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Apresentação do Projeto

Novo Espaço Matemática A • 12.° ano

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RecursosDigitaisdoProfessor• e-ManualPremium• GeradorInterativodePlanificações• GeradorInterativodeTestes• AplicaçõesDinâmicas CD-ROM

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EDUCAÇÃO 2012

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Caderno Prático2

10INTRODUÇÃO

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Porto Editora

A incerteza foi, ao longo dos tempos, e continua a ser, a principal razão do estudo das probabilidades.Podem ser conhecidos todos os possíveis resultados de um fenómeno aleatório, mas, antes que este seja con-cretizado, mantém-se a incerteza quanto ao resultado que ocorrerá.

Essa incerteza é o desafio e a motivação de muitos jogos, como por exemplo,a lotaria, o Euromilhões, jogos relacionados com lançamento de dados ou o girarde roletas. De certa forma, a origem das probabilidades está relacionada comos chamados “jogos de azar”.

Girolamo Cardano foi um italiano que manteve ao longo da vida a perceçãode passar o seu legado para a posteridade, tal era a sua preocupação em des-crever e registar os mais diversos episódios da sua vivência. Por isso, Cardanoescreveu mais de 200 livros dedicados a diversas áreas do saber.

Entre as suas obras destaca-se o Liber de Ludo Aleæ (Livro dos Jogos deAzar), que é considerado o primeiro livro completo dedicado às probabilidades.Na época em que foi escrito, o conceito de probabilidade estava associado àequidade dos jogos.

A partir da correspondência entre Pascal e Fermat, a teoria das probabilidades associada à Matemática,teve um impulso no seu desenvolvimento. Para isso houve vários contributos, como por exemplo, os de JacobBernoulli (1654-1705) e Laplace (1749-1827).

O problema do cavaleiro De Méré

Dois jogadores, o cavaleiro e um seu adversário, estão a jogar aos dados. Cada umaposta num determinado número e ganha o primeiro a obter pela terceira vez o númeroem que apostou. A aposta foi de 64 moedas (32 de cada um) e o jogo foi interrompidoquando o cavaleiro tem 2 sucessos contra 1 do adversário.

Como deve ser repartido o valor apostado?

Blaise Pascal(1623-1662)

Pierre Fermat(1601-1665)

Girolamo Cardano(1501-1576)

Problemas relacionados com o jogo continuaram a alimentar a reflexão e a discussão em torno das probabi-lidades. Deste tipo de reflexão destaca-se, no século XVII, a troca de correspondência entre Fermat e Pascalacerca de um problema colocado a este último por um nobre francês, Antoine de Gambard (1610-1685) de seunome, mais conhecido por cavaleiro De Méré.

A seguir apresenta-se uma versão do problema colocado por De Méré.

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Quantos são os resultados possíveis no caso de:

1. uma moeda ser lançada duas vezes e um dado cúbico uma vez, sendo registadosapós cada lançamento as faces da moeda e o número da face do dado que ficavoltada para cima?

2. ser lançado um dado tetraédrico com os vértices numerados de 1 a 4 três vezes con-secutivas, registando-se após cada lançamento o número do vértice voltado para cima?

3. serem retirados consecutivamente três cartões, de um enve-lope com quatro cartões numerados de 1 a 4 , sendo coloca-dos ordenadamente sobre a mesa?

4. serem retirados cinco cartões, um de cada vez, de uma caixacom 26 cartões contendo as letras do alfabeto, colocando-osem fila por ordem de saída e formando uma sequência de letras?

Um dado cúbico, com as faces numeradas de 1 a 6 , é lançado cinco vezes consecutivas,sendo registado, após cada lançamento, o número da face que fica voltada para cima.

1. Quantos são os resultados possíveis?

2. Admite que os resultados são registados de modo a formar um número de cincoalga rismos.

Determina quantos números podem ser formados de modo a serem:

2.1. maiores que 30 000 ; 2.2. menores que 20 000 ; 2.3. pares.

O código de um tipo de cofre é constituído por duas letras e três alga-rismos que terão de ser marcados rodando cinco botões.

Sabe-se que o alfabeto é composto por 26 letras.

Quantos códigos é possível formar?

Com os algarismos 0 , 2 , 3 , 5 e 7 , quantos números de quatro algarismos se podemescrever, de modo que sejam:

1. ímpares?

2. menores que 3000 ?

3. menores que 2700 ?

Proposta 1

Proposta 2

Proposta 3

Proposta 4

1 2 3

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67890

1 2 3

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67890

1 2 3

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1 2 3

45

67890

ABCDEFGHIJK

LMNOPQRS

TUVW

XYZA

BCDEFGHIJK

LMNOPQRS

TUVW

XYZABCDEFGH

IJKLMNOPQRS

TUVW

XYZA

BCDEFGHIJK

LMNOPQRS

TUVW

XYZ

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1 2 3

45

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PARA PRATICAR (2)


Manual (2 partes)1

11TEMA 1PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA

1. Introdução ao cálculo de probabilidades

1.1. Experiência aleatória. Conjunto de resultados.Acontecimentos

No dia a dia, lidamos com dois tipos de fenómenos: fenómenosdeterministas e fenómenos aleatórios.

Um sorteio como o da lotaria é um fenómeno cujo resultado é incerto.O seu resultado apenas é conhecido após a realização do sorteio: é umexemplo de um fenómeno aleatório.

Os eclipses são fenómenos cuja ocorrência é possível determinarantes da sua realização. Para tal basta recorrer às leis da Física: é umexemplo de fenómeno determinista.

À realização de um fenómeno, ou seja, ao processo que permiteobservar o resultado dá-se o nome de experiência, que pode ser deter-minista ou aleatória.

Exemplo

Num saco foram introduzidas quatro bolas, todas com o número 5 ede cores distintas: uma azul, uma vermelha, uma amarela e umaverde.

As bolas são indistinguíveis ao tato e retiram-se do saco, ao acaso,duas delas.

Antecipadamente, é possível conhecer:1. as cores das bolas que vão ser retiradas?2. a soma dos números das bolas que vão ser retiradas?

No caso da questão 1. , a resposta é negativa.

Retirar ao acaso duas bolas do saco e observar as cores das bolasretiradas é uma experiência aleatória – são conhecidos os possíveisresultados da mesma, mas não aqueles que vão efetivamente ocorrer.

O mesmo não acontece em relação à questão 2 .

5

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1. O interesse pelos jogos égrande ao longo dos tem-pos pela incerteza dos re -sultados.

“Niños jugando a los dados”Murillo

(1618-1682)

Das seguintes experiênciasindica as que são aleatórias eas que são deterministas:

A : Lançar ao ar uma moedae observar a face que ficavoltada para cima.

B : Observar a quantidade deágua que é derramadaquando se introduz umcubo com 3 cm de arestadentro de um recipientecheio de água.

C : Observar, numa localida -de, a pluviosidade duranteuma semana.

D : Num jogo de cartas, ob -servar o número de asesdis tribuídos a um dos jo -gadores.

Curiosidade


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1. O bilhete representado na figura faz parte de uma coleção cujos bi -lhe tes são numerados por uma sequência de cinco algarismos.

Neste exemplo tem-se 06876 .

Quantas destas sequências têm três e só três algarismos iguais a 5 ?

(A) 810 (B) 243 (C) 720 (D) 738

2. Numa linha do triângulo de Pascal, a soma de todos os elementos é32 768 .

Então, a soma dos três últimos elementos é:

(A) 121 (B) 106 (C) 137 (D) 127

3. A Rita tem nove livros, numerados de 1 a 9 , e pretende arrumá-los, lado a lado,numa prateleira de modo que os livros que têm número ímpar fiquem juntos e orde-nados por ordem crescente ou decrescente.

O número de maneiras diferentes possíveis para o fazer é dado por:

(A) 2 * 5! (B) 2 * 9A4 (C) 4 * 9C5 (D) 4! * 5!

4. A tabela de distribuição de probabilidades de uma variável aleatória X é:

Seja m o valor médio da distribuição. Indica a afirmação verdadeira:

(A) (B) (C) (D)

5. Numa loja, a receita apurada diariamente segue uma distribuição normal, cujo valormédio é representado por v e o desvio-padrão é 200 .

Sabe-se que P (X > 1200) = 0,6 .

Então, pode concluir-se que P (v < X < 2v - 1200) é igual a:

(A) 0,4 (B) 0,1 (C) 0,2 (D) 0,3

6. No desenvolvimento de , x > 0 , pelo binómio de Newton, o número

determos em que o expoente de x é um número inteiro positivo é:

(A) 5 (B) 0 (C) 6 (D) 10

m = 278

m = 174

m = 298

m = 256

1

√x+ x

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PARA AVALIAR 1.a PARTE Questões de escolha múltipla

Para cada questão há quatro opções de resposta em que apenas uma está correta. Identifica-a.

xi 2 3 5 6

P (X = xi) 2a 3a 2a a


1 ManualEste Manual, dividido em duas partes, privilegia metodologias que favorecem a participação ativa dos alunos e proporciona a mobilização de recursos variados. Desta forma, contribui para um verdadeiro processo de ensino-aprendizagem e para o reforço da autonomia dos alunos.

Os três temas trabalhados no 12.° ano são apresentados no Manual com a seguinte estrutura:

• Páginadeapresentaçãodotema – tópicos a trabalhar no tema.

• Introdução – diversidade de situações relacionadas com o tema.

• Tarefas – diversidade de propostas que permitem:

– identificar, mobilizar e aplicar conhecimento matemático;

– estabelecer conexões entre diversos conceitos e relações matemáticos;

– desenvolver capacidades de comunicação matemática;

– integrar o uso da tecnologia, nomeadamente a calculadora gráfica.

• Exercíciosdemargem – conjunto de exercícios/problemas que permitem desbloquear dificuldades e fazer a consolidação necessária para uma aplicação mais autónoma dos conhecimentos e ferramentas matemáticos.

• Recorda – sempre que um ou mais do que um pré-requisito sejam essenciais à compreensão e desenvolvimento do tópico em estudo são retomados e referidos com destaque.

• Curiosidade – para despertar o interesse e estimular a reflexão são apresentadas curiosidades relacionadas com o tema em estudo.

• Desafio – propostas/curiosidades relacionadas com o tema, de componente lúdica.

• ReferênciaHistórica – para facilitar o enquadramento no tempo e a evolução de conceitos.

• ParaSaberMais(informaçãocomplementar) – pequenos apontamentos que complementam a informação trabalhada.

• Parapraticar – conjunto variado de propostas que permitem retomar e consolidar aspetos relevantes do tema.

• Paraavaliar – avaliação reguladora, feita ao longo do desenvolvimento do tema, assumindo na parte final um carácter mais globalizante.

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Caderno do Professor (2 partes)3

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2 CadernoPráticoO CadernoPrático está dividido, tal como o Manual, em três temas, sendo proposto um conjunto variado de exercícios/tarefas para cada um.

Este reforço de propostas permite responder:– a diferentes ritmos de trabalho;– a diferentes graus de dificuldade;– à diversidade de contextos;– à mobilização de diferentes

recursos;– ao propósito de articular

contexto não matemático com contexto matemático;

– ao propósito de consolidar conhecimentos.

3 CadernodoProfessorNo CadernodoProfessor apresentam-se:

• Propostasdeplanificaçãoportema(com a possibilidade de as personalizar e adaptar a qualquer momento) com recurso ao GeradorInterativodePlanificações*.

Recursos Digitais do Professor4

• Propostasdeplanificaçãoporconjuntodeaulas (com a possibilidade de as personalizar e adaptar a qualquer momento) com recurso ao GeradorInterativodePlanificações.

• Diversificaçãodosrecursos – Sugestões de exploração e

integração, em ambiente de sala de aula, de diferentes recursos construídos especificamente para acompanhar o Manual.

– Sugestões de exploração e de integração, numa perspetiva pedagógica, da construção de instrumentos de avaliação, com recurso ao GeradorInterativodeTestes*.

• SugestõesderesoluçãodetodososexercíciosdomanualNa parte 1 encontram-se as resoluções dos exercícios/problemas do tema 1 – Probabilidades e combinatória. Em caso de adoção, o Professor receberá a parte 2 que contempla as restantes resoluções correspondentes aos temas 2 e 3 do Manual.

4 RecursosDigitaisdoProfessore-ManualPremium(também disponível para o aluno)

Versão digital do Manual com ligação em contexto para outros recursos e aplicações.

AplicaçõesDinâmicasUm conjunto diversificado de aplicações, construídas em articulação com o desenvolvimento dado no Manual, de modo a facilitar:

– a exploração/compreensão de conceitos;

– a gestão do tempo e a generalização;

– a diferenciação pedagógica, permitindo selecionar o tipo de abordagem/grau de dificuldade;

– a construçãopersonalizadaderecursos de modo a permitir uma exploração dos mesmos, adequada ao perfil individual de cada professor.

* Disponíveis como Recursos Digitaisdo Professor.

ACESSOGRATUITO

AO PLANOPROFESSOR

Ao adotar este manual escolar poderá aceder gratuitamente ao Plano Professor da Escola Virtual e às enormes vantagens que este serviço lhe oferece:

BANCO DE QUESTÕESPermite-lhe criar �chas e testes de forma instantânea, para imprimir ou realizar de forma interativa, sempre enquadrados com a matéria pretendida, sempre diferentes e com a correção imediatamente disponível;

BRIPOs milhares de recursos existentes na Escola Virtual podem ser utilizados de acordo com as suas necessidades: animações, sequências de aprendizagem para projeção, vídeos, exercícios interativos, entre muitos outros;

FERRAMENTAS DE ORGANIZAÇÃO PROFISSIONAL

Avaliações, registos, relatórios, planos semanais e outros recursos;

DICIONÁRIOSAcesso a 21 dicionários e ao Conversor do Acordo Ortográ�co, uma ferramenta que lhe permite converter textos ou documentos Word® completos.

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