Manual Esfuerzo Tipos Promedios Propiedades Resistencia Materiales Tecsup

7/21/2019 Manual Esfuerzo Tipos Promedios Propiedades Resistencia Materiales Tecsup

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TECSUP – PFR Resistencia de Materiales

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Unidad IV

EESSFFUUEER R ZZOO

1. ESFUERZO

Sabemos que la fuerza y el momento que actúan en un punto específico sobre elárea seccionada de un cuerpo, figura 4.1, representan los efectos resultantes dela distribución de fuerza verdadera que actúa sobre el área seccionada. Laobtención de esta distribución de carga interna es de importancia primordial en lamecánica de materiales. Para resolver este problema es necesario establecer elconcepto de esfuerzo.

Consideremos el área seccionada como subdividida en pequeñas áreas, tal comoel área sombreada de ∆ A mostrada en la figura 4.2a. Al reducir ∆ A a un tamañocada vez más pequeño, debemos hacer dos hipótesis respecto a las propiedadesdel material. Consideraremos que el material es continuo, esto es, que consiste

en una distribución uniforme de materia que no contiene huecos, en vez de estarcompuesto de un número finito de moléculas o átomos distintos. Además, elmaterial debe ser cohesivo, es decir, que todas sus partes están unidas entre sí,en vez de tener fracturas, grietas o separaciones. Una fuerza típica finita peromuy pequeña ∆ F, actuando sobre su área asociada ∆ A, se muestra en la figura4.2a. Esta fuerza como todas las otras, tendrá una dirección única, pero para elanálisis que sigue la reemplazaremos por sus tres componentes, ∆ Fx, ∆ Fy y ∆ Fzque se toman tangente y normal al área, respectivamente. Cuando el área ∆ Atiende a cero, igualmente tienden a cero la fuerza ∆ F y sus componentes; sin

embargo, el cociente de la fuerza y el área tenderán en general a un límite finito.Este cociente se llama esfuerzo y describe la intensidad de la fuerza internasobre un plano específico (área) que pasa por un punto.

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Resistencia de Materiales TECSUP – PFR

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Figura 4.1

Figura 4.2

1.1. ESFUERZO NORMAL

La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando

normalmente a ∆ A se define como el esfuerzo normal ,σ (sigma). Como, ∆ Fz es normal al área, entonces,






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Si la fuerza o esfuerzo normal "jala" al elemento de área, ∆ A como semuestra en la figura 4.2a, se le llama esfuerzo de tensión, mientras que sise “empuja" a ∆ A se le llama esfuerzo de compresión.

1.2. ESFUERZO CORTANTE

La intensidad de fuerza, o fuerza por área unitaria, actuando tangente a ∆ A se llama esfuerzo cortante, τ (tau). Aquí tenemos las componentes deesfuerzo cortante,

El subíndice z en σz, se usa para indicar la dirección de la línea normalhacia fuera, que especifica la orientación del área, ∆ A, figura 4.3. Para lascomponentes del esfuerzo cortante, Tzx y Tzy, se usan dos subíndices. Eleje z especifica la orientación del área, y x y y se refieren a los ejes coor-

denados en cuya dirección actúan los esfuerzos cortantes.

Figura 4.3

1.3. ESTADO GENERAL DE ESFUERZO

Si el cuerpo es adicionalmente seccionado por planos paralelos al plano x-z, figura 4.2b, y al plano y-z, figura 4.2c, podemos entonces "separar" unelemento cúbico de volumen de material que representa el estado deesfuerzo que actúa alrededor del punto escogido en el cuerpo, figura 3-4.Este estado de esfuerzo es caracterizado por tres componentes queactúan sobre cada cara del elemento. Esas componentes de esfuerzodescriben el estado de esfuerzo en el punto sólo para el elemento






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orientado a lo largo de los ejes x, y, z. Si el cuerpo fuese seccionado enun cubo con otra orientación, el estado de esfuerzo se definiría usando unconjunto diferente de componentes de esfuerzo.

Figura 4.4

1.4. UNIDADES

En el sistema SI, las magnitudes de los esfuerzos normal y cortante seespecifican en las unidades básicas de newtons por metro cuadrado(N/m2). Esta unidad, llamada pascal (1 Pa = 1 N/m2) es algo pequeña yen trabajos de ingeniería se usan prefijos como kilo- (103), simbolizadopor, mega- (106), simbolizado por M o giga- (109), simbolizado por G,para representar valores mayores del esfuerzo.

*De la misma manera en el sistema inglés de unidades, los ingenieros porlo regular expresan el esfuerzo en libras por pulgada cuadrada (psi) o enkilo libras por pulgada cuadrada (ksi), donde 1 kilo libra (kip) = 1000 lb.

*A veces el esfuerzo se expresa en unidades de N/mm2, donde 1 mm=10-

3 m. Sin embargo, en el sistema SI no se permiten prefijos en eldenominador de una fracción y por tanto es mejor usar el equivalente 1N/mm2=1 MN/m2 = 1 MPa.

2. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO EN UNA BARRA CARGADA AXIALMENTE

Con frecuencia, los miembros estructurales o mecánicos se fabrican largos ydelgados. Asimismo, son sometidos a cargas axiales que normalmente se aplicana los extremos del miembro. Miembros de armaduras, barras colgantes y pernosson ejemplos típicos. En esta sección determinaremos la distribución del esfuerzopromedio que actúa sobre la sección transversal de una barra cargadaaxialmente como la mostrada en la figura 4.5a, que tiene una forma general.

Esta sección define el área de la sección transversal de la barra y como todasesas secciones transversales son iguales, a la barra se le llama barra






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prismática. Si despreciamos el peso de la barra y la seccionamos como seindica en la figura 4.5b, entonces, por equilibrio del segmento inferior, la fuerzainterna resultante que actúa sobre la sección transversal debe ser igual en

magnitud, opuesta en sentido y colineal con la fuerza externa que actúa en elfondo de la barra.

Figura 4.5

2.1. SUPOSICIONES

Antes de determinar la distribución de esfuerzo promedio que actúa sobreel área transversal de la barra, es necesario hacer dos hipótesissimplificatorias relativas a la descripción del material y a la aplicaciónespecífica de la carga.

1. Es necesario que la barra permanezca recta antes y después de quese aplica la carga, y también, la sección transversal debe permanecerplana durante la deformación, esto es, durante el tiempo que la barracambia de volumen y forma. Si esto ocurre, entonces las líneashorizontales y verticales de una retícula inscrita sobre la barra sedeformarán uniformemente cuando la barra esté sometida a la carga,figura 4.6. No consideraremos aquí regiones cercanas a los extremosde la barra, donde la aplicación de las cargas externas puede

ocasionar distorsiones localizadas. En cambio, nos fijaremos sólo enla distribución del esfuerzo dentro de la porción media de la barra.






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Figura 4.6

2. Para que la barra experimente una deformación uniforme, esnecesario que P se aplique a lo largo del eje centroidal de la seccióntransversal y que el material sea homogéneo e isotrópico. Unmaterial homogéneo tiene las mismas propiedades físicas ymecánicas en todo su volumen, y un material isotrópico tiene esasmismas propiedades en todas direcciones. Muchos materiales de laingeniería pueden considerarse homogéneos e isotrópicos. Porejemplo, el acero contiene miles de cristales orientados al azar encada milímetro cúbico de su volumen, y como en la mayoría de lasaplicaciones este material tiene un tamaño físico que es muchomayor que un solo cristal, la suposición anterior relativa a la

composición del material es bastante realista. Sin embargo, debemencionarse que el acero puede volverse anisotrópico por medio dellaminado en frío, esto es, laminado o forjado a temperaturassubcríticas. Los materiales anisotrópicos tienen propiedadesdiferentes en direcciones diferentes, y aunque éste sea el caso, si laanisotropía se orienta a lo largo del eje de la barra, entonces la barrase deformará uniformemente cuando sea sometida a una carga axial.Por ejemplo, la madera, debido a sus granos o fibras, es un materialque es homogéneo y anisotrópico, por lo que es adecuado para el

siguiente análisis.






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2.2. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO NORMAL PROMEDIO

Suponiendo que la barra está sometida a una deformación uniforme

constante, entonces esta deformación es causada por un esfuerzo normalσ constante, figura 4.6d. En consecuencia, cada área ∆ A sobre la seccióntransversal está sometida a una fuerza ∆ F = σ ∆ A, Y la suma de esasfuerzas actuando sobre toda el área transversal debe ser equivalente a lafuerza interna resultante P en la sección. Si hacemos que ∆ A→dA y portanto ∆ F →dF, entonces como σ es constante, tenemos:

Figura 4.6

Donde,

σ = esfuerzo normal promedio en cualquier punto sobre el área de lasección transversal.

P = fuerza normal interna resultante, aplicada en el centroide del área dela sección transversal. P se determina usando el método de las secciones

y las ecuaciones de equilibrio.






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A = área de la sección transversal de la barra.

La carga interna P debe pasar por el centroide de la sección transversal

ya que la distribución del esfuerzo uniforme generará momentos nulosrespecto a cualquier eje x o y que pase por este punto, figura 3-5d.Cuando esto ocurre,

Estas ecuaciones se satisfacen, ya que por definición del centroide,

2.3. EQUILIBRIO

Debería ser aparente que sólo existe un esfuerzo normal en cualquierelemento de volumen de material localizado en cada punto sobre lasección transversal de una barra cargada axialmente. Si consideraos elequilibrio vertical del elemento, figura 4.7, entonces al aplicar la ecuaciónde equilibrio de fuerzas,

Figura 4.7

En otras palabras, las dos componentes de esfuerzo normal sobre el ele-mento deben ser iguales en magnitud pero opuestas en dirección. A éstese le llama esfuerzo uniaxial.






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El análisis previo se aplica a miembros sometidos a tensión o acompresión, como se muestra en la figura 4.8. Como interpretacióngráfica, la magnitud de la fuerza interna resultante P es equivalente alvolumen bajo el diagrama de esfuerzo; es decir, P = σ

A (volumen =altura X base). Además, como consecuencia del equilibrio de momentos,esta resultante pasa por el centroide de este volumen.

Aunque hemos desarrollado este análisis para barras prismáticas, estasuposición puede ampliarse para incluir barras que tengan un pequeño

ahusamiento. Por ejemplo, puede demostrarse, usando un análisis másexacto de la teoría de la elasticidad, que para una barra ahusada desección transversal rectangular, en la cual el ángulo entre dos lados

adyacentes es de 15°, el esfuerzo normal promedio, calculado según σ

=

P/A, es sólo 2.2% menor que el valor calculado con la teoría de laelasticidad.

Figura 3.8

2.4. ESFUERZO NORMAL PROMEDIO MÁXIMO

En el análisis anterior, tanto la fuerza interna P como el área de la sección

transversal se consideraron constantes a lo largo del eje longitudinal de labarra y por tanto se obtuvo un esfuerzo normal σ = P/A tambiénconstante. Sin embargo, en ocasiones la barra puede estar sometida avarias cargas externas a lo largo de su eje o puede presentarse uncambio en su área de sección transversal. En consecuencia, el esfuerzonormal dentro de la barra puede ser diferente de sección a sección, y sidebe calcularse el esfuerzo normal promedio máximo, tendrá quedeterminarse la posición en que la razón P/A sea máxima. Para esto esnecesario determinar la fuerza interna P en varias secciones a lo largo dela barra, lo que se consigue dibujando un diagrama de fuerza normal

o axial. Específicamente, este diagrama es una gráfica de la fuerzanormal P contra su posición x a lo largo de la longitud de la barra. P se






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considerará positiva si causa tensión en el miembro y negativa si causacompresión. Una vez conocida la carga interna en toda la barra podráidentificarse la razón máxima de P/A.

Figura 4.9

EJEMPLO

La barra en la figura 4.10a tiene un ancho constante de 35 mm y un es-pesor de 10 mm. Determine el esfuerzo normal promedio máximo en labarra cuando ella está sometida a las cargas mostradas.






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Figura 4.10

Solución

Carga interna:

Por inspección, las fuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CDson todas constantes pero tienen diferentes magnitudes. Usando elmétodo de las secciones, esas cargas son determinadas en la figura 3-8b;y el diagrama de fuerza normal que representa esos resultadosgráficamente se muestra en la figura 4.10c. Por inspección, la cargamáxima está en la región BC, donde PBC = 30 kN. Como el áreatransversal de la barra es constante, el esfuerzo normal máximo promediotambién ocurre dentro de esta región de la barra.

Esfuerzo normal promedio:

Rpta.

La distribución de los esfuerzos que actúan sobre una sección transversalarbitraria de la barra dentro de la región BC se muestra en la figura4.10d. Gráficamente el volumen (o "bloque") representado por esta






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distribución de esfuerzos es equivalente a la carga de 30 kN; o sea, 30 kN= (85.7 MPa)(35 mm)(10 mm).

EJEMPLO

La lámpara de 80 kg está soportada por dos barras AB y BC como semuestra en la figura 4.11a. Si AB tiene un diámetro de 10 mm y BC tieneun diámetro de 8 mm, determine el esfuerzo normal promedio en cadabarra.

Figura 4.11

Solución

Carga interna:

Debemos primero determinar la fuerza axial en cada barra. En la figura semuestra un diagrama de cuerpo libre de la lámpara. Aplicando lasecuaciones de equilibrio de fuerzas, obtenemos:

Por la tercera ley de Newton, la acción es igual pero opuesta a lareacción, estas fuerzas someten a las barras a tensión en toda sulongitud.






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Esfuerzo normal promedio:

Rpta.

Figura 4.12

Rpta.La distribución del esfuerzo normal promedio que actúa sobre una seccióntransversal de la barra AB se muestra en la figura 4.12c, y en punto sobreesta sección transversal, un elemento de material está esforzado como semuestra en la figura 4.12d.

EJEMPLO

La pieza fundida mostrada en la figura 4.13a está hecha de acero conpeso específico de γac = 490 lb/pie3. Determine el esfuerzo decompresión promedio que actúa en los puntos A y B.

Figura 4.13






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Solución

Carga interna:

En la figura 4.13b se muestra un diagrama de cuerpo libre del segmentosuperior de la pieza fundida donde la sección pasa por los puntos A y B.

El peso de este segmento es W ac = γac V ac. La fuerza axial interna P en lasección es entonces

Esfuerzo de compresión promedio:

El área transversal en la sección es A = π(0.75 pie)2, y el esfuerzo decompresión promedio es entonces

Rpta.

El esfuerzo mostrado en el elemento de volumen de material en la figura4.13c es representativo de las condiciones en A o B. Note que esteesfuerzo actúa hacia arriba sobre el fondo o cara sombreada del elementoya que esta cara forma parte del área de la superficie del fondo de lasección cortada, y sobre esta superficie, la fuerza interna resultante P

empuja hacia arriba.

3. ESFUERZO CORTANTE PROMEDIO

El esfuerzo cortante se definió como la componente del esfuerzo que actúa en el

plano del área seccionada. Para mostrar cómo se desarrolla este esfuerzo,consideraremos el efecto de aplicar una fuerza F a la barra mostrada en la figura4.14a. Si los soportes se consideran rígidos y F es suficientemente grande, éstaocasionará que el material de la barra se deforme y falle a lo largo de los planos

AB y CD. Un diagrama de cuerpo libre del segmento central no soportado de labarra, figura 4.14b, indica que una fuerza cortante V = F /2 debe aplicarse a






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cada sección para mantener el segmento en equilibrio. El esfuerzo cortante

promedio distribuido sobre cada área seccionada que desarrolla esta fuerza sedefine por:

Figura 4.14

Donde,τprom = esfuerzo cortante promedio en la sección; se supone que es el mismo entodo punto localizado sobre la sección.

V = fuerza cortante interna resultante en la sección; sedetermina con las ecuaciones de equilibrio.

A = área en la sección.

La distribución del esfuerzo cortante promedio se muestra actuando sobre lasección derecha en la figura 4.14c. Observe que τprom tiene la misma direcciónque V , ya que el esfuerzo cortante debe crear fuerzas asociadas que contribuyenen conjunto a generar la fuerza interna resultante V en la sección.

Figura 4.14c






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El caso de carga analizado en la figura 3-11 es un ejemplo de cortante simple o cortante directo, ya que el cortante es causado por la acción directa de lacarga aplicada F. Este tipo de cortante suele ocurrir en varios tipos de

conexiones simples que usan pernos, pasadores, soldadura, etc. Unainvestigación más precisa de la distribución del esfuerzo cortante sobre la seccióncrítica revela que esfuerzos cortantes mucho mayores ocurren en el material quelos predichos por esta ecuación. Por ejemplo, los manuales de ingenieríapermiten su uso al considerar tamaños de diseño para sujetadores como pernoso para obtener la resistencia por adherencia de juntas sometidas a cargascortantes. Con respecto a esto, ocurren en la práctica dos tipos de cortante, quemerecen tratamientos separados.

3.1. CORTANTE SIMPLE

Las juntas de acero y madera mostradas en las figuras 3-12a y 3-12c,

respectivamente, son ejemplos de conexiones en cortan te simple y seconocen como juntas traslapadas. Supondremos aquí que los miembros sondelgados y que la tuerca en la figura 3-12a no está demasiado apretada de modoque la fricción entre los miembros puede despreciarse. Pasando una secciónentre los miembros se obtienen los diagramas de cuerpo libre mostrados en lasfiguras 3-12b y 3-12d. Como los miembros son delgados, podemos despreciar elmomento generado por la fuerza F. Entonces, por equilibrio, el área de la sección

transversal del perno en la figura 3-12b y la superficie de contacto entre losmiembros en la figura 3-12d están sometidos sólo a una fuerza cortante V =F.

Fig. 3-12

3.2. CORTANTE DOBLE

Cuando la junta se construye como se muestra en la figura 3-13a o 3-13c,deben considerarse dos superficies cortantes. Ese tipo de conexiones sellaman juntas traslapadas dobles. Si pasamos una sección entre cada uno

de los miembros, los diagramas de cuerpo libre del miembro central soncomo se muestra en las figuras 3-13b y 3-13d. Tenemos aquí una






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condición de cortante doble. En consecuencia, una fuerza cortante V =F/2 actúa sobre cada área seccionada y esta fuerza cortante debeconsiderarse al aplicar τperm = V/A.

Figura 4.15

3.3. EQUILIBRIO

Consideremos un elemento de volumen de material tomado en un puntolocalizado sobre la superficie de cualquier área seccionada sobre la queactúa el esfuerzo cortante promedio, figura 4.16a. Si consideramos elequilibrio de fuerzas en la dirección y, entonces

Figura 4.16

De manera similar, el equilibrio de fuerzas en la dirección z nos da τyz =τ´yz. Finalmente, tomando momentos respecto al eje x,






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En otras palabras, el equilibrio de fuerzas y momentos requiere que elesfuerzo cortante que actúa sobre la cara superior del elemento, estéacompañado por esfuerzos cortantes actuando sobre las otras tres caras,

figura 4.16b. Aquí, todos los cuatro esfuerzos cortantes debentener igual magnitud y estar dirigidos hacia o alejándose uno deotro en caras con un borde común. A esto se le llama propiedadcomplementaria del cortante, y bajo las condiciones mostradas en lafigura 4.16, el material está sometido a cortante puro.

Aunque hemos considerado aquí un caso de cortante simple causado porla acción directa de una carga, en capítulos posteriores veremos que elesfuerzo cortante puede también generarse indirectamente por la acción

de otros tipos de cargas.

EJEMPLO

La barra mostrada en la figura 4.17a tiene una sección transversal cua-drada de 40 mm. Si se aplica una fuerza axial de 800 N a lo largo del ejecentroidal del área transversal de la barra, determine el esfuerzo normalpromedio y el esfuerzo cortante promedio que actúan sobre el material alo largo (a) del plano a-a y (b) del plano b-b.






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Figura 4.17

Figura 4.17

Solución

Parte (a)

Carga interna

La barra es seccionada, figura 4.17b, y la carga interna resultanteconsiste sólo en una fuerza axial P = 800 N.

Esfuerzo promedio

El esfuerzo normal promedio se determina con la ecuación:

Rpta.

No existe esfuerzo cortante sobre la sección, ya que la fuerza cortante enla sección es cero.

Rpta.

La distribución del esfuerzo normal promedio sobre la sección transversalse muestra en la figura 4.17c.






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Figura 4.17d

Parte (b)

Carga interna

Si la barra es seccionada a lo largo de b-b, el diagrama de cuerpo libre delsegmento izquierdo es como se muestra en la figura 4.17d. Aquí actúanuna fuerza normal (N) y una fuerza cortante (V) sobre el área seccionada.Usando ejes x, y, se requiere

O más directamente, usando ejes x´, y´,

Resolviendo cualquier conjunto de ecuaciones,

Y el esfuerzo cortante promedio es






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La distribución de esfuerzo se muestra en la figura 4.17e.

Figura 4.17c

EJEMPLO

El puntal de madera mostrado en la figura 4.18a está suspendido de unabarra de acero de diámetro de 10 mm, que está empotrada a la pared. Siel puntal soporta una carga vertical de 5 kN, calcule el esfuerzo cortantepromedio en la barra en la pared y a lo largo de los dos planossombreados del puntal, uno de los cuales está indicado como abcd

Figura 4.18a

Solución

Cortante interno

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 4.18b, labarra resiste una fuerza cortante de 5 kN donde ella está empotrada a lapared. En la figura 4.18c se muestra un diagrama de cuerpo libre delsegmento seccionado del puntal que está en contacto con la barra. Aquíla fuerza cortante que actúa a lo largo de cada plano sombreado es de2.5 kN.






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Figura 4.18b Figura 4.18c

Esfuerzo cortante promedio.

Para la barra,

Rpta.

Para el puntal,

Rpta.

La distribución del esfuerzo cortante promedio sobre la barra seccionada yel segmento de puntal se muestran en las figuras 4.18d y 4.18e,

respectivamente. Se muestra también con esas figuras un elemento devolumen típico del material en un punto localizado sobre la superficie decada sección. Observe cuidadosamente cómo el esfuerzo cortante debeactuar sobre cada cara sombreada de esos elementos y sobre las carasadyacentes de los mismos.






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Figura 4.18d Figura 4.18e

EJEMPLO

El miembro inclinado en la figura 4.19a está sometido a una fuerza decompresión de 600 lb. Determine el esfuerzo de compresión promedio alo largo de las áreas lisas de contacto definidas por AB y BC, y el esfuerzocortante promedio a lo largo del plano horizontal definido por EDB.

Figura 4.19a

Solución

Cargas internas:

El diagrama de cuerpo libre del miembro inclinado se muestra en la figura4.19b. Las fuerzas de compresión que actúan obre las áreas de contactoson






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Figura 4.19b

También, del diagrama de cuerpo libre del segmento superior delmiembro del fondo, figura 4.19c, la fuerza cortante que actúa sobre el

plano horizontal seccionado EDB es

Figura 4.19c

Esfuerzo promedio

Los esfuerzos de compresión promedio a lo largo de los planos horizontaly vertical del miembro inclinado son

Rpta.

Rpta.






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Figura 4.19d

Estas distribuciones de esfuerzo se muestran en la figura 4319d.

El esfuerzo cortante promedio que actúa sobre el plano horizontaldefinido por EDB es

Rpta.

Figura 4.19e

Este esfuerzo se muestra distribuido sobre el área seccionada en la figura4.19e.

4. ESFUERZO PERMISIBLE

Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánicodebe restringir el esfuerzo en el material a un nivel que sea seguro. Además, unaestructura o máquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser

analizada para ver qué carga adicional pueden soportar sus miembros o partes.






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Así que nuevamente es necesario efectuar cálculos usando un esfuerzopermisible o seguro.

Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisible quelimite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro puedasoportar plenamente. Hay varias razones para esto. Por ejemplo la carga para lacual el miembro se diseña puede ser diferente de la carga real aplicada sobre él.Las medidas previstas para una estructura o maquina pueden no ser exactasdebido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes.Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que nose hayan tomado en cuenta durante el diseño. La corrosión atmosférica, eldecaimiento o las condiciones ambientales tienden a que los materiales se

deterioren durante el servicio. Finalmente, algunos materiales, como la madera,el concreto o compuestos reforzados con fibras, pueden mostrar alta variabilidaden sus propiedades mecánicas.

Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de unmiembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad(FS) es la razón de la carga de falla, Ffalla, dividida entre la carga permisible, Fperm.La Ffalla se determina por medio de ensayos experimentales del material y elfactor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las

incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembrose use en condiciones similares de carga y simetría. Expresadomatemáticamente,

Si la carga aplicada al miembro está linealmente relacionada al esfuerzo

desarrollado dentro del miembro, como en el caso de usar σ = P/A y τprom = V/A,entonces podemos expresar el factor de seguridad como razón del esfuerzo defalla σfalla (o τfalla) al esfuerzo permisible σperm (o τperm); esto es,

Ó






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En cualquiera de esas ecuaciones, el factor de seguridad se escoge mayor que 1para evitar una posible falla. Los valores específicos dependen de los tipos demateriales por usarse y de la finalidad prevista para la estructura o máquina. Por

ejemplo, el FS usado en el diseño de componentes de aeronaves o vehículosespaciales puede ser cercano a 1 para reducir el peso del vehículo. Por otraparte, en el caso de una planta nuclear, el factor de seguridad para algunos desus componentes puede ser tan alto como 3, ya que puede haber incertidumbreen el comportamiento de la carga o del material. Sin embargo, en general, losfactores de seguridad, y por tanto las cargas o esfuerzos permisibles paraelementos estructurales y mecánicos, han sido muy estandarizados, ya que susindeterminaciones de diseño han podido ser evaluadas razonablemente bien. Susvalores, que pueden encontrarse en los códigos de diseño y manuales de

ingeniería, pretenden reflejar un balance de seguridad ambiental y para elpúblico junto con una solución económica razonable para el diseño.

4.1. DISEÑO DE CONEXIONES SIMPLES

Haciendo suposiciones simplificatorias relativas al comportamiento delmaterial, las ecuaciones σ = P/A y τprom = V/A pueden usarse paraanalizar o diseñar una conexión simple o un elemento mecánico. Enparticular, si un miembro está sometido a una fuerza normal en unasección, su área requerida en la sección se determina con:

Por otra parte, si la sección está sometida a una fuerza cortante, entoncesel área requerida en la sección es:

Como vimos en la sección anterior, el esfuerzo permisible usado en cadauna de esas ecuaciones se determina aplicando un factor de seguridad aun esfuerzo normal o cortante especificado o encontrando esos esfuerzosdirectamente en un código apropiado de diseño. Ahora discutiremos cuatro tipos comunes de problemas para las cuales lasecuaciones pueden usarse en el diseño.

Área de la sección transversal de un miembro a tensión. El área de la

sección transversal de un miembro prismático sometido a una fuerza de






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tensión puede determinarse si la fuerza tiene una línea de acción quepasa por el centroide de la sección transversal.

Por ejemplo, considere la barra con perforación en sus extremosmostrada en la figura 4.20a. En la sección intermedia a-a, la distribuciónde esfuerzos es uniforme sobre toda la sección y se determina el áreasombreada A, como se muestra la figura 4.20b.

Figura 4.20

4.2. ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN CONECTORSOMETIDO A CORTANTE

A menudo los pernos o pasadores se usan para conectar placas, tabloneso varios miembros entre sí. Por ejemplo, considere la junta traslapada

mostrada en la figura 4.21a. Si el perno está suelto o la fuerza de agarredel perno es desconocida, es seguro suponer que cualquier fuerza defricción entre las placas es despreciable. El diagrama de cuerpo libre deuna sección que pasa entre las placas y a través del perno se muestra enla figura 4.21b. El perno está sometido a una fuerza cortante internaresultante de V = P en esta sección transversal. Suponiendo que elesfuerzo cortante que causa esta fuerza está distribuido uniformementesobre la sección transversal, el área A de la sección transversal del pernose determinada como se muestra en la figura 4.21c.

Figura 4.21






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4.3. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR APLASTAMIENTO

Un esfuerzo normal producido por la compresión de una superficie contra

otra se denomina Esfuerzo de aplastamiento. Si este esfuerzo esdemasiado grande, puede aplastar o deformar localmente una o ambassuperficies. Por tanto, para impedir una falla es necesario determinar elárea apropiada de apoyo para el material, usando un esfuerzo deaplastamiento permisible. Por ejemplo, el área A de la placa B de base dela columna mostrada en la figura 4.22 se determina a partir del esfuerzopermisible de aplastamiento del concreto, usando la ecuación A=P/(σb)perm. Esto supone, desde luego, que el esfuerzo permisible deaplastamiento para el concreto es menor que del material de la placa de

base y además que el esfuerzo está uniformemente distribuido entre laplaca y el concreto, como se muestra en la figura.

Figura 4.22

4.4. ÁREA REQUERIDA PARA RESISTIR EL CORTANTE CAUSADO PORCARGA AXIAL

Ocasionalmente las barras u otros miembros son soportados en forma talque puede desarrollarse un esfuerzo cortante en el miembro aun cuandoéste esté sometido a carga axial. Un ejemplo de esta situación sería unabarra de acero cuyo extremo esté empotrado en concreto y se encuentrecargado como se muestra en la figura 4.23a. Un diagrama de cuerpo librede la barra, figura 4.23b, muestra que un esfuerzo cortante actúa sobre elárea de contacto de la barra con el concreto. Esta área es (πd)l, donde des el diámetro de la barra y l es la longitud del empotramiento. Si bien ladistribución real del esfuerzo cortante a lo largo de la barra sería difícil de






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determinar, si suponemos que es uniforme, podemos usar A = V /τperm para calcular l, siempre que conozcamos d y τperm, figura 4.23b.

Figura 4.23

PUNTOS IMPORTANTES

1. El diseño de un miembro por resistencia se basa en la selección de unesfuerzo admisible que permita soportar con seguridad su cargapropuesta. Hay muchos factores desconocidos que pueden influir enel esfuerzo real en un miembro y entonces, dependiendo de los usospropuestos para el miembro, se aplica un factor de seguridad paraobtener la carga admisible que el miembro puede soportar.

2. Los cuatro casos ilustrados en esta sección representan sólo unaspocas de las muchas aplicaciones de las fórmulas para los esfuerzosnormal y cortante promedio usadas en el diseño y análisis eningeniería. Sin embargo, siempre que esas ecuaciones son aplicadas,debe ser claro que la distribución del esfuerzo se suponeuniformemente distribuida o "promediada" sobre la sección.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS

Al resolver problemas usando las ecuaciones del esfuerzo normal

promedio y del esfuerzo cortante promedio, debe primero considerarsecuidadosamente sobre qué sección está actuando el esfuerzo crítico. Unavez identificada esta sección, el miembro debe entonces diseñarse consuficiente área en la sección para resistir el esfuerzo que actúe sobre ella.Para determinar esta área, se requieren los siguientes pasos.

Carga interna• Seccione el miembro por el área y dibuje un diagrama de cuerpo libre

de un segmento del miembro. La fuerza interna resultante en lasección se determina entonces usando las ecuaciones de equilibrio.






83

Área requerida• Si se conoce o puede determinarse el esfuerzo permisible, el área

requerida para soportar la carga en la sección se calcula entonces con

A = P/σperm o A = V /τperm

EJEMPLO

La barra colgante está soportada en su extremo por un disco circularempotrado a ella, como se muestra en la figura 4.24a. Si la barra pasapor un agujero con diámetro de 40 mm, determine el diámetro mínimorequerido de la barra y el espesor mínimo del disco necesario parasoportar la carga de 20 kN. El esfuerzo normal permisible para la barra esσperm = 60 MPa y el esfuerzo cortante permisible para el disco es τperm =35 MPa.

Figura 4.24

Solución

Diámetro de la barra. Por inspección, la fuerza axial en la barra es de 20kN. El área transversal requerida para la barra es entonces:

De manera que:

Rpta.






84

Espesor del disco

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre de la sección del núcleo

del disco, figura 4.24b, el material en el área seccionada debe resistiresfuerzos cortantes para impedir el movimiento del disco a través delagujero. Si se supone que este esfuerzo cortante está uniformementedistribuido sobre el área seccionada, entonces, como V = 20 kN,tenemos:

Como el área seccionada A = 2π(0.02 m)(t), el espesor requerido deldisco es:

Rpta.

EJEMPLO

Una carga axial sobre la flecha mostrada en la figura 4.25a es resistidapor el collarín en C que está unido a la flecha y localizado a la derecha delcojinete en B. Determine el máximo valor de P para las dos fuerzasaxiales en E y F, de manera que el esfuerzo en el collarín no exceda unesfuerzo de aplastamiento permisible en C de (σb)perm = 75 MPa y que elesfuerzo normal promedio en la flecha no exceda un esfuerzo de tensiónpermisible de (σt)perm = 55 MPa.

Figura 4.25






85

Solución

Para resolver el problema determinaremos P para cada condición posible

de falla. Luego escogeremos el valor más pequeño . ¿Por qué?

Esfuerzo normal

Usando el método de las secciones, vemos que la carga axial dentro dela región FE de la flecha es 2P, mientras que la carga axial máxima , 3P,ocurre dentro de la región EC, figura 4.25b. La variación de la cargainterna se ve claramente en el diagrama de fuerza normal, figura 4.25c.Como el área transversal de toda la flecha es constante, la región EC

estará sometida al esfuerzo normal promedio máximo. Por lo tanto,tenemos:

Esfuerzo de aplastamiento

Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre en la figura 4.25d, elcollarín en C debe resistir la carga de 3P, que actúa sobre un área deapoyo de Ab = [π(0,.04 m)2 - π(0,.03 m)2] = 2,199(10-3) m2, entonces:

En comparación, la carga máxima que puede aplicarse a la flecha es P =51,8 kN, ya que cualquier carga mayor que ésta ocasionará que elesfuerzo normal permisible en la flecha se exceda.

EJEMPLO

La barra rígida AB mostrada en la figura 4.26a está soportada por unabarra de acero AC que tiene un diámetro de 20 mm y por un bloque dealuminio que tiene un área transversal de 1800 mm2. Los pasadores de

diámetro de 18 mm en A y C están sometidos a cortante simple . Si elesfuerzo de falla para el acero y el aluminio son (σac)falla = 680 MPa y






86

(σal)falla = 70 MPa, respectivamente, y el esfuerzo cortante de falla paracada pasador es τfalla = 900 MPa, determine la carga máxima P que puedeaplicarse a la barra. Aplique un factor de seguridad FS de 2.

Solución

Calculemos los esfuerzos permisibles:

El diagrama de cuerpo libre para la barra se muestra en la figura 4.26b.Se tienen tres incógnitas.

Aplicaremos aquí las ecuaciones de equilibrio para expresar F AC Y FB entérminos de la carga P aplicada.

Tenemos:

Figura 4.26a Figura 4.26b






87

Determinaremos ahora cada valor de P que genera el esfuerzo permisibleen la barra, bloque y pasadores, respectivamente.

Barra AC

Usando la ecuación 1,

Bloque B.

Usando la ecuación 2,

Pasador A o C.

De la ecuación 1,

Por comparación, cuando P alcanza su valor más pequeño (168 kN), segenera el esfuerzo normal permisible en el bloque de aluminio. Porconsiguiente,

Rpta.






88

5. PROBLEMAS PROPUESTOS






89






90






91






92






93






94






95

PROBLEMA

La barra esbelta mostrada en la figura 4.27 está sometida a un incremento de

temperatura a lo largo de su eje, que genera una deformación unitaria normal enla barra de εz=40(10-3)zl/2, donde z está dada en metros. Determine (a) eldesplazamiento del extremo B de la barra debido al incremento de temperatura,y (b) la deformación unitaria normal promedio en la barra.

Figura 4.27

Solución

Parte (a).- Como la deformación unitaria normal está dada en cada punto a lolargo de la barra, un segmento diferencial dz, localizado en la posición z, figura4.27, tiene una longitud deformada que puede determinarse con la siguienteecuación; o sea:

La suma total de esos segmentos a lo largo del eje da la longitud deformada de

la barra, esto es:

Por tanto, el desplazamiento del extremo de la barra es:






96

Parte (b).- La deformación unitaria normal promedio en la barra se determinacon la siguiente ecuación, que supone que la barra o "segmento de línea" tieneuna longitud original de 200 mm y un cambio de longitud de 2.39 mm. Por

consiguiente:

Rpta.

6. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES

Una vez estudiados los conceptos básicos de esfuerzo y de deformación unitaria,en este capítulo mostraremos cómo los esfuerzos pueden relacionarse con lasdeformaciones unitarias usando métodos experimentales para determinar eldiagrama esfuerzo-deformación unitaria de un material específico. Se estudiará elcomportamiento descrito por este diagrama, para los materiales usadoscomúnmente en ingeniería. Se examinarán también las propiedades mecánicas yotras pruebas relacionadas con el desarrollo de la mecánica de materiales.

7. PRUEBAS DE TENSIÓN Y COMPRESIÓN

La resistencia de un material depende de su capacidad para soportar una cargasin deformación excesiva o falla. Esta propiedad es inherente al material mismo ydebe determinarse por experimentación. Entre las pruebas más importantesestán las pruebas de tensión o compresión. Aunque con estas pruebas puedendeterminarse muchas propiedades mecánicas importantes de un material, seutilizan principalmente para determinar la relación entre el esfuerzo normalpromedio y la deformación normal unitaria en muchos materiales utilizados eningeniería, sean de metal, cerámica, polímeros o compuestos.

Para llevar a cabo esta prueba se prepara un espécimen o probeta de forma ytamaño "estándar". Antes de la prueba, se imprimen con un punzón a la probetados marcas pequeñas a lo largo de ésta. Estas marcas se colocan lejos de losextremos del espécimen porque la distribución del esfuerzo en los extremos esun tanto compleja debido al agarre de las conexiones cuando se aplica unacarga. Se toman mediciones tanto del área de la sección transversal inicial delespécimen, Ao, como de la distancia Lo de la longitud calibrada entre las marcasdel punzón. Por ejemplo, cuando se usa un espécimen de metal en una pruebade tensión, generalmente éste tiene un diámetro inicial de do = 0.5 pulg. (13

mm) y una longitud calibrada de Lo = 2 pulg. (50 mm), figura 4.28a. Con objetode aplicar una carga axial, sin que tenga lugar la flexión en el espécimen, por lo






97

regular los extremos se asientan sobre juntas de rótula. Luego se usa unamáquina de prueba similar a la mostrada en la figura 4.28b para estirar elespécimen a un régimen constante muy lento, hasta alcanzar el punto de

ruptura. La máquina se diseña para que se pueda leer la carga requerida paramantener este alargamiento uniforme.

Durante la prueba, y a intervalos frecuentes, se registran los datos de la cargaaplicada P , a medida que se leen en la carátula de la máquina o en un dispositivodigital. También puede medirse el alargamiento δ = L - Lo entre las marcas quese hicieron en el espécimen con el punzón., usando ya sea una galga o undispositivo óptico o mecánico llamado extensómetro. Este valor de δ se usa luegopara determinar la deformación unitaria normal promedio en el espécimen o

muestra. Sin embargo, a veces no se toma esta medición, puesto que también esposible leer la deformación unitaria directamente usando una galga extensométrica de resistencia eléctrica, que se parece al mostrado en la figura 4.28c. Laoperación de esta galga está basada en el cambio en la resistencia eléctrica deun alambre muy delgado o una pieza de hoja de metal sometida a deformación.En esencia, la galga está cementada o pegada al espécimen en una direcciónespecífica. Si el pegamento es muy fuerte en comparación con la galga, entoncesésta es, en efecto, una parte integral de espécimen, de modo que cuando éste sealargue en la dirección de la galga, el alambre y el espécimen experimentarán la

misma deformación unitaria. Midiendo la resistencia eléctrica del alambre, lagalga puede graduarse para leer los valores de la deformación unitaria normaldirectamente.

Figura 4.28

4.28a

4.28b

4.28c






98

Figura 4.29

8. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es posible

calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria enel espécimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llamadiagrama de esfuerzo-deformación unitaria y hay 2 maneras de describirlo.

Diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Usando los datosregistrados, podemos determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería dividiendola carga P aplicada entre el área Ao de la sección transversal original delespécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo es constante en la seccióntransversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos:

De la misma manera, la deformación nominal o de ingeniería se determinadirectamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibradaδ, entre la longitud calibrada original del espécimen Lo. Aquí se supone que ladeformación unitaria es constante en la región entre los puntos calibrados.Entonces:

Si se grafican los valores correspondientes de σ y ε, con los esfuerzos comoordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva resultante sellama diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Este diagrama esmuy importante en la ingeniería ya que proporciona los medios para obtener

datos sobre la resistencia a tensión (o a compresión) de un material sinconsiderar el tamaño o forma geométrica del material. Sin embargo, debe ser






100

excede un poco el límite de proporcionalidad, el material puede todavíaresponder elásticamente; sin embargo, la curva tiende a aplanarsecausando un incremento mayor de la deformación unitaria con el

correspondiente incremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que elesfuerzo llega al límite elástico. Para determinar este punto en cualquierespécimen, debemos aplicar, y luego retirar, una carga creciente hastaque se detecte una deformación permanente en el mismo. Sin embargo,en el acero rara vez se determina el límite elástico, puesto que está muycerca del límite de proporcionalidad y, por tanto, su detección es bastantedifícil.

8.2. FLUENCIA

Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocará uncolapso del material y causará que se deforme permanentemente. Estecomportamiento se llama fluencia, y está indicado por la región másoscura de la curva, figura 4.30. El esfuerzo que origina la fluencia sellama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, σ Y , y la deformación queocurre se llama deformación plástica. Aunque no se muestra en la figura4.30, en los aceros con bajo contenido de carbono o en aquellos que seanlaminados o rolados en caliente, se distinguen dos valores para el puntode fluencia. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una

disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un puntoinferior de fluencia. Sin embargo, una vez que se ha alcanzado el puntoinferior de fluencia, como se muestra en la figura 4.30, entonces lamuestra continuará alargándose sin ningún incremento de carga. Observeque la figura 4.30 no está trazada a escala. Si lo estuviera, lasdeformaciones unitarias inducidas debido a la fluencia serían de 10 a 40veces más grandes que las producidas hasta el límite elástico. Cuando elmaterial está en este estado, suele decirse que es perfectamente plástico.Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, puede

aplicarse más carga a la probeta, resultando una curva que se elevacontinuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo,llamado esfuerzo último, σu. La elevación en la curva de esta manera sellama endurecimiento por deformación, y se identifica en la figura 4.30como la región ligeramente sombreada. A lo largo de la prueba, ymientras el espécimen se está alargando, el área de su seccióntransversal disminuirá. Esta disminución de área es bastante uniforme entoda la longitud calibrada del espécimen, incluso hasta la deformaciónunitaria que corresponde al esfuerzo último.






101

Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de lasección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de laprobeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es

causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material ylas deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes.Como resultado, tiende a desarrollarse un "cuello" en esta zona a medidaque el espécimen se alarga cada vez más, figura 4.31a. Puesto que elárea de la sección transversal en esta zona está decreciendocontinuamente, el área más pequeña puede soportar sólo una cargasiempre decreciente. De aquí que el diagrama de esfuerzo-deformaciónunitaria tienda a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompe enel punto del esfuerzo de fractura, σf , figura 4.31b. Esta región de la curva

debida a la formación del cuello está representada con color oscuro en lafigura 4.30.

8.3. DIAGRAMA REAL DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA

En lugar de usar siempre el área de la sección transversal y la longitudoriginales de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformaciónunitaria (de ingeniería), podríamos haber usado el área de la seccióntransversal y la longitud reales del espécimen en el instante en que lacarga se está midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformaciónunitaria calculados a partir de esas mediciones se llaman esfuerzo real ydeformación unitaria real, y un trazo de sus valores se llama diagramareal de esfuerzo-deformación unitaria. Cuando se traza este diagrama,vemos que tiene la forma mostrada por la línea que forma la curva en lafigura 4.30. Advierta que ambos diagramas (el convencional y el real)

prácticamente coinciden cuando la deformación unitaria es pequeña. Lasdiferencias entre los diagramas comienzan a aparecer en la zona de

Figura 4.31






102

endurecimiento por deformación, donde la magnitud de la deformaciónunitaria es más significativa. En particular, note la gran divergencia dentrode la zona de formación del cuello. Aquí podemos ver que, según el

diagrama σ - e convencional, la probeta de ensayo en realidad soportauna carga decreciente, puesto que Ao es constante cuando se calcula elesfuerzo nominal, σ = P/Ao. Sin embargo, según el diagrama σ - ε real, elárea real A dentro de la región de formación del cuello está siempredecreciendo hasta que ocurre la falla σf , y así el material realmentesoporta un esfuerzo creciente, puesto que σ = P /A.

Aunque los diagramas de esfuerzo-deformación real y convencional sondiferentes, la mayor parte del diseño en ingeniería se lleva a cabo dentro

de la zona elástica, ya que la distorsión del material en general no essevera dentro de este intervalo. Siempre que el material sea "rígido",como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta ellímite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de losvalores nominales de σ y de ε será muy pequeño (alrededor de 0.1 %)comparado con sus valores verdaderos. Ésta es una de las razonesprimordiales para usar diagramas de esfuerzo-deformaciónconvencionales.

Los conceptos anteriores pueden resumirse haciendo referencia a lafigura 4.32, la cual muestra un diagrama de esfuerzo-deformaciónconvencional de una probeta de un acero dulce. Con objeto de resaltarlos detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala dedeformación exagerada. Siguiendo el comportamiento, el límite deproporcionalidad se alcanza en σlp = 35 klb/pulg2 (241 MPa), cuando εlp =0.0012 pulg/pulg. Éste es seguido por un punto superior de fluencia de(σ Y )u = 38 klb/pulg2 (262 MPa), luego súbitamente por un punto inferiorde fluencia de (σ Y )l = 36 klb/pulg2 (248 MPa). El final de la fluenciaocurre con una deformación unitaria de ε Y = 0.030 pulg/pulg, la cual es

25 veces más grande que la deformación unitaria en el límite deproporcionalidad. Continuando, la probeta de ensayo se endurece hastaque alcanza un esfuerzo último de σu = 63 klb/pulg2 (435 MPa), y luegocomienza la estricción hasta que ocurre la falla, σf = 47 klb/pulg2 (324MPa). En comparación, la deformación unitaria en el punto de falla, εf =0.380 pulg/pulg, es 317 veces mayor que εlp.






104

A principios del siglo XIX, el científico francés S.D. Poisson descubrió que dentrodel rango elástico, la razón de esas dos deformaciones unitarias es constante, yaque las deformaciones δ y δ' son proporcionales.

A esta constante se le llama razón de Poisson, v (nu), y tiene un valor numéricoque es único para un material particular que sea homogéneo e isotrópico.Expresado matemáticamente:

El signo negativo se usa aquí ya que un alargamiento longitudinal (deformaciónunitaria positiva) ocasiona una contracción lateral (deformación unitarianegativa), y viceversa. Advierta que esta deformación unitaria lateral es la mismaen todas las direcciones laterales (o radiales). Además esta deformación unitariaes causada sólo por la fuerza axial o longitudinal; ninguna fuerza o esfuerzoactúa en una dirección lateral que deforme el material en esa dirección.

La razón de Poisson es adimensional y para la mayoría de los sólidos no porosostiene un valor generalmente entre ¼ y 1 /3. En particular, un material ideal sin

movimiento lateral cuando se alargue o contraiga, tendrá υ = 0. El valor máximoposible para la razón de Poisson es 0.5.

Por tanto, 0 ≤ υ ≤0.5.

Figura 4.34

Cuando el bloque de hule es comprimido (deformación unitaria negativa) sus

lados se expanden (deformación unitaria positiva). La relación de esasdeformaciones unitarias es constante.






105

EJEMPLO

Una barra de acero A-36 tiene las dimensiones mostradas en la figura 4.35. Si se

aplica una fuerza axial P = 80 kN a la barra, determine cambio en su longitud yel cambio en las dimensiones de su sección transversal después de aplicada lacarga. El material se comporta elásticamente.

Solución

El esfuerzo normal en la barra es:

De la tabla en la cubierta posterior para el acero A-36, Eac = 200 GPa, por lo quela deformación unitaria en la dirección z es:

El alargamiento axial de la barra es entonces:

Rpta.

Usando la ecuación:donde υac = 0.32 según la tabla en e1forro posterior, las contracciones en lasdirecciones x y y son:

Figura 4.35






106

Así, los cambios en las dimensiones de la sección transversal son:

Rpta.

Rpta.

9.1. EL DIAGRAMA DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN UNITARIA ENCORTANTE

Cuando un elemento de material está sometido a cortante puro, elequilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en lascuatro caras del elemento. Estos esfuerzos deben estar dirigidos hacia odesde las esquinas diagonalmente opuestas del elemento, figura 4.36a. Además, si el material es homogéneo e isotrópico, entonces el esfuerzocortante distorsionará al elemento de manera uniforme, figura 4.36b. Ladeformación unitaria cortante γxy mide la distorsión angular del elementocon relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ejes x yy .

El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser

estudiado en un laboratorio usando muestras en forma de tubos delgadosy sometiéndolos a una carga de torsión. Si se hacen mediciones del paraplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, los datos puedenusarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitariacortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformacióncortante unitaria. En la figura 4.37 se muestra un ejemplo de estediagrama para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión,este material exhibirá un comportamiento elástico lineal cuando se lesomete a corte y tendrá un límite de proporcionalidad τlp definido.

También ocurrira un endurecimiento por deformación hasta que se llegueal esfuerzo cortante último τu. Finalmente, el material comenzará a perdersu resistencia al cortante hasta que se alcance un punto en que sefracture, τf .En la mayoría de los materiales de ingeniería, como el que acabamos dedescribir, el comportamiento elástico es lineal, de modo que la ley deHooke para el cortante puede escribirse como:






107

Aquí G se llama módulo de elasticidad por cortante o módulo derigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en eldiagrama τ-γ, esto es, G = τlp /γlp. En el forro interior de la cubierta deeste libro se dan algunos valores típicos para materiales comunes deingeniería. Advierta que las unidades de G son las mismas que para E (Pao lb/pulg2), puesto que g se mide en radianes, una cantidadadimensional. Las tres constantes del material, E, υ y G estánrelacionadas por la ecuación:

Siempre que E y G se conozcan, el valor de υ podrá determinarse pormedio de esta ecuación en vez de tener que recurrir a mediciones expe-rimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, Eac = 29(103)klb/pulg2 Gac = 11.0 (103) klb/pulg2, de modo que, υac = 0.32

Figura 4.36

Figura 4.37






108

EJEMPLO

El espécimen de aluminio mostrado en la figura 4.38 tiene un diámetro

do=25 mm y una longitud calibrada Lo = 250 mm. Si una fuerza de 165kN alarga la longitud calibrada 1.20 mm, determine el módulo deelasticidad. Determine también cuánto se reduce el diámetro debido aesta fuerza. Considere Gal = 26 GPa y σy = 440 MPa.

Figura 4.38

Solución

Módulo de elasticidad. El esfuerzo normal promedio en el espécimen es:

Y la deformación unitaria normal promedio es:

Como σ < σy = 440 MPa, el material se comporta elásticamente. Elmódulo de elasticidad es:

Rpta.






109

Contracción del diámetro.- Primero determinamos la relación de Poissonpara el material:

Como εlong = 0.00480 mm/mm, entonces:

La Contracción del diámetro es por lo tanto:

Rpta.

EJEMPLO

Un espécimen de una aleación de titanio se prueba en torsión y eldiagrama de esfuerzo de cortante-deformación angular unitaria queresulta se muestra en la figura 4.39a. Determine el módulo cortante G, ellímite de proporcionalidad y el esfuerzo cortante último. Determine

también la distancia d máxima que la parte superior de un bloque de estematerial, mostrado en la figura 4.39b, podría desplazarse horizontalmentesi el material se comporta elásticamente al actuar sobre él la fuerzacortante V. ¿Cuál es la magnitud de V para causar este desplazamiento?






110

Figura 4.39

Solución

Módulo cortante: Este valor representa la pendiente de la porción rectaOA del diagrama τ - γ. Las coordenadas del punto A son (0.008 rad, 52klb/pulg2). Entonces:

Rpta.

La ecuación de la línea OA es por lo tanto τ = 6500γ, que es la ley deHooke para cortante.

Límite de proporcionalidad: Por inspección, la gráfica deja de serlineal en el punto A. Así:

Rpta.

Esfuerzo último: Este valor representa el esfuerzo cortante máximo,punto B. De la gráfica:

Rpta.






111

Desplazamiento elástico máximo y fuerza cortante.- Como ladeformación unitaria cortante elástica máxima es de 0.008 rad, un ángulomuy pequeño, la parte superior del bloque en la figura 4-12b se des-

plazará horizontalmente:

Rpta.

El esfuerzo cortante promedio correspondiente en el bloque es τlp =52 klb/pulg2. Así, la fuerza cortante V necesaria para causar el des-

plazamiento es:

Rpta

10. DEFORMACIÓN ELÁSTICA DE UN MIEMBRO CARGADO AXIALMENTE

10.1. CARGA Y ÁREA TRANSVERSAL CONSTANTES

En muchos casos la barra tendrá un área transversal A constante y elmaterial será homogéneo, por lo que E será constante. Además, si unafuerza externa constante se aplica a cada extremo, figura 4.40, entoncesla fuerza interna P a lo largo de la barra será también constante. Enconsecuencia, se obtiene:

Figura 4.40

Donde:

δ = desplazamiento de un punto de la barra relativo a otro punto.

L = distancia entre los puntos.P = fuerza axial interna en la sección.






112

A = área de la sección transversal de la barra.E = módulo de elasticidad del material.

Si la barra está sometida a varias fuerzas axiales diferentes, o si lasección transversal o el módulo de elasticidad cambian abruptamente deuna región de la barra a la siguiente, la ecuación anterior puede aplicarsea cada segmento de la barra donde esas cantidades sean todasconstantes. El desplazamiento de un extremo de la barra respecto al otrose encuentra entonces por medio de la adición vectorial de losdesplazamientos de los extremos de cada segmento. Para este casogeneral:

10.2. CONVENCIÓN DE SIGNOS

Debemos desarrollar una convención de signos para la fuerza axialinterna y el desplazamiento de un extremo de la barra con respecto alotro extremo de la misma. Para hacerlo, consideraremos que la fuerza yel desplazamiento son positivos si causan tensión y alargamiento,

respectivamente, figura 4.41, mientras que una fuerza y undesplazamiento negativo causarán compresión y contracción,respectivamente.

Figura 4.41

Por ejemplo, consideremos la barra mostrada en la figura 4.41a. Las fuer-

zas axiales internas "P", calculadas por el método de las secciones encada segmento, son P AB = + 5 kN, PBC = - 3 kN Y PCD = -7 kN, figura






113

4.42b. Esta variación se muestra en el diagrama de fuerza axial (onormal) para la barra, figura 4.41c. Aplicando la ecuación de carga y áreatransversal constantes para obtener el desplazamiento del extremo A

respecto del extremo D, tenemos:

Figura 4.41

Si se sustituyen los otros datos y se obtiene una respuesta positiva, ellosignificará que el extremo A se alejará del extremo D (la barra se alarga)mientras que un resultado negativo indicará que el extremo A se acercahacia D (la barra se acorta). La notación de doble subíndice se usa paraindicar este desplazamiento relativo (δ A/D); sin embargo, si eldesplazamiento va a determinarse respecto a un punto fijo, entonces, se

usará sólo un subíndice. Por ejemplo, si D se localiza en un soporte fijoentonces el desplazamiento calculado se denotará simplemente como δ A.

EJEMPLO

La barra compuesta de acero A-36 (Módulo de Elasticidad = 29(103)klb/pulg2) mostrada en la figura 4.42a está hecha de dos segmentos AB yBD que tienen áreas transversales de A AB = 1 pulg2 y ABD = 2 pulg2.Determine el desplazamiento vertical del extremo A y el de B respecto a

C.






114

Figura 4.42

Solución

Fuerza interna.- Debido a la aplicación de las cargas externas, lasfuerzas axiales internas en las regiones AB, BC y CD serán todasdiferentes. Esas fuerzas se obtienen aplicando el método de las seccionesy la ecuación de equilibrio por fuerza vertical, como se muestra en la

figura 4.42b y se encuentran graficadas en la figura 4.42c.

Desplazamiento.- Usando la convención de signos, esto es, fuerzasinternas de tensión son positivas y fuerzas internas de compresión sonnegativas, el desplazamiento vertical de A respecto al soporte fijo D es:

Rpta.

Como el resultado es positivo, la barra se alarga y el desplazamiento de Aes hacia arriba.

Rpta.






115

Aquí B se aleja de C, ya que el segmento se alarga.

EJEMPLO

El conjunto mostrado en la figura 4.43a consiste en un tubo AB de.aluminio con área transversal de 400 mm2. Una barra de acero condiámetro de 10 mm está unida a un collarín rígido y pasa a través deltubo. Si se aplica una carga de tensión de 80 kN a la barra, determine eldesplazamiento del extremo C de la barra. Considere Eac = 200 GPa y Eal

= 70 GPa.

Figura 4.43

Solución:

Fuerza interna.- El diagrama de cuerpo libre del tubo y de la barra, figura4.43b, muestra que la barra está sometida a una tensión de 80 kN y eltubo a una compresión de 80 kN.

Desplazamiento.- Determinaremos primero el desplazamiento del extremoC con respecto al extremo B. Trabajando en unidades de newtons ymetros, tenemos:

El signo positivo indica que el extremo C se mueve hacia la derecha conrespecto al extremo B, ya que la barra se alarga.

El desplazamiento del extremo B con respecto al extremo fijo A es:






116

El signo menos indica aquí que el tubo se acorta, por lo que B se muevehacia la derecha respecto a A.

Puesto que ambos desplazamientos son hacia la derecha, eldesplazamiento resultante de C respecto a A es entonces:

Rpta.

EJEMPLO

Una viga rígida AB descansa sobre los dos postes cortos mostrados en lafigura 4.44a. AC está hecho de acero y tiene un diámetro de 20 mm; BDestá hecho de aluminio y tiene un diámetro de 40 mm. Determine eldesplazamiento del punto F situado en AB cuando se aplica una cargavertical de 90 kN sobre este punto. Considere Eac = 200 GPa y Eal = 70GPa.

Figura 4.44

Solución

Fuerza interna.- Las fuerzas de compresión que actúan en la partesuperior de cada poste se determinan a partir del equilibrio del miembro

AB, figura 4.44b. Esas fuerzas son iguales a las fuerzas internas en cadaposte, figura 4.44c.






117

Desplazamiento.- El desplazamiento de la parte superior de cada postees:

Poste AC:

Poste BD:

En la figura 4-18d se muestra un diagrama de los desplazamientos de lospuntos A, B y F situados en el eje de la viga. Por proporciones en eltriángulo sombreado, el desplazamiento del punto F es entonces:

Rpta.

EJEMPLO

Un miembro está hecho de un material que tiene un peso específico γ yun módulo de elasticidad E. El miembro tiene la forma de un cono con lasdimensiones mostradas en la figura 4.45a. Determine el desplazamientode su extremo inferior bajo el efecto de su propio peso.

Figura 4.45






118

Solución

Fuerza interna. La fuerza axial interna varía a lo largo del miembro que

depende del peso W(y) de un segmento del miembro situado debajo decualquier sección, figura 4.45b. Por tanto, para calcular eldesplazamiento, debemos usar la ecuación:

En la sección localizada a una distancia y del fondo, el radio x del cono

como función de y se determina por proporción; esto es:

El volumen de un cono con base de radio x y altura y es:

Como W = γ V la fuerza interna en la sección es:

Desplazamiento.- El área de la sección transversal es también una funciónde la posición y , figura 4-19b. Tenemos:

Aplicando la ecuación: Entre los límites y = 0 Y y = L seobtiene:

Rpta.






119

Como verificación parcial de este resultado, note cómo las unidades delos términos, al cancelarse, dan la deflexión en unidades de longitud c-omo era de esperarse.

11. PROBLEMAS PROPUESTOS



Manual Esfuerzo Tipos Promedios Propiedades Resistencia Materiales Tecsup

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