Módulo4

Deformaciones

El concepto de deformación es de fundamental importancia para elingeniero en lo que respecta al estudio de las deflexiones.

Es bien sabido que una pieza de máquina puede fallar en servicio sisufre deformaciones excesivas, aún cuando los esfuerzos asociadospermanezcan por debajo de los valores de fluencia o fractura. Lo quees más, el concepto de deformación juega un papel preponderante enlas técnicas experimentales utilizadas en los problemas deresistencia de materiales puesto que los esfuerzos no son, engeneral, cantidades medibles directamente, mientras que lasdeformaciones si lo son.

Usualmente, esto implica el obtener datos experimentales dedeformaciones que luego serán transformados en términos deesfuerzos.

Cualquier cuerpo sujeto a fuerzas, vale decir; aesfuerzos se deforma bajo la acción de estos.“Strain” es la dirección e intensidad de ladeformación en cualquier punto respecto de unplano específico que pasa por dicho punto. Porende la deformación es una cantidad análoga elesfuerzo.esfuerzo.

El estado de deformación se define completamentetanto en magnitud como en dirección en cualquierpunto respecto de todos los planos que pasan através del mismo. De aquí que el estado dedeformación es un tensor y es análogo al delestado de esfuerzos

Definición matemática de la deformación (strain)

Como las deformaciones generalmente varían de punto a punto, las definiciones de deformación deberán de referirse a elementos infinitesimales.

Para caso bidimensional,Una definición básica dela deformación puedeser expresada por lasiguiente expresión:

Si un cuerpo se deforma en direcciones ortogonales, como semuestra para un caso bi-dimensional:

Si Ahora consideramos además las deformaciones angulares:

Deformaciones en un sistema de ejes cualquiera:

Consideremos ahora el sistema de ejes x’ e y’, y calculemos para elloslas deformaciones unitarias axiales y angulares:

Para este sistema de ejes se tiene que:

Operando en la primera ecuacion:

Reordenando las ecuaciones anteriores se llega a que:

Observar que estas ecuaciones son similares a las vistas en cursosanteriores para esfuerzos sobre un cuerpo o para inercias de unaseccion. Las ecuaciones anteriores corresponden al circulo de Mohrde deformaciones.

Cortante puro

Tensión uniaxial

Por conveniencia, las deformacionesson siempre representadas mediantesus componentes normal ε y cortante γ

Para deformaciones suficientemente pequeñas (incluyendo aquellas queocurren dentro del rango elástico), las ecuaciones que vinculan losesfuerzos normal y cortante con la orientación de los planos de corte sonanálogas a las halladas para los esfuerzos.

De ahí que el estado dedeformaciones puede serconvenientemente escrito como

= yzyyx

xzxyx

S

εγγγεγγγε

21

21

21

21

convenientemente escrito comotensor:

zzyzx εγγ 21

21

Observar que mientras εx , εy y εz son análogos a σx, σy y σz, respectivamente, la mitad de γxy , γxz y γyz lo es a τxy, τxz, y τyz.

Puede ser de utilidad analizar el significado físico de porqué τ es

análogo a γ/2 en vez de γ. Esto se visualiza en la figura, cada lado

del elemento diferencial varía un ángulo de γ/2 cuando se le somete a corte puro:

DEFORMACIONES Y PLANOS PRINCIPALES; ANÁLISIS GRÁFICO Y ANALÍTICO

Habiendo observado la correspondencia entre deformaciones yesfuerzos, es evidente que, mediante alguna transformaciónconveniente se obtienen las expresiones del tensor dedeformaciones S’ , el cual es idéntico al T’ hallado para los

esfuerzos, excepto que en la diagonal principal están ε1 , ε2 y ε3 .

( )2

2

21

21 22,

−+±

+= yz

xyyz εε

γεε

εε

( )2

2

21

max 22

−+±= yx

xy

εεγγ

)(2yx

xyarctgεε

γφ

−=

Esfuerzos principales en el plano xy

Máxima deformación cortante en el plano xy

Orientación de los ejes principales

φσστ

φσσσσσ

φ

φ

2sin2

2cos22

21

2121

−=

−++=

φεεγ

φεεεεε

φ

φ

2sin)(

2cos22

21

2121

−=

−++=

Análogamente:

(1)

(2)

Representación de un estado plano de deformación mediante el círculo de Mohr

Círculo de Mohr de deformaciones construido a partir de valores conocidosde εx, εy, y γzy.

Análisis de deformaciones mediante rosetas

El uso práctico de las relacionesdesarrolladas en este capítulo escomunmente realizado enconexión con procedimientosexperimentales de análisis deesfuerzos basados en lautilización de los llamados strainutilización de los llamados strain

gages. Dichos indicadores marcandeformaciones normales endirecciones específicas en lavecindad del punto de interés. Losstrain gages son usualmentemontados sobre una superficiesin cargas, de forma que se sepaque el estado de esfuerzos seaplano. Configuraciones de grillas de strain gages de láminas

metálicas.

En cualquiera de los casos, será posible establecer el estado de deformaciones en elpunto, vale decir; el definir los círculos de Mohr para deformaciones en dicho puntopunto, vale decir; el definir los círculos de Mohr para deformaciones en dicho puntomidiendo directamente las dos deformaciones principales que actúan en planosperpendiculares a la superficie. Desafortunadamente, la determinación directa y precisade los esfuerzos principales no es práctica. Lo que es más, las deformaciones cortantesno pueden ser medidas directamente.

Cuando se trabaja con strain-gages sobre una superficie libre, la construcción de loscírculos de Mohr de deformaciones en un punto involucra la determinación de 3incógnitas: los valores de dos de las deformaciones ppales. y su ángulo de orientaciónrespecto a alguna dirección arbitraria de referencia. Dicha determinación de lasincógnitas requiere la medida de 3 deformaciones independientes. Las mismas sonelegidas para ser las componentes normales de deformación en 3 direcciones (que es lousualmente realizado con los strain-gages convencionales)

Superficie de una pieza y localización del punto O dondeson realizadas las medidas de deformación. El plano de lasuperficie es arbitrariamente llamado xy. Tres strain-gages miden las deformaciones normales en direccionesarbitrarias aa, bb, y cc, las cuales están separadas por losángulos conocidos φ1 y φ2. La dirección aa forma un ángulodesconocido αa con el eje 1-1 de la deformación principalmayor.

La ecuación (1) da la deformación de la deformaciónnormal actuante en la dirección φ, donde dicho ángulo esmedido positivo en el sentido CCW desde el eje principal1. Aplicando dicha ecuación a cada uno de los 3 strain-1. Aplicando dicha ecuación a cada uno de los 3 strain-gages de la Fig. queda:

)(2cos22

)(2cos22

2cos22

22121

12121

2121

φαεεεεε

φαεεεεε

αεεεεε

+−++=

+−++=

−++=

ab

ab

aa Claramente, dichas ecuacionespueden ser resueltas para ε1 ,ε2 y αa . En algunos casos uncuarto medidor se utiliza paraverificación.

(3)

Análisis de deformaciones - rosetas equiangulares

La solución simultánea de las ecuaciones (3) para el caso: φ1 = 120º , φ2 = 240º , a = 0º , b = 120º , c = 240º es

)(2

32tan

3

)(

9

)2(

3

2401202401200

2240120

224012002401200

2,1

εεεεε

α

εεεεεεεεε

−−−

=

−+−−±++=

a

Recordar que αa es positivocuando es medido en sentido

CW desde ε0 a los ejesprincipales de deformación. Ladeformación principal mayorforma30º con el mayor valor

entre ε0 , ε120 y ε240 .

BABABA

R

R

Ró

R

R

a

a

a

a

(d)y (c) ,sinsincoscos)cos( :relación la Usando(e)

)º1202cos(3

(d)

)º1202cos(3

(c)

3

22cos

2cos3

)b(

3 (a)

2401200240

2401200120

2401200

24012000

24012002,1

αεεεε

αεεεε

εεεα

αεεεε

εεεε

=±

+−++=

−−++=

−−=

+++=

±++=

m

RR

R

R

BABABA

aa

aa

aa

32sin ó 2sin3

:anteriores ecuaciones las Restando (f)

)2sin866.02cos5.0(3

)2sin866.02cos5.0(3

(d)y (c) ,sinsincoscos)cos( :relación la Usando(e)

240120240120

2401200240

2401200120

εεααεε

ααεεεε

ααεεεε

−==−

−−+++=

+−+++=

=± m

Ejemplo - de un sistema equiangular de strain-gages se obtuvo:

inin

inin

inin

/00185.0

/0004.0

/00075.0

240

120

0

+=+=

−=

εεε

Determinar analíticamente las magnitudes y orientaciones de las deformacionesprincipales y verificar los resultados utilizando un círculo de Mohr.

2

1

22

2,1

/0010.0

/0020.03

)00185.00004.0(

9

)00185.00004.00015.0(

3

00185.00004.000075.0

−==

−++−−−±++−=

inin

inin

εε

ε

00

00

107,17

214,342

67.000185.00004.00015.0

)0185.00004.0(32tan)(

=

=

=−−−

−+=

a

a

ab

αα

α

(c) Los ejes de las deformaciones principales están a 17 y 107° CW desde el indicador de 0°. Aplicando la regla de los 30°, es el eje de ε2 el que está a 17° de ε0 (o, como ε0 es la única indicación negativa, es intuitivo que la deformación principal solamente a 17° de de ella sería -0.0010in/in en vez de +0.0020 in/in).

(d) En la figura se puede ver una representación vectorial de la solución.

(e) Como forma de verificar, (1) dibujar el círculo de Mohr correspondiente a ε1 = -0.0020, ε2 = -0.0010, (2) marcar sobre el círculo los puntos cuta orientación angularalrededor de la circunferencia correspondan a ε0 , ε120 y ε2 40 como se puede ver en lafigura (y recordando doblar todos los ángulos cuando se vayan a representar en elcírculo de Mohr), y (3) verificar que las abcisas corresponden al las deformacioneslineales para las posiciones de indicador 0, 120, y 240°.

Análisis de deformaciones - rosetas rectangulares

La solución simultánea de las ecuaciones (3) para el caso: φ1 = 45º , φ2 = 90º , a = 0º , b = 45º , c = 90º es

900

90450

29045

2450900

2,1

22tan

2

)()(

2

εεεεεα

εεεεεεε

−+−=

−+−±+=

a

Notar cuidadosamente que cuando αa espositivo uno mide en sentido CCW desdepositivo uno mide en sentido CCW desde

el eje de deformación al eje ε0 o CW desde

ε0 al eje de la deformación principal. Sedefinen direcciones perpendiculares para

ε1 y ε2 . A los efectos de ver cual direccióncoincide con la de los ejes principales deaplica la regla de que la deformaciónprincipal deberá formar un ángulo menora 45º con la mayor de las deformaciones

principales normales ε0 y ε90.

2;

2

2

90045

9000

22

9002,1

εεεεεε

εεε

++−=+−=

+=

±+=

BA

BAR

R

Notar cuidadosamente la convención de signos

luego, Tan 2α=B/A

Ejemplo- Las lecturas obtenidas con una roseta rectangular se muestran en las figuras (las lecturas son en µm por m ). Determínese la magnitud y orientación de las deformaciones principales y verifique mediante el círculo de Mohr.

(a) Lectura de medidores. (b) rosetta equiv.

1. Con objeto de adecuarse al incremento de 45º en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, las calibraciones deben designarse como se muestra en (b).

2.Sustituyendo en las ecuaciones se obtienen ε1,2 y los α y se representan.

3. Se dibuja el círculo de Mohr con base a los valores calculados.

RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN ELÁSTICA

Los dos capítulos precedentes trataban separadamente con losconceptos de esfuerzo y deformación en un punto. Las relacionesentre dichas cantidades tienen gran importancia para el diseño yel análisis de esfuerzos. Aparecen dos tipos de problemas:

1. Determinación del estado de esfuerzos en un punto desde un estado de deformaciones conocido. Se da cuando hay que evaluar esfuerzos a partir de deformaciones halladas experimentalmente.

2. Determinación del estado de deformaciones en un punto desde una estado conocido de esfuerzos, esto problema se encuentra durante el diseño de partes, cuando se asume que actúan ciertas cargas y se quiere chequear holguras críticas y rigideces.

Ley de Hooke generalizada y ecuaciones esfuerzo vs. deformación

Para el estado generalde esfuerzos en tresdimensiones, la ley deHooke fuegeneralizada por LouisCauchy (189-1857)diciendo que cada una constantes dichas de 2 sólo sisotrópico e elásticos materiales que

delasticida de teoríala dededucir puede se mente,Afortunada

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

666564636261

262524232221

161514131211

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

zxyzxyzyxzx

zxyzxyzyxy

zxyzxyzyxx

+++++=

+++++=

+++++=

γγγεεετ

γγγεεεσγγγεεεσ

diciendo que cada unade las seiscomponentes deesfuerzo es funciónlineal de todas lascomponentes dedeformación:

)(

0

0

0

:ntesindependieson

constantes dichas de 2 sólo sisotrópico e elásticos materiales que

121121

44

665544

332211

323123211312

6463626154535251

6556434241342414

4645363526251615

CCC

CCC

CCC

CCCCCC

CCCCCCCC

CCCCCCCC

CCCCCCCC

−=====

=============================

yzyz

xyxy

yxzz

zxyy

zyxx

G

G

G

G

G

G

GCC

γτγτγτ

εελελσεελελσεελελσ

λ

=

=

=

+++=

+++=

+++===

)()2(

)()2(

)()2(

:areducen se anteriores ecuaciones las ,y Sea 4412

zxzx Gγτ =

La constante G se llama usualmente módulo de corte o módulo de rigidez. Esdefinida por las tres últimas ecuaciones como el cociente entre el esfuerzocortante aplicado y la correspondiente deformación cortante asociada.

La constante λ se conoce como la constante de Lamé.

Ecuaciones esfuerzo vs. Deformación en función de E y υ (coef. de Poisson)

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]E

E

E

yxzz

zxyy

zyxx

σσυσε

σσυσε

σσυσε

+−=

+−=

+−=

1

1

1 ( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

εευευυυ

σ

εευευυυ

σ

εευευυυ

σ

++−−+

=

++−−+

=

++−−+

=

)(1)21)(1(

)(1)21)(1(

)(1)21)(1(

GE

GE

GE

E

zxzxzx

yzyzyz

xyxyxy

ττυγ

ττυγ

ττυγ

=+=

=+=

=+=

)1(2

)1(2

)1(2( )

( )

( ) zxzxzx

yzyzyz

xyxyxy

GE

GE

GE

γγυ

τ

γγυ

τ

γγυ

τ

υυ

=+

=

=+

=

=+

=

−+

12

12

12

)21)(1(

Para el caso especial en que los ejes x, y , z sean coincidentes con los ejesprincipales 1, 2 y 3, las ecuaciones anteriores pueden simplificarse puestoque tanto las deformaciones cortantes cono los esfuerzos cortantes son cero

Para el caso particular de esfuerzos biaxiales: uno de

los esfuerzos principales (σ3 = 0), entonces:

Resolviendo y simplificando: )(

)(1

)(1

213

122

211

σσυε

υσσε

υσσε

+−=

−=

−=

E

E

E

)(1 213 −

−−= εε

υυε

Para el caso de esfuerzos uniaxiales:

1

0

)(1

)(1

1

3

1222

2121

=

+−

=

+−

=

−

σ

υεευ

σ

υεευ

σ

υ

E

E

0

1

32

11

132

11

===

−==

=

σσεσ

συεε

σε

EE

E

Ejemplo:

Un cilindro de goma R de longitud L y área transversal A es comprimido dentro de un cilindro de acero S mediante la aplicación de una fuerza F que aplica una presión uniformemente distribuida a la goma.

a) Derive una fórmula para la presión lateral p entre la goma y el acero (depreciar la fricción entre la goma y el acero y asumir que el cilindro de acero es rígido comparado con la goma)

b) Derive la fórmula para el acortamiento δ del cilindro de goma.