1

ELEMENTOS PRE

Y POSTENSADOS

DE HORMIGON.

DISEÑO DE VIGAS SIMPLES Y COMPUESTAS. ACTUALIZADO SEGÚN EL CODIGO ACI 318-2002. 2a Edición.

José Antonio Bellido de Luna del Rosario

2005

2

DISEÑO DE VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS.

El punto más importante en el diseño de estos elementos es la obtención de la magnitud

de las fuerzas artificialmente creadas, por ello a continuación se explicará un método de

diseño para obtener dichas fuerzas artificiales.

1.- CABLE MEDIO Ó CABLE RESULTANTE.

En casi todos los casos de pretensado y postensados se usan varios cables de alto límite

elástico, pero se daberá suponer para el cálculo de la fuerza artificial que se coloca un

cable único o cable teórico denominado cable medio ó resultante.

La fuerza artificial (P) y la excentricidad (e) del cable medio equivale a la suma de las

acciones de todos los cables que se deben colocar en la viga. En la figura 3.1 se observa

la disposición de los cables con respecto al cable medio.

Figura 1.- Sección transversal de una viga pretensada, observando los tres pares de cables.

G

e e3

e1e2

P

3

La fuerza en el cable medio será igual a:

Pe = 2 ( P1e1, + P2e2 + P3e3 )

de donde:

321

332211

pppepepep

e++++

=

Las expresiones de “P” y de “e” pueden generalizarse para cualquier número de cables

simétricamente dispuesto. Si los esfuerzos en todos los cables son iguales, se tiene que:

P = 2m Po ; e =m

eeee m++++ ........321

Siendo:

m : Número de pares de cables simétricamente dispuestos

Po : Fuerza en cada cable considerada igual para todos los cables.

2.- CONVENCIÓN DE SIGNOS.

En la figura 2 se muestra la convención de signos con la cual se rige la presente

memoria:

Figura 2.- Convención de signos en una sección transversal.

a b

C a b le M e d io

c

C

G

e > 0

P > 0

h > 0

M > 0

N > 0

4

La fuerza de pretensado se denominará P, y siempre será positiva. La excentricidad e,

corresponde al cable medio, y se considera positiva cuando el punto A está por debajo

del centróide. Las tensiones normales σ se consideran positivas cuando son de tracción.

El momento flector positivo (M) origina tensiones positivas en las fibras situadas en la

parte inferior del centroide . La altura (h), se considera positiva cuando está por debajo

del centro de gravedad de la viga o eje baricéntrico16.

3.- TENSIONES DE UNA VIGA PRETENSADA.

Las tensiones en el hormigón se pueden determinar por las ecuaciones derivadas de la

resistencia de materiales, siempre y cuando el elemento permanezca sin agrietarse, y las

tensiones del acero y el hormigón estén dentro de los rangos elásticos, la tensión normal

σb, está dada por:

σb = σbr + σbc (1)

Donde:

σbr : Tensión debida a 1a acción del pretensado en cualquier fibra.

σbc : Tensión debida a la acción de las cargas externas en cualquier fibra.

La tensión debida a la acción del pretensado puede ser evaluada por:

hI

PeAP

br ⋅−−=σ (2)

Donde:

P = Fuerza de pretensado.

Pe = Momento flector de pretensado inducido por la excentricidad e.

A = Área de la sección transversal.

h = Altura del centroide de la viga.

I = Momento de inercia de la sección transversal.

1 Campillay, Andrés. Santibáñez, Eduardo. “Método de diseño de vigas de entrepiso continuas y parcialmente pretensadas”. Universidad Central de Chile. Santiago, 1999.

5

En un elemento pretensado, la fuerza P no actúa sola. Ya que el cable de pretensado está

por debajo del centro de gravedad del elemento, por lo cual la viga se curvará hacia

arriba en el instante de la transmisión de la fuerza artificial, esta curvatura hace que el

elemento quede apoyado en sus extremos, por lo que comienza a actuar el peso propio

de la viga. Este efecto puede ser evaluado por la siguiente expresión:

σbc =MW

MI

hc c

= (3)

Las ecuaciones anteriores son siempre las mismas, pero los términos que en ella se

sustituyen son los que llevan implícitos los signos. Reemplazando las ecuaciones (2) y

(3) en la (1), podremos calcular la tensión normal en cualquier fibra del elemento, por lo

cual se tiene:

σb =MW

P 1A

eW

c− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (4)

La ecuación anterior fue obtenida de las expresiones de la teoría a flexión de vigas

elásticas de la resistencia de materiales, en la cual se debe cumplir la hipótesis de

Navier-Bernoulli, En la figura 3 se muestra una sección infinitesimal de una viga

deformada:

Figura 3.- Sección infinitesimal de una viga deformada.

6

De la cual se deduce la siguiente fórmula:

θ

θ

εRd

2d2h tg

ll

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=∆

= (5)

Si se consideran pequeñas deformaciones ( θθ ≈tg ), la deformación unitaria está dada

por:

εb = εb0 -hR

(6)

Siendo:

εb : La elongación de las fibras paralelas al eje baricéntrico de ordenada h.

R : Radio de curvatura del eje de la viga después de deformado por la acción de

las cargas.

El material del elemento es elástico lineal, siendo válida la ley de Hooke:

σb = Eb εb (7)

Por lo que existe proporcionalidad directa entre tensiones y deformaciones, siendo Eb el

módulo de elasticidad del hormigón. Esta expresión se aplica al hormigón siempre que

el valor absoluto de la tensión sea menor que 0,45 f`’c de la resistencia a compresión

(Condición normada por Código ACI 318-99), Esta condición se cumple siempre que se

limite el valor de σb a un determinado rango.

7

4.- RANGO DE LAS TENSIONES ADMISIBLES.

Se denominan σba y σ'ba a las tensiones admisibles del hormigón en tracción y

comprensión, respectivamente. La tensión de trabajo σb del hormigón debe encontrarse

en el rango de tensiones admisibles, que esta limitado por:

-σ'ba ≤ σb ≤ σba (8)

La expresión anterior puede subdividirse en:

σb ≥ -σ'ba (8.1)

σb ≤ σba (8.2)

Para una viga de hormigón pretensado, las tensiones máximas se producen en las fibras

mas alejadas al eje neutro. Si estas tensiones satisfacen las condiciones (8.1) y (8.2), se

puede decir que las condiciones son satisfechas en toda la sección de una viga.

Llamando σbs y σbi a las tensiones en los puntos con ordenadas hs y hi respectivamente,

las condiciones (8) se satisfacen para todo h, si se cumple:

σbs ≥ -σ'ba (9.1)

σbs ≤ σba (9.2)

σbi ≤ σba (9.3)

σbi ≥ -σ'ba (9.4)

Estas cuatro condiciones se deben cumplir para que la tensión σb en cualquier punto de

la sección se encuentre dentro del rango de tensiones admisibles. Y así lograr que las

propiedades de una viga se mantengan inalterables bajo cualquier carga.

8

5 CONDICIONES FUNDAMENTALES.

Se llamará Mc1 (σbc1) y Mc2 (σbc2) a los momentos flectores producidos por las

condiciones extremas de carga y se adoptará que siempre Mc1 será mayor que Mc2, esta

desigualdad puede tener tres casos posibles, es la que se nuestra a continuación:

Figura 4.- Situaciones posibles para Mc1 y Mc2.

El diagrama de tensiones que a continuación se muestra de una viga pretensada

cualquiera es producido por los momentos flectores Mc1 y Mc2. Las tensiones totales son

la suma de las tensiones σbc1, σbc2 y σbr producidas por las cargas exteriores y la fuerza

de pretensado respectivamente.

0

0

0

M;>C1 0M 0C2

M;C1 0M 0C2

MC

MC

MC

MC2

MC2

MC2

C1M

C1M

C1M<

<

<

M;>C1 0M 0C2 >

9

Figura 5.- Diagrama de tensiones de una viga pretensada cualquiera.

En el figura 5.a muestra el diagrama de tensiones debido a Mc1, en la figura 5.b se

muestra el diagrama de tensiones debido al pretensado, y en la figura 5.c se muestra el

diagrama de tensiones de Mc1 con las tensiones del pretensado. En el figura 5.d muestra

el diagrama de tensiones debido a Mc2, en la figura 5.e se muestra el diagrama de

tensiones debido al pretensado, y en la figura 5.f se muestra el diagrama de tensiones de

Mc2 con las tensiones del pretensado. Como se cumplen las condiciones (9), queda

garantizado cuando actúa Mc1, como cuando lo hace Mc2, si se satisfacen las cuatro

condiciones siguientes:

1bcσ

hi>0

hs<0

brσ

0bσ

0bσ

a b c

+ =

2bcσ

hi>0

hs<0

brσ

0bσ

0bσ

d e f

+ =

10

σbc1s + σbrs ≥ -σ'ba (10.1)

σbc2s + σbrs ≤ σba (10.2)

σbc1i + σbri ≤ σba (10.3)

σbc2i + σbri ≥ -σ'ba (10.4)

Donde:

b: Tensiones en el hormigón

c: Cargas exteriores

r: Pretensado

1: Correspondiente a Mc1

2: Correspondiente a Mc2

s: Parte superior, con coordenadas hs < 0

i: Parte inferior, con coordenadas hi > 0

Si se cumplen las condiciones anteriores, se asegura que el diagrama de tensiones totales

está dentro del rango de tensiones admisibles.

Para obtener las cuatro condiciones fundamentales, hay que reemplazar la ecuación (4)

en la ecuación (10):

MI

h P1A

eI

hc1

s s− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ - σ'ba (1,s) (11.1)

MI

h P1A

eI

hc2

s s− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ σba (2,s) (11.2)

MI

h P1A

eI

hc1

i i− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ σba (1,i) (11.3)

11

MI

h P1A

eI

hc2

i i− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ - σ'ba (2,i) (11.4)

6.- CONDICIONES NECESARIAS.

Las condiciones fundamentales están dadas por la combinación de la condición (2,s) con

la (1,s) y la (1,i) con la (2,i) de las expresiones anteriores, para así obtener las siguientes

condiciones:

M MI

hc1 c2

s−

≥ - (σba+σ'ba) (12.1)

M MI

hc2 c1

i−

≥ - (σba+σ'ba) (12.2)

Para que cumplan las condiciones fundamentales, primero deben cumplirse las

condiciones necesarias.

De las condiciones necesarias se deduce que las características geométricas de la sección

dependen del rango de tensiones admisibles (σba + σ'ba), de la diferencia de los

momentos flectores (Mc1 y Mc2) y no de los valores individuales de ellos en sí. Cuando

existe una mayor restricción en el rango de tensiones admisibles se requieren vigas con

una altura mayor.

La tensión σb0 al nivel del centroide de la viga está dada por:

σ σb0 bac2 c1 i s

i s

M MI

h hh h

= −−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ (13)

12

La fuerza de pretensado se puede evaluar como:

P = σb0A (14) Sustituyendo la ecuación (13) en (14), para mantener la convención de signos, se ha

incluido un signo negativo, la fuerza de pretensado es:

P = -σb0A = A⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−−⋅

si

sic1c2ba

hhhh

IMMσ (15)

La fuerza de pretensado depende de la diferencia de momentos flectores (Mc1 y Mc2), y

de la tensión admisible (σba), ya que las características geométricas dependen también de

la diferencia de Mc1 y Mc2.

Despejando la excentricidad e, en cualquiera de las condiciones fundamentales, y

admitiendo que esta condición se cumple en el límite; es decir, con el signo "igual" en

lugar de "menor o igual". Se tiene que:

eIh

1P

MI

h -1Ai

c1i ba=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥σ (16)

En esta ecuación muestra que, la excentricidad e depende solo de Mc1, y no de la

diferencia de los momentos Mc1 y Mc2.

13

7.- REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS CONDICIONES

FUNDAMENTALES.

Las condiciones fundamentales quedan representadas en un plano cartesiano de abscisa

"x" y ordenada "y", tal como indica la figura 6

Figura 6.- Se muestra gráficamente las ecuaciones de las condiciones fundamentales.

En la figura anterior la zona achurada confirma las soluciones de las inecuaciones de las

condiciones fundamentales. Se puede concluir que el cumplimiento de las condiciones

fundamentales determina la existencia del paralelogramo representado en la figura 6; y

de allí, los valores de P y Pe con los cuales se cumplen las condiciones fundamentales.

Si se despeja la excentricidad e de cualquiera de las condiciones fundamentales, se

observa que queda en función sólo de P, por lo que las rectas correspondientes a la

excentricidad constante pasan por el origen de coordenadas, y el valor de la

excentricidad es la tangente del ángulo que dichas rectas forman con el eje P(16).

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)

(2,i)

(1,i)

14

En toda sección transversal de una viga existe un valor máximo para la excentricidad

(elim), que corresponde a la posición más alejada del centroide en que es posible ubicar el

cable medio. Este valor es calculado mediante la siguiente fórmula:

elim= hi - d' (17)

Donde:

hi : Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior.

d' : Distancia desde la fibra extrema al centroide de los cables.

En la siguiente figura se representa la excentricidad límite que corta el paralelogramo, de

éste solo es utilizable la zona que se encuentra debajo de la recta de elim.

Figura 7.- Representación gráfica de la excentricidad limite.

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)

(2,i)

(1,i)A

B

D

C

elim

15

8.- NÚCLEO CENTRAL.

Para que la acción del pretensado solo genere tensiones de compresión en la sección

transversal, la fuerza de pretensado se deberá aplicar en una pequeña sección de la viga

cerca del centroide (núcleo central).

El radio de giro superior e inferior de los límites del núcleo central son las pendientes de

las rectas (1,s), (2,s) y (1,i), (2,i), tal como se muestra en la figura 8. Estas pendientes

quedan definidos por:

KI

h Ai

s= − K

Ih A

si

= −

Figura 8.- Representación gráfica del núcleo central de una viga.

G

Núcleo Central Ki > 0

Ks< 0

hi > 0

hs < 0

16

9.- VERIFICACION DE LA SECCION TRANSVERSAL DE UNA

VIGA ISOSTATICA.

Dependiendo de la función que debe cumplir la viga y de los factores económicos y

estéticos, se elige una sección transversal y se calculan sus características geométricas

como área (A), inercia (I), distancia a fibras superiores e inferiores (hs y hi). Con el peso

propio de la viga y las cargas permanentes y temporales actuando, se trazan los

diagramas de momentos, siendo conocidos como Mc1 y Mc2 para la sección en elegida.

Con las características geométricas y fijando las tensiones admisibles (σba, σ'ba), se

plantean las condiciones necesarias. Ahora si ambas satisfacen con demasiada holgura,

la sección se debe reducirse hasta que una de ellas lo haga en forma ajustada.

Las coordenadas de los vértices representan las rectas en el plano P v/s Pe, en la cual

origina el paralelogramo alargado, debido a que se cumplen ajustadamente las

condiciones necesarias, luego se calcula el elím, trazando su recta:

Figura 9.- Gráfico de las ecuaciones fundamentales de una viga isostática.

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)

(2,i)

(1,i)

elim

Pmin

17

Si elim corta la recta (1,i) del paralelogramo, el menor valor de la fuerza de pretensado

que adopta es Pmin, el cual corresponde a la proyección hacia la abscisa x del punto de

intersección de ambas rectas señaladas. Nuestra nueva ecuación de P será:

P

MI

h

1A

h eI

c1i ba

i lim=

−

+

σ (18)

Puede suceder que la recta elim, pase por encima del paralelogramo, en este caso Pmin y la

excentricidad , de la intersección de las rectas (2,s) y (1,i).

Figura 10.- Representación gráfica de la excentricidad límite fuera del paralelogramo.

Los valores de la intersección son las coordenadas del vértice C, dadas por:

( ) bac1c2si

simin AMM

hhhh

IAP σ⋅−−⋅

−⋅=

⋅ (19)

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)

(2,i)

(1,i)

C

elime

Pmin

e < elim

18

( ) ( )⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

−⋅

−=

⋅⋅⋅

⋅⋅

sibac1c2is

c2sc1i

hhI

MMhhA

MhMheσ

(20)

Puede producirse también que la recta de excentricidad límite elim, pasa por debajo del

paralelogramo, como se muestra en la figura siguiente, la solución para este caso es

aumentar la altura de la viga para lograr la ocurrencia de alguno de los dos casos

anteriores.

Figura 11.- Representación gráfica de la excentricidad límite cuando está por debajo del paralelogramo.

10.- TRAZADO DE CABLES

10.1.- Cálculo del cable medio o huso limite.

Ya sabiendo calcular la geometría del elemento, y a determinar la fuerza de pretensado

mínima (todo calculado en el punto más desfavorable), donde se producen las máximas

solicitaciones.

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)

(2,i)(1,i)

elim

19

En la figura siguiente se muestra un esquema de una viga sometida a los estados límites

(a) y los diagramas envolventes (b)

Figura 12.- Trazado del huso límite con su envolvente.

La sección más comprometida es la zona central. Es en esta zona el cual se determinan

la fuerza de pretensado y la excentricidad. Para una sección cualquiera, como la sección

M-M, la representación de las condiciones fundamentales ( figura 13). Con el valor de P

previamente establecido, se determinan los puntos A y B trazando una paralela al eje

Pe, y con ellos las excentricidades emax y emin .

La excentricidad en la sección M-M puede elegirse entre los valores emax y emin . El

segmento comprendido entre estos valores se denomina segmento de paso, ya que basta

que el cable medio lo atraviese para que se cumplan las cuatro condiciones

fundamentales en la sección.

SEGMENTO DE PASO

A B

emax

N

N

M

M

emin

EJE BARICENTRICO

+

Mc2Mc1

a)

b)

20

Figura 13.- Representación gráfica de la sección M-M.

Fijando la fuerza de pretensado P, las características de la sección transversal y las

tensiones admisibles, la determinación analítica del segmento de paso para una sección

con momento Mc1 y Mc2 se realiza calculando primeramente(1):

e s1, = McP

1 - IAhs

+ σ 'ba IPhs

(21.1)

e s2, = Mc

P2 - I

Ahs

- σ ba IPhs

(21.2)

e i1, = McP

1 - IAhi

- σ ba IPhi

(21.3)

e i2, = Mc

P2 - I

Ahi

+ σ 'ba IPhi

(21.4)

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)

(2,i)

(1,i)

P

Ae 21

Be 11

elimemax emin

21

El valor de emax será el menor de e s2, y e i2, , mientras que el valor de emin será el

mayor de e s1, y e i1, , tomando las excentricidades con su signo y dándole a los términos

mayor y menor su significado algebraico.

En forma análoga se determinarán las demás zonas dentro de la cual es necesario ubicar

el cable medio. Existen varios criterios respecto de la posición que debe tener el cable

medio dentro de dicha zona. Uno de ellos consiste en elegir la curva de emax ; y con

ello, el trazado de menor curvatura a fin de reducir las pérdidas en la fuerza de

pretensado que, como veremos, se incrementan con la curvatura del cable. Con este

criterio, la condición (2,i ) se cumple en el límite. Otro criterio es ubicar el cable medio

con excentricidades que sean el promedio de emax y emin. De esta manera se consigue

que las condiciones fundamentales se cumplan con cierta holgura bajo todos los estados

posibles de carga en todas las secciones transversal, salvo la central N-N.

10.2.- Procedimiento para el trazado de cables en vigas isostáticas.

La variedad en la construcción de los cables y la posibilidad de realizar el pretensado

por medio de un número múltiple de cables, permiten distribuir las armaduras en una

pieza de forma que respondan, de una manera económica, a las solicitaciones que

tendrá que soportar. En una viga simplemente apoyada, por ejemplo, los cables están

concentrados hacia la cara inferior en el centro de la viga, zona de momento flector

máximo. Progresivamente se van levantando hacia los apoyos, en parte para resistir el

esfuerzo cortante por la componente vertical de la fuerza ejercida por el cable en la

parte inclinada y por otro lado para variar la excentricidad resultante y mantener de

este modo, las tensiones del elemento dentro de los límites permisibles(1).

Por otra parte ocurre que los elementos pretensados tienen dimensiones menores que

los elementos de hormigón armado, mientras que las vainas y conductos por los que

pasan los cables, tienen diámetros muy superiores a los de las armaduras ordinarias.

22

Los anclajes, que normalmente se ubican en los extremos de los elementos, también

tienen dimensiones considerablemente grandes y deberán además permitir un acomodo

correcto del gato que realizará el tensado(1).

El trazado y posicionamiento de los cables a lo largo de la viga es todo un arte para el

cual cada persona tiene su “modo propio” de hacer y únicamente la práctica y un

estudio detallado del tema permitirá realizar un trazado óptimo, que cumpla con los

requerimientos técnicos adecuados y además sea económico y viable(1).

A continuación se darán a conocer los recubrimientos y espaciamientos mínimos

permisibles por el CEB FIP, que no contradicen los de la AASTHO y ACI.

1. Espaciamiento vertical permisible:

• Para cables que su trayectoria es horizontal, su espaciamiento mínimo debe ser

igual o mayor que el diámetro del cable.

• Para cables que su trayectoria es con un cierto ángulo, su espaciamiento mínimo

debe ser igual o mayor que el diámetro vertical del cable.

2. Espaciamiento Horizontal permisible:

• Para cables que su trayectoria es horizontal, su espaciamiento mínimo debe ser

igual o mayor que el diámetro del cable.

• Para cables que su trayectoria es con un cierto ángulo, su espaciamiento mínimo

debe ser igual o mayor que el diámetro horizontal del cable.

3. Recubrimiento vertical:

• Debe ser mayor o igual a 4 cm.

23

• Para barras aisladas, el recubrimiento debe ser mayor o igual al diámetro de la

barra.

• Para barras en grupo, el recubrimiento debe ser mayor o igual a dos veces el

diámetro vertical de la barra.

4. Recubrimiento horizontal:

• Debe ser mayor o igual a 4 cm.

• Para barras aisladas, el recubrimiento debe ser mayor o igual al diámetro de la

barra.

• Para barras en grupo, el recubrimiento debe ser mayor o igual a dos veces el

diámetro horizontal de la barra.

Estos recubrimientos mínimos deberán respetarse a todo lo largo de la trayectoria del

cable, deberá tenerse sumo cuidado cuando existen cambios de trayectoria vertical y

horizontal y muy especialmente en los puntos donde las vainas pasan del ala inferior al

alma de la viga.

Una vez concluido el trazado preliminar de los cables, deberá comprobarse que en todas

las secciones se cumplen las tensiones admisibles por las normas(25), para todos los

estados de carga involucrados en el diseño. Para ello se deben seguir los siguientes

pasos.

• Determinar el centroide de los cables en cada uno de los puntos cuyas coordenadas

fueron calculadas en el paso anterior.

• Calcular la excentricidad, en cada uno de los puntos, con respecto al centroide del

elemento. Lo que se denomina como, “Excentricidad del cable resultante”.

24

• Calcular mediante las ecuaciones (21) las excentricidades máximas y mínimas que

debe tener el cable resultante para que cumpla con las tensiones admisibles en todas

las secciones y para todos los estados de carga, con lo que se obtendrá un gráfico del

huso límite para cada estado de carga.

• Se comprueba que la excentricidad del cable resultante se encuentra en el interior

del huso límite.

• De no cumplirse lo anterior pueden tomarse diversas medidas, como pueden ser:

Variar la trayectoria del cable; Tensar en varias etapas; Bloquear cables en el caso

del pretensado; Reforzar con acero ordinario algunas zonas no muy comprometidas

y para estados de carga de muy corta duración; Cambiar la geometría de la viga, y;

Diseñar la viga con Pretensado Parcial.

Como puede verse las medidas enunciadas anteriormente pueden ser muy simples o

muy complejas en dependencia de cada caso particular de diseño, algunas de las cuales

sobrepasan el nivel de decisión del calculista, por lo que deberán ser analizadas con

muchísimo cuidado.

11.- DISEÑO DE VIGAS COMPUESTAS SIMPLEMENTE

APOYADAS. Los elementos compuestos son secciones estructurales que se constituye por dos o más

materiales de distinta resistencia o calidad. También a aquellos elementos del mismo

material pero con diferentes tipos de resistencias o etapas de construcción. En elementos

pretensados, se obtiene una viga compuesta al unir una viga prefabricada pretensada con

otro elemento ya sea prefabricado o elaborado in situ con o sin pretensado. En la

siguiente figura se muestra una viga compuesta, constituida por una viga de entre piso

25

pretensada con losetas prefabricada (pretensadas o no pretensadas), y además con

hormigón in situ. Pudiendo ser las tres de distintas calidades y resistencias.

Figura 14.- Sección compuesta, constituida por una viga de entrepiso, una loseta prefabricada y

hormigón en sitio.

Foto 1.- Construcción estacionamiento, construido con Vigas de entrepiso y losetas prefabricadas.

LTT-1

HORMIGON EN SITIO

VEP

LTT-1

26

Los elementos pretensadas fabricados en planta son dimensionados y calculados de tal

forma que soportan su peso propio y el peso del hormigón fresco que completa la

sección. Una vez endurecido el hormigón vertido, entra en acción la sección total, el cual

debe soportar todas las cargas que aún no han entrado en acción, como las cargas

permanentes de la sección compuesta, sobrecargas, etc.

Debe existir una buena adherencia entre el elemento prefabricado y el vertido en sitio,

para que la sección se comporte como una viga compuesta. En la superficie de contacto

de ambos elementos se desarrolla un esfuerzo de corte horizontal que produce la

tendencia al deslizamiento a lo largo del plano que separa las dos partes. Para controlar

este deslizamiento se debe colocar una armadura de amarre vertical, siendo esta

necesaria solo en secciones compuesta, por su baja fricción que se produce entre ambas

partes de la sección.

11.1.- Estados de Carga.

ESTADO 1.- Pretensión inicial inmediatamente después de la transferencia (Pi), se

producen tensiones de compresión máximas en las fibras inferiores, además sólo se han

producido pérdidas de tensión instantáneas con lo que la fuerza de pretensado aplicada al

elemento es máxima.

Figura 15.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 1.

hi

hs

e>0

G

27

ESTADO 2.- Aquí el peso propio comienza a actuar más el pretensado inicial de una

viga (Pi + MIC2), también la fuerza de pretensado es máxima ya que sólo han ocurrido las

pérdidas instantáneas. Pero las tensiones de compresión en las fibras inferiores son

menores debido a las tensiones de tracción que genera el peso propio de la viga. En este

estado se empiezan a producir las pérdidas dependientes del tiempo, el cual la fuerza de

pretensado inicial pasará a ser la fuerza de pretensado efectiva (gradualmente).

Figura 16.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 2.

ESTADO 3.- En este estado actúa el peso propio más el pretensado efectivo de una viga

(Pe + MIC2), aquí las tensiones obtenidas serán iguales a las finales de la etapa anterior, el

diagrama de tensiones es similar a la figura 3.16.

ESTADO 4.- En este estado actúa el pretensado efectivo más todas las cargas muertas,

de la sección no compuesta (Pe + MIC1), estas solicitaciones generan tracción en las

fibras inferiores que contrarrestan la compresión existente en los estados anteriores. La

flexión en este estado se produce alrededor del centro de gravedad de la viga

prefabricada GI.

hi

hs

e>0

G

Pretensado

=+

Peso propio

28

Figura 17.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 4.

ESTADO 5.- En este estado actúa el pretensado efectivo más las cargas muertas tanto

de la sección no compuesta como de la compuesta más las cargas vivas de servicio (Pe +

MIC1 + ∆M).

Figura 18.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 5.

ESTADO 6.- En este estado actúa la sobrecarga máxima, el cual hace que la estructura

supere el estado límite de descompresión y por ello es posible que se produzca un cierto

nivel de fisuración en el elemento.

hi

hs

e>0

G

Pretensado

++

Peso propio Carga muerta

=

Pretensado mas peso propio y carga muerta losa

=+

Cargas vivas de servicio

hs

e>0GI

GII

hi

29

Figura 19.- Diagrama de tensiones de una sección cualquiera en su estado 6.

11.2.- Cálculo y Diseño.

El método que a continuación se explicará es una prolongación del método del cálculo a

flexión de estructuras isostáticas.

11.2.1.- Propiedades geométricas.

Para el cálculo y diseño de vigas compuestas se deben diferenciar dos etapas, la primera

etapa es aquella en que la viga prefabricada pretensada es el único elemento resistente

que resiste las cargas externas, a esta etapa la llamaremos ETAPA I. La segunda etapa

se considera la sección compuesta (Viga prefabricada pretensada, Losas prefabricadas,

hormigón in situ, etc.), como un solo elemento, a esta etapa la llamaremos ETAPA II.

En la siguiente figura se muestran la notación a usar tanto para la etapa I (a), como para

la etapa II (b).

Pretensado mas peso propio y carga muerta losa

=+

Sobrecarga máxima

hs

e>0GI

GII

hi

30

Figura 20.- Propiedades de las secciones: a) Prefabricadas, y b) compuesta.

En donde:

AI = Area de la sección prefabricada.

AII = Area de la sección compuesta.

e = Excentricidad.

GI = Centro de gravedad de la sección prefabricada.

GII = Centro de gravedad de la sección compuesta.

hiI = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior de la

sección prefabricada.

hsI = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema superior de la

sección prefabricada.

hiII = Distancia desde el centro de gravedad a la fibra extrema inferior de la

sección compuesta.

hsII = Distancia desde el centro de gravedad de la sección compuesta a la fibra

extrema superior de la sección compuesta.

hs∗ = Distancia desde el centro de gravedad de la sección compuesta a la fibra

extrema superior de la sección prefabricada.

hsI

hiI

hsII

IIhi

hs*

IG

IIGIG

e>0 e>0

ba

31

El menor momento flector (MIc2), el cual corresponderá al peso propio de la viga

prefabricada. El momento flector debido al peso propio de la sección compuesta (MIc1).

El momento producido por las cargas permanentes de la sección compuesta y las

sobrecargas de uso, se denominará como ∆M.

El diagrama de tensiones de la etapa I se muestra en la siguiente figura:

Figura 21.- Diagrama de tensiones para distintos estados de cargas de una viga pretensada.

En la figura se puede observar la sección transversal, el diagrama por peso propio (a), a

la que corresponde al pretensado (b), también la resultante del pretensado más el peso

propio (f1), a la carga muerta debido a la losa (c), y a la segunda resultante debido al

pretensado más el peso propio (f2).

Estos diagramas deben encontrarse dentro del rango de tensiones admisibles de

compresión (σ'Iba), y de tracción (σIba) de la etapa I. Por lo tanto, deben cumplirse para

las propiedades adoptadas en la etapa I las condiciones fundamentales, es decir:

e>0 hi

hs

+ += =

Sección transversal

a b f1 c f2

32

MI

h P1

AeI

hIc1

IIs I I

Is− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ - σ'ba

I (1,s)I (22.1)

MI

h P1

AeI

hIc2

IIs I I

Is− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ σba

I (2,s)I (22.2)

MI

h P1

AeI

hIc1

IIi I I

Ii− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ σba

I (1,i)I (22.3)

MI

h P1

AeI

hIc2

IIi I I

Ii− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ - σ'ba

I (2,i)I (22.4)

En la siguiente figura se muestra la sección de una viga compuesta (etapa II). En ella, la

viga pretensada prefabricada y la losa de hormigón vertido en sitio que ya ha fraguado y

adquirido la resistencia deseada.

Figura .22.- Diagrama de tensiones de una viga compuesta.

En la figura anterior se muestra la sección transversal compuesta, la acción del

pretensado mas el peso propio y la carga muerta de la losa (a). En la parte “c” se

representan las sobrecargas. Y su resultante (f1) se observa el pretensado mas el peso

propio de la viga compuesta y las sobrecargas.

e>0 hII

i

hIIS

+ =

Sección transversal

a b f1

h*S

33

El diagrama de tensiones de la etapa I debe estar comprendido dentro del rango de

tensiones admisibles limitados por σ'IIba y σIIba, Por lo cual deben cumplirse las

condiciones fundamentales referidas a las propiedades de la sección de la etapa II. Las

condiciones fundamentales para la etapa II, quedan determinadas por:

MI

h P1

AeI

hM

Ih

Ic1

IIs I I

Is II s

*− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

∆≥ -σ'ba

II (1,s)II (23.1)

MI

h P1

AeI

hIc1

IIs I I

Is− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≤ σba

II (2,s)II (23.2)

IIiIIi

IIIi

II

c1I

hIMh

Ie

A1Ph

IM ∆

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− ≤ σba

II (1,i)II (23.3)

MI

h P1

AeI

hIc1

IIi I I

Ii− +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≥ -σ'ba

II (2,i)II (23.4)

Generalmente las tensiones en el borde superior de la viga están más cerca del rango de

tensiones admisibles que las tensiones en el borde superior de la losa. Ahora si las

tensiones en el borde superior de la losa fueran mayores (en valor absoluto), que las del

borde superior de la viga prefabricada, se deberá plantear nuevas condiciones a fin de

garantizar que las tensiones en el borde superior de la losa también estén comprendidas

dentro del rango de tensiones admisibles. Las tensiones admisibles en la etapa II son más

restrictivas que en la etapa I, ya que ésta corresponde a una situación transitoria durante

su construcción, donde puede admitirse un mayor riesgo, que en la etapa II que es la del

estado definitivo de la estructura terminada.

34

11.2.2.- Condiciones necesarias

Las condiciones fundamentales para las etapas I y II, en las inecuaciones (22) y (23) se

reemplazan los signos "mayor o igual" o "menor o igual" por el signo “igual”, en el cual

se convierten en ecuaciones que se pueden representar en un plano P v/s Pe, como se

muestra a continuación:

Figura 23.- Representación en el plano de las condiciones fundamentales tanto de la etapa I, como de la

etapa II.

En la figura anterior existe una zona achurada, la cual representa una zona en común,

esto quiere decir, que en esta zona se satisfacen las ocho condiciones fundamentales

simultáneamente. Si una o más condiciones fundamentales no la satisface, entonces hay

que modificar las dimensiones de la sección transversal.

x = P

y = Pe

(1,s)

(2,s)(2,i)

(1,i)

(1,s)

(2,s)

(1,i)

(2,i)

35

Combinando las condiciones fundamentales de ambas etapas, se obtienen las seis

siguientes condiciones necesarias:

(1,s)I - (2,s)I

)'-(hI

MM IIbabas

II

c2c1 σσ +≥− (24.1)

(2,i)I - (1,i)I

)'-(hI

MM IIbabai

II

c1c2 σσ +≥− (24.2)

(1,s)II - (2,s)II

∆MI

h - ' )II*

s ba baII II≥ +(σ σ (24.3)

(2,i)II - (1,i)II

)'(hIM IIII

babaiII

II σσ +≤∆ (24.4)

(2,s)I - (1,i)II

s

*IIbabas

II

c2c1 hIM-)'-(h

IMM III ∆

+≥− σσ (24.5)

(2,i)I - (1,i)II

iII

IIbabaiI

I

c1c2 hIM+)'-(h

IMM III ∆

+≥− σσ (24.6)

Si se cumplen las dos primeras condiciones, significa que existe el paralelogramo de la

etapa I, las condiciones tres y cuatro, garantizan el paralelogramo de la etapa II, y las

últimas dos condiciones, es el de la zona común a dichos paralelogramos.

Una vez comprobada las seis condiciones necesarias, se calcula la excentricidad límite,

que esta dada por:

elim= hiI - d' (25)

36

Donde:

d' = Recubrimiento adoptado, medido desde la fibra extrema inferior al centroide de

los cables. Siendo:

d’ = 0,05 m para pretensado.

d’ = 0,1 m para postensado.

hiI = Distancia desde el centro de gravedad hasta la fibra extrema inferior.

Luego de obtenida la sección transversal que satisfaga en la forma más ajustada posible

las seis condiciones necesarias, se realiza la representación gráfica de las ocho

ecuaciones fundamentales, trazando además la recta de la excentricidad obtenida:

Figura 24.- Representación gráfica de los paralelogramos y su intersección con la recta elím.

Cuando la recta elim corte el paralelogramo nos arrojará un determinado P, el cual lo

llamaremos Pmín (según el criterio de las vigas isostáticas comunes). En la figura anterior

se muestra el caso ideal, cuando la recta elim corta al paralelogramo de intersección. En

este caso, el valor de Pmin queda determinado por:

x = P

y = Pe(1

,s)

(2,s)(2,i)

(1,i)

(1,s)

(2,s)

(1,i)

(2,i)

A

B

C

FH

G

E

F

Pmin

37

I

Ii

limI

IIbaII

IIi

I

Ii

c1

min

Ihe

A1

IMh

IhM

P+

−∆

+=

σ (26)

En la siguiente figura se muestra cundo la recta elím pasa por encima del paralelogramo:

Figura 25.- Representación gráfica del caso en que la recta elím está por encima del paralelogramo.

Si ocurre lo indicado en la figura anterior, Pmín será la proyección del punto de

intersección de las rectas (1,i)II y (2,s)I hacia el eje x. Lo cual el valor de Pmin será:

( )I

Is

Ii

I

Ii

c1I

Is

c2II

IIiII

baI

baI

s

IbaI

Is

c2min Ahh

IhM

IhM

IhMh

IhMP

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∆+−

−−=σσ

σ (27)

y el valor de la excentricidad para este caso queda definido por la siguiente ecuación:

x = P

y = Pe

A

B

C

FH

G

E

F

Pmin

e < elim

e

elim

38

( )

( )I

Is

Ii

I

Ii

1I

Is

c2II

IIiII

baI

baI

s

IaI

Is

c2

Is

Ii

I

I

Ii

c1I

Is

c2II

IIi

Ahh

IhMc

IhM

IhMh

IhM

hhI

IhM

IhM

IhM

e

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∆+−

−−

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−∆+−

=

σσσ

σσ

b

babaIII

(28)

Ahora existe una tercera posibilidad, la cual es que la recta elím pase por debajo del

paralelogramo de intersección, como se muestra en la siguiente figura:

Figura 26.- Representación gráfica donde la recta elím pasa por debajo del paralelogramo.

Para este caso, hay que modificar la sección transversal de la viga compuesta, de modo

que existan valores de P y Pe, con e ≤ elim, que satisfaga las ocho condiciones

fundamentales, y se produzca con esto alguno de los dos casos anteriormente descritos.

x = P

y = Pe

A

B

C

FH

G

E

F

elim

39

11.2.3.- Sección Transformada.

En los elementos prefabricados están compuestos de hormigón de mejor calidad que los

elementos de hormigón in situ, lo que es afectado en las tensiones por la diferencia de

rigidez de ambos hormigones. También la existencia de materiales de distintos módulos

de elasticidad, como lo es el hormigón con el acero de alto límite elástico. Para soslayar

esta diferencia en los cálculos se puede usar el concepto de la sección transformada, que

consiste en transformar la sección transversal constituida por materiales de diferente

calidad y rigidez, en una sección equivalente compuesta de un solo material con calidad

y rigidez homogénea.

Cuando se transforma dos o más materiales de distintas calidades o rigideces en una

sola, esta nueva sección debe cumplir la hipótesis de conservación de las secciones

planas (Navier - Bernoulli), de modo que las deformaciones del hormigón en una fibra

cualquiera situada a una distancia "y" del centro de gravedad de la sección compuesta,

deben satisfacer la condición de idéntica deformación dada por:

y

realb,

x

eqb,

EEσσεε === cyx

eqb,eqb,

x

yrealb, =

EE

= ησσσ

Donde:

2

1

c

c

EE

=η Para estructuras compuestas de diferentes resistencias, el cual oscila

entre 1,2 y 1,7.

C

s

EE

=η Para estructuras compuestas de diferentes módulos de elasticidad, el

cual oscila entre 7 y 15.

40

siendo:

η = Relación modular de los hormigones.

σb,real = Tensión en el hormigón en la sección real.

σb,eq = Tensión en el hormigón en la sección equivalente.

Después de esta sustitución, pueden hallarse las propiedades de la sección como si la

viga estuviera hecha de un solo tipo de hormigón. En la siguiente figura se muestra una

viga con diferentes tipos de calidades de hormigones (a), y la misma viga en sección

transformada (b).

Figura 27.- Sección transformada, a) Sección real; b) Sección Transformada.

12.- DETERMINACIÓN DEL MOMENTO DE LA VIGA COMPUESTA

∆M.

El momento ∆ M es producido por las cargas permanentes y las sobrecargas de uso en la

viga compuesta, por lo cual es necesario observar el comportamiento que éste produce

en los paralelogramos de ambas etapas, ya que según sea la magnitud que este momento,

se verá si el diseño se hace por pretensado total o pretensado parcial. El análisis de esta

magnitud nos puede llevar a las siguientes alternativas:

b beq

1

2 3

dy

y

a b1.- Hormigón prefabricado

3.- Hormigón equivalente2.- Hormigón elaborado en sitio

y

dy

41

1. Si el valor de ∆ M permite el cumplimiento de las condiciones necesarias (24),

por ende existe el paralelogramo de intersección, en lo cual obtendremos el valor

de Pmin y la excentricidad será menor a la elim, las cuales deben cumplir con las

tensiones admisibles impuestas en el diseño, en este caso se diseñará por

pretensado total.

2. Si el valor de ∆ M es mayor que el máximo permitido para que se cumplan con

las condiciones necesarias (24), en este caso no existe el paralelogramo de

intersección, y por esta razón tampoco existirá una fuerza de pretensado P

necesaria para absorber todas las tensiones producidas por la sobrecarga actuante

en la viga compuesta, para esto tenemos dos soluciones:

- Se puede aumentar la sección transversal de la viga, y con esto lograr que

exista un paralelogramo de intersección, con lo cual llegamos al diseño del

punto 1, es decir, un diseño por pretensado total.

- También se puede encontrar un valor de ∆ Mnecesario que será menor al ∆ M,

con lo cual permite el cumplimiento de las seis condiciones necesarias (24),

y con ello la obtención de la fuerza de pretensado. La diferencia que existe

entre ∆ M y el ∆ Mnecesario se denominará ∆ Mx, el cual es absorbido por el

acero ordinario. Para este tipo de solución se necesitará un diseño por

pretensado parcial.

Cuando se determinan las condiciones de apoyo de una viga, la cantidad de tramos y

solicitación de carga definidas para el diseño; se elige aquella en que se produce la

combinación de la situación de carga más desfavorable, y se superponen en ella la

acción de las cargas permanentes de la viga compuesta.

Si el valor de ∆M es mayor que el máximo permitido para el cumplimiento de las

condiciones necesarias (24), no sé esta produciendo la intersección entre los

42

paralelogramos sé la etapa I y etapa II, por lo que deberá determinar un valor ∆Mnecesario

menor que ∆M, el cual permita el cumplimiento de las seis condiciones necesarias, con

lo cual se interceptarán los paralelogramos.

12.1.- Determinación del Momento ∆Mnecesario.

Considerando las condiciones fundamentales (24) en sus límites, es decir, con signos

"igual", además se debe respetar el sentido de las desigualdades, se obtiene el valor

máximo necesario para lograr que los paralelogramos se intercepten, viene dado por el

menor valor de las siguientes ecuaciones:

∆Mnecesario = IIi

IIII

baI

baI

iI

c1c2

hI'h

IMM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

− σσ (29,1)

∆Mnecesario = xs

IIII

baI

baI

sI

c1c2

hI)'(h

IMM

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

− σσ (29,2)

12.2.- Grado de Pretensado (GP).

El grado de pretensado es un índice que caracteriza la magnitud del pretensado parcial, y

se calcula una vez obtenido el valor de ∆Mnecesario, el cual viene dado por el cuociente

entre el momento de descompresión del elemento y el momento total actuante debido a

las cargas permanentes y a la sobrecarga accidental, es decir:

TotalMomentoiónDescompres de Momento

=GP

43

Donde:

- Momento de Descompresión: Es el momento que anula la compresión en la fibra

extrema inferior, es decir, es el momento que provoca la descompresión de la viga.

redCdes MMM ∆+= 1

- Momento Total: es el momento producido por todas las cargas actuantes, tanto en

la sección compuesta como en la viga prefabricada (MCp + MSC).

inicialCTotal MMM ∆+= 1

El grado de pretensado representa el porcentaje del total de la carga que toma el acero de

alto límite elástico, por ejemplo, si un elemento tiene un grado de pretensado de 0,6

significa que el 60% del total de las solicitaciones esta siendo tomado con acero de alto

límite elástico, y el restante 40% lo está tomando el acero ordinario.

Si las condiciones necesarias se cumplen, el Grado de Pretensado resultante será igual a

uno, lo que significa que la geometría de la viga proyectada permite su diseño en

pretensado total, pero si se desea hacer una reducción, se puede hacer, teniendo presente

que existe un rango para el Grado de Pretensado, el cual se explicará a continuación:

a. Grado de Pretensado Máximo (GPMáx):

Total

MáxDesMáx M

MGP ,= (30)

Con:

necesarioMáxDes MMcM ∆+= 1,

44

El necesarioM∆ va a hacer el máximo M∆ que se le puede dar a la viga, para que se

cumplan las tensiones admisibles.

b. Grado de Pretensado Mínimo (GPMín):

El Grado de Pretensado Mínimo va a hacer el mínimo valor para que el reducidoM∆ no sea

negativo, por lo tanto:

inicial

reducido

MMcMMcGP

∆+∆+

=1

1

Despejando reducidoM∆ , se tiene que:

( ) 11 McMMcGPM inicialreducido −∆+⋅=∆ (31)

En la ecuación anterior se obtiene analíticamente el reducidoM∆ para cualquier Grado de

Pretensado que uno se de. Para obtener el Grado de Pretensado Mínimo, se debe

reemplazar el reducidoM∆ por su menor valor, que es cero.

( ) 110 McMMcGP inicialMín −∆+⋅=

Despejando GPmín, se tiene:

inicialmín MMc

McGP∆+

=1

1 (32)

Es importante señalar que el valor del grado de pretensado obtenido de acuerdo con la

ecuación (30), será el máximo posible a asumir en el diseño del elemento parcialmente

pretensado, y de la ecuación (32), será el mínimo posible a asumir en el diseño, por lo

45

tanto se debe elegir el Grado de Pretensado que esté dentro del rango anterior y además

hay que considerar el criterio de la experiencia del Ingeniero Calculista.

12.3.- Diseño del Refuerzo de armadura no Pretensada. El diseño del refuerzo de armadura no pretensada es aquel que requiere asumir las

tracciones producidas por la magnitud de la diferencia de momentos (∆M - ∆Mnecesario =

∆Mx), será determinado por la teoría de resistencia de materiales por medio del método

de las tensiones admisibles.

Para obtener el estado de tensiones se procede generalmente a dos etapas, la primera se

corta la pieza en varias secciones, calculándose las solicitaciones que actúan en cada

sección (cálculo de esfuerzo). La segunda se obtiene, a partir de los esfuerzos, las

tensiones en todas las fibras de hormigón y en las armaduras de la sección (cálculo de

secciones).

En el diseño por tensiones admisibles del acero ordinario, se supone una relación lineal

tensión-deformación, asegurándose que bajo cargas de servicio tanto el acero como el

hormigón no excederán las tensiones de trabajo. Las tensiones permitidas se determinan

en proporción a la resistencia última y/o a la resistencia de fluencia de ambos materiales.

Los valores recomendados se señalan a continuación:

Tensiones admisibles para el hormigón según el Código ACI 318-63

MATERIAL Y FORMA DE

TRABAJO

CAMPO DE APLICACION TENSION ADMISIBLE

Hormigón a compresión Vigas y elementos sometidos a flexión....... σc,adm= 0.45f'c Hormigón a tracción Hormigón en masa, muros y zapatas.......... σct,adm= 0.424 cf '

Armaduras en tracción Barras corrugadas con límite elástico fy ≥ 4200 kg/cm2 cuyo diámetro no supere a 35 mm.

σs,adm= 0.60fy σs,adm ≤ 2520

Tabla 1.- Tensiones admisibles según el Código ACI 318-63

46

Ecuación de equilibrio de una sección cualquiera.

Figura 28.- Sección transversal cualquiera.

En una sección cualquiera con un eje de simetría y una armadura de tracción (A) y de

compresión (A'), como se muestra en la figura 24, que se encuentra sometida a un

momento flector M = ∆Mx (solicitación de servicio), las ecuaciones de equilibrio entre

las tensiones y las solicitaciones pueden establecerse como se indica:

En un elemento de sección de área dyby ⋅ , la tensión del hormigón será σy y la

resultante lineal será σy. dyby ⋅ . Integrando para toda la zona del hormigón comprimido

y añadiendo la contribución de las armaduras, se obtienen las ecuaciones que expresan

el equilibrio de esfuerzos normales y momentos(16):

0'A'dyb s

0

y =⋅+⋅+⋅⋅∫ σσσ Asy

x

(33)

Mxx)(d)d'(x'A'dyyb ss

0

y ∆=−⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅⋅∫ σσσ Ay

x

(34)

y

by

d'

d

A

A'

a b c

σ

σ

εA'

A

'σy

εNc

c

'x

Traccionesε

Compresiones

47

Sabiendo que la ley de deformaciones y la de tensiones es recta, resulta:

( ) ( ) xxdndxnycy σσσσ

=−⋅

=−⋅

= 12

' (35)

Luego la tensión en el hormigón en la fibra extrema es el siguiente:

1eC I

xM ⋅=σ (36)

Comprobación de la sección cualquiera.

Para tener la certeza de que la sección y en este caso la armadura ordinaria no supera las

tensiones admisibles impuestas en el diseño debe cumplirse que:

xd'xn' cs

−⋅= σσ

xx-dn cσσ ⋅=s (37)

Dimensionamiento de una sección cualquiera.

el gran problema es cuantificar la armadura necesaria, conociendo la sección, el

momento flector (de Servicio) y las tensiones admisibles.

En una sección sin armadura de compresión, se llamará Momento crítico (Mcritico) el que

sea capaz de resistir la pieza en el supuesto de que tanto el hormigón como la armadura

en tracción alcancen sus respectivas tensiones admisibles. Al ser conocida la

distribución de tensiones puede calcularse fácilmente dicho momento crítico. Una vez

conocida pueden ocurrir dos situaciones:

48

a) Si el momento dado M = ∆Mx es menor que el momento crítico, es decir, Mcritico

> ∆Mx, significa que la sección no necesita armadura de compresión, y la de

tracción se calcula para que trabaje a su máxima tensión admisible. En este caso

el hormigón no alcanzará su máxima tensión admisible, siendo las incógnitas del

problema x, A, y σc.

b) Si el momento dado M = ∆Mx es mayor que el momento crítico, es decir, Mcritico

> ∆Mx, se trabajará con la distribución de tensiones correspondiente al momento

crítico, colocando la armadura de compresión que sea necesaria para tomar el

valor de la diferencia entre Mcritico - ∆Mx.

Ecuaciones de equilibrio de una sección rectangular.

Las secciones rectangulares son las más comunes en el cálculo de las vigas compuestas,

es aquel, en que la armadura ordinaria debe calcularse cuando la sección de la viga

elegida funciona como rectangular, a continuación se resumen las ecuaciones necesarias

para el diseño del mencionado refuerzo debido a la solicitación de servicio ∆Mx.

Figura 29.- Viga rectangular

by

A '

A

y

d

ε ''A 'N c

σ

σA

yσ

ε

x

ε c

C om presiones

T racciones

d '

cba

49

La ecuación de equilibrio entre tensiones, para el caso de una viga es el siguiente:

x

x-dn cσσ ⋅=s , (38)

De donde se puede obtener x.

Conocido x, se hace sumatoria de fuerzas, de donde:

sc Ab2x σσ = (39)

Haciendo sumatoria de momento en torno al acero de tracción se tiene que:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

3x-db

2x

cσcríticoM (40)

El valor de Mcritico calculado, se compara con el valor de ∆Mx, sí:

a) Si el momento ∆Mx es menor que el momento crítico, es decir, ∆Mx < Mcritico, se

tiene que A' = 0 y el área de acero de tracción A se reducen a un valor que sea

necesario para que trabaje a su máxima tensión admisible y resista sólo el

momento ∆Mx.

b) Si el momento ∆Mx es mayor que el momento crítico, es decir, ∆Mx > Mcritico, el

área de acero de tracción A, será la calculada por la ecuación (46), y la diferencia

de ∆Mx - Mcritico, será asumida por acero de compresión A' por medio de la

ecuación:

'dMM's

criticox

σ−∆

=A (41)

50

13.- PERDIDAS EN ELEMENTOS DE HORMIGON PRETENSADO.

Las pérdidas de los elementos pretensados empiezan a actuar desde que el gato empieza

a ejercer su tensión. Existen dos tipos de perdidas; a) Pérdidas instantáneas (iniciales), y;

b) Pérdidas diferidas (dependientes del tiempo).

13.1.- Pérdidas Instantáneas.

Se definen las pérdidas instantáneas como aquellas pérdidas que ocurren durante el

proceso de tensado e inmediatamente después del anclaje de las armaduras, es decir, en

el momento de transferir la fuerza al hormigón. Las pérdidas instantáneas las podemos

clasificar en:

13.1.1.- Pérdidas por Penetración de Cuñas (deformación del anclaje), sin

Considerar Rozamiento.

Al anclar un cable sometido a una tensión impuesta en su extremo por un gato, esta

tensión se transfiere al anclaje y lo deforma, su magnitud depende del tipo de gato que se

emplee. En los gatos monotorones tienen una menor pérdida que los gatos multitorones,

debido a que poseen un dispositivo de anclaje de las cuñas a la viga. La pérdida queda

entonces definida por:

∆σ = aEL∆ (42)

Donde:

∆σ: Pérdida de tensión por penetración de las cuñas en el anclaje (Kg/cm2).

∆ : Penetración de la cuña (cm.).

Ea : Módulo de elasticidad del acero de alto límite elástico (Kg/cm2).

51

13.1.2.- Pérdidas de tensión debidas al estiramiento no simultáneo de los cables y

por Acortamiento Elástico del Hormigón.

La fuerza de pretensado se ejerce por varios cables que no son tensados

simultáneamente, de suerte que cada uno de ellos se acorta debido a la deformación

instantánea del hormigón producida por la fuerza impuesta a los cables tensados

(postensado), y por deformación de los anclajes en los cabezales (pretensado). La

pérdida por estiramiento no simultáneo de los cables y la que se produce por

acortamiento elástico del hormigón se relacionan, con lo cual pueden ser evaluadas por

la siguiente fórmula:

ES = cires fKci

a

EE (43)

Donde:

ES: Pérdida de tensión en los cables debido al estiramiento no simultáneo y por

el acortamiento elástico del hormigón (Kg/cm2).

Kes : Constante que depende del tipo de tensado => para pretensado = 1,0

=> para postensado = 0,5

Ea : Módulo de elasticidad del acero pretensado (Kg/cm2).

Eci : Módulo de elasticidad del hormigón en el momento del tensado. Se

recomienda usar el siguiente valor:

cif '15100Eci ⋅= (Kg/cm2) (25)

f’ci = Resistencia cilíndrica característica del hormigón en el momento del

tensado (Kg/cm2).

52

fcir : Tensión en el centro de gravedad de los cables inmediatamente después de

que ocurran las pérdidas instantáneas por rozamiento, y por penetración de

las cuñas en el anclaje. Se recomienda usar la siguiente expresión:

g

c2

g

ii

IM'

IP

AP

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += ⋅circir Kf (44)

Donde:

Pi : Fuerza de pretensado inicial, después de que han ocurrido las pérdidas

instantáneas (ton).

e : Excentricidad de los cables (m).

A : Area de la sección de hormigón en el momento del tensado (m2).

Ig : Inercia de la sección de hormigón en el momento del tensado (m4).

MIc2 : Momento flector correspondiente al peso propio de la viga en el momento

del tensado (ton-m).

El valor de Kes es el doble en el pretensado que en el postensado, lo que explica que en

el pretensado hay dos momentos en los que se produce esta pérdida, al momento de

anclar los cables al cabezal de anclaje y al realizar la transmisión de fuerza de los cabes

al hormigón cuando este ya fraguó.

Se observa que el valor de fcir se toma en el centroide de los cables, con lo cual, se

deberá primero determinar la tensión en las fibras extremas (mediante las fórmulas de

Navier), y después trasladarla al centroide de los cables. Un método muy sencillo para

proceder es el siguiente:

1.- Se parte de la fuerza inicial determinada según el procedimiento de diseño.

2.- Se determinan las pérdidas por rozamiento y por penetración del anclaje.

53

3.- Se calcula fcir por medio de la siguiente formula:

IgeMg

IgeP

AP

Kf iicircir

⋅−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+⋅=

2

(45)

Donde:

Pretensado => Kcir = 0,9

Postensado => Kcir = 0,85

4.- Con el valor de fcir se determina ES, mediante la fórmula (42).

En elementos postensados los valores de A y de Ig se determina considerando los

conductos vacíos, sin inyectar.

13.1.3.- Pérdidas de tensión por rozamiento en el gato.

La fuerza teórica que ejerce el gato es:

AMF ⋅= (46)

donde:

M = es la presión del líquido leída en el manómetro.

A = es el área del pistón del gato.

La expresión anterior debería de tener un factor de corrección, por efecto de que también

existe un rozamiento entre las empaquetaduras del pistón y el cilindro, resistencias

viscosas, etc. Este tipo de pérdidas es despreciable para el calculista, por que, debe

existir una correcta calibración del manómetro de lectura.

54

13.1.4.- Pérdidas de tensión por rozamiento entre los cables y el anclaje a la salida

del anclaje.

Este tipo de pérdidas depende del tipo o sistema de anclaje empleado y su valor deberá

obtenerse por experiencias adecuadas o recomendaciones del fabricante.

13.1.5.- Pérdidas de tensión por rozamiento entre las armaduras de pretensado

(cables, alambres, barras, etc.) y las vainas o conductos.

La determinación de este tipo de pérdidas es el único que se encuentra normado, y los

valores son coincidentes de una norma a otra. Según ACI, AASHTO y la Norma

Chilena de Hormigón (NCh 430), el efecto de las pérdidas por fricción en los cables

postensados debe calcularse por medio de la siguiente fórmula:

( )µα+⋅= XKlXs ePP (47)

Donde:

SP : Fuerza del cable aplicada a la salida del gato.

XP : Fuerza del cable en cualquier punto x.

e : Número de Euler.

µ : coeficiente de rozamiento entre el cable y la vaina en curvas.

K : coeficiente de rozamientos parásitos entre el cable y la vaina en rectas

α : Variación angular de la trayectoria del cable en radianes, desde el

extremo del gato, hasta el punto donde se calcula la pérdida.

lx : longitud del cable desde el extremo del gato hasta donde se calcula la

pérdida.

El coeficiente µ depende del estado, naturaleza y rigidez de la vaina; del cable o

alambre y de su estado (oxidado o no). Depende, además, del cuidado en la colocación

55

de la vaina y ejecución posterior (vertido y vibrado del hormigón) y de sí el conducto se

encuentra lubricado o no. Cuando )( αµ ⋅+XKl no es mayor que 0,3, se permite

calcular el efecto de la pérdida por medio de la siguiente fórmula:

)1( αµ ⋅++= XXS KPP l (48)

Los coeficientes incluidos en la tabla 3.2 dan un rango de valores que normalmente

puede esperarse, debido a la gran cantidad de ductos, cables y materiales disponibles

para el recubrimiento de estos. Cuando se usan conductos rígidos el coeficiente de

curvatura accidental K puede considerarse igual a cero, al igual para los cables grandes

dentro de conductos semirígidos. Los valores de los coeficientes que se deben usar para

los cables y conductos del tipo especial debe obtenerse de los fabricantes.

Coeficiente de

curvatura

accidental, K

Coeficiente de

Curvatura µ

Cables de alambre

Barras de altas resistencia

Torones de 7 alambres

0.0033 – 0.0049

0.0003 – 0.0020

0.0016 – 0.0060

0.15 – 0.25

0.08 – 0.30

0.15 – 0.25

Cable no adherido

Cubierto con mastic

Cables de alambre

Torones de 7 alambres

0.0033 – 0.0066

0.0033 – 0.0066

0.05 – 0.15

0.05 – 0.15

Cables no adheridos

pre-engrasados

Cables de alambres

Torones de 7 alambres

0.0010 – 0.0066

0.0010 – 0.0066

0.05 - 0.15

0.05 – 0.15

Tabla 2.- Coeficientes de fricción para cables postensados.

56

13.1.6.- Pérdidas de tensión debidas a la deformación del anclaje y eventual

resbalamiento de las armaduras.

La deformación del anclaje se produce por la transmisión de la fuerza desde el cable.

También se pueden producir eventuales deslizamientos de los cables, con lo que

conlleva a una disminución de la tensión, esta magnitud depende del sistema de tensado

y del tipo de gato a usar. En los gatos multitorones el deslizamiento es mayor. Si no se

consideran las resistencias por rozamiento, la pérdida de tensión será la siguiente:

aEL

⋅∆

=∆σ (49)

Donde:

σ∆ = Pérdida de tensión por penetración de las cuñas en el anclaje (Kg/cm2).

∆ = Penetración de la cuña (cm).

Ea = Módulo de elasticidad del acero (Kg/cm2).

La disminución de tensiones es afectada en todo el cable. En el cual la tensión

disminuye en el anclaje por efecto de dicha deformación, y aumenta a medida que el

cable se interna en el elemento, la variación de la tensión en el interior del elemento no

está afectada por la deformación del anclaje, este fenómeno ocurre por la presencia de la

fuerza de fricción entre el cable y la vaina. Para calcular si la pérdida afecta en todo el

largo del elemento , se calculará, la longitud en que afecta la penetración de la cuña, la

expresión es la que sigue:

βsEc

L⋅

=⊗ ' (50)

Donde: ⊗L = Longitud de la viga afectada por el deslizamiento de la cuña.

Es = Módulo de elasticidad de los cables de acero (1,97 x 106 Kg/cm2).

β = Pérdida de tensión debido al rozamiento por unidad de longitud.

c’ = Asentamiento de la cuña. 3mm para monotorón. 8mm multitorón.

57

Si el cálculo de ⊗L es menor que el centro de la viga, la penetración de la cuña no afecta,

en caso contrario el valor de la pérdida se calculará como sigue:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅⋅= ⊗

22 LLAN β (51)

Donde:

AN = Pérdida de tensión por asentamiento de la cuña.

13.2.- Pérdidas dependientes del tiempo.

13.2.1.- Pérdidas de tensión por retracción hormigón.

Después de fraguado el hormigón, este experimenta variaciones en sus dimensiones

(dilataciones o contracciones), estas deformaciones se llaman entumecimiento y

retracción. Esta última es la que más interesa, ya que produce el acortamiento del

hormigón y por lo tanto reduce las tensiones en las armaduras.

La retracción es un fenómeno relativamente rápido en un comienzo, para elementos

usuales, se produce un 25, 50 y 75% de deformación final por retracción a los 7, 30 y

180 días, respectivamente. Estos valores son importantes para conocer que parte de la

retracción queda por producirse después del tensado, que en definitiva es la que influye

en el acortamiento de las armaduras. En los elementos pretensados deberá considerarse

la totalidad de la retracción.

La pérdida por compresión en el hormigón debido a la retracción puede evaluarse como:

SH = ( )RH55.101195 ⋅−SHK (52)

58

Donde:

SH : Pérdida de tensión en los cables por retracción del hormigón (Kg/cm2).

RH : Humedad relativa media anual (%).

Ksh : Coeficiente de pérdida por retracción => pretensado =1.

=> postensado = 0,8

13.2.2.- Pérdidas de tensión por fluencia lenta del hormigón.

Existen diferentes fórmulas empíricas para obtener el valor de la fluencia del hormigón,

se asumirá la que se señala a continuación:

CRc = Kcr )(EE

c

acdscir ff −

Donde:

CRc : Pérdidas de tensión debida a la fluencia lenta del hormigón.

Kcr : Coeficiente de pérdida por fluencia lenta.

fcds : Tensión en el hormigón al nivel del centro de gravedad de los cables

debido a todas las cargas muertas que actúan con posterioridad al tensado

de los cables.

13.2.3.- Pérdidas de tensión por relajación de los cables de acero.

La relajación es la pérdida de tensión que experimenta un cable después de transcurrido

un cierto periodo de tiempo desde que fue tensado, bajo condiciones de longitud y

temperatura constante.

El fabricante del cable deberá brindar el valor promedio de relajación así como la

temperatura y la carga a la que fue obtenido el valor entregado, no obstante en el proceso

de cálculo aún no se posee el dato que este brindará y se podrá determinar la pérdida por

relajamiento del acero según las siguientes fórmulas empíricas:

59

Para elementos pretensados:

1.- Cables de relajación normal

CRs = 1046 β2 - 0.4 ES - 0.2(SH + CRc)

2.- Cables de baja relajación

CRs = 352 β2 - 0.1 ES - 0.05(SH+ CRc)

Para elementos postensados:

1.- Cables de relajación normal

CRs = 1046 β 2 - 0,3 FR – 0,4 ES – 0,2 (SH + CRc)

2.- Cables de baja relajación

CRs = 352 2β - 0,07 FR – 0,1 ES – 0.05 (SH + CRC)

Donde:

ES, SH, CRc= Pérdidas de tensión por acortamiento elástico, retracción y

fluencia del hormigón respectivamente.

FR = Pérdida de tensión por fricción.

β2 = Factor de sobre tensión del acero, se recomienda usar la

siguiente expresión:

β2 =PU

S

f⋅7,0σ

σS = Tensión de los cables a la salida del gato.

fpu = Resistencia última de los cables de pretensado.

60

La figura 30 muestra un esquema general de las pérdidas a las que esta sometido un

elemento pretensado, ya sea en el hormigón como en el acero.

sfñflkasdfkjdsf

Figura 30: Esquema de las pérdidas de pretensado

Acortamiento elástico del hormigón

Pérdidas instantáneas

Retracción y Fluencia del hormigón

Dependientes del tiempo

Relajación del acero de alto límite elástico

Dependientes del tiempo

Pérdida debido al Anclaje

Pérdidas instantáneas

PERDIDAS TOTALES

61

´vjsdñlkjñsdlfkjs<dñljfk

Area de la Sección Transversal de la Viga (m2) Av AT1:= Av 0.302=

Determinación del Área y Posición del Centro de Gravedad

Y1 E1I 0.5⋅:= A1 E1I BI⋅:=

A2 BI T+( ) 0.5⋅ E2I⋅:= Y2 E2I E2IBI 2⋅ T+

3 BI T+( )⋅⋅− E1I+:=

A3 T H E1S− E2S− E2I− E1I−( )⋅:= Y3H E1S− E2S− E1I− E2I−

2E2I+ E1I+:=

A4 BS T+( ) 0.5⋅ E1S⋅:= Y4 H E1S− E2S− E1S

BS 2⋅ T+

3 BS T+( )⋅⋅+:=

Y5 H E2S 0.5⋅−:= A5 BS E2S⋅:=

AT1

1

5

i

Ai∑=

:= SUM1

1

5

i

Ai Yi⋅∑=

:=

Area de la Sección Transversal de la Viga (m2) Av AT1:= Av 0.302=

DISEÑO VIGA POSTENSADA ISOSTÁTICA 1.0 BASES DE DISEÑO: Longitud de Cálculo de la Viga (m): Lc 27:= Peso Específico del hormigón (t/m3) γc 2.5:= Resistencia del hormigón a los 28 dias f´c 300:= 2.0 CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LA VIGA:

Espesor del alma (m): T 0.18:= Altura de la Viga (m): H 1.:= Espesor Trapecio Inferior (m) E2I 0.0:= Espesor Trapecio Superior (m): E1S 0.:= Espesor Ala Inferior (m) E1I 0.20:= Altura Ala Superior (m): E2S 0.15:= Ancho de Ala Inferior o Patín (m) BI 0.40:= Ancho de Ala Superior (m): BS .70:=

62

YGI1SUM1AT1

:= YGS1 H YGI1−:=

Posición del centro de Gravedad de la Viga (m)

hi YGI1:= hi 0.551=

hs YGS1( )−:= hs 0.449−=

i 1 5..:=

YG1i YGI1 Yi−( )2:=

I1 BIE1I3

12⋅:= I2 E2I3

BI2 4 BI⋅ T⋅+ T2+( )

36 BI T+( )⋅⋅:=

I3 TH E1S− E2S− E1I− E2I−( )3

12⋅:= I4 E1S3 T2 4 BS⋅ T⋅+ BS2

+( )36 BS T+( )⋅

⋅:=

I5 BSE2S3

12⋅:=

IG1

1

5

i

Ii Ai YG1i( )⋅+⎡⎣ ⎤⎦∑=

:=

Inercia de la Viga (m4) Iv IG1:= Iv 0.036=

WI1IG1

YGI1:= WS1

IG1YGS1

:=

Módulos de Sección: (m3)

Wi WI1:= Wi 0.065=

Ws WS−( )1:= Ws 0.079−=

CARGAS SOBRE LA VIGA Peso Propio (t/ml): Qpp Av γc⋅:= Qpp 0.755=

Sobrecarga permanente (t/ml): Qcp 0.255:=

Sobrecarga viva (t/ml): Qs 1.2:=

MOMENTOS ACTUANTES

MppQpp

8Lc2

⋅:= McpQcp

8Lc2

⋅:= MsQs8

Lc2⋅:=

Momentos máximo actuante (ton-m).

Mc1 Mpp Mcp+ Ms+:= Mc1 201.386=

Momento mínimo Actuante (ton-m)

Mc2 Mpp Mcp+:= Mc2 92.036=

63

3.0 TENSIONES ADMISIBLES:

Tensiones una vez hecha la transmisión de preesfuerzo, después de que se produzcan las perdidas en el tiempo:

σ´ba 0.45 f´c⋅:= σ´ba 135= (Kg/cm2) Cuando solo actúan las cargas permanentes más el 25 % de la sobrecarga de uso.

σ´ba1 0.6 f´c⋅:= σ´ba1 180= (Kg/cm2) Cuando actúan las cargas permanentes más la sobrecarga de uso

σba 1.6 f´c⋅:= (Kg/cm2)

4.0 VERIFICACION DE LAS CONDICIONES NECESARIAS:

σba σ´ba+( )− 162.713−=

CN1Mc1 Mc2−( ) hs⋅

Iv 10⋅:= CN2

Mc2 Mc1−( ) hi⋅

Iv 10⋅:=

CN1 137.684−= CN2 169.297−= No verifica

Si se sube la resistencia del hormigón a 350 kg/cm2

Resistencia del hormigón a los 28 días f´c 350:=

σ´ba 0.45 f´c⋅:= σ´ba 157.5=

σba σ´ba+( )− 185.213−=

CN1Mc1 Mc2−( ) hs⋅

Iv 10⋅:= CN2

Mc2 Mc1−( ) hi⋅

Iv 10⋅:=

CN1 137.684−= CN2 169.297−=

σba 1.6 f´c⋅:=

64

DETERMINACION DE LA FUERZA MINIMA

Calculo de P min.

d 0.05:= m Viga pretensada

elim hi d−:= elim 0.501= (cm)

Formula 18.2 eminhi Mc1⋅ 105

⋅ hs Mc2⋅ 105⋅−

Avhs hi⋅ Mc2 Mc1−( )⋅ 105

⋅

Ivσba hi hs−( )⋅−

⎡⎢⎣

⎤⎥⎦

⋅

:= emin 0.664=

e elim:=

σba 29.933=

Pmin

Mc1Iv

hi⋅σba10

−

1Av

hi elim⋅

Iv+⎛⎜

⎝⎞⎠

:= Pmin 281.245= (ton)

6.0 DETERMINACIÓN DEL NUMERO DE CABLES.

De los catálogos del fabricante se obtiene:

Acable 0.987:= (cm2)

fpu 18730:= (Kg/cm2)

fgato_rec 0.8 fpu⋅:=

fgato_rec 1.498 104×= (Kg/cm2)

n% 0.20:= Porcentaje de perdidas

Pmin 281.245= Luego se puede determinar Pefec.cable

Pefec_cable fgato_rec Acable⋅1 n%−( )

1000⋅:= (ton)

Pefec_cable 11.831= Número de cables:

NPmin

Pefec_cable:= N 23.771=

Luego se colocarán 24 cables