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LOS TIPOS DE PRUEBA EN LA

ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA.

DIFERENTES NIVELES DE ACTIVACIÓN EN

EL AULA MULTIGRADO

Adriana de la Cruz Mauricio mau07cruz@gmail.com

Griselda González Arriaga grisgonzalez5@yahoo.com.mx

Francisco Javier de la Rosa Vázquez chired@live.com.mx

Escuela Normal Rural "Gral. Matías Ramos Santos"

RESUMEN

Esta ponencia forma parte de un

proyecto de investigación más amplio -del que

se desprende una tesis doctoral y otra de

licenciatura- en el que se toma como

perspectiva teórica el Espacio de Trabajo

Matemático específico del subdominio de la

geometría, es decir, el Espacio de Trabajo

Geométrico (ETG) que orientó el diseño de una

propuesta de formación de profesores para la

enseñanza de la geometría en escuelas

multigrado. La metodología que sustenta este

estudio es de corte cualitativo, la información

se recuperó con las videograbaciones de las

sesiones y los productos realizados por los

sujetos participantes. A partir de la aplicación

de una situación didáctica que incluye tareas

para primero, segundo y tercer grados de la

educación primaria, se analizan los criterios

que se utilizan para clasificar triángulos en

función de los tipos de pruebas que presentan

los sujetos. Los resultados muestran que al

diseñar tareas en las que se demanden

pruebas acordes con el nivel cognitivo del

alumno, se logra un razonamiento geométrico

significativo, lo que da cuenta de la importancia

de activar las diversas génesis de un ETG.

PALABRAS CLAVE: Geometría, formación de profesores, pruebas, triángulo.

INTRODUCCIÓN

La presente ponencia es resultado de un primer análisis que forma parte del trabajo

conjunto de dos tesis, una doctoral y otra de licenciatura, ambas se inscriben en la perspectiva

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sobre el trabajo matemático y la didáctica de la geometría de Houdement y Kuzniak (2006),

que se denominada Espacio de Trabajo Matemático. En esta perspectiva se asume como

hipótesis fundamental que, a través de la actividad matemática el sujeto configura un

constructo teórico respecto al objeto y el contenido matemático en cuestión. En este sentido,

en el presente trabajo nos referiremos al Espacio de Trabajo Matemático en el subdominio

Geométrico (ETMG) o simplemente al Espacio de Trabajo Geométrico (ETG). De igual

manera, se destaca el trabajo en el aula multigrado y la dificultad que el profesor enfrenta al

diseñar situaciones que le permitan abordar un mismo contenido geométrico con grados de

escolaridad distintos. Es importante mencionar que ambas tesis sólo se cruzan en algunos

momentos del proceso. El caso específico de este análisis, corresponde a una tarea diseñada

en la tesis doctoral, pero que fue aplicada con sus alumnos de prácticas por una profesora en

formación que cursa el octavo semestre de la Licenciatura en Educación Primaria.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

La modalidad de educación multigrado se caracteriza por el hecho de que un solo

profesor atiende en una misma aula a estudiantes de diferentes grados y por lo tanto de

diversas edades, experiencias de vida, niveles de desarrollo cognitivo, etc. De acuerdo con

el número de maestros que tienen las escuelas multigrado, se pueden clasificar como

“unitarias” si tienen un solo maestro para todos los seis grados escolares; “bidocentes” si

tienen dos maestros; “tridocentes” si tienen tres, y “tetra” y “pentadocentes” si tienen cuatro y

cinco profesores respectivamente, aunque en estas últimas algunos grupos ya no son

propiamente multigrado.

Según datos proporcionados por el Instituto Nacional para la Evaluación Educativa

(INEE, 2017), actualmente en México existen 98 771 escuelas primarias y el 58.3%, esto es

43 289 son multigrado. En el estado de Zacatecas (que es donde se desarrolla este estudio)

6 de cada 10 escuelas primarias son multigrado, en total son 2 522 escuelas de este tipo en

la entidad. Estas cifras dan cuenta de la necesidad de formar a los futuros docentes de

manera tal que puedan desarrollar una práctica efectiva en estos contextos escolares.

Ahora bien, una de las dificultades que enfrentan los profesores de escuelas multigrado

es la atención simultánea a distintos grados, haciendo modificaciones al programa de

estudios para poder favorecer los distintos aprendizajes esperados. Sobre el respecto,

Rodríguez (2004) señala que “mientras que algunos docentes atienden a cada grado por vez

asignando actividades específicas a cada grupo; otros desarrollan una misma actividad para

todos los grados tratando de manejar el nivel de dificultad” (p.135) además muchos optan por

priorizar la atención en alguno o algunos grados, por ejemplo, en los alumnos de los ciclos

superiores que están por terminar la primaria, y esperan “promocionar” a la escuela

secundaria. Otros atienden preferentemente a los pequeños que inician su escolarización

descuidando a los grados intermedios. En sus investigaciones Weiss (2000) distingue tres

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modalidades básicas de organización didáctica del multigrado: actividades separadas para

cada grado, actividades conjuntas para los grados y actividades en conjunto y por separado.

En este sentido, es pertinente reflexionar, ¿de qué manera puede el profesor en el aula

multigrado, abordar de manera conjunta los contenidos geométricos, respetando el nivel

cognitivo de los estudiantes?

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

Toda actividad matemática escolar debe plantear el análisis y reflexión desde la

perspectiva del estudiante y del profesor. Se debe considerar el saber matemático que están

desarrollando los alumnos, cómo lo adquieren y consolidan; asimismo, el docente debe tener

claridad sobre los procesos de enseñanza para plantear a los alumnos tareas que demanden

situaciones significativas para el desarrollo de su pensamiento matemático. Bajo esta noción

retomamos la Teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM), definido por Henríquez y

Montoya (2016) como “un ambiente organizado que permite el trabajo de las personas que

resuelven tareas matemáticas, el cual se constituye por dos planos, cognitivo y

epistemológico, en relación directa con los objetos matemáticos del dominio en juego” (p. 47).

El ETM está compuesto de dos planos: el epistemológico y el cognitivo; de los cuales se

desprenden distintos componentes en torno a la tarea matemática. En el plano cognitivo están

presentes los procesos de visualización, construcción y prueba, y en el epistemológico, el

representante, artefactos y referencial.

En un ETM se articulan diferentes dominios disciplinares (geometría, estadística,

aritmética, álgebra, etc.) ligados a la naturaleza de los objetos estudiados, pero

fundamentalmente es necesario conocer los principios epistemológicos de estas diferencias

(Kuzniak, 2011). Las tesis de investigación que orientan el presente análisis, están

interesadas en el aporte que realiza Kuzniak (2006) con el dominio geométrico del ETM, es

decir en el Espacio de Trabajo Geométrico ETMG.

Espacio de Trabajo Geométrico (ETMG)

Kuzniak (2016) se refiere al Espacio de Trabajo Geométrico como “un ambiente

organizado para permitir el trabajo de las personas que resuelven problemas geométricos” (p.

239). Dichas personas pueden ser estudiantes o bien profesores que trabajan en el proceso

de enseñanza y aprendizaje; permitiendo así, recurrir a distintos elementos que ayuden a

comprender el enfoque y trabajo de la geometría desde ambas perspectivas.

Al igual que el ETM, el ETG se representa mediante un esquema que permite conocer

los planos, componentes y génesis que se activan, además de la articulación entre ellos. En

la siguiente figura se puede apreciar el proceso de interrelación.

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Figura 1. El espacio de trabajo geométrico y su génesis.

Fuente. (Kuzniak, 2011)

El espacio de trabajo geométrico es articulado por dos planos; epistemológico y

cognitivo. El primero se refiere a la construcción del saber geométrico y se articula por los

componentes de visualización, construcción y prueba. El plano epistemológico se describe

como la concepción que el individuo tiene del modelo geométrico y la intuición y abstracción

de lo que se hace del objeto, los componentes que lo integran son; un espacio real y local, un

conjunto de artefactos y un sistema teórico de referencia. Estos dos planos están

estrechamente ligados y articulados por tres génesis: la génesis figural que es el proceso

semiótico asociado al pensamiento visual que se opera en geometría; la génesis instrumental

que permite hacer operatorios los artefactos en el proceso constructivo y; la génesis

discursiva que da sentido al referencial teórico (definiciones, propiedades) para ponerlo al

servicio del razonamiento matemático (Kuzniak, 2011). Estas génesis constituyen un modelo

dinámico que permite un aprendizaje geométrico donde se hace necesaria la activación de

las tres génesis desde cada plano y sus componentes, los cuales pueden separarse para su

análisis, pero no siempre para la actividad geométrica.

Por esta posibilidad de separar los componentes para su análisis, en este estudio

analizaremos lo concerniente al componente de prueba. En ese sentido, el ETG se

complementa con el aporte de Balacheff (1987) sobre el proceso de prueba que hace

referencia a las actividades de razonamiento mediante las que los alumnos desarrollan la

capacidad para elaborar conjeturas o procedimientos de resolución de un problema que

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después tendrán que explicar, probar o demostrar a partir de argumentos que puedan

convencer a otros de su veracidad.

La prueba

La prueba es conceptualizada por Balacheff (2000) como: “una explicación es

reconocida y aceptada (…) hace referencia a un proceso social por el cual un discurso que

asegura la validez de una proposición cambia de posición siendo aceptada por una

comunidad” (p. 12). De acuerdo con Balacheff (2000), en el trabajo matemático surgen

explicaciones que son aceptadas o no por una comunidad (carácter social), aquellas que son

aceptadas por la comunidad” constituyen las pruebas, que pueden ser pragmáticas o

intelectuales. A este esquema de trabajo intelectual es lo que nosotros entenderemos por

proceso de prueba.

Pruebas pragmáticas

Balacheff (2000) menciona que las pruebas pragmáticas están ligadas a la acción y a

la experiencia, hay en ellas una presencia de saberes prácticos ya que las justificaciones son

realizadas mediante el material concreto o la representación del objeto. Este tipo de prueba

se caracteriza por el uso de ejemplos como elementos de convicción y la utilización del

lenguaje natural. Entre las pruebas pragmáticas se encuentran las siguientes (Balacheff,

2000; citado en Henríquez, 2014, p. 59-60):

­ Empirisme naïf: cuando la persona valida después de verificar casos particulares.

­ Experimento crucial: toma en cuenta la problemática de la generalidad y la resuelve

mediante un caso en particular.

­ Ejemplo genérico: cuando se justifica la afirmación considerando un ejemplo concreto

como representante de los que pertenecen a dicha afirmación.

Pruebas intelectuales

Las pruebas intelectuales provienen de una forma particular de razonar en la que se

articulan argumentos y cadenas de argumentos expresados en una lengua simbólica, hay en

ellas un pasaje a lo algebraico y se dejan de lado los objetos materiales y su relación con la

experiencia material (Henríquez, 2014). Entre las pruebas intelectuales se encuentran las

siguientes.

­ Experiencia mental: cuando el razonamiento se independiza de la representación

particular.

­ Demostración: cuando la validación se apoya en conocimientos institucionales,

conjuntos de definiciones, teoremas, etc., y se funda en una lógica formal.

­ Cálculo sobre el enunciado: se ubica entre la experiencia mental y la demostración, no

tiene características de una demostración, pero tampoco las de una experiencia

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mental. No tiene ejemplos ni dibujos, utiliza el razonamiento con propiedades

explícitas, aunque no todas ciertas.

Transición de las pruebas pragmáticas a las intelectuales

Como se ha mencionado, las pruebas pragmáticas marcan el comienzo del

acercamiento a la demostración, son actividades que parten de la lógica de los alumnos y el

orden jerárquico en el que se presentan permite determinar una creciente complejidad hasta

llegar a las pruebas intelectuales, pero ¿Cómo se presenta la transición de una prueba

pragmática a una intelectual? Balacheff (2000) menciona que:

Recurrir a la experiencia mental marca verdaderamente la transición de las pruebas

pragmáticas a las pruebas intelectuales, en la medida en que las pruebas pasan de ser

acciones efectivas a acciones interiorizadas puestas en práctica. Las acciones

interiorizadas se encuentran en la génesis de las operaciones que serán necesarias

para la elaboración de pruebas de un nivel más alto. Las pruebas basadas en un

ejemplo genérico constituyen un estado intermedio en la medida en que decidir el

carácter genérico del ejemplo no puede hacerse sino en virtud del uso que se hace del

ejemplo. (p. 28)

La transición de una prueba pragmática a una intelectual implica un cambio en el uso

del nivel de formalismo; del lenguaje natural y del lenguaje simbólico, y esto debe hacerse

intencionadamente. Para que el lenguaje pase de lo familiar, de la mera descripción a un

lenguaje funcional, se requiere: la descontextualización de los ejemplos, lo que permite una

generalidad; la despersonalización, a fin de que los resultados no dependan de la persona

que realiza la demostración y; la destemporalización para que sea posible la demostración

(Balacheff, 2000). El profesor debe tener claro el tipo de prueba que solicitará al alumno, para

lograr paulatinamente un avance en los niveles de activación y que el alumno pase de una

prueba pragmática a una intelectual.

METODOLOGÍA

La metodología utilizada es de corte cualitativo y su ruta de aplicación tuvo que ver con

la propuesta de formación para el profesor multigrado con base en el ETG a través de una

situación didáctica, de la cual se derivan tareas que se asignan a los sujetos de estudio de

acuerdo a su nivel cognitivo en 1°, 2° y 3° grado de educación primaria. En ellas se reflejan

las implicaciones en un área de trabajo geométrico que se instruye en y a través de la

didáctica; aportando un plus a la misma, el aula multigrado. Este conjunto de elementos da

lugar a la construcción de una categoría de análisis que es el contenido fundamental de este

trabajo, categoría denominada tipos de pruebas. La propuesta de formación es parte de la

fase experimental de una tesis doctoral y, una de las tareas incluidas en esa propuesta fue

aplicada en una escuela multigrado bidocente durante las jornadas de práctica por una

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profesora en formación que cursa el octavo semestre de la Licenciatura en Educación

Primaria. El análisis que aquí se presenta es parte de la tesis de licenciatura de dicha

profesora.

La situación didáctica se desarrolló en tres sesiones y los resultados presentados son

de una de ellas cuya duración fue de 40 minutos, la recuperación de la información se logró

a partir de videograbaciones y evidencias registradas en hojas de trabajo, donde es posible

identificar los resultados de los participantes en su interacción con la tarea geométrica. Los

datos que se derivan de estos instrumentos permiten un análisis que da cuenta de una

investigación de corte cualitativo.

En la sesión seleccionada de la cual deriva el análisis, se observa la presencia de un

saber geométrico ligado a la clasificación de triángulos bajo el criterio del tamaño de sus

lados. Por ello, para el caso del primer grado (Ver figura 2) se les proporcionó una hoja con

imágenes de diferentes triángulos esperando que a partir de la visualización icónica

identificarán las características descritas en el enunciado dado por la profesora. Para el caso

de segundo y tercer grado (Ver Figura 3) la tarea busca que, a partir de la activación de la

génesis figural y empleando la visualización icónica, los alumnos clasifiquen los tipos de

triángulos con base en las medidas de sus lados, la idea es que los alumnos generen

explicaciones que reflejen el razonamiento geométrico adquirido, es decir una prueba.

RESULTADOS

Como ya se mencionó en la fundamentación teórica, para construir un conocimiento

geométrico es necesario que se activen las tres génesis del ETG. En lo que respecta al saber

geométrico presente, la clasificación de triángulos según sus lados, de acuerdo con

Thompson (1993), si los tres lados de un triángulo tienen la misma longitud se llama triángulo

equilátero, si dos lados son iguales pero el tercero es diferente se llama triángulo isósceles y

los triángulos que tienen sus lados desiguales se llaman triángulos escalenos. El análisis se

focaliza en el tipo de prueba que se solicita al alumno para conocer el nivel de construcción

del saber, para ello se retoman dos casos en correspondencia con los dos tipos de pruebas

solicitados en las tareas, en cada caso, cómo se verá más adelante, se describe la activación

de las génesis figural e instrumental dentro del proceso de prueba.

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Análisis del caso 1

Tabla 1. Elementos de análisis del caso 1.

Análisis de la prueba.

Propósito de la

tarea geométrica

(Prueba)

Se pretende que los alumnos de 1°

clasifiquen los triángulos

considerando el tamaño de sus

lados, aplicando los conocimientos

adquiridos durante la sesión.

Instrucciones:

Colorea de amarillo los triángulos que

tienen sus lados igualitos.

Colorea de verde los triángulos que

tienen sus lados diferentes.

Colorea de rojo los triángulos que tienen

dos lados iguales y uno diferente.

Génesis figural Corresponde al componente de visualización en el plano cognitivo, pone en

juego la visualización icónica al identificar los triángulos para su posterior

análisis.

Génesis

instrumental

Se activa al utilizar como artefactos los tres colores sugeridos para identificar

los diferentes triángulos y realizar el proceso de construcción en la prueba.

Génesis

discursiva

Para probar la tarea el alumno debe identificar que existen tres tipos de

triángulos bajo el criterio de la medida de sus lados, no se le solicita el nombre

de cada tipo de triángulo, ya que en primer grado no se espera que reconozca

los nombres pero sí que identifique algunas figuras geométricas planas

elementales y describa sus características con un lenguaje natural. La prueba

solicitada es Empirisme naïf, ya que para su resolución recurre a la acción y

después verifica casos particulares, este tipo de prueba dentro de la jerarquía

que menciona Balacheff es una de las primeras formas de generalización.

Como se observa en el producto (Figura 2), el alumno identifica los triángulos

de manera correcta, lo que indica que cumple con el aprendizaje esperado de

la sesión.

Paradigma El paradigma privilegiado es el de Geometría Natural (GI)

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Figura 2. Actividad propuesta para el primer grado (Caso 1).

En el caso 1, la visualización icónica se propicia mediante las ilustraciones de los

triángulos, con la indicación de iluminar las figuras de color distinto de acuerdo al tamaño de

los lados, es que se solicita la prueba. La cual corresponde a Empirisme naiff (Empiricismo

ingenuo), en ella las conjeturas se obtienen de examinar pocos casos y el problema de su

validez no es abordado. En el producto mostrado podemos darnos cuenta que el alumno logra

relacionar el enunciado: colorea de amarillo los que tiene sus lados igualitos con la figura que

corresponde, en este caso el triángulo equilátero, sin embargo, la solución es esencialmente

empírica a partir del conocimiento que ya posee pero la comprensión y diferenciación entre

cada uno de las figuras en lo particular, requeriría que los estudiantes involucraran un proceso

complejo de definición de objetos, por ejemplo, el nombre de cada uno o la medición de todos

los casos.

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Análisis del caso 2

Tabla 2. Elementos de análisis del caso 2.

Análisis de la prueba

Propósito de la

tarea geométrica

(Prueba)

Después de haber trabajado distintas

actividades en la sesión, se solicita que los

alumnos clasifiquen los triángulos según sus

lados y reconozcan sus nombres y

características.

Instrucciones:

Coloca el nombre a cada uno

de los siguientes triángulos.

Marca con una X en la tablita

según la clasificación del

triángulo.

Génesis figural La entrada perceptiva a la tarea geométrica de la prueba es la visualización

icónica y no icónica. En la actividad 1 (Ver figura 3), se recurre a la no icónica

ya que a través de un enunciado discursivo sobre los triángulos y la

clasificación según sus lados, el alumno recurre a la construcción para

deducir el nombre del triángulo y sus características. En las dos tareas

restantes está presente la visualización icónica, pues se presenta una serie

de triángulos.

Génesis

instrumental

En lo experimental, el artefacto simbólico utilizado es la tipología de triángulos

que le permitirán dar respuesta al problema. Para la construcción se usa el

lápiz, en tanto entidad intermedia.

Génesis

discursiva

Para que el alumno valide el saber en juego, se pide que exprese una prueba

de Experiencia Crucial, a diferencia del caso de primer grado aquí no solo

valida, sino que deduce generalidades, plantea explícitamente el problema

de la generalización y lo resuelve, aventurándose a la ejecución de un caso

que reconoce tan poco particular como le es posible.

Se plantean dos tareas geométricas. En la actividad 1 se le pide identificar y

escribir qué tipo de triángulo se muestra y en la actividad 2 se le pide clasificar

y nombrar (equiláteros, escalenos e isósceles) los triángulos que se muestran

en una imagen (Ver figura 3).

Paradigma El paradigma que se privilegia es el de Geometría Natural (GI)

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Figura 3. Actividad propuesta para segundo y tercer grado (Caso 2).

A diferencia del caso 1, en esta evidencia el niño debe asociar el nombre del triángulo

con la clasificación del mismo según sus lados. El conocimiento que se refleja en la primera

actividad se relaciona en la actividad siguiente, ya que pasa de nombrar a un triángulo en

particular, a clasificar otros triángulos que reúnan la misma condición. En contraposición con

la prueba del caso 1, el problema de la generalización no solamente se toma en cuenta, sino

que debe tratarse para clasificar los demás correctamente, aunque siga permaneciendo en

un marco empirista. Es así que se observa que el alumno identifica los triángulos relacionando

su nombre con la propiedad geométrica, es decir con la medida de sus lados, sin embargo,

en la clasificación presenta inconsistencias, ya que no ubica correctamente todos los

triángulos, posiblemente esto tiene que ver con en el proceso de visualización y la no

presencia de la construcción, ya que reconoce la clasificación y las características de los

triángulos, pero no logra completar la tabla correctamente. Para pasar al nivel superior de

prueba sería necesario hacer explícitas las características de los objetos en juego.

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CONCLUSIONES

A través del análisis de los dos casos se destaca la importancia que el maestro

reconozca el tipo de prueba que debe solicitar en cada una de las tareas geométricas según

sea el nivel cognitivo y el grado que estudian los alumnos, puesto que, si reconoce tal

importancia podrá generar condiciones para que se dé el tránsito de las pruebas pragmáticas

a las intelectuales. Esta situación resulta un factor decisivo para el aprendizaje en el aula

multigrado, pues, aunque se estudie el mismo contenido con diferentes grados, no es

deseable solicitar el mismo tipo de prueba a alumnos con diferente nivel cognitivo.

En correspondencia con esta idea, se ha visto como al alumno de primer grado solo

se le solicita identificar los distintos tipos de triángulos de acuerdo al tamaño de sus lados sin

reconocer sus nombres o características específicas, mientras que a los alumnos de 2° y 3°,

se les pide como prueba que reconozcan características de los triángulos que permiten

clasificarlos con base en la medida de sus lados. Se puede concluir entonces que el diseño

de tareas geométricas en las que se soliciten tipos de prueba que consideren el nivel cognitivo

de los alumnos, generan posibilidades para que los estudiantes desarrollen significativamente

su razonamiento geométrico. También es evidente que la capacidad de expresar una u otra

prueba tiene que ver con la importancia de activar las génesis del ETG. Con base en lo

anterior, podemos concluir hasta el momento, que la propuesta de formación de profesores

para la enseñanza de la geometría es un aporte significativo para el trabajo en el aula

multigrado.

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REFERENCIAS

Balacheff, N. (2000). Procesos de prueba en los alumnos de matemáticas. Universidad de los

Andes, Bogotá, Colombia,

Henríquez, C. (2014). El trabajo geométrico de profesores en el tránsito de la geometría

sintética a la analítica en el nivel secundario. Tesis doctoral. Pontificia Universidad

Católica de Valparaíso. Chile.

Houdement, C. y Kuzniak, A. (2006) Paradigmes géométriques et enseignement de la

géométrie. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 11, pp. 175-193. IREM

de Strasbourg.

Instituto Nacional para la Evaluación de la Educación (2017). Proyecto Nacional de

Evaluación y Mejora Educativa de Escuelas Multigrado (PRONAEME).

Kuzniak, A. (2011). L'espace de travail mathématique et ses génèses. Annales de Didactique

et de Sciences Cognitives, 16, 9–24.

Kuzniak, A., Montoya, E. y Vivier, L. (2016). Cuadernos de Investigación y Formación en

Educación Matemática. 2016. Año 11. Número 15. pp 235-249. Costa Rica

Rodríguez, Y. (2004). Estrategias de enseñanza docente en escuelas multigrado. Educación

y procesos pedagógicos y equidad: cuatro informes de investigación. GRADE, Lima.

Thompson, J. (1993) Geometría. México, D.F.: Limusa.

Weiss, E. (2000). La situación de la enseñanza multigrado en México. Perfiles Educativos,

Vol. XXII, núm. 90, pp. 57-76. Instituto de Investigaciones sobre la Universidad y la

Educación Distrito Federal, México.