M2 5 Geometría

8/8/2019 M2 5 Geometra

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GEOMETRAANALiTI ]A DEL ESPACIO- Daclos ospuntosde l espacio. n un ciertoordert,A. B. definenun vector nE . donde A recibeelnornbre e origeny B de extrerxo el vector.- La recradefinidapo r ambospuntosse lamadireccindel vector ven ella. a orientacill ealadadesde l origenhaciael extrerno. e lamasentido el vector.- Llamaremosndulodel ectora g t t nEt. Ag). u la ongitud el segmertto A.

En el conjuntode los vectores el espacio, odemosD establecer na relacinde equivalencia,lamadade

AB cD eqLripolencia.Dos vectoret nE -u C n sernequipolentest aE - c ), si tieren el misnro rndulo, susdireccionesonparalelas tienen l tnismo entido.(Al unir sus orgenes sus extremosbnnall unclparalelograrno).

El conjuntode todos os vector:s equipolente s ntres fonnan una clasede equivalencia la qu ellamamos ector ibre , con midulo. direccin sentido e cualquiera e los vectores ue a fbrman.As:{E}: {c6}: . "

(l-eernos. vector ib'e de representatrteE )OPE.RACIONESONVECTOR SLIBRES

SUMADEVEC'TORES-IBRES: Sean y" b, vectoresibres. epresentanteseft N y T. r"rp""tivamente.Definimos: +u: trrr + {T } : { t \4

(Reglade l paralelogramo)

Propiedades:* C O N M I J T A T I V A : r i + b : U + a . V . b* A S O C I A T I V A : i - r h + c ) : ( d i b ) + . r . V i . b . c* N E I " J T R O : l a m a m c s v e c t o r n u l o: { N N } . d e f o r m a q u e + : , V * stMT'RICovECToRopuFrsro):efinimos a : t H1. = { I defbrmaque+(- ) : f M ) + { l : l l r r r : El vector - (opuesto e) t ieneel rnismomduloy direccin ey el sentidoCONTRARIO.

B

A


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PRODUCTO E UN VECI 'OI ( )ORUN NUMEROREAL: Dado 7" !)l y , de mdulo ,

definimos

b,= l l l 'a

ll a ( rnisma ireccin ue )I E l d e s i ) , > 0se tido iL Elcontrariode si i "< 0P r o p i e d a d e s : " ( + b ) : i + 6 ( V . b . ) " )

* ( l + , i ) : 2 " + p ( V i . r , )* (^ , 'p ) : , (p) :p ( r ) : l .p (V/ " .p . )* 1 . : (V)

DEPENDENCIAE INDEPEND]NCIA LINEAL. BASE.OPERACIONES N COMPONENTES* Diremos ueun con-iunto{V' Vr . . . . . ,,}" de u"ctoresibres nel espacio,on:

f i n e a l n r e n t en d e p e n d i e n t e s - : [ = l , - l ] = . . ' = i . n = 0I . s i 7 " ' * i ' 2 + " ' + i n " = 0 1 . 'l l i n e a l r n e n t e d e p e n d i e n t e s ' " [ + t r l = l : = . . = l n = 0* NOTA: Si tenemosDOS ve;tores ibres" a dependenciainealsupone aCOLINEALIDAD de os

dosvectores.' Si tenemos RES vrctores ibre s. a dependenciainealsupone a COPLANARIEDAD de

los resvectores.As, dado , todos os vectorer; (combinacininealde ) , t ienen a mismadireccin ue ( c o l i n e a l e s c o n ) ( t )

, .Dados ), b . no col ineales,cdos os vectores : l ,+pb (combinacininealde y' b) soncop lanar ioson b . ( l l )

. - -----za>(r)

BASE: I) i rernos ue {, , , , . . . . n } sonbase el espacio ectorial evectoresibres i :a) Son inealmentendependienres.b ) So n e n e r a d o r e s d e l e s p a c i oe c t o r i a l : " : c r 1 , c r 2 , . . , n l a : o r 1+ c r r z + . . ' + a n , . ,

Al coniunto e nmeroseales{u1,2, . . ' , n }, coeficientese a combinacinineal e osvectoresde a base uedancomo resultado . se es lamacoordenadasel vector en dichabase.Sepuede emostrar ue eg vectrresno coplanarios, el espacio.brmanuna base e dicho espacio.


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As, todo vector del espacit,.podr expresarse orno combinacin ineal de tres vectores 1ocoplanarios ,, , , : } , siedo oscoeficientese a colnbinacinineal ascoordenadase en( - )l ao a s c e l . e 2 e l .

Parael estudiode la geornetria naltica el espacio raba.iarernoson la l lamadabaseortonormalt - . - * IEr: 1 i . j . k i fo rmada or t rcs ec torcs :

a) de mdulo l .b) perpendicularesntres.c ) d e f o r m a q u e a l i r a r t , l p r i m e r o t i h a c i a e l e g u n d oJ ) p o r e l c a m i n o r n s c o r t o d e f i n e n

el sentido


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Dadosos untosdelspacio' . x, yt,zt) ) ' ts xz,yz.zr , vernosue{oA}+{AB={oB} = { AB} : {Ots } * {OA}P o r f o t a r t o : A B } : ( x z i + y z i + t z k ) - ( x i + y l j + z l k ) :

= ( r : - r ) i * ( y : - . r ) j + ( z r - z ) ["Las cornponentese un vector ag I se obtienenestandoascoordenadasel extremomenos asdelorigen" n el sistema e ref-erenc I O. E"f ".Divisinde un sesmento n una razn ada. PUNTO MEDIO DE UN SECMENTO.

D a d o e l e g m e n t oB , d " f i n i d o p o rA ( x l , y l , z l )B (x r . Y ,zz) y B (xz ,y2. l 2 ) .supongamosquererdeterminar la D \ , 1 2 , ) 2 . 2 r . ) u l j L r t l d r l r u J t { t l s r s u s r t t l l l l l l . --> ! --''- ,---- posicindel puntoM e AB def nido por un arazoslcrol-loer punro lvr AE' oennroo por una razonM(x. y. z) dada i ' 4s :^ . con0


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PRODUCTOESCALAR EN FU.CIN NP LNS COI\4PONCN'IES:: " :S i : a , i + a ' i + a , k ' b : b , , i + b , j + b , k .

' b : ( a , i + a n j + a , k ) ' ( b , i + b n j + b , k ) : a . b , + a . b r , + a r b ,APLICACIONES:) MODIJL(r E UNVECTOR:

^ J 1 1 ) 1a . a - a a c o s O= a - : a i + a i + a -

2) ANGU[,C. EVE,C]T"ORES ' b : a b c o s q cosQ

E n e l c a s o p a r t i c u l a r d e f q - + g : 9 0 " - ) ' 6 = 03) Proyeccin e un vector b sobre a direccin e otro . ( proyb .

Llamamos proyb a la lonitud i lel segrnento ue determinan,en la direcc in de . dosperpendicularesrazadas esde l origeny el e-rtrernoe b .

(pproy

Vernos ue proy : b( l t )

' ;a ' Da

- b c o s gDe ( l ) y (2 ) : proyb6 =

!&ODUCTOVEC'|ORIA /ECTORESlBRES:Dados dos vect ores ibres del espac,io, I 6 .ngulop, definimosel producto ectorialde y' * 6 , al vector ibre definidocomosigue:

. bab

b ( f l

s i cose>0 ( l ) ,s i cose


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PROPIEDADES: * ,^b:_(6^) , v"b* ^ ( l r + g ) : ( n b ; + ( " d ) , V . b , r ' ( l , ,U l : ( n i r l : r1 " b . V " . ,6*si ^b:o,{ : . : -+ ]- ;o = l lb [b *0 lq=nPRODUCTOECTORIALNFUNCINELASCOMPONENTES

Aplicandovectoresdei ^ j : kl " i : K A I = ^ l

la definicin de6.: { i .1, ]producto vectorial a los

encontramosue :

i , r i : . i ^ j : knk :0En tonces " b : ( a , *u , ; *u , ( ) ^ (b* i *b ' , j +U, [ :

= d *u rb r ( i . . i ) . u , .b , ( i " [ ) *a . ,b , ( j " i * *a .h r t j n ( )+dzb r ( [ n i ) *+ a rb , k " . i l * 0 :( a l b , - a r t u ) i + ( a t b , - a , , b , , ) . + ( a r b l - a . b r ) [ =

t t l \

a. a \ . l . /b , b Y b 1

= "b

APLICACIONES l) El produ,:to ectorial n b ( d ), es un vectorsimult"lneamenteerpendicular* : -a a y i b .

2 ) C L C U I - O D E R E A S :D a c l o : n 6 , c : a b s e n< p a h"E l mdulodel producto ectorialde dos vectores ay b es el rea del paralelogramo ue detinen anrbosvectoreslevados un origencomtn"

Para alcular l reade un ringulo ABC,l r - r IS : - l n b i : - c .2 t | 2

{ - } { - ls i inn | : y tACi b ,seobtendrcomo:


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PRODUCTOMIXTO DE TRES /EC'|ORESLIBRES:Dados res ibres . b. e . llalnat'los roductomixto de los resvectores :

t . b ' c ] : ' ( b , " . c ) ( E l e s u l t a d o e s u r l n m e r o r e a l - Si expresamos . b y c en funr n de su scomponelltesendremos:i . b . c l : . ( b d ) : a , ( b r c , - b r c i , ) + a r , ( b r c r - b , c r ) ' r a , ( b , c . , b , , c , ) :

a \ a v a zb ' b v b 7c \ c ! c . 1

Las propiedadesel productomito sededucen e la spropiedadesel detenninante.M e n c o n a r e n r o s :t . b . c | - I i . c . | - - l . ' . d . b l : - t b . t i . c | - - l i . b . | : - [ d . c i . b l* [ i " i .u . l= ld . ] "b .c l = I . r , . r . l : i . t a . t , .C* [a '+e ' . .C= l i .U.e l - [ i ' .b . i

* l . h . c l = 0 + . U . s o n l i n e a l m e n t e d e p e t t d i e n t c sl )A p l i c a c i o n e s :) c o P l A N A R I ID A D : S i d . . c I : 0 - - > . b . i s o n o p l a t t a r i o s

2) C]LCUI.O i VOLMENES:

b n d Vemos que lu"el

( l )

paralelogramoefinidopo . b yI a ,u.a l : la 'S cospl

S , rea dele.lsr l : v

"E l valorabsoluto el producto rixto de tres vectores sel volumende l paraleleppedoue ienepo raristas sos resvectoreslevados un origencoilln".

Del'inidoel tetraedro e vrtices A. B. C, D..n,,{E}:a.*l =, i*l =cel volumendel etraedro er:c vr=]l[a.;,e]l 6 l t


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ECUACION(ES)E LA RECTA:Unpuntodelespacio .A,yunvector" l ib ret def inen larectaquepasaporyt iene lad i recc in

A ( x uI

Dicha ectasedeflnecomoeldireccin e vEn un sisterna O. Ec ]. si

S i P e r - + A P l l v : * > { A P } : i t c o n i , e R ( E c . v e c t o r i a l d e r )D e s a r r o l l a n d o :r - r , ) i + ( - r - 1 n ) * g - z n ) k : l ( v r l * r . j * u , t I .

lL

| * = t u + L \ ' , { y = y o * i r v u ( E c . p a r a n l t r i c a s d e)i -II t : r o + ) , v ,t - * t t _ Y *Y o = r - r n ( E c . c o n t i n u a d e)v \ v \ v /[. n punto A y dos vectores ndependientesde distinta direccin)

Un punto P del espaciopertenecer un plano n.clef inido or { A. , v } si los vectores F }.uy i . l levados un origencomn.son coplanarios.es decir.si { ne } es combinacininealde u y .

x . y , z ) . = u , i + u u , j + u r k y i : u r i + v ' j + v r k .( Ec. r,ectorial e_n , lo cual supone:(| * = t o + 7 " u * + l t v yIn 1 y=yo*1 ' " r ,+Fvr , (Ec .pararn t r icasde)I Z = z r , * l u U , + f t v zr roduc tom ix to ) , s iF } , y soncop lanar ios{AF } , . l :0

:0 . quedesa r ro l l adoda :x+ t l . v "+Cz+D:0 ( l )l

esprcio. a ecuacin e peftenencia un planoes ]ecuacinde primer

u : V r . v y . v , kgar geomtrico e los puntosP del espacio lineados on A segn a

A-(xo" ! r ,zo ) IIp : ( x . , , . 2 ) :u , i+u , j * r , f ,= (u* .v , ,v , ) |)

| . " - t n = 7 ' v *Il uego l l - yu= l \ ,t "l . Z - z u = A zEliminando l parmetro7u:ECUACIN DEL PLANO:detenninan n plano 7t

A s . s i A : ( . r o " yr . t , Z < . t. P : (P e r s i { A P } : } . i i + p

| " - * u - 2 u t l * + P V xI1Y-to=lu\ '+Pv\I Z *Z o = y ' " U 2 . F v ZPorotra parte (propiedades el

X - X o Y - Y o Z - Z t ,Ux U \ . L t

Nota I: " En geometra elgradoen x, y, Z "

P ( . r .y , z )


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Nota 2: "En la geometra naltca del espacio,ectacionese primergradoen x y. z "

E,CUACIN ORMAL DI1LPLANO:

la condicinde pertenencia una recta suponeglg

Un puntoA y un vector,nonnalal plano. 11definenambin.P ser n punto e n, si F I . esdecir" ii AP ' : 0 (propiedadlel roductoscalar)

escol ineal

S i A : ( x u . y n . z o . r i : t t , i r n , j + n r k . P : ( x . : ' ' . ){APi . : [ (x - * " ) i+ ( ] " -1 , , ) + (z -z - ) . l ' (n . i+nr j *n . [ ) =

: l l - ( x * x u )+ n r ( Y - Y , , ) + n , ( z - z - o ) :: f f , x * n i . Y* n r z " ( - n . X , , - t : y o - n r z , r ) : 0

C o m p a r a n d o c o n ( l ) v e n r o s q u e A = B - 9 . r r d e c i r q u e : Ai+B j+ckl l x n ) n . 1 .co n . es decirque "e l vector e componentesA. B, C (coeficientese x, Y, Z en la ec.general elplarro) sperpendicularallano leecuacin A x * B ! + C. + D : 0.Al vector , se e l lamavectornr)nilolo asociado l plano.LA RECT'ACOMO INTERSEC(]ION E,DOS PLANOS:

Do s planos 7t1 TE2. on distintaorientacinen ef espacio (t K r), definen a recta rcomo interseccin e los dos planos.

, . 1

I n , = A x + B l ) , + C 1 z + D r : 0tJn purr toP(x.y. z)e r cumplir . las ecuacioneseneraleseI n : = Ar x + B z Y * C 2 z + D 2 = 0TEt TEZ.a qlteperteneceimu treamenteambos.Si interesa onocer n punto A 'el vectordirector . de Ia recta:

l ) A = ( x o . Y o . z u ) s e o t ' t e n d r c o r n o u n a d e l a s i n f i n i t a s s o l u c i o n e s d e l s i s t e r n a c o m p a t i b l erango2" qLre efinen asecuacionese os dosplanos.

2) i. contenido n fil y 7[z , ser imultneamenteerpendicular 1 -u.- 2 *+*> , . l l n ri: (propiedadesel producto ectorial)


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l 0

POSICIONES ELATIVAS DI; DOS PLANOS:l n t = A 1 x + B t Y + C z + D l = 0Sean lI n t = A r x t ' B z Y + C t z + D z = 0

Las posiciones elativas e fi1 y Tl u velldrndadaspor la natttraleza el sistentaonnadopor sus- f \ 1 x + B r y + C 1 z : - D ecuac ionesenera les t = 1 ra * * r r r * c - t Z = _ D. , dondeI A , I i , c r - D ' )A = l ' lf A : I ' C ' - D : )

* Si r(A) = rtl : Z ;isterna ompatiblendeterminadoe rango2 (conjuntosimplementeinfinito de soluciones).Planos ecatrtes.* S i r ( A ) : I y r ( ) : : . : i s t e t n a i n c o r n p a t i b l e r l l z ) . P l a n o s p a r a l e l o s .* Si r(A) : () : l , s isrema ompatible ndeterminado.Planoscoincidentes (ecuaciones

equivalentes)POSICIONES ELATIVAS DIi TRESPLANOS:S e a n f i l = A l . r + B Y + C t z + D l = 0

T 2 = A Z r + B r y + C l 2z * D , t= 0f i 3 = A 3 x + B j Y + C : z + D r = g

Las posiciones elativas e los tresplanossern uncinde la naturaleza el sistema tte ormansusI A r *+ B l - v + C 1 z - - D le c u a c i o n e s g e n e r a l e s= ] A r x *B z Y + C l z : - D 2 , c o nl r t + B - l y + C 1 z - - D 3(o, B cr o' lU:lo, B, ct -Dri

[A B c1 *Dz )* Si r(A) = r( ) :3 . sistema ompatible etenninado, l1, l t y f i formanun riedro: a nicasolucin el sistema s el v rticede l riedro.* s i (A) : 2 y r( I : . ; isternarrcompatible,udindoseardoscasos:

l) Dosplanosparalelo; 'otro secante ambos2) nt. Tt2y fi 3 formlrnun asuperficie risrnticasecortandosa dos,en res ectas aralelas

entres )* Si r(A) :


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l t

* Si r(A) : I y 111= 2, si;tema ncompatiblepudindose arclos asos:l) rct 7Tz ' T3 sonparalelos2) Dos soncoincidentes paralelos l tercero.

* S i r (A) : r t) : l . s is tenraconrpat ib le indeten inado.as t resecuac ionessonequiva lentes) 'los resplanos oincidentes.

POSICINRELATIVA DE RE(]TAY PLANO:r ANLrS6 VEC'I 'ORTAL:

Seanun plano n (definido )or un punto A y el vectornonnal ) y'una ecta r (definidapor unpunto B y uu vector r ) l )s . , :6

CASOS:a ) S i B e n :b ) S i B n :

- ) I i r v tenemosdos

r contenicla n fir p a r a l e l a a.

2) S i '1 , * 0 -+ r i J - v , . - ) rco f taa f i

2) ANALISIS LGETIRAICO:S e a f i = A 1 x + B ) ' + C l z + l r l = 0 .

Io r *+B:y+C1t r -D- ,=oI A * + B - + C ' j z . ' -D 3 = gIo,Si anal izamosl sistema e O =IO,

IA* r ( A ) : t t l : : - + r c o r l a a? T* r ( A ) : 2 y 1 1 ; : : - > ' l l * r ( A ) : t t l : Z - + r c o n t e n i d a e n

y r, qu eexpresaremosomo nterseccin e do splanos.

(SisterBl Ctr8 2 C t83 c3

na de rango2)_o,)- L l : l . puedecurr i r ue:-n,J


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l 2

POSICIONRELATIVA DE DOS RECTAS:ANLISISVHCTORIAL:S e a n d o s r e c t a s y r : d e f i n i d a s m e d i a n t e u t r p u n t o - v u n v e c t o r d i r e c t o r :r ( A l , i r ) y 1 2 ( A 2 , 2 )a) Si ul l l o 'z ( r : i i ' ) , caben osposibi l idades:r) t, , 2) A r t A 2 ,--a:-----T-

ArA? l l v rA lAz I { v r r c o i n c i d e n t e c o r r2

r p a r a l e l a a 2b ) S i i t N i ) ( , + i 2 ) c a b e n d o s p o s i b i l i d a d e s :l ) S i A l A : , r y i : son op lanar ios .s

dec i r ,s iIA , & ] ,V , .V : I :o . r r y r :SCCORTARN EN UN PTJN]'O.

2)S i A r A r , r y i : ! a son o lanar ios ,sdec i r ,i [ A l Az ] , i . i : ] *0 . r r2seCIRUZARANEN EL ESPACIO no endrnuntostornn.ANLISIS LGEBRAICO:Sean os ectas t y rz. dadasolno nterseccineplanos:

I A ' *+B t y +C1z+Dr= 0r = { (con r(A) = 2) ylA r *+B :y *Ctz . *D- , =0IA r *+B : ] ,+C1z+D, =6tz=1 (con (A ) :2 )lA+x+B+Y+C+z+Dr=6

Lasposicioneselativas e r, y r, sernuncinde a naturalezael sstemaormado or ascuatroecuacionesuyamatriz rnpliadaer:

A l 8 1 C l * D lA) B , C2 - D)A1 B r Cr -D3A1 84 Ct+ * D4

:


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I J

* Si (A) : r(A) :2 . sistenracompatiblendeterminado + tl ) r: son coir lc identes.* S i r (A)=2 y r t l : : . s i ; temai r rcompat ib leconl l l : - ) r r Y r : son para le las .* Si r(A) : r() :3 . sistenracompatibledetenninado) rr y rz secortalen un punto.* S i r ( A ) : 3 y * . 1 : . s i ; t e r n a i n c o m p a t i b l e c o nt * { i , - - , r e c t a s q u e s e c n t z a r t e n e l

espacio.RADIACIN DE RECTAS:Llamamosadiacin e rectas on vft ice A: (ro,)o,Zo ), al conjunto e odas as ectas uepasanpor dichopunto A. (vrticede LL adiacin).l 'oda rectaque pasapor A: rx,, .yo.zo) puede etermil larsen firncinde un vectorgenrico- ; ^ ; ;v = c { t + l J - l + Y K .L a e c u a c i n d e l a r a c l i a c i l l c o r l r r t i c e, s e r R ( A ) = x - X o - Y - Y o = z ' - z o V c , F . T . Rc x , F y

RADIACINDE PLANOS:Llarnamos adiacin e planosde vrt iceA : (xo.)o.2.,,r),al conjuntode todos os planosquecontielren ichopunto A. (r'rtir:e e a radiacin).1-odo lanoqu epasapor A pod'definirse orno:

( x - x u ) + 9 ( y - Y n ) + " 1 ( 7 ' z r , ) = 0 ' c o n , f J , y e R .

F{AZ DE PI-ANOS:Llamarnos azde planosde la re,:tar al conjuntode odos osplanos uecontienen .Si definirnos como nterseccine dosplanosTt y n):

f i r = A l x + 8 1 Y + C t z + l ) = ( - ) Y n z = A 2 x + B : y *C l z ' + D r = 0 .todoplanoquecontiene . podr eflnirse omo:

h r ( A l x + B r y + C l z + D r ) + L z ( A : x + B z Y*C t z + D 2 ) : 0con i,. l "r e R (no simultneatnel l terulos)


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l 4

PROBLEMASMETRICOS. NGULOS.DIS"I NCIAS:xcur-o gnosnecrns:Es el ng uloagudoque onnans rs direcciott es.

ANGULODE RECTAY PLAN :

A partirescalar:

de las aplicacionesde l producto

c o s 9 =

Es el n guloagudo o_ qu" forma a direccinde a recta on suproyeccin u el plano.

IV r ' V r I" 1- l Iv r V r I

-) tr- ) r I

ANGULOENTRE LANOS:

r l l plano (o includoen l)

Es el ngulo a-9udo ue fonnan su s vectoresnonnales sociados.

Si 1 , . :0s i . i

I p l r no

c o s 9 : ' ,n v -

cos (P :

: sen ct

l l n r ' n 2l l l n 2

DISTANCIAENTREDO T'OS:D a d o s d c r s p u n t o sr = ( x t . y l , z l ) Y A : : ( x u . y z , z 2 ) , l l a m a m o s d i s t a n c i a e l l t r e1 ) A 2 a lmdulode l vectorcon origettelt unode lo spuntos extremoen el otro.

C o n r o A r A : . } : ( " : - . r ) i + ( y z - y r ) . i + Q 2 * 2 1 ) k - +


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t 5

DISTANCIA E UNPUNTO JN PLANO:

t r . , \ .Z r )Dadoun punto P(x , ! t . z 1) y un plano

7 [= A x + B ] ' + C z + D = 0 , l l a l n a m o s i s t a n c i ade l prrnto P al plano l . ala menordistancia e P acualquier untode n (l a perpendiculare P a n )

d

Estadistancia er a longitudde la proy'eccin obrepor P y Lur unto ualquieraQ (ro, Yu" u) de t.

la direccinde {A . B. C). del vectordeflnido

As . d (P , ) :1 - _ - - - riQPi r l A ( x r * x o ) + B ( y r

* - v . ' o ) + C ( z 2 , , , )n

A xr + By l l l r r - (A " * BV" * CtJ Ax l+Byr +Cz1+D+ 8 2 + C 2 A 2 + 8 2 + C 2

( * ) S i Q ( x " . y , , , 2 . , ) f i - > A x , , + [ J y n + C 2 , , + D = 0 * ) - A " o * B y o - C 2 . , = p"Paraobtener lad is tanc iadeunpuntoaunp lano i . separ t i cu lar izanascoordenadasde luntoPen la ecuacin eneralde l plano fi y sedivide po r el rndulodel vectornomralasociado l plancr : Ai+e- i+Ci "El valorabsoluto el resultado btenido er a distancia el puntodadoal planoqu esepide.

DISTANI]IA DE PUNTOA RE( I-A:

Llamamosdistanciade un punto P a una rectar(Q, , ), a la medidadel segmento erpendicularr y secante la recta, razadodesde P.

{ * lproy iQPi=( * )=

Porpropiedadesectorial e vect:rest t . _ I Il Qn "" ' ,1 \ ' r d = . l iee ni Iv r

Q ( x " . I n , 2 , )A > , 5 ' I i + l ) : u

A 2 + 8 2 + C 2

P ( r r . ' r . z r )

Q (x o "y , , ,z o )


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DISTANC'IA NTRI DOSRF.( AS:

A) RECTAS ARALELAS:

-f

B) RECTASQUE SECRUZ,\N:

S i r r ( A r , v ) y r : ( A : , i ) s o n p a r a l e l a s , e lproblerna e la distancia e unaa la otrase reduceal clculode la distancia e un punto A de unade las rectas r, ) a la otra recta r2 .

Si r ( A. v, ) y s (8, . ) sondos ectas uese cruzanen el espacio, lamaremos istanciade r a s a la rnedidade la perpendicularcomna anlbas ectas.

----t r

z i -n->'- s

.

Para uclculo:1) Seobt iene laec t rac inde llanoTt "quecont ieneaunade lasrec tass) yespara le loa laot ra( r )

En el grf ico,7t 8, i , , , )2) Sehal la a distancia f i . decualquier untode r ( d(A, n ) ).

Estadistaucia er a mnimaditanciaentre asdos ectas uese cruzan n el espacio.


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CUESTIONESC1 - Dadas os ectas rtel espac ,hay iempre nplano ue ontiene ambas?C2 . -Dados . V y r , i ' : ' i n i . ,cun tova le (+3) ' ?C3 . -S i r = l + t = x2 + 2 t = ! e : u a c i r n d e u n a r e c t a .e r p e n d i c u l a r ay q u e p a s e p o r ( 1 . 0 , 3 X3 + 3 f = zfl4.- Essiempre iertoque respuntosdel espacio etemirlan n plano?C5.- Halla a ecuacire una eciaquecontengaP(1.2. 3) y no cortea z : 5C6.- Do s ectas o secortan.,Pucdenercoplanarias?

Ix= l+tC 7 . - = j t = 2 + 2 t l r r u a c i n d e ' . p a r a l e l a a y q u e r ] o p a s ep o r ( 2 , 4 . )i z=3+3t

C8.- Si . - ( v1 Vr. V-l esdatc ,esosible ncontrar n plano onvector aracterst ico, ,queno cortengauntosde r'?

C9.- Hal la acondicin uedebe unrpl i r P(x,y, z) para quidistar e A(0. 0,0) y B(0. 1.2).Forntaun plano lconjunto epuntrsP quecurnplea corldicin?

f x - v * z = lC 1 0 . - O b t na e c u a c i na r a m t r i c a d ea r e c t a = 1 * * v + 3 2 = 3 .Existe lgnpuntoP(v.v" I - l) que pertenezca la recta ?. En casoafinnativo,obtn P.

C l l . - P o s i c i n r e l a t i v a d ei = - x - 3 t * 7 = 0 y r .= t : l = J - r = ' l l ' :- 3 4 2 x + v - z = 2C l 2 . - S i r = { ^ - v N = 2 x + n } , ' - 6 2 = l v a l o r d em p a r a q u e L n ?l 2 x - v + 2 2 = l\ . ,

C f 3 . - l l a l l aa ' b p a r a q u e T E 1 ) x + , v - - 2 2 : l , f r 2 = x - 2 y ' - 2 , = 0 y ' f [ 3 = a x - ] ' + z = b s ecortenen ulla recta.

x - l r * l z - lC l 4 . - r = - , ) o a f i l = * + 2 v = i v T 2 = * - y = 2 e n P , P I , 1 2,DistanciantreP1 y P:?.

a r y quepasa or P.f x= l+ tIC16. - = l y '=3+t . ,Seued: ncont rarunarec taara le laa quenocor te z . : 8?II z = l * ' t

C I 7.-Ecuacin e un plano lre ()ntenga ( . 2. 3) y no corte z: 10


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l 3 x + z Y * z = lCl8.- Si r,, = I ^ 'Flay algn valor de a para el qu e r est contenidaen" - l : r + 6 1 ' _ 2 , = 6 ( 'f t - : r + \ * z - l

C 1 9 . - P r ( 1 , - 1 , 2 ) . P r e 2 , \ 3 ) , P : ( - 3 , 3 , 3 ) ' P + ( * 3 . 3 , 0 ) . I ' F 3 - 4 , 3 ) , f o r m a n p a f t e d e u nmismoplano?

C 2 0 . - , ' , E c u a c i n d e ll a n o q u e : o n t i e n e a( l . 2 , ) . Q ( 1 , 2 , 3 ) y e l p t r n t oR d o n d e s e c o r t a nfx= l+2 tr = ] y = 2 + 2 t c o n T := x + ! * z = 0l z :1 -2 t

C2l . - , ,Rec taqueasa or P(2 . . 3 ) .perpend icu lara (1 .2 . 0 ) y i1 (1 , 1 ,2)?C22. -A{a ,1 .2) . B(0 ,2 ,3) , C .0 .3 .4) Ex is te lgn a lorde a para ue A, B . C es tn l ineados?C23.-Sesabe ue r coaperp:ndicr-rlannenteTt y pasapor A(1.4. 0) . Adems esabe ue :

l ( 0 . . l ) y i z ( 1 . 0 . l ) t i e n e n o r i g e n y e x t r e m o e n. O b t n l a e c u a c i n d e.C 2 4 . - A ( 2 , a . b ) , ( 1 . 3 . ) . C ( 1 . 0 . - l ) , D ( 0 . 0 . 2 ) . C o n d i c i n d ey b p a r a q u eA e s t c o n t e n i d c r

en el planoqu edefinen F. C 1,'D?

paraqlle P( , 2 s, s) per et:ezc a r?C 2 6 . - P ( 1 , 2 , 3 ) Q ( 0 ,1 , 2 ) s c n s i m t r i c o s r e s p e c t o d e u n p l a n o, e c u a c i n d e l p l a n o ?C 2 7 . - o s i c i o n e s r e l a t i v a s d et t : x + a y + z = a * 2 y ' l t z = x + y + a z = 3 e n f u n c i n d e .

| ' 3 x + \ ' * z = 0C28.-Ecuaciones aramtricase r = l- - - . ;,Eristealgnvalor de s paraqu eP( - 3. s. s)p e r t e n e z c a a, l

t . ^ - l + 2 2 = o - '

C 2 g . - S i T t : * x + 2 y + z + t : 0 v r e s t d e f i n i d a p o r( 0 .1 . 0 ) - y t i e n e c o m o v e c t o r d i r e c t o r (1. l , - I ) Posicioneselat ivas n uncin e a

l

M2 5 Geometría

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