Los Polígonos, propiedades y construcciones.pdf

Geometra Mtrica Polgonos.

Miguel ngel Molina Prez 1

TEMA. 34.LOS POLGONOS, PROPIEDADES Y CONSTRUCCIONES.

1. DEFINICIN Y TIPOS DE POLGONOS.

DEFINICIN.Polgono es la superficie plana limitada por una lnea poligonal cerrada.Lnea poligonal es la figura formada por varios segmentos no pertenecientes a la

misma recta. Se considera cerrada cuando su principio y final coinciden.

ELEMENTOS GENERALES DE UN POLGONO.LADOS: Son los segmentos que forman el polgono.VRTICES: Interseccin o extremos de los lados.DIAGONALES. Segmentos determinados por cada dos vrtices no consecutivos. Fig. 1

CLASIFICACIN DE LOS POLGONOS.EQUILTERO: Si tiene todos sus lados iguales. Fig. 2EQUINGULO: Si todos sus ngulos son iguales. Fig. 2REGULAR. Equiltero y equingulo.

REGULAR ESTRELLADO: Se obtiene uniendo segn un paso determinado susvrtices.

CONVEXO: Cuando el polgono queda a un lado de la prolongacin de uno de suslados. Fig. 3

CNCAVO: Repartido a ambos lados de la prolongacin de alguno de sus lados. Fig. 4.

2. TRINGULOS.

DEFINICIN Y DESIGNACIN.

Superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos ados.

Los puntos de interseccin de estas rectas se denominanvrtices y se designan en mayscula, los segmentos entre vrticeslados y se designan en minscula, igual al vrtice opuesto. Fig. 5

Son polgonos convexos con sus diagonales coincidiendo conlos lados.

PROPIEDADES FUNDAMENTALES.1. Un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que

su diferencia. b-c



-ESCALENO. Ningn lado igual a otro. Fig.8

SEGN LOS NGULOS.

-ACUTNGULO. Los tres ngulos son agudos. Fig.9-RECTNGULO. Si tiene un ngulo recto. Fig.10-OBTUSNGULO. Si tiene un ngulo obtuso. Fig.11.

RECTAS NOTABLES Y CENTROS DEL TRINGULO.-ORTOCENTRO. Punto donde se cortan sus alturas. Altura es la

perpendicular de un vrtice a su lado opuesto. Fig. 12-CIRCUNCENTRO. Punto donde se cortan las mediatrices de los lados. Es

centro de la circunferencia circunscrita del tringulo (contiene a sus vrtices). Fig.13-BARICENTRO. Punto donde se cortan las medianas. Medianas son los

segmentos que van de los vrtices a los puntos medios de los lados opuestos. Elbaricentro es el centro de gravedad del tringulo y se encuentra respecto de los vrtices a2/3 de la mediana correspondiente. Fig. 14

-INCENTRO. Punto donde se cortan las bisectrices de los ngulos deltringulo. Es centro de la circunferencia inscrita en el tringulo (tangente a sus lados). Fig.15

TRINGULOS NOTABLES.

-TRINGULO RTICO. Tringulo rtico de un tringulo dado es el quetiene como vrtices los pies de las alturas del tringulo dado. Fig. 16

-TRINGULO COMPLEMENTARIO. Tringulo Complementario de untringulo dado es el que tiene como vrtices los puntos medios de los lados del tringulodado. Fig. 17

-TRINGULO PODAR. Tringulo Podar de un tringulo dado es el que tienecomo vrtices los pies de las perpendiculares trazadas a los lados del tringulo desde unpunto P definido. Fig. 18



CONSTRUCCIN DE TRINGULOS.El nmero de datos necesario para poder construir cualquier polgono es 2n-3, siendo n

el nmero de lados del polgono. En el caso de los tringulos, el nmero de datos precisoes por tanto 3.

A veces los datos no se dan directamente sino que van implcitos en la propia definicindel tringulo o polgono a resolver, por ejemplo tringulo equiltero dato lado, llevaimplcitos los tres lados y tres ngulos por lo que tenemos datos de sobra.

Son innumerables los ejercicios que pueden plantearse de construccin de polgonos ytringulos, resolveremos aqu algunos a modo de ejemplo.

1. Conociendo los tres lados. Tomamos uno como base y hacemos centro en susextremos con radios iguales a los otros dos lados, describiendo arcos que son los lugaresgeomtricos de los extremos, donde se corten tenemos el vrtice buscado. Fig. 19

2. Conociendo dos lados y el ngulo comprendido. Fig. 203. Conocidos dos ngulos y el lado comprendido. Fig. 214. Dados dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos. Se dibuja el ngulo y lado

contigos y -a-, con centro en el extremo opuesto C, trazamos un arco de radio igual alsegundo lado conocido -b-. El ejercicio puede tener 2 soluciones (vrtices A y A) si el lado -b- es mayor que la altura de C, 1 si son iguales y no tener solucin si es menor. Fig. 22

5. Dados dos ngulos y un lado opuesto a uno de ellos. Se traza el arco capaz delngulo opuesto . Fig. 23

6. Dados un lado, el ngulo opuesto y la altura correspondiente entre este lado yngulo.

Se dibuja el lado -a-, se le traza el arco capaz de y una paralela a distancia la alturadada -h-. Donde esta paralela y el arco se corten tenemos el vrtice buscado. Dossoluciones si la altura es secante respecto al arco, una si es tangente y ninguna si esexterior. Fig. 24

7. Dados un lado, y su altura y mediana correspondientes. Dibujamos el lado -a- y unaparalela a este a la altura dada -h-. Con centro en su punto medio trazamos un arco deradio igual a la mediana dada. Donde ambos lugares geomtricos se corten tenemos el



vrtice buscado. Dos soluciones, una o ninguna segn sea la paralela de la altura secante,tangente o exterior al arco de la mediana respectivamente. Fig. 25

8. Construir un tringulo rectngulo dada la hipotenusa y la suma de los catetos.

Dibujamos el segmento dado comosuma de catetos (b+c) y trazamos, por unode sus extremos D, una semirrecta queforme con l 45. En su otro extremo Chacemos centro para trazar un arco deradio igual a la magnitud conocida de lahipotenusa -a-.

Donde la semirrecta y el arco se cortentenemos el vrtice B (o B) del tringulobuscado. Desde el trazamos una rectaperpendicular al segmento DC obteniendoel vrtice A y, por tanto, el cateto menor -c-y la longitud del cateto mayor -a-. Fig. 26.

De tomar el punto de interseccin B, la

solucin ser simtrica a la obtenida.Observese que el tringulo ABD es issceles y

rectngulo por lo que los segmentos AD y BA tienenigual longitud.

9. Construir un tringulo rectngulo dada lahipotenusa y la diferencia de catetos.

Se resuelve de igual modo que el ejercicio anterior.Fig.27

3. CUADRILTEROS.

DEFINICIN, ELEMENTOS Y DESIGNACIN.Se llama cuadriltero a toda figura poligonal cerrada compuesta por cuatro lados. Los

puntos de interseccin de los lados se denominan vrtices y se designan con letramayscula e igual a la del lado contigo, en minscula. Lossegmentos que unen dos vrtices opuestos se denominandiagonales, un cuadriltero solo tiene dos diagonales, cadauna divide al cuadriltero en dos tringulos.

La suma de los ngulos de un cuadriltero es de 360.Fig. 28.

CLASIFICACIN.

PARALELOGRAMOS.

Tienen sus lados opuestos paralelos, sus ngulosopuestos son iguales y las diagonales se cortan en su punto medio.

-RECTNGULOS. Sus lados opuestos son iguales, desiguales los contiguos y todos susngulos rectos. Fig. 29

-ROMBOS. Sus cuatro lados son iguales. Sus ngulos opuestos iguales, desiguales loscontiguos. Fig. 30

-CUADRADOS. Los cuatro lados iguales y sus ngulos rectos. Fig. 31-ROMBOIDES. Sus lados opuestos son iguales, desiguales los contiguos. Sus ngulos

opuestos iguales, desiguales los contiguos. Fig. 32



TRAPECIOS.

Tienen dos lados paralelos que se denominan bases, siendo la altura la distancia entreambas. Se denomina paralela media al segmento que une los puntos medios de los ladosno paralelos. Fig. 33

-RECTNGULO. Tiene dos ngulos rectos. Fig. 34-ISSCELES. Los dos lados no paralelos son iguales. Fig. 35-ESCALENO. Sus lados presentan magnitudes escalonadas. Fig. 36

TRAPEZOIDES.

No tienen ningn par de lados paralelos.-BIISSCELES. Los lados contiguos son iguales dos a dos. Los

ngulos opuestos son iguales. Fig. 37-ESCALENO. Sus lados presentan magnitudes escalonadas. Fig. 38

CONSTRUCCIN DE CUADRILTEROS.El nmero de datos necesarios para poder resolver la construccin de polgonos es de

2n -3, en los cuadrilteros ser de 5.Atendiendo a sus diagonales, pueden descomponerse en tringulos y resolverse desde

la resolucin previa de estos tringulos.

PARALELOGRAMOS.

1. Construccin del cuadrado conociendo:A. El lado. Fig. 39B. La diagonal. Mediante arco capaz de 90. Fig. 40C. El radio de la circunferencia circunscrita. La diagonal es igual al dimetro de la

circunferencia circunscrita. Fig. 41

2. Construccin del paralelogramo rectngulo conociendo la diagonal y un lado. Fig. 423. Construccin del rombo conociendo un lado y el ngulo contiguo. Fig. 434. Construccin del romboide conociendo un lado, el ngulo contiguo y una diagonal.

Fig.44



TRAPECIOS.

1. Construccin del trapecio rectngulo, conociendo la base mayor, el lado oblicuo y elngulo comprendido entre ambos. Fig. 45

2. Construccin del trapecio issceles conociendo las bases y la altura. Fig. 463. Construccin del trapecio escaleno conociendo sus cuatro lados. Fig. 47

TRAPEZOIDES.

1. Construccin del trapezoide biissceles conociendo los lados desiguales y el ngulocomprendido. Fig. 48

2. Construccin del trapezoide escaleno conociendo sus cuatro lados y la altura sobreuno de ellos. AB, base, h sobre AB. Fig. 49

4. POLGONOS REGULARES.

ELEMENTOS.-CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA. Circunferencia que pasa por los vrtices del

polgono.-CIRCUNFERENCIA INSCRITA. Circunferencia tangente a los lados del polgono.-CENTRO: El centro de las dos circunferencias antedichas es a su vez, centro del

polgono.-RADIO: Distancia del centro a un vrtice, radio de la circunferencia circunscrita.



-APOTEMA. Radio de lacircunferencia inscrita del polgono operpendicular del centro a un lado delpolgono.

-PERMETRO. Suma de laslongitudes de los lados.

-LADO: Une dos vrtticesconsecutivos. Su mediatriz pasa por elcentro del polgono.

-DIAGONAL. Une dos vrtices noconsecutivos, su mediatrriz pasa por elcentro del polgono. Fig. 50

CONSTRUCCIN DE POLGONOSREGULARES.

1. POLGONOS QUE ADMITEN REPRESENTACIN EXACTA.

A. Conociendo el radio.

1. 3, 6, 12 LADOS. Fig. 51

2. 4, 8, 16 LADOS. Fig. 52

3. 5, 10 LADOS. Fig. 53



B. Conociendo el lado.

1. 5 LADOS. Figs. 54 A y B

2. 3, 6, 12 LADOS. Figs. 55 A, B y C.

3. 4, 8, 16 LADOS. Fig. 56 A, B y C



C. Conociendo la altura.

-5 LADOS.Dibujamos una recta, y le trazamos una perpendicular, a partir de ella llevamos la altura

dada h obteniendo as los puntosA y C.

Con centro en A y radio A-Ctrazamos un arco que determinalos ponutos N y B sobre la rectatomada.

Calculamos la mediatriz delsegmento N-A y trazamos un arcocon centro en su punto medio M yradio M-B hasta cortar en E a lamediatriz.

Trazamos el segmento E-N y aeste una recta paralela C-F por elpunto C. Esta paralela esdiagonal del polgono.

El segmento F-A tiene demagnitud la mitad del ladobuscado del pentagono.Calculamos el simtrico de F

respecto de A-C y obtenemos el punto G siendo F-G un lado del pentgono buscado.Conocido el lado A-C y el vrtice C podemos construir el polgono. Fig. 57

2. POLGONOS QUE NO ADMITEN REPRESENTACIN EXACTA.

A. Conociendo el radio r.

1. 7, 14 LADOS. Trazamos un dimetro A-B y en uno de sus extremos un arco de radioR dado, obteniendo la cuerda M-N sobre la circunferencia. La magnitud MN/2 (X-M) es elvalor del lado del HEPTGONO. Fig. 58 A

2-9 LADOS. Trazamos dos dimetros perpendiculares entre si. Con centro en losextremos de uno de ellos (A-B), trazamos dos arcos de radio R en un mismo sentido, quecortan a la circunferencia en M y N. Con centro en A y B y radios B-M y A-N, trazamos dosarcos que se cortan en . Con centro en y radio B-, trazamos un arco que corta aldimetro D-C en X, el segmento D-X es igual a la magnitud del lado del ENEGONO. Fig.58 B

3-11 LADOS. Trazamos dos dimetros perpendiculares entre si, A-B y C-D. Con centroen B y radio R trazamos un arco que corta a la circunferencia en M. Con centro en D y radioR, trazamos otro arco que corta a la circunferencia en N. Con centro en M y radio M-Ntrazamos un arco que corta al dimetro A-B en . La distancia N- es igual a la magnituddel lado del polgono. Fig. 58 C.

B. Conociendo el lado. Ab.

1. 7 LADOS. Prolongamos el segmento dado J-I en cualquier sentido y trazamos unarco de centro en I y radio I-J que corta en S a la prolongacin del segmento I-J y en N asu mediatriz. Con centro en S y radio B-N (B=punto medio del segmento I-J), trazamos unarco que corta al trazado anteriormente en G.



I-G es lado del heptgono, su mediatriz cortar a la mediatriz de I-J en el centro de lacircunferencia circunscrita que trazaremos para llevar el lado a lo largo de ella. Fig. 59 A.

2. 9 LADOS. Trazamos la mediatriz deL lado dado K-L. Con centro en K o L y radio K-Ltrazamos un arco que corta en X a la mediatriz. Con centro en X y el mismo radio trazamosotro arco que corta en Y a la mediatriz. Con centro en Y y el mismo radio trazamos otro arcoque corta en A a la mediatriz.

A-K es diagonal del polgono, su mediatriz determina sobre la mediatriz de I-J el centroO de su circunferencia circunscrita que trazaremos para, sobre ella, llevar 9 veces el ladodado. Fig. 59 B.

3. MTODOS GENERALES.

Conociendo el radio r.

Trazamos la circunferencia de radio R y dividimos su dimetro A-B en un nmero departes igual al nmero de lados que tenga el polgono que queramos dibujar, en el ejemplo

7. Con centro en A y B trazamos dos arcos de radio A-B, en el mismo sentido, que secortan en N. Desde N unimos mediante una recta con la segunda divisin de A-B y

obtenemos en su corte con la circunferencia el punto C. El segmento AC es lado delpolgono buscado. Fig. 61

Conociendo el lado AB.

Con centro en A y B y radio A-B trazamos dos arcos que se cortan en O6 sobre lamediatriz de A-B. Con centro en O6 y radio A-O6, trazamos un arco que corta en O12 a lamediatriz.

Dividimos el segmento O6-O12 en 6 partes obteniendo O7, O8, O9, O10 Y O11. Si seguimosgraduando la mediatriz con esta unidad obtenemos O13, O14, etc.. por encima y O5, O4.. pordebajo de O12 y O6 respectivamente.



Todos estos puntos calculados son centros de las circunferencias circunscritas de lospolgonos que llevan su nmero. Trazamos la deseada y distribuimos el lado A-B por ella,en el ejemplo el heptgono. Esta construccin es aproximada. Fig. 60

POLGONOS ESTRELLADOS.

CONCEPTO Y ELEMENTOS ESPECFICOS.Si una circunferencia se divide en n partes y se unen sucesivamente estas divisiones

(vrtices), se obtiene un polgono regular convexo segn hemos visto, pero si se unen dedos en dos, de 3 en 3, etc.., estos vrtices, los polgonos resultantes son cncavos yestrellados.

-GNERO.g: Se denomina as al nmero de cuerdas o lados del polgono estrellado.El gnero coincide con el nmero de vrtices del polgono por lo que un polgono

estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un gnero 5, pentgono estrellado =pentgono).

-PASO.p: Nmero de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado delpolgono estrellado.

-ESPECIE.e: En base al paso se establecen diversas especies, 1 especie, si se unenlos vrtices de dos en dos, de 2 especie si lo hacemos de 3 en 3 etc..

POLGONOS ESTRELLADOS DE LOS CONVEXOS.El nmero de polgonos estrellados que tiene un polgono regular convexo es el

nmero de cifras primas con l menores de su mitad.Estas cifras primas nos indican adems el paso del polgono y por tanto su especie.Por ejemplo en el pentgono dividimos 5 por dos (5/2 = 2.5) y observamnos que el

nmero 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre l.Podemos deducir por tanto que el pentgono tiene un solo polgono extrellado, y no

solo eso sino que, adems, su paso es 2 (se van tomando los vrtices de 2 en 2) pues 2es el nmero primo resultante de la operacin. El polgono as obtenido ser por tanto de1 especie.

Hexgono: 6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generardecimales. El hexgono no tiene ningn polgono estrellado pues de su mitad a 0 no tieneprimos.

Heptgono: 7/2 = 3.5. Los nmeros 3 y 2 son los primos de 7. El heptgono tiene dospolgonos estrellados (dos primos) de pasos 2 y 3, o especies 1 y 2.

CONSTRUCCIN.El tringulo no tiene polgono estrellado.El cuadrado no tiene polgono estrellado.El pentgono uno de 1 especie.El hexgono ninguno.El heptgono dos, de 1 y 2 especie.El octgono uno, de 2 especie.El enegono dos, de 1 y 2 especie.El decgono uno, de 2 especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los nmeros 4 y 3

son primos y menores que su mitad si bin solo podremos trazar un polgono estrellado de2 especie.

Con once vrtices 4 polgonos estrellados, de 1, 2, 3 y 4 especie.El dodecgono un estrellado, uniendo sus vrtices de 5 en 5 o 4 especie. Fig. 62



Fig. 58.

RELACIN UREA ENTRE LOS POLGONOS ESTRELLADOS Y LOS CONVEXOSCORRESPONDIENTES.

EQUIVALENCIAS.



ndice

1. DEFINICIN Y TIPOS DE POLGONOS..................................................................... 1

DEFINICIN.................................................................................................................... 1ELEMENTOS GENERALES DE UN POLGONO.................................................................. 1CLASIFICACIN DE LOS POLGONOS............................................................................. 1

2. TRINGULOS. ........................................................................................................... 1

DEFINICIN Y DESIGNACIN. ........................................................................................ 1PROPIEDADES FUNDAMENTALES. ................................................................................. 1CLASIFICACIN DE LOS TRINGULOS........................................................................... 1

SEGN LOS LADOS ...................................................................................................... 1SEGN LOS NGULOS.................................................................................................. 2

RECTAS NOTABLES Y CENTROS DEL TRINGULO. ....................................................... 2TRINGULOS NOTABLES. .............................................................................................. 2CONSTRUCCIN DE TRINGULOS. ................................................................................ 3

3. CUADRILTEROS...................................................................................................... 4

DEFINICIN, ELEMENTOS Y DESIGNACIN.................................................................... 4CLASIFICACIN. ............................................................................................................ 4

PARALELOGRAMOS...................................................................................................... 4TRAPECIOS. ................................................................................................................. 5TRAPEZOIDES. ............................................................................................................. 5

CONSTRUCCIN DE CUADRILTEROS........................................................................... 5PARALELOGRAMOS...................................................................................................... 5TRAPECIOS. ................................................................................................................. 6TRAPEZOIDES. ............................................................................................................. 6

4. POLGONOS REGULARES. ....................................................................................... 6

ELEMENTOS................................................................................................................... 6CONSTRUCCIN DE POLGONOS REGULARES. .............................................................. 7

1. POLGONOS QUE ADMITEN REPRESENTACIN EXACTA............................................ 7A. Conociendo el radio. ...................................................................................................................................................7B. Conociendo el lado......................................................................................................................................................8C. Conociendo la altura. ..................................................................................................................................................9

2. POLGONOS QUE NO ADMITEN REPRESENTACIN EXACTA. ..................................... 9A. Conociendo el radio r..................................................................................................................................................9B. Conociendo el lado. Ab. .............................................................................................................................................9

3. MTODOS GENERALES. .......................................................................................... 10Conociendo el radio r.....................................................................................................................................................10Conociendo el lado AB..................................................................................................................................................10

POLGONOS ESTRELLADOS...................................................................................... 11

CONCEPTO Y ELEMENTOS ESPECFICOS. .................................................................... 11POLGONOS ESTRELLADOS DE LOS CONVEXOS. ......................................................... 11CONSTRUCCIN........................................................................................................... 11RELACIN UREA ENTRE LOS POLGONOS ESTRELLADOS Y LOS CONVEXOS

CORRESPONDIENTES........................................................................................................ 12

EQUIVALENCIAS. ....................................................................................................... 12

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