Los numeros

Una flor en forma de espiral.En la corola de un girasol se formandos grupos opuestos de espirales. Hay34 espirales en el sentido de las agujasdel reloj y 55 en sentido opuesto. Estosnúmeros pertenecen a la sucesión deFibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8,13, 21, 34,55, 89...Fotografía: Rogelio Chovet

Carl Friedrich GaussMatemático alemán (1777-1855)

“La matemática es la reina de lasciencias y la aritmética es la reina delas matemáticas”

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s

El mundo de los númerosFascículo

Números I

Descubriendo el mundo de los números

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

¿Qué tienen en comúnestos objetos?Todos presentan números quellevan implícita una información.En la cédula aparece el númeroque identifica a cada ciudadanomayor de una cierta edad. Enun billete se expresa la cantidadde bolívares que representa(bolívares 500) y la serie a laque pertenece (149838217).

La etiqueta de cualquier producto en el mercadopresenta en números la capacidad del envase, lafecha de expedición y la de vencimiento, así comoun código de barras que identifica al producto.

Podríamos continuar revisando diversas situaciones de nuestra vida cotidianaen las cuales los números están presentes.

En todas estas situaciones los números utilizados responden a los principios delSISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL.

En este sistema de numeración se utilizan diez símbolosdenominados dígitos o cifras que representan ideas decantidad.

Cada cifra tiene un valor diferente según su posición. Esdecir, la misma cifra colocada en diferente lugar representacantidades distintas.

El valor de una cifra depende de la posición que ocupa enel número. Cada posición a la izquierda es diez vecesmayor que la que le precede.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 92 3 3 2es diferente de

y se utilizanlas mismascifras

100 10 13 3 2

Centenas Decenas Unidades

3 centenas 3 decenas 2 unidades


ca 2000 años a.C.Símbolos escritos, sistemade numeración posicionalbabilónico

PrehistoriaLas ideas se comunicanverbalmente

ca 15000 años a.C.Paleolítico superior. Lainvención de marcas paracontar: las muescas

ca 3400 años a.C.Invención de los símbolosescritos representan ideasde cantidades. Sistemaegipcio aditivo

s. V d.C.Sistema posicional. Sistemade numeración maya debase 20. Sistema de nume-ración Inca, base 10 verbaly representación en quipú

s. XII d.C.Sistema de numeracióndecimal en Europa

El actual sistema decimal de numeración o sistema hindú-arábigo, que utiliza el valor de posición, es la culminaciónde muchos siglos de contribuciones de varios sistemas de numeración. Los babilonios al principio de 2000 a.C., loschinos en el siglo I a.C. y los Mayas en el siglo V d.C. ya habían desarrollado sistemas de numeración posicionales.Para escribir números, las cifras cumplen la misma función que las letras del alfabeto para escribir palabras. Observalos diferentes símbolos que en el transcurso de la historia se utilizaron para escribir números.

InteresanteAl tiempo que en Europa se adoptaba el sistema de numeraciónhindú-arábigo, considerado como uno de los más importantesinventos de la humanidad, los incas en Sudamérica usaban el quipú:tiras de algodón con nudos que representaban la notación posicionalcomo un sistema decimal de numeración, es decir, un sistema debase 10. Observa la representación de cantidades en un quipú.

La introducción de un símbolo que representara la ausencia de cantidad encontró grandesobstáculos. Se decía: “si los números se inventaron para contar, es absurdo inventar unsímbolo para contar nada”.

Los waraos en Venezuela poseen un sistema fonético muy vinculado con sus manos1 Isaka, 2 Manamo . . . . . 5 Mojobasi, 6 Mojo matama isaka (uno de otra mano).

En los sistemas de numeración de los babilonios, griegos, egipcios, romanos, chinos ymayas, no se puede reconocer la magnitud de los números por la longitud de su escritura.Esta es una de las ventajas del sistema decimal de numeración posicional: con una solamirada, sin leer los números, se puede comparar con la longitud de su escritura.

215 31 102 348

Binario (base 2)1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010

Babilónico

GriegoMaya Hindú

Árabe

Egipcio

N ú m e r o s e n e l t i e m p o


Descubriendo los números

Si quisiéramos contar el número de granos que hay sobre estamesa, buscaríamos una manera de organizarlos sin tener que

contarlos uno por uno.

Una forma de contarlos esagrupándolos de 10 en 10 ypegar cada grupo de 10 en unapaleta.

Luego se agrupan encuadros de exactamente 10

paletas.

Observa que cada cuadrotiene 10 paletas y cadapaleta 10 granos.Obtenemos finalmente:2 cuadros3 paletas7 granos sueltos¡Tenemos en total 237granos!

100 100

101010

7

Centenas

Decenas Unidades

2 Centenas3 Decenas7 Unidades

Yendo más alláEn caso de poder agrupar10 cuadros de 10 paletasen cada pila, obtenemosunidades de mil.

Agrupamos 1 724 granos así:1 724 granos172 paletas y 4 granos17 cuadros y 2 paletas y 4 granos1 pila y 7 cuadros y 2 paletas y 4 granos

Unidades de mil Centenas Decenas unidades

1 7 2 4

Descubriendo operaciones: la adición


Conteo de unidades sucesivas

0 1 2 3 4 5 6 7 8

4 + 3 = 7

Reúno paletas y granos

165+ 72

165+ 72237

RetoCuadrado MágicoColoca los números del 1 al 9 demanera tal que todas las columnas,filas y diagonales mayores sumen 15.Números triangulares

1 3 6 10

Representa yescribe el próximonúmero triangular

y

“Sumando” con paletas y granos

5

7

5+ 712

+


Descubriendo operaciones: la sustracción

Quitando

8 - 5 = 3

Tengo 8 caramelos yregalo 5

Completando

Tengo 5 caramelos ynecesito 8

Comparando

Víctor tiene 8 caramelosy María tiene 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 8

La sustracción ... o “pido prestado”

¿Alguna vez te has preguntado qué quiere decir “pido prestado” cuando estás efectuandouna sustracción?Fíjate en el ejemplo.Usaremos monedas, las cuales nos resultan familiares. La única limitación en estasituación es que tenemos sólo monedas de 1, 10 y 100 bolívares.

Tenemos 245 bolívares así representados y necesitamos pagar 72 bolívares.

¿Qué podemos hacer?• Quitamos 2 bolívares.• Ahora para pagar los 70

restantes, sólo tengo 4monedas de 10.

• Para poder tener las 7 quenecesito, cambiamos unamoneda de 100 en 10monedas de 10.

Ahora puedo sacar las 7 monedas de 10 que necesito de las 14 que tengo, y dos monedas de uno para pagar los72 bolívares, por lo que me quedan 173 Bolívares.

245-72173

Minuendo

Sustraendo

Diferencia

“Pido prestado” al2 una centena


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 9 12 15 18 21 24 27 30

4 16 20 24 28 32 36 40

5 25 30 35 40 45 50

6 12 36 42 48 54 60

7 49 56 63 70

8 32 64 72 80

9 81 90

10 30 100

Reto• Completa lo que falta de la tabla.• Sombrea los resultados 1x1, 2x2, 3x3,

4x4...• Sombrea en otro color los múltiplos de 5

que están entre 20 y 50.• ¿Qué observas?

Descubriendo operaciones: la multiplicación

3 veces 5

3 x 5 = 15

Suma abreviada 3 filas de 5 fichasÁrea de

rectángulos

3 x 5 5 + 5 + 5 3 filas de 5fichas

Área derectángulos

La propiedad distributiva ayuda a comprender el procedimiento que se usa para multiplicar números devarias cifras.

Propiedad distributiva

(3 + 5) x 48 x 4

32

= (3 x 4) + (5 x 4)= 12 + 20= 32

3

5

4

3 5

44

Usando la propiedad distributiva lo podemos explicar.325 x 42 =325 x (40 + 2) =(325 x 40) + (325 x 2) =(325 x 4 x 10) + 650 =(1 300 x 10) + 650 =13 000 + 650 =13 650

Números rectangulares

2 6 12 20

Representa yescribe el próximonúmero rectangular

y

120 Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Descubriendo operaciones: la división17 3

2 5

Dividendo

Residuo

Divisor

Cociente

17 = 3 x 5 + 2

Repartiendo

Se quiere repartir 17 caramelos entre tresniños de manera que cada niño reciba lamisma cantidad. ¿Cuántos caramelos letocan a cada niño?

Agrupando

¿Cuántos paquetes de tres caramelosse pueden hacer con 17 caramelos?

¡5 caramelosa cada niño!... y sobran 2caramelos.

¡5 paquetes!... y sobran 2caramelos.

Cálculo mental

2 436 : 12 152 : 8

2 436 = 2 400 + 36(2 400 + 36) : 12 =

2 400 : 12 + 36 : 12 =200 + 3 =

203Compruebo

203 x 12 = 2 436

152 = 160 - 8(160 - 8) : 8 =160 : 8 - 8 : 8 =20 - 1 =19Compruebo19 x 8 = 152

Retos

• ¿Qué número dividido por 2, luego por 3, luego por 5 y finalmentepor 7 da como resultado 10?

• ¿Qué número dividido 5 veces por la mitad es igual a 100?

Gauss dio señales de ser un genio antes de cumplir tres años. A esa edad aprendió aleer y a hacer cálculos aritméticos con tanta habilidad que descubrió un error en loscálculos realizados por su padre para cancelar salarios. Nacido en una modesta cabañade Alemania e hijo de padres muy pobres, sus contribuciones a la matemática, la físicay otras ramas de la ciencia, como la astronomía, fueron de una importancia extraordinaria.A Gauss, en su vejez, le encantaba contar la siguiente anécdota: A los diez años deedad, su maestro le propuso en clase el cálculo de una suma complicada para su edad.Apenas el maestro había terminado de dictar el problema, Gauss puso en la mesa delmaestro su pizarra con el resultado de la suma.Observa el problema que el maestro propuso:Calcular la suma de los números enteros consecutivos desde 1 hasta 1001 + 2 + 3 + 4 + 5 +..........+ 100

Leonardo PisanoApodado Fibonacci (1180-alrededor de 1250)

Fibonacci era hijo de un mercader de Pisa, Bonaccio(de aquí se origina el sobrenombre, “figlio di Bonaccio”).Viajó al África septentrional, a Egipto, Siria y Grecia,donde aprendió los métodos algebraicos árabes y elsistema de numeración hindú-arábigo. Con su obraLiber Abaci, difundió en Europa la notación árabe delos números, la cual usa nueve cifras y el cero, ytambién la barra horizontal para escribir fracciones.Se reconocen como números de Fibonacci los númerosde la sucesión 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... en los quecada número es la suma de los dos términos que lopreceden.

Carl Friedrich Gauss(1777-1855)

121Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 8 - El mundo de los NÚMEROS 1

Algoritmo de la división

Queremos dividir Bs. 1 353 entre 12

• Un billete de Bs. 1 000 no lopuedo repartir entre 12.

• Cambio el billete de Bs. 1 000en 10 monedas de 100.

1’353 12

• Ahora tengo 13 monedas de Bs. 100.• Reparto entre 12.• Le toca una moneda de Bs. 100 a cada

uno y sobra una moneda de Bs. 100.

13’53 12112

1

Bs. 100 acada uno

• Cambio la moneda de Bs. 100 en 10monedas de Bs. 10.

• Ahora tengo 15 monedas de Bs. 10.• Las reparto entre 12.• Le toca una moneda de Bs. 10 a cada

uno y sobran 3 monedas de Bs. 10.

Bs. 10 acada uno

135’3 121112

15 12 3

• Cambio las 3 monedas de Bs. 10 enmonedas de Bs. 1.

• Ahora tengo 33 monedas de Bs. 1• Las reparto entre 12.• Tocan 2 monedas de Bs. 1 a cada uno

y sobran 9 monedas de Bs. 1.

Bs. 2 a cada uno

1353’ 1211212

15 12 33 24 9

A cada uno le toca un total de Bs. 112y sobran 9 monedas de Bs. 1 1 353 =

112 x 12 + 9

-

-

-

-

-

-

E l m u n d o d e l o s n ú m e r o s

Fascículo

M a t e m á t i c a p a r a t o d o s


Números y códigos

Un código es un grupo de símbolos que relacionados representan información.

Los códigos existen hace miles de años, tal como se aprecia en los jeroglíficos,

el alfabeto griego, números romanos, el código Morse.

Actualmente hablamos del código genético (ADN), código de barras, código

bidimensional, etc.

En esta sección hablaremos del código de barras.

El código de barras es un elemento identificador que se visualiza como una

combinación de 30 o más rayas negras de diferente grosor y de cifras que pueden

ser leídas por un lector óptico (scanner) que reconoce caracteres. Este código

proporciona información individual de cada producto o servicio y facilita el manejo

de la información por su precisión ya que cada artículo tiene una identificación

única en cualquier parte del mundo. Por ejemplo:

3 representa el país de origen

065890 características del fabricante

000643 características del producto

Para verificar si el código corresponde a ese producto la computadora realiza las

siguientes operaciones:

1) Suma las cifras colocadas en los lugares pares a partir de la derecha.

2) Multiplica esta suma por la primera cifra a la izquierda.

3) Se suman las cifras de lugar impar comenzando por la tercera cifra de la

derecha.

4) Se suman los resultados de los pasos 2 y 3, la diferencia entre este resultado

y la decena superior debe coincidir con el número clave. De no ser así hay

algún error en el código o en la lectura que amerita ser revisado.

Su uso ha sido principalmente en el área comercial, pero también se está utilizando

en control de acceso de personas, en inventarios, en centros asistenciales, entre

otros. Por ejemplo, cuando usted paga en la caja de un supermercado, ésta,

además de cobrarle recoge la información del tipo de producto, el tamaño,

ubicación, fecha de expedición, etc. Todo el código responde a normas aprobadas

por el “Código Universal de Productos” (UPC). La utilización del código de barras

en la vida cotidiana ha simplificado y automatizado el proceso de recolección de

datos en los comercios e industrias.

Número clave


Números y deportes

Interesante:Un jugador de fútbol puede

correr entre 11 y 13 kilómetrosdurante un partido completo.

¿Cómo sería la práctica de deportes si no tuviéramos números?¿Qué perderíamos?

• ¿Cómo podríamos determinar el ganador de un partido?• ¿Cuándo decimos que un partido se terminó?• ¿Cómo mediríamos la cancha para cada deporte?• ¿Cuántos jugadores tendría cada equipo?• ¿Qué tamaño y peso tendrían las pelotas para cada deporte?• ¿Cómo podríamos saber qué equipo gana un campeonato?• ¿Cómo podríamos determinar el mejor jugador de un campeonato?

Sin números, la práctica deportiva perdería gran parte de su interés. Eso sin contar con elhecho de que en algunos casos sería imposible de llevarse a cabo, ya que careceríamosde cosas tan elementales como medida de la cancha, de la pelota con que se juega y elnúmero de jugadores, entre otras cosas.Además, ¿qué sería de la afición al béisbol, por ejemplo, si no pudiéramos saber qué equipova ganando el campeonato, o qué jugador va punteando en número de hits conectados?A veces nos parece que un jugador de fútbol corre muchísimo durante un partido completopero, ¿podríamos saber cuánto corre realmente si no pudiéramos contar con números?A continuación te ofrecemos información numérica fundamental para la práctica de dosdeportes que gozan de una gran popularidad: el baloncesto y el fútbol.

15 m

28 m

1,8 m

5,8

m

altura del tablero: 2,75 m

100

a 11

0 m

7,32 m

5,05 m

64 a 75 m

11,1 m

altura del arco: 2,44 m

El balón de fútbol debe tener una circunferencia máxima entre 69 y 70 cm. Debe estar auna presión de 1,1 atmósferas.

El balón del baloncesto debe tener una circunferencia máxima de 75 a 78 cm y un pesode 600 a 650 gramos. Se infla a una presión de aire tal, que cuando se deje caer de unaaltura aproximada de 1,80 m, debe rebotar hasta una altura mínima de 1,20 m y máximade 1,40 m.


Ventana didáctica

El cero en no más de cinco pasos• Se juega entre dos personas.• El jugador A introduce en la calculadora un número de tres cifras menor o igual a 900.• El jugador B debe reducir el número a cero en no más de cinco pasos.• Para reducir al cero, solamente puede usar operaciones básicas, en las cuales sólo use números de una cifra.Ejemplo:• El jugador A introduce el número 703 en la calculadora.• El jugador B puede seguir el siguiente procedimiento.

Tres juegos con la calculadoraLa calculadora, lejos de ser solamente un instrumento para sacar cuentas engorrosas,puede utilizarse, entre otras cosas, para desarrollar habilidades de estimación, parareforzar concepciones básicas en el manejo de números y para desarrollar estrategiasde resolución de problemas.Lo increíble es que esto podemos lograrlo tan sólo jugando con ella. A continuaciónproponemos tres juegos que se pueden realizar en cualquier sitio.

: 5 = - 4 =- 3 = : 7 = : 5 =

Eliminando cifras• Cada participante trabaja con su propia calculadora.• Se propone un número de siete cifras, ninguna de las cuales se repite.• Se pide eliminar un dígito del número, aplicando solamente una operación.• Se pide el relato de lo realizado y se califica según el siguiente ejemplo.Ejemplo:• Se introduce 5382749.• Se pide eliminar el 7. El participante reporta sólo la

operación sobre el dígito que debeser eliminadomenos siete.

Pierde un punto

El participante reporta sólo laoperación y los dígitos con los quela hizomenos siete, cero, cero.

Ni gana ni pierde el punto

El participante reporta la operacióny el número que restamenos setecientos.

Gana un punto

Los factores morochos• Cada participante trabaja con su propia calculadora.• Se propone un número que sea un cuadrado perfecto.• Se pide estimar qué número multiplicado por sí mismo dé el número propuesto.• Se pide que se efectúe la multiplicación.• Se califican los resultados de acuerdo al siguiente ejemplo.Ejemplo:• Se propone 3969.• Se puede seguir el siguiente procedimiento:

- El participante reporta 631, que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y de cuya cifrade las unidades (1) al elevarlo al cuadrado no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto(9). Pierde dos puntos.

- El participante reporta 633, un número que tiene más cifras que la raíz cuadrada del número propuesto y decuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Pierde un punto.

- El participante reporta 75, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto yde cuya cifra de las unidades no se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Ni ganani pierde puntos.

- El participante reporta 67, que tiene el mismo número de cifras que la raíz cuadrada del número propuesto yde cuya cifra de las unidades se puede obtener la cifra de las unidades del número propuesto. Gana un punto.

- El participante reporta 63, la raíz cuadrada del número propuesto. Gana dos puntos.

Gana el que acumule 10 puntos

Gana el que acumule 10 puntos

Estrategias sugeridas al docente


Tengo que pensarloEl número de la casa de YolandaSi el número de la casa de Yolanda es múltiplo de tres,se trata de un número comprendido entre el 50 y el 59.Si el número de la casa no es múltiplo de 4, entonceses un número comprendido entre 60 y 69.Si el número no es múltiplo de 6, entonces se trata deun número comprendido entre el 70 y el 79.¿Cuál es el número de la casa de Yolanda?

Sumas igualesEn la figura cada letra representa

una cifra.Todas las cifras (1 al 9) están

representadas por una letra distinta.Se sabe que la suma de cada

columna o fila es igual a 13.¿Cuál cifra representa la letra E?

C B ADEFG

HI

13

13

13

13

Dos milUtilizando la cifras del 1 al 9, coloca entre ellas lossignos + - x : de tal manera que obtengas 2 000.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 2 000

El cuboColoca las cifras del 1 al 8 en cadavértice del cubo de tal forma quela suma de las cifras de los vérticesde cada cara sea 18.

Edificio en Tokio, Japón

FibonacciLa sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8.... Recibe elnombre de sucesión de Fibonacci.Escribe los números que correspondenal noveno y duodécimo lugar.

112 3

5 8 __ _


¡A jugar!

Materiales

• Dos juegos de cartas como los siguientes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

Versión 1 • Dos jugadores1 El jugador Nº 1 selecciona cuatro cartas verdes.

2 El jugador Nº 2 selecciona una carta amarilla.

3 El jugador Nº 1 debe combinar los números desus cuatro cartas verdes con operaciones aritmé-ticas básicas (+, -, x, :) hasta obtener el númeroescrito en la carta amarilla.

4 Si resuelve el problema, gana un punto.

5 Si el jugador Nº 1 no puede resolver el problema,el jugador Nº 2 tiene la oportunidad de resolverloy gana un punto si lo logra.

6 Se inicia el juego siguiente barajando las cartasy cambiando los roles de los jugadores.

Versión 2 • Hasta 4 jugadores1 Hasta cuatro jugadores pueden jugar. En este

caso, se necesitarían dos juegos de cartas ver-des.

2 Cada jugador toma cuatro cartas verdes y unaamarilla.

3 Cada uno trata de resolver el problema plantea-do en la versión 1.

4 Cuando un jugador falla, el jugador a su derechatiene la oportunidad de resolverlo y ganar un puntoadicional. De fallar este también, le toca el turno aljugador de la derecha y así sucesivamente.

5 El juego termina cuando se agotan las posibilida-des de resolución para todos los problemas.

3 4 5 9 2 4 : [5 - (9:3)] = 2

Ejemplo:Gana quien primero complete 10 puntos


Información actualizadaBibliografíaDe Guzmán, Miguel (1994). Para pensar mejor. EditorialPirámide. Madrid, España.

Díaz, Godino J. y otros (1999). Didáctica de lamatemática. Editorial Síntesis. Madrid España.

Jiménez, Douglas (1999). La aventura de la matemática.Editorial CEC (Libros de El Nacional). Caracas, Venezuela.

Marcano, Gisela (2001). La multiplicación (mimeografía).Fondo Editorial Cenamec, Caracas, Venezuela.

Marcano, Gisela (2000). A jugar con los dedos(mimeografía). Fondo Editorial Cenamec, Caracas,Venezuela.

Rico, L., Castro, E. y Castro, E. (1987). Números yoperaciones. Editorial Síntesis. Madrid, España.

Theoni, Pappas (2000). More joy of mathematics. WorldPublishing Tetra. EE.UU.

RevistasBoletines de la Enseñanza de la Matemática. ASOVEMAT.Venezuela

Educación Matemática. Grupo Editorial Iberoamérica.Serapio Rendón 125, Col. San Rafael 06470, México, DF.

For the Learning of Mathematics. F.L.M. Pibl. Co. 4336Marcil Avenue. Montreal, Canadá.

Petit X. IREM de Grenoble. BP 41 38402. S. MartinD’Heres (Francia).

Revista EMA. http:/www.ued.uniandes.edu.co. Bogotá,Colombia.

VideosDonald en el país de las matemágicas. Walt Disney, EE.UU.

Sistemas de numeración. Video de la Universidad NacionalAbierta. Caracas, Venezuela.

Páginas webMath resources inc : http://www.mathresources.com

Teacher created materials. http://www.teachercreated.com

Editorial Síntesis. http://www.sintesis.com

Resultados

El número de la casa de Yolanda: Es el 76.

Fibonacci: El noveno es 34 y el duodécimo es 144.

Sumas iguales: E vale 4.

Dos mil: tiene múltiples respuestas.

6 3

81

5

27

4

Un corro alrededor del mundoSi todos los muchachos del mundo quisieran darse lasmanos, podrían hacer un corro todos alrededor del mar. Sitodos los muchachos del mundo quisieran ser marineros,harían con sus barcas un hermoso puente sobre las olas.Se podría hacer un corro alrededor del mundo, si toda lagente del mundo quisiera darse la mano.Paúl Fort

Suponiendo que somos, aproximadamente, 6 millardos de habitantesy sabiendo que la circunferencia máxima de la Tierra es deaproximadamente 40 000 km y consideramos que cada uno denosotros sería un eslabón de 1 m, entonces tendríamos una cadenaque podría rodear 150 veces la Tierra. Dios quiera que algún día,todos los habitantes de la Tierra nos diéramos las manos.

El cubo:

Ernesto Medina Dagger

La matemática y el Premio “Lorenzo Mendoza Fleury”*Nació en Caracas en 1961. Realizó sus

estudios de Física en la UniversidadCentral de Venezuela, graduándose conhonores (summa cum laude) en 1985.Obtuvo el título de PhD en 1991 en el

Instituto Tecnológico de Massachusetts.Actualmente es investigador asociadodel IVIC, profesor titular de la UCV y

pertenece al Sistema de Promoción delInvestigador (Nivel IV). Obtuvo el Premio“Lorenzo Mendoza Fleury” de Fundación

Polar en el año 1993.

Fotografía: F. Fernández

Durante los siglos XIX y XX se le dio un gran impulso a la Física cuando se empezó apensar en términos de simetrías. Una simetría se expresa matemáticamente como unainvariancia (ausencia de cambios) bajo una operación como la de traslación espacial,temporal o, por ejemplo, una rotación. Si tomamos la figura de un cuadrado y la rotamosalrededor de su centro en 90 grados no podemos distinguir la orientación final de laoriginal, el cuadrado es entonces invariante bajo una rotación de 90 grados. En la Física,las operaciones mencionadas dan origen respectivamente a la ley de conservación deenergía (invariancia temporal), la ley de conservación de momentum (invarianciatraslacional) y la de conservación de momento angular (invariancia rotacional). Lapresencia de todas estas invariancias juntas resulta en un mundo que no cambia en eltiempo, que es igual en todos los puntos del espacio y en todas las direcciones. Sinembargo, el mundo se pone interesante cuando ocurre el rompimiento de algunas deestas simetrías, lo cual da lugar a la formación de patrones o formas que varían demúltiples maneras en el espacio y el tiempo, lo que reconocemos intuitivamente como“orden” en la naturaleza. Los rompimientos de simetría dan lugar a muchos fenómenoscon que convivimos, como la formación de cristales, los populares imanes o magnetosy la misma estructura que observamos del universo hoy en día. Sin el rompimiento desimetría no existirían los electrones, protones y neutrones que componen los átomosy por lo tanto los átomos mismos. No existiría la vida.

Un fenómeno supremamente importante, asociado al rompimiento de la simetría, es elsurgimiento, paradójico, de una simetría exótica, la asociada a la invariancia de escalas.Formas y objetos que vemos a una escala de magnificación particular, se repiten acualquier otra magnificación por encima o por debajo de la primera dando origen apatrones que son construidos en base a sí mismos. Esto es lo que conocemos comofractales y son las estructuras más ricas y bellas al ojo humano que ofrece la naturaleza.

El estudio de simetrías y su rompimiento está hoy en el corazón de todos los camposde la física: la teoría de campos, la cosmología, la física de partículas, la física del estadosólido y fenómenos críticos.

* El Premio “Lorenzo Mendoza Fleury” fue creado por Fundación Polar en 1983, para reconocer el talento,creatividad y productividad de los científicos venezolanos. Se otorga cada dos años a cinco de nuestros másdestacados investigadores y en el año 2003, su undécima edición, lo recibieron los químicos Sócrates Acevedoy Yosslen Aray, el físico Jesús González, el médico José R. López Padrino y el matemático Lázaro Recht.

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