Los fundamentos del calculo

El lımite de una función real de variable real y = f(x) en un punto x0 de su dominio es el concepto fundamental del cálculo. Es esta una noción asociada al comportamiento de los valores de la función en los puntos vecinos del punto x0, que permite definir la idea de continuidad y los conceptos fundamentales de derivada e integral de una función. La definición de limite es reconocida como una de las máximas expresiones del discurso matemático moderno y su manejo es imprescindible para una clara comprensión del calculo y sus aplicaciones. En este capitulo se presenta y se estudia la noción de limite a partir del concepto de convergencia de sucesiones, definiéndose luego las funciones continuas como aquellas que preservan precisamente la convergencia de sucesiones. La diferencia entre los conceptos y métodos del calculo y los que usualmente se manejan en el algebra y la geometría, radica en que los primeros se definen en términos de propiedades o procesos con conjuntos infinitos. Este capitulo incluye las demostraciones de los resultados básicos del análisis matemático y se presentan así para ir introduciendo al estudiante en el manejo de las técnicas de argumentación y prueba propias de esta área de las matemáticas.

Sucesiones realesUna sucesión real es un conjunto de números reales ordenado mediante el conjunto de los números naturales. En otras palabras, una sucesión es un conjunto de números reales etiquetados con números naturales, de tal manera que la etiqueta especifica el lugar o el orden que ocupa cada elemento en la sucesión. La etiqueta, al ser un numero natural, nos señala cual es el primer elemento de la sucesión, cual el segundo, cual el tercero, etc. Para definir una sucesión real, se necesita especificar los números que la integran y el lugar que ocupan según el orden de sus etiquetas.Asociado al concepto de sucesión, se tiene de manera natural el concepto de subsucesion de una sucesión, entendida como una nueva sucesión cuyos elementos forman un subconjunto de la primera y su orden como elementos de la subsucesion preserva el orden que esos mismos elementos tenían en la sucesión inicial. Es decir, si en la subsucesion un elemento es posterior a otro, como elementos de la sucesión inicial también el primer elemento era posterior al segundo.

Convergencia de sucesionesSe denota con (L − r, L + r) y se llama intervalo abierto con centro en el numero real L y radio r > 0, al conjunto (L − r, L + r) = {x ∈ R tales que |x − L| < r} . Se dice que una sucesión {si} ∞ i=1 de números reales es convergente a un numero real L si los elementos de la sucesión se aproximan al número L “tanto como se quiera” a medida que crece la magnitud de las etiquetas de esos elementos.

Propiedades de las sucesiones convergentesEnseguida enunciaremos y demostraremos algunas de las propiedades más importantes de las sucesiones convergentes. Una sucesión de números reales {ai} ∞ i=1 se dice acotada si todos sus elementos se encuentran dentro de un intervalo cerrado de la forma [−M, M] con M algún número mayor que cero, es decir, si −M < ai < M para toda i = 1, 2, . . . - . . . .

Criterio de convergencia de CauchyEl criterio de convergencia de Cauchy proporciona una manera de constatar la convergencia de una sucesión sin que necesariamente se conozca su limite. Este es un resultado de gran utilidad en el análisis matemático y aquí lo presentamos en los términos siguientes.