LONGITUD DE ARCO UTILIZANDO COORDENADAS POLARES

CALCULO VECTORIAL

LONGITUD DE ARCO EN FORMA POLAR

Sea f una función cuya derivada es continua en el intervalo 𝛼 ≤ 𝜃 ≤𝛽. La longitud de la gráfica de 𝑟 = 𝑓(𝜃), desde 𝜃 = 𝛼 hasta 𝜃 = 𝛽es:

𝑠 = 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 + 𝑓′ 𝜃 2 𝑑𝜃 = 𝛼

𝛽

𝑟2 +𝑑𝑟

𝑑𝜃

2

𝑑𝜃

HALLAR LA LONGITUD DE LA

CURVA 𝑟 = 𝑎

EN EL INTERVALO: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

SOLUCION:

PRIMERO DERIVEMOS LA FUNCION:

𝑟 = 𝑓 𝜃 = 𝑎 𝑟′ = 𝑓′ 𝜃 = 0

NOTA: “a” SE CONSIDERA CERO (0) PORQUE ES UNA CONSTANTE…

SUSTITUIMOS LOS DATOS:

𝑠 = 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 + 𝑓′ 𝜃 2 𝑑𝜃 = 𝛼

𝛽

𝑟2 +𝑑𝑟

𝑑𝜃

2

𝑑𝜃

𝑠 = 0

2𝜋

𝑎2 + 02 𝑑𝜃 = 0

2𝜋

𝑎2 𝑑𝜃 = 0

2𝜋

𝑎 𝑑𝜃 = 𝑎 0

2𝜋

𝑑𝜃

= 𝑎 𝜃2𝜋

0= 𝑎 2𝜋 − 0 = 2𝜋𝑎

Y POR LO TANTO LA LONGITUD DE ARCO PARA ESA FUNCION ES:

∴ 𝑆 = 2𝜋𝑎

HALLAR LA LONGITUD DE LA

CURVA 𝑟 = 1+ 𝑠𝑒𝑛 𝜃

EN EL INTERVALO: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

SOLUCION:

PRIMERO NECESITAMOS DERIVAR LA FUNCION “r” CON RESPECTO AL PARAMETRO “𝜃”:

𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑟′ =𝑑𝑟

𝑑𝜃= 𝑓 𝜃 = 𝑐𝑜𝑠 𝜃

Y ACOMODAMOS LOS DATOS PARA ENCONTRAR LA SOLUCION:

𝑠 = 𝛼

𝛽

𝑓 𝜃 2 + 𝑓′ 𝜃 2 𝑑𝜃 = 𝛼

𝛽

𝑟2 +𝑑𝑟

𝑑𝜃

2

𝑑𝜃 𝑠

= 0

2𝜋

1 + sen 𝜃 2 + cos 𝜃 2 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

1 + 2 sen 𝜃 + sen2 𝜃 + cos2 𝜃 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

1 + 2 sen 𝜃 + sen2 𝜃 + 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

2 + 2 sen𝜃 𝑑𝜃

= 0

2𝜋

2 1 + sen𝜃 𝑑𝜃 = 2 0

2𝜋

1 + sen 𝜃 𝑑𝜃

= 2 0

2𝜋

1 + sen𝜃 𝑑𝜃

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃

𝑑𝑢 = cos 𝜃 𝑑𝜃

𝑑𝜃 =𝑑𝑢

cos 𝜃=

𝑑𝑢

1 − 𝑠𝑒𝑛2𝜃=

𝑑𝑢

1 − 𝑢2

= 2 0

2𝜋

1 + sen𝜃 𝑑𝜃 = 2 0

2𝜋

1 + 𝑢𝑑𝑢

1 − 𝑢2

= 2 0

2𝜋

1 + 𝑢𝑑𝑢

1 − 𝑢 1 + 𝑢= 2

0

2𝜋 𝑑𝑢

1 − 𝑢

= 2 0

2𝜋 𝑑𝑢

1 − 𝑢12

= 2 0

2𝜋

1 − 𝑢 −12 𝑑𝑢

= − 2 0

2𝜋

1 − 𝑢 −12 −𝑑𝑢 = − 2

1 − 𝑢 −12+1

−12+ 1

= − 21 − 𝑢

12

12

= −2 2 1 − 𝑢2𝜋

0

= −2 2 1 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 0

= −2 2 1 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜋 − 1 − 𝑠𝑒𝑛 0 = 0

COMO VEMOS EL RESULTADO ES CERO PERO EN REALIDAD NO LO ES, ASI QUE, SI GRAFICAMOS ESA

FUNCION, TAL VEZ SERIA MEJOR CAMBIAR LOS LIMITES DE INTEGRACION PARA SABER CUAL ES LA

LONGITUD DE ARCO

GRAFICA DE LA FUNCION

𝑟 = 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝜃

EN EL INTERVALO: 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋

COMO VEMOS AHÍ, EL GIRO DE LA GRAFICA COMIENZA DESDE 270° HASTA 630°, ASI QUE SE CAMBIARAN LOS LIMITES, ES

DECIR, QUE DE 0 HASTA 2𝜋 SE CAMBIARA DE 3𝜋

2HASTA

5𝜋

2, Y EN

LA INTEGRAL SE MULTIPLICARA POR 2 YA QUE SI NO LO HACEMOS, ESTARIAMOS OBTENIENDO LA MITAD DE LA FUNCION Y EN EL EJERCICIO NO PIDE ESO, PIDE QUE EL RESULTADO SEA COMPLETO…

ASI QUE, VOLVIENDO:

2 0

2𝜋 𝑑𝑢

1 − 𝑢⇒ 2 2

3𝜋2

5𝜋2 𝑑𝑢

1 − 𝑢

= −4 2 1 − 𝑢

5𝜋23𝜋2

= −4 2 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃

5𝜋23𝜋2

= −4 2 1 − 𝑠𝑒𝑛5𝜋

2− 1 − 𝑠𝑒𝑛

3𝜋

2

= −4 2 1 − 1 − 1 − −1 = −4 2 0 − 2

= −4 2 − 2 = 8

ASI QUE LA LONGITU DE ARCO PARA ESA FUNCION ES:

∴ 𝑠 = 8

BIBLIOGRAFIAS

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América,

1097

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GRAPH

WOLFRAM-ALPHA

DERIVE