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Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en matemáticas

Análisis Numérico I

6° cuatrimestre

Facilitador:

Alejandro Salazar Guerrero

Alumno AL12514074:

Fernando Velázquez Ramírez

Grupo: MT-MANU1-1402C-001

Unidad 2. Sistemas numéricos

Clave:

050920624/ 060920624

Julio2014

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

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Actividad 1. Sistemas de números y error.

En esta actividad vamos a practicar la estructura y representación de los sistemas de punto flotante así como analizar el error inducido al hacer operaciones

Recuerda que un conjunto de punto flotante está descrito por la tupla¿ β , p , eMIN ,e MAX>¿

Conjuntos de punto flotante

1) Considera los siguientes números definidos en él conjunto de punto flotante FLdescrito por F L¿10,5 ,−3,4>¿¿

Solución:Para solucionar estos ejercicios consideramos lo siguiente:

s corresponde al signo. m corresponde a la mantisa. e corresponde al exponente.

a≔ 4.5230 ×104

Primero convertimos el número entero:

4: 2 4 dividido 2

0 2: 2 2 dividido 2

0 1: 2 1 dividido 2

1 1 Es el primer digito del número binario

4 = 1002

El número decimal multiplicamos por dos y obtenemos lo siguiente:

0.5230 * 2 = 1.046 = 11.046 * 2 = 0.092 = 00.092 * 2 = 0.184 = 00.184 * 2 = 0.368 = 00.368 * 2 = 0.736 = 00.736 * 2 = 1.472 = 10.472 * 2 = 0.944 = 0

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0.944 * 2 = 1.888 = 10.888 * 2 = 1.776 = 10.776 * 2 = 1.552 = 1

0.5230 = 10000101112

Por lo anterior decimos que:4.5230 x 104 = 100.10000101112

Forma normalizada o desnormalizamos el número obtenido:

100.100001 0111 = 1.0010000101112 x212

Eliminando el 1 y complementamos a 23 bits, se tiene:

m = 00100001011100000000000Exponente e = 127 + 12 = 139 = 100010112

El signo s es 0 (número positivo)El resultado completo es:

0100 0101 1001 0000 1011 1000 0000 00002

b≔2.1153 ×10−3

Primero convertimos el número entero:

2: 2 2 dividido 2

0 1: 2 1 dividido 2

1 1 Es el primer digito del número binario

2 = 102

El número decimal multiplicamos por dos y obtenemos lo siguiente:

0.1153 * 2 = 0.2306 = 00.2306 * 2 = 0.4612 = 00.4612 * 2 = 0.9224 = 00.9224 * 2 = 1.8448 = 10.8448 * 2 = 1.6896 = 10.6896 * 2 = 1.3792 = 10.3792 * 2 = 0.7944 = 00.7944 * 2 = 1.5888 = 10.5888 * 2 = 1.1776 = 1

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0.1776 * 2 = 0.3552 = 0

0.1153 = 00011101102

Por lo anterior decimos que:2.1153 x 10-3 = 10.00011101102

Forma normalizada o desnormalizamos el número obtenido:

10.0001110110= 1.000011101102 x211

Eliminando el 1 y complementamos a 23 bits, se tiene:

m = 00001110110000000000000

Exponente e = 127 + 11 = 138 = 100010102

El signo s es 0 (número positivo)El resultado completo es:

010001010000011101100000000000002

c :=2.5834 ×101

Primero convertimos el número entero:

2: 2 2 dividido 2

0 1: 2 1 dividido 2

1 1 Es el primer digito del número binario

2 = 102

El número decimal multiplicamos por dos y obtenemos lo siguiente:

0.5834 * 2 = 1.1668 = 10.1668 * 2 = 0.3336 = 00.3336 * 2 = 0.6672 = 00.6672 * 2 = 1.3344 = 10.3344 * 2 = 0.6688 = 00.6688 * 2 = 1.3376 = 10.3376 * 2 = 0.6752 = 00.6752 * 2 = 1.3504 = 1

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0.3504 * 2 = 0.7008 = 00.7008 * 2 = 1.4016 = 1

0.5834 = 10010101012

Por lo anterior decimos que:2.5834 x 101 = 10.10010101012

Forma normalizada o desnormalizamos el número obtenido:

10.1001010101= 1.010010101012x211

Eliminando el 1 y complementamos a 23 bits, se tiene:

m = 01001010101000000000000

Exponente e = 127 + 11 = 138 = 100010102

El signo s es 0 (número positivo)El resultado completo es:

0100 0101 0010010101010000000000002

Realiza las siguientes operaciones

a+b+c b) a−b−c c) a /c d)a−ba¿a+b+c

Valor real:

x=a+b+c3

=13(a+b+c)

Valor medido:x̂

Cond=|f ( x̂)−f (x )(x ) |

Cond=| x̂−13

(a+b+c )

13

(a+b+c ) |

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Cond=3|13

(−a−b−c )+ x̂

a+b+c |b¿a−b−c

Valor real:

x=a−b−c3

=13(a−b−c )

Valor medido:x̂

Cond=| x̂−xx |

Cond=| x̂−13

(a−b−c )

−13

(a−b−c ) |Cond=3|1

3(−a+b+c )+ x̂

−a+b+c |c ¿ a

c

Valor real:ac

Valor medido:x̂

Cond=| x̂−xx |

Cond=| x̂−ac

ac

|Cond=

c ( x̂−ac )

a

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d ¿a−b

Valor real:x=a−b

Valor medido:x̂

Cond=| x̂−xx |

Cond=| x̂−(a−b)(a−b) |

Cond=|−a+b+ x̂a−b |

2) ¿Cuántos elementos tiene el conjunto FL?

El sistema de punto flotante FL es un conjunto de todos los números f (x) tal que se representa de la forma:

fl ( x )=±(d0+d1

β1

+d2

β2

+…+d p−1

β p−1 )× βe

Donde e∈ se llama exponente o característica, la secuencia de dígitos (llamada cadena de caracteres o simplemente cadena) se denomina mantisa 0 ≤ d i≤ β, Los números que caracterizan a nuestro conjunto de punto flotante son:

β basep presici ó n

[eMIN , eMAX ]Rango de exponentes

FL=2 ( β−1 ) β p−1 (eMAX−eMIN +1 )+1

FL=2 (10−1 ) 105−1 (−3−4 )+1FL=1,440,001

3) ¿Cuáles son los valores de UFL y OFL?

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Los valores mínimos y máximos se denominan underflowlevel (UFL) y overflowlevel (OFL) respectivamente, el resultado sería:

UFL=βL

UFL=10−3

UFL=0 . 001

OFL=βeMAX+1 (1−β−P )

OFL=10−3+1 (1−10−5 )OFL=99 . 999

4) ¿Cuánto vale ϵ Mach?

Al puntualizar aeps=ϵMach=β2

β2para establecer el criterio de redondeo de un

valor real x al flotante fl ( x )superior y así poder determinar con epsel error relativo del redondeo.

eps=ϵMach=β2

β−2

ϵ Mach=β2

β−2

ϵ Mach=102

(10 )−2

ϵ Mach=0.05

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