MA133 - MATEMÁTICAS III 2da Práctica Calificada

7/25/2019 MA133 - MATEMTICAS III 2da Prctica Calificada

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Segunda practica calificada MATEMATICA III (2015-2)

Nizama Mamani Michel , Pajuelo Villanueva Miguel

Facultad de Ingeniera Electrica y Electronica (FIEE)

Universidad Nacional de Ingeniera

10 de octubre de 2015

1. En una superficie esferica cuyo radio mide R, se inscribe un cilindro circular recto de area totalmaxima. Calcular las dimensiones del cilindro que cumple tal condici on.

RESOLUCION

h= 2y r= x Atotal = 2r2 + 2rhh

Del grafico vemos:

x2 + y2 =R2 y2 =R2 x2F(x, y) =x2 + y2 R2Atotal = G(x, y) = 2x

2 + 4xy

G(x, y) =F(x, y)(4x + 4y, 4x) =(2x, 2y)

igualando:

2x + 2yx

= y 2xy

=

xy+ y2 =x2

reemplazando: y 2 =R2 x2(xy)2 = (2x2 R2)2x2(R2 x2) = 4x4 + R4 4x2R20 = 5x4 5x2R2 + R4

x2 =5R 2

25R 4 20R 410 r= x =

5R 2

25R 4 20R 410

y2 =R2

(5R

2

25R 4 20R 410 )

h= 2y= 2R

2

(5R 2

25R 4 20R 410 )

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2.Sea la funcion escalar : A R2 Rdefinida por la siguiente regla de correspondencia.

(x );

(x2 + y2)sen(

1

(x2 + y2) si: (x; y)= (0;0))

0 si: (x; y) = (0;0)

Calcule para que sea diferenciable en el puntox = (0; 0). Justifique su respuesta.RESOLUCION

Analizamos para cada uno de los siguientes casos: ( >0)Primero elegimos una curva para poder conocer el posible lmite.x=t; y=t

lmt0

2t2sen( 1

2t2)

lmt0

sen( 1

2t2)

1

2t2

= 0

Usando la definicion epsilon-delta

>0; >0/(x; y) (0; 0)< y| L|< (x; y)<

x2 + y2 < 1

x2 + y2>

1

x2 + y2

x2 + y2 >

1

... (1)

| L|< |(x2 + y2)sen( 1

x2 + y2) 0|< ... (2)

Ahora, analicemos la funcion seno.Sea sen = (

0)

sen 0Hacemos: sen(x2 + y2) x2 + y2

Dividiendo entre (x2 + y2)> 0: sen(x2 + y2)

x2 + y2

x2 + y2

x2 + y2

sen(x2 + y2)

x2 + y2 1 ... (3)

De (1), (2) y (3) vemos que no existe relacion entre y , entonces, el lmite noexiste en (0;0) para >0 Ahora lo vemos graficamente:

Notese que en (0;0) no es contnua, por tanto, no es diferenciable.

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Ahora analizamos en ( 0; >0/(x; y) (0; 0)< y| L|< (x; y)<

x2 + y2 < 1

x2 + y2>

1

x2 + y2

x2 + y2 >

1

...(1)

| L|< |(x2 + y2)sen( 1

x2 + y2) 1|<

|(x2 + y2)sen( 1x2 + y2

)|< + 1 ... (2)Ahora, analicemos la funcion seno.Sea sen = (0)sen 0Hacemos: sen(x2 + y2) x2 + y2


x2 + y2

x2 + y2

x2 + y2

sen(x2 + y2)

x2 + y2 1 ... (3)

De (1), (2) y (3) vemos que no existe relacion entre y , entonces, el lmite noexiste en (0;0) para


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Primero elegimos una curva para poder conocer el posible lmite.x=t; y=t

lmt0

(2t2)0sen( 1

(2t2)0)

lmt0

sen1 =sen1

Vemos que el lmite existe para (0;0) para = 0

Ahora lo vemos graficamente:

Notese que es contnua pero no es diferenciable en (0;0)

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3. Sea la funcion escalar : A R2 R definida por las siguiente regla de correspondencia(x, y) = 3

xy

-Esbozar la grafica del dominio de x

-Calcular la ecuacion del plano tangente a la grafica de x

en el punto (8,1).

RESOLUCION

i) F = x

= 13 x2

3 y1

3 = 133

yx 2

DomFR2 {x= 0}Su grafica seria:

ii) P0= (x0, y0) = (8, 1)

como P0 al plano tangente P X= (x x0, y y0, z z0) al plano tangente.YF = ( F0x , F0y , F0z ) es perpendicular a en P0entonces:

F.P X= ( F0x , F0y , F0z ).(x x0, y y0, z z0) = 0

El plano tangente en P0 sera:F0x

(x x0) + F0y (y y0) + F0z (z z0) = 0Calculando F

x, Fy

, Fz

:

Fx

=29 x5

3 y1

3 F0x

=29 (8)5

3 (1)1

3 = 1144Fy

= 19 x2

3 y2

3 F0y = (1)9 (8)2

3 12

3 = 136

Fz

= 0 F0z

= 0

Reemplazando en la forma del plano:

1

144(x

8) + 1

36(y

1) + 0(z

0) = 0

reduciendo:

x 4y 4 = 0z = 0

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5. Que condicion deben satisfacer y para que exista una funcion escalar A R3 R definidapor (x,y,z) = (x2 + y 2 + z2) que sea armonica en todoR3 .

RESOLUCION

Sea:(x,y ,z) =(x2 + y 2 + z2)

Entonces:

= (2x, 2y, 2z)2= (2, 2, 2)Para que sea armonica debe cumplir:

2 x2

+ 2

y2 +

2 z2

= 0

2 + 2+ 2 = 0 + =1

6. Sea la funcion escalar A R2 Rdefinida por la siguiente regla de correspondencia.

(x );

x3 y3x2 + y2

; x > y

x3 + y3

x2 + y2; x < y

0; x= y = 0

Existex(2; 2)?

Existey(1;2)?

RESOLUCION

Hallamos x(2; 2) = (2;2)

x usando la definicion:

(2; 2)

x = lm

h0(2 + h; 2) (2;2)

h

= lmh0

(2 + h)3

23

(2 + h)2 + 22 0

h

= lmh0

8 + h3 + 3(2 + h)(2h) 8h(h2 + 2h + 8)

= lmh0

h2 + 6(2 + h)

h2 + 2h + 8 =

3

2(2; 2)

x =

3

2 Si es diferenciable en (2;2)

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Ahora, observamos su grafica:

Notese que es contnua en (2;2)

Ahora, hallamos y(1; 2) =(1;2)

y usando la definicion:

(1; 2)

y = lm

h0(1; 2 + h) (1;2)

h

= lmh0

13 + (2 + h)3

12 + (2 + h2)9

5

h =

24

25(1; 2)

y =

24

25 Si es diferenciable en (1;2)

Ahora, vemos su grafica

Notese que es cotnua en (1;2)

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7.Use la matriz hessiana y el polinomio de Cayley-Hamilton para analizar la existencia de losextremos relativos y puntos de silla de la funcion escalar : A R2 R definida por la siguienteregla de correspondencia.

(x; y) =e2x+3y[8x2 6xy+ 3y2]

RESOLUCION

Hallando sus derivadas parciales primeras:

x= 2(8x2 2x(3y 4) + 3y(y 1))e2x+3y

y= 3(3y2 2y(3x 1) + 2x(4x 1)e2x+3y) Ahora hallamos sus derivadas parciales segundas:

2

x2= 4(8x2 2x(3y 8) + 3y2 6y+ 4)e2x+3y

2

y 2= 3(9y2 6y(3x 2) + 2(12x2 6x + 1))e2x+3y

Como es contnua, entonces

2

yx =

2

xyHallamos solo uno de ellos:

2

yx= 6(3y2 y(6x + 1) + 8x2 + 6x 1)e2x+3y

Por la igualdad:2

xy= 6(3y2 y(6x + 1) + 8x2 + 6x 1)e2x+3y

Ahora hallamos los puntos crticos, para eso 2

x2 = 0;

2

y 2 = 0

4(8x2 2x(3y 8) + 3y2 6y+ 4)e2x+3y = 03(9y2 6y(3x 2) + 2(12x2 6x + 1))e2x+3y

x = 0; y= 0 (0;0) punto crticoFormamos la matriz hessiana:

H(x0, y0) =

2

x22

yx2

xy

2

y 2

Para (x0; y0) = (0; 0), tenemos:2

x2 = 16

2

x2 = 3

2

x2 =62

x2 =6

Entonces:

H(0, 0) =

16 66 3

|H(0, 0)|= 84> 0

Como 2

x2 >0 y|H(x0; y0)> 0, entonces posee mnimo

(0; 0) punto mnimo de

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Ahora veamoslo graficamente:

Notese que existe un mnimo en (0;0)

8. Sea la funcion escalar : A R2 R definida por la siguiente regla de correspondencia:

=

sen(x3 + y3)

x2 + y2 . Exite lm(x;y)(0;0) (x; y)?. Justifique su respuesta.

RESOLUCION

Primero elegimos una curva para poder saber el posible lmite de la funcion.Hacemos x=t y y=t

lmt0

sen(t3 + t3)

t2 + t2

lmt0

sen(2t3)

2t2 = 0

Usando la definicion epsilon-delta

>0; >0/

(x; y)

(0; 0)

< y

|

L

|<

(x; y)<

x2 + y2 < 1x2 + y2

>

| L|< |x

3 + y3

x2 + y2 0|<

Ahora, analicemos la funcion seno.Sea sen = (0)sen 0Hacemos: sen(x3 + y3) x3 + y3


x2 + y2

x3 + y3

x2 + y2

sen(x3 + y3)x2 + y2

1

x2 + y2(x3 + y3)

No existe relacion entre y , entonces, el lmite no existe en (0;0)

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Veamoslo graficamente:

Notese que la superficie es discontnua en (0;0)

9.Demuestre que las superficiesS1: xy = az2 , S2 : x

2 + y2 + z2 =b , S3 : z2 + 2x2 =c(z2 + 2y2)

son ortogonales.

RESOLUCION

Sea:

S1: xy= az2 S1= (y,x, 2az)

S2: x2 + y2 + z2 =b

S2= (2x, 2y, 2z)

S3: z2 + 2x2 =c(z2 + 2y2) S3= (4x, 4cy, 2z 2cz)

vemos en:

i)S1.S2= (y,x, 2az).(2x, 2y, 2z) = 2xy+ 2yx 4az2 = 4xy 4az2S1 enS1.S2:S1.S2= 4xy 4(xy)

S1.

S2= 0

S1

S2

ii)S2.S3= (2x, 2y, 2z).(4x, 4cy, 2z 2cz) = 8x2 8cy2 + 4z2 4cz2 = 8x2 + 4z2 4c(z2 + 2y2)S3 enS2.S3:S2.S3= 4(z2 + 2x2) 4(2x2 + z2)S2.S3= 0 S2S3

iii)S1.S3= (y,x, 2az).(4x, 4cy, 2z 2cz) = 4xy 4cxy 4az2 + 4caz2 = 4(1 c)(xy az2)S1 en

S1.

S3:

S1.S3= 4(1 c)(xy xy)S1.S3= 0 S1S3

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Como S1, S2, S3sondos a dos S1S2S310. Sea la superficie S = 4x2 + 6y2. Hallex o = (x0; 1

12; z0), tal que

x 0 S y la recta normal aS en el puntox 0 determina un angulo agudo cuya medida es

4radianes con la direccionu , siendo

Du z(x0; 1

12 ) mnima.

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