Luis Moncada.

Resumen de resolución de sistemas de ecuación lineal.

Definición:

Un sistema de ecuaciones l ineales es un conjunto de expresiones

algebraicas de la forma:

a11x1 + a1 2x2 + . . . .+a1 nxn = b1

a2 1 x 1 + a2 2x2 + . . . .+a2 nxn = b2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . .+amnxn = bm

x i son las incógnitas, (i = 1,2,. .. ,n).

a i j son los coeficientes, ( i = 1,2, . .. ,m) (j = 1,2,. . . ,n).

b i son los términos independientes, (i = 1,2,. .. ,m).

a i j y b i .

m, n ;

m > n, ó, m = n, ó, m < n.

Obsérvemos que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al

número de incógnitas. Cuando b i = 0 para todo i, el sistema se l lama

homogéneo.

Clasificación de sistemas de ecuaciones

Incompatible

No tiene solución.

Compatible

Tiene solución.

Compatible determinado

Solución única.

Compatible indeterminado

Inf initas soluciones.

Método gaussiano:

El método de Eliminación de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones

lineales (S.E.L.) en otro S.E.L. equivalente más sencillo de resolver (se puede resolver por

simple inspección). Cuando se habla de un sistema equivalente se refiere a un sistema que

tiene exactamente las mismas soluciones.

Las operaciones que se llevan a cabo para obtener el sistema equivalente se llaman

operaciones elementales.

Hay tres tipos de operaciones elementales:

I. Intercambio de dos ecuaciones del S.E.L.

II. Reemplazar una ecuación del S.E.L. por un múltiplo escalar de esta. (Se multiplica a

ambos lados de una ecuación por un número diferente de cero).

III. Reemplazo de una ecuación del S.E.L. por la suma de esta y un múltiplo escalar de

otra ecuación del S.E.L.

En el proceso de pasar de un sistema equivalente a otro, puede ahorrarse trabajo

escribiendo solamente los coeficientes de las variables y los términos constantes, que son

los únicos que cambian en el procedimiento. En el ejemplo anterior al sistema de

ecuaciones original lo podemos representar por medio del siguiente arreglo:

se llama matriz asociada al sistema y cada número de la matriz se llama componente,

también se llama matriz aumentada del sistema.

La matriz

se llama matriz de coeficientes del sistema

y la matriz

se llama la matriz (vector) de términos constantes del S.E.L.

En lugar de efectuar las operaciones en las ecuaciones del sistema, podemos obtener el

mismo resultado si los realizamos en las filas (o renglones) de la matriz aumentada del

S.E.L., y en lugar de hablar de ecuaciones se habla de filas. Como Eij , KEi, K¹0, KEi +

Ej denotan operaciones entre ecuaciones del sistema, denotaremos Fij , KFi, (K¹0), KFi +

Fj las operaciones respectivas en las filas de la matriz aumentada del sistema.

Por ejemplo, si realizamos la operación - 2 F1 + F2 en la matriz

obtendremos: