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Tabla decontenido

Páginas legales ............................. 3

Estándares grados 10 a 11 .......... 5

Así es el libro del alumno ............. 6

Así es el libro de actividades ..... 7

Unidad 1. Funciones ...................... 8

Sugerencias metodológicas y proyectos integradores ............ 9

Prueba ICFES .............................. 10

Unidad 2. Funciones trigonométricas ........................... 11

Sugerencias metodológicas y proyectos integradores .......... 12

Prueba ICFES .............................. 13

Unidad 3 Gráfi cas de las funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas .......... 14


Prueba ICFES .............................. 16

Unidad 4. Aplicación de las funciones trigonométricas ........................... 17


Prueba ICFES .............................. 19

Unidad 5. Identidades y ecuaciones trigonométricas ........................... 20


Prueba ICFES ..............................22

Unidad 6. Geometría analítica ........................................23


Prueba ICFES ............................. 25

Unidad 7. Estadística y probabilidades .......................... 26


Prueba ICFES .............................28

EL MOVIMIENTO PEDAGÓGICO DE LA ESCUELA NUEVA ................. 29

ACERCA DE LA PROGRAMACIÓN NEUROLINGÜÍSTICA .................30

Glosario básico de términos de evaluación educativa ........... 31

El libro Fórmula de Décimo grado, guía del educador para la Educación Básica ha sido elaborado según el plan de la Empresa Editorial y bajo su responsabilidad por las siguientes personas del Departamento de Investigación Educativa de EDITORIAL VO-LUNTAD S. A.

Autoría: Luis Daniel León BarreroLicenciado en Matemáticas

Edición: Víctor Hernando Ardila GutiérrezLicenciado en Matemáticas

Coordinación de las pruebas de campoAndrea Escobar ViláEspecialista en Psicología del Consumidor

Coordinación de equidad de género y adecuación a la diversidad culturalMiriam Cristy León Acosta

Coordinación de diagramaciónGina Andrea Navas Negret

Diseño gráfi co Diego Sánchez Cristancho

DiagramaciónGustavo Adolfo Forero Pinzón

IlustraciónEnrique Martínez Ferreira

DocumentaciónIngrid Alejandra Pineda Becerra

Diseño de carátulaGonzalo Ochoa Martínez

Dirección de arteJorge Alberto Osorio VillaEspecialista en Gerencia de [email protected]

Gerencia editorialCarlos William Gómez Rosero M. Sc

ISBN Tomo 978-958-02-2693-2ISBN Colección 978-958-02-2530-0© EDITORIAL VOLUNTAD S. A. 2009Derechos reservados. Es propiedad del Editor. Esta publicación no puede ser reproducida en todo ni en parte, ni archivada o trasmitida por ningún medio electrónico, mecánico, de graba-ción, de fotocopia, de microfi lmación o en otra forma, sin permiso previo del Editor. Depósito legalPrimera edición, 2009EDITORIAL VOLUNTAD S. A.Carrera 7a. No. 24-89 Piso 24Teléfono 2410444 - Fax 2410439Bogotá, D. C. - Colombia.www.voluntad.com.coSus comentarios comuníquelos al área de Matemá[email protected] en Colombia.Printed in Colombia.


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[ 3 ]

Fórmula como respuesta a los estándares básicos de competencias

Competencia matemática

Una noción amplia de competencia la señala como un conjunto de conocimientos, habilidades, actitudes, comprensiones y disposiciones cognitivas, socioafec-tivas y psicomotoras que se relacionan entre sí de manera apropiada para facilitar el desempeño fl exi-ble, efi caz y con sentido de una actividad en contextos relativamente nuevos y retadores. Esta noción supera la más usual y restringida que describe la competencia como saber hacer en contexto en tareas y situaciones distintas de aquellas a las cuales se aprendió a respon-der en el aula de clase.

Las competencias matemáticas no se alcanzan por ge-neración espontánea, sino que requieren de ambientes de aprendizaje enriquecidos por situaciones problema signifi cativas y comprensivas, que posibiliten avanzar a niveles de competencia más y más complejos.

En un sentido superior, la competencia no sólo implica lo conceptual: saber qué y saber por qué, sino lo procedi-mental que está más cercano a la acción y se relaciona con las técnicas y las estrategias y que puede identifi -carse como el saber cómo.

Toda esta concepción se enmarca dentro de la enseñan-za para la comprensión.

Los cinco procesos generales de la actividad matemática

Los cinco procesos generales que se contemplan en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas son: formu-lar y resolver problemas; modelar procesos y fenóme-nos de la realidad; comunicar; razonar; formular, com-parar y ejercitar procedimientos y algoritmos.

Dicha clasifi cación en cinco procesos generales tiene en cuenta que existen traslapes y relaciones e interac-ciones múltiples entre ellos.

Los cinco tipos de pensamiento matemático

Ser competente en las matemáticas requiere ser dies-tro, efi caz y efi ciente en el desarrollo de cada uno de los procesos generales, en los cuales cada estudiante pasa por distintos niveles de competencia. Además de

relacionarse con esos cinco procesos, ser competente en matemáticas se concreta de manera específi ca en el pensamiento lógico y el pensamiento matemático, el cual se subdivide en los cinco tipos de pensamiento propuestos en los Lineamientos Curriculares: el numé-rico, el espacial, el métrico o de medida, el aleatorio o probabilístico y el variacional.

• El pensamiento numérico y los sistemas numéricos

Hace énfasis en la comprensión del uso y de los signifi -cados de los números y de la numeración; la compren-sión del sentido y signifi cado de las operaciones y de las relaciones entre números, y el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación.

• El pensamiento espacial y los sistemas geométricos

El pensamiento espacial, se entiende como "... el con-junto de los procesos cognitivos mediante los cuales se construyen y se manipulan las representaciones menta-les de los objetos del espacio, las relaciones entre ellos, sus transformaciones, y sus diversas traducciones o re-presentaciones materiales"

• El pensamiento métrico y los sistemas métricos o de medidas

Los conceptos y procedimientos propios de este pensa-miento hacen referencia a la comprensión general que tiene una persona sobre las magnitudes y las cantida-des, su medición y el uso fl exible de los sistemas métri-cos o de medidas en diferentes situaciones.

• El pensamiento aleatorio y los sistemas de datos

Este tipo de pensamiento, llamado también probabilísti-co, ayuda a tomar decisiones en situaciones de incerti-dumbre, de azar, de riesgo o de ambigüedad por falta de información confi able, en las que no es posible predecir con seguridad lo que va a pasar.

Ayuda a buscar soluciones razonables a problemas en los que no hay una solución clara y segura.

• El pensamiento variacional y los sistemas algebrai-cos y analíticos

Tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identifi cación y la caracterización de la variación y el


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cambio en diferentes contextos, así como con su des-cripción, modelación y representación en distintos sis-temas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráfi cos o algebraicos.

Contextos

Hay al menos tres tipos o niveles de contexto: el contex-to inmediato o contexto de aula, creado por el espacio físico, por las normas explícitas o implícitas con las que se trabaja en clase y por la situación problema prepara-da por el docente; el contexto escolar o contexto insti-tucional, confi gurado por los escenarios de las distintas actividades diarias, la arquitectura escolar, las tradicio-nes y los saberes de los estudiantes, docentes emplea-dos administrativos y directivos, así como por el PEI, las normas de convivencia, el currículo explícito de las dis-tintas áreas curriculares y el llamado "currículo oculto" de la institución, y el contexto extraescolar o contexto sociocultural, conformado por todo lo que pasa fuera de la institución en el ambiente de la comunidad local, de la región, el país y el mundo.

Sobre la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación

La enseñanza de las matemáticas supone un conjunto de variados procesos mediante los cuales el docente planea, gestiona y propone situaciones de aprendizaje matemáti-co signifi cativo y comprensivo –y en particular situacio-nes problema– para sus alumnos y así permite que ellos desarrollen su actividad matemática e interactúen para reconstruir y validar en forma personal y colectiva el sa-ber matemático. A continuación se describen y analizan algunas maneras de dinamizar estas interacciones.

• Partir de situaciones de aprendizaje signifi cativo y comprensivo de las matemáticas.

• Diseñar procesos de aprendizaje mediados por esce-narios culturales y sociales.

• Vencer la estabilidad e inercia de las prácticas de la enseñanza.

• Aprovechar la variedad y efi cacia de los recursos di-dácticos.

• Refi nar los procesos de evaluación.

Los estándares se distribuyen en cinco conjuntos de grados (primero a tercero, cuarto a quinto, sexto a sépti-mo, octavo a noveno y décimo a undécimo).

El conjunto de estándares debe entenderse en términos de procesos de desarrollo de competencias de manera gradual e integrada. Los estándares identifi can niveles de avance en procesos graduales que, incluso, no son termi-nales en el conjunto de grados para el que se proponen.

La organización curricular de cada institución, en cohe-rencia con su PEI, debe buscar el desarrollo de un traba-

jo integrado en los distintos pensamientos, más que el progreso en cada uno de ellos independientemente de los demás.

Cómo se formula cada estándar

Los Estándares Básicos de Competencias Matemáticas que aparecen en cada una de las cinco columnas, se encabezan por el tipo de pensamiento respectivo y los sistemas asociados con él, y satisfacen la siguiente es-tructura:

La estructura de los estándares básicos

Conceptos y procedimientos matemáticos

Procesos generales Contextos

Los estándares para cada pensamiento se basan en la interacción entre la faceta práctica y la formal de las matemáticas y entre el conocimiento conceptual y el procedimental. Esta propuesta requiere reconocer que si bien el aprendizaje de las matemáticas se inicia en las

matemáticas informales de los estudiantes en contextos del mundo real y cotidiano escolar y extraescolar, se re-quiere entretejer los hilos de aprendizaje para construir contextos y situaciones que permitan avanzar hacia las matemáticas formales.


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[ 5 ]

Pensamiento numérico

y sistemas numéricos

Pensamiento

espacial y sistemas

geométricos

Pensamiento

métrico y siste-

mas de medidas

Pensamiento

aleatorio y sistemas de

datos

Pensamiento varia-

cional y sistemas alge-

braicos y analíticos

* Analizo representaciones

decimales de los números

reales para diferenciar entre

racionales e irracionales.

• Reconozco la densidad e

incompletitud de los números

racionales a través de méto-

dos numéricos, geométricos y

algebraicos.

Comparo y contrasto las

propiedades de los números

(naturales, enteros, racionales

y reales) y las de sus relaciones

y operaciones para construir,

manejar y utilizar apropiada-

mente los distintos sistemas

numéricos.

• Utilizo argumentos de la teo-

ría de números para justifi car

relaciones que involucran

números naturales.

• Establezco relaciones y

diferencias entre diferentes

notaciones de números reales

para decidir sobre su uso en

una situación dada.

• Identifi co en forma

visual, gráfi ca y

algebraica algunas

propiedades de

las curvas que se

observan en los

bordes obtenidos

por cortes longitu-

dinales, diagonales

y transversales en

un cilindro y en un

cono.

• Identifi co caracterís-

ticas de localización

de objetos geomé-

tricos en sistemas

de representación

cartesiana y otros

(polares, cilíndricos

y esféricos) y en par-

ticular de las curvas

y fi guras cónicas.

• Resuelvo problemas

en los que se usen

las propiedades

geométricas de

fi guras cónicas por

medio de transfor-

maciones algebrai-

cas de esas fi guras.

• Uso argumentos

geométricos para

resolver y formular

problemas en con-

textos matemáticos

y en otras ciencias.

• Describo y modelo

fenómenos periódi-

cos del mundo real

usando relaciones y

funciones trigono-

métricas.

• Reconozco y

describo curvas y o

lugares geométricos.

• Diseño estrate-

gias para abordar

situaciones de

medición que

requieran grados

de precisión

específi cos.

• Resuelvo y for-

mulo problemas

que involucren

magnitudes

cuyos valores

medios se suelen

defi nir indirec-

tamente como

razones entre

valores de otras

magnitudes,

como la velo-

cidad media, la

aceleración me-

dia y la densidad

media.

• Justifi co resulta-

dos obtenidos

mediante proce-

sos de aproxi-

mación sucesiva,

rangos de varia-

ción y límites en

situaciones de

medición.

• Interpreto y comparo re-

sultados de estudios con

información estadística

provenientes de medios

de comunicación.

• Justifi co o refuto infe-

rencias basadas en razo-

namientos estadísticos

a partir de resultados de

estudios publicados en

los medios o diseñados

en el ámbito escolar.

• Diseño experimentos

aleatorios (de las ciencias

físicas, naturales o

sociales) para estudiar un

problema o pregunta.

• Diseño tendencias que se

observan en conjuntos

de variables relacionadas.

• Interpreto nociones

básicas relacionadas con

el manejo de informa-

ción como población,

muestra, variable

aleatoria, distribución de

frecuencias, parámetros

y estadígrafos.

• Uso comprensivamente

algunas medidas de cen-

tralización, localización,

dispersión y correlación

(percentiles, cuartiles,

centralidad, distancia,

rango, varianza, cova-

rianza y normalidad).

• Interpreto conceptos de

probabilidad condicio-

nal e independencia de

eventos.

• Resuelvo y planteo

problemas usando con-

ceptos básicos de conteo

y probabilidad (combina-

ciones, permutaciones,

espacio muestral, mues-

reo aleatorio, muestreo

con remplazo).

• Propongo inferencias

a partir del estudio de

muestras probabilísticas.

• Utilizo las técnicas

de aproximación en

procesos infi nitos

numéricos.

• Interpreto la noción de

derivada como razón

de cambio y como

valor de la pendiente

de la tangente a una

curva y desarrollo

métodos para hallar las

derivadas de algunas

funciones básicas en

contextos matemáticos

y no matemáticos.

• Analizo las relaciones y

propiedades entre las

expresiones algebrai-

cas y las gráfi cas de

funciones polinómicas

y racionales y de sus

derivadas.

• Modelo situaciones de

variación periódica con

funciones trigonomé-

tricas e interpreto y

utilizo sus derivadas.

Tabla de estándares grados 10 a 11


[ 6 ]

Así es el libro del alumno

Marco histórico En esta sección se señalan algunos de los aconteci-mientos ocurridos en forma contemporánea con el desarrollo del tema que es el motivo de estudio en la unidad y que infl uenciaron o acompa-ñaron su evolución.

El estudiante se da cuenta que cada temática abordada ha evo-lucionado y evoluciona de manera permanente en el tiempo.

Aplicaciones reales Son hechos o acciones en los que se usan de manera permanente los temas que se abordan en la unidad. Buscan que el estudiante entienda la aplicabilidad de las mate-máticas en su entorno próximo.

Temáticas Giran en torno al desarrollo de los conceptos bási-cos de la unidad. Comienzan con la formulación de un logro, una pregunta o actividad diagnóstica a la que se le denomina COMPARTE LO QUE SABES y continúa con la formalización de las ideas y conceptos y la inclusión de ejemplos.

Práctica en contexto Son las actividades propias de la temática. A cada una de ellas o conjunto de ellas se les identifi ca con una competencia particular.

Al pie de página aparecen las competencias y los desempeños esperados con el desarrollo de las ac-tividades y problemas.

Tecnología En esta sección se entiende la Tecno-logía como un conjunto de saberes que permiten fabricar objetos y modifi car el medio ambiente para satisfacer las necesidades y deseos huma-nos. Fórmula orienta en esta sección hacia la Educación Tecnológica como disciplina escolar abocada a la familiarización con las tecnologías más importantes.

Resumen y refuerzo Aquí se muestran las relaciones que existen entre los con-ceptos abordados a lo largo de la unidad y se proponen algunas actividades de apo-yo y seguimiento.

Pruebas de Mejoramiento Apuntan hacia la evaluación de los procesos y desempeños de los estudiantes. Estas pruebas no solamente se abordan desde la perspectiva nacional (ICFES) sino que tienen en cuenta marcos más universales (Pruebas TIMSS y PISA).

Otras secciones

Respuestas Orientan a los estudiantes y les permite reconocer sus avances y difi cultades.

Glosario Listado de términos comunes y usuales en el desarrollo de las temáticas en todo el texto.

Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del texto o sugeridos para la ampliación de las temáticas.


[ 7 ]

El libro de actividades hace su énfasis en el desarrollo de un pensamiento orientado hacia la solución de problemas.

Este libro de actividades acompaña al libro de alumno unidad por unidad y tema por tema para que los profesores encuentren en él un material de permanente uso.

Cada unidad del libro de actividades comienza con un preámbulo al tema de estudio y unas actividades introductorias que sirven como diagnóstico.

El desarrollo de las temáticas se orientan de la misma forma que el libro de alumno: se parte con la formulación de un logro y de una actividad de inicio: COMPARTE LO QUE SABES.

Práctica en contexto

Aquí se proponen las actividades y problemas correspondientes a las temáticas de cada uni-dad del manual.

Competencias

Tanto en la cabecera del enunciado de las actividades como al pie de las páginas, se señalan las competencias particulares o procesos que se busca desarrollar con cada actividad y los desem-peños o indicadores de logros enlazados con alguna de las competencias generales: propositiva, argumentativa o interpretativa.

Pruebas de mejoramiento

Buscan evidenciar los logros de los estudiantes a partir del desarrollo de pruebas nacionales e inter-nacionales (ICFES, TIMSS, PISA).

Calendario matemático

Problemas diarios enca-minados a desarrollar los procesos de pensamiento que cita el documento de Estándares Básicos por

competencias.

Otras secciones

Respuestas Orientan a los estudiantes y les permite reconocer sus avances y difi culta-des.

Glosario Listado de términos comunes y usuales en el desarrollo de las temáticas en todo el texto.

Así es el libro de actividades

Bibliografía Recursos utilizados en la elaboración del texto o sugeridos para la ampliación de las temáticas.


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Unidad 1 Funciones

Planeador Unidad 1Grado Décimo Período ........................ Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................

Contenidos Estándares Recursos propuestosMetodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Fun

cio

nes

• Identifi car el

producto carte-

siano como una

forma de operar

conjuntos.

• Construir

relaciones entre

conjuntos a par-

tir del producto

cartesiano entre

ellos.

• Reconocer los

diferentes tipos

de relaciones

que existen en

un conjunto.

• Identifi car el

dominio y rango

de una relación.

• Identifi car las

funciones como

relaciones parti-

culares.

• Relacionar las

defi niciones so-

bre inyectividad,

sobreyectividad

y biyección con

las diferentes

representacio-

nes funcionales.

• Identifi car las

propiedades

que defi nen

funciones

pares, impares

y periódicas y

relacionarlas

con sus repre-

sentaciones

cartesianas.

• Analizar las

funciones

exponencial y

logarítmica e

identifi car sus

propiedades.

• Plano cartesiano.

• Modelos físicos que

obedezcan a funciones

tales como: movimiento

de cuerpos, de cohetes,

caída libre que contex-

tualiza el concepto.

• Invite a sus estudiantes

a observar en el plano

cartesiano el compor-

tamiento de algunos

hechos relacionados

con las funciones como:

movimientos uniformes

y acelerados, péndulo,

óptica, de manera simu-

lada en computador en:

http://www.walter-fendt.

de/ph11s/index.html

• Para grafi car funciones

de manera interactiva

visite:

http://gdf2004.tripod.

com/instalador.htm

• Recurrir al pro-

ducto cartesiano

hace práctico el

manejo concep-

tual de las nocio-

nes de relación y

función; sin em-

bargo, puede ser

importante para

los estudiantes

la posibilidad de

expresarlos en sus

propias palabras.

• La inyectividad de

una función posee

un criterio visual

muy importante;

sin embargo,

no olvide que la

defi nición formal

es una gran herra-

mienta de la que

se dispone para

verifi car si una

función es uno a

uno o no.

• Presente situacio-

nes reales donde

se vea el uso de

las funciones.

Los modelos

de crecimiento

problacional son

un buen ejemplo

de funciones

exponenciales.

• Haga uso de

recursos tecnoló-

gicos para evitar

los tabulados en

la grafi cación de

funciones y para

permitir espacios

en los que se estu-

dien propiedades

de las funciones

que es un tópico

más importante.

Procedimientos

• Calcula productos

cartesianos, constru-

ye relaciones entre

conjuntos y revierte

el proceso.

Razonamiento

• Analiza relaciones y

las clasifi ca.

• Relaciona las distin-

tas representaciones

de las relaciones con

el concepto que las

identifi ca.

• Identifi ca funciones

a partir de la defi ni-

ción.

• Establece relaciones

entre las representa-

ciones de funciones y

las justifi ca.

Comunicación

• Explica las diferencias

y semejanzas entre

relaciones y funcio-

nes.

• Establece las

características de

las funciones pares,

impares y periódicas

y las justifi ca.

Modelación

• Describe situaciones

que pueden asociarse

con una función

matemática.

• Reevalúa los con-

ceptos y formula con-

jeturas sobre ellos.

Solución de proble-mas

• Usa el concepto

de funciones para

abordar problemas

cotidianos como el

cálculo del valor de

un servicio público

dependiendo de su

uso.

Ciencias naturales

• Tomar una lista de

fórmulas físicas,

analizarlas e iden-

tifi car si en ellas

existen funciones

con más de una

variable; estudiar

las condiciones

físicas bajo las cua-

les dichas fórmulas

se pueden consi-

derar funciones.

Lengua castellana

• Realizar un glosa-

rio de la unidad

para consultar la

etimología de las

palabras.

Informática

• Investigar la

manera en la que

los lenguajes de

programación

emplean funciones

o generan ambien-

tes en donde el

usuario las crea.

También se puede

realizar en progra-

mas como Excel o

Derive.

• Investigar acerca

de programas de

simulaciones en

Internet.


➔

[ 9 ]

Sugerencias metodológicas y proyectos integradores

Sugerencias metodológicas

A. Manejo de ideas previas 1. Pida a sus estudiantes que busquen en el dicciona-

rio el signifi cado de la palabra relación e indique si puede aceptarse como una defi nición matemática; también resalte las características importantes que valdría la pena conservar y trate de conducir así la defi nición formal.

2. Señale relaciones familiares e indique la posibilidad de que algunas sean establecidas en ambas vías, como “ser hermano”, “ser primo” y aquellas que no lo son, como “ser padre”, “ser abuelo”.

3. Tomando en cuenta las relaciones “ser hermano” y “ser hijo de”, señalar que existen algunas relaciones con más de una asignación y otras con sólo una.

4. Utilice gráfi cas de funciones para pedir a los estu-diantes que, luego de rotar el plano cartesiano, ana-licen si sus características de dominio y rango se conservan.

5. Dada una función, pida a los estudiantes que deter-minen si un punto dado por usted, pertenece o no a la gráfi ca.

6. Indague acerca de si un punto está o no en el dominio o en el rango de una función.

B. Formalización de los conceptos 1. Recurrir al producto cartesiano hace práctico el

manejo conceptual de las nociones de relación y función; sin embargo, es importante para los estu-diantes tener la posibilidad de expresar lo que saben o entienden de uno u otro concepto en sus propias palabras.

2. La inyectividad de una función puede evidenciarse a partir de un criterio visual muy importante; descríba-lo y haga que los estudiantes lo usen cada vez que se requiera.

3. Luego de establecer las diferentes clases de funcio-nes, pida que los estudiantes establezcan semejan-zas y diferencias entre ellas; y de haberlas, también hable de las inclusiones que existen entre ellas.

4. Pida a sus estudiantes que clasifi quen una función a partir de su gráfi ca.

5. Permita que sus estudiantes tracen bosquejos de gráfi cas de funciones a partir de algunos de sus pun-tos y haga preguntas que relacionen los dos tipos de representación.

C. Identifi cación de difi cultades

Algunos estudiantes pueden tener difi cultades para:

1. establecer relaciones entre las distintas representa-ciones de las funciones.

Alternativa

Realice abundantes ejercicios en los que se requiera del paso de una representación a otra (cartesiana, gráfi ca, literal, sagital) y siempre que pueda, diríjase a la noción de asignación.

2. interpretar de manera algebraica la modelación de situaciones a partir de funciones.

Alternativa

Procure trabajar con ejercicios sencillos de asigna-ción, como “le asigna el doble…”, “le asigna su sala-rio más una comisión de…”, para que los estudiantes vean que las funciones permiten matematizar algu-nos hechos de la realidad.

3. identifi car una función inyectiva.

Alternativa

Al momento de señalar este concepto recurra a la representación sagital, luego al plano cartesiano y no olvide usar las calculadoras grafi cadoras o simu-ladores si los tiene a mano.

Proyectos integradores

Ciencias naturales

Descripción de fenómenos físicos mediante modelos funcionales, tales como movimientos en el plano, tiros parabólicos, caída libre, movimientos pendulares, etc.

Lengua castellana

Realizar un glosario de la unidad, consultar la etimolo-gía de las palabras, hacer una descripción semántica e identifi car si existe alguna relación con las nociones matemáticas aprendidas.

Informática

Investigar la manera en la que los lenguajes de pro-gramación emplean funciones o generan ambientes en donde el usuario las crea. También se puede realizar en programas como Excel o Derive.


x

y

10-10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 000

-10 000

20 000

30 000

40 000

50 000

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70 000

80 000

90 000

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130 000

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150 000

160 000

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200 000

x

y

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190 000

200 000

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Prueba ICFESNombre: ................................................ Curso: ..............................

Acueducto y alcantarillado de Bogotá

1. Por la resolución de gerencia No. 1240 del 28 de diciembre de 2006 de la empresa de acueducto y alcantarillado de Bogotá, en diciembre de 2007 se aplicaron, para las residencias de estrato 2, las si-guientes tarifas: Cargo fi jo $ 6 895, valor unitario del m3 dentro del consumo básico (de 0 a 40 m3 ) $ 1 171, valor unitario del m3 en consumo superior al básico $ 1 951. Un bosquejo aproximado que muestra la situación es:

a.

b.

c.

d.

2. La función que describe las tarifas es:

a. f xx xx

( ) =+ < ≤+

6 895 1171 0 406 895 1 951

si si x >

40

b. f xx x( ) =

+ < ≤+

6 895 1171 0 4053 735 1

si 951 40x xsi >

c. f xx xx

( ) =+ ≤ ≤+

6 895 1171 0 406 895 1 951

si si x >

40

d. f xx x( ) =

+ ≤ ≤+

6 895 1171 0 4053 735 1

si 951 40x xsi >

3. A la casa de Pedro llegó el recibo del agua con un cobro superior al esperado. Revisando la factura, se encontró que las tarifas por m3 eran mayores a las que tenía asignadas según su estrato, pero por difi cultades en la impresión no era legible el con-sumo. Se puede decir que Pedro

a. no puede calcular el valor que corresponde a su consumo.

b. al cobro que le llegó, debe restarle el cargo fi jo y dividirlo entre la tarifa básica que aparece en el recibo; así sabrá su consumo y luego podrá utilizar las tarifas correctas.

c. al cobro que le llegó, debe restarle el cargo fi jo y dividirlo entre la tarifa por consumo superior al básico que aparece en el recibo; así sabrá su con-sumo y luego podrá utilizar las tarifas correctas.

d. debe encontrar la nueva función con las tarifas que aparecen en el recibo; así conocerá el rango de su consumo y podrá decidir entre emplear el procedimiento b. o el c.

4. Por la misma resolución, las tarifas para alcantari-llado fueron: cargo fi jo $ 3 513, valor unitario del m3 dentro del consumo básico $ 717, valor unitario del m3 en consumo superior al básico $ 1 196. De esta manera, una persona cuyo pago por acueducto fue de $ 104 445, debe pagar por alcantarillado:

a. $ 39 363 c. $ 67 540

b. $ 63 313 d. $ 103 146


[ 11 ]

Unidad 2 Funciones trigonométricas

Planeador Unidad 2

Grado Décimo Período ........................ Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................


propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Fu

nci

on

es

trig

on

om

étr

ica

s

• Conocer y relacionar

los distintos sistemas de

medida de ángulos.

• Aplicar la relación entre

un ángulo y las coorde-

nadas de los puntos de

su lado terminal.

• Deducir los valores de

las funciones trigono-

métricas de ángulos

cuadrantales.

• Relacionar los triángu-

los rectángulos con la

defi nición cartesiana de


métricas.

• Relacionar los valores

de las funciones trigo-

nométricas con los de

sus cofunciones.

• Emplear los conceptos

estudiados en situacio-

nes reales.

• Transportador y

compás.

• Geoplano o mallado

en forma de círculo

hecho con puntillas

para representar

ángulos y establecer

relaciones entre las

aberturas y las medi-

das de éstos.

• Electrocardiogra-

mas donde se vea la

periodicidad de una

función.

• Lecturas acerca de

fenómenos asociados

a movimientos

ondulatorios para

contextualizar los

contenidos. Para ello

visite:

Circuitos: http://www.

bcm.cl/Miscelaneos

/articulos/articulo6.

html

Sobre procesamiento

de imágenes:

http://es.shvoong.

com/books/115747-

procesamiento-ima-

genes/

Sobre música y

ondas:

http://ciberhabitat.

gob.mx/conciertos/

musica_informatica/

• Dé prioridad a

los ejercicios de

conversión de

unidades, pero diri-

giéndolos, más que

a mecanizar el algo-

ritmo, a interiorizar

las relaciones entre

grados y radianes.

• Use calculadoras

grafi cadoras para

evidenciar las

características de

las funciones trigo-

nométricas cuando

se modifi can sus

parámetros: ampli-

tud, fase.

• Proponga a sus

estudiantes que

comparen gráfi cas

de funciones

trigonométricas,

haciendo que las

dibujen sobre el

mismo plano.

• Invite a sus estu-

diantes a que esta-

blezcan relaciones

entre los valores

de las funciones

trigonométricas

para ángulos

complementarios y

cuadrantales.

• Proponga

problemas cuya

descripción gráfi ca

corresponda a un

modelo de resolu-

ción de triángulos

rectángulos.

Razonamiento


entre las diferentes

formas de medir un

ángulo.

• Infi ere propiedades

de las funciones

periódicas.

Procedimientos

• Resuelve triángu-

los rectángulos

aplicando las razones

trigonométricas.

• Hace uso de las rela-

ciones entre ángulos

complementarios y

las aplica en el cálcu-

lo de sus funciones

trigonométricas.

• Identifi ca los ángulos

de referencia y los

aplica para calcular

valores trigonométri-

cos.

Modelación

• Describe situaciones

reales mediante

modelos trigonomé-

tricos funcionales.

Solución de problemas

• Aplica sus cono-

cimientos sobre

razones y funciones

trigonométricas para

resolver problemas.

Comunicación

• Describe una función

a partir de sus ele-

mentos. Los nombra

de manera adecuada.

Educación física

• La importancia

de los ángulos

en los deportes:

ángulo al que se

logra el mayor

alcance, ángulos

de tiro, etc.

Ciencias sociales

• Los ángulos y

los movimientos

planetarios.

• Latitud y longi-

tud.

Ciencias natura-

les

• Movimientos

ondulatorios: las

olas.


➔

[ 12 ]



A. Manejo de ideas previas

1. Haga preguntas como: ¿qué signifi ca una medida negativa?, en un ángulo, ¿cómo se decide cuál es el lado inicial?, ¿depende la medida de un ángulo de su abertura o de la longitud de sus lados?

2. Pídales recordar la clasifi cación angular que ya co-nocen.

3. Pregunte acerca de la relación entre un ángulo sub-tendido por una cuerda.

4. Sobre triángulos rectángulos semejantes, pida a los estudiantes que hallen todas las relaciones que exis-ten entre sus lados y que las comparen. Luego haga preguntas como: ¿son iguales las razones encontra-das? ¿Dependen los valores que encontraron de los ángulos del triángulo?

5. Ubique puntos en el plano cartesiano y pida a sus estudiantes que identifi quen el cuadrante al que per-tenecen y que encuentren las coordenadas de los puntos simétricos con éste.

6. Dado un triángulo rectángulo de hipotenusa una uni-dad, pida a sus estudiantes que determinen las razo-nes entre los catetos e hipotenusa.

7. Pregunte acerca de los conceptos de semejanza y congruencia triangular y los criterios que conocen.

B. Formalización de los conceptos

1. Para defi nir las razones trigonométricas de un ángu-lo A, parta de un triángulo rectángulo arbitrario que contenga a este ángulo. Luego, extienda el concepto al de función.

2. Use recursos como http://w3.cnice.mec.es/Descar-tes/Bach_CNST_1/Funciones_trigonometricas/Fun-cion_seno.htm para entender de manera interactiva el concepto de razón trigonométrica y función trigo-nométrica.

C. Práctica

1. Busque que los estudiantes establezcan la relación entre los grados y los radianes a la hora de medir án-gulos.

2. Use las gráfi cas de las funciones trigonométricas para reconocer las propiedades y características de cada una. Hable del periodo de éstas, de su amplitud, de su rango y dominio, etc.

3. Haga énfasis en que el tamaño aparente de un objeto depende no sólo de su tamaño real sino del ángulo que subtiende a los ojos que lo ven.

4. Permita el uso de la calculadora científi ca en al aula de clase para agilizar cálculos, buscar regularidades numéricas asociadas a las funciones trigonométricas y verifi car resultados.

5. Pida a los estudiantes que determinen qué ángulos tienen el mismo valor para las funciones trigonomé-tricas, salvo tal vez el signo.

6. Proponga problemas que involucren la latitud y longi-tud a la que se hallan algunas ciudades para deducir hechos como que a una latitud L, la velocidad de ro-tación de la Tierra es 1 670 cos L.

D. Identifi cación de difi cultades Algunos estudiantes pueden tener problemas para: 1. establecer la diferencia entre las unidades para me-

dir ángulos. Alternativa

Dar la medida de los ángulos como radianes y en gra-dos sexagesimales y centesimales.

2. establecer la diferencia entre razón y función. Alternativa

Pida a los estudiantes que calculen las razones trigo-nométricas para un ángulo y después, el valor de la función trigonométrica que corresponde a un grupo de ángulos.


Educación físicaPida a sus estudiantes que pregunten a sus docentes de educación física sobre la importancia de los ángulos en deportes como el fútbol o el baloncesto.

Ciencias naturalesLas estructuras moleculares distribuyen sus átomos con ciertos ángulos; pida a sus estudiantes que investiguen las razones para estas distribuciones.


[ 13 ]


Las teclas que no funcionan son la del sen y la del dígito 3. De acuerdo con esa información contesta las pregun-tas 1 a 3.

1. Si Mauricio debe encontrar el valor exacto de sen 16° , puede calcular:

a. cos 164°

b. cos 16° y restarlo de 90°

c. cos 16° y restarlo de π2

d. cos 74°

2. Para encontrar el valor de cos 134° , Mauricio debe calcular:

a. cos cos 129 5° + °

b. cos 46°

c. 1 46− °cos

d. − °cos 46

3. Uno de los ejercicios pide hallar el valor exacto de sen 36° . En ese caso, Mauricio debe calcular:

a. − °cos 144

b. sen 756°

c. cos 54°

d. − °cos 54

4. Juan debe determinar el valor exacto de csc 125°. La posibilidad que no arroja el valor correcto es:

a. 1 35÷ °cos

b. 1 125÷ °sen

c. − ÷ °1 145cos

d. 1 55÷ °cos

5. Las funciones trigonométricas son de naturaleza periódica, de modo que:

a. sen cos x x+( ) =π

b. tan cot x x+( ) =π

c. tan tan x x+( ) =π

d. cos sen x x+( ) =2π

6. Sobre las funciones y t= ( )3 2 sen π y

y t= −

3 2

2 cos π π puede decirse que:

a. son equivalentes porque tienen la misma ampli-tud.

b. son diferentes porque las dos funciones tienen periodos distintos.

c. diferentes porque la segunda está desfasada π2

con respecto a la primera.

d. equivalentes porque sólo hay un desfase de π2

de una con respecto a la otra.

Calculadoras averiadas

Para realizar su tarea de trigonometría Mauricio cuenta con una calculadora que, por una accidental caída, pierde la funcionalidad de algunas teclas.


[ 14 ]

Planeador Unidad 3

Grado Décimo Período ................................ Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................

Contenidos EstándaresRecursos

propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Grá

fi ca

s d

e la

s fu

nci

on

es t

rigo

no

mét

rica

s y

fun

cio

nes

tri

gom

étri

cas

inve

rsas

• Relacionar, a partir del

círculo unitario el do-

minio de las funciones

trigonométricas.

• Identifi car las líneas

trigonométricas sobre

un círculo unitario.

• Grafi car las funciones

trigonométricas sobre

el plano y descubrir las

características de cada

una.

• Identifi car los elemen-

tos que determinan

variaciones en una

gráfi ca senoidal y

emplearlos en la

elaboración de nuevas

gráfi cas.

• Encontrar la inversa de


métricas haciendo las

restricciones necesa-

rias para ello.

• Identifi car las propie-

dades de las funciones

trigonométricas

inversas.

• Reconocer el uso de las

funciones trigonomé-

tricas y sus inversas.

Papel milimetrado.

• Programas como

derive y Matlab.

• Programas de

grafi cación como el

Cabri, derive o simu-

ladores gratuitos en

Internet.

Para descargar

software gratuito:

http://math.exeter.

edu/rparris/winplot.

html

Más información

acerca de funciones

en:

http://soko.com.

ar/matematica.htm

Applets gratuitos

en Internet para

grafi car funciones

inversas en:

http://descartes.

cnice.mec.es/mate-

riales_didacticos/

functrigoneinver-

sas5_d3/index.htm

• Como primera

aproximación a

las gráfi cas, se

pueden hacer

tabulados, pero

para enfatizar

en lo realmente

importante,

haga uso de

la calculadora

grafi cadora o

de software

gratuito como

los que se

sugieren en los

recursos.

• Trabaje ini-

cialmente con

las gráfi cas de

funciones sen-

cillas para que

los estudiantes

las comparen

con sus inversas

en el mismo

plano e infi eran

conclusiones

válidas y aplica-

bles a cualquier

tipo de gráfi ca.

• Proponga

ejercicios en

los que se use

la calculadora

para hallar

valores de

las funciones

cotangente,

secante y cose-

cante.

• Haga dinámica

la construcción

de las funciones

inversas

mediante

recursos como

los sugeridos

en recursos

propuestos.

Comunicación

• Usa el círculo unita-

rio como base para

construir las funciones

trigonométricas al rela-

cionar la medida de los

segmentos correspon-

dientes a cada una con

los valores de algunas

funciones trigonométri-

cas.

• Relaciona información

gráfi ca con información

analítica.

Razonamiento

• Identifi ca las caracte-

rísticas de una función

a partir de su expresión

analítica y es capaz de

hacer bosquejos senci-

llos.

• Entiende las restriccio-

nes que deben hacerse

para poder conseguir las

inversas de las funciones

trigonométricas.

Procedimientos

• Usa diversas herramien-

tas a la hora de trazar

las gráfi cas de las fun-

ciones trigonométricas

y sus inversas.

Solución de proble-mas/ Modelación

• Emplea el análisis de

funciones senoidales en

algunas aplicaciones.

Ciencias naturales

• Fenómenos físicos

asociados con

ondas (por ejemplo

la luz o el sonido).

Invite a que

expongan cómo

inciden los cambios

en la amplitud, el

periodo y el desfase

de las ondas en

la percepción de

dichos fenómenos.

Ciencias sociales

• Cómo un sismó-

grafo registra los

terremotos: las

gráfi cas que genera.

• Acciones a seguir

en caso de un

sismo.

Música

• El sonido como un

fenómeno ondula-

torio.

• Sobre este particu-

lar puede consultar:

http://tecnicaau-

diovisual.kinoki.

org/sonido/fi sica.

htm

Unidad 3 Gráfi cas de las funciones trigonométricas y funciones trigométricas inversas


➔

[ 15 ]



1. Pregunte a sus estudiantes acerca de lo qué es una función.

2. Indague acerca de lo que conocen sobre ondas como las acústicas, sobre representaciones como los electrocardiogramas, los trazados generados por los sismógrafos, las olas en el mar, etc., que pueden modelizarse mediante funciones trigono-métricas.

3. Pregunte acerca de las técnicas de grafi cación que conocen e indaguen acerca de lo que opinan sobre cada una. Tal vez algunos de los estudiantes ya conozcan herramientas tecnológicas para ha-cer gráfi cas.

4. Pida a sus estudiantes que hagan diagramas sagi-tales de funciones inyectivas y que luego inviertan el sentido de las fl echas. Haga preguntas como: “¿lo que queda es una función? ¿Cuál es su rango? ¿Cuál es su dominio?”


1. La gráfi ca de una función le permitirá identifi car algunas características como dominio, rango, pe-riodo, asíntotas; no olvide que siempre deben estar acompañadas por la expresión analítica corres-pondiente.

2. Refi érase a la manera en la que el número ω afec-ta el periodo de una función sinusoidal: si está en-tre cero y uno, aumenta el periodo; si es mayor que uno, achica el periodo, así que se repite más de una vez en el intervalo 0 2, π ) . Esto será útil en la solución de ecuaciones trigonométricas.

3. Haga énfasis en el cambio de papeles entre dominio y rango para el cálculo de una función inversa; esto facilitará la comprensión de tales funciones.

4. Proponga analizar la gráfi ca de una función una vez se hayan modifi cado algunos de sus paráme-tros. Luego, sin la ayuda de la gráfi ca, modifi que la ecuación de una función y cambie sus pará-metros. Pregunte a los estudiantes cómo será su gráfi ca.

C. Práctica

1. Analice funciones sinusoidales a partir de diversas representaciones; procure emplear varias para que los estudiantes las reconozcan y las asocien, a la vez que puedan describir otras funciones a partir de su descripción analítica o viceversa.

2. La grafi cación de una función y su inversa en el mismo plano cartesiano, además de avanzar en lo que se hará para las funciones trigonométricas, permitirá afi anzar el concepto de intercambio de papeles del dominio y del rango.

3. Proponga ejercicios, donde sea necesario usar la calculadora, para hallar valores en los que se invo-lucren las funciones cotangente, secante y cose-cante o sus inversas. Indique qué concepto indica cada una de las teclas de la calculadora cuando se haga uso de ella.

4. En las operaciones con funciones trigonométricas inversas, resalte la necesidad de identifi car el cua-drante de los ángulos; esto será importante para solucionar ejercicios con expresiones algebraicas y para hacer demostraciones de igualdades.

D. Identifi cación de difi cultades

1. Construir las inversas de las funciones trigonomé-tricas suele plantear difi cultades al alumnado dado que no son funciones inyectivas.

Alternativa

En esta unidad tratamos este problema haciendo que se visualice la situación y se comprenda la ne-cesidad de imponer ciertas restricciones.

2. Confundir entre el signo del ángulo de desfase y el sentido en el que se desplaza la gráfi ca.

Alternativa

Dibuje un plano cartesiano en el tablero y utilice una gráfi ca hecha en un acetato; esto le permitirá ir tomando valores adecuados y mostrar el sentido del desplazamiento.



1

-1

-2

-3

2

3

y

x

−4 π

6 −6 π

6 −2 π

62 π6

4 π6

6 π6

1

-1

-2

-3

2

3

y

x

−8 π

6 −4 π

64 π6

8 π6

−12 π6

12 π6

1

-1

-2

-3

2

3

y

x

−4 π

6 −6 π

6 −2 π

6 2 π6

4 π6

6 π6

1

-1

-2

-3

2

3y

x

−8 π

6 −4 π

6 4 π6

8 π6

−12 π6

12 π6

[ 16 ]


1. En las gráfi cas presentadas, se observa un perio-do de 2π en:

a. la gráfi ca B.

b. la gráfi ca C.

c. la gráfi ca D.

d. las gráfi cas B y C.

2. Si la función patrón de la gráfi ca B es coseno, un posible valor para el desfase ϕ es:

a. 512π

b. − 56π

c. 56π

d. − 512π

3. Por lo que se observa en las escalas de las gráfi -cas B y C y en su forma, es correcto afi rmar que:

a. el periodo de la función C es el doble del periodo de la función B.

b. el periodo de la función C es la mitad del periodo de la función B.

c. el ángulo de desfase es el mismo para ambas fun-ciones.

d. no se puede concluir nada sobre sus periodos y desfases porque no se conocen las expresiones analíticas de las funciones consideradas como patrones.

4. Sobre la gráfi ca A no es correcto concluir que:

a. es la de menor periodo entre las que se encuen-tran allí.

b. es la de mayor periodo entre las que se encuen-tran allí.

c. se puede describir a partir de la función patrón coseno sin considerar ningún desplazamiento ho-rizontal.

d. un posible valor para ϕ es − π2

.

Observa las gráfi cas y responde las siguientes preguntas.

A.

B.

C.

D.


[ 17 ]

Unidad 4 Aplicación de las funciones trigonométricas

Planeador unidad 4Grado Décimo Período ............................. Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................


propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Ap

lic

acio

ne

s d

e l

as

fun

ció

n t

rig

on

om

étr

ica

s

• Modelar situaciones

con la ayuda de

triángulos rectángulos

y resolverlas.

• Aplicar la ley del

seno en la solución

de situaciones que

involucran triángulos

no rectángulos e iden-

tifi car cuándo tienen

más de una solución o

no tienen alguna.

• Aplicar la ley del

coseno en la solución

de situaciones que

involucran triángulos

no rectángulos.

• Emplear la trigonome-

tría como alternativa

para calcular áreas de

triángulos.

• Interpretar los

vectores como entes

geométricos.

• Reconocer criterios

para solucionar

problemas a partir de

la información que se

ofrece.

• Además de la cal-

culadora, es posible

emplear cintas métri-

cas y transportado-

res; con ellos podrá

proponer algunas

labores propias de los

topógrafos.

• Programa Excel o

una calculadora para

solucionar triángulos

no rectángulos me-

diante la ley del seno

o del coseno.

• Triángulos no rectán-

gulos hechos en car-

tulina a partir de los

cuales se verifi quen

las leyes del seno o

del coseno.

• Más actividades

sobre la ley del seno

en:

http://redescolar.ilce.

edu.mx/redescolar/

act_permanentes/

mate/mate2q/ma-

te2q.htm

• Proponga

problemas

de medición

indirecta cuya

solución pueda

verifi carse ha-

ciendo uso de

las relaciones

trigonomé-

tricas o de las

leyes del seno y

coseno.

• Pida a sus

estudiantes que

lleven a clase

ejercicios de

física para anali-

zar y comparar

las cantidades

vectoriales

frente a las

escalares.

Procedimientos

• Aplica las fórmulas

alternas para el cálculo

de áreas de triángulos.

• Representa vectores

sobre el plano cartesia-

no.

• Señala caminos de

acción en distintos

contextos en la solu-

ción de problemas.



entre la solución para

un problema y el enun-

ciado correspondiente.

• Identifi ca la relación

entre los datos de una

situación y resuelve

el triángulo que la

interpreta.

• Identifi ca la relación

entre los datos de cada

situación y resuelve el

triángulo involucrado.

Comunicación

• Enuncia las leyes del

seno y del coseno de

forma verbal y gráfi ca.

Ciencias naturales

• Cálculo de distan-

cias entre objetos

celestes.

• Busque cómo la

trigonometría se

usó en el cálculo

de dichas distan-

cias.

Informática

• Programación

en aplicaciones

como Excel

para solucionar

triángulos cuando

se introducen

ciertos datos

dados.

Ciencias sociales

• A partir de datos

cartográfi cos,

calcular el área de

algunos lagos o

mares, haciendo

referencia uso de

las expresiones

encontradas para

tal efecto.

Tecnología

• Principios para la

construcción de

teodolitos y su

aplicación real.


➔

[ 18 ]




1. Pida a sus estudiantes que dibujen un triángulo rectángulo en un plano cartesiano de manera que puedan encontrarse las razones trigonométricas de los ángulos agudos, mediante mediciones di-rectas.

2. Refi érase a la proporcionalidad que existe entre los lados correspondientes de triángulos semejantes y la congruencia de sus ángulos; así podrá señalar que el valor de las razones trigonométricas para estos án-gulos son iguales.

3. Dibuje triángulos no rectángulos y pregunte a sus estudiantes si se satisface en ellos el teorema de Pi-tágoras.

Pregunte acerca de cómo solucionar triángulos de esa naturaleza dados algunos de sus elementos. Es-cuche las propuestas de los estudiantes, quizás algu-nas de ellas sean viables.

4. Pregunte a sus estudiantes si el área de un triángu-lo depende de sus ángulos o si es independiente de ellos.

5. Dé algunos triángulos no rectángulos y pida a los es-tudiantes que calculen su área. Fíjese si reconocen la altura y la base correspondiente en el proceso o si, de alguna manera, tienen en cuenta las aberturas de los ángulos.

6. Pregunte acerca de los términos que los estudian-tes manejan en sus cursos de física e invítelos a reconocer conceptos que se manejan de manera común.


1. Cada vez que cite un enunciado o ley, muestre la de-mostración que se sigue en su deducción.

Si es muy complicada la demostración, cite de mane-ra general los pasos que se siguen para lograrla.

2. Muestre contextos reales donde se usan las ex-presiones trigonométricas que van apareciendo. La aplicación de la trigonometría se hace evidente en la ingeniería y la astronomía.

C. Identifi cación de difi cultades

1. Falta de habilidad para interpretar enunciados de manera verbal o gráfi ca.

Alternativa

Cada vez que proponga un ejercicio, invite a sus estudiantes a que verbalicen lo que entienden o a que hagan una gráfica. Puede pedir que socialicen sus dibujos y a que los demás reconozcan los erro-res.

2. Falta de fl exibilidad para aplicar las expresiones tri-gonométricas en la solución de problemas.

Alternativa

Cada vez que avance en el estudio de las temáticas, proponga ejercicios que puedan resolverse con con-ceptos ya vistos o que requieran de ellos.


Ciencias naturales

El número áureo en las hojas de las plantas. Consulte:

http://es.geocities.com/ccalvimontesr/HOJAS.html

Las funciones trigonométricas y los dinosaurios en:

http://www.catedu.es/matematicas_mundo/NATURALE-ZA/naturaleza_dinosaurios.htm

Ciencias sociales

Cálculo del radio de la Tierra, distancia de la Tierra a la Luna, distancia de la Tierra al Sol, predicción de eclip-ses, confección de calendarios.

Elaboración del mapa de un lugar del que se conocen algunas distancias y algunos ángulos.

Ingeniería

Cómo construir un edifi cio para que cumpla ciertas exi-gencias de orientación. En qué dirección se excava un túnel para que salga al otro lado de la montaña, en el lugar deseado.


bb

b

b

b

b

a

a

a

a

a

cc

c

1

2

3 4

5

6

10

9

7

8

α

α

α

α

β

β

β

β

γ

γ

γ

γ

γ

[ 19 ]


1. Los triángulos que se pueden resolver por tener la medida de dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos son:

a. 2, 8 y 10

b. 6 y 9

c. 9

d. 4 y 7

2. Los triángulos en los que se conocen dos ángulos y el lado que comparten son:

a. 1 y 2

b. 6 y 7

c. 3 y 10

d. 4 y 8

3. Los triángulos que se pueden resolver por tener la me-dida de dos de sus ángulos y uno de sus lados son:

a. 1, 2, 4 y 8

b. 6 y 7

c. 9 y 10

d. 2, 4 y 9

4. La afi rmación falsa es:

a. La ley del seno se puede usar para resolver trián-gulos no rectángulos.

b. Es imposible usar la ley del seno para resolver triángulos rectángulos.

c. Pueden combinarse la ley del seno y del coseno para resolver triángulos.

d. El teorema de Pitágoras se usa solamente para resolver triángulos rectángulos.

5. La afi rmación falsa es:

a. Todos los triángulos obtusángulos se resuelven por la ley del coseno.

b. Existen triángulos que tienen más de una solu-ción.

c. Falta un dato para calcular el área del triángu-lo 5.

d. Para algunos triángulos es necesario emplear α β γ+ + = °180 para poder resolverlos.

Las preguntas a continuación se refi eren a los triángulos de la fi gura. Letras iguales corresponden a valores iguales.

1

2

3 4

5

6

7

8

9

10


[ 20 ]

Planeador unidad 5

Grado Décimo Período .............................. Tiempo previsto: ........................ Tiempo real: ........................


propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Ide

nti

da

de

s y e

cua

cio

ne

s tr

igo

no

mé

tric

as

• Emplear las

defi niciones de

las funciones

trigonométricas

para verifi car

identidades.

• Transformar

expresiones tri-

gonométricas en

términos de una

sola función.

• Encontrar una ex-

presión equivalen-

te con otra dada.

• Verifi car identi-

dades trigonomé-

tricas empleando

las identidades

fundamentales.

• Deducir y aplicar

las funciones tri-

gonométricas para

ángulos medios y

dobles.

• Resolver ecuacio-

nes trigonométri-

cas haciendo uso

de las identidades

trigonométricas.

• Aplicar las funcio-

nes trigonométri-

cas inversas para

resolver ecuacio-

nes trigonométri-

cas.

• Hacer uso de las

ecuaciones trigo-

nométricas para

resolver proble-

mas.

• Expresar números

complejos en for-

ma trigonométrica

y viceversa.

• Hacer cálculos

con los números

complejos apoyán-

dose en su forma

trigonométrica.

• Gráfi cas de las

funciones trigo-

nométricas para

hacer evidente que

las soluciones de

una ecuación pue-

den ser infi nitas.

• Para trabajar con

las funciones

trigonométricas

y sus funciones

en fl ash, puede

consultar:

http://www.

cristalab.

com/tips/43144/

aproximar-funcio-

nes-trigonometri-

cas-seno-y-coseno-

en-fl ash

• Sobre uso de la

calculadora para

resolver ecuacio-

nes trigonométri-

cas vaya a:

http://www.

casioacademico.

com.ve/Descargas/

Articulos/Desigual-

dades.pdf

• Viste la página:

http://cte.

seebc.gob.mx/

webdescartes/4b_

eso/trigonometria/

trigo14.htm

y encuentre más

aplicaciones.

• Revise los cono-

cimientos de los

estudiantes en

cuanto al manejo

de la factoriza-

ción, simplifi ca-

ción de expresio-

nes algebraicas

e identidades

matemáticas.

• Proponga el tan-

teo para resolver

las primeras

ecuaciones. El

estudiante notará

que no es la forma

más práctica de

hacerlo y verá

la importancia

de manejar los

prerrequisitos

mencionados en

el punto anterior.

• Dé ecuaciones

sin solución y

pregunte por qué

no existe. Luego

pida a los estu-

diantes que den

otros ejemplos

de ecuaciones

irresolubles.

• Use la calculadora

como recurso

para verifi car la

solución de las

ecuaciones trigo-

nométricas.

Razonamiento

• Reconoce las iden-

tidades que puede

aplicar en la solución

de una ecuación o en

la verifi cación de otras

identidades.

• Encuentra valores para

los cuales una ecuación

no tiene solución.

Procedimientos

• Aplica los conocimien-

tos que tiene de ángulos

notables para solucio-

nar ecuaciones básicas.

• Aplica las identidades

trigonométricas en la

solución de ecuaciones.

• Hace uso del concepto

de función trigono-

métrica inversa en la


Comunicación

• Explica los procedi-

mientos que usa en la



• Genera estrategias para

resolver problemas con

ecuaciones trigonomé-

tricas.

Modelación

• Halla relaciones entre la

forma trigonométrica

y rectangular de un

complejo.

Ciencias naturales

• Tomar algunas

fórmulas físicas

en las que se

involucren ángulos,

hacer el análisis de

la manera en la que

la variación en ellos

modifi can las con-

diciones y referirse

a valores especiales:

máximos, mínimos,

valores de equili-

brio y resolverlas.

Tecnología

• Generar un progra-

ma o aplicación en

la que se resuelvan

ecuaciones trigono-

métricas. Discutir

sobre las posibilida-

des de crear una en

la que se verifi quen

identidades.

Ciencias sociales

• Contexto histórico

en el desarrollo de

la trigonometría.

Apóyese en: http://

html.rincondelvago.

com/trigonome-

tria_15.html

Unidad 5 Identidades y ecuaciones trigonométricas


➔

[ 21 ]



1. Válgase de las defi niciones de las funciones trigono-métricas y sugiera simplifi caciones para que sean los estudiantes quienes deduzcan las primeras identida-des.

2. Pregunte acerca de si los productos notables son identidades. Pida ejemplos antes de extender el con-cepto a la trigonometría.

3. Proponga ecuaciones trigonométricas sencillas para que el estudiante las resuelva e infi era que puede te-ner infi nitas soluciones.

4. Verifi que que los estudiantes manejan bien la facto-rización, la simplifi cación de expresiones y las identi-dades, ya que esto es básico para resolver ecuacio-nes y verifi car identidades complejas.


Defi na una ecuación trigonométrica como aquella en la que aparece alguna razón trigonométrica de la in-cógnita. Indique que para resolverla es importante:

1º Expresar todas las razones que aparezcan en fun-ción de un mismo ángulo.

2º Expresar todas las razones en función de una sola razón trigonométrica.

Defi na identidad trigonométrica como una igualdad que involucra funciones trigonométricas, verifi ca-bles para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren (es decir, para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los que se aplican las funciones).

C. Práctica

Pida a sus estudiantes que verifi quen identidades y que interpreten geométricamente lo que están ha-ciendo. Invítelos a entrar a la página http://w3.cnice.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Razones_trigono-metricas_operaciones_identidades/identid.htm don-de podrán corroborar que si las gráfi cas de las dos

funciones correspondientes a los dos lados de una identidad coinciden, su gráfi ca también lo hace. Por otro lado, indique que si se cortan en algunos puntos, se trata de una ecuación con soluciones las abscisas de los puntos de corte. Si no se cortan nunca se trata de una ecuación sin solución.


1. Verifi cación de identidades.

Alternativa

La graduación en los ejercicios es de vital importan-cia, ya que permitirá el avance en la confi anza de los estudiantes. Por otro lado, la referencia específi ca en cada ejemplo del procedimiento a seguir como su-gerencia misma de lo que aparece escrito conducirá a la generación de la habilidad en la identifi cación de los pasos a seguir.

2. Resolver una ecuación de la forma

f x rω ϕ−( ) = .

Alternativa

Válgase inicialmente de las gráfi cas de las funciones trigonométricas para ver las solución de ecuaciones sencillas.


Ciencias naturales

Algunos fenómenos de la naturaleza se modelan con expresiones trigonométricas, como la variación de la profundidad del agua causada por los efectos gravi-tatorios de la Luna y el Sol. Una expresión modelo es

y t= +1 45 1 45 212 4

, , ,

cos π . Haga preguntas como cuán-

do el nivel del agua es el más bajo o cuándo es el más alto, siendo t el tiempo en horas.

Tecnología

Uso de las calculadoras grafi cadoras para verifi car la solución de algunas ecuaciones.



x

245º

θ

6

2

x

θ

x

43 θ

x

5 6

θ

x

5 6θ

x

5 6

θ

[ 22 ]


1. La gráfi ca muestra una de las piezas de un lote para decorar. Si el encaje empleado en la base es distinto al de los otros lados, el cálculo que realiza la máquina cortadora es:

a. x = +2 2 cot θ c. x = 2sen θ

b. x = 2sen θ

d. x = +2 2sen θ

2. De acuerdo con la fi gura, la cortadora que se en-carga de las tiras de encaje de la base menor del trapecio isósceles, debe calcular:

a. x = −6 2 tan θ c. x = −6 4 tan θ

b. x = −6 4 cot θ d. x = −6 2 cot θ

3. Para el caso de la base del triángulo de la fi gura, el cálculo debe ser:

a. x = −7 12 cos θ c. x = −25 24 cos θ

b. x = −25 12 cos θ d. x = −25 24 cos θ

4. Si para encontrar la medida de corte para uno de los lados de un triángulo, una máquina calcula

x = + +5 25 112 cos cosθ θ , se puede concluir que:

a. la fi gura a decorar puede ser:

b. la fi gura a decorar puede ser:

c. la fi gura a decorar puede ser:

d. no existe un triángulo con estas especifi cacio-nes.

Hilos y encajes Ltda

En una fábrica de tejidos en hilo elaboran encajes para decorar los bordes de diferentes fi guras que llegan de dis-tintas entidades diseñadoras de interiores. Los cortes de las tiras de encaje dependen del borde a adornar y este de las especifi caciones de diseño. Para efectos mecánicos, las máquinas cortadoras calculan la longitud del encaje con base en la medida de algunos ángulos en las fi guras.


[ 23 ]

Planeador Unidad 6



propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Geo

met

ría

anal

ític

a

• Conocer y manejar

la ecuación que

determina la

distancia entre dos

puntos.

• Relacionar las

diferentes formas

algebraicas de

representar una

recta.

• Identifi car rectas

paralelas y perpen-

diculares a partir

de sus ecuaciones.

• Identifi car los ele-

mentos básicos de

una cónica a partir

de su ecuación y

viceversa.

• Reconocer el efec-

to de la rotación

de ejes sobre las

cónicas.

• Reconocer los

elementos que

identifi can cada

cónica a partir de

la ecuación ge-

neral de segundo

grado.

• Se pueden emplear cuer-

das y cintas métricas

para lograr los trazos

geométricos de cada una

de las secciones cónicas,

tanto en el cuaderno

como en actividad fuera

del aula.

• Para construir las

cónicas de manera

interactiva, consulte:

http://recursos.pnte.

cfnavarra.es/~msadaall/

geogebra/conicas.htm

o también:

http://dinamica1.fcien-

cias.unam.mx/Prepa-

ratoria8/conicas/index.

html

• Otras aplicaciones

interactivas sobre dis-

tancia entre dos puntos,

distancia de un punto

a una recta, distancia

entre dos rectas, y otros

temas en:

http://dinamica1.fcien-

cias.unam.mx/Prepa-

ratoria8/conicas/index.

html

• Use GeoGebra para:

facilitar la comprensión

de ideas matemáticas a

través interpretaciones

gráfi cas. Este programa

hace gráfi cas de funcio-

nes de una manera sen-

cilla, aún dependiendo

de parámetros, lo que

permite la realización

de ejercicios en los que

investigue el efecto con

el cambio de los valores

de los parámetros.

Este programa puede

descargarse en:

http://www.geomundos.

com/descargas/geogebra-

2710_p163.html

• Disponga de progra-

mas de geometría

dinámica pues

éstos han demos-

trado en las dos

últimas décadas su

capacidad de ayuda

al estudiante para

adquirir destrezas en

la interpretación de

hechos geométricos.

• Algunos de esos

programas son:

• Cabri – Geometre,

Geogebra, Th e

Geometer s Sket-

chpad, Cinderella

y R y C (Regla y

Compás).

• Haga énfasis en el

uso racional y crítico

de estas herramien-

tas.

• Informe a sus estu-

diantes acerca del

uso real de cada uno

de los conceptos de

la unidad.

• La comprensión y

aplicación de las

propiedades de las

fi guras geométricas

(rectas y cónicas),

permite a los estu-

diantes descubrir

modelos para

formular y resolver

problemas en las

áreas de ciencia y

tecnología.

Procedimientos

• Emplea la fórmula

de distancia en la

solución de distin-

tas situaciones.

Comunicación

• Identifi ca y

construye las

diferentes formas

algebraicas de un

ente geométrico y

de sus relaciones.

• Asocia la represen-

tación gráfi ca de

un ente geométri-

co con su descrip-

ción analítica

Razonamiento

• Describe el lugar

geométrico que

corresponde a

una expresión

algebraica dada

e infi ere conclu-

siones cuando se

hacen cambios en

los parámetros.

Solución de pro-blemas

• Soluciona proble-

mas relacionados

con la geometría

analítica y busca

información acerca

de su uso real.

Modelación

• Reconoce una có-

nica a partir de su

ecuación general o

canónica.

Tecnología

• Uso de progra-

mas interactivos

para desarrollar

una geometría

dinámica.

Dibujo técnico

• Construcción

de las cónicas

con cuerdas

a partir de su

descripción

como lugares

geométricos.

Lengua castella-

na

• Investigar los

nombres de

las cónicas

(etimología y

semántica) y

relacionar o

distinguir los di-

ferentes usos de

estos vocablos.

Ciencias

• Los cometas y

sus órbitas.

Tecnología

• Uso de las cóni-

cas en el mundo

actual: antenas,

espejos, cocinas

solares.

Unidad 6 Geometría analítica


[ 24 ]



1. Pida a sus estudiantes que calculen la medida de la hipotenusa en algunos triángulos rectángulos (pre-feriblemente con catetos cuyas medidas sean en-teras). Luego pídales que ubiquen dos puntos en el plano cartesiano y pregunte por un método para en-contrar su distancia. Indague acerca de la relación entre este método y el cálculo de la hipotenusa del comienzo.

2. Válgase del segmento trigonométrico de la función tangente para referir que el cociente entre la va-riación vertical y la horizontal (tangente) señala la inclinación del lado terminal del ángulo, así podrá introducir la pendiente de una recta.


1. Recuerde qué es un plano cartesiano y pida hacer algunas construcciones sobre él y lograr algunas pri-meras inferencias acerca de la distancia entre dos puntos.

2. Luego de varios cálculos de distancia entre dos pun-tos, deduzca la expresión algebraica para ello.

3. Defi na cada cónica como el lugar geométrico que satisface ciertas propiedades. Si es posible pida la construcción de ellas con la ayuda de cuerdas; lue-go, formalice cada concepto e indique la forma de deducir la ecuación de cada cónica.

C. Práctica

1. Establezca estrategias para calcular la distancia en-tre puntos.

2. Use planos de ciudades para ubicar sitios a partir de su dirección.

3. Pida que los estudiante ubiquen diferentes puntos a partir de sus coordenadas (x, y).

4. Proponga problemas donde se manipulen las ecua-ciones de pendiente y ángulo de inclinación.

5. Pida diferentes representaciones para los entes geométricos de estudio: tablas de valores, bosquejo en el plano cartesiano, ecuación canónica o gene-ral.

6. Dada la ecuación de una cónica, identifi car los pará-metros mediante los cuales puede trazarse su gráfi -ca.

7. Proponga ejercicios en los cuales deban intersectar-se dos rectas, dos rectas y una cónica o dos cóni-cas.


1. Algunos estudiantes pueden no entender que un ente matemático puede representarse de diversas maneras.

Alternativa

Use de manera simultánea diversas representacio-nes para un mismo ente geométrico: tablas, repre-sentaciones en el plano cartesiano y la expresión algebraica que lo identifi ca.

Por ejemplo, dada la ecuación canónica de una pará-bola, puede pasarse a su forma general o viceversa.

2. Pueden presentarse difi cultades para identifi car una cónica a partir de su expresión algebraica.

Alternativa

Pida que lleguen a la ecuación general de cualquier cónica y que reconozcan la forma particular de los coefi cientes en cada caso.

3. Algunos errores frecuentes pueden resumirse en:

• errores debidos a datos mal utilizados.

• errores debidos a una interpretación incorrecta del lenguaje.

• errores debidos a inferencias no válidas lógica-mente.

• errores debidos al uso de teoremas o defi niciones deformados.

• errores debidos a la falta de verifi cación en la solu-ción.

• errores técnicos: errores de cálculo, de procedi-miento en algoritmos básicos.

Alternativa

Tenga clara esta tipología según Movshovitz y hacer planes de refuerzo en cada caso.


➔


[ 25 ]


1. Según la imagen puede afi rmarse que:

a. la órbita del cometa es circular y el Sol está en el centro de ésta.

b. la órbita del cometa es parabólica y el Sol se en-cuentra en el foco.

c. la órbita del cometa es elíptica y el Sol está en uno de los focos.

d. la órbita del cometa es hiperbólica y el Sol se en-cuentra en el centro.

2. La curva que describe el cometa se debe a:

a. la fuerza con la que la Tierra lo atrae.

b. la fuerza con la que el Sol lo atrae.

c. el impulso que trae.

d. se transporta en el vacío.

3. La forma de las antenas receptoras de señal es pa-rabólica; una razón para ello puede ser que:

a. las señales que envían los satélites corresponden a ondas parabólicas.

b. la forma que tiene el planeta.

c. las señales que envían los satélites llegan muy débiles a la Tierra y la forma parabólica de las an-tenas permiten concentrar esas señales.

d. las formas parabólicas permiten eliminar las inter-ferencias que se pueden presentar en el envío de las señales de los satélites.

4. Los espejos parabólicos se suelen utilizar en los retrovisores de automóviles y motos, debido a que proporcionan un mayor campo de visión, aunque

debemos tener en cuenta que nuestro cerebro in-terpreta que los objetos están más alejados de lo que realmente están.

También se colocan grandes espejos parabólicos en las esquinas de algunos cruces de poca visibili-dad o en algunas tiendas para observar a los ladro-nes.

Un espejo que no es parabólico puede ser:

a. una bolita de navidad.

b. una cuchara.

c. la superfi cie del agua.

d. un espejo para inspeccionar los autos en su parte inferior.

5. Una actividad de doblado de papel indica los si-guientes pasos:

Toma una hoja de papel y pinta un punto no dema-siado lejos de la recta en el lado que tienes más espacio y lejos de los bordes. Pliega el papel ha-ciendo que al trasluz coincida un punto de la rec-ta con el que has pintado. Marca bien el pliegue y después abre el papel. Repítelo varias veces con distintos puntos de la recta. Después de los plega-dos, al abrir el papel, verás que los pliegues perfi -lan una...

a. elipse.

b. parábola.

c. circunferencia.

d. hipérbola.

Cónicas y geometría euclidiana

Los cometas son pequeños cuerpos de forma irregu-lar compuestos por una mezcla de granos no volátiles y gases helados, lo que les valió ser designados por Whipple como “bolas de nieve sucias”. El nombre “cometa” proviene del griego clásico y signifi ca as-tro con larga cabellera, como referencia a sus largas colas.


[ 26 ]

Planeador unidad 7



propuestos

Metodología

propuesta

Criterios

de evaluación

Proyectos

sugeridos

Est

adís

tica

y p

rob

abili

dad

• Identifi car los

elementos de la

estadística en

estudios reales.

• Organizar

información

estadística de

diversas formas

como tablas y

gráfi cos.

• Calcular datos

representativos

de tablas de

distribución de

frecuencias.

• Calcular la

probabilidad de

un evento.

• Reconocer el

cálculo de per-

mutaciones y

combinaciones

como técnicas

de conteo.

• Valorar la

estadística y la

probabilidad a

la hora de to-

mar decisiones.

• Programas de

manejo de datos.

• Artículos de

periódicos con

información de

encuestas, noti-

cias nacionales o

internacionales

que puedan

ocasionar

opinión entre los

estudiantes.

• Reportes del

DANE acerca de

estudios como

población, des-

empleo, índices

de natalidad, etc.

• Consulte:

http://www.dane.

gov.co/

• Encuestas inte-

resantes para los

estudiantes en:

http://www.

livraencuestas.

com/blog/index.

php/category/en-

cuestas/

• Sobre juegos y

probabilidad,

vaya a:

http://w3.cnice.

mec.es/recursos/

bachillerato/

matematicas/

probabilidad/

actividades/suce-

sos/sucesos.htm

• Haga uso de diagra-

mas estadísticos de

diferentes fuentes e

interprételos junto con

sus estudiantes.

• Emplee Excel o cual-

quier otro programa de

manejo de datos al que

sus estudiantes tengan

acceso y pida que con

él realicen histogramas

a partir de tablas elabo-

radas por ellos.

• Dentro de los ejercicios

de probabilidad puede

incluir ejercicios de es-

tadística por medio de

preguntas como: ¿cuál

es el número necesario

de lanzamientos de un

dado para que salga

cinco? Al escoger una

carta de una baraja,

¿cuál es el número de

selecciones correspon-

dientes para obtener

una pica?

• Realice ejercicios ini-

ciales de conteo y pida

a sus estudiantes que

realicen un diagrama de

árbol para notar el uso

del principio multipli-

cativo y por demás su

utilidad.

• Proponga el análisis de

juegos de azar, valore su

contenido matemático

y refl exione acerca de

las implicaciones de

tales juegos en la vida

de una persona. Use

la probabilidad para

que los estudiantes

argumenten razones

para no convertirse en

adictos a los juegos.

Comunicación

• Elabora tablas y gráfi cos

estadísticos e infi ere

información de ellos.

• Usa de forma apropiada

los términos de la esta-

dística y de la probabili-

dad.

Razonamiento

• Encuentra las medidas

de tendencia central, las

relaciona y elige la más

representativa.

• Examina experimentos

e identifi ca los que son

aleatorios de los que no

lo son.

• Justifi ca la condición de

azaroso de un experi-

mento y determina si es

aleatorio o no.

• Explica la decisión sobre

la técnica de conteo

a emplear en diversas

situaciones.

Procedimientos

• Calcula la probabilidad

de un evento.

• Emplea técnicas de

conteo en el cálculo de

probabilidades.

• Sugiere fenómenos de

estudio en el colegio

que se puedan con-

siderar a la luz de los

conceptos estudiados.

Modelación

• Propone experimentos

aleatorios y plantea con-

diciones probabilísticas

de estudio.


• Usa la estadística y

la probabilidad para

tomar decisiones sobre

situaciones reales.

Tecnología

• Elaboración de un

programa en el

que el usuario sea

un encuestador, de

modo que pueda

introducir una

variable y todas las

posibles opciones

de respuestas y se

puedan gene-

rar esquemas y

gráfi cas de manera

automática.

Ciencias sociales

• Realizar un sondeo

acerca de las

preferencias por

los candidatos

a personero y

representante de

los estudiantes

en el gobierno

estudiantil.

Orientación voca-

cional

• Realizar un

trabajo en el que

se consideren

las diferentes

opciones de vida

que se plantean

los estudiantes de

grado once.

Convivencia

• Realizar un estudio

estadístico sobre

el valor que los

estudiantes con-

sideran es el más

importante.

Lengua castellana

• Hacer una investi-

gación estadística

sobre manejo de

la ortografía de

los estudiantes del

colegio.

Unidad 7 Estadística y probabilidad


[ 27 ]



1. Documéntese sobre deportes y comente con sus estudiantes situaciones en las que se presenten datos e información. Puede emplear las tablas de posiciones o notas sobre ciertas habilidades pro-pias del deporte, así podrá señalar la necesidad de manejar ordenadamente los datos y los usos que pueden tener: informar, señalar puntos débiles a reforzar, planes de entrenamiento o tácticos y de-más.

2. Dirija la atención de sus estudiantes a las medidas de tendencia central con preguntas como: ¿cuál es la edad característica del curso? ¿Qué se está encontrando cuando se divide un grupo de notas entre la cantidad de ellas? ¿Qué signifi cado tiene este valor? De un grupo de afi cionados al deporte, ¿cómo se escoge el deporte característico entre las afi ciones? De esta manera podrá, con cada pregunta señalar cada estadígrafo.

3. Permita que sus estudiantes exploren el concepto de probabilidad por medio de preguntas como: si al lanzar un dado tuviera dos opciones para apostar: a) que cae tres y b) que cae par, ¿cuál opción esco-gerías? ¿Por qué? Entre dos jugadores que lanzan una moneda y uno apuesta por cara y el otro por sello, ¿cuál tiene más opción de ganar?

4. Antes de exponer el principio multiplicativo, plan-tee ejercicios de conteo que hagan uso de él, per-mita que los estudiantes socialicen sus respues-tas y condúzcalos así al concepto.


1. Al inicio del tema, cada vez que se haga un ejemplo de cálculo de medidas de tendencia central, pida a sus estudiantes que escriban el signifi cado de los mismos. Esto afi anzará el manejo del concepto.

2. Pida a sus estudiantes que realicen un glosario de términos como: certidumbre, aleatorio, azar y demás, y que señale las similitudes o diferencias e identifi que su signifi cado matemático.

C. Práctica

1. Emplee Excel o cualquier otro programa de mane-jo de datos al que sus estudiantes tengan acceso

y pida que con él realicen histogramas a partir de tablas elaboradas por ellos.

2. Dentro de los ejercicios de probabilidad puede in-cluir ejercicios de estadística por medio de pre-guntas como ¿cuál es el número necesario de lanzamientos de un dado para que salga cinco? Al escoger una carta de una baraja, ¿cuál es el nú-mero de selecciones correspondientes para obte-ner una pica?

3. Realice ejercicios iniciales de conteo y pida a sus estudiantes que realicen un diagrama de árbol para notar el uso del principio multiplicativo y por demás su utilidad.


1. Confusión entre variable y fenómeno.

Alternativa

Muestre diversos ejemplos de uno y otro concep-to. Pida a los estudiantes que indaguen acerca de sus diferencias y que propongan ejemplos.

2. Llegar a conclusiones que no se desprenden de la información dada por una tabla o histograma.

Alternativa

Haga ejercicios al respecto precisando los alcan-ces de la variable examinada, así evitará conside-raciones extra que se desvíen del objeto de estu-dio.

3. Identifi cación del método de conteo a emplear.

Alternativa

Haga reiterada referencia a la importancia que posee el orden de los elementos involucrados en la situación de conteo, así se diferenciará la com-binación de la permutación.


Tecnología

Uso del programa Excel.

Ciencias sociales

Encuestas de problación nacional y mundial. Implicacio-nes sociales.


➔


[ 28 ]


1. Variable cuantitativa discreta:

a. Tiempo que dura viendo televisión en un día.

b. Cantidad de programas que ve completos.

c. Programas que ve.

d. Cantidad de alimentos que consume cuando ve televisión.

2. Variable cualitativa:

a. Programa que ve a las 8:00 p.m.

b. Marca del televisor.

c. Duración del programa que ve a las 8:00 p.m.

d. Comidas que consume mientras ve televisión.

3. Población:

a. Habitantes de Bogotá.

b. Censo poblacional del barrio.

c. Vecinos del barrio.

d. Número de televisores en el barrio.

4. Marco:

a. Perfi l de los vecinos del barrio.

b. Encuesta propuesta para dos familias por cada cuadra del barrio.

c. Censo poblacional del barrio.

d. Registros civiles de una familia.

5. Variable cuantitativa continua:

a. Cantidad de personas con las que ve televisión.

b. Número de programas completos que ve en el día.

c. Tiempo que dura viendo televisión en un día.

d. Cantidad de veces que cambia el canal.

Mercadeo televisivo

Una empresa desea estudiar las preferencias sobre los programas de televisión de los habitantes de un barrio. Para esto tuvieron una lluvia de ideas sobre los términos a considerar; sin embargo, no todas las opciones son adecua-das para el concepto que se dio, de manera que debes escoger cuál es la correcta en cada caso.


[ 29 ]

Este movimiento surgió a fi nales del siglo pasa-do con el objetivo de abordar una renovación de la educación y de la problemática escolar.

Es un movimiento educativo esencialmente práctico que se desarrolló, sobre todo, en es-cuelas privadas.

La concepción de la Escuela Nueva recoge ade-más del conjunto de teorías y principios de algu-nos autores (Rousseau, Pestalozzi, Flöbel...) que tendieron a replantearse las formas tradiciona-les de la enseñanza como consecuencia lógica de los progresos científi cos que se daban de forma rápida en aquella sociedad.

Surgió el interés por el estudio del niño en sus aspectos biológicos y psicológicos, y la refl exión en torno a los mecanismos para aprender y no sólo la preocupación para enseñar.

Es signifi cativa la escuela de Abbotsholome, creada por C. Reddie cuyas ideas básicas con-sistieron en que la escuela no debe ser un medio artifi cial separado de la vida, sino un pequeño mundo real, práctico que ponga a los alumnos en contacto con la naturaleza y la realidad de las cosas, y donde no sólo debe enseñarse la teoría de los fenómenos sino también su práctica.

Estas experiencias, ideas y progresos pedagó-gicos se propagaron con intensidad, y surgieron distintas escuelas que procuraban introducir cambios en su funcionamiento docente y a las que se les denominó nuevas.

La Escuela Nueva comenzó a reformular las ideas de la escuela progresista en Estados uni-dos sobre los principios del pragmatismo peda-gógico de Dewey, según los cuales la escuela

es una sociedad viva y sus planteamientos bá-sicamente sociales: hay que preparar al alumno para la vida y familiarizarse con el medio so-cial.

Principios pedagógicos

Los principios pedagógicos en torno a los cuales se organizan los distintos métodos y técnicas de la Escuela Nueva son:

La individualización: Individualizar la enseñan-za es respetar al niño en sus aptitudes y capa-cidades para que él mismo desde dentro pueda desarrollar lo mejor de sí mismo y ponerse en si-tuación dinámica de aprendizaje y de responsa-bilidad. Se trata de una educación que toma en cuenta las peculiaridades individuales sin negar la socialización.

La socialización: Esta pedagogía pretende edu-car al individuo para la sociedad y surge de la ra-dical necesidad de asociarse para vivir, desarro-llarse y perfeccionarse. A través de actividades escolares realizadas en grupos se desarrollan en el alumno hábitos positivos de convivencia y cooperación social que le preparan para la vida misma.

La globalización de la enseñanza: Comienza a surgir la enseñanza con un criterio unitario y totalizador. Como los sujetos perciben las cosas en su totalidad, los contenidos de la enseñanza se deben organizar en unidades globales o cen-tros de interés para el alumno.

La autoeducación: Considera al niño el centro de toda la actividad escolar y la causa principal de su saber.

El movimiento pedagógico de la escuela nueva


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La Programación Neurolingüística es un modelo de comunicación conformado por una serie de técnicas, cuyo aprendizaje y práctica están en-focados al desarrollo humano.

Estudia cómo nos comunicamos con nosotros mismos (comunicación intrapersonal) y por ende cómo nos comunicamos con otros (comu-nicación interpersonal).

La Programación Neurolingüística (PNL) es una escuela de pensamiento pragmático que sostie-ne que en última instancia toda conducta huma-na se desarrolla sobre una “estructura” o “plan-tilla de pensamiento” aprendida, la cual puede ser detectada para ser modelada (copiada) por otras personas y obtener con ello similares re-sultados.

La PNL sostiene que es posible cambiar o repro-gramar esta estrategia o plantilla de pensamien-to, si es que hay algo que limite o para potenciar algún recurso, comportamiento o creencia, con el fi n de mejorar la calidad de vida.

La PNL defi ne tres elementos como constitu-yentes claves de la conducta humana:

El sistema nervioso (el soporte neurológico).

El lenguaje que sirve para la comunicación ex-terna e interna (con uno mismo), es verbal y no verbal.

La conducta que se puede aprender.

Es difícil establecer una defi nición concluyente de PNL.

Algunos la defi nen como el arte y la «ciencia» de la excelencia personal.

Un objetivo de la PNL es el de construir nuevas opciones de aprendizaje.

La PNL explica el proceso de aprendizaje de un proceso en una serie de etapas por las que pasa el individuo que aprende:

1. Incompetencia inconsciente (No se sabe qué es un coche y, mucho menos, conducir-lo).

2. Incompetencia consciente (momento en el que más se aprende. El conductor es cons-ciente de que no sabe conducir y lo intenta).

3. Competencia consciente (El conductor ya sabe conducir y presta demasiada atención al proceso como embrague, luces intermi-tentes, palanca de cambio de marchas...).

4. Competencia inconsciente (Se libera la aten-ción del consciente. El individuo realiza la ac-ción sin ser prácticamente consciente y pue-de dirigir así su atención para otras cosas. Así vemos a un conductor hablar, escuchar músi-ca, etc... mientras conduce).

La PNL es el estudio de la estructura de la ex-periencia subjetiva. Es el estudio de cómo hace-mos modelos. Hace referencia al “proceso”,no trabaja con contenidos.

Acerca de la programación neurolingüística


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Glosario básico de términos de evaluación educativa

Competencia

“Es la manifestación en la actuación (desempeños) de los conocimientos y la inteligencia en determinado con-texto, siendo la inteligencia ‘un potencial bio-psicológi-co’ para procesar información que sirve para resolver problemas o crear productos.”

Currículo

“Es el conjunto de criterios, planes de estudio, meto-dologías y procesos que contribuyen a la formación integral y a la construcción de la identidad cultural na-cional, regional y local, incluyendo también los recursos humanos, académicos y físicos para poner en práctica las políticas y llevar a cabo el proyecto educativo insti-tucional.”

Educación Básica

La Educación Básica corresponde a la identifi cada en el artículo 356 de la Constitución Política como educación básica obligatoria, la cual es desarrollada en dos ciclos: el de educación primaria y el de educación secundaria. Comprende nueve (9) grados y se estructura en torno a un currículo común, conformado por las áreas funda-mentales del conocimiento y de la actividad humana.

Educación formal

Se entiende por educación formal aquella que se im-parte en establecimientos educativos aprobados, en una secuencia regular de ciclos lectivos, con sujeción a pautas curriculares progresivas, y conducente a grados y títulos.

La educación formal a que se refi ere la ley 115, se orga-niza en tres (3) niveles:

• El Preescolar: Comprende mínimo un grado obliga-torio.

• La Educación Básica: Con una duración de nueve (9) grados que se desarrolla en dos ciclos:

• La Educación Básica Primaria de cinco (5) grados.

• Educación Básica Secundaria de cuatro (4) grados.

Educación media

La educación media constituye la culminación, conso-lidación y avance en el logro de los niveles anteriores y comprende dos grados, el décimo (10°) y el undécimo

(11°). Tiene como fi n la comprensión de las ideas y los valores universales y la preparación para el ingreso del educando a la educación superior y al trabajo.

Educación media académica

La educación media académica permite preparar al es-tudiante, según sus intereses y capacidades, profundi-zar en un campo específi co de las ciencias, las artes o las humanidades y acceder a la educación superior.

Educación media técnica

La educación media técnica permite preparar a los estudiantes para el desempeño laboral en uno de los sectores de la producción y de los servicios, y para la continuación de la educación superior.

Educación no formal

La educación no formal es la que se ofrece con el objeto de complementar, actualizar, suplir conocimientos y for-mar, en aspectos académicos o laborales sin sujeción al sistema de niveles y grados establecidos en art. 11 de la Ley General de Educación.

Educación para grupos étnicos

Se entiende por educación para grupos étnicos la que se ofrece a grupos o comunidades que integran la na-cionalidad y que posean una cultura, una lengua, unas tradiciones y unos fueros propios y autóctonos. Esta educación debe estar ligada al ambiente, al proceso productivo, al proceso social y cultural, con el debido respeto de sus creencias y tradiciones.

Educación Preescolar

La educación preescolar corresponde a la que se ofrece al niño y la niña para su desarrollo integral en los aspec-tos biológico, cognoscitivo, psicomotriz, socio-afectivo y espiritual, a través de experiencias de socialización pe-dagógicas y recreativas. Esta educación comprende por lo menos un grado obligatorio.

Equipo de gestión institucional

El equipo de gestión institucional es el grupo de directi-vos y docentes con aptitudes complementarias. Se con-sideran responsables y se basan en un muy buen nivel de confi anza. Está dedicado al logro del mejoramiento de los resultados de la acción educativa. Actúa en torno a un conjunto de metas de desempeño comunes y un mismo método de trabajo.


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Estándar de contenido

“Lo que los profesores debieran enseñar y lo que se es-pera que los estudiantes aprendan, en descripciones cla-ras y específi cas sobre habilidades y conocimientos.”

Estándares básicos de competencias

“Son niveles básicos de competencia que los estudian-tes deben alcanzar en determinada área y en determi-nado conjunto de grados.”

Estándares curriculares

“Son criterios que especifi can lo que los estudiantes deben saber y ser capaces de hacer.”

Estándar de desempeño

“Defi nen grados de dominio o niveles de logro y respon-den a la pregunta ¿Cuán bueno es lo sufi cientemente bueno?’ Describen qué clase de desempeño representa un logro inadecuado, aceptable, o sobresaliente.”

Estándar de oportunidad

“Defi nen la disponibilidad de los recursos que las es-cuelas, distritos y el estado proporcionan para que los estudiantes puedan alcanzar los estándares de conte-nido y de desempeño.”

Evaluación de competencias básicas

Eje de la estrategia para el mejoramiento de la calidad de la educación. Establece los estándares de compe-tencias que los estudiantes y las estudiantes deben al-canzar en las áreas de lenguaje, matemáticas y ciencias naturales, para conocer qué tan lejos están los niños y jóvenes de que aprendan lo que deben aprender.

Indicador de logro

“Son indicios, señales, rasgos o conjuntos de rasgos, datos e informaciones perceptibles que si se confron-tan con lo que se espera, pueden considerarse como evidencias signifi cativas de la evolución del desarrollo humano.”

Lineamientos curriculares

Son el fundamento pedagógico, fi losófi co y epistemoló-gico de las áreas del conocimiento. “Con ellos se pre-tende atender la necesidad de orientaciones y criterios nacionales sobre los currículos, sobre la función de las áreas y sobre nuevos enfoques para comprenderlas y enseñarlas.”

Plan de área: Es el “mapa de navegación” de cada una de las áreas del conocimiento, donde se estructuran y explican, entre otros, los siguientes aspectos:

1. Antecedentes 2. Sentido 3. Estructura 4. Ejes 5. Contenidos: Estándares, competencias básicas,

logros. 6. Metodología 7. Evaluación: Aspectos e Instrumentos, estándares

de desempeño. 8. Planes para estudiantes con difi cultades. 9. Recursos

Plan de estudios: Es el esquema estructurado de las áreas obligatorias y optativas con sus respectivas asig-naturas que forman parte del currículo. Debe contener al menos los siguientes aspectos:

1. La intención e identifi cación de los contenidos de cada área.

2. Las correspondientes actividades pedagógicas. 3. La distribución del tiempo del proceso educativo. 4. Los logros, competencias y conocimientos. 5. Los criterios y procedimientos para evaluar el

aprendizaje y el desarrollo de capacidades. 6. Planes para estudiantes con difi cultades en su

aprendizaje. 7. La metodología aplicable a cada una de las áreas. 8. Indicadores de desempeño para auto evaluación

institucional.

Plan de mejoramiento institucional

Es una herramienta gerencial de mejoramiento institu-cional, con la cual es posible reorientar el camino de la institución educativa hacia unos propósitos y resulta-dos queridos y acordados, a partir de una caracteriza-ción y priorización de los problemas más sentidos de la institución.

Rotación de estudiantes

Es un sistema pedagógico de optimización de todos los espacios físicos de una institución educativa, que busca mejorar la calidad y la cobertura mediante la or-ganización y administración de aulas por áreas del co-nocimiento, que responden a un diseño institucional, de grado y de área.


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