Los 17 grupos cristalográficos planos

Los 17 grupos cristalográficos planos

Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. Capítulo 2.

1Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2010-2011

Procedimiento general

• Clasificaremos los grupos cristalográficos usando su retículo y grupo puntual.

• De G se obtienen T,J.• De T se obtiene el retículo L.• J debe ser un subgrupo del grupo de

isometrías lineales que fijan L.• En algunos casos, hay varias posibilidades para

G a partir de los mismos T y J.


Retículo oblicuo

• En este caso, las unicas isometrías lineales que dejan fijo el retículo son Id, Aπ

• Los posibles subgrupos de {Id,Aπ} son– {Id}– {Id,Aπ}


(p1)Si el grupo de isometrías lineales es {Id}, G=T


(p2)Si J={Id,Aπ}, aparece una rotación de ángulo π


Retículo rectangular• Las isometrías lineales que son simetrías de un

retículo rectangular son {Id,Aπ,B0,Bπ}.• Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a

ser J, son:– {Id} (p1)– {Id,Aπ} (p2)– {Id,B0}– {Id,Bπ} (análogo al anterior)– {Id,Aπ,B0,Bπ}


(pm)J={Id,Bπ}, si Bπ viene de una reflexión en G (ídem con B0)


(pg)J={Id,Bπ}, si Bπ no viene de una reflexión en G (y por tanto viene de una reflexión con deslizamiento) (id. B0)


(pmm)J={Id,Aπ,B0,Bπ} y B0,Bπ vienen de reflexiones en G


(pmg)J={Id,Aπ,B0,Bπ} y sólo B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G


(pgg)J={Id,Aπ,B0,Bπ} y no hay reflexiones en G


Retículo rectangular centrado

• Las isometrías lineales que son simetrías vuelven a ser {Id,Aπ,B0,Bπ}.

• Los posibles subgrupos, es decir, los candidatos a ser J, son:– {Id} (de nuevo es (p1))– {Id,Aπ} (p2)– {Id,B0} o {Id, Bπ}– {Id,Aπ,B0,Bπ}


(cm)J={Id,Bπ}. Se demuestra que Bπ viene de una reflexión de G. (sería análogo con B0)


(cmm)J={Id, Aπ,B0,Bπ}. Se demuestra que B0,Bπ vienen de reflexiones


Retículo cuadrado

• Las isometrías lineales que dejan fijo el retículo son D4=< Aπ/2,B0>.

• Los únicos casos nuevos que aparecen corresponden a los subgrupos– <Aπ/2>– D4


(p4)J=<Aπ/2>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones


(p4m)J=D4 y B0 (o Bπ) viene de una reflexión en G


(p4g)J=D4 y B0 (o Bπ) no viene de una reflexión en G


Retículo hexagonal

• Las simetrías del retículo en este caso son D6=<Aπ/3,B0>

• Los únicos subgrupos que suponen casos nuevos son– <A2π/3>– <A2π/3,B0>– <A2π/3,Bπ/3>– <Aπ/3>– <Aπ/3,B0>


(p3)J=<A2π/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones


(p31m)J=<A2π/3,B0> y B0 viene de una reflexión en G.


(p3m1)J=<A2π/3,B π/3 >. Por tanto, no hay reflexiones con eje paralelo al retículo.


(p6)J=<Aπ/3>. En G sólo hay rotaciones y traslaciones.


(p6m)J=D6. Se puede demostrar que B0 viene de una reflexión.


Teselaciones aperiódicas

• Penrose: “darts” and “kites”.

Elementos de Matemáticas y Aplicaciones. UCM 2009-2010 25

Prob 15: Hawaii


Prob 15: Egipto1


Prob 15: Egipto2


Prob 15: Alhambra


Prob 15: Tapiz persa


Prob 15: Asiria


Prob 15: Linóleo (EEUU)


Prob 15: China


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