Manual Método grafico.docx

DETERMINACION DE LOS PARAMETROS DE WEIBULL CON EL METODO GRAFICO

DOCENTE: ING. RENE ROSADO PACHECO.

PRESENTADO POR:

CCAHUANA PUCHO MIJAIL 091561-B RIVEROS OLIVERA, IRVIN 083119 - B

CUSCO – PERÚ2014

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO INGENIERIA MECANICA

INTRODUCCIÓN

El método grafico sirve para hallar los parámetros de weibull. Es el método más sencillo para hallar los parámetros de confiabilidad Gamma, Beta y Eta.

Gamma: Es el parámetro de posición, define el punto de partida u origen de la distribución.Eta: Llamado también parámetro de escala, parámetro de extensión o vida útil. Su valor viene dado por la intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al 63.3% de fallos acumulados.Beta: Llamado también parámetro de forma, refleja la dispersión de los datos y determina la forma que toma la distribución.

El método grafico consiste en ubicar los puntos de tiempos en el eje de las abscisas, y los valores de porcentaje de fallas acumuladas en el eje de las ordenadas, inicialmente se toma un valor de gamma igual a 0, si los puntos ubicados no forman una recta se debe buscar otro valor de gamma hasta lograr que los puntos sean próximos una recta, Luego de haber encontrado el valor de gamma se encuentra el valor de Eta en el eje de las abscisas y Beta en el eje de las ordenadas en el papel de weibull o papel logarítmico.

Una vez obtenido los valores de los parámetros de Weibull se podrá hacer una representación gráfica de la confiabilidad, infiabilidad, tasa de fallos y densidad de fallos.

INGENIERIA DE MANTENIMIENTO I PÁGINA 2


MÉTODO GRAFICO1. OBJETIVOS

Hacer uso del método grafico para calcular los parámetros de confiabilidad haciendo uso de la hoja de Weibull.

Dar a conocer los valores aproximados de los parámetros de confiabilidad gamma, beta y eta como punto de partida para métodos más exactos como son el método Matlab, Reliasoft, solver Excel.

Encontrar el grafico de confiabilidad, no confiabilidad y tasa de fallas en función del tiempo entre fallas.

2. ASPECTOS TEÓRICOS

Análisis mediante el método de weibull

La distribución de Weibull es usada en el estudio de las fallas de componentes mecánicos a través del tiempo, pero a diferencia de la distribución exponencial, que también es usada en el campo de la confiabilidad.La distribución de Weibull puede cubrir propiedades de otras distribuciones, es decir, si los parámetros ( , y ) toman valores particulares puede utilizarse como una β η γaproximación a la distribución Exponencial, Normal, etc.

Parámetros de Weibull

Gamma es ( )ϒ Es el parámetro de posición o vida mínima, define el punto de partida u origen de la distribución cuyo valor varia de 0≤ <TMEF.ϒ

Beta (ß):Es el parámetro de forma y representa la pendiente de la recta describiendo el grado de variación de la tasa de fallos.De acuerdo a los valores que tome el parámetro la tasa de riesgo tendrá βdiferentes comportamientos.

VALOR(β) CARACTERISTICAS0<β<1 Tasa de falla decreciente

β=1 Distribución exponencial1<β<2 Tasa de falla creciente, cóncava

β=2 Distribución RayleighΒ>2 Tasa de falla creciente, convexa

3≤β≤4 Tasa de falla creciente se



aproxima a la distribución normal; simétrica Eta ( ): ɳ Llamado también parámetro de escala, parámetro de extensión o vida

útil. Su valor viene dado por la intersección de la recta trazada con la línea paralela al eje de abscisas correspondiente al 63.3% de fallos acumulados.

1.1. Confiabilidad (Rt)Es la probabilidad de que un elemento falle después del instante t, la función Rt es adimensional.

R ( t )=exp (−( t−γη )β) paraun0≤γ ≤t y ɳ , β>0

1.2. Infiabilidad (Ft)También llamado función acumulada de fallos, es la probabilidad de un que un elemento falle antes del instante t, la función Ft también es adimensional

F ( t )=1−exp (−( t−γη )β)



1.3. Densidad de fallos (ft)Es la probabilidad de fallo del elemento por unidad de tiempo, en cada instante del tiempo es decir será el cociente de la probabilidad de que un elemento falle en el intervalo comprendido entre tiempo y tiempo + su dt dividida por la magnitud de dt del intervalo.

Tendrá que cumplirse∫∫0

∞

ft∗dt=1

La función ft tiene dimensión 1/tiempo

f (t )= βη( t−γη )

β−1

∗exp (−( t−γη )β)

1.4. Tasa de fallos (Zt)Es la probabilidad por unidad de elementos superviviente en t de que se produzca un fallo por unidad de tiempo en dicho instante t, es decir será el cociente de (ft) y (Rt). Lo que nos permite en un conjunto de elementos idénticos poder evaluar la posibilidad de que existan fallos en un instante t.



Para un único elemento la tasa de fallos (Zt) mide la posibilidad de que falle en instante t, sin haber fallado hasta ese instante.

La función (Zt) también tiene unidades 1/tiempo.

Z (t )= βη( t−γη )

β−1

3. RESOLUCIÓN GRÁFICA

El papel de Weibull ( está graduado a escala funcional de la siguiente forma: En el eje de las ordenadas se tiene: In In [ 1 / 1 - F (t) ] (Doble logaritmo

neperiano) En el eje de las abscisas se tiene: In (t - ) ϒ

Donde gamma toma valores de 0≤ϒ <TMEF

1° Paso ordenar los tiempos en forma creciente y hallar el porcentaje de frecuencia acumulada de fallas. Para el cálculo del porcentaje de fallas acumuladas se tiene los siguientes casos:

Si los datos son mayores a 20 y menores a 100 se usa la siguiente formula:

F (i)= i−0.3n+0.4

Para datos mayores a 100 se aplicará la fórmula de aproximación siguiente:

F (i)= in+1

Donde i=1,2,3……… .. , n n=numeros dedatos

2° Paso ubicación de los puntos en el papel de Weibull.Colocar los valores de los tiempos en el eje de las abscisas y los porcentajes de frecuencia de fallas acumulados en el eje de las ordenadas.

3°Paso determinación de parámetro gamma.



Para iniciar el cálculo, se asume un gamma =0 y si los puntos ubicados no se aproximan ϒa una recta se tiene que probar con otros valores de gamma con la condición de: 0≤ <TMEFϒ

La otra forma de obtener el valor de gamma es haciendo uso del Método de estimación o de los rangos medianos, que consiste en seleccionar un punto Y2 aproximadamente a la

mitad de la curva, y otros dos puntos Y1 y Y3 equidistantes del punto Y2 a una distancia arbitraria d en el eje de las ordenadas.

Nota: la curva para este método corresponde a un =0.ϒ

Luego se tiene que cumplir las siguientes relaciones:

Y2 - Y1 = Y3 - Y2X2 - X1 = X3 - X2

Donde t1=x1; t2=x2 y t3=x3 y como X = In (t – to) tendremos: gamma=to

Finalmente se obtiene la siguiente formula: ϒ=t 22−(t 1 xt 3)

(2∗t 2−t 1−t 3)

4° Paso determinación del parámetro eta.Una vez trazada la recta se procede a intersecar con la línea horizontal que le corresponde al punto 63.2% del eje de la ordenada, del punto de intersección se traza una recta vertical hacia el eje de las abscisas.Finalmente se da lectura al valor de eta.

5° Paso determinación del parámetro beta Para hallar beta se debe de trazar una recta paralela a la recta del gamma encontrado y hacer que se interseque con la línea vertical que contenga al punto 0.0.Luego se ubica el punto -1 en la parte horizontal superior del papel logarítmico y se traza una recta vertical, y en el punto de intersección con la recta se traza una linea horizontal hacia los valores de beta ( ) que están en la parte derecha del papel en la primera βcolumna



PAPEL DE WEIBULL QUE SE USARA EL TIPO HORIZONTAL



4. MÉTODO GRAFICO (EJEMPLO PARA DE UNA FAJA TRANSPORTADORA)

1° Paso: ordenar los datos y hallar la frecuencia acumulada de fallas F (i)Como los datos que se tiene son menores a 100 se usa la siguiente formula.

F (i)= i−0.3n+0.4

Donde i=1,2,3……… .. ,21n=21

N° de ítem (i)Tiempo entre fallas

Frecuencia acumulada F(i) %

1 16.58 3.271%2 17.8 7.944%3 18 12.617%4 18.98 17.290%5 22.66 21.963%6 24.45 26.636%7 24.67 31.308%8 32.34 35.981%9 47.4 40.654%10 67.34 45.327%11 72 50.000%12 79.7 54.673%13 88.93 59.346%14 116.95 64.019%15 152.4 68.692%16 182.57 73.364%17 238.18 78.037%18 290.3 82.710%19 402.63 87.383%20 646.41 92.056%21 781.3 96.729%



2° Paso: Ubicación de los puntos en el papel Weibull

Ubicar en el papel de Weibull los puntos para un gamma igual 0 de la siguiente forma:Eje de las abscisas o eje X los tiempos entre fallas.Eje de las ordenadas o eje Y los porcentajes de fallas.Como se puede ver en el grafico siguiente:



3° Paso: Determinación del parámetro gamma ϒ

Como se ve en la figura anterior los puntos ubicados no se aproxima a una recta, y para que estos puntos se aproximen mas una recta debemos de cambiar el valor de gamma.El máximo valor de gamma es menor al tiempo mínimo entre fallas en este caso sería:

Gamma (γ )<16.58

N° de ítem (i)

Frecuencia acumulada F(i) %

Tiempo entre fallas =0ϒ

TMEF para un

=10ϒ

TMEF para un

=15ϒ1 3.271% 16.58 6.58 1.582 7.944% 17.8 7.8 2.83 12.617% 18 8 34 17.290% 18.98 8.98 3.985 21.963% 22.66 12.66 7.666 26.636% 24.45 14.45 9.457 31.308% 24.67 14.67 9.678 35.981% 32.34 22.34 17.349 40.654% 47.4 37.4 32.4

10 45.327% 67.34 57.34 52.3411 50.000% 72 62 5712 54.673% 79.7 69.7 64.713 59.346% 88.93 78.93 73.9314 64.019% 116.95 106.95 101.9515 68.692% 152.4 142.4 137.416 73.364% 182.57 172.57 167.5717 78.037% 238.18 228.18 223.1818 82.710% 290.3 280.3 275.319 87.383% 402.63 392.63 387.6320 92.056% 646.41 636.41 631.4121 96.729% 781.3 771.3 766.3



Como se puede apreciar en la gráfica para un gamma igual a 10, los puntos a un no están próximos a una recta, Pero la gráfica para un gamma igual a 15 son más próximos a una recta.Por lo cual se usa los puntos para un gamma 15 trazaremos una recta que se más próxima a los puntos ubicados.

Otra forma más directa de hallar gamma es con los rangos medianos

ϒ=t 22−(t 1 xt 3)

(2∗t 2−t 1−t 3)



Del grafico podemos hallar los valores de:t 1=23.5t 2=75t 3=440

ϒ=752−(23.5∗440)

(2∗75−23.5−440)=15.

4° Paso (determinación del parámetro eta )ɳ



Después de trazar la recta la intersecamos con la línea horizontal que corresponde al punto 63.2% del eje Y, en el punto de intersección trazamos una línea vertical hacia el eje X donde están los valores de los tiempos.Posteriormente leemos el valor de eta =110 ver gráfico posterior.ɳ

5° Paso (determinación del parámetro beta )βPara hallar beta se debe trazar una recta paralela a recta para un gamma igual 15 y hacer que se interseque con la línea vertical que contenga al punto 0.Luego de haber trazado la recta paralela, se traza una recta vertical que parte del punto -1, y en el punto de intersección con la recta paralela se traza una horizontal que parte del punto de intersección hacia la parte derecha de la hoja donde se encuentra el valor de Beta.Finalmente damos lectura del valor de beta: β=0.57

Ver gráfico anterior.



5. OBTENCIÓN DE LAS GRAFICAS Una vez obtenido los parámetros de Weibull podemos graficar;

Confiablidad Infiabilidad Tasa de fallos Densidad de fallos

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Confiabilidad

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Infiabilidad



0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04Tasa de fallos

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04Densidad de fallos



6. PRUEBA DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

El método de Kolmogorov-Smirnov se basa en la comparación de la funciones F ( i ) y F ( t ), donde F ( i ) es la distribución propuesta y F ( t ) es la verdadera distribución de Weibull, la cual está representada por:

F (t )=1−e−( t−γη )

β

La comparación se realiza mediante el uso de la discrepancia para cada t i:Dni

=|F (i )−F ( t )|Para validar el modelo que se propone es necesario que se cumpla lo siguiente:

Dnimáx

En donde:

Dnα: La máxima discrepancia que se puede aceptar para un determinado nivel de

confianza.Dni

máx

: La máxima discrepancia obtenida del proceso de comparación entre la distribución

propuesta y la distribución verdadera.

N° de ítem (i)

Tiempo entre fallas

Ft Fi Dni

1 16.58 0.08520144 0.0327103 0.05249116

2 17.8 0.116082711 0.0794393 0.03664346

3 18 0.120446565 0.1261682 0.00572166

4 18.98 0.139961854 0.1728972 0.03293534

5 22.66 0.196667123 0.2196262 0.02295904

6 24.45 0.218728436 0.2663551 0.0476267

7 24.67 0.221270621 0.3130841 0.09181349

8 32.34 0.294515461 0.3598131 0.06529762

9 47.4 0.392385735 0.4065421 0.01415632

10 67.34 0.480479668 0.4532710 0.02720864

11 72 0.497154201 0.5000000 0.0028458



12 79.7 0.52239018 0.5467290 0.02433879

13 88.93 0.549466306 0.5934579 0.04399164

14 116.95 0.616189398 0.6401869 0.02399752

15 152.4 0.678630585 0.6869159 0.0082853

16 182.57 0.719492168 0.7336449 0.01415269

17 238.18 0.776136087 0.7803738 0.00423774

18 290.3 0.814912159 0.8271028 0.01219064

19 402.63 0.871295609 0.8738318 0.00253617

20 646.41 0.933302978 0.9205607 0.01274223

21 781.3 0.951370481 0.9672897 0.01591924

Tabla Kolmogorov – Smirnovn α = 0,2 α = 0,1 α = 0,05 α = 0,01

1 0,90 0,95 0,98 0,99

2 0,68 0,78 0,84 0,93

3 0,56 0,64 0,71 0,83

4 0,49 0,56 0,62 0,73

5 0,45 0,51 0,56 0,67

6 0,41 0,47 0,52 0,62

7 0,38 0,44 0,49 0,58

8 0,36 0,41 0,46 0,54

9 0,34 0,39 0,43 0,51

10 0,32 0,37 0,41 0,49

11 0,31 0,35 0,39 0,47

12 0,30 0,34 0,38 0,45

13 0,28 0,32 0,36 0,43

14 0,27 0,31 0,35 0,42

15 0,27 0,30 0,34 0,40

16 0,26 0,30 0,33 0,39

17 0,25 0,29 0,32 0,38

18 0,24 0,28 0,31 0,37

19 0,24 0,27 0,30 0,36



20 0,23 0,26 0,29 0,35

21 0.23 0.26 0.29 0.31

25 0,21 0,24 0,26 0,32

30 0,19 0,22 0,24 0,29

35 0,18 0,21 0,23 0,27

40 0,17 0,19 0,21 0,25

45 0,16 0,18 0,20 0,24

Dnα=0.29

Dnimáx

=0.091

0.29>0.091Entonces los parámetros de Weibull son válidos.

7. CONCLUSIÓN

Los parámetros que se obtuvieron con el método grafico son: ¿15 ¿110 ¿0 .57

El cálculo de los parámetros de la distribución de Weibull puede ser hallada por varios métodos, pero el método grafico es el más sencillo y menos preciso en la obtención de los parámetros de confiabilidad.

Para hallar el valor de Gamma se puede hallar por dos métodos: el método de los rangos medianos y asumiendo valores de gamma.

El método resulta una buena herramienta en lugares donde no se cuenta con programas de computadora como el Excel o Matlab o Reliasoft’s, pero se produce un error considerable si no se traza bien la recta.

Como el parámetro beta que se obtuvo es menor que 1, se podrá ubicar dentro de la curva de la bañera en la región de fallas prematuras.


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