorsión mas allá de los niveles prescritos, los elementos

pierden toda su resistencia.

Fig. 4 (Segmentos del Análisis Pushover)

En algunos casos donde los elementos pierden toda su resistencia para absorber carga lateral,

pero siguen teniendo capacidad para deformarse por ejemplo cuando hay muros acoplados con

vigas de acoplamiento. En estos casos, puede que exista una degradación gradual de la

resistencia y es necesario iniciar otras curvas de capacidad cada vez que ocurra el primer punto

de degradación de la resistencia, cuando el incremento de la carga se detiene en el paso 10

antes de que la estructura haya alcanzado su límite último.


Cuando se comienza una nueva curva la resistencia o rigidez de los elementos que ocasionaron

que el análisis se detuviera debe eliminarse antes de iniciar una nueva curva. Para crear la

nueva curva se debe iniciar a partir del paso 3. La figura 5 muestra la creación de múltiples

curvas para poder modelar la degradación de la resistencia.

(Múltiples Curvas para modelar el efecto de Degradación de Capacidad)

(Degradación de la Curva de Capacidad)


Proceso para Determinar la Demanda Sísmica

El desplazamiento de demanda en el espectro de capacidad ocurre en un punto sobre el

espectro llamado punto de desempeño. Este punto representa la condición de que la capacidad

sísmica de la estructura sea igual a la demanda sobre la estructura debido al movimiento del

terreno.

El desplazamiento en el punto de desempeño inicialmente debe estimarse usando una simple

técnica llamada “Aproximación de igual desplazamiento”, esta técnica asume que el

desplazamiento inelástico espectral es el mismo que el desplazamiento elástico que ocurre si la

estructura permanece perfectamente elástica. Esta técnica es una herramienta usada para

estimar el inicio del proceso iterativo para determinar el punto de desempeño.

La localización del punto de desempeño debe satisfacer lo siguiente:

1. El punto debe quedar sobre la curva del espectro de capacidad.

2. El punto debe quedar sobre la curva de demanda espectral reducida desde su

amortiguamiento inicial de un 5% que es el usual en el espectro de diseño elástico, esta

reducción del espectro es para representar la demanda no lineal. La reducción del

espectro se hace por medio de un factor que se calcula en términos del

amortiguamiento efectivo, esto será discutido más adelante.

La determinación del punto de desempeño requiere un proceso iterativo de (trial and error)

para buscar que se satisfagan los dos criterios requeridos mencionados anteriormente. Para la

iteración se mencionaran tres alternativas que simplifican y estandarizan el proceso, dichas

alternativas se basan en los mismos conceptos y en las relaciones matemáticas pero varían en

su dependencia analítica versus las técnicas graficas.

Proceso A

Esta es la aplicación más directa, es verdaderamente iterativo pero, se basa en formulas que

pueden ser fácilmente programadas en hojas de cálculo. Este es más bien un método analítico

que grafico siendo el método con la aplicación más directa, es el más recomendado.

Proceso B

Este método introduce una simplificación usando la curva de capacidad bilineal que habilita o

permite una solución relativamente directa para determinar el punto de desempeño con un

número pequeño de iteraciones. Igual que el proceso A, el proceso B es un método más

analítico que grafico y es probablemente el más conveniente para programar una hoja de

cálculo. El proceso B tiene menos transparencia que el proceso A.


Proceso C

Este es un proceso puramente grafico, es el más conveniente cuando los cálculos se hacen

manualmente, tiene menos transparencia que los demás métodos.

Conversión de la curva de capacidad a la curva de espectro de capacidad.

Para usar el método del espectro de capacidad es necesario convertir la curva de capacidad que

está dada en términos del cortante en la base y el desplazamiento en el tope a otras

coordenadas en función de aceleración y desplazamientos espectrales (coordenadas ADRS) Sa

vs Sd, las ecuaciones requeridas para la transformación son las siguientes:


En general el proceso para convertir la curva de capacidad a espectro de capacidad (ADRS)

conlleva primero calcular el factor de participación modal para el primer modo, luego el

coeficiente de masa modal; entonces para cada punto que describe la curva de capacidad, usar

las ecuaciones Sa y Sd. Para cualquier punto sobre el (ADRS) el periodo T, puede computarse

usando la relación T = 2π (Sd/Sa)1/2 similarmente para el espectro tradicional el desplazamiento

espectral puede ser calculado usando la relación Sd = SaT2/4π2.

(Comparación entre el Espectro Tradicional y el Espectro en Formato ADRS).

La siguiente figura muestra el espectro de capacidad súper impuesto en la respuesta espectral

presentada en los dos formatos. En ésta gráfica se puede apreciar que cuando la estructura

entra en el rango inelástico el período aumenta ya que la estructura es cada vez más flexible.

Las líneas radiales de periodo constante siempre parten desde el origen.

(Comparación del Espectro de Capacidad sobre el Espectro de Demanda Tradicional y el Espectro de Demanda en

Formato ADRS).


Conversión del espectro estándar a un espectro en formato ADRS.

La aplicación de la técnica del espectro de capacidad requiere que tanto la curva de capacidad

como el espectro de demanda sean ploteado en coordenadas de aceleración espectral y

desplazamiento espectral (ADRS).

El espectro de demanda elástico a convertir, debe ser el espectro requerido por un código

determinado con las características apropiadas de cada región. El espectro convencional está

dado en términos de la aceleración espectral y el periodo por lo cual sólo el período deber

convertirse a desplazamiento espectral, por medio de la siguiente ecuación.

Sdi =

Una vez se ha convertido el espectro, se puede calcular la aceleración o el desplazamiento

espectral para cuando la estructura tiene un periodo determinado por medio de la siguiente

expresión.

Saig =

Sdi =

Construcción Bilineal del espectro de capacidad.

Para estimar el amortiguamiento efectivo en la estructura, es necesario crear una

representación bilineal del espectro de capacidad. Esta construcción requiere definir el punto

api , dpi el cual se usa para iniciar el proceso iterativo de crear el espectro reducido de demanda.

Anteriormente se mencionó que el espectro de capacidad y el espectro de demanda deben

interceptarse, por lo tanto, se puede decir que el punto api , dpi es el punto de intersección o

punto de desempeño. El primer estimado del punto se denomina ap1 , dp1 la segunda asunción

se llama ap2 , dp2 y así sucesivamente.

T2

4 S

ai g

2

Ti

Sv

Ti

2 S

v


A menudo la técnica de “Aproximación de igual desplazamiento”, que se mencionó

anteriormente puede usarse para estimar el puntos ap1, dp1. A continuación se muestra el

espectro de capacidad Bilineal.

Estimación del Amortiguamiento y reducción del espectro creado con un amortiguamiento de

5% del crítico.

El amortiguamiento que ocurre en una estructura en el rango inelástico puede ser visto como

una combinación del amortiguamiento viscoso inherente en la estructura y el amortiguamiento

histeretico. El amortiguamiento histeretico está relacionado al área que se forma dentro de las

vueltas (loops) o lasos de histéresis cuando las fuerzas del cortante se grafican contra el

desplazamiento. El amortiguamiento equivalente asociado con el máximo desplazamiento dpi

puede estimarse según la siguiente ecuación.

Βeq = βo + 0.05

βo = Amortiguamiento histeretico representado como un amortiguamiento viscoso equivalente

0.05 = 5% amortiguamiento viscoso inherente en la estructura (asumido constante)

El termino βo puede calcularse según la siguiente expresión

βo =

ED = disipación de energía por amortiguamiento.

ESo = Máxima energía de deformación

1

4

ED

ES0


El significado físico del término ED y ESo se ilustra en la siguiente figura.

(Disipación de Energía Sísmica)

ED es la energía disipada por la estructura en un simple ciclo de movimiento, que corresponde

al área encerrada dentro de un simple loop (Área no sombreada). ESo es la máxima energía de

deformación asociada con el ciclo de movimiento (Área sombreada).

Según la grafica la ecuación se puede derivar como sigue.

(Derivación de Ecuaciones de Energía Disipada).


ED = 4 * (área sombreada en la figura)=4(ay dpi – dy api)

ESo = (área del triangulo bajo Keff) = api dpi / 2

Si estos valores se sustituyen en βo se obtiene la siguiente expresión escrita en términos de

porcentaje de amortiguamiento crítico.

Βo = 63.7 (ay dpi – dy api) / api dpi

Por lo tanto:

βeq = 63.7 (ay dpi – dy api) / api dpi + 5

El valor del amortiguamiento viscoso equivalente puede ser usado para estimar el factor con el

cual se reduce el espectro de demanda. Como se muestra en la siguiente figura este factor se

usa para disminuir el espectro elástico de 5% al aumentar el amortiguamiento crítico.

(Reducción del Espectro de Demanda)

En algunos casos de edificios, la idealización de los lasos de histéresis no es muy real ya que se

puede subestimar el amortiguamiento real en la estructura. Por esta razón se introduce un

factor de modificación llamado κ. Se puede notar que el amortiguamiento resultante, se llama

efectivo y no equivalente.

Βeff = κ βo + 5

βeff = 63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5


El facto κ depende del comportamiento estructural del edificio. Hay tres categorías de

comportamiento estructura:

Tipo A: Representa un lazo de histéresis razonable y estable κ = 1

Tipo B: Representa una reducción moderada de los lazos κ = 2/3

Tipo C: Representa un pobre lazo de histéresis con una reducción sustancial κ = 1/3

(Valores del Factor κ, para modificar el Amortiguamiento)

El factor de reducción de la demanda sísmica se determina según la siguiente ecuación.

SRA = 3.21 – 0.68 ln [63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5] / 2.12

SRV = 2.31 – 0.41 ln [63.7 κ (ay dpi – dy api) / api dpi + 5] / 1.65

Estos valores deben ser mayores o iguales a la siguiente tabla.

Valores para el Factor de Reducción del Espectro de Demanda)


Valores de los factores de reducción en función del amortiguamiento histeretico.

(Amortiguamiento Efectivo y Factor de Reducción en Función del Amortiguamiento Histeretico).

(Tipos de Comportamiento Estructural en Función de la Duración del Terremoto y los distintos Tipos de Edificios).

Intersección del Espectro de Capacidad y el espectro de Demanda

Calculo Usando el Proceso A. Este proceso de iteración puede ser realizado a mano o sobre una

hoja de Excel para hacer converger el punto de desempeño.

1. Desarrollar el espectro elástico de un 5%, apropiado para la localización. 2. Transformar la curva de capacidad a espectro de capacidad. 3. Graficar las dos curvas en un mismo grafico. 4. Seleccionar un punto asumido inicial de desempeño por el método “Aproximación de

igual desplazamiento”, ver figura.

(Aproximación de Igual Desplazamiento).


5. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad.

(Representación Bilineal Usando la Aproximación de Igual Desplazamiento).

6. Calcular el factor los factores de reducción espectral. 7. Desarrolle el espectro de demanda reducido y graficar en el mismo gráfico.

(Espectro Bilineal en el Mismo Grafico que el Espectro de Demanda Reducido).

8. Determine si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad en el punto, api, dpi (estos son los puntos asumidos), de lo contrario verifique si el desplazamiento en el punto de intersección di, está dentro de la tolerancia aceptable del dpi (0.95dpi < di < 1.05dpi). (La siguiente grafica muestra la Tolerancia Entre el Punto Asumido y el Punto de

Intersección).


9. Si el espectro de demanda no intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia, se selecciona un nuevo valor api, dpi y se regresa al paso 5.

10. Si el espectro de demanda intercepta el espectro de capacidad dentro de la tolerancia aceptable, entonces el punto asumido api, dpi será el punto de desempeño (ap, dp), y el desplazamiento dp representa el máximo desplazamiento que se espera en el terremoto.

Cálculo usando el Proceso B.

En este método se hacen unas asunciones que no se hacen en los demás métodos. Este método

asume que no únicamente la pendiente inicial de la representación bilineal permanece

constante sino que también el punto ay, dy permanecen constantes. Estas asunciones permiten

una solución directa sin tener que dibujar múltiples curvas, debido a que el amortiguamiento

efectivo varía cada vez que se grafica una representación bilineal diferente para el espectro de

capacidad.

1. Desarrollar el espectro de demanda elástico 5%.

2. Dibujar una familia de espectros reducidos en el mismo gráfico en un rango desde 5% @

40% (Si el comportamiento Estructural corresponde al Tipo A), 29% (Si corresponde al

Tipo B) y 20% (Si corresponde a Tipo C).

(Familia de Demanda Espectral con Variación en el Amortiguamiento).

3. Transformar la curva de capacidad en curva de capacidad espectral y dibujar sobre la

familia de gráficos de demanda espectral.


4. Desarrollar la representación bilineal del espectro de capacidad. La pendiente inicial de

la curva bilineal es igual a la rigidez inicial del edificio. El siguiente segmento de pos

fluencia debe desarrollarse a través del espectro de capacidad pasando por el punto a*,

d*. Para determinar el punto a*, d* se debe proyectar la línea de la pendiente inicial

hasta que corte el espectro elástico de 5%. La línea de pos fluencia debe ser colocada de

manera que A1 = A2.

(Familia de Demanda Espectral y Espectro de Capacidad Bilineal).

5. Calcule el amortiguamiento efectivo para varios puntos cercanos al punto a*, d*. La

pendiente del segmento de pos fluencia de la representación bilineal es dada por la

siguiente ecuación.

Pendiente Pos Fluencia = (a* - ay) / (d* - dy)

Para algún punto api, ay, sobre el segmento de pos fluencia en la representación bilineal

la pendiente será:

Pendiente Pos Fluencia = (api – ay) / (dpi – dy)

Dado que la pendiente es constante las dos ecuaciones anteriores se pueden igualar

y despejar para api.

api’ = (((a* - ay)(dpi – dy)) / (d* - dy) ) + ay

El amortiguamiento efectivo en función del valor api’.

Βeff = 63.7 κ (ay dpi – dy api’) / api dpi + 5

La ecuación anterior se resuelve para varios valores dpi


6. Para cada valor dpi, dibuje el punto dpi, βeff sobre la misma gráfica de la familia del

espectro de demanda y el espectro de capacidad.

(Puntos dpi , βeff)

7. Conecte los puntos graficados hasta formar una línea. La intersección de esta línea con

el espectro de capacidad define el punto de desempeño. Este proceso provee el mismo

resultado que los demás procesos si el punto de desempeño está cercano al punto a*,

p* de lo contrario en ingeniero debe utilizar otro proceso.

(Unión de los Puntos dpi , βeff).

Solo se han presentado los procesos A y B para la determinación del punto de desempeño o

respuesta máxima, sin embargo, el proceso C, no es presentado, para información con relación

al mismo refiérase a ATC – 40 (8.2.2.1.4).


Modelo Utilizado para Relación Momento Curvatura.

El comportamiento de los elementos por lo general es modelado usando la relación momento –

curvatura, más allá del rango lineal.

(Diagramas de Momento Curvatura Normalizado).

Los valores Qc se refiere a la resistencia y Q se refiere a la demanda impuesta por el terremoto.

La respuesta es lineal hasta el punto B, seguido por la fluencia, como consecuencia existe una

disminución en la rigidez con un comportamiento lineal desde B hasta C, luego se presenta una

reducción súbita de la rigidez desde C hasta D, continua el desplazamiento desde D hasta E con

una cargas constante hasta perder la resistencia desde E en adelante.

El análisis debe ser capaz de rastrear la relación no lineal fuerza-deformación de todos los

componentes, esta relación se compone por lo general de varios segmentos de línea. El grafico

(a) se expresa directamente en términos de deformación, rotación, curvatura o elongación. Los

parámetros a y b corresponden a la deformación plástica. Estos parámetros son definidos más

adelante por las tablas expuestas mas adelante. El grafico (b) se expresa en términos del

ángulo de cortante y el desplazamiento relativo (drift). La curva más conveniente es la (a),

cuando la deformación es por flexión, la curva (b) es más conveniente cundo la deformación se

produce en juntas, deslizamientos, deformaciones por desplazamiento relativo y ángulo de

cortante. La capacidad para rotar plásticamente de la sección se puede tomar directamente

desde las tablas 10 y 11, la cual representanta los puntos donde hay degradación en la sección,

esta tabla se basa en datos de prueba (Aycardi et al. 1992,; Beres et al. 1992; CSSC 1994b;

Pessiki et al. 1990; y Qi and Moehle 1991), como también en el juicio ingenieril.


(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Vigas).


(Parámetros Numéricos Aceptables, para modelar el Comportamiento No lineal de Columnas).


TUTORIAL PUSHOVER ANALISIS


Introducción.

Esta porción nos introduce a las capacidades que tiene el programa ETABS para

efectuar el análisis no lineal estático Pushover. Antes de entrar en esta parte del

manual se recomienda que el lector haya leído los capítulos anteriores donde se

describió detalladamente los procesos expuestos en FEMA 356 y ATC 40 para

familiarizarse con los conceptos y procedimientos que requiere este tipo de

análisis.

En esta parte no vamos a entrar en el detalle de cómo crear el modelo desde el

inicio, vamos a partir desde un modelo ya creado.

Las características del modelo son las siguientes:

El modelo de este ejemplo tiene las siguientes características:

Está estructurado por la combinación de vigas, columnas, escaleras y muros. Entre otras características podemos mencionar: Modelo de viga y muro curvo, columna con sección irregular y un hueco en la sección, columnas circulares, mallas para el análisis por elementos finitos, secciones no prismáticas. Hormigón – 4,000 psi, Acero – 60,000 psi, Espesor de las losas – 6”, 6 Pisos, Altura del Primer piso de 15’ y pisos restantes de 12’.


PROCESO PARA EL ANALISIS “PUSHOVER”

Paso I: Definiendo las Propiedades no lineal de las secciones transversales o

más bien las propiedades de las rotulas plásticas en las secciones, descritas

por los diagramas de fuerza y deformación de cada sección.

Menú Define > Frame Nonlinear Hinge Properties.

Default Hinge Properties (Propiedades por Defecto usadas por el

Programa): Este tipo de rotula puede asignarse a elementos tipo Frame

y el programa automáticamente genera diferentes rotulas para cada

sección según sus características. Estas propiedades no pueden

visualizarse porque dependen de la sección transversal de cada

elemento, luego de que usted asigna una rotula de este tipo a una

sección transversal entonces el programa podrá generar las propiedades

de esta rotula según las características de la sección, presionando la

opción “Show Generated Props”, el programa se basa en los criterios

expuestos en FEMA 356 y ATC 40, para generar las rotulas.

En nuestro caso vamos a usar las propiedades por defecto de las rotulas para

asignarla a nuestro modelo


User – Defined Hinge Properties (Usar propiedades definidas):

Este tipo de rotula puede asignarse a elementos tipo Frame. Esta puede

generarse en base a las propiedades por defecto en este caso no se

pueden visualizar o modificarse, estas también pueden definirse en su

totalidad por el usuario, si desactivamos la opción “Default”.

Al deseleccionar la opción default y seleccionar “Modify/Show…” aparece el

siguiente recuadro.

Recuadro 1

Recuadro 2

Recuadro 3


Recuadro 1:

Los Puntos (E-,D-,C-,B-),(A,B,C,D,E) se refieren a los mostrados en la siguiente

grafica:

Cuando usted deselecciona el recuadro “Symmetric” usted puede darle valores

diferentes a los que son simétricos por defecto en la parte inferior del diagrama.

Si usted tiene seleccionada esta opción y modifica un valor en la parte positiva del

diagrama automáticamente la parte negativa adquiere este mismo valor ya que

usted tiene seleccionada la opción “Symmetric”.

Note que este es un diagrama fuerza – deformación generalizado con un valor de

la fuerza de fluencia igual a la unidad, Esfuerzo (F)/Esfuerzo Fluencia (Fy) = 1

quiere decir que en dicho punto el esfuerzo F (demanda) es igual al esfuerzo de

fluencia (resistencia).

Los valores que usted introduce en cada punto son multiplicados por el factor de

escala que usted específica. De este modo se obtiene la fuerza y la deformación

en cada punto. Por ejemplo:

Si, Momento/SF = 1 en el punto B: Momento = SF x 1: Si, SF = esfuerzo de fluencia,

entonces el Momento en dicho punto del diagrama será igual al momento de

fluencia.

Si Momento/SF = 1.25 en el punto C: Momento = SF x 1.25: Si SF = Esfuerzo de

fluencia, entonces el Momento en dicho punto será igual a 1.25 veces la fuerza de

fluencia.

Nota:

En ETABS el desplazamiento en B, Siempre

es igual a Cero, o sea las rotulas son “Rigid

Plastic” por tanto este recuadro no puede

desactivarse.


Con relación al diagrama Fuerza – Deformación.

El punto B representa el punto de fluencia, la recta desde B hasta C, representa la

deformación por endurecimiento y perdida de rigidez hasta el punto C, luego

sigue una degradación de la resistencia hasta el Punto D, seguido por la pérdida

total de la resistencia para soportar cargas de gravedad en el Punto E.

El análisis de carga lateral debe iniciar a partir de un punto dentro de la pendiente

A – B, para tomar en cuenta el efecto de las deformaciones que inducen las cargas

de gravedad en la estructura.

La pendiente desde A – B representa la rigidez inicial del elemento que es la

secante definida por el valor del punto de fluencia. Está pendiente inicial

representa el comportamiento antes del agrietamiento. La rigidez inicial agrietada

se puede determinar según la tabla 9-3 de ATC 40.

El punto B tiene resistencia igual a “Resistencia Nominal de Fluencia”.

La pendiente desde B-C ignora el efecto de la carga de gravedad actuando a

través de los desplazamientos laterales. Está pendiente es tomada

aproximadamente entre 5% y 10% de la pendiente inicial elástica.

El punto C corresponde a la “Resistencia Nominal” la deformación en este punto

representa una significante degradación de la resistencia.

La caída de resistencia desde C-D representa la falla inicial del elemento, se asocia

con fenómenos como fractura del refuerzo longitudinal, desprendimiento del

concreto o falla súbita por cortante.

La resistencia residual D-E debe ser asumida igual al 20% de la Resistencia

Nominal. El propósito de este segmento es permitir que los componentes del

modelo que han perdido su capacidad ante carga lateral puedan aun ser capaces

de resistir cargas de gravedad.

El punto E define la máxima capacidad de deformación en el elemento, después

de este punto el elemento pierde la capacidad de sostener cargas de gravedad.


Resistencia de los Componentes.

Según ATC-40

El punto C es igual a 1.25 Fy, donde Fy se calcula según los procedimientos del ACI

318 usando un ф =1. (9.5.4)

El punto C y D es igual a 0.20 Fy (9.5.1)

Construcción del Diagrama Fuerza – Deformación.

1) Calcular la Resistencia de fluencia del elemento según el Código ACI,

usando ф = 1.

ETABS asume que no hay deformación en este punto, por tanto no habrá

una pendiente inicial elástica la sección se asume como “Rigida-Plastica”.

2) Calcular la resistencia nominal en el Punto C igual a 1.25 de la resistencia a

fluencia.

3) Calcular la rotación en el punto C, usando las tablas de FEMA356 (6-7).

4) Calcular la resistencia en el punto D igual a 0.25 de la resistencia nominal.

La rotación en este punto es la misma que en el punto C.

5) Calcular la rotación en el Punto E según las tablas FEMA 356. La resistencia

en este punto es la misma que en el punto D.

Recuadro 2:

Los recuadros “Used Yield Moment” (Resistencia a Fluencia) y “Used Yield

Rotation” (Desplazamiento de Fluencia) son activados por defecto, lo cual

significa que se usara la fuerza y la deformación de fluencia como factor de escala

o sea todos los valores serán multiplicados por este factor. El programa calcula

automáticamente la fuerza y deformación de fluencia. Si usted desea introducir

un valor de escala deberá deseleccionar este recuadro e introducir el valor

deseado.


Recuadro 3:

Los criterios de aceptación se usan para indicar el estado de las rotulas asignadas,

cuando se muestran los resultados del análisis, estos criterios no afectan el

comportamiento de la estructura. Estos valores de aceptación se refieren a

deformaciones, rotaciones y desplazamientos. Estos valores también se

normalizan como se explico en la página 43.

IO, La estructura puede ser ocupada inmediatamente.

LS, Vidas humanas en Riesgo.

CP, Prevención de Colapso.

P, Elemento Estructural Primario.

S, Elemento Estructural Secundario.

Criterio de Aceptabilidad Rotación Plástica = SF (Factor de Escala) x Rotación según las tablas de FEMA

Si estamos trabajando con rotulas axiales y de cortante estarán disponibles las

opciones “Force Displacement” y “Stress – Strain” para controlar como el

programa interpretara los datos introducidos en la grafica y en los criterios de

aceptabilidad. También cuando activamos la opción “Stress – Strain” se activa la

opción “Hinge Length” o “Relative Length”.

Al activar el “Stress – Strain” el programa transforma internamente los datos a

esfuerzo y deformación.

Las propiedades generadas por el programa son usadas en el análisis, estas

pueden mostrarse pero no pueden modificarse.


Paso II: Asignando las Propiedades de las Rotulas a los elementos.

Nuestro objetivo es asignar “Default-PMM” a los extremos de las columnas,

asignar “Default-M3” a los extremos de las vigas.

Seleccionar todas las Columnas usando el método de selección que usted

considere más apropiado (Se supone que el lector debe tener un conocimiento

básico del uso de ETABS).

Nota: Dado que la sección C3, fue creada con el “Section Designer” el programa

no genera las propiedades de las rotulas plásticas de esta sección, por tanto no

seleccione estas columnas ya que más adelante se explicara qué hacer en este

caso.

Ir al Menú Assign > Frame/Line > Frame NonLinear Hinges, llene el recuadro

según mostrado y presione Ok.


Nota: La distancia relativa es una medida desde los extremos del elemento y se

basa en el claro libre entre la zona considerada como rígida en los extremos. Si

colocamos “0” en un extremo significa que la rotula se ubicará en el inicio del

elemento (I – end). Si colocamos “1” indica que la rotula será ubicada en el

extremo final (J – end).

Importante:

Dado que la columna C3 es irregular y fue creada con el “Section Designer”,

ETABS no genera propiedades de rotulas por defecto para secciones que no sean

rectangulares o circulares. Debemos generar las rotaciones según la tabla 6-8 de

FEMA, Con los cómputos mostrados a continuación.


Luego vamos al Menú Define > Frame Nonlinear Hinge Properties, seleccione

Default-PMM y oprima Add New Property. Deseleccione la casilla Default y

presione Modify/Show for PMM…

En el siguiente recuadro:

El 1.23 multiplica el momento

de fluencia que introducimos

en el diagrama de iteración

para poder obtener el

momento último.

Ya que estamos

introduciendo directamente

la rotación dejamos este valor

como 1.

Introducir según las tablas

FEMA 356

Debemos introducir estas rotaciones

directamente desde FEMA 356.


Haga Click en Define/Show Interacción y seleccione la opción “User Definition”, En

total vamos a introducir dos curvas. Click en Define/Show Surface.

Nos resta conocer los valores del diagrama de fluencia que vamos a usar para la

sección cruz. Este diagrama se muestra a continuación y fue calculado con un

programa alterno llamado “TIMPANOS”.


Los valores del diagrama se introducen en el siguiente recuadro.

Presionar Ok para salir. Llamar a esta propiedad de rotula “PC3”

Seleccionar todas las columnas C3 > Ir al Menú Assign > Frame/Line > Frame

NonLinear Hinges, llene el recuadro según mostrado y presione Ok.


Paso III: Seleccionar las vigas según se muestra en la grafica, excluyendo las vigas

curvas y las vigas no prismática.

Ir al Menú Assign > Frame/Line > Frame NonLinear Hinges, llene el recuadro

según mostrado y presione Ok.


Paso IV: Seleccionar las vigas curvas (solo los elemento que llegan a las columnas)

según se muestra en la grafica.

Extremos seleccionados

Paso V: Definir las rotulas para las vigas no prismáticas.

En este caso podemos crear dos rotulas en el “Section Designer” para la sección

inicial y para la sección final. El objetivo es calcular el diagrama momento -

curvatura, luego definir las rotulas por separado con estos valores para asignarla a

los extremos de los elemento no prismáticos.


Sección (12” x 24”):

Nota: Los valores que obtenemos usando el “Section Designer” son de curvatura

unitaria estos valores deben multiplicarse por la longitud de plastificación Lp, la

cual se puede asumir como h/2, de este modo se obtienen las rotaciones las

cuales se pueden introducir directamente en el recuadro para crear la rotula

plástica. Los valores del momento se introducen tal como lo arroja el “Section

Designer”.

Luego vamos al Menú Define > Frame Nonlinear Hinge Properties, seleccionar

Default-M3 y oprimir Add New Property. Deseleccione la casilla Default y presione

Modify/Show for M3…

Nota: El momento está dado en Kip-ft y las rotaciones en radianes.

Vamos a llamar a esta rotula HV31.


Sección (12” x 36”):

Debemos efectuar el mismo proceso anterior cambiando la sección,

Vamos a llamar a esta rotula HV32.


Paso VI: Asignar las rotulas a las vigas no prismáticas.

Seleccione todas las vigas según se muestra.

Asigne las rotulas usando el Menu Assign > Frame/Hinge > Frame/NonLinear

Hinge > llene según se muestra y presione Ok.


Paso VII: En este paso vamos a definir los casos de carga estáticos no lineales

“Pushover”.

Caso para las cargas de gravedad:

Ir al menú Define > Static NonLinear / Pushover Cases > Add New Case….

1. Load to Level Defined by Pattern:

Cuando seleccionamos esta opción estamos diciendo al programa que analice la

estructura usando solo la suma de todas las cargas que usted especifica en “Load

Pattern” las cargas para este tipo de análisis deben ser de gravedad porque ya

estas son conocidas. Este debe ser el primer caso de carga que debemos

especificar para capturar el efecto de las cargas de gravedad sobre la estructura e

iniciar el proceso de las cargas laterales a partir de este efecto. En este análisis se

espera que todos los elementos permanezcan en su rango lineal.“La carga es

aplicada desde cero hasta alcanzar el total de la carga que usted especificó en

“Load Pattern”.


Controlando el desplazamiento:

Para controlar el desplazamiento usted tiene dos opciones: Seleccionar una

componente de desplazamiento para monitorear esta componente o usar un

desplazamiento generalizado. El control del desplazamiento no consiste en aplicar

un desplazamiento prescrito como carga a la estructura, el control del

desplazamiento es una simple medida del desplazamiento en un punto que

resulta de la carga aplicada, esta carga se ajusta hasta alcanzar más o menos

cierta medida de un desplazamiento que nosotros especificamos.

2. Push to Disp. Magnitude:

Esta opción debe usarse para iniciar el patrón de carga lateral incremental en la

estructura partiendo del caso anterior de gravedad. El patrón de carga lateral que

se aplicara y se incrementara es el especificado en “Load Pattern”. En este caso la

magnitud de la carga lateral no se conoce de antemano y se espera que la

estructura pierda resistencia o se vuelva inestable.

Cuando seleccionamos esta opción debemos introducir el valor máximo del

desplazamiento que alcanzara la estructura en el análisis. Por defecto ETABS usa

0.04 H, donde H es la altura total de la estructura.

Use Conjugate Disp. for Control:

Este es una medida del desplazamiento generalizado, que se define como el

trabajo conjugado del patrón de cargas laterales. Cada componente de

desplazamiento se multiplica por la carga aplicada en este grado de libertad para

todos los desplazamientos en todos los grados de libertad y los resultados se

suman para obtener la localización del desplazamiento generalizado que es el

desplazamiento mas sensitivo. En otras palabras es la medida del trabajo

realizado por las cargas aplicadas.

Se recomienda usar este medida de desplazamiento ya que es el desplazamiento

más sensitivo para monitorear el análisis. No usar si usted ya conoce un

desplazamiento en la estructura que pueda incrementar crecientemente durante

el análisis a medida que se aplique la carga.


La única desventaja es que usted no sabe la dirección del desplazamiento

conjugado y puede usted entonces monitorear este bajo un patrón de carga que

no está en la misma dirección que este desplazamiento. La carga lateral se va

ajustando en cada paso hasta alcanzar aproximadamente el desplazamiento

máximo que usted especifique.

Monitor:

En esta opción usted específica: La dirección del grado de libertad del

desplazamiento monitoreado, el “label” del nodo a monitorear, y el piso donde se

encuentra este nodo. Es importante que la dirección especificada este en la

misma dirección de la carga lateral aplicada y que el nodo monitoreado sea

sensitivo a desplazarse bajo estas cargas. Si esto no es posible usted necesitara

dividir el análisis en dos o más casos secuenciales donde usted cambie el

desplazamiento monitoreado en cada caso. Para evitar este se usa el

desplazamiento conjugado.

3. Star from Previous Case:

Usted puede iniciar el análisis desde una condición inicial con cero

desplazamientos y cero velocidad, ningún elemento estará bajo esfuerzo y no hay

historial de deformaciones no lineal.

Por otro lado usted puede continuar el análisis desde un caso previo, en este caso

los desplazamientos, velocidades, esfuerzos, cargas, energía e historial de

desplazamiento no lineal podrán considerarse desde el caso previo.

4. Member Unloading Method:

Estas opciones son para manejar como el programa redistribuye la carga cuando

una rotula tiene una descarga brusca de su capacidad (Cuando una rotula está

entre C–D o E-F). La carga que estaba soportando la rotula deberá ser distribuida

a los demás elementos que todavía tienen capacidad. No vamos a entrar en

detalle pero si el programa arroja el error “UNABLE TO FIND A SOLUTION”, debemos

cambiar de método.


5. Mínimos y Máximos Pasos Salvados:

El número mínimo y máximo de pasos salvados controla el número de puntos

salvados en el análisis. Si el número mínimo de pasos salvados es muy pequeño

puede ser que la curva de capacidad no se grafique adecuadamente. Sin embargo

si es muy alto el número de pasos salvado puede consumirse mucho tiempo para

desplegar los resultados.

El programa determina automáticamente la longitud entre pasos a ser salvados

como sigue:

Longitud Máxima entre pasos = (Desplazamiento Ultimo especificado) /

Mínimo # de pasos salvados.

Si ocurre una descarga o evento en una rotula antes de la longitud máxima

entonces se registra esta longitud y se salva este paso para continuar a

partir de aquí con el incremento máximo.

Ejemplo:

Número Mínimo de Pasos: 6

Número Máximo de Pasos: 15

Desplazamiento Máximo Especificado (Target): 12”

El máximo incremento será: 12/6 = 2”, los pasos será cada 2”, 4”, 6”…

suponga que ocurre un evento antes de salvar el paso 8” en 7” el programa

salvara este paso y seguirá el incremento en 7” + 2” = 9” ect…. Hasta

alcanzar el máximo desplazamiento que se especifico igual a 12”.

Nota: Si el análisis no alcanza el desplazamiento máximo usted deberá aumentar

“Maximun Saved Steps”.


6. Máximo Null Steps:

Un paso es nulo cuando falla una rotula. Por tanto si usted especifica un número

muy alto está permitiendo que el análisis continúe mas tiempo aunque la

estructura haya sufrido un colapso, si usted no quiere que termine el análisis

puede colocar en esta casilla la cantidad total máxima de pasos.

7. Maximun Iterations Per Steps:

Las iteraciones son usadas para asegurarnos de que se alcance el equilibrio en

cada paso en el análisis. El programa usa “Newton-Raphson” y “Constant-

Stiffness”. Si usted coloca cero el programa automáticamente determina el

numero y el tipo de iteración permitida.

8. Iteration Convergence Tolerance:

Es la tolerancia que habrá entre la magnitud de la fuerza de iteración entre la

magnitud de la fuerza que actúa sobre la estructura. Mientras mas pequeño es

este valor los resultados serán más exactos.

9. Event Tolerance: El valor 0.01 es apropiado.

10. Geometric Nonlinearity Effects.

None: Todas las ecuaciones de equilibrio son considerando el estado no

deformado de la estructura.

P-delta: Las ecuaciones de equilibrio toman en cuenta la configuración deformada

de la estructura en la formulación de las ecuaciones.

P-delta and Large Displacements: Las ecuaciones de equilibrio toman en cuenta la

configuración deformada de la estructura en la formulación de las ecuaciones,

cuando la estructura se desplaza más de su rango elástico.


Dibujar un punto en el centro de masa de la losa del piso 6. Luego debe conectar

este punto al diafragma rígido. El label de este punto es 1500.

Caso para las carga lateral en dirección X:


Caso para las carga lateral en dirección Y:


Paso VIII: En este paso vamos a correr el análisis “Pushover”.

1. Luego de haber diseñado la estructura Ir al Menú Analyze > Run Static

NonLinear Analysis.


2. Viendo la deformada y la secuencia de formación de rotulas.

Para ver la deformada hacer click en la opción luego seleccione el caso de

carga PEQX y presiones OK. Esto desplegara la deformada de la carga incremental

en la dirección X. Usted puede animar la deformación o pasar de un paso a otro

en la formación incremental de rotulas con la siguiente opción:

Si hacemos Click en un nodo podremos visualizar el desplazamiento en dicho

nodo.Para interpretar en que rango de deformación se encuentra cada rotula el

programa muestra una barra como esta:

La siguiente grafica muestra el significado de estos colores.


Estos colores van cambiando a medida que usted cambia de un paso a otro ya que

la carga va incrementando y los elementos responden con una deformación cada

vez mayor hasta incursionar en su rango no lineal.

Nota: Cuando una rotula alcanza el punto C esta inicia un proceso donde la fuerza

en la rotula va reduciendo, el programa entonces hace consistente la fuerza en el

punto C reduciendo el cortante en la base, al reducir este cortante los demás

elementos también se descargan por tanto el desplazamiento en la estructura se

reduce. Una vez la rotula alcanza el punto D, el cortante en la base se vuelve a

incrementar.

3. Fuerza en los elementos.

Al igual que la deformación es posible ver la fuerza en los elemento en cada paso

en el análisis Pushover.

Para ver la fuerza hacer click en la opción luego seleccione

Frame/Pier/Spandrel Force…. Seleccione el caso de carga PEQX y presiones OK.

Esto desplegara la el momento de la carga incremental en la dirección X en cada

paso.


Si hacemos Clic derecho en cualquier elemento tendremos el diagrama más

detallado.


4. Curva de Capacidad V vs ∆, Curva de Capacidad Espectral vs Curva de

Demanda Espectral.

Ir al menú Display > Show Static Pushover Curve

Curva de Capacidad Lateral V vs ∆ en la dirección X.

La grafica muestra la relación entre el incremento del desplazamiento

monitoreado y el incremento del cortante en la base. Colocando el curso en

cualquier punto de la grafica podemos ver los distintos valores. El color de esta

grafica puede modificarse por defecto es verde.


Curva de Capacidad Espectral vs Curva de Demanda Espectral en la

dirección X.

Para que el programa convierta la curva de capacidad V vs ∆ a una curva de

capacidad espectral Sa (Aceleración Espectral) vs Sd (Desplazamiento Espectral)

formato ADRS, solo tenemos que hacer Clic en la opción “Capacity Spectrum”. El

proceso para efectuar esta conversión se describe en detalle en la página 21 de

este manual.

El programa también grafica la Demanda Sísmica por medio de la grafica del

espectro de respuesta. Esta demanda depende de los coeficientes Ca y Cv. Estos

coeficientes dependen de la zona sísmica (Tabla 16Q y 16R del Código UBC 97).


El programa crea automáticamente el espectro de Demanda para un 5% de

amortiguamiento según el código. Luego crea otra familia de Demanda reducida

por un factor que toma en consideración la capacidad adicional que puede poseer

la estructura de disipar energía sísmica representada por los lazos de histéresis de

la curva de capacidad espectral.

Estos parámetros de amortiguamiento son usados para generar distintas graficas

de demanda con distintos amortiguamientos.

El amortiguamiento de 5% es usado para calcular los factores de reducción SRa y

SRv que usa el programa para reducir el espectro de demanda por medio de la

suma entre el amortiguamiento inherente y el amortiguamiento histeretico

reducido por un factor. Esto se explica en detalle en las páginas 24 a 27 de este

manual.

Si colocamos cero en uno de estos recuadros se omite el espectro reducido

correspondiente a este amortiguamiento.

Si desactivamos “Show Family of Demand Spectra” todos los espectros de

demanda desaparecen.

La opción “Show Single Demand Spectrum” representa el espectro de demanda

reducido que interceptado con el espectro de capacidad será el punto de

desempeño o máxima respuesta de la estructura.


El programa reduce el espectro como sigue:

Este proceso debe efectuarse para cada punto sobre la curva de capacidad

espectral trazando varias líneas radiales de periodo constante. Este es un proceso

iterativo; cuando el espectro de demanda reducido pasa a través del punto

asumido se obtiene la respuesta máxima de la estructura.

La opción “Show Constant Period Lines at” representa el periodo en formato

ADRS para cada espectro de demanda.

Línea Radial de Periodo Constante.

Uno de los puntos del espectro reducido que va a definir el Punto de

desempeño o respuesta máxima.

Curva de Capacidad Espectral

Espectro reducido con los factores SRa y SRV “Usando el

amortiguamiento debajo de la curva.

Punto Arbitrario.

Amortiguamiento, Basado en el Punto

arbitrario.


Según visto en la página 26 el amortiguamiento efectivo es definido como:

Βeff = κ βo + 5

El término Bo el programa lo calcula automáticamente, el 5 es el amortiguamiento

inherente. La opción “Damping Parameters” es usada cuando usted sabe que hay

algún dispositivo que provee un amortiguamiento adicional a la estructura, este

amortiguamiento debe ser introducido como inherente. Por ejemplo si el

amortiguamiento inherente de la estructura es 0.05 y usted tiene algunos

dispositivos que proporcionan un amortiguamiento de 0.06, entonces usted debe

colocar en este recuadro 0.11.

Si usted tiene incluido en el modelo matemático un elemento amortiguador

“NLLink” en el análisis pushover este elemento se considera como un elemento

lineal con rigidez (KE) y el amortiguamiento de este viene dado por el Coeficiente

(CE) que junto al periodo efectivo es usado para calcular el amortiguamiento

inherente adicional. El programa inserta este automáticamente.

Las letras A, B, C definen el tipo de comportamiento estructural. El

comportamiento estructural es usado para que el programa calcule el factor κ que

reduce el área calculada del amortiguamiento histeretico.


Si se desea estos valores pueden introducirse para que el programa genere la

grafica (Figura 8-15 ATC 40).

COMENTARIOS.

La respuesta de la estructura debe ser verificada en el punto donde ocurre el

máximo desplazamiento. En este cortante debe verificarse que se cumpla con los

criterios de estabilidad, resistencia, máximos drift y con los criterios de aceptación

local. Estos requisitos mínimos se detallan en ATC-40.

Resumiendo:

El máximo drift en la máxima respuesta debe cumplir con la tabla 11-2.

Se debe cumplir con la estabilidad según el criterio de la tabla 11-2.

La máxima degradación en la resistencia debe cumplir con los requerimientos de

la sección 11.3.2.


Sobre el autor El Ingeniero Aneuris Hernández Vélez completo su bachillerato en la Universidad

Nacional Pedro Henríquez Ureña (UNPHU) el año 2004. Su tesis se titula “Estudio

estructural basado en la comparación de la respuesta estática, lineal y no lineal en

torres localizadas en Santo Domingo”. Posteriormente, obtuvo una Maestría en

Ingeniería Civil con especialidad en Estructuras en el año 2009 con su proyecto

titulado “Evaluación Sísmica y Rehabilitación de Estructuras Existentes” enfocado

básicamente en el análisis “Pushover” no lineal. Además en la actualidad se

desempeña como Director de la compañía “High Level Engineering” mayormente

dedica al análisis y diseño de estructuras. El ingeniero Aneuris ha trabajado en

proyectos de construcción de puentes y carreteras de más de 40 millones de

dólares, también ha impartido cursos y seminarios de ingeniería estructural usando

los software de diseño más poderosos en el mercado “ETABS, SAP2000 y SAFE”.

Actualmente es Dealer Autorizado en Puerto Rico de CSI.

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