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UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Manual de un taller para iniciar a estudiantes que cursan el primer
semestre de Educación Mención Matemática de la ULA en la
demostración matemática a través de la resolución de problemas
geométricos.
TUTOR:
Prof. Jonathan Linares.
Integrantes:
Fernández V. Sergio.
CI: 16.655.958
Medina R. Luís A.
CI: 14.267.190
Mérida 4 de Octubre de 2010
1
Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades
Escuela de Educación
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
COMISIÓN DE MEMORIA DE GRADO
Titulo de la Memoria de Grado: Manual de un taller para iniciar a estudiantes que
cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática de la ULA en la
demostración matemática a través de la resolución de problemas geométricos.
Autor (es): Fernández Vielma Sergio. CI: 16.655.958
Medina Ramírez Luís A. CI: 14.267.190
Tutor: Prof. Jonathan Linares
Jurados Sugeridos:
Prof. Jonathan Linares, Prof. Yazmary.
Rondón, Prof. José Gregorio Fonseca .
Fecha:
4 de Octubre de 2010
Palabras Claves: Manual de un taller, Resolución de problemas geométricos,
Demostración matemática.
RESUMEN:
A través de una prueba diagnóstico se pudo notar que el 97.5 % los estudiantes del
segundo semestre de educación matemática poseen deficiencias para resolver
problemas predemostrativos y realizar demostraciones, en función de abordar la
problemática antes expuesta la presente investigación se centró en el diseño de un
manual para un taller que permita iniciar en la demostración matemática a través de la
resolución de problemas geométricos, a estudiantes que cursan el primer semestre de
Educación Mención Matemática de la Universidad de Los Andes. La investigación se
desarrolló bajo los parámetros de investigación proyectiva, con un diseño de Fuente
Mixta, Transeccional Contemporáneo y Univariable. La población estuvo compuesta en
primer lugar para la selección de los problemas geométricos por cuatro textos de
resolución de problemas matemáticos; en segundo lugar para la validez del manual por
cinco docentes especialistas en matemática de la Universidad de los Andes
específicamente de la Facultad de Humanidades y Educación. Diseñado el manual se
validó por medio del juicio de expertos y dado que el 96.09% de los docentes
evaluadores calificaron con la máxima categoría (Bueno), se puede concluir que en
opinión de los jueces el manual está bien elaborado y puede ser aplicado en un taller.
2
ÍNDICE
Introducción. 4
CAPÍTULO I. Contextualización de la temática.
1.1 Descripción general del tema. 5
1.2 Justificación de la investigación. 6
1.3 Planteamiento del problema. 7
1.4 Objetivos de la investigación. 6 9
CAPÍTULO II. Marco Teórico.
2.1 Antecedentes. 10
2.2 Bases teóricas. 12
2.2.1 Marco Epistemológico. 12
2.2.2 Marco Psicopedagógico. 13
2.2.3 Marco teórico Matemático. 14
2.3 Contexto Curricular. 18
CAPÍTULO III. Marco Metodológico.
3.1 Tipo de Investigación. 20
3.2 Diseño de Investigación. 20
3.3 Definición de eventos: proceso generador y evento a modificar. 20
3.4 Población y Muestra. 21
3.5 Técnica e instrumentos de recolección de datos. 21
3.6 Procedimiento. 21
3.7 Tipo de análisis a utilizar. 22
CAPITULO IV. Resultados del Diagnóstico.
4.1 Antecedentes del estudio. 23
4.2 Diagnóstico de Necesidades. 26
4.3 Evaluación de las condiciones actuales y explicaciones tentativas. 27
4.4 Posibles tendencias futuras. 27
3
4.5 Síntesis diagnóstica. 28
CAPÍTULO V. Presentación de la propuesta.
5.1 Justificación de la propuesta. 29
5.2 Objetivos de la propuesta. 30
5.3 Contenido de la propuesta. 30
5.4 Recursos utilizados para su aplicación. 6 33
5.5 Desarrollo de la propuesta. 34
CAPÍTULO VI. Discusión de los resultados.
6.1 Factibilidad del modelo propuesto. 57
6.2 Control y evaluación de procesos. 60
6.3 Conclusiones. 61
6.4 Limitaciones y recomendaciones finales. 62
Referencias bibliográficas. 64
4
Introducción
En el proceso de enseñanza de las matemáticas es primordial que el estudiante aprenda
a formular preguntas y a buscar distintas alternativas que le permitan encontrar
respuestas a esas preguntas, para ello el docente debe crear o fomentar estrategias
didácticas de enseñanza que le proporcionen garantías de que los estudiantes aprendan;
una alternativa es la resolución de problemas, ya que el estudiante intenta encontrar
solución o soluciones del problema planteado, en el cual tiene que discutir las ideas en
torno al problema, usar representaciones, contraejemplos, estrategias cognitivas. Esta
estrategia, la de resolución de problemas permite que el estudiante transite a través de la
observación, el análisis, la argumentación y la formulación de conjeturas, acciones todas
útiles para la enseñanza de la demostración matemática. En este trabajo de investigación
la idea fundamental se centro en el diseño de un manual como herramienta didáctica que
puede ser utilizado por medio de un taller para iniciar a estudiantes en la demostración
matemática a través de la resolución de problemas de tipo geométrico, donde el
estudiante pueda transitar por: la observación, el análisis, la argumentación y la
formulación de conjeturas. El manual presenta una serie de objetivos, una metodología de
trabajo, y está constituido por cuatro capítulos. En él se presentan cuatro problemas por
capítulo, también se muestra de manera detallada una estrategia de evaluación que
permitirá al facilitador que aplique el manual, la evaluación continua del taller.
La investigación se estructuro de la siguiente manera: En el primer capítulo se presenta la
descripción general del tema, así como también la justificación de la investigación, se
plantea la problemática y los objetivos de la investigación. El segundo capítulo se refiere
al marco teórico y se presenta los antecedentes, las bases teóricas y el fundamento
curricular. El tercer capitulo expone el marco metodológico consistente en el tipo de
investigación, el diseño de la investigación, población y muestra, procedimiento y técnica
de recolección de datos. El capítulo cuatro consta del diagnóstico, en el cual se describe
el antecedente de estudio, diagnostico de necesidades, evaluación de las condiciones
actuales, posibles tendencias y síntesis diagnostica. El capitulo cinco presenta la
propuesta (manual del taller) donde se describe: justificación, finalidades y metas, fases,
funcionamiento descripción del manual. Finalmente el capitulo seis detalla la discusión de
los resultados, factibilidad del modelo propuesto, control y evaluación de los procesos,
conclusiones y recomendaciones finales.
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CAPITULO 1
Contextualización de la temática.
1.1 Descripción general del tema.
En el proceso de la enseñanza de la matemática podemos considerar la demostración
como uno de los ejes principales de esta disciplina puesto que Dreyfus (2000), citado por
Arrieta y Bravo (2002) explica que: “las demostraciones (entendidas en sentido amplio)
deberían estar presentes de forma subyacente en todos los componentes del currículo de
matemáticas” (p.1), de manera que la demostración cumple un papel muy importante en
el desarrollo cognitivo de los estudiantes de matemática. Por su parte Larios (2001)
considera que la demostración matemática debe tomarse en cuenta en la educación y
para ello se debe analizar dos aspectos fundamentales en la enseñanza de la misma: en
primer lugar, que las funciones de la demostración son: la de explicar, sistematizar,
descubrir, comunicar y que no solamente es la de verificar, y en segundo lugar que se
deben realizar actividades con los estudiantes donde se involucre la observación, el
análisis, la argumentación y la formulación de conjeturas acciones estas que pueden
parecer extrañas en el quehacer matemático pero que pueden ser de gran utilidad a la
hora de enseñar matemática.
Este tipo de actividades pueden plasmarse a través de un taller sustentado en la técnica
de resolución de problemas de tipo geométrico, tal como ha sido señalado por algunos
docentes de matemática de la Facultad de Humanidades y Educación de la ULA, quienes
a través de un cuestionario que se les aplicó, proponen actividades en grupo como
talleres (ver resultados del diagnóstico capitulo IV). Estas actividades en grupo (talleres)
pueden ser utilizadas para abordar la problemática presentada por un grupo de
estudiantes que cursan la asignatura Geometría I del segundo semestre (B-2008) de
Educación Mención Matemática, la cual gira en torno al aprendizaje que tienen los
estudiantes con respecto al contenido demostración matemática debido a que al presentar
una prueba diagnóstica, en su totalidad no realizaron las demostraciones que se les pedía
en dos de los ítems (ver resultados del diagnóstico capitulo IV). Al respecto, los docentes
encuestados creen que se debe iniciar a los estudiantes en la demostración matemática
utilizando como estrategia didáctica la resolución de problemas. A tal fin se pretende crear
el manual de un taller para iniciar en la demostración matemática a través de la resolución
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de problemas geométricos a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación
Mención Matemática de la Universidad de los Andes.
1.2 Justificación de la investigación.
Uno de los principales obstáculos que pueden encontrar los profesores y los estudiantes
en el proceso de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas universitarias, proviene del
contenido demostración matemática; una de las razones posiblemente se debe a: que los
estudiantes de Bachillerato se les enseña una matemática basada en procedimientos
algorítmicos y de cálculo sin enseñarles los aspectos relevantes de la deducción e
inducción y poderlos iniciar en la demostración matemática (ver Evaluación de las
condiciones actuales y explicaciones tentativas capitulo IV). Cadenas y Rivas (2006)
consideran que: “Para el lector que se inicia en el ámbito del estudio de las matemáticas
universitarias, este aspecto de las demostraciones, posiblemente nuevo para él,
constituye el soporte fundamental del conocimiento que debe llegar a dominar” (p.93).
Por su parte en la Universidad de Los Andes, específicamente en la Facultad de
Humanidades y Educación se plantea la enseñanza de la demostración matemática a los
estudiantes de Educación Mención Matemática y los mismos deben realizar
demostraciones de proposiciones y teoremas, como se puede apreciar a través de la
revisión del programa de la asignatura Matemática I. Una de las razones que motivan el
desarrollo de la presente investigación es que no se han desarrollado trabajos de
investigación relacionados con la enseñanza de la demostración matemática en la
Escuela de Educación de la Universidad de los Andes.
Otra razón que impulsa el desarrollo de la presente investigación se debe a los resultados
pocos satisfactorios de una prueba diagnóstica que se aplicó a estudiantes que cursan la
asignatura geometría I del segundo semestre (B-2008) en la Facultad de Humanidades y
Educación, debido a que dichos resultados mostraron que los estudiantes poseen
deficiencias al resolver problemas predemostrativos y al realizar demostraciones (ver
resultados del diagnóstico capitulo IV). Sin embargo, es posible lograr motivar el
aprendizaje del contenido demostración matemática, mediante la resolución de problemas
geométricos que permitan presentar el constructivismo no como una teoría de aprendizaje
sino también como una herramienta de enseñanza, al respecto una alternativa es el
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diseño un taller que permitirá un espacio de trabajo en grupo en el que se realiza un
proceso de enseñanza-aprendizaje y que puede ser utilizado como metodología de
trabajo en la que se integran la teoría, la práctica y el trabajo en equipo.
Por tanto, esta investigación se centra en diseñar el manual de un taller basado en la
resolución de problemas como estrategia didáctica, para iniciar en la demostración
matemática a los estudiantes del primer semestre de Educación mención Matemática, que
a lo largo de todo el estudio de pre-grado tienen que cursar asignaturas en las áreas que
conforman la carrera, en las cuales tendrá que realizar necesariamente demostraciones
de teoremas o proposiciones que fundamentan el quehacer matemático de la carrera.
1.3 Planteamiento del problema.
El proceso de enseñanza y aprendizaje de la matemática se ha convertido en los últimos
años en una actividad bastante compleja, y por ende se requieren de nuevos métodos de
enseñanza que sean innovadores y ayuden a facilitar los aprendizajes, un método que
puede resultar innovador en la enseñanza de la matemáticas es el taller que es definido
por Gonzáles M, citado por Bravo N (s/f) como: “tiempo - espacio para la vivencia, la
reflexión y la conceptualización; como síntesis del pensar, el sentir y el hacer. Como el
lugar para la participación y el aprendizaje” (p.2). En relación con los talleres algunos
docentes de matemática de la Facultad de Humanidades y Educación, encuestados a
través de un cuestionario creen que se puede ser utilizar para la enseñanza de la
demostración matemática (ver resultados del diagnóstico capitulo IV).
Para tomar en cuenta el taller como actividad para la enseñanza de la demostración se
debe considerar que: la demostración matemática tiene diferentes enfoques para ser
enseñada, puesto que puede ser utilizada para la verificación o validación de
proposiciones o teoremas. Cadenas y Rivas (2006) definen: “Las demostraciones en
matemáticas son razonamientos o sucesiones de razonamientos, y éstos deben ser
razonamientos válidos” (p.123), esta definición es formal y la función de la misma es la
de ver que un hecho matemático es verdadero. Sin embargo Larios (2001) toma en
cuenta que hay demostraciones que explican por qué un hecho matemático es
verdadero, lo cual es de gran importancia en la enseñanza de la matemática, pues
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proporciona un medio de explicación a los estudiantes de los procesos lógicos deductivos
ó inductivos que se presentan al realizar demostraciones.
En relación con la enseñanza de las matemáticas, Polya (1962) citado por Larios (2001)
señala que existen problemas que se demuestran (problemas de demostración
matemática) y que pueden ser incluidos como actividades beneficiosas en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de la matemática. Para ello es importante tomar en cuenta los
problemas de tipo geométrico puesto que permiten la visualización, elemento importante
para realizar demostraciones; por su parte Larios (2001) considera que la resolución de
problemas se puede utilizar como estrategia didáctica a través de actividades con los
estudiantes donde se involucre la observación, el análisis, la argumentación y la
formulación de conjeturas.
Sin embargo, para promover y fomenta en los alumnos las habilidades en la resolución
de problemas de demostración matemática de tipo geométrico, se debe tomar en cuenta
que los estudiantes durante sus estudios previos de matemática no han sido iniciados en
la demostración matemática, al respecto Acuña (1996), citado por Larios (2003) opina
que: “Los alumnos de ingreso al nivel medio superior no tienen herramientas para
enfrentarse a situaciones como las de argumentar, conjeturar o demostrar, pues todas sus
herramientas mentales han sido desarrolladas para otro tipo de problemas, como el
cálculo, la construcción y el uso de algoritmos”(p.172). Estas herramientas constituyen
conocimientos parcialmente construidos que obstaculizan la comprensión y uso de la
demostración matemática.
Para determinar si los estudiantes han sido iniciados en la demostración matemática
durantes sus estudios previos, se aplicó una prueba diagnóstica a estudiantes de la ULA
que cursan la asignatura Geometría I del segundo semestre (B-2008) de Educación
Mención Matemática en la Facultad de Humanidades y Educación, la finalidad principal
era determinar los conocimientos que tienen los estudiantes en torno al aprendizaje de la
demostración Matemática y los resultados fueron poco satisfactorios debido a que se
pudo notar que el 97.5 % de los estudiantes poseen deficiencias para resolver problemas
predemostrativos y realizar demostraciones, las cuales develaron que la problemática
gira en torno al aprendizaje que tienen los estudiantes con respecto al contenido
demostración matemática (ver resultados del diagnóstico capitulo IV); por su parte los
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docentes de matemática de la Facultad de Humanidades y Educación, encuestados
mediante un cuestionario, creen que se debe iniciar a los estudiantes en la demostración
matemática (ver resultados del diagnóstico capitulo IV). Así pues, en función de la
problemática y con los razonamientos que se han venido realizando, se puede plantear la
siguiente interrogante: ¿Cuáles serán las características de un taller para iniciar a
estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática de la
Universidad de los Andes en la demostración matemática a través de la resolución de
problemas geométricos?
1.4 Objetivos de la investigación.
1.4.1 Objetivo General
Diseñar el manual de un taller para iniciar en la demostración matemática a estudiantes
que cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática de la Universidad de
los Andes a través de la resolución de problemas geométricos.
1.4.2 Objetivos Específicos
Seleccionar problemas geométricos que permitan involucrar: la observación, el
análisis, la argumentación y la formulación de conjeturas.
Crear el manual del taller basándose en la resolución de problemas geométricos.
Validar el diseño del taller, tomando en cuenta los juicios de los expertos en
educación mención matemática.
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CAPITULO 2
Marco teórico.
2.1 Antecedentes.
En un trabajo desarrollado en Argentina por Ibarra, Méndez y Velásquez (S/f), cuyo
objetivo de investigación se centró en la argumentación lógica como actividad previa a la
demostración matemática; el desarrollo de la misma se llevó acabo a través de diferentes
actividades: encuestas dirigidas a docentes, pruebas dirigidas a estudiantes y análisis de
los libros de textos. La encuesta aplicada a docentes de las escuelas de la Ciudad de
Salta, determinó que las actividades propuestas por los docentes para la enseñanza de la
matemática, se centran en definiciones y conceptos, y por tanto no desarrollan actividades
que puedan conducir a plantear hipótesis, hacer conjeturas y posibles demostraciones.
Como consecuencia de lo anterior aplicaron una prueba a estudiantes de Polimodal y del
Primer año de la carrera del profesorado de matemática, al analizar las respuestas de los
estudiantes concluyeron que: ambos grupos no fueron capaces de argumentar ni de
realizar formalmente la demostración que se les pedía en la prueba. En cuanto al análisis
de libros de texto arrojó como resultado que las actividades propuestas en los libros se
basan en el desarrollo de aplicaciones algorítmicas de fórmulas, siendo muy débiles los
elementos referentes a definiciones, justificaciones, demostraciones y argumentaciones.
En el trabajo desarrollado por Ibarra, Méndez y Velásquez se realiza un análisis detallado
de los factores que influyen en el proceso de enseñanza y aprendizaje de la demostración
matemática, estos factores (los estudiantes, los docentes, los textos) se deben tomar en
cuenta para la elaboración del manual de un taller que tiene por finalidad iniciar a
estudiantes en la demostración matemática en donde se debe tener presente la
argumentación lógica como actividad previa a la demostración matemática.
Por su parte, Peñaranda y Velazco (2005), abordan el desarrollo de las competencias
matemáticas, por medio de una propuesta pedagógica, como objetivo de investigación,
dirigida a estudiantes que cursan el primer semestre en Licenciatura de Matemática e
Informática, que den solución a los problemas que presentaron los estudiantes en una
prueba diagnóstico; la prueba consta de ocho cuestionarios referentes a resolución de
problemas matemáticos y situaciones reales, cada cuestionario con un nivel de dificultad
superior, el mismo fue aplicado uno por semana a estudiantes de forma voluntaria. La
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propuesta pedagógica está basada en la pedagogía por proyectos, un enfoque que
permite a los estudiantes poner en acción sus pensamientos fundamentada en el
constructivismo como teoría de aprendizaje, a través de actividades de reflexión donde
involucran: acción interpretativa, argumentativa y propositiva, las cuales no están aisladas
sino que ponen al estudiante en situaciones reales, permitiéndole un aprendizaje
significativo, y que tienen como propósito un resultado concreto: resolver situaciones
problemáticas desarrollando las competencias matemáticas. La estructura de la propuesta
tiene elementos de importancia que pueden tomarse como referentes para la elaboración
del taller que se pretende diseñar, es decir en vez de tomar la acción interpretativa,
argumentativa y propositiva para la elaboración de actividades, se pueden tomar como
referencia otros indicadores, que pueden ser: la observación, el análisis, la argumentación
y la formulación de conjeturas, dimensiones todas útiles para la elaboración del taller,
bajo el esquema de la propuesta pedagógica, y que permita iniciar a los estudiantes en la
demostración matemática.
Por otro lado, Isabel Echenique Urdiain (2006), emprende un estudio donde aborda la
resolución de problemas matemáticos en primaria, la investigación empleó una estrategia
compuesta por dos etapas: la primera teórica, donde sugiere algunas ideas sobre las
competencias matemáticas y describe pautas guiar a los alumnos en el proceso de
resolución de problemas, mientras que la segunda etapa consiste en un taller de
resolución de problemas el cual es desarrollado en cuatro ciclos y cursos, donde más que
enseñar a los alumnos a resolver problemas, pretende enseñarles a pensar
matemáticamente, en el taller se proponen estrategias generales de aplicación
(problemas cotidianos) y numerosas actividades para realizar. La autora concluye que
esta manera de abordar la resolución de problemas a partir de la aplicación de unos
métodos, favorece el desarrollo de capacidades no necesariamente matemáticas. Lo
importante es que el estudiante vaya logrando estrategias que en un futuro le permita
resolver con éxito situaciones matemáticas, recomienda a los docentes acompañar a sus
estudiantes en el proceso de aprendizaje, ayudándolos a establecer estrategias de
resolución de problemas donde se planteen situaciones, planificaciones, y estudien la
pertinencia de las soluciones obtenidas. Esta propuesta presenta elementos que se toman
en cuenta para la elaboración del manual como son los ciclos, que en nuestro caso sería
las unidades y en el proceso de evaluación del taller propuesto se tomaran en cuenta lo
12
que la autora define como estrategias de resolución de problemas y la pertinencia de las
soluciones obtenidas (por los estudiantes al resolver un problema).
2.2 Bases teóricas.
2.2.1 Marco epistemológico
El desarrollo de las matemáticas a través del tiempo fue impulsado por los aportes de
diversas culturas antiguas entre las cuales destacan: los egipcios, los babilónicos y los
hindúes; cuyas contribuciones en la geometría, aritmética y álgebra se basaban en
referentes reales o problemas prácticos relacionados con el quehacer diario de sus vidas,
así pues los avances se presentaron de forma empírica de modo que, a estas culturas no
se les atribuye demostraciones lógicas de sus proposiciones. Por su parte los griegos son
los pioneros en el impulso de la destreza de fundamentar y demostrar sus proposiciones,
Cadenas y Rivas (2006) opinan: “Sin embargo, la contribución realizada por los antiguos
griegos, en un periodo que se inicia 600 a. C., es la de ser los primeros que reconocieron
la necesidad de las demostraciones, de concebir la organización del contenido
matemático usando la deducción”. (p.34).
Newman (1980) considera que la matemática con los griegos, presentan un enfoque
distinto, puesto que sus estudios en el campo de la matemática tenían por necesidad su
propio interés y no se basaba en las aplicaciones que pudiera tener en el mundo concreto,
en otras palabras los griegos son los pioneros en el impulso de la destreza de
fundamentar y demostrar sus proposiciones producto del desarrollo de la filosofía
propuesta por ellos, que trae consigo como resultado la base fundamental de las
demostraciones puesto que ellos formulaban sus argumentos partiendo de premisas.
Por su parte Arsac (1987), estudia la demostración a través de la génesis histórica de la
misma en Grecia, en el siglo V a. C., describe que la demostración tienen dos orígenes:
uno interno y otro externo. En primer lugar el origen interno que se presenta por medio de
los problemas de la irracionalidad y de la inconmensurabilidad en geometría y aritmética,
para resolver esos problemas los griegos se ven en la necesidad de crear nuevos
métodos que le permitan resolver dichas dificultades, uno de esos métodos es la
demostración matemática; el origen interno propuesto por Arsac se debe tomar en cuenta
13
para el desarrollo de la presente investigación, puesto que a través de la de resolución de
problemas, los estudiantes se vean en la necesidad de demostrar y esto a su vez puede
motivar en ellos el aprendizaje de la demostración matemática. En segundo lugar el
origen externo que surge desde el punto de vista social por medio del debate público en la
sociedad griega. Así pues la cultura griega establece el cimiento o la base fundamental
para que las matemáticas por medio de un largo proceso mediante el cual transcurrieron
varios siglos de avances, adquiriera lo que hoy en día se conoce con el calificativo de
ciencia pura, todo esto fundamentado en la demostración matemática que Evelyne Barbin
(citado por Larios 2003) la divide en tres etapas:
1. En Grecia en el siglo V la demostración busca convencer en medio del debate.
2. En el siglo XVII se busca que las demostraciones aclaren más que convenzan.
3. En el siglo XIX se regresa a un rigor que permita hacer frente a las nuevas
concepciones de los objetos matemáticos.
2.2.2 Marco psicopedagógico.
El constructivismo se basa en el hecho de que es el sujeto el que aprende, para Jean
Piaget el aprendizaje implica un proceso constructivo interno, como resultado del
desarrollo evolutivo y su interacción con el medio ambiente (el constructivismo genético),
y considera que el desarrollo cognitivo es un proceso gradual, continuo, lento y lo divide
en tres etapas: etapa sensorio-motriz (de cero a dos años), la etapa de las operaciones
concretas (de siete a doce años) y la etapa de las operaciones formales, en esta etapa
perfectamente se puede iniciar a los estudiantes en la demostración matemática puesto
que Herrera (2003) considera que “El individuo puede pensar en términos abstractos y
manejar situaciones hipotéticas” (p. 17).
Para Vigotsky citado por Flores y Agudelo (2005) el aprendizaje se facilita gracias a la
mediación con otros, es social y cooperativo, donde interviene el aprendizaje individual y
el aprendizaje que se obtiene a través de lo que se puede hacer y aprender con ayuda de
otras personas (constructivismo social). Para Flores y Agudelo (2005) una de las
contribuciones de la teoría vigotskyiana es que: “el docente debe fomentar el diálogo, el
estudio cooperativo, el trabajo en equipo y las discusiones acerca de los contenidos
estudiados” (p. 23); en este sentido, dado que el taller representa un espacio para que el
docente pueda establecer una experiencia grupal en la cual los participantes interactúan
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entre sí en torno a una tarea específica, con un rol protagónico de los participantes en el
proceso de aprendizaje que allí se produce (Herrera, 2003), es posible tomar en cuenta
para el desarrollo de esta investigación los aportes de Vigotsky.
Por su parte Ausubel considera que el inicio del aprendizaje está en los conocimientos y
experiencias previas que tenga el sujeto y que se facilita mediante apoyos que logren
conducir a la construcción de puentes cognitivos entre lo nuevo y lo ya conocido.
Tomaremos en cuenta dos tipos de aprendizaje descritos por Egg (1996) citado por Flores
y Agudelo (2005): en primer lugar el aprendizaje por descubrimiento donde al
estudiante sólo se le da una parte de la información que se quiere enseñar, para que
luego él a través del análisis pueda descubrir sus propios aprendizajes; para ello en la
presente investigación se tomará en cuenta la técnica de resolución de problemas
geométricos, en donde a través del planteamiento de un problema geométrico el
estudiante va a descubrir hechos matemáticos por medio de la observación, el análisis o
la síntesis, que a su vez, le permiten argumentar y formular conjeturas. En segundo lugar
el aprendizaje significativo donde la nueva información se incorpora de manera
coherente y responde a una motivación personal que se produce cuando el alumno toma
parte activa en el proceso de construcción del conocimiento para así poderlo iniciar en el
contenido de la demostración matemática.
2.2.3 Marco teórico matemático.
2.2.3.1 La demostración Matemática.
La demostración matemática, consiste en el razonamiento lógico deductivo de una
proposición, que se realiza: partiendo de la hipótesis la cual está constituida por un
conjunto de condiciones que se suponen cumplidas para llegar a la tesis que es lo que se
requiere demostrar, utilizando definiciones, axiomas o proposiciones establecidas como
verdaderas. Podemos decir que esta definición se basa en el fundamento lógico formal,
Larios (2001) considera que este tipo de definiciones hace referencia a la demostración
como un producto terminado de la matemática; es importante tomar en cuenta que a lo
largo del tiempo los grandes matemáticos antes de publicar sus demostraciones
matemáticas transitaron por procesos previos de la demostración, donde se plantearon
15
conjeturas, se realizaron observaciones y análisis, se dieron argumentos, esos procesos
previos Cadenas y Rivas (2006) lo definen como “Heurística”.
Los argumentos heurísticos son de uso frecuente en la práctica de la matemática sin
embargo, estos argumentos no son tomados en cuenta como parte de la lógica formal, y
su importancia ha sido reconocida pocas veces en las corrientes filosóficas de la
matemática, a pesar del desempeño crucial que tienen en el descubrimiento matemático
(Rota, 1998). Este aspecto heurístico debe tomarse en cuenta para la enseñanza de la
demostración y es el punto de referencia de la presente investigación ya que es un
elemento de gran importancia para iniciar a los estudiantes en la demostración
matemática a través de la resolución de problemas geométricos.
Por medio de los argumentos heurísticos los estudiantes pueden plantear conjeturas, y es
importante que puedan realizar la demostración de sus conjeturas; una forma de lograrlo
es mediante una comprensión adecuada de los métodos de demostración. A continuación
se realizara una descripción teórica de los métodos que existen para elaborar la
demostración de una proposición.
Consideremos la siguiente proposición qp , existen diferentes métodos para
demostrarla, dentro de los cuales tenemos: método directo, método indirecto y método de
inducción.
1. Método directo: este método consiste, en que si la proposición p es verdadera, y se
puede deducir que qp es verdadera, entonces q es verdadera.
Ejemplo 1.1: Si a y b números naturales pares, entonces ba es un número natural
par.
Comencemos notando que la hipótesis es, a y b son números naturales pares, mientras
que la tesis es, ba es un número natural par. Ahora denotemos ap : y b son números
naturales pares y baq : es un número natural par. Ahora se presenta la demostración
en forma simbólica:
map 2 y nb 2 , para algunos números naturales m y n .
)(222 nmnmba y )(2 nm es un número natural.
kba 2 , con nmk natural ba es un número natural par q es verdadera
16
2. Método indirecto: se puede realizar de diferentes maneras, según el caso más
conveniente:
2.1 Reducción al absurdo: Tomaremos una respuesta informal pero sencilla propuesta
por el profesor Francisco Rivero en su libro: Reflexiones sobre la matemática y el mundo
que nos rodea.
Supongamos que algún enemigo mío anda diciendo por ahí que yo soy una vaca.
Entonces para refutar esto ante cualquier persona yo hago el siguiente razonamiento:
Supongamos que yo soy una vaca. Entonces yo debería tener un rabo y caminar en
cuatro patas. Como no tengo rabo y camino sobre mis dos pies, lo cual es indiscutible,
entonces soy un tipo de vaca absurda. Nadie ha visto una vaca sin rabo y caminando en
dos patas. Entonces lo que dice mi enemigo es falso. Por lo tanto yo tengo razón al
afirmar que no soy una vaca.
De manera formal para demostrar una proposición de la forma qp por reducción al
absurdo, se niega la tesis de la proposición que se quiere demostrar y se llega a una
contradicción con la hipótesis o con un hecho ya establecido previamente como verdad.
2.2 Contra recíproco: para demostrar una proposición de la forma qp , se puede
utilizar el contra recíproco el cual consiste en que: se niega la hipótesis y la tesis y luego
se contraponen es decir q p , para luego utilizar el método directo. Dado que:
q p y qp son lógicamente equivalentes, entonces demostrar q p es
equivalente a demostrar qp .
Ejemplo 2.2.1: Sea n un número entero. Si 2n es par, entonces n es par.
Primero denotemos 2: np es par y nq : es par. Entonces nq : no es par y
2: np no
es par. Demostraremos pq . Ahora que se presenta la demostración en forma
simbólica: nq es impar ,12 kn para algún número entero
1)22(2 22 kknk 122 mn
17
2.3 Contra ejemplo: para demostrar la negación de la proposición la forma qp , se da
un ejemplo que contradiga a la proposición qp .
Ejemplo 2.3.1: Sean np : es un número natural y nq : es divisible entre 2.
El condicional qp es falso, pues 1n es un número natural que no es divisible entre
2. En este caso 1n proporciona un contraejemplo que permite demostrar que dicho
condicional es falso.
2.4 Demostración por disyunción de casos: para demostrar una proposición de la
forma qp , lo que se requiere es determinar que q es verdadera, para ello el método
por disyunción de casos, permite que q pueda desglosarse en varias partes y se procede
a demostrar cada una de las parte para luego por medio de la síntesis concluir que q es
verdadera.
Ejemplo 2.4.1: Las proposiciones n número natural par 02 n y n número natural
impar 02 n son cada una verdadera. Por lo tanto 02 n es verdadera cuandon es un
número natural. De este modo, para demostrar que q es verdadera se procede
considerando los casos n par y n impar.
3. Demostración por inducción: este método se utiliza en el caso que se quiere
demostrar una proposición relativa al conjunto de los números naturales, el método
consiste en:
Una proposición es verdadera para cualquier Nn , sí se tiene que:
La proposición se cumple para 1n (inducción completa), o cualquier otro número
natural para el cual la proposición se cumpla (inducción Incompleta).
Admitir que se cumple como verdadera para kn
Demostrar que se cumple para 1 kn
Ejemplo 3.1: La proposición 2
)1(...21
nnn , es válida en el conjunto de los
números naturales N . En efecto:
Base inductiva:
Si 1n , entonces 2
)11(11
18
Si 2n , entonces 2
)12(221
Es fácil ver que la igualdad se cumple para 3n .
La igualdad también es valida para los números naturales menores que 100. ¿Cómo se
comprueba la validez de la igualdad para el caso 100n ?
Hipótesis inductiva: Se supone que la igualdad es cierta para el caso kn , con 1k .
Es decir, 2
)1(...21
kkk es verdadera.
Tesis inductiva: Hay que demostrar la igualdad para el caso 1 kn . Es decir:
Hay que demostrar que 2
1)1()1()1(...21
kkk es verdadera. Para ello
comenzaremos notando que )1(...21)1(...21 kkk .
Luego 2
1)1()1()1(
2
)1()1(...21)1(...21
kkk
kkkkk
Por lo tanto la igualdad es cierta para 1 kn .
Es importante destacar que dentro de las estrategias de resolución de los problemas que
se incluyen en el manual, se emplean de manera implícita, por lo menos algún método de
demostración señalado anteriormente.
2.2.4 Contexto curricular.
La creación del manual de un taller para iniciar a estudiantes en la demostración
matemática, esta en concordancia con los programas de las asignaturas Matemática I,
Geometría I y Fundamentos del Álgebra propuesto en la Facultad de Humanidades y
Educación de la Universidad de Los Andes, esto debido a que el contenido demostración
matemática está ubicado entre los temas a enseñar en los programas.
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MATEMÁTICA I
TEMA 1. FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA.
1.1- Visión general de las Matemáticas: aritmética, álgebra y cálculo; reseñas
históricas sobre la génesis del pensamiento matemático. Matemática y
pensamiento lógico.
1.2- La deducción Matemática.
19
1.3- La demostración en Matemáticas: esquema general. La demostración,
axiomas y teoremas.
1.4- Métodos de Demostración.
1.5- Principio de Inducción Completa: el método de recurrencia.
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA GEOMETRIA I
TEMA 1. LAS PROPOSICIONES GEOMÉTRICAS.
1.1- Nociones de lógica: proposiciones, clasificación y operaciones.
1.2- Axiomas, condiciones que debe cumplir un sistema de axiomas.
1.3- Postulados.
1.4- Teoremas, estructura. Clases. Métodos de demostración.
1.5- Corolarios y lemas.
1.6- Definiciones, clases. Condiciones de una definición.
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA FUNDAMENTOS DE ALGEBRA
TEMA1. Conceptos - Principios y Demostraciones en Matemática.
1. Enunciados Matemáticos y sus demostraciones.
2. Componentes de una proposición o teorema. Lemas y corolarios.
3. Condiciones necesarias y suficientes. Recíprocos y contrarrecíprocos.
4. Demostraciones directas y demostraciones por contradicción o por
reducción al absurdo. Contraejemplos y conjeturas.
5. Intuiciones geométricas y “pruebas gráficas”.
6. Paradojas.
7. Otras Demostraciones.
Así pues, la elaboración del taller está dentro de los parámetros legales, y permite dar
diversidad a los recursos didácticos que pueden ser utilizados para la enseñanza de la
demostración matemática, permitiendo que el docente tenga flexibilidad en las estrategias
didácticas que él utiliza para la enseñanza de dicho contenido.
20
CAPÍTULO 3
Marco metodológico.
3.1 Tipo de investigación.
La presente investigación tuvo por finalidad el diseño de un manual para un taller que
permita iniciar en la demostración matemática, a través de la resolución de problemas
geométricos, a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención
Matemática de la Universidad de Los Andes, la misma consistió en una investigación
proyectiva bajo el criterio propuesto por Hurtado (2007), ya que el diseño del manual
pretende dar solución a la problemática de un grupo de estudiantes en torno al
aprendizaje del contenido demostración matemática, la investigación se llevo acabo a
partir de la selección de un conjunto de problemas geométricos, luego se creó el manual
de taller y por ultimo se validó.
3.2 Diseño de la investigación.
Hurtado (2007), explica que el diseño de la investigación consiste en dar a conocer los
aspectos operativos de la investigación, si el tipo de investigación se define con base en
el objetivo, entonces el diseño se define con base en el procedimiento. En función de lo
antes expuesto se puede definir el diseño de la investigación como un diseño
contemporáneo transeccional univariable, ya que la búsqueda de la información se
realizó en un tiempo estipulado, centrado en la enseñanza de la demostración matemática
como evento de estudio y de fuente mixta puesto que la información que se obtuvo para
la selección de los problemas se realizó mediante la revisión documental, y la información
para la validez del taller, fue de fuentes vivas en su contexto natural.
3.3 Definición de eventos.
Evento a modificar: El diseño de un taller para iniciar en la demostración matemática a
través de la resolución de problemas geométricos, persigue principalmente el
mejoramiento del aprendizaje de la demostración matemática.
21
Proceso generador: Deficiencias al momento de realizar una demostración matemática
por parte de los estudiantes que cursan el primer semestre de Educación matemática de
la Universidad de Los Andes.
3.4 Población y muestra.
Hurtado (2007), considera que si la población es conocida no hace falta realizar un
muestreo, por lo tanto la población será igual a la muestra, así pues la presente
investigación estuvo compuesta por dos tipos de población: en primer lugar para la
selección de los problemas geométricos la población estuvo compuesta por cuatro texto
de resolución de problemas matemáticos, cuyos autores son:1) Santos Luz Manuel, 2)
perelmann Y, 3) Bertrán, C. y García, 4) Edwin M. Hemmerling; en segundo lugar para la
validez del diseño del manual para el taller la población estuvo compuesta por cinco
docentes especialista en matemática de la Universidad de los Andes específicamente de
la Facultad de Humanidades y Educación.
3.5 Técnicas e instrumentos de recolección de datos.
Para realizar esta investigación se requirió de la recolección de datos, Hurtado (2007)
considera que el investigador debe seleccionar las técnicas y los instrumentos los cuales
permitan conseguir información para desarrollar la investigación. Con la finalidad de
alcanzar los objetivos planteados en la presente investigación se utilizó como técnica de
recolección de datos la revisión documental a través de la matriz de categorías para la
selección de los problemas geométricos. Por otro lado para validar el taller tomando en
cuenta los juicios de los expertos en educación mención matemática, la técnica que se
utilizó fue la encuesta a través de un instrumento de validación de contenido. Según Arias
(2005) la encuesta consiste en un conjunto de preguntas (instrumento de validación de
contenido) que se suministra al encuestado por medio de un formato de papel que puede
ser autoadministrado puesto que el entrevistado pude responder sin la presencia del
encuestador. Así pues el cuestionario fue pertinente para recoger la información necesaria
para la validez del manual que se diseñó.
22
3.6 Procedimiento.
Primera parte: Inicialmente se realizó una matriz de registro que permitió seleccionar los
problemas geométricos que fueron tomados en cuenta para el diseño del manual para el
taller, posteriormente se realizó una revisión documental, usando a su vez la matriz de
categorías. Segunda parte: Se elaboró el manual para el taller, tomando en cuenta como
estrategia didáctica la resolución de problemas geométricos. Posteriormente se diseñó y
validó un cuestionario con la finalidad de validar el diseño del manual para el taller.
Tercera parte: Se aplicó el cuestionario, tomando en cuenta los juicios de expertos en
Educación Mención Matemática, para validar el manual para el taller. Cuarta parte: Se
realizó el análisis de los resultados obtenidos, conclusiones y recomendaciones.
3.7 Tipo de análisis a utilizar
El análisis de los resultados que se obtuvieron, para la selección de los problemas
geométricos se realizó por medio de análisis de contenido a través de la matriz de
registro, y para la validación del taller se realizó por medio de la estadística descriptiva,
utilizando: frecuencias. Tomando en cuenta los siguientes criterios de validación:
Presentación del manual; Pertinencia del manual; Concordancia del manual; Factibilidad
de la aplicación; Claridad conceptual en el enunciado de los problemas; Secuencia en la
evaluación;
23
CAPÍTULO 4
Resultado del diagnóstico.
4.1 Antecedentes del estudio.
Inicialmente se diseñaron como instrumentos de recolección de datos un cuestionario y
una prueba diagnóstica, para luego aplicarlos a docentes y estudiantes respectivamente
en La Universidad de los Andes específicamente en la Facultad de Humanidades y
Educación. La prueba fue validada a través de apreciación cualitativa ver (Anexo), con
una validez del 93%. La finalidad principal de la prueba diagnóstica fue determinar los
conocimientos que tienen los estudiantes en torno al aprendizaje de la demostración
Matemática. La prueba fue aplicada a cuarenta y tres estudiantes que cursan la
asignatura Geometría I (sección única) del segundo semestre (B-2008) de Educación
Mención Matemática. La misma constó de cuatro ítems; los ítems uno y dos se refieren a
resolución de problemas geométricos de propiedades de triángulos y equivalencias de
áreas respectivamente, en los mismos los estudiantes debían argumentar sus respuestas
(problemas predemostrativos). Por su parte los ítems tres y cuatro referentes también a
problemas de tipo geométricos de equivalencias de áreas, en los mismos los estudiantes
debían realizar la demostración matemática de cada uno de los ítems (problemas de
demostración Matemática). El análisis de los resultados obtenidos se realizó por medio
de estadística descriptiva y análisis cualitativo, con la intención de identificar las
dificultades que los estudiantes presentan al momento de desarrollar una demostración
Matemática.
El 5% de los estudiantes respondieron correctamente el ítem número uno
predemostrativo, donde los estudiantes, partieron del hecho de que la suma de los
ángulos internos de un triángulo es 180 grados y resolvieron el problema utilizando
valores numéricos, deduciendo que la suma de los ángulos externos de un triángulo es
360 grados. El 95% restante respondió incorrectamente el ítem número uno
predemostrativo donde debían formular argumentos que sustentara el ítem, de los
estudiantes que respondieron incorrectamente, el 24% no respondió nada, el 34% logró
construir únicamente la figura que se les pedía sin dar ningún tipo de argumento y el 42%
logró construir la figura y formular argumentos tales como: La suma de los ángulos
externos de un triángulo es 180 grados, la suma de los ángulos internos de un triángulo
24
es 180 grados, los ángulos internos y externos son iguales, lo cuál no les permitió resolver
el problema. El 5% de los estudiantes respondió correctamente el ítem número dos
predemostrativo, reconociendo que el problema se abordaba a través de la equivalencia
de áreas de cuadrados y rectángulos. Por su parte el 95% de los estudiantes respondió
incorrectamente el ítem número dos predemostrativo donde debía formular argumentos
que sustentaran el mismo. De los estudiantes que respondieron incorrectamente, el 51%
no respondió nada, mientras que el 29% expresaban la interpretación algebraica
argumentando que era un producto notable, sin embargo la pregunta pedía la
interpretación geométrica y el 20% restante logró construir únicamente la figura
geométrica sin dar ningún tipo de argumento.
El 100% de los estudiantes no realizó la demostración del problema propuesto en el ítem
número tres, sin embargo se pudo determinar que el 88% no respondió nada y el 12%
restante respondió incorrectamente. Por otro lado el 100% de los estudiantes no realizó la
demostración del ítem número cuatro (teorema de Pitágoras), se pudo determinar que el
75% no respondió nada y el 25% restante respondió incorrectamente. La dificultad que se
pudo observar en todos los estudiantes que respondieron incorrectamente los ítems tres
y cuatro es que no reconocen en un teorema la hipótesis y la tesis, elementos de gran
importancia para poder determinar el método que se utilizará para abordar una
demostración.
Se pudo notar que el 97.5 % los estudiantes poseen deficiencias para resolver problemas
predemostrativos y realizar demostraciones. En función a los resultados deficientes se
diseñó un cuestionario mixto con una validez del 73% a través de apreciación cualitativa
ver (Anexo). El cuestionario se aplicó a diez docentes especialistas en matemática de la
Facultad de Humanidades y Educación, el mismo consta de 8 ítems para indagar sobre
las estrategias didácticas que los docentes aplicaron en la enseñanza de la demostración
matemática. Al consultar a los docentes sobre los inconvenientes que tienen los
estudiantes al momento de él enseñar el tema demostración matemática y en qué etapa
de la elaboración de una demostración el estudiante tiene mayor dificultad, el 50% cree
que el problema más observado en los estudiantes a la hora de trabajar en el tema
demostración matemática, es que los estudiantes no han visto el tema antes, mientras
que el otro 50% cree que los estudiantes además de no haber visto el tema antes,
muestran poco interés y no dominan los contenidos matemáticos previos. En relación con
25
las etapas en la que los estudiantes tienen dificultad, el 40% cree que es en la
argumentación, mientras que el otro 40% cree que en la argumentación y el análisis, y el
20% restante cree que es en la argumentación, análisis y formulación de conjeturas. Por
otro lado, cuando se les preguntó a los docentes si consideran que se debe enseñar la
demostración matemática en la carrera Educación Mención Matemática y si se debe
iniciar a los estudiantes en la demostración matemática, el 100% de los docentes creen
que es importante la enseñanza de la demostración matemática a estudiantes que cursan
la carrera, argumentando que: deben poseer los principios demostrativos para luego
poseer la herramienta para la enseñanza de la matemática, la demostración matemática
es un medio que permite afianzar y consolidar los contenidos matemáticos, permite
adquirir la capacidad y habilidad para razonar de manera lógica. A su vez el 100% de los
docentes encuestados se refieren a que se debe iniciar a los estudiantes en la
demostración matemática, expresando que: el inicio debe partir del hecho de que la
demostración es accesible para el estudiantado, pues involucra procesos y etapas previas
que no son del todo ajenas a la forma de pensar y razonar de ellos; la demostración
matemática requiere de una madurez necesaria; en el segundo semestre los estudiantes
encuentran dificultades al pasar de la asignatura Matemática Básica a Geometría I,
debido a que en matemática básica no se enseña la demostración matemática mientras
que en Geometría I se parte del hecho de que los estudiantes ya realizan demostraciones,
razón por la cual se debe mediar esa situación en el primer semestre.
Al preguntar a los docentes en qué contenido matemático se adapta mejor la enseñanza
de la demostración matemática, se pudo determinar que el 40% de los docentes
consideran que el área de la matemática donde mejor se adapta la enseñanza de la
demostración es en Geometría, puesto que le permite la visualización, elemento
importante para realizar demostraciones. Mientras que el 60% considera que la
demostración matemática se adapta a la geometría, al álgebra y a la aritmética,
argumentando que hay proposiciones que se pueden demostrar en las tres áreas. Por
otro lado al preguntarles a los docentes sobre las estrategias didácticas que utilizan para
la enseñanza de la demostración, el 100% utilizan la resolución de problemas como
estrategia didáctica. Por su parte de los docentes que utiliza como estrategia didáctica la
resolución de problemas, el 40% creen que los problemas geométricos son de gran
importancia para iniciar a los estudiantes en la demostración matemática, el 20%
problemas de la vida cotidiana, otro 20% consideran a ambos es decir problemas
26
geométricos y problemas de la vida cotidiana, el 20% restante considera los problemas
geométricos, problemas de la vida cotidiana, ejercicios, además de proponer otras
actividades en grupo como talleres.
4.2 Diagnóstico de necesidades.
Al consultar a los docentes en que etapa de la elaboración de una demostración el
estudiante tiene mayor dificultad, el 40% cree que es en la argumentación, mientras que
el otro 40% cree que en la argumentación y el análisis, esto se ve reflejado en la prueba
diagnóstica aplicada a los estudiantes, ya que el 95% de los estudiantes respondió
incorrectamente los ítems uno y dos (Problemas predemostrativos), donde solo el 35,5 %
de los que respondieron incorrectamente formularon argumentos, sin embargo los
argumentos presentados por los estudiantes no fueron correctos. Por su parte los
docentes consideran de gran importancia la enseñanza de la demostración a estudiantes
que cursan la carrera de Educación Mención Matemática argumentando que: la
demostración matemática requiere de una madurez necesaria; en el segundo semestre
los estudiantes encuentran dificultades al pasar de la asignatura Matemática Básica a
Geometría I, debido a que en Matemática Básica no se enseña la demostración
matemática mientras que en Geometría I se parte del hecho de que los estudiantes ya
realizan demostraciones, razón por la cual se debe mediar esa situación en el primer
semestre.
Por otro lado el 50% de los docentes creen que uno de los principales problemas que
poseen a la hora de trabajar en el tema demostración matemática, es que los estudiantes
no han visto el tema antes, muestran poco interés y no dominan los contenidos
matemáticos previos, de igual manera esto se ve reflejado en la prueba ya que el 100%
de los estudiantes no realizaron la demostración de los ítems tres y cuatro (problemas de
demostración Matemática), donde el 18,5 % de los estudiantes lograron responder, sin
embargo los argumentos no fueron correctos, lo cual nos permite verificar que los
estudiantes no dominan aspectos fundamentales de la demostración matemática. Al
respecto, los docentes creen que se debe iniciar a los estudiantes en la demostración
matemática utilizando como estrategia didáctica la resolución de problemas: el 40% creen
que los problemas geométricos son de gran importancia para iniciar a los estudiantes en
la demostración matemática, el 20% problemas de la vida cotidiana, otro 20% consideran
27
a ambos es decir problemas geométricos y problemas de la vida cotidiana, el 20%
restante considera los problemas geométricos, problemas de la vida cotidiana, ejercicios,
además de proponer otras actividades en grupo como talleres, tomando en cuenta que el
área de la matemática donde mejor se adapta la enseñanza de la demostración es en
Geometría, puesto que le permite la visualización, elemento importante para realizar
demostraciones, mientras que otro grupo de docentes consideran que la demostración
matemática además de la geometría se adapta también al álgebra y a la aritmética,
argumentando que hay proposiciones que se pueden demostrar en las tres áreas.
4.3 Evaluación de las condiciones actuales y explicaciones tentativas.
En función de lo antes expuesto, se puede deducir que el problema gira en torno al
aprendizaje del contenido demostración matemática, en los estudiantes que cursan el
segundo semestre de Educación Mención Matemática. Posiblemente se debe a: que los
estudiantes de Bachillerato se les enseña una matemática basada en procedimientos
algorítmicos y de cálculo sin enseñarles los aspectos relevantes de la deducción e
inducción y poderlos iniciar en la demostración matemática. Al respecto algunos docentes
creen que esta problemática se debe a que los estudiantes no han visto el tema antes,
mientras que el otro grupo de docentes cree que los estudiantes a demás de no haber
visto el tema antes, muestran poco interés y no dominan los contenidos matemáticos
previos.
4.4 Posibles tendencias futuras.
Con los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica aplicada a los estudiantes y en el
cuestionario aplicado a los docentes, se pudo detectar como problema el poco
conocimiento de los estudiantes en torno a la demostración matemática, en función de
esta problemática se debe tener en cuenta que: a lo largo de todo el estudio de pre-grado
el estudiante de Educación mención Matemática tiene que cursar asignaturas en las áreas
que conforman la carrera, en las cuales tendrá que realizar demostraciones de teoremas
o proposiciones que fundamentan el quehacer matemático de la carrera, y si no tienen
los conocimientos para realizar una demostración , se verá en dificultades a lo largo del
desarrollo de toda su carrera.
28
4.5 Síntesis diagnóstica.
Con los datos recabados, sobresale la deficiencia presente en los estudiantes en torno a
la demostración matemática, posiblemente porque no han visto el tema antes, tomando
en cuenta también que en bachillerato no adquirieron estos conocimientos, necesarios
para abordar la demostración matemática. Esto podría traer como consecuencia que el
estudiante de Educación Mención Matemática no domine los diferentes contenidos de las
asignaturas que conforman la carrera en las cuales tendrá que realizar demostraciones de
teoremas o proposiciones.
29
CAPITULO 5
Presentación de la propuesta.
“Manual de un taller para iniciar a estudiantes que cursan el primer semestre de
Educación Mención Matemática de la ULA en la demostración matemática a través
de la resolución de problemas geométricos”
5.1 Justificación.
Como puede observarse en el capitulo IV (antecedentes del estudio), el 97,5 % de
estudiantes que cursan la asignatura geometría I (segundo semestre) de Educación
Mención Matemática, poseen deficiencias para resolver problemas predemostrativos y
realizar demostraciones. Esto nos lleva a reflexionar y atender tan importante
problemática (realizar demostraciones), para abordar dicha problemática se pueden tomar
en cuenta diferentes programas didácticos como: cursos, talleres, software educativos y
propuestas de enseñanzas expositivas. Sin embargo es importante tomar en cuenta que
el programa didáctico permita la interacción entre el docente (facilitador) y los estudiantes
y que se privilegie el constructivismo como estrategia de aprendizaje. En los cursos,
software y propuestas de enseñanza expositivas la interacción entre el docente
(facilitador) y los estudiantes no se presenta de manera reciproca ya que el docente dirige
y desarrolla de manera directa estos programas, mientras que el taller representa un
espacio para que el docente (facilitador) pueda establecer una experiencia grupal en la
cual él y los participantes interactúan entre sí en torno a una tarea específica (la
resolución de problemas geométricos), con un rol protagónico de los participantes en el
proceso de aprendizaje que allí se produce (Herrera, 2003), así pues las ideas que se
discuten ayudan a crear una comunidad matemática entre los estudiantes y el docente.
Por tal motivo, podemos decir que la presente guía del taller fundamentada en la
resolución de problemas geométricos tiene como finalidad el alcance de unos objetivos,
dentro estos sobresale el iniciar en la demostración matemática a los estudiantes que
cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática, con el fin de que en el
salón de clases se ofrezcan oportunidades a los estudiantes para reconstruir o desarrollar
ideas matemáticas. Se pretende que los mismos a través de la solución de los problemas
30
que se plantean, transiten por un proceso de: observación, análisis, argumentación y
formulación de conjeturas, un enfoque que permite poner en acción sus pensamientos.
5.2 Finalidad y metas del manual.
Las finalidades y metas del manual están contenidas en los siguientes objetivos:
5.2.1 Objetivo General.
Iniciar en la demostración matemática a estudiantes que cursan el primer semestre de
Educación Mención Matemática de la ULA a través de la resolución de problemas
geométricos.
5.2.2 Objetivos Específicos.
Resolver los problemas geométricos que permitan transitar por un proceso de:
observación, análisis, argumentación y formulación de conjeturas
Desarrollar estrategias de resolución de problemas
Evaluar los aspectos y contenidos de los problemas trabajados con los estudiantes
5.3 Fases. Funcionamiento. Descripción del manual.
Tabla 1. Actividades planificadas para el desarrollo del contenido del taller.
Sesión Nº Unidad Actividades planificadas
1
2
I
II
Resolución de problemas que están vinculados con: concepto
de área, representación geométrica de productos notables,
ángulos externos de un triángulo.
Resolución de problemas que están vinculados con: concepto
de área, definición de mediatrices, circulo, clasificación de
cuadriláteros.
31
NOTA: Cada sesión para desarrollar cada unidad tiene una duración de dos horas
académicas.
Es importante destacar que los problemas geométricos que fueron tomados en cuenta
para ser plasmado en el manual del taller se seleccionaron a través de una matriz de
registro, problemas de tipo heurístico que permitan al estudiante: visualizar, en el cual la
construcción gráfica del problema se presenta de manera directa o permite que el
estudiante realice la construcción de la misma; analizar, que el problema sea susceptible
de ser tratado por descomposición incluye el considerar casos particulares, u otras
estrategias heurísticas mencionadas explícitamente o implícitamente; formular
argumentos y plantear conjeturas, que conlleva a la formulación de argumentos
matemáticos. Así pues con la matriz de registro se seleccionaron 16 problemas
geométricos que se desarrollaron (estrategia de resolución) en la elaboración del manual
para el taller, los mismos se clasificaron en:
Primer nivel: Son aquellos que, su enunciado se presenta de manera clara, los datos
que en ellos aparecen son suficientes para su resolución, requieren del estudiante
observación y la argumentación.
Segundo nivel: Son aquellos que, su enunciado se presenta de manera clara, contiene
una serie de instrucciones para su resolución, requieren del estudiante observación,
análisis y la argumentación y formulación de conjeturas.
Sesión Nº Unidad Actividades planificadas
Resolución de problemas que están vinculados con: Figuras
geométricas que sirven para ilustrar de modo muy sencillo
relaciones aritméticas muy complejas que pueden ser
demostradas por el por el método de inducción, relaciones
entre áreas y perímetro en un rectángulo.
Resolución de problemas que están vinculados con: áreas de
rectángulos y propiedades de triángulos, los cuales requieren
de pruebas matemáticas formales
3 III
4 IV
32
Tercer nivel: Son aquellos que, su enunciado solicita una prueba formal matemática,
requieren del estudiante observación, análisis y la argumentación.
5.3.1 Funcionamiento del taller.
En la primera sesión los problemas geométricos de primer nivel serán los que se aborden
en el desarrollo de la Unidad I, inicialmente se trabajara de manera intensiva a nivel oral y
se darán las instrucciones del taller. Posteriormente se realizará el primer problema de
manera conjunta entre los alumnos y el profesor/a (facilitador/a), la elaboración del primer
problema debe ser menos de treinta minutos, de manera tal que los estudiantes se vayan
familiarizando con la forma de trabajo y el tipo de actividades al momento de resolver los
problemas planteados. Posteriormente se darán a los estudiantes treinta minutos para
que resuelvan los problemas planteados, una vez culminado los treinta minutos no podrán
realizar ninguna modificación a las respuestas de los problemas que ellos resolvieron, se
reunirán para discutir las soluciones de manera grupal, el esquema de trabajo será mixto
entre los estudiantes y el profesor/a (facilitador/a). Al final de la sesión cada estudiante le
entregará al profesor/a (facilitador/a) la hoja con los problemas que resolvieron.
En la segunda y tercera sesión los problemas geométricos de segundo nivel serán los que
se aborden en el desarrollo de la Unidad II y la Unidad III respectivamente; en la cuarta
sesión los problemas de geométricos con los que se trabajarán serán los del tercer nivel
para abordar la Unidad IV. La metodología de las tres sesiones restantes será análoga a
la sesión uno; se darán a los estudiantes cincuenta minutos para que resuelvan los
problemas planteados, una vez culminado el tiempo no podrán realizar ninguna
modificación a las respuestas de los problemas que ellos resolvieron, se reunirán para
discutir las soluciones de manera grupal, el esquema de trabajo será mixto entre los
estudiante y el profesor/a (facilitador/a). Al final de la sesión cada estudiante le entregará
al profesor/a (facilitador/a) la hoja con los problemas que resolvieron
33
5.4 Personal Requerido. Recursos utilizados. Estudio de costos y financiamiento.
Tabla 2.
Recursos Humanos y Materiales necesarios para su puesta en práctica y estudio de
costos
Recursos Descripción Costo Bs.
Humano
Docentes (Facilitadores)
Estudiantes
Lic. Educ. Matemática
Educación Matemática
0
Materiales
Propuesta (1 ejemplar
por estudiante)
Marcadores
Juego de escuadra,
compás, etc.
Para el desarrollos de las
actividades
Anotaciones
Para el desarrollos de las
actividades
10
10
10
Total: 30
34
5.5 Descripción del manual.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA.
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.
TALLER PARA INICIAR EN LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Resolución de problemas geométricos
INSTRUCCIONES
En el presente taller se tomaran en cuenta unas estrategias de resolución de problemas
las cuales están compuestas por el uso de métodos heurísticos: visualización, análisis,
formulación de argumentos y plantear conjeturas; Algunos ejemplos incluyen:
Usos de diagramas.
Tablas u otras representaciones.
Descomposición de un problema en partes más simples.
El empleo de casos particulares.
Búsquedas de patrones, todo esto sin perder el norte de la argumentación matemática
valida.
Así pues, amigo estudiante en el proceso de resolución de problemas se requiere de una
actividad mental que se pone en funcionamiento desde el momento en que se nos
presenta el enunciado y lo asumimos como un reto. Es muy importante que tengan una
disposición abierta hacia los problemas, se tomen el trabajo con tranquilidad, se
concentren en la lectura del enunciado y se dispongan a intercambiar opiniones en el
tiempo que se requiera.
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA.
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.
TALLER PARA INICIAR EN LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Resolución de problemas geométricos
35
a
2aa
b
b
a b
b
a
2bab
ab
ab
2a ab
2b
2)( ba
Unidad I
PROBLEMA 1: ¿Es posible representar geométricamente la siguiente igualdad?
222 2)( bababa
Sugerencia: Toma una hoja de papel, dibuja un cuadrado que la medida de sus lados sea ba
Estrategia de resolución.
Para hacer una interpretación geométrica de la de la siguiente igualdad tomamos un cuadrado de
lado ba
ba
ba = =
Geométricamente:
Se puede observar que el área de
un cuadrado de lado ba , es
igual al área de un cuadrado de lado a más el área conjunta de
dos rectángulos de lados a y b , más el área de un cuadrado de
lado b (ver figura 1.)
Figura 1. Interpretación geométrica de la igualdad 222 2)( bababa .
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA.
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.
TALLER PARA INICIAR EN LA DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA
Resolución de problemas geométricos
36
A
B
C
R
P
Q
Repaso: Sabemos que la suma de las medidas de ángulos internos de un triángulo es 180º
PROBLEMA 2: Construye un triángulo de vértices A, B, C ( CBA ,, ) y los ángulos externos
CBP , ACQ y BAR ¿Qué puedes decir de la suma de las medidas de dichos ángulos?
Explica por qué.
Estrategia de resolución.
(1) ?
(2) 180 La suma de las medidas de ángulos internos de un triángulo
es 180 .
(3) 180 180 (6) Por formar un ángulo suplementario.
(4) 180 180 (7) Por formar un ángulo suplementario.
(5) 180 180 (8) Por formar un ángulo suplementario.
Sustituyendo las ecuaciones (6), (7),(8) en la ecuación (2) Tenemos:
360180180180180
La suma de los ángulos externos de
un triángulo es 360
360
Figura 2.
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37
A
B
C
R
P
Q
(1) ?
(2) 180 La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180 .
(3) 180 180 (6) Por formar un ángulo suplementario.
(4) 180 180 (7) Por formar un ángulo suplementario.
(5) 180 180 (8) Por formar un ángulo suplementario.
Sustituyendo las ecuaciones (6), (7),(8) en la ecuación (2) Tenemos:
360180180180180
Estrategia de evaluación.
Tabla 3.Apreciación cualitativa de la solución de los problemas presentados por los estudiantes
Puntos Trabajo realizado por los estudiantes
D Hoja en blanco, nada de trabajo o ideas sin relación
C Visualiza, identifica los datos sin procedimientos o con estrategias no claras
B Existe un plan claro y apropiado argumentando y analizando, sin resolver el problema
A Solución clara y completa con argumentos matemáticos validos
C Visualiza, identifica los
datos.
NOTA: La estrategia de
evaluación y la tabla 3 se
presentarán más adelante
en la propuesta de
evaluación en la resolución
de los problemas
geométricos Figura 2.
B Existe un plan claro y
apropiado argumentando
y analizando.
A Solución clara y completa
con argumentos validos y posible conjetura.
La suma de los ángulos externos de un triángulo es
360
360
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Repaso: Triángulos con la misma base y altura tienen la misma área
PROBLEMA 3: A María Alejandra y Ana Corina, dos de las personas que están custodiando el
terreno de la avenida las Américas, el gobierno les otorgo terrenos adyacentes con un borde como
se muestra en la figura 4.
María Ana
Buscar una manera de redibujar el borde con una sola línea de tal manera que las áreas de los
terrenos no cambien.
Estrategia de resolución.
Dibujar dos segmentos paralelos, uno que pase por los puntos A, B y otro por el punto C, D, E
como se muestra en la figura 5. Para la solución de este problema se toma como referencia el
repaso descrito anteriormente, triángulos con la misma base y altura tienen la misma área. En la
figura se observan tres triángulos ABC , ABD y ABE , tomando como base el segmento
AB , tenemos que los tres triángulos tienen la misma área, con lo cual la solución viene dada las
líneas de color amarillo y anaranjado.
María. Ana.
A
B
C
E
D
Figura 3.
Figura 4.
Figura 5.
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39
Repaso: En una circunferencia se pueden inscribir polígonos regulares de n lados
PROBLEMA 4: Considera el conjunto de cuadriláteros inscritos en el semicírculo, con un lado
sobre el diámetro. Un ejemplo de tal cuadrilátero se muestra en la figura. De todos los
cuadriláteros que pueden inscribirse, ¿Cuál es el cuadrilátero que tiene mayor área?
Estrategia de resolución.
Consideremos que uno de los lados del cuadrilátero sea el diámetro de la semicircunferencia, ahora bien
tomemos a los polígonos regulares que pueden inscribirse en una circunferencia que tenga el mismo diámetro
que el semicírculo
Polígono regular
Cuadrilátero
Para este caso no se puede tomar
como un lado del cuadrilátero el
diámetro de la semicircunferencia
Pentágono
Para este caso no se forma un
cuadrilátero en la
semicircunferencia
Hexágono
Este es el caso que conviene
porque presenta mayor cobertura
de área
B
C
D A
Figura 6.
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40
Unidad II
PROBLEMA 1: Dos cuadrados que tienen las mismas dimensiones, uno fijo y otro móvil, se
colocan según se muestra en la figura. El Cuadro móvil gira libremente teniendo como pivote al
punto M, que es el centro del cuadrado fijo. ¿En qué posición hay la máxima área entre los dos?
Estrategia de resolución.
Para este caso el área será un cuarto
del cuadrado fijo
Para este caso el área será un cuarto del cuadrado fijo
P
N B
M
D
A
O
C
A
Los casos especiales se pueden
identificar al dibujar los cuadrados
dónde el área que se busca sea
fácil de calcular.
M
A
B C N
D
A P
O
A
B C
D
M N
O P
Figura 7.
Figura 7.1.
Figura 7.2.
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41
.A
A
B.
A l
c
A
Figura 8.
.A
A
B.
A l
c
A
Figura 8.1.
.A
A
B.
A l
c
A
F
.A
A
B.
A l
c
A F
B.
A l
c
A
S
F
.A
A
Figura 8.2.
Figura 8.3. Figura 8.4.
Repaso: Dado cualquier triángulo ∆ ABC, las mediatrices correspondiente a los tres lados se
cortan en un punto al que denominaremos circuncentro.
PROBLEMA 2: Se dan dos puntos arbitrarios A y B, una línea recta l y un círculo c, como se
muestra en la figura 8. Explica cómo construir un circulo S que pase por A y B y que su cuerda
común con c sea paralela a l.
Estrategia de resolución.
Comenzaremos por construir con regla y compás la
mediatriz de AB
Trazaremos una cuerda F que sea paralela a l
Ahora construimos la mediatriz de la cuerda F Finalmente el círculo s
Para la solución de este problema se toma como referencia el repaso descrito anteriormente, ya que la intersección de las dos mediatrices representa el centro del círculo
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PROBLEMA 3: Construya, cuando sea posible (Justifica el por qué cuando no exista tal
construcción), el cuadrilátero que cumpla las siguientes condiciones pedidas: a) Ningún ángulo
recto y ningún par de lados paralelos; b) Ningún ángulo recto y un par de lados paralelos; c)
Ningún ángulo recto y dos pares de lados paralelos; d) Así sucesivamente.
Número de ángulos rectos
Número de pares de lados paralelos
0 1 2
0
1
2
3
4
Una tabla ayuda a presentar la solución
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Estrategia de resolución.
Número de
ángulos rectos
Número de pares de lados paralelos
0 1 2
0
1
Imposible Imposible.
El argumento de los
ángulos interiores es
también apropiado
2
Imposible.
Ángulos interiores
3
Imposible. Imposible. Imposible.
Para estos tres casos supongamos que un cuadrilátero tiene tres ángulos
rectos 270390 , ahora bien por su parte la suma de los ángulos internos
de un cuadrilátero es 360 , con lo cual 90270360 , así el ángulo que
falta debe ser un ángulo recto.
4
Imposible. Imposible.
Por tener cuatro ángulos rectos cualquiera de los
lados siempre tendrá dos lados perpendiculares y por
ende los lados opuestos son paralelos
Ángulos Interiores
180ba Así, b y a
Son ángulos rectos
a b
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44
A
B
C
. b c
P
a
a2
h1
aAPBárea
2
h2
aBPCárea
6
H
22
H
aPaAPCárea
aABCárea
Figura 9.
A
B
C
b c. P
Ph
h1
h2
Figura 9.1.
2
P
aAPCárea
36
H
2
HP
aPa
a
H
PROBLEMA 4: En el triángulo ∆ ABC de la figura, determinar el punto P de manera que las áreas
de los tres triángulos con vértice en p tengan áreas iguales.
Estrategia de resolución.
El área de cada uno de los tres triángulos que se forman en la figura 9.
tendrá como valor 1/3 del área del ABC . Así, el triángulo
El punto p está a 1/3 de las bases sobre las alturas
Con lo cuál
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Unidad III
PROBLEMA 1: Considere los siguientes cuadrados:
La primera figura muestra un cuadrado. Encuentre el número de cuadrados en cada una de las
otras figuras y registre los datos. Elabore una tabla de registro con el número de cuadrados. La
tabla debe mostrar la relación entre el número de unidades en el lado del cuadrado y el número de
cuadrados que hay. Denote por n el número de unidades en el lado del cuadrado. Después de
llenar la tabla ¿Existe alguna regla definida?, ¿Se puede predecir el número de cuadrados que hay
cuando n = 4, cuando n = 5, o cuando n es cualquier número natural? De ser posible conjeture
alguna fórmula que permita contar el número de cuadrados si se conoce el número de unidades en
el lado.
Figuras 10.
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46
Estrategia de resolución.
Tabla 1. Registro de los números de cuadrados
Para 4n tenemos 304321 22224
1
2 i
i
Para 5n tenemos 5554321 222225
1
2 i
i
En general, se puede demostrar por inducción matemática que para cualquier cuadrado nn el
número de cuadrados es:
6
)12)(1(
1
2
nnni
n
i
(n) Número de cuadrados
1 1
2 5
3 14
4 30
. .
. .
n
n
i
i1
2
La regla definida viene dada por elevar al cuadrado la unidad y elevar al cuadrado cada uno de los valores siguientes a la unidad
n
i
i1
2
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47
2
42
2
4)2(2
2
2
yy
y
y
yx
2
2
y
yx
Figura 11.
x
y
PROBLEMA 2: Los lados de un rectángulo vienen dados por números enteros ¿Cuál será la
longitud de dichos lados para que el perímetro y el área de esta figura sean iguales?
Estrategia de resolución.
Sean yx, los números enteros
Como yx, representan los lados del rectángulo entonces tenemos que el perímetro viene dado
por yx 22 ; y el área yx con lo cual yxyx 22 de donde
Como yx, deben ser números positivos, también lo debe ser el número 2y , es decir 2y ,
Ahora bien por otro lado
Como x tiene que ser un número entero, 2
4
ytambién lo será, entonces 642 yy como
2y , entonces 62 y sólo se satisfacen las condiciones del problema si y es igual a 3,4 ó 6
y el valor correspondiente de x será 6,4 ó 3 respectivamente. Finalmente la figura buscada será
un rectángulo cuyos lados tendrán por longitud a 3 y 6, o un cuadrado de lado 4.
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48
Figura 12.
Figura 12.1.
PROBLEMA 3: En el rectángulo de la figura se selecciona un punto P arbitrario sobre la diagonal.
Traza perpendiculares a los lados del rectángulo que pasen por P. Estas perpendiculares cortan: al
lado AC en el punto G, al lado AB en el punto E, al lado BD en el punto F, al lado CD en el punto H.
¿Qué se puede decir del área del rectángulo AEPG con respecto al área del rectángulo DFPH?
Estrategia de resolución.
En la representación gráfica en la Figura 13 se puede
observar que la diagonal del rectángulo lo divide en dos
regiones con áreas iguales. De donde se observa y se
puede probar que el GPC es congruente al HPC
y que el EBP es congruente al FBP . Por ende el
área del rectángulo AEPG es igual a la del rectángulo
DFPH .
. P
A
D C
B
. P
A
D C
B
G
E
F
H
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49
G
P
Figura 13.
G
P
x
yH
I
zJ
vFigura 13.1.
PROBLEMA 4: Describir un método para medir aproximadamente, con una cinta métrica y un
transportador, la distancia GP a través de una corriente de agua. Probar la validez del método
Estrategia de resolución.
Una técnica que se puede emplear para medir la anchura de un río sin la necesidad de
cruzarlo, teniendo como instrumento una cinta métrica y un transportador, es la que se
muestra en la figura
En primer lugar demostraremos que
y el son semejantes; y haciendo uso de
dicha semejanza deduciremos la formula para
calcular la anchura del río.
Los y son congruentes por ser ángulos opuestos por el vértice
Los y son congruentes porque ambos son ángulo rectos, como la suma de los
ángulos internos de un triángulo es el y son congruentes. Por tanto el
y el son semejantes por el criterio (A.A.A.)
La formula para el cálculo de la anchura del río viene dada por:
Donde: son medidas que se pueden conocer con la cinta métrica.
PGH
IJH
180
PGH IJH
zyv ,,
z
vyx
z
y
y
x .
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50
c
2)( ba ba
c
ba 2)2
(4 cba
babacbacbabbaacba
ba
2222)2
(4)( 22222222
222 bac
222 bac
Figura 14.
ABC
Figura 15.
Unidad IV
PROBLEMA 1:
Mediante la figura que se muestra a continuación, pruebe que en un triángulo rectángulo cuyos
lados miden (catetos) y c (hipotenusa) se cumple que:
Estrategia de resolución.
Para realizar esta prueba tomaremos en cuenta la visualización
¿Por qué la figura de lado C es un cuadrado?
Prueba: Se observa que el área del cuadrado (1) ya que cada lado mide , por otro lado
tenemos que es un triángulo rectángulo, con lo cual el área del triángulo es 2
.ab
en la figura se observan cuatro triángulos y un cuadrado de lado , así el área del cuadrado de
lado se puede expresar (2)
Igualando (1) y (2) tenemos que:
Y finalmente simplificando tenemos que:
a
b
ba,
a
b
b
a
aa
b
b
c c
c c
A
BC
A
CB
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PROBLEMA 2:
A una circunferencia pueden inscribirse y circunscribirse cuadrados como se muestra en la figura
adjunta. Probar que el área del cuadrado mayor es dos veces el área del cuadrado menor.
Estrategia de resolución.
Prueba: Sea la medida del lado de cuadrado menor, entonces el área
del cuadrado menor es:21 aÁrea
Por su parte la diagonal del cuadrado menor es igual al lado del
cuadrado mayor, como el triángulo es un triangulo rectángulo
tenemos que:
222
'' aaCA (Por teorema de Pitágoras)
22'' aCA (Es la medida del lado del cuadrado mayor)
Entonces el área del cuadrado mayor es: 222 2222 aaaÁrea
21 aÁrea
222 aÁrea
A
B C
D'A
'B 'C
'D
A
B C
D
'A
'B
'C
'D
a
a a
a
a
''' CBA
Donde: Área 1 es el área del cuadrado menor y
el área 2 es el área del cuadrado mayor, con lo
cual es el doble de la del cuadrado menor.
Figura 16.
Figura 16.1.
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52
ABC
CMB
PROBLEMA 3:
Define la expresión simbólica del siguiente enunciado: El cuadrado del lado opuesto a un ángulo
agudo en un triángulo cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos
el doble del producto de uno de ellos por la proyección del otro sobre él. (Pruébalo)
Estrategia de resolución.
Prueba: En el triángulo designamos por la proyección del lado c sobre b. Como el
triángulo es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras tenemos:
Análogamente, (2), por otro lado
Sustituyendo (2) y (3) en (1) tenemos:
Con lo cual:
ach
b
A
b
A m
hc a
n
M
Figura 17.1.
B
C
m222 nha
222222 mchmhc bmmbmbn 2)( 2222
)1(
)3(
bmmbmca 222222
bmcba 2222
La expresión simbólica viene dada por:
bmcba 2222
B
C
Figura 17.
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53
m
a
b
c
AC n
B
m
a
b
c
AC
n
d
D
CBD
B
CBA
ABD
Figura 18.
PROBLEMA 4:
En un triángulo obtusángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso tiene por expresión
bmbca 2222 , realiza una prueba del mismo.
Estrategia de resolución.
Prueba: En el triángulo tomaremos a como la proyección del lado sobre b. Como el
triángulo es un triángulo rectángulo, por el teorema de Pitágoras tenemos:
Análogamente para el triángulo tenemos (2), por otro
lado tenemos que . Sustituyendo (3)
en (2)) tenemos: (4); sustituyendo (4) en (1) tenemos:
bmbcabbmmcma 22 22222222
m222 dma
222222 ncddnc 2222 2)()( bmbmbmnbmn
)1(
)3(2222 2 bmbmcd
a
Figura 18.
53
54
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Propuesta de evaluación en la resolución de los problemas geométricos
La evaluación del trabajo realizado por los estudiantes, necesariamente debe considerar:
formas de analizar las diversas fases que llevaron a cabo al resolver los problemas
geométricos, a tal fin se pretende presentar un instrumento que permite la evaluación de
las estrategias o fases que los estudiantes realizaron. Tomando como referencia la
metodología descrita anteriormente, los estudiantes inicialmente tendrán un tiempo
estipulado para resolver los problemas, una vez terminado el tiempo todo el grupo
realizará una discusión acerca de las soluciones obtenidas y mientras se lleva a cabo esa
discusión el profesor/a (facilitador/a) realizará una evaluación cualitativa de los
argumentos individuales que produzcan los estudiantes (ver instrumento 2). Para ello se
tomaran tres indicadores: Deficiente, se refiere a los argumentos matemáticos que no
son adecuados para la solución del problema; Regular, se refiere a los argumentos
matemáticos que serán designados adecuados para la solución del problema pero que
pueden ser parcialmente reformados; Bueno, se refiere a los argumentos matemáticos
que se consideran los más óptimos para la solución de dicho problema.
Por otro lado el estudiante al finalizar la sesión entregara al profesor/a (facilitador/a) la
hoja con los problemas que resolvió en el tiempo estipulado, de igual manera se realizará
una evaluación cualitativa del trabajo hecho por los estudiantes, es importante destacar
que en el proceso de resolución de problemas, en términos generales los estudiantes
muestran una diversidad de estrategias: pueden usar diagramas, tablas o gráficas para
representar la información, pueden descomponer problemas en otros más simples, tomar
casos particulares, todo estos pasos le permiten transitar por el proceso de observación,
análisis, argumentación, formulación de conjeturas. Así pues en la evaluación de los
55
trabajos hechos por los estudiantes es importante analizar el significado de las soluciones,
verificar que las operaciones matemáticas sean las correctas, sin embargo es también
importante tomar en cuenta la evaluación del proceso, que proporciona una información
relacionada con las diversas actividades que el estudiante desarrolla al momento de
resolver un problema, a continuación presenta el instrumento de evaluación
Tabla 3.
Apreciación cualitativa de la solución de los problemas presentados por los estudiantes
Puntos Trabajo realizado por los estudiantes
D Hoja en blanco, nada de trabajo o ideas sin relación
C Visualiza, identifica los datos sin procedimientos o con estrategias no claras
B Existe un plan claro y apropiado argumentando y analizando, sin resolver el problema
A Solución clara y completa con argumentos matemáticos validos
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Resolución de problemas geométricos
Instrumento I
Tabla 4.
Tabla para evaluar la solución de los problemas geométricos realizado por los estudiante
Nombres y apellidos
Trabajo realizado por los estudiantes
Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4
D C B A D C B A D C B A D C B A
1 Fernández Sergio
2 Medina Luís
3
4
5
56
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Instrumento II
Profesor(a): _________________________ __________________ Unidad a desarrollar: 1
Actividades: Resolución de problemas que están vinculados con: concepto de área,
representación geométrica de productos notables, ángulos externos de un triángulo.
Tabla 5.
Apreciación cualitativa de los argumentos presentados por los estudiantes
Nombres y apellidos
Argumentos presentados por los estudiantes
Problema 1 Problema 2 Problema 3 Problema 4
D R B D R B D R B D R B
1 Fernández Sergio
2 Medina Luís
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
57
CAPÍTULO 6
Discusión de resultados.
6.1 Factibilidad del modelo propuesto.
Con el propósito de validar el “Manual de un taller para iniciar en la demostración
matemática a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención
Matemática de la Universidad de Los Andes a través de la resolución de problemas
geométricos” mediante el juicio de expertos, se entregó un instrumento de recolección de
datos con una validez de contenido de 83% (ver anexo) a un grupo de cinco (5) docentes
universitarios especialistas en Educación Matemática, los cuales evaluaron el manual de
acuerdo con seis criterios de evaluación y dieron su apreciación cualitativa respondiendo
cinco ítems (ver anexo)
Tabla 6.
Resultados de la validación del manual.
Los resultados que se presentan en la tabla 6 nos permiten ver que el 100% de los
docentes calificaron como buena la presentación del manual. Este criterio de evaluación
consistió en juzgar el diseño y estructura del manual, esto permite indicar que a juicio de
los cinco docentes el diseño del manual está bien elaborado y estructurado. Por su parte
el 100% de los docentes calificaron como bueno el criterio pertinencia del manual que
consistió en confirmar si el manual permite iniciar a estudiantes en el contenido
Categorías
Criterios de evaluación
Bueno
Regular
Deficiente
Presentación del manual 100%
Pertinencia del manual 100%
Concordancia del manual 93.75% 6.25%
Factibilidad de la aplicación 98.43% 1.57%
Claridad conceptual en el enunciado de los
problemas
84.38% 15.62%
Secuencia en la evaluación 100%
58
demostración matemática, para desarrollar un taller que se pueda impartirse en el primer
semestre de Educación Mención Matemática, lo cual nos permite afirmar que a juicio de
los expertos se cumple con el objetivo general del manual.
Al consultar a los docentes acerca de la concordancia del manual que consistió en
evaluar si la metodología descrita en el manual es suficientemente clara y precisa para el
desarrollo del taller, el 93.75% de los docentes la calificaron como buena, mientras que el
6.25% calificaron el criterio como regular. Esto nos permite decir que a juicio de la
mayoría de los docentes las instrucciones descritas en el manual son precisas y claras
para su posterior aplicación en el taller. De igual forma al consultar a los docentes acerca
del criterio factibilidad de la aplicación, que consistió en la posibilidad de que el manual
del taller pueda ser empleado en el salón de clase para la enseñanza de la demostración
matemática, el 98.43% de los docentes lo calificaron como bueno, mientras que el 1.57%
calificaron el criterio de evaluación como regular, con lo cual los docentes en su mayoría
consideran que el manual puede ser utilizado como una estrategia didáctica en el salón
de clase.
Por su parte el 84.38% de los docentes calificaron como bueno el criterio de evaluación
claridad conceptual en el enunciado de los problemas que consistió en que los
problemas planteados debían presentarse de manera clara y no dar lugar a confusiones
de carácter conceptual matemático en las situaciones planteadas en el manual, mientras
que el 15.62% de los docentes calificaron el criterio como regular. Podemos decir
entonces que la mayoría de los docentes consideran que los problemas que fueron
plasmados en el manual son pertinentes para el desarrollo del mismo y no dan lugar a
confusiones de carácter conceptual matemático. Por otro lado el 100% de los docentes
calificaron como bueno el criterio de evaluación secuencia en la evaluación que
consistió que la propuesta de evaluación del taller descrita en el manual, fuese pertinente
para la evaluación del mismo. Esto permite afirmar que la propuesta de evaluación del
taller es apropiada.
Según los resultados descritos anteriormente el 96.09% de los docentes calificaron los
criterios de evaluación como buenos, es importante destacar que ningún docente califico
como deficiente ningún criterio de evaluación. En función de los resultados se puede
afirmar que la factibilidad del modelo propuesto es valido.
59
En cuanto a las apreciaciones cualitativas expresadas por los docentes en relación con la
pregunta: ¿Considera factible la aplicación del manual? ¿Por qué?, los docentes en
su totalidad creen en que si es viable aplicar el manual argumentando: “Sin duda nuestro
medio educativo, huérfano de ideas pedagógicas y principalmente aplicaciones,
experimentos, invenciones, creación. Desarrollar la inteligencia es nuestro principal
objetivo, y en matemáticas facilitar al estudiante metodologías encaminadas a incentivar
la actitud por la solución de problemas, razón de ser del estudiante de matemática”, “Me
parece factible la aplicación de las primeras unidades, sin embargo pienso que el interés
de los estudiantes se perderá luego de las primeras sesiones y luego que el grado de
dificultad sea mayor”, “ Si lo considero factible porque a través de él los estudiantes
tendrán una guía u orientación para realizar una demostración matemática, sin llegar a ser
una receta”, “ Sí, porque se ajusta a los requerimientos mínimos necesarios para avanzar
en la carrera, en las materias que verá en el segundo semestre en adelante: geometría I,
fundamentos del álgebra, entre otras”, “Sí porque el manual está diseñado precisamente
respetando los contenidos que deben dominar los alumnos del primer semestre de la
carrera y porque tales alumnos se encuentran en una etapa de operaciones formales”.
De igual manera al preguntar a los docentes: ¿Considera que con la aplicación del
manual se puede iniciar a los estudiantes en la demostración matemática? ¿Por
qué? Todos los docentes respondieron afirmativamente argumentando: “Si para tal fin
proporcionar verdadera experiencia matemática y a través de la solución de problemas
que involucren conceptos geométricos y la consiguiente lógica a través de construcciones,
deducciones, demostraciones, avances y retrocesos por parte del alumno, con problemas
aplicados a la realidad”, “Es una buena manera de iniciarse en la demostración
matemática puesto que surge de manera natural con la resolución de problemas”, “Sí
generalmente a los estudiantes del primer semestre se les hace difícil hacer una
demostración matemática, por lo que con el manual se estaría contribuyendo a sentar las
bases del procediminto a seguir para demostrar, pero de manera lógica y no mecánica”,
“Sí, me parece una buena iniciativa considerando que en el primer semestre solo se
trabaja con matemática básica y los estudiantes sienten un fuerte cambio al enfrentarse
después en el segundo semestre con geometría I”, “ Sí, aún cuando en la práctica pueden
surgir cambios en el mismo que ayuden al objetivo buscado”.
60
A su vez al preguntar a los docentes: ¿Considera que el manual incide positivamente
en el proceso de enseñanza-aprendizaje de la demostración matemática? Cuatro
docentes respondieron que sí argumentando: “incide positivamente puesto que crea
curiosidad en el estudiante interesado”, “Si porque aprender a demostrar es un proceso
lento que requiere de práctica y el manual aporta nociones básicas”, “Si porque hace
énfasis en la argumentación”, “Al parecer tal como está estructurado si, sin embargo tal
incidencia positiva debe ser el resultado de aplicar a futuro el manual, lo cual requiere de
una nueva investigación”, mientras que un docente expresó no saber si el manual incidía
positivamente argumentando “Debería elaborar una propuesta del manual evaluada
continuamente, al menos en el semestre para enfocar alguna luz sobre su incidencia”. Es
importante destacar que se le aclaró al docente que en esta investigación no se aplicaría
el manual, con lo cual el docente argumentó “Debería incidir positivamente especialmente
si el estudiante participa de manera activa”
En relación con la pregunta: ¿Considera necesario agregar algunos aspectos al
manual? En caso de responder afirmativamente ¿Cuáles? Los cinco docentes
consideraron que no argumentando: “Que con lo que hay es suficiente”, “No,
necesariamente sino un banco de problemas complementarios”, “El manual debería
orientar y estimular la construcción de un banco de problemas para el taller y además
orientar en estrategia de solución y métodos para resolver y plantear problemas”, “ En
este caso considero pertinente hacer las correcciones producto de las observaciones de
los otros expertos. Por su parte al preguntar: ¿Considera necesario eliminar algunos
aspectos del manual? En caso de responder afirmativamente ¿Cuáles? todos los
docentes consideraron que no sin argumentaciones
En síntesis, estos argumentos muestran que el manual está bien elaborado para ser
aplicado a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación Mención Matemática
de la Universidad de Los Andes, con lo que se abre la puerta a la iniciación de la
demostración matemática.
6.2 Control y evaluación de procesos
El control y la evaluación del desarrollo del taller estarán a cargo de los docentes
especialistas en matemáticas de la Facultad de Humanidades de la Universidad de Los
61
Andes, que dicten la asignatura matemática básica del primer semestre a estudiantes de
Educación mención matemática.
6.3 Conclusiones
Inicialmente se diseño y aplico una prueba diagnostica a estudiantes que cursan el
segundo semestre de educación mención matemática. La finalidad principal de la prueba
diagnóstica fue determinar los conocimientos que tienen los estudiantes en torno al
aprendizaje de la demostración Matemática. Se pudo notar que el 97.5 % los estudiantes
poseen deficiencias para resolver problemas predemostrativos y realizar demostraciones,
con los datos recabados, esto podría traer como consecuencia que el estudiante de
Educación Mención Matemática no domine los diferentes contenidos de las asignaturas
que conforman la carrera en las cuales tendrá que realizar demostraciones de teoremas o
proposiciones. En función de abordar la problemática antes expuesta se diseño el manual
de un taller para iniciar a estudiantes que cursan el primer semestre de Educación
Mención Matemática de la ULA en la demostración matemática a través de la resolución
de problemas geométricos.
El diseño del manual, comenzó con la selección de 16 problemas geométricos que
permitieran al estudiante visualizar, analizar, formular argumentos y plantear conjeturas,
la selección se realizo a través de una matriz de registro, con lo cual se pudo alcanzar uno
de los objetivos planteados en la presente investigación (seleccionar los problemas).
Ahora bien, una vez obtenidos los problemas se procedió al diseño del manual el cual
está conformado por cuatro sesiones en el cual se desarrollan cuatro actividades todas
estas en función de los problemas seleccionados anteriormente. De esta manera, a partir
de la estrategia didáctica resolución de problemas geométricos, se pretende favorecer el
aprendizaje significativo del contenido demostración matemática. Así pues se pudo
alcanzar otro de los objetivos de la investigación (diseñar el manual).
Dado que el 96.09% de los docentes evaluadores calificaron con la máxima categoría
(Bueno) las actividades diseñadas en el manual en función de los siguientes criterios de
evaluación: Presentación del manual; Pertinencia del manual; Concordancia del manual;
Factibilidad de la aplicación; Claridad conceptual en el enunciado de los problemas y
62
Secuencia en la evaluación; se puede concluir que en opinión de los jueces, el manual
está bien elaborado y puede ser aplicado a estudiantes que cursan el primer semestre de
educación matemática, y por ende cumplir con otro de los objetivos planteados en ésta
investigación (validar el manual bajo el juicio de expertos).
Es importante resaltar que esta manera de abordar la enseñanza de la demostración
matemática a través del diseño de un manual para la aplicación de un taller con la
finalidad iniciar en la demostración matemática a estudiantes que cursan el primer
semestre de Educación Mención Matemática de la Universidad de los Andes a través de
la resolución de problemas geométricos, puede favorecer el desarrollo de una serie de
capacidades no exclusivamente matemáticas. El proceso es lento y los resultados se irán
viendo de manera progresiva una vez sea aplicado el taller. Lo importante es que el
docente y el estudiante puedan adquirir recursos o estrategias que le ayuden a sentar
bases para que en el futuro pueda afrontar con éxito las demostraciones matemáticas.
6.4 Limitaciones y recomendaciones finales
6.4.1 Limitaciones.
Una de las limitaciones de la investigación, radica en que el control y evaluación
de procesos no será llevado a cabo por los investigadores.
Disponibilidad por parte de los docentes o investigadores para aplicar el manual
debido al tiempo necesario para su puesta en práctica.
Los estudiantes pueden presentar fallas de conceptos previos que inciden
directamente en el desarrollo del taller. Sin embargo, a la hora de aplicar el manual
se puede hacer antes un examen diagnóstico que indique los conceptos a nivelar.
63
6.4.2 Recomendaciones finales
Dado que el manual está validado por especialistas en matemáticas, se
recomienda realizar una investigación evaluativa en la cual se haga entrega a
docentes que dicten la signatura matemática básica para que la apliquen y así, ver
el efecto causado en diferentes grupos de estudio.
Antes de aplicar el manual se recomienda al docente o facilitador que realice una
prueba diagnostico que aborde los contenidos matemáticos presentes en el
manual al grupo de estudiante que le va a aplicar el taller, con la finalidad de
determinar el nivel de conocimiento de los estudiantes y determinar si
representaran un obstáculo para el estudiante y el desarrollo del taller.
Una ves realizado el taller el docente o facilitador puede incluir actividades que
considere pertinentes para la aplicación del manual como por ejemplo: problemas
de tipo geométrico, tiempo discusión de los resultados, mas sesiones para la
aplicación del manual, etc.
64
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Santos, L. (2007). La resolución de problemas matemáticos fundamentos cognitivos.
México: Editorial Trillas, S. A. de C. V.
67
68
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Mérida, 17 de Octubre de 2008
Ciudadano:
Lic.
Profesor de matemática
A través de la presente reciba un cordial saludo, nos dirigimos a usted para solicitar su
colaboración en la validación de una prueba de desarrollo, la misma será aplicada a
estudiantes que cursan la asignatura Geometría I del segundo semestre de Educación
mención Matemática en la Facultad de Humanidades y Educación de la Universidad de
Los Andes.
Esta prueba se diseño, con la finalidad de determinar los conocimientos que tienen los
estudiantes entorno al aprendizaje de la demostración a través de comparación,
equivalencia de áreas y propiedades de triángulos. Por tal motivo y en vista de su
experiencia como profesor en el área de matemática, le agradecemos la ayuda para la
validación que le estamos solicitando.
Esperamos que usted revise y emita un juicio de apreciación cualitativa para la prueba de
desarrollo. Usted deberá seleccionar una de las tres categorías:
Deficiente en el caso de ser rechazado el ítem, argumentando las razones de por
qué le parece deficiente.
Regular en el caso de Hacer falta una modificación del ítem, en este caso puede
dar una sugerencia para mejorar el mismo.
69
Bueno en el caso de aprobar el ítem, argumentando las razones del por qué le
parece bueno.
La selección debe hacerse tomando en cuenta los siguientes criterios: Presentación del
instrumento, pertinencia de los ítems, claridad en la redacción y contenido matemático
adecuado.
Sin nada más a que referirnos, nos despedimos, esperando su pronta respuesta.
Atentamente.
_______________ _______________
Fernández V Sergio. Medina R Luís
CI: 16.655.958 CI: 14.267.190
70
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA.
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.
APRECIACIÓN CUALITATIVA DE LA PRUEBA DE DESARROLLO
Nombre y Apellido: _______________________________________________________
Fecha: ______________ Firma: _________________
Luego de hacer las observaciones pertinentes, puedo formular las siguientes
apreciaciones:
Ítem
Criterios
Categorías
Deficiente Regular Bueno
Presentación del instrumento
1
Pertinencia del ítem
Claridad en la redacción
Contenido matemático adecuado en función del
objetivo
2
Pertinencia del ítem
Claridad en la redacción
Contenido matemático adecuado en función del
objetivo
3
Pertinencia del ítem
Claridad en la redacción
Contenido matemático adecuado en función del
objetivo
4
Pertinencia del ítem
Claridad en la redacción
Contenido matemático adecuado en función del
objetivo
71
Observaciones:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ítem1:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ítem2:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ Ítem3:__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ítem4:__________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
72
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
Mérida, 6 de Febrero de 2009
Ciudadano:
Lic.
Profesor de matemática
A través de la presente reciba un cordial saludo, nos dirigimos a usted para solicitar su
colaboración en la validación de un instrumento de recolección de datos, la técnica a
utilizar es la encuesta y para ello se realizó un cuestionario, el cuál será aplicado a
profesores de la Facultad de Humanidades y Educación en la Universidad de Los Andes.
Este instrumento de recolección de datos tiene por finalidad, determinar algunos aspectos
generales de la enseñanza de la demostración Matemática. Por tal motivo y en vista de su
experiencia como profesor en el área de matemática, le agradecemos la ayuda para la
validación que le estamos solicitando.
Esperamos que usted revise y emita un juicio de apreciación cualitativa seleccionando
una de las tres categorías:
Deficiente en el caso de ser rechazado el ítem.
Regular en el caso de Hacer falta una modificación del ítem.
Bueno en el caso de aprobar el ítem.
73
La selección debe hacerse tomando en cuenta los siguientes criterios:
Presentación del instrumento.
Pertinencia de los ítems en función de los objetivos.
claridad en la redacción de los ítems.
Sin nada más a que referirnos, nos despedimos, esperando su pronta respuesta.
Atentamente.
_______________ _______________
Fernández V Sergio. Medina R Luís
CI: 16.655.958 CI: 14.267.190
74
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES.
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA.
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.
APRECIACIÓN CUALITATIVA DE LA PRUEBA DE DESARROLLO
Nombre y Apellido: _______________________________________________________
Fecha: ______________ Firma: _________________
Luego de hacer las observaciones pertinentes, puedo formular las siguientes
apreciaciones:
Ítem Categorías
Observaciones Deficiente Regular Bueno
1
2
3
4
5
6
7
8
75
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES. FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCCIÓN.
EDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA. DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN.
CUESTIONARIO
Se pretende realizar una investigación que de a conocer algunos aspectos generales de la enseñanza de la demostración Matemática, y para ello es necesario recabar información que sirva de ayuda para la génesis del planteamiento de un problema de investigación. A tal fin marque con una x la opción que mejor le parezca.
1. ¿Qué inconvenientes crees que tiene el estudiante, al momento de usted enseñar la demostración matemática?
a) Falta de interés:____ b) No domina los contenidos:___ c) No ha visto el tema antes:___ d) Otro:___________________________________________________________
___________________________(especifique)
2. ¿En qué etapa de la elaboración de una demostración matemática, considera usted que el estudiante tiene mayor dificultad al momento de realizar una demostración?
a) Observación:____ b) Análisis:___ c) Argumentación:___ d) Formulación de conjetura:___
3. ¿Considera usted qué se debe enseñar la demostración matemática en la
carrera Educación Mención Matemática? Si: ___ No: ___
¿Por qué? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
76
4. ¿Se debe iniciar a los estudiantes en la demostración matemática? Si: ___ No: ___
¿Por qué? ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. ¿Cree que la demostración, sirve como estrategia didáctica para la enseñanza de contenidos matemáticos?
Si: ___ No: ___ ¿Por qué?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. ¿En que contenidos matemáticos, se adapta mejor la enseñanza de la
demostración matemática? a) Algebraicos: ___ b) Aritméticos: ___ c) Geométricos:___ ¿Por qué?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. ¿Qué estrategias didácticas desarrolla usted para la enseñanza de la demostración?
a) Resolución de problemas: ___ b) Juegos didácticos: ___ c) Actividades de grupo: ___ d) Otro:__________________________________(Especifique)
8. ¿Qué tipo de problemas considera, que se de tomar en cuenta para empezar el tema de demostraciones matemática?
a) Problemas geométricos:____ b) Problemas de la vida cotidiana:___ c) Ejercicios:___ d) Otro:__________________________________(Especifique)
77
DIAGRAMA PARA ILUSTRAR LO QUE SE PRETENDE REALIZAR EN LA PRESENTE
INVESTIGACIÓN.
OBSERVACIÓN
¿Cómo haría usted para
demostrar la conjetura
producida?
¿Qué es una demostración?
¿Conoce los métodos de
demostración?
FORMULAR
CONJETURAS
ARGUMENTA-
CIÓN
ANÁLISIS
CREAR:
EL MANUAL UN
TALLER
SUSTENTADO EN LA
TÉCNICA DE
RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS
GEOMÉTRICOS
Vmr
iiC
PrPr
n
j
i i
i
3
1Pr
PeCPRiCPRic
N
CPRicitC
Pr peitCCPRitc Pr
3
1i
iJn
nPe
1
Para el manejo cuantitativo de los resultados asignados por los jueces, se tomaran en cuenta la siguiente escala de valores
Categoría seleccionada Puntaje
Estoy completamente en desacuerdo 1
Estoy ligeramente de acuerdo 2
Estoy completamente de acuerdo 3
Tabla 1. Estimación del coeficiente de Proporción de Rango (CPR) del Instrumento que permitió establecer la validez del
instrumento utilizado para la validación de la propuesta
El coeficiente de proporción de rangos obtenido ( CPRitc 0.835525925) de acuerdo con Hernández y otros, (2006); es adecuado
para la aplicación del instrumento para validar la propuesta.
N
Ítem
Jueces (J)
J1
J2
J3
1 2 3 3 8 2.66 0.886 0.848962963 0.872562963 0.835525925
2 2 3 3 8 2.66 0.886 0.848962963 0.872562963 0.835525925
3 2 3 2 7 2.33 0.776 0.738962963 0.872562963 0.835525925 0.0370370
4 3 3 3 9 3 1 0.962962963 0.872562963 0.835525925
5 3 3 3 9 3 1 0.962962963 0.872562963 0.835525925
1
Donde:
n Número de Jueces.
Vmr Valor máximo de la escala de resultados.
n
J
ii
3
1Pr Promedio de resultados de los Ítems.
3
1i
ij Adición de los resultados asignados por los Jueces a cada ítem.
Vmr
PirCPRi Relación proporcional del Pri, referido al valor máximo de la escala de rango (Vmr) empleada por los expertos.
n
nPe
1Probabilidad de error o probabilidad de concordancia aleatoria entre los jueces.
CPRic Coeficiente de proporción de rangos de cada ítem corregido por concordancia aleatoria.
itC Pr Promedio de los coeficientes de proporción de rangos de cada ítem, corregido por concordancia aleatoria.
CPRitc Coeficiente de proporción de rangos del total corregido por concordancia aleatoria.