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Manual de Cálculo

Unidad de Acompañamiento y Acceso a la Universidad

2MANUAL DE CALCULO MANUAL DE CALCULO

3UNIDAD DE ACOMPAÑAMIENTO Y ACCESO A LA UNIVERSIDAD UNIDAD DE ACOMPAÑAMIENTO Y ACCESO A LA UNIVERSIDAD

TABL

A DE

CON

TEN

IDOS

Introducción 7Software de apoyo 7Conjuntos numéricos 8Los números naturales ℕ 8Los números cardinales ℕ0 8Los números enteros ℤ 8Los números racionales ℚ 8Los números irracionales ℚ* 9Los números reales ℝ 9Axiomas 11Axiomas de cuerpo 11Respecto a la suma 11Respecto a la multiplicación 11Axiomas de orden 11Axiomas de completitud 11Conjuntos acotados 11Supremo e ínfimo 11Intervalos reales 13Intervalo cerrado 13Intervalo abierto 13Intervalo semi abierto 13Intervalos no acotados 13Desigualdades 16Tipos de desigualdades 16Desigualdades absolutas 16Condicionales o inecuaciones 16Propiedades de las desigualdades 16Clasificación de las desigualdades 17Inecuaciones simples 17Inecuaciones con paréntesis 17Inecuaciones con denominador numérico 18Inecuaciones con producto de polinomios 18Inecuaciones con denominador variable 19Ejercicios propuestos 21Valor absoluto 22Propiedades del valor absoluto 22Inecuaciones con valor absoluto 22Ejercicios propuestos 23Plano real 24Eje de coordenadas 24Distancia entre dos puntos 24Punto medio 24División de un segmento en una razón 25Lugar geométrico 25Recta 25Forma principal 25Forma general 25Distancia punto-recta 25



Circunferencia 26Ecuación principal: d(p,c)=r↔√((x-h)2+(y-k)2)=r 26Ecuación general: x2+y2+cx+dy+e=0 26Parábola 27Elipse 29Ecuación principal horizontal: 29Ecuación general horizontal: 29Ecuación principal vertical: 29Ecuación general vertical: 29Hipérbola 31Ecuación principal horizontal: 32Ecuación general horizontal: ax2+by2+cx+dy+e=0 32Ecuación principal vertical: 32Ecuación general vertical: 32Elementos de una hipérbola 32Ejercicios propuestos 33Límite de funciones reales 34Límites de funciones comunes 351.- Función constante: 352.- Función identidad: 353.- Función lineal: 354.- Función raíz cuadrada (x≥0): 355.- Función polinomial: 356.- Función seno: 357.- Función coseno: 358.- Función exponencial 359.- Función logaritmo (x>0) 35Otros límites importantes 36Álgebra de límites 36Teorema del sándwich: 36Teorema de composición: 36Límites laterales 38Límites infinitos 40Límites hacia el infinito 41Asíntotas 43Asíntotas verticales 43Asíntotas horizontales 43Asíntota oblicua 43Sucesiones 45Convergencia 45Observaciones 45Límites básicos de sucesiones 46Continuidad de funciones 48Continuidad puntual 48Tipos de discontuinidad puntual 48Continuidad lateral 50Proposiciones: 50Continuidad en un intervalo cerrado 50Aplicaciones de la derivada 53La diferencial o derivada 53Regla de l´hôpital 54 Gráfica de funciones 57 TABL

A DE

CON

TEN

IDOS

TABL

A DE

CON

TEN

IDOS

Aplicaciones de la primera derivada 57Crecimiento y decrecimiento (monotonía) 57Caracterización de la primera derivada 57Máximos y mínimos 58Trazado de gráficas con primera derivada 58Curvatura: concavidad y convexidad 58Máximos y mínimos 59Puntos de inflexión 59Optimización 64Variaciones relacionadas (razones de cambio) 64Bibliografía 67

MANUAL DE CALCULO7UNIDAD DE ACOMPAÑAMIENTO Y ACCESO A LA UNIVERSIDAD

El objetivo de este instrumento es contribuir al desarrollo de los aprendizajes de estudiantes de primer año promoción 2018, pertenecientes a las carreras de Ingeniería civil, Ingeniería civil industrial, Ingeniería Civil Eléctrica, Ingeniería Civil Informática, Contador Auditor, Ingeniería comercial y Pedagogía en educación medía en matemáticas en los ramos de Álgebra, Cálculo e Introducción al

Análisis, por ende se detalla con precisión cada procedimiento inmerso en la resolución de un problema y los contenidos que el educando debe saber para dar solución a las problemáticas planteadas.

INTRODUCCIÓN

Software de Apoyo¿Has usado alguna vez una herramienta que te ayude a resolver tus ejercicios?En internet existe una gran cantidad de opciones y una de ellas es:

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Conjuntos numéricos

Los Números Naturales ℕLos Números Naturales son las primeras abstracciones que realiza el hombre al surgir los conceptos de "unidad" y de "cuenta".Los Números Naturales son un conjunto ordenado de infinitos elementos y que inicia con la unidad o 1. Cualquier otro elemento puede ser formado a partir de la adición sucesiva de unidades. Así, 2=1+1,3=2+1=1+1+1,etc. En notación de conjunto, los Números Naturales se definen como:ℕ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,.....}Cada número Natural posee un sucesor, y todos tienen un antecesor menos el primero, el 1.Dentro del conjunto de los números Naturales se pueden hallar importantes subconjuntos tales como, los numeros pares, los numeros impares, los numeros primos, lo numeros compuestos. Para un n particular tambien pueden definirse sus conjuntos de multiplos y divisores.

Los Números Cardinales ℕ0Luego del conocimiento de la existencia de los numeros Naturales, surge la necesidad de representar la ausencia o nulidad. Para esto se agrega el cero, generando así el conjunto de los Cardinalesℕ0=ℕ∪{0}

Los Números Enteros ℤCiertas situaciones de la naturaleza no pueden ser explicadas con las cantidades contenidas en el conjunto de los números Cardinales, como por ejemplo las temperaturas bajo cero, los pisos de un edificio bajo el nivel de la superficie, entre otros. En la antigüedad ya se vislumbró esta necesidad por ejmplo a partir de la sustraccion de cardinales. De esta manera, se agregan a los números Cardinales las cantidades negativas, formando asi el conjunto de los números Enteros.ℤ={NúmerosNegativos}Uℕo={...–5,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,...}Cumpliéndose la relación:ℕ⊂ℕo⊂ℤ

Los Números Racionales ℚUna fracción es una partición de “una cosa”. En matemática, las "cosas" que se parten o fraccionan son cantidades. Supongamos que el rectángulo de la figura representa una cantidad cualquiera que ha sido "fraccionada" o dividida en dos partes iguales. Cada parte de la división es una fracción del total y como el total se dividió en dos, cada fracción es una mitad del total, es decir, del todo.

Luego, el denominador de la fracción representa el total de partes y el numerador la cantidad de partes considerada en la cantidad.

NotaLa división por cero (denominador cero en una fracción) no existe debido a que no podemos considerar partes de un todo inexistente.

Al igual que los conjuntos anteriores, los números racionales son infinitos, no obstante esta infinidad de valores existe incluso entre cada valor que lo compone. Esto da origen a la propiedad de densidad del conjunto Q, lo que significa que siempre entre dos racionales cualesquiera, por muy próximos que estén, encontraremos un tercero al medio.

Asi, un número racional es todo número formado por el cuociente de dos números enteros cualesquiera, con la sola restricción que el denominador o divisor no sea el entero cero. Por extensión, este conjunto sería, aproximadamente

ℚ={-∞;...;–2;...;;...;–1;...;;...;–0,5;...;0;...;;...;;...;0,75;...;1;....+∞}

Los Números Irracionales ℚ* Existen números decimales infinitos que no son periódicos ni semiperiódicos. Un ejemplo familiar es el número π que por ejemplo se utiliza en el cálculo de áreas y perímetros de circunferencias. Este número π corresponde a la expresión 3,1415926..... que posee infinitas cifras decimales sin ningún período. Así como el número π existen infinitos números en el universo matemático que poseen la misma característica: tal es el caso de los números ,etc. Al ser estos números infinitos no periódicos no es posible transformarlos en fracción, pues no existen dos números enteros cuyo cuociente sea igual a alguno de ellos y ello implica que no son números racionales.Dado que existen infinitos números con tales características, han sido agrupados en un solo conjunto denominado conjunto de los números irracionales el cual designamos por el símbolo ℚ*. Podrás notar que si hacemos ℚ⋂ℚ*, el conjunto intersección es vacío (φ) .

Los Números Reales ℝSe define el conjunto de los números Reales como la unión de todos los números conocidos definido simbolicamente por:Los Números Reales = ℝ=ℚ∪ℚ*El conjunto de los números Reales es la base de estudio de la presente guía, es un conjunto ordenado, denso y de cardinalidad infinita. Sus elementos pueden ser representados en la recta Real.



Luego los conjuntos numéricos que hemos descrito se representan en el siguiente mapa conceptual. Axiomas

Las operaciones con Números Reales satisfacen ciertas reglas básicas que se llaman Axiomas. Los Axiomas son reglas que admitimos como verdaderas sin necesitar una demostración.

Existen 3 tipos de Axiomas en los Números Reales:Axiomas de Cuerpo: Que son los asociados a la igualdad (x=y)Axiomas de Orden: Que son los asociados a la desigualdad (x<y)Axiomas de Completitud: Marcan la diferencia entre los Números Reales y los Números Irracionales (Raíces Cuadradas)

Axiomas de cuerpoCon estas operaciones se verifican propiedades

Respecto a la suma1.- Conmutativa: a+b=b+a∀a,b∈R2.- Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c)∀a,b,c∈R3.- Neutro: ∃0∈R,talquea+0=a∀a∈R4.- Inverso: a∈R,∃(-a)∈R,talquea+(-a)=0 5.- Único: a+b=c∀a,b,c∈RRespecto a la Multiplicación1.- Conmutativa: a*b=b*a∀a,b∈R 2.- Asociativa: (a*b)*c=a*(b*c)∀a,b,c∈R3.- Neutro: ∃1∈R,talquea*1=a∀a∈R4.- Inverso: a∈R,cona≠0,∃a(-1)∈R,talquea*a(-1)=15.- Distributiva: a*(b+c)=a*b+a*c,∀a,b,c∈RAxiomas de Orden 1.- Transitividad: x≤y˄y≤zentoncesx≤z 2.- Tricotomía: x≤y˄y≤xentoncesx=y3.- Monotonía (+): Si x≤y, entonces x+z≤y+z para todo z∈R4.- Monotonía (*): Si x≤y y z≥0 x*z≤y*z

Axiomas de CompletitudConjuntos acotadosSea S⊂R1.- u∈R es una cota superior de S si∀x∈S,x≤u2.- v∈R es una cota inferior de S si ∀x∈S,x≥vSupremo e ínfimoSi S tiene cota inferior, entonces diremos que S es acotado inferiormente. Del mismo modo, si S tiene cota superior, diremos que S es acotado superiormente

Te invitamos a ver:

0,125555555

1,2,3,...,20,...

0,125

-8

0

-7 -5

214

√2=1,414213...

π=3,14159...



Ejemplo

Sea A=

Decidir si A es acotado superior y/o inferiormente

Las raíces serían:x1=-2;x2=-1,05;x3=1,162Siendo la solución:A=]-2,-1,05[∪]1,162,+∞[Por lo tanto A es acotado inferiormente pero no superiormente.En el análisis de supremo e ínfimo de A:inf(A)=-2ysup(A)=no existeEn el análisis de máximo y mínimo de A:min(A)=∄ymáx(A)=∄

Sea S⊂R1.- Si S es acotado superiormente, diremos que uo es supremo de S si se cumple que uoes cota superior de Sᴧuo≤u para cualquier cota superior u.2.- Si S es acotado inferiormente, diremos que vo es ínfimo de S si se cumple que voes cota inferior de Sᴧvo≥v para cualquier cota inferior v.

Notauo=sup(S)vo=(S)Si el supremo pertenece a S, entonces se llamará máximo. De la misma forma, si el ínfimo pertenece a S, entonces se llamará mínimo.Una importante relación a tener en cuenta es Sea S⊂R,sup(S)=-{-x:x∈S}

EjemploDemuestre que (ab)-1=a-1b-1(ab)-1=(ab)-1*1 , por inverso multiplicativo(ab)-1=(ab)-1*(a*a-1), por neutro multiplicativo(ab)-1=[(ab)-1*(a*a-1)]*1, por inverso multiplicativo(ab)-1=[(ab)-1*(a*a-1)]*(b*b-1), por asociatividad(ab)-1=(ab)-1*[(b*b-1)*(a*a-1)], por asociatividad(ab)-1=(ab)-1*[a*(a-1*b)*b-1], por conmutatividad(ab)-1=(ab)-1*[a*(b*a-1)*b-1], por asociatividad(ab)-1=(ab)-1*[(a*b)*(a-1*b-1)], por asociatividad(ab)-1=[(ab)-1*(ab)](a-1*b-1), por inverso multiplicativo: x(-1)*x=1(ab)-1=1*(a-1*b-1), por neutro multiplicativo(ab)-1=(a-1*b-1) Por lo tanto, (ab)-1=a-1b-1

NotaDebes ir resolviendo el ejercicio enunciado, paso a paso, declarando la propiedad utilizada.

Intervalos reales

Los Números Reales los podemos representar en una recta, llamada Recta Real. Se elige un punto a la izquierda y el otro a la derecha y a cada punto le corresponde un Número Real. Por lo que si x<y, “x” estará a la izquierda de “y”. Así los números positivos estarán a la derecha del “0” y los negativos a la izquierda de este. Existe un conjunto de puntos que se van a encontrar entre “a” y “b” al que le denominaremos intervalo. Un intervalo es un conjunto infinito de números reales, veamos los diferentes tipos.

Intervalo cerrado

Intervalo abierto

Intervalo semi abierto

Intervalos no acotadosPueden ser abiertos o semi abiertos en el extremo acotado

Te invitamos a ver:



Ilustración 1 Supremos e Ínfimos para distintos tipos de intervalos

NotaTodo subconjunto no vacío y acotado superiormente de R tiene supremo.

Ejemplo1. Dibuje el intervalo que represente cada expresión

2. Escriba la desigualdad que represente el intervalo dado



Desigualdades

La desigualdad es la consecuencia de una comparación. Si “a” y “b” son los términos comparados y no resultan iguales, se denomina a≠b. También puede ocurrir que dos expresiones comparadas sean desiguales, entonces podemos hablar que una es mayor que la otra o viceversa.

a>boa<b

Tipos de desigualdadesDesigualdades AbsolutasLas desigualdades no dependen de variables.

Ejemplo 7>5a+1>a

Condicionales o InecuacionesCuando existe la desigualdad solamente para ciertos valores variables.

Ejemplo 3x<x2+53x+2y>9

Propiedades de las desigualdades1.- Si a ambos miembros de una desigualdad se le suma o resta la misma cantidad, la desigualdad se conserva. Ejemplo 5<95+8<9+813<17

2.- Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad positiva, la desigualdad se conserva.

Ejemplo 5<95*8<9*840<72

3.- Si ambos miembros de una desigualdad se multiplican por la misma cantidad negativa, la desigualdad se invierte.

Ejemplo5<95*(-8)<9*(-8)-40>-72

NotaSe utiliza en algunas ocasiones multiplicar por (-1) para realizar algún arreglo algebraico, se debe recordar SIEMPRE cambiar el símbolo de desigualdad.

Clasificación de las desigualdadesLa solución de una inecuación corresponde a un intervalo ya que define una situación dada para ciertos números reales.Para resolver una inecuación se procede en forma similar a los procedimientos usados en la resolución de ecuaciones, pero considerando las propiedades de las desigualdades. Veamos los tipos de inecuaciones:

Inecuaciones simplesSon desigualdades que no contienen términos fraccionarios ni signos de agrupación.

Ejemplo3x-4>5-12x/+12x15x-4>5/+415x>9/:15x>9/15x>3/5

Inecuaciones con paréntesisDifieren de las inecuacion por la adicion de signos de agrupación lo cual incorpora operaciones adicionales.Ejemplo(6y+5)2-4(5y-10)<(6y+10)(6y-10)+536y2+60y+25-20y+40<36y2-100+540y+65<-9540y<-160y<-4



Inecuaciones con denominador numéricoSon desigualdades que involucran términos fraccionarios cuyo denominador no contiene variables.Ejemplo

2/3(a+1)+1/5(a-2)≽3/2(a-2)+1/15(a-1) /MCM=3020(a+1)+6(a-2)≽45(a-2+2(a-1) /Se resuelven los productos20a+20+6a-12≽45a-90+2a-2 /Se reducen términos semejantes26a+8≽47a-92 /-47a-21a+8≽-92 /-8-21a≽-100 /(-1)21a≼100 /:21a≼100/21

Inecuaciones con producto de polinomiosSon desigualdades que al efectuar los productos se obtienen polinomios de grados mayores o iguales a dos, lo cual da lugar a un análisis mas acabado de los valores para los que la relación establecida en la desigualdad es cierta.

EjemploEncuentre el conjunto solución de la inecuación x2-5x+4≤0Obtenemos las raíces de x2-5x+4=0.

x2-5x+4≤0→(x-4)(x-1)≤0

Luego estas raíces, que constituyen los valores de x que anulan la expresión definen intervalos relevantes de análisis del comportamiento de cada factor. Así establecemos tres zonas de análisis y estudiamos con la tabla francesa en cuales cada factor es positivo o negativo y en la última efectuamos la multiplicación de signos de cada columna.

(-∞,1] [1,4] [4,∞)

(x-1) - + +

(x-4) - - +

(x-1)(x-4) + - +

Sólo la zona 2 satisface la ecuación, es decir la solución final es x∈[1,4]

Inecuaciones con denominador variableSon desigualdades que involucran términos fraccionarios cuyo denominador si contiene variables. Usualmente este tipo de inecuaciones da lugar a expresiones de mayor complejidad que deben ser analizadas por casos utilizando la tabla francesa.

Ejemplo

Determinamos los valores de x que anulan esta expresión (numerador y denominador) y obtenemos los valores críticos x=-1,1,2 con lo cual establecemos cuatro zonas de análisis y estudiamos con la tabla francesa en cuales cada factor es positivo o negativo y en la última efectuamos la multiplicación de signos de cada columna.



Asi, la solución es: x∈]–∞,–1[∪]1,2[

Ejemplo

Luego esta expresión final será mayor o igual a cero en dos casosSi tanto numerador como denominador son positivosSi tanto numerador como denominador son negativosAnalizamos para que valores de x el numerador y el denominador son positivos.x2+x+2≥0;(x+1)(x-1)≥0Solución parax2+x+2≥0:x2+x+2=0 No tiene soluciones. Además el valor del coeficiente a es positivo. O sea y=x2+x+2nunca corta al eje x y siempre está por encima del eje x(solo tiene raíces complejas). Así que la inecuación se verifica para todos los valores de x,x∈(-∞,∞).Solución para (x+1)(x-1)>0:Determinamos los valores de x que anulan esta expresión y obtenemos x=-1yx=1 con lo cual establecemos tres zonas de análisis y estudiamos con la tabla francesa en cuales cada factor es positivo o negativo y en la última efectuamos la multiplicación de signos de cada columna.

(-∞,-1) (-1,1) (1,∞)

(x+1) - + +

(x-1) - - +

(x+1)(x-1) + - +

Entonces los intervalos que satisfacen la inecuación son x∈(-∞,-1)∪(1,∞)La solución sería x∈(-∞,∞)∪{x∈(-∞,-1)∪(1,∞)}→x∈(-∞,-1)∪(1,∞)

Cuando el numerador y el denominador son negativos.x2+x+2≤0;(x+1)(x-1)<0

Entonces la solución es x∈(-∞,-1)∪(1,∞)La inecuación x2+x+2≤0 no se satisface nunca, no teniendo solución en los reales. Como en esta ecuación no posee solución y sabiendo que la solución del sistema es la intersección de las soluciones correspondientes, podemos afirmar que el intervalo solución es vacío.

EJERCICIOS PROPUESTOSResolver x2+5x+6>0



Valor Absoluto

El valor absoluto de un número real “a” es el propio número “a”, si es positivo, o su opuesto, (-a), si es negativo.

Propiedades del valor absoluto1.- |a*b|=|a|*|b|

2.-

3.- |x|=√(x2)

4.- |a-b|=|b-a|

5.- |x|≤a si y sólo si -a≤x≤a análogoa(x≤ayx≥-a)

6.- |x|≥a si y sólo si x≥aóx≤-a

7.- |x|=a si y sólo si a≥0 y x=aóx=-a

Inecuaciones con valor absolutoSon desigualdades que incorporan el valor absoluto en todos o algunos de sus términos.

Ejemplo|x2-4x|>0Para este caso |x2-4x|>0↔x2-4x>0ó-(x2-4x)>0Resolvemos x(x-4)>0Las soluciones de x(x-4)=0 son 0 y 4. Como la inecuación de segundo grado es del tipo ax2+bx+c≥0, las soluciones son (-∞,0)∪(4,∞)Resolvemos -x(x-4)>0-x(x-4)>0→x(x-4)<0Las soluciones de x(x-4)=0 son 0 y 4. Como la inecuación de segundo grado es del tipo ax2+bx+c≤0, las soluciones son (0,4).Por lo tanto:x∈{(-∞,0)∪(4,∞)}∪(0,4)→Todos los reales siempre que x≠0yx≠4

NotaRecordar que debemos analizar los valores absolutos para establecer las restricciones y luego analizar caso a caso según corresponda. Una vez analizado caso a caso, como se plantea, se deben unir las soluciones.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. 2. |2x–8|=103. |3x–7|≤84. |7x–3|>5

5. ≥1

6.

7. |x–3|<2|x+5|8. ||x–1|–8|>11

Te invitamos a ver:

≥7



Plano Realℝ2 es un conjunto de pares ordenados compuesto por números reales.(a,b)≠(b,a)(a,b)=(b,a)↔a=b

Eje de CoordenadasPrimer cuadrante: I={(X,Y)∈ℝ2:x>0˄y>0}Segundo cuadrante: II={(X,Y)∈ℝ2:x<0˄y>0} Tercer cuadrante: III={(X,Y)∈ℝ2:x<0˄y<0} Cuarto cuadrante: IV={(X,Y)∈ℝ2:x>0˄y<0}

Distancia entre dos puntosDado los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) del plano, La distancia entre AyB está dada pord(P,Q)=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)

Punto MedioDado los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) del plano. El punto medio entre PyQ es el punto M que se encuentra en el segmento que une PyQ además equidista de ambos extremos.

d(M,P)=d(M,Q)˄M∈(PQ)Y las coordenadas están dadas por:

División de un segmento en una razónDado los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) del plano. El punto R que divide el segmento(PQ)en una razón r>0 está dado por

Lugar GeométricoUn Lugar geométrico en ℝ2 es un conjunto de puntos del plano que verifican una o más condiciones geométricas y/o algebraicas. En general, podemos escribirlos como conjuntoR={(x,y)∈ℝ2:F(x,y)=0}

El lugar geométrico de una ecuación es una curva que contiene aquellos puntos y sólo aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

RectaLugar geométrico de los puntos del plano tales que si tomamos dos de ellos, la razón entre la diferencia en la segunda coordenada respecto a la diferencia en la primera coordenada se mantiene constante. Razón que se llama pendiente.m es la pendiente y P(x0,y0) y Q(x,y)∈ recta L

NotaSi conocemos dos puntos podemos determinar la pendiente de la recta.Si conocemos la pendiente de la recta, podemos conocer el ángulo formado por el eje x y la recta. m=tanα

Forma PrincipalL: y=mx+b m es la pendiente y b el coeficiente de posición (intersección de la recta con el eje y)

Forma GeneralL: Ax+By+C=0

Distancia Punto-RectaConsiderar L: Ax+By+C=0 y un punto en el plano P(x0,y0). La distancia está dada por:



EjemplosCalcular la distancia entre los puntos A(2,5) y B(-4,-3)

d(A,B)=√((-4-2)2+(-3-5)2)=√(36+64)=√100=10

Los vértices de un cuadrilátero son A(4,5), B(-2,4), C(-3,-2), D(2,-3), calcule su perimetroP=d(A,B)+d(B,C)+d(C,D)+d(D,A)

Calculemos por separado las distancias:d(A,B)=√((-2-4)2+(4-5)2)=√37

d(B,C)=√((-3+2)2+(-2-4)2)=√37

d(C,D)=√((2+3)2+(-3+2)2)=√26

d(D,A)=√((4-2)2+(5+3)2)=√68

Luego calculamos P sumando las distancias calculadasP=√37+√37+√37+√68P=2√37+√26+2√17

CircunferenciaLugar geométrico de puntos P del plano que equidistan de un punto conocido C, llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia la llamaremos radio (r).C={(x,y)∈R2:d(P,C)=r}

Ecuación Principal: d(P,C)=r↔√((x-h)2+(y-k)2)=r

Ecuación General: x2+y2+Cx+Dy+E=0

EjemploDeterminar la ecuación de una circunferencia que pasa por el punto P(1,0), sabiendo que es concéntrica a la representada por la ecuación:x2+y2-2x-8y+13=0Completando los trinomios cuadrados perfectos:(x2-2x+1-1)+(y2-8y+16-16)+13=0(x-1)2+(y-4)2=4De la expresión anterior encontramos que el centro es C(1,4), es decir h=1 y k=4. Como a2=4, entonces a=2.El radio a de la circunferencia buscada, se calcula como la distancia del punto P al centro C.a=(PC)=√((1-1)2+(0-4)2)=4Por lo tanto a2=16. Sustituyendo este valor y los de h y k en la fórmula (x-h)2+(y-k)2=a2, encontramos:(x-1)2+(y-4)2=16

ParábolaLugar geométrico de puntos del plano P que equidistan de un punto conocido F (foco) y de una recta llamada directriz (D).P={(x,y)∈R2:d(P,F)=d(P,D)}Ecuación Principal vertical: (x-h)2=4p(y-k)Ecuación General vertical: x2+Cx+Dy+E=0Ecuación Principal horizontal: (y-k)2=4p(x-h)



Parábola Vertical Parábola Horizontal

Ec. Principal (x-h)2=4p(y-k) (y-k)2=4p(x-h)

Ec. General x2+Cx+Dy+E=0 y2+Cx+Dy+E=0

Vértice V(h,k) V(h,k)

Foco F(h,k+p) F(h+p,k)

Directriz D:y=k-p D:x=h-p

Eje de Simetría S:x=h D:y=k

Lado recto LR=|4p| LR=|4p|

Excentricidad ε=1 ε=1

EjemploDetermine los puntos de intersección de la recta que pasa por el foco de la parábola cuya ecuación es: 4y2+16y+16x+32=04y2+16y+16x+32=0↔y2+4y+4x+8=04y2+16y+16x+32=0↔(y+2)2+4x+4=04y2+16y+16x+32=0↔(y+2)2=-4(x+1)4y2+16y+16x+32=0↔(y+2)2=4*(-1)(x+1)Por lo tanto c=-1<0 entonces la parábola tiene eje focal paralelo al eje x y se abre hacia la izquierda.Vértice:V=(h,k)=(-1,-2)Foco: F=(h+c,k)=(-2,-2)Directriz :Dx=-c+h=0ejex(y+2)2=4↔y=-4∨y=0∴P=(-2,-4)yQ=(-2,0)(PQ)=d(P,Q)=|4c|=4P,Q pertenecen a la parábola y son las intersección de esta con la recta y por el focoF, estos también tienen abscisa. x=-2, luego reemplazamos en la ecuación de la parábola.Recordar que la ecuación canónica de la parábola horizontal es: (y-k)2=4p(x-h)

Donde 4p, es igual al lado recto (es la menor distancia que hay entre el foco y las curvas de la parábola)

Y p es la distancia que hay entre el foco y el vértice de la parábola.

ElipseLugar geométrico de puntos P del plano, tales que dados dos puntos F1yF2, llamados focos, y a∈ℝ, la suma de las distancias de P a F1 y a F2 es 2a.E={(x,y)∈ℝ2:d(P,F1)+d(P,F2)=2a}

Ecuación Principal Horizontal:

Ecuación General Horizontal:

Ecuación Principal Vertical:

Ecuación General Vertical:

v1 F1 F2v2

v4

c

v3



Elipse Horizontal Elipse Vertical

Ec. Principal

Ec. General Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Centro C(h,k)

Focos F1(h-c,k),F2(h+c,k) F1(h,k-c),F2(h,k+c)

Vértices (Eje mayor)

Vértices (Eje menor)

V1(h-a,k),V2(h+a,k)

V3(h,k-b),V4(h,k+b)

V1(h,k-a),V2(h,k+a)

V3(h-b,k),V4(h+b,k)

Excentricidad

Resumen Elipse:

NotaEl valor de a indicará la forma de la elipse.Eje Focal: Segmento que une los focos. Su longitud es 2c.Eje Mayor: Segmento que contiene a los focos y sus extremos son puntos de la elipse. Su longitud es 2ª.Eje Menor: Segmento perpendicular al eje mayor, sus extremos son puntos de la elipse y su punto medio coincide con el del eje mayor. Su longitud es 2b.Centro: Punto intersección entre el eje mayor y el menor.Vértices: Son los puntos extremos de los ejes mayor y menor

EjemploSe construye una plataforma de skate con forma de arco semi elíptico de 20 mts lineales de largo y una profundidad de 4mts. Para su construcción se consideran 4 pilares, 2 en los extremos y dos postes interiores ubicados a tres metros de éstos. Determinar la altura de los postes interiores:Para calcular la altura es necesario ubicar la plataforma en un sistema de ejes coordenados.El eje mayor tiene longitud 20 por lo tanto 2a=20→a=10La profundidad es 4, por lo tanto b=4 teniendo como centro (0,4)Reemplazando los valores se tiene

Para determinar la altura de los postes interiores, basta con evaluarx=7 en la ecuación

Se concluye que la altura de los postes es de 1,14 mts, ya que la plataforma corresponde a la semi elipse inferior.El eje mayor es horizontal por lo tanto la ecuación de la elipse que se considera es:

HipérbolaLugar geométrico de puntos P del plano, tales que dados dos puntos F1yF2, llamados focos, y a∈ℝ+, el valor absoluto de la diferencia de las distancias de P a F1 y a F2 es 2a.

E={(x,y)∈ℝ2:|d(P,F1)-d(P,F2)|=2a}



Ecuación Principal Horizontal:

Ecuación General Horizontal: Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Ecuación Principal Vertical:

Ecuación General Vertical:

Elementos de una HipérbolaEje Focal: Segmento que une los focos. Su longitud es 2c.Vértices: Son los puntos de intersección del eje focal y la hipérbola.Centro: Punto medio eje focal.Eje Transverso: Segmento que une los vértices. Su longitud es 2a.Eje Conjugado: Segmento perpendicular al eje focal, cuyo punto medio es el centro. Su longitud.

La ecuación debe tener la forma dada por la fórmula (x-h)2+(y-k)2=a2 debiendo ser las coordenadas h y k del centro, las mismas que la de la circunferencia dada y las calculamos llevando a la forma común, la ecuación de la circunferencia conocida.Resumen hipérbola:

Hipérbola Horizontal Hipérbola Vertical

Ec. Principal

Ec. General Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Centro C(h,k)

Focos F1(h-c,k),F2(h+c,k) F1(h,k-c),F2(h,k+c)

Vértices V1(h-a,k),V2(h+a,k) V1(h,k-a),V2(h,k+a)

Excentricidad

Asíntotas

EjemploEncuentre la ecuación de la hipérbola vertical con centro en (2,-1) cuya distancia entre los vértices es 12y su excentricidad es 3. Solución:

SeaC=(2,-1)centro de la hipérbola vertical y cuya distancia entre los vértices es 12y su excentricidad

luego los vértices son V1=(2,5)yV2=(2,-7),pues d(V1,V2)=12

Entonces y c2=a2+b2↔b2=c2-a2

Por lo tanto

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Determine la distancia que existe entre las rectas:L1:y=2x–3L2:y=2x+52. Los vértices de un triángulo son A(-1,2),B(3,5),C(1,7)Determine y grafique: a) Ecuación de sus lados en forma principal y general b) Perímetro del triángulo ABC c) Ecuación de las transversales de gravedad d) Ecuación de las alturas e) Ecuación de las medianas f) Área de triángulo ABC 3. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en C(3,-2) y que es tangente al ejex.4. Una circunferencia pasa por los puntos (-3,3)y(1,4), y su centro está sobre la recta 3x–2y–23=0. Hallar su ecuación.5. Hallar el vértice, foco, directriz, longitud del lado recto y gráfica de: y2+16x=0 2y-3x2=0 5x2+4y=06. Determine en cada caso centro, vértices, ejes mayor y menor, excentricidad y gráfica de la elipse. 25x2+9y2+100x-54y-44=0 4x2+9y2-8x+36y+4=0

7. Obtener la ecuación de la hipérbola si un vértice está en (0,4) y un foco en (0,5).8. ¿Cuántas hipérbolas tienen su centro en (0,0) y su foco en(1,0)? Determine sus ecuaciones.

Ax2+By2+Cx+Dy+E=0

Te invitamos a ver:



Límite de funciones reales

Evaluemos la función f(x)=x+1, su gráfica es:

Si nos concentramos en un valor de x, por ejemplo x=2, y evaluamosf(x) en ese punto y sus cercanos, podemos obtener los siguientes resultados:

X f(x)

1,95 2,95

1,96 2,96

1,97 2,97

1,98 2,98

1,99 2,99

2 3

2,01 3,01

2,02 3,02

2,03 3,03

2,04 3,04

2,05 3,05

Los datos de la tabla nos indican que a medida que x se acerca a 2 (tanto por la derecha como por la izquierda) el valor de f(x) se acerca a 3, por este razonamiento podemos decir que el valor límite de f(x)=x+1cuando x tiende a 2es3.Esto se escribe matemáticamente:

Genéricamente:

Una función f(x),x0∈ℝ,yv(x0), una vecindad de x0 (valores cercanos ax0). Diremos que el límite de f(x) cuando x se aproxima a x0, es L.f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)

limf(x)=Lsiysólosi(∀ϵ>0),(∃δ>0)∶(x∈v(x0))→(f(x)∈v(L))

Es decir(∀ϵ>0),(∃δ>0)∶0<|x-x0|→|f(x)-L|<ϵLímites de funciones comunes1.- Función constante:f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=K→limf(x)=limK=K2.- Función identidad:f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=x→limf(x)=limx=x0

3.- Función lineal:f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=ax+b→lim(ax+b)x=ax0+b4.- Función raíz cuadrada (x≥0):f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=√x→lim√x=√(x0)5.- Función polinomial:f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=a0+a1x+⋯anxn→lima0+a1x+⋯anxn=a0+a1x0+⋯anx0

n 6.- Función Seno:f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=sen(x)→limsen(x)=sen(x0)7.- Función coseno:f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=cos(x)→limcos(x)=cos(x0)8.- Función exponencialf:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=Exp(x)=ex→limex=ex0

9.- Función logaritmo (x>0)f:Dom(f)⊆ℝ→ℝx→f(x)=ln(x)→limln(x)=ln(x0)



Otros límites importantes

1.-lim =1

2.- lim =1

Álgebra de límitesSean fy g funciones, tales que:

limf(x)=L1ylimg(x)=L2 Entonces:

1.- lim(f(x)+g(x))=L1+L2

2.- lim(a(x))=a

3.- lim(f(x)*g(x))=L1*L2

4.- lim

Teorema del sándwich: Sean f y g y h funciones tales que f(x)≤g(x)≤h(x) para x∈v(x0), salvo tal vez en x0 entonces:Si limf(x)=limh(x)=L se tiene limg(x)=L

Teorema de composición: Sean fyg dos funciones. Si para x∈v(x0), salvo tal vez en x0 entonces:limf(x)=l y limg(x)=L entonces lim(gof)(x)=L

Ejemplos

3x-1=3(2)-1=5

-x2+x-2=-(1)2+1-2=-2

4. Para levantar la indeterminación debemos factorizar

5. Determine, si es posible, el valor de los siguientes límites:



Límites lateralesHay casos donde la función tiene distintas expresiones en el punto de interés, tanto a la izquierda como derecha, entonces se hace necesario analizar el límite en ambos sentidos.Sean f:A⊆R→Ryx0∈RSean v+(x0)=v(x0)∩(x0,+∞) y v-(x0)=v(x0)∩(-∞,x0)Llamaremos “limite lateral por la derecha de la función f en x0” a: limf(x)=L

Si y sólo si (∀ϵ>0),(∃δ>0)∶(x∈v+(x0))→(f(x)∈v(L)) Es decir (∀ϵ>0),(∃δ>0)∶0<x-x0<δ→|f(x)-L|<ϵLlamaremos “limite lateral por la izquierda de la función f en x0” a: limf(x)=L

Si y sólo si (∀ϵ>0),(∃δ>0)∶(x∈v+(x0))→(f(x)∈v(L)) Es decir (∀ϵ>0),(∃δ>0)∶0<x0-x<δ→|f(x)-L|<ϵEl límite existe y es L si y sólo si ambos límites laterales existen y son iguales a L.

EjemploDada la siguiente función determine si existe el límite cuandox tiende a 2

Por lo cual el límite no existe.

EjemploDada la siguiente función determine si existe el límite cuando x tiende a -1

Por tanto,el límite existe y es igual a-28

EjemploDetermina para que valores de a y b es continua la función:

Si x≠0yx≠2, la función es continua por ser trozos de parábolas y rectas. Si calculamos los límites laterales en x=0yenx=2.

Si queremos que en x=0 sea continua, entonces -b=b→b=0

Si queremos que en x=2 sea continua, entonces 2a+b=4b y como b=0, debe ser a=2

La función es:




1. Dada la función calcule el límite cuando x tiende a 4.




Límites infinitosSean f:A⊆ℝ→ℝyx0∈ℝ, fijo. Si f crece o decrece sin cota al aproximarse a x0, por la derecha o la izquierda o cuando x0→±∞ se dice que su límite es +∞ o bien -∞.

Luego a la izquierda de -3 la función crece, y a la derecha de -3 decrece. Por lo tanto no existe el límite.

Ejemplo

Ejemplo

Luego a la izquierda de -2 la función crece, y a la derecha de -2 también Por lo tanto no existe el límite.


Límites hacia el infinitoSean f:A⊆ℝ→ℝ y L∈ℝ entonces

1.- Si A no es acotado superiormente, diremos que limf(x)=L

Si y sólo si (∀ϵ>0),(∃m>0)∶∀x∈A∩[m,+∞)→(f(x)∈v(L))

2.- Si A no es acotado inferiormente, diremos que limf(x)=L

Si y sólo si (∀ϵ>0),(∃m>0)∶∀x∈A∩(-∞,m)→(f(x)∈v(L))

3.- En particular,



Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo

Sea

Calcular


Asíntotas

Una asíntota es una linea recta prolongada infinitamente que se acerca progresivamente a una función sin llegar nunca a encontrarla.

Utilizando el concepto de límite en sus diferentes variantes podemos determinar si una función dada posee asíntotas verticales, horizontales y oblicuas.

Asíntotas Verticales1.- Calculamos el dominio de la función2.- Tomamos el límite, para los valores de x que no pertenecen al dominio. Si el límite nos da infinito, en esos valores hay una asíntota vertical limf(x)=∞3.- Para saber a qué tiende la función hay que tomar el o los límites laterales. La solución sólo puede ser ±∞.4.- Son rectas paralelas al eje OY. Se escriben X=Valordelaasíntotavertical.5.- Funciones que pueden ser asíntotas verticales: Funciones racionales: Indeterminación k/0 Funciones Logarítmicas. Función Tangente.Una forma sencilla de determinar las asíntotas verticales de una función es encontrando su dominio, es decir aquellos puntos críticos donde se indetermina la función.

Asíntotas HorizontalesLas asíntotas horizontales nos indican a que tiende la función cuando la X es muy grande o muy pequeña1.- Calculamos el límite de la función cuando X tiende a infinito. Si existe el límite (valor finito), el valor del límite es una asíntota horizontal limf(x)=b El valor de la asíntota se escribe y=b.2.- Son rectas paralelas al eje OX. Se escriben y= valor de la asíntota horizontal.3.- Las funciones racionales tienen asíntota horizontal en los siguientes casos:a) Cuando el numerador y el denominador son del mismo grado.b) Cuando el grado el denominador es mayor que el grado del numerador.4.- Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en y=0Recordar, que para determinar las asíntotas horizontales de una función se debe evaluar el límite de la función cuando la variable x tiende a infinito, sí en el resultado de esta operación se obtiene un número real, entonces existen asíntotas horizontales, en otro caso no.

Asíntota Oblicua

Si una función tiene límite L, tendiendo ±∞, el gráfico se aproxima a una recta oblicua, se llama “asíntota oblicua de la función”. La recta y=m1x+n1 es una asíntota oblicua si lim(f(x)-m1x+n1))=0 La recta y=m2x+n2 es una asíntota oblicua si lim(f(x)-m2x+n2))=0 Si m=0yn∈ℝ la recta y=n corresponde a una asíntota horizontal.



Para que exista myn, el resultado de los límites debe ser un número real.

Ejemplo

Encuentre, si existen, asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de la curva y=g(x) donde:g:D⊂ℝ→ℝ

x→g(x)=

Desarrollo:

Se tiene que las asíntotas verticales son x=-1 y x=1

Como esta curva no tiene asíntotas horizontales.

Entonces la recta y=-x+0=-x es la asíntota oblicua de la curva

Sucesiones

Una sucesión es una serie de números que siguen uno detrás de los otros con reglas establecidas. Las sucesiones numéricas pueden avanzar hacia adelante (1,2,3,4), hacia atrás (4,3,2,1), alternadas (2,4,6,8) o alternas (0,1,0,1), dependiendo de su definición de su término general.La sucesión es una función f:ℕ→ℝn→f(n)

NotaPara realizar una diferenciación de las sucesiones con las funciones vistas anteriormente denotaremos con letras distintas como, por ejemplo: s,u,v,w,a,b,c.La imagen de n∈ℕ, es decir, sn, se llama enésimo término de la sucesión.

ConvergenciaSea sn una sucesión real y sea l∈ℝ. Diremos que sn converge a l o que sn tienden a l, si dado a un intervalo

cerrado [l-ε,l+ε]conε>0.

sn∈[-ϵ,+ϵ]↔-ϵ≤Sn≤ϵ

sn∈[-ϵ,+ϵ]↔

sn∈[-ϵ,+ϵ]↔ ≤ϵ

sn∈[-ϵ,+ϵ]↔n≤

Formalmente se dirá que sn converge a L o bien que los términos sn tienden a L(sn→L) si se cumple que: (∀ε>0)(∃n0∈N):(∀n≥n0) se tiene que sn∈[L-ε,L+ε]Límite de una sucesiónSi sn es una sucesión que converge a L, entonces L se llama límite de sucesión, lo cual se denotará:limsn=LSi L=0 diremos sn es una sucesión nula.Si (∃M>0)(∀n∈N),|sn|≤M, diremos que sn es acotadaSi sn≤sn-1, se dice decreciente Si sn≥sn-1 se dice creciente

Observaciones 1.- Si sn es nula, entonces es acotada.2.- sn es nula, si y sólo si |sn| es nula.3.- Por ser funciones las sucesiones cumplen con el álgebra de funciones, pero además para el cuociente de suceciones, se permite un número finito de indefiniciones.4.- Si sn y an son nulas entonces: sn+anysn*an son nulas.5.- Si sn y an son acotadas entonces: sn+anysn*an son acotadas.6.- Si sn es nula y an es acotada entonces sn*an es nula.

7.- Si sn es nula, entonces an= , de estar bien definida, es no acotada y en consecuencia no converge.

Te invitamos a ver:



Límites básicos de sucesiones

Si qn→q

√a→1,∀a∈ℝ+√an→1,∀an→a,a∈ℝ+Sn=a(n+1)-anSe denomina “sucesión telescópica” y limSn=0↔an→a,a∈ℝ

n

n

EjemploConsidere la siguiente sucesión de puntos definida por el término general: ¿Es {an}(n∈ℕ) una sucesión creciente o decreciente? JustifiquePara ver si es creciente o decreciente vemos que sucede con a(n+1)-an. Entonces:

Por lo tanto se tiene que a(n+1)-an<0↔a(n+1)<an. Lo que nos dice que es una sucesión decreciente.

Ejemplo

Calcule

En este problema, debes recordar las propiedades de las potencias, específicamente la propiedad del producto de potencias de igual bases:2n·21=2(n+1)

NotaOtros criterios importantes que debes considerar al momento de resolver sucesiones aplicando límite al infinito son:Si el grado del numerador es inferior al grado del denominador, entonces el límite es 0.Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, entonces el límite es infinito.

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Determinar la convergencia o divergencia de:

2. Mostrar que la siguiente serie armónica en general diverge

3. Determinar la convergencia o divergencia de:



Continuidad de Funciones

Continuidad puntual Una función f(x) se dice continua en un punto x=a,a∈Dom(f) si y solo si(∀∈>0),(∃δ>0):|x-a|→|f(x)-f(a)|<∈. Si no cumple esta premisa se dice discontinua.f continua en a↔{f(a)ϵℝ limf(x)=limf(x)=f(a)

Es decir, se deben verificar las siguientes condiciones

f(a) existe

limf(x) existe

limf(x)=f(a)

Tipos de discontuinidad puntualPosibles casos de continuidad de una función en un punto.1.- Discontinuidad evitable: Existe f(a) y los límites laterales, además son iguales y finitos, pero distintos del valor de f(a).

2.- Discontinuidad evitable: No existe f(a) y los límites laterales existen, además son iguales y finitos.

3.- Discontinuidad de salto finito: Existe (o no existe) f(a) y los límites laterales existen y son finitos, pero son distintos.

4.- Discontinuidad de salto infinito 1: Existe (o no existe) f(a) y uno de los límites laterales es infinito.

5.- Discontinuidad de salto infinito 2: No existe (o existe) f(a) y ambos límites laterales son infinitos, pero son diferentes.



5.- Discontinuidad esencial: No existe (o existe) f(a) y los límites laterales son iguales a +∞ o -∞.

Continuidad Lateral en x=a

Continuidad lateralDefinición (Continuidad lateral por la derecha): Una función f(x) es continua por la derecha en un punto x=a∈Dom(f)silimf(x)=f(a)Definición (Continuidad lateral por la izquierda): Una función f(x) es continua por la izquierda en un punto x=a∈Dom(f)si limf(x)=f(a)Una función es continua en x=a∈Dom(f) si y sólo si lo es por la izquierda y por la derecha.Si f(x) no es continua en x=a , podemos ampliar la continuidad de f(x) al punto x=a (redefiniendo) limf(x)=limf(x)=f(a)

Proposiciones:La suma y el producto de funciones continuas en un punto, es una función continua en ese punto. Si son discontinuas podrían generar una función continua en dicho punto.Si f y gson funciones continuas en x=ayg(a)≠0, entonces f(x)/g(x) es una función continua en el punto x=a.Si g es continua en x=a y f es continua en y=g(a), entonces fog es continua en x=a.

Continuidad en un intervalo cerradoSea I=[a,b]⊆Dom(f). Se dice que f es continua en Isi lo es en ]a,b[ (todos los puntos al interior del intervalo) y además lo es por la derecha en a y por la izquierda en b.

Teoremas:Teorema de los valores intermedios: Sea f una función continua en [a,b]. Entonces f toma todos los valores comprendidos entre f(a)yf(b)Teorema de Bolzano: Sea f una función continua en [a,b] y f(a)*f(b)<0 entonces existe x*∈(a,b) tal que f(x*)=0Teorema: Sea f una función continua en [a,b]. Entonces: - f está acotada en dicho intervalo.- f alcanza el máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo.

Determine si f es continua en el punto x0=0f(x0=0) está definida y es 0,25Debemos determinar si existe limf(x)=limf(x)Para x<0

EjemploConsidere la función.

Para x>0



Por lo tanto

limf(x)↔limf(x)=limf(x)=

f(x0=0)=limf(x)==0,25 Entonces f(x) es continua en el punto x0=0

EjemploAnalizar la continuidad en la siguiente función

Punto de análisis x=3i) f(3)≠4

ii)

iii)

Por tanto es posible levantar la indeterminación.

Luego f(x) es discontinua en x=3.

En este caso es posible re definir la función y asi volverla continua:

Este tipo de discontinuidad recibe el nombre de discontinuidad evitable

Analizar la continuidad en la siguiente función

Punto de análisis x=1i) f(1)=3

ii)

Por tanto el límite no existe.Ya que no es posible levantar la indeterminación, la función es discontinua en x=1. Este tipo de discontinuidad es infinita.

EJERCICIOS PROPUESTOSDetermine la continuidad de las siguientes funciones:

Aplicaciones de la derivadaLa diferencial o derivadaSean P(x0, f(x0 )) un punto fijo sobre la gráfica de y= f(x), ∆ x ∈ℝ+ (incremento de la variable x), ∆y=f(x0+∆x)-f(x0) (al cual llamaremos incremento de f cuando xvaría de x0a x0+∆x)



Tomando el punto P(x0,f(x0)) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dy son paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuación es simple, dy=mdx siendo m la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m=f'(x), se tiene que dy=f'(x)dx.

Regla de L HôpitalConsideremos dos funciones f y g , derivables en x=a, tales que :limf(x)=limg(x)=0x→a x→a

Al ser f y g derivable en x=a, existen sus rectas tangentes en dicho punto. Estas son LTf:y=mf(x-a) y LTg:y=mg(x-a) con mfymgla derivada de f y g respectivamente.

Como f≈LTf y g≈LTg en una cercanía de x=a podemos pensar que

Es decir

Considera que 1.- La regla también es válida para límites laterales y para límites al infinito.2.- También se puede utilizar al modificar la primera condición

3.- Si al calcular nos volvemos a encontrar con una indeterminación del tipo o

y se cumplen las condiciones establecidas en el teorema, podemos volver a aplicarla.

4.- Para las indeterminaciones del tipo ∞-∞,0∞,1∞,00,inf∞, podemos aplicar propiedades algebraicas para reescribir en indeterminaciones de manera de poder utilizar la regla de L’Hôpital.

Entonces si f y g son funciones continuas en [a,b] y derivables en ]a,b[ y x0∈]a,b[ tales que:

1.- limf(x)=limg(x)=0

2.- g'(x)≠0, para x∈]a,b[, excepto, posiblemente en x0

3.-

Entonces



EjemploHallar el límite: este límite tiene la forma indeterminada , por lo tanto, podemos aplicar L’Hôpital. Como el límite sigue teniendo la forma indeterminada , se puede volver aplicar L’Hôpital .

EjemploHalla el límite: este límite tiene la forma ,por lo tanto, podemos aplicar L’Hôpital.

En este caso se expresa la inversa de la tangente

como la tangente, teniendo como derivada


Gráfica de funciones

Aplicaciones de la primera derivadaEl signo de la primera derivada de una función permite conocer los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la curva. En algunos casos da la posibilidad de determinar inmediatamente los máximos y mínimos relativos.

Crecimiento y decrecimiento (monotonía) f(x) es creciente en un punto x=asif(a-h)≤f(a)≤f(a+h), parah>0 y pequeño. (Si se sustituye ≤ por <se hablaría de crecimiento estricto) f(x) es decreciente en un punto x=asif(a-h)≥f(a)≥f(a+h), para h>0 y pequeño. La función f(x) es creciente (decreciente) en un intervalo cuando crece (decrece) en todos los puntos de él.

Caracterización de la primera derivadaSi f'(x)>0→f(x) es creciente en x=a. En general, si una función f(x) es tal que f'(x)>0 para todo x de un intervalo, entonces f(x) es creciente en ese intervalo.

Si f'(x)<0→f(x) es decreciente en x=a. En general, si una función f(x) es tal que f'(x)<0 para todo x de un intervalo, entonces f(x) es decreciente en ese intervalo.

Te invitamos a ver:



Máximos y mínimosMáximos: El punto x1 es un máximo relativo cuando la función es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha.x1 Es un número máximo si: f '(x1

-)>0,f'(x1)=0,f'(x1+)<0

Mínimos: El punto x2 es un mínimo relativo cuando la función es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha.x2 Es un número mínimo si: f'(x2

-)<0,f '(x2)=0,f'(x1+)>0

No siempre que f'(x)=0 se tiene un máximo o un mínimo.-Puede haber mínimo sin que f'(x)=0. Si la función es f(x)=|x| tiene un mínimo en x=0 y en ese punto no es derivable la función.-Puede suceder que f'(x)=0 y no haya mínimo ni máximo. Así pasa en el punto x=0 para la función f(x)=x3, su derivada es f'(x)=3x2, se anula en x=0, pero:-Si x<0, (por ejemplo en x=-1),f'(x)>0→f(x) es creciente.-Si x>0, (por ejemplo en x=1),f'(x)>0→f(x) es creciente.Por lo tanto en x=0 no hay máximo ni mínimo. Hay un punto de inflexión.

Trazado de gráficas con primera derivadaDada la función y=f(x)1.- Determinar los puntos en los que no está definida f(x).2.- Hallar la derivada f'(x).3.- Calcular las soluciones de la ecuación f'(x)=04.- Marcar sobre el ejeOX los puntos encontrados en el punto anterior y aquellos en los que la función no está definida. Esos puntos dividen al ejeOX en varios intervalos.5.- Estudiando el signo de la derivada en cada intervalo anterior, determinar si la función es creciente o decreciente. (Basta con probar un punto de cada intervalo y ver si f'(x) es positiva o negativa)6.- Deducir dónde se dan los máximos y los mínimos (de lo anterior). Si existen7.- Bosquejar la gráfica ajustándose a la información obtenida y dando algunos de sus puntos, entre los correspondientes a los puntos singulares y a los cortes con los ejes de coordenadas.

Aplicaciones de la segunda derivadaCurvatura: concavidad y convexidadLa concavidad y la convexidad dependen del punto de vista del que se mire. Cuando hablemos de concavidad (concava hacia arriba), es la parte positiva del ejeOY y será "∪" y cuando hablemos de convexidad(concava hacia abajo) será "∩".Cuando hablamos de un intervalo de convexidad:-Las tangentes a la curva están por encima de ella.-Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez menor pendiente. -La derivada decrece: f'(x) es decreciente-Su derivada (la de f'(x)) será negativa: f''(x)<0-Los máximos se dan siempre en una convexidad (concava hacia abajo)-Por lo tanto, si en x=a hay un máximo def(x), se cumplirá que f''(a)<0

Cuando hablamos de un intervalo de concavidad:-Las tangentes a la curva están por debajo de ella.-Las rectas tangentes, de izquierda a derecha, tienen cada vez mayor pendiente.-La derivada crece: f'(x) es creciente.-Su derivada (la de f'(x)) será positiva: f''(x)>0-Los mínimos se dan siempre en una concavidad (concava hacia arriba)-Por lo tanto, si en x=a hay un mínimo de f(x), se cumplirá que f''(a)>0

Por lo tanto si:f''(x)<0 En un intervalo (x1,x2)→f(x) es convexa en ese intervalo.f''(x)>0 En un intervalo (x1,x2)→f(x) es concava en ese intervalo

Máximos y mínimosSi f '(a)=0yf''(a)<0→f(x) Tiene un máximo en x=aSi f '(a)=0yf''(a)>0→f(x) Tiene un mínimo en x=aEl recíproco no es cierto. Puede suceder que f(x) tenga un máximo (o un mínimo) en x=asiendo f'(a)=0 y f''(a)=0 (sin que f''(x)<0 o f''(x)>0)Puntos de inflexiónLos puntos en los que la curva cambia de cóncava a convexa, se llaman puntos de inflexión, en esos puntos, la tangente corta a la curva.Si x=a es un punto de inflexión de f(x)→f''(a)=0El recíproco no es cierto. Puede suceder que f''(a)=0 y en x=ano haya punto de inflexión.



Criterio general para la determinación de puntos máximos, mínimos y de inflexión.Si x=a es un punto que cumple:f'(a)=0,f''(a)=0,f'''(a)=0…f(n-1)(a)=0yfn(a)≠0Entonces si: n es par y fn(a)<0, en x=a hay un máximo n es par y fn(a)>0, en x=a hay un mínimo n es par y fn(a)<0, en x=a hay un máximo n es impar en x=a hay un punto de inflexión, aunque f'(a)≠0

EjermploRepresentar graficamente la funciónPara poder realizar la grafica, analizaremos la función de forma completa.

Comof(-x)≠f(x)yf(-x)≠-f(x), la función no es simétrica

Si x=0, f(0)=0. Por lo tanto, la curva corta al ejeY en el punto (0,0).Si y=0, entonces x=0. La curva corta al ejeX en el mismo punto (0,0).Al calcular las dos primeras derivadas de la función resulta:

Puntos críticosx1=√3,x2=-√3

La segunda derivada se hará cero en algún valor “a” comprendido entre -4y-3, por que el numerador toma un valor negativo cuando x=-4 y un valor positivo cuando x=-3. Por el teorema de Bolzano, debe tener una raíz en algún punto del intervalo (-4,-3). Esa raíz es única porque el polinomio x3-9x+12 es positivo cuando x>-3.

Estudiando el signo de estas derivadas, se genera la siguiente tabla:

(-∞,a) (a,-√3) (-√3,1) (1,√3) (√3,3) (3,∞)

f’(x) - - + + - -

f ’’(x) - + + - - +

Observando la tabla anterior se pueden ver los puntos donde cambia de signo alguna derivada. De esto se deduce que:Cuando x=-√3, la función alcanza un mínimo local. Cuando x=√3, alcanza un máximo. Los puntos correspondientes de la función son:

Además hay un punto de inflexión cuando x=aLas rectas x=1yx=3 pueden ser asíntotas verticales, porque los puntos no están en el dominio.

En efecto, es evidente que limf(x)=∞y además limf(x)=∞

Veamos si hay asíntotas horizontales

La recta y=0 es asíntota horizontal en ambos extremos del dominio. No puede haber asíntotas oblicuas al haber ya horizontales.



EjemploRepresentar gráficamente la función

Puntos críticosf (x)=x2-3f (x)=0→x=±2

f(2)=-6=-4 Punto crítico (2,-4)

f(-2)=-+6=4 Punto crítico (-2,4)

Intervalo de crecimiento y decrecimiento

Intervalo ]-∞,-2[ ]-2,2[ ]2,+∞[

Valor de prueba -3 0 3

Signo de la primera derivada f (-3)>0 f (0)<0 f (3)>0

Conclusión Creciente Decreciente Creciente

Así f(x)↑:]-∞,-2[∪]2,+∞[f(x)↓:]-2,2[

Punto de inflexión:f2(x)=xf2(x)=0→x=0f(0)=0Luego el punto de inflexión es (0,0)Intervalo de concavidad:f2(x)=x>0→x>0f2(x)=x<0→x<0Luego f(x) es cóncava hacia arriba en]0,+∞[f(x) es cóncava hacia abajo en]-∞,0[

Puntos de máximo y/o mínimo:f2(2)=3 entonces (2,-4) es un mínimof2(-2)=-3 entonces (-2,4) es un máximoy finalmente su gráfica:

EJERCICIOS PROPUESTOSUtilice las aplicaciones de la primera y segund derivada para caracterizar las siguientes funciones y graficarlas

Te invitamos a ver:



NotasGráfica de funciones Una función no siempre tiene máximo o mínimo en un intervalo, esto dependerá de la continuidad de la función y del tipo de intervalo a trabajar.Teorema de Weierstrass (Valores extremos) Si f es una función continua en un intervalo [a,b]⊆Dom(f), entonces ella posee tanto máximo como mínimo absolutos en [a,b].TeoremaSi f tiene un extremo relativo en c, entonces c es un punto crítico de fTeorema de Rolle Si f es continua en el intervalo [a,b], derivable en el intervalo ]a,b[yf(a)=f(b), entonces existe al menos un valor c∈]a,b[talquef '(c)=0Teorema del Valor MedioSi f es continua en el intervalo [a,b], derivable en el intervalo ]a,b[ entonces existe al menos un valor c∈]a,b[ tal que

Optimización

Según el teorema de Weierstrass, si una función f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces deben existir valores c,d∈R, de modo que f(c)≤f(x)≤f(d),∀x∈[a,b].Además cyd pueden ser puntos críticos de fo bien, los extremos del intervalo. Dichos valores son conocidos como valores absolutos de f.

Variaciones relacionadas (Razones de cambio)Un gran número de problemas físicos, geométricos, económicos, entre otros, involucran la idea de variación de una o más variables en términos de otra. La interrogante en este caso es “¿Qué tan rápido está cambiando una variable en relación a la otra?

EjemploSe quiere construir una caja, sin tapa, con un cartón rectangular de 32cm de largo por 24 de ancho. Se desea maximizar el volumen de la caja.Debemos maximizar el volumen de la cajaLa caja es un prisma rectangular: Volumen=áreadelabaseporlaalturaV=b*h

Si se corta un cuadrado de lado x, el bolumen de la caja será:V=(32-2x)(24-2x)x→V=4x3-112x2+768xLos puntos máximos o mínimo se encuentran, si existen, entre las soluciones de V'=0

Para saber cual es el máximo vemos la segunda derivadaV ''=24x-224 y sustituimos. Como V ''(4,53)<0 y V ''(14,14)>0 , el máximo se da para x=4,53. Siendo esta la solución

El valor x=14,14 no es posible, pues 24cm no da para cortar dos trozos de 14,14 cada uno.

EjemploUna caja cerrada con una base cuadrada debe tener un volumen de 64m3. El material de la parte de encima y el fondo de la caja cuesta $1000 por m2 y el material de los lados $500 el m2. Calcular las dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo.

V=x2y

64=x2y

=y

C=1000(2x2)+500(4xy)

C=2000x2+2000xy

C=2000x2+2000x*

C=2000x2+128000x^(-1)

C´=4000x-

C´=0→4000x-

x=∛32=2∛4

y=64/(4∛16)→y=4∛4

Luego, las dimensiones de la caja son:

2∛4𝑚 𝑙𝑎 𝑏𝑎 𝑠𝑒

4∛4𝑚 𝑙𝑎 𝑎 𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎



NotaRecordar que para modelar un ejercicio con enunciado, primero debemos identificar los datos y expresarlos como ecuaciones, para luego maximizar o minimizar según lo que se pida.Se deben tomar en cuenta los intervalos donde se acota la ecuación, pudiendo darnos cuenta sus máximos y sus mínimos.

EJERCICIOS PROPUESTOS1. Una caja cerrada con una base rectangular en la cual la altura es el triple de un de los lados basales, debe tener un volumen de 48 m3. El material de la parte de encima y el fondo de la caja cuesta $2.500 por m2 y el material de los lados $1.500 el m2. Calcular las dimensiones de la caja cuyo costo de construcción es mínimo.

2. Con una malla de 48 mt se desea construir un corral aprobechando una pared. ¿Cuáles deben ser la dimensiones para que el area sea máxima, si el corral tiene forma rectangular?.

3. Se desea construir un depósito en forma de cilindro con capacidad máxima para 12 litros. Determinar las dimensiones con el fin de emplear la mínima cantidad de material.

4. Con una plancha de 144 cm por 96 cm se construirá una caja. ¿Cómo deben ser los cortes para que el volumen de la caja sea máximo?.

5. Encontrar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en una circunferencia de radio 12.

Bibliografía

Larson-Hostetler, Edwards. (1995). Cálculo. Vol. 1. Editorial McGraw-Hill.

Swokowski. (1988). Algebra y Trigonometría. Grupo Editorial Iberoamericano.

Swokowski. (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericano.

Zill-Dewar. (1999). Algebra y Trigonometría. Editorial McGraw-Hill.

Además de estos textos que te recomendamos estudies, nos hemos basado en las guías de estudio elaboradas por la oficina de apoyo docente de la Facultad de Ingeniería UCSC.

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