M1 trigonometr%e da

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FLINCIONESTRIGONOM ETRICAS CIRCULARES Llamamosángulo a la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. A dicho orisen se le llama vértice. Si del vértice, O, del ángulo, como centro, trazamos una circunferencia de radio R cualquiera, llamaremos medida del ángulo ü (en radianes, (sistema de numeración decima$ a la proporciónentre la longitud del arco de circunferencialimitado por los lados del ángulo y el radio de la misma. Evidentemente la medidadel ángulo no depende del radio elegido;(la proporciónentre la longitud de la circunferencia y el radio de la mismaes siempre constante y vale 2n). Según lo visto, el ángulo completomedirá 2n radianes, el llano n y el recto f . La medida del ángulo tendrá signo positivo si el arco es recorrido en sentidocontrario al de las agujas del reloj y tendrá signonegativosi el arco es recorridoen el sentido de las agujas del reloj. En el primer giro completo, los cuartos de vuelta (principio y fin de los distintos cuadrantes) tendrán valores respectivos: 0,1%, n,3/r,Zn. tg lL /l'i Í,/ | \ --1---r--'l \/ \r,r/ ''-----1---" .$ 1 A la circunferencia de radio unidad, tratada desde el vértice del ángulo,se le goniométrica. En ella, la medidadel ángulo coincide con la longitud del arco lados. Razones trigonométricas. Definición. Relaciones principales: lx- Cuando el contextoen el que trabajamos es de tipo geométrico o cartográfico (mapas) la medida de los ángulos se puede realizar siguiendo el sistemasexagesimal (un giro completo serán 360"). La equivalencia entre sistemas vendrádadapor la proporción ; 1800- nradia llama circunferencia que comprenden sus Consideremos un sistemade coordenadas cartesianas y, con centro en su origen, la circunferencia de radio unidad. f- Si tomamos como fijo el lado 0 r, los distintosgiros a partir de é1, del lado 0 s, definirán los distintosángulos cI,.

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FLINCIONES TRIGON OM ETRICAS CIRCULARES

Llamamos ángulo a la porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común.

A dicho orisen se le llama vértice.

Si del vértice, O, del ángulo, como centro, trazamos

una circunferencia de radio R cualquiera, llamaremos

medida del ángulo ü (en radianes, (sistema de

numeración decima$ a la proporción entre la longitud

del arco de circunferencia limitado por los lados del

ángulo y el radio de la misma.

Evidentemente la medida del ángulo no depende del radio elegido; (la proporción entre la longitud

de la circunferencia y el radio de la misma es siempre constante y vale 2n).

Según lo visto, el ángulo completo medirá 2n radianes, el llano n y el recto f .

La medida del ángulo tendrá signo positivo si el arco es recorrido en sentido contrario al de las

agujas del reloj y tendrá signo negativo si el arco es recorrido en el sentido de las agujas del reloj.

En el primer giro completo, los cuartos de vuelta (principio y fin de los distintos cuadrantes)

tendrán va lores respect ivos: 0 ,1%, n,3/ r ,Zn.

tgl L

/ l ' i

Í , / | \- -1---r-- ' l\ /\ r , r /''-----1---"

.$1

A la circunferencia de radio unidad, tratada desde el vértice del ángulo, se le

goniométrica. En ella, la medida del ángulo coincide con la longitud del arco

lados.

Razones trigonométricas. Definición. Relaciones principales:

lx-

Cuando el contexto en el que trabajamos es de tipo geométrico

o cartográfico (mapas) la medida de los ángulos se puede

realizar siguiendo el sistema sexagesimal (un giro completo

serán 360").

La equivalencia entre sistemas vendrá dada por la proporción ;

1800- nradia

llama circunferencia

que comprenden sus

Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas

y, con centro en su origen, la circunferencia de radio

unidad.

f- Si tomamos como fijo el lado 0 r, los distintos giros a

partir de é1, del lado 0 s, definirán los distintos ángulos

c I , .

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2

Cada uno de los valores de cr determina el punto P (x, y) sobre la circunferencia goniométrica.

Se define como seno del ángulo a (sencr ) al valor de la ordenada del punto P que dicho ángulo

define en la circunferencia goniométrica.

El coseno del ángulo cr (coscr ) es Ia abscisa del punto P que define el lado móvil del ángulo en la

c ircunferencia goniométri ca.

Al cociente, si existe, entre el seno y el coseno del mismo ángulo o se le llama tangente del

ángulo(tgc¿),esdecir : l r to : senü' l

fo lI cos0, I

La tangente del ángulo cr será pues,la ordenada y' del punto P' que define el lado móvil del

ángulo con la recta tangente a la circunferenciatrazada desde A (origen del sistema de ángulos).

En cualquier triángulo rectángulo, de ángulo agudo ü , y por semejanza de triángulos, obtenemos

S inmediatamente:

Por semejanza de triángulos:

I + c o t s ' c r : c o s e c ' o

t l !=g=p 'A : tgc r : r r .

OM OA

AABtscx. : tE L : : =

AC

A AB "

(cateto opuesto a a )S e n U . : S e n L : : = - ¡ - l

C B a ( h i P o t e n u s a )

A A C b ( c a t e t o c o n t i s u o a a )C O S ú : ü O S L : : = - | - - - - - - - - - - - - - - - - l

B C a \ h i p o t e n u s a )

/ \f cateto opuestoao l

\ cateto contrguo a cr /

f r " n ' . r =1 -cos2 '=J" . (1)l c o s ' c r = 1 - s e n ' c l

x2+y2=l - - - - - - - ) s e n ' ü * c o s ' s : l , V c r

A los inversos, si existen, del senü, cosü y tgcr

(coseco ), secante de o (seco ) y cotangente de cr

cosec cx, - I

(si sen cr * o)sen ü,

I

cotg crtg cr

Si dividimos los miembros de la ecuación (1) por

I + ts ' cx : sec' c¿

b

Además, y por aplicación del teorema de Pitágoras, vemos que si P (x, y),

se les llama, respectivamente: cosecante de

(cotgo ), es decir:

1I ,

seco : (s i coso +0)cos c{.

(s i tgo * 0)

cos' cr se obtiene:

(2)

(l) por sent cr se obtiene:Si dividimos los miembros de la ecuación

(3)

Page 3: M1      trigonometr%e da

Signos de las razones trigonométricas:

Por propia definición se observa que :

Todas las razones trigonométricas son positivas en el 1"' cuadrante

En el 2o cuadrante sólo lo son el seno y la cosecante

En el 3"'cuadrante sólo lo son la tangente y la cotangente

En el 4o cuadrante sólo lo son el coseno y la secante.

s > r 5 > ú )< ¿ O t C 7 ¿

C < . , ¡ b > i )

c < e t c > o

f > o '

b < o

Relación de razones trigonométricas de ángulos distintos. Reducción al l"'cuadrante:

1.- Si dos ángulos son suplementarios (suman n ), sean cL y r - cL :

- Dos ángulos suplementarios tienen senos iguales y cosenos y tangentes opuestos.

2 . - D o s á n g u l o s c u y a d i f e r e n c i a s e a n ( o y n + o ó c r y c r - n ) :

9 Dos ángulos que difieren en n tienen tangentes iguales y senos y cosenos opuestos.

3 . -Angu losquesuman 2z(ángu losopuestos) , (a y 2n-u ó c t y - o ) :I

sen ü : - sen (2 7r - cr ) : - sen (-cr

cos cr, : cos (2 n - a ) : cos (-ct )

tg c r = - tgQl r -ü ) : - tg ( -c¿ )

3 Dos ángulos rdffi-s tienen cosenos iguales y senos y tangentes opuestos.

Es decir, al cambiar de signo a un ángulo, cambian de signo su seno y su tangente, mientras que

goqglg perrnanece constante.

sen cr: sen (n -" ) Icosü , : -cos (n - " ) l =

It g a : - t g ( n - " )

)

sen cx, : - sen (n + cr ) : - sen (" - ^ )l

cosc r , : - cos (n+cr ) : - cos (c t -n ) f

=

t g c r : t g ( n + c t ) : t g ( c r - ¡ ) )

,l

Page 4: M1      trigonometr%e da

4.- Ángulos cuya suma ",

1 1ángrlos complementarios)

senc r : cos11 -o ¡

coscx , : sen11 -o ¡

t sü , : co te (1 -a )" " ' 2

5.- Ángulos cuya diferencia es i ( aL

( ü

lI

)

o (y

,lI

) )

senc { , : - cos (1ao

cosc { , : sen (1+o )

tg a : - co t s (1+c ,2

1ly --cx, ) :- 2

ri

= Si dos ángulos son complementarios las razones de uno de ellos coinciden con las co-

razones del otro.

t t ,y - - | -o¿ o' 2T

c I - - ) :2 '

senc , : cos lo - ] ¡2 '

cosc r : - sen (c r -+ )2 '

t g c r : - co tg t " - 112 '

Razones trigonométricas de los ángulos I, ! v ! @t',30o y 60o): Se obtienen de la definición" 4 6 ' 3

de las razones trigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo, al considerar un

triángulo rectángulo isósceles para el primero y la mitad de un triángulo equilátero para los otros.

LJ'1 2 3 L 2

L 2 : h 2 + - > ¡ 2 : -44

L2 +L2 : d2 -> , LJ '=

2d :

t;

tl a

2

r E lsen - : ---;=

a 'lz

n lCOs - : ---v=

a ^lz

Ít s - : l* 4

TcJthsen - - =-:-

3 2 L

it I L/zc o s - : - : -

3 2 L

r r - h1 1 - -t * I n ' - t - / z

r r lsen - : -

62

t;7t {J

cos -62

nlJto " , l : J

Page 5: M1      trigonometr%e da

Funciones trigonométricas. Definición. Gráfica. Propiedades:

Se define la función f(x): sen x a la función real de variable real que asigna acada valor del

arco, medido en radianes en la circunferencia goniométrica, el valor del seno del ángulo

correspondiente.

q- t t -f lu

. \

t'0

!t.). ot*".-

. ,YL

Los valores de la función (que es

siempre continua Vx e 9? ), están

siempre comprendidos entre - 1

y + 1 .- t

Es una función periódica de periodo 2n .

Su gráfica recibe el nombre de sinusoide.

La función f(x) : cos x asigna a cada valor de x (ángulo medido en radianes) el valor del coseno

de dicho ánqrlo.

Tiene las mismas características

de la función (x) = sen x .

Sus valores se encuentran "ade-

lantados" -l respecto los de la

función f(x) = sen x .

La función real de variable real que asigna a cada x (ángulo medido en radianes) el valor de la

tangente de x, se llama (x): tg x .

I

l lI

III

llII

I

) t*) = cts"

Page 6: M1      trigonometr%e da

6

f(x): tg x está definida y es continuapara todo valor de x, excepto para aquellos en los que

cos x : 0 (múltiplos enteros impares d" * Iz

l " lD : 9 i _ 4 x t * = 12k + l )_ : , keZ l

t ' 2

)

Si cos X = 0 , para ese valor de x, f(x) tiene una asíntota vertical .

Es una función periódica de periodo rt .

A partir de la definición de las funciones trigonométricas, podemos extraer las siguientes

conclusiones:

l.- No existen las funciones inversas de las funciones trigonométricas, pues al ser periódicas, distintos

valores de x pueden dar la misma f(x).

2.- a.- f(x): sen x y g(x) : tg x son funciones impares:

En efecto, Vx e D I sen (- x) : - sen x

t tg ( -x )= - tgx

b.- Sin embargo, f(x): cos x es función par pues cos (- x) : - cos x , Vx e D

3 . - a . - S i s e n x : 0 - > x : k n , k e Z

S i s e n x = I - ) * = 1 + 2 k n . k e Z2

S i s e n x : - I - + * : - n + 2 k n . k e Z2

b . - S i c o s x : 0 - + x : ( 2 k + f ) 1 . k e Z¿

S i c o s x : 1 - + x : 2 k x , k e Z

S i c o s x : _ I _ + x : ( 2 k + 1 ) n , k e Z

c . - S i t g x : O - + x : k z , k e Z

Expresiones inversas:

A las correspondeneias inversas de las funciones trigonométricas (que no son funciones) se les

llama funciones-arco .

Así, si x = sen y -+ y: arc sen x

si x: cos y -+ y: arc cos x

s i x = t g y - ) y : a r c t g x

Page 7: M1      trigonometr%e da

Sus gráficas se obtienen como simétricas de y : sen x y : c o s x

bisectriz del l"'cuadrante :

)>¿u a-

y: tg x, respecto de la

\¿1 a/.4 .^ ><

A

A

Z-- ut-c- teór<

t t lL

& t l

- 3tt/( L

Vectores

Definición: Dos puntos A, B ordenados definen el vector Rd, d" origen en A y extremo en B

El vector RÉ q.reda definido pues por:

* Su or igen A

* Su dirección: recta, r, que pasa por A y B

t Su sentido: el que asigna la orientación de origen hacia extremo

* Su módulo: longitud del segmento e e (por lo tanto, siempre positivo)

Vectores libres: Diremos que dos vectores AB y CD son equipolentes ( AB ,^' CD ) si ambos

vectores tienen direcciones paralelas e iguales sentido y módulo.

Si Á; ,u C;, al unir sus orígenes y sus extremos,

respectivamente, se forma un paralelogramo.

los vectores equipolentes entre sí recibe el nombre de vector libre, y viene

módulo, dirección y sentido de cualquiera de los vectores ligados que lo

+-%

c<{"El conjunto de todos

caracterizado por el

forman.

Page 8: M1      trigonometr%e da

8

Se representan por una letra minúscula: ; : { * }

= vector libre formado por los vectores--)

e q u i p o l e n t e s a A B . E v i d e n t e m e n t e , s i A B - C D - a = l a g J : 1 C n I¡ - ) + f - l

Si a : t ns l = vC lD t a : tco l , .o q b

> ,./

,rr;a-

./"c

ñ-"----{-- -

Operaciones con vectores libres:

* Suma: Dados dos vectores libres

R

f -+ [ - lI a = lAB fl - l - l + -+ [ - l +{ ' ' de f i n imos a *b= jAC l : sl : tzl I J¡ 6 = lBClt t ll ( . )

I ",

lu diagonal del paralelogramo definido po. i y-)b , llevados a un origen común.

+nl!

- - ) + -

Equivale a trasladar el origen de b al extremo de a y unir el origen de a con el extremo de b .

Propiedades:+ J - + +

l . - ¿ + $ : $ + ¿+ ) -+ + -) --)

r n- +

2 . - a + ( b + c ) : ( a + b ) + c = d + b + c- ) f - l + -+ +

3 . - vec torneut ro : 0 : lBBf - u+0 : at J

4.- vectoropuesto: s i ; : {ñ} -) - ; :

{ú} ysecumpliráque

t i t J

+ + f . - - l l - r l [ - - l - - )a +(-u ) : jeBf + lBAf

: lAAl : 0

I J IJLJDos vectores opuestos tienen iguales módulo y direcciónrpero sentidos contrarios.

* Producto de un número real por un vector: Dados i , o e B, definimos

,¿" it +

/ s e n t i d o : I e l d e a s i c r > 0/ J( \\ Lel contrario de a si o < 0t\ módu lo : l o l ' a

\ l

' - + - ) - t - +

l . - o ( a + b ) : c r a * c r b+ + +

2 . - ( o + F ) a : c r . a + F a+ +

3 . - ( o 0 ) a : 0 ( B a ) ' - - ' i " '

- -4 . - 1 a : a

'\>

Propiedades:

Page 9: M1      trigonometr%e da

9

Base canónica: Dados dos vectores

diremos que forman una base canónica del conjunto de vectores libres del plano.

+ + - ) -

V a p o d r e m o s e s c r i b i r : a x i * a v j , r e c i b i e n d o d * y t , e l n o m b r e d e

J l +coordenadas de a en la base I i

+ - + - , ) l t + l

i , j quecump lan : . J t i l : l j f : i : j : 1 (módu lo 1 )

Li l-l (ortogonates)

i " i

* Producto escalar de vectores:

+ l) J )

Así, si+ - + - + - ) - + - )& : & * i + a y j y b : b * i + b r j :

-+ -+ -+ -)

a + b = ( a " + b * ) i + ( a y + b r ) j

; f )+ - + -

c t a : ( a a " ) i + ( o a r ) j

Dados i', ü , que forman un ángulo rp, definimos

el producto escalar¿" ivi, (; ;), al número real que se

obtiene de multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo

I

-t! .---

Estos resultados tienen interés desde el punto de vista de las operaciones con vectores.

tiJ -,,.t'-

A s í , s i ? : d x i + a , j y b : b , i

-+ -+ -+ -) ,+ -)

a . b = ( a * i + a , j ) ' ( b . i + b , j ) : a

: a" b* * Í Iy by : a b cos <P

Aplicaciones : Dados dos vectores

a ' b : a b c o s g

-+ -) -) -) -) -9 -)

2 . - a ' ( b + c ) : a ' b + a ' c ( D i s t r i b u t i v o r e s p e c t o a l a s u m a )

+ -+ + --) -+ -'il

3 . - ( c , a ) ' b : c r ( a ' b ) = L L ' \ d Y ' - . 1

+ --) + --)

4 . - S i a v b * 0 v a ' b : 0 = a I b

- + - + - -

5 . - i . i : j . j : 1 y

+ - ) - ) --) + -+ b t j

* b " i--)

. i * a * b y) )

* a v b v j . j :- + - ) t - +

i ' j + a r b , j ' i

+ - ) -

& : 2 * i + a y j y b : b " i + b r j :

- - a - 1 )a ' a : a ' c o s 0 : a , 8 * * o y a r = a i + a l

u= rft.*fi

I

l . - Módulo de un vector : como

Page 10: M1      trigonometr%e da

l 0

, JO\2.- Angulo de r vectorel

3.- Proyección de un vector :

(

-<t +L.

Y43 t' = I l.- -.'., I

; ; : a " b " + a r b r : a b c o s q -

como a ' b :

-) -)

a b c o s r p = b c o s < p : a ' b

a

__) +

"La proyección de b sobre a se obtiene como valor absoluto del cociente del producto escalar de

ambos vectores entre el módulo del vector sobre el que se realiza la proyección".

-t

proya b -

--) -)a ' b

a

a r b * + a r b ,

l ) ){ a ; + a ;

- + ;

Dado el vectora, al vector uu : I se le llama vector unitario dea

4.- Vector unitario :

+

la dirección y sentido de a .

Un vector a que forme un ángulo a

porcoordenadas en la base {;,1} :I J

con I tendrá

-)a ' i

+ - )

a ' j

Iu.J\ u '

: a c o s c x , =

: a sencr :

--, )a ' b

c o s ( D :ab

a r b " + a r b ,r - f i l

r / u í * a ' , I b i +b i

Page 11: M1      trigonometr%e da

l l

Transformaciones tri gonométricas :

Sean uy v vectoresunitar ios(u:v:1), que formancon iángulos a y b respect ivamente

-) -+ -) -) -)

u : u , i * u v j : c o s a i + s e n a j

L ( + - + - + - + )' , ' l V = v * i * v v j = c o s b l + s e n b j

. , -- .vu Simult ipl icamosescalarmente uyv:

\ : b , . - -

Sabiendo que cos (- b): cos b y

cos (a + b) : cos (a- (- b)) = cos a

u ' v : 1 ' l ' c o s ( a - b ) : c o s a c o s b * s e n a s e n b :

cos (a - b): cos a cos b * sen a sen b ( 1 )

sen (-b) : - sen b, podremos escribir:

cos ( -b )+ sena sen ( -b ) : cosa cosb -sen a sen b :

cos (a+ b) = cos a cos b- sen a sen b (1 ' )

Sab iendoque sen o : cos11 -a ) yque cos o , =sen ( | - " 1 :

sen (a + b) : cos (( n - (a + b) ) : cos (;- ^) - b) : cos (1 - a ) cos b + sen (;- ^) sen b :

sen (a+ b) : sen a cos b *cos a sen b (2',)

sen (a - b) : sen ( a + (- b)) : sen a cos (- b) + cos a sen (- b) : sen a cos b * cos a sen b :

sen (a-b) : sen a cos b-cos a sen b (2)

Dividiendo las expresiones (2') y (1') podemos escribir:

sen(a+b) - sena cosb+cosa senb , div idiendonumeradorydenominadorpor cosa cosb:

cos(a + b) cos a cos b - sen a sen b

s e n a c o s b *

c o s a s e n b

t e ( a + b ) : c o s a c o s b c o s a c o s b t g a + t g b- o \ - '

c o s a c o s b _ s e n a s e n b l - t g a t g b

cos a cos b cos a cos b

t g (a+b )=t g a + t g b

I - t g a t g b

t g ( a - b ) =t g a - t g b

I + t g a t g b

(3')

Haciendo lo propio con las expresiones (2) V (t) obtendríamos:

(3)

Page 12: M1      trigonometr%e da

t2

Funciones trigonométricas de los ángulos doble y mitad:

s e n 2 a : s e n a c o s a * c o s a s e n a : 2 s e n a c o s a

c o s 2 a = c o s a c o s b - s e n a s e n b = c o s t a - s e n t a

t g a + t g a _ 2 t g atg2a = tg (a + a)

l - f g a t g a l - t g 2 a

De (l') y (2'):

sen 2a :2 sen a cos a

cos 2a: cos'a - sen'a

(4)

(s)

(6)t g 2 a :2 t g a

1 - t g 2 a

Para obtener las razones del ángulo mitad, tendremos en cuenta:

1 3 1 d \cos - - + sen - I22r

>I

De (5) "o r t

1 - sen2 I : "o ,

u )

a l + c o s a- = -2 2

1 z l - c o s as e n - - = -

Luego:

(1 ) :

(8)

El signo + ó - será el correspondiente alsigno de la función trigonométrica que

corresponda al cuadrante al que pertenece I

sen (a + b) + sen (a - b):2 sen a cos b

sen (a + b) *sen (a - b):2 cos a sen b

cos (a + b) + cos (a - b):2 cos a cos b

cos (a + b ) -cos (a - b ) : -2 sen a sen

y b: +

y las transformadas

(7)

(8)

(e)

Transfonnaciones de sumas en productos: Del cuerpo de fórmulas anteriormente vistas:

sen (a+ b) : sen a cos b * cos a sen b J

s e n ( a - b ) : s e n a c o s b - c o s u , . n U l : +

c o s ( a + b ) : c o s a c o s b - s e n a s e n b )>:>cos (a-b) : cos a cos b * sen a sen bJ

hemos transformado las sumas en productos.

S i l l a m a m o s a + b : A v a - b : B . e n t o n c e s a

de las sumas en productos podrán expresarse como:

l,)

s e n A * s e n B : 2 r " n A * B

2

s e n A - s e n B : 2 " o , A * B

, " n A - B

cosA+cosB :2 "o , A *B

"o , o - "

22

cosA-cosB : - 2sen A+B , . n

A -B22

A-B2

A+B

( ro)

Page 13: M1      trigonometr%e da

13

Dado un triángulo cualquiera ABC, y llamando {ÁEt } : ;,

f +l ' f - ----->l +

iACi : b y iBCi : a

vemosqu" {Ád} . { * } : {Áé} = ; :d - ;

-Si multiplicamos escalarmente a consigo mismo:

+ + + + + + + + ) + + +

a . a : ( b - c ) . ( b - c ; = b . b + c . c - 2 b . c

a ' : b ' + c ' - 2 b c c o s A ( t )

"Dado un triángulo cualquiera, el cuadrado de uno de sus lados es igual a la suma de los cuadrados

de los otros dos lados, menos el doble producto de los mismos por el coseno del ángulo que

comprenden"

Nota.- Si A : 90" ( el triángulo es rectángulo), ( I ) se convierte en el teorema de Pitágoras, ya que

cos A : 0, a sería lahipotenusay bys los catetos del triángulo.

* Teorema del seno: Dado un triángulo cualquiera ÁBC . si trazamos la altura

desde un vértice cualquiera (por ejemplo C), vemos

que:

h . : b s e n A : a s e n B =sen A sen B

Si repetimos la operación con la altura h s, tendríamos

q u e h s : a s e n C : c s e n A =sen A sen C

TRIÁNGULOS. RESOLUCIÓN :

* Teorema del coseno:

Podemos, por tanto, escribir:a - b : c

sen A sen B sen C(2)

"Dado un triángulo cualquiera, la proporción entre la medida de un lado y el seno del ángulo opuesto a

ese lado es siempre constante"

Puede demostrarse fácilmente que el valor de dicha constante coincide con el diámetro de la

circunferencia circunscrita al triánsulo.

Page 14: M1      trigonometr%e da

l 4

En efecto, sea el triángulo

luego,

ser ángulos inscritos que abarcan el

- - ^ ( p o r e l T . d e l s e n o )sen B sen C

-+ 3 Alr", Ó y Ó' iguales porsen C'

mismo arco:>2R - c

sen C

ABC y la circunferencia circunscrita a dicho triángulo:

Si trazamos el diámetro que pasa por B y consideramosA -/':}r

triángulos ABC y ABC' :

EnABC ' =sen A

- - - \ ?R

En ABC' : - " -

sen 90o

siendo R el radio de la circunferencia

Dado el triánsulo ABC trazando una altura desde un vértice

cualquiera (p. e. desde B), podemos escribir:

A: bh "

2

("Area : base por altura partido por dos")

\ ¡ c o m o h s : c s e n A

semiproducto de dos de sus lados por el seno del ángulo que

del triángulo) , y basándonos en las relaciones

(3) (Fórmula de Herón)

los

a - b : c = 2 Rsen A sen B sen C

.¿>circunscrita al triángulo ABC

* Área de un triángulo:

,f '*

"El área de un triángulo cualquiera es el

forman éstos"

( l )

l ' ¡

Si llamamos p : *+- (semiperímetro

trigonométricas, podemos demostrar :

A - p ( p - a ) ( p - b ) ( p - c )

a-:-

Page 15: M1      trigonometr%e da

EJERCICIOS

Trigonometría

1 . - S i c o s * = a y s e n x < 0 : ¿ s e n x y t g x ? R e p r e s e n t a e l á n g u l o .

2 . - S i t g x : - i y c o s x < 0 : ¿ s e n x y c o s x ? R e p r e s e n t a e l á n g u l o .

3.- MANEJO DE CALCULADORA. FORMA DECIMAL DEL ÁNGULO. FORMA SEXAGESIMAL

4. - , "n * : f cos x = - ' {1 . te " :

-€ i2 2 - 3 u V a l o r e s d e x ?

5 . - s e n x : 0 , c o s x : 0 , t g x : 0 , s e n x : l , c o s x : - 1 , t g x : 1 ¿ x ?

6.- s i ; : ] i * * i É : 9?* nl¿valores de m y n r i iyÉ son uni tar ios? ¿Retación2 " 2

entre myn si iy Ü ,onortogonales?

7.- Dados i :z i * j v t : i - j , sep ide:l + l l + l + + + +

a ) l a l V l b l b ) cosq (<p fo rmadopo ray b ) c )p royecc iónde a sob re b yde+ +

b sobre a .+ + + + + + - ) )

8. - a= i+ j , b :2 i+m j ¿mparaque a y b seanor togona les?¿paraqueformen45o?

9. - S i fga : + n .a< + ¿ tg (a++) y tg ( I -a )? ¿sen (a+ ] ) y cos ( I -ü t" 4 2

- - ' 6 4 " 6

' 4

10.- teu: -9 y cosa( 0 ¿sen2a , cos2a , tg2 , , "n 1?" 5 - 2 2

l 1 r 5 n 7 ÍI l.- ¿,cos !1?. Razones trigonométricas de # (zs') | t rs') . I Qz' lo')" 8 " t 2 ' t 2 8

1 2 . - C o m p r o b a r s i c o s * * - s e n o x - 2 c o s 2 x * I : 0

a13. - tg ;

: t expresar en lunc ión de t , tg a . sen a . cos az

14.- Conocidos sen a y cos a ¿sen 3a y cos 3a?

15.- Comprobar s i #:

cos "- *

16- Simplif icar ",

sen (a + b) sen (a - b) b) .

ttn 21c o s a + c o s b

' l + c o s 2 a

16'.- Expresar como producto: cos 60o * cos 40o sen 40o * sen 20o cos 48o * sen 58o

1 7 . - E x p r e s a r c o m o s u m a : s e n 3 x s e n x s e n 3 x c o s x c o s 3 x s e n x c o s 6 x c o s 2 x

lg.- Demostrar sen 5a + sena : I + 2 coszasen 3a - sen a

19.- comprobar: a) tg I = . t"n u

u; J9!9 3I9 s = sec 2a' " 2 l + c o s a c o t g a - s e n a

x x t g ac) tg _ : cotg : -2 cotg x d) -- ^L : cos 2a- 2 - 2

t g 2 a - t g a

Page 16: M1      trigonometr%e da

2

2 0 . - D e m o s t r a r q u e s i A B C e s u n t r i á n g u l o y s e n B + s e n C : c o s B * c o s C , e l t r i á n g u l o e s

rectángulo.

21 . - Seconoceque cos : : - i yque x esde l3" 'cuadrante ¿senx , cosx?¿ J

22.- Si A , B y C son ángulos de un triángulo, demuestra que "-#tt

: cos B

I

23.- Si sen x : - y x es del 2o cuadrante ¿sen 3x - sen x?z

24.- Demuestra que tg + : cosec A - cotg Az

25.- Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a ) c o s 2 x * s e n x : 4 s e n 2 x

b ) s e n 2 x c o s x : 6 s e n ' ' x

c ) c o s 2 x : 5 - 6 c o s 2 x

d) cos 2x - cos 6x : sen 5x * sen 3x

e ) 4 s e n 1 * 2 c o s x : 3

fl sen x * sen 3x: cos x

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Triángulos

1.- Un globo está sujeto al suelo mediante una cuerda de 80 m de largo, de modo que forma con el

suelo un ángulo de 45o. ¿Altura del globo?

2.- Desde un faro colocado a 140 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión desde el que se

ve un barco es de 30o. ¿A qué distancia del faro se encuentra el barco?

3.- Las ramas de un compás miden 12 cm y el ángulo que forman es de 45o. ¿Áreadel círculo que

define el compás?

4.- Los lados de un paralelogramo miden 7 y 4 cm y el ángulo cx que comprenden cumple que

A ,

t ga : l ¿A rea?J

5.- Halla el lado y el apotema de un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio R: 8

6.- Calcula la hipotenusa de un triángulo rectángulo si b = 75 cm y la bisectriz del ángulo agudo C

mide 94 cm.

7.- Doble observación

l "

: i ¿h'{L ¿h ,

tt i , t ¡s,.", I I ¿h, paraelcasogeneral Á t ñ? Rf

8.- Los lados de un triángulo miden 13, 14 y 15 cm . Hallar el coseno y seno del ángulo menor y el

área del triángulo.

g . - Reso lvere l t r iángu lo ABC s i A :30o, B =45o y b : " [ ,

10 . - En un para le logramo ABCD : ne :6 cm . Ro: 8 cm y A:30 ' . ¿Diagona les : á rea?

ll.- Las diagonales de un paralelogramo miden l0 y 6 cm y el ángulo que forman es de 60o.

¿Lados; área?

12.- Dos caminantes que andan arazón de 5 km / h y 4 km / h. Se separan en un cruce tomando

caminos que forman 30'. ¿A qué distancia se encuentran al cabo de dos horas?

13.- A, B y C están unidos por carreteras rectas: eS : O km . BC : 9 km V nA V AC forman

120' ¿Distancia entre A y C?

1 4 . - Á r e a d e u n t r i á n g u l o s i a = 8 m , B : 3 0 o y C : 4 5 o

15.- Uno de los lados de un triángulo mide el doble de otro y el ángulo comprendido es de 60o ¿los

otros dos ángulos del triángulo?

16.- De ABC se conóce a= 20 cm , b :22 cm y sen 2C : 0'96 ¿sen C? ¿cos C?

17.- Calcular los lados de un triángulo sabiendo su área (18 cm2) y los ángulos A: 20' y B :45o

f 8 . - Resue lve e l t r iángu lo ABC s i n = z ü . u : " [1y b : I

19.- Dos circunferencias tangentes exteriormente tienen por radios 9 y 12 cm . Halla el ángulo que

forman sus tangentes comunes

A

s i A :45 " y B :30 '?

A A

s i A : 6 0 o y B = l 5 o ?

Page 18: M1      trigonometr%e da

4

20.- Un triángulo tiene por lados a , a"[i y 2a . Demostrar que el ángulo opuesto al lado intermedio

mide 60'

21.- El ánguloC de un tr iángulomide60'. Halla AyB sabiendo que sen A* sen B : +