Manual Metodos Numericos

Lic. en Informática y Estadística Métodos Numéricos

METODOS NUMERICOS

PROGRAMA:

UNIDAD I. APROXIMACIONES Y ERRORES.

1.1. Definiciones.

1.2. Pasos para realización de un programa.

1.3. Cifras significativas.

1.4. Exactitud y precisión.

1.5. Errores de redondeo de truncamiento y error numérico total.

1.6. Reglas de redondeo.

UNIDAD II.- RAICES DE ECUACIONES.

2.1. Método de bisección.

2.2. Método de la regla falsa.

2.3. Método de incrementos.

2.4. Método de iteración de un punto fijo.

2.5. Método de Newton Raphson.

2.6. Método de la Secante.

UNIDAD III.- SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES E INVERSION DE

MATRICES.

3.1. Inversión de matrices por el método de intercambio.

3.2. Solución de ecuaciones por el método Iterativo.

3.3. Solución de ecuaciones por el método de Jacobi.

UNIDAD IV.- APROXIMACION POLINOMIAL.

Ing. Ana Begoña Espinoza Larios Pág. 1


4.1. Método de interpolación.

4.2. Método de extrapolación.

UNIDAD V.- APROXIMACION FUNCIONAL.

5.1. Mínimos cuadrados.

5.2. Linearización.



BIBLIOGRAFIA

METODOS NUMERICOS PARA INGENIEROS CON APLICACIONES EN

COMPUTADORAS PERSONALES.

Steven C. Chapra / Raymond P. Canale

Edit. Mc. Graw Hill

METODOS NUMERICOS.

Luthe – Oliveira – Sehutz

Edit. Limusa



UNIDAD I

APROXIMACIONES Y ERRORES

1.1. Definiciones.

METODOS NUMERICOS.- Son técnicas mediante las cuales es posible formular

problema de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas.

Los métodos numéricos son herramientas extremadamente poderosas para la

solución de problemas.

Un modelo matemático es una formulación o ecuación que expresa las

características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos.

ALGORITMO.- Es una secuencia de pasos necesarios para ejecutar una tarea específica,

tal como la solución de un problema.

1.2. Pasos para la realización de un programa.

Los pasos para realización de un programa son los siguientes:

1. Diseño del algoritmo.- Desarrollo de la lógica básica del programa.

2. Composición del programa.- Escritura del programa en un lenguaje de computadora.

3. Rastreo y prueba.- Asegurarse que el programa no tenga errores.

4. Documentación.- Documentar el programa para que sea más fácil de entender.

5. Almacenamiento y mantenimiento.- Guardar el programa en un medio físico y darle

mantenimiento en caso de error o modificación.

Diagramas de flujo de datos

Es un representación gráfica del algoritmo que emplea una serie de bloques y

flechas.



Simbología de los diagramas de flujo de datos

Ejemplo 1.1. Realizar la multiplicación rusa de las siguientes cantidades y diseñar el

diagrama de flujo de datos.

a) 35 * 12 =

b) 25 * 6 =


Representa el inicio o final del programa.

Representa cálculos o manipulación de datos.PROCESO

DECISIONRepresenta una comparación, pregunta o decisión que determina alternativas diferentes a seguir.

CONECTORRepresenta el truncamiento en el camino de un diagrama de flujo que se usa cuando es muy grande y no cabe en una página. El conector marca el fin de la primera página y el lugar donde continúa en la segunda.

E/SRepresenta la entrada o la salida de datos e información.

CONECTORRepresenta el truncamiento en el camino de un diagrama de flujo que se usa cuando no cabe en la misma página y se continua en otro lado pero en la misma página.


1.3. Cifras significativas.

Se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico.

El número de cifras significativas es un número de dígitos más un dígito estimado que se

puede usar con confianza.



Ejemplo 1.2. Encontrar el número de cifras significativas que tienen las siguientes

cantidades.

Número de cifras

1.174 _______________

0.1174 _______________

0.0001174 _______________

177400024 _______________

215000 _______________

X00X00XX0X _______________

0.00XXX _______________

000XXX _______________

XXX000 _______________

XXX00.00 _______________

1.4. Exactitud y precisión.

Precisión.- Se refiere a:

a) El número de cifras que representa una cantidad.

b) La extensión en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad

física.

Exactitud.- Se refiere a la aproximación de un número o de una medida al valor verdadero

que se supone representa.

Inexactitud.- (Conocida como sesgo) se define como un alejamiento sistemático de la

verdad.

NOTA: Cuando hay inexactitud e imprecisión existe un error.

Ejemplo 1.3.- Determina si las siguientes figuras son exactas o precisas o ambas.



Ejemplo 1.4.- Determina si las siguientes cantidades son precisas o exactas.

3 * 10 = 303 * 10 = 31.928765

1.5. Errores de redondeo de truncamiento y error numérico total.

Errores de redondeo.- Se deben a que la computadora sólo puede representar cantidades

con un número finito de dígitos.

Errores de truncamiento.- Representan la diferencia entre una formulación matemática

exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico.

Errores numéricos.- Se genera por el uso de aproximaciones para representar las

operaciones y cantidades matemáticas.

Valor verdadero.- Es igual al valor aproximado más el error.

Formulas:

Ev = Vv – Va

Vv = Va + Error

Error Relativo = Vv – Va

Vv

Para procesos iterativos :


Ea = Aa – Ap 100 Aa

Ev = Vv – Va 100 Vv


Es = (0.5 * 102-n)

Simbología:

Ev = Error verdadero

Vv = Valor verdadero

Va = Valor aproximado

Aa = Aproximación actual

Ap = Aproximación previa

Ea = Error aproximado

Es = Error establecido

n = Número de cifras

Ejemplo 1.5. Empezando con el primer término ex = 1 y agregando un término a la vez,

estímese el valor de e0.5 . Agréguense términos hasta que el valor absoluto de Ea < Es que

contempla 3 cifras significativas.

ex = 1 + X + X 2 + X 3 + X 4 + .....+ X n

2! 3! 4! n!

E0.5 Ev% Ea%



Va = ___________________________

Ejemplo 1.6.- Iniciando con el primer término sen x = x, agréguense los términos uno a

uno para estimar sen ( / 3). Después que se agregue cada uno de los términos, calcúlense

los errores porcentuales relativos, exactos y aproximados. Agréguense términos hasta que

el valor absoluto del error aproximado falle bajo cierto criterio de error considerando 4

cifras significativas.

Sen x = X - X 3 + X 5 - X 7 + X 9 - .....+ X n

3! 5! 7! 9! n!

sen ( / 3) Ev Ea



Va = ___________________________

1.5. Reglas de redondeo.

Estas reglas se utilizan para cálculos a mano:

1. En el redondeo, se conservan las cifras significativas y el resto se descarta. El último

dígito que se conserva se aumenta en uno si el primer dígito descartado es mayor que 5.

De otra manera se deja igual. Si el primer dígito descartado es cinco o es cinco seguido

de ceros, entonces el último dígito retenido se incrementa en 1, solo si es impar.

2. En la suma y en la resta, el redondeo se lleva a cabo de forma tal que el último dígito

retenido en la respuesta corresponda al último dígito más significativo de los números

que se están sumando o restando. Nótese que un dígito en la columna de las centésimas

es más significativo que uno de la columna de las milésimas.

3. Para la multiplicación y para la división, el redondeo es tal que la cantidad de cifras

significativas del resultado es igual al número más pequeño de cifras significativas que

contiene la cantidad en la operación.

4. Para combinaciones de las operaciones aritméticas, existen 2 casos generales. Se puede

sumar o restar el resultado de las multiplicaciones o de las divisisiones.

Multiplicación + Multiplicación

o o

división - división

O también se puede multiplicar o dividir los resultados de las sumas y de las restas.

Suma * Suma

o o

resta / resta

En ambos casos, se ejecutan las operaciones entre paréntesis y el resultado antes de

proceder con otra operación, en vez de redondear únicamente el resultado final.



1.6. Redondea las siguientes cantidades y operaciones, aplicando las reglas de redondeo

anteriores.

Errores de redondeo

a) 5.6727 (3 cifras) _______________

b) 10.406 (4 cifras) _______________

c) 7.3500 (2 cifras) _______________

d) 88.21650 (5 cifras) _______________

e) 1.25001 (2 cifras) _______________

Sumas y restas

a) 2 – 1.618 = __________ = _____________

b) 4.68 x 10-7 + 8.3 x 10-4 – 228 x 10-6 = _______________ = ________________

Multiplicación y división

a) 0.0642 * 4.8 = ____________ = _______________

b) 945 / 0.3185 = ____________ = _______________

Combinaciones

a) (15.2 (2.8 x 10-4)) + (8.456 x 10-4) / 0.177)) =

b) 6.740 x 10 -5 – 8.7 x 10 -7

2.672 x 103 + 5.8



Ejercicios

1. Estimar el valor de e1, mediante la serie de McLaurin tomando en cuenta 4 cifras

significativas.

2. Estimar el valor de cos ( / 3), mediante la serie de McLaurin tomando en cuenta 3

cifras significativas.



3. Estimar el valor de sen 18º , mediante la serie de McLaurin tomando en cuenta 3 cifras

significativas.

4. En los pronósticos deportivos se estimó un monto de 35,000,000 de pesos para premio

de 135 pesos cada uno. Pero al hacer “cuentas” hubo un error del 6.05%. ¿Cuántos

aficionados adivinaron el resultado?.

5. Redondea las siguientes cantidades a 3 cifras significativas:

a) 8.755 = ____________

b) 0.368124 = ____________

c) 4225.0002 = ____________

d) 5.555 = ____________

e) 0.999500 = ____________

6. Efectúas las siguientes operaciones y redondea los resultados.

a) 6.80 (4.0 x 10-6) – 22 (8.06 x 10-9)

b) (14 x 10-3 + 555 – 80.8) * (2.001 – 0.004)

c) 486 x 10 -6 – 4.45 x 10 -5

(7.777 * 103) + 9.6

d) 4.81 x 10 -3 __ 6.7848 x 10-6

(6.9134 x 103) + 32.26

e) 58.6 (12 x 10 -6 ) – (208 x 10 -6 )(1801)

468.94 x 10-6

7. Diseñar un programa que realice el proceso de la multiplicación rusa.

8. Diseñar un programa que calcule cualquier valor de ex, utilizando la serie de McLaurin.

9. Diseñar un programa de calcule cualquier valor de cos x, utilizando la serie de

McLaurin.

10. Diseñar un programa de calcule cualquier valor de sen x, utilizando la serie de

McLaurin.



UNIDAD II

RAICES DE ECUACIONES

2.1. Introducción.

Desde hace años, se aprendió a usar la fórmula cuadrática:

X = -b ± b 2 – 4ac



2a

para resolver:

f(x) = ax2 + bx +c =0

A los valores calculados con la ecuación se les llama “raíces” de la ecuación. Estos

representan los valores de x que hacen la ecuación sea igual a cero. Por lo tanto, se puede

definir la raíz de una ecuación como el valor de x que hace f(x) = 0. Por esta razón, algunas

veces a las raíces se les conoce como ceros de la ecuación.

Ejemplo: 2.1 Encontrar las raíces de las siguientes ecuaciones.

a) 5x2 + 3x + 6 = 0

b) -3x2 + 4x + 6 = 0

2.2. Método gráfico.

Un método simple para obtener una aproximación a la raíz de la ecuación f(x) = 0 consiste

en graficar la función y observar en donde cruza el eje x. Este punto, que representa el valor

de x para el cual f(x) = 0, proporciona una aproximación inicial de la raíz.

Ejemplo 2.2. Empléense la gráficas para obtener una raíz aproximada de la función

f(x) = e-x – x. Utilizando los siguientes valores de x.



x f(x)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

2.3. Método de bisección.

Cuando se aplicaron las técnicas gráficas, en el ejemplo anterior se observó que f(x) cambio

de signo hacía ambos lados de la raíz. En general, si f(x) es real y continua en el intervalo

de x1 a x2 y f(x1) y f(x2) tienen signos opuestos, esto es:

1. Escójanse los valores iniciales x1 y x2 de forma tal que la función cambie de signo sobre

el intervalo. Esto se puede asegurándose de que f(x1) * f (x2) < 0.



2. La primera aproximación a la raíz Xr se determina como:

Xr = X1 + X2

2

3. Realícense las siguientes evaluaciones y determínese en que subintervalo cae la raíz.

a) Si f(X1) * f(Xr) < 0, entonces la raíz se encuentra dentro del primer subintervalo.

Por lo tanto, resuélvanse X2 = Xr y continúese en el paso 4.

b) Si f(X1) * f(Xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro del segundo subintervalo.

Por lo tanto, resuélvanse X1 = Xr y continúese en el paso 4.

c) Si f(X1) * f(Xr) = 0, entonces la raíz es igual a Xr y terminan los cálculos.

4. Calcúlese una nueva aproximación a la raíz mediante:

Xr = X1 + X2

2

5. Decídase si la nueva aproximación es tan exacta como se desea. Si es así, entonces los

cálculos terminan, de otra manera regrésese al paso 3.

Ejemplo 2.3. Usese el método de bisección para determinar la raíz de f(x) = e-x –0.5x. Lo

valores iniciales serán x1 = -1 y x2 = 2.

X1 X2 f(x1) Xr f(xm) Ea f(x1)*f(x2)



2.4. Método de la regla falsa.

Aunque el método de bisección es una técnica perfectamente válida para determinar raíces

su enfoque es relativamente ineficiente. Una alternativa mejorada es la del método de la

regla falsa ya que está basado en una idea para aproximarse en forma más eficiente a la

raíz.

Un defecto del método de bisección es que al dividir el intervalo x1 a x2 en mitades iguales,

no se toma en consideración la magnitud de f(x1) y de f(x2). Por ejemplo, si f(x1) está

mucho más cerca de cero que f(x2), es lógico que la raíz se encuentra más cerca de x1 que

de x2 . Éste método alternativo aprovecha la idea de unir los puntos con mejor estimación

de la raíz. El reemplazamiento de la curva por una línea recta da una “posición falsa” de la

raíz, de aquí el nombre de método de regla falsa o en latín regula falsi. También se le

conoce como método de interpolación lineal.

Se utilizan los mismos parámetros que en el método anterior lo que cambia es la fórmula

para calcular a xr.

Xr = x2 _ f(x2) (x1 – x2)

f(x1) – f(x2)

Ejemplo 2.4. Usese el método de la regla falsa para determinar la raíz de f(x) = e-x – x,

tomando como valores iniciales x1 = 0 y x2 =1.

X1 X2 f(x1) f(x2) (x1 – x2) Xr f(xr) Ea fx1*fxr



2.5. Método de incrementos.

Además de verificar una respuesta individual, se debe determinar si se han localizado todas

las raíces posibles. Una opción es incorporar una búsqueda incremental al principio del

programa. Consiste en empezar en un extremo de la región de interés y realizar

evaluaciones de la función con pequeños intervalos a lo largo de la región. Cuando la

función cambia de signo, se supone que una raíz cae dentro del incremento.

Ejemplo 2.5. Encontrar la raíz de siguiente función tomando en cuenta los siguientes

valores.

f(x) = 3x3 – 6x –4

X f(x) X f(x)

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3



X f(x) X f(x)

2.6. Método de iteración de un punto fijo.

En los métodos anteriores se usan intervalos, la raíz se encuentra dentro del mismo, dato

por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos métodos siempre

genera aproximaciones más y más cercanas a la raíz. A tales métodos se les conoce como

convergentes ya que se acercan progresivamente a la raíz a medida que crece el número de

iteraciones.



Los métodos abiertos emplean una fórmula que predice una aproximación a la raíz. Tal

fórmula se puede desarrollar para la iteración de un punto fijo, rearreglando la ecuación

f(x) = 0 de tal forma que x quede del lado izquierdo de la ecuación:

x = g(x)

Xi+1 = g(xi) = g(x) = f(x) + x

g(x) = despeje

Ejemplo 2.6. Usese iteración de un punto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x – x,

empezando con un valor inicial de xi = 0.

Xi Xi+1

0



Ejemplo 2.7. Encontrar la raíz de f(x) = x3 + 2x –1, utilizando el siguiente intervalo

(0.25, 0.5).

Nota.- Cuando en la función se puede despejar más de una x, se deben despejar todas las

posibles x y enseguida derivar para saber de cual despeje se encontrará la raíz.



2.7. Método de Newton Raphson.

Dentro de las fórmulas para localizar raíces, la fórmula de Newton Raphson sea la más

ampliamente usada. Si el valor inicial de la raíz de xi, entonces se puede extender una

tangente desde el punto [xi, f(xi)]. El punto donde esta tangente cruza al eje x representa

una aproximación mejorada a la raíz.



El método de Newton Raphson se puede derivar geométricamente (una forma de hacerlo es

mediante el uso de la serie de Taylor). La primera derivada en x es equivalente a la

pendiente.

f'’ (xi) = f(xi) – 0

xi – xi+1

Que se puede reordenar para obtener:

xi+1 = xi - f(xi)

f’(xi)

a la que se le conoce como fórmula de Newton Raphson.

Ejemplo 2.8. Usese el método de Newton Raphson para calcular la raíz de f(x) = e -x – x,

empleando como valor inicial xi = 0.

Xi f(Xi) f'’(Xi) Xi+1

2.8. Método de la Secante.

Un problema fuerte en la implementación del método de Newton Raphson es el de la

evaluación de la derivada. Aunque esto no es un inconveniente para los polinomios y para

muchas otras funciones, existen algunas de éstas cuyas derivadas pueden ser

extremadamente difíciles de evaluar. En estos casos la derivada se puede aproximar

mediante una diferencia dividida.



Esta aproximación se puede sustituir en la ecuación obteniendo la ecuación iterativa:

xi+1 = xi - f(xi) (xi-1 – xi)

f’(xi-1) – f(xi)

Ejemplo 2.9. Usese el método de Newton Raphson para calcular la raíz de f(x) = e -x – x,

empleando como valor inicial xi-1 = 0 y . xi = 1.0.

xi-1 xi F(xi-1) F(xi) xi+1

Ejercicios

1. Calcular las raíces de las siguientes ecuaciones, mediante el método gráfico, utilizando

los siguientes valores de x:

f(x) = sen 10x + cos 3x



X f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

f(x) = sen 5x + cos 3x

X f(x)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

2. Utilizando el método de bisección encontrar la raíz de las siguientes ecuaciones:

f(x) = e-x – x (0,1)

f(x) = x3 - ex + 3 (-1,5)

3. Usese el método de la regla falsa para determinar la raíz de f(x) = x3 - 5ex + 3 tomando



como valores iniciales x1 = -2 y x2 = 0.

3. Utilice el método de incrementos para calcular la raíz de la siguiente función:

f(x) = x7 + x6 – x3 + x –3

X f(x)

-7

-6

-5

-4

-3

-1

0

1

2

4. Usese iteración de un punto fijo para localizar la raíz de f(x) = cos x - e-x , empezando

con un valor inicial de xi = 1.4.

5. Usese iteración de un punto fijo para localizar la raíz de f(x) = x3 –e2x +10x - 3,

empezando con un valor inicial de (0, ½).

6. Usese el método de Newton Raphson para calcular la raíz de f(x) = x – sen x,

empleando como valor inicial xi = 9.

7. Usese el método de Newton Raphson para calcular la raíz de f(x) = x3 – e2x +3,

empleando como valor inicial xi = -1.

8. Usese el método de la Secante para calcular la raíz de f(x) = x4 – 8.6x3 – 35.51x2 + 464x

– 998.46, empleando como valores iniciales xi = 9 y xi-1 = 7

9. Realiza los programas de todos los métodos anteriores

UNIDAD III

SOLUCION DEL SISTEMA DE ECUACIONES E INVERSION DE MATRICES

3.1. Inversión de matrices por el método de intercambio.

Para que una matriz sea invertible, se debe de cumplir los siguiente:



Si una matriz A es cuadrada entonces existe una matriz A-1 tal que A*A-1 = I si su

determinante es diferente de cero.

Método de intercambio para inversión de matrices.

Para invertir una matriz se deben de seguir los siguientes pasos:

1. Ponerle título a las filas y a las columnas.

2. Elegir un elemento pivote (el número que tenga mayor valor absoluto):

3. Intercambiar los títulos o encabezados de la fila y la columna del pivote.

4. Dividir los elementos del renglón del pivote entre el número del pivote y cambiar de

signo.

5. Sumar a todos los elementos de los renglones, con excepción de los que están en la

columna del pivote, los correspondientes elementos del renglón del pivote, ya

modificado por los correspondientes de la columna del pivote sin modificar.

6. Dividir todos los elementos de la columna del pivote entre el pivote.

7. Sustituir el pivote por su recíproco.

Ejemplo 3.1. Invertir la siguiente matriz por el método de intercambio.


-2 6 -3 5 8 -10 6 -3

2 6 -3 5 8 -10 6 -3


3.2. Solución de ecuaciones por el método Iterativo.

En este método se debe de considerar la siguiente restricción:

Que el valor de la diagonal principal de cada elemento del renglón sea mayor que la

suma del valor absoluto de los otros que estén en ese renglón.



Ejemplo 3.2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por medio del método de Jacobi.

5X1 – 2X2 + X3 = 6

2X1 + 6X2 – 3X3 = 4

3X1 – 3X2 + 7X3 = 2

X1 X2 X3

0 0 0

3.3. Solución de ecuaciones por el método de Jacobi.

En este método se toman en cuenta las consideraciones anteriores del método Iterativo.

Ejemplo 3.2. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por medio del método de Jacobi.

2X1 + 6X2 – 3X3 = 4



5X1 – 2X2 + X3 = 6

3X1 – 3X2 + 7X3 = 2

X1 X2 X3

Ejercicios

1. Invertir las siguientes matrices y efectuar su comprobación.


1 2 10 2 21 1 3

2 1 13 -2 -14 -7 3


2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por medio del método Iterativo y por el de

Jacobi.

8X1 - 4X2 + X3 = 19

3X1 + 7X2 - 2X3 = -0.5

5X1 - 2X2 + 10X3 = 59

UNIDAD IV

INTERPOLACION

Con frecuencia se tienen que estimar valores intermedios entre valores conocidos. El

método más común empleado para este propósito es la interpolación polinomial.

Recuérdese que la fórmula general de un polinomio de n-ésimo orden o menor que pasa a



través de todos los puntos. Por ejemplo, hay sólo una línea recta (es decir, un polinomio de

primer grado) que conecta dos puntos. De manera similar hay sólo una parábola que

conecta a tres puntos. El polinomio de interpolación consiste en determinar el único

polinomio de nésimo orden que se ajusta a los n+1 puntos dados. Este polinomio

proporciona una fórmula para calcular los valores intermedios.

Tabla de diferencias

X Y AY A2Y A3Y

X0 Y0 a0=Y1-Y0

X1 Y1 a1=Y2-Y1 b0=a1-a0 C0=b1-b0

X2 Y2 a2=Y3-Y2 b1=a2-a1

.

Xn-1 Yn-1 an-1=Yn-Yn-1

Xn Yn

Ejemplo 4.1. Encontrar el grado del polinomio de la siguiente tabla.

X Y AY A2Y A3Y A4Y

-4 -166

-3 -61

-2 -10

-1 5



0 2

1 -1

2 14

3 65

4 170

5 347

Ejemplo 4.2. Encontrar el valor de v y el grado de la función de la siguiente tabla.

X Y AY A2Y A3Y A4Y A5Y

-1 -5

0 0

1 V

2 28

3 87

4 200

X Y AY A2Y A3Y A4Y A5Y

-1 -5

0 0

1

2 28

3 87



4 200

Ejemplo 4.3. Encontrar el error en la tabla de diferencias y su grado de la función.

X Y AY A2Y A3Y A4Y A5Y A6Y A7Y

-3 -58

-2 -26

-1 -10

0 -4

1 -2

2 2

3 16

4 40


-3 -58

-2 -26

-1 -10

0 -4

1 -2

2 2

3 16

4 40

Método de interpolación para encontrar una función por medio

de una tabla de valores

Y= YO + KAY+K(K-1)A 2 Y + K(K-1)(K-2)A 3 Y + K(K-1)(K-2)(K-3)A 4 Y +....

2! 3! 4!



K=X-X0

h

Donde h = incremento.

Ejemplo 4.4. Encontrar el polinomio de las tablas anteriores.

Búsqueda de un valor dentro de la tabla

Para poder buscar un valor dentro de la tabla se utiliza también el método de interpolación,

a diferencia con que se toman puros valores.

Nota.- Cuando el grado del polinomio es impar se multiplican los números por (-1).



Ejemplo 4.5. Encontrar el valor de f(6.7) de la siguiente tabla.

X Y AY A2Y A3Y A4Y

Ejemplo 4.6. Encontrar el valor de f(8.5) de la tabla anterior.

Ejercicios

1. Encuentra el grado del polinomio y el polinomio de la siguiente tabla.

X Y AY A2Y A3Y A4Y

-4 -111



-3 -42

-2 -9

-1 0

0 -3

1 -6

2 3

3 36

4 105

5 222

2. Encontrar el error en la tabla de diferencias y su grado de la función.


-4 -111

-3 -42

-2 -9

-1 0

0 -4

1 -9

2 3

3 36

4 105

5 222


-3 -58

-2 -26

-1 -10

0 -4

1 -2



2 2

3 16

4 40

3. Encontrar el grado y el polinomio de la tabla


-3 58

-2 -26

-1 -10

0 -4

1 -2

2 2

3 14

4 40



-3 -160

-2.5 -101.5



-2 -60

-1.5 -32.5

-1 -16

-0.5 -7.5

0 -4

0.5 -2.5

1 0

1.5 6.5

2 20

2.5 43.5

3 80


X Y AY A2Y A3Y A4Y A5Y A6Y

-3 -302

-1.5 -26.9375

0 -5

1.5 -13.4375

3 -194

4.5 -1052.9375

6 -3460.98

7.5 -8653.4375

9 -18230


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