MAnual de Mate Financiera

MATEMATICAS FINANCIERA

Hardy Seplveda Daz Pgina 1

2012


Profesor; HARDY SEPULVEDA DAZ

A P U N T E S D E C L A S E S



INDICE

Unidad N 1 Inters Simple e Inters compuesto 3

Unidad N 2 Valor Actual, Pagos Parciales, Anualidades y Amortizaciones 59

Unidad N 3 Depreciacin en la Matemticas Financieras 92

Unidad N 4 Matemticas Financieras en la Evaluacin de Inversiones 99

ANEXOS

Anexo N 1 Tasa Nominal, tasa efectiva y tasa equivalente 116

Anexo N 2 Valor Actual, Pagos Parciales y Anualidades 133

Anexo N 3 Tcnicas de Evaluacin de Inversiones, desde el punto

de vista de las Matemticas Financieras 141



UNIDAD N 1

Inters Simple e Inters Compuesto

INTERESES

I = $ 1.000

$ 100.000 $ 101.000

______________________________________ Hoy 30 das

CONCEPTO DE INTERS

FACTORES QUE DETERMINAN LA CUANTA DEL INTERS.

CAPITAL O PRINCIPAL ( C ) : Suma de dinero originalmente prestado o pedido en prstamo.

TIEMPO ( t ): Es el nmero de unidades de tiempo para el cual se calculan los

intereses.

TASA DE INTERS ( i ): Es el inters por unidad de tiempo, expresado como tanto por ciento (%) o tanto por uno

del capital.(Generalmente las tasas se expresan en trminos mensuales o anuales).

MODALIDAD DE CLCULO DEL INTERS: La cuanta del inters va a depender si la operacin es a inters simple o

a inters compuesto

INTERS SIMPLE: La base de clculo corresponde al capital inicial otorgado en prstamo. Los intereses que se generan no se transforman en capital, por tal motivo, los intereses

resultantes para los distintos periodos son iguales:

$ 200.000

|_____________|_____________|____________| I = $60.000 0 I = 20.000 1 I = 20.000 2 I = 20.000 3 aos

i = 10 % anual

MATEMTICAS FINANCIERAS constituyen

un conjunto de herramientas, de mtodos y

procedimientos que ayudan a la toma de

decisiones, en materia de obtencin y uso del

dinero.

(I), desde el punto de vista del deudor, la renta que se debe pagar por el uso del dinero tomado en prstamo. Y desde el punto de vista del acreedor, la renta que se tiene derecho a cobrar cuando se

presta dinero.

Es el costo del dinero.

Es lo que el deudor debe sacrificar por usar dinero ajeno.



INTERS COMPUESTO: El inters que genera el capital para cierto tiempo se capitaliza, es decir, el inters se

transforma en capital.

Para el periodo siguiente, el capital relevante ser el capital inicial ms el inters resultante del primer periodo, generando con ello, un inters mayor en el segundo

periodo, el cual tambin se capitaliza.

En inters compuesto, los intereses en los distintos periodos son diferentes y crecientes (los intereses se calculan sobre intereses).

Cuando la deuda cambia, se habla de inters compuesto.

$ 200.000 220.000 242.000 266.200

|______________|_______________|______________| I = $66.200 0 I1 = 20.000 1 I2 = 22.000 2 I3 = 24.200 3 aos

i = 10 % anual

Preguntas;

1. Haga un paralelo entre interes simple e interes compuesto 2. Cundo El interes simple resulta ser mayor al interes compuesto? 3. D uma definicin de Inters 4. Seale la diferencia entre Inters y Tasa de interes 5. D un ejemplo en que para un mismo capital, una misma tasa de interes y un mismo tiempo, el interes simple es

mayor al interes compuesto.



Ejercicio;

Determinar El Inters simple y compuesto que genera uma inversin de $2.000.000 a una tasa de interes mensual de 1%, durante 5

meses.

Monto; corresponde al capital ms los

intereses acumulados hasta cierta fecha

En interes simple; el interes para el perodo 6, ser de; _____________

En interes compuesto; el interes para el perodo 6 ser de? _____________



OPERACIONES A INTERS SIMPLE

Inters acumulado al primer ao:

$ 20.000 ( 20.000 x 1 ) C x i x 1

Inters acumulado al segundo ao:

$ 40.000 ( 20.000 x 2 ) C x i x 2

Inters acumulado al tercer ao:

$ 60.000 ( 20.000 x 3 ) C x i x 3

Por lo tanto, si se quiere determinar el inters acumulado para n periodos, el inters que genere el capital, para un periodo ( C x i ), se debe multiplicar por el nmero de periodos de generacin de intereses ( n)

I = C x i x n

Un capital de $500.000 se invierte al 2% mensual. La ganancia

para un periodo de 4 meses es de;

C = $500.000

im = 2%

n = 4

1 2 3 4 meses

$ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 $ 10.000 intereses

I =500.000*0,02*4 = $40.000



n: Corresponde al nmero de veces que se genera intereses en

el tiempo de uso del dinero.

n Depende de: o Tiempo de uso del dinero o Tiempo de la tasa de inters

Ejemplo: Se hace un depsito durante un ao a un 0,4% mensual

Tiempo de uso del dinero 1 ao

Tiempo de la tasa de inters Mensual

n Veces que se genera intereses mensuales en un ao: 12

Ejemplo: Se hace un depsito durante un ao a un 3,4% trimestral

Tiempo de uso del dinero 1 ao

Tiempo de la tasa de inters trimestral

n Veces que se genera intereses mensuales en un ao: 4

Ejemplo: Se hace un depsito durante un 175 das a un 0,4% por periodos de 35 das

Tiempo de uso del dinero 175 das

Tiempo de la tasa de inters 35 das

n Veces que se genera intereses en 175 das; 175/35 = 5

n = Numerador tiempo de uso del dinero 175 das 5

Denominador tiempo de la tasa de inters 35 das

Tanto numerador como

denominador deben estar

expresados en una misma unidad

de tiempo



DETERMINACIN DE n PARA EL CALCULO DE INTERESES M = C ( 1 + i )

n

n Corresponde a las veces que se genera intereses en el tiempo de uso del dinero

Su valor depende del tiempo de uso del dinero y el tiempo de la tasa de inters

Si n no corresponde a un valor entero, tener presente que en el numerador debe ir el tiempo de uso del dinero y en el denominador el tiempo de la tasa de inters (ambos en una misma unidad de tiempo.

Ejemplo donde n toma un valor entero;

ejemplo n

Un capital se invierte durante un periodo de 6 meses a una rentabilidad del 2% mensual

6

Ejemplo donde n NO toma un valor entero, ES DECIR, es una fraccin

ejemplo n

Un capital se invierte durante un periodo de 18 meses a una rentabilidad del 12% anual

18/12

Un capital se invierte durante un periodo de 20 meses a una rentabilidad del 8% trimestral

20/3

Un capital se invierte durante un periodo de 15 meses a una rentabilidad del 12% semestral

15/6

Un capital se invierte durante un periodo de 180 das a una rentabilidad del 12% anual

180/360

Un capital se invierte durante un periodo de 4 semestres a una rentabilidad del 12% anual

4/2

Un capital se invierte durante un periodo de 133 das a una rentabilidad del 2% trimestral

133/90



Ejemplos a Inters Simple

Un capital de $600.000 durante un periodo de 8 meses ha generado un inters de $38.374. Qu tasa de inters mensual se aplic?

Datos disponibles;

Capital; $600.000

Inters por 8 meses; $38.374

Tiempo; 8 meses

Tasa de inters mensual; ????

I = C x i x n

38.374 = 600.000 * i m * 8

i m = 38.374/(600.000*8)

i m = 0,00799458 i m = 0,799%

Frmula de tasa de inters despejada i = I/(C*n)

Frmula de nmero de periodos de generacin de intereses (n) n = I/(C*i) Frmula de Capital ( C) C = I/(n*i)

MONTO A INTERS SIMPLE.

M = C + I

I = C x i x n

M = C + C x i x n / Factorizando por C

Frmulas despejadas;

Frmula para n; n = ( M/C -1)/i

Ejemplo para comprobar el uso de la frmula despejada

M = $500.000

C = $400.000

i = 2% mensual

n = (500.000/400.000 1)/0,02 = 12,5

tiempo de uso del dinero; un ao y 15 das

Comprobacin;

M = 400.000(1+0,02*12,5) = $500.000

Frmula para i; i = ( M/C -1)/n

Frmula para C; M /(1+i*n)

El monto de una deuda ( M ) a una fecha dada, corresponde al capital inicial ms los intereses

acumulados a esa fecha.

M = C ( 1 + i x n )



Caso

Una persona el 24 de marzo invirti $800.000 a una tasa de inters del 0,4% mensual.

a.- Cunto dinero ganar al 25 de junio del presente ao b.- Cunto dinero ganar durante el 25 de junio (1 da)

c.- Si durante los primeros 30 das de realizada la inversin se ha ganado $10.000, qu tasa de inters anual se aplic?

DESARROLLO

a.- Cunto dinero ganar al 25 de junio del presente ao

Determinacin de la cantidad exacta de das entre las dos fechas; 7+30+31+25 = 93 das

Determinacin de inters simple durante el periodo

I = C * i * n

I para 93 das = 800.000 * 0,004 * 93/30 n esta dividido por 30, dado que los meses tienen 30 das I para 93 das = $9.920

b.- Cunto dinero ganar durante el 25 de junio (1 da)

I = C * i * n

I para 1 da = 800.000 * 0,004 * 1/30 en inters simple el inters para el da 1 o el da 25 es igual

I para 1 da I = $106,6 es decir $107

c.- Si durante los primeros 30 das de realizada la inversin se ha ganado $10.000, qu tasa de inters anual se aplic?

I = C * i * n

I para 30 das = 10.000 = 800.000 * i a * 30/360

i a = 15% 10.000/(800.000*30/360)

Tiempo de uso del dinero

Nmero de das que tiene una tasa de inters anual



PRUEBA N 1

Juan Prez solicita en prstamo $ 300.000 a una tasa de inters del 2,2% mensual.

a.- Determina el inters acumulado para un periodo de:

1.- 3 meses

2.- 9 meses

3.- 2 aos

4.- 2 aos y 5 meses.

b.- Determina el inters acumulado para un ao, si la tasa de inters es de un 6 % semestral.

c.- Qu cantidad de dinero deber invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un inters de $18.000?

d.- Cul deber ser la tasa de inters mensual para que en un plazo de 2 aos, el inters resultante sea la cuarta parte del capital

inicial.

e.- Determina el inters que genera la obligacin durante el 5 mes.



Pauta de Correccin:

a.- C = $ 300.000 i = 2,2% mensual

a1 n = 3 meses I = 300.000 x 0,022 x 3 = $ 19.800 a2 n = 9 meses I = 300.000 x 0,022 x 9 = $ 59.400

a3 n = 2 aos I = 300.000 x 0,022 x 24 = $ 158.400

a4 n = 2 aos, 5 meses I = 300.000 x 0,022 x 29 = $ 191.400

b.- c = 300.000 I = C x n x i

i = 6% semestral I = 300.000 x 0.06 x 2

t = 1 ao I = $ 36.000

n = 2 semestres

c.- C = ? $ 18.000 = C x 10 x 0,022

n = 10 $ 81.818 = C

i = 2,2% mensual I = $ 18.000

d.- i = ? C / 4 = C x i x 24

n = 2 aos (24 meses) 0,25 C = C x i x 24 / : C

I = C/4 0,25 = 24 x i

C = C i = 1,0417%

e.- Se pide:

|________|________|________|________|_ |

0 1 2 3 4 5 meses

Para responder la pregunta, puedes abordar el problema de dos maneras:

a.- Como en inters simple, los intereses para los distintos periodos de uso del dinero son iguales, y el inters para el primer mes es de $ 6.600 ( 300.000 x 0,022), el inters para el quinto mes ser tambin de $ 6.600.

b.- En inters simple, los intereses no se capitalizan, es decir el capital o deuda pendiente de pago para el quinto mes es de $ 300.000 y como en este mes ( al igual que los otros meses), el inters es el resultante de multiplicar el capital por la tasa de

inters ( C x i ), $ 300.000 x 0,022 = $ 6.600.

PRUEBA N 2

Se deposita en un banco $ 400.000 a una tasa de inters del 12 % anual, durante un periodo de 3 aos.

A.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al final del periodo.

B.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al cabo de 5 meses, si en esa fecha se cierra la cuenta.

C.- Cunto dinero se deber depositar, para que en un periodo de 18 meses se acumule un monto de $ 500.000

D.- Qu tasa de inters deber aplicarse al prstamo para que el monto sea un 25% superior al capital inicial?

E.- Cunto tiempo deber mantenerse el dinero depositado para que se pueda retirar $450.000 y dejar en la cuenta el 50% del

capital depositado.



Pauta de Correccin:

A.- C = $ 400.000 M = 400.000 ( 1 + 0,12 x 3 )

i = 12 % anual M = $ 544.000

t = 3 aos

n = 3

B.- C = 400.000.- M = 400.000 ( 1 + 0,12 x 5 / 12 )

i = 12 % anual M = $ 420.000

t = 5 meses

n = 5 / 12 aos

!Recuerda! tambin puedes transformar la tasa anual a mensual. En inters simple seria 0.12 / 12 = 0.01 o 1%, por lo tanto el

monto se obtendra de la siguiente manera:

M = 400.000 ( 1 + 0.01 x 5 ) = $ 420.000

C.- M = 500.000 500.000 = C ( 1 + 0,12 X 18 / 12 )

C = ? C = $ 423.729

t = 18 meses

i = 12 % anual

n = 5 / 12 aos

Si trabajas con una tasa mensual (0,12 / 12), n ser 18 (porque en el tiempo de uso del dinero (18 meses), habrn 18 periodos mensuales de generacin de intereses), por lo tanto, el monto lo calcularamos as:

500.000 = C ( 1 + 0,12 / 12 x 18 )

C = $ 423.729

Si trabajas con una tasa semestral ( i = 0,12 / 2 = 0.06 o 6% ), por lo tanto, n = 3 (en 18 meses existen 3 semestres).

500.000 = C ( 1 + 0,06 x 3 ) = 423.729

D.- C = 400.000 500.000 = 400.000 ( 1 + 3 x i )

t = 3 aos i = 0.083

M = 500.000 i = 8,3 % anual

n = 3

i = ?

!No te olvides de colocar siempre el periodo de la tasa de inters!

E.- Dinero depositado + Dinero dejado en depsito = Monto

450.000 + 200.000 = 650.000

650.000 = 400.000 ( 1 + 0,12 x n )

n = 5,2 aos

5 aos, 2 meses ( 0,2 x 12 ), 12 das (0,4 x 30)



PRUEBA N 3 INTERS SIMPLE

SELECCIN MLTIPLE Realice los clculos al lado de las alternativas de respuesta. Marque con una X

1. Un capital de $550.000 se invirti a una tasa de inters simple del 2,2% mensual, durante un ao y 7 meses. El

inters simple del periodo es de;

a. $562.100

b. $12.100

c. $229.900

d. $729.900

2. Un capital de $550.000 se invirti a una tasa de inters simple del 2,2% mensual, durante un ao y 7 meses. El

Monto simple del periodo es de;

a. $562.100

b. $12.100

c. $229.900

d. $779.900

3. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% mensual hasta el 14 de enero

del 2010. El inters simple del prstamo es;

a. $68.600

b. $71.328

c. $72.049

d. $768.600

4. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% anual hasta el 14 de enero


a. $705.717

b. $5.683

c. $5.740

d. $5.717

5. El 14 de julio del 2009 una inversin se realiz a una tasa de inters mensual del 2,2%. Al da de hoy (20 de

agosto del 2009), se ha obtenido una ganancia de $2.389. Cunto dinero se invirti el 14 de julio? (Inters

simple)

a. $88.047

b. $99.023

c. $87.823

d. $86.890

6. El14 de julio del 2009 una inversin se realiz a una tasa de inters mensual del 2,2%. Al da de hoy (20 de

agosto del 2009), se ha obtenido una ganancia de $2.389. Cunto dinero se acumular hasta el 31 de

diciembre del 2009? (Inters simple)

a. $88.047

b. $99.023

c. $87.823

d. $86.890

7. Durante un periodo de 300 das un capital de $440.000 ha generado intereses de $9.990. La inversin otorgado

una rentabilidad del 0,45% por periodos de 60 das. El inters simple para un periodo de 600 das corresponde a;

a. Igual a $9.990 *2

b. Mayor a $9.990*2

c. Menor a $9.990 * 2

d. Ninguna de las anteriores



8. Determine el inters simple para un periodo de 600 das (considerando valores del problema anterior)

a. $19.800

b. $20.206

c. $459.800

d. 460.206

e.

9. Determine el inters simple que genera una inversin de $2.300.000 a una tasa de inters del 1,8% mensual,

durante el primer mes de la inversin:

a. $2.304.140

b. $4.140

c. $414.000

d. $41.400

10. Del problema 9, determine el inters simple que genera la inversin durante el tercer mes.

a. $42.145

b. $42.904

c. $41.400

d. $126.449

11. Cunto tiempo un capital de $800.000 debe mantenerse invertido para que genere un inters de $200.000,

considerando una rentabilidad mensual del 1,1%?

a. 1 ao, 8 meses y 11 das

b. 1 ao, 10 meses y 22 das

c. 1 ao, 10 meses y 21 das

d. 1 ao, 8 meses y 12 das

12. Si un capital de $1.650.000 por un periodo de 4 trimestres gener una ganancia de $108.000, Qu rentabilidad

trimestral se aplic?

a. 1,64%

b. 6,39%

c. 6,55%

d. 1,6%


anual gener?

a. 0,55%

b. 6,55%

c. 1,64%

d. 19,64%

14. Un capital por un periodo de 2 meses gener una ganancia de $30.000. La rentabilidad mensual era de $1%.

Determine la cantidad de dinero acumulada durante un periodo de 15 meses.

a. $225.000

b. $1.725.000

c. $240.252

d. $1.740.252

15. Don Jos el 10 de agosto prest a su amigo Diego $550.000 a una tasa de inters del 2,3% mensual simple.

Cunto dinero deber devolver Diego el 24 de enero del 2010?

a. $1.170.418

b. $613.250

c. $620.418

d. $1.163.250



16. Don Jos el 19 de agosto prest a su amigo Diego $850.000 a una tasa de inters del 0,3% trimestral simple.

Cunto dinero deber devolver Diego el 12 de Diciembre del 2009?

a. $853.258

b. $859.817

c. $852.550

d. $9.817

17. Durante un periodo de 55 das una inversin gener una ganancia de $42.600. La rentabilidad por periodos de

55 das era de 1,9%. La rentabilidad anual simple sera de; (considere el ao con 360 das)

a. 12,44%

b. 12,61%

c. 13,11%

d. 13,30%

Respuestas;

1. C 2. D 3. A 4. D 5. A 6. B 7. A 8. A 9. D 10. C 11. B 12. A 13. B 14. B 15. C 16. A 17. A



GUIA de Ejercicios Propuestos INTERS SIMPLE

1.1 Determine el inters simple de un capital de $75.000 invertido en una institucin financiera al

2,7% mensual, durante 6 meses.

1.2 Encontrar el inters simple y monto simple de un prstamo de $120.000 al 8% anual, si el

prstamo se piensa cancelar en 3 aos y tres meses.

1.3 Si se pide un prstamo de $380.000 a una tasa de inters del 1,3% anual

Cunto se debera cancelar si se desea finiquitar la obligacin una vez transcurridos 6 meses

desde la fecha de contrado el prstamo?

Qu inters devengara el prstamo en estas condiciones?

1.4 Si del problema 1.3, el monto a devolver en dicho tiempo corresponde a $450.000,

Cul es la tasa de inters mensual aplicada?

Cul es la tasa de inters trimestral aplicada?

Cul es la tasa de inters diaria aplicada, usando criterio exacto y ordinario?

1.5 Si Ud. deposita en el banco cierta cantidad de dinero, a una tasa de inters mensual del 1,2%, en cunto tiempo obtendr por concepto de intereses la mitad del capital invertido?

1.6 Si un prstamo de $1.138.000 ha generado un inters de $390.000:

Cul es la tasa de inters anual aplicada por haber usado el dinero durante 8 aos?

Cuntas semanas ha usado el dinero si la tasa de inters aplicada ha sido del 2% mensual? (considere que

un mes tiene 4 semanas)



1.7 Si Ud. hizo un depsito en un banco de $50.000 y gan $4.000 por 90 das de depsito.

Qu tasa de inters de captacin pagaba el banco por depsitos a 90 das?

Qu tasa de inters de captacin pagaba el banco por depsitos a 30 das, a inters simple?

Cunto dinero le devolvera el banco si Ud. desea mantener el dinero en depsito durante 10 aos?

1.8 Una persona invierte hoy $100.000 en una financiera a una tasa de inters de un 2% mensual,

durante 36 meses. Cul es el inters pagado por la financiera o ganado por el inversionista?



OPERACIONES A INTERS COMPUESTO

C0 M1 = C1 M2 = C2 M3 = C3

|____________ ____|_________________|_________________|

0 I1 1 I2 2 I3 3 aos

I1 = C0 x n x i ( n = 1 )

M1 = C0 + I1

I2 = M1 x n x i ( n = 1 )

M2 = C1 + I2

I3 = M2 x n x i ( n = 1 )

M3 = C2 + I3

MONTO A INTERS COMPUESTO

Monto usando frmula

CAPITAL $ 200.000

TASA 10%

N 10

MC $ 518.748

M = 200.000 (1+0,1)10

Monto usando calculo de intereses periodo a periodo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

CAPITAL INICIAL $ 200.000 $ 220.000 $ 242.000 $ 266.200 $ 292.820 $ 322.102 $ 354.312 $ 389.743 $ 428.718 $ 471.590

INTERS $ 20.000 $ 22.000 $ 24.200 $ 26.620 $ 29.282 $ 32.210 $ 35.431 $ 38.974 $ 42.872 $ 47.159

MONTO $ 220.000 $ 242.000 $ 266.200 $ 292.820 $ 322.102 $ 354.312 $ 389.743 $ 428.718 $ 471.590 $ 518.748

Despeje de Frmula para calcular n;

M = C ( 1 +i) n

M / C = ( 1 + i )

n

Log (M / C) = n log ( 1 + i )

n = log (M/C)/log(1+i)

M = C ( 1 + i ) n



Frmulas despejadas;

Frmula para C; C = M/( 1 + i ) n

Frmula para i; i = -1 o bien i = (M/C )1/n

-1

Comprobemos si la tasa de inters del 10% aplicada sobre el capital de $200.000

permite obtener el monto de $518.748 durante 10 periodos.

i a = (518.748/200000) 1/10

-1 = 10% anual

n CM /



INTERS COMPUESTO ACUMULADO, conociendo el monto compuesto:

M = C + I

I = M - C

M = C ( 1 + i ) n

I = C ( 1 + i )n - C

Frmulas despejada;

C; I/((1+i)n -1)

i; (I/C +1)1/n

-1

n; log (I/C +1 ) / log(1+i)

Ejemplo para uso de frmula

CAPITAL $ 200.000

TASA 10%

n 10

Inters Compuesto para 10 aos; 200.000*((1+0,1)10

1) = $318.748

I = C ( ( 1 + i ) n - 1 )



PRUEBA N 3

Resuelve la prueba N 1 y N 2 de inters simple, suponiendo que los intereses se capitalizan peridicamente. Recordemos las

pruebas.

PRUEBA N 1

Juan Prez solicita en prstamo $300.000 a una tasa de inters del 2,2% mensual.

a.- Determina el inters acumulado para un periodo de:

1.- 3 meses

2.- 9 meses

3.- 2 aos

4.- 2 aos y 5 meses.

b.- Determina el inters acumulado para un ao, si la tasa de inters es de un 6 % semestral.

c.- Qu cantidad de dinero deber invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un inters de $ 18.000?.

d.- Cul deber ser la tasa de inters mensual para que en un plazo de 2 aos, el inters resultante sea la cuarta parte del capital

inicial.

e.- Determina el inters que genera la obligacin durante el 5 mes.

PRUEBA N 2

Se deposita en un banco $400.000 a una tasa de inters del 12 % anual, durante un periodo de 3 aos.

A.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al final del periodo.

B.- Determina la cantidad de dinero que se retirar al cabo de 5 meses, si en esa fecha se cierra la cuenta

C.- Cunto dinero se deber depositar, para que en un periodo de 18 meses se acumule un monto de $ 500.000?

D.- Qu tasa de inters deber aplicarse al prstamo para que el monto sea un 25% superior al capital inicial?

E.- Cunto tiempo deber mantenerse el dinero depositado para que se pueda retirar $450.000 y dejar en la cuenta el 50% del capi tal depositado?



Pauta de Correccin: 1.- De la prueba N 1:

C = $ 300.000

i = 2,2% mensual compuesto

a.- 1.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )3 - 1 ) = 20.239

2.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )9 - 1 ) = 64.904

3.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )24

- 1) = 205.758

Al igual que en inters simple la tasa de inters se puede transformar de mensual a anual. (Tema que ser tratado ms

adelante).

4.- I = 300.000 ( ( 1 + 0,022 )29

- 1) = 263.894

b.- C = 300.000

t = 1 ao I = 300.000 ( ( 1 + 0,06 )2 - 1 )

i = 6%semestral I = $ 37.080

n = 2 ( semestres)

c.- t = 10 meses 18.000 = C ( ( 1 + 0,022 )10

-1 )

i = 2,2% mensual C = $ 74.041

n = 10

I = $ 18.000

d.- C = 300.000 75.000 = 300.000 ( ( 1 + i )24

- 1 )

t = 2 aos (75.000/ 300.000 ) + 1 = ( 1 + i )24

i = 2,2% mensual 1,25 = ( 1 + i )24

I = 1/4 ( 300.000) im = 0,009341

n = 24 im = 0,9341%

e.- Para calcular el inters que genera el capital durante el quinto mes, es necesario determinar el dinero adeudado al inicio del quinto mes ( saldo insoluto o

saldo de capital). Para ello, se debe calcular el monto al final del mes cuatro (se supone que no hay pagos intermedios).

M4 = 300.000 ( 1 + 0,022 ) 4 = $ 327.284

El monto resultante ($ 327.284), corresponde al capital o deuda para todo el quinto mes, por lo tanto, el inters para este mes ser:

I5 = 327.284 ( ( 1,022 )1 -1 ) = $ 7.200

Tambin podemos obtener el inters para el 5 periodo descontndole al M5 el M4.

Si te das cuenta, el inters compuesto para el 5 periodo ($ 7.200), es el mismo si se hubiese hecho a inters simple, usando como capital el M4 .!Calclalo! ). Esto se

debe, a que para un periodo de uso del dinero donde no existen an capitalizaciones, ambos mtodos (IS e IC ), arrojan el mismo resultado.

2.- De la prueba N 2 a Inters compuesto

a.- C = 400.000 M = 400.000 (1 + 0,12 )3 = $561.971 t = 3 aos

i = 12% anual

n = 3

b.- C = 400.000 M = 400.000 ( 1,12 )5/12 = $419.341 i = 12% anual

t = 5 meses

n = 5 / 12 ( aos )

Otra alternativa para resolver el problema es transformar la tasa anual a mensual ( siendo n = 5 ). El procedimiento de transformacin de tasa a

inters compuesto es tratado ms adelante.

c- M = 500.000 500.000 = C ( 1, 12 )18/12

= $ 421.835

t = 18 meses

i = 12 % anual

n = 18 / 12

d.- C = 400.000 500.000 = 400.000 ( 1 + i )3

M = 500.000 i = 0.077217345 anual

t = 3 aos i = 7,7217345 % anual

e.- C = 400.000

M = 450.000 + 0,5 x 400.000 = 650.000

i = 12 % anual

650.000 = 400.000 ( 1,12 ) n

1,625 = n 1,12 / log

n = 4,28 aos

Si n lo dejamos expresado en trminos de aos, meses y das, quedara:

4 aos, 3 meses y 10,8 das



INTERS COMPUESTO

PROBLEMAS DE SELECCIN MULTIPLE

Realice los clculos al lado de las alternativas de respuestas. Marque con una X

1. Durante un periodo de 300 das un capital de $440.000 ha generado intereses de $9.990. La inversin otorgado

una rentabilidad del 0,45% por periodos de 60 das. El inters compuesto para un periodo de 600 das

corresponde a;

a. Igual a $9.990 *2

b. Mayor a $9.990*2

c. Menor a $9.990 * 2

d. Ninguna de las anteriores

2. Determine el inters compuesto para un periodo de 600 das (considerando valores del problema anterior)

a. $19.800

b. $20.206

c. $459.800

d. 460.206

3. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% mensual hasta el 14 de enero

del 2009. El inters compuesto del prstamo es;

a. $68.600

b. $71.328

c. $72.049

d. $768.600

4. El 20 de agosto del 2009 una persona presta $700.000 a una tasa de inters del 2% anual hasta el 14 de enero


a. $705.717

b. $5.683

c. $5.740

d. $5.717

5. Determine el inters compuesto que genera una inversin de $2.300.000 a una tasa de inters del 1,8%

mensual, durante el primer mes de la inversin:

a. $2.304.140

b. $4.140

c. $414.000

d. $41.400

6. Del problema 5, determine el inters compuesto que genera la inversin durante el tercer mes.

a. $42.145

b. $42.904

c. $41.400

d. $126.449


considerando una rentabilidad mensual del 1,1%?

a. 1 ao, 8 meses y 11 das

b. 1 ao y 8 meses

c. 1 ao y 9 meses

d. 1 ao, 8 meses y 12 das




considerando una rentabilidad anual del 10,5%?

a. 2 aos, 4 meses y 18 das

b. 2 aos, 2 meses y 24 das

c. 2 aos, 2 meses y 25 das

d. 2 aos, 4 meses y 17 das


trimestral se aplic?

a. 1,64%

b. 6,39%

c. 6,55%

d. 1,6%


anual se obtuvo?

a. 0,55%

b. 6,55%

c. 1,64%

d. 19,64%

11. Un capital por un periodo de 2 meses gener una ganancia de $30.000. La rentabilidad mensual era de $1%.

Determine la cantidad de dinero acumulada durante un periodo de 15 meses.

a. $1.492.537

b. $1.522.537

c. $240.252

d. $1.732.789

12. Don Jos el 10 de agosto prest a su amigo Diego $550.000 a una tasa de inters del 2,3% mensual compuesto.

Cunto dinero deber devolver Diego el 24 de enero del 2010?

a. $1.174.219

b. $616.227

c. $625.094

d. $624.219

13. Don Jos el 19 de agosto prest a su amigo Diego $850.000 a una tasa de inters del 0,3% trimestral compuesto.

Cunto dinero deber devolver Diego el 12 de Diciembre del 2009?

a. $853.258

b. $853.260

c. $852.550

d. $9.817

14. Durante un periodo de 55 das una inversin gener una ganancia de $42.600. La rentabilidad por periodos de

55 das era de 1,9%. La rentabilidad anual simple sera de; (considere el ao con 360 das)

a. 12,44%

b. 12,61%

c. 13,11%

d. 13,30%



Resultados

1 B 2 B 3 B 4 B 5 D 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B 11 D 12 D 13 B 14 C

Ejercicio Inters Compuesto

$ 100.000

$ 1.000

0 1 2 3 4 5 meses

tasa de inters ?? mensual

inters compuesto periodo 3 y 4

Resultados im 1,00%

M3 100.000(1+0,01)3

$ 103.030

I 4 Y5 103.030((1+0,01)2 -1) $ 2.071

Ejercicio a Inters Simple e Inters compuesto

simple $ 3.493 $ 827

$ 400.000

09/09/2010 18/01/2011

tasa mensual 0,2%

compuesto $ 4.285 $ 276

tiempo 131 das

n 4,36666667 5,33333333

monto al 30 de noviembre $ 400.729

inters simple durante

el mes de diciembre

inters compuesto

durante mes de

diciembre

inters simple

durante el periodo de

inversin

inters compuesto


inversin



Desarrollo

simple $ 3.493 $ 827

$ 400.000

09/09/2010 18/01/2011

tasa mensual 0,2%

compuesto $ 4.285 $ 276

tiempo 131 das

n 4,36666667 5,33333333

monto al 30 de noviembre $ 400.729

30/11/2010 82

inters simple durante

el mes de diciembre

inters compuesto

durante mes de

diciembre

inters simple


inversin

inters compuesto


inversin



EJERCICIOS DE INTERS SIMPLE E INTERES COMPUESTO

Don Carlos acaba de depsitar en un banco $ 10.000.000

a una tasa de inters mensual del 0,25%

el tiempo de depsito ser de (aos) 2 aos

frmula resultado frmula resultado

inters del periodo I = C * i * n $ 600.000 I = C*((1+i)n - 1) $ 617.570

Monto al final del periodo M = C*(1+i*n) $ 10.600.000 M = C*(1+i)n $ 10.617.570

I = C * i * n $ 25.000 M = C*(1+i)n $ 10.125.627

I = C*((1+i)n - 1) $ 25.314

inters durante el primer trimestre I = C * i * n $ 75.000 I = C*((1+i)n - 1) $ 75.188

n = I/(C*i) 1,40n =

log(I/C+1)/log(1+0,0

025)1,399301919

n en das 42 41,97905758

n = I/(C*i) 4,00n =

log(I/C+1)/log(1+0,0

025)3,985105436

en das 120 119,5531631

si durante 9 meses se ha ganado $15.000,

qu tasa de inters mensual se ha aplicado?

i = I/(C*n) 0,0166667% i = ((I/C +1) (1/n) -1) 0,0166556%

cunto dinero se debe invertir para que

durante dos aos se obtenga una ganancia

de $30.000?

C = I/(i*n) $ 500.000 C = I/((1+i)n -1) $ 485.775

modalidad de clculo

inters simple inters compuesto

inters durante el mes 6

cuanto tiempo es necesario mantener el

depsito para ganar $100.000

cunto tiempo es necesario mantener el

depsito para ganar $35.000?

En primera columna registre la frmula a utilizar; en la segunda columna dele valores correspondientes a la frmula y en la tercera columna registre el resultado.

El ejercicio debe ser resuelto en Excel. (Si no ha tenido el ramo de computacin desarrollarlo manualmente.



TIEMPO DE USO DEL DINERO.

DETERMINACIN DEL NMERO DE DAS ENTRE DOS FECHAS.

Criterio Exacto: Se cuenta el nmero exacto de das existente entre la fecha inicial y la fecha terminal.

Criterio aproximado: Se cuenta el nmero de das de la fraccin de ao entre la fecha inicial y fecha terminal, considerando que el

mes tiene 30 das (si el mes tiene 28 29, 30 o 31 das, se considera que tiene 30 das).

Para contar los das es costumbre excluir el primer da e incluir el ltimo.

Si se invierte el 15 de marzo y se retira la inversin el 16 de marzo, el tiempo es de slo 1 da: o Se considera solo el da 16 de marzo. o Se puede obtener restando 16 15= 1 da

DETERMINACIN DE LA FECHA DE VENCIMIENTO (FF) DE UNA DEUDA

1.- Si el plazo esta dado en das, la fecha de vencimiento va a ser:

FF = Fecha inicial + N exacto de das

2.- Si el plazo esta expresado en meses ( aos ), la fecha de vencimiento ser:

FF = Fecha inicial + N de meses ( aos )

Ejercicio:

Determina el tiempo transcurrido entre el:

1.- 16.02.07 y 12.10.07

2.- 16.02.07 y 12.10.08

Respuesta:

1.- Como puedes observar, el tiempo entre las dos fechas es menor a un ao, por lo tanto, se debe utilizar el criterio exacto.

MESES PARTICIPANTES DAS DEL MES

DAS DE USO

DEL DINERO

EN EL MES

Febrero 28 12

Marzo 31 31

Abril 30 30

Mayo 31 31

Junio 30 30

Julio 31 31

Agosto 31 31

Septiembre 30 30

Octubre 31 12

total 238

2.- Como puedes observar, el tiempo entre las dos fechas es superior a un ao, por lo tanto, se debe utilizar el criterio

aproximado.

2008 aos 10 meses 12 das

menos 2007 aos 2 meses 16 das

1 ao 7 meses 26 das

es decir, 1 x 360 + 7 x 30 + 26 = 596 das

(Como la resta de 12 menos 16 arroja un resultado negativo, se debe pedir prestado a la columna de meses 1 mes, llegando a la

columna de das, 30 das, por lo tanto, quedara 30 + 2 16 = 26 das)

Ejercicio

Supn que la fecha inicial es el 30.03.07. Determina la fecha de vencimiento en los siguientes casos:

a.- plazo 90 das

b.- plazo 3 meses

c.- plazo 3 aos



Respuesta:

a.- = 28.06.07 (exacto)

b.- = 30.06.07 (aprox.)

c.- = 30.03.2010 (aprox.)

Para el caso a.- en que el plazo esta dado en das, se ha de usar el criterio exacto en la determinacin de la fecha de

vencimiento.

Por otro lado, para resolver el problema a..- es posible utilizar la siguiente metodologa:

MESES

PARTICIPANTES

DAS DE CADA

MES

DAS DE USO DEL

DINERO EN CADA

MES

DAS

ACUMULADOS

Marzo 31 1 1

Abril 30 30 31

Mayo 31 31 62

Junio 30 28 90

Hasta el 31 de Mayo se ha usado 62 das el dinero, faltan 28 das para completar los 90 das pactados, por lo tanto, estos

28 das son los correspondientes al mes de Junio, es decir, FF = 28 de Junio.

EJERCICIOS PROPUESTOS Tiempo de Uso del Dinero

3.1 Determine el tiempo de uso del dinero en forma exacta y aproximada, para los siguientes periodos:

3.1.1 Del 12.05 06 al 19.12.06 3.1.2 Del 24.01.06 al 22.08.06 3.1.3 Del 18.10.06 al 14.02.06

Problemas de determinacin de la fecha de vencimiento

3.2 Determinar la fecha de vencimiento para los siguientes casos:

3.2.1 Se contrae una obligacin el 25.04.06, con vencimiento en:

TIEMPO FECHA DE VENCIMIENTO

a.-120 das

b.- 88 das

c.- Un ao y tres meses

d.- Cuatro meses

3.2.2 Se contrae una obligacin el 08.06.06, con vencimiento en:

TIEMPO FECHA DE VENCIMIENTO

a.- 90 das

b.- 6 meses

c.- dos aos , tres meses y 22 das

3.3 Un Capital de $2.000.000 se deposit el 25 de enero del presente ao, a una tasa de inters del 3,6% anual. 3.3.1 Si el tiempo de depsito es de 200 das, cul es la fecha de vencimiento del depsito? 3.3.2 En qu fecha el capital genera un inters de $33.000?



PRUEBA N 4

Juan Prez prest a su amigo David Ral $300.000 el 18.03.07, a una tasa de inters del 15% anual. David Ral se

comprometi a devolver el prstamo ms los intereses el 22.05.07.

a.- Determina el tiempo de uso del dinero ,segn criterio exacto y aproximado. b.- Determina la tasa de inters equivalente mensual a inters simple y a inters compuesto. c.- Calcula el inters que genera la deuda, a inters simple y a inters compuesto. d.- Si el plazo del prstamo hubiese sido de 2 meses:

1.- Determina su fecha de vencimiento

2.- Calcula el inters del prstamo (IS e IC)

e.- Si Juan Prez desea que el prstamo genere $15.000 por concepto de inters, Cul debera ser la fecha de vencimiento de la deuda a inters simple e inters compuesto (mantenindose la tasa de inters).

f.- Determina el inters que genera la deuda entre los das 14.04.07 y 21.04.07 (ambas fecha inclusive). ( IS, IC ) g.- Cunto debera ser el dinero prestado por Juan Prez para obtener un monto de $400.000.- (IS, IC). h.- Explica porqu en la letra c, el inters compuesto resulta ser menor que el inters simple.

Pauta de Correccin

a.-

Determinacin de tiempo exacto: 18.03.07 --- 22.05.07

Marzo 31 13

Abril 30 30

Mayo 31 22

65 das

Determinacin de tiempo aproximado

ao mes da 97 05 22 97 03 18

0 2 4

2 x 30 + 4

60 + 4 = 64 das

b.-

Tasa de inters equivalente mensual simple

0,15 = 1,25 %

12

Tasa equivalente mensual compuesto

( 1 + 0,15 )1 = ( 1 + im )12 => im = 1.17 %

c.-

Inters que genera la deuda a inters simple

I = 300.000 x 0,15 x 65 = $ 8.125

360

Inters que genera la deuda a inters compuesto

Tasa equivalente diaria ( 1 + 0,15 )1 = ( 1 + id )

360

id = 0,000388303

id = 0,0388303%

I = 300.000 [(1.000388303)65 -1 ) = $ 7.667

d.-

1.- Fecha de Vencimiento: 18.05.07

2.- Inters Simple:

I = 300.000 x 0,15 x 2 = $ 7.500

12

Inters Compuesto



I = 300.000 ( (1,0117)2 -1 ) = $ 7.061

e.-

1.-

I = 15.000

C = 300.000

i = 15% anual

a inters simple:

I = C x n x i

15.000 = 300.000 x 0,15 x n

n = 0,333 aos

n = de ao

n = 4 meses

=> fecha de vencimiento: 18.07.07 (aproximado )

a inters compuesto:

15.000 = 300.000 ((1,15)n -1 )

1.05 = (1 .15)n /log.n n = log(1.05)

log (1,15)

n = 0.3490947774 ao

tiempo : 4 meses, 5 das, 16 horas

fecha de vencimiento: 24.07.07

Al emplear el mtodo de Inters Compuesto se requiere mayor tiempo que en inters simple debido a que la tasa de

inters equivalente mensual compuesta es menor a la tasa de inters equivalente mensual simple:

f.-

Periodo 14.04.07 --- 21.04.07 (ambos fechas inclusive) Das exactos : 8

a.- Inters para el periodo (8 das): mtodo simple

I = 300.000 x 0,15 x 8 = $ 1.000

360

b.- Inters para el periodo (8 das): mtodo compuesto

1.- Clculo del Monto acumulado al da 13.04.07

M = 300.000 ( 1 + 0,0117 ) 26/30

M = 303.040

Tambin pudiste calcular el monto, utilizando una tasa equivalente diaria, y usando como exponente 26 (nmero de das

exactos entre el 18.03 y el 13.04)

I = 303.040 ( (1,000388303)8 -1 ) = $ 943

g.-

M = $ 400.000

C = ? i = 15% anual

5 = 65 das

a) Inters simple

400.000 = C ( 0,15 x 65 + 1)

360

C = $389.452

b.- Inters Compuesto

400.000 = C (1 + 0,000388303 )65 C = $390.032

h.- En c el inters compuesto es menor al inters simple, para el tiempo indicado, debido a que la tasa de inters equivalente

mensual compuesta es menor a la tasa equivalente mensual simple:



TASAS DE INTERS EN OPERACIONES DE CRDITO

1. Aspectos Introductorios

Para determinar la cantidad de inters que genera un depsito o prstamo, se debe

considerar los siguientes factores:

1. La cantidad de dinero depositado o solicitado en prstamo (Capital; C) 2. El tiempo que involucra la operacin (t) 3. La tasa de inters pactada entre las partes (i) 4. La modalidad de clculo del inters. En este caso puede ser:

a. Inters Simple: Los intereses que genera la deuda no se capitalizan (no se suman al capital, para el clculo del prximo periodo de generacin de

inters)

b. Inters Compuesto: Los intereses que genera la deuda se capitalizan (se suman al capital, para el clculo del prximo periodo de generacin de

inters)

A continuacin se desarrollar el efecto que provoca la utilizacin de la tasa de

inters en el clculo de intereses.

Recordar NO es lo mismo INTERS ($5.300) que

TASA DE INTERS (0,12% mensual)

2. Concepto de Tasa de Inters

Es aquel porcentaje que se aplica, por unidad de tiempo, sobre cierto capital con el objeto de determinar la cuanta de inters que genera el depsito o prstamo,

en dicho tiempo.

Porcentaje de un monto de dinero prestado por un periodo, que tiene que pagar el agente econmico que usa los fondos, al propietario de ellos.

Es lo que se debe pagar por el derecho de usar fondos que se prestan, expresado como porcentaje de lo que se debe.

Es el precio (%) que permite regular la oferta y la demanda de fondos en una economa, obtenindose de esta forma una mejor distribucin de los recursos

crediticios.

Factor que determina cuanto vas a ganar por prestar tu dinero como depsito o cuanto dinero pagars por concepto de prstamo.



3. Tipos de tasas de Inters

1.- Tasa Activa Bancaria: TAB: Esta tasa es calculada por la asociacin de Bancos

e Instituciones Financieras y corresponde a la tasa mnima a la cual puedan

prestar los Bancos, pues de lo contrario pierden dinero. Se calcula tomando la

tasa mxima de captacin para depsitos a 90, 180 y 360 das y agregando el

costo de encaje Bancario y la inflacin. Se calcula agregndole a la tasa mxima

de captacin el encaje bancario y la inflacin

2.- Tasa de Captacin: Es la tasa de inters que los Bancos e instituciones

financieras ofrecen pagar sobre el capital, a los agentes econmicos que

depositen su dinero por un periodo determinado.

3.- Tasa de Colocacin: Se refiere a la tasa de inters que aplican los Bancos e

Instituciones financieras a las empresas y personas, por prestarle una

determinada cantidad de dinero, por un cierto tiempo.

4.- Tasas de Corte. Es un tipo de inters que aplica el Banco Central a otras

entidades financieras que se ven obligadas por medio de un pagar.

5.- Tasa de Descuento: Tasa de inters que el Banco Central impone a los

prstamos otorgados a los bancos comerciales. Se aplica este concepto tambin

a las operaciones con letras en cobranza, en especial cuando son de montos altos,

a la que se aplica una tasa de descuento. En esta operacin el banco paga en

forma anticipada al cedente.

6.- Tasa de Encaje: Porcentaje del monto total de depsitos en los bancos e

instituciones financieras que la autoridad monetaria exige que se mantengan

como reservas. Las tasas de encaje exigidas difieren en los distintos tipos de

depsitos que realizan los bancos e instituciones financieras.

7.- Tasa de Inters Fija: Es aquella que mantiene su valor, para ser aplicada por

distintos periodos durante cierto tiempo. Por ejemplo. Prstamo de consumo a 12

meses, a una tasa de inters del 1,3% mensual. Esta tasa se aplica los doce meses

para determinar los intereses que se genera mes a mes.

La Tasa de Inters Variable se caracteriza por que para cada

periodo para determinar el inters se utiliza una tasa de distinto

valor. En el mercado financiero chileno, un ejemplo puede ser la

tasa de inters de depsito a plazo con renovacin automtica. Para

cada periodo se utiliza la tasa de inters que esta en pizarra o la que

el cliente negocia con el banco.

8.- Tasa de Inters Nominal: Es aquella tasa de inters que se paga o se cobra en

trminos monetarios. Incluye el pago por la prdida de poder adquisitivo que se



genera en los fondos prestados producto de la inflacin. Se obtiene agregndole a la tasa

de inters real la inflacin del periodo que indica la tasa.

9.- Tasa de Inters Penal: Sobretasa a aplicar sobre aquella cuota de un prstamo

que se ha pagado fuera del plazo de vencimiento. Su monto est definido y

equivale a la tasa mxima convencional.

10.- Tasa de Inters Real: Es aquella tasa de inters que mide realmente el precio

que se paga por utilizar los fondos ajenos, una vez descontados los efectos de la

inflacin sobre el poder de compra de dichos fondos. La tasa de inters real se

calcula, en forma aproximada, como la tasa de inters nominal menos la tasa de

inflacin para un periodo determinado.

11.- Tasa de Inters promedio (TIP): Es el promedio de las tasas de captacin y

colocacin del sistema financiero. Es una tasa referencial que sirve para observar

cunto esta pagando en promedio la banca en sus instrumentos.

Las tasas TIP pueden ser:

1.- Para operaciones no reajustables de entre 30 y 89 das

2.- Colocaciones no reajustables para el pblico en general y los

bancos para 30 y 89 das.

3.- Captaciones reajustables (UF + tasa de inters real) para plazos

entre 90 y 365 das.

Todo este clculo lo realiza diariamente el Banco Central de

Chile.

12.-. Tasa Interbancaria: Es la tasa de inters que aplican los bancos para prstamos

entre s. sta es menor que la tasa de colocacin entregada al pblico por las

instituciones financieras, sto debido a diferentes factores tales como el mayor

volumen de montos transados y el menor riesgo de un Banco como deudor.

13.- Tasa Interna de Retorno (T.I.R): Es la tasa a la cual se consiguen depsitos en

los bancos. Esta tasa representa el mnimo a la cual podran prestar dichos

fondos, ya que nadie puede obtener por un prstamo una tasa inferior a la que al

banco le costo obtener los fondos. Es un promedio ponderado, pero ocupando

como ponderadores los activos de cada banco y se determina para captaciones

nominales a 30 das, y reales a 90 y 360 das.

Desde el punto de vista de la Evaluacin de Inversiones la Tasa Interna de

Retorno: Es aquella tasa de descuento que al ser utilizada para realizar una

actualizacin de flujos futuros de ingresos netos de un proyecto de inversin,

hace que el valor actual neto (VAN) de esta alternativa sea igual a cero. Es una

medida de la rentabilidad que nos generara la inversin que se evala.



4. Caractersticas de la Tasa de Inters

o Es un porcentaje (%, 4,5%; 0,2%) o Se puede considerar como sinnimo, Rentabilidad o Esta referido a un tiempo determinado (0,3% para un periodo de 35 das; 6,4%

anual)

o Se puede obtener dividiendo la ganancia que genera una inversin por la inversin realizada, o bien, dividir el inters que genera un capital por el capital

invertido.

o El valor de la tasa de inters puede depender de: o El poder de negociacin de las partes o La tasa de inters que establezca el Banco Central o El riesgo del cliente o De la cantidad de dinero invertida o solicitada en prstamo o Del plazo del crdito o Otras.

5. Efecto que provoca la Modalidad de Clculo de Inters en la Tasa de

Inters

Se debe recordar que los intereses se pueden determinar ya sea a Inters Simple (no se

capitalizan los intereses) o a Inters Compuesto (se capitalizan los intereses).

La modificacin de la tasa de inters de un periodo a otro, va a tener efectos distintos si

se trata a inters simple o a inters compuesto.

Veamos un ejemplo:

Capital: $ 2.000.000

Tasa de Inters: 1% mensual

Tiempo: 2 aos

n: 24

Inters Simple Inters Compuesto

I = C i*n

I = 2.000.000 * 0,01*24

I = $ 480.000

I = C ((1 + i ) n -1 )

I = 2.000.000*((1+0,01) 24

- 1)

I = $ 539.469

Si se transforma la tasa de inters mensual a una tasa anual, multiplicando la tasa

mensual por 12, obtendremos una tasa de 12% anual.



Ahora con la nueva tasa volvamos a determinar el inters que genera el capital de

$2.000.000 por un periodo de 2 aos.

Con esta modificacin, n = 2

Con la tasa anual, los intereses se capitalizan

anualmente. Por lo tanto en un periodo de dos aos

habr dos capitalizaciones de intereses, es decir, n

= 2

Inters Simple Inters Compuesto

I = C i*n

I = 2.000.000 * 0,12*2

I = $ 480.000

I = C ((1 + i ) n -1 )

I = 2.000.000*((1+0,12) 2 - 1)

I = $ 508.800

Comentario:

o Si la operacin es a INTERS SIMPLE, al cambiar la tasa de inters de un periodo a otro (por supuesto cambiando n, dado que el valor de n depende del

tiempo de uso del dinero y del tiempo en que esta expresada la tasa de inters),

el inters resultante no se ve modificado.

o Si la operacin es a INTERS COMPUESTO, al cambiar la tasa de inters de un periodo a otro, multiplicando o dividiendo la tasa, segn corresponda (en

este caso, la tasa mensual se multiplic por 12 para pasar la tasa mensual a

anual), (por supuesto cambiando n, dado que el valor de n depende del tiempo

de uso del dinero y del tiempo en que esta expresada la tasa de inters), el

inters resultante es diferente.

o Con la tasa anual, para un periodo de dos aos, se obtiene menores intereses que si se aplica una tasa mensual. Esto se debe a que al aplicar

una tasa anual, la capitalizacin de los intereses se realiza una vez que

ha transcurrido recin un ao, por lo tanto en el periodo de dos aos solo

se van a producir dos capitalizaciones de intereses. En cambio, si se

aplica la tasa mensual, las capitalizaciones de intereses se producirn

mes a mes, es decir, en el periodo de dos aos habr 24 capitalizaciones

de intereses, generando con ello, mayores intereses.

Por lo tanto, para cambiar tasas de

inters se debe tener en cuenta si la

operacin de crdito es a inters simple

o a inters compuesto.



5.1 TRANSFORMACIN DE TASAS DE INTERS EN OPERACIONES A

INTERS SIMPLE

Situacin A

Si una tasa anual se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella se

debe dividir segn corresponda:

1. Transformacin de Tasa anual a Tasa Semestral: ia / 2 2. Transformacin de Tasa anual a Tasa Trimestral: ia / 4 3. Transformacin de Tasa anual a Tasa Mensual: ia / 12 4. Transformacin de Tasa anual a Tasa Diaria: ia / 360

En este ltimo caso, el dividir la tasa anual por 360, se conoce con el

nombre de transformacin de tasa segn criterio ordinario. Existe el

criterio exacto, donde la tasa anual se divide por la cantidad de das

exactos que tiene el ao (365 o 366 si es bisiesto), pero en la prctica no

es utilizado.

Situacin B

Si una tasa semestral se desea transformar a una tasa por un periodo menor,

aquella se debe dividir segn corresponda:

1.- Transformacin de Tasa semestral a Tasa Trimestral: is / 2

2. Transformacin de Tasa semestral a Tasa Mensual: is / 6 3. Transformacin de Tasa semestral a Tasa Diaria: is / 180



Situacin C

Si una tasa Trimestral se desea transformar a una tasa por un periodo menor, aquella

se debe dividir segn corresponda:

1. Transformacin de Tasa trimestral a Tasa mensual: itr / 3 2. Transformacin de Tasa trimestral a Tasa Diaria: itr / 90

Situacin D

Si una tasa Mensual se desea transformar a una tasa diaria, la tasa mensual se debe

dividir por 30 (criterio ordinario).

El criterio exacto, que consiste en dividir la tasa

mensual por 28, 29, 30 o 31 das, segn sea el

mes en cuestin, no es aplicado en la prctica.

Situacin E

Si se desea transformar una tasa de inters para un periodo mayor, la tasa debe

ser multiplicada, segn sea el caso:

1. De tasa diaria a tasa mensual: id * 30 2. De tasa diaria a tasa trimestral: id * 90 3. De tasa diaria a tasa semestral: id * 180 4. De tasa diaria a tasa anual : id * 360 5. De tasa mensual a tasa trimestral: im*3 6. De tasa mensual a tasa semestral: im*6 7. De tasa mensual a tasa anual: im*12 8. De tasa trimestral a tasa semestral: itr*2 9. De tasa trimestral a tasa anual: itr*4 10. De tasa semestral a tasa anual: is*2

5.2 TASAS DE INTERS EN OPERACIONES A INTERS COMPUESTO

En operaciones a Inters compuesto es necesario distinguir entre las siguientes tasas de

inters:

o Tasa de Inters Nominal o Tasa de Inters Efectiva o Tasa de Inters Equivalente



5.2.1 Tasa de Inters Nominal

Se refiere a aquella tasa de inters pactada por las partes en una operacin de crdito,

que se aplica sobre el capital o dinero adeudado para generar intereses, durante el

periodo indicado en la tasa de inters.

Ejemplo: Un capital de $500.000 a una tasa de inters del 2% trimestral.

o El inters resultante para un trimestre sera de $10.000 (500.000 * 0,02)

o La tasa de inters nominal trimestral es de un 2%

5.2.1.1 Capitalizaciones de los Intereses

En general, cuando se seala una tasa nominal anual, significa que los intereses se van a

capitalizar (sumar los intereses al capital), cada vez que se cumpla un ao.

Si la tasa de inters es nominal mensual, al final de cada mes los intereses

se sumarn al capital.

Si la tasa de inters nominal es por periodos de 55 das, cada 55 das los

intereses se capitalizarn.

En la frmula de INTERS COMPUESTO, I = C*((1+i)n 1), el exponente

n representa la cantidad de capitalizaciones de intereses que se producir durante el tiempo de uso del dinero.



5.2.1.2 Capitalizacin de Intereses en un periodo menor al tiempo de la Tasa de

Inters

Existen operaciones de crdito en que la capitalizacin de los intereses no se realiza en

el tiempo indicado en la tasa de inters nominal.

(En este caso NO se debe usar el concepto

nominal para relacionarlo con la inflacin.

Tema se ver ms adelante).

Por ejemplo, los crditos hipotecarios que otorgan los bancos, generalmente se

establecen a una tasa anual, pero las cuotas se pactan mensualmente. En este caso, como

la deuda cambia mes a mes, es necesario determinar los intereses mensualmente, es

decir, la capitalizacin de intereses es mensual.

Implcitamente la tasa anual es con capitalizacin mensual

Por ejemplo, si la tasa anual es del 6% y la capitalizacin de

intereses es mensual, la tasa de inters por periodo de

capitalizacin sera: 6%/12, es decir, 0,5%.

Para calcular los intereses mensuales se debe usar la tasa del 0,5%

En estos casos la tasa de inters por periodo de capitalizacin ya no es la tasa nominal.

Alternativas de Tasas de Inters por Periodos de Capitalizacin

Tasa por periodo de capitalizacin

o Tasa anual con capitalizacin mensual ia / 12 o Tasa anual con capitalizacin trimestral ia / 4 o Tasa anual con capitalizacin semestral ia / 2 o Tasa semestral con capitalizacin mensual is / 6 o Tasa semestral con capitalizacin trimestral is / 2 o Tasa trimestral con capitalizacin mensual it / 3

En Chile, el periodo mnimo de capitalizacin es de 30 das



Efectos de la Capitalizacin de los intereses en n

Es necesario recordar, que n es nmero de veces que se genera intereses en el tiempo de uso del dinero.

En el caso de inters compuesto, donde la capitalizacin de intereses es por periodos

menores a lo indicado en la tasa de inters, el exponente de la frmula I = C*((1+i)n

1) representa la cantidad de veces que se capitalizan intereses en el tiempo de uso del dinero.

Ejemplo:

Capital: $500.000

Tasa de inters anual con capitalizacin mensual: 15%

Tiempo de uso del dinero: 3 aos

Tasa de

inters por

periodo de

capitalizacin:

0,15/12

n 36

I = 500.000*((1+0,15/12)36

- 1) = $ 281.972

Ejemplo; Del problema anterior, determinemos el inters para los primeros 7

meses

Tasa de

inters por

periodo de

capitalizacin:

0,15/12

n 7

I = 500.000*((1+0,15/12)7 - 1) = $ 45.425

Del siguiente ejemplo, explica que cambios hay

respecto al ejercicio anterior

I = 500.000*((1+0,15)7/12

- 1)

NOTA. Si la tasa de inters se pacta para cierto tiempo y la capitalizacin de los

intereses es por dicho periodo, NO corresponde transformar la tasa de inters de

un periodo a otro



(ya sea dividiendo o multiplicando), porque distorsionara los

resultados.

5.2.2 Tasa de Inters Efectiva

Cuando la capitalizacin de intereses es por periodos menores al tiempo de la tasa de

inters, el inters resultante es mayor que si la capitalizacin es por el tiempo que indica

la tasa. Mientras mayores sean las capitalizaciones mayores sern los intereses para un

mismo periodo.

Por lo tanto es posible encontrar que frente a la misma tasa de inters nominal, durante

un mismo tiempo, cierto capital puede generar distintos intereses. Veamos un ejemplo;

Capital: $2.000.000

Tiempo de uso del dinero: 4 aos

Tasa nominal anual; 12% Tasa nominal anual con capitalizacin

mensual; 12%

Tasa de inters por periodo de

capitalizacin: 0,12 (12%)

Tasa de inters por periodo de

capitalizacin: 0,12/12 (12%/12)

I = C*((1+i)n 1) I = C*((1+i)n 1)

I = 2.000.000*((1+0,12)4-1) I = 2.000.000*((1+0,12/12)

48-1)

I = $ 1.147.039 I = $ 1.224.452

Por lo tanto, para tomar decisiones

no basta con conocer la tasa de

inters nominal de un crdito, sino

ms bien, la tasa de inters efectiva

que se esta aplicando a un

prstamo.

5.2.2.1 Concepto de Tasa de Inters Efectiva

o Corresponde a aquella tasa de inters que permite generar intereses, durante cierto tiempo, con una sola capitalizacin de intereses.

o Se obtiene dividiendo el inters que genera la inversin, depsito o prstamo durante cierto tiempo, por la cantidad de dinero invertido, depositado o

solicitado en prstamo.

Tasa de inters efectiva: Inters (que genera la inversin)

Inversin



Ejemplo:

Capital (Inversin): $300.000

Inters anual: $60.000

Tasa efectiva anual: iea: 60.000 / 300.000

Tasa efectiva anual: iea: 0,2

Tasa efectiva anual: iea: 20%

o Es posible determinar la tasa efectiva para cualquier tiempo. (lo importante es que debe haber una sola capitalizacin de intereses en dicho periodo). Por

ejemplo:

o Tasa de inters efectiva anual: Inters anual / Inversin o Tasa de inters efectiva semestral: Inters semestral / Inversin o Tasa de inters efectiva trimestral: Inters trimestral / Inversin o Tasa de inters efectiva mensual: Inters mensual / Inversin o Tasa de inters efectiva 45 das: Inters para 45 das / Inversin

o La tasa efectiva es igual a la tasa nominal cuando la capitalizacin de los intereses de la tasa nominal se produce en el tiempo indicado en esta ltima. Por

ejemplo, si la tasa nominal anual es de 10% y la capitalizacin de intereses es

anual, la tasa efectiva anual es de un 10%.

o Cuando la tasa nominal pactada tiene capitalizaciones de intereses en periodos menores al tiempo sealado en la tasa de inters (ejemplo, 6% anual con

capitalizacin mensual), la tasa efectiva ser mayor a la tasa nominal.

Comprobacin:

Capital:

$800.000

Tiempo: 12

meses

Tasa nominal anual con capitalizacin mensual: 6%

I 12 meses: 800.000*((1+0,06/12)12

-1) = $ 49.342

Clculo de tasa efectiva anual:

Frmula: Inters efectivo anual / Inversin

(capital)

Tasa efectiva anual: 49.342 / 800.000

Tasa efectiva anual: 6,17% La tasa nominal anual pactada es de un 6%, pero efectivamente se esta pagando por el prstamo un 6,17%. Es este ltimo dato el que se debe tener presente para la toma de decisiones.



Los bancos cuando ofrecen, por los crditos hipotecarios, una determinada tasa de inters anual, la tasa efectiva que ganan es mayor, dado que la capitalizacin de intereses es mensual. (la letra chica!)

5.2.3 Tasa de Inters Equivalente

5.2.3.1 Antecedentes Previos

Como se ha demostrado anteriormente, en inters compuesto, al cambiar la tasa de

inters, utilizando el procedimiento descrito en inters simple (dividiendo la tasa o

multiplicndola), los intereses resultantes son distintos.

Hasta el momento, cuando el tiempo de uso del dinero se encuentra expresado de un

modo distinto a como esta establecida la tasa de inters (tiempo en das y la tasa anual),

se ha procedido a dejar establecido el tiempo de uso del dinero al periodo en que esta

expresada la tasa de inters. Algunos ejemplos.

Tasa de inters anual: 15%

Tiempo de uso del dinero: 7 meses

La tasa se expresa: 15% o bien 0,15

El tiempo se expresa: n 7/12


Tiempo de uso del dinero: 267 das



Tasa de inters semestral: 4%




Tasa de inters mensual: 1,2%

Tiempo de uso del dinero: 267 das

La tasa se expresa: 1,2% o bien 0,012


Tambin se ha podido comprobar que si en vez de transformar el tiempo, se deja

expresada la tasa de inters al modo como esta expresado el tiempo de uso del dinero,

los intereses resultantes en inters simple no sufren modificacin, pero a inters

compuesto cambian.



Para su comprobacin tomemos los siguientes datos:

Capital: $2.000.000



Tiempo segn tasa de inters Tasa de inters segn se expresa el

tiempo de uso del dinero

Tasa de inters anual: 0,15

Tiempo de uso del dinero: 7/12

Tasa de inters 0,15/12

Tiempo de uso del dinero 7

I = C*((1+i)n 1) I = C*((1+i)n 1)

I = 2.000.000*(1+0,15)7/12

-1) I = 2.000.000*(1+0,15/12)7-1)

I = $ 169.887 I = $ 181.701

Se produce mayores intereses dado

que la capitalizacin de intereses es

mensual

Si se desea calcular intereses pero trabajando con una tasa de inters por un periodo

distinto al pactado, y no se quiere que se produzcan distorsiones en los intereses, se

debe calcular una tasa de inters que sea equivalente a la establecida originalmente.



5.2.3.2 Concepto de Tasa Equivalente

Dos tasas de inters son equivalentes, si aplicadas sobre un mismo capital, durante

un mismo tiempo, permiten generar un mismo inters o monto.

La tasa equivalente se puede determinar tanto a inters simple como

compuesto. (En inters simple basta multiplicar o dividir la tasa. En

inters compuesto se ver a continuacin su procedimiento de

clculo).

Procedimiento para determinar Tasa de Inters Equivalente

Alternativa 1:

PASO A: Con la tasa de inters pactada (original) se determina el inters que

generar el capital por el tiempo establecido.

PASO B: Con el inters obtenido en PASO A, se calcula la tasa de inters que

permita generar al capital establecido en el tiempo sealado, el inters

respectivo. (Se obtiene la tasa de inters equivalente)

Ejemplo:

Capital: $3.000.000

Tiempo: 2 aos

Tasa nominal semestral: 5%

SE PIDE: Tasa equivalente mensual: iem

PASO A: I 2 aos: 3.000.000*((1+0,05)4 1) = $ 646.519

PASO B: I 2 aos: 3.000.000*((1+ iem)24

1)

Ahora como la tasa que se solicita es mensual, la

cantidad de capitalizaciones en dos aos n es 24

646.519: 3.000.000*((1+ iem)24

1)

El inters que debe generar el capital para un

periodo de dos aos, aplicando una tasa de inters

mensual, debe ser de $646.519.

o Si se despeja la ecuacin, se obtendr la tasa equivalente mensual de la tasa del 5% semestral.



o Es posible aplicar la siguiente frmula (obtenida del despeje de la frmula de inters)

Tasa de inters: n CI 1/ - 1

Apliquemos la frmula

Tasa de inters mensual: 24 )13000000/646519( -

1

Tasa de inters mensual: 0,81648%

Comprobacin:

Para comprobar si la tasa determinada es equivalente a tasa

original vamos a determinar el inters que genera un capital de

$1.000.000 durante 128 das.

Para cualquier tiempo y capital la tasa equivalente debe generar el

mismo inters que la tasa original.

Capital: $1.000.000

Tiempo: 128 das

Tasa SEMESTRAL: 5% Tasa equivalente MENSUAL:

0,81648%

I = C*((1+i)n 1) I = C*((1+i)n 1)

I = 1.000.000*((1+0,05)128/180

-1) I = 1.000.000*((1+0,0081648)128/30

-1)

I = $ 35.304 I = $ 35.304

AMBAS TASAS SON EQUIVALENTES

Ver anexo N1 tasas de inters nominal, efectiva y equivalente



Es aquella tasa de inters que las partes pactan. Esta refirida a cierto periodo

ejemplo 3,94% anual crdito hipotecario

0,12% 30 das depsito a plazo

capital $ 2.000.000 $ 2.000.000 $ 2.000.000

tasa nominal anual 15% 15% 15%

tiempo (das) 200 200 200

capitalizacin de intereses anual mensual trimestral

tasa de inters por periodo de

capitalizacin 15% 0,15/12 0,15/4

Inters Compuesto (frmula)

inters compuesto $ 161.479 $ 172.686 $ 170.497

inters para un mes $ 23.430 $ 25.000 $ 24.694

iem 1,17% 1,25% 1,23%

inters para un trimestre

ietr

TASAS DE INTERS EQUIVALENTE

tasas de inters nominal 12% 1%

tiempo de la tasa anual mensual

capital

tiempo (das)

inters simple (frmula)

inters simple $ 16.667 $ 16.667 I = C*i*n

inters compuesto (frmula)

inters compuesto $ 15.990 $ 16.862

calculo de tasa equivalente anual 16.862 = 500.000*((1+ia)100/360

- 1)

12,68%

son tasas equivalentes

no son tasas equivalentes

inters para un trimestre

capitaltasa efectiva trimestral

Dos tasas de inters son equivalentes, si aplicadas sobre un mismo capital durante un mismo tiempo, generan un

mismo inters o monto

$ 500.000

100

TASAS DE INTERS NOMINAL, EFECTIVA Y EQUIVALENTE

tasa efectiva mensualinters para un mes

capital



EJERCICIO N 1

Capital $ 3.000.000

Fecha de inversin 12/03/2008

Fecha de retiro de inversin 25/06/2008

Tasa de inters pactada (anuales) 15%

Capitalizacin de intereses pactada mensual

Tiempo de uso del dinero

1.1 Inters de la inversin

1.2 Inters de la inversin si los intereses se capitalizan semestralmente

Inters

1.3 Monto de la inversin durante el mes de marzo, considerando que la

capitalizacin de los intereses es anual

Inters

1.4 Si la tasa efectiva se determina dividiendo el inters del periodo por la inversin,

y basado en el problema original, determine:

1.4.1 La tasa efectiva anual

Inters efectivo anual

Tasa de inters efectiva anual

1.4.2 Tasa efectiva trimestral

Inters efectivo trimestral

Tasa de inters efectiva trimestral

2.- A una persona le estn cobrando una tasa de inters nominal del 22% anual con capitalizacin trimestral

(las cuotas son trimestrales). Determine la tasa efectiva anual que se le esta aplicando.

2.1 Use un capital de $ 200

2.2 Use un capital de $ 3.142.000

2.3 Use un capital de $ 380.000

2.4 Use un capital de $ 5

Datos

Tasa anual 22%

Capitalizacin de Intereses trimestral

Inters anual

2.1

2.2

2.3

2.4

3.- Capital 2600000

tiempo (das) 44

tasa anual 18%

3.1 Calcular el inters por el periodo de la inversin

3.2 Determine una tasa mensual que sea equivalente a la tasa anual del 18%

Tasa mensual

Comprobacin

Capital $ 400.000

tiempo (meses) 9 inters 9 meses

tasa anual 18%

tasa mensual

CONTROL A INTERES COMPUESTO

Tasa efectiva anual

4.- Don Jos desea invertir $12000000 en depsito a plazo. Para ello consulta en dos bancos

los cuales les ofrecen las siguientes alternativas

Banco tasa de inters Periodo de depsitoTasa 35 das Tasa 65 das

BCI 0,58% 65

Chile 0,33% 35



EJERCICIO N 2

Alternativas de inversin en depsito a plazo

Monto de inversin $ 2.800.000

tasa

tiempo de

depsito

(das)

Banco Chile 0,65% 70 2.800.000*((1+0,0065)360/70-1) $ 94.869 (1+0,0065)360/70-1 3,39%

Banco Santander 0,33% 31 2.800.000*((1+0,0033)360/31-1) $ 109.202 (1+0,0033)360/31-1 3,90%

Banco Estado 1,02% 90 2.800.000*((1+0,0102)360/90-1) $ 116.000 (1+0,0102)360/90-1 4,14%

tasa equivalente anualinters para un ao

desarrollo EJERCICIO N 2

Alternativas de inversin en depsito a plazo

Monto de inversin $ 2.800.000

tasa

tiempo de

depsito

(das)

Banco Chile 0,65% 70 2.800.000*((1+0,0065)360/70-1) $ 94.869 (1+0,0065)360/70-1 3,39%

Banco Santander 0,33% 31 2.800.000*((1+0,0033)360/31-1) $ 109.202 (1+0,0033)360/31-1 3,90%

Banco Estado 1,02% 90 2.800.000*((1+0,0102)360/90-1) $ 116.000 (1+0,0102)360/90-1 4,14%

tasa equivalente anualinters para un ao



6. Tasa de Inters Nominal y Tasa de Inters Real

Inflacin en las Matemticas Financieras

Para entender el concepto de tasa NOMINAL y tasa REAL, es necesario tratar el tema

Inflacin.

Se entiende por Inflacin, el alza sostenida en el nivel de precios. Nivel de Precios es el conjunto de precios

que existe en la economa.

o Cuando el nivel de precios disminuye sostenidamente recibe el nombre de deflacin.

o La inflacin, en Chile, la determina el INE por intermedio de la variacin en el IPC (ndice de

precios al consumidor).

o La inflacin provoca prdida en el poder adquisitivo del dinero. (con el mismo dinero,

dado el aumento en los precios, se puede

comprar menos bienes y servicios).

o En las libretas de ahorro bancarias, para reflejar la prdida del valor del dinero producto de la

inflacin, se cancela reajuste. Cuando la variacin del IPC es negativa el reajuste pasa a

ser negativo (disminuye el dinero mantenido en

ahorro).

6.1 Tasa de Inters Nominal

Es aquella tasa de inters, o porcentaje, que se aplica a determinado capital, obteniendo

cierta cantidad de dinero adicional, denominado Inters. No toma en consideracin el comportamiento de los precios durante el periodo.

o Indica, en porcentaje, la cantidad de dinero que se ganar o gastar por usar el dinero durante cierto tiempo.

o Las tasas de inters por depsitos a plazo, las tasas de inters de colocacin de prstamos de consumo, entre otras, estn expresados en trminos nominales.



Ejemplo:

Un depsito de $400.000 se realiza por periodos de 30 das durante 6 meses a

una tasa de inters nominal del 0,33%.

I = C*((1+i)n 1)

I = 400.000*((1+0,0033)6-1)

I = $ 7.986

o La persona que har el depsito, suponiendo que la tasa de inters se mantiene durante los 6 periodos mensuales, ganar en el

semestre $7.986. Es decir, retirar al final de los 6 meses

$407.986.

o La persona, por el depsito ganar dinero. Con ese mayor dinero debera estar en condiciones de poder comprar mayor cantidad de

bienes o servicios, si los precios de stos no varan o su

incremento es menor a la tasa de inters.

o Si la inflacin mensual durante el periodo es mayor a la tasa de inters nominal pactada, el ahorrante, a pesar de ganar dinero, su

poder de compra se ver disminuido, dado que podr comprar

menores cantidades de bienes o servicios.

o Por tal motivo, para tomar buenas decisiones, es necesario conocer la rentabilidad real o tasa de inters real.

6.2 Tasa de Inters Real

Es aquella tasa de inters que permite determinar, en trminos porcentuales, el

mayor o menor poder de compra que puede generar las ganancias de una

inversin o prstamo, durante cierto tiempo.

Por ejemplo: Si una operacin de crdito se pacta a una tasa de inters real del

1% por periodos de 90 das, significa que la persona que gane los intereses, al

final de los 90 das podr comprar 1% ms de bienes o servicios con la

cantidad de dinero que recibir. Si hoy puede comprar 100 unidades de un

artculo X, al final de los 90 das podr comprar 101 unidades de ese artculo.

Toda tasa de inters que se pacte en UF (Unidad de Fomento), es una tasa de

inters real.



6.2.1 Procedimiento para determinar la Tasa de Inters Real

Para determinar la tasa de inters real, un modo fcil y rpido de hacerlo, es restar a la

tasa de inters nominal la inflacin del periodo.

Tasa Real = Tasa nominal Inflacin

ir = in - inflacin

Por ejemplo;

Una persona el 01 de septiembre deposita en un banco cierta cantidad de

dinero, a una tasa de inters nominal a 30 das del 0,4%. Al retirar su dinero

se entera que la inflacin durante el mes de septiembre fue de 0,1%. La

rentabilidad real obtenida por el depsito durante el mes de septiembre sera:

ir = in - inflacin

ir = 0,4% - 0,1%

ir = 0,3%

La tasa real del 0,3% significa, que la persona por hacer el

depsito durante el mes de septiembre aumentar el poder de

compra del dinero depositado en un 3%, es decir, aumenta su

riqueza en un 0,3%

Tambin es posible, conociendo la tasa de inters real y la inflacin del periodo,

determinar la tasa de inters nominal por dicho tiempo.

in = ir + inflacin

Por ejemplo;

Un depsito se realiza al 4% real anual durante un ao. Por dicho tiempo la

inflacin es de un 6%. La tasa nominal sera:

ina = ir + inflacin

ina = 4% + 6%

ina = 10%

o Por el depsito anual el inversionista vera incrementado el poder de compra en un 4%. Por ejemplo, si hoy, con el dinero que se deposita,

puede comprar 100 kilos de pan, al final del ao, con la cantidad de

dinero que recibe podr comprar 104 kilos de pan. (si la variacin en

el precio del pan refleja la inflacin del periodo)



o Por el depsito anual el inversionista vera incrementado su cantidad de dinero en un 10%. Por ejemplo, si el depsito es de $100.000, al

final del ao el dinero a retirar ser de $110.000, obtendr $10.000

adicionales por permitir que el banco use su dinero durante un ao.

6.2.2 Uso de Mtodo de Fisher para estimar tasa de inters Real/Nominal

Para determinar la tasa de inters real /nominal de un modo exacto es recomendable

utilizar el mtodo planteado por Fisher.

o El mtodo Fisher seala que para determinar la tasa de inters nominal, a la tasa de inters real se le debe agregar (no sumar) la inflacin.

o Hay que tener presente que la inflacin representa un alza sostenida en los niveles de precios. Es decir, la base de clculo para determinar la variacin del IPC va cambiando. (Es parecido

a como va cambiando la base de clculo en inters compuesto).

Por tal motivo, las inflaciones mensuales no deben ser sumadas

sino agregadas, segn se muestra en la frmula de Fisher.

Mtodo de Fisher:

(1 + in)t = (1+ir)

t*(1+inflacin)

t

t: Corresponde al tiempo de uso del dinero. El valor de t depender del tiempo de la tasa nominal, de la tasa real como del periodo inflacionario considerado. Lo

importante que los exponentes representen un mismo

tiempo.

Por ejemplo:

Tasa nominal anual: ??

Tasa real semestral: 3,5%

Inflacin promedio mensual: 0,4%

La tasa nominal anual, aplicando Fisher sera:

(1 + in)t = (1+ir)

t *(1+inflacin)

t

(1 + ina)1 = (1+irs)

2*(1+inflacinm)

12

(1 + ina)1 = (1+0,035)

2*(1+0,004)

12

(1 + ina)1 =

1,1238%

ina =

12,38%



Un capital de $1.000.000 invertido durante un ao generar una

ganancia nominal de $123.800.

6.2.3 Procedimiento para determinar la cantidad de dinero a ganar en

depsito a tasa de inters real

1. Determinar la cantidad de dinero a depositar 2. Obtener el valor de la UF para el da del depsito 3. Transformar la cantidad de dinero a depositar en UF 4. Determinar los intereses que generar el depsito, en trminos UF, durante el

periodo de la inversin.

5. Calcular el monto que se obtendra con el depsito, en UF 6. Transformar el monto,(UF), en dinero multiplicando por el valor de la UF al da del

retiro del depsito.

7. Si se quiere determinar la tasa de inters nominal efectiva, se divide el inters nominal resultante por la cantidad de dinero depositada.



EJERCICIOS DE TASA NOMINAL / REAL

Ejercicio N 1

CAPITAL: $2.000.000

Tasa De inters real mensual: 0,3%

Tiempo de inversin: 3 meses Inflacin mensual: 0,4%

Determinar cantidad de dinero a retirar dentro de 3 meses?

Tasa de inters nominal: tasa real + inflacin

Tasa de inters nominal: 0,003 + 0,004

Tasa de inters nominal mensual: 0,007 0,7%

Monto a inters compuesto: 2000000*(1+0,007)3

Monto a inters compuesto: $ 2.042.295

Ejercicio N2

Tasa nominal anual: 15%

Inflacin trimestral: 5%

Tasa de inters real mensual:

(1+0,15) (1/12) / (1+0,05) (1/3) -1 -0,46%

Ejercicio N 3

Inflacin semestral: 5%

Tasa real trimestral: 0,8%

Tasa nominal anual:

(1+0,008) (4) / (1+0,05) (2) -1 = 13,82%

Ejercicio N 4

Tasa nominal anual con capitalizacin trimestral: 12%

Tasa inflacionaria mensual: 0,3%

Tasa de inters real semestral:

(1+0,12/4)2/(1+0,003)6-1 = 4,20%

Ejercicio N 5

Tasa Nominal anual con capitalizacin mensual: 15%

Inflacin trimestral: 2,2%

Tasa de inters real semestral?

Respuesta 3,15%



Ejercicio N 6

A:_Tasa nominal 30 das: 0,5%

B: Tasa real 90 das: 0,2%

Inflacin anual 7%

Tasa real 90 das alternativa A?

Respuesta -0,195%

Conviene invertir en alternativa B

Ejercicio N 7

Tasa real mensual: 0,3%

Inflacin anual: 5%

Tasa nominal anual?

Respuesta: 8,84%

Ejercicio N 8

Calcular tasa real semestral Tasa nominal mensual 0,2% inflacin trimestral 1%

Respuesta; -0,79% Ejercicio N 8

Inflacin anual: 8%

Tasa Real Mensual: 0,3%

Tasa Nominal trimestral (Fisher):

Respuesta; 2,86%

Ejercicio N 9

Un banco acaba de publicitar en televisin que ofrece depsitos a plazo por 90 das una tasa de inters de colocacin del

0,3% real. Si el banco donde usted en cuentacorrentista le ofrece una tasa de inters nominal por depsitos a plazo por

30 das del 0,4%, le convendr depositar su dinero en su banco?

Se estima que la inflacin mensual para los prximos 5 meses ser de un 0,3%

Datos:

Tasa de inters real 90 das otro banco: 0,3%

Tasa de inters nominal banco donde es cuentacorrentista: 0,4% 30das.

Inflacin mensual: 0,3%

Calcular tasa nominal para 30 das del otro banco

(1+in) t = (1+ir)

t*(1+inflacin)

t

Sea t: 90 das

(1+in) 90 = (1+ir) 90*(1+inflacin)90 (1+in30)

90/30 = (1+0,00390) 90/90*(1+0,00330)

90/30

(1+in30)3 = (1+0,00390)

1*(1+0,00330)3

in30 0,40%

Respuesta:

Da lo mismo depositar en el banco donde es cuenta correntista que en el otr banco por depsitos a 30 da dado que

ambos pagan una tasa nominal del 0,4%.



UNIDAD N 2

VALOR ACTUAL, PAGOS PARCIALES Y ANUALIDADES

VALOR ACTUAL DE UNA DEUDA CON VENCIMIENTO EN EL FUTUR0

Situaciones posibles:

CASO 1.- Una persona debe cancelar a un amigo $300.000 el 22 de junio del presente

ao.

CASO 2.- Juan en una casa comercial debe dos cuotas de $40.000 cada con

vencimiento el 01 de junio y el 1 de julio del presente.

CASO 3.- Mara desea saber cuanto dinero le esta debiendo al banco por un

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