Lpm Matematicas 2 v1 p 083 128

82 L ib ro para e l maest ro

Propsito de la sesin. Obtener equivalencias algebraicas entre expresiones lineales, empleando al rectngulo como modelo geomtrico.

Organizacin del grupo. Se sugiere que trabajen en parejas y que se organicen momentos de intercambio grupal.

Propsito de la actividad. Que los alumnos recuerden, a partir de un ejemplo sencillo, el tipo de situaciones en las que utilizaron expresiones algebraicas durante el primer grado de la secundaria. A partir de la expresin algebraica que se propone para el clculo del rea de un mismo rectngulo, los alumnos tratarn de obtener expresiones equivalentes.

Sugerencia didctica. Dedique a esta actividad slo el tiempo necesario para que los alumnos recuerden cmo se obtiene el rea de cualquier rectngulo (base por altura) y cmo se puede expresar algebraicamente el rea de un rectngulo que mide 4 de altura y b de base. Enfatice que en este momento no van a expresar las unidades de medida.

Eje

Sentido numrico y pensamiento algebraico.

Tema

Significado y uso de las operaciones.

Antecedentes

Durante el primer grado de la educacin secundaria los alumnos aprendieron a identificar expresiones algebraicas equivalen-tes en el contexto del clculo de reas y permetros de figuras. En esta secuencia trabajarn con expresiones algebraicas ms complejas que las de primer grado, pues implican operaciones combinadas y el uso de parntesis. Se espera que los alumnos logren reconocer y obtener ese tipo de expresiones a travs de la resolucin de problemas en los que se utilizan modelos geomtricos.

Propsitos de la secuencia Reconocer y obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo

de modelos geomtricos.

Sesin Propsitos de la sesin Recursos

1Expresiones equivalentes A partir del rectngulo como modelo geomtrico, obtener expresiones algebraicas equivalentes.

Interactivo

2

Ms expresiones equivalentes A partir de una expresin algebraica obtener otros equivalentes apoyndose en el rectngulo como modelo geomtrico.

Video Ms expresiones equivalentes

Interactivo

46

secuencia 3

En esta secuencia reconocers y obtendrs expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geomtricos

EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn primer ao aprendiste a obtener expresiones algebraicas para calcular el rea de dis-tintas figuras geomtricas. Por ejemplo, para un rectngulo de altura a y base b obtuvis-te la expresin ab.

De igual manera, la expresin 4b representa el rea de un rectngulo que mide 4 unidades de altura (a=4) y b unidades de base.

Los siguientes rectngulos tienen altura 4 y distintas bases: 2, 3 y 6. El rea de cada uno se puede calcular usando la expresin 4b. Calcula las reas usando esta expresin.

SESIN 1

Expresiones algebraicas y modelos geomtricos

Recuerda que:

ab = ab

4b = 4b

4

b

4 cm

b = 2 cm

rea =

4 cm

b = 3 cm

rea =

4 cm

b = 6 cm

rea =

83L ib ro para e l maest ro

Propsito del interactivo. Obtener expresiones algebraicas equivalentes para indicar el rea de un rectngulo.

Sugerencias didcticas. Con el interactivo se pueden resolver las actividades I y II del libro del alumno. La primera parte ayuda a que los alumnos obtengan el rea de un rectngulo como la suma de dos expresiones. La segunda actividad ayuda a mostrar que el rea del rectngulo se puede obtener utilizando diferentes expresiones. En la tercera actividad usted puede modificar el nivel de dificultad de las expresiones propuestas para obtener el rea del rectngulo. Permita que los alumnos exploren los diferentes ejercicios que se les presentan en el interactivo.

Propsito de la actividad. Que los alumnos descubran que hay varias expresiones que sirven para calcular el rea de un rectngulo.

Sugerencia didctica. Antes de que los alumnos respondan la pregunta, revise con ellos la informacin que se presenta en el recuadro: es importante que los alumnos se familiaricen con el uso de los parntesis para expresar una multiplicacin; comnteles que aun cuando la utilizacin del signo es correcta, como se muestra en el mismo recuadro, lo mejor es utilizar slo los parntesis para evitar confusiones.

Respuestas. Los incisos a, b y d son los correctos.

Posibles errores. Es probable que los alumnos identifiquen nicamente las expresiones 4(a + 2) y 4a + 8 y que no consideren la del inciso c). Tambin puede suceder que algunos alumnos opinen que la expresin 4a + 2 es correcta. Si esto sucede, permtales que en este momento contesten lo que ellos consideren, ms adelante tendrn la oportunidad de revisar sus respuestas y de corregir, si es necesario.

3

Sugerencia didctica. Anote las expresiones algebraicas en el pizarrn y pregunte al grupo cules consideraron correctas y cules no. Es muy probable que haya respuestas distintas, por lo que conviene que anime a los alumnos a que expresen por qu consideran que alguna expresin es correcta o no. Usted puede registrar algunas de sus ideas en el pizarrn para, posteriormente, volver a ellas y que los alumnos vean si estuvieron en lo correcto o si es necesario que corrijan algunas de sus respues-tas. No es necesario que en este momento todos lleguen a la respuesta correcta, podrn hacerlo ms adelante.

47

IIMATEMTICASEn esta secuencia encontrars distintas expresiones algebraicas que representan disitintas formas de calcular el rea de un rectngulo. Para simplificar los clculos omitiremos las unidades de medida de sus lados. Puedes pensar que se trata de medidas en centmetros.

Consideremos lo siguienteDe las siguientes expresiones, cules representan el rea del rectngulo enmarcado en rojo?

4

a 2

a) 4(a + 2) b) 4a + 8 c) 4a + 2 d) 2(a + 2) + 2(a + 2)

Comparen sus respuestas y comenten:

Cmo saben cules son correctas y cules no?

Manos a la obraI. Contesten las siguientes preguntas.

a) Cul es la medida de la altura del rectngulo enmarcado en rojo?

altura =

b) Escriban una expresin que represente la medida de la base de este rectngulo.

base =

c) Qu expresin resulta al multiplicar la medida de la altura por la medida de la base?

altura base =

Recuerden que:Para indicar que un nmero multiplica a una expresin se usan los parntesis: 5(b + 3) = 5(b + 3)

4

a + 2

4(a + 2)

Propsito de la actividad. Las actividades I y II dan elementos que permiten establecer que las expresiones 4(a + 2) y 4a + 8 s permiten calcular el rea del rectngulo. Aquellos alumnos que ya las haban identificado podrn constatar sus respuestas, y lo que no, tendrn oportunidad de corregirlas.


Propsito de la actividad. Que los alumnos reconozcan la expresin 2(a + 2) + 2(a + 2) como una expresin algebraica que s permite calcular el rea del rectngulo.

48

secuencia 3ii. Realicen lo siguiente.

a) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo verde oscuro:

b) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo verde claro:

c) Observen que el rea del rectngulo enmarcado en rojo es la suma del rea del rectngulo verde claro y del verde oscuro. Escriban otra expresin que represen-te el rea del rectngulo enmarcado en rojo a partir del rea de los rectngulos verde claro y verde oscuro:

Comparen sus respuestas.

iii. En la siguiente figura, la superficie del rectngulo enmarcado en rojo se dividi con una lnea horizontal.

2

a + 2

2

a) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo gris oscuro:

b) Escriban una expresin que represente el rea del rectngulo gris claro:

c) Usando las expresiones anteriores, escriban una expresin que represente el rea del rectngulo enmarcado en rojo:

2(a + 2)

2(a + 2)

2(a + 2) + 2(a + 2)


Propsito de la actividad. Que los alumnos ejerciten la sustitucin de valores en una expresin algebraica.


Sugerencias didcticas. Permita que los alumnos exploren las diferentes formas en que se pueden dividir los rectngulos. Pdales que escriban las expresiones con las que se determinara el rea del rectngulo. Si es necesario recurdeles que para obtener el rea del rectngulo original hay que sumar el rea de todos los rectngulos en los que se dividi.

Posibles dificultades. Probablemente algunos alumnos no sepan cmo usar las dos expresio-nes (de los incisos a y b) para calcular el rea del rectngulo enmarcado en rojo (inciso c). Anime primero a los alumnos para que comenten cmo resolvieron el inciso c); es probable que algunos hayan escrito (a + 2) 2 + (a + 2) 2, dgales que esta expresin es la misma que 2(a + 2) + 2(a + 2) , pero que es mejor no utilizar el signo para evitar confusiones.

Si an hay dificultades, puede decirles que la suma de las reas de los rectngulos gris oscuro y gris claro es igual al rea del rectngulo enmarcado en rojo. Posteriormente, lea junto con los alumnos la informacin del recuadro y pdales que regresen al apartado Consideremos lo siguiente para que revisen sus respuestas, y en caso de que sea necesario, las corrijan.

49

IIMATEMTICASIV. Dividan el rectngulo de abajo y usen esa divisin para encontrar otra expresin al-

gebraica que represente su rea.

a + 2

4

rea =

Comparen sus respuestas y comenten la siguiente informacin.

Existen varias expresiones algebraicas que representan el rea de un rectngulo de medidas 4 y (a + 2). Por ejemplo, las tres expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2)representan su rea.

V. Contesten las siguientes preguntas:

a) Cunto vale la expresin 4(a + 2), si a = 3?

b) Cunto vale la expresin 4a + 8, si a = 3?

c) Cunto vale la expresin 2(a + 2)+2(a + 2), si a = 3?

VI. Completen la siguiente tabla calculando el valor de las expresiones 4(a + 2), 4a + 8y 2(a + 2)+2(a + 2) para los valores de a indicados en la primera columna.

a 4(a + 2) 4a + 8 2(a + 2)+2(a + 2)

4 4(4+2)=4(6)=24

4.5 4(4.5)+8=18+8=26

5

5.5

6 2(6+2)+2(6+2)=2(8)+2(8)=16+16=32

4(4) + 8 = 16 + 8 = 24 2(4 + 2) + 2(4 + 2) = 2(6) + 2(6) = 12 + 12 = 24

4(4.5 + 2) = 4(11) = 44 2(4.5 + 2) + 2(4.5 + 2) = 2(6.5) + 2(6.5)= 13 +13 = 26

4(5 + 2) = 4(7) = 28 4(5) + 8 = 20 + 8 = 28 2(5 + 2) + 2(5 + 2) = 2(7) + 2(7) =

14 + 14 = 28

4(5.5 + 2) = 4(7.5) = 30 4(5.5) + 8 = 22 + 8 = 30 2(5.5 + 2) + 2(5.5 + 2) = 2(7.5) + 2(7.5)= 15 + 15 = 304(6 + 2) = 4(8) = 32 4(6) + 8 = 24 + 8 = 32

Sugerencia didctica. Para mayor rapidez pida a las parejas que se organicen y que se dividan las columnas, pero que hagan los clculos paso a paso como en los ejemplos. Antes de que empiecen, usted puede revisar con todo el grupo alguno de los ejemplos ya resueltos, haga nfasis en que primero se resuelve la operacin que est indicada entre parntesis. Mientras los alumnos terminan, usted puede reproducir la tabla en el pizarrn para que posteriormente puedan compararse los resultados.


Sugerencia didctica. Pida a algunos alumnos que completen la tabla en el pizarrn, escribiendo nicamente el resultado; en caso de que haya diferencias en algn resultado, pida al alumno que lo registr que escriba el desarrollo completo de las cuentas, para que el grupo pueda identificar si hubo algn error o no.

Para el valor de 163.25, una vez que los alumnos hayan expresado su hiptesis, pdales que la verifiquen sustituyendo el valor de a en cada una de las expresiones. Para que esto sea ms rpido, unos alumnos pueden usar la primera expresin, otros la segunda y otros la tercera, y despus comparan sus resultados.

Propsito de la actividad. Que los alumnos constaten que la expresin 4a + 2 no sirve para calcular el rea del rectngulo, pues el valor que se obtiene con ella no coincide con el de todas las dems.

Sugerencia didctica. Si observa que los alumnos tienen dificultades para responder a esta pregunta, invtelos a comparar los resultados que se obtienen con esta expresin, con los que se obtuvieron en la otra tabla con las dems expresiones. Una vez que se hayan dado cuenta de que es errnea, pdales que regresen al problema inicial y que revisen si la haban elegido como correcta o no. Tambin puede recuperar alguna de las ideas que los alumnos expresaron en el problema inicial respecto a si esta expresin era correcta o no.

50

secuencia 3Comparen los resultados que obtuvieron en las tres columnas y comenten:

Creen que para cualquier otro valor de a las tres expresiones coincidan?

Por ejemplo, coincidirn para a = 163.25?

A lo que llegamosLas expresiones 4(a + 2), 4a + 8 y 2(a + 2) + 2(a + 2) siempre dan el mismo resultado al asignarle valores a a, pues representan el rea del mismo rectngulo, por lo que se puede escribir:

4(a + 2) = 4a + 8 = 2(a + 2) + 2(a + 2)A este tipo de expresiones se les llama expresiones equivalentes.

Vi. Completen la siguiente tabla.

a 4a + 2

4

4.5 4(4.5) + 2 = 18 + 2 = 20

5

5.5

6

La expresin 4a + 2 no representa el rea de un rectngulo de lados que miden 4 y

(a + 2), por qu?

Lo que aprendimos1. Las siguientes figuras son dibujos del mismo rectngulo, con distintas divisiones de su

superficie. Para cada una de estas figuras escribe una expresin algebraica que repre-sente su rea a partir de la divisin que se propone.

b + 2

3

Expresin: 3(b+2)

Sugerencia didctica. Comente al grupo que cuando se multiplica por 1 no es necesario escribirlo, por ejemplo, 1 b se escribe nicamente b. Esto debe considerarse particular-mente para el tercer caso.

Una vez que los alumnos hayan concluido, pdales que elijan un valor para b y que lo sustituyan en las expresiones que elaboraron, para verificar que efectivamente obtienen el mismo resultado en todas ellas.


51

IIMATEMTICAS

2. Encuentren dos expresiones equivalentes que repre-sentan el rea del rectngulo gris oscuro a partir de la figura que se propone.

Llenen la siguiente tabla para verificar que las expresiones que obtuvieron dan el mismo resultado al sustituir los valores c = 3, 3.5, 4, 4.5 y algn otro valor que elijan.

Expresin 1 Expresin 2

c

3

3.5

4

4.5

3. Dividan la figura de la derecha en rectngulos de me-nor rea y encuentren dos expresiones equivalentes que representen el rea de la figura completa.

2

b + 2

1

Expresin:

b 2

3

Expresin:

=

Expresin 1 Expresin 2 c

3

2

=

a + 2

a

Incorporar al portafolios. Algunos alumnos podran creer que deben calcular el rea del rectngulo enmarcado en rojo. Aclreles que se trata del rectngulo gris oscuro; asmismo, si lo considera necesario, puede orientarlos sealando que (c2) representa la medida de la base del rectngulo gris oscuro.

3c6 3c(23) 3(c2)

a(a + 2) a 2 + 2a

Sugerencia didctica: Si los alumnos tienen dificultades, usted puede sugerirles dividir la figura usando una lnea horizontal.

Una vez que hayan escrito las expresiones, recurdeles que para simplificar la notacin se acostumbra escribir a 2 en lugar de a a.

2(b + 2) + (b + 2)3b + 6 3b + 3(2)


Propsito de la actividad. Que los alumnos logren encontrar una expresin equivalente a la expresin 3(x+2).

Respuesta.

Propsito de la sesin. Obtener expresiones algebraicas equivalentes a otra usando el modelo geomtrico del rectngulo.

Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos se resuelva individualmente.

Propsito de la actividad: Introducir al alumno a las dificultades que tiene la obtencin de expresiones equivalentes.

Posibles dificultades. Algunos alumnos podran requerir de la representacin del rectngulo para comprender mejor las expresiones equivalentes. Si es as, sugirales que intenten dibujar un rectngulo que les ayude.

Sugerencia didctica. Pida a algunas parejas que presenten al grupo las expresiones equivalentes que escribieron. En caso de que algunos alumnos no estn de acuerdo con algunas de las respuestas, invtelos a que den sus argumentos. Si no logran identificar o corregir sus respuestas, en las siguientes actividades tendrn la oportunidad de hacerlo.

52

secuencia 3

MS EXPRESIONES EQUIVALENTESPara empezarEn la sesin 1 aprendiste a obtener expresiones algebraicas equivalentes a partir de un rectngulo. En esta sesin aprenders a obtener expresiones equivalentes a partir de otra dada.

Consideremos lo siguientePara cada una de las siguientes expresiones encuentren una expresin equivalente.

a) 3(x+2) = b) 2(2x + 4) =

Comparen sus respuestas y comenten cmo hicieron para encontrarlas.

Manos a la obrai. Dibujen un rectngulo cuya rea se represente con la expresin 3(x+2)

SESIN 2

Dividan la superficie del rectngulo anterior en varios rectngulos pequeos. Encuentren las expresiones que corresponden al rea de cada uno de los rectngulos pequeos y antenlas:

3(x+2) =

Comparen sus respuestas. Comenten cmo dividieron la superficie del rectngulo grande y cmo encontraron el rea de cada uno de los rectngulos pequeos.

Expresin Rectngulo

3(x+2)

3x+6

3

x 2



Sugerencia didctica. Si los alumnos presentan dificultades para resolver, pdales que primero intenten estimar las medidas de los segmentos marcados usando expresiones algebraicas.

53

IIMATEMTICASII. Dibujen un rectngulo cuya rea se represente con la expresin 2(2x + 4), divdanlo

en rectngulos ms pequeos y encuentren sus reas.

Expresin Rectngulo

2(2x + 4)

2(2x + 4) =

Comparen sus respuestas y comenten: son equivalentes las expresiones que obtuvieron? Por qu?

III. Usen la siguiente figura para encontrar una expresin equivalente a x 2 + 2x.

x 2 2x

x 2 + 2x =

Posibles dificultades. Esta es la primera vez que se estudia una expresin con coeficiente distinto de 1 en la literal, los alumnos no conocen un rectngulo que sirva para ello, sin embargo se espera que puedan lograrlo apoyndose en su experiencia adquirida con la expresin 3(x + 2).

Respuesta.

x(x+2)

x

2x

2

x x 4

4x + 8


Descripcin del video. El video formaliza los conceptos vistos a lo largo de la secuencia en relacin con las expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geomtricos. Se utilizan los recursos visuales para mostrar las equivalencias algebraica y geomtricamente. Por tal razn se recomienda su uso al final de la secuencia.

54

secuencia 3

A lo que llegamosMs expresiones equivalentes

Cuando se quiere encontrar una expresin equivalente a otra dada, puede ser til cons-truir un rectngulo cuya rea se represente con la expresin. Por ejemplo, para la expre-sin dada 3(2x + 1) se puede construir un rectngulo que mida 3 unidades de altura y 2x+1 unidades de la base:

x x 1

1

1

1

Dividiendo este rectngulo en piezas de menor rea se puede ver que la expresin 6x+3tambin sirve para calcular su rea, y por lo tanto es equivalente a la expresin 3(2x+1).

Lo que aprendimos1. Para cada una de las siguientes expresiones encuentra una expresin equivalente a

sta.

a) 3(2x+3) = b) x(2x+4) =

2. Para cada uno de los siguientes rectngulos anota las medidas de sus lados en los es-pacios marcados, y despus usa la figura para escribir dos expresiones equivalentes que representen su rea.

a)

5a 15

= 5a+15 5(a+3)

5

3a

6x+9 2x 2+4x


Incorporar al portafolios. Si lo considera necesario, sugiera a los alumnos calcular el rea de cada pieza y luego sumar todas las reas.

55

IIMATEMTICASb)

a 2 4a

=

3. Aydate de la siguiente figura para encontrar una expresin equivalente a la expresin

(b + 1)(b + 2) =

b 1

b

1

1

Para saber msSobre otras expresiones algebraicas equivalentes a partir de modelos geomtricosconsulta:http://www.interactiva.matem.unam.mx Ruta: lgebra Una embarrada de lgebra Binomio al cuadrado[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Universitario de Enseanza de las Matemticas Asistida por Computadora(PUEMAC), UNAM.

a 2+4a a(a+4)

a

4a

b 2+3b+2


Propsito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posicin relativa de dos rectas en el plano y los ngulos que se forman.

Propsito de la sesin. Identificar a los ngulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ngulos.Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen individualmente y que se organicen momentos para comentarios grupales.

Descripcin del video. Se hace un repaso histrico de la medicin de ngulos y el uso del sistema sexagesimal. Se pone nfasis en la asociacin que tiene la medicin de los ngulos con la medicin del tiempo. Se dan hiptesis de por qu la circunferencia est dividida en 360 grados.

Sugerencia didctica. Comente con los estudiantes las caractersticas de cada uno de los ngulos mostrados. Por ejemplo, cules son los lados en cada uno?, cul es la direccin del giro?, cul es el ngulo es mayor? cul es el ngulo menor?

Posibles dificultades. Para resolver el problema, los alumnos necesariamente tienen que utilizar el transportador. Pueden presentar dificultades o errores como los siguientes:

Colocar el transportador en posicin incorrecta.

Confundir el sentido del giro y tomar medidas que no corresponden (sobre todo con los transportadores semicirculares).

Otra dificultad puede ser interpretar mal las instrucciones. Usted puede ayudarlos a compren-derlas preguntando: alguien ha entendido de qu se trata el problema? Cul es el punto de partida? Hacia qu direccin debe mirar la persona en el punto de partida? Y luego hacia adnde gira?, etctera. Debe tener cuidado en no mostrarles en este momento la solucin, sino nicamente ayudarlos en caso de que tengan dudas con algunas instrucciones. Lo interesante ser ver cmo colocan el transportador, cmo miden los ngulos y el resultado que obtienen finalmente.

56

secuencia 4

En esta secuencia determinars la medida de ngulos usando tu transportador, y deducirs algunas medidas sin usarlo.

MEDIDAS DE NGULOSPara empezar El grado como unidad de medida

La regularidad de los fenmenos naturales y astronmicos interes a hombres de todos los tiempos. Antiguas civilizaciones, como la babilnica, estimaron la duracin del ao en 360 das. Como estas civilizaciones pensaban que el Sol giraba alrededor de la Tierra, dividieron en 360 partes la trayectoria en la que vean moverse al Sol, haciendo corres-ponder a cada parte un da y una noche. Es probable que de esta divisin se derive la divisin de un giro completo en 360 partes, llamadas grados.

Los siguientes son algunos ngulos que encontrars frecuentemente en tus secuencias de geometra. Observa sus medidas y sus nombres.

ngulos

SESIN 1

90

180

270

360

ngulo recto ngulo llano ngulo entrante

Son los ngulos que miden ms de 180

y menos de 360

ngulo perigonal

Consideremos lo siguienteEn el bal de su pap, Jaime encontr un viejo pergamino en el que se indica cmo y dnde encontrar un cofre lleno de monedas de oro. Las indicaciones para llegar al te-soro estaban claras, pero una mancha de agua borr el mapa. Sigue las indicaciones y aydale a Jaime a reproducir el mapa. Supn que un paso es igual a un centmetro.

EjeForma, espacio y medida.

TemaFormas geomtricas.

Antecedentes

Desde la escuela primaria los alumnos han trabajado con ngulos: los identifican, los miden mediante diversos recursos, y los usan como criterio para caracterizar determinadas figuras. En el primer grado de la secundaria los ngulos fueron un auxiliar importante para el estudio de ciertas nociones, como la simetra y la bisectriz, as como para la caracterizacin de los polgonos regulares. En este grado se pretende que los alumnos formalicen sus conocimientos y que a partir de ellos, elaboren deducciones sencillas que les permitan resolver situaciones en las que tienen que calcular la medida de un ngulo. As mismo, se promueve la habilidad para medir ngulos utilizando el transportador.

Propsitos de la secuencia Resolver problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ngulos,

utilizando el grado como unidad de medida.


1

Medidas de ngulos Identificar a los ngulos como una herramienta para resolver problemas. Utilizar el transportador para medir ngulos.

Video El grado como unidad de medida

Interactivo

Prog

ram

a in

tegr

ador

3

2

ngulos internos de tringulos Descubrir propiedades de los tringulos a partir de la medicin de ngulos. Deducir medidas de ngulos.

Interactivo

3

Deduccin de medidas de ngulos Deducir la medida de ngulos a partir de las caractersticas y propiedades de las figuras. Hacer generalizaciones sobre medidas de ngulos a partir de casos particulares.


Propsito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

Sugerencias didcticas. El interactivo presenta un transportador que por su tamao y fcil manejo puede ayudar a mostrar la manera correcta de medir los ngulos a todo el grupo. Pida a algunos alumnos que pasen al pizarrn a medir los ngulos presentados en el interactivo.

Propsito de la actividad. Que los alumnos reflexionen sobre el uso del transportador para medir ngulos.

Respuesta. Las ilustraciones 2 y 3 son las correctas. En las ilustraciones 1, 4 y 5 el transportador est mal colocado.

57

IIMATEMTICAS

Comparen sus mapas y comenten cmo hicieron para reconstruirlos.

Manos a la obra I. Encierra con un crculo las ilustraciones en las que el transportador se utilice de ma-

nera correcta para medir el ngulo.

Para encontrar el cofre tienes que llegar a la meseta del Cerro Colorado y caminar hasta el monolito que ah encuentres. Luego, tienes que sentarte en el monolito viendo hacia al Este, gira 60 al Norte y camina de frente 3 pasos. En ese punto clava una estaca. Regresa al monolito y sintate viendo al oeste. Gira 150 al sur y camina de frente 4 pasos, en este punto clava otra estaca. El cofre est enterrado justo a la mitad de la distancia entre las dos estacas.

1

4

2 3

5

3

60

150

estaca 1

4estaca 2

cofre


Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos argumenten por qu consideran que unas respuestas son correctas y otras incorrec-tas. Es posible que alguno de ellos haya utilizado una de las errneas; invtelos a comentar las dificultades que tuvieron al utilizar el transpor-tador en el problema inicial.

Respuesta. La medicin no es correcta, pues se est haciendo una lectura errnea en el transportador.

Respuestas. De izquierda a derecha, el primer ngulo no mide 60, y la longitud del lado debera ser de 3 cm; el segundo ngulo s cumple con las indicaciones; en el tercero el giro se hizo en sentido contrario, y en el cuarto ngulo el punto de partida est mal orientado, pues tendra que estar dirigido hacia el este, no al oeste.

3

Sugerencia didctica. Es probable que algunos alumnos hayan cometido errores similares a los que se presentan, por ello es importante que expresen sus argumentos sobre cul ngulo cumple con las condiciones establecidas, de esa manera ser posible que quienes hayan tenido errores o dudas, puedan corregirlos.

Sugerencia didctica. Cercirese de que todos los alumnos tengan clara la forma correcta de medir ngulos usando el transportador. Para ello, dibuje un ngulo en el pizarrn y, si cuenta con un juego de geometra grande, pida a un alumno que pase a mostrar cmo se mide; tambin pueden hacerlo en el cuaderno con cualquier ngulo que ellos tracen.

58

secuencia 4

monolito

estaca 1

monolito

estaca 1

monolito

estaca 1

monolito

estaca 1

Comparen sus respuestas y comenten los errores que descubrieron en el uso del trans-portador en las ilustraciones. Comenten en la ilustracin de abajo se est midiendo de manera correcta el ngulo?

ii. Cul de los siguientes ngulos cumple con las indicaciones del mapa para determi-nar el lugar de la primera estaca?

Comparen sus resultados y comenten los errores que descubrieron en los ngulos. Veri-fiquen sus mapas. Si es necesario, hganlos otra vez.

A lo que llegamosAl medir un ngulo hay que colocar la marca central del transportador sobre el vrtice del ngulo. La marca que corresponde a 0 debe coincidir con un lado del ngulo.

115115


Respuesta. Otra forma es midiendo el complemento de 360 del ngulo que se quiere medir.

Propsito del interactivo. Mostrar el uso del transportador y ejercitar su uso.

Sugerencias didcticas. Pida a los alumnos que pasen al pizarrn a medir los diferentes ngulos que presenta el interactivo.

Sugerencia didctica. Generalmente los estudiantes cuentan con transportadores de 180, por lo que es importante apoyarlos para medir un ngulo cuya medida es mayor que 180.

59

IIMATEMTICASIII. A continuacin se presenta una forma de medir ngulos mayores de 180.

D

E

F

Prolonga uno de los lados del ngulo marcado de forma que la prolongacin lo divi-da en dos ngulos.

a) Cunto mide cada uno de los ngulos que se formaron? y

b) Cunto mide el ngulo marcado originalmente?

Comparen sus respuestas y comenten: habr alguna otra manera de medir un ngulo mayor que 180? Cul?

IV. Recuerda que un ngulo est formado por dos semirrectas que tienen el mismo pun-to inicial. A las semirrectas se les llama lados del ngulo. Al punto inicial se le llama vrtice.

ladovrtice

lado

180 100

280


Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos para que expliciten que la longitud de los lados de un ngulo no influye en la medida de ste.

60

secuencia 4Anota en los cuadritos los nmeros del 1 al 5 para ordenar de mayor a menor los si-guientes ngulos.

Comparen sus respuestas. Comenten:

a) En qu se fijaron para comparar los ngulos?

b) Cunto mide cada uno de los ngulos?

A lo que llegamosLa medida de un ngulo no depende de la longitud de sus lados. Por ejemplo, el ngulo azul y el ngulo verde miden 100.

1 4 2

5 3


Respuesta. El estudiante que est en medio de todos los dems.

61

IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Considera las siguientes semirrectas como un lado y su punto inicial como vrtice.

Construye los ngulos que se piden, utiliza tu transportador.

2. Usa tu transportador y determina cunto miden los ngulos marcados.

3. Varios estudiantes fueron al museo y se pararon frente a una de las pinturas para observarla mientras escuchaban la explicacin del gua. Las figuras muestran la for-ma como se acomodaron los estudiantes. A fin de ver la pintura completa, identifica quin tiene el mayor ngulo.

Cul de todos tiene el mayor ngulo para ver la pintura completa?

E

120

Q

210

R

70

Incorporar al portafolios. Considere el primero y el segundo problema para el portafolios. Para el primer problema hay dos posibilidades correctas para cada ngulo, de acuerdo con la direccin que los alumnos decidan darle al giro.

En caso de que los alumnos muestren errores en la resolucin de estos problemas, revise con ellos nuevamente la forma correcta en que se miden los ngulos usando el transportador (apartado A lo que llegamos), y pdales que midan y construyan ngulos de manera similar a las actividades de este apartado.

Respuestas. El ngulo morado mide 150 y el azul 100.


Propsitos de la sesin. Descubrir propiedades de los tringulos a partir de la medicin de ngulos. Deducir medidas de ngulos.

Organizacin del grupo. Los alumnos pueden resolver individualmente y comparar sus respuestas con todo el grupo.

Sugerencia didctica. Antes de que los alumnos traten de construir los tringulos, pdales que intenten anticipar una respuesta. Es posible que la mayora piense que las tres opciones pueden ser las medidas de los ngulos de un tringulo, pues es probable que no sepan o que no recuerden que la suma de los ngulos internos de un tringulo debe ser de 180. En caso de que algn alumno s utilice ese conocimiento para poder anticipar en qu caso s es posible construir un tringulo, invtelo a que comente al grupo sus argumentos. En este momento evite decir quin tiene la razn, invtelos a que construyan los tringulos para que verifiquen sus respuestas.

Respuesta. La terna del inciso c) es la que funciona para construir el tringulo.

62

secuencia 4

NGULOS INTERNOS DE TRINGULOSPara empezarUn ngulo se puede representar por medio de una letra mayscula asignada a su vrtice. Por ejemplo, el siguiente ngulo se puede representar como D.

D

Consideremos lo siguienteCules de las siguientes ternas son las medidas de los ngulos internos de un tringulo? Construye el tringulo correspondiente. Utiliza el segmento aB como uno de los lados.

a) 30, 60, 70

a B

Pudiste construir el tringulo?

Justifica tu respuesta

b) 50, 70, 120

a B



SESIN 2


63

IIMATEMTICASc) 50, 60, 70

A B



Comparen sus respuestas y comenten cmo construyeron sus tringulos.

Manos a la obraI. La siguiente figura muestra una construccin incompleta en la que se intenta cons-

truir el tringulo con la terna de medidas 30, 60 y 70 y con el segmento NM como uno de sus lados. Completa la construccin.

a) Con tu transportador mide el tercer ngulo interno de este tringulo.

Cunto mide?

b) Cunto suman las medidas de los ngulos internos de este tringulo?

Comparen sus respuestas.

II. En la siguiente figura se intenta construir un trin-gulo con la terna 50, 70 y 120 como medidas de sus ngulos internos y con el segmento QRcomo uno de sus lados. Completa la construccin.



N M

7030

Q R

120

Propsito de la actividad. Que los alumnos identifiquen que las medidas de los ngulos internos son caractersticas importantes para determinar la posibilidad de que un tringulo exista o no. Gradualmente irn identificando que la suma de los ngulos internos de un tringulo debe ser de 180.


Sugerencia didctica. Es posible que los alumnos obtengan respuestas cercanas a 180, usted puede aprovechar para que los alumnos reflexionen sobre la posibilidad de que haya errores cada vez que hacemos mediciones, y que esos errores son aceptables siempre y cuando las diferencias sean mnimas.

Sugerencia didctica. Aproveche la diversidad de tringulos que los alumnos construyeron para que concluyan que en todos los tringulos la suma de las medidas de sus ngulos internos es igual a 180. Es recomendable trabajar con ellos esta conjetura antes de leer el apartado A lo que llegamos.

Propsito de la actividad. Que los alumnos observen el ngulo que se forma al juntar los tres ngulos internos de un tringulo, para que con ello se pueda mostrar que la suma de los ngulos internos de un tringulo es igual a 180.

64

secuencia 4Comparen sus construcciones y comenten:

a) Si el ngulo en el vrtice Q mide 50, cunto mide el tercer ngulo interno?

b) Se puede construir un tringulo con dos ngulos internos que midan 70 y 120?Por qu?

iii. Dibuja un tringulo en una hoja blanca, pinta cada uno de sus ngulos internos de un color distinto. Corta el tringulo en tres partes de manera que en cada parte quede uno de los ngulos internos. Pega las tres partes haciendo coincidir los vrtices en un punto rojo, como se indica en las fotos. Ten cuidado de que no se encimen las partes y que no dejen huecos entre ellas.

Cunto mide el ngulo que se obtiene al pegar los tres ngulos del tringulo que dibujaste?

Comparen sus respuestas y comenten:

Creen que si dibujan otro tringulo, la medida del ngulo formado al pegar sus tres ngulos internos sea la misma? Por qu?


Propsito del interactivo. Practicar el uso del transportador, comprobar que la suma de los ngulos interiores de los tringulos es 180.

Deducir las medidas de los ngulos interiores de otros tringulos.

Sugerencias didcticas. Pida a algunos alumnos que midan los ngulos interiores de los tringulos presentados en el interactivo, mientras los dems llenan la tabla que se muestra. Se pretende que los alumnos concluyan que la suma de los ngulos interiores del tringulo es 180. Con esta informacin pida a los alumnos que llenen las tablas que se presentan en el interactivo.

65

IIMATEMTICASIV. Mide los ngulos internos de los siguientes tringulos. Anota las medidas en la tabla.

P

Q

R

X

WY

A

C

B

Tringulo ngulo ngulo ngulo

Suma de las medidas de los

tres ngulos internos

ABC A=

WXY W=

PQR

HIJ J=

A lo que llegamosLa suma de las medidas de los ngulos internos de cualquier tringulo es igual a 180.

H

I

J

Posibles errores. Es probable que los nmeros que anoten en la quinta columna no sean exactamente 180, pues son posibles algunos errores en la medicin.


66

secuencia 4

Lo que aprendimos1. Los tringulos equilateros tienen sus tres ngulos internos iguales. Sin usar transportador, contesta la pregunta.

Cunto mide cada uno de los ngulos internos de

cualquier tringulo equiltero?

DEDUccIN DE MEDIDAS DE NGULOSPara empezarSabas que en todos los tringulos issceles dos de sus ngulos internos son iguales?

Verifica esta propiedad en los siguientes trin-gulos issceles y pinta del mismo color los n-gulos que sean iguales.

SESIN 3

Recuerda que:

Se llaman tringulos issceles

los tringulos que tienen

dos lados iguales.

A continuacin se presentan varios problemas sobre medidas de ngulos.

Recuerda que:

Se llaman tringulos

equilteros aquellos

que tienen sus tres

lados iguales.

Sugerencia didctica. A partir de los resultados obtenidos anteriormente, comente con los alumnos cmo pueden deducir la medida de los ngulos internos de un tringulo equiltero (la medida es de 60).

Propsitos de la sesin. Deducir la medida de ngulos a partir de las caractersticas y propiedades de las figuras.

Hacer generalizaciones sobre medidas de ngulos, a partir de casos particulares.

Organizacin del grupo. Los alumnos pueden resolver de manera individual y comparar sus resultados con todo el grupo.

Sugerencia didctica. El tringulo rojo es un tringulo equiltero; comente con los alumnos que el tringulo equiltero cumple con la propiedad de los tringulos issceles, pues dos de sus ngulos son iguales. Los tringulos equilteros son de la familia de los issceles.


67

IIMATEMTICASLo que aprendimosOtra forma de representar ngulos es con tres letras maysculas, una para el vrtice y dos para un punto de cada lado del ngulo. As, el ngulo

S

R

T

se representar como TSR. Observen que la letra correspondiente al vrtice se coloca en medio de las otras dos.

1. El pentgono regular est inscrito en un crculo de centro O y radio OA.

O

AB

C

Sin utilizar instrumentos de medicin responde: cunto mide ABC?

Comparen y comenten sus respuestas.

Responde las siguientes preguntas.

a) Cunto mide el ngulo central del pentgono?

b) Qu tipo de tringulo es OAB?

c) Cunto miden OAB y OBA?

d) OBA = OBC por qu?

Respuesta. 180


Incorporar al portafolios. Elija el problema 3 o el 4 para la evaluacin. Aclare a los alumnos que no deben utilizar el transportador para resolver los siguientes problemas, pues pueden hallar el valor de los ngulos estableciendo relaciones entre las caractersticas de las figuras y los conocimientos que han elaborado durante esta sesin.

Respuestas.

Hexgono: El ngulo mide 120. El hexgono puede dividirse en 6 tringulos. La medida del ngulo central, y de los otros ngulos, es de 60 por tratarse de tringulos equilteros.

Pentgono: El ngulo mide 150, pues se forma con la suma de los 90 del ngulo del rectngulo y los 60 del tringulo.

Sugerencia didctica. Es importante que estos ejercicios se realicen sin utilizar instrumentos de medicin.

68

secuencia 42. En los siguientes tringulos issceles se marc la medida del ngulo formado por los

lados iguales. Selecciona del recuadro las medidas de los ngulos faltantes y antalas en el tringulo correspondiente.

3. Determina el valor de los ngulos marcados y escribe en tu cuaderno el proceso que utilizaste para determinar el valor de cada uno.

Hexgono regularPentgono formado

por un rectngulo y un tringulo equiltero

54 80 67.5 33.5 40

113

72

100

45


69

IIMATEMTICAS4. Sin utilizar instrumentos de medicin, determina la medida de los ngulos marcados

con rojo en las ilustraciones.

50

T

S

RN

M O

RST = MNO =

Para saber msSobre ngulos y cmo interactuar con ellos consulta:http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/Medicion_de_angulos/index.htmRuta 1: El transportador de ngulosRuta 2: ngulos complementarios y suplementarios[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].Proyecto Descartes. Ministerio de Educacin y Ciencia. Espaa.

Respuesta. Mide 130. En caso de que algn alumno ponga una medida menor, es probable que considere, de manera errnea, que como la representacin del ngulo rojo es menor que la del ngulo gris, entonces el ngulo debe ser ms pequeo. En ese caso, aclare a los alumnos que ese no es un buen criterio para comparar ngulos, en cambio, hay informacin pertinente en la que pueden apoyarse para determinar la medida del ngulo, en este caso, la medida del otro ngulo: 18050=130.


Propsito del programa integrador. Presentar datos del grado como unidad de medida y explicar la posicin relativa de dos rectas en el plano y los ngulos que se forman.

Propsito de la sesin. Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y comps y poder definirlas correctamente.

Organizacin del grupo. Se sugiere trabajar en parejas todas las actividades de la sesin, y llevar a cabo intercambios de respuestas y comentarios con todo el grupo.

Materiales. Instrumentos geomtricos: regla, escuadras, transportador y comps.

Propsito de la actividad. El estudio de las rectas paralelas inicia en tercer grado de educacin primaria, en donde una forma de trazar rectas paralelas es el doblado de papel. Utilizar nuevamente ese recurso es una manera familiar y tangible de abordar el estudio de una nocin que ser ampliada y enriquecida en el transcurso de esta secuencia.

Posible dificultad. No saber medir adecuada-mente la distancia entre un punto y una recta, por lo que es importante que les recomiende leer con atencin la nota del Recuerden que. Esta idea la practicaron en primer grado (al medir la distancia de puntos simtricos al eje de simetra y al medir alguna de las alturas de un tringulo). Se espera que la escala no represente una dificultad.

Posibles procedimientos:Marcar los puntos al tanteo, aproximando los 2 centmetros.Marcar puntos a 2 cm de la recta pero sin conservar la perpendicularidad. Pueden darse cuenta del error al tratar de trazar una recta, pues los puntos no quedarn alineados.Marcar los puntos usando la escuadra para medir los 2 cm de cada punto a la recta.Para los alumnos que tienen una idea clara de que las paralelas son rectas que conservan la misma distancia entre s, es probable que tracen la paralela a 2 cm (lo saben hacer con las escuadras) y ubiquen diez puntos de ella. Este procedimiento es el ptimo.

70

secuencia 5

Cmo se llaman las rectas que no se cortan?, y las que s se cortan?; cuando dos rectas se cortan se forman cuatro ngulos, cmo se relacionan sus medidas?

Este tipo de preguntas son las que podrs contestar cuando termines de estudiar esta secuencia.

Rectas que no se coRtanPara empezarDesde la escuela primaria has estudiado el trazo de paralelas usando distintos recursos, lo recuerdas? Uno de esos recursos fue el doblado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces tal como se muestra en la figura y marca las rectas paralelas. Despus pega la hoja en tu cuaderno.

sesin 1

Rectas y ngulos

Recuerden que:

La distancia de un punto a una

recta se mide sobre la perpendicula

r

del punto a la recta.

Observen:

Consideren que la recta roja representa una carretera y que 1 cm representa 1 km. La casa de Lety est situada a 2 km de la carretera del lado donde est el punto azul, seala con puntos cinco lugares donde podra estar la casa de Lety.

Consideremos lo siguiente



Antecedentes

Los alumnos han trabajado con las nociones de ngulo y de rectas paralelas y perpendiculares desde la escuela primaria y en el primer grado de la secundaria. En ese ltimo grado trazaron perpendiculares y paralelas y midieron ngulos para resolver situaciones relacionadas con las nociones de simetra, mediatriz y bisectriz, as como para construir diversas figuras geomtricas. Se espera que en el segundo grado, adems de reconocer esos tipos de rectas y las clases de ngulos, identifiquen y describan sus propiedades, establezcan relaciones entre ellos y elaboren argumentos para validar tales propiedades y relaciones; asimismo, que sean capaces de aplicar esas nociones para resolver ciertos problemas.

Propsitos de la secuencia Determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar

definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecer relaciones entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocer ngulos opuestos por el vrtice y adyacentes.


1

Rectas que no se cortan Profundizar en el estudio de las rectas paralelas al aprender a trazarlas con regla y comps y poder definirlas correctamente.

Interactivo Aula de medio

Prog

ram

a in

tegr

ador

3

2

Rectas que se cortan Profundizar en el estudio de las rectas perpendicu-lares al aprender a trazarlas con regla y comps, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

Interactivo

3

Relaciones entre ngulos Identificar y definir a los ngulos opuestos por el vrtice y a los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ngulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

Video Parejas de rectas

Interactivo


Propsito de la actividad. Definir objetos geomtricos y comunicar a otros sus propieda-des es una habilidad que tiene que ver con la adquisicin y el desarrollo de un lenguaje matemtico. Con esta actividad es posible identificar el grado de comprensin que tienen del objeto que estn definiendo; al mismo tiempo, los alumnos tienen la oportunidad de expresar por escrito una idea. No se espera que los alumnos den una respuesta totalmente correcta o completa. Algunas respuestas podran ser: Son dos lneas rectas que no se juntan, Rectas que no se cortan, Rectas que estn a la misma distancia.

2

Sugerencia didctica. Si el tiempo se lo permite, pida a los alumnos que primero comparen en parejas, para que tengan la oportunidad de corregir o enriquecer su definicin. Posteriormente, pida a cada pareja que escriba en el pizarrn su definicin para que el grupo las analice. Para orientar la confronta-cin grupal, es importante que destaque:

Las diferencias ms relevantes entre las definiciones formuladas por los alumnos.

La idea de que todos los puntos de la recta paralela a la recta roja equidistan de ella.

Si los alumnos consideran que alguna definicin es incorrecta, invtelos a que den sus argumen-tos; puede ayudarles planteando un contraejem-plo para que despus ellos tambin lo hagan. Esto es un buen inicio de la argumentacin y sienta las bases para que, poco a poco, los alumnos desarrollen el pensamiento deductivo que ocuparn posteriormente en las demostra-ciones geomtricas.

Propsito de la actividad. Que los alumnos consideren la posibilidad de que dos rectas (representadas por segmentos) que aparente-mente son paralelas, s llegan a cortarse al prolongar los segmentos (como sucede en los casos 2 y 4). Es decir, no basta con que vean que los dos segmentos no se cortan, deben considerar si sus prolongaciones tampoco lo harn. El propsito de hacerlo sobre una cuadrcula tiene que ver con la idea de que rectas con igual pendiente son paralelas (esto lo estudiarn en el bloque 3 y en tercer grado lo retomarn al estudiar la pendiente como razn de cambio). Recuerde a los alumnos que las rectas se pueden prolongar en ambos sentidos.

71

IIMATEMTICASSi localizaron bien los cinco puntos podrn unirlos con una lnea recta, tracen esa lnea recta.

a) Cmo son entre s la recta roja y la que acaban de trazar?

b) Anoten dos cosas de su alrededor que representen rectas paralelas.

y

c) Escriban una definicin para rectas paralelas.

Comparen las diferentes definiciones de rectas paralelas con sus compaeros y, entre todos, elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta tra-ten de dar un ejemplo de por qu la consideran incorrecta.

Manos a la obraI. En cada caso marquen con si las rectas representadas son paralelas.

II. Se desea trazar una paralela a la recta que pase por el punto P.

1 2 3

4 5 6

P

Propsito de la actividad. Que los alumnos describan los pasos que se siguieron para trazar una paralela que pasa por el punto P a partir del anlisis de la construccin ya realizada.

Es importante que los alumnos practiquen continuamente trazos geomtricos porque con ello profundizan en el estudio de las caractersticas y propiedades geomtricas de las figuras. Por otra parte, adems de desarrollar su habilidad para interpretar instrucciones, tambin es importante que aprendan a describir los pasos de una construccin, con la finalidad de que sean competentes para comunicar ideas matemticas.

Sugerencia didctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo ms clara posible.


Propsito del interactivo. Explorar paso a paso la construccin de una recta paralela a otra que pase por un punto dado.

Explorar las caractersticas de las rectas paralelas.

Sugerencias didcticas. Puede ocupar el interactivo para verificar los pasos propuestos por los alumnos. Adems, al mover algunos de los elementos de la construccin los alumnos pueden explorar y generalizar caractersticas de las rectas paralelas.

En la actividad III del libro del alumno el interactivo podra servir para que los alumnos exploren cules de las definiciones de rectas paralelas son correctas, o para mostrar contraejemplos en los que no se cumpla alguna de las caractersticas dadas.

3Propsito de la actividad. Aun cuando los alumnos han trabajado desde la primaria con las rectas paralelas, en esta actividad se espera que sean capaces de expresar, por s mismos, lo que entienden de esa nocin. Recuerde que es importante que argumenten sus respuestas y que sean capaces de expresar contrajemplos de las definiciones que consideran incorrectas.

Respuestas: Los incisos b) y c) son los correctos.

Sugerencia didctica. Apoye a los alumnos en la elaboracin de argumentos con preguntas y con ideas que les permitan identificar errores. Por ejemplo, es probable que algunos alumnos elijan el inciso d), este error puede ser resultado de identificar a los lados opuestos de los paralelogramos como rectas paralelas, por lo que se han creado la imagen de que las paralelas son del mismo tamao; en este caso es importante comentar con ellos lo siguiente:

La rectas no tienen medida porque se pueden prolongar, en ambos sentidos, todo lo que deseemos.

Aun cuando los segmentos paralelos s tienen medida, sta no tiene por qu ser del mismo tamao; por ejemplo, en un trapecio la pareja de lados paralelos siempre tiene medidas diferentes.

2Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con sus alumnos. Pida que comparen esta definicin con la que ellos escribieron en el inciso c) del Consideremos lo siguiente, y que agreguen o corrijan a su definicin lo que crean necesario.

72

secuencia 5La siguiente figura muestra un procedimiento completo con el que, usando regla y com-ps, se traz una recta que pasa por el punto P y es paralela a la recta negra.

Analicen la figura y

a) Reprodzcanla en su cuaderno.

b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

iii. Subrayen las dos definiciones correctas de rectas paralelas. En cuanto a las incorrec-tas, busquen un ejemplo para mostrar por qu lo son.

a) Son rectas horizontales.

b) Son rectas que siempre conservan la misma distancia entre s.

c) Son rectas que no se cortan.

d) Son rectas que tienen la misma medida.

A lo que llegamos

Las rectas que no se cortan se llaman rectas paralelas.

Si una recta m es paralela a la recta n, esto se escribe: m II n.

P

Oc

P'

O'c'


Sugerencia didctica. La solucin de este problema requiere saber un hecho importante: dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre s. La forma en que se construyen paralelas con doblado de papel se basa en ese conocimiento. Si nota que los alumnos tienen dificultades, invtelos a que analicen la secuencia de doblado de papel que hicieron al inicio de esta sesin. Tambin puede ayudarlos pidiendo que observen los bordes de la hoja de su libro, que vean que los lados opuestos son paralelos y los contiguos son perpendiculares, y que pueden aprovechar esta perpendicularidad para obtener paralelas (el transportador sirve para trazar los ngulos de 90 ).

Sugerencia didctica. Al igual que en el problema inicial, en ste ya se establece un punto por donde debe pasar la recta. Dado que no se especifica qu instrumentos geomtricos deben emplear, los alumnos tienen al menos tres opciones para hacer el trazo: usando dos escuadras, la regla y el transportador o la regla y el comps, siguiendo el procedimiento ilustrado en el apartado Manos a la obra.

Propsito de la sesin: Profundizar en el estudio de las rectas perpendiculares al aprender a trazarlas con regla y comps, poder definirlas correctamente y distinguirlas de las rectas oblicuas.

Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas durante toda la sesin y hagan una confrontacin grupal.

Materiales. Instrumentos geomtricos.

73

IIMATEMTICAS

sesin 2

Lo que aprendimos1. Busca una manera de trazar rectas paralelas usando slo regla y transportador. Cuan-

do lo hayas hecho comenta en grupo los diferentes procedimientos, y si en alguno no estn de acuerdo argumenten sus razones (pista: analiza los dobleces que hiciste al inicio de la sesin, te ayudar a resolver este problema).

2. En cada caso, traza una recta paralela a la recta H que pase por el punto M.

ReCTAs QUe se CORTAnPara empezarTambin las rectas perpendiculares pueden trazarse usando distintos recursos, como el do-blado de papel. Consigue una hoja y haz los dobleces que se muestran en la figura, marca las rectas perpendiculares y despus pega la hoja en tu cuaderno.

M

H

H

M

Propsito de la actividad. En la primaria los alumnos iniciaron el estudio de las rectas perpendiculares tambin usando el doblado de papel. En esta actividad se recupera ese procedimiento como punto de partida para despus arribar a un procedimiento ms formal.


Posibles procedimientos. Aun cuando no se menciona el uso de instrumentos geomtricos, hgales notar que trazar una recta no puede hacerse a mano alzada, es decir, sin ningn instrumento; es importante que al menos usen la regla. Posiblemente los alumnos relacionen las rectas perpendiculares con la igualdad de los cuatro ngulos y traten de trazarlas. Una forma de hacerlo, aunque difcil, es al tanteo, utilizando nicamente la regla. Otras formas de hacerlo con instrumentos geomtricos, son:

Usando las dos escuadras (lo hicieron en primer grado).

Con el transportador y la regla.

Para el segundo caso (ngulos que no son todos iguales), es suficiente la utilizacin de la regla.

Sugerencia didctica. Al igual que en la comparacin de respuestas de la sesin 1, es importante que invite a los alumnos a dar argumentos y contraejemplos para los casos en que consideren que una definicin es incorrecta. Usted puede apoyarlos enfatizando el hecho de que si los cuatro ngulos deben medir lo mismo, la medida ser de 90, es decir, deben ser cuatro ngulos rectos.

74

secuencia 5

Consideremos lo siguienteEn el primer recuadro tracen dos rectas que se corten formando cuatro ngulos iguales y en el segundo recuadro tracen dos rectas que se corten formando ngulos que no sean todos iguales.

a) Cunto mide cada uno de los ngulos del primer recuadro?

b) Si trazaron bien las rectas del primer recuadro, se trata de dos

rectas perpendiculares. Anoten dos cosas de su alrededor que

representen rectas perpendiculares.

c) Escriban una definicin para rectas perpendiculares.

d) Las rectas que trazaron en el segundo recuadro se llaman

oblicuas. Escriban una definicin para rectas oblicuas.

Comparen las diferentes definiciones de rectas perpendiculares y rectas oblicuas con las de sus compaeros y entre todos elijan aquellas que les parezcan adecuadas. Si creen que alguna es incorrecta traten de dar un ejemplo de por qu lo es.

Manos a la obrai. En cada caso anoten si las rectas representadas son perpendiculares u oblicuas.

1 2 3

4 5 6

perpendiculares oblicuas oblicuas

perpendiculares perpendiculares oblicuas

Posibles procedimientos. Para determinar si las rectas son perpendiculares, es importante que los alumnos identifiquen si los ngulos que forman las rectas son de 90. Para ello, es probable que recurran a procedimientos empricos, como usar el transportador para medir los ngulos o la escuadra para ver si los ngulos son rectos; tambin es posible que se apoyen en deducciones lgicas; por ejemplo, en el caso nmero 4 pueden observar que al prolongar las rectas stas coincidirn con los lados de un cuadrado que, como ya saben, sus ngulos son rectos.


Propsito del interactivo. Mostrar paso a paso la construccin de una recta perpendicular a otra que pase por un punto dado.

Sugerencias didcticas. El interactivo, a diferencia del impreso, muestra paso a paso los trazos realizados para obtener las rectas perpendiculares; puede mostrarlo a los alumnos y que ellos vayan escribiendo qu es lo que observan, posteriormente pueden mover los elementos que conforman la construccin para explorar que si efectivamente las indicaciones que escribieron se cumplen siempre o en qu casos no.

En la actividad III del libro del alumno el interactivo parmite a los alumnos explorar cules de las definiciones de rectas perpendicu-lares son correctas, tambin permite mostrar contraejemplos en los que no se cumple alguna de las caractersticas dadas.

Propsito de la actividad. Al igual que en el trazo de una paralela a una recta, en esta actividad se pretende que dado el punto de partida y el resultado final, los alumnos puedan reconstruir y comunicar los pasos que se siguieron para trazar una perpendicular a una recta que pase por un punto sobre ella.

Sugerencia didctica. Pida a dos o tres parejas que lean al grupo los pasos que escribieron para reproducir la figura en sus cuadernos. Sugiera a los alumnos que hagan las correcciones que consideren necesarias con la finalidad de que la secuencia de trazos sea lo ms clara posible.

75

IIMATEMTICASII. Se desea trazar una recta que pase por el punto P y que sea perpendicular a la recta

dada.

La siguiente figura muestra un procedimiento completo para hacer el trazo con regla y comps.

Analicen la figura y

a) Reprodzcanla en su cuaderno.

b) Escriban con sus propias palabras la secuencia de pasos que siguieron.

III. Subrayen las dos definiciones correctas para rectas perpendiculares y para rectas oblicuas, para las otras definiciones den un ejemplo de por qu las consideran in-correctas.

Rectas perpendiculares:a) Son dos rectas, una vertical y otra horizontal

b) Son rectas que se cortan formando ngulos rectos

c) Son rectas que no se cortan

d) Son rectas que al cortarse forman cuatro ngulos iguales

Rectas oblicuas:

a) Son rectas que se cortan formando ngulos iguales

b) Son rectas que se cortan formando dos ngulos agudos y dos obtusos

c) Son rectas que se cortan formando ngulos que no son rectos

d) Son rectas que no se cortan

O PO'

P

Respuestas. Las definiciones correctas para el caso de las rectas perpendiculares son los incisos b) y d); y para el caso de las oblicuas son los incisos b) y c).

Sugerencia didctica. Insista en la importancia de que los alumnos den argumentos convincen-tes y que en lo posible den contraejemplos para aquellas definiciones que consideren incorrectas. Por ejemplo, la definicin errnea de rectas perpendiculares que seala que una siempre es vertical y la otra siempre horizontal, puede ser discutida tomando como contraejemplo el caso nmero 5 del apartado Manos a la obra, actividad I.


Sugerencia didctica. Los alumnos podrn resolver fcilmente este ejercicio a partir de la consideracin de que las perpendiculares forman ngulos de 90 : pueden trazar una recta y luego ayudarse del transportador para trazar la otra recta en un ngulo de 90. Pdale a algn alumno que muestren en el pizarrn la manera en que lo hizo.

Posibles procedimientos. Hay distintas formas de resolver cada uno de estos ejercicios, permita que los alumnos exploren diferentes posibilida-des. Una forma sencilla de resolverlos es trazar rectas perpendiculares, a partir de ah se puede trazar tanto el cuadrado como el rectngulo de distintas maneras:

Para el cuadrado, trazar un crculo con centro donde se cortan las rectas, y despus unir los cuatro puntos en los que la circunferencia corta a las perpendiculares, para obtener los lados del cuadrado.

Tambin pueden trazar un lado del cuadrado de la medida elegida y en los extremos de ese segmento trazan dos segmentos perpendiculares de la misma medida, luego trazan el cuarto lado para cerrar el cuadrado. El rectngulo lo pueden hacer igual, cuidando que el primer segmento que tracen sea de medida diferente a las dos perpendiculares de los extremos.

Para cumplir con la condicin de que los lados de las figuras no sean paralelos a la hoja del cuaderno, es importante que las rectas perpendiculares se tracen en una posicin distinta a aquella en la que una recta es horizontal y la otra vertical.

Sugerencia didctica. Lea y comente esta informacin con los alumnos. Puede pedirles que la copien en sus cuadernos y que ilustren ambas definiciones con representaciones diversas.

76

secuencia 5

A lo que llegamosSi dos rectas que se cortan forman ngulos de 90, entonces se lla-man rectas perpendiculares; si se cortan formando ngulos que no son de 90, se llaman rectas oblicuas.Si una recta p es perpendicular a la recta q, esto se escribe: p q.Para indicar que un ngulo mide 90, es decir, que es recto, se coloca en el ngulo una marca como la roja.

Lo que aprendimos1. Busquen una manera de trazar rectas perpendiculares usando slo regla y transpor-

tador; cuando lo hayan hecho comenten en grupo los diferentes procedimientos, si en alguno no estn de acuerdo argumenten sus razones.

2. Realicen los siguientes trazos en una hoja blanca, utilizando sus instrumentos geom-tricos.

a) Un cuadrado de cualquier tamao cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

b) Un rectngulo de cualquier tamao cuyos lados no sean paralelos a los bordes de la hoja.

3. En cada caso, tracen una recta perpendicular a la recta r que pase por el punto P.

P

r

r

P

Posibles procedimientos. Como no se indica qu instrumentos geomtricos deben utilizar, los alumnos pueden recurrir tanto a las escuadras, la regla y el transportador, como slo a la regla y el comps. Los trazos que se piden en este ejercicio no son sencillos, si nota que sus alumnos tienen problemas puede ayudarlos dndoles algunas pistas.


77

IIMATEMTICASReLACiOnes enTRe nGULOsPara empezarUne dos palitos o lpices con una liga, como se muestra en la foto, y maniplalos para formar ngulos.

Cuntos ngulos se forman? ,

son todos diferentes? ,

hay algunos que sean iguales entre s? .

Coloca los palitos de tal manera que todos los ngulos sean iguales. Cuando los colocas

de esta manera cunto mide cada ngulo?

Consideremos lo siguienteSin utilizar transportador, en cada pareja de rectas averigen y anoten la medida de cada uno de los tres ngulos a, b y c.

a 60

b c

a 90

b c

a 115

b c

sesin 3

Propsito de la sesin. Identificar y definir los ngulos opuestos por el vrtice y los adyacentes. Descubrir las relaciones entre las medidas de los cuatro ngulos que se forman cuando dos rectas se cortan.

Organizacin del grupo. Se sugiere que los alumnos trabajen en parejas y que el apartado Lo que aprendimos lo resuelvan individualmente.

Materiales. Un par de lpices, una liga y el transportador que se propone en esta sesin.

Propsito de la actividad. La manipulacin de lpices unidos por una liga permite a los alumnos experimentar distintas posibilidades de formacin de ngulos cuando dos rectas se cortan.

Sugerencia didctica. Es importante que los alumnos no usen el transportador, pues esa restriccin favorece que recurran a otros conocimientos que les permitan relacionar la medida del ngulo dado y los ngulos a, b , c.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden apoyarse tanto en su percepcin visual como en sus conocimientos previos para hacer estimacio-nes y para establecer distintas relaciones entre los ngulos, por ejemplo:

Apoyndose en la percepcin visual, es posible identificar que el ngulo b es igual al ngulo del que se conoce la medida; y en el caso de las perpendiculares es sencillo visualizar la igualdad de los ngulos (los alumnos aprendieron en la sesin 2 que las rectas perpendiculares forman ngulos de 90 ).

Pueden determinar las medidas recurriendo a alguna de las siguientes relaciones: el ngulo del que se conoce la medida forma, junto con el ngulo a (o el c), un ngulo de 180, de la misma manera que el ngulo b y el ngulo c (o el a). A partir de ah se puede restar a 180 la medida del ngulo conocido para obtener la del otro ngulo. La otra posibilidad es que, sabiendo que los cuatro ngulos suman 360, y que el ngulo dado y su opuesto miden lo mismo, sumen esas dos medidas y resten esa suma a 360, y luego dividan el resultado entre 2 para obtener el valor de los ngulos a y c (porque a y c son iguales).

En caso de que no obtengan todos los resultados correctos, en la confrontacin tendrn la oportunidad de verificar sus respuestas usando un transportador.


2

Sugerencia didctica. Antes de llevar a cabo la comparacin grupal, puede pedir a los alumnos que primero comparen entre parejas, para que todos tengan la oportunidad de intercambiar sus respuestas y puntos de vista. En la comparacin grupal, en caso de que an haya diferencias, invtelos a que argumenten sus respuestas antes de recurrir a la medicin de ngulos. Finalmente, pdales que verifiquen utilizando el transportador.

Propsito de la actividad. La elaboracin de definiciones y de argumentos respecto de la validez o no de una definicin, es una habilidad que se desarrolla gradualmente en los alumnos, por ello es importante que tengan la oportuni-dad de expresar sus propias ideas aun cuando stas sean incompletas o incorrectas.

Sugerencia didctica. En caso de que algunos alumnos quieran consultar un diccionario u otra fuente para investigar estas definiciones, invtelos a que primero traten de enunciar la definicin y que despus la comparen y la complementen con lo que dice el diccionario.

3Sugerencia didctica. Es importante que invite a los alumnos a argumentar sus puntos de vista acerca de las diferentes definiciones que surjan en el grupo. Recuerde que la elaboracin de argumentos es una parte fundamental del conocimiento matemtico, adems de que prepara a los alumnos para las demostraciones formales que tendrn que hacer en grados posteriores.

78

secuencia 5Comparen sus resultados. Slo hasta que todos estn de acuerdo podrn utilizar el trans-portador y medir los ngulos, para verificar sus respuestas. Comenten:

a) Cmo pudieron calcular la medida de los ngulos?

b) Cul es la relacin entre los ngulos a y c de cada pareja de rectas?

c) Cul es la relacin entre los ngulos a y b de cada pareja de rectas?

Manos a la obrai. De acuerdo con lo ilustrado contesten lo que se pide.

Los ngulos a y b son ngulos opuestos por el vrtice Los ngulos c y d son ngulos adyacentes

Escriban una definicin para:

ngulos opuestos por el vrtice

ngulos adyacentes

Comparen las definiciones que escribieron para ngulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes.

Si alguna definicin les parece incorrecta traten de dar argumentos de por qu lo consi-deran as; por ejemplo, si algn equipo define a los ngulos opuestos por el vrtice como ngulos que son iguales, pueden poner de ejemplo que los ngulos de un tringulo equi-ltero son iguales, pero no son opuestos por el vrtice.

a

b

a ba

b

a

b

d

c dc

dc

c d

Sugerencia didctica. Si algunos alumnos definen a los ngulos opuestos por el vrtice como ngulos que son iguales, usted puede precisar que realmente no estn dando una definicin de ngulos opuestos, sino una propiedad, pues hay ngulos que son iguales pero que no estn opuestos por el vrtice.


79

IIMATEMTICASII. Realicen lo que se indica.

360

15

30

45

607590105

120

135

150

165

180

345195

330210

315225

300240285255270

Recorten una tira de papel de 10 cm de largo por 12 cm de ancho; a lo largo de ella y pasan-do por la mitad, tracen una lnea recta. Dibujen un punto en el centro de la tira.

Coloquen la tira en el transportador como se muestra en el dibujo, de tal manera que puedan girarla.

Giren la tira de modo que el ngulo 1 mida 30. Aydense del transportador para obtener las medidas de los ngulos 2, 3 y 4. Anoten esas medidas en la tabla que se muestra adelante, en el rengln del ngulo de 30. Repitan lo mismo con las otras medidas que se indican en la tabla para el ngulo 1.

Propsito del interactivo. Explorar las propiedades de los ngulos formados por dos rectas.

Sugerencias didcticas. En el interactivo se puede trabajar con otras medidas de los ngulos, lo cual ayudara a mostrar contraejem-plos o para que los alumnos generalicen las caractersticas de los ngulos opuestos por el vrtice y de los ngulos adyacentes. El interactivo puede servir para generar otros ejercicios que les permitan a los alumnos validar sus hiptesis, o en su defecto presentarles contraejemplos para que analicen en qu casos son ciertas y en qu casos no. Se pueden adecuar los ejemplos de acuerdo a las necesidades de los alumnos aumentando o disminuyendo el grado de dificultad de los ejercicios planteados a los alumnos.


Sugerencia didctica. Si lo considera necesario, organice una puesta en comn para que los alumnos comenten sus hallazgos acerca de las relaciones entre los ngulos. Lean y comenten en grupo la informacin del apartado A lo que llegamos; para ello, puede apoyarse en el pizarrn para trazar ah dos rectas que se cortan e ir sealando los ngulos opuestos por el vrtice y los ngulos adyacentes que suman 180. Enfatice en el hecho de que stos ltimos son un caso especial, pues existen ngulos adyacentes que pueden sumar ms o menos de 180 (en la tabla de la actividad I del Manos a la obra hay un par de ejemplos).

Descripcin del video. En el video se muestran de manera visual y dinmica las posiciones relativas de dos rectas en el plano, el trazo de rectas paralelas y perpendiculares y las relaciones que hay entre los ngulos cuando las dos rectas se cortan. Este video se puede utilizar al final de la secuencia para reafirmar lo visto a lo largo de sta.

80

secuencia 5

a) Qu relacin encuentran entre las medidas de los ngulos 1 y 3?

b) Y entre las medidas de los ngulos 2 y 4?

c) Entre las medidas de los ngulos 1 y 2?

d) Y entre las medidas de los ngulos 3 y 4?

e) Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente y verifiquen que sus respuestas coincidan con las relaciones que acaban de encontrar.

A lo que llegamosCuando dos rectas se cortan se forman cuatro ngulos.

Los ngulos a y c son opuestos por el vrtice, observa que tienen el mismo vrtice y los lados de uno son prolongacin de los lados del otro. Los ngulos a y b suman 180 y, adems, son ngulos adyacen-tes, observen que tienen en comn el vrtice y un lado.

Parejas de rectas

Ahora sabes que dos rectas pueden cortarse o no cortarse. Si se cortan pueden formar ngulos rectos o ngulos no rectos.

ngulo 1 ngulo 2 ngulo 3 ngulo 4

30

45

75

90

130

145

bac

d

150 30 150

135 45 135

105 75 105

90 90 90

50 130 50

35 145 35

Son iguales

Son iguales

Suman 180

Suman 180


81

IIMATEMTICASLo que aprendimos1. Plantea una ecuacin y encuentra el valor de los cuatro ngulos de la siguiente figura.

2. Si la suma de las medidas de dos ngulos adyacentes es 180, y uno de ellos mide el

doble del otro, cunto mide cada uno?

3. Anota las medidas de los otros tres ngulos que forman las diagonales.

Para saber msConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:De la Pea, Jos Antonio. Rectas y puntos, en Geometra y el mundo. Mxico: SEP/Santillana, Libros del Rincn, 2003.

Sobre las ilusiones pticas que se refieren a objetos geomtricos, en particular a l-neas paralelas consulta:http://www.opticas.info/articulos/ilusiones-opticas.phphttp://perso.wanadoo.es/e/ochum/ilu02.htm[Fecha de consulta: 24 de mayo de 2007].

x

x + 20

50

Incorporar al portafolios. Para los problemas 1 y 2, el propsito es que los alumnos integren sus conocimientos algebraicos y los geomtricos para resolver una situacin determinada, y para el problema 3, que acudan a las relaciones ya estudiadas entre dos rectas que se cortan y los ngulos que se forman. Por ello es importante que los alumnos no utilicen el transportador para resolver y, en lo posible, tampoco para verificar, pues tienen otros elementos que les permiten revisar sus respuestas y elaborar argumentos para validarlas.

Respuesta: La ecuacin que se debe plantear es: x + x + 20 = 180. Al despejar x se tiene el valor de uno de los ngulos y, sumando 20 a ese valor, se obtiene la medida del otro ngulo.

Respuesta. Este problema puede resolverse haciendo estimaciones y probando con distintas medidas hasta obtener la correcta, o bien, planteando la siguiente ecuacin: x + 2x = 180. Deben constatar que efectivamente uno de los ngulos mida el doble del otro.

Posibles procedimientos. Los alumnos pueden resolver estableciendo las siguientes relaciones:

La medida del ngulo opuesto al de 50 es tambin de 50, por ser opuestos por el vrtice.

El ngulo adyacente al de 50 se obtiene restando 180 menos 50; la medida de ese ngulo es de 130.


Propsito del programa integrador. Mostrar los tipos de ngulos que se generan cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Propsito de la sesin. Identificar la igualdad de los ngulos correspondientes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Organizacin de grupo. Se recomienda que los alumnos trabajen en parejas y que se organicen momentos para el intercambio grupal.

Materiales. Una hoja delgada de papel y tijeras.

Propsito de la actividad. Introducir el trmino secante o transversal, el cual habr de utilizarse a lo largo de la secuencia.

Sugerencia didctica. En varias actividades de esta sesin se presentan a los alumnos paralelas cortadas por una secante en distintas posiciones, es decir: paralelas horizontales, paralelas verticales y en diagonal, para que los alumnos no fijen la nocin de rectas paralelas a una sola representa-cin. Si lo considera conveniente, puede trazar en el pizarrn varios sistemas de dos paralelas y una transversal para que los alumnos identifiquen tanto las paralelas como la transversal.

Posibles procedimientos. Para resolver este problema los alumnos cuentan con algunos antecedentes: saben que dos ngulos opuestos por el vrtice son iguales y que cuando dos rectas se cortan los ngulos adyacentes suman 180, esto har que sea relativamente sencillo calcular el valor de los tres ngulos que estn junto con el ngulo de 135. Despus se enfrentarn a la dificultad de encontrar el valor de los otros cuatro ngulos, pues hasta ahora no se ha estudiado la relacin entre stos y los ngulos que ya determinaron. Apoyndose en la percepcin visual, los alumnos podran identificar que los dos conjuntos de ngulos son iguales. Otro procedimiento es el de calcar algunos ngulos y sobreponerlos en otros para determinar si son iguales.

82

secuencia 6

En secuencias anteriores has estudiado, por un lado ngulos, y por otro rectas paralelas, ahora seguirs explorando ambos temas: ngu-los entre paralelas. Tambin trabajars con los ngulos interiores de tringulos y paralelogramos.

NGULOS CORRESPONDIENTESPara empezarConsidera las siguientes rectas paralelas, r1 y r2. Recuerda que esto se escribe: r1 II r2

Observa que la recta t corta a las dos rectas paralelas. Esta recta recibe el nombre de transversal o secante.

Consideremos lo siguienteSin medir, encuentren y anoten el valor de cada uno de los ngulos marcados con rojo.

Comparen sus resultados con los del resto del grupo, y si hay resultados diferentes argumenten sus respuestas para convencer a sus compaeros.

SESIN 1

ngulos entre paralelas

t

r2

r1

r2r1

135

r1 II r2



Antecedentes

En la secuencia 4 los alumnos aprendieron diferentes definiciones de ngulos y elaboraron deducciones sencillas para calcular la medida de un ngulo. En la secuencia 5, establecieron relaciones entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y aprendieron a reconocer ngulos opuestos por el vrtice y ngulos adyacentes. En esta secuencia los alumnos trabajarn con los ngulos que se forman entre dos paralelas cortadas por una secante: aprendern a establecer relaciones de igualdad entre ellos, a justificar esa igualdad mediante la elaboracin de argumentos y a nombrar los tipos de ngulos que resultan.

Propsitos de la secuencia Establecer las relaciones de los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas

cortadas por una transversal. Justificar las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de tringulos y paralelogramos.


1

ngulos correspondientes Identificar la igualdad de los ngulos correspondien-tes cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Aula de medios Interactivo

Prog

ram

a in

tegr

ador

4

2

ngulos alternos internos Identificar la igualdad de los ngulos alternos internos y alternos externos cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal.

Aula de medios

3

Los ngulos en los paralelogramos y en el tringulo Explorar las relaciones entre los ngulos interiores de un tringulo y los ngulos interiores de un paralelogramo.

Aula de medios Video

Relaciones importantes Interactivo

135

45135

13545

4545


83

IIMATEMTICASManos a la obraI. Realicen la siguiente actividad.

1. Tracen en una hoja blanca de papel delgado (de pre-ferencia transparente) dos rectas paralelas y una transversal, y numeren los ngulos de la siguiente manera:

2. Marquen una lnea punteada como la que se muestra en el dibujo:

12

3 4

56

7 8

12

3 4

56

7 8

3. Corten la hoja por la lnea punteada. 4. Coloquen una parte de la hoja encima de la otra de tal manera que el ngulo 1 coincida exactamente con el ngulo 5.

Ahora tienen el ngulo 5 sobre el ngulo 1.

Los ngulos 1 y 5 se llaman ngulos correspondientes.

a) Cul es el ngulo correspondiente del 2? , y del 3? y del 4?

b) Cmo son entre s las medidas de los ngulos correspondientes?

c) Verifiquen, midiendo, que cuando dos rectas paralelas son cortadas por una transversal los ngulos correspondientes son iguales.

Propsito del interactivo. Explorar las caractersticas de los ngulos formados por dos paralelas cortadas por una transversal.

Sugerencias didcticas. Al mover las rectas paralelas o la transversal se representan una infinidad de rectas paralelas y transversales, lo cual permite mostrar a los alumnos que los ngulos correspondientes son iguales no slo para el caso que ellos trazaron. Adems se pueden girar las rectas, para que los alumnos observen y comprueben que las caractersticas de los ngulos se mantienen independientemen-te de la posicin de las rectas, siempre y cuando stas sigan siendo paralelas.

Las relaciones entre los ngulos se pueden explorar de dos maneras con el interactivo, una es moviendo los ngulos, para superponerlos, y otra es midindolos con el transportador. Al mover los ngulos, ya sea sobre la misma paralela o hacia la otra, los alumnos pueden explorar cules ngulos miden lo mismo, con la finalidad de que puedan generalizar las relaciones existentes entre los ngulos que se forman cuando dos paralelas son cortadas por una transversal.

Propsito de la actividad. Que los alumnos comprueben, mediante la superposicin de figuras, que los ngulos correspondientes son iguales. Asegrese de que los alumnos efectivamente lleven a cabo esta actividad.

6 7 8

iguales


Sugerencia didctica. Es importante que recuerde a sus alumnos que el smbolo se refiere a la medida del ngulo, mientras que el smbolo se refiere al ngulo. As, a, se lee ngulo a, mientras que a, se lee la medida del ngulo a. Organice un momento breve de comparacin de respuestas. Invite a los alumnos a que argumenten sus afirmaciones.

Respuestas. Deben subrayarse las afirmaciones a, c y d.

Propsito de la actividad. El desarrollo de un pensamiento deductivo es uno de los propsitos de las matemticas, por ello, con esta actividad se propicia la elaboracin de razonamientos deductivos sencillos a partir de casos particulares.

3Sugerencia didctica. Es probable que los alumnos no tengan la necesidad de demostrar algo que les resulta obvio, y por ello mismo tengan dificultades para elaborar argumentos. En caso de que lo considere necesario, aydelos a completar las afirmaciones.

Sugerencia didctica. Asegrese de que sus alumnos revisen las respuestas que dieron al problema inicial.

Propsito de la actividad. Que los alumnos consideren que incluso rectas que no son paralelas, cuando son cortadas por una secante tambin forman ngulos correspondientes, pero en tal caso, esos ngulos no son iguales.

Recuerde que. Dos rectas que son cortadas por una transversal son paralelas si y slo si forman ngulos correspondientes iguales.

84

secuencia 6ii. Subrayen las afirmaciones verdaderas.

a) 2 = 6 porque son ngulos correspondientes.

b) 1 = 5 porque son ngulos opuestos por el vrtice.

c) 5 = 7 porque son ngulos opuestos por el vrtice.

d) 5 + 6 = 180 porque son ngulos adyacentes que se forman

cuando dos rectas se cortan.

iii. Completen el razonamiento para encontrar f considerando que a = 50 y que se trata de dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

iV. Regresen al problema del apartado Consideremos lo siguiente, identifiquen los ngulos correspondientes y verifiquen que sus respuestas hayan sido correctas.

V. Consideren ahora dos rectas que no son paralelas y que son cortadas por una transversal.

a) En este caso tambin se dice que el ngulo 1 es correspondiente del ngulo 5,

y el 2 del 6, cul es el correspondiente del 3? ,

y del 4?

b) Comparen las medidas de los ngulos correspondientes cuando las rectas no son paralelas.

a = e porque

Entonces, el e mide

e + f = 180 porque

Por lo tanto, f =

gea

fb

c

hd

123 4

567 8

Recuerden que:

a se lee ngulo a

a se lee la medida del ngulo a

son correspondientes

50

son adyacentes que se forman

cuando dos rectas se cortan

130


Sugerencia didctica. Lea junto con los alumnos esta informacin, y comntela. Usted puede pedirles que comparen lo que aqu se afirma con los casos que ellos resolvieron en las actividades III y V.

Incorporar al portafolios. Antes de que los alumnos resuelvan, asigne al primero y al segundo caso una letra a cada uno de los ngulos, para que posteriormente puedan comparar sus resultados. Si identifica que en esos dos casos los alumnos tienen dificultades para determinar las medidas, repase con ellos la identificacin de ngulos adyacentes, de ngulos opuestos por el vrtice (apartado A lo que llegamos de la sesin 3, secuencia 5), y de ngulos correspondiente (A lo que llegamos de esta sesin).

En el tercer caso se pretende vincular este tema de geometra con el tema de ecuaciones; la ecuacin que debe plantearse es x + 3x = 180, al despejar x se obtiene x = 45, por lo que un ngulo mide 45 y el otro 135.

Tambin es probable que algunos alumnos lo resuelvan por ensayo y error: si logran identificar que un ngulo es el triple del otro (3x) y ambos suman 180, pueden empezar a buscar parejas de nmeros que cumplan esa relacin. Este procedimiento tambin es vlido.

Propsito de la sesin. Identificar la igualdad de los ngulos alternos inter

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