M1 Lectura 1 - Introducción a Los Modelos - Modelos de Inventarios

8/18/2019 M1 Lectura 1 - Introducción a Los Modelos - Modelos de Inventarios

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Materia: Herramientas Matemáticas VI - Modelos de simulaciónProfesor: Ing. Jorge H. Cassi

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Unidad 1: Introducción a los Modelos

Introducción

Un modelo se puede ser definido como una representación abstracta de la realidad. Existendiferentes clases de modelos; como nuestra asignatura se vincula a la ciencia de la administraciónharemos una breve inducción sobre la ciencia de la administración y los modelos.

La Ciencia de la Administración y su evolución histórica

La Ciencia de la Administración tuvo sus comienzos durante la Segunda Guerra Mundial. Fue previo a esta guerra que un grupo de estudiosos de áreas básicas, se reúnen con el objetivode determinar la forma más efectiva de aplicar las fuerzas militares ya que éstas eran escasas; aúncuando este personal operativo hacía funciones de la ciencia administrativa, se le dio el nombre deinvestigación de operaciones, debido a que a lo que se dedicaban era a analizar operacionesmilitares. Al término de la guerra, personal que había contribuido en la investigación de operaciones, se diocuenta que sus métodos y técnicas adquiridas durante el período bélico bien podrían aplicarse enla industria.

No fue hasta 1950, época en que fueron lanzadas las computadoras al mercado, que se empezó aaplicar la investigación de operaciones en la industria. En un principio, los principales problemas

eran respecto al control de inventarios y los sistemas de transporte, ya que éstos eran muyparecidos a las estrategias militares. Hoy en día, la investigación de operaciones se aplica a compras, mercadotecnia, Contabilidad,planeación financiera entre otras áreas. Aunque es Gran Bretaña quien dio inicio a los estudios dela investigación de operaciones, es Estados Unidos quien hace las grandes contribuciones al tema.En el año de 1947 George B. Dantzig desarrolla el método simplex de programación lineal, el cuales aplicado a muchos problemas operativos y sirve de base para técnicas matemáticas como laprogramación de metas y la programación entera.

1.1. Concepto de modelo.

Una de las de las principales funciones de los administradores es resolver problemas,principalmente a través de la construcción de modelos, o planteamientos de modelos. Laconstrucción de modelos es un medio que permite a los administradores analizar y estudiarproblemas, así como también examinar diferentes alternativas. Pueden ser mentales, a escala,matemáticos.


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1.1.1. Clasificación de los distintos tipos de modelo.

Los modelos se pueden clasificar en:

- Descriptivos y normativos;- Determinístico y estocástico;- Lineales y no lineales;- Estáticos y dinámicos;- De simulación.

1.1.2. Modelos descriptivos.

Permiten comprender el problema y su comportamiento (aproximado) pero no hay decisiones oformas de optimización. Son útiles para pronosticar la conducta de sistemas pero no puedenidentificar el “mejor” curso de acción que debe tomarse. Por ejemplo: cola de espera, regresión,

entre otros.

1.1.3. Modelos Normativos.

Permite tomar decisiones y optimizar un determinado sistema, ya que es posible establecer un

curso de acción óptimo o mejor. Esto implica que se incorpora un objetivo al modelo y que esposible identificar los efectos que diferentes cursos de acción tienen sobre el objetivo. Ejemplos:modelo de inventarios, modelo de toma de decisiones, modelo simples.

La mayoría de los modelos normativos están constituidos por tres conjuntos de elementos básicos:

1. Variables de decisión (cantidades desconocidas que deben determinarse en la solucióndel modelo) y parámetros (valores que describen la relación entre las variables dedecisión. Permanecen constantes para cada problema).

2. Restricciones (limitaciones físicas que ocurren en el problema. Generalmente se expresancomo funciones matemáticas).

3. Función objetivo (define la efectividad del modelo como función)

1.1.4. Modelos determinísticos y estocásticos.

En los modelos determinísticos las relaciones o los parámetros se conocen con certidumbre . Porlo contrario, en los modelos estocásticos se trabaja en situación de incertidumbre.


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Un modelo lineal es aquel en el que todas las relaciones funcionales implican que la variabledependiente es proporcional a las variables independientes. Por otro lado, los modelos nolineales utilizan ecuaciones curvilíneas o no proporcionales. Si una o más de las relaciones son nolineales, se clasifica al modelo como tal.

1.2. Modelos cuantitativos de simulación.

La simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a términoexperiencias con él, con la finalidad de comprender el comportamiento del sistema o evaluar

nuevas estrategias (dentro de los límites impuestos por un cierto criterio o un conjunto de ellos)para el funcionamiento del sistema. En otras palabras, la simulación es un proceso deplanteamiento de modelos y experimentación que se utiliza para describir y/o analizar un problemao un área de problemas específicos.

1.1.5. Modelos lineales y no lineales.


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Unidad 2: Modelos de inventarios

Resulta conveniente antes de comenzar a desarrollar los diversos modelos de inventarios quereconozcamos los términos a que haremos referencia frecuentemente.

Terminología

Inventario: recursos utilizables (mercadería, información, humanos, entre otros.) almacenadosdurante un lapso de tiempo determinado.

Demanda: cantidad de recursos requerida por los clientes en lapsos determinados. Puede ser:determinista, aleatoria, constante (o que la ley de distribución, si es aleatoria, no varíe),

variable.

Tiempo de adelanto ( tL ): es el tiempo (∆t) entre que se pide y se satisface el pedido (∆t= tL).Puede ser: Inmediato: tL = 0 (suministro inmediato); con demora: tL ≠ 0 (suministro pactado ocon tiempo); suministro paulatino (lote de producción); aleatorio (con incertidumbre en elreaprovisionamiento)

Política de pedidos: consiste en saber cuándo y cuánto se ordena (se compra).

Sistema de pedidos: a. de punto de orden con frecuencias denominados “sistemas deinventario perpetuos” donde la revisión de inventario es continua (se ordena el

reaprovisionamiento en el punto de orden – cantidad y momento definido – )b. de revisión periódica donde los inventarios no se revisan en forma

continua; más bien se hacen evaluaciones a intervalos fijos y predeterminados. La cantidadordenada es igual a la diferencia entre la cantidad desea y la disponible.

Agotamiento: carencia de existencia ante demanda de los clientes (stock negativo). Puededarse dos situaciones: a. mo delo de ventas perdidas

b. mod elo con pedidos ret roact ivos

Costo de inventario: a. de pedidos (Co): costos asociados a la realización de pedidos tales

como, gastos administrativos, papeleo, transporte, recepción, inspección, otros).b. de conservación (Cc): mantenimientoc. de adquisición (Cp): preparación para una corrida de producciónd. de agotamiento (Cs): por falta de existencia (por no satisfacer la

demanda).

Modelos comerciales: los inventarios de reabastecimiento se adquieren de proveedoresexternos a la empresa, instantáneamente al recibir el pedido.

Modelos de producción: los inventarios se producen en la organización para ser comercializados.


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2.1. Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos Clásicos (C.E.P.

Clásico).

2.1.1. C.E.P. clásico sin tiempo de adelanto.

Hipótesis del modelo:1) Se conoce la demanda con certidumbre y es constante en el tiempo.2) Reabastecimiento instantáneo y en un solo lote ( tL = 0 )3) Inventario perpetuo (punto de orden)4) Reabastecimiento a nivel cero ( R = 0 –no hay stock de seguridad – )5) La cantidad (Q) es constante al finalizar cada ciclo de inventario, tc.

6) Co y Cc son constantes7) Horizonte infinito (las hipótesis se mantienen constantes durante el período deaplicación)

El objetivo de éste modelo es determinar la cantidad óptima de pedido (Q*) y el punto dereorden (R*), de manera que se minimicen los costos totales de inventaros.

Q

Q* 1° ciclo 2° ciclo

R*=0t

tc 2 tc

tL = R* = 0

Parámetros a calcular:

- Cantidad óptima de pedido2

* CoD

QCc

- Número óptimo de pedido por período ** 2

D CcD

Q Co

- Tiempo óptimo de ciclo c1 *

t * Q

N D

- Costo Total Óptimo de Inventario Ct* 2CoCcD


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Gráficamente se representa:

CCosto total de inventarioCosto de conservación

Ct*

Costo de pedidos (ordenar)

Q* Q

2.1.2. C.E.P. clásico con tiempo de adelanto y punto de reorden.

En este caso, se conoce el tiempo de adelanto y la demanda es constante.Para definir la situación en la que el tiempo de adelanto es distinto que cero, se relajan lasconsideraciones 2 y 4 del apartado anterior. Como la Q* sigue siendo la misma, ahora lo que sebusca es cuándo emitir la orden de pedido para que el proveedor entregue la mercadería justocuando nos quedamos sin ella, por lo tanto debemos conocer cuánto demora el proveedor paraestablecer un punto de reorden (R) que satisfaga la demanda mientras llega la mercadería delproveedor.

Con tL < tC

QR* = tL D

Q* 1° ciclo 2° ciclo

R

tL ttc 2 tc


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Con tL > tC

QR* = tL D – [ tL/ tC ] Q*

Q* 1° ciclo 2° cicloDonde tL D es la demanda durante el tiempo de adelanto

R

tL t

tc 2 tc

Se consume hasta R (Stock mínimo o punto de reorden), en ese punto se realiza el pedido, elcual tarda en llegar tL días y justo cuando se queda sin mercadería, llega el pedido con una Q*(que es siempre la misma).

2.1.3. Optimización de inventarios en el modelo C.E.P. clásico.

El óptimo en el CEP clásico se alcanza cuando el costo total de inventario es mínimo. Ese punto seda cuando el costo de ordenar es igual al costo de conservación.

Gráficamente:

CCosto total de inventarioCosto de conservación

Ct*

Costo de pedidos (ordenar)

Q

*

QEntonces, el planteamiento del modelo general es MINIMIZAR la expresión:

CT de inventario = Costo de los pedidos + Costo de conservación

En donde:

Costo de pedidos →

D

QCo (Costo de conservación por el número promedio que se conserva en inventario)


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Costo de conservación →2

QCc (Costo de mantenimiento por el inventario promedio)

Si reemplazando en la expresión del costo total anterior, obtenemos:

2

D Q

QCT Co Cc

(1)

Para optimizar CT se debe derivar en Q para obtener el valor de Q que minimiza el costo total. Laexpresión resultante es igual a:

2*

CoDQ

Cc

Si reemplazamos en la expresión (1) del CT, obtenemos el valor del costo total óptimo (CT*):

*

* 2*

D Q

QCT Co Cc

Sustituyendo Q* por su fórmula y simplificando se obtiene así:

2* CoCcDCT

2.1.4. Análisis de sensibilidad de los costos de inventarios y en lacantidad económica de pedidos por variación de la demanda, los

tiempos de ciclos de inventario y lotes de aprovisionamiento.

El análisis de sensibilidad permite expresar el efecto de los errores o de cambios en las variablesy/o parámetros en forma de razón. Ésta razón sería la cantidad económica de pedido real (Q’)dividida entre la cantidad óptima estimada del pedido (Q*).

Cantidad Real viene determinada por:

2 ' 'Q’

'

Co D

Cc


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Para saber si nos equivocamos o no en la estimación de la demanda (Q*) utilizamos “k” como

factor de corrección (también sirve para la demanda (D) y el tiempo de ciclo, tc).

Tenemos que'

k*

Q

Q

Si reemplazamos

2 ' '

''k

2

Co D

DCc

CoD D

Cc

despejamos 2 '

k D

D

También emplea para el tiempo de ciclo como se puede observar en la siguiente expresión:

c

c

t ’ k

t *

Remplazando el tiempo de ciclo (tc) por su valor, obtenemos que:

''

k

* *

Q

Q D

Q Q D

'

k

*

Q

Q

Cada vez que nos equivocamos en la estimación de Q* ó D ó*

ct , tenemos un impacto en loscostos, que vienen representados por un factor “l”.

Donde:

2' 1

* 2

CT k

CT k

- k puede tomar valores: - mayores a uno (k > 1) → Q’ < Q* - iguales a uno (k = 1)- menores a uno (k < 1) → Q’ > Q*

- l puede tomar valores: - mayores a uno (l > 1)- iguales a uno (l = 1)- nunca menores que uno por los costos (el costo siempre se

incrementa sin importar la Q)


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Este método sirve para una variación en la Q*,*

ct ó D, donde primero se calcula el valor del factor

“k” y luego, el impacto que tiene en los costos a través del factor “l”

Gráficamente:

CTCT

CT’1

CT’2 l = 1 → CT’

Q*1 Q* Q*2Q

k1defecto exceso

CTCT

CT’

l CT*

Q1 Q* Q2 Q Por defecto Por exceso

2.2. Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos, con descuentos porcantidad.

Se ofrecen precios con descuento por compras en una cantidad Q’ > Q*, pero, ¿conviene

realmente aceptar este descuento?Se deben considerar ahora los costos de inventario y los costos del producto.

- /1 2 3

( / ) = + + s d S descCT CoD CcQ P D

- /( )1' 2' 3'

/ = + '+ c d C descCT CoD CcQ P D

Donde 1 > 1’ ; 2 < 2’ ; 3 > 3’.


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Gráficamente:

CTc/d

CT CTs/dCTinv

CT*s/d

CT*inv

Q* Q’* Q

Respuesta:- si Q’ se encuentra en el intervalo [Q*, Q’*] conviene aceptar el descuento.- si Q’ > Q’* no conviene .- si Q’ = Q’* se analiza en ese momento qué es lo que conviene.

2.2.1. Análisis de los distintos casos según los distintos tipos dedescuentos por cantidad.

Se presentan tres casos:

- Primero

CTCT(s/d) Nunca conviene pedir menos de Q* (demanda insatisfecha)

CT(c/d) A partir de Q1 tengo descuentosSi Q’>Q* conviene seguir comprando con descuentos¿Hasta dónde me conviene comprar? Hasta llegar al CT*

Q* Q1 Q’ Q

- Segundo

CT CT(s/d)

CT(c/d)

Si Q2’>Q* es indistinto, conviene sólo si compra Q2’ Si compra más que Q2’, ya no conviene por que aumentaríael CT. Si compra Q2’, los costos son iguales pero aumentaríala Q.

Q* Q2’ Q

CT*CT’1

CT’2 = CT*


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- Tercero

CTCT(s/d)

CT(c/d)

Si Q3’>Q* no conviene. Los costos a partir de donde ofrecen descuentos sonmayores que el óptimo.

Q* Q3’ Q

2.3. Modelo de la Cantidad Económica de Pedidos con agotamientos.

En este modelo el comerciante se queda sin mercadería y tiene dos opciones:1) Perder las ventas;2) Satisfacer la demanda con ventas a futuro (caso de análisis de la materia).

Se relaja la condición de qué el reabastecimiento se realiza en Q(t)= 0 y permitimos que se trabajecon agotamientos de inventario, hasta un cierto punto que debemos analizar. Se supone que losagotamientos se satisfacen con pedidos retroactivos a un costo Cs (pesos / unidad x año).

Uno decide incurrir en estos costos debido a que a su vez:o disminuye el número de pedidos,

o disminuye niveles de inventario (al llegar la mercadería se asignainmediatamente a la demanda atrasada).

Entonces se busca el equilibrio entre el aumento del costo de agotamiento (Cs) y la disminución delos costos de conservación (Cc) y los costos de ordenar (Co).

Gráficamente:

Donde: - B: tamaño del pedido retroactivo (B = Q - S)S - Q: cantidad de pedido

- S: nivel máximo de inventario- tc: t1 + t2- t1: hay inventario disponible

Q t2 - t2: no hay inventario. Existe agotamiento.

t1 TB

tc

CT’3 CT*


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2.3.1. Optimización de los costos de inventarios.

Ahora la optimización se da cuando se minimiza la expresión de costo total (CT) con agotamiento:

CT= costo de ordenar + costo de conservar + costo de agotamiento

Donde:

Costo de ordenar → D

QCo

Costo de conservar →

2

2

S

QCc donde

2

2

S

Q = inventario promedio por ciclo.

Costo de agotamiento →

2

2

B

QCs donde

2

2

B

Q= número promedio de unidades por ciclo.

→

2( )

2

Q S

QCs

Entonces reemplazado en la expresión del costo total con agotamiento, resulta que:

( / )

2 2

2 2c a

D S BCc

Q Q QCT Co Cs

El equilibrio se alcanza cuando:

2 2

2 2

D S B

CcQ Q QCo Cs

Ahora existen dos variables de decisión: S* y Q*. Para despejarlas se puede utilizar el proceso deensayo y error o por Hessiano.

Para obtener el valor mínimo del costo total con agotamiento:

1° Calculamos la derivada primera con respecto a Q y S. Q’ debe ser 0.

( ) 0QCT y ( ) 0S CT

2° Calculamos la derivada segunda a través de Hessiano (para dos variables)


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2 2

2 2

2 2 0

CT CT

Q S

CT CT

Q S S Q

H

→ Para que haya un min.

Se obtiene así que:

1* * Cc

CsQ S

(I)

Y que:

2 1

1

* CoD

Cc Cc

Cs

S

(II)

Si se reemplaza (II) en (I), obtenemos:

( / )

2 1* 1

1

c a

CoD CcQ

Cc Cs Cc

Cs

En donde:

( / )

1*( / )

2* 1

c a

H Q s a

CoD CcQ

Cc Cs

Expresión que indica cuál es la cantidad óptima de pedidos con agotamiento que hace mínimo elcosto total con agotamiento.

2.3.2. Relación entre el C.E.P. clásico con agotamientos y sinagotamientos. El factor de corrección.

De la expresión anterior podemos observar un factor de corrección que lo denominamos H.

( / )

1*( / )

2* 1

c a

H Q s a

CoD CcQ

Cc Cs

Éste es un factor de corrección entre el CEP clásico y el CEP con agotamiento, en donde:


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Cc Cs

Cs H

Si se simplifica:

1 1Cc

Cs H

Ó

1 11

1 H Cc

Cs

De la relación entre el CEP clásico y con agotamiento a través de H, obtenemos que:

a. ( / ) ( / )* *c a s a H Q Q → ( / ) ( / )* *c a s aQ Q

El lote con agotamiento debe ser mayor ya que hay que reponer los pedidos retroactivos.

b. ( / )1

* * s a H

S Q → ( / )* * s aS Q

En el CEP con agotamiento se trabaja con menos inventario.

c. ( / ) ( / )1

* *c a s a H

N Q → ( / ) ( / )* *c a s a N Q

Se trabaja con un menor número de pedidos.

d. ( / ) ( / )* *c a s a H tc tc → ( / ) ( / )* *c a s atc tc

En el CEP c/a los tiempos de ciclos son más largos.

e. ( / ) ( / )1

* *c a s a H

CT CT → ( / ) ( / )* *c a s aCT CT

En el CEP c/a los costos totales disminuyen.

f.

2

( / )* *c aQ S H

→ ( / )* *c aQ S


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CEP con agotamiento y tiempo de adelanto

Si el modelo CEP con agotamiento permitimos agotamiento, es decir que el tiempo de adelantoes mayor a cero (TL > 0) obtenemos un punto de reorden (R), en donde:

( )/* ** c a L

LC

D Q Bt

Rt

t

( )/* * *

c aQ B S

( )/* * *

c a B Q S

Reemplazando en la expresión original de R*, obtenemos que:

( ) ( )/ /* * *)* ( L

L c a c aC

D Q Q S t

Rt

t

Donde:

* * L D R Bt

Que expresa la cantidad de stock disponible para satisfacer la demanda (D) durante el tiempo deadelanto (TL)

Existen tres casos posibles, que se pueden calcular mediante:

L C t nt t

1) tc>t>t2 → R*>0 2) t=t2 → R*=0 3) t


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2.4. Modelo de tamaño de lote de producción.

La diferencia con el CEP es que en ese modelo se compraban las mercaderías paracomercializar, en cambio en este modelo se producen los productos a una tasa de producción r1y se comercializar a una tasa demanda r2.

Otra disimilitud es que en el modelo de lote de producción el reabastecimiento no se realiza enun único lote sino re realiza en forma paulatina.

La variable de decisión ahora es*

LP Q

Gráficamente el modelo se representa:

Q

QLP Donde: 1: Q(t)= r 1t 1 2: Q(t)= (r 1 - r 2)t

3: Q(t)= -r 2t + Q*LP

r 1 = tasa de producción (reabastecimiento)M r 2 = tasa de demanda D (uso)

Siempre r 1 > r 2 2 Stock Almacenado 3

0 t1 t2 tc t

De acuerdo al modelo:

I) 11

LP Q

t r → 1

1

LP Q

r t

II) En el intervalo [0;t1]: hay producción y comercialización → Q(t)= (r 1 - r 2)t

En el intervalo [t1; tc]: sólo se comercializa → Q(t)= -r 2t + Q*LP

III) En el instante t=t1, gráficamente podemos observar que:

( 1)t M Q

Donde:

1 2 1r r t M

Reemplazando t1 por la expresión obtenida en el punto I), resulta que:


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1 21

LP Qr r r

M

1 2

1 LP

r r

r Q M

2

1

1 LP

r

r Q M

Expresión del stock máximo almacenado (M) para el modelo de lote de producción.

Por otra parte la demanda durante el tiempo t1 (tiempo en que se produce y se satisface lademanda r 2), es igual a:

1 2 1r t t →

1 2

1

Q

r r t

2.4.1. Optimización de los costos de inventarios.

Lo que se busca minimizar el costo total del lote de producción (CT):

2

1

12

LP

LP

Q D

Q

r

r CT Co Cc

Donde 2

1

12

LP Q r

r

es el inventario promedio por ciclo.

2.4.2. Relación entre el C.E.P. clásico sin agotamientos y el Lote deproducción. El factor de corrección.

El factor de corrección entre el CEP clásico y el lote de producción se lo denomina habitualmentecomo L y permite comparar ambos modelos, a saber:

2

1

1 L r

r


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L es siempre menor que uno (L < 1) y su inversa 1/L es mayor que uno (1/L > 1), de esta manera

cuando las expresiones del CEP clásico se multiplican por L su equivalente en el modelo de lote

de producción será menor que las del CEP clásico y mayor cuando se multiplique por 1/L.

Analicemos cómo quedarían nuestras relaciones cuando lo multiplicamos por el factor decorrección L ó 1/L

a.2 1* LP

CoD

Cc LQ → * * LP CEP Q Q

b. * 1* CEP C LP Q D Lt → * *C LP C CEP t t

c. 2

1

2 1* LP CoCcD r

r Ct → * * LP CEP Ct Ct

d. 2

1

1*

* LP

CEP

D

Q

r

r N → * * LP CEP N N

e. 2

1

21

CoD

Cc

r

r M → *CEP M Q

f. 2

1

1* LP

r

r M Q → * LP M Q

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